北师大版必修5高中数学第二章《应用性问题》word典例分析素材
北师大版高中数学必修5第二章《解三角形》之解三角形应用举例(四)
第九课时§ 2.3 。
4 解三角形应用举例（四）一、教课目的1、知识与技术：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题,掌握三角形的面积公式的简单推导和应用2、过程与方法：本节课增补了三角形新的面积公式，奇妙设疑，指引学生证明，同时总结出该公式的特色，顺序渐进地详细运用于有关的题型。
此外本节课的证明题表现了前方所学知识的生动运用，教师要松手让学生探索，使学生在详细的论证中灵巧掌握正弦定理和余弦定理的特色，能不名一格，一题多解。
只需学生自行掌握了两定理的特色，就能很快宽阔思维，有益地进一步打破难点。
3、感情态度与价值观：让学生进一步稳固所学的知识，加深对所学定理的理解，提升创新能力；进一步培育学生研究和发现能力，让学生在研究中体验欢乐的成功体验二、教课要点：推导三角形的面积公式并解决简单的有关题目。
教课难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题。
三、教课方法：探析概括，讲练联合四、教课过程Ⅰ. 课题导入[ 创建情境 ]师：从前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今日我们来学习它的另一个表达公式。
在ABC中，边 BC、CA、 AB上的高分别记为h a、h b、h c，那么它们怎样用已知边和角表示？生： h a =bsinC=csinB ， h b =csinA=asinC， h c =asinB=bsinaA师：依据从前学过的三角形面积公式S=1ah,应用以上求出的高的公式如h a =bsinC 代入，2能够推导出下边的三角形面积公式，S=1absinC ，大家能推出其余的几个公式吗？2生：同理可得，S= 1bcsinA, S=1 acsinB22师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？生：如能知道三角形的随意两边以及它们夹角的正弦即可求解Ⅱ . 探析新课[ 典范解说]例 1、在ABC 中，依据以下条件，求三角形的面积S （精准到0.1cm 2 ）（ 1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5; （ 2）已知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm; （3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm剖析：这是一道在不一样已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有亲密的关系，我们能够应用解三角形面积的知识， 察看已知什么， 尚缺什么？求出需要的元素，就能够求出三角形的面积。
高二数学北师大版必修5教学教案2-3解三角形的实际应用举例(2)Word版含解析
《解三角形的实际应用举例》教学设计一、教材依据本节教材选自《普通高中课程标准实验教科书·数学(必修5)》(北师大版)，第58页第二章《解三角形》：第3小节《解三角形的实际应用举例》的第一课时。
二、设计思想【设计理念】理念之一是让学生体验应用正弦定理、余弦定理解决实际测量问题的历程。
首先，分析、探讨一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离如何测量，初步感受两个定理的应用；然后，分组探讨怎样测量两个不可到达的点之间的距离，体验合作、交流、成功的快乐。
理念之二是倡导学生自主探索、合作交流等学习数学的方式，培养学生分析问题、解决问题的能力以及交流合作的能力。
总之，本节课将充分体现以“学生为本”的教学观念，实现课程理念、教学方式和学生学习方式的转变。
【教材分析】“解三角形”既是高中数学的基本内容，又有较强的应用性，也是培养学生的应用意识，提高学生分析问题、解决问题的能力非常好的载体，教学中结合具体问题，教给学生解答应用题的基本方法、步骤和建模思想。
【学情分析】学生学习《解三角形的实际应用举例》之前，已经掌握了利用正、余弦定理解三角形的方法，具备一定的分析问题的能力；但学生应用数学的意识不强，创造能力较弱，往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，因此，小组讨论时学生必须在老师的指导下进行。
根据《普通高中数学课程标准(实验)》的指导思想，针对教材内容重难点和学生实际情况的分析，本节教学应该帮助学生解决好的问题是，将距离测量问题合理、正确的转化为解三角形问题。
三、教学目标（一）课标要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
（二）三维教学目标【知识与技能】通过对实例的解决，能够运用两个定理等解决两种类型的距离测量问题：一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离；两个不可到达的点之间的距离。
【过程与方法】经历将距离测量问题转化为解三角形问题的过程，认识实际应用问题的研究方法：分析——建模——求解——检验。
北师大版高中数学必修5课件2.3解三角形的实际应用举例课件
(2)仰角与俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹 角。目标视线在水平线上方时叫仰角。目标视线在水平 线下方时叫俯角。(如下图所示)
例题解析
例 1 如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆 BC 的长 度（如图）；已知车厢的最大仰角为 60°，油泵顶点 B 与车厢支点 A 之间的 距离为 1.95m，AB 与水平线之间的夹角为 6020 ' ，AC 长为 1.40m，计算 BC
实际问题
数学模型
实际问题的解
数学模型的解
作业：
课本 59 页：练习 1、2
变式训练 1：
如图,一艘船以 32 海里/时的速度向正北航行,在 A 处看灯塔 S 在船的北偏东 200 , 30 分钟后 航行到 B 处,在 B 处看灯塔 S 在船的北偏东 650 方向上,求灯 塔 S 和 B 处的距离（ 。保留到 0.1）
解： AB 16
由正弦定理知 AB BS sin 450 sin 200
方法小结：
1． 本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。 2．在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意，分清已知与所求，根据题意画出示意图，并正确运用正弦定 理和余弦定理解题。 3．在解实际问题的过程中，贯穿了数学建模的思想，其流程图可表示为：
的长（保留三个有效数字）。
C
