河北省衡水中学2016届高三下学期猜题卷数学(理)试题(解析版)
2016届河北省衡水中学高三下学期二模考试数学(理)试题
2016届河北省衡水中学高三下学期二模考试数学(理)试题DA ．10或322 B．3或36 C ．322D ．31或10 5.在平面xOy 内，向图形422≤+y x内投点，则点落在由不等式组⎩⎨⎧≥+≥-0,0y x y x 所确定的平面区域的概率为（ ） A ．43 B ．52 C ．21 D ．41 6.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a,b,c ，若acosB+bcosA=csinC ，且bca cb 3222=-+，则角B 的值为（ ）A ．6πB ．3πC ．2πD ．32π 7.已知⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-,052,04,02y x y x y x 则112++=x y z 的取值范围为（ ）A ．]27,43[B ．]47,83[C ．]47,43[D ．]27,83[ 8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A ．3160B ．160C ．23264+D ．609.如图，21,F F 为双曲线C 的左右焦点，且221=FF ，若双曲线C 右支上存在点P ，使得21PF PF ⊥，设直线2PF 与y 轴交于点A ，且1APF ∆的内切圆半径为21，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．4C ．3D ．3210.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若bBD a AC ==,，则=AF （ ）A b a 11+B ．b a 11C b a 12 D b a 21+ 11.函数3sin )(x x x f +=.数列{}na 的前n 项和qnpn Sn+=2（p,q 为常数，且p ≠0），)2,2(ππ-∈n a，若0)(10<af ，则)()()()()(1918321a f a f a f a f a f ++⋅⋅⋅+++取值（ ）A ．恒为正数B ．恒为负数C ．恒为零D ．可正可负 12.函数)(x f 是定义在),0(+∞内的单调函数，1]ln )([),,0(+=-+∞∈∀e x x f f x ，给出下面四个命题：①不等式0)(>x f 恒成立；②函数)(x f 存在唯一零点0x ，且)1,0(0∈x ；③方程x x f =)(有且仅有一个根；④方程1)()(+='-e x f x f （其中e 为自然对数的底数）有唯一解0x ，且)2,1(0∈x.其中正确的命题个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若将函数6)(x x f =表示为662210)1()1()1()(x a x a x a ax f ++⋅⋅⋅+++++=，其中621,,,a a a ⋅⋅⋅为实数，则3a 等于_______.14.已知三棱锥D-ABC 的四个顶点都在球O 的表面上，若AB=3，AC=4，AB ⊥AC ，DB ⊥平面ABC ，DB=12，则球O 的半径为_______.15.已知点A 是抛物线241x y =的对称轴与准线的交点，点F 为该抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，当m 取最小值时，点P 恰好在以A ，F 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为____. 16.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+=,0),1ln(,0,121)(2x x x x x f 若函数kx x f x F -=)()(有且只有两个零点，则k 的取值范围为_____.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知函数21cos )cos sin 3()(+⋅-=x x x x f ωωω（其中0>ω），若)(x f 的一个条对称轴离最近的对称中心的距离为4π. （1）求)(x f y =的单调递增区间；（2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a,b,c ，满足(2b-a)cosC=ccosA ，且f(B)恰是f(x)的最大值，试判断△ABC 的形状. 18.（本小题满分12分）如图，棱柱1111D C B A ABCD -的所有棱长都为2，∠ABC=60°，平面⊥C C AA 11平面ABCD ，601=∠AC A .（1）证明：1AA BD ⊥；（2）求锐二面角C AA D --1的平面角的余弦值；（3）在直线1CC 上是否存在点P ，使得BP ∥平面11C DA ，若存在，求出P 的位置.19.（本小题满分12分）某大学的一个社会实践调查小组，在对大学生的良好“光盘习惯” 的调查中，随机发放了120份问卷.对收回的100份有效问卷进行统计，得到如下2×2列联表：做不到光盘 能做到光盘合计男 45 10 55 女 30 15 45 合计7525100（1）现按女生是否能抽到光盘进行分层，从45份女生中问卷中抽取了9份问卷，若从这9份问卷中随机抽取4份，并记其中能做到光盘的问卷的份数为ξ，试求随机变量ξ的分布列和数学期望；（2）若在犯错误的概率不超过P 的前提下认为良好“光盘习惯”与性别有关，那么根据临界值表最精确的P 的值应为多少?请说明理由. 附：独立性检验统计量))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中n=a+b+c+d. 独立性检验临界表：20.（本小题满分12分）已知椭圆C 的中点在原点，焦点在x 轴上，离心率等于21，它的一个顶点恰好是抛物线yx382=的焦点.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）直线x=-2与椭圆交于P ，Q 两点，A ，B 是椭圆上位于直线x=-2两侧的动点.①若直线AB 的斜率为21，求四边形APBQ 面积的最大值；②当动点A ，B 满足∠APQ=∠BPQ 时，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由. 21.（本小题满分12分） 设函数)1ln()(,)4(31)(23-=++=x a x g x m mxx f ，其中a ≠0.（1）若函数y=g(x)图象恒过定点T ，且点T 关于直线23=x 的对称点在y=f(x)的图象上，求m 的值；（2）当a=8时，设)1()()(++'=x g x f x F ，讨论F(x)的单调性；（3）在（1）的条件下，设⎩⎨⎧>≤=,2),(,2),()(x x g x x f x G 曲线y=G(x)上是否存在两点P ，Q ，使△OPQ （O 为原点）是以O 为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在y 轴上？如果存在，求a 的取值范围；如图不存在，说明理由.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.ⅠⅡⅢ-22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，已知圆O 是△ABC 的外接圆，AB=BC ，AD 是BC 边上的高，AE 是圆O 的直径.过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点F. （1）求证：AE AD BC AC ⋅=⋅；（2）若AF=2，22=CF ，求AE 的长.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点P （2，6），且倾斜角为π43，在极坐标系（与平面直角坐标系zOy 取相同的长度，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴）中，曲线C 的极坐标方程为)24cos()24sin(20θπθπρ--=. （1）求直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）设曲线C 与直线l 交于点A ，B ，求PB PA +. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数3212)(-++=x x x f . （1）求不等式6)(≤x f 的解集； （2）若关于x 的不等式2)3(log )(22>--a ax f 恒成立，求实数a的取值范围.参考答案及解析一、选择题1.A2.D3.B4.A5.D6.B7.A8.A9.A 10.C 11.B 12.A 二、填空题 13.-20 14.23 15.12+ 16.)1,21( 三、解答题 17.解：（1）21cos cos sin 3)(2+-⋅=x x x x f ωωω)1cos 2(212sin 232--=x x ωω)62sin(2cos 212sin 23πωωω-=-=x x x .所以函数)(x f 的单调递增区间为)](3,6[Z k k k ∈++-ππππ. （2）因为(2b-a)cosC=ccosA ，由正弦定理，得(2sinB-sinA)cosC=sinCcosA ， 即2sinBcos=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB ，因为sinB ≠0，所以21cos =C ，所以3π=C .所以67626,3420,320πππππ<-<-<<<<B B B . 根据正弦函数的图象，可以看出f(x)的最大值为f(B)=1，此时262ππ=-B ，即3π=C ，所以3π=A ， 所以△ABC 为等边三角形.18.解：连接BD 交AC 于点O ，则BD ⊥AC ，连接O A 1.在O AA 1∆中，60,1,211=∠==AO A AO AA ，∴360cos 2122121=⋅⋅-+= AO AA AO AA OA .∴21221AA AO AA=+，∴O A 1⊥AO.∵平面⊥C C AA 11平面ABCD ，∴O A 1⊥底面ABCD. ∴分别以OB ，OC ，1OA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则)3,0,0(),0,0,3(),0,1,0(),0,0,3(),0,1,0(1A D C B A --.（1）∵)3,1,0(),0,0,32(1=-=AA BD ，∴00301)32(01=⨯+⨯+-⨯=⋅BD AA ，∴1AA BD ⊥.（2）∵OB ⊥平面C C AA 11. ∴平面C C AA 11的一个法向量)0,0,1(1=n，设平面D AA 1的一个法向量为),,(2222z y x n=，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥ADn AA n 212,则⎩⎨⎧=+-=+,03,032222y x z y 取)1,3,1(2-=n.∴55,cos 212121=>=<n n nn .（3）假设在直线1CC 上存在点P ，使得BP ∥平面11C DA ， 设),,(,1z y x P CC CP λ=，则)3,1,0(),1,(λ=-z y x ， 得)3,1,3(),3,1,0(λλλλ+-=+BP P .设平面11C DA 的一个法向量为),,(3333z y x n=， 则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥13113,DA n C A n 则⎩⎨⎧=+=,033,02332z x y 不妨取)1,0,1(3-=n.∵BP ∥平面11C DA ， ∴03=⋅BP n ，即033=--λ，得1-=λ，即存在点P 在C C 1的延长线上，且CP C C =1，使得BP ∥平面11C DA .19.解：（1）因为9份女生问卷是用分层抽样取到的，所以这9份问卷中有6份做不到光盘，3份能做到光盘.所以ξ的可能取值为0，1,2,3.42512615)0(4946====C C P ξ，211012660)1(491336====C C C P ξ， 14512645)2(492326====C C C P ξ，2111266)3(493316====C C C P ξ，随机变量ξ的分布列可列表如下：ξ 0 12 3P4252110145 211所以3421131452211014250)(=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE . （2）810.303.375254555)10301545(100))()()(()(222<≈⨯⨯⨯⨯-⨯=++++-=d b c a d c b a bc ad n K ，因为810.303.333100706.2<≈<， 所以能在犯错误概率不超过0.10的前提下认为良好“光盘习惯”与性别有关，即最精确的P 值应为0.10. 20.解：（1）∵椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上， ∴设椭圆标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ，∵椭圆离心率等于21，yx 382=的焦点为)32,0(，∴32=b ，由222,21c b aa c e =-==，解得12,1622==b a.∴椭圆C 的标准方程为1121622=+y x .（2）①直线x=-2与椭圆1121622=+y x 交于点P(-2,3),Q(-2,-3)或P(-2,-3),Q (-2,3)， 所以6=PQ ，设),(),,(2211y x B y x A ，直线AB 的方程为m x y +=21， 与1121622=+y x 联立，得01222=-++m mx x，由0)12(422>--=∆m m，得-4<m<4，由韦达定理，得12,22121-=-=+m x x m xx ，由A ，B 两点位于直线x=-2两侧，得04)(22121<+++x x xx ，∴822<--m m ，解得-2<m<4，∴四边形APBQ 的面积为2212212134834)(2121m x x x x PQ x x PQ S -=-+⋅⋅=-⋅⋅=，∴当m=0时，S 取得最大值，最大值为312.②当∠APQ=∠BPQ 时，直线PA ，PB 斜率之和为0. 设PA 斜率为k ，则PB 斜率为-k ，当P(-2,3),Q(-2,-3)时，PA 的直线方程为y-3=k(x+2). 与椭圆方程联立，得048)32(4)32(8)43(222=-+++++k x k k x k ，∴221432416)2(k k k x +--=-+，同理，PB 的直线方程为y-3=-k(x+2)，222432416)2(k kk x ++-=-+.∴22122214348,431612k kx x k k x x +-=-+-=+，221214324]3)2([3)2(k kx k x k y y +=++--++=-.直线AB 的斜率为212121-=--xx yy.当P(-2,-3),Q(-2,3)时，同理可得直线AB 斜率为21. 21.解：（1）令0)1ln(=-x ，得x=2，∴T(2,0)， ∴点T 关于直线23=x 的对称点为(1,0). ∴30431,0)1(-=⇒=++=m m m f . （2）)0(ln 8)4(2)1()()(2>+++=++'=x x x m mxx g x f x F ，∴xx mx x x m mx x m mx x F )1)(82(8)28(28)28(2)(2++=+++=+++='，∵x>0，∴x+1>0.∴当0≥m 时，8+2mx>0，0)(>'x F ，此时，F(x)在区间),0(+∞内单调递增；当m<0时，由0)(>'x F ，得m x 40-<<；由0)(<'x F ，得m x 4->， 此时，F(x)在区间)4,0(m -内单调递增，在区间),4(+∞-m 内单调递减.综上所述，当0≥m 时，F(x)在区间),0(+∞内单调递增；当m<0时，F(x)在区间)4,0(m -内单调递增，在区间),4(+∞-m 内单调递减.（3）由条件（1），知⎩⎨⎧>-≤+-=,2),1ln(,2,)(23x x a x x x x G假设曲线y=G(x)上存在两点P ，Q 满足题意，则P ，Q 只能在y 轴的两侧， 设P(t,G(t))(t>0)，则),(23t t t Q +-.∵△OPQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，∴0=⋅OQ OP ，即0)()(232=++-t G t t t，①当20≤<t 时，23)(t t t G +-=，此时方程①可化为0))((23232=++-+-t t t t t，化简得0124=+-t t无解，此时满足条件的P ，Q 不存在； 当t>2时，G(t)=aln(t-1)，此时方程①可化为)1ln()(232=-++-t t t a t ，化简得)1ln()1(1-+=t t a ，设)1ln()1()(-+=t t t h ，则11)1ln()(-++-='t t t t h ， 当t>2时，0)(>'t h ，h(t)在区间),2(+∞内单调递增，h(t)的值域为)),2((+∞h ，即),0(+∞. ∴当a>0时，方程①总有解.综上所述，存在满足条件的P ，Q 时，实数a 的取值范围为),0(+∞.22.解：（1）连接BE ，由题意知△ABE 为直角三角形， 因为∠ABE=∠ADC=90°，∠AEB=∠ACB ，所以△ABE~△ADC ，所以ACAEAD AB =，即AE AD AC AB ⋅=⋅， 又AB=BC ，所以AE AD BC AC ⋅=⋅. （2）因为FC 是圆O 的切线，所以FBFA FC⋅=2，又AF=2，22=CF ，所以BF=4，AB=BF-AF=2. 因为∠ACF=∠FBC ，又∠CFB=∠AFC ，所以△AFC~△CFB ，所以CB AC CF AF =，得2=⋅=CFCBAF AC . △ACB 中，由余弦定理，得42cos =∠ACD ，所以AEB ACD ∠==∠sin 414sin ，所以7144sin =∠=AEB AB AE . 23.解：（1）因为直线l 过点P （2，6），且倾斜角为π43，所以直线l 的参数方程为t t y t x (226,222⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=为参数），由)24cos()24sin(20θπθπρ--=，得θρcos 10=， 所以曲线C 的直角坐标方程为01022=-+x y x.（2）将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得25)226()223(22=++--t t ，20292=++t t ，082>=∆，可设21,t t 为上述方程的两个实根，则有⎩⎨⎧=-=+,20,292121t t t t又直线l 过点P(2,5)，所以292121=+=+=+t t t t PB PA .24.解：（1）原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧≤-++>,6)32()12(,23x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤--+≤≤-,6)32()12(,2321x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤--+--<,6)32()12(,21x x x解得223≤<x ，或2321≤≤-x ，或211-<≤-x ， 所以不等式的解集为{}21≤≤-x x . （2）不等式2)3(log )(22>--a ax f 等价于min22)(2)3(log x f a a<+-，因为4)32(123212=--=≥-++x x x x ， 所以f(x)的最小值为4， 于是42)3(log 22<+-a a，即⎩⎨⎧<-->-,043,0322a a a a 解得-1<a<0，或3<a<4.所以实数a 的取值范围是)4,3()0,1( -.。
2016届河北省衡水中学高三下学期二调考试数学(理)试题(解析版)
2016届河北省衡水中学高三下学期二调考试数学（理）试题一、选择题1．已知集合{}1,3,4,5A =，集合{}2|450B x Z x x =∈--<，则A B I 的子集个数为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】C【解析】试题分析：由2450x x --<，解得15x -<<，所以{0,1,2,3,4}B =，所以{1,3,4}A B =I ，所以A B I 的子集个数为328=，故选C ．【考点】1、不等式的解法；2、集合的交集运算；3、集合的子集．2．如图，复平面上的点1234,,,Z Z Z Z 到原点的距离都相等，若复数z 所对应的点为1Z ，则复数z i ⋅（i 是虚数单位）的共轭复数所对应的点为（ ）A ．1ZB ．2ZC ．3ZD ．4Z【答案】B【解析】试题分析：根据题意，设z bi =（0b >且为实数），则z i bi i b ==-g g 为负实数，对应点在x 轴负半轴，即为2z ，共轭复数是2z ，故选B ．【考点】复数的概念．3．下列四个函数中，在0x =处取得极值的函数是（ ）①3y x =；②21y x =+；③y x =；④2xy =A ．①②B ．①③C ．③④D ．②③【答案】D【解析】试题分析：①中，230y x '=≥恒成立，所以函数在R 上递增，无极值点；②中2y x '=，当0x >时函数单调递增，当0x <时函数单调递减，且0|0x y ='=，符合题意；③中结合该函数图象可知当0x >时函数单调递增，当0x <时函数单调递减，且0|0x y ='=，符合题意；④中，由函数的图象知其在R 上递增，无极值点，故选D ．【考点】函数的极值． 4．已知变量,x y 满足：202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则22x y z +=的最大值为（ ）A ．2B ．22C ．2D ．4【答案】D【解析】试题分析：作出满足不等式组的平面区域，如图所示，由图知目标函数12z x y =+经过点(1,2)A 时取得最大值，所以212max (2)4z ⨯+==，故选D ．【考点】简单的线性规划问题．5．执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】试题分析：第一次循环，得8,2n i ==；第二次循环，得48131,3n i =⨯-==；第三次循环，得4311n =⨯-＝123,4i =；第四次循环，得1234119,5n i =-==；第五次循环，得41191n =⨯-＝471123>，6i =，此时不满足循环条件，退出循环，输出6i =，故选B ．【考点】程序框图．6．两个等差数列的前n 项和之比为51021n n +-，则它们的第7项之比为（ ） A ．2 B ．3 C ．4513 D ．7027 【答案】B【解析】试题分析：设这两个数列的前n 项和分别为,n n S T ，则1131377113137713()132513102313()13221312a a S a ab b T b b +⨯⨯+=====+⨯⨯-，故选B ． 【考点】1、等差数列的前n 项和；2、等差数列的性质．7．在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布()()21000σσ>，，若ξ在（80,120）内的概率为0.8，则落在（0,80）内的概率为（ ）A ．0.05B ．0.1C ．0.15D ．0.2【答案】B【解析】试题分析：由题意知ξ服从正态分布2(100,)σ，(80120)0.8P ξ<<=，则由正态分布图象的对称性可知，1(080)0.5(80120)0.12P P ξξ<<=-<<=，故选B ．【考点】正态分布．8．函数()()sin 0,0f x A x A ωω=>>的部分图象如图所示，()()()()1232015f f f f +++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．0B ．32．62．2-【答案】A【解析】试题分析：由图知2A =，2(62)8T =-=，所以24T ππω==，所以()2sin()4f x x π=．由正弦函数的对称性知(1)(2)(8)0f f f +++=L ，所以(1)(2)(2015)(1)(2)(7)f f f f f f +++=+++L L ＝(8)0f -=，故选A ．【考点】1、三角函数的图象及周期性．【方法点睛】ω由周期T 确定，即由2T πω=求出．常用的确定T 值的方法有：（1）曲线与x 轴的相邻两个交点之间的距离为2T ；（2）最高点和与其相邻的最低点横坐标之间的距离为2T ；（3）相邻的两个最低点（最高点）之间的距离为T ；（4）有时还可以从图中读出4T 或34T 的长度来确定ω． 9．若()()7280128112x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，则127a a a ++⋅⋅⋅+的值是（ ）A ．-2B ．-3C ．125D ．-131【答案】C【解析】试题分析：令0x =，得01a =；令1x =，得01282a a a a -=++++L ，即1283a a a +++=-L ．又7787(2)128a C =-=-，所以12783125a a a a +++=--=L ，故选C ．【考点】二项式定理．10．已知圆221:20C x cx y ++=，圆222:20C x cx y -+=，椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>，焦距为2c ），若圆12,C C 都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ）A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．102⎛⎤ ⎥⎝⎦，C ．2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ D ．202⎛⎤ ⎥ ⎝⎦， 【答案】B【解析】试题分析：由题意，得圆12,C C 的圆心分别为(,0)c -和(,0)c ，半径均为c ，满足题意的圆与椭圆的临界位置关系如图所示，则知要使圆12,C C 都在椭圆内，则需满足不等式2c a ≤，所以离心率102c e a <=≤，故选B ．【考点】1、椭圆的几何性质；2、圆锥曲线间的位置关系．11．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数()1y f x =-的图象关于（1,0）成中心对称，若,s t 满足不等式()()2222f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，2t s s t -+的取值范围是（ ） A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．15,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】试题分析：设12x x <，则120x x -<．由1212()()0f x f x x x -<-，知12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数()f x 为减函数．因为函数(1)y f x =-的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =为奇函数，所以222(2)(2)(2)f s s f t t f t t -≤--=-，所以2222s s t t -≥-，即()(2)0s t s t -+-≥．因为233111t s s t s t s t s-=-=-+++，而在条件()(2)014s t s t s -+-≥⎧⎨≤≤⎩下，易求得1[,1]2t s ∈-，所以11[,2]2t s +∈，所以33[,6]21t s ∈+，所以311[5,]21t s -∈--+，即21[5,]2t s s t -∈--+，故选D ． 【考点】1、函数的单调性；2、函数的奇偶性；3、不等式的性质．【方法点睛】利用函数性质解决函数不等式的常用方法有：（1）根据奇函数、偶函数的图象特征和性质，通过图象将函数不等式转化为一般不等式，从而解决函数不等式问题；（2）根据函数奇偶性与周期性将函数不等式中的自变量转化到同一单调区间上，再根据单调性脱去符号“f ”求解．12．正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为3，此时四面体ABCD 外接球表面积为（ ）A ．7πB ．19πC ．776π D ．19196π 【答案】A【解析】试题分析：根据题意作图如下，由图可知翻折后的高AD ⊥平面BCD ，即四面体的高为AD ．在BCD ∆中，1,1,3BD CD BC ===，由余弦定理，得2221cos 22BD CD BC BCD BD CD +-∠==-⋅，所以23BCD π∠=，所以由正弦定理可知BCD ∆的外接圆半径为112sin BC BDC⨯=∠．设这个外接圆的圆心为O '，半径为O C '，则由外接球的对称性可得1322OO AD '==．在OO C '∆中，222OO O C R ''+=，即22237()14R =+=，所以外接球表面积为247R ππ=，故选A ．【考点】1、多面体的外接球；2、正余弦定理；3、球的表面积．【方法点睛】求解翻折问题的基本方法：（1）先比较翻折前后的图形，弄清哪些几何量和线面间位置关系在翻折过程中不变，哪些已发生变化；（2）将不变的条件集中到立体图形中，将问题归结为一个条件与结论明朗化的立体问题．二、填空题13．一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为 .【答案】33【解析】试题分析：由三视图知该几何体是以底面边长为23的四棱锥，所以该几何体的体积为2132333V =⨯=． 【考点】1、空间几何三视图；2、四棱锥的体积．【思路点睛】由三视图还原几何体可考虑三种情况：（1）若主视图与左视图都是三角形，则几何体为棱锥；（2）若主视图与左视图都是矩形，则几何体为棱柱；（3）若主视图与左视图中一个为三角形，一个为矩形，则几何体为横放的几何体．14．已知向量AB u u u r 与AC u u u r 的夹角为60°，且||||2AB AC ==u u u r u u u r ，若AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，且AP BC ⊥u u u r u u u r ，则实数λ的值为 .【答案】1【解析】试题分析：因为AP BC ⊥u u u r u u u r ，所以0AP BC ⋅=u u u r u u u r ．2()()AP BC AB AC AC AB AB AC AC λλ⋅=+⋅-=⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r －2AB AB AC λ-⋅u u u r u u u r u u u r ＝22(1)||||cos 60||||AB AC AC AB λλ-︒+-u u u r u u u r u u u r u u u r ＝2(1)44220λλλ-+-=-+=，解得1λ=．【考点】1、向量的数量积运算；2、向量的线性运算．15．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的半焦距为c ，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线24y cx =的准线被双曲线截得的弦长是2223（e 为双曲线的离心率），则e 的值为 . 6【解析】试题分析：由题意，得抛物线的准线为x c =-，它正好经过双曲线的左焦点，所以准线被双曲线截得的弦长为22b a ，所以222b a =，即2b a =，所以e ==整理，得422910e e -+=，解得e =或e =又过焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，所以2e =． 【考点】1、抛物线与双曲线的几何性质；2、直线与双曲线的位置关系．【方法点睛】关于双曲线的离心率问题，主要是有两类试题：一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的范围．基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中,,a b c 的关系式，求值问题就是建立关于,,a b c 的等式，求取值范围问题就是建立关于,,a b c 的不等式．16．用()g n 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，()99,10g =的因数有1,2,5,10，()105g =，那么()()()()201512321g g g g +++⋅⋅⋅+-= . 【答案】2015413- 【解析】试题分析：由()g n 的定义易知当n 为偶数时，()()2n g n g =，且当n 为奇数时，()g n n =．令()(1)f n g =＋(2)(3)(21)n g g g +++-L ，则1(1)(1)(2)(3)(21)n f n g g g g ++=++++-L ＝113(21)n ++++-L ＋1(2)(4)(22)n g g g ++++-L ＝112(121)(1)(2)(4)(22)4()2n n n n g g g g f n +++-+++++-=+L ，即(1)f n +－()4n f n =，分别取n 为1,2,,n L 并累加得24(1)(1)444(41)3n n f n f +-=+++=-L ．又(1)(1)f g =＝1，所以4(1)(41)13n f n +=-+，所以()(1)(2)(3)(21)n f n g g g g =++++-L ＝14(41)13n --+．令2015n =，得2015201541(1)(2)(3)(21)3g g g g -++++-=L ． 【考点】1、新定义；2、等差数列与等比数列的前n 项和．三、解答题17．在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ， 已知7,3,7sin sin 23a b B A ==+=. （1）求角A 的大小； （2）求ABC ∆的面积.【答案】（1）3π；（2）33． 【解析】试题分析：（1）先由正弦定理求得sin B 与sin A 的关系，然后结合已知等式求得sin A 的值，从而求得A 的值；（2）先由余弦定理求得c 的值，从而由cos B 的范围取舍c 的值，进而由面积公式求解．试题解析：（1）在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a b A B=，得73sin sin A B =，即7sin 3sin B A =.又因为7sin sin 23B A +=，所以3sin A =. 因为ABC ∆为锐角三角形，所以3A π=.（2）在ABC ∆中，由余弦定理222cos 2b c a A bc +-=，得219726c c+-=，即2320c c -+=.解得1c =或2c =.当1c =时，因为2227cos 02a c b B ac +-==-<，所以角B 为钝角，不符合题意，舍去.当2c =时，因为2227cos 0214a c b B ac +-==>，又,,b c b a B C B A >>⇒>>，所以ABC ∆为锐角三角形，符合题意.所以ABC ∆的面积11333sin 322222S bc A ==⨯⨯⨯=. 【考点】1、正余弦定理；2、三角形面积公式．18．某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”.（1）当3a b ==时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n ，比较m ，n 的大小关系；（2）在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望；（3）若1a =，记乙型号电视机销售量的方差为2s ，根据茎叶图推断b 为何值时，2s 达到最小值.（只需写出结论）【答案】（1）m n =；（2）分布列见解析，()1E X =；（3）0．【解析】试题分析：（1）根据茎叶图，得2数据的平均数为101014182225273041432410+++++++++=. 乙组数据的平均数为1018202223313233334326.510+++++++++=. 由茎叶图，知甲型号电视剧的“星级卖场”的个数5m =，乙型号电视剧的“星级卖场”的个数5n =，所以m n =.（2）由题意，知X 的所有可能取值为0,1,2.且()025*******C C P X C ===，()()11025555221010521299，C C C C P X P X C C ======， 所以的分布列为X0 1 2 P 所以()0121999+=E X =⨯+⨯⨯. （3）当0b =时，2s 达到最小值.试题解析：（1）根据平均数的定义分别求出甲、乙两组数据的平均数，从而得到“星级卖场”的个数进行比较；（2）写出X 的所有可能取值，求出相应概率，列出分布列，求得数学期望；（3）根据方差的定义求解．【考点】1、平均数与方差；2、分布列；3、数学期望．19．如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，60BAD ∠=o ，DE AB ⊥于点E ，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D DC ⊥，如图2.（1）求证：1A E ⊥平面BCDE ；295929（2）求二面角1E A B C --的余弦值；（3）判断在线段EB 上是否存在一点P ，使平面1A DP ⊥平面1A BC ？若存在，求出EP PB的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）（3）不存在，理由见解析． 【解析】试题分析：（1）易证得DE DC ⊥，结合1A D DC ⊥可推出DC ⊥平面1A DE ，从而推出1DC A E ⊥，进而结合翻折的性质可使问题得证；（2）以,,EB ED EA 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，得到相关点坐标与相关向量，利用空间夹角公式求解；（3）假设存在点(,0,0)P t ，求出平面1A DP 的一个法向量，从而根据两平面垂直两法向量的数量积为0，求出t 的值，从而作出判断．试题解析：：（1）∵DE BE ⊥，//BE DC ，∴DE DC ⊥，又∵1A D DC ⊥，1A D DE D =I ，∴DC ⊥平面1A DE .∴1DC A E ⊥，又∵1A E DE ⊥，DC DE D =I ，∴1A E ⊥平面BCDE ；（4分）（2）∵1A E ⊥平面BCDE ，DE BE ⊥，∴以EB ，ED ，1EA 分别为x 轴，y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系，易知DE =，则1(0,0,2)A ，(2,0,0)B，(4,C，(0,D ，∴1(2,0,2)BA =-u u u r，(2,BC =u u u r ，平面1A BE 的一个法向量(0,1,0)n =r ，设平面1A BC 的法向量(,,)m x y z =u r ，由10BA m ⋅=u u u r u r ，0BC m ⋅=u u u r u r ，得22020x z x -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1y =，得(m =u r ，∴cos ,7||||m n m n m n ⋅<>==⋅u r r u r r u r r ，由图，得二面角1E A B C --为钝二面角，∴二面角1E A B C --的余弦值为； （3）假设在线段EB 上存在一点P ，使得平面1A DP ⊥平面1A BC ，设(,0,0)(02)P t t ≤≤，则1(,0,2)A P t =-u u u r，12)A D =-u u u u r ，设平面1A DP 的法向量为111(,,)p x y z =u r ，由10A D p ⋅=u u u u r u r ，10A P p ⋅=u u u r u r，得11112020z tx z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令12x =，得(2,,)3t p t =u r ，∵平面1A DP ⊥平面1A BC ，∴0m p ⋅=u r u r ，即23303tt -+=，解得3t =-，∵02t ≤≤，∴在线段EB 上不存在点P ，使得平面1A DP ⊥平面1A BC ．（12分 ）【考点】1、空间垂直关系的判定与性质；2、二面角；3、空间向量的应用．【方法点睛】证明空间直线与平面垂直的方法有：一是利用线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理．在解题时，要注意线线、线面与面央关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系．20．如图，已知椭圆：2214x y +=，点,A B 是它的两个顶点，过原点且斜率为k 的直线l 与线段AB 相交于点D ，且与椭圆相交于,E F 两点.（1）若6ED DF =u u u r u u u r，求k 的值；（2）求四边形AEBF 面积的最大值. 【答案】（1）23k =或38k =；（2）2 【解析】试题分析：（1）先由两点式求得直线AB 的方程，然后设l 的方程为y kx =.设()00,D x kx ，()11,E x kx ，()22,F x kx ，联立直线l 与椭圆的方程，得到12,x x 间的关系，再由6ED DF =u u u r u u u r与点D 在线段AB 上求得k 的值；（2）由点到直线的距离公式分别求得点,A B 到线段EF 的距离，从而得到四边形AEBF 的面积的表面式，进而求得其最大值．试题解析：（1）依题设得椭圆的顶点()()2,0,0,1A B ，则直线AB 的方程为220x y +-=.设直线EF 的方程为()0y kx k =>.设()()()001122,,,,，D x kx E x kx F x kx ，其中12x x <，联立直线l 与椭圆的方程2214x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，消去y ，得方程()22144k x +=.（3分）故21x x =-=6ED DF =u u u r u u u r知，()02206x x x x -=-，得()021215677x x x x =+==，由点D 在线段AB 上，知00220x kx +-=，得0212+x k=，所以212+k ，化简，得2242560k k -+=，解得23k =或38k =. （2）根据点到直线的距离公式，知点,A B 到线段EF 的距离分别为12h h ==，又||EF =，所以四边形AEBF 的面积为()122121||2k S EF h h +=+====≤，当且仅当14k k =，即12k =时，取等号，所以四边形AEBF 面积的最大值为.【考点】1、直线与圆的位置关系；2、点到直线的距离公式；3、基本不等式． 21．设函数()()22ln f x x a x a x =---.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个零点，求满足条件的最小正整数a 的值；（3）若方程()()f x c c R =∈有两个不相等的实数根12,x x ，比较12'2x x f +⎛⎫⎪⎝⎭与0的大小.【答案】（1） 当0a ≤时，单调增区间为(0,)+∞，无单调减区间；0a >时，单调增区间为,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调减区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）3；（3） 12'02x x f +⎛⎫> ⎪⎝⎭． 【解析】试题分析：（1）求导后，分0a ≤、0a >，根据导函数与0的关系求得单调区间；（2） 由（1）知()f x 的最小值02a f ⎛⎫<⎪⎝⎭，即244ln 02a a a a -+-<，令()4ln42ah a a =+-，求得()h a '，通过讨论()h a 的单调性求得a 的值；（3） 由12,x x 是方程()f x c =的两个不等实根，则()2111-2ln x a x a x c --=，()2222-2ln x a x a x c --=，两式相减，得221122112222ln ln x x x x a x x x x =＋－－＋－－，然后通过换元求导即可证明． 试题解析：()()()22221'220a x a x a x a x f x x a x x x x---+=---==>-（）（)(）．当0a ≤时， ()'0f x >，函数()f x 在()0,+∞上单调递增， 所以函数()f x 的单调增区间为()0,+∞，无单调减区间． 当0a >时，由()'0f x >，得2a x >；由()'0f x <，得02ax <<. 所以函数()f x 的单调增区间为,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调减区间为0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭.（4分） （2）由（1）得，若函数()f x 有两个零点，则0a >，且()f x 的最小值02a f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即244ln 02a a a a -+-<.因为0a >，所以4ln 402aa +->. 令()4ln42ah a a =+-，显然()h a 在()0,+∞上为增函数，且 ()()381220,34ln 1ln 10216h h =-<=-=->，所以存在()()002,3,0a h a ∈=.当0a a >时，()0h a >；当00a a <<时，()0h a <，所以满足条件的最小正整数3a =. 又当3a =时，()()()332ln30,10f f =->=，所以3a =时，()f x 有两个零点． 综上所述，满足条件的最小正整数a 的值为3.（3） 12'02x x f +⎛⎫>⎪⎝⎭，结论证明如下：因为12,x x 是方程()f x c =的两个不等实根，由（1）知0a >.不妨设120x x <<，则()()22111222-2ln ,-2ln ,x a x a x c x a x a x c --=--= 两式相减得()()221112222ln 2ln 0x a x a x x a x a x ----+-+=，即()2211221122112222ln ln ln ln x x x x ax a x ax a x a x x x x +--=+--=+--．()'0f x <()'0f x >，故只要证122x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋＞2a即证明()()22221212121122ln ln 22x x x x x x x x x x -++-<+--，设t因为0t >，所以()'0g t ≥，当且仅当1t =时，()'0g t =， 所以()g t 在()0,+∞上是增函数．又()10g =，所以当()()0,1,0t g t ∈<总成立．所以原题得证．（12分） 【考点】1、利用导数研究函数的单调性；2、函数零点；3、比较大水小．【方法点睛】利用导数研究函数的单调性时，先求导，再由()0f x '> （()'0f x <）解出相应的x 的取值范围．当()0f x '>时，() f x 在相应的区间上是增函数；当()'0f x <时，() f x 在相应的区间上是减函数．要特别注意的是，涉及含参数的单调性或单调区间问题，一定要弄清参数对导数()f x '在某一区间内的符号是否有影响．若有影响，则必须分类讨论．22．选修4-1：几何证明选讲如图，直线PQ 与⊙O 相切于点,A AB 是⊙O 的弦，PAB ∠的平分线AC 交⊙O 于点C ，连接CB ，并延长与直线PQ 相交于Q 点.（1）求证：22QC BC QC QA ⋅=-； （2）若6,5AQ AC ==，求弦AB 的长. 【答案】（1）见解析； （2）103AB =． 【解析】试题分析：（1）利用切割线定理求解； （2）由弦切角定理与角平分线定理可推出BAC CBA ∠=∠，从而可求得QC 的值，然后证得QAB QCA :∆∆，利用相似比求解．试题解析：（1）∵PQ 与⊙O 相切于点A ,∴由切割线定理得()2QA QB QC QC BC QC =⋅=-⋅，∴22QC BC QC QA ⋅=-.（5分）（2）∵PQ 与⊙O 相切于点A ,∴PAC CBA ∠=∠,∵,PAC BAC BAC CBA ∠=∠∴∠=∠,∴5AC BC ==.由6AQ =及（1）知，9QC =.由QAB QCA ∠=∠，知QAB QCA :∆∆，∴AB QA CA QC =，∴103AB =.（10分） 【考点】1、切割线定理；2、弦切角定理；3、相似三角形．23．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为232252x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C 的方程为5ρθ=.（1）写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（2）若点P 坐标(5，圆C 与直线l 交于,A B 两点，求|||PB |PA +的值. 【答案】（1） 直线l 的普通方程为350x y ---=，圆C 的直角坐标方程为(225x y +-=；（2）【解析】试题分析：（1） 把直线l 的参数方程两式相加消参即可得到其普通方程；根据222x y ρ=+与sin y ρθ=求圆C 的直角坐标方程；（2）把直线l 的参数方程代入圆C的直角坐标方程中利用参数的几何意义求解．试题解析：（1）由322x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得直线l的普通方程为30x y ---=.（2分） 又由ρθ=得圆C 的直角坐标方程为220x y +-=，即(225x y +-=.（5分）（2）把直线l 的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得2235⎛⎫⎫-+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即240t -+=，由于(24420∆=-⨯->，故可设12,t t 是上述方程的两实数根，所以12124t t t t ⎧+=⎪⎨=⎪⎩又直线l的过点(，,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，所以12|||PB||||t |PA t +=+=（10分）【考点】1、参数方程与普通方程的互化；2、极坐标方程与直角坐标方程的互化；3、参数的几何意义的应用．【警示点睛】将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的x y ， （它们都是参数的函数）的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．参数方程化普通方程常用的消参技巧有：代入消元、加减消元、平方后相加减消元、整体消元等． 24．选修4-5：不等式选讲（1）已知函数()13f x x x =-++，求x 的取值范围，使()f x 为常函数； （2）若222,,z R,x 1x y y z ∈++=，求m =++的最大值.【答案】（1）[]3,1x ∈-；（2）3．【解析】试题分析：（1） 利用零点分段法求解；（2）利用柯西不等式求解．试题解析：（1） ()22,3134,3122,1x x f x x x x x x --<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩.则当[]3,1x ∈-时，()f x 为常函数. （2）由柯西不等式得())2222222x y z ⎡⎤++++≥++⎢⎥⎣⎦，所以33-≤++≤，当且仅当==，即x y z ===时，取最大值，因此m 的最大值为3. 【考点】1、零点分段法；2、柯西不等式．。
