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二次根式的加减法 Microsoft Word 文档
§7.2二次根式的加减法数学 学科 八 年级 下 册 诸城市辛兴初中 臧运建 学习目标：1、理解同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则2、会进行简单的二次根式的加减运算3、经历同类二次根式概念及加减法法则的发现过程，体验类比、猜想的思想方法。
课前延伸计算下列各式．（1）2x+3x ； （2）2x 2-3x 2+5x 2； （3）x+2x+3y ； （4）3a 2-2a 2+a 3 教学过程一、自主探究 计算下列各式．（先自主学习，然后小组合作交流） （1）3233-；（2）a a a 423+-．规律总结：与整式中同类项的意义相类似，我们把像33与32-，a 3、a 2-与a 4这样的几个二次根式，称为 ．归纳：是同类二次根式二次根式的加减，与整式的加减相类似，关键是 ．例1计算：(1)2454+(2)43932aa +二．合作探究（独立完成后小组合作交流并纠错）计算：54520290+-归纳二次根式的加减法则：三．应用提升（1）451227+-；（2）x x x916425-+．（3）)12)(12(-+； （4）)2)(2(b a b a -+四．谈一谈谈一谈本节课的收获和体会五．比一比（独立完成后组长批阅并指导纠错）当堂小测验1．下列各组里的二次根式是不是同类二次根式？（1）122，27；（2）50，83； ；（3）nmn m 2,2； （4）yxx y 2527,43． （5）ab 2，ab 83； （6）b a 23，227ab ．2．计算： （1）433332+-； （2）75335-．（3）245253-+-；（4）12273752+-；（5）2231872-+．3．计算：（1）)23)(23(-+；（2）)32)(32(-+a a ．六．课后拓展．已知二次根式12+a 与7是同类二次根式，试写出三个a 的可能取值．。
九年级上册数学《二次根式》知识点整理
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最后最您生活愉快 ~O(∩_∩)O ~二次根式一、本节学习指导学习二次根式时，我们把平方根的知识顺带巩固一下。
这就是系统性学习，这样学习的好处是把零碎的知识可以系统起来。
本节中我们要对二次根式有意义的条件要掌握。
二、知识要点1、二次根式的概念：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式。
注意：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a≥0是a为二次根式的前提条件，x+，等是二次根式，而5-，2x-等都不是二次根式。
如5，212、取值范围（1）、二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，a有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
（2）、二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，a没有意义。
3、二次根式a（a≥0）的非负性a（a≥0）表示a的算术平方根，也就是说，a（a≥0）是一个非负数，即a0（a≥0）。
注意：a a≥0）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正a（a 数，0的算术平方根是0，所以非负数（a≥0）的算术平方根是非负数，即2≥0），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个a b=，则a b=，则a=0,b=0；若20a b=，则a=0,b=0。
a=0,b=020=（a≥0）4、二次根式2)a的性质：2)a a描述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注意：二次根式的性质公式2()a a =（a ≥0）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若a ≥0，则2()a a =，如：22(2)=，211()22=。
二次根式计算(可编辑修改word版)
二次根式计算匚已知呼S 埠荼’求值：材(20M •南漳县模拟)已知 . b=^(V5-V3> -求 a= - ab+b=的值.如图所示的RtAABC 中，ZB=90° •点P 从点B 开始沿BA 边以1厘米/秒的速度向 点A 移动；同时，点Q 也从点B 开始沿BC 边以2厘米/秒的速度向点C 移动.问：几秒 后△FBQ 的而枳为35平方厘米？ PQ 的距离是多少厘米？(结果用最简二次根式表示)5. (1)已知*=迈 求x^+3x-l 的值:(2)已知0 = —2—历，h = y/3-2. (« + /?)- + (a-b)(2a + b)-3a" ®.{14-2 +艺6.若X, y 为实数，且y=71_4x +厶x_l+ 2求兀的值.7.已知 a=2+ 73 » b=2-73 •试求一一一的值• b a&已知大一 1 = 求代数式(x + l)--4(x + l) + 4的值. 9.求值:(1)已知, bj.,求丽-丽的值.2 4 y/~~Ct —yfu + y/h2. 3. 已知X = J5 + 1, y =试求的值. 4.⑵已知-戸*J+皿值.如果，一4JC +『2十 6y + Jz + 2 +13 = 0,求(xy)：的值.{a + /?)" + (</ - /7)(2« + h)- 3«"» 其中 J a = 2 + JJ, b = y/3 - 2.13. 13.X 兀 2 — 4% + 4 yL先化简，再求值：（卡-一^"即其中-圧14. 计算：（1）伍亦•洽）+^^-|一81|-«^ + （-1円'（2）已知:10 + A/2=x+y,其中X 是整数，且0 VyVl,求兀-y 的柑反数.15. 已知X M T • v "+l •求下列代数式的值2 2(1) x'y+xy"(2) x'-xy+y'10. 11. 12. 先化简再求值:(1) 解方程：16 (x+1) - -1=0(2) -(X-3) '=27(3) (4) 实数b 在数轴上的位脊^如图所示，请化简:，其中 <7 = 30 = 2化简求值:16.化简：(1) V2(A ^-A /2) (2)皿七护-怎-评17- （本题10分〉根据题目条件，求代数式的值:(1) 已知_=3，求X y 5x + XV — 5 y 「亠• •的值.(2) y=』0二/L 求代数式x=-xy+y=的值.218- （本小题6分）(1) 计算J (—5/3)" — Vl6 + J(-2)2(2) 当ac 时，化陆Ji+ 4a-- 2aIZV3 (2) （5分） 先化简，再求值：（竺 站｝亠7 ,其中甘邑 b=-l 5a-b 10肿 2cPb~ 2 23h 20-化简讣算:（本题满分题6分〉 (1) 275-(75 + 3/) (2)菸倉+ J(・3)2 •屁221. （8分）已知A- = 5^ + l,y = ^/3-b 求下列各式的值.