解：由余弦定理，得
BC2 AB2 AC2 2AB ACcos A
1.40m
1.952 1.402 21.951.40 cos6620'
3.571 BC 1.89(m)
600
A
6020/
北师大版高中数学必修5《二章 解三角形 3 解三角形的实际应用举例 解三角形的实际应用举例》公开课课件_6
2
解得t 6 ，t=- 6（舍去）
10
20
答：缉私船最快要用 6 h追到走私船。 10
课堂小结
1、本节课通过举例说明了解三角形在实际中应用于求 距离的问题，掌握利用正弦定理及余弦定理求解问题 的方法 2、在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意，分 清已知与所求，根据题意画出示意图，并正确运用正弦定 理和余弦定理解题。 3、在解实际问题的过程中，贯穿了数学建模的思想
偏西45°方向，D在北偏东30°方向，计算CD距离。
C
D
αγ
A
6海里
δ
B
归纳： 如何解决实际应学模型
实际问题的解
检验
解三角形 数学模型的解
【练习 1】如图，为了测量障碍物两侧 A，B 之间的距离，
给定下列四组数据，测量时应该用的数据为( )
A．α，a，b B．α，β，a
C．a，b，γ
拓展思考
Thank如何yo测u定！冰山的高度？
1第 节 • 解三角形的实际应用
余弦定理： a2 b2 c2 2bc cos A
b2 a2 c2 2ac cos B
c2 a2 b2 2abcosC
可以解决的有关解三角形的问题： （1）已知三边；（2）已知两边和他们的夹角。
解应用题中的几个角的概念
1、方位角
指从正北方向顺时针转到 目标方向线的水平角
答案 A
【练习 3】在海岸 A 处，发现北偏东 45°方向，距离 A 处( 3－ 1)n mile 的 B 处有一艘走私船，在 A 处北偏西 75°的方向，距 离 A 2 n mile 的 C 处的缉私船奉命以 10 3 n mile/h 的速度追截 走私船．此时，走私船正以 10 n mile/h 的速度从 B 处向北偏东 30°方向逃窜，问缉私船最快要用多少时间追上走私船？
北师大版高中数学必修5第二章《解三角形》应用举例(一)1
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例1、如图, 一艘海轮从A出发, 沿北偏东750的方向 航行67.5nmile后到达海岛B, 然后从B出发, 沿北偏 东320的方向航行54.0nmile后到达海岛C.如果下次 航行直接从A出发到达C , 此船应该沿怎样的方向 航行,需要航行多少距离(角度精确到0.10, 距离精27.3cm, c 38.7cm. 9
例3、在ABC中,求证 :
(1)
a
2
c2
b2
sin 2 A sin 2 sin 2 C
B;
(2)a2 b2 c2 2(bc cos A ca cos B ab cos C).
证明三角形中的边角关系恒等式 : 全部转 化为边的关系, 或者全部转化为角的关系.
2
正弦定理和余弦定理在实际测量中有许 多应用: (1)测量距离; (2)测量高度; 包含不可达到的点 (3)测量角度.
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例1、如图,设A, B两点在河的两岸,要测量 两点之间的距离.测量者在A的同侧, 在所 在的河岸边选定一点C , 测出AC的距离是 55m, BAC 510 , ACB 750 ,求A, B两点 间的距离(精确到0.1m).
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课时小结：解斜三角形应用题的一般步骤： （1）分析：理解题意，分清已知与未知，画 出示意图 （2）建模：根据已知条件与求解目标，把已 知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建 立一个解斜三角形的数学模型 （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地 解出三角形，求得数学模型的解（4）检验： 检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得 出实际问题的解 课后作业：课本2-3 A组第2、3、4题 五、教后反思：
4
例2、如图, A, B两点都在河的对岸(不可到 达),设计一种测量A, B两点间距离的方法.
北师大版必修5高中数学第二章应用性问题word典例分析素材
应用性问题1．三角形中的有关公式（正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式等）；2．正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等；3．实际问题中有关术语、名称．（1）仰角和俯角：在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角；在水平视线下方的角叫俯角（2）方位角：指正北方向顺时针转到目标方向线水平角．典例分析例1．(1)某人朝正东方走x km 后，向左转1500，然后朝新方向走3km ，结果它离出发点恰好3km ，那么x 等于 （ ） （A ）3 （B ）32 （C ）3或 32 （D ）3解：C 提示：利用余弦定理（2）甲、乙两楼相距20m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为060，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为030，则甲、乙两楼的高分别是 （ ）A 403203,3m m B 103,203m m C 10(32),203m m D1533,23m m 解：A（3）一只汽球在2250m 的高空飞行，汽球上的工件人员测得前方一座山顶上A 点处的俯角为018，汽球向前飞行了2000m 后，又测得A 点处的俯角为082，则山的高度为（ ）A 1988mB 2096mC 3125mD 2451m解： B（4）已知轮船A 和轮船B 同时离开C 岛，A 向北偏东025方向，B 向西偏北020方向，若A 的航行速度为25 nmi/h ，B 的速度是A 的35，过三小时后，A 、B 的距离是 ． 解：90.8 nmi(5) 货轮在海上以40km/h 的速度由B 到C 航行，航向为方位角0140NBC ∠=，A 处有灯塔，其方位角0110NBA ∠=，在C 处观测灯塔A 的方位角035MCA ∠=，由B 到C 需航行半小时，则C 到灯塔A 的距离是 解：10(62)-km 提示：由题意知 075BCA ∠=，利用余弦定理或解直角三角形可得。
北师大版高中数学必修五课件第二章《解三角形》应用举例(一)
C处测得A处的俯 角 50 1'. 已知铁
0
塔BC 部分的高为 27.3m, 求出山高C D (精确到1m).