河北省衡水中学2016届高三(下)同步月考数学试卷(理科)(解析版)
2015-2016学年河北省衡水中学高三（下）同步月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={﹣1，i}，i为虚数单位，则下列选项正确的是（）A．∈A B．∈A C．i5∈A D．|﹣i|∈A2．设全集U=R，A={x|2x（x﹣2）＜1}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x≥1} B．{x|x≤1} C．{x|0＜x≤1} D．{x|1≤x＜2}3．设函数，则f[f（2）]=（）A．B．2e2C．2e D．24．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图（两坐标轴单位长度相同），用回归直线=bx+a近似的刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是（）A．线性相关关系较强，b的值为1.25B．线性相关关系较强，b的值为0.83C．线性相关关系较强，b的值为﹣0.87D．线性相关关系太弱，无研究价值5．下列结论中，正确的是（）①命题“若p2+q2=2，则p+q≤2”的逆否命题是“若p+q＞2，则p2+q2≠2”；②已知为非零的平面向量，甲：，乙：，则甲是乙的必要条件，但不是充分条件；③命题p：y=a x（a＞0且a≠1）是周期函数，q：y=sinx是周期函数，则p∧q是真命题；④命题的否定是¬p：∀x∈R，x2﹣3x+1＜0．A．①② B．①④ C．①②④D．①③④6．已知三棱锥O﹣ABC的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，∠AOB=120°，当△AOC与△BOC的面积之和最大时，三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．7．阅读如图所示的程序框图，输出S的值是（）A．0 B．C．﹣D．﹣8．椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e的范围是（）A．[，1） B．（，1）C．[，）D．（0，）9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．5 B．4 C．2 D．110．如图，在△ABC中，N为线段AC上接近A点的四等分点，若，则实数m的值为（）A．B．C．1 D．311．设数列{an }满足a1=1，a2+a4=6，且对任意n∈N*，函数f（x）=（an﹣an+1+an+2）x+an+1•cosx﹣an+2sinx满足若，则数列{cn}的前n项和Sn为（）A．B．C．D．12．已知定义在R 上的函数y=f （x ）对任意的x 都满足f （x+2）=f （x ），当﹣1≤x ＜1时，f （x ）=sinx ，若函数g （x ）=f （x ）﹣log a |x|至少6个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．（0，]∪（5，+∞）B ．（0，）∪[5，+∞）C ．（，]∪（5，7）D ．（，）∪[5，7）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．二项式的展开式的系数和为256，则a 的值为 ．14．设等差数列{a n }满足，其前n 项和为S n ，若数列也为等差数列，则的最大值为 ．15．已知实数x ，y 满足条件，若不等式m （x 2+y 2）≤（x+y ）2恒成立，则实数m 的最大值是 ．16．设函数f （x ）=，对任意x 1、x 2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ，b ，c 成等比数列，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设的值．18．同时抛掷两枚骰子，将得到的点数分别记为a ，b ． （1）求a+b=7的概率；（2）求点（a ，b ）在函数y=2x 的图象上的概率；（3）将a ，b ，4的值分别作为三条线段的长，将这两枚骰子抛掷三次，ξ表示这三次抛掷中能围成等腰三角形的次数，求ξ的分布列和数学期望．19．已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点D 、E 分别是边AB ，AC 上的点，且满足==．将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，并使得平面A 1DE ⊥平面BCED ． （1）求证：A 1D ⊥EC ；（2）设P 为线段BC 上的一点，试求直线PA 1与平面A 1BD 所成角的正切的最大值．20．已知F 是抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点，点P （1，t ）在抛物线C 上，且|PF|=． （1）求p ，t 的值；（2）设O 为坐标原点，抛物线C 上是否存在点A （A 与O 不重合），使得过点O 作线段OA 的垂线与抛物线C 交于点B ，直线AB 分别交x 轴、y 轴于点D ，E ，且满足S △OAB =（S△OAB表示△OAB 的面积，S △ODE 表示△ODE 的面积）？若存在，求出点A 的坐标，若不存在，请说明理由．21．已知函数 f （x ）=x 2﹣（3a+1）x+2a （a+1）lnx （a ＞0）（Ⅰ）若函数f （x ）在x=1处的切线与直线3x ﹣y+2=0平行，求a 的值： （Ⅱ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅲ）在（I ）的条什下，若对职∀x ∈[1，e]，f （x ）≥k 2+6k 恒成立，求实数k 的取值范围．请考生在22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1，几何证明选讲]22． 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径，AE ⊥CD 于点E ，DA 平分∠BDE ． （1）证明：AE 是⊙O 的切线；（2）如果AB=2，AE=，求CD ．[选修4-4，坐标系与参数方程]23．已知在平面直角坐标系xoy 中，O 为坐标原点，曲线（α为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系，直线．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）曲线C 上恰好存在三个不同的点到直线l 的距离相等，分别求出这三个点的极坐标．[选修4-5，不等式选讲]24．已知函数f （x ）=|x ﹣3|+|x ﹣2|+k ．（Ⅰ）若f （x ）≥3恒成立，求后的取值范围； （Ⅱ）当k=1时，解不等式：f （x ）＜3x ．2015-2016学年河北省衡水中学高三（下）同步月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={﹣1，i}，i为虚数单位，则下列选项正确的是（）A．∈A B．∈A C．i5∈A D．|﹣i|∈A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简四个选项得答案，【解答】解：∵，，i5=i4•i=i，|﹣i|=1．又A={﹣1，i}，∴i5∈A．故选：C．2．设全集U=R，A={x|2x（x﹣2）＜1}，B={x|y=ln（1﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x≥1} B．{x|x≤1} C．{x|0＜x≤1} D．{x|1≤x＜2}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】由题意，2x（x﹣2）＜1，1﹣x＞0，从而解出集合A、B，再解图中阴影部分表示的集合．【解答】解：∵2x（x﹣2）＜1，∴x（x﹣2）＜0，∴0＜x＜2；∴A={x|2x（x﹣2）＜1}=（0，2）；又∵B={x|y=ln（1﹣x）}=（﹣∞，1），∴图中阴影部分表示的集合为[1，2）；故选D．3．设函数，则f[f（2）]=（）A．B．2e2C．2e D．2【考点】函数的值．【分析】先求出f（2）==﹣1，由f[f（2）]=f（﹣1），能求出结果．【解答】解：∵，∴f（2）==﹣1，f[f（2）]=f（﹣1）=2e﹣1+1=2．故选：D．4．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图（两坐标轴单位长度相同），用回归直线=bx+a近似的刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是（）A．线性相关关系较强，b的值为1.25B．线性相关关系较强，b的值为0.83C．线性相关关系较强，b的值为﹣0.87D．线性相关关系太弱，无研究价值【考点】散点图．【分析】根据散点图中点的分布特点即可得到结论．【解答】解：由散点图可得，点的分布比较集中在一条直线赋值，∴语文成绩和英语成绩之间具有线性相关关系，且线性相关关系较强，由于所有的点都在直线y=x的下方，∴回归直线的斜率小于1，故结论最有可能成立的是B，故选：B．5．下列结论中，正确的是（）①命题“若p2+q2=2，则p+q≤2”的逆否命题是“若p+q＞2，则p2+q2≠2”；②已知为非零的平面向量，甲：，乙：，则甲是乙的必要条件，但不是充分条件；③命题p：y=a x（a＞0且a≠1）是周期函数，q：y=sinx是周期函数，则p∧q是真命题；④命题的否定是¬p：∀x∈R，x2﹣3x+1＜0．A．①② B．①④ C．①②④D．①③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由原命题和逆否命题的关系判断①正确；由，可得或与垂直判断②正确；由命题p为假命题，可得③错误；直接写出特称命题的否定判断④．【解答】解：①命题“若p2+q2=2，则p+q≤2”的逆否命题是“若p+q＞2，则p2+q2≠2”故①正确；②已知为非零的平面向量，甲：，乙：，由，可得或与垂直，则甲是乙的必要条件，但不是充分条件，故②正确；③命题p：y=a x（a＞0且a≠1）是周期函数为假命题，q：y=sinx是周期函数为真命题，则p∧q是假命题，故③错误；④命题的否定是¬p：∀x∈R，x2﹣3x+1＜0，故④正确．∴正确的命题是①②④．故选：C．6．已知三棱锥O﹣ABC的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，∠AOB=120°，当△AOC与△BOC的面积之和最大时，三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意当△AOC与△BOC的面积之和最大时，CO⊥平面OAB，利用体积公式，即可求出三棱锥O﹣ABC的体积．【解答】解：由题意当△AOC与△BOC的面积之和最大时，CO⊥平面OAB，∴当△AOC与△BOC的面积之和最大时，三棱锥O﹣ABC的体积为=．故选：B．7．阅读如图所示的程序框图，输出S的值是（）A．0 B．C．﹣D．﹣【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+sin+…+sin的值，根据正弦函数的周期性即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin+sin+…+sin的值，由于sin+sin+…+=0（k∈Z），2015=335×6+5，所以S=sin+sin+…+sin=sin+sin+…+sin=0，故选：A．8．椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P在椭圆上一点，∠OPA=90°，则该椭圆的离心率e的范围是（）A．[，1） B．（，1）C．[，）D．（0，）【考点】椭圆的简单性质．【分析】可设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0）．设P（x，y），由于∠OPA=90°，可得点P在以OA为直径的圆上．该圆为：，化为x2﹣ax+y2=0．与椭圆的方程联立可得：（b2﹣a2）x2+a3x﹣a2b2=0，得到，解得，由于0＜x＜a，可得，解出即可．【解答】解：可设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0）．设P（x，y），∵∠OPA=90°，∴点P在以OA为直径的圆上．该圆为：，化为x2﹣ax+y2=0．联立化为（b2﹣a2）x2+a3x﹣a2b2=0，则，解得，∵0＜x＜a，∴，化为c2＞b2=a2﹣c2，∴，又1＞e＞0．解得．∴该椭圆的离心率e的范围是．故选：C．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．5 B．4 C．2 D．1【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个正方体切去一介三棱柱和两个三棱锥所得的组合体，分别计算体积，相减可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个四棱柱切去两个三棱锥所得的组合体，其直观图如下图所示：故几何体的体积V=2×2×2﹣×1×2×2﹣××1×1×2﹣××1×2×2=5，帮选：A10．如图，在△ABC中，N为线段AC上接近A点的四等分点，若，则实数m的值为（）A．B．C．1 D．3【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】由题意可知： =，设=λ， =+=（1﹣λ）+，由=m+，根据向量相等可知：，即可求得m的值．【解答】解：N为线段AC上接近A点的四等分点，∴=，设=λ，则=+=+λ（﹣）=（1﹣λ）+λ=（1﹣λ）+，∵=m+，∴，即λ=，m=，故答案选：A．11．设数列{an }满足a1=1，a2+a4=6，且对任意n∈N*，函数f（x）=（an﹣an+1+an+2）x+an+1•cosx﹣an+2sinx满足若，则数列{cn}的前n项和Sn为（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【分析】依题意，可求得a n ﹣2a n+1+a n+2=0，于是知数列{a n }是等差数列，设其公差为d ，由a 1=1，a 2+a 4=6，可求得a n =n ，于是知c n =a n +=n+，利用分组求和的方法即可求得答案．【解答】解：∵f （x ）=（a n ﹣a n+1+a n+2）x+a n+1•cosx﹣a n+2sinx ，∴f′（x ）=a n ﹣a n+1+a n+2﹣a n+1•sinx﹣a n+2cosx，=a n ﹣2a n+1+a n+2，∵f′（）=0，∴a n ﹣2a n+1+a n+2=0，即2a n+1=a n +a n+2， ∴数列{a n }是等差数列，设其公差为d ， ∵a 2+a 4=6，∴2a 1+4d=6，a 1=1， ∴d=1，∴a n =1+（n ﹣1）×1=n ，∴c n =a n +=n+，∴S n =c 1+c 2+…+c n=（1+2+…+n ）+（++…+）=+=﹣．故选：C ．12．已知定义在R 上的函数y=f （x ）对任意的x 都满足f （x+2）=f （x ），当﹣1≤x ＜1时，f （x ）=sinx ，若函数g （x ）=f （x ）﹣log a |x|至少6个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．（0，]∪（5，+∞）B ．（0，）∪[5，+∞）C ．（，]∪（5，7）D ．（，）∪[5，7）【考点】函数零点的判定定理．【分析】分a ＞1与0＜a ＜1讨论，结合题意作两个函数的图象，利用数形结合求解即可． 【解答】解：当a ＞1时，作函数f （x ）与函数y=log a |x|的图象如下，，结合图象可知，，故a＞5；|x|的图象如下，当0＜a＜1时，作函数f（x）与函数y=loga，结合图象可知，，故0＜a≤．故选A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．二项式的展开式的系数和为256，则a的值为﹣1或﹣5 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】由题意利用二项式系数的性质解答即可．【解答】解：令x=1，则（a+3）n的展开式的系数和为256，据二项展开式的二项式系数和的性质：展开式的二项式系数和为2n∴2n=256，∴n=8，∴a+3=±2，解得a=﹣1或﹣5．故答案是：﹣1或﹣5．14．设等差数列{a n }满足，其前n 项和为S n ，若数列也为等差数列，则的最大值为 121 ．【考点】等差数列的前n 项和．【分析】设等差数列{a n }的公差为d ，则=+，可得=1+，解得d ，再利用等差数列的通项公式、求和公式可得a n ，S n+10，进而得出．【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，则=+，∴=1+，解得d=2，∴S n+10=（n+10）×1+×2=（n+10）2，=[1+2（n ﹣1）]2=（2n ﹣1）2．∴===≤121，当n=1时取等号，∴的最大值为121．故答案为：121．15．已知实数x ，y 满足条件，若不等式m （x 2+y 2）≤（x+y ）2恒成立，则实数m 的最大值是 ．【考点】简单线性规划．【分析】利用分式不等式的性质将不等式进行分类，结合线性规划以及恒成立问题．利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由题意知：可行域如图，又∵m （x 2+y 2）≤（x+y ）2在可行域内恒成立．且m ≤=1+=1+=1+，故只求z=的最大值即可．设k=，则有图象知A （2，3），则OA 的斜率k=，BC 的斜率k=1，由图象可知即1≤k ≤，∵z=k+在1≤k ≤， 上为增函数，∴当k=时，z 取得最大值z=+=，此时1+=1+=1+=，故m ≤，故m 的最大值为，故答案为：16．设函数f （x ）=，对任意x 1、x 2∈（0，+∞），不等式恒成立，则正数k 的取值范围是 k ≥1 ．【考点】函数恒成立问题．【分析】当x ＞0时，=，利用基本不等式可求f （x ）的最小值，对函数g （x ）求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求g （x ）的最大值，由恒成立且k ＞0，则，可求【解答】解：∵当x ＞0时，==2e∴x 1∈（0，+∞）时，函数f （x 1）有最小值2e∵∴=当x ＜1时，g′（x ）＞0，则函数g （x ）在（0，1）上单调递增当x ＞1时，g′（x ）＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减 ∴x=1时，函数g （x ）有最大值g （1）=e 则有x 1、x 2∈（0，+∞），f （x 1）min =2e ＞g （x 2）max =e∵恒成立且k ＞0，∴∴k≥1故答案为k≥1三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等比数列，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设的值．【考点】余弦定理；等比数列的性质；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由cosB的值和B的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，又a，b，c成等比数列，根据等比数列的性质及正弦定理化简得到一个关系式，然后把所求的式子利用同角三角函数间的基本关系及两角和与差的正弦函数公式化简后，将得到的关系式和sinB的值代入即可求出值；（Ⅱ）根据平面向量的数量积得运算法则及cosB的值化简•=，即可得到ac的值，进而得到b2的值，然后由余弦定理和完全平方公式，由b2和ac及cosB的值，即可得到a+c 的值．【解答】解：（Ⅰ）由，由b2=ac及正弦定理得sin2B=sinAsinC．于是=．（Ⅱ）由．由余弦定理：b2=a2+c2﹣2ac•cosB，又b2=ac=2，cosB=，得a2+c2=b2+2ac•cosB=2+4×=5，则（a+c）2=a2+c2+2ac=5+4=9，解得：a+c=3．18．同时抛掷两枚骰子，将得到的点数分别记为a，b．（1）求a+b=7的概率；（2）求点（a，b）在函数y=2x的图象上的概率；（3）将a，b，4的值分别作为三条线段的长，将这两枚骰子抛掷三次，ξ表示这三次抛掷中能围成等腰三角形的次数，求ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）所有基本事件的个数为6×6=36．其中满足a+b=7的基本事件（a，b）有一下6个：（6，1），（1，6），（5，2），（2，5），（4，3），（3，4），即可得出P（a+b=7）．（2）设“点（a，b）在函数y=2x的图象上”为事件B，包含两个基本事件（1，2），（2，4），即可得出．（3）记“以a，b，4的值为边长能够组成等腰三角形”为事件C，共包含14个基本事件．可得P（C）==．ξ的可能值为0，1，2，3．P（ξ=k）=，（k=0，1，2，3）．即可得出分布列与数学期望．【解答】解：（1）所有基本事件的个数为6×6=36．其中满足a+b=7的基本事件（a ，b ）有一下6个：（6，1），（1，6），（5，2），（2，5），（4，3），（3，4）．∴P （a+b=7）==．（2）设“点（a ，b ）在函数y=2x 的图象上”为事件B ，包含两个基本事件（1，2），（2，4），∴P （B ）==．（3）记“以a ，b ，4的值为边长能够组成等腰三角形”为事件C ，共包含14个基本事件．∴P （C ）==．ξ的可能值为0，1，2，3．P （ξ=k ）=，（k=0，1，2，3）．∴E （ξ）=3×=．19．已知△ABC 是边长为3的等边三角形，点D 、E 分别是边AB ，AC 上的点，且满足==．将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，并使得平面A 1DE ⊥平面BCED ． （1）求证：A 1D ⊥EC ；（2）设P 为线段BC 上的一点，试求直线PA 1与平面A 1BD 所成角的正切的最大值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的性质．【分析】（1）等边△ABC 的边长为3，且==，求得AD 和AE 的值．进而由余弦定理得DE ，根据AD 2+DE 2=AE 2，判断AD ⊥DE 折叠后A 1D ⊥DE ，根据平面A 1DE ⊥平面BCED ，又平面利用线面垂直的判定定理推断出A 1D ⊥平面BCED ，进而可知A 1D ⊥EC ．（2）作PH ⊥BD 于点H ，连结A 1H 、A 1P ，由（1）有A 1D ⊥平面BCED ，而PH ⊂平面BCED ，推断出A 1D ⊥PH ，又A 1D∩BD=D，进而根据线面垂直的判定定理知PH ⊥平面A 1BD ，推断出∠PA 1H 是直线PA 1与平面A 1BD 所成的角，设出PB ，分别表示出BH ，PH ，DH 进利用勾股定理求得A 1H 的表达式，继而在Rt △PA 1H 中，表示出tan ∠PA 1H ，对x 进行分类讨论，利用函数的思想求得tan ∠PA 1H 的最大值．【解答】证明：（1）因为等边△ABC 的边长为3，且==，所以AD=1，AE=2．在△ADE 中，∠DAE=60°，由余弦定理得DE==．因为AD 2+DE 2=AE 2， 所以AD ⊥DE ．折叠后有A 1D ⊥DE ，因为平面A 1DE ⊥平面BCED ，又平面A 1DE∩平面BCED=DE ， A 1D ⊂平面A 1DE ，A 1D ⊥DE ，所以A 1D ⊥平面BCED故A 1D ⊥EC ．（2）如图，作PH ⊥BD 于点H ，连结A 1H 、A 1P ， 由（1）有A 1D ⊥平面BCED ，而PH ⊂平面BCED ， 所以A 1D ⊥PH ，又A 1D∩BD=D，所以PH ⊥平面A 1BD ， 所以∠PA 1H 是直线PA 1与平面A 1BD 所成的角，设PB=x （0≤x ≤3），则BH=，PH=，DH=BD ﹣BH=2﹣所以A 1H==所以在Rt △PA 1H 中，tan ∠PA 1H==①若x=0，则tan ∠PA 1H===0，②若x ≠0则tan ∠PA 1H===令=t （t ≥），y=20t 2﹣8t+1因为函数y=20t 2﹣8t+1在t ≥上单调递增，所以y min =20×﹣+1=所以tan ∠PA 1H 的最大值为=（此时点P 与C 重合）20．已知F 是抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点，点P （1，t ）在抛物线C 上，且|PF|=． （1）求p ，t 的值；（2）设O 为坐标原点，抛物线C 上是否存在点A （A 与O 不重合），使得过点O 作线段OA 的垂线与抛物线C 交于点B ，直线AB 分别交x 轴、y 轴于点D ，E ，且满足S △OAB =（S△OAB表示△OAB 的面积，S △ODE 表示△ODE 的面积）？若存在，求出点A 的坐标，若不存在，请说明理由．【考点】抛物线的简单性质． 【分析】（1）根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，可得p 值，进而可得t 值； （2）由题意，直线OA 的斜率存在，且不为0，根据抛物线的对称性，考虑A 在第一象限．设出直线方程与抛物线方程联立，可得A ，B 的坐标，进而可得E 的坐标，利用S △OAB =，即可得出结论．【解答】解：∵点 P （1，t ）为抛物线y 2=2px （p ＞0）上一点，F 是抛物线的焦点，|PF|=，∴1+=，解得：p=1，故抛物线的方程为：y 2=2x ，将x=1代入可得：t=±；（2）由题意，直线OA 的斜率存在，且不为0，根据抛物线的对称性，考虑A 在第一象限．设直线OA 的方程为y=kx （k ＞0），OA ⊥OB ，直线OB 的方程为y=﹣x ．由，得k 2x 2=2x ，∴x=0（舍去）或x=，即A （，）．同理B （2k 2，﹣2k ）．∵k=1时，AB ⊥y 轴，不符合题意，∴直线AB 的方程为y+2k=（x ﹣2k 2），即y+2k=（x ﹣2k 2），∴E （0，）．∵S △OAB =，∴|y A |+|y B |=|y E |， ∵y A ，y B 异号，∴|y A |+|y B |=|y A ﹣y B |=|y E |，∴||=•||∴k 2=或2，∴A （4，2）或A （1，），由对称性，可得A （4，±2）或A （1，±）．21．已知函数 f （x ）=x 2﹣（3a+1）x+2a （a+1）lnx （a ＞0）（Ⅰ）若函数f （x ）在x=1处的切线与直线3x ﹣y+2=0平行，求a 的值：（Ⅱ）求函数f （x ）的单调区间；（Ⅲ）在（I ）的条什下，若对职∀x ∈[1，e]，f （x ）≥k 2+6k 恒成立，求实数k 的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）由导数值即曲线的斜率即可求得；（Ⅱ）利用导数求函数的单调区间，注意对a 进行讨论；（Ⅲ）把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题解决，对∀x ∈[1，e]，f （x ）≥k 2+6k 恒成立，即求f （x ）min ≥k 2+6k 恒成立．【解答】解：（Ⅰ）f′（x ）=x ﹣（3a+1）+﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣1分∵函数f （x ）在x=1处的切线与直线3x ﹣y+2=0平行，∴f′（1）=1﹣（3a+1）+2a（a+1）=3，即2a2﹣a﹣3=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分解得a=或a=﹣1（不符合题意，舍去），∴a=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4分（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=x﹣（3a+1）+﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分①当0＜a＜1时，2a＜a+1，∴当0＜x＜2a或x＞a+1时，f′（x）＞0，当2a＜x＜a+1时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（0，2a）和（a+1，+∞）上单调递增，在（2a，a+1）上单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7分②当a=1时，2a=a+1，f′（x）≥0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8分③当a＞1时，2a＞a+1，∴0＜x＜a+1或x＞2a时，f′（x）＞0；a+1＜x＜2a时，f′（x）＜0，∴函数f（x）在（0，a+1）和（2a，+∞）上单调递增，在（a+1，2a）上单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分（Ⅲ）当a=时，f（x）=﹣+lnx，由（Ⅱ）知函数f（x）在（0，）上单调递增，在（，3）上单调递减，因此f（x）在区间1，e]的最小值只能在f（1）或f（e）中取得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣11分∵f（1）=﹣5，f（e）=﹣+，∴f（e）﹣f（1）=．设g（x）=x2﹣11x+25，则g（x）在（﹣∞，）上单调递减，且e＜3＜，∴g（e）＞g（3），故f（e）﹣f（1）＞0．∴f（x）在区间1，e]的最小值是f（1）=﹣5．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣13分≥k2+6k恒成立，若要满足对对∀x∈[1，e]，f（x）≥k2+6k恒成立，只需f（x）min即求﹣5≥k2+6k恒成立，即k2+6k+5≤0，解得﹣5≤k≤﹣1．∴实数k的取值范围是[﹣5，﹣1]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣14分请考生在22～24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1，几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．（1）证明：AE是⊙O的切线；（2）如果AB=2，AE=，求CD．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）首先通过连接半径，进一步证明∠DAE+∠OAD=90°，得到结论．（2）利用第一步的结论，找到△ADE∽△BDA的条件，进一步利用勾股定理求的结果【解答】（1）证明：连结OA，在△ADE中，AE⊥CD于点E，∴∠DAE+∠ADE=90°∵DA平分∠BDC．∴∠ADE=∠BDA∵OA=OD∴∠BDA=∠OAD∴∠OAD=∠ADE∴∠DAE+∠OAD=90°即：AE是⊙O的切线（2）在△ADE和△BDA中，∵BD是⊙O的直径∴∠BAD=90°由（1）得：∠DAE=∠ABD又∵∠BAD=∠AED∵AB=2求得：BD=4，AD=2∴∠BDA=∠ADE=∠BDC=60°进一步求得：CD=2故答案为：（1）略（2）CD=2[选修4-4，坐标系与参数方程]23．已知在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，曲线（α为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系，直线．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）曲线C上恰好存在三个不同的点到直线l的距离相等，分别求出这三个点的极坐标．【考点】圆方程的综合应用；参数方程化成普通方程．【分析】（1）消去参数α，即可得到曲线C的普通方程，利用极坐标与直角坐标互化求出直线l的直角坐标方程；（2）求出圆的圆心与半径，求出三个点的坐标，然后求解极坐标．【解答】解：（1）曲线，可得：，曲线C的普通方程：x2+y2=4．直线=，直线l的直角坐标方程：x+y﹣2=0．（2）∵圆C的圆心（0，0）半径为：2，，圆心C到直线的距离为1，∴这三个点在平行直线l1与 l2上，如图：直线l1与 l2与l的距离为1．l1：x+=0，l2：x+﹣4=0．，可得，，两个交点（﹣，1），（，﹣1）；，解得（1，），这三个点的极坐标分别为：（2，），（2，），（2，）[选修4-5，不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣3|+|x﹣2|+k．（Ⅰ）若f（x）≥3恒成立，求后的取值范围；（Ⅱ）当k=1时，解不等式：f（x）＜3x．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）根据f（x）≥3恒成立，得到|x﹣3|+|x﹣2|的最小值大于等于3﹣k，求出|x﹣3|+|x﹣2|的最小值即可确定出k的取值范围；（Ⅱ）把k=1代入不等式，分情况讨论x的范围，利用绝对值的代数意义化简，求出不等式的解集即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得|x﹣3|+|x﹣2|+k≥3，对∀x∈R恒成立，即（|x﹣3|+|x﹣2|）min≥3﹣k，又|x﹣3|+|x﹣2|≥|x﹣3﹣x+2|=1，∴（|x﹣3|+|x﹣2|）min=1≥3﹣k，解得：k≥2；（Ⅱ）当k=1时，不等式可化为f（x）=|x﹣3|+|x﹣2|+1＜3x，当x≤2时，变形为5x＞6，解得：x＞，此时不等式解集为＜x≤2；当2＜x＜3时，变形为3x＞2，解得：x＞，此时不等式解集为2＜x＜3；当x≥3时，不等式解得：x＞﹣4，此时不等式解集为x≥3，综上，原不等式的解集为（，+∞）．2016年11月3日。
【全国百强校首发】河北省衡水中学2016届高三下学期二调考试数学(理)试题
河北省衡水中学2015-2016学年度下学期高三年级二调考试理科试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}1,3,4,5A =，集合{}2|450B x Z x x =∈--<，则A B 的子集个数为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．162.如图，复平面上的点1234,,,Z Z Z Z 到原点的距离都相等，若复数z 所对应的点为1Z ，则复数z i ⋅（i 是虚数单位）的共轭复数所对应的点为（ ） A ．1Z B ．2Z C ．3Z D ．4Z3.下列四个函数中，在0x =处取得极值的函数是（ ）①3y x =；②21y x =+；③y x =；④2xy =A ．①②B ．①③C ．③④D ．②③5.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．86.两个等差数列的前n 项和之比为51021n n +-，则它们的第7项之比为（ ）A ．2B ．3C ．4513D ．70277.在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布()()21000，σσ>，若ξ在（80,120）内的概率为0.8，则落在（0,80）内的概率为（ ）A ．0.05B ．0.1C ．0.15D ．0.28.函数()()sin 0,0f x A x A ωω=>>的部分图象如图所示，()()()()1232015f f f f +++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．0B ．32C ．62D ．2-9.若()()7280128112x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，则127a a a ++⋅⋅⋅+的值是（ ） A ．-2 B ．-3 C ．125 D ．-13110.已知圆221:20C x cx y ++=，圆222:20C x cx y -+=，椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>，焦距为2c ），若圆12,C C 都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ） A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．102，⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ D ．202，⎛⎤⎥ ⎝⎦11.定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数()1y f x =-的图象关于（1,0）成中心对称，若,s t 满足不等式()()2222f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，2t ss t-+的取值范围是（ ） A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．15,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦12.正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为3，此时四面体ABCD 外接球表面积为（ ）A ．7πB ．19πC ．776π D ．19196π 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为 .14.已知向量AB 与AC 的夹角为60°，且||||2AB AC ==，若AP AB AC λ=+，且AP BC ⊥，则实数λ的值为 .15.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的半焦距为c ，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线24y cx =的准线被双曲线截得的弦长是2223be （e 为双曲线的离心率），则e 的值为 .16.用()g n 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，()99,10g =的因数有1,2,5,10，()105g =，那么()()()()201512321g g g g +++⋅⋅⋅+-= .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本小题满分12分)在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知7,3,7sin sin 23a b B A ==+=.(1)求角A 的大小； (2)求ABC ∆的面积. 18. (本小题满分12分)某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”.(1)当3a b ==时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n ，比较m ，n 的大小关系；(2)在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望；(3)若1a =，记乙型号电视机销售量的方差为2s ，根据茎叶图推断b 为何值时，2s 达到最小值.(只需写出结论)19. (本小题满分12分)如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，60BAD ∠=，DE AB ⊥于点E ，将ADE∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D DC ⊥，如图2. (1)求证：1A E ⊥平面BCDE ； (2)求二面角1E A B C --的余弦值；(3)判断在线段EB 上是否存在一点P ，使平面1A DP ⊥平面1A BC ？若存在，求出EPPB的值；若不存在，说明理由.20. (本小题满分12分)如图，已知椭圆：2214x y +=，点,A B 是它的两个顶点，过原点且斜率为k 的直线l 与线段AB 相交于点D ，且与椭圆相交于,E F 两点. (1)若6ED DF =，求k 的值； (2)求四边形AEBF 面积的最大值.21. (本小题满分12分)设函数()()22ln f x x a x a x =---.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 有两个零点，求满足条件的最小正整数a 的值； (3)若方程()()f x c c R =∈有两个不相等的实数根12,x x ，比较12'2x x f +⎛⎫⎪⎝⎭与0的大小.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. (本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，直线PQ 与⊙O 相切于点,A AB 是⊙O 的弦，PAB ∠的平分线AC 交⊙O 于点C ，连接CB ，并延长与直线PQ 相交于Q 点.(1)求证：22QC BC QC QA ⋅=-； (2)若6,5AQ AC ==，求弦AB 的长.23. (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为232252x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C 的方程为25sin ρθ=. (1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)若点P 坐标()3,5，圆C 与直线l 交于,A B 两点，求|||PB |PA +的值. 24. (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲(1)已知函数()13f x x x =-++，求x 的取值范围，使()f x 为常函数； (2)若222,,z R,x 1x y y z ∈++=，求225m x y z =++的最大值.参考答案及解析一、选择题1. C2.B3.D4.D5.B6.B7.B8.A9.C 10.B 11.D 12.A 二、填空题13. 433 14.1 15. 62 16. 2015413-三、解答题17.解：(1)在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B=，得73sin sin A B =，即7sin 3sin B A =.(3分) 又因为7sin sin 23B A +=，所以3sin 2A =. (5分)当1c =时，因为2227cos 0214a c b B ac +-==-<，所以角B 为钝角，不符合题意，舍去.当2c =时，因为2227cos 0214a cb B ac +-==>，又,,b c b a B C B A >>⇒>>，所以ABC ∆为锐角三角形，符合题意.所以ABC ∆的面积11333sin 322222S bc A ==⨯⨯⨯=. (12分) 18.解：(1)根据茎叶图，得2数据的平均数为101014182225273041432410+++++++++=.(1分)乙组数据的平均数为1018202223313233334326.510+++++++++=.(2分)由茎叶图，知甲型号电视剧的“星级卖场”的个数5m =，乙型号电视剧的“星级卖场”的个数5n =，所以m n =. (4分)(2)由题意，知X 的所有可能取值为0,1,2. (5分)且()0255210209C C P X C ===，()()11025555221010521299，C C C C P X P X C C ======，（8分） 所以X 的分布列为X 0 1 2P所以()2520121999+=E X =⨯+⨯⨯. （10分） （3）当0b =时，2s 达到最小值. (12分)19.解：（1）∵DE BE ⊥，//BE DC ，∴DE DC ⊥，又∵1A D DC ⊥，1A D DE D =，∴DC ⊥平面1A DE .