(1)(2) X- +xy + y-22.在实数范帀内分解因式:(1) /-9；(2) 4x2-32；A /3（1）求ZAPB 的度数:(2)如果 AD=5cm, AP=8cm,求A APB 的周长.C 3) x~ — + 3 :(4) 3a^—2b^.23- （6分）先化简，再求值: L 壬.丄,其中"_2. «- +4« + 4 « +2 a +324.已知 0<x<l,化简：|（牙一»2+4_（兀+1）2-425.已知 11 X(-^5 +5/3),y=—( y[5~yf3)，求 x^-xy+y •和一+ —的值•2 2 3' X 26.如图, ABCD 是平行四边形，P 是CD 上一点，且AP 和BP 分别平分ZDAB 和ZCBA ・Cb 385【解析】Ax - y=8>/3i xy=b •I 原式=2(X - y) ■xy=385・考点：二次根式的化简求值：代数式求值.2- 3.5【解析】解 5 a' - ab-rb'.=(a " b) '+abr 7a= g (^\/5H /3) , b= g (・ A /S) »厶 厶/- a' - ab+b'.=c-| (V B -H /S ) r+[£ (V B -H /S ) X £(V^-V^)],=3.5考点：二次根式的化简求值.【解析】参考备案试题分析：先化简X, y 的值，成最简形式, 这样计算简单•再变换2s" - 3xy+2y"使它符合完全平方公式, (2+仞 2解：(2-V5)"(2+V5) （2-仞 2 尸(2+7^) (2-V5)h -试题分析：本题需先把a= - ab+b ：进行整理, 求出结果•化成（a-b ） =+ab 的形式，再把得数代入即可试题分析：首先将所求的分式进行化简，然后将X和y的值代入化简后的式子进行讣算.试题解析：根据题意可得：品2» X—y=2r xy=l卄二竺出d"考点：分式化简求值.【解析】试题分析：首先设X秒后面积为35.然后得出BP=x, BQ=2x,根据题意列岀方程求出x的值. 然后根据RtABPQ的勾股;^理得出距离• 试题解析：设X后△PBQ的而积为35平方厘米.则有PB=x, BQ=2x依题意，得：_x・2x=35 X匚35 解得：X二后2J寿秒后△PBQ的而枳为35平方厘米.FQ= J PB^ + BQ・=y/ x~ + A-x~ = = J5*35 =5答：后秒后△PBQ的面枳为35平方厘米，PQ的距离为5jy厘米.考点：（1）勾股定理：（2）二次根式.5. (1)、-1：(2)、1.【解析】试题分析：（1）将X的值代入代数式进行计算：（2）首先将多项式进行化简计算，然后将a、b 的值代入化简后的式子进行讣算.试题解析：(1)当x=>/2-1 时，x2+3x-l=(.y/2-iy 2+3 (y/2-1)-1 =2—2 运+1 + 3 运—3 — 1= 5^—1(2)原式=<r +2ab+ Ir +2<r — ab — Ir —3a~ =ab当 a=—2—yl3 » — 2 •:原式=ab= (— 2 — -\/3 ) (-73—2) =4—3=1. 考点：代数式的化简求值.【解析】 试题分析：先利用二次根式意义求出X 值，进而求出y 值，代入后而的式子中计算结果即可.试题解析：由二次根式意义可得：l-4x>0. 4s-l>0.综合可得：x=4所以y=0+0+2 3X 41 y2 C 「 所以 2 , 4 ,所求式子=Y2 -V2考点：1.二次根式有意义的条件；2-二次根式的化简求值.【解析】 试题分析：首先根据题意求出a+b.a-b 和ab 的值，然后将所求的分式进行通分和因式分解, 然后利用整体代入的思想进行求解，得出答案- 试题解拆•••a+b=2+>/5+2-75=4, a-b=2+73 - (2 — 丁5)=2厲，ab=(2+75) (2-A /3 ) =1a 二 Q' -b- _ (a - b}{a +/?) _ 4 x _ %羽b a ab考点：(1)分式的化简；(2)二次根式的加数8. 3ab3V2羽 〒■丁=【解析】 试题分析：首先根据题意得出X 的值，然后将代数式进行化简，将X 的值代入化简后的式子 进行计算• 试题解析：由x-l = V3得.1・=丿^ + 1化 简 原 式 =X- +2x + \-4x-4 + 4 = x^ -2x + [ = (yf3+ 1)--2(73 + 1)+1 = 3 + 2\/3 +1 — 2A /3 — 2 + 1=3考点：代数式化简求值9- (1) 2： (2) 7+4>/5【解析】 试题分析：（1）首先根据二次根式的讣算法则将所求的二次根式进行化简，然后将a 和b 的值代入化简后的式子进行计算：（2）首先根据二次根式的化简法则将X 进行化简，然后 将X 的值代入所求的代数式进行计算•试题解析J （1）原式=丽（&^ 必：b 血 JK ）『 二+ + - 2ba-hA=X =-S +75=(75+2) '一(75+2) +75=5+4-75+4-75-2+75=7+475 -考点：化简求值10.—36【解析】当 a=\ b= 2 肌原式=1^1=2.41 1 (2) 7x=-试题分析把原方程可化为（工-2尸+ 0 + 3）2+后㊁=0,利用非负数的性质得出x、y、z 的值•然后代入计算即可.试题解析：原方程可化为a - 2尸+ {y + 3尸+ = 0,X = 2^ y =—3* z=—2, /. (xy)j = (-6)"- = _36考点：1.完全平方公式2.非负数的性质3.幕的运算.11. — 2,^/3 .【解析】试题分析：先进行二次根式的化简，然后再把a、b的值代入即可.一y/b j- -/ab = £' yfab一丘-Jab = 一Jab，= y/h -b-Ja,把a=3, b=2代入上式得：原爲.考点：二次根式的化简求值.12 - ab f 一【解析】试题分析：先按照整式混合运算的法则把原式进行化简，再把a. b的值代入进行让算即可・试题解析：原式=fl" +2ab + lr +2, -ab-b~ -3a~ =ab :当a = 2+氐h = yf3-2时，原^(2 + 73)(73-2)=-!考点：整式的混合运算一化简求值.13. <1) x = 或一2. (2) x=0 (3) 724 4【解析】(4) -b试题解析：原式=试题分析：(1)根据平方根解方程即可:(2) 根据立方根解方程即可:(3) 根摒分式的通分约分进行计算，化简即可，然后代入求值:(4) 根据二次根式的性质和数轴的特点，化简即可. 试题解析：解：(1)16 (x+1) = -1 = 0X+l=± -r(2) -(X-3) '=27x-3=-3 x=O(—2)2 1L X + 2(X + 2)(x - 2) ■X x-2\x+2=2 .x + 2 x+2(4)根据数轴可知a<0<b,因此可知-妒=_a- (-a) -b=-b・考点：平方根，立方根•分式的混合运算.数轴与二次根式的性质33314. (1) ----- : (2) 5/1-124【解析】试题分析：（1）将所给各式的值代入或化简，然后计算即可.（2）先确过出S、y 的值，然后代入计算即可.试题解析：（1）•吉）+也齐^一|一81卜』^ + （-1严' = 5-1-4-81』4333⑵ 因为\Q + y/2=x+y.且X是整数，所以Eh所以7=10 + 72-11=72-1 ,所以x- y=ll-(迈-1 ) =12-72 .