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例5、如图, 一艘海轮从A出发, 沿北偏东75 的方向 航行67.5nmile后到达海岛B, 然后从B出发, 沿北偏 东32 的方向航行54.0nmile后到达海岛C.如果下次 航行直接从A出发到达C , 此船应该沿怎样的方向 航行, 需要航行多少距离(角度精确到0.1 , 距离精 确到0.01nmile ).0 00 Nhomakorabea7
课时小结：解斜三角形应用题的一般步骤： （1）分析：理解题意，分清已知与未知，画 出示意图 （2）建模：根据已知条件与求解目标，把已 知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建 立一个解斜三角形的数学模型 （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地 解出三角形，求得数学模型的解 （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际 意义，从而得出实际问题的解
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例2、如图, A, B两点都在河的对岸(不可到 达), 设计一种测量A, B两点间距离的方法.
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例3、AB是底部B不可到达的一个建筑物, A为建筑物的最高点.设计一种测量建筑 物高度AB的方法.
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例4、如图, 在山顶 铁塔上B处测得地 面上一点A的俯角
54 40' , 在塔底
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北师大版高中数学必修5 第二章《解三角形》
1
正弦定理和余弦定理在实际测量中有许 多应用 :
(1)测量距离; (2)测量高度; (3)测量角度.
包含不可达到的点
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例1 、如图, 设A, B两点在河的两岸, 要测量 两点之间的距离.测量者在A的同侧, 在所 在的河岸边选定一点C , 测出AC的距离是 55m, BAC 51 , ACB 75 , 求A, B两点 间的距离(精确到0.1m).
高中数学 第二章 应用举例2典型例题素材 北师大版必修5
应用举例利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：一、测量问题例1、如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A 、B 两点，望对岸标记物C ，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm ，求河的宽度．分析：求河的宽度，就是求△ABC 在AB 边上的高，而在河的一边，已测出AB 长、∠CAB、∠CBA，这个三角形可确定． 解析：由正弦定理得sin sin AC AB CBA ACB =∠∠，∴AC=AB=120m， 又∵11sin 22ABC S AB AC CAB AB CD =⋅∠=⋅，解得CD=60m ． 点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”．二、遇险问题例2、某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北．若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？解析：如图舰艇在A 点处观测到灯塔S 在东15°北的方向上；舰艇航行半小时后到达B 点，测得S 在东30°北的方向上． 在△ABC 中，可知AB=30×0．5=15，∠ABS=150°，∠ASB=15°，由正弦定理得BS=AB=15，过点S 作SC⊥直线AB ，垂足为C ，则SC=15sin30°=7．5．这表明航线离灯塔的距离为7．5海里，而灯塔周围10海里内有暗礁，故继续航行有触礁的危险．点评：有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；（2）画出示意图，并将已知条件在图形中标出；（3）分析与所研究问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解．三、追击问题例3、如图3，甲船在A 处，乙船在A 处的南偏东45°方向，距A 有9n mile 并以20n mile/h 的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h 的速度航行，应沿什么方向，用多少h 能尽快追上乙船？解析：设用t h ，甲船能追上乙船，且在C 处相遇．在△ABC 中，AC=28t ，BC=20t ，AB=9，设∠ABC=α，∠BAC=β．∴α=180°－45°－15°=120°．根据余弦定理2222cos AC AB BC AB BC α=+-⋅， ()()2212881202920()2t t t =+-⨯⨯⨯-，212860270t t --=，（4t －3）（32t+9）=0， 解得t=34，t=932（舍）∴AC=28×34=21 n mile ，BC=20×34=15 n mile ． 根据正弦定理，得315sin 532sin 2114BC AC αβ⨯===，又∵α=120°，∴β为锐角，β=arcsin 5314，又5314＜7214＜22，∴arcs in 5314＜4π，∴甲船沿南偏东4π－arcsin 5314的方向用34h 可以追上乙船． 点评：航海问题常涉及到解三角形的知识，本题中的 ∠ABC、AB 边已知，另两边未知，但他们都是航行的距离，由于两船的航行速度已知，所以，这两边均与时间t 有关．这样根据余弦定理，可列出关于t 的一元二次方程，解出t 的值．四、最值问题例4、某工厂生产主要产品后，留下大量中心角为︒60，半径为a 的扇形边角料，现要废物利用，从中剪裁下巨型毛坯，要求矩形面积尽可能大，请问如何裁剪？分析：从实际出发，尽可能使面积最大，有两种裁剪方法．一种是使矩形的一边落在扇形的半径上，另一种是使矩形的两顶点分别在扇形的两条半径上，分别计算出这两种情况下的最大值，再比较结果的出最佳方案．解：方案一，如图1，矩形有两个顶点在半径OA 上，设∠AOP =θ，则PM = a·sin θ，∵扇形中心角为︒60，∴∠PQO =︒120，由正弦定理，得：︒120sin OP =)60sin(θ-︒PQ ， 即PQ =32·a·sin（︒60－θ），∴矩形的MPQR 的面积为：S 1=PM·PQ =32·a 2·sin θ·sin （︒60－θ） O =31·a 2[cos （θ2－︒60）－cos ︒60]≤31·a 2·（1－21） =63a 2， 当θ=︒30时，cos （θ2－︒60） = 1，S 1取得最大值63a 2．方案二，如图2，矩形有两个顶点分别在扇形的两条半径OA 、OB 上，设∠AOM =θ，∠MRA =21×︒60=︒30，∠MRO =︒150，由正弦定理，得：θsin RM =︒150sin a ， 即RM = 2a·sin θ， 又)30sin(θ-︒OR =︒150sin a ，∴OR = 2a·sin（︒30－θ），∴矩形的MPQR 的面积为： S 2= MR·PQ = 4a 2·sin θ·sin（︒30－θ） = 2a 2·[cos（θ2－︒30）－cos ︒30]≤2a 2·（1－23） = （2－3）a 2． 即在此情况下，∠AOM =θ=︒15时，可求出M 点，然后作出MPQR 面积为最大．由于S 1－S 2=63a 2－（2－3）a 2=62a （37－12）＞0，所以第一种方案能使裁出的矩形面积最大，即∠AOP =θ=︒30，使P 取在AB 弧中点，分别向扇形的一条半径作垂线及平行线得到矩形MPQR ，即为最大矩形．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
