高三数学第一轮复习 第7编 2空间几何体的表面积与体积课件 新人教B版
高考数学一轮复习第7章立体几何7.2空间几何体的表面积与体积课件文
A.π2＋1 B.π2＋3 C.32π＋1 D.32π＋3
还原几何体，分清组合体构成部分．
解析 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面 半径为 1，高为 3 的圆锥的一半与一个底面为直角边长是 2 的等腰直角三角形，高为 3 的三棱锥的组合体，
∴该几何体的体积 V＝13×π2×12×3＋13×12× 2× 2×3＝π2＋1. 故选 A.
角度 2 根据几何体的直观图计算体积
典例 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今 有羡除”．刘徽注：“羡除，隧道也．其所穿地，上平下邪．” 现有一个羡除如图所示，四边形 ABCD、ABFE、CDEF 均 为等腰梯形，AB∥CD∥EF，AB＝6，CD＝8，EF＝10, EF 到平面 ABCD 的距离为 3，CD 与 AB 间的距离为 10，则这 个羡除的体积是( )
A．18＋36 5 C．90
B．54＋18 5 D．81
解析 由三视图可知，该几何体的底面是边长为 3 的 正方形，高为 6，侧棱长为 3 5的平行六面体，则该几何体 的表面积 S＝2×32＋2×3×3 5＋2×3×6＝54＋18 5.故 选 B.
题型 2 空间几何体的体积 角度 1 根据几何体的三视图计算体积 典例 (2017·浙江高考)某几何体的三视图如图所示 (单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )
解析 由几何体的三视图可得该几何体的直观图如图 所示．该几何体由两个完全相同的长方体组合而成，其中 AB＝BC＝2 cm，BD＝4 cm，所以该几何体的体积 V＝ 2×2×4×2＝32 cm3，表面积 S＝(2×2×3＋2×4×3)×2 ＝36×2＝72 cm2.
经典题型冲关
题型 1 空间几何体的侧面积与表面积 典例 (2016·全国卷Ⅱ)下图是由圆柱与圆锥组合而 成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
高三数学一轮总复习第七章立体几何7.2空间几何体的表面积和体积课件
课前学案 基础诊断
课堂学案 考点通关
高考模拟 备考套餐
1
考 纲 了解球体、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式(不要求 导 学 记忆公式)。
2
课前学案 基础诊断
夯基固本 基础自测
3
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
□ □ □ S圆柱侧＝ 1 _2_π_r_l__ S圆锥侧＝ 2 _π_r_l _ S圆台侧＝ 3 _π_(r_＋__r_′__)l
3 17 A. 2
B．2 10
13 C. 2
D．3 10
(2)若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则SS12＝__________。
解析：(1)如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M。又AM＝
1 2
BC
＝52，OM＝12AA1＝6，所以球O的半径R＝OA＝
522＋62＝123。
1 2
＋4×2×2＝8π＋
16，故选A。
答案：(1)A (2)A
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►名师点拨 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1)求简单几何体的体积。若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用 公式求解。 (2)求组合体的体积。若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则 常用转换法、分割法、补形法等进行求解。 (3)求以三视图为背景的几何体的体积。应先根据三视图得到几何体的点拨 以三视图为载体的几何体的表面积问题的求法 (1)恰当分析给出的三视图。 (2)找准几何体中各元素间的位置关系及数量关系。 (3)注意组合体的表面积问题中重合部分的处理。
17
通关特训1 一个空间几何体的三视图及其相关数据如图所示，则这个空间几 何体的表面积是( )
高考数学一轮复习 第七章 第2讲 空间几何体的表面积与体积 文
第2讲 空间几何体的表面积与体积
精选课件
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面 展开 图
侧面 积公 式
S圆柱侧＝
S圆锥侧＝Байду номын сангаас
___2_π_rl_____ ___π_r_l_____
S圆台侧＝ __π_(_r＋__r_′)_l__
精选课件
2．空间几何体的表面积与体积公式
名称 几何体
表面积
体积
柱体 (棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
锥体 (棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
台体 (棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S
下
球
S＝_4_π_R__2 _____
V＝__S_h__ V＝__13_S_h__ V＝13(S 上＋S 下＋ S上S下)h V＝___43_π_R__3 ___