∴1DC A E ⊥，又∵1A E DE ⊥，DCDE D =，∴1A E ⊥平面BCDE ；(4分)（2）∵1A E ⊥平面BCDE ，DE BE ⊥，∴以EB ，ED ，1EA 分别为x 轴，y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系，易知23DE =，则1(0,0,2)A ，(2,0,0)B ，(4,23,0)C ，(0,23,0)D ，∴1(2,0,2)BA =-，(2,23,0)BC =，平面1A BE 的一个法向量(0,1,0)n =，设平面1A BC 的法向量(,,)m x y z =，由10BA m ⋅=，0BC m ⋅=，得2202230x z x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令1y =，得(3,1,3)m =--，∴7c o s ,7||||m n m n m n ⋅<>==⋅，由图，得二面角1E A B C --为钝二面角，∴二面角1E A B C --的余弦值为77-； （8分） （3）假设在线段EB 上存在一点P ，使得平面1A DP ⊥平面1A B C ，设(,0,0)(02)P t t ≤≤，则1(,0,2)A P t =-，1(0,23,2)A D =-，设平面1A DP 的法向量为111(,,)p x y z =，由10A D p ⋅=，10A P p ⋅=，得1111232020y z tx z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令12x =，得(2,,)3tp t =，∵平面1A DP ⊥平面1A BC ，∴0m p ⋅=，即23303tt -+=，解得3t =-， ∵02t ≤≤，∴在线段EB 上不存在点P ，使得平面1A DP ⊥平面1A BC ．(12分 )29592920.解：(1)依题设得椭圆的顶点()()2,0,0,1A B ，则直线AB 的方程为220x y +-=.(1分)设直线EF 的方程为()0y kx k =>.设()()()001122,,,,，D x kx E x kx F x kx ，其中12x x <.联立直线l 与椭圆的方程2214x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，消去y ，得方程()22144k x +=.(3分)故212214x x k=-=+，由6ED DF =知，()02206x x x x -=-，得()021221510677714x x x x k=+==+，由点D 在线段AB 上，知00220x kx +-=，得0212+x k =，所以221012714=++k k ，化简，得2242560k k -+=，解得23k =或38k =.（6分） (2)根据点到直线的距离公式，知点,A B 到线段EF 的距离分别为122221,1414k h h kk==++，又2241||14k EF k +=+，所以四边形AEBF 的面积为()()212222121144||221414k k k S EF h h k k+++=+==++ 2442121221144k+k k k==+≤++，当且仅当14k k =，即12k =时，取等号.所以四边形AEBF 面积的最大值为22.(12分)21.解：(1) ()()()22221'220-（）（)(）a x a x a x a x f x x a x x x x---+=---==>．当0a ≤时， ()'0f x >，函数()f x 在()0,+∞上单调递增， 所以函数()f x 的单调增区间为()0,+∞，无单调减区间．当0a >时，由()'0f x >，得2a x >；由()'0f x <，得02a x <<. 所以函数()f x 的单调增区间为,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调减区间为0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭.（4分） (2)由(1)得，若函数()f x 有两个零点，则0a >，且()f x 的最小值02a f ⎛⎫<⎪⎝⎭，即244ln 02a a a a -+-<.因为0a >，所以4ln402aa +->. 令()4ln42ah a a =+-，显然()h a 在()0,+∞上为增函数，且 ()()381220,34ln1ln 10216h h =-<=-=->，所以存在()()002,3,0a h a ∈=. 当0a a >时，()0h a >；当00a a <<时，()0h a <.所以满足条件的最小正整数3a =. 又当3a =时，()()()332ln 30,10f f =->=，所以3a =时，()f x 有两个零点． 综上所述，满足条件的最小正整数a 的值为3.(3)证明：因为12,x x 是方程()f x c =的两个不等实根，由(1)知0a >.不妨设120x x <<，则()()22111222-2ln ,-2ln ,x a x a x c x a x a x c --=--= 两式相减得()()221112222ln 2ln 0x a x a x x a x a x ----+-+=，即()2211221122112222ln ln ln ln x x x x ax a x ax a x a x x x x +--=+--=+--．所以221122112222ln ln ＋－－＋－－x x x x a x x x x =.因为'02a f ⎛⎫=⎪⎝⎭，当0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，当,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，故只要证122x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＋> 2a即可，即证明22112211221222ln ln ＋－－＋－－x x x x x x x x x x +>， 即证明()()22221212121122ln ln 22x x x x x x x x x x -++-<+--，即证明11221222ln－＋x x x x x x <.设t ＝()1201xt t x =<<．令()22ln 1－＋t g t t t =-，则()()()222114'11（）t g t t t t t -=-=++.因为0t >，所以()'0g t ≥，当且仅当1t =时，()'0g t =，所以()g t 在()0,+∞上是增函数． 又()10g =，所以当()()0,1,0t g t ∈<总成立．所以原题得证．（12分）22. 解：(1)∵PQ 与⊙O 相切于点A ,∴由切割线定理得()2QA QB QC QC BC QC =⋅=-⋅，∴22QC BC QC QA ⋅=-.(5分)(2)∵PQ 与⊙O 相切于点A ,∴PAC CBA ∠=∠,∵,PAC BAC BAC CBA ∠=∠∴∠=∠,∴5AC BC ==.由6AQ =及(1)知，9QC =.由QAB QCA ∠=∠，知QAB QCA ∆=∆，∴ABQACA QC =，∴103AB =.(10分) 23. 解：(1)由232252x ty t⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得直线l 的普通方程为350x y ---=.(2分)又由25sin ρθ=得圆C 的直角坐标方程为22250x y y +-=，即()2255x y +-=.(5分)（2）把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得22223522t t ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即23240t t -+=，由于()2324420∆=-⨯->，故可设12,t t 是上述方程的两实数根，所以1212324t t t t ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，又直线l 的过点()3,5，,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，所以12|||PB||||t |32PA t +=+=.(10分)24.解：(1) ()22,3134,3122,1x x f x x x x x x --<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩.(4分)则当[]3,1x ∈-时，()f x 为常函数.(5分) （2）由柯西不等式得()()()()()2222222x 225225y z x y z ⎡⎤++++≥++⎢⎥⎣⎦，所以32253x y z -≤++≤，当且仅当222x y z ==，即225,,333x y z ===时，取最大值，因此m 的最大值为3.（10分）。
精品：【全国百强校】河北省衡水中学2016届高三下学期猜题卷文数试题(解析版)
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知全集U R =，集合{}|22A x x =-<<，()(){}|130B x x x =+-≤，则()R A C B 等于（ ）A ．(1,2)-B ．(]2,1--C ．()2,1--D ．()2,3 【答案】C. 【解析】试题分析：由题意得，(2,2)A =-，[1,3]B =-，∴(,1)(3,)R C B =-∞-+∞，∴()(2,1)R AC B =--，故选C.考点：集合的运算．2.设复数z 的共轭复数为z ，且满足11iz z i+-=-，i 为虚数单位，则复数z 的虚部是（ ） A ．12 B ．2 C ．12- D ．-2 【答案】A.考点：复数的计算．3.如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为23，则阴影区域的面积为（ ）A ．43 B ．83 C ．23D ．无法计算 【答案】B.试题分析：设阴影部分的面积为S ，由几何概型可知28433S S =⇒=，故选B. 考点：几何概型． 4.已知1a >，22()x xf x a+=，则使()1f x <成立的一个充分不必要条件是（ ）A ．20x -<<B ．21x -<<C ．10x -<<D ．10x -<≤ 【答案】C.考点：1.指数函数的性质；2.充分必要条件．5.定义运算*a b 为执行如图所示的程序框图输出的S 值，则(sin)*(cos )33ππ的值为（ ）A B C ．14 D【答案】D. 【解析】试题分析：分析程序框图可知，应输出sin cos33S ππ=⋅=，故选D. 考点：1.程序框图；2.三角函数．6.已知向量(3,1)a =，(1,3)b =，(,2)c k =-，若()//a c b -，则向量a 与向量c 的夹角的余弦值是（ ）A B ．15 C ． D ．15-【答案】A.试题分析：由题意得，(3,3)a c k -=-，又∵()//a c b -，∴(3)3312k k -⋅=⋅⇒=，∴cos ,||||10a c a c a c ⋅<>===⋅，故选A. 考点：平面向量数量积．7.设函数()()sin 0f x x ωω=>，将()y f x =的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，则ω的最小值是（ ） A ．13B ．3C ．6D ．9 【答案】B.考点：三角函数的图象变换8.一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（ ）A ．12 B C ．174 D 【答案】C. 【解析】试题分析：分析三视图可知，该几何体为如下图所示的三棱锥P ABC -，其中底面ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，平面PAC ⊥平面ABC ，故球心O 在底面ABC 的投影为ABC ∆的外心，即AC 的中点D ，如图所示，则可知22217(4)4R R R +-=⇒=，故选C.考点：1.三视图；2、三棱锥的外接球．9.若整数x，y满足不等式组2502700,0x yx yx y+->⎧⎪+->⎨⎪≥≥⎩，则34x y+的最小值为（）A．13 B．16 C．17 D．18 【答案】B.考点：线性规划．10.过抛物线()220y px p =>的焦点F 作倾斜角为60°的直线l 交抛物线于A ，B 两点，且AF BF >，则AFBF的值为（ ） A ．3 B ．2 C ．32 D ．43【答案】A.考点：抛物线焦点弦的性质．【名师点睛】若AB 为抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，F 为抛物线焦点，A ，B 两点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则：2124p x x =，212y y p =-，以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切，112||||AF BF p+=.11.已知数列{}n a 是等比数列，若2568a a a =-，则151959149a a a a a a ++（ ） A ．有最大值12 B ．有最小值12 C ．有最大值52 D ．有最小值52【答案】D.考点：1.等比数列的性质；2.基本不等式求最值．【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要注意一正，二定，三相等.“一正”是指使用均值不等式的各项(必要时，还要考虑常数项)必须是正数；“二定”是指含变数的各项的和或积必须是常数；“三相等”是指具备等号成立的条件，使待求式能取到最大或最小值.12.已知函数()xf x xe =（注：e 是自然对数的底数），方程()()()210fx tf x t R ++=∈有四个实数根，则t 的取值范围为（ ）A ．21(,)e e ++∞B ．21(,)e e +-∞-C ．21(,2)e e +--D ．21(2,)e e+ 【答案】B. 【解析】试题分析：当0>x 时：x xe x f =)(，'()(1)0xf x e x =+>，故)(x f 在(0,)+∞上单调递增，当0x <时，()xf x xe =-，'()(1)xf x e x =--，∴()f x 在(,1)-∞-上单调递增，(1,0)-上单调递减， ∴()f x 的函数图象大致如下图所示，从而由题意可知，关于x 的一元二次二次方程210x tx ++=的两根1x ，2x 只需满足1210x x e<<<，只需22111()10e t t e e e ++⋅+<⇒<-，即实数t 的取值范围是21(,)e e+-∞-，故选B.考点：函数与方程综合题．【名师点睛】函数与方程综合题，一般需结合函数在该区间的单调性、极值等性质进行判断，对于解析式较复杂的函数的零点，可根据解析式特征，利用函数与方程思想化为()()f x g x =的形式，通过考察两个函数图象的交点来求，通过图形直观研究方程实数解的个数，是常用的讨论方程解的一种方法．二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．）13.已知函数()338f x x x =-+，则曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线斜率为____________.【答案】9.考点：导数的运用．14.椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，焦距为2c .若直线)y x c =+与椭圆C的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于__________.1.考点：椭圆的标准方程及其性质．15.已知()0,x ∈+∞，观察下列各式：12x x +≥，2244322x x x x x+=++≥，3327274333x x x x x x +=+++≥，…，类比得()*1n ax n n N x+≥+∈，则a =________．【答案】nn .【解析】试题分析：分析等式规律可知，第n 个不等式中na n =，故填：nn . 考点：归纳推理．【名师点睛】归纳推理的前提是一些特殊的情况，所以归纳推理要在观察、经验、实验的基础上进行；归纳推理是依据特殊现象推断出一般现象，因此所得结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的．16.若数列{}n a 23n a n n ++=+，则12231na a a n +++=+________. 【答案】226n n +.【解析】考点：1.数列的通项公式；2.数列求和.【名师点睛】任何一个数列，它的前n 项和n S 与通项n a 都存在关系：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，若1a 适合1n n S S --，则应把它们统一起来，否则就用分段函数表示.，另外一种快速判断技巧是利用0S 是否为0来判断：若00S =，则11n n a S S -=-，否则不符合，这在解小题时比较有用.三、解答题 （本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，30B ∠=，AC =D 是边AB 上一点.（1）求ABC ∆面积的最大值；（2）若2CD =，ACD ∆的面积为4，ACD ∠为锐角，求AD 的长.【答案】（1）3510+；（2）4. 【解析】试题分析：（1）根据已知条件建立面积的关系式，利用基本不等式求最值即可；（2）结合正余弦定理即可求解.试题解析：（1）∵在ABC ∆中，30B ∠=，AC =D 是边AB 上一点， ∴由余弦定理，得222202cos AC AB BC AB BC B ==+-∠22(23)AB BC BC AB BC =+≥-.考点：1.正余弦定理解三角形；2.不等式求最值． 18.（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，且60DAB ∠=，PA PD =，M 为CD 的中点，BD PM ⊥.（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若90APD ∠=，四棱锥P ABCD -，求三棱锥A PBM -的体积. 【答案】（1）详见解析；（2）33. 【解析】试题分析：（1）根据已知条件证明PE ⊥平面ABCD ，再利用面面垂直的判定即可得证；（2）利用棱锥的体积计算公式，求得底面积与高即可求解，或利用等积变换即可求解.试题解析：（1）取AD 的中点E ，连接PE ，EM ，AC ，∵PA PD =，∴PE AD ⊥，法二：由题得，12ABM ABCDS S∆=，又∵A PBM P ABMV V--=，∴12A PBM P ABCDV V--==…………12分考点：1.面面垂直的判定与性质；2.空间几何体体积求解．19.(本小题满分12分)以下茎叶图记录了甲，乙两组各四名同学的植树棵数.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示.（1）如果8X =，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；（2）如果9X =，分别从甲，乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率. （注：方差()()()2222121n s x x x x x x n⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦，其中x 为1x ，2x ，……，n x 的平均数） 【答案】（1）354x =，211=16s ；（2）14.考点：1.茎叶图；2.平均数与方差的计算；3.古典概型．20.（本小题满分12分）设圆F 以抛物线2:4P y x =的焦点F 为圆心，且与抛物线P 有且只有一个公共点.（1）求圆F 的方程；（2）过点(1,0)M -作圆F 的两条切线与抛物线P 分别交于点A ，B 和C ，D ，求经过A ，B ，C ,D 四点的圆E 的方程.【答案】（1）()2211x y -+=；（2）()22748x y -+=.令0y =，得7x =，由圆与抛物线的对称性，可知圆E 的圆心为)0,7(E ，==，又点E 到直线AB 的距离70142d -+==，∴圆E 的半径R ==， ∴圆E 的方程为22(7)48x y -+=.…………12分考点：1.抛物线的标准方程及其性质；2.圆的标准方程及其性质．【名师点睛】对于圆锥曲线的综合问题，①要注意将曲线的定义性质化，找出定义赋予的条件；②要重视利用图形的几何性质解题(本书多处强调)；③要灵活运用韦达定理、弦长公式、斜率公式、中点公式、判别式等解题，巧妙运用“设而不求”、“整体代入”、“点差法”、“对称转换”等方法.21.(本小题满分12分)已知函数221()()(1)(22)2x f x ax bx a b e x x x =++---++，a R ∈，且曲线()y f x =与x 轴切于原点O .（1）求实数a ，b 的值；（2）若2()()0f x x mx n ⋅+-≥恒成立，求m n +的值.【答案】（1）0a =，1b =；（2）1m n +=-.考点：导数的综合运用．【名师点睛】1．证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明；2．求参数范围问题的常用方法：（1）分离变量；（2）运用最值；3．方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论； 4．高考中一些不等式的证明需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键．请考生在22-24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，PA 为四边形ABCD 外接圆的切线， CB 的延长线交PA 于点P ，AC 与BD 相交于点M ，且//PA BD .（1）求证：ACD ACB ∠=∠；（2）若3PA =，6PC =，1AM =，求AB 的长.【答案】（1）详见解析；（2）2.考点：1.切线的性质；2.相似三角形的判定与性质．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知点()1,2P -，直线1:2x t l y t=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=，直线l 和曲线C 的交点为,A B .（1）求直线l 和曲线C 的普通方程；（2）求PA PB +.【答案】（1）直线l 的普通方程是30x y --=，曲线C 的普通方程是22y x =；（2）联立直线方程与抛物线方程，利用参数的几何意义结合韦达定理即可求解.考点：1.参数方程，极坐标方程与直角方程的相互转化；2.直线与抛物线的位置关系．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()21f x x a =--，()2g x x m =-+，a ，m R ∈，若关于x 的不等式()1g x ≥-的整数解有且仅有一个值为-2.（1）求整数m 的值；（2）若函数()y f x =的图象恒在函数1()2y g x =的上方，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）4；（2）(,3)-∞.【解析】试题分析：（1）解不等式()1g x ≥-，根据整数解为2-，即可求解；（2）问题等价于()()102f xg x ->恒成立，分类讨论将绝对值号去掉即可求解.试题解析：（1）由()1g x ≥-，即21x m -+≥-，21x m +≤，考点：1.绝对值不等式；2.分类讨论的数学思想；3.恒成立问题．。
【衡水金卷】河北省衡水中学2016届高考模拟押题卷数学(理)试题(金卷一)附答案
2016年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理科数学(一)注意事项：1．本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)已知i 是虚数单位，复数11z i i=+-，则复数z 的虚部是 (A) 12-(B) 32 (C) 32- (D)2(2)若集合{}{}222,20x A y y B x x x ==+=-++≥，则 (A) A B ⊆(B) A B R ⋃= (C) {}2A B ⋂= (D A B ⋂=∅(3)已知定义域为[]2,21a a --的奇函数()3sin 1f x x x b =-++，则()()f a f b +的值为 (A)0(B)1(C)2 (D)不能确定(4)已知函数()()1201x f x a a a +=->≠且的图象恒过定点A ，设抛物线24E y x =：上任意一点M 到准线l 的距离为d ，则d MA +的最小值为(A)5(B)(C) (D)(5)执行如图所示的程序框图，其中输入的x i 值依次为14，8，42，78，96，74，49，35，39，50，则输出的i x 值依次为 (A)78，96，74，49，50(B)78，96，74，39，50 (C)78，96，74，50(D)78，96，74(6)下列说法正确的是(A)“a R ∃∈，方程220ax x a -+=有正实根”的否定为“a R ∀∈，方程220ax x a -+=有负实根”(B)命题“a b R ∈、，若220a b +=，则0a b ==”的逆否命题是“a b R ∈、，若0a ≠，且b ≠0，则220a b +≠”(C)命题p ：若回归方程为1y x -=，则y 与x 负相关；命题q ：数据1，2，3，4的中位数是2或3．则命题p ∨q 为真命题(D)若X ～N(1，4)，则()()212P X t P X t <-=>成立的一个充分不必要条件是t =1 (7)等差数列{}n a 中的两项22016a a 、恰好是关于x 的函数()()228f x x x a a R =++∈的两个零点，且100910100a a +>，则使{}n a 的前n 项和n S 取得最小值的行为 (A)1009(B)1010(C)1009，1010D.2016(8)某省巡视组将4名男干部和2名女干部分成两小组，深入到A 、B 两城市进行巡视工作，若要求每组最多4人，且女干部不能单独成组，则不同的选派方案共有 (A)40种(B)48种 (C)60种(D)72种(9)某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形，现从该几何体的实心外接球中挖去该几何体，则剩余几何体的体积是(A)9146π- (B)91162π- (C) 91166π- (D)9186π-(10)已知函数()()2sin 0y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，点,06A B C π⎛⎫- ⎪⎝⎭、、是该图象与x 轴的交点，过点B 作直线交该图象于D 、E 两点，点7012F π⎛⎫⎪⎝⎭，是()f x 的图象的最高点在x 轴上的射影，则()()AD EA AC ω-的值是(A) 22π (B) 2π(C)2(D)以上答案均不正确(11)已知点12F F 、是双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足12122,3F F OP PF PF =≥，则双曲线C 的离心率的取值范围为 （A ）()1,+∞（B ）102⎫+∞⎪⎪⎣⎭（C ）101,2⎛ ⎝⎦（D ）51,2⎛⎤ ⎥⎝⎦(12)已知定义在R 内的函数()f x 满足()()4f x f x +=，当[]1,3x ∈-时，()f x =()[](]1,1,1,,1,3,t x x x ⎧-∈-⎪∈则当8,27t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，方程()720f x x -=的不等实数根的个数是(A)3(B)4(C)5(D)6第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
【全国百强校】河北省衡水中学2016届高三下学期第二次调研考试理数试题(解析版)
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}1,3,4,5A =，集合{}2|450B x Z x x =∈--<，则A B 的子集个数为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 【答案】C考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算；3、集合的子集．2.如图，复平面上的点1234,,,Z Z Z Z 到原点的距离都相等，若复数z 所对应的点为1Z ，则复数z i ⋅（i 是虚数单位）的共轭复数所对应的点为（ ）A ．1ZB ．2ZC ．3ZD ．4Z 【答案】B 【解析】试题分析：根据题意，设z bi =（0b >且为实数），则z i bi i b ==- 为负实数，对应点在x 轴负半轴，即为2z ，共轭复数是2z ，故选B ． 考点：复数的概念．3.下列四个函数中，在0x =处取得极值的函数是（ ） ①3y x =；②21y x =+；③y x =；④2xy =A ．①②B ．①③C ．③④D ．②③ 【答案】D 【解析】试题分析：①中，230y x '=≥恒成立，所以函数在R 上递增，无极值点；②中2y x '=，当0x >时函数单调递增，当0x <时函数单调递减，且0|0x y ='=，符合题意；③中结合该函数图象可知当0x >时函数单调递增，当0x <时函数单调递减，且0|0x y ='=，符合题意；④中，由函数的图象知其在R 上递增，无极值点，故选D ． 考点：函数的极值．4.已知变量,x y 满足：202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2x yz +=的最大值为（ ）AB． C ．2 D ．4 【答案】D考点：简单的线性规划问题．5.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】B 【解析】试题分析：第一次循环，得8,2n i ==；第二次循环，得48131,3n i =⨯-==；第三次循环，得4311n =⨯-＝123,4i =；第四次循环，得1234119,5n i =-==；第五次循环，得41191n =⨯-＝471123>，6i =，此时不满足循环条件，退出循环，输出6i =，故选B ． 考点：程序框图．6.两个等差数列的前n 项和之比为51021n n +-，则它们的第7项之比为（ ）A ．2B ．3C ．4513D ．7027【答案】B 【解析】试题分析：设这两个数列的前n 项和分别为,n n S T ，则1131377113137713()132513102313()13221312a a S a ab b T b b +⨯⨯+=====+⨯⨯-，故选B ．考点：1、等差数列的前n 项和；2、等差数列的性质． 7.在某次联考数学测试中，学生成绩ξ服从正态分布()()21000，σσ>，若ξ在（80,120）内的概率为0.8，则落在（0,80）内的概率为（ ）A ．0.05B ．0.1C ．0.15D ．0.2 【答案】B考点：正态分布．8.函数()()sin 0,0f x A x A ωω=>>的部分图象如图所示，()()()()1232015f f f f +++⋅⋅⋅+的值为（ ）A ．0 B． C． D． 【答案】A 【解析】试题分析：由图知2A =，2(62)8T =-=，所以24T ππω==，所以()2sin()4f x x π=．由正弦函数的对称性知(1)(2)(8)0f f f +++= ，所以(1)(2)(2015)(1)(2)(7)f f f f f f +++=+++ ＝(8)0f -=，故选A ．考点：1、三角函数的图象及周期性． 【方法点睛】ω由周期T 确定，即由2T πω=求出．常用的确定T 值的方法有：（1）曲线与x 轴的相邻两个交点之间的距离为2T ；（2）最高点和与其相邻的最低点横坐标之间的距离为2T；（3）相邻的两个最低点（最高点）之间的距离为T ；（4）有时还可以从图中读出4T 或34T的长度来确定ω． 9.若()()7280128112x x a a x a x a x +-=+++⋅⋅⋅+，则127a a a ++⋅⋅⋅+的值是（ ） A ．-2 B ．-3 C ．125 D ．-131 【答案】C考点：二项式定理．10.已知圆221:20C x cx y ++=，圆222:20C x cx y -+=，椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>，焦距为2c ），若圆12,C C 都在椭圆内，则椭圆离心率的范围是（ ）A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．102，⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．⎫⎪⎪⎭D ．0⎛⎝ 【答案】B 【解析】试题分析：由题意，得圆12,C C 的圆心分别为(,0)c -和(,0)c ，半径均为c ，满足题意的圆与椭圆的临界位置关系如图所示，则知要使圆12,C C 都在椭圆内，则需满足不等式2c a ≤，所以离心率102c e a <=≤，故选B ．考点：1、椭圆的几何性质；2、圆锥曲线间的位置关系． 11.定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有()()12120f x f x x x -<-，且函数()1y f x =-的图象关于（1,0）成中心对称，若,s t 满足不等式()()2222f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，2t ss t-+的取值范围是（ ） A ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．15,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D ．15,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】D考点：1、函数的单调性；2、函数的奇偶性；3、不等式的性质．【方法点睛】利用函数性质解决函数不等式的常用方法有：（1）根据奇函数、偶函数的图象特征和性质，通过图象将函数不等式转化为一般不等式，从而解决函数不等式问题；（2）根据函数奇偶性与周期性将函数不等式中的自变量转化到同一单调区间上，再根据单调性脱去符号“f ”求解．12.正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C ，此时四面体ABCD 外接球表面积为（ ）A ．7πB ．19πC D考点：1、多面体的外接球；2、正余弦定理；3、球的表面积．【方法点睛】求解翻折问题的基本方法：（1）先比较翻折前后的图形，弄清哪些几何量和线面间位置关系在翻折过程中不变，哪些已发生变化；（2）将不变的条件集中到立体图形中，将问题归结为一个条件与结论明朗化的立体问题．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为 .试题分析：由三视图知该几何体是以底面边长为22123V =⨯=考点：1、空间几何三视图；2、四棱锥的体积．【思路点睛】由三视图还原几何体可考虑三种情况：（1）若主视图与左视图都是三角形，则几何体为棱锥；（2）若主视图与左视图都是矩形，则几何体为棱柱；（3）若主视图与左视图中一个为三角形，一个为矩形，则几何体为横放的几何体．14.已知向量AB 与AC 的夹角为60°，且||||2AB AC ==，若AP AB AC λ=+ ，且AP BC ⊥ ，则实数λ的值为 . 【答案】1 【解析】试题分析：因为AP BC ⊥ ，所以0AP BC = ．2()()AP BC AB AC AC AB AB AC AC λλ=+-=+ －2AB AB AC λ- ＝22(1)||||cos 60||||AB AC AC AB λλ-︒+- ＝2(1)44220λλλ-+-=-+=，解得1λ=．考点：1、向量的数量积运算；2、向量的线性运算．15.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的半焦距为c ，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线24y cx =的准线被双曲线截得的弦长是2（e 为双曲线的离心率），则e 的值为 .考点：1、抛物线与双曲线的几何性质；2、直线与双曲线的位置关系．【方法点睛】关于双曲线的离心率问题，主要是有两类试题：一类是求解离心率的值，一类是求解离心率的范围．基本的解题思路是建立椭圆和双曲线中,,a b c 的关系式，求值问题就是建立关于,,a b c 的等式，求取值范围问题就是建立关于,,a b c 的不等式．16.用()g n 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，()99,10g =的因数有1,2,5,10，()105g =，那么()()()()201512321g g g g +++⋅⋅⋅+-= .【答案】2015413-考点：1、新定义；2、等差数列与等比数列的前n 项和．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.(本小题满分12分)在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin a b B A ==+=.(1)求角A 的大小； (2)求ABC ∆的面积.【答案】（1）3π；（2 【解析】试题分析：（1）先由正弦定理求得sin B 与sin A 的关系，然后结合已知等式求得sin A 的值，从而求得A 的值；（2）先由余弦定理求得c 的值，从而由cos B 的范围取舍c 的值，进而由面积公式求解．试题解析：(1)在ABC ∆中，由正弦定理sin sin a bA B=3sin B =3sin B A =.(3分)sin B A +=sin A =. (5分) 因为ABC ∆为锐角三角形，所以3A π=. (6分)考点：1、正余弦定理；2、三角形面积公式．18.(本小题满分12分)某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量（单位：台），并根据这10个卖场的销售情况，得到如图所示的茎叶图.为了鼓励卖场，在同型号电视机的销售中，该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”.(1)当3a b ==时，记甲型号电视机的“星级卖场”数量为m ，乙型号电视机的“星级卖场”数量为n ，比较m ，n 的大小关系；(2)在这10个卖场中，随机选取2个卖场，记X 为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数，求X 的分布列和数学期望；(3)若1a =，记乙型号电视机销售量的方差为2s ，根据茎叶图推断b 为何值时，2s 达到最小值.(只需写出结论)【答案】（1）m n =；（2）分布列见解析，()1E X =；（3）0． 【解析】试题分析：(1)根据茎叶图，得2数据的平均数为101014182225273041432410+++++++++=.(1分)乙组数据的平均数为1018202223313233334326.510+++++++++=.(2分)由茎叶图，知甲型号电视剧的“星级卖场”的个数5m =，乙型号电视剧的“星级卖场”的个数5n =，所以m n =. (4分)考点：1、平均数与方差；2、分布列；3、数学期望．19.(本小题满分12分)如图1，在边长为4的菱形ABCD 中，60BAD ∠=，DE AB ⊥于点E ，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1A D DC ⊥，如图2.(1)求证：1A E ⊥平面BCDE ； (2)求二面角1E A B C --的余弦值；(3)判断在线段EB 上是否存在一点P ，使平面1A DP ⊥平面1A BC ？若存在，求出EPPB的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）；（3）不存在，理由见解析．（3）假设在线段EB 上存在一点P ，使得平面1A DP ⊥平面1A BC ，设(,0,0)(02)P t t ≤≤，则1(,0,2)A P t =-，1(0,2)A D =- ，设平面1A DP 的法向量为111(,,)p x y z = ，由10A D p ⋅=，10A P p ⋅= ，得11112020z tx z ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令12x =，得)p t = ，∵平面1A DP ⊥平面1A BC ，∴0m p ⋅= ，即0=，解得3t =-， ∵02t ≤≤，∴在线段EB 上不存在点P ，使得平面1A DP ⊥平面1A BC ．(12分 )考点：1、空间垂直关系的判定与性质；2、二面角；3、空间向量的应用．【方法点睛】证明空间直线与平面垂直的方法有：一是利用线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理．在解题时，要注意线线、线面与面央关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系．20.(本小题满分12分)如图，已知椭圆：2214x y +=，点,A B 是它的两个顶点，过原点且斜率为k 的直线l 与线段AB 相交于点D ，且与椭圆相交于,E F 两点.(1)若6ED DF =，求k 的值；(2)求四边形AEBF 面积的最大值.【答案】（1）23k =或38k =；（2）． 故21x x =-=6ED DF =知，()02206x x x x -=-，得()021215677x x x x =+==，由点D 在线段AB 上，知00220x kx +-=，得0212+x k =， 所以212+k ，化简，得2242560k k -+=，解得23k =或38k =.（6分）考点：1、直线与圆的位置关系；2、点到直线的距离公式；3、基本不等式． 21.(本小题满分12分)设函数()()22ln f x x a x a x =---.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 有两个零点，求满足条件的最小正整数a 的值； (3)若方程()()f x c c R =∈有两个不相等的实数根12,x x ，比较12'2x x f +⎛⎫⎪⎝⎭与0的大小. 【答案】(1) 当0a ≤时，单调增区间为(0,)+∞，无单调减区间；0a >时，单调增区间为,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调减区间为0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；(2)3；(3) 12'02x x f +⎛⎫> ⎪⎝⎭． 【解析】试题分析：(1)求导后，分0a ≤、0a >，根据导函数与0的关系求得单调区间；(2) 由(1)知()f x 的最小值02a f ⎛⎫<⎪⎝⎭，求得()h a '，通过讨论()h a 的单调性求得a 的值；(3) 由12,x x 是方程()f x c =的两个不等实根，则()2111-2ln x a x a x c --=，()2222-2ln x a x a x c --=(3) 12'02x x f +⎛⎫>⎪⎝⎭，结论证明如下：因为12,x x 是方程()f x c =的两个不等实根，由(1)知0a >.不妨设120x x <<，则()()22111222-2ln ,-2ln ,x a x a x c x a x a x c --=--=两式相减得()()221112222ln 2ln 0x a x a x x a x a x ----+-+=，即()2211221122112222ln ln ln ln x x x x ax a x ax a x a x x x x +--=+--=+--．()'0f x <()'0f x >，考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、函数零点；3、比较大水小．【方法点睛】利用导数研究函数的单调性时，先求导，再由()0f x '> (()'0f x <)解出相应的x 的取值范围．当()0f x '>时，() f x 在相应的区间上是增函数；当()'0f x <时，() f x 在相应的区间上是减函数．要特别注意的是，涉及含参数的单调性或单调区间问题，一定要弄清参数对导数()f x '在某一区间内的符号是否有影响．若有影响，则必须分类讨论．请从下面所给的22 , 23 ,24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，直线PQ 与⊙O 相切于点,A AB 是⊙O 的弦，PAB ∠的平分线AC 交⊙O 于点C ，连接CB ，并延长与直线PQ 相交于Q 点.(1)求证：22QC BC QC QA ⋅=-； (2)若6,5AQ AC ==，求弦AB 的长. 【答案】(1)见解析； (2)103AB =．考点：1、切割线定理；2、弦切角定理；3、相似三角形． 23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为3x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为ρθ=. (1)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(2)若点P坐标(，圆C 与直线l 交于,A B 两点，求|||PB |PA +的值.【答案】(1) 直线l的普通方程为30x y ---=，圆C的直角坐标方程为(225x y +-=；（2）【解析】试题分析：(1) 把直线l 的参数方程两式相加消参即可得到其普通方程；根据222x y ρ=+与sin y ρθ=求圆C 的直角坐标方程；（2）把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程中利用参数的几何意义求解．试题解析：(1)由3x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得直线l的普通方程为30x y ---=.(2分)又由ρθ=得圆C的直角坐标方程为220x y +-=，即(225x y +-=.(5分)（2）把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得2235⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即240t -+=，由于(24420∆=-⨯->，故可设12,t t是上述方程的两实数根，所以12124t t t t ⎧+=⎪⎨=⎪⎩l 的过点(，,A B 两点对应的参数分别为12,t t，所以12|||PB ||||t |PA t +=+=分)考点：1、参数方程与普通方程的互化；2、极坐标方程与直角坐标方程的互化；3、参数的几何意义的应用． 【警示点睛】将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的x y ， (它们都是参数的函数)的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．参数方程化普通方程常用的消参技巧有：代入消元、加减消元、平方后相加减消元、整体消元等． 24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲(1)已知函数()13f x x x =-++，求x 的取值范围，使()f x 为常函数； (2)若222,,z R,x 1x y y z ∈++=，求m =++的最大值.【答案】(1) []3,1x ∈-；（2）3．考点：1、零点分段法；2、柯西不等式．。
2016届河北省衡水中学高三下学期第六次调研考试(A)数学(理)试卷及解析
与双曲线右支相交于点 ，则当双曲线离心率最小时的双曲线方程为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【易错点晴】本题考查的是圆锥曲线的基本量的计算问题.解答这类问题的一般思路是依据题设条件想方设法建构含 的方程,然后再通过解方程或方程组使问题获解.解答本题的难点是如何建立和求出关于离心率的目标函数,再进一步探求该函数取得最小值时的条件,从而求出双曲线的标准方程中的 的值.本题中的函 数是运用两点之间的距离公式建立的,求解时是解不等式而求出 的值.