2018年高中数学北师大版必修五：第2章 §3 解三角形的实际应用举例含解析
[A 基础达标]1．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A 、B 两点间的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 mD ．2522m解析：选A.由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin ∠CBA .又∠CBA ＝180°－45°－105°＝30°，故AB ＝AC ·sin ∠ACB sin ∠CBA＝50×2212＝50 2 (m)．2.如图，测量河对岸的塔的高度AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30米，并在C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔AB 的高度为( ) A ．152米 B ．153米 C ．15(3＋1)米D ．156米解析：选D.在△BCD 中，由正弦定理得BC ＝CD sin 30°sin 135°＝152(米)．在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan 60°＝156(米)．故选D.3．某舰艇在A 处测得遇险渔船在北偏东45°方向且距离为10海里的C 处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速为21海里，则舰艇与渔船相遇的最短时间为( ) A ．20分钟 B ．40分钟 C ．60分钟D ．80分钟解析：选B.如图，设它们在D 处相遇，用时为t 小时，则AD ＝21t ，CD ＝9t ，∠ACD ＝120°，由余弦定理，得cos 120°＝102＋（9t ）2－（21t ）22×10×9t，解得t ＝23(负值舍去)，23小时＝40分种，即舰艇与渔船相遇的最短时间为40分钟．4．渡轮以15 km/h 的速度沿与水流方向成120°角的方向行驶，水流速度为4 km/h ，则渡轮实际航行的速度约为(精确到0.1 km/h)( )A ．14.5 km/hB ．15.6 km/hC ．13.5 km/hD ．11.3 km/h解析：选C.由物理学知识， 画出示意图，AB ＝15， AD ＝4，∠BAD ＝120°. 在▱ABCD 中，D ＝60°， 在△ADC 中，由余弦定理得 AC ＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD cos D＝16＋225－4×15＝181≈13.5.5．已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( ) A ．北偏东40° B ．北偏西10° C ．南偏东10°D ．南偏西10°解析：选B.如图所示，∠ECA ＝40°，∠FCB ＝60°，∠ACB ＝180°－40°－60°＝80°，因为AC ＝BC ，所以∠A ＝∠ABC ＝180°－80°2＝50°，所以∠ABG ＝180°－∠CBH －∠CBA ＝180°－120°－50°＝10°.故选B.6．如图所示为一角槽，已知AB ⊥AD ，AB ⊥BE ，并测量得AC ＝3 mm ，BC ＝2 2 mm ，AB ＝29 mm ，则∠ACB ＝________．解析：在△ABC 中，由余弦定理得cos ∠ACB ＝32＋（22）2－（29）22×3×22＝－22.因为∠ACB ∈(0，π)，所以∠ACB ＝3π4.答案：3π47．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是__________ m.解析：设水柱的高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝ 3 h ，根据余弦定理，得(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，解得h ＝50，故水柱的高度是50 m. 答案：508．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm 捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x ＝________．解析：如图所示，设蜘蛛原来在O 点，先爬行到A 点，再爬行到B 点，易知在△AOB 中，AB ＝10 cm ，∠OAB ＝75°，∠ABO ＝45°，则∠AOB ＝60°，由正弦定理知： x ＝AB ·sin ∠ABO sin ∠AOB ＝10×sin 45°sin 60°＝1063.答案：10639．如图，某军舰艇位于岛屿A 的正西方C 处，且与岛屿A 相距120海里．经过侦察发现，国际海盗船以100海里/小时的速度从岛屿A 出发沿北偏东30°方向逃窜，同时，该军舰艇从C 处出发沿北偏东90°－α的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用2小时追上．(1)求该军舰艇的速度． (2)求sin α的值．解：(1)依题意知，∠CAB ＝120°，AB ＝100×2＝200， AC ＝120，∠ACB ＝α， 在△ABC 中， 由余弦定理，得 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠CAB ＝2002＋1202－2×200×120cos 120°＝78 400，解得BC ＝280.所以该军舰艇的速度为BC2＝140海里/小时．(2)在△ABC 中，由正弦定理， 得AB sin α＝BCsin 120°，即 sin α＝AB sin 120°BC ＝200×32280＝5314.10.如图，一人在C 地看到建筑物A 在正北方向，另一建筑物B 在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前进30 km 到达D 处，看到A 在他的北偏东45°方向，B 在北偏东75°方向，试求这两座建筑物之间的距离．解：依题意得，CD ＝30 km ，∠ADB ＝∠BCD ＝30°＝∠BDC ，∠DBC ＝120°，∠ADC ＝60°，∠DAC ＝45°.在△BDC 中， 由正弦定理得BC ＝DC sin ∠BDC sin ∠DBC ＝30sin 30°sin 120°＝10(km)．在△ADC 中，由正弦定理得 AC ＝DC sin ∠ADC sin ∠DAC ＝30sin 60°sin 45°＝35(km)．