A．90 cm2 C．132 cm2
B．129 cm2 D．138 cm2
精选课件
(2)(2015·长春市调研)某几何体的三视图如图所示，则它的 表面积为( A )
A．2＋1＋2 5π C．2＋(1＋ 5)π
精选课件
B．2＋1＋22 5π D．2＋2＋2 5π
[解析] (1)该几何体如图所示，长方体的长、宽、高分别 为 6 cm，4 cm，3 cm，直三棱柱的底面是直角三角形，边 长分别为 3 cm，4 cm，5 cm，所以表面积 S＝[2×(4×6＋
A．6
B．3 3
C．2 3
D．3
解析：由三视图可知，该几何体是一个直三棱柱，其底面
为侧视图，该侧视图是底边为 2，高为 3的三角形，正视
高考一轮复习第7章立体几何第2讲空间几何体的表面积与体积
第二讲 空间几何体的表面积与体积知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 柱、锥、台和球的侧面积和体积侧面积 体积圆柱 S 侧＝2πrh V ＝_S 底·h__＝πr 2h圆锥 S 侧＝_πrl __ V ＝13S 底·h＝13πr 2h ＝13πr 2l 2－r 2 圆台 S 侧＝π(r 1＋r 2)l V ＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)·h＝13π(r 21＋r 22＋r 1r 2)h 直棱柱 S 侧＝_ch__ V ＝_S 底h__ 正棱锥 S 侧＝12ch′V ＝13S 底h 正棱台 S 侧＝12(c ＋c′)h′V ＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)h 球S 球面＝_4πR 2V ＝43πR 3 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是_各面面积之和__.(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是_矩形__、_扇形__、_扇环形__；它们的表面积等于_侧面积__与底面面积之和．重要结论1．长方体的外接球：球心：体对角线的交点；半径：r ＝_a 2＋b 2＋c22__(a ，b ，c 为长方体的长、宽、高)．2．正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球： (1)外接球：球心是正方体中心；半径r ＝_32a__(a 为正方体的棱长)； (2)内切球：球心是正方体中心；半径r ＝_a2__(a 为正方体的棱长)；(3)与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径r ＝_22a__(a 为正方体的棱长)． 3．正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)：(1)外接球：球心是正四面体的中心；半径r ＝_64a__(a 为正四面体的棱长)； (2)内切球：球心是正四面体的中心；半径r ＝_612a__(a 为正四面体的棱长)． 双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( √ ) (2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( √ ) (3)锥体的体积等于底面积与高之积．( × )(4)已知球O 的半径为R ，其内接正方体的棱长为a ，则R ＝32a.( √ ) (5)圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.( × ) 题组二 走进教材2．(必修2P 27T1)已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( B ) A ．1 cm B ．2 cm C ．3 cmD ．32cm [解析] 由条件得：⎩⎪⎨⎪⎧πrl＋πr 2＝12π2πrl ＝π，∴3r 2＝12，∴r ＝2.题组三 走向高考3．(2020·天津卷)若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( C ) A ．12π B ．24π C ．36πD ．144π[解析] 这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线长的一半， 即R ＝232＋232＋2322＝3，所以，这个球的表面积为S ＝4πR 2＝4π×32＝36π.故选：C ．4．(2018·课标全国Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( B )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π[解析] 设圆柱底面半径为r ，则4r 2＝8，即r 2＝2.∴S 圆柱表面积＝2πr 2＋4πr 2＝12π.5．(2020·浙江卷)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( A )A ．73 B ．143C ．3D ．6[解析] 由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱，且三棱锥的一个侧面垂直于底面．棱锥的高为1，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以几何体的体积为：13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1×1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1×2＝13＋2＝73.