所以—y的相反数为y-xM-12 考点：实数的计算.15-(1) 5/5 ：(2) 2,【解析】试题分析：先求得x+y=JJ, sy=l・（1）把所求的代数式转化为xy （x+y）,然后将英代入求值即可:（2）把所求的代数式转化为（x+y） =-3xy,然后将克代入求值即可・试题解析J (1) x'y+xy0y (x+^=(2) x"-xy+y'= (s+y) '-3x7=4^" -3x1 =5-3=2 -考点：二次根式的化简求值.16- (1) 2； <2) 4.【解析】 试题分析：（1〉先把化简，然后把括号内合并后进行二次根式的乘法运算;（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后根据二次根式的除法法则和零指数幕的意义 进行计算.试题解析：（1）原式=40 H 逅）=2：（2）原式二诟+严 =5-1 =4.考点：1•二次根式的混合运算：2•零指数幕.17- (1) 3・ 5； (2) 8,【解析】(2)由 X 和 y 的值求得 x+y= JTT • xy=b 整体代入 x^—xy+y"=(x+-3xy^ 求值.（2）由题意得，x+y=7n , xy=b试题分析：（1〉由=3得x-y= -3xy,整体代入求值;试题解析：解：（1）由J-1 X V3 得 x-y= -3xy»所以 5K +XV _5丫 _5(x-y)+xv xn {x-y)-xyg □占=土—3.5：-3xy - xy -4xy试题分析：根据实数的计算法则进行汁算就可以得到答案.试题解析：（1）原雁2循一4亦=-2(2)原式=-2+3+JJ-2=JJ-l考点：实数的计算.21. (1) 4^3 ： (2) 10-【解析】试题分析：（1）先代入分别求出x+y, s-y的值，根据平方差公式分解因式，代入求出即可: （2）先代入分别求出x+y, xy的值，根据完全平方公式代入求出即可;试题解析J x = A^ + l , y = y/3 -1» :. x + y = 2© > xy = 2, x-y = 2(1) X- - y- =(X + y}(x - y) = 2^3 X 2 = 4>/3 :（2）“ +小+严=（兀+刃2一小=（昉）2-2 = 10・考点：二次根式的化简求值.22.解J (1)(犬2 + 3)Cv + — J^):(2 ) 4Cv + — 2->/y :(3)(X(4)(宓 + 迈b)(五-^/5初.【解析】解：（1）x4—9= （*2+3〉（x2-3） =(%" + 3)(x + J?)(x - JJ)：(2) 4x- - 32 = 4(x- - 8) = 4(x V8)(x(3) A" - 2/3x + 3 = F - Mi + (3? =(X-沖厂(4) 3«" 一2/?" = + 忑b)(五一迈b)・23. ],迺.a + 2 5【解析】试题分析：先分解因式，再把除法运算转化为乘法运算，约去分子分母中的公因式，化为展简形式，再把a的值代入求解.试题解析：原式二（3严（；；0）^二（4+2）2 3 — " a+3 a + 2当2时，原式二是h护晳考点：分式的化简求值.24 - 2x・［解析］卜|（4一4 二卜+土2 一卜+$2 二卜+> -因为OVxVl.所以原式=x+—-（亠x〉=x+X X —--*x=2s ・. • 7 X y25 - x'-sy+y'=〒_ + —=8・【解析】由已知有x+y=V5,xy=-（4X V (x+y)- -2xy -+- = =&y X26. (1) ZAPB=90^ (2) △APB 的周长是【解析】 试题分析：(1)根据平行四边形性质得出AD 〃CB ・ AB 〃CD,推出ZDAB+ZCBA=180\求 出 ZPAB+ZPBA=90% 在A A PB 中求出 ZAPB 即可：(2)求出AD=DP=5» BC=PC=5,求出DC=10=AB,即可求出答案•A ZDAB+ZCBA=180\又TAP 和BP 分别平分ZDAB 和ZCBA, 「•ZPAB+ZPBA 号 ZDAB+ZCBA)知,在AAPB 中,A ZAPB=180"- (ZPAB+Z PBA) =90°；(2) TAP 平分ZDAB,A ZDAP=Z PAB ・VAB//CD, •••ZP AB=ZD PA ••• Z DAP 二 Z DPA •••△ADP 是等腰三角形• /. AD=DP=5cm 同理：PC=CB=5cm即 AB=DC=DP+PC=10cm.在 RtAAPB 中，AB=10cm» AP=8cm>BP^VlO? - 8 乙6 (cm •••△APB 的周长是 6+8+10=24 (cm)考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质：勾股定理.6+8+10=24 (cm)・解：(1) 7四边形ABCD 是平行四边形,C。
二次根式的性质(例题+经典习题)(可编辑修改word版)
a 2 a 2 25 (-7)2 (1 - 2 )2 (-5)2 5 52 - 42 5242 (-16)(-25) -16 ( ) + ( )13 135 12 2 2 42 ⨯ 7 42 7 ab a a + 3 aa + 3 16125二次根式的性质一．复习以前所学相关知识点： 平方差公式： 完全平方公式： 同底数幂的乘法法则： 幂的乘方法则： 积的乘方法则：规定：（1） 二次根式 ( a )2 的性质2( a )2=a (a ≥0)2⎛ 1 ⎫22计 算 :(1) ( ) = ; (2) (3 2) =;(3) ⎝ 3 5 ⎪ =;(4) (-3 2)⎭⎛ 1⎫2( )2= ;(5) - ⎝ 2 3 ⎪ = ⎭;（6） a= _ .a (a ≥ 0) （2） 二次根式的性质=|a |=- a (a 0)1、计算:(1) =_(2) =(3) =(4) +（- ）2=．（3）二次根式积的性质ab = a ⋅ b (a ≥0,b ≥0)1、(1) 169 ⨯196 =_ _; (2) 42 ⨯ 3 =_ ; (3) 0.01⨯ 0.49 = ;2、下列运算正确的是（）(4) 32 ⨯ 52 =_;A. = - =5-4=1B. = × -25 =-4×（-5）=205 C ． = 12 17 + =D ． = × =4 13 13 13（4） 二次根式商的性质= (a ≥0,b ＞0)1、(1)=;(2) = ;2、能使等式 = 成立的a 的取值范围是.3、化简：(1) ( 2)4 b 527a b 925 2 932 27223 3 40 50 200 90 0.5 1⨯ 22 ⨯ 2 2 220.001 5 827 20 3 1 2 7 ⨯ 2 2 ⨯ 2 14 22 1124 4 927x 3 y 5 3.6 ⨯105 96a 3b 6 ⨯105 0.5a 3b 5（5） 最简二次根式：①被开方数中不含分母。
二次根式Microsoft Word 文档
（3）、 （4）
（5）、 （6）、
教学目标：
1.理解二次根式的概念及实际意义，了解被开方数必须是非负数的理由。运用二次根式知识解决相关问题。
2.学生经历运用已有知识解决问题的过程，抽象、概括二次根式的概念。
3.在探究二次根式相关知识的过程中，调动学生积极、主动的参与学习，提高学生探究与概括的能力，认识到数学知识来源于现实生活的思想意识。
一、自主学习：
运用已学知识和经验，完成下列各题.