在△ABC 中，由余弦定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB＝(35)2＋(10)2－2×35×10cos 45°＝25. 所以AB ＝5(km)，即这两座建筑物之间的距离为5 km.[B 能力提升]11．如图，某山上原有一条笔直的山路BC ，现在又新架设了一条索道AC ，小李在山脚B 处看索道AC ，发现张角∠ABC ＝120°，从B 处攀登400米后到达D 处，再看索道AC ，发现张角∠ADC ＝150°，从D 处再攀登800米方到达C 处，则索道AC 的长为______米．解析：在△ABD 中，BD ＝400，∠ABD ＝120°，因为∠ADB ＝180°－∠ADC ＝30°，所以∠DAB ＝30°，所以AB ＝BD ＝400，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos 120°＝400 3.在△ADC 中，DC ＝800，∠ADC ＝150°，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos ∠ADC ＝(4003)2＋8002－2×4003×800×cos 150°＝4002×13，所以AC ＝40013，故索道AC 的长为40013米． 答案：4001312.如图，在山底测得山顶仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000 m 至S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为______m.解析：如图，∠SAB ＝45°－30°＝15°，又∠SBD ＝15°， 所以∠ABS ＝30°.AS ＝1 000，由正弦定理知BS sin 15°＝1 000sin 30°，所以BS ＝2 000sin 15°.所以BD ＝BS ·sin 75°＝2 000sin 15°·cos 15°＝1 000sin 30°＝500， 且DC ＝ST ＝1 000sin 30°＝500， 从而BC ＝DC ＋DB ＝1 000 m. 答案：1 00013.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度，如图，在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A ，B 两地相距100 m ，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚217s ．A 地测得该仪器在C 处时的俯角为15°，A 地测得该仪器在最高点H 时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH .(声音在空气中的传播速度为340 m/s) 解：由题意，设AC ＝x m ， 则BC ＝x －217×340＝x －40 (m)．在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝BA 2＋CA 2－2BA ·CA ·cos ∠BAC ， 即(x －40)2＝10 000＋x 2－100x ，解得x ＝420.在△ACH 中，AC ＝420 m ，∠CAH ＝30°＋15°＝45°，∠CHA ＝90°－30°＝60°. 由正弦定理得CH sin ∠CAH ＝ACsin ∠AHC ，所以CH ＝AC ·sin ∠CAHsin ∠AHC ＝1406(m)．故该仪器的垂直弹射高度CH 为140 6 m.14．(选做题)如图，某人在塔的正东方向上的C 处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向以每小时6千米的速度步行了1分钟以后，在点D 处望见塔的底端B 在东北方向上，已知沿途塔的仰角∠AEB ＝α，α的最大值为60°.(1)求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了几分钟； (2)求塔的高AB .(结果保留根号，不求近似值)．解：(1)依题意知，在△DBC 中，∠BCD ＝30°，∠DBC ＝180°－45°＝135°，CD ＝6 000×160＝100 (m)，∠BDC ＝45°－30°＝15°，由正弦定理得 CD sin ∠DBC ＝BCsin ∠BDC，所以BC ＝CD ·sin ∠BDC sin ∠DBC ＝100×sin 15°sin 135°＝100×6－2422＝50（6－2）2＝50(3－1)(m)，在Rt △ABE 中，tan α＝ABBE，因为AB 为定长，所以当BE 的长最小时，α取最大值60°，这时BE ⊥CD ，当BE ⊥CD 时，在Rt △BEC 中，EC ＝BC ·cos ∠BCE ＝50(3－1)·32＝25(3－3)(m)，设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了t 分钟，则t ＝EC6 000×60＝25（3－3）6 000×60＝3－34(分钟)．(2)由(1)知当α取得最大值60°时，BE ⊥CD ， 在Rt △BEC 中，BE ＝BC ·sin ∠BCD ， 所以AB ＝BE ·tan 60°＝BC ·sin ∠BCD ·tan 60° ＝50(3－1)·12·3＝25(3－3)(m)，即所求塔高为25(3－3) m.赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321DA1FDAB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DF45°DEa +b-a45°A1.2在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且EF ＝BE +DF ，求证：∠FAE ＝45°DEa +b-aa45°ABE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa+b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM.（1）求证：EF=FM（2）当AE=1时，求EF的长．DE2.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求△AMN的周长．3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD＝2AD＝4，E为线段CD上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．ABFEDCF。
北师大版高中数学必修5第二章《解三角形》之解三角形应用举例(四)
第九课时 §2.3。
4解三角形应用举例（四）一、教学目标1、知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用2、过程与方法：本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。
另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。
只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点。