故选：A ．考点突破·互动探究考点一 几何体的表面积——自主练透例1 (1)(2021·北京模拟)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( C )A ．2＋ 5B ．4＋ 5C ．2＋2 5D ．5(2)(2021·安徽江南十校联考)已知某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为( B )A ．78－9π2B ．78－9π4C ．78－πD ．45－9π2(3)(多选题)(2021·山东潍坊期末)等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为( AB )A ．2πB ．(1＋2)πC ．22πD ．(2＋2)π[解析] (1)由三视图知，该几何体是底面为等腰三角形，其中一条侧棱与底面垂直的三棱锥(SA ⊥平面ABC)，如图所示，由三视图中的数据可计算得S △ABC ＝12×2×2＝2，S △SAC ＝12×5×1＝52，S △SAB ＝12×5×1＝52，S △SBC ＝12×2×5＝5，所以S 表面积＝2＋2 5.故选C ．(2)由三视图可知该几何体是一个长方体中挖去一个18球，如图所示．∴S ＝3×3×2＋3×5×4－27π4＋9π2＝78－94π.故选B ．(3)若绕直角边旋转一周形成的几何体是圆锥，其表面积为π＋2π；若绕斜边旋转一周形成的几何体是两同底圆锥构成的组合体，其表面积为2π，故选A 、B ．名师点拨空间几何体表面积的求法(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积．〔变式训练1〕(2020·河南开封二模)已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据，可得出这个几何体的表面积是( C )A ．6B ．8＋4 6C ．4＋2 6D ．4＋ 6[解析] 由三视图得几何体如图所示，该几何体是一个三棱锥，底面是一个底和高均为2的等腰三角形，一个侧面是一个底和高均为2的等腰三角形，另外两个侧面是腰长为AC ＝AB ＝22＋12＝5， 底边AD 长为22的等腰三角形， 其高为52－22＝3，故其表面积为S ＝2×12×22＋2×12×22×3＝4＋2 6.故选C ．考点二 几何体的体积——师生共研例2 (1)(2021·浙江金色联盟百校联考)一个空间几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积为( )cm 3.( A )A ．π6＋13B ．π3＋16C ．π6＋16D ．π3＋13(2)(2021·云南师大附中月考)如图，某几何体的三视图均为边长为2的正方形，则该几何体的体积是( D )A ．56 B ．83 C ．1D ．163(3)(2021·湖北武汉部分学校质检)某圆锥母线长为4，其侧面展开图为半圆面，则该圆锥体积为_83π3__.(4)(2020·江苏省南通市通州区)如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是侧棱CC 1上一点，且C 1P ＝2PC ．设三棱锥P － D 1DB 的体积为V 1，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为V ，则V 1V 的值为_16__.[解析] (1)由三视图可知该几何体是由底面半径为1 cm ，高为1 cm 的半个圆锥和三棱锥S －ABC 组成的，如图，三棱锥的高为SO ＝1 cm ，底面△ABC 中，AB ＝2 cm ，AC ＝1 cm ，AB ⊥AC ．故其体积V ＝13×12×π×12×1＋13×12×2×1×1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋13cm 3.故选A ．(2)由题意三视图对应的几何体如图所示，所以几何体的体积为正方体的体积减去2个三棱锥的体积，即V ＝23－2×13×12×2×2×2＝163，故选D ．(3)该圆锥母线为4，底面半径为2，高为23， V ＝13×π×22×23＝83π3. (4)设正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长AB ＝BC ＝a ，高AA 1＝b ， 则VABCD －A 1B 1C 1D 1＝S 四边形ABCD ×AA 1＝a 2b ，VP －D 1DB ＝VB －D 1DP ＝13S △D 1DP·BC＝13×12ab·a＝16a 2b ，∴VP －D 1DB VABCD －A 1B 1C 1D 1＝16，即V 1V ＝16.[引申]若将本例(2)中的俯视图改为，则该几何体的体积为_83__，表面积为_83__.[解析] 几何体为如图所示的正三棱锥(棱长都为22)． ∴V ＝8－4×43＝83，S ＝4×34×(22)2＝8 3.名师点拨求体积的常用方法直接法对于规则的几何体，利用相关公式直接计算割补法首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算等体 积法选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换注：若以三视图的形式给出的几何体问题，应先得到直观图，再求解． 〔变式训练2〕(1)(2020·海南)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点，则三棱锥A －NMD 1的体积为_13__.