1996第十三届全国初中数学联赛

2 代入到 x13 4 x2 19 x1 3 x1 4 3 x2 19 3x1 3 x1 4 x2 7 4 x1 x2 4 ．
再由韦达定理知 x1 x2 1 ． 所以原式 4 4 0 ． 故选 D． 【点评】这是一道综合性较强的一元二次方程的题目，只其中要用到根的定义及韦达定理，化简得过 程中需要仔细观察，用最简便的方法．
则 BM AB sin 60
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3 1 1 2 2 3 ． 1 2
1 所以重叠部分的面积为： S 2S△ ADK 2 1 2 3 2 3 ． 2 【点评】对于含有正方形，正三角形的几何题来说，一个是要充分的利用图形中的角相等以及边相等， 同时，要注意一些特殊角的三角函数值，作辅助线的时候也应该多考虑作平行以及垂直，构 造全等以及特殊度数的角．
1 x 1 ． x
由于 x 0 ，以下分两种情况讨论： 1 当 x 0 时，方程变为 x 1 ，即 x 2 x 1 0 ，解方程可得： x 5 1 5 1 x0 x0 0舍去 ， 2 2 5 1 ． y0 2 1 当 x 0 时，方程变为 x 1 ，即 x 2 x 1 0 ，方程无实根百度文库 x 5 1 5 1 综上所述， x0 y0 5． 2 2 【点评】碰到有绝对值的方程的时候，首先应该消去绝对值，一般情况下消去绝对值的时候都要找出 绝对值的零点分情况讨论．同时，应该注意的一点是在一种情况下得出的解必须要带到条件 里面去检验，如题中的第二解就不符合条件，应该舍去．
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1996 第十三届全国初中数学联赛
第一试
一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分） 1 1 a b 1．实数 a ， b 满足 ab 1 ，记 M ，N ，则 M ， N 的关系为（ 1 a 1 b 1 a 1 b A． M N B． M N C． M N D．不确定 ）
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3 a 2 【解析】本题考查的是三角形角度计算的知识， 要求点 N 到边 BC 的距离， 首先我们做 ND 垂直于 BC ， 且交 BC 边于 D ， 设 ABN MBC ， ∵ BM NM ， ∴ MBN BNM ． 若令 MBN ，则： C 180 2 ． C B 2 ，
2．设正整数 a ， m ， n 满足 a 2 4 2 m n ，则这样的 a ， m ， n 的取值（ ） A．有一组 B．有二组 C．多于二组 D．不存在 3．如图， A 是半径为 1 的圆 O 外的一点， OA 2 ， AB 是圆 O 的切线， ） B 是切点，弦 BC ∥ OA ，连结 AC ，则阴影部分的面积等于（ 2π π A． B． 9 6 π 3 π 3 C． D． 6 8 6 8 2 19 的值 4．设 x1 ， x2 是二次方程 x 2 x 3 0 的两个根，那么 x13 4 x2 等于（ ） A． 4 B．8 C．6 D． 0 5．如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的（ ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 6．如果 20 个点将某圆周 20 等分，那么顶点只能在这 20 个点中选取的正多边形的个数有（ ） A． 4 个 B．8 个 C．12 个 D．24 个 二、填空题（本题满分 28 分，每小题 7 分） 1 y 1．已知实数 x0 ， y0 是方程组 的解，则 x0 y0 __________． x y | x | 1 2． 如图 2， 在 △ ABC 中，AB AC ，ABN MBC ，BM NM ，BN a ， 则点 N 到边 BC 的距离等于________． 3．设 1995 x3 1996 y 3 1997 z 3 ， xyz 0 ， 且 3 1995 x3 1996 y 3 1997 z 3 3 1995 3 1996 3 1997 ，


第二试
一、 【解析】根据题意甲班的 m 个男生和 11 个女生的捐款总数与乙班的 9 个男生和 n 个女生的捐款总数相 等有 m 11 n 9 整除 mn 9m 11n 145 ，而 mn 9m 11n 145 m 11 n 9 46 ， 所以 m 11，n 9 都整除 46， m 11 n 9 ． 又 m ，n 是正整数所以： 只可能 m 11 n 9 23 ，或者 m 11 n 9 46 ． 即： m 13 ，n 14 或 m 35 ，n 37 ．
所以： ND a sin 60 3． 1 【解析】设 1995 x3 1996 y 3 1997 z 3 k ，显然 k 0 ，所以：
1995
k k k k k k 3 ， 1996 3 ， 1997 3 ， 带入方程可得： 3 3 x y z x y z 1 1 1 3 x y z 1 1 1 k ． x y z
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1996 第十三届全国初中数学联赛 解 答
第一试