3、情感态度与价值观：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验二、教学重点：推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目。
教学难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程Ⅰ.课题导入[创设情境]师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。
在ABC 中，边BC 、CA 、AB 上的高分别记为h a 、h b 、h c ，那么它们如何用已知边和角表示？生：h a =bsinC=csinB ，h b =csinA=asinC ，h c =asinB=bsinaA师：根据以前学过的三角形面积公式S=21ah,应用以上求出的高的公式如h a =bsinC 代入，可以推导出下面的三角形面积公式，S=21absinC ，大家能推出其它的几个公式吗？ 生：同理可得，S=21bcsinA, S=21acsinB 师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解Ⅱ.探析新课[范例讲解]例1、在∆ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积S （精确到0.1cm 2）（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5︒;（2）已知B=62.7︒,C=65.8︒,b=3.16cm;（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。
北师大版高中数学必修5第二章《解三角形》之解三角形应用举例(三)
第八课时§解三角形应用举例（三）一、教课目的1、知识与技术：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实质问题。
2、过程与方法：本节课是在学习了有关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应经过综合训练加强学生的相应能力。
除了安排课本上的例1，还针对性地选择了既具典型性有具启迪性的 2 道例题，重申知识的教授更重能力的浸透。
讲堂中要充足表现学生的主体地位，重过程，重议论，教师经过导疑、导思让学生有效、踊跃、主动地参加到研究问题的过程中来，逐渐让学生自主发现规律，贯通融会。
3、感情态度与价值观：培育学生提出问题、正确剖析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的研究精神。
二、教课要点：能依据正弦定理、余弦定理的特色找到已知条件和所求角的关系。
教课难点：灵巧运用正弦定理和余弦定理解对于角度的问题。
三、教课方法：探析概括，讲练联合四、教课过程Ⅰ. 课题导入[ 创建情境 ]发问：前方我们学习了如何丈量距离和高度，这些实质上都可转变已知三角形的一些边和角求其他边的问题。
但是在实质的航海生活中 , 人们又会碰到新的问题，在浩大无垠的海面上如何保证轮船不迷失方向，保持必定的航速和航向呢？今日我们接着商讨这方面的丈量问题。
Ⅱ . 探析新课[ 典范解说 ]例 1、如图，一艘海轮从 A 出发，沿北偏东75的方向航行67.5 n mile后抵达海岛B, 然后从 B 出发 , 沿北偏东 32的方向航行54.0 n mile 后达到海岛 C.假如下次航行直接从 A 出发抵达C, 此船应当沿如何的方向航行, 需要航行多少距离?( 角度精准到0.1, 距离精准到0.01n mile)学生看图思虑并叙述解题思路教师依据学生的回答概括剖析：第一依据三角形的内角和定理求出 AC 边所对的角 ABC，即可用余弦定理算出 AC边，再依据正弦定理算出 AC边和 AB 边的夹角 CAB。
解：在ABC中，ABC=180 - 75 + 32 =137，依据余弦定理，AC=AB 2BC 22AB BC cos ABC=67.5254.02267.554.0cos137≈ 113.15依据正弦定理 ,BC=ACsin CAB sin ABCsinCAB = BCsinABC =54 .0 sin 137 ≈0.3255,因此CAB =19.0,75-CAB AC113 .15=56.0答 : 此船应当沿北偏东 56.1的方向航行 , 需要航行 113.15n mile例 2、在某点 B 处测得建筑物AE 的顶端 A 的仰角为，沿 BE方向行进 30m，至点 C 处测得顶端 A 的仰角为 2，再持续行进10 3 m至 D点，测得顶端 A 的仰角为 4，求的大小和建筑物 AE的高。
高中数学北师大版必修5 第二章3 解三角形的实际应用举例 作业2 Word版含解析
, [学生用书单独成册])[A.基础达标]1．如图，为了测量隧道两口A 、B 之间的长度，对给出的四组数据， 计算时要求最简便，测量时要求最容易，应当采用的一组是( )A ．a ，b ，γB ．a ，b ，αC ．a ，b ，βD ．α，β，a解析：选A.根据实际情况，α，β都是不易测量的数据，在△ABC 中，a ，b 可以测得，角γ也可测得，根据余弦定理能直接求出AB 的长．2．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( )A.1762海里/小时 B ．346海里/小时C.1722海里/小时 D ．342海里/小时解析：选A.如图所示，在△PMN 中， PM sin 45°＝MNsin 120°， 所以MN ＝68×32＝346，所以v ＝MN 4＝1726(海里/小时)．3．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A ，B 两点间的距离为60 m ，则树的高度为( )A ．(30＋303)mB ．(30＋153)mC ．(15＋303)mD ．(15＋153)m解析：选A.在△P AB 中，∠P AB ＝30°，∠APB ＝15°，AB ＝60，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝22×32 －22×12＝6－24，由正弦定理得PB sin 30°＝AB sin 15°，所以PB ＝12×606－24＝30(6＋2)，所以树的高度为PB sin 45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303) m.4．渡轮以15 km/h 的速度沿与水流方向成120°角的方向行驶，水流速度为4 km/h ，则渡轮实际航行的速度约为(精确到0.1 km/h)( )A ．14.5 km/h B ．15.6 km/h C ．13.5 km/h D ．11.3 km/h 解析：选C.由物理学知识， 画出示意图，AB ＝15， AD ＝4，∠BAD ＝120°. 在▱ABCD 中，D ＝60°， 在△ADC 中，由余弦定理得 AC ＝AD2＋CD 2－2AD ·CD cos D ＝16＋225－4×15＝181≈13.5. 5.如图，从气球A 测得正前方的济南全运会东荷、西柳两个场馆B 、C 的俯角分别为α、β，此时气球的高度为h ，则两个场馆B 、C 间的距离为( )A.h sin αsin βsin （α－β）B.h sin （β－α）sin αsin βC.h sin αsin βsin （α－β）D.h sin βsin αsin （α－β）解析：选B.