1.面积为9m2的正方形的边长是＿＿m，面积，为S的正方形的边长是＿＿。 2.要修一个面积为18.84 m2圆形养鱼池，它的半径是＿＿m。（π取3.14）
3.一个物体从高出自由下落，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始下落时的高度h（单位：m）满足关系h=5t2，如果用含h的式子表示t，则t=＿
下面请大家讨论一下，下面式子中a的取值范围是什么
通过讨论大家很容易理解，很容易的知道a的取值范围a≥0.
因此，式子 成立的条件是： （a≥0.）
课后反思：
八年级数学学科导学案基地：五中基地主备人：于泽建
课题
16.1.1二次根式
例1当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？
解：因为x-2≥0，所以x≥2；
所以当x≥2时， 在实数范围内有意义。
三、当堂检验：
1、填空
（1）、若 有意义，则x的取值范围是＿＿＿。
（2）若 有意义，则a的取值范围是＿＿＿。
2、当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
4.如果一个正数的平方等于a，那么这个正数可表示为＿＿。
通过对上面各题答案的观察、归纳、概括，于是得出：
新知：形如 的式子叫做二次根式，“ ”称为二次根号。“a”称为被开方数。“ ” 是“ ”的简写，“2”称为根指数，这里省略不写。
(完整word)二次根式的运算
二次根式的运算编稿：庄永春审稿：邵剑英责编：张杨一、目标认知1。
学习目标（1)理解二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质及二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，并能利用它们进行计算和化简；（2）了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简；(3）理解同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；(4）会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算。
2.重点(1)理解，及利用它们进行计算和化简；（2)理解,及利用它们进行计算和化简；（3）最简二次根式的运用；（4)合并同类二次根式；(5）二次根式的混合运算.3。
难点（1)发现规律，归纳出二次根式的乘除法则；（2)会判定一个二次根式是否是最简二次根式，及二次根式的化简．二、知识要点梳理知识点一：二次根式的乘法法则:，即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘。
要点诠释：(1）在运用二次根式的乘法法则进行运算时,一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；（在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数)（2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：（3）若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简,如.知识点二、积的算术平方根的性质，即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。
要点诠释：（1）在这个性质中,a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数,还是代数式，都必须满足才能用此式进行计算或化简,如果不满足这个条件,等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；（2）二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.知识点三、二次根式的除法法则:,即两个二次根式相除,根指数不变,把被开方数相除.要点诠释：（1）在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，其中,因为b在分母上，故b不能为0.（2）运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号。
二次根式讲解大全
【知识回顾】1。
二次根式:式子a（a≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件:⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式; ⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。
3。
同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1）（a)2=a（a≥0）；（2）5。
二次根式的运算：（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式,•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3)二次根式的乘除法：二次根式相乘（除),将被开方数相乘(除),所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．≥0，b≥0）; =(b≥0，a〉0）．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律,•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．【典型例题】1、概念与性质例1下列各式1其中是二次根式的是_________（填序号）．例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）xx--+315;(2）22)-(x例3、在根式1））A．1）2）B．3）4) C．1）3）D．1) 4)例4、已知：的值。
求代数式22,211881-+-+++-+-=xyyxxyyxxxya（a＞0）==aa2a-（a＜0）0 （a=0）；例5、 （2009龙岩)已知数a ，b ，若2()a b -=b －a,则 ( )A 。
a>b B. a<b C. a ≥b D. a ≤b 2、二次根式的化简与计算 例1. 将根号外的a 移到根号内，得 （ ） A 。
； B 。
－; C 。
－； D 。
例2. 把（a －b)错误!化成最简二次根式例3、计算:例4、先化简，再求值：11()b a b b a a b ++++,其中a=512+，b=512-．例5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：222()a b a b ---3、在实数范围内分解因式 例。
(完整word版)二次根式重点内容
次
1. 二次根式的定义:形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时,才有意义．
2。
二次根式的性质：
①②
③④
3。
二次根式的运算
二次根式的运算主要是研究二次根式的乘除和加减．
（1）二次根式的加减：