(2)(2021·开封模拟)如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 的中点，则三棱锥A －B 1DC 1的体积为( C )A ．3B ．32 C ．1D ．32(3)(2017·浙江)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( A )A ．16 B ．13 C ．12D ．1(4)(2021·浙北四校模拟)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( B )A ．8B ．8πC ．16D ．16π[解析] (1)如图，∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点，∴S △ANM ＝12×1×1＝12，∴VA －NMD 1＝VD 1－AMN ＝13×12×2＝13，故答案为：13.(2)如题图，在正△ABC 中，D 为BC 的中点，则有AD ＝32AB ＝3，又因为平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，AD ⊥BC ，AD ⊂平面ABC ，由面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面BB 1C 1C ，即AD 为三棱锥A －B 1DC 1的底面B 1DC 1上的高，所以V 三棱锥A －B 1DC 1＝13·S△B 1DC 1·AD＝13×12×2×3×3＝1，故选C ．(3)由三视图可画出三棱锥的直观图如图所示．其底面是等腰直角三角形ACB ，直角边长为1，三棱锥的高为1，故体积V ＝13×12×1×1×1＝16.故选A ．(4)由三视图的图形可知，几何体是等边圆柱斜切一半，所求几何体的体积为：12×22π×4＝8π.故选B ．考点三 球与几何体的切、接问题——多维探究角度1 几何体的外接球例3 (1)(2021·河南中原名校质量测评)已知正三棱锥P －ABC 的底面边长为3，若外接球的表面积为16π，则PA ＝_23或2__.(2)(2020·新课标Ⅰ)已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，⊙O 1为△ABC 的外接圆．若⊙O 1的面积为4π，AB ＝BC ＝AC ＝OO 1，则球O 的表面积为( A )A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π(3)(2019·全国)已知三棱锥P －ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E 、F 分别是PA ，PB 的中点，∠CEF ＝90°，则球O 的体积为( D )A ．86πB ．46πC ．26πD ．6π[解析] (1)由外接球的表面积为16π，可得其半径为2，设△ABC 的中心为O 1，则外接球的球心一定在PO 1上，由正三棱锥P －ABC 的底面边长为3，得AO 1＝3，在Rt △AOO 1中，由勾股定理可得(PO 1－2)2＋(3)2＝22，解得PO 1＝3或PO 1＝1，又PA 2＝PO 21＋AO 21，故PA ＝9＋3＝23或PA ＝1＋3＝2，故答案为：23或2.(2)由题意可知图形如图：⊙O 1的面积为4π， 可得O 1A ＝2， 则ABsin60°＝2O 1A ＝4，∴AB ＝4sin60°＝23，∴AB＝BC＝AC＝OO1＝23，外接球的半径为：R＝AO21＋OO21＝4，球O的表面积为：4×π×42＝64π，故选A．(3)∵PA＝PB＝PC，△ABC为边长为2的等边三角形，∴P－ABC为正三棱锥，∴PB⊥AC，又E，F分别为PA、AB中点，∴EF∥PB，∴EF⊥AC，又EF⊥CE，CE∩AC＝C，∴EF⊥平面PAC，∴PB⊥平面PAC，∴∠APB＝90°，∴PA＝PB＝PC＝2，∴P－ABC为正方体一部分，2R＝2＋2＋2＝6，即R＝62，∴V＝43πR3＝43π×668＝6π.名师点拨几何体外接球问题的处理(1)解题关键是确定球心和半径，其解题思维流程是：(R—球半径，r—截面圆的半径，h—球心到截面圆心的距离)．注：若截面为非特殊三角形可用正弦定理求其外接圆半径r.(2)三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球．注意：不共面的四点确定一个球面．角度2 几何体的内切球例4 (1)(2020·新课标Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_23π__. (2)(2021·安徽蚌埠质检)如图，E ，F 分别是正方形ABCD 的边AB ，AD 的中点，把△AEF ，△CBE ，△CFD 折起构成一个三棱锥P －CEF(A ，B ，D 重合于P 点)，则三棱锥P －CEF 的外接球与内切球的半径之比是_26__.[解析] (1)因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球， 如图，圆锥母线BS ＝3，底面半径BC ＝1， 则其高SC ＝BS 2－BC 2＝22， 不妨设该内切球与母线BS 切于点D ， 令OD ＝OC ＝r ，由△SOD ∽△SBC ，则OD OS ＝BCBS ，即r22－r ＝13，解得r ＝22，V ＝43πr 3＝23π，故答案为：23π.(2)不妨设正方形的边长为2a ，由题意知三棱锥P －CEF 中PC 、PF 、PE 两两垂直，∴其外接球半径R ＝PC 2＋PF 2＋PE 22＝62a ，下面求内切球的半径r ，解法一(直接法)：由几何体的对称性知，内切球的球心在平面PCH(H 为EF 的中点)内，M 、N 、R 、S 为球与各面的切点，又22＝tan ∠CHP ＝tan2∠OHN ， ∴tan ∠OHN ＝22＝rNH，∴NH ＝2r ， 又PN ＝2r ，∴22r ＝PH ＝22a ，∴r ＝a 4. 