12．已知函数 下列是关于函数 的零点个数的四种判断：①
当 时，有3个零点；②当 时．有2个零点；③当 时，有4个零点；④当 时，有1
个零点．则正确的判断是（）
A．③④B．②③C．①④D．①②
【答案】A
【解析】
试题分析：若 .当 ,即 时, ,解得 ；当 ,即 时, ,当 ,解得 适合；当 ,解得 不适合.若 ,若 ,则 ,即 ,当 合适, 时不合适；若 ,则 ,即 也即 ,当 时适合；当 不合适.因此当 时有四个根 ；当 只有一个根 ,应选A.
则 的最小值为______．
【答案】
【解析】
试题分析：由 得 ,即 .因为 ,即 ,所以 ,即 的最小值为 .
【易错点晴】本题考查的是以三角形中的三角变换为背景,其实是和解三角形有关的最小值问题.求解本题的关键是如何将题设条件 与 的最小值进行联系,这也是解答好本题的突破口.解答时先运用二倍角公式将其化为 ,再运用正弦定理将其转化为三角形的边的等式 .然后再借助余弦定理和基本不等式进行联系,从而求出 的最小值.
A． B． C． D．
【答案】C
3．某工厂生产 、 、 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 ，现用分层抽样方法
2016年河北省衡水中学高考数学押题卷(理科)(金卷二)(解析版)
2016年河北省衡水中学高考数学押题卷（理科）（金卷二）一．选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．集合M={x|y=lg（x2﹣8x）},N={x|x=2n﹣1,n∈Z},则{1,3,5,7}=（）A．∁R（M∩N）B．（∁R M）∩N C．（∁R M）∩（∁R N）D．M∩（∁R N）2．若复数z满足（+2i﹣3）（4+3i）=3﹣4i,则|z|=（）A． B． C．3D．23．将函数f（x）=3sin2x﹣cos2x的图象向左平移个单位,所得的图象其中的一条对称轴方程为（）A．x=0 B．x=C．x=D．x=4．已知等差数列{a n},S n为数列{a n}的前n项和,若S n=an2+4n+a﹣4（a∈R）,记数列{}的前n项和为T n,则T10=（）A．B．C．D．5．执行如图所示的程序框图,若输出的s=86,则判断框内的正整数n的所有可能的值为（）A．7 B．6,7 C．6,7,8 D．8,96．已知夹角为的两个向量,,,向量满足（）•（）=0,则||的取值范围为（）A．[1,]B．[0,2]C．[1,]D．[0,2]7．若实数x、y满足不等式组,且z=ax+y仅在点P（﹣,）处取得最小值,则a的取值范围为（）A．0＜a＜1 B．a＞1 C．a≥1 D．a≤08．已知双曲线C：﹣=1（a＞0,b＞0）的左焦点为F1,P为左支上一点,|PF1|=a,P0与P 关于原点对称,且=0．则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=x C．y=x D．y=±2x9．设函数f（x）=,其中对∀x1,x2∈（﹣∞,0],且x1≠x2均有x1g（x1）+x2g（x2）＞x1g（x2）+x2g（x1）成立,且g（0）=1,若不等式f（x﹣a）≤1（a∈R）的解集为D,且2e∈D（e为自然对数的底数）,则a的最小值为（）A．0 B．1 C．e D．2e10．某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积为,则正视图中x的值为（）A．B．2C．D．11．已知正项数列{a n}的前n项和为S n,a1=2,且对于任意的正整数n≥2, +=1,设数列{b n}满足b n=a sin,其前4n项和为T4n,则满足T4n≤﹣36的最小正整数n的值为（）A．1 B．2 C．3 D．412．若二次函数f（x）=x2+1的图象与曲线C：g（x）=ae x+1（a＞0）存在公共切线,则实数a的取值范围为（）A．（0,]B．（0,]C．[,+∞）D．[,+∞）二．填空题：本大题共4小题．每小题5分．13．数列{a n}的前n项和记为S n,a1=3,a n+1=2S n（n≥1）,则S n=_______．14．已知α∈（0,）,若cos（α+）=,则tan（2α+）=_______．15．已知点A、F分别是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的上顶点和左焦点,若AF与圆O：x2+y2=4相切于点T,且点T是线段AF靠近点A的三等分点,则椭圆C的标准方程为_______．16．将三项式（x2+x+1）n展开,当n=0,1,2,3,…时,得到以下等式：（x2+x+1）0=1（x2+x+1）1=x2+x+1（x2+x+1）2=x4+2x3+3x2+2x+1（x2+x+1）3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1…观察多项式系数之间的关系,可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形,其构造方法为：第0行为1,以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数的,缺少的数计为0）之和,第k行共有2k+1个数．若在（1+ax）（x2+x+1）5的展开式中,x7项的系数为75,则实数a的值为_______．三．解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．17．如图,设△ABC的个内角A、B、C对应的三条边分别为a、b、c,且角A、B、C成等差数列,a=2,线段AC的垂直平分线分别交线段AB、AC于D、E两点．（1）若△BCD的面积为,求线段CD的长；（2）若DE=,求角A的值．18．如图,已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,侧面AA1B1B是菱形,且∠ABB1=60°．（I）求证：AB⊥B1C；（Ⅱ）若AB=B1C=2,BC=,求二面角B﹣AB1﹣C1的正弦值．19．2015年10月十八届五中全会决定全面放开二胎,这意味着一对夫妇可以生育两个孩子．全面二胎于2016年1月1日起正式实施．某地计划生育部门为了了解当地家庭对“全面二胎”的赞同程度,从当地200位城市居民中用系统抽样的方法抽取了20位居民进行问卷调查．统计如表：居民编号2 8问卷3652787161072781024478788945577735855得分（注：表中居民编号由小到大排列,得分越高赞同度越高）（Ⅰ）列出该地得分为100分的居民编号；（Ⅱ）该地区计划生育部门从当地农村居民中也用系统抽样的方法抽取了20位居民,将两类居民问卷得分情况制作了茎叶图,试通过茎叶图中数据信息,用样本特征数评价农村居民和城市居民对“全面二胎”的赞同程度（不要求算出具体数值,给出结论即可）；（Ⅲ）将得分不低于70分的调查对象称为“持赞同态度”．当地计划生育部门想更进一步了解城市居民“持赞同态度”居民的更多信息,将调查所得的频率视为概率,从大量的居民中采用随机抽样的方法每次抽取1人,共抽取了4次．（i）求每次抽取1人,抽到“持赞同态度”居民的概率；（ii）若设被抽到的4人“持赞同态度”的人数为ξ．每次抽取结果相互独立,求ξ的分布列、期望E（ξ）及其方差D（ξ）．20．已知点M是抛物线C1：y2=2px（p＞0）的准线与x轴的交点,点P是抛物线C1上的动点,点A、B在y轴上,△APB的内切圆为圆C2,（x一1）2+y2=1,且|MC2|=3|OM|为坐标原点．（I）求抛物线C1的标准方程；（Ⅱ）求△APB面积的最小值．21．已知函数f（x）=x3﹣x2+ax+2,g（x）=lnx﹣bx,且曲线y=f（x）在点（0,2）处的切线与x轴的交点的横坐标为﹣2．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若m、n是函数g（x）的两个不同零点,求证：f（mn）＞f（e2）（其中e为自然对数的底数）．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图,直线ED与圆相切于点D,且平行于弦BC,连接EC并延长,交圆于点A,弦BC和AD 相交于点F．（I）求证：AB•FC=AC•FB；（Ⅱ）若D、E、C、F四点共圆,且∠ABC=∠CAB,求∠BAC．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为（t为参数,φ∈[0,]）,以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知圆C的圆心C的极坐标为（2,）,半径为2,直线l与圆C相交于M,N两点．（I）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）求当φ变化时,弦长|MN|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣a|．（I）当a=1时,解不等式f（x）≤2；（Ⅱ）当a=3时,若f（x）≥m恒成立,求实数m的取值范围．2016年河北省衡水中学高考数学押题卷（理科）（金卷二）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．集合M={x|y=lg（x2﹣8x）},N={x|x=2n﹣1,n∈Z},则{1,3,5,7}=（）A．∁R（M∩N）B．（∁R M）∩N C．（∁R M）∩（∁R N）D．M∩（∁R N）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先化简集合M,根据N={x|x=2n﹣1,n∈Z},和{1,3,5,7}可得答案．【解答】解：∵x2﹣8x＞0,解得x＜0或x＞8,∴M=（﹣∞,0）∪（8,+∞）,∴∁R M=[0,8],∵N={x|x=2n﹣1,n∈Z},∴（∁R M）∩N={1,3,5,7}．故选：B．2．若复数z满足（+2i﹣3）（4+3i）=3﹣4i,则|z|=（）A． B． C．3D．2【考点】复数求模．【分析】把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算求得,再由求得答案．【解答】解：由（+2i﹣3）（4+3i）=3﹣4i,得=,∴．故选：C．3．将函数f（x）=3sin2x﹣cos2x的图象向左平移个单位,所得的图象其中的一条对称轴方程为（）A．x=0 B．x=C．x=D．x=【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用两角差的正弦函数公式可求f（x）=2sin（2x﹣）,根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得g（x）=2sin（2x+）,利用正弦函数的对称性即可得解．【解答】解：f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）,将函数的图象向左平移个单位得到函数g（x）=2sin[2（x+）﹣]=2sin（2x+）,由2x+=kπ+,k∈Z,可得所得的图象的对称轴方程为：x=+,k∈Z,当k=0时,可知函数g（x）图象关于直线x=对称．故选：B．4．已知等差数列{a n},S n为数列{a n}的前n项和,若S n=an2+4n+a﹣4（a∈R）,记数列{}的前n项和为T n,则T10=（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【分析】由等差数列{a n}的前n项和的性质及其S n=an2+4n+a﹣4,可得a﹣4=0,a=4．于是S n=4n2+4n.=．利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：由等差数列{a n}的前n项和的性质及其S n=an2+4n+a﹣4,可得a﹣4=0,解得a=4．∴S n=4n2+4n．∴=．∴T10=+…+==．故选：D．5．执行如图所示的程序框图,若输出的s=86,则判断框内的正整数n的所有可能的值为（）A．7 B．6,7 C．6,7,8 D．8,9【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案．【解答】解：模拟执行程序,可得s=1,k=0执行循环体,s=2,k=2不满足条件2＞n,执行循环体,s=6,k=4不满足条件4＞n,执行循环体,s=22,k=6不满足条件6＞n,执行循环体,s=86,k=8此时,应该满足条件8＞n,执行循环体,退出循环,输出s的值为86,所以,判断框内n的值满足条件：6≤n＜8,则判断框内的正整数n的所有可能的值为6,7．故选：B．6．已知夹角为的两个向量,,,向量满足（）•（）=0,则||的取值范围为（）A．[1,]B．[0,2]C．[1,]D．[0,2]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由向量垂直的条件可得•=0,运用向量的平方即为模的平方,可得|+|=2,再化简运用向量的数量积的定义,结合余弦函数的值域,即可得到所求最大值,进而得到所求范围．【解答】解：由题意可得•=0,可得|+|==2,（﹣）•（﹣）=2+•﹣•（+）=||2﹣||•|+|cos＜+,＞=0,即为||=2cos＜+,＞,当cos＜+,＞=1即+,同向时,||的最大值是2．则||的取值范围为[0,2]．故选：B．7．若实数x、y满足不等式组,且z=ax+y仅在点P（﹣,）处取得最小值,则a的取值范围为（）A．0＜a＜1 B．a＞1 C．a≥1 D．a≤0【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域,化z=ax+y为y=﹣ax+z,从而可得﹣a＜﹣1,从而解得．【解答】解：由题意作平面区域如下,,z=ax+y可化为y=﹣ax+z,∵z=ax+y仅在点P（﹣,）处取得最小值,∴﹣a＜﹣1,∴a＞1,故选：B．8．已知双曲线C：﹣=1（a＞0,b＞0）的左焦点为F1,P为左支上一点,|PF1|=a,P0与P 关于原点对称,且=0．则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=x C．y=x D．y=±2x【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义结合直角三角形的边角关系进行求解即可．【解答】解：设双曲线的右焦点为F2,则由对称性知,|P0F2|=|PF1|=a,则|P0F1|﹣|P0F2|=2a,即|P0F1|=3a,∵=0,∴P0F1⊥PF1,即P0F1⊥P0F2,则4c2=（3a）2+a2=10a2=4（a2+b2）即3a2=4b2,则,即=,即双曲线的渐近线方程为y=x,故选：C．9．设函数f（x）=,其中对∀x1,x2∈（﹣∞,0],且x1≠x2均有x1g（x1）+x2g（x2）＞x1g（x2）+x2g（x1）成立,且g（0）=1,若不等式f（x﹣a）≤1（a∈R）的解集为D,且2e∈D（e为自然对数的底数）,则a的最小值为（）A．0 B．1 C．e D．2e【考点】函数的图象．【分析】根据函数的单调性的定义可得g（x）在（﹣∞,0]内单调递增,根据题意作出函数f （x）的简图,利用树形结合的思想即可求出．【解答】解：对∀x1,x2∈（﹣∞,0],且x1≠x2均有x1g（x1）+x2g（x2）＞x1g（x2）+x2g（x1）, ∴[g（x2）﹣g（x1）]（x2﹣x1）＞0,∴g（x）在（﹣∞,0]内单调递增,根据题意作出函数f（x）的简图,如图所述,令f（x）≤1,由f（x）的图象可知x≤e,若f（x﹣a）≤1,则x≤e+a,∴D=（﹣∞,e+a],又2e∈D,∴2e≤a+e,∴a≥e,则a的最小值是e,故选：C．10．某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积为,则正视图中x的值为（）A．B．2C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体是直三棱柱ABC﹣DEF为长方体一部分,画出直观图求出几何体的棱,结合几何体的体积和柱体的体积公式列出方程,求出x即可．【解答】解：根据三视图知几何体是：直三棱柱ABC﹣DEF为长方体一部分,直观图如图所示：其中AB=x,且BC=2,长方体底面的宽是,∵该几何体的体积为,∴=,解得x=,故选：D．11．已知正项数列{a n}的前n项和为S n,a1=2,且对于任意的正整数n≥2, +=1,设数列{b n}满足b n=a sin,其前4n项和为T4n,则满足T4n≤﹣36的最小正整数n的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】数列递推式．【分析】先由递推公式得到数列{a n}是以2为首项吗,以1为公差的等差数列,再求出b n,分别计算前4项和,5﹣8项和,9﹣12项和,找到规律得到T4n递减,当n=2时,满足,问题得以解决．【解答】解：由题意可得,当n=2时, +=1,∴=1,即a22﹣a2﹣6=0,解得a 2=3或a 2=﹣2（舍去）, 当n ≥2,+=1,∴2（S n +1）+S n ﹣1•a n =a n （S n +1）,∴2（S n +1）+（S n ﹣a n ）a n =a n （S n +1）, ∴2S n +2=a n 2+a n ,当n ≥3时,2S n ﹣1+2=a n ﹣12+a n ﹣1,两式相减得2a n =a n 2+a n ﹣a n ﹣12﹣a n ﹣1, ∴a n +a n ﹣1=a n 2﹣a n ﹣12,∵正项数列{a n },∴a n ﹣a n ﹣1=1,（n ≥3）, ∵a 2﹣a 1=1,∴数列{a n }是以2为首项吗,以1为公差的等差数列, ∴a n =2+（n ﹣1）=n +1, ∴b n =（n +1）2sin ,∴当n=1时,sin=1,n=2时,sin π=0,n=3时,sin=﹣1,n=4时,sin2π=0,∴b 1+b 2+b 3+b 4=4+0﹣16+0=﹣12, b 5+b 6+b 7+b 8=36+0﹣64+0=﹣28, b 9+b 10+b 11+b 12=102+0﹣122+0=﹣44, …b 4n ﹣3+b 4n ﹣2+b 4n ﹣1+b n =（4n ﹣2）2﹣（4n ）2=﹣2（8n ﹣2）=4﹣16n ＜0,∴T 4n 递减, 当n=2时,满足, 故选：B12．若二次函数f （x ）=x 2+1的图象与曲线C ：g （x ）=ae x +1（a ＞0）存在公共切线,则实数a 的取值范围为（ ） A ．（0,] B ．（0,] C ．[,+∞）D ．[,+∞）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】设公切线与f （x ）、g （x ）的切点坐标,由导数几何意义、斜率公式列出方程化简,分离出a 后构造函数,利用导数求出函数的单调区间、最值,即可求出实数a 的取值范围． 【解答】解：设公切线与f （x ）=x 2+1的图象切于点（x 1,）,与曲线C ：g （x ）=ae x +1切于点（x 2,）,∴2x 1===,化简可得,2x1=,得x1=0或2x2=x1+2,∵2x1=,且a＞0,∴x1＞0,则2x2=x1+2＞2,即x2＞1,由2x1=得a==,设h（x）=（x＞1）,则h′（x）=,∴h（x）在（1,2）上递增,在（2,+∞）上递减,∴h（x）max=h（2）=,∴实数a的取值范围为（0,],故选：A．二．填空题：本大题共4小题．每小题5分．13．数列{a n}的前n项和记为S n,a1=3,a n+1=2S n（n≥1）,则S n=3n．【考点】数列递推式．【分析】由a n+1=2S n（n≥1）,可得S n+1﹣S n=2S n,即S n+1=3S n利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵a n+1=2S n（n≥1）,∴S n+1﹣S n=2S n,即S n+1=3S n,∴数列{S n}是等比数列,首项为S1=3,公比为q=3,∴S n=3•3n﹣1=3n．故答案为：3n．14．已知α∈（0,）,若cos（α+）=,则tan（2α+）=．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】由同角三角函数关系得sin（α+）=,由二倍角公式得tan[2（α+）]=,由两角差的正切公式得结果．【解答】解：∵cos（α+）=,α∈（0,）,∵cos2（α+）+sin2（α+）=1,α+∈（,）∴sin（α+）=,∴tan（α+）=,∴tan[2（α+）]==,∴tan（2α+）=tan（2α+﹣）=tan[2（α+）﹣]=．15．已知点A、F分别是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的上顶点和左焦点,若AF与圆O：x2+y2=4相切于点T,且点T是线段AF靠近点A的三等分点,则椭圆C的标准方程为=1．【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程．【分析】如图所示,设|AT|=m,|FT|=2m,即|AF|=3m．由△AOT∽△OFT,可得：|OT|2=|TF||AT|,解得m．又|OT|=2,可得b2=2+m2．c2=9m2﹣b2=12．可得a2=b2+c2,即可得出．【解答】解：如图所示,设|AT|=m,|FT|=2m,即|AF|=3m．由△AOT∽△OFT,可得：|OT|2=|TF||AT|,∴4=2m2,解得m=．又|OT|=2,∴b2=2+22=6．c2=9m2﹣b2=12．∴a2=b2+c2=18．∴椭圆C的标准方程为=1．故答案为：=1．16．将三项式（x2+x+1）n展开,当n=0,1,2,3,…时,得到以下等式：（x2+x+1）0=1（x2+x+1）1=x2+x+1（x2+x+1）2=x4+2x3+3x2+2x+1（x2+x+1）3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1…观察多项式系数之间的关系,可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形,其构造方法为：第0行为1,以下各行每个数是它头上与左右两肩上3数（不足3数的,缺少的数计为0）之和,第k行共有2k+1个数．若在（1+ax）（x2+x+1）5的展开式中,x7项的系数为75,则实数a的值为1．【考点】归纳推理．【分析】由题意可得广义杨辉三角形第5行为1,5,15,30,45,51,45,30,15,5,1,所以（1+ax）（x2+x+1）5的展开式中,x7项的系数为30+45a=75,即可求出实数a的值．【解答】解：由题意可得广义杨辉三角形第5行为1,5,15,30,45,51,45,30,15,5,1,所以（1+ax）（x2+x+1）5的展开式中,x7项的系数为30+45a=75,所以a=1．故答案为：1．三．解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．17．如图,设△ABC的个内角A、B、C对应的三条边分别为a、b、c,且角A、B、C成等差数列,a=2,线段AC的垂直平分线分别交线段AB、AC于D、E两点．（1）若△BCD的面积为,求线段CD的长；（2）若DE=,求角A的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）先根据三角形的内角A,B,C成等差数列,求出B的度数,再根据三角的面积公式求出BD,再根据余弦定理即可求出,（2）根据垂直平分线的性质得到AC=2AE=,再根据正弦定理,即可求出答案．【解答】解：（1）三角形的内角A,B,C成等差数列,则有2B=A+C．又A+B+C=180°,∴B=60°,∵△BCD的面积为,a=2∴BD•BC•sin60°=,∴BD=,由余弦定理,CD2=BD2+BC2+2BD•BC•cos60°=+4+2××2×=,∴CD=,（2）∵线段AC的垂直平分线分别交线段AB、AC于D、E两点,DE=,∴AE=,∴AC=2AE=2×=,由正弦定理可得=,即=,∴cosA=,∵0＜A＜180°,∴A=45°18．如图,已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,侧面AA1B1B是菱形,且∠ABB1=60°．（I）求证：AB⊥B1C；（Ⅱ）若AB=B1C=2,BC=,求二面角B﹣AB1﹣C1的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）取AB中点,连接OC,OB1,证明AB⊥平面OCB1,即可证明．AB⊥B1C；（2）建立空间坐标系,求出平面的法向量,利用向量法先求出二面角的余弦值,然后求正弦值即可．【解答】解：（1）∵四边形AA1B1B是菱形,且∠ABB1=60°．∴△ABB1是等边三角形,取AB中点,连接OC,OB1,则AB⊥OB1,∵CA=CB,∴AB⊥OC,∵OC∩OB1=O,OB1,OC⊂平面OB1C,∴AB⊥平面OCB1,∴AB⊥B1C；（2）∵△ABB1是等边三角形,AB=2,∴OB1=,∵在△ABC中,AB=2,BC=AC=,O为AB的中点,∴OC=1,∵B1C=2,0B1=,∴OB12+OC2=B1C2,∴OB1⊥OC,∵OB1⊥AB,∴OB1⊥平面ABC,以O为坐标原点,OB,OC,OB1的方向为x,y,z轴的正向,建立如图所示的坐标系,可得A（﹣1,0,0）,B1（0,0,）,B（1,0,0）,C（0,1,0）,则=+=+=（﹣1,1,）,则C（﹣1,1,）,=（1,0,）,=（0,1,）,则平面BAB1的一个法向量为=（0,1,0）,设=（x,y,z）为平面AB1C1的法向量,则：•=x+z=0,•=y+z=0,令z=﹣1,则x=y=,可得=（,,﹣1）,故cos＜,＞==,则sin＜,＞==,即二面角B﹣AB1﹣C1的正弦值是．19．2015年10月十八届五中全会决定全面放开二胎,这意味着一对夫妇可以生育两个孩子．全面二胎于2016年1月1日起正式实施．某地计划生育部门为了了解当地家庭对“全面二胎”的赞同程度,从当地200位城市居民中用系统抽样的方法抽取了20位居民进行问卷调查．统计如表：居民编号2 8问卷得分3652787161072781024478788945577735855（注：表中居民编号由小到大排列,得分越高赞同度越高）（Ⅰ）列出该地得分为100分的居民编号；（Ⅱ）该地区计划生育部门从当地农村居民中也用系统抽样的方法抽取了20位居民,将两类居民问卷得分情况制作了茎叶图,试通过茎叶图中数据信息,用样本特征数评价农村居民和城市居民对“全面二胎”的赞同程度（不要求算出具体数值,给出结论即可）；（Ⅲ）将得分不低于70分的调查对象称为“持赞同态度”．当地计划生育部门想更进一步了解城市居民“持赞同态度”居民的更多信息,将调查所得的频率视为概率,从大量的居民中采用随机抽样的方法每次抽取1人,共抽取了4次．（i）求每次抽取1人,抽到“持赞同态度”居民的概率；（ii）若设被抽到的4人“持赞同态度”的人数为ξ．每次抽取结果相互独立,求ξ的分布列、期望E（ξ）及其方差D（ξ）．【考点】离散型随机变量及其分布列；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）数列{a n}为由小到大排列居民编号,依题意知数列{a n}为等差数列,即可求出答案；（Ⅱ）根据茎叶图和平均数中位数即可判断农村居民“全面二胎”的赞同程度要高于城市居民；（Ⅲ）（i）城市居民“持赞同态度”的居民有12人,即可求出答案,（ii）由题意知ξ～B（4,）,故ξ的分步列如下表,根据数学期望和方差的计算公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）记数列{a n}为由小到大排列居民编号,依题意知数列{a n}为等差数列,公差d=10,且a3=28,得到为100分的居民编号分别对应为a6,a9,则a6=a3+3d=58,a9=a3+6d=88,所以得分为100分的居民编号分别为58,88,（Ⅱ）通过茎叶图可以看出,该地区农村居民问卷得分的平均值明显高于城市居民问卷得分的平均值,农村居民问卷得分的中位数为（94+96）=95,城市居民问卷得分的中位数为（72+73）=72.5,农村居民问卷得分的中位数明显高于城市居民问卷得分的中位数,所以农村居民“全面二胎”的赞同程度要高于城市居民；（Ⅲ）（i）城市居民“持赞同态度”的居民有12人,每次抽到“持赞同态度”居民的概率为=,（ii）由题意知ξ～B（4,）,故ξ的分步列如下表,ξ0 1 2 3 4PE（ξ）=4×=所以D（ξ）=np（1﹣p）=4××=20．已知点M是抛物线C1：y2=2px（p＞0）的准线与x轴的交点,点P是抛物线C1上的动点,点A、B在y轴上,△APB的内切圆为圆C2,（x一1）2+y2=1,且|MC2|=3|OM|为坐标原点．（I）求抛物线C1的标准方程；（Ⅱ）求△APB面积的最小值．【考点】抛物线的简单性质；抛物线的标准方程．【分析】（I）求出M（﹣,0）,可得=,即可求抛物线C1的标准方程；（Ⅱ）设P（x0,y0）,A（0,b）,B（0,c）,求得直线PA的方程,运用直线和圆相切的条件：d=r,求得b,c的关系,求得△PAB的面积,结合基本不等式,即可得到最小值．【解答】解：（I）由题意,C2（1,0）,∵|MC2|=3|OM|,∴M（﹣,0）,∴=,∴p=1,∴抛物线C1的标准方程是y2=2x；（Ⅱ）设P（x0,y0）,A（0,b）,B（0,c）,直线PA的方程为：（y0﹣b）x﹣x0y+x0b=0,又圆心（1,0）到PA的距离为1,即=1,整理得：（x0﹣2）b2+2y0b﹣x0=0,同理可得：（x0﹣2）c2+2y0c﹣x0=0,所以,可知b,c是方程（x0﹣2）x2+2y0x﹣x0=0的两根,所以b+c=,bc=,依题意bc＜0,即x0＞2,则（c﹣b）2=,因为y02=2x0,所以：|b﹣c|=||所以S=|b﹣c|•|x0|=（x0﹣2）++4≥8当x0=4时上式取得等号,所以△PAB面积最小值为8．21．已知函数f（x）=x3﹣x2+ax+2,g（x）=lnx﹣bx,且曲线y=f（x）在点（0,2）处的切线与x轴的交点的横坐标为﹣2．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若m、n是函数g（x）的两个不同零点,求证：f（mn）＞f（e2）（其中e为自然对数的底数）．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数,可得切线的斜率,运用两点的斜率公式可得a=3：（Ⅱ）求出f（x）的导数,可得f（x）在R上递增,要证f（mn）＞f（e2）,只需证mn＞e2,m、n是函数g（x）的两个不同零点,可得lnm=bm,lnn=bn,相加减,可得ln（mn）=ln•=ln•,设m＞n＞0,令t=＞1,则h（t）=lnt•,只需证得当t＞1时,h（t）＞2．设φ（t）=lnt+﹣2,求得导数,判断单调性,即可得证．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=x3﹣x2+ax+2的导数为f′（x）=x2﹣2x+a,可得曲线y=f（x）在点（0,2）处的切线斜率为k=a,由两点的斜率可得=a,解得a=3；（Ⅱ）证明：f（x）=x3﹣x2+x+2的导数为f′（x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2≥0,即有f（x）在R上递增,要证f（mn）＞f（e2）,只需证mn＞e2,m、n是函数g（x）的两个不同零点,可得lnm=bm,lnn=bn,相减可得lnm﹣lnn=b（m﹣n）,相加可得lnm+lnn=b（m+n）,可得b==,即有ln（mn）=ln•=ln•,设m＞n＞0,令t=＞1,则h（t）=lnt•,下证当t＞1时,h（t）＞2．即当t＞1时,lnt•＞2,即lnt＞=2（1﹣）,只需证t＞1时,lnt+﹣2＞0,设φ（t）=lnt+﹣2,则φ′（t）=﹣=＞0,即φ（t）在（1,+∞）递增,可得φ（t）＞φ（1）=0,即ln（mn）＞2,故f（mn）＞f（e2）．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图,直线ED与圆相切于点D,且平行于弦BC,连接EC并延长,交圆于点A,弦BC和AD 相交于点F．（I）求证：AB•FC=AC•FB；（Ⅱ）若D、E、C、F四点共圆,且∠ABC=∠CAB,求∠BAC．【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．【分析】（I）连接CD,证明：△CFD∽△ACD,得到,即可证明AB•FC=AC•FB；（Ⅱ）证明∠ACF=∠CFA．∠EAD=∠DAB,即可求∠BAC．【解答】（I）证明：连接CD,∵直线ED与圆相切于点D,∴∠EDC=∠EAD,∵ED∥BC,∴∠EDC=∠DCB,∴∠EAD=∠DCB,∴∠CAD=∠DCF,∵∠CDF=∠ADC,∴△CFD∽△ACD,∴,∴AB•FC=AC•FB；（Ⅱ）解：∵D、E、C、F四点共圆,∴∠CFA=∠CED,∵ED∥BC,∴∠ACF=∠CED,∴∠ACF=∠CFA．由（I）可知∠EAD=∠DCB,∠DCB=∠DAB,∴∠EAD=∠DAB,设∠EAD=∠DAB=x,则∠ABC=∠CAB=2x,∴∠CFA=∠FBA+∠FAB=3x,在等腰△ACF中,∠CFA+∠ACF+∠CAF=π=7x,∴x=∴∠BAC=2x=．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为（t为参数,φ∈[0,]）,以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知圆C的圆心C的极坐标为（2,）,半径为2,直线l与圆C相交于M,N两点．（I）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）求当φ变化时,弦长|MN|的取值范围．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）由圆C的圆心C的极坐标为（2,）,即,半径为2,可得圆的标准方程为：=4,展开利用互化公式即可化为极坐标方程．（II）把直线l的参数方程代入圆C的方程可得：t2+2tcosφ﹣3=0,利用根与系数的关系可得：|MN|=|t1﹣t2|=,再利用三角函数的单调性与值域即可得出．【解答】解：（I）由圆C的圆心C的极坐标为（2,）,即,半径为2,可得圆的标准方程为：=4,展开可得：x2+y2﹣2x﹣2y=0,化为极坐标方程：ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ=0,即ρ=2cosθ+2sinθ=4cos．（II）把直线l的参数方程代入圆C的方程可得：t2+2tcosφ﹣3=0,∴t1+t2=﹣2cosφ,t1t2=﹣3．∴|MN|=|t1﹣t2|==2,∵φ∈[0,],∴cosφ∈,cos2φ∈．∴|MN|∈．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣a|．（I）当a=1时,解不等式f（x）≤2；（Ⅱ）当a=3时,若f（x）≥m恒成立,求实数m的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）a=1时,通过讨论x的范围,求出各个区间上的不等式的解集,取并集即可；（Ⅱ）a=3时,通过讨论x的范围,求出f（x）的最小值,从而求出m的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）a=1时,f（x）=2|x﹣1|+|x﹣2|=,x≤1时,4﹣3x≤2,解得：≤x≤1,1＜x＜2时,x≤2,∴1＜x＜2,x≥2时,3x﹣4≤2,∴x=2,综上,不等式的解集是{x|≤x≤2}；（Ⅱ）a=3时,f（x）=,x≤1时,6﹣3x≥3,∴f（x）≥3,1＜x≤2时,2≤4﹣x＜3,∴2≤f（x）＜3,2＜x≤3时,2＜f（x）≤3,x＞3时,3x﹣6＞3,∴f（x）＞3,综上,x=2时,f（x）的最小值是2,若f（x）≥m恒成立,则m≤2,故实数m的范围是（﹣∞,2]．2016年9月8日。
河北省衡水中学2016届高三下学期猜题卷数学试题2