在Rt △ADC 中，AC ＝h sin β，在△ABC 中，由正弦定理得BC ＝ACsin α·sin(β－α)＝h sin （β－α）sin αsin β.6．海上的A 、B 两个小岛相距10 km ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，那么B 岛和C 岛间的距离是________km.解析：如图所示，则C ＝180°－(60°＋75°)＝45°. 在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BCsin A，得BC ＝AB sin A sin C ＝10·sin 60°sin 45°＝56(km)．答案：5 67．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲观测点连线及甲、乙两观测点连线所成的角为120°，甲、乙两观测点相距500 m ，则电视塔在这次测量中的高度是________．解析：由题意画出示意图，设高AB ＝h ，在Rt △ABC 中，由已知BC ＝h ，在Rt △ABD 中，由已知BD ＝3h ，在△BCD 中，由余弦定理BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos ∠BCD 得，3h 2＝h 2＋5002＋h ·500，解得h ＝500 m(负值舍去)． 答案：500 m8．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm 捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x ＝________．解析：如图所示，设蜘蛛原来在O 点，先爬行到A 点，再爬行到B 点，易知在△AOB 中，AB ＝10 cm ，∠OAB ＝75°，∠ABO ＝45°，则∠AOB ＝60°，由正弦定理知： x ＝AB ·sin ∠ABO sin ∠AOB ＝10×sin 45°sin 60°＝1063.答案：10639．如图，某军舰艇位于岛屿A 的正西方C 处，且与岛屿A 相距120海里．经过侦察发现，国际海盗船以100海里/小时的速度从岛屿A 出发沿北偏东30°方向逃窜，同时，该军舰艇从C 处出发沿北偏东90°－α的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用2小时追上．(1)求该军舰艇的速度．(2)求sin α的值．解：(1)依题意知，∠CAB ＝120°，AB ＝100×2＝200，AC ＝120，∠ACB ＝α， 在△ABC 中， 由余弦定理，得 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠CAB ＝2002＋1202－2×200×120cos 120°＝78 400，解得BC ＝280.所以该军舰艇的速度为BC2＝140海里/小时．(2)在△ABC 中，由正弦定理，得AB sin α＝BCsin 120°，即sin α＝AB sin 120°BC ＝200×32280＝5314.10．为了测量两山顶M 、N 间的距离，飞机沿水平方向在A 、B 两点进行测量，A 、B 、M 、N 在同一个铅垂平面内，如图，飞机能测量的数据有俯角和A 、B 间的距离，请设计一个方案；包括：(1)指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；(2)用文字和公式写出计算M 、N 间的距离的步骤．解：(1)需要测量的数据有A 到M 、N 的俯角α1、β1，B 到M 、N 的俯角α2、β2，A 、B 的距离d (如图所示)．(2)方案一：第一步：计算AM ，由正弦定理得AM ＝d sin α2sin （α1＋α2）；第二步：计算AN ，由正弦定理得AN ＝d sin β2sin （β2－β1） ；第三步：计算MN ，由余弦定理得 MN ＝AM 2＋AN 2－2AM ·AN cos （α1－β1）.方案二：第一步：计算BM ，由正弦定理得BM ＝d sin α1sin （α1＋α2）；第二步：计算BN ，由正弦定理得BN ＝d sin β1sin （β2－β1）；第三步：计算MN ，由余弦定理得MN ＝BM 2＋BN 2＋2BM ·BN cos （β2＋α2）.[B.能力提升]1．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，由炮台顶部测得两船俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距( )A ．10 3 mB ．100 3 mC ．2030 mD ．30 m解析：选D.设炮台顶部为A ，两条船分别为B 、C ，炮台底部为D ，可知∠BAD ＝45°，∠CAD ＝60°，∠BDC ＝30°， AD ＝30.分别在Rt △ADB ，Rt △ADC 中， 求得DB ＝30，DC ＝30 3. 在△DBC 中，由余弦定理得BC 2＝DB 2＋DC 2－2DB ·DC cos 30°，解得BC ＝30.2．在船A 上测得它的南偏东30°的海面上有一灯塔，船以每小时30海里的速度向东南方向航行半个小时后，于B 处看得灯塔在船的正西方向，则这时船和灯塔相距(sin 15°＝6－24)( ) A.15（6－2）2海里 B.152－562海里C.15（6－2）4海里D.152－564海里解析：选B.如图所示，设灯塔为C ，由题意可知，在△ABC 中，∠BAC ＝15°，B ＝45°，C ＝120°，AB ＝30×0.5＝15(海里)，所以由正弦定理，可求得BC ＝15sin 120°·sin 15°＝1532×6－24＝152－562(海里)．3．如图，在山底测得山顶仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000 m 至S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为________m.解析：如图，∠SAB ＝45°－30°＝15°，又∠SBD ＝15°，所以∠ABS ＝30°. AS ＝1 000，由正弦定理知BS sin 15°＝1 000sin 30°，所以BS ＝2 000sin 15°. 所以BD ＝BS ·sin 75°＝2 000sin 15°·cos 15°＝1 000sin 30°＝500， 且DC ＝ST ＝1 000sin 30°＝500，从而BC ＝DC ＋DB ＝1 000 m. 答案：1 0004．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 船到灯塔C 的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西40°处，A ，B 两船间的距离为3 km ，则B 船到灯塔C 的距离为________km.解析：由题意，知∠ACB ＝80°＋40°＝120°，AC ＝2，AB ＝3，设B 船到灯塔C 的距离为x km ，即BC ＝x ，由余弦定理，可知AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC cos 120°，即9＝4＋x 2－2×2x ×(－12)，整理得x 2＋2x －5＝0，解得x ＝－1－6(舍去)或x ＝－1＋ 6.答案：6－15．