解法二(体积法)：V C －PEF ＝13r·(S △PEF ＋S △PCE ＋S △PCF ＋S △CEF )，∴a 3＝r·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋a 2＋a 2＋2a 2×32a 2，∴r ＝a 4，故R r ＝6a 2·4a＝2 6.名师点拨几何体内切球问题的处理(1)解题时常用以下结论确定球心和半径：①球心在过切点且与切面垂直的直线上；②球心到各面距离相等．(2)利用体积法求多面体内切球半径． 〔变式训练3〕(1)(角度1)(2020·南宁摸底)三棱锥P －ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA ＝ PB ＝ PC ＝3，PA ⊥PB ，三棱锥P －ABC 的外接球的体积为( B )A ．27π2B ．273π2C ．273πD ．27π(2)(角度1)(2021·山西运城调研)在四面体ABCD 中，AB ＝AC ＝23，BC ＝6，AD ⊥平面ABC ，四面体ABCD 的体积为 3.若四面体ABCD 的顶点均在球O 的表面上，则球O 的表面积是( B )A ．49π4B ．49πC ．49π2D ．4π(3)(角度2)棱长为a 的正四面体的体积与其内切球体积之比为_63π__.[解析] (1)因为三棱锥P －ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA ＝PB ＝PC ＝3，所以△PAB ≌△PBC ≌△PAC ．因为PA ⊥PB ，所以PA ⊥PC ，PC ⊥PB ．以PA ，PB ，PC 为过同一顶点的三条棱作正方体(如图所示)，则正方体的外接球同时也是三棱锥P －ABC 的外接球．因为正方体的体对角线长为32＋32＋32＝33，所以其外接球半径R ＝332.因此三棱锥P －ABC 的外接球的体积V ＝4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫3323＝273π2.故选B ．(2)如图，H 为BC 的中点，由题意易知AH ＝3，设△ABC 外接圆圆心为O 1，则|O 1C|2＝32＋(3－|O 1C|)2，∴|O 1C|＝23，又12×6×3×|AD|3＝3，∴|AD|＝1，则|OA|2＝|O 1C|2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝494，∴S 球O ＝4πR 2＝49π，故选B ．(3)如图，将正四面体纳入正方体中，显然正四面体内切球的球心O(也是外接球的球心)、△BCD 的中心O 1都在正方体的对角线上，设正四面体的棱长为a ，则|AO|＝64a ，又|O 1A|＝a 2－⎝⎛⎭⎪⎫33a 2＝63a ，∴内切球半径|OO 1|＝612a ，∴V 正四面体V 内切球＝13×34a 2×63a4π3⎝ ⎛⎭⎪⎫612a 3＝63π.名师讲坛·素养提升 最值问题、开放性问题例5 (1)(最值问题)(2018·课标全国Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D －ABC 体积的最大值为( B )A ．12 3B ．18 3C ．24 3D ．54 3(2)(2021·四川凉山州模拟)已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积V ＝12，AB ＝2，若四面体A －B 1CD 1的外接球的表面积为S ，则S 的最小值为( C )A ．8πB ．9πC ．16πD ．32π[解析] (1)设等边△ABC 的边长为a ，则有S △ABC ＝12a·a·sin 60°＝93，解得a ＝6.设△ABC 外接圆的半径为r ，则2r ＝6sin 60°，解得r ＝23，则球心到平面ABC 的距离为42－232＝2，所以点D 到平面ABC 的最大距离为2＋4＝6，所以三棱锥D －ABC 体积的最大值为13×93×6＝183，故选B ．(2)设BC ＝x ，BB 1＝y ，由于V ＝12，所以xy ＝6.根据长方体的对称性可知四面体A －B 1CD 1的外接球即为长方体的外接球， 所以r ＝4＋x 2＋y22，所以S ＝4πr 2＝π(4＋x 2＋y 2)≥π(4＋2xy)＝16π， (当且仅当x ＝y ＝6，等号成立)． 故选C ．名师点拨立体几何中最值问题的解法(1)观察图形特征，确定取得最值的条件，计算最值．(2)设出未知量建立函数关系，利用基本不等式或导数计算最值．例6 (开放性问题)若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值为_116⎝ ⎛⎭⎪⎫或1412等__(只需写一个可能值)． [解析] 如图，若AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝AD ＝2，BC ＝1，取AD 的中点H ，则CH ＝BH ＝3，且AH ⊥平面BCH ，又S △BCH ＝114，∴V A －BCD ＝13S △BCH ×2＝116. 如图，若AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝2，AD ＝BC ＝1，同理可求得V A －BCD ＝1412.〔变式训练4〕(2021·河南阶段测试)四面体ABCD 中，AC ⊥AD ，AB ＝2AC ＝4，BC ＝25，AD ＝22，当四面体的体积最大时，其外接球的表面积是_28π__.[解析] 由已知可得BC 2＝AC 2＋AB 2，所以AC ⊥AB ，又因为AC ⊥AD ，所以AC ⊥平面ABD ，四面体ABCD 的体积V ＝13AC·12AB·ADsin∠BAD ，当∠BAD ＝90°时V 最大，把四面体ABCD 补全为长方体，则它的外接球的直径2R 即长方体的体对角线，(2R)2＝AD 2＋AC 2＋AB 2＝28，所以外接球的表面积为4πR 2＝28π.。