2015-2016 学年度放学期高三年级猜题卷高三数学（理科）一、选择题（本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.）1.“m1”是“复数(1m2 ) (1 m)i （此中i是虚数单位）为纯虚数”的（）A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件【答案】 B.【分析】试题剖析：由题意得， (1 m2 )(1 m)i 是纯虚数1m20m 1，故是必需不充1m0分条件，应选 B.考点： 1.复数的观点； 2.充足必需条件．2.设全集U R ，函数f ( x)lg(| x 1| 1) 的定义域为 A ，会合 B x | sin x 0 ，则C U A I B 的元素个数为（）A． 1B．2C．3D．4【答案】 C.考点： 1.对数函数的性质； 2.三角函数值； 3.会合的运算．3.若点(sin 5,cos5)在角的终边上，则sin的值为（）66A ．3 B ．1C ．1D ．322 22【答案】 A.【分析】cos53，应选 A.试题剖析：依据随意角的三角函数的定义，sin612考点：随意角的三角函数．4.以下图的茎叶图（图一）为高三某班 50 名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的 a i 为茎叶图中的学生成绩，则输出的 m ， n 分别是（）A ．m 38 ，n 12B ．m 26 ，n 12C ．m 12 ，n 12D ．m 24 ，n 10【答案】 B.考点： 1.统计的运用； 2.程序框图．5.以下图的是函数f (x)sin 2x 和函数 g (x) 的部分图象，则函数 g ( x) 的分析式是（）A ．C ．g ( x) sin(2 x) B ． g( x) sin(2 x2 )33g( x) cos(2x5 D ． g (x) cos(2x) )66【答案】 C.【分析】试题剖析：由题意得， g(0) 0 ，故清除 B ，D ；又∵ g (17) f ( )sin2，故24842清除 A ，应选 C.考点：三角函数的图象和性质．6.若函数 f ( x) (2m) x的图象以下图，则 m 的范围为（ ）x 2 mA ． (, 1)B ． ( 1,2)C ． (0, 2)D ． (1,2)【答案】 D.考点：函数性质的综合运用．7.某多面体的三视图以下图，则该多面体各面的面积中最大的是（）A． 1B．2C．5D．5 22【答案】 C.考点： 1.三视图； 2.空间几何体的表面积．8.已知数列a n的首项为a1 1 ，且知足对随意的 n N *，都有a n 1a n2n，a a32n成立，则a2014（）n 2nA．220141B．220141C．22015 1D．220151【答案】 A.考点：数列的通项公式．r rr r r r r r r r r 9.已知非零向量a，b，c，知足| a b | | b | 4 ，( a c) (b c)0 ，若对每个确立的b，rn 的值为（）| c |的最大值和最小值分别为 m ， n ，则 mr rA．随| a |增大而增大B．随| a |增大而减小C．是 2D．是 4【答案】 D.考点：平面向量数目积．10.已知在三棱锥P ABC 中， PA PB BC 1 ，AB 2 ，AB BC ，平面 PAB平面 ABC ，若三棱锥的极点在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．3B．3C．2D．2 23【答案】 B.【分析】试题剖析：以下列图所示，设球心为 O ，则可知球心 O 在面ABC的投影在ABC 外心，即 AC 中点 E 处，取 AB 中点 F ，连 PF ， EF ，OE ， OP ，由题意得， PF面ABC，∴在四边形 POEF 中，设 OE h ，∴半径 r(h 2 )2( 1)2r 2( 3)2h 0 ，222r 3，即球心即为 AC 中点，∴表面积 S 4 r 23，应选 B. 2考点：空间几何体的外接球．【名师点睛】外接球常用的结论：长方体的外接球： 1.长、宽、高分别为a，b，c 的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即a2b2c22R；2.棱长为a的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即3a2R ；棱长为a的正四周体：外接球的半径为6a ，内切球的半径为6a；412x2y211.已知双曲线C :a2b21(a 0, b0) 的右极点为A，O 为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线 C 的某渐近线交于两点P，Q，若PAQuuuv uuuv60o，且OQ3OP ，则双曲线C 的离心率为（）A．7B．4【答案】 C.7C．7D．7 32考点：双曲线的标准方程及其性质．【名师点睛】要解决双曲线中相关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，结构出对于 a ， c 的齐次式，从而求解，要注意对题目中隐含条件的发掘，如对双曲线上点的几何特色以及平面几何知识的运用，如| PF1 | | PF2 | 2c 等.12.已知函数flog5 1 x x 1，则对于 x 的方程f (x1x2x 12) a 的实根个x 22x数不行能为（）A．5 个B．6 个C．7 个D．8 个【答案】 A.【分析】12 的图象，从而可知，当a0试题剖析：以下列图所示，画出函数 f ( x) 以及 g ( x) xx时，方程 f ( x)1 a 有两个根，当a 0时，方程 f (x)aa 有一正根，∴方程 f ( x2)x有一正根，一个根为 0 ，∴1有三个根，当时，方程有两个正根，一个大于4的f ( x2) a f ( x) a0 a 1x负根，12) a 有四个根，当a 1 时，方程f (x) a 有一个负根4，三个正根，∴∴ f ( xx1a 有七个根，当1 a 2 时，方程f (x) a 有三个正根，一个小于4的负f ( x2)x根，∴ f ( x12) a 有八个根，当a 2时，方程 f (x) a 有两个正根，一个小于4 x1的负根，∴ f ( x2) a 有六个根，当a 2 时，方程f ( x) a 有一个正根一个小于x12) a 有四个根，∴ f ( x 1，3，4，4 的负根，∴f (x2) a 根的个数可能为2x x6， 7，8，应选A.考点： 1.函数与方程； 2.分类议论的数学思想 .【名师点睛】要判断函数零点或方程根的个数，一般需联合函数在该区间的单一性、极值等性质进行判断，对于分析式较复杂的函数的零点，可依据分析式特色，利用函数与方程思想化为 f ( x) g( x) 的形式，经过观察两个函数图象的交点来求，经过图形直观研究方程实数解的个数，是常用的议论方程解的一种方法．[ 来源:]二、填空题（本大题共 4 个小题，每题 5 分，共 20 分，把答案填在题中的横线上．）13.已知a0 ，(ax)6睁开式的常数项为15，则xax4x2 )dx____________. ( x2a【答案】223.3考点：定积分的计算及其性质.14.设a，b R ，对于 x ， y 的不等式| x || y | 1和 ax 4by 8 无公共解，则 ab 的取值范围是 __________.【答案】 [ 16,16] . [根源:]考点：线性规划 .15.设抛物线y2 2 px p 0 的焦点为 F ，其准线与 x 轴交于点C，过点 F 作它的弦AB ，若CBF 90o，则AF BF________．【答案】 2 p .【分析】试题剖析：以下列图所示，设| BF | x ，过B作 l 的垂线，垂足是H ，则易得CFB : BCH ，则易得 |BC |2 |CF | |BH |px ，又∵ | CF |2 | BC |2|BF |2p2x2px x 5 1p ，2由抛物线的焦点弦性质，112，∴135|AF|35p ，|AF| |BF|p|AF| 2 p2∴ | AF | | BF | 2 p，故填： 2 p .考点：抛物焦点弦的性 .【名点睛】若 AB 抛物y2 2 px( p 0) 的焦点弦，F抛物焦点，A，B两点的坐分 ( x1 , y1) ， (x2 , y2 ) ，： x1x2p2， y1 y2p2，以AB直径的与抛4物的准相切，11 2 .|AF ||BF |p16.已知数列a n足 a1 2 ，a n an 1n20 ，a31_____________.【答案】 463.【分析】剖析：∵ a n an 1n20 ，∴ a n 1an 2( n1)20 ，两式相减，可得a n 2a n(2 n1)，∴a3a13， a5a37 ，⋯⋯ a31a2959 ，∴ a31a1359 15a31463 ，故填： 463 .2考点：数列的通公式 .[ 根源 :学& 科& 网 Z&X&X&K]【名点睛】已知推关系求通，掌握先由 a1和推关系求出前几，再、猜想 a n的方法，以及“累加法” ，“累乘法”等：1.已知 a1且 a n a n 1 f (n) ，能够用n“累加法”得：a n a1 f ( k) ，n 2 ；k 22.已知a1且an f (n) ，能够用“累乘法”得： a n a1 f (2) f (3)f ( n 1) f (n) ，n 2 .an 1三、解答（本大共 6 小，共 70 分.解答写出文字明、明程或演算步）17.（本小分 12 分）uuur uuur0 ，sin BAC 2 2，AB 3 2 ，如，在 ABC 中，已知点 D 在 BC 上，且AD AC3BD 3 .（1）求AD；（2）求cosC.【答案】（1）3；（2） 6 .3【分析】剖析：（1）利用已知条件第一求得cos BAD的，再在ABD中，利用余弦定理即可求解；（2）在ABD中利用正弦定理即可求解 .uuur uuurAC ，∴ sin BAC sin(BAD) cos BAD ，分析：（1）∵AD AC 0，AD2即 cos BAD22，在 ABD 中，由余弦定理，可知3BD 2AB 2AD 2 2 ABgAD gcos BAD ，即 AD28AD150 ，解得AD5，或 AD3，∵ AB AD ，∴ AD3；⋯⋯6分（2）在ABD中，由正弦定理，可知BD AB.sin BAD sin ADB又由 cos BAD 2 2，可知 sin BAD1，∴ sin ADB AB sin BAD 6 . 33BD3∵ADB DAC C C ，∴ cosC 6.⋯⋯⋯⋯12分23考点：正余弦定理解三角形．18.（本小分 12 分）已知矩形 ABCD ， AD 2 AB 2 ，点 E 是 AD 的中点，将DEC 沿CE折起到 D EC 的地点，使二面角 D EC B 是直二面角.（1）明：BE CD；（2）求二面角D BC E的余弦 .【答案】（1）分析；（2） 3 .3（2）法一：M是段EC的中点，点 M 作MF BC，垂足 F ，接 DM ， DF ，如， DM EC，∵平面 D EC平面BEC，∴ D M平面EBC，∴ MF是D F在平面BEC上的射影，由三垂定理，得 D F BC ，∴ D FM 是二面角 D BC E 的平面角，在 Rt D MF 中， D M1EC2，MF1 AB 1 , tan D FM D M2 ，2 22 2 MFcos D FM3，∴二面角 DBC E 的余弦3.⋯⋯⋯⋯ 12 分33法二：如 ，以EB ， EC x 、 y ， 点 E 且垂直于平面 BEC 的射 z ，成立空 直角坐 系，B( 2,0,0)， C(0, 2,0) ， D (0,2 , 2 ) ，[根源 :ZXXK] 2 2ur易知平面 BEC 的一个法向量 n 1(0,0,1) ；uur平面 D BC 的一个法向量 n 2(x 2 , y 2 , z 2 ) ，uuur 2,0) ，DC (0,2 ,2) ，BC(2,2 2n 2gBC，即2x 22 y 2 0uur，取 x 2(1,1,1) ，∴2y 22z 21，得 n 2n 2 gD C 022ur uurur uurn 1 n 23 ，cos n 1 , n 2uruur3| n 1 || n 2 |3 ∴二面角 DBC E 的余弦3.⋯⋯⋯⋯ 12 分考点： 1.面面垂直的判断与性质； 2.二面角的求解．19.(本小题满分 12 分)2015 年 7 月 9 日 21 时 15 分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登岸，造成 165.17 万人受灾， 5.6 万人紧迫转移布置， 288 间房子坍毁， 46.5 千公顷农田受灾，直接经济损失12.99 亿元 .距离陆丰市222 千米的梅州也遇到了台风的影响，适逢暑期，小明检查了梅州某小区的 50 户居民因为台风造成的经济损失，将采集的数据分红0,2000 ， 2000,4000 ， 4000,6000 ， 6000,8000 ， 8000,10000 五组，并作出以下频次散布直方图：（1）试依据频次散布直方图预计小区均匀每户居民的均匀损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）小明向班级同学发出提议，为该小区居民捐钱，现从损失超出4000 元的居民中随机抽出 2 户进行捐钱救助，设抽出损失超出 8000 元的居民为户，求的散布列和数学希望；（3）台风后区委会呼吁小区居民为台风重灾区捐钱，小明检查的50 户居民捐钱状况如图，依据图表格中所给数据，分别求 b ，c，a b，c d，a c，b d，a b c d的值，并说明能否有95%以上的掌握以为捐钱数额多于或少于500 元和自己经济损失能否到 4000 元相关？经济损失不超出经济损失超出合4000 元4000 元计捐钱超出 500a 30b元捐钱不超出c d 6500元共计P K 2k0.150.100.00.020.010.000.0015505k2.072.703.84 5.02 6.637.8710.8226145982附：临界值表参照公式： K 2a b n ad bc, n a b c d .c d a c b d【答案】（1）3360；（2）详看法析；（3）详看法析 .分析：（1） 每 居民的均匀 失x 元，x 1000 0.00015 3000 0.0002 5000 0.00009 7000 0.00003 9000 0.00003 2000 3360 ；⋯⋯⋯⋯ 4 分（ 2）由 率散布直方 ，可得超4000 元的居民共有 0.00009 0.00003 0.00003 2000 50 15 ， 失超 8000 元的居民共有0.00003 2000 50 3 ，所以 的可能 0，1，2， P0 C 122 22，C 152 35 P1C 31C 121 12，P2 C 32 1 ，C 15235C 152 35的散布列12P 2212 1353535E22 1 12 2 1 2；⋯⋯⋯⋯ 8 分35 35 355（3）解得 b9 ， c5 ， ab39 ，c d 11， ac 35 ， b d15， a b c d 50 ，5030 6 9 52，K 24.04639 11 35 153.841∴有 95%以上的掌握 捐钱数 多于或少于 500 元和自己 失能否到4000 元相关 .⋯⋯⋯⋯ 12 分考点： 1.古典概型； 2. 率散布直方 ； 3.独立性 ．20.（本小 分12 分）已知椭圆 E :x 2y 21 a b 0 的两个焦点 F 1 ， F2 ，且椭圆过点 (0, 3)，( 3,6) ，a 2b 22且 A 是椭圆上位于第一象限的点，且AF 1F 2的面积 S AFF3 .12（ 1）求点 A 的坐标；（ 2）过点 B(3,0) 的直线 l 与椭圆 E 订交于点 P ，Q ，直线 AP ，AQ 与 x 轴订交于 M ，N 两点，点 C ( 5,0) ，则 |CM | | CN | 能否为定值，假如是定值，求出这个定值，如2果不是请说明原因 .【答案】（1） A(2,1) ；（2）详看法析 .【分析】试题剖析：（1）经过已知条件第一求得椭圆的标准方程，再联合三角形的面积计算公式，即可求得 A 的坐标；（ 2）将直线 l 的方程设出，联立直线方程与椭圆方程，经过计算说明能否为定值即可 .∵ x A 0，∴ x A2，∴ A(2,1) ；（2）法一： 直 l 的方程 x my 3 ， P(x 1, y 1 ) ，Q( x 2 , y 2 ) ，直 AP 的方程 y1 y 11 x2 ，可得 M (2 y 1x 1,0)x 1 2y 1 1 直 AQ 的方程 y1 y 21 x2 ，可得 N( 2 y 2 x 2,0)x 22y 2 1，即，即2 m y 13，M (y 1 1 ,0)2 m y 23N (y 2 1,0) .立x my 3，消去 x ，整理，得 (2m 2 ) y 2 6my3 0 .x 2 2y 26由36m 2 12 2 m 20 ，可得 m 21， y 1 y 26m ， y 1 y 2 3 ，2 m 2 2 m 2CM gCN5 2 m y 13 52 m y 231 2m y 1 1 1 2m y 21(y 1 1) (y 2 1 )2 y 1 12 y 2 1221 2321 2m g(6m 122m g2 )1 2m y 1 y2 1 2m y 1 y 212 m2 m4 y 1 y 2 y 1 y 2 14(36m1)2 m 22 m 23 12m 12m 2 6m12m 2 2 m 2m 2 6m 5 14 3 6m 2 m 24 m 26m 54∴ CM gCN 定 ，且 CM gCN1.⋯⋯⋯⋯ 12 分4法二： P( x 1 , y 1 ) ，Q (x 2 , y 2 ) ，M (x 3,0) ， N ( x 4,0) ，直 l ， AP ， AQ 的斜率分 k ，k 1 ， k 2 ，由yk x 3，得 1 2k 2 x 2 12k 2 x 18k 26 0 ，x 22 y 26144k 4 4 12k 2 18k 2 60 ，可得 k 21 ， x 1 x 212k 2 ， x 1 x 2 18k 2 6 ，1 2k2 1 2k 2y1y 1 k x 13 1 k x 231 2kx 1x 25k1 x 1 x 212k4k 1 k 212x 1 2 x 22x 1 2x 2 2x 1x 2 2 x 1x 2418k 2 65k 1 g 12k 212k42kg2k 2 2k 2 4k24112 ，18k 2 612k 22k 2 22g 41 2k 22k 21由 y 1 k1x2，令 y0 ，得 x321，即 M(21,0)，k1k1同理得 x421，即 N(21,0) ，则k2k2CM gCN5(21) g5(2 1 )1 1 g1 1 1 1(1 1 )12k1 2k2 2 k1 2 k2 4 2 k1k2k1k211 (k1k2 )1 1 12114 2 k1k2k1k2 4 2 k1k2k1k24∴ CM gCN 为定值，该定值为1 .4考点：1.椭圆的标准方程及其性质； 2.直线与椭圆的地点关系； 3.椭圆中的定值问题．【名师点睛】求解定值问题的方法一般有两种： 1.从特别下手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量没关； 2.直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而获得定点、定值、定线 .应注意到繁难的代数运算是此类问题的特色，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算 . 21.(本小题满分 12 分)f (x) (ax2 bx a b)e x 1(x 1)(x2 2x 2), a R ，且曲线y f x与x轴切于 2原点 O.（1）务实数a，b的值；（2）若f ( x) ( x2mx n) 0恒成立，求m n的值 .【答案】（1）a0 ， b1；（2） m n 1 .（2）不等式 f ( x)(x 1)ex( x1)( 1x 2x1)，2即x1 0，或x1 0 ，ex( 1x 2x 1) 0ex( 1x 2x 1) 022令 g xe x( 1 x 2x 1) ， h(x) g (x) e x( x1) ， h (x) e x 1 ，2当 x 0 ， h ( x)e x 1 0 ；当 x 0 ， h ( x) e x 1 0 ，∴ h( x) 在区 (,0) 内 减，在区 (0, ) 内 增，∴ h(x) h(0) 0 ，即 g ( x) 0 ，∴ g( x) 在 R 上 增，而 g(0)0 ，∴ e x ( 1 x 2 x 1) 0x 0 ； e x (1 x 2 x 1) 0x 0 ，22∴当或，f ( x) 0 ，同理可得，当，f ( x) 0.x 0x 10 x 1∴由 f (x)g( x 2 mx n) 0 恒成立可知， x 0 ，和 x 1 是方程 x 2mx n0的两根，∴ m1 ， n 0 ，∴ m n .⋯⋯⋯⋯ 12 分.1考点： 数的 合运用．【名 点睛】 1． 明不等式 可通 作差或作商结构函数，而后用 数 明；2．求参数范 的常用方法： （1）分别 量；（2）运用最 ； 3．方程根的：可化 研究相 函数的 象， 而 象又 极 点和 区 的 ；4．高考取一些不等式的 明需要通 结构函数， 化 利用 数研究函数的 性或求最 ，从而 得不等式，而怎样依据不等式的 构特色结构一个可 函数是用数 明不等式的关 ．考生在 22、23、24 三 中任 一 作答，假如多做， 按所做的第一 分 .22.（本小 分 10 分） 修 4-1：几何 明如 ， PA 四 形 ABCD 外接 的切 ， CB 的延 交 PA 于点 P ， AC 与 BD 相交于点 M ，且 PA//BD .（ 1）求 ： ACD ACB ；（2）若 PA3，PC 6， AM 1，求 AB 的 .【答案】（1） 分析；（2） 2 . 【分析】剖析：（1）依据切 的性 第一 明PABACB ，再利用 PA / / BD 即可得 ；（2）第一依据切割 定理求得PB ， BC 的 度，再利用AMB : ABC 即可求解 .分析：（1）由 PA 切 ，得PABACB ，又∵ PA / / BD ，∴PABABDACD ，∴ ACDACB ；⋯⋯⋯⋯ 4 分（2）由切割 定理 PA 2PBgPC ，得 PB3， BC9，22由 PA/ /BD ，得AMPB，又 AM 1，∴ MC 3，∴ AC 4，MCBC又知 AMB : ABC ，∴ABAC，AMAB又∵ AC 4 ， AM1 ，∴ AB 2AM gAC 4 ，∴ AB2 .⋯⋯⋯⋯ 10 分考点： 1.切线的性质； 2.相像三角形的判断与性质．23.（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知点P 1, 2，直线l :x1t（t为参数），以坐标原点y2t为极点， x 轴正半轴为极轴成立极坐标系，曲线C的极坐标方程为sin22cos，直线 l 和曲线 C 的交点为 A, B .（1）求直线l和曲线C的一般方程；（2）求PA PB .【答案】（1）直线l的一般方程是x y 3 0 ，曲线C的一般方程是y 22x ；（2）联立直线方程与抛物线方程，利用参数的几何意义联合韦达定理即可求解 .【分析】考点： 1.参数方程，极坐标方程与直角方程的互相转变； 2.直线与抛物线的地点关系．24.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 f (x) 2 x 1 a ， g( x)2x m ，a ，m R ，若对于 x 的不等式g(x) 1 的整数解有且仅有一个值为-2.（1）求整数m的；（2）若函数y f (x) 的象恒在函数y1 g( x) 的上方，求数a的取范.2【答案】（1）4；（2）(,3) .【分析】剖析：（1）解不等式g( x) 1 ，依据整数解 2 ，即可求解；（2）等价于 f x 1g x0恒成立，分将号去掉即可求解.[根源 :学|科|网] 2分析：（1）由g( x) 1，即 2x m 1 ， 2x m1，得 m 1x m 1，∵不等式的整数解 2 ，∴m12m 1，解得 3 m5 ，2222又∵不等式有一个整数解2，∴ m 4 ；⋯⋯⋯⋯4分考点： 1.不等式； 2.分的数学思想； 3.恒成立．。
【全国百强校】河北省衡水中学2016届高三下学期第一次模拟考试理数试题解析(解析版)
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设命题甲：2210ax ax ++>的解集是实数集R ；命题乙：01a <<，则命题甲是命题乙成立 的（ ）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C考点：必要不充分条件的判定.2.设,a b R ∈且0b ≠，若复数()3a bi +（i 为虚数单位）是实数，则（ ） A ．223b a = B ．223a b = C ．229b a = D ．229a b = 【答案】A 【解析】试题分析：由题意得()30312223332233333()()()(3)(3)a bi C a C a bi C a bi C bi a ab a b b i +=+++=-+-，所以2330a b b -=，即223b a =，故选A.考点：复数概念及二项式定理的应用. 3.等差数列{}n a 中，2nna a 是一个与n 无关的常数，则该常数的可能值的集合为（ ） A ．{}1 B ．11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭【答案】B 【解析】试题分析：由题意得，因为数列{}n a 是等差数列，所以设数列{}n a 的通项公式为1(1)n a a n d =+-，则21(21)n a a n d =+-，所以121(1)(21)n n a a n da a n d+-=+-，因为2n n a a 是一个与n 无关的常数，所以10a d -=或0d =，所以2n n a a 可能是1或12，故选B. 考点：等差数列的通项公式. 4.ABC ∆中三边上的高依次为111,,13511，则ABC ∆为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不存在这样的三角形 【答案】C考点：余弦定理的应用.5.函数()f x 是定义在区间()0,+∞上可导函数，其导函数为()'fx ，且满足()()'20xf x f x +>，则不等式()()()201620165552016x f x f x ++<+的解集为（ ）A ．{}|2011x x >-B ．{}|2011x x <-C ．{}|20162011x x -<<-D ．{}|20110x x -<< 【答案】C 【解析】试题分析：由()()'20xfx f x +>，则当()0,x ∈+∞时，()()2'20x fx xf x +>，即()()2'[()]20xf x x f x xf x '=+>，所以函数()xf x 为单调递增函数，由()()()201620165552016x f x f x ++<+，即()()()222016201655x f x f ++<，所以020165x <+<，所以不等式的解集为{}|20162011x x -<<-，故选C.考点：函数单调性的应用及导数的运算.6.已知F 是椭圆22:1204x y C +=的右焦点，P 是C 上一点，()2,1A -，当APF ∆周长最小时，其 面积为（ ）A ．4B ．8CD ． 【答案】A考点：椭圆的定义的应用.7.已知等式()()()()432432123412341111x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++，定义映射()()12341234:,,,,,,f a a a a b b b b →，则()4,3,2,1f =（ ）A ．()1,2,3,4B ．()0,3,4,0C ． ()0,3,4,1--D ．()1,0,2,2-- 【答案】C 【解析】试题分析：由43243212341234[(1)1][(1)1][(1)1][(1)1]x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=+-++-++-++-+ 所以()4,3,2,1f =432[(1)1]4[(1)1]3[(1)1]2[(1)1]1x x x x =+-++-++-++-+，所以102210143243234(1)40,(1)4(1)33,4,1b C C b C C C b b =-+==-+-+=-==-，故选C.考点：二项式定理的应用.8.如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD 长为2，侧视图是一直 角三角形，俯视图为一直角梯形，且1AB BC ==，则异面直线PB 与CD 所成角的正切值是（ ）A ．1B ．2 D ．12【答案】C考点：空间几何体的三视图及异面直线所成角的计算.【方法点晴】本题主要考查了异面直线所成角、异面直线所成角的求法、以及空间几何体的三视图等知识的应用，着重考查了空间想象能力、运算能力和推理论证能力及转化思想的应用，属于基础题，本题的解答中线将三视图转化为空间几何体，取AD 的中点E ，连接,,BE PE CE ，将CD 平移到BE ，根据异面直线所成角的定义可知PBE ∠为异面直线PB 与CD 所成角，在直角三角形PBE ∆中，即可求解角的正切值. 9.某学校课题组为了研究学生的数学成绩和物理成绩之间的关系，随机抽取高二年级20名学生某 次考试成绩（百分制）如下表所示：若数学成绩90分（含90分）以上为优秀，物理成绩85（含85分）以上为优秀.有多少把握认为学生的 学生成绩与物理成绩有关系（ ）A ．99.9%B ． 99.5%C ．97.5%D ．95% 参考数据公式：①独立性检验临界值表②独立性检验随机变量2K 的值的计算公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】B考点：独立性检验的应用.10.在一个棱长为4的正方体内，你认为最多放入的直径为1的球的个数为（ ） A ．64 B ．65 C ．66 D ．67 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，底层可以16个，然后在底层每4个球之间放一个，第二层能放9个，依次类推，分别第三、第四、第五层能放16个、9个、16个，一共可放置1691691666++++=个，故选C. 考点：空间几何体的机构特征.11.定义：分子为1且分母为正整数的分数成为单位分数，我们可以把1分拆为若干个不同的单位 分数之和.如：1111111111111,1,1236246122561220=++=+++=++++，依次类推可得： 11111111111111++++++26123042567290110132156m n =++++++，其中,,m n m n N +≤∈.设1,1x m y n ≤≤≤≤，则21x y x +++的最小值为（ ）A ．232B ．52C ．87D ．343【答案】C考点：归纳推理.【方法点晴】本题主要考查了归纳推理的应用，对于归纳推理是根据事物的前几项具备的规律，通过归纳、猜想可得整个事物具备某种规律，是一种特殊到一般的推理模式，同时着重考查了学生分析问题和解答问题的能力以及推理、计算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据式子的结构规律，得到,m n 的值是解答的关键.12.已知,a b R ∈，直线2y ax b π=++与函数()tan f x x =的图像在4x π=-处相切，设()2x g x e bx a =++，若在区间[]1,2上，不等式()22m g x m ≤≤-恒成立，则实数m （ ）A ．有最小值e -B ．有最小值eC ．有最大值eD ．有最大值1e + 【答案】D 【解析】试题分析：由题()tan f x x =，得()21cos f x x '=，则()24a f π'=-=，将切点(,1)4π--代入切线方程可得1b =-，则()22xg x e x =-+，令()()2xh x g x e x '==-，则()2xh x e '=-在[]1,2上有()0h x '>恒成立，所以()h x 在[]1,2上递增，即()g x '在在[]1,2上递增，则有()()120g x g e ''≥=->，则()g x 在[]1,2上递增，且()()()()m i n m a x1,2g x g g x g ==，不等式()22m g x m ≤≤-恒成立，即有()()222112222m g e m g e m m ≤=+⎧⎪-≥=-⎨⎪≤-⎩，解得m e ≤-或1e m e ≤≤+，所以实数m 有最大值1e +，故选D. 考点：利用导数研究曲线在某点的切线方程.【方法点晴】本题主要考查了导数的运用：求切线方程和判断函数的单调性，着重考查了函数的单调性的判定及应用、不等式的恒成问题的转化为函数的最值问题，属于中档试题，通知考查了推理、运算能力和转化的数学思想方法的运用，本题的解答中根据题意先求得,a b 的值，得出函数()g x 的解析式，再判断函数()g x 的单调性与最值，把不等式的恒成转化为函数的最值问题，即可求解m 的取值范围.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.已知函数()2f x x ax =-的图像在点()()1,1A f 处的切线与直线320x y ++=垂直，执行如 图所示的程序框图，输出的k 值是 .【答案】6考点：程序框图的计算与输出.14.在直角坐标系xOy 中，已知点()0,1A 和点()3,4B -，若点C 在AOB ∠的平分线上，且2OC =， 则OC = .【答案】( 【解析】试题分析：由题意得，1,2OA OB ==，设OC 与AB 交于(,)D x y 点，则:1:5AD BD =，即D 分有向线段AB 所成的比为15，所以110(3)14)1355,11221155x y +-⨯+⨯==-==++，即13(,)22D -，因为2OC =，所以2(OD OC OD=⨯=-，即点C的坐标为(,55-. 考点：向量的运算.15.如图，将平面直角坐标系中的纵轴绕原点O 顺时针旋转30︒后，构成一个斜坐标平面xOy .在 此斜坐标平面xOy 中，点(),P x y 的坐标定义如下：过点P 作两坐标轴的平分线，分别交两轴于,M N 两 点，则M 在Ox 轴上表示的数为x ，N 在Oy 轴上表示的数为y .那么以原点O 为圆心的单位圆在此斜坐标系下的方程为 .【答案】2210x y xy ++-=考点：圆的一般方程.【方法点晴】本题主要考查了与直角坐标有关的新定义的运算问题，对于新定义试题，要紧紧围绕新定义，根据新定义作出合理的运算与变换，同时着重考查了转化与化归的思想方法的应用，属于中档试题，本题的解答中，设出(,)P x y 在直角坐标下的坐标为11(,)P x y '，建立两个点之间的变换关系，代入单位圆的方程，即可曲解轨迹方程，其中正确得到两点之间的变换关系是解答的关键.16.已知ABC ∆的面积为S ，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2sin C A 成等比数列，2213,218322b a c ac =≤+≤241c +的最小值为 .【答案】34考点：等比数列的应用；余弦定理及三角形的面积公式；导数的应用.【方法点晴】本题主要考查了等比数列的通项公式，余弦定理及三角形的面积公式、导数的综合应用，试题有一点的难度，属于难题，着重考查了学生的推理、运算能力及转化与化归思想方法的应用，本题的解答中根据题设条件先得出c a =，在利用三角恒等变换和三角形的面积公式表示成三角形的面积，进而得到a 241c +，利用导数研究其单调性确定最值即可.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知，12a =，且1234,3,2S S S 成等差 数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设25n n b n a =-⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）()2n n a n N +=∈；（2）()16,110,234272,3n n n T n n n +⎧=⎪==⎨⎪+-⨯≥⎩.考点：等比数列通项公式及数列求和.18．（本小题满分12分）如图，四边形PCBM 是直角梯形，90,//,1,2PCB PM BC PM BC ∠=︒== ，又1,120,AC ACB AB PC =∠=︒⊥，直线AM 与直线PC 所成的角为60︒. （1）求证：PC AC ⊥；（2）求二面角M AC B --的余弦值； （3）求点B 到平面MAC 的距离.；（3. 【答案】（1）证明见解析；（2）7考点：直线与平面垂直的判定与证明；空间中二面角的求解；点到平面的距离.19.（本小题满分12分）电子商务在我国发展迅猛，网上购物成为很多人的选择.某购物网站组织了一次促销活动，在网页的界面上打出广告：高级口香糖，10元钱三瓶，有8种口味供你选择（其中有一种为草莓口味）.小王点击进入网页一看，只见有很多包装完全相同的瓶装口香糖排在一起，看不见具体口味，由购买者随机点击进行选择（各种口味的高级口香糖均超过3瓶，且各种口味的瓶数相同，每点击选择一瓶后，网页自动补充相应的口香糖）.（1）小王花10元钱买三瓶，请问小王共有多少种不同组合选择方式？（2）小王花10元钱买三瓶，由小王随机点击三瓶，请列出有小王喜欢的草莓味口香糖瓶数ξ的分布列，并计算其数学期望和方差.【答案】（1）120种；（2）分布列见解析，38，2164.【解析】试题分析：（1）若8种口味均不一样，有38C种，若其中两瓶口味一样，有1187C C种，若三瓶口味一样，有8种，由此能求出小王共有多少种选择方式；（2）由已知得1(3,)8Bξ，由此能求出小王喜欢的草莓口香糖考点：排列组合的应用；离散型随机变量的期望与方差.20.（本小题满分12分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的离心率为2，其短轴的下端点在抛物线24x y =的准线上. （1）求椭圆1C 的方程；（2）设O 为坐标原点，M 是直线:2l x =上的动点，F 为椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM为直径的圆2C 相交于,P Q 两点，与椭圆1C 相交于,A B 两点，如图所示.①若PQ =2C 的方程；②设2C 与四边形OAMB 的面积分别为12,S S ，若12S S λ=，求λ的取值范围.【答案】（1）2212x y +=；（2）①()()22112x y -+-=或()()22112x y -++=；②,2⎫+∞⎪⎪⎣⎭.②当0t ≠，由①，知PQ 的方程为220x ty +-=由2212220x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩消去y ，得()222816820t x x t +-+-= 则()()()()22242164882840t t t t ∆=--+-=+>21212221682,88t x x x x t t-∴+==++2248t AB t +∴===+2222241142288t t S OM AB t t ++∴=⨯⨯==++ ()221124,4S r t S S ππλ==+=()221224488828t S S t πλ+⎫====≥⨯=+=，即0t =时取等号又0,2t λ≠∴>，当0t =时，直线PQ 的方程为1x =2AB OM ==，212S OM AB ∴=⨯=2112S OM ππ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，122S S λ∴===综上，2λ≥，所以实数λ的取值范围为,⎫+∞⎪⎪⎣⎭. 考点：椭圆的标准方程及其简单的几何性质；直线与圆锥曲线的位置关系的应用.【方法点晴】本题主要考查了圆的方程、椭圆的标准方程及其简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用，着重考查了的参数的取值范围的求解及分类讨论的数学与思想方法的应用及推理、运算能力，属于中档试题，解答时要认真审题，注意一元二次方程中韦达定理与判别式、弦长公式的灵活应用，同时熟记基本的公式是解答此类问题的基础.21.（本小题满分12分）设a 为实数，函数()()211xf x x e a x -=--.（1）当1a =时，求()f x 在3,24⎛⎫⎪⎝⎭上的最大值； （2）设函数()()()11,x g x f x a x e -=+--当()g x 有两个极值点()1212,x x x x <时，总有()()'211x g x f x λ≤，求实数λ的值（()'f x 为()f x 的导函数）.【答案】（1）最大值是()11f =；（2）21ee λ≤+.（2）由题意，知()()21x g x x a e -=-，则()()()'212122x x g x x x a e x x a e --=-+=-++ 根据题意，方程220x x a -++=有两个不同的实根()1212,x x x x <440a ∴∆=+>，即1a >-，且122x x +=121211,2x x x x x <∴<=-且，由()()'211x g x f x λ≤其中()()'212x f x x x e a -=--，得()()()()1111222111111222x x x x a ex x e x x λ--⎡⎤--≤-+-⎣⎦21120x x a -++=所以上式化为()()()()1111221111112222x x x x e x x e x x λ--⎡⎤-≤-+-⎣⎦ 又120x ->，所以不等式可化为11111210x x x e e λ--⎡⎤-+≤⎣⎦，对任意的()1,1x ∈-∞恒成立.①当10x =，11111210x x x e e λ--⎡⎤-+≤⎣⎦不等式恒成立，R λ∈；②当()10,1x ∈时，1111210x x eeλ---+≤恒成立，111121x x e e λ--≥+令函数()11111122211x x x e k x e e ---==-++显然()k x 是R 内的减函数，当()0,1x ∈，()()22011e ek x k e e λ<=∴≥++③()1,0x ∈-∞时，1111210x x eeλ---+≥恒成立，即111121x x e e λ--≤+由②，当(),0x ∈-∞，()()201e k x k e >=+，即21ee λ≤+ 考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值. 【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，函数的极值问题，取闭区间上的最值问题，着重考查了分类讨论的数学思想和转化与化归的思想方法，是一道综合试题，试题有一定的难度，本题解答中把不等式可化为11111210x x x ee λ--⎡⎤-+≤⎣⎦，对任意的()1,1x ∈-∞恒成立.通过讨论①当10x =时，②当1(0,1)x ∈时，③1(,1)x ∈-∞时的情况是解解答的难点.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，ABC ∆内接于直径为BC 的圆O ，过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点,P BAC ∠的平分线 分别交BC 和圆O 于点,D E ，若210PA PB ==. （1）求证：2AC AB =； （2）求AD DE ⋅的值.【答案】（1）证明见解析；（2）50.考点：圆的切割线定理；相似三角形的应用.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线14cos :3sin x t C y t =-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），28cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）化12,C C 的方程为普通方程，并说明他们分别表示什么曲线； （2）若1C 上的点P 对应的参数为,2t Q π=为2C 上的动点，求PQ 的中点M 到直线332:2x tC y t=+⎧⎨=-+⎩（t 为 参数）距离的最小值.【答案】（1）()()222212:431,:1649x y C x y C ++-=+=；（2）5.考点：圆的参数方程；点到直线的距离公式；直线的参数方程.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()()21f x x a x a R =---∈.（1）当3a =时，求函数()f x 的最大值；（2）解关于x 的不等式()0f x ≥.【答案】（1）2；（2）当1a >时，不等式的解集为22,3a a +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，当1a =时，不等式的解集为{}|1x x = 当1a <，不等式的解集为2,23a a +⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.考点：绝对值不等式的求解.。
2016届河北省衡水中学高三下学期猜题数学(理)试题(解析版)