需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式)的系数相加减，被开方数不变。
注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式,通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并．但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母,不含能开得尽的因数．
（2）二次根式的乘法：
（3）二次根式的除法：
注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．
(4）二次根式的混合运算：
先乘方（或开方），再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的;能利用运算律或乘法公式进行运算的,可适当改变运算顺序进行简便运算．
注意：进行根式运算时,要正确运用运算法则和乘法公式，分析题目特点，掌握方法与技巧，以便使运算过程简便．二次根式运算结果应尽可能化简．另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数．例如不能写成．
（5）有理化因式:
一般常见的互为有理化因式有如下几类:
①与；②与；
③与；④与．
说明:利用有理化因式的特点可以将分母有理化．。
(完整word版)二次根式的基本定义
知识点一:二次根式的概念 【知识要点】 二次根式的定义： 形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个非负数时，才有意义．注意理解：1、定义是从结构形式上定义的,必须含有二次根号。
根指数省略不写.不能从化简结果上判断，如，都是二次根式。
2、被开方数是一个数，也可以是含有字母的式子.但前提条件是必须是大于或等于0.3、如果是给定的式子，就是有意义的.、4、形如b （a 的式子也是二次根式，b 与是相乘关系，当b 是分数时，写成假分数。
5、式子（a表示的是非负数。
6、+b （a 和形式是含有二次根式的式子,不能叫二次根式。
二次根式定义： 【例1】下列各式22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+,其中是二次根式的是_________（填序号)． 变式练习：1、下列各式中，一定是二次根式的是( ） A 、a B 、10- C 、1a + D 、21a+2、在a 、2a b 、1x +、21x +、3中是二次根式的个数有______个3、下列的式子一定是二次根式的是（ ） A ．B ．C ．D ．4、式子：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ;⑥ ；⑦ ⑧ 中是二次根式的代号为( ） A ．①②④⑥ B ．②④⑧C ．②③⑦⑧D ．①②⑦⑧【例2】若是正整数,最小的整数n 是（ )A ．6B ．3C ．48D ．2变式练习： 1、已知: 是整数，则满足条件的最小正整数n 的值是（ )A ．0B ．1C ．2D ．52、二次根式 是一个整数,那么正整数a 最小值是 ．注意掌握：1、二次根式具有双重非负性。
（a，2、如果式子中既含有二次根式又含有分式，那么它有意义的条件是：二次根式中的被开方数是非负数,分式中的分母不为0.3、如果式子中含有零指数幂或负整数指数幂，有意义的条件是，度数不为0。
【例3】来式子有意义的x 的取值范围是 源：学＊科＊网Z*X ＊X*K]变式练习：1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ）A 、x 〉3B 、x ≥3C 、 x>4D 、x ≥3且x ≠42221x x -+-x 的取值范围是 3、如果代数式mnm 1+-有意义,那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在( ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 【例4】若y=5-x +x -5+2009，则x+y=变式练习：1、若11x x ---2()x y =+,则x －y 的值为（ ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．32、若x 、y 都是实数,且y=4x 233x 2+-+-,求xy 的值3、当a 取什么值时，代数式211a ++取值最小，并求出这个最小值。
二次根式的化简及计算精编WORD版
二次根式的化简及计算精编W O R D版IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】二次根式的化简及计算一、学习准备：1、平方根：如果 x2 = a，那么x叫做a的平方根。
若0a≥, 则a的平方根记为．2、算术平方根：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。
若0a≥, 则a的算术平方根记为_____．3100的_______，结果为_______．②表示4964的_______，结果为_____．③ 0.81的算术平方根记为___________，结果为_________．__________，__________．二、阅读理解4、二次根式的概念：”叫做二次根式，根号下的数叫做被开方数。
在实数范围内，负数没有平方根，所以被开方数只能是正数或零，即被开方数只能是非负数。
5、积的算术平方根= = . =× = ，所以一般地a b = (0,0)a b ≥≥（注意：公式中,a b 必须都是非负数）积的算术平方根，等于 ．=例1、化简:（1 （2 （3 （4）0,0)a b ≥≥即时练习：计算（1 （2（3（4）6、二次根式的乘法=(0,0)a b ≥≥0,0)a b =≥≥．即：二次根式相乘，根指数不变，被开方数相乘．运用此公式，可以进行二次根式的乘法运算。
例2、计算 （1 （2）即时练习：计算（1（2 （3）(-7、商的算术平方根== ，23= == (0,0)a b ≥> 商的算术平方根，等于 。
化简（1 （2（3即时练习：化简（1 （2（3课堂检测1、计算:（1 （2 （3（42、设直角三角形的两条直角边分别为a, b, 斜边为c.（1）如果6,9,a b c ==求； （2）如果4,12,a c b ==求； （3）如果15,10,c b a ==求3、计算：（1 （2）（3 （44、化简（1 （2（38．根式分母有理化例1：把下列各式化为最简二次根式（1（2（3）即时练习：把下列和各式化为最简二次根式（1（2（3（4）x（2例2、把下列各式分母有理化:（1（3（2即时练习：把下列各式分母有理化课堂检测1、下列各式中哪些是最简二次根式？哪些不是？并说明理由（1（2（3）32、把下列各式化为最简二次根式（1）（2）（3（4（23、把下列各式分母有理化:（19.同类二次根式概念：几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．注意：判断几个二次根式是否为同类二次根式，必须将不是最简二次根式的式子化为最简二次根式，再看它们的被开方数是否相同。
化简二次根式的技巧(可编辑修改word版)