高三数学第一轮复习 空间几何体的表面积与体积课件 新人教B版
学案2 空间几何体的表面 积与体积
名师伴你行
考纲解读 考向预测 填填知学情 课内考点突破 规律探究
考点1 考点2 考点3
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考 纲 解 读 体的表面积与体
积
空间几何
了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积 的计算公式（不要求记忆公式）.
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B.48+24 2
D.36+24 2
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【分析】由三视图还原几何体，根据各面的特征分别 求面积，再求表面积.
【解析】该几何体是一个底面为直角三角形的三棱锥,
如图,SE=5,SD=4,AC=6 2 ,AB=BC=6,
∴S全=S△ABC+2S△SAB+S△ASC 1 1 = ×6×6+2× ×5×6+ 2 2
∴几何体的表面积为232+152-2×6×2=360.
故应选C. 返回目录
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考点2
几何体的体积
［ 2010 年高考天津卷］一个几何体的三视图如图 所示，则这个几何体的体积为 .
【分析】由三视图判断几何体的构成，根据所给 数据求出有关量，并求体积. 返回目录
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【解析】该几何体是上面是底面边长为2的正四棱锥,
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6.柱、锥、台的侧面积公式的内在联系.
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7.柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它 Sh .底面半径是 的 底面积S和高h的乘积 ,即V柱体= r，高是h的圆柱体的体积的计算公式是V圆柱= πr2h .
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8.如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是S，高是 1 Sh h，那么它的体积是V锥体= . 3
高考数学一轮复习 第七章 立体几何 7.2 空间几何体的表面积与体积课件
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知识点一
空间几何体的表面积
1．多面体的表面积 多面体的各个侧面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的 面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．
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2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆台、圆柱、圆锥的转化 当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的 上 底 面 半 径 为 零 时 ， 得 到 圆 锥 ， 由 此 可 得 ： S ＝ 圆 柱 侧
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命题方向 2
等体积法求体积
【例 3】 如图所示，已知三棱柱 ABCA1B1C1 的所有棱长均为 1，且 AA1⊥底面 ABC，则三棱锥 B1-ABC1 的体积为( A )
A．
3 12
C．
6 12
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B．
3 4
D．
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【解析】 易知三棱锥 B1-ABC1 的体积等于三棱锥 A-B1BC1
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【 解 析 】 由 题 易 得 长 方 体 ABCD-A1B1C1D1 的 体 积 为 6×6×4＝144(cm3)，四边形 EFGH 为平行四边形，如图所示，连 接 GE，HF，易知四边形 EFGH 的面积为矩形 BCC1B1 面积的一 半，即12×6×4＝12(cm2)，所以 V 四棱锥 O-EFGH＝13×3×12＝12(cm3)， 所以该模型的体积为 144－12＝132(cm3)，所以制作该模型所需原 料的质量为 132×0.9＝118.8(g)．
平 面 DB1C1 ， 又 AD ＝ 2·sin60°＝
高考数学一轮复习 第7篇 第2节 空间几何体的表面积和体积课件 文 新人教版
2 cm,高为 2 cm 的四棱锥,故 V= 1 ×22×2= 8 cm3,故选 B.