2016届河北省衡水中学高三下学期猜题数学（理）试题一、选择题1．“1m =±”是“复数2(1)(1)m m i -++（其中i 是虚数单位）为纯虚数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B.【解析】试题分析：由题意得，2(1)(1)m m i -++是纯虚数210110m m m ⎧-=⇔⇔=⎨+≠⎩，故是必要不充分条件，故选B.【考点】1.复数的概念；2.充分必要条件．2．设全集U R =，函数()lg(|1|1)f x x =+-的定义域为A ，集合{}|sin 0B x x π==，则()U C A B 的元素个数为（ ）A ．1 B.2 C ．3 D ．4 【答案】C.【解析】试题分析：|1|1011x x +->⇒+>或11x +<-，∴(,2)(0,)A =-∞-+∞ ，∴[2,0]U C A =-，又∵B Z =，∴(){2,1,0}U C A B =-- ，有3个元素，故选C. 【考点】1.对数函数的性质；2.三角函数值；3.集合的运算． 3．若点55(sin,cos )66ππ在角α的终边上，则sin α的值为（ ） A．2-．12- C ．12D．2 【答案】A.【解析】试题分析：根据任意角的三角函数的定义，5cos 6sin 12πα==-，故选A. 【考点】任意角的三角函数．4．如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的i a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的m ，n 分别是（ ）A ．38m =，12n =B ．26m =，12n =C ．12m =，12n =D ．24m =，10n = 【答案】B.【解析】试题分析：分析程序框图可知，n 为50名学生中成绩在[80,)+∞的人数，m 为50名学生中成绩在[60,80)的人数，而分析茎叶图即可知12n =，26m =，故选B. 【考点】1.统计的运用；2.程序框图．5．如图所示的是函数()sin 2f x x =和函数()g x 的部分图象，则函数()g x 的解析式是（ ）A ．()sin(2)3g x x π=-B ．2()sin(2)3g x x π=+C ．5()cos(2)6g x x π=+D ．()cos(2)6g x x π=- 【答案】C.【解析】试题分析：由题意得，(0)0g <，故排除B ，D ；又∵17()()sin 24842g f πππ===A ，故选C. 【考点】三角函数的图象和性质． 6．若函数2(2)()m xf x x m-=+的图象如图所示，则m 的范围为（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,2)-C ．(0,2)D ．(1,2) 【答案】D.【解析】试题分析：由图可知，()f x 定义域为R ，∴0m >，又∵x →+∞时，()0f x >，∴202m m ->⇒<，又∵()f x 是奇函数，∴0x >时，2(2)2()m x mf x m x m x x--==++，∴()f x在上单调递增，)+∞上单调递减，11m >⇒>，综上，实数m 的范围是(1,2)，故选D.【考点】函数性质的综合运用．7．某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（ ）A ．1 B．2 C【答案】C.【解析】试题分析：分析题意可知，该几何体为如下图所示的四棱锥P ABCD -，其中底面ABCD 是正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，故AB ⊥平面PAD ，∴A B P A ⊥，∴PA =1=122PAB S ∆⋅=，故选C.【考点】1.三视图；2.空间几何体的表面积．8．已知数列{}n a 的首项为11a =，且满足对任意的*n N ∈，都有12n n n a a +-≤，232n n n a a +-≥⨯成立，则2014a =（ ）A ．201421- B ．201421+ C ．201521- D ．201521+【答案】A.【解析】试题分析：∵12n n n a a +-≤，∴1212n n n a a +++-≤，两式相加，可得122232n n n n n a a ++-≤+=⋅，又∵232n n n a a +-≥⨯，∴需232n n n a a +-=⋅，等号成立的条件为：12n n n a a +-=， ∴2n ≥时，1112111(21)()()2212121n n n n n n a a a a a a --⋅-=-+⋅⋅⋅+-+=+⋅⋅⋅++==--，∴2014201421a =-，故选A. 【考点】数列的通项公式．9．已知非零向量a ，b ，c ，满足||||4a b b -== ，()()0a c b c -⋅-=，若对每个确定的b ，||c的最大值和最小值分别为m ，n ，则m n -的值为（ ）A ．随||a 增大而增大B ．随||a增大而减小C ．是2D ．是4 【答案】D.【解析】试题分析：∵()()0a c b c -⋅-=，∴2()0c a b c a b -+⋅+⋅= ，即2||||||c o s ,0c a b c a b c a b -+⋅⋅<+>+⋅=，∵1cos ,1a b c -≤<+>≤ ，∴22||||||0||||||0c a b c a b c a b c a b ⎧-+⋅+⋅≤⎪⎨++⋅+⋅=⎪⎩ ，解得||||2||222a b a b c ++-≤≤+，（||||||||2222a b a b a bb b +--=+≥-= ），故min ||||22a b c +=- ，max ||||22a b c +=+， ∴4m n -=，故选D.【考点】平面向量数量积．10．已知在三棱锥P ABC -中，1PA PB BC ===，AB =AB BC ⊥，平面PAB ⊥平面ABC ，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）AB ．3π CD ．2π 【答案】B. 【解析】试题分析：如下图所示，设球心为O ，则可知球心O 在面ABC 的投影在ABC ∆外心，即AC 中点E 处，取AB 中点F ，连PF ，EF ，OE ，OP ，由题意得，PF ⊥面ABC ，∴在四边形POEF 中，设O E h =，∴半径0r h ===，r =AC 中点，∴表面积243S r ππ==，故选B.【考点】空间几何体的外接球．【名师点睛】外接球常用的结论：长方体的外接球：1.长、宽、高分别为a ，b ，c 的2R =；2.棱长为a 的正方体2R =；棱长为a 的正四面体：外接球的半径为4，内切球的半径为12a ； 11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点P ，Q ，若60PAQ ∠=，且3OQ OP =，则双曲线C 的离心率为（ ）ABCD【答案】C.【解析】试题分析：如下图所示，设AOQ α∠=，∴t a n c o s ba ac αα=⇒=，sin b cα=，∴2||cos a OH a cα=⋅=，||sin abAH a c α=⋅=，又∵3OQ OP = ，∴2||||||2a OP PH HQ c===，∴2|||22ab a AH PH b c c =⇒=⇒=，∴e ==，故选C.【考点】双曲线的标准方程及其性质．【名师点睛】要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，构造出关于a ，c 的齐次式，进而求解，要注意对题目中隐含条件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征以及平面几何知识的运用，如12||||2PF PF c +≥等.12．已知函数()()()()()52log 11221x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，则关于x 的方程1(2)f x ax +-=的实根个数不可能为（ ）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个【答案】A.【解析】试题分析：如下图所示，画出函数()f x 以及1()2g x x x=+-的图象，从而可知，当0a <时，方程()f x a =有一正根，∴方程1(2)f x a x+-=有两个根，当0a =时，方程()f x a =有一正根，一个根为0，∴1(2)f x a x+-=有三个根，当01a <<时，方程()f x a =有两个正根，一个大于4-的负根，∴1(2)f x a x +-=有四个根，当1a =时，方程()f x a =有一个负根4-，三个正根，∴1(2)f x a x+-=有七个根，当12a <<时，方程()f x a =有三个正根，一个小于4-的负根，∴1(2)f x a x+-=有八个根，当2a =时，方程()f x a =有两个正根，一个小于4-的负根，∴1(2)f x a x+-=有六个根，当2a >时，方程()f x a =有一个正根一个小于4-的负根，∴1(2)f x a x +-=有四个根，∴1(2)f x a x+-=根的个数可能为2，3，4，6，7，8，故选A.【考点】1.函数与方程；2.分类讨论的数学思想.【名师点睛】要判断函数零点或方程根的个数，一般需结合函数在该区间的单调性、极值等性质进行判断，对于解析式较复杂的函数的零点，可根据解析式特征，利用函数与方程思想化为()()f x g x =的形式，通过考察两个函数图象的交点来求，通过图形直观研究方程实数解的个数，是常用的讨论方程解的一种方法．二、填空题13．已知0a >，6)x-展开式的常数项为15，则2(aax x dx -++=⎰____________.【答案】223π++ 【解析】试题分析：根据二项展开的通项公式可知，13(6)36622166(1)(1)r r r r rrr r rr T C axC ax-----+=-=-，∴令2r =，∴246(1)151r C a a -=⇒=，∴1112222111()4aax x d x x d x x d x---+-=++-⎰⎰⎰根据定积分的几何意义及定义，从而可知111211x dx xdx ---++⎰⎰⎰2112201243263ππ+=++⋅+⋅=+223π++【考点】定积分的计算及其性质.14．设a ，b R ∈，关于x ，y 的不等式||||1x y +<和48ax by +≥无公共解，则ab 的取值范围是__________. 【答案】[16,16]-.【解析】试题分析：如下图所示，不等式||||1x y +<所表示的平面区域如下图所示，要保证不等式无公共解，只需8822a b -≤≤⎧⎨-≤≤⎩，∴ab 的取值范围是[16,16]-，故填：[16,16]-. 【考点】线性规划.15．设抛物线()220y px p =>的焦点为F ，其准线与x 轴交于点C ，过点F 作它的弦AB ，若90CBF ∠=，则AF BF -=________．【答案】2p .【解析】试题分析：如下图所示，设||BF x =，过B 作l 的垂线，垂足是H ，则易得CFB BCH ∆∆ ，则易得2||||||BC CFB H p x=⋅=，又∵222221||||||2CF BC BF p x px x p =+⇒=+⇒=，由抛物线的焦点弦性质，112||||AF BF p +=，∴1||||AF p AF =⇒=， ∴||||2AF BF p -=，故填：2p .【考点】抛物线焦点弦的性质.【名师点睛】若AB 为抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，F 为抛物线焦点，A ，B 两点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则：2124p x x =，212y y p =-，以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切，112||||AF BF p+=. 16．已知数列{}n a 满足12a =，210n n a a n +++=，则31a =_____________. 【答案】463-.【解析】试题分析：∵210n n a a n +++=，∴212(1)0n n a a n +++++=，两式相减，可得2(21)n n a a n +-=-+，∴313a a -=-，537a a -=-，……312959a a -=-，∴31131359154632a a a +-=-⋅⇒=-，故填：463-. 【考点】数列的通项公式.【名师点睛】已知递推关系求通项，掌握先由1a 和递推关系求出前几项，再归纳、猜想n a 的方法，以及“累加法”，“累乘法”等：1.已知1a 且1()n n a a f n --=，可以用“累加法”得：12()nn k a a f k ==+∑，2n ≥；2.已知1a 且1()nn a f n a -=，可以用“累乘法”得：1(2)(3)(1)()n a a f f f n f n =⋅⋅⋅⋅⋅-⋅，2n ≥.三、解答题17．如图，在ABC ∆中，已知点D 在边BC 上，且0AD AC ⋅=，sin BAC ∠=，AB =BD =（1）求AD 长； （2）求cos C . 【答案】（1）3；（2【解析】试题分析：（1）利用已知条件首先求得cos BAD ∠的值，再在ABD ∆中，利用余弦定理即可求解；（2）在ABD ∆中利用正弦定理即可求解. 试题解析：（1）∵0A D A C ⋅=，则A D A ⊥，∴s i n s i n ()c o s 2B AC B AD B A Dπ∠=+∠=∠，即cos BAD ∠=，在ABD ∆中，由余弦定理，可知2222cos =+-⋅⋅∠BD AB AD AB AD BAD ，即28150AD AD -+=，解得5AD =，或3AD =，∵AB AD >，∴3AD =； （2）在ABD ∆中，由正弦定理，可知sin sin BD ABBAD ADB=∠∠.又由cos 3BAD ∠=，可知1sin 3BAD ∠=，∴s i n s i n A B B A DA DB BD∠∠==.∵2ADB DAC C C π∠=∠+=+，∴cos C =. 【考点】正余弦定理解三角形．18．已知矩形ABCD ，22AD AB ==，点E 是AD 的中点，将DEC ∆沿CE 折起到D EC '∆的位置，使二面角D EC B '--是直二面角.（1）证明：BE CD '⊥；（2）求二面角D BC E '--的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2 【解析】试题分析：（1）根据条件可证明BE ⊥平面D EC '，利用线面垂直的性质即可得证；（2）通过三垂线定理作出二面角的平面角，或者建立空间直角坐标系利用空间向量求解.试题解析：（1）∵22AD AB ==，E 是AD 的中点，∴BAE ∆，CDE ∆是等腰直角三角形，90BEC ∠= ，即BE EC ⊥，又∵平面D EC '⊥平面BEC ，平面D EC ' 平面BEC EC =，∴BE ⊥平面D EC '，∴BE CD '⊥； （2）法一：设M 是线段EC 的中点，过点M 作MF BC ⊥，垂足为F ，连接D M '，DF'，如图，则D M EC '⊥， ∵平面D EC '⊥平面BEC ，∴D M '⊥平面EBC ，∴MF 是DF'在平面BEC 上的射影，由三垂线定理，得D F BC '⊥，∴D FM '∠是二面角D BC E '--的平面角， 在Rt D MF '∆中，122D M EC '==，11,tan 22D M MF AB D FM MF ''==∠==cos D FM '∠=D BCE '--.法二：如图，以EB ，EC 为x 轴、y 轴，过点E 且垂直于平面BEC 的射线为z 轴，建立空间直角坐标系，则B，C，22D '， 易知平面BEC 的一个法向量为1(0,0,1)n =； 设平面D BC '的一个法向量为2222(,,)n x y z =，(BC =，(0,22D C '=-， 则2200⋅=⎧⎨'⋅=⎩n BC n D C ，即22220022y z ⎧=-=⎪⎩，取21x =，得2(1,1,1)n = ，∴121212cos ,||||n n n n n n ⋅<>==， ∴二面角D BC E '--的余弦值为3.【考点】1.面面垂直的判定与性质；2.二面角的求解．19．2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元.距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[]0,2000，(]2000,4000，(]4000,6000，(]6000,8000，(]8000,10000五组，并作出如下频率分布直方图：（1）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款，现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；（3）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如图，根据图表格中所给数据，分别求b ，c ，a b +，c d +，a c +，b d +，a b c d +++的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？附：临界值表参考公式：()()()()()22,n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++. 【答案】（1）3360；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】试题分析：（1）根据表格中数据即可求解；（2）列出ξ的所有可能取值，分别求得取到每个值时的概率，即可得到分布列与期望；（3）通过表格中数据计算2K 的值，与已知参数比较，即可判断.试题解析：（1）记每户居民的平均损失为x 元， 则()10000.0001530000.000250000.0000970000.0000390000.00003x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯20003360⨯=；（2）由频率分布直方图，可得超过4000元的居民共有()0.000090.000030.0000320005015++⨯⨯=户，损失超过8000元的居民共有0.000032000503⨯⨯=户，因此ξ的可能值为0，1，2，()21221522035C P C ξ===，()1131221512135C C P C ξ===，()232151235C P C ξ===， ξ的分布列为()2212120123535355E ξ=⨯+⨯+⨯=； （3）解得9b =，5c =，39a b +=，11c d +=，35a c +=，15b d +=，50a b c d +++=， ()225030695 4.046 3.84139113515K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，∴有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关.【考点】1.古典概型；2.频率分布直方图；3.独立性检验．20．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的两个焦点1F ，2F，且椭圆过点，，且A 是椭圆上位于第一象限的点，且12AF F ∆的面积12AF F S ∆（1）求点A 的坐标；（2）过点(3,0)B 的直线l 与椭圆E 相交于点P ，Q ，直线AP ，AQ 与x 轴相交于M ，N 两点，点5(,0)2C ，则||||CM CN ⋅是否为定值，如果是定值，求出这个定值，如果不是请说明理由.【答案】（1）(2,1)A ；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）通过已知条件首先求得椭圆的标准方程，再结合三角形的面积计算公式，即可求得A 的坐标；（2）将直线l 的方程设出，联立直线方程与椭圆方程，通过计算说明是否为定值即可.试题解析：（1）∵椭圆E过点，，∴222223312b a b c ab ⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪+=⎩，计算得26a =，b c ==E 的方程为22163x y +=. ∵12AF F ∆的面积12AF F S ∆，∴1212A F F y =，∴1A y =，代入椭圆方程221163A x +=. ∵0A x >，∴2A x =，∴(2,1)A ；（2）法一：设直线l 的方程为3x my =+，11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线AP 的方程为()111122y y x x --=--，可得1112(,0)1y x M y --，即()1123(,0)1m y M y ---，直线AQ 的方程为()221122y y x x --=--，可得2222(,0)1y xN y --，即()2223(,0)1m y N y ---.联立22326x my x y =+⎧⎨+=⎩，消去x ，整理，得22(2)630m y my +++=. 由()22361220m m ∆=-+>，可得21m >，12262m y y m +=-+，12232y y m =+， ()()()()()()12121212232312112155()()21212121----++++⋅=-⋅-=⋅----m y m y m y m y CM CN y y y y()()()()()()22221212121222361212()1121212236414(1)22+⋅++⋅-++++++++==-++⎡⎤⎣⎦++++mm m m y y m y y m mm y y y y m m()()22222231212612265144362465m m m m m m m m m m m ++--++++===+++++ ∴⋅CM CN 为定值，且14⋅=CM CN . 法二：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，3(,0)M x ，4(,0)N x ，直线l ，AP ，AQ 的斜率分别为k ，1k ，2k ，由()22326y k x x y ⎧=-⎨+=⎩，得()222212121860k x k x k +-+-=，()()4221444121860k k k ∆=-+->，可得21k <，21221212k x x k +=+，212218612k x x k-=+， ()()()()()121212121212121212313125112411222224k x k x kx x k x x k y y k k x x x x x x x x -----++++--+=+=+=-----++()22222222221861225112444121221861222241212-⋅-+⋅++-+++===----⨯+++k k k k k k k k k k k k k，由()112y k x -=-，令0y =，得3112x k =-，即11(2,0)M k -， 同理得4212x k =-，即21(2,0)N k -，则 121251511111(2)(2)2222=--⋅--=+⋅+CM CN k k k k 121211111()42k k k k =+++ 121212121211111211()42424k k k k k k k k k k +-=++=+⨯+= ∴⋅CM CN 为定值，该定值为14. 【考点】1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.椭圆中的定值问题． 【名师点睛】求解定值问题的方法一般有两种：1.从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；2.直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.21．已知函数221()()(1)(22),2xf x ax bx a b e x x x a R =++---++∈，且曲线()y f x =与x 轴切于原点O .（1）求实数a ，b 的值；（2）若2()()0f x x mx n ⋅+-≥恒成立，求m n +的值.【答案】（1）0a =，1b =；（2）1m n +=-. 【解析】试题分析：（1）求导，利用导数的几何意义即可求解；（2）将不等式作进一步化简，可得21(1)(1)(1)2xx ex x x ->-++，分类讨论，构造函数21()(1)2xg x e x x =-++，求导研究其单调性即可得到0x =，和1x =是方程20x mx n +-=的两根，从而求解.试题解析：（1）()()221()(2)221222x f x ax bx a b ax b e x x x x '⎡⎤=++-++-+++-+⎣⎦ ∴(0)0f a '==，又∵(0)10f a b =-+=，∴0a =，1b =；（2）不等式()0f x >21(1)(1)(1)2x x e x x x ⇔->-++，即2101(1)02x x e x x ->⎧⎪⎨-++>⎪⎩，或2101(1)02x x e x x -<⎧⎪⎨-++<⎪⎩， 令()21(1)2x g x e x x =-++，()()(1)x h x g x e x '==-+，()1xh x e '=-，当0x >时，()10x h x e '=->；当0x <时，()10x h x e '=-<，∴()h x 在区间(,0)-∞内单调递减，在区间(0,)+∞内单调递增，∴()(0)0h x h ≥=， 即()0g x '≥，∴()g x 在R 上单调递增，而(0)0g =，∴21(1)002x e x x x -++>⇔>；21(1)002x e x x x -++<⇔<，∴当0x <或1x >时，()0f x >，同理可得，当01x ≤≤时，()0f x ≤.∴由2()()0⋅+-≥f x x mx n 恒成立可知，0x =，和1x =是方程20x mx n +-=的两根，∴1m =-，0n =，∴1m n +=-. 【考点】导数的综合运用．【名师点睛】1．证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明；2．求参数范围问题的常用方法：（1）分离变量；（2）运用最值；3．方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论；4．高考中一些不等式的证明需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键． 22．如图，PA 为四边形ABCD 外接圆的切线，CB 的延长线交PA 于点P ，AC 与BD 相交于点M ，且//PA BD .（1）求证：ACD ACB ∠=∠；（2）若3PA =，6PC =，1AM =，求AB 的长. 【答案】（1）详见解析；（2）2. 【解析】试题分析：（1）根据切线的性质首先证明PAB ACB ∠=∠，再利用//PA BD 即可得证；（2）首先根据切割线定理求得PB ，BC 的长度，再利用AMB ABC ∆∆ 即可求解.试题解析：（1）由PA 为切线，得P A B A C B ∠=∠，又∵//PA BD ，∴P A B A B D A C D ∠=∠=∠， ∴ACD ACB ∠=∠；（2）由切割线定理2=⋅PA PB PC ，得32PB =，92BC =， 由//PA BD ，得AM PBMC BC=，又1AM =，∴3MC =，∴4AC =， 又知AMB ABC ∆∆ ，∴AB ACAM AB=， 又∵4AC =，1AM =，∴24=⋅=AB AM AC ，∴2AB =.【考点】1.切线的性质；2.相似三角形的判定与性质．23．在直角坐标系xOy 中，已知点()1,2P -，直线1:2x tl y t=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=，直线l 和曲线C 的交点为,A B .（1）求直线l 和曲线C 的普通方程； （2）求PA PB +.【答案】（1）直线l 的普通方程是30x y --=，曲线C 的普通方程是22y x =；（2）联立直线方程与抛物线方程，利用参数的几何意义结合韦达定理即可求解.【解析】试题分析：（1）消去参数t 即可得到直线l 的普通方程，利用cos x ρθ=，sin y ρθ=，即可将抛物线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）联立直线方程与抛物线方程，利用参数t 的几何意义即可求解.试题解析：（1）直线l 的普通方程是30x y --=，曲线C 的普通方程是22y x =；（2）将直线l的标准参数方程1222x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）代入曲线22y x =，可得240t -+=，∴1212PA PB t t t t +=+=+=【考点】1.参数方程，极坐标方程与直角方程的相互转化；2.直线与抛物线的位置关系． 24．已知函数()21f x x a =--，()2g x x m =-+，a ，m R ∈，若关于x 的不等式()1g x ≥-的整数解有且仅有一个值为-2.（1）求整数m 的值；（2）若函数()y f x =的图象恒在函数1()2y g x =的上方，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）4；（2）(,3)-∞.【解析】试题分析：（1）解不等式()1g x ≥-，根据整数解为2-，即可求解；（2）问题等价于()()102f xg x ->恒成立，分类讨论将绝对值号去掉即可求解. 试题解析：（1）由()1g x ≥-，即21x m -+≥-，21x m +≤，得1122m m x ---+≤≤，∵不等式的整数解为2-，∴11222m m ---+≤-≤，解得35m ≤≤，又∵不等式仅有一个整数解2-，∴4m =；（2）函数()y f x =的图象恒在函数()12y g x =的上方，故()()102f xg x ->， ∴212a x x <-++对任意x R ∈恒成立，设()212h x x x =-++，则3,2()4,213,1x x h x x x x x -≤-⎧⎪=--<≤⎨⎪>⎩，则()h x 在区间(),1-∞上是减函数，在区间()1,+∞上是增函数，∴当1x =时，()h x 取得最小值3， 故3a <，∴实数a 的取值范围是(),3-∞，（或者因为()212112133h x x x x x x x =-++=-+-++≥-+≥，故3a <）. 【考点】1.绝对值不等式；2.分类讨论的数学思想；3.恒成立问题．。
【全国百强校word】河北省衡水中学2016届高三下学期猜题卷数学(理)
理数试卷第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的）.1.“1m =±”是“复数()()211m m i -++（其中i 是虚数单位）为纯虚数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.设全集U R =，函数()()lg 11f x x =+-的定义域为A ，集合{}|sin 0B x x π==，则()U C A B 的元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43.若点55sin ,cos 66ππ⎛⎫⎪⎝⎭在角α的终边上，则sin α的值为（ ）A ．32-B ．12-C ．12D ．324.如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的i a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的,m n 分别是（ ）A ．38,12m n ==B ．26,12m n ==C ．12,12m n ==D ．24,10m n ==5.如图所示的是函数()sin 2f x x =和函数()g x 的部分图象，则函数()g x 的解析式是（ ）A ．()sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．()2sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()5cos 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()cos 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭6.若函数()()22m xf x x m -=+的图象如图所示，则m 的范围为（ ）A ．(),1-∞-B ．()1,2-C ．()0,2D ．()1,27.某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（ ）A ．1B ．22 C ．52 D ．58.已知数列{}n a 的首项为11a =，且满足对任意的*n N ∈，都有122,32n nn n n n a a a a ++-≤-≥⨯成立，则2014a =（ ）A ．201421-B ．201421+C ．201521-D ．201521+9.已知非零向量,,a b c 满足()()4,0a b b a c b c -==--=，若对每个确定的,b c 的最大值和最小值分别为,m n ，则m n -的值为（ ）A ．随a 增大而增大B ．随a 增大而减小C ．是2D ．是410.已知在三棱锥P ABC -中，1,2,PA PB BC AB AB BC ====⊥，平面PAB ⊥平面ABC ，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．32π B ．3π C ．23π D ．2π11.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的右顶点为,A O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点,P Q .若060PAQ ∠=，且3OQ OP =，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．74 B ．73 C ．72 D ．712.已知函数()()()()()52log 11221x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，则关于x 的方程12f x a x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的实根个数不可能为（ ）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知60,a a x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭展开式的常数项为15，则()224aa x x x dx -++-=⎰____________.14.设,a b R ∈，关于,x y 的不等式1x y +<和48ax by +≥无公共解，则ab 的取值范围是__________.15.设抛物线()220y px p =>的焦点为F ，其准线与x 轴交于点C ，过点F 作它的弦AB ，若090CBF ∠=，则AF BF -=________．16.已知数列{}n a 满足2112,0n n a a a n +=++=，则31a =_____________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，已知点D 在边BC 上，且0AD AC =，22sin ,32,33BAC AB BD ∠===.（1）求AD 长；（2）求cos C .18.（本小题满分12分）已知矩形,22ABCD AD AB ==，点E 是AD 的中点，将DEC ∆沿CE 折起到D EC '∆的位置，使二面角D EC B '--是直二面角.（1）证明：BE CD '⊥；（2）求二面角D BC E '--的余弦值.19.(本小题满分12分)2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元.距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[](](](](]0,2000,2000,4000,4000,6000,6000,8000,8000,10000五组，并作出如下频率分布直方图：（1）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款，现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；（3）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如图，根据图表格中所给数据，分别求,,,,,,b c a b c d a c b d a b c d +++++++的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？ 经济损失不超过4000元 经济损失超过4000元 合计捐款超过500元 30a = b捐款不超过500元 c 6d =合计()2P K k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828附：临界值表参考公式：()()()()()22,n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++.20.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的两个焦点12,F F ，且椭圆过点()60,3,3,2⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，且A 是椭圆上位于第一象限的点，且12AF F ∆的面积123AF F S ∆=.（1）求点A 的坐标；（2）过点()3,0B 的直线l 与椭圆E 相交于点,P Q ，直线AP ，AQ 与x 轴相交于,M N 两点，点5,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则CM CN 是否为定值，如果是定值，求出这个定值，如果不是请说明理由.21.(本小题满分12分)已知函数()()()()221122,2x f x ax bx a b e x x x a R =++---++∈，且曲线()y f x =与x 轴切于原点O .（1）求实数,a b 的值；（2）若()()20f x x mx n +-≥恒成立，求m n +的值.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，PA 为四边形ABCD 外接圆的切线，CB 的延长线交PA 于点P ，AC 与BD 相交于点M ，且//BD PA .（1）求证：ACD ACB ∠=∠；（2）若3,6,1PA PC AM ===，求AB 的长.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知点()1,2P -，直线1:2x t l y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=，直线l 和曲线C 的交点为,A B .（1）求直线l 和曲线C 的普通方程；（2）求PA PB +.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()()21,2,,f x x a g x x m a m R =--=-+∈，若关于x 的不等式()1g x ≥-的整数解有且仅有一个值为-2.（1）求整数m 的值；（2）若函数()y f x =的图象恒在函数()12y g x =的上方，求实数a 的取值范围.参考答案一．选择题1. B2. C3. A4. B5. C6. D7. C8. A9.D 10. B 11. C 12. A二．填空题 13. 22333π++ 14. []16,16- 15. 2p 16. -463三．解答题17. 解：（1）因为0AD AC =，则AD AC ⊥，所以sin sin cos 2BAC BAD BAD π⎛⎫∠=+∠=∠ ⎪⎝⎭，即22cos 3BAD ∠=.