2 23 3 0.5 1⨯ 2 2 ⨯ 2 2 222 3 123 1 27 ⨯ 2 2 ⨯ 2 14 2214 ⎛ 1 ⎫2 ⎛ 1 ⎫23 2 ⎪ + 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭50 4 化简二次根式的技巧化简二次根式是进行二次根式加减运算的基础，只有把二次根式化简了，才能进行二次根式的加减运算.在化简时，要根据被开方数的不同特征，采取不同的化简策略.下面举例说明.一、被开方数为整数当被开方数为整数时，应先对整数分解质因数，然后再开方.例 1.化简： 12 .分析：由于 12 是整数，在化简时应先将 12 分解为 12=4×3= 22 ×3.解：原式= = ⨯ = 2 .二、被开方数是小数当被开方数是小数时，应先将小数化成分数，再进行开方. 例 2. 化简： .1分析：由于 0.5 是一个小数，因此在化简时，先将 0.5 化成 ，然后再利用二次根式的性质进行化简.2解：原式== = = .2三、被开方数是带分数当被开方数是带分数时，应先化为假分数再进行开方. 例 3.化简： .分析：因为 是带分数，不能直接进行开方运算，因此应先将带分数化为假分数后，再根据二次根式的性质进行化简.解：原式== = = . 2四、被开方数为数的和（或差）形式当被开方数为数和（或差）的形式时，应先计算出其和（或差），再进行开方.例 4.化简： .分析：观察被开方数的特点是两个数的平方的和的形式，一定不能直接各自开方得3 计算被开方数，然后再进行开方运算.51 + 12 2，而应先 解：原式== = 2 . 2五、被开方数为单项式当被开方数是单项式时，应先将被开方数写成平方的形式（即将单项式写成(a m )2 或(a m )2 · b 的形式），3⨯ 22 1 2 7 2 49 + 1 4 427x 3 y 5 3xy 4x 5 y 2 +12x 4 y 3 x 3y x + 3y 5z12x 2 y15 yz (6xy )21 15 y z 6xya 2b 21 + 1b 2 + a 2 a 2b 2 b 2 + a 2a 2b 2b 2 + a 2 然后再开方.例 5.化简： .分析：由于 27x 3 y 5 是一个单项式，因此应先将 27x 3 y 5 分解为32 ⨯ x 2 ⨯( y 2 )2 ⨯ 3y 的形式，然后再进行开方运算.解：原式= = 3xy 2 .六、被开方数是多项式当被开方数是多项式时，应先把它分解因式再开方. 例 6.化简： .分析：由于4x 5 y 2 +12x 4 y 3 是一个多项式，因此应先将4x 5 y 2 +12x 4 y 3 分解因式后再开方，切莫直接各自开方得2x 2 y + 2x 2 y .解：原式= = 2x 2 y七：被开方数是分式当被开方数是分式时，应先将这个分式的分母化成平方的形式，然后再进行开方运算.例 7. 5z5z分析：由于12x 2 y 是一个分式，可根据分式的基本性质，将12x 2 y的分子、分母同乘以3y ，将分母转化为平方的形式，然后再进行开方运算，将二次根式化简.解：原式== = .八、被开方数是分式的和（或差）当被开方数是分式的和（或差）的形式时，应先将它通分，然后再化简. 例 8.. 分析：由于被开方数是 1 + 1 ，是两个分式的和的形式，因此需先通分后再化简.a 2b 2解：原式= = = .ab 通过以上各例可以看出，把一个二次根式化简，应根据被开方数的不同形式，采取不同的变形方法.实际上只是做两件事：一是化去被开方数中的分母或小数；二是使被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.32 ⨯ x 2 ⨯( y 2 )2 ⨯ 3xy 4x 4 y 2 (x + 3y ) 5z ⨯ 3y 12x 2 y ⨯ 3y。
(精校版)八年级下册数学二次根式知识点整理(2)
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二次根式1、算术平方根的定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
2、解不等式（组）：尤其注意当不等式两边乘(除以)同一个负数，不等号方向改变.如：—2x＞4，不等式两边同除以—2得x＜—2。
不等式3、分式有意义的条件：分母≠04、绝对值：｜a｜=a （a≥0）;｜a｜= — a （a＜0)一、二次根式的概念一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式,“"称为二次根号.★正确理解二次根式的概念，要把握以下五点：（1）二次根式的概念是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，“”的根指数为2，即“"，我们一般省略根指数2，写作“Error!”。
如可以写作Error!.2，5（2）二次根式中的被开方数既可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子。
a（3）式子表示非负数a的算术平方根,因此a≥0，≥0。
其中a≥0是有意义的前提条件。
（4）在具体问题中，如果已知二次根式，就意味着给出了a≥0这一隐含条件.（5）形如b Error!（a≥0)的式子也是二次根式，b与Error!是相乘的关系。
要注意当b是分数时不能写成带分数,例如可写成Error!,但不能写成2 Error!。
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二次根式计算1．已知 x=，y=，求值：2x2﹣3xy+2y2．2．（2011?南漳县模拟）已知a﹦（+），b﹦（﹣），求a2﹣ab+b2的值．3．已知x 2 1，y 2 1，试求x y的值．y x4．如图所示的Rt △ ABC中，∠ B=90°，点 P 从点 B 开始沿 BA边以 1 厘米 /? 秒的速度向点A 移动；同时，点 Q也从点 B 开始沿 BC边以 2 厘米 / 秒的速度向点 C 移动．问：几秒后△ PBQ的面积为 35 平方厘米？ PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）CQA P B5．（ 1）已知 x＝2－ 1，求 x2＋ 3x－ 1 的值；（ 2）已知a2 3， b 3 2 ，求 (a b)2 (a b)(2a b) 3a2值.6．若 x，y 为实数，且 y＝＋＋．求－的值．7．已知 a=2+ 3 ，b=2－ 3 ，试求a b的值．b a8．已知x 1 3 ，求代数式 ( x 1) 2 4( x 1) 4 的值．9．求值：（ 1）已知 a＝1， b＝1，求 b － b 的值．2 4 a b a b（ 2）已知 x＝1 25 的值．，求 x － x＋5 210．如果，求( xy)z的值．11．化简求值：1bab ，其中 a 3,b 2 ．a12．先化简再求值：13．（ 1）解方程： 16（x+1） 2 － 1＝0（ 2） - （x-3 ） 3=27（ 3）先化简，再求值： (x x 2 4 x 4 ) x ，其中 x2 ．x 2 x 2 4 x2（ 4）实数 a 、 b 在数轴上的位置如图所示，请化简：aa 2 b 2 ．14 ．计算：（ 1）（5 5-1）+3 64811 9( 1)2015516（ ）已知：10 2 x y ，其中 x 是整数，且 0 ＜ y ＜ ，求x y 的相反数．2115 ．已知 x=5 1 ， y=5 1，求下列代数式的值22 （1） x 2y+xy 2 （2） x 2-xy+y 216 ．