3
3
(2)由三视图知,该几何体是直径为 4,高为 4 的圆柱中间挖
去一个底面边长为 2、高为 4 的四棱柱.
所以其体积为 V=π×22×4-2×2×4 =16π-16.
答案:(1)B (2) 3
第十七页，共35页。
答案:πa2
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4.(2013 东北三校联考)一个几何体的三视图如图所示,则
该几何体的体积为
.
第九页，共35页。
解析:由三视图可知,该几何体是底面是直角梯形的四棱 柱.棱柱的高为 4,底面梯形的上底为 4,下底为 5,
腰 CD= 32 12 = 10 ,
所以梯形的面积为 S= 4 5 3 = 27 ,
则其表面积为
.
解析:由三视图可知,该几何体是一个半径为 1 的半球,
故其表面积为 1 ×4π×12+π×12=3π. 2
答案:3π
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考点二 几何体的体积
【例 2】 (1)(2013 广东惠州二模)已知某几何体的三视图如图,根据图 中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是( )
2
2
所以该几何体的体积为 27 ×4=54. 2
答案:54
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考点突破
剖典例 知规律
考点一 几何体的表面积
【例 1】 (2013 甘肃天水一中模拟)一个几何体的三视图如图所示,则该几 何体的表面积为( )
(A)6+7 3
(B)10+ 3
(C)12+ 3
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(D)12
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9.如果一个台体（棱台、圆台）的上、下底面的面积 1 分别是S′,S，高是h，那么它的体积V台体= h(S+ +S′). SS′
3
如果圆台的上、下底面的半径分别是r′,r，高是h，则 它的体积是V圆台= πh(r′2+r′r+r2).
1 10 2 V=1×1×2+ ×2 ×1= . 3 3
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（1）三棱锥体积的计算与等体积法 对于三棱锥的体积计算时，三棱锥的顶点和底面 是相对的，可以变换顶点和底面，使体积容易计算. （2）求空间几何体的体积除利用公式法外，还常 用分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规 则几何体体积计算问题的常用方法.
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考点3
球的表面积、体积
2
［2010年高考辽宁卷］已知S,A,B,C是球O表面上的 点，SA⊥平面ABC,AB⊥BC,SA=AB=1,BC= ，
则球O的表面积等于
A.4π B.3π C.2π D.π
(
)
【分析】根据条件，确定球O的位置，并求出球半径.
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【解析】如图所示，A,B,C三点在一小圆面上，
本题考查球的几何性质及表面积公式，考查运算求 解能力，考查数形结合、转化与化归思想，难度较大.
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在球心同侧有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积 分别为49π cm2和400π cm2.求球的表面积. 【解析】如图为球的轴截面,
由球的截面性质知,AO1∥BO2,
且O1,O2分别为两截面圆的圆心, 则OO1⊥AO1,OO2⊥BO2,设球
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6.柱、锥、台的侧面积公式的内在联系.
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7.柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它 Sh .底面半径是 的 底面积S和高h的乘积 ,即V柱体= r，高是h的圆柱体的体积的计算公式是V圆柱= πr2h .
8.如果一个锥体（棱锥、圆锥）的底面积是S，高是 1 Sh h，那么它的体积是V锥体= . 3
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［2010年高考陕西卷］若某空间几何
体的三视图如图所示，则该几何体的 体积是 A. (
2 B. 3
1 3
)
C. 1
D.2
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【解析】由三视图可知，该空间几何体是底面为直角 三角形的直三棱柱，三棱柱的底面直角三角形的直角 边长分别为1和 2 ，三棱柱的高为 2，所以该几何体的 1 体积V= ×1× 2 × 2 =1. 2 故应选C.
)
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【解析】由三视图可知该几何是由下面一个长方体，
上面一个长方体组合而成的几何体.
∵下面长方体的表面积为 8×10×2+2×8×2+10×2×2=232，上面长方体的表 面积为8×6×2+2×8×2+2×6×2=152， 又∵长方体表面积重叠一部分，
∴几何体的表面积为232+152-2×6×2=360.
∴R2=x2+202=252,∴R=25.
∴S球=4πR2=2 500π(cm2). ∴球的表面积为2 500π cm2. 返回目录
1.对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、 棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与 平面几何知识来解决，这种题目难度不大. 2.要注意将空间问题转化为平面问题. 3.当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无 法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知 元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧， 化复杂几何体为简单几何体（柱、锥、台），或化离 散为集中，给解题提供便利. 返回目录
故应选C. 返回目录
考点2
几何体的体积
［ 2010 年高考天津卷］一个几何体的三视图如图 所示，则这个几何体的体积为 .