在ABD ∆中，由余弦定理，可知2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-∠.即28150AD AD -+=，解得5AD =，或3AD =.因为AB AD >，所以3AD =………………………………………6分（2）在ABD ∆中，由正弦定理，可知sin sin BD ABBAD ADB =∠∠.因为2ADB DAC C C π∠=∠+=+，所以6cos 3C =………………………………………………………12分18.解（1）∵22AD AB ==，E 是AD 的中点，∴,BAE CDE ∆∆是等腰直角三角形，0BEC 90∠=，即BE EC ⊥.又∵平面D EC '⊥平面BEC ，平面D EC '平面BEC EC =，∴BE ⊥平面D EC '，∴BE CD '⊥……………………………………………5分（2）法一：设M 是线段EC 的中点，过点M 作MF BC ⊥，垂足为F ，连接,D M D F ''，如图，则D M EC '⊥，∵平面D EC '⊥平面BEC ，∴D M '⊥平面EBC .∴MF 是D F '在平面BEC 上的射影，由三垂线定理，得D F BC '⊥，∴D FM '∠是二面角D BC E '--的平面角.在Rt D MF '∆中，1222D M EC '==，11,tan 222D MMF AB D FM MF ''==∠==，3cos 3D FM '∠=.∴二面角D BC E '--的余弦值为33………………………………………12分法二：如图，以,EB EC 为x 轴、y 轴，过点E 且垂直于平面BEC 的射线为z 轴，建立空间直角坐标系.则()()222,0,0,0,2,0,0,,22B C D ⎛⎫' ⎪ ⎪⎝⎭.易知平面BEC 的一个法向量为()10,0,1n =；设平面D BC '的一个法向量为()2222,,n x y z =，()2,2,0BC =-，220,,22D C ⎛⎫'=- ⎪ ⎪⎝⎭，则2200n BC n D C =⎧⎨'=⎩，即222222022022x y y z ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，取21x =，得()21,1,1n =，∴1212123cos ,3n n n n n n ==，∴二面角D BC E '--的余弦值为33………………………………………………12分19.解：（1）记每户居民的平均损失为x 元，则()10000.0001530000.000250000.0000970000.0000390000.0000320003360x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=……………………………………………………4分（2）由频率分布直方图，可得超过4000元的居民共有()0.000090.000030.0000320005015++⨯⨯=户，损失超过8000元的居民共有0.000032000503⨯⨯=户， 因此，ξ的可能值为0，1，2.()()()2122151131221523215220,35121351235C P C C C P C C P C ξξξ=========ξ的分布列为 ξ 0 1 2P 2235 1235 135()2212120123535355E ξ=⨯+⨯+⨯=………………………………………8分（3）解得9,5,39,11,35,15,50b c a b c d a c b d a b c d ==+=+=+=+=+++=，()225030695 4.046 3.84139113515K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯.所以有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关…………12元20．解：（1）∵椭圆()60,3,3,2E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. ∴2222233312b a b c a b ⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪+=⎩，计算得26,3a b c ===. ∴椭圆E 的方程为22163x y +=.∵12AF F ∆的面积123AF F S ∆=，∴12132A F F y =，∴1A y =，代入椭圆方程221163A x +=.∵0A x >，∴2A x =，∴()2,1A .（2）法一：设直线l 的方程为()()11223,,,,x my P x y Q x y =+.直线AP 的方程为()111122y y x x --=--，可得1112,01y x M y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，即()1123,01m y M y --⎛⎫⎪-⎝⎭. 直线AQ 的方程为()221122y y x x --=--，可得2222,01y x N y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，即()2223,01m y N y --⎛⎫⎪-⎝⎭.联立22326x my x y =+⎧⎨+=⎩，消去x ，整理，得()222630m y my +++=.由()22361220m m ∆=-+>，可得21m >.12122263,22my y y y m m +=-=++， ()()()()()()()()()()()()12121212212121212222222222323552121121121212112121413612121223641223121261224362m y m y CM CN y y m y m y y y m y y m y y y y y y m m m m m m m m m m m m m m ----⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭++++=--+++++=-++⎡⎤⎣⎦⎛⎫+++-+ ⎪++⎝⎭=⎛⎫++ ⎪++⎝⎭++--++=+++()()2226514465m m m m m ++==++∴CM CN 为定值，且14CM CN =…………………………………………………………12分法二：设()()()()112234,,,,,0,,0P x y Q x y M x N x ，直线,,l AP AQ 的斜率分别为12,,k k k ，由()22326y k x x y ⎧=-⎨+=⎩，得()222212121860k x k x k +-+-=，()()4221444121860k k k ∆=-+->，可得21k <，2212122212186,1212k k x x x x k k -+==++，()()()()()()1212121212121212122222222222313111222225112424186********12121861224121244222k x k x y y k k x x x x kx x k x x k x x x x k k k k k k k k k k k k k ------+=+=+-----++++=-++--+++++=--+++-+==--由()112y k x -=-，令0y =，得3112x k =-，即112,0M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理得4212x k =-，即212,0N k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则1212121212121212125151222211112211111421114211211424CM CN k k k k k k k k k k k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=++⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭-=+⨯+=∴CM CN 为定值，该定值为14.21.解：（1）()()()()()()22221222122212322x x f x ax bx a b ax b e x x x x ax a b x a e x x '⎡⎤=++-++-+++-+⎣⎦⎡⎤=+++-+⎣⎦ ∴()00f a '==，又()010f a b =-+=，∴0,1a b ==…………………………………………………………4分（2）不等式()0f x >()()211112x x e x x x ⎛⎫⇔->-++ ⎪⎝⎭， 即2101102x x e x x ->⎧⎪⎨⎛⎫-++> ⎪⎪⎝⎭⎩，或2101102x x e x x -<⎧⎪⎨⎛⎫-++< ⎪⎪⎝⎭⎩，令()2112x g x e x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，()()()()1,1x x h x g x e x h x e ''==-+=-，当0x >时，()10x h x e '=->；当0x <时，()10x h x e '=-<.∴()h x 在区间(),0-∞内单调递减，在区间()0,+∞内单调递增，∴()()00h x h ≥=.即()0g x '≥，∴()g x 在R 上单调递增，而()00g =， ∴211002x e x x x ⎛⎫-++>⇔> ⎪⎝⎭；211002x e x x x ⎛⎫-++<⇔< ⎪⎝⎭.∴当0x <或1x >时，()0f x >，同理可得，当01x ≤≤时，()0f x ≤.∴由()()20f x x mx n +-≥恒成立可知，0x =，和1x =是方程20x mx n +-=的两根.∴1,0m n =-=.∴1m n +=-…………………………………………………12分22.解：（1）由PA 为切线，得PAB ACB ∠=∠，又//PA BD ，所以PAB ABD ACD ∠=∠=∠.所以ACD ACB ∠=∠…………………………………………………4分（2）由切割线定理2PA PB PC =， 得39,22PB BC ==.由//PA BD ，得AM PBMC BC =，又1AM =，所以3MC =，所以4AC =.又知AMB ABC ∆∆，所以ABACAM AB =.又4,1AC AM ==，所以24AB AM AC ==，所以2AB =…………………………………………10分23.解：（1）直线l 的普通方程是30x y --=，曲线C 的普通方程是22y x =…………………………………………………4分（2）将直线l 的标准参数方程212222x ty t⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）代入曲线22y x =，可得26240t t -+=， 所以121262PA PB t t t t +=+=+=…………………………………………10分24.解：（1）由()1g x ≥-，即21,21x m x m -+≥-+≤， 得1122m m x ---+≤≤.因为不等式的整数解为-2， 所以11222m m ---+≤-≤，解得35m ≤≤.又不等式仅有一个整数解-2，所以4m =…………………………………4分（2）函数()y f x =的图象恒在函数()12y g x =的上方，故()()102f x g x ->.所以212a x x <-++对任意x R ∈恒成立.设()212h x x x =-++，则()3,24,213,1x x h x x x x x -≤-⎧⎪=--<≤⎨⎪>⎩则()h x 在区间(),1-∞上是减函数，在区间()1,+∞上是增函数，所以当1x =时，()h x 取得最小值3，故3a <，所以实数a 的取值范围是(),3-∞.（或者因为()212112133h x x x x x x x =-++=-+-++≥-+≥，故3a <.）………………10分。
河北省衡水中学2016届高三下学期五调考试数学(理)试题答案
衡水中学2015—2016学年度第二学期五调考试高三年级数学（理科）试卷答案一、选择题:CBCBC DBDAB BB12.解:由x xe x f x f -=+'2)()(得x x f x f e x 2))()((=+'所以x x f e x 2))((='设c x x f e x+=2)(,由1)0(=f 得1=c ,所以x e x x f 1)(2+=,则xex x f 2)1()(--=' 所以)()(x f x f '＝1212++-x x []0,2-∈二、填空题:13. (1,0) 14.121 15. 29π16. 1)21(126---=n n ππα或⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=n n )21(16πα 三、解答题: 17.【解析】……12分18. 【解析】（Ⅰ）两国代表团获得的金牌数的茎叶图如下…………………3分通过茎叶图可以看出,中国代表团获得的金牌数的平均值高于俄罗斯代表团获得的金牌数的平均值;俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中,中国代表团获得的金牌数比较分散。
……6分 （Ⅱ）解:X 的可能取值为0,1,2,3,设事件A B C 、、分别表示甲、乙、丙猜中国代表团,则2432(0)()()()(1)(1)55125P X P A P B P C ==⋅⋅=-⨯-=(1)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++1224434319(1)(1)(1)55555125C =⨯⨯-⨯-+-⨯= (2)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++2124344356()(1)(1)55555125C =⨯-+⨯⨯-⨯= (3)()()()P X P A P B P C ==⋅⋅24348()55125=⨯=故X 的分布列为中国俄罗斯1 2 3 4 56 8 2 8 14 3 7 6 2……………8分……………4分…………………10分21956481101231251251251255EX =⨯+⨯+⨯+⨯= …………………12分 19.【解析】（Ⅰ）设AC BD 、的交点为O ,则O 为BD 的中点,连接OF 由BD EF BD EF 21,//=,得OD EF OD EF =,// 所以四边形EFOD 为平行四边形,故OF ED // …………3分又⊄ED 平面ACF ,⊂OF 平面ACF所以DE //平面ACF ……6分（Ⅱ）方法一:因为平面⊥EFBD 平面ABCD ,交线为BD ,AO BD ⊥所以AO ⊥平面EFBD ,作BF OM ⊥于M ,连AMAO ⊥平面BDEF ,AO BF ∴⊥,又=OM AO O ⋂BF ∴⊥平面AOM ,AM BF ⊥∴,故AMO ∠为二面角A BF D --的平面角. ……………………8分 取EF 中点P ,连接OP ,因为四边形EFBD 为等腰梯形,故OP BD ⊥ 因为1()2EFBD S EF BD OP =⨯+⨯梯形132OP =⨯⨯= 所以2=OP .由12PF OB ==得BF OF ===因为1122FOB S OB OP OM BF ∆=⋅=⋅ 所以OB OP OM BF ⋅==,故AM = …………………10分 所以2cos 3OM AMO AM ∠== 故二面角A BF D --的余弦值为23…………………12分 方法二:取EF 中点P ,连接OP ,因为四边形EFBD 为等腰梯形,故OP BD ⊥,又平面⊥EFBD 平面ABCD ,交线为BD ,故OP ⊥平面ABCD ,如图,以O 为坐标原点,分别以OA ,OB ,OP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向,建立空间直角坐标系O xyz -.因为1()2EFBD S EF BD OP =⨯+⨯梯形132OP =⨯⨯= 所以2=OP , )2,220(),00,2(),0,20(),00,2(，，，，F C B A -因此(2,20),(0,2AB BF =-=-， 设平面ABF 的法向量为(,,)n x y z =由00n AB n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,得002y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩,令1z =,则n 因为AO BD ⊥,所以AO ⊥平面EFBD ,故平面BFD 的法向量为(2,0,0)OA =于是22cos ,32OA n OA n OA n⋅<>===⋅由题意可知,所求的二面角的平面角是锐角,故二面角A BF D --的余弦值为23……12分20. 【解析】（Ⅰ）由题意可知,|HF|=|HP|,∴点H 到点F （0,1）的距离与到直线l 1:y=﹣1的距离相等, ∴点H 的轨迹是以点F （0,1）为焦点,直线l 1:y=﹣1为准线的抛物线 ∴点H 的轨迹方程为x 2=4y ．………2分CC（Ⅱ）（ⅰ）证明:设P （x 1,﹣1）,切点C （x C ,y C ）,D （x D ,y D ）． 由y=,得．∴直线PC:y+1=x C （x ﹣x 1）, 又PC 过点C,y C =,∴y C +1=x C （x ﹣x 1）=x C x 1,∴y C +1=,即．同理,∴直线CD 的方程为∴直线CD 过定点（0,1）．………6分（ⅱ）由（Ⅱ）（ⅰ）P （1,﹣1）在直线CD 的方程为,得x 1=1,直线CD 的方程为．设l:y+1=k （x ﹣1）, 与方程联立,求得x Q =．设A （x A ,y A ）,B （x B ,y B ）．联立y+1=k （x ﹣1）与x 2=4y,得 x 2﹣4kx+4k+4=0,由根与系数的关系,得x A +x B =4k ．x A x B =4k+4 ∵x Q ﹣1,x A ﹣1,x B ﹣1同号, ∴+=|PQ|====,∴+为定值,定值为2．……… 12分21.【解析】（Ⅰ）当=1a 时, ()=1xf x e x '+- 易知()f x '在R 上单调递增,且(0)0f '=, 因此,当0x <时,()0f x '<;当0x >时,()0f x '>故()f x 在(,0)-∞单调递减,在(0,)+∞单调递增 …………………4分 （Ⅱ）由条件可得()22x g x e ax a =+-,()2x g x e a '=+ （i ）当0a =时,()0xg x e =>,()g x 无零点 （ii ）当0a >时,()0g x '>,()g x 在R 上单调递增(0)12,(1)0g a g e =-=>①若120a -<,即12a >时,(0)120g a =-<,()g x 在(0,1)上有一个零点 ②若120a -=,即12a =时,(0)0g =,()g x 有一个零点0 ③若120a ->,即102a <<时,21221()102a aa g ea --=-<,()g x 在21,02a a -⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点 ………………8分（iii ）当0a <时,令()0g x '>,得ln(2)x a >-;令()0g x '<,得ln(2)x a <- 所以()g x 在(),ln(2)a -∞-单调递减,在()ln(2),a -+∞单调递增,[]min ()(ln(2))2ln(2)2g x g a a a =-=--①若ln(2)20a --<,即202e a -<<时,()0g x >,()g x 无零点②若ln(2)20a --=,即22e a =-时,(2)0g =,()g x 有一个零点2③若ln(2)20a -->,即22e a <-时,(1)0g e =>,(ln(2))0g a -<,()g x 在()1,ln(2)a -有一个零点; ………………10分 设2()(1)xh x e x x =-≥,则()2xh x e x '=-,设()2xu x e x =-,则()2xu x e '=-,当1x ≥时,()220xu x e e '=-≥->,所以()()u x h x '=在[1,)+∞单调递增,()(1)20h x h e ''≥=->,所以()h x 在[1,)+∞单调递增,()(1)10h x h e ≥=->,即1x >时,2x e x >,故2()22g x x ax a >+- 设()ln (1)k x x x x =-≥,则11()10xk x x x-'=-=≤,所以()k x 在[1,)+∞单调递减,()(1)10k x k ≤=-<,即1x >时,ln x x <因为22e a <-时,221a e ->>,所以ln(2)2a a -<-,又2(2)(2)2(2)220g a a a a a a ->-+--=->,()g x 在()ln(2),2a a --上有一个零点,故()g x 有两个零点综上,当22e a <-时,()g x 在()1,ln(2)a -和()ln(2),2a a --上各有一个零点,共有两个零点;当22e a =-时,()g x 有一个零点2;当202e a -<≤时,()g x 无零点;当102a <<时,()g x 在21,02a a -⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点;当12a =时,()g x 有一个零点0;当12a >时,()g x 在(0,1)上有一个零点。
河北省衡水2016届高考模拟押题卷数学理试题金卷一Word版含答案
2016年一般高等学校招生全国统一考试模拟试题理科数学(一)注意事项：1．本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部份。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第I 卷时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试终止后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷一．选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
(1)已知i 是虚数单位，复数11z i i =+-，那么复数z 的虚部是 (A) 12- (B) 32 (C) 32- (D)2(2)假设集合{}{}222,20x A y y B x x x ==+=-++≥，那么(A) A B ⊆ (B) A B R ⋃= (C) {}2A B ⋂= (D A B ⋂=∅(3)已知概念域为[]2,21a a --的奇函数()3sin 1f x x x b =-++，那么()()f a f b +的值为(A)0 (B)1 (C)2 (D)不能确信(4)已知函数()()1201x f x a a a +=->≠且的图象恒过定点A ，设抛物线24E y x =：上任意一点M 到准线l 的距离为d ，那么d MA +的最小值为(A)5 (B) 10 (C) 5 (D) 2(5)执行如下图的程序框图，其中输入的x i 值依次为14，8，42，78，96，74，49，35，39，50，那么输出的i x 值依次为(A)78，96，74，49，50(B)78，96，74，39，50(C)78，96，74，50(D)78，96，74 (6)以下说法正确的选项是 (A)“a R ∃∈，方程220ax x a -+=有正实根”的否定为“a R ∀∈，方程220ax x a -+=有负实根” (B)命题“a b R ∈、，假设220a b +=，那么0a b ==”的逆否命题是“a b R ∈、，假设0a ≠，且b ≠0，那么220a b +≠” (C)命题p ：假设回归方程为1y x -=，那么y 与x 负相关；命题q ：数据1，2，3，4的中位数是2或3．那么命题p ∨q 为真命题 (D)若X ～N(1，4)，那么()()212P X t P X t <-=>成立的一个充分没必要要条件是t =1 (7)等差数列{}n a 中的两项22016a a 、恰好是关于x 的函数()()228f x x x a a R =++∈的两个零点，且100910100a a +>，那么使{}n a 的前n 项和n S 取得最小值的行为 (A)1009 (B)1010 (C)1009，1010 (8)某省巡视组将4名男干部和2名女干部份成两小组，深切到A 、B 两城市进行巡视工作，假设要求每组最多4人，且女干部不能单独成组，那么不同的选派方案共有 (A)40种 (B)48种 (C)60种 (D)72种 (9)某几何体的三视图如下图，其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形，现从该几何体的实心外接球中挖去该几何体，那么剩余几何体的体积是 (A) 9146π- (B) 91162π- (C) 91166π- (D) 9186π-(10)已知函数()()2sin 0y x ωϕω=+>的部份图象如下图，点,06A B C π⎛⎫- ⎪⎝⎭、、是该图象与x 轴的交点，过点B 作直线交该图象于D 、E 两点，点7012F π⎛⎫ ⎪⎝⎭，是()f x 的图象的最高点在x轴上的射影，那么()()AD EA AC ω-的值是(A) 22π (B) 2π(C)2 (D)以上答案均不正确(11)已知点12F F 、是双曲线()222210,0x yC a b a b -=>>：的左、右核心，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且知足12122,3F F OP PF PF =≥，那么双曲线C 的离心率的取值范围为（A ）()1,+∞ （B ）10,2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭ （C ）101,2⎛⎤⎥ ⎝⎦ （D ）51,2⎛⎤⎥⎝⎦(12)已知概念在R 内的函数()f x 知足()()4f x f x +=，当[]1,3x ∈-时，()f x =()[]()(]21,1,1,12,1,3,t x x x x ⎧-∈-⎪⎨--∈⎪⎩那么当8,27t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，方程()720f x x -=的不等实数根的个数是(A)3 (B)4 (C)5 (D)6第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部份。
【全国百强校】河北省衡水中学2016届高三下学期五调考试数学(理)试题
数学试卷（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.复数131ii-+=+( ) A ．2i + B ．2i - C ．12i + D ．12i - 2.已知集合{1,3,}A m =，{1,}B m =，AB A =，则m =（ ）A ．0或3B ．0或3C ．1或3D ．1或3 3.已知函数()sin()cos()()66f x x x x R ππ=--∈，则下列结论错误的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为π B ．函数()f x 的图象关于直线12x π=-对称C ．函数()f x 的图象关于点(,0)6π-对称D ．函数()f x 在区间5[0,]12π上是增函数 4.若3*1()()ny x n N xy+∈的展开式中存在常数项，则常数项为（ ） A ．15 B ．20 C ．30 D ．1205.已知函数2,0()21,0x x ax x f x x ⎧->=⎨-≤⎩，若不等式()10f x +≥在x R ∈上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,0]-∞B ．[2,2]-C ．(,2]-∞D ．(0,2] 6.执行如图所示的程序框图，则输出的S 为（ ） A ．2 B ．13 C ．12- D ．-37.某种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为（ ） A ．100 B ．200 C ．300 D ．4008.已知公比为2的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若45616a a a ++=，则9S =（ ） A ．48 B ．128 C ．144 D ．1469.点A 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点，过右焦点(1,0)F 且倾斜角为6π的直线与直线2x a =交于点P ，若APF ∆为等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ） A ．2 B ．2 C ．3 D ．310.某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是（ ）A ．28B ．2462+C ．20213+D ．1662213++11.设实数,x y 满足不等式组2502700,0x y x y x y +->⎧⎪+->⎨⎪≥≥⎩，若,x y 为整数，则34x y +的最小值是（ ）A ．13B ．16C ．17D ．1912.已知函数()f x 的定义域为R ，且'()()2xf x f x xe -+=，若(0)1f =，则函数'()()f x f x 的取值范围为（ ）A ．(,0]-∞B ．[2,0]-C ．[0,1]D ．[0,2]第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知平面内点(1,2)A ，点(12,22)B +-，把点B 绕点A 沿顺时针方向旋转4π后得点P ，则点P 的坐标为 .14.抛物线2y x =与直线0x =、1x =及该抛物线在(01)x t t =<<处的切线所围成的图形面积的最小值为 .15.已知菱形ABCD 的边长为3，且60BAD ∠=，将ABD ∆沿BD 折起，使,A C 两点间的距离为3，则所得三棱锥的外接球的表面积为 .16.如图，在正方形ABCD 中作如下操作，先过点D 作直线1DE 交BC 于1E ，记11CDE α∠=， 第一步，作1ADE ∠的平分线交AB 于2E ，记22ADE α∠=， 第二步，作2CDE ∠的平分线交BC 于3E ，记33CDE α∠=， 第三步，作3ADE ∠的平分线交AB 于4E ，记44ADE α∠=， 以此类推，得数列123,,,,,n αααα，若112πα=，那么数列{}n α的通项公式为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知233b c =，3A C π+=. （1）求cos C 的值； （2）求sin B 的值；（3）若33b =，求ABC ∆的面积. 18. （本小题满分12分）第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日～21日在巴西里约热内卢举行，下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）.（1）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；（2）甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（假设两国代表团获得的金牌数不会相等），规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个，已知甲、乙猜中国代表团的概率都为45，丙猜中国代表团的概率为35，三人各自猜哪个代表团的结果互不影响. 现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为X ，求X 的分布列及数学期望EX .19. （本小题满分12分）如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形EFBD 为等腰梯形，//EF BD ，12EF BD =，平面EFBD ⊥平面ABCD . （1）证明：//DE 平面ACF ；（2）若梯形EFBD 的面积为3，求二面角A BF D --的余弦值.20. （本小题满分12分）已知点(0,1)F ，直线1:1l y =-，直线12l l ⊥于P ，连接PF ，作线段PF 的垂直平分线交直线2l 于点H ，设点H 的轨迹为曲线r . （1）求曲线r 的方程；（2）过点P 作曲线r 的两条切线，切点分别为,C D . （ⅰ）求证：直线CD 过定点；（ⅱ）若(1,1)P -，过点P 作动直线L 交曲线r 于点,A B ，直线CD 交L 于点Q ，试探究||||||||PQ PQ PA PB +是否为定值？若是，求出该定值；不是，说明理由.21. （本小题满分12分）已知函数2()21xf x e ax ax =+--. （1）当12a =时，讨论()f x 的单调性； （2）设函数'()()g x f x =，讨论()g x 的零点个数；若存在零点，请求出所有的零点或给出每个零点所在的有穷区间，并说明理由（注：有穷区间指区间的端点不含有-∞和+∞的区间）.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知AB 为圆O 的一条直径，以端点B 为圆心的圆交直线AB 于,C D 两点，交圆O 于,E F 两点，过点D 作垂直于AD 的直线，交直线AF 于H 点.（1）求证：,,,B D H F 四点共圆；（2）若2,22AC AF ==，求BDF ∆外接圆的半径.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为：24(cos sin )6ρρθθ=+-，若以极点O 为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系. （1）求圆C 的参数方程；（2）在直角坐标系中，点(,)P x y 是圆C 上动点，试求x y +的最大值，并求出此时点P 的直角坐标. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知,m n 都是实数，0m ≠，()|1||2|f x x x =-+-. （1）若()2f x >，求实数x 的取值范围；（2）若||||||()m n m n m f x ++-≥对满足条件的所有,m n 都成立，求实数x 的取值范围.衡水中学2015—2016学年度第二学期五调考试高三年级数学（理科）试卷答案一、选择题：CBCBC DBDAB BB 12.解：由xxex f x f -=+'2)()(得x x f x f e x 2))()((=+'所以x x f e x2))((='设c x x f e x+=2)(，由1)0(=f 得1=c ，所以x e x x f 1)(2+=，则xe x xf 2)1()(--='所以)()(x f x f '＝1212++-x x []0,2-∈ 二、填空题： 13. (1,0) 14.121 15. 29π16. 1)21(126---=n n ππα或⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=n n )21(16πα三、解答题：17.【解析】（1）因为A B C π++=，3A C π+=， 所以2B C =.由正弦定理得：sin sin b cB C=， 所以sin sin b Bc C=，即232sin cos 3sin C C C =. 又sin 0C ≠.故化简得3cos 3C =. （2）因为(0,)C π∈，所以216sin 1cos 133C C =-=-=， 所以6322sin sin 22sin cos 2333B C C C ===⨯⨯=. （3）因为2B C =，所以211cos cos 22cos 12133B C C ==-=⨯-=-， 因为A B C π++=，所以sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+223166()33339=⨯+-⨯=. 因为233b c =，33b =.所以92c =.所以ABC ∆的面积119692sin 3322294S bc A ==⨯⨯⨯=.18. 【解析】（Ⅰ）两国代表团获得的金牌数的茎叶图如下…………………3分2432(0)()()()(1)(1)55125P X P A P B P C ==⋅⋅=-⨯-=(1)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++1224434319(1)(1)(1)55555125C =⨯⨯-⨯-+-⨯=(2)()()()P X P ABC P ABC P ABC ==++2124344356()(1)(1)55555125C =⨯-+⨯⨯-⨯=(3)()()()P X P A P B P C ==⋅⋅24348()55125=⨯=故X 的分布列为X123P2125191255612548125…………………10分21956481101231251251251255EX =⨯+⨯+⨯+⨯= …………………12分 19.【解析】（Ⅰ）设AC BD 、的交点为O ，则O 为BD 的中点，连接OF 由BD EF BD EF 21,//=，得OD EF OD EF =,// 所以四边形EFOD 为平行四边形，故OF ED // …………3分 又⊄ED 平面ACF ,⊂OF 平面ACF中国俄罗斯1 2 3 4 56 8 2 8 14 3 7 6 2所以DE //平面ACF ……6分（Ⅱ）方法一：因为平面⊥EFBD 平面ABCD ，交线为BD ，AO BD ⊥ 所以AO ⊥平面EFBD ，作BF OM ⊥于M ，连AMAO ⊥平面BDEF ，AO BF ∴⊥，又=OM AO O ⋂BF ∴⊥平面AOM ，AM BF ⊥∴,故AMO ∠为二面角A BF D --的平面角. ……………………8分 取EF 中点P ，连接OP ，因为四边形EFBD 为等腰梯形，故OP BD ⊥ 因为1()2EFBD S EF BD OP =⨯+⨯梯形1(222)32OP =⨯+⨯= 所以2=OP .由1222PF OB ==，得22102BF OF OP PF ==+=因为1122FOB S OB OP OM BF ∆=⋅=⋅ 所以2105OB OP OM BF ⋅==，故223105AM OA OM =+= …………………10分 所以2cos 3OM AMO AM ∠== 故二面角A BF D --的余弦值为23…………………12分 方法二：取EF 中点P ，连接OP ，因为四边形EFBD 为等腰梯形，故OP BD ⊥，又平面⊥EFBD 平面ABCD ，交线为BD ，故OP ⊥平面ABCD ，如图，以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，OP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -.因为1()2EFBD S EF BD OP =⨯+⨯梯形1(222)32OP =⨯+⨯= 所以2=OP , )2,220(),00,2(),0,20(),00,2(，，，，F C B A -因此2(2,20),(0,2)2AB BF =-=-，， 设平面ABF 的法向量为(,,)n x y z =由00n AB n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得2202202x y y z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，令1z =，则(2,2,1)n = 因为AO BD ⊥，所以AO ⊥平面EFBD ，故平面BFD 的法向量为(2,0,0)OA = 于是22222cos ,32212OA n OA n OA n⋅<>===⋅++⋅ 由题意可知，所求的二面角的平面角是锐角，故二面角A BF D --的余弦值为23……12分20. 【解析】（Ⅰ）由题意可知，|HF|=|HP|，∴点H 到点F （0，1）的距离与到直线l 1：y=﹣1的距离相等， ∴点H 的轨迹是以点F （0，1）为焦点，直线l 1：y=﹣1为准线的抛物线 ∴点H 的轨迹方程为x 2=4y ．………2分（Ⅱ）（ⅰ）证明：设P （x 1，﹣1），切点C （x C ，y C ），D （x D ，y D ）．由214y x =，得'12y x =．