化简：（ 1） 2( 82) （ 2）1227 (3 1)0317．（本题 10 分）根据题目条件 , 求代数式的值：（1）已知 115x xy5y的值．3 ，求xyyxyx（2）若 x ＝ 11 27， y ＝ 112 7 ，求代数式 x 2－ xy ＋y 2 的值．18 ．（本小题 6 分）（ 1）计算： (3)216( 2) 2（2）当ａ＜ 1 时，化简： a 2 4a 4a22a19 ．（ 10 分）计算（1） （5 分）计算 : 6 3( 1 ) 1+ 243（2） （5 分）先化简，再求值：2a3b75 ， b=－ 1( 5a 2b 10ab 2)2a 3b 2，其中 a=2220 ．化简计算：（本题满分题 6 分）221 ．（ 8 分）已知 x 3 1, y3 1，求下列各式的值．（1）x 2 y2（2）x2xy y 222．在实数范围内分解因式：（1） x4－ 9；（2） 4x2－ 32；（ 3）x2 2 3x 3；（4） 3a2－2b2．23 ．（ 6 分）先化简，再求值：9 a 2 3 a 1，其中 a 5 2 .2 4a 4 a 2 aa 324 ．已知 0＜ x＜ 1，化简：(x 1 )2 4 - ( x 1 )2 4 .x x25 ．已知 x= 1（ 5 + 3 ）,y= 1 （ 5 - 3 ）,求x2-xy+y2和x+y的值.2 2 y x26 ．如图， ABCD是平行四边形， P 是 CD 上一点，且 AP 和 BP 分别平分∠ DAB 和∠ CBA．（1）求∠ APB 的度数；（2）如果 AD=5cm， AP=8cm，求△APB 的周长．参考答案1． 385【解析】试题分析：先化简 x ， y 的值，成最简形式，再变换2x 2﹣ 3xy+2y 2 使它符合完全平方公式，这样计算简单．解：∵ x==7+4 ， y= =7﹣ 4 ，∴ x ﹣ y=8 ， xy=1，∴原式 =2（x ﹣ y ） 2+xy=385．考点：二次根式的化简求值；代数式求值． 2． 3.5 【解析】试题分析：本题需先把 a 2﹣ ab+b 2 进行整理，化成（ a ﹣ b ） 2+ab 的形式，再把得数代入即可求出结果．22解： a ﹣ ab+b ，∵ a ﹦ （+ ）， b ﹦ （ ﹣），∴ a 2﹣ ab+b 2，=[﹣ （ ﹣ ）] 2+[ × （ ﹣） ] ，=3+ ， =3.5考点：二次根式的化简求值．3． 4 2 【解析】试题分析：首先将所求的分式进行化简，然后将 x 和 y 的值代入化简后的式子进行计算．试题解析：根据题意可得： x+y=22 ， x －y=2， xy=1∴原式 = x2- y 2 = (x + y)( x - y) = 22? 2 =4 2 xyxy1考点：分式化简求值． 4． 35 秒； 5 7 厘米．【解析】试题分析： 首先设 x 秒后面积为 35，然后得出 BP=x ，BQ=2x ，根据题意列出方程求出 x 的值， 然后根据 Rt △ BPQ 的勾股定理得出距离．试题解析：设 x 后△ PBQ 的面积为 35 平方厘米．则有 PB=x ， BQ=2x 依题意，得： 1x · 2x=35 x 2 =35解得： x=352∴35 秒后△PBQ的面积为35平方厘米．PQ= PB 2 BQ2 x2 4x2 5x2 5 35 =57答：35 秒后△ PBQ的面积为 35 平方厘米， PQ的距离为 5 7 厘米．考点：（ 1）勾股定理；（ 2）二次根式．5．（ 1）、 2 －1；（2）、1.【解析】试题分析：（ 1）将 x 的值代入代数式进行计算；（ 2）首先将多项式进行化简计算，然后将 a、b 的值代入化简后的式子进行计算 .试题解析：（ 1）当 x＝ 2 －1时，x2＋3x－1＝（ 2 －1）2＋3（ 2 －1）－1＝ 2－ 2 2＋ 1＋ 3 2 －3－1＝ 2 －1.（2）原式 = a2 +2ab+b2 +2 a2－ ab－b2－3 a2 =ab当 a=－ 2－3， b= 3－ 2 ∴原式 =ab=（－ 2－ 3 ）（ 3 －2）=4－3=1.考点：代数式的化简求值 .6．．【解析】试题分析：先利用二次根式意义求出x 值，进而求出y 值，代入后面的式子中计算结果即可．试题解析：由二次根式意义可得：1-4x ≥ 0，4x-1 ≥ 0，综合可得： x=，所以y=0+0+=，所以，，所求式子=-=-=-= ．考点： 1．二次根式有意义的条件；2．二次根式的化简求值．7． 8 3【解析】试题分析：首先根据题意求出 a+b、 a－ b 和 ab 的值，然后将所求的分式进行通分和因式分解，然后利用整体代入的思想进行求解，得出答案．试题解析：∵ a+b=2+ 3 +2－ 3 =4，a－b=2+ 3 －（2－ 3 ）=2 3 ，ab=（2+ 3 ）（2－3） =1∴ ab = a2 b2 (a b)( a b) 4 2 3 8 3 b a ab ab 1考点：（ 1）分式的化简；（2）二次根式的加数8． 3【解析】试题分析：首先根据题意得出 x 的值，然后将代数式进行化简，将 x 的值代入化简后的式子进行计算．试题解析：由 x 1 3 得 x3 1化简原式 = x2 2x 1 4x 4 4 = x2 2x 1 = ( 3 1) 2 2( 3 1) 1 = 3 2 3 1 2 3 21=3考点：代数式化简求值9．（ 1） 2；（ 2） 7+4 5【解析】试题分析：（ 1）首先根据二次根式的计算法则将所求的二次根式进行化简，然后将 a 和 b 的值代入化简后的式子进行计算；（2）首先根据二次根式的化简法则将x 进行化简，然后将x的值代入所求的代数式进行计算．试题解析：（ 1）原式 = b ( ab ) b ( a b ) = ab bbab b = 2b ．( a b)( a b) a a b 1当 a＝1， b＝1 2 4＝ 2．时，原式＝2 4 1 12 4（ 2）∵ x=- 1 = 5 2= 5 2．5 2 5 4∴ =x 2－ x＋5 =（5＋ 2）2－（5＋ 2）＋5 =5＋ 4 5 ＋4－ 5 －2＋ 5 =7＋4 5 ．考点：化简求值10．136【解析】试题分析：把原方程可化为，利用非负数的性质得出x、y、 z 的值，然后代入计算即可．试题解析：原方程可化为，∴，∴ (xy) z ( 6) 21 ．36考点： 1．完全平方公式 2．非负数的性质 3．幂的运算． 11． 2 2 3 ．【解析】试题分析：先进行二次根式的化简，然后再把 a 、 b 的值代入即可．试题解析：原式 =1 bab1 abb abab ab 2b b a.aaa把 a=3， b=2 代入上式得：原式 = 2 2 3 ．考点：二次根式的化简求值． 12． ab ， 1． 【解析】试题分析： 先按照整式混合运算的法则把原式进行化简， 再把 a 、b 的值代入进行计算即可．试题解析：原式 = a 2 2ab b 2 2a 2 ab b 2 3a 2 = ab ；当 a 23 ， b 3 2时，原式 =(23)( 3 2) = 1 ．考点：整式的混合运算—化简求值．13．（ 1） x53（ 3） 2（ 4） -b或（2） x=044【解析】试题分析：（ 1）根据平方根解方程即可；（ 2）根据立方根解方程即可；（ 3）根据分式的通分约分进行计算，化简即可，然后代入求值；（ 4）根据二次根式的性质和数轴的特点，化简即可．试题解析：解： （ 1）16（ x+1） 2 － 1＝ 0 x+1= ±1，453 解得 x或44（ 2） - （ x-3 ） 3=27 x-3=-3 x=0（ 3） (x x 2 4 x 4 ) xx 2 x 2 4 x 2=x( x 2)2x 2 2 ( x 2)( x 2)xx=xx 2x 2=2x 2x 2x=2x当 x= 2 时，原式 = 2 ．