【分析】由三视图判断几何体的构成，根据所给 数据求出有关量，并求体积. 返回目录
【解析】该几何体是上面是底面边长为2的正四棱锥,
下面是底面边长为1,高为2的正四棱柱的组合体,其体积为
1 2
3.设棱台下底面边长为a，周长为c，上底面边长
为a′，周长为c′，斜高为h′，则正n棱台的侧面积公
式:S正棱台侧=
1 n(a+a′)h′= 2 1 (c+c′)h′ 2
.
于
4.棱柱、棱锥、棱台的表面积或全面积等 侧面积与底面积的和 . ，
2 5.半径为R的球的表面积公式:S球= 4πR 大圆面积的四倍 . 即球面面积等于它的
学案2 空间几何体的表面 积与体积
考纲解读 考向预测
填填知学情
课内考点突破 规律探究
考点1 考点2 考点3
考 纲 解 读 体的表面积与体
积
空间几何
了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积 的计算公式（不要求记忆公式）.
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考 向 预 测
简单的组合体的面积与体积的计算，以及平面图形的 折叠问题是常考的内容，尤其是在解答题中，多涉及位 置关系的证明，面积或体积的计算，着重考查学生识图， 用图及空间想象能力，有时也与三视图结合考查.
的半径为R.
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Hale Waihona Puke ∵π·O2B2=49π,∴O2B=7（cm）. ∵π·O1A2=400π,∴O1A=20(cm). 设OO1=x cm,则OO2=(x+9) cm. 在Rt△OO1A中，R2=x2+202. 在Rt△OO2B中，R2=(x+9)2+72, ∴x2+202=72+(x+9)2, 解得x=15,
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【分析】由三视图还原几何体，根据各面的特征分别 求面积，再求表面积.
【解析】该几何体是一个底面为直角三角形的三棱锥,
如图,SE=5,SD=4,AC=6 2 ,AB=BC=6,
∴S全=S△ABC+2S△SAB+S△ASC 1 1 = ×6×6+2× ×5×6+ 2 2
1 ×6 2×4=48+12 2 . 2 故应选A.
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1.设直棱柱高为h，底面多边形的周长为c，则直棱 ch 柱侧面面积计算公式:S直棱柱侧= .即直棱柱 底面周长和高的乘积 . 的侧面积等于它的 2.设正n棱锥的底面边长为a，底面周长为c，斜高 为h′，则正n棱锥的侧面积的计算公式 :S正棱锥侧 1 nah′= 2 ch′ = ,即正棱锥的侧面积等于它 底面的周长和斜高乘积的一半 的 . 返回目录
4.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是 外接.解题时要认真分析图形 ， 明确切点和接点的位 置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面 图 ，如球内切于正方体 ，切点为正方体各个面 的 中 心，正方体的棱长等于球的直 径；球外接于正方体， 正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线等于球 的直径.球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行 解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和 球心，或“切点”“接点”作出截面图.
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（1）多面体的表面积是各个面的面积之和.
圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时 需要将这个曲面展为平面图形，其表面积为侧面积与 底面积之和. （2）组合体的表面积要注意重合部分的处理.
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［2010年高考安徽卷］一个几何体的三视图如图，该
几何体的表面积为(
A.280 C.360 B.292 D.372
1 3
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4 3
10.如果球的半径为R，则它的体积V球= πR3.
11.柱、锥、台的体积公式的内在联系.
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考点1
几何体的表面积问题
2
［2009年高考海南· 宁夏卷］一个棱锥的三视图如图所 示,则该棱锥的全面积(单位:cm2)为 ( )
A.48+12
C.36+12 2
B.48+24 2
D.36+24 2
∵AB⊥BC,AC为斜边，
∴小圆的圆心为AC的中点D. ∵SA=AB=1,BC=2, ∴AC= 3 ,AD= 3 . ∵S,A,B,C都在球面上，取SC的中点O，则OD∥SA.
2
∵SA⊥平面ABC,∴OD⊥平面ABC,
∴O为球心，SO为半径. ∵SC= 1 3 2 =2,∴SO=1, ∴球O的表面积为4π.故应选A. 返回目录