∴直线PC ：111()2C y x x x +=-， 又PC 过点C ，214C C y x =，∴2111111()242c c c c y x x x x x x +=-=-，∴11122c c c y y x x +=-，即11102c c x x y -+=．同理11102D D x x y -+=，∴直线CD 的方程为11102xx y -+=∴直线CD 过定点（0，1）．………6分（ⅱ）由（Ⅱ）（ⅰ）P （1，﹣1）在直线CD 的方程为11102xx y -+=，得x1=1，直线CD 的方程为1102x y -+=．设l ：y+1=k （x ﹣1）， 与方程1102x y -+=联立，求得4221Q kx k +=-．设(,)A A A x y ，(,)B B B x y ．联立y+1=k （x ﹣1）与24x y =，得24440x kx k -++=，由根与系数的关系，得4A B x x k +=．44A B x x k =+ ∵1,1,1Q A B x x x ---同号， ∴||||11||()||||||||PQ PQ PQ PA PB PA PB +=+221111|1|()|1||1|1Q A B k x x x k =+-∙+--+11|1|()|1||1|Q A B x x x =-+--242(1)21(1)(1)A B A B x x k k x x +-+=-∙---5422215k k -=∙=- ∴||||||||PQ PQ PA PB +为定值，定值为2. ……… 12分21.【解析】（Ⅰ）当=1a 时， ()=1x f x e x '+-易知()f x '在R 上单调递增，且(0)0f '=，因此，当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>故()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增 …………………4分 （Ⅱ）由条件可得()22x g x e ax a =+-，()2x g x e a '=+（i ）当0a =时，()0x g x e =>，()g x 无零点（ii ）当0a >时，()0g x '>，()g x 在R 上单调递增(0)12,(1)0g a g e =-=>①若120a -<，即12a >时，(0)120g a =-<，()g x 在(0,1)上有一个零点②若120a -=，即12a =时，(0)0g =，()g x 有一个零点0③若120a ->，即102a <<时，21221()102a a a g e a --=-<，()g x 在21,02a a -⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点 ………………8分 （iii ）当0a <时，令()0g x '>，得ln(2)x a >-；令()0g x '<，得ln(2)x a <- 所以()g x 在(),ln(2)a -∞-单调递减，在()ln(2),a -+∞单调递增，[]min ()(ln(2))2ln(2)2g x g a a a =-=--①若ln(2)20a --<，即202e a -<<时，()0g x >，()g x 无零点②若ln(2)20a --=，即22e a =-时，(2)0g =，()g x 有一个零点2③若ln(2)20a -->，即22e a <-时，(1)0g e =>，(ln(2))0g a -<，()g x 在()1,ln(2)a -有一个零点； ………………10分设2()(1)x h x e x x =-≥，则()2x h x e x '=-，设()2x u x e x =-，则()2x u x e '=-， 当1x ≥时，()220x u x e e '=-≥->，所以()()u x h x '=在[1,)+∞单调递增，()(1)20h x h e ''≥=->，所以()h x 在[1,)+∞单调递增，()(1)10h x h e ≥=->，即1x >时，2x e x >，故2()22g x x ax a >+- 设()ln (1)k x x x x =-≥，则11()10xk x x x -'=-=≤，所以()k x 在[1,)+∞单调递减，()(1)10k x k ≤=-<，即1x >时，ln x x < 因为22e a <-时，221a e ->>，所以ln(2)2a a -<-，又2(2)(2)2(2)220g a a a a a a ->-+--=->，()g x 在()ln(2),2a a --上有一个零点，故()g x 有两个零点综上，当22e a <-时，()g x 在()1,ln(2)a -和()ln(2),2a a --上各有一个零点，共有两个零点；当22e a =-时，()g x 有一个零点2；当202e a -<≤时，()g x 无零点；当102a <<时，()g x 在21,02a a -⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点；当12a =时，()g x 有一个零点0；当12a >时，()g x 在(0,1)上有一个零点. ………………12分（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明讲证明:(Ⅰ) AB 为圆O 的一条直径； ,BF FH DH BD ∴⊥⊥ ,,,B D H F ∴四点共圆…………………4分解：(Ⅱ) AH 与圆B 相切于点F ，由切割线定理得2AF AC AD =⋅，即()2222AD =⋅， 解得4AD =，所以()11,12BD AD AC BF BD =-===，又AFB ADH ∆∆，则DH ADBF AF =，得2DH =，连接BH ，由（1）知BH 为BDF ∆的外接圆直径，223BH BD DH =+=，故BDF ∆的外接圆半径为32．……………10分（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）因为24(cos sin )6ρρθθ=+-，所以22446x y x y +=+-， 所以224460x y x y +--+=， 即22(2)(2)2x y -+-=为圆C 的普通方程． 所以所求的圆C 的参数方程为22cos 22sin x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(θ为参数) ．……………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得，42(sin cos )42sin()4x y πθθθ+=++=++当 4πθ=时，即点P 的直角坐标为(3,3)时，x y +取到最大值为6. ……10分（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：(Ⅰ)⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<≤-=2,3221,11,23)(x x x x x x f 由2)(>x f 得⎩⎨⎧≤>-1223x x或⎩⎨⎧>->2322x x ， 解得21<x 或25>x .故所求实数x 的取值范围为),25()21,(+∞⋃-∞.……5分 （Ⅱ）由)(x f m n m n m ≥-++且0m ≠得 )(x f m nm n m ≥-++又∵2=-++≥-++mnm n m m nm n m ∴2)(≤x f . ∵2)(>x f 的解集为),25()21,(+∞⋃-∞，∴2)(≤x f 的解集为]25,21[，∴所求实数x 的取值范围为]25,21[.…………………………10分。
河北省衡水中学2016届高三下学期第六次调研考试理数试题解析2
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．复数122ii+-的共轭复数是（ ） A ．35i B ．35i -C ．iD ．i -【答案】D 【解析】 试题分析：由于122i i+-i i i ii =-+=)2()21(,因此应选D ． 考点：复数的运算． 2．已知集合()(){}240,2101x A x RB x R x a x a x ⎧-⎫=∈≤=∈---<⎨⎬+⎩⎭，若A B =∅I ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．{}[)12,+∞UD ．()1,+∞ 【答案】C考点：二次不等式的解法和集合的运算．3．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为:5:3k ，现用分层抽样方法抽出一个容量为120的样本，已知A 种型号产品共抽取了24件，则C 种型号产品抽取的件数为（ ） A ．24 B ．30 C ．36D ．40 【答案】C 【解析】 试题分析：因120248=+k k ,故36120103,2=⨯=k ,应选C.考点：抽样方法及计算．4．如图给出的是计算111124620+++⋅⋅⋅+的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（ ） A ．8?i >B ．9?i >C ．10?i >D ．11?i >【答案】C 【解析】试题分析：从所给算法流程可以看出当10=i 时仍在运算,当1011>=i 时运算就结束了,所以应选C.考点：算法流程图的识读和理解．5．已知把函数()sin 3cos f x x x =+的图像向右平移4π个单位，再把横坐标扩大到原来的2倍，得到函数()g x ，则函数()g x 的一条对称轴为（ ） A ．6x π=B ．76x π=C ．12x π=D ．56x π=【答案】D考点：三角函数的图象和性质．6．已知等比数列{}n a 的前n 项的和为12n n S k -=+，则()3221f x x kx x =--+的极大值为（ ） A ．2B ．3C ．72D ．52【答案】D 【解析】试题分析：因k a S S k a a S k a S +=+=+=+=+==4,2,132321211,即2,1,1321==+=a a k a ,故题设21,1)1(2-==+k k ,所以1221)(23+-+=x x x x f ,由于)1)(23(23)(2/+-=-+=x x x x x f ,因此当)1,(--∞∈x 时, )(,0)(/x f x f >单调递增；当)32,1(-∈x 时, )(,0)(/x f x f <单调递减,所以函数)(x f 在1-=x 处取极大值2512211)1(=+++-=-f ,应选D.考点：等比数列的前n 项和与函数的极值.7．已知身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（ ） A ．48种B ．72种C ．78种D ．84种 【答案】A考点：排列组合数公式及两个计数原理的运用.8．已知椭圆221167x x +=的左、右焦点12,F F 与双曲线()222210x x a b a b -=>>的焦点重合．且直线10x y --=与双曲线右支相交于点P ，则当双曲线离心率最小时的双曲线方程为（ ）A ．2218x x -=B ．22163x x -=C ．22172x x -=D ．22154x x -=【答案】D 【解析】试题分析：因3716=-=c ,故)0,3(2F ,设交点)0)(1,(>-t t t P ,则222(3)(1)PF t t -+-22810t t -+,右准线方程为32a x =,点P 到这条直线的距离为32a t d -=,所以31082322a t t t a-+-=,即2222221082)3(a t a t a a t +-=-,也即0102)92(42222=-+--a a t a t a ,该方程有正根,所以0)10)(92(444224≥---=∆a a a a ,解之得52≤a 或92≥a ,所以当52=a 时,双曲线的离心率最小,此时4592=-=b ,应选D. 考点：双曲线的几何性质．【易错点晴】本题考查的是圆锥曲线的基本量的计算问题.解答这类问题的一般思路是依据题设条件想方设法建构含c b a ,,的方程,然后再通过解方程或方程组使问题获解.解答本题的难点是如何建立和求出关于离心率的目标函数,再进一步探求该函数取得最小值时的条件,从而求出双曲线的标准方程中的b a ,的值.本题中的函数是运用两点之间的距离公式建立的,求解时是解不等式而求出b a,的值. 9．一个长方体的四个顶点构成一个四面体EFHG ，在这个长方体中把四面体EFHG 截出如图所示，则四面体EFHG 的侧视图是（ ）A．B ．C ．D ．【答案】D考点：三视图的识读和理解．10．已知函数()321f x x ax =++的对称中心的横坐标为()000x x >，且()f x 有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞B ．332,⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭C ．()0,+∞D ．(),1-∞- 【答案】B 【解析】试题分析：由于)32(323)(2/a x x ax x x f +=+=因此函数()321f x x ax =++有两个极值点32,0a-,因01)0(>=f ,故01274)32(3<+=-a a f ,即2233-<a ,应选B. 考点：导数在研究函数的零点中的运用．11．已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，若2PA AB ==，1AC =，120BAC ∠=︒，且PA ⊥平面ABC ，则球O 的表面积为（ ）A ．403πB ．503πC ．12πD ．15π【答案】A考点：球的几何性质与表面积的计算．【易错点晴】本题考查的是多面体的外接球的表面积问题.解答本题的难点是如何求出该四棱锥的外接球的半径,如何确定球心的位置,这对学生的空间想象能力的要求非常高.解答时充分借助题设条件,先求出三角形ABC ∆的外接圆的半径37=r ,再借助PA ⊥平面ABC ,球心O 与ABC ∆的外接圆的圆心1O 的连线也垂直于ABC ∆所在的平面,从而确定球心O 与1,,O A P 共面.求出了球的半径,找到解题的突破口. 12．已知函数()21,0,log ,0,kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩下列是关于函数()()1y f f x =+的零点个数的四种判断：①当0k >时，有3个零点；②当0k <时．有2个零点；③当0k >时，有4个零点；④当0k <时，有1个零点．则正确的判断是（ ） A ．③④B ．②③C ．①④D ．①②【答案】A 【解析】试题分析：若x x f x 2log )(,0=>.当0log 2>x ,即1>x 时,01)(log log ))((22=+=x x f f ,解得2=x ；当0log 2≤x ,即10≤<x 时,011)(log ))((2=++=x k x f f ,当0>k ,解得122<=-kx 适合；当0<k ,解得122>=-kx 不适合.若1)(,0+=≤kx x f x ,若01<+kx ,则011))((2=+++=k x k x f f ,即022=++k x k ,当22,0kk x k +-=>合适,0<k 时不合适；若01>+kx ,则01)1(log ))((2=++=kx x f f ,即211=+kx 也即kx 21-=,当0>k 时适合；当0<k 不合适.因此当0>k 时有四个根k kk k21,2,2,222-+--；当0<k 只有一个根2=x ,应选A.[来源:学。
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2015-2016学年度下学期高三年级猜题卷高三数学（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.“1m =±”是“复数2(1)(1)m m i -++（其中i 是虚数单位）为纯虚数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】B. 【解析】试题分析：由题意得，2(1)(1)m m i -++是纯虚数210110m m m ⎧-=⇔⇔=⎨+≠⎩，故是必要不充分条件，故选B.考点：1.复数的概念；2.充分必要条件．2.设全集U R =，函数()lg(|1|1)f x x =+-的定义域为A ，集合{}|sin 0B x x π==，则()U C A B 的元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C.考点：1.对数函数的性质；2.三角函数值；3.集合的运算． 3.若点55(sin,cos )66ππ在角α的终边上，则sin α的值为（ ） A．2-B ．12-C ．12 D．2【答案】A. 【解析】试题分析：根据任意角的三角函数的定义，5cos 6sin 1πα==，故选A. 考点：任意角的三角函数．4.如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的i a 为茎叶图中的学生成绩，则输出的m ，n 分别是（ ）A ．38m =，12n =B ．26m =，12n =C ．12m =，12n =D ．24m =，10n = 【答案】B.考点：1.统计的运用；2.程序框图．5.如图所示的是函数()sin 2f x x =和函数()g x 的部分图象，则函数()g x 的解析式是（ ）A ．()sin(2)3g x x π=- B ．2()sin(2)3g x x π=+C ．5()cos(2)6g x x π=+D ．()cos(2)6g x x π=- 【答案】C. 【解析】试题分析：由题意得，(0)0g <，故排除B ，D ；又∵17()()sin 24842g f πππ===，故排除A ，故选C. 考点：三角函数的图象和性质． 6.若函数2(2)()m xf x x m-=+的图象如图所示，则m 的范围为（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,2)-C ．(0,2)D ．(1,2) 【答案】D.考点：函数性质的综合运用．7.某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（ ）A ．1B ．2C ．2D 【答案】C.考点：1.三视图；2.空间几何体的表面积．8.已知数列{}n a 的首项为11a =，且满足对任意的*n N ∈，都有12n n n a a +-≤，232n n n a a +-≥⨯成立，则2014a =（ ） A ．201421- B ．201421+ C ．201521- D ．201521+【答案】A.考点：数列的通项公式．9.已知非零向量a ，b ，c ，满足||||4a b b -==，()()0a c b c -⋅-=，若对每个确定的b ，||c 的最大值和最小值分别为m ，n ，则m n -的值为（ ）A ．随||a 增大而增大B ．随||a 增大而减小C ．是2D ．是4 【答案】D.考点：平面向量数量积．10.已知在三棱锥P ABC -中，1PA PB BC ===，AB =，AB BC ⊥，平面PAB ⊥平面ABC ，若三棱锥的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（ ）A B ．3π C D ．2π 【答案】B. 【解析】试题分析：如下图所示，设球心为O ，则可知球心O 在面ABC 的投影在ABC ∆外心，即AC 中点E 处，取AB 中点F ，连PF ，EF ，OE ，OP ，由题意得，PF ⊥面ABC ，∴在四边形POEF 中，设OE h =，∴半径0r h ==⇒=，r =AC 中点，∴表面积243S r ππ==，故选B.考点：空间几何体的外接球．【名师点睛】外接球常用的结论：长方体的外接球：1.长、宽、高分别为a ，b ，c 的长方体的体对角线长2R =；2.棱长为a 的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即32a R=；棱长为a的正四面体：外接球的半径为64a，内切球的半径为612a；11.已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的右顶点为A，O为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q，若60PAQ∠=，且3OQ OP=，则双曲线C的离心率为（）A．74B．73C．72D．7【答案】C.考点：双曲线的标准方程及其性质．【名师点睛】要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，构造出关于a，c的齐次式，进而求解，要注意对题目中隐含条件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征以及平面几何知识的运用，如12||||2PF PF c+≥等.12.已知函数()()()()()52log11221x xf xx x⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，则关于x的方程1(2)f x ax+-=的实根个数不可能为（ ）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个 【答案】A. 【解析】试题分析：如下图所示，画出函数()f x 以及1()2g x x x=+-的图象，从而可知，当0a <时，方程()f x a =有一正根，∴方程1(2)f x a x+-=有两个根，当0a =时，方程()f x a =有一正根，一个根为0， ∴1(2)f x a x+-=有三个根，当01a <<时，方程()f x a =有两个正根，一个大于4-的负根， ∴1(2)f x a x +-=有四个根，当1a =时，方程()f x a =有一个负根4-，三个正根，∴1(2)f x a x+-=有七个根，当12a <<时，方程()f x a =有三个正根，一个小于4-的负根，∴1(2)f x a x+-=有八个根，当2a =时，方程()f x a =有两个正根，一个小于4-的负根，∴1(2)f x a x+-=有六个根，当2a >时，方程()f x a =有一个正根一个小于4-的负根，∴1(2)f x a x +-=有四个根，∴1(2)f x a x+-=根的个数可能为2，3，4，6，7，8，故选A.考点：1.函数与方程；2.分类讨论的数学思想.【名师点睛】要判断函数零点或方程根的个数，一般需结合函数在该区间的单调性、极值等性质进行判断，对于解析式较复杂的函数的零点，可根据解析式特征，利用函数与方程思想化为()()f x g x =的形式，通过考察两个函数图象的交点来求，通过图形直观研究方程实数解的个数，是常用的讨论方程解的一种方法．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．）13.已知0a >，6()x x-展开式的常数项为15，则22(4)a ax x x dx -++-=⎰____________.【答案】2233π++.考点：定积分的计算及其性质.14.设a ，b R ∈，关于x ，y 的不等式||||1x y +<和48ax by +≥无公共解，则ab 的取值范围是__________. 【答案】[16,16]-.考点：线性规划.15.设抛物线()220y px p =>的焦点为F ，其准线与x 轴交于点C ，过点F 作它的弦AB ，若90CBF ∠=，则AF BF -=________．【答案】2p . 【解析】试题分析：如下图所示，设||BF x =，过B 作l 的垂线，垂足是H ，则易得CFBBCH ∆∆，则易得2||||||BC CF BH px =⋅=，又∵222221||||||2CF BC BF p x px x p =+⇒=+⇒=，由抛物线的焦点弦性质，112||||AF BF p +=，∴1||||AF p AF =⇒=， ∴||||2AF BF p -=，故填：2p .考点：抛物线焦点弦的性质.【名师点睛】若AB 为抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，F 为抛物线焦点，A ，B 两点的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，则：2124p x x =，212y y p =-，以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切，112||||AF BF p+=. 16.已知数列{}n a 满足12a =，210n n a a n +++=，则31a =_____________. 【答案】463-. 【解析】试题分析：∵210n n a a n +++=，∴212(1)0n n a a n +++++=，两式相减，可得2(21)n n a a n +-=-+，∴313a a -=-，537a a -=-，……312959a a -=-，∴31131359154632a a a +-=-⋅⇒=-，故填：463-. 考点：数列的通项公式.【名师点睛】已知递推关系求通项，掌握先由1a 和递推关系求出前几项，再归纳、猜想n a 的方法，以及“累加法”，“累乘法”等：1.已知1a 且1()n n a a f n --=，可以用“累加法”得：12()nn k a a f k ==+∑，2n ≥；2.已知1a 且1()nn a f n a -=，可以用“累乘法”得：1(2)(3)(1)()n a a f f f n f n =⋅⋅⋅⋅⋅-⋅，2n ≥. 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，已知点D 在边BC 上，且0AD AC ⋅=，sin BAC ∠=AB =BD =.（1）求AD 长； （2）求cos C . 【答案】（1）3；（2）3. 【解析】试题分析：（1）利用已知条件首先求得cos BAD ∠的值，再在ABD ∆中，利用余弦定理即可求解；（2）在ABD ∆中利用正弦定理即可求解.试题解析：（1）∵0AD AC ⋅=，则AD AC ⊥，∴sin sin()cos 2BAC BAD BAD π∠=+∠=∠，即cos 3BAD ∠=，在ABD ∆中，由余弦定理，可知2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-∠， 即28150AD AD -+=，解得5AD =，或3AD =，∵AB AD >，∴3AD =；……6分 （2）在ABD ∆中，由正弦定理，可知sin sin BD ABBAD ADB=∠∠.又由cos BAD ∠=1sin 3BAD ∠=，∴sin sin 3AB BAD ADB BD ∠∠==.∵2ADB DAC C C π∠=∠+=+，∴cos 3C =.…………12分 考点：正余弦定理解三角形． 18.（本小题满分12分）已知矩形ABCD ，22AD AB ==，点E 是AD 的中点，将DEC ∆沿CE 折起到D EC '∆的位置，使二面角D EC B '--是直二面角.（1）证明：BE CD '⊥；（2）求二面角D BC E '--的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）3.（2）法一：设M 是线段EC 的中点，过点M 作MF BC ⊥，垂足为F ，连接D M '，D F '，如图，则D M EC '⊥，∵平面D EC '⊥平面BEC ，∴D M '⊥平面EBC ，∴MF 是D F '在平面BEC 上的射影， 由三垂线定理，得D F BC '⊥，∴D FM '∠是二面角D BC E '--的平面角， 在Rt D MF '∆中，12D M EC '==，11,tan 22D M MF AB D FM MF''==∠==cos D FM '∠=，∴二面角D BC E '--.…………12分法二：如图，以EB ，EC 为x 轴、y 轴，过点E 且垂直于平面BEC 的射线为z 轴，建立空间直角坐标系，则B，C，(0,22D '， 易知平面BEC 的一个法向量为1(0,0,1)n =； 设平面D BC '的一个法向量为2222(,,)n x y z =，(BC =，(0,22D C '=-， 则2200n BC n D C =⎧⎨'=⎩，即222200y z ⎧==，取21x =，得2(1,1,1)n =，∴1212123cos ,||||n n n n nn ⋅<>==， ∴二面角D BC E '--…………12分考点：1.面面垂直的判定与性质；2.二面角的求解． 19.(本小题满分12分)2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元.距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成[]0,2000，(]2000,4000，(]4000,6000，(]6000,8000，(]8000,10000五组，并作出如下频率分布直方图：（1）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款，现从损失超过4000元的居民中随机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学期望；（3）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如图，根据图表格中所给数据，分别求b ，c ，a b +，c d +，a c +，b d +，a b c d +++的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？0.05附：临界值表参考公式：()()()()()22,n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++. 【答案】（1）3360；（2）详见解析；（3）详见解析.试题解析：（1）记每户居民的平均损失为x 元，则()10000.0001530000.000250000.0000970000.0000390000.00003x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯20003360⨯=；…………4分（2）由频率分布直方图，可得超过4000元的居民共有()0.000090.000030.0000320005015++⨯⨯=户，损失超过8000元的居民共有0.000032000503⨯⨯=户，因此ξ的可能值为0，1，2，()21221522035C P C ξ===，()1131221512135C C P C ξ===，()232151235C P C ξ===， ξ的分布列为()0123535355E ξ=⨯+⨯+⨯=；…………8分 （3）解得9b =，5c =，39a b +=，11c d +=，35a c +=，15b d +=，50a b c d +++=，()225030695 4.046 3.84139113515K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，∴有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关.…………12分考点：1.古典概型；2.频率分布直方图；3.独立性检验．20.（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的两个焦点1F ，2F，且椭圆过点，2-，且A 是椭圆上位于第一象限的点，且12AF F ∆的面积12AF F S ∆=（1）求点A 的坐标；（2）过点(3,0)B 的直线l 与椭圆E 相交于点P ，Q ，直线AP ，AQ 与x 轴相交于M ，N 两点，点5(,0)2C ，则||||CM CN ⋅是否为定值，如果是定值，求出这个定值，如果不是请说明理由. 【答案】（1）(2,1)A ；（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）通过已知条件首先求得椭圆的标准方程，再结合三角形的面积计算公式，即可求得A 的坐标；（2）将直线l 的方程设出，联立直线方程与椭圆方程，通过计算说明是否为定值即可.∵0A x >，∴2A x =，∴(2,1)A ；（2）法一：设直线l 的方程为3x my =+，11(,)P x y ，22(,)Q x y ， 直线AP 的方程为()111122y y x x --=--，可得1112(,0)1y x M y --，即()1123(,0)1m y M y ---，直线AQ 的方程为()221122y y x x --=--，可得2222(,0)1y x N y --，即()2223(,0)1m y N y ---.联立22326x my x y =+⎧⎨+=⎩，消去x ，整理，得22(2)630m y my +++=. 由()22361220m m ∆=-+>，可得21m >，12262m y y m +=-+，12232y y m =+， ()()()()()()12121212232312112155()()21212121m y m y m y m y CM CN y y y y ----++++=-⋅-=⋅---- ()()()()()()22221212121222361212()1121212236414(1)22mm m m y y m y y m m m y y y y m m +++-++++++++==-++⎡⎤⎣⎦++++()()22222231212612265144362465m m m m m m m m m m m ++--++++===+++++ ∴CM CN 为定值，且14CM CN =.…………12分 法二：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，3(,0)M x ，4(,0)N x ，直线l ，AP ，AQ 的斜率分别为k ，1k ，2k ，由()22326y k x x y ⎧=-⎨+=⎩，得()222212121860k x k x k +-+-=，()()4221444121860k k k ∆=-+->，可得21k <，21221212k x x k +=+，212218612k x x k -=+，()()()()()121212121212121212313125112411222224k x k x kx x k x x k y y k k x x x x x x x x -----++++--+=+=+=-----++ ()22222222221861225112444121221861222241212k k k k k k k k k k k k k --+++-+++===----+++， 由()112y k x -=-，令0y =，得3112x k =-，即11(2,0)M k -， 同理得4212x k =-，即21(2,0)N k -，则 121251511111(2)(2)2222CM CN k k k k =----=++121211111()42k k k k =+++121212121211111211()42424k k k k k k k k k k +-=++=+⨯+= ∴CM CN 为定值，该定值为14. 考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.椭圆中的定值问题．【名师点睛】求解定值问题的方法一般有两种：1.从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；2.直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.21.(本小题满分12分)已知函数221()()(1)(22),2xf x ax bx a b e x x x a R =++---++∈，且曲线()y f x =与x 轴切于原点O . （1）求实数a ，b 的值；（2）若2()()0f x x mx n ⋅+-≥恒成立，求m n +的值. 【答案】（1）0a =，1b =；（2）1m n +=-.（2）不等式()0f x >21(1)(1)(1)2xx e x x x ⇔->-++，即2101(1)02x x e x x ->⎧⎪⎨-++>⎪⎩，或2101(1)02x x e x x -<⎧⎪⎨-++<⎪⎩， 令()21(1)2x g x e x x =-++，()()(1)xh x g x e x '==-+，()1xh x e '=-，当0x >时，()10x h x e '=->；当0x <时，()10xh x e '=-<，∴()h x 在区间(,0)-∞内单调递减，在区间(0,)+∞内单调递增，∴()(0)0h x h ≥=， 即()0g x '≥，∴()g x 在R 上单调递增，而(0)0g =，∴21(1)002xe x x x -++>⇔>；21(1)002xe x x x -++<⇔<， ∴当0x <或1x >时，()0f x >，同理可得，当01x ≤≤时，()0f x ≤.∴由2()()0f x x mx n +-≥恒成立可知，0x =，和1x =是方程20x mx n +-=的两根，∴1m =-，0n =，∴1m n +=-.…………12分. 考点：导数的综合运用．【名师点睛】1．证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明；2．求参数范围问题的常用方法：（1）分离变量；（2）运用最值；3．方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论；4．高考中一些不等式的证明需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，PA 为四边形ABCD 外接圆的切线，CB 的延长线交PA 于点P ，AC 与BD 相交于点M ，且//PA BD .（1）求证：ACD ACB ∠=∠；（2）若3PA =，6PC =，1AM =，求AB 的长. 【答案】（1）详见解析；（2）2. 【解析】试题分析：（1）根据切线的性质首先证明PAB ACB ∠=∠，再利用//PA BD 即可得证；（2）首先根据切割线定理求得PB ，BC 的长度，再利用AMBABC ∆∆即可求解.试题解析：（1）由PA 为切线，得PAB ACB ∠=∠，又∵//PA BD ，∴PAB ABD ACD ∠=∠=∠， ∴ACD ACB ∠=∠；…………4分 （2）由切割线定理2PA PB PC =，得32PB =，92BC =， 由//PA BD ，得AM PBMC BC=，又1AM =，∴3MC =，∴4AC =，又知AMB ABC ∆∆，∴AB ACAM AB=， 又∵4AC =，1AM =，∴24AB AM AC ==，∴2AB =.…………10分 考点：1.切线的性质；2.相似三角形的判定与性质． 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，已知点()1,2P -，直线1:2x tl y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos ρθθ=，直线l 和曲线C 的交点为,A B . （1）求直线l 和曲线C 的普通方程； （2）求PA PB +.【答案】（1）直线l 的普通方程是30x y --=，曲线C 的普通方程是22y x =；（2）联立直线方程与抛物线方程，利用参数的几何意义结合韦达定理即可求解. 【解析】考点：1.参数方程，极坐标方程与直角方程的相互转化；2.直线与抛物线的位置关系． 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x a =--，()2g x x m =-+，a ，m R ∈，若关于x 的不等式()1g x ≥-的整数解有且仅有一个值为-2. （1）求整数m 的值；（2）若函数()y f x =的图象恒在函数1()2y g x =的上方，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）4；（2）(,3)-∞. 【解析】试题分析：（1）解不等式()1g x ≥-，根据整数解为2-，即可求解；（2）问题等价于()()102f xg x ->恒成立，分类讨论将绝对值号去掉即可求解.试题解析：（1）由()1g x ≥-，即21x m -+≥-，21x m +≤， 得1122m m x ---+≤≤，∵不等式的整数解为2-，∴11222m m ---+≤-≤，解得35m ≤≤， 又∵不等式仅有一个整数解2-，∴4m =；…………4分考点：1.绝对值不等式；2.分类讨论的数学思想；3.恒成立问题．。