（ 4）根据数轴可知a＜ 0＜ b，因此可知aa 2 b 2 =-a- （ -a ） -b=-b ．考点：平方根，立方根，分式的混合运算，数轴与二次根式的性质14．（ 1）333；（ 2） 2 12 4【解析】试题分析：（ 1）将所给各式的值代入或化简，然后计算即可．（ 2）先确定出x、y 的值，然后代入计算即可．试题解析：（ 1）（5 5- 1）+3 6481 1 9 ( 1)2015 5 165 1 4 81 5 143334（ 2）因为10 2 x y ，且 x 是整数，所以x=11，所以 y=102 11 2 1 ，所以x-y=11- （ 2 1 ）=12 2 ．所以 x y 的相反数为 y x = 2 12考点：实数的计算．15．（ 1） 5 ；（2）2．【解析】试题分析：先求得x+y= 5 ，xy=1．（1）把所求的代数式转化为 xy （ x+y），然后将其代入求值即可；（2）把所求的代数式转化为（ x+y ）2-3xy ，然后将其代入求值即可．试题解析：（ 1） x2y+xy 2=xy （ x+y） = 5 ；（ 2） x2-xy+y 2=（ x+y ）2-3xy= ( 5)2 3 1 5 3 2 ．考点：二次根式的化简求值．16．（ 1） 2；（ 2） 4.【解析】试题分析：（ 1）先把8 化简，然后把括号内合并后进行二次根式的乘法运算；（ 2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后根据二次根式的除法法则和零指数幂的意义进行计算 .试题解析：（ 1）原式 = 2(2 22)=2 2=2；2 33 3（ 2）原式 =1=5-1 =4.考点： 1. 二次根式的混合运算； 2. 零指数幂 . 17．（ 1） 3． 5；（ 2）8． 【解析】试题分析：（ 1）由11 3 得 x-y= -3xy ，整体代入求值；xy（ 2）由 x 和 y 的值求得 x+y= 11 ， xy=1，整体代入 x 2－ xy ＋y 2= x y23xy 求值．试题解析：解： （ 1） 由11 3 得 x-y= -3xy ，xy所以 5x xy 5y =5 x y xy5 3xy xy 14 xy=3．5；x xy yx y xy 3xy xy4xy（ 2）由题意得， x+y= 11 ， xy=1，所以 x 2－ xy ＋ y 2= x y 23xy =11 2-3 × 1=8．考点：求代数式的值；整体思想． 18．（ 1） 1；（ 2）1．a【解析】试题分析：（ 1）先将各个二次根式化简计算， 然后相加减即可；（ 2）根据ａ＜ 1 可得 a-2 ＜0， 然后利用二次根式的性质化简计算即可．试题解析：（ 1）解：原式 =3-4+2 =-1+2=1（ 2）a 2 4a 4 (a 2)2 2 a1a 2 2aa(a 2)a(a 2)a考点：二次根式的计算与化简．19． 6 ；－18【解析】试题分析：首先根据绝对值、二次根式、负指数次幂的计算法则将各式进行计算，然后再进 行实数的加减法计算； 首先将括号里面的分式进行化简，然后将除法改成乘法进行约分计算，最后将 a 和 b 的值代入化简后的式子进行计算．试题解析：（ 1）原式 =3－ 6 －3+2 6 = 6（ 2）原式 = ( 2 3 ) 2a3b2 = 2 2a3 b2 3 2a3b2 = 4a2 b 3a2b = a2b 5ab 10ab 7 5ab 7 10ab 7 35 355当 a= 5， b=－1时，原式 =－1 2 2 8考点：实数的计算、分式的化简求值．20．（ 1）－ 2 5 ；（2） 3 －1．【解析】试题分析：根据实数的计算法则进行计算就可以得到答案．试题解析：（ 1）原式 =2 5 －4 5 =－2 5（ 2）原式 =－ 2+3+ 3 －2= 3 －1考点：实数的计算．21．（ 1）43 ；（2）10．【解析】试题分析：（ 1）先代入分别求出 x+y ，x﹣ y 的值，根据平方差公式分解因式，代入求出即可；（ 2）先代入分别求出 x+y ，xy 的值，根据完全平方公式代入求出即可；试题解析：∵ x 3 1， y 3 1，∴ x y 2 3 ， xy 2 ， x y 2 ，（ 1）x2 y2 ( x y)( x y) 2 3 2 4 3 ；（ 2）x2 xy y2 (x y)2 xy (2 3) 2 2 10 ．考点：二次根式的化简求值．22．解：（1 ）( x2 3)( x 3)( x 3) ；（ 2）4( x 2 2)( x 2 2) ；（3）( x3) 2（ 4）( 3a 2b)( 3a 2b) ．【解析】解：（ 1） x4－9＝（ x2＋ 3）（x2－3）＝ (x2 3)( x 3)( x 3) ；（ 2）4x2 32 4( x2 8) 4( x8)( x 8)＝ 4( x 2 2)( x 2 2) ；（ 3）x2 2 3x 3 x2 2 3x ( 3) 2 ( x 3) 2（ 4）3a2 2b2 ( 3a 2b)( 3a2b) ．23． 1 ， 5 ．a 2 5【解析】试题分析：先分解因式，再把除法运算转化为乘法运算，约去分子分母中的公因式，化为最简形式，再把 a 的值代入求解．试题解析：原式 = (3 a)(3a) a 2 1 = 1 ，(a 2)2 3 a a 3 a 2当 a 5 2 时，原式= 12 1 5 ．5 2 5 5考点：分式的化简求值．24． 2x.【解析】( x 1)2 4 - ( x 1 )2 4 = x2 1 2 - x 2 1 2 = ( x 1)2 - x x x 2 x2 x( x 1 )2 ,x因为 0＜ x＜ 1，所以原式 =x+1 1 1 1+x=2x.-( -x)=x+x-x x x2 2 7 x y25． x -xy+y = , + =8.2 y x【解析】由已知有x+y= 5 ,xy= 1 ( 5 2- 3 2)= 1 .4 2∴ x2-xy+y 2=（x+y ）2-3xy=( 5 )2-3×1= 7; x +y= ( x y) 2 2xy =8.2 2 y x xy26．（ 1）∠ APB=90°；（ 2）△ APB的周长是6+8+10=24（ cm）．【解析】试题分析：（ 1）根据平行四边形性质得出AD∥ CB，AB∥ CD，推出∠ DAB+∠ CBA=180°，求出∠PAB+∠ PBA=90°，在△APB 中求出∠ APB 即可；（2）求出 AD=DP=5，BC=PC=5，求出 DC=10=AB，即可求出答案．解：（ 1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥ CB， AB∥ CD∴∠ DAB+∠ CBA=180°，又∵ AP 和 BP分别平分∠ DAB 和∠ CBA，∴∠ PAB+∠ PBA= （∠ DAB+∠ CBA） =90°，在△APB中，∴∠ APB=180°﹣（∠ PAB+∠PBA） =90°；（2）∵ AP 平分∠ DAB，∴∠ DAP=∠ PAB，∵AB∥ CD，∴∠ PAB=∠ DPA∴∠ DAP=∠ DPA∴△ ADP 是等腰三角形，∴AD=DP=5cm同理： PC=CB=5cm即AB=DC=DP+PC=10cm，在Rt△APB 中， AB=10cm， AP=8cm，∴ BP==6（ cm）∴△ APB 的周长是6+8+10=24（ cm）．考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理．。