一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分） 1． B 1 1 b a 【解析】 M ， 1 a 1 b b ab a ab b a N． 又由 ab 1 ，得到 M b 1 a 1 选 B． 【点评】这道题不能一上来就通分计算，观察出 N 的分子有 a ，b ，所以把 M 上下同乘以 b ，a ， 再利 用条件化简． 2． A 【解析】解法一： 将原式两边平方得到 a 2 4 2 m n 2 mn ， 由于 a ，m ，n 都是正整数，所以 a 2 m n ，mn 8 ． 又 m n ，仅当 m 8 ，n 1 时 a 为正整数． 所以共有 1 组解，选 A． 【点评】这道题的方法比较明显，两边平方就可以，关键要小心的是隐藏条件 m n . 3． B 【解析】如题图连结 OB ，OC ， 因为 BC 平行于 OA ， 所以 S△OBC S△ ABC ． 从而阴影部分面积即为扇形 OBC 的面积； 又 因 为 AB 为 圆 的 切 线 ， 所 以 OB 垂 直 AB ， 在 Rt△ AOB 中 ， AO 2 ，OB 1 ， 所 以 AOB 60 ． 故 BOC 60 ． 1 π 因此扇形面积为： π 12 ． 6 6 故选 B． 【点评】注意同底等高的三角形的面积相等，在做面积的时候可以利用它来转化成其他的面积来求． 4． D 2 2 【解析】由题意得 x12 x1 3 0 ，x2 x2 3 0 ，即 x12 3 x1 ，x2 3 x2 ．
1 1 1 ________． x y z 4 ．如图 3 ，将边长为 1 的正方形 ABCD 绕 A 点按逆时针方向旋转 60 至 ABC D 的位置，则这两个正方形重叠部分的面积是_________．
则
第二试
一、 （本题满分 20 分） 某校在向“希望工程”捐款活动中，甲班的 m 个男生和 11 个女生的捐款总数 与乙班的 9 个男生和 n 个女生的捐款总数相等，都是 (m n 9m 11n 145) 元，已知每人的捐款数相同，且都是整数元，求每人的捐款数． 二、 （本题满分 25 分） 设凸四边形 ABCD 的对角线 AC ，BD 的交点为 M ， 过点 M 作 AD 的平行线 分别交 AB ，CD 于点 E ，F ， 交 BC 的延长线于点 O ，P 是以 O 为圆心 OM 为半径的圆上一点（位置如图 4 所示） ，求证： OPF OEP ． 三、 （本题满分 25 分） 已知 a ， b ， c 都是正整数，且抛物线 y ax 2 bx c 与 x 轴有两个不同的 交点 A ， B ，若 A ， B 到原点的距离都小于 1，求 a b c 的最小值．
3 ， 2 3 1 ∴ BN 1 ， AM ． 2 2 同时有： Rt△ AKB ≌ Rt△ AKD ， ∴ KAB KAD 15 ， AD AB ， 故可得： ADB 75 ， NDB 15 , 从而 Rt△DBN 和 Rt△ AKD ， DK AD ∴ ， NB DN AD AD ， DK NB NB DN AM
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5． A 【解析】我们首先要了解各种三角形的面积的算法，正弦公式，底乘高公式以及利用三角形内切圆半 径来计算三角形的面积公式． 1 如果内切圆的半径为 r ，三角形的周长为 l ，则三角形的面积为： S r l ． 2 1 如图 6：上面一部分的面积为 r AD AE ， 2 1 下面一部分的面积为 r BD CE BC , 2 由于直线 m 分三角形周长为两半，即 BD CE BC AD AE ， 所以上下两部分的面积相等，因此直线 m 过内心． 故选 A． 【点评】对于这道题来说，首先是要从面积的方法去猜想这道题与内心有关，然后是假设直线过内心， 这样很容易得出结论． 6． C 【解析】设正 k 边形满足条件，则除去 k 个顶点外的 20 k 个点均匀的分布在正 k 边形各边所对的劣弧 上，则有： 20 k 20 于是 1 是整数，故 k 能整除 20，同时 k ≥ 3 ． k k 所以 k 4 或 5 或 10 或 20， 20 20 20 20 故所求正多边形的个数为 12 ． 4 5 10 20 故选 C． 【点评】本道题关键是要确定正多边形所要满足的条件． 二、填空题（本题满分 28 分，每小题 7 分） 1． 5 1 【解析】 y ，y x 1 ， x 很显然应该联立两式，消去 y 可得：
2． ∴ 180 2 2 ，即： 3 180 60 ．
3 a． 2 【点评】对于本题来说，由于本文所给出的条件都是线段的相等，而只给出了一条线段的长度，要求 另外的一条线段的长度，显然应该通过角度的计算得出确定的值，再利用三角形中两条线段 的关系和相应的三角函数知识就能得出本题的结果．
k 3 x3
k 3 y3
k ． z3
即： 3 k 3
∵k 0， 1 1 1 1 1 1 ∴3 ． x y z x y z 由已知可得 x 0 ， y 0 ， z 0 ， 1 1 1 ∴ 1. x y z 【点评】由于题中多次出现 1995，1996，1997，用换元法去代替它们可使计算简便，同时应该用题目 1 1 1 所给出的等式来构造出我们应该求的 ，然后再通过进一步的计算求出结果． x y z 4． 2 3 【解析】如图，过 B 作 MN 平行于 AD ， 分别交 AB ，CD 于 M ，N 两点，设 BC 交 CD 于 K ，