要航测某座山的海拔高度，如图，飞机的航线与山顶M 在同一个铅垂面内，已知飞机的飞行高度为海拔10 000 m ，速度为900 km/h ，航测员先测得对山顶的俯角为30°，经过40 s(已飞过M 点)后又测得对山顶的俯角为45°，求山顶的海拔高度．(精确到1 m ，可能要用到的数据：2＝1.414，3＝1.732，6＝2.450)解：900 km/h ＝250 m/s ，AB ＝250×40＝10 000(m)，在△ABM 中，由正弦定理得BM sin 30°＝ABsin 105°，BM ＝AB sin 30°sin 105°.作MD ⊥AB 于D ，则MD ＝BM sin 45°＝AB sin 30°sin 105°×sin 45°＝10 000×12×2222×12＋22×32＝10 0003＋1＝5 000(3－1)＝3 660，M 的海拔高度为10 000－3 660＝6 340 (m)． 即山顶的海拔高度为6 340 m.6．某海上养殖基地A 接到气象部门预报，位于基地南偏东60°距离20(3＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时102海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且(3＋1)小时后开始影响基地并持续2小时．求台风移动的方向．解：如图所示，设预报时台风中心为B ，开始影响基地时台风中心为C ，影响结束时台风中心为D ，则B ，C ，D 在同一直线上，且AD ＝20海里，AC ＝20海里．由题意知，AB ＝20(3＋1)海里，DC ＝2×102＝202海里，BC ＝(3＋1)×102海里． 在△ADC 中，因为DC 2＝AD 2＋AC 2， 所以∠DAC ＝90°，∠ADC ＝45°. 在△ABC 中，由余弦定理的变形公式得 cos ∠BAC ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB ＝32，所以∠BAC ＝30°，又因为B 位于A 的南偏东60°， 且60°＋30°＋90°＝180°，所以D 位于A 的正北方向，又因为∠ADC ＝45°， 所以台风移动的方向为CD →的方向，即北偏西45°方向． 所以台风向北偏西45°方向移动．。
2019-2020学年北师大版数学必修五讲义：第2章 §3 解三角形的实际应用举例 Word版含答
姓名，年级：时间：§3解三角形的实际应用举例学习目标核心素养1。
掌握测量距离、高度、角度等问题中正、余弦定理的应用．(重点)2．了解测量的方法和意义．(难点）3．提高应用数学知识解决实际问题的能力．(难点)1.通过实际问题应用举例提升数学建模素养．2．通过解三角形的实际应用培养数学运算素养。
实际问题中的有关术语阅读教材P58～P61“练习2”以上部分完成下列问题．名称定义图示仰角与俯角在视线和水平线所成角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角，如图方位角从指北方向顺时针转到目标方向线所成的角，如图，B点的方位角为α方向角从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°。
如图，∠ABC为北偏东60°或东偏北30°思考：（1)方位角的范围是什么？[提示］[0°,360°)（2)若点B在点A的北偏东60°，那么点A在点B的哪个方向？[提示] 南偏西60°。
1．在某测量中，设A在B的南偏东34°27′，则B在A的( )A．北偏西34°27′B．北偏东55°33′C．北偏西55°33′D．南偏西34°27′［答案］A2．如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的（）A．北偏东5°B．北偏西10°C．南偏东5°D．南偏西10°［答案］B3．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B 两点的距离为（)A．50错误!m B．50错误!mC．25错误!m D．错误!mA［由正弦定理得错误!＝错误!,又∵B＝30°,∴AB＝错误!＝错误!＝50错误!(m）．］4．在A点观察一塔吊顶的仰角为45°，又A点距塔吊底部距离为45米,则塔吊的高是______米．45 [如图所示,设塔吊为BC,由题意可知△ABC为等腰直角三角形，所以BC＝AB ＝45(米)．]测距离问题【例1】B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是________．5错误!海里［如图，在△ABC中，C＝180°－(B＋A)＝45°，由正弦定理，可得错误!＝错误!，所以BC＝错误!×10＝5错误!（海里）．]求距离问题时应注意的三点（1）选定或确定所求量所在的三角形．若其他量已知，则直接解；若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．(3)测量两个不可到达的点之间的距离问题．首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长问题,然后在相关三角形中利用正弦定理计算其他边．1．（1）为了测量水田两侧A，B两点间的距离(如图所示），某观测者在A的同侧选定一点C，测得AC＝8 m，∠BAC＝30°，∠BCA＝45°，则A,B两点间的距离为________m。
高二数学北师大版必修5教学教案2-3解三角形的实际应用举例(3)Word版含解析
是点C到水平面的垂足，求山高CD。
【例】自动卸货汽车采用液压机构.设计时需要计算油泵顶杆BC的长度（如图所示）.已知车箱最大仰角为60°(指车厢AC与水平线夹角),油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1.95m,AB与水平线之间的夹角为6°20，AC长为1.40m,计算BC的长度(结果精确到0.01m)数学问题？请用符号语言描述。
分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。
解：
答：烟囱的高为29.89m.
巩固练习：
如图，A、B是水平面上的两个点，
相距800m，在A点测得山顶C
的仰角为45°，∠BAD=120°,
3、在解实际问题的过程中，贯穿了数学建模的思想，其流程图可表示为：
培养学生学习的主动性和学后反思的习惯及归纳总结的能力。
六、课后作业
1、必做题：①教材2-3A组第3、4题
②预习教材P59-60。
2、选做题：①教材2-3B组第1题
七、板书设计
2.3解三角形的实际应用举例
1、相关概念
2、解决实际问题过程
①激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值；
②培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决问题的能力；
③进一步培养学生学习、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力。
三、教学重点、难点
1、重点：①实际问题向数学问题的转化。
②掌握运用正、余弦定理等知识方法解三角形的方法。
2、难点：实际问题向数学问题转化思路的确定。
《解三角形的实际应用举例》教学设计
一、教材分析
本节课是学习了正弦定理、余弦定理及三角形中的几何计算之后的一节实际应用课，可以说是为正弦定理、余弦定理的应用而设计的，因此本节课的学习具有理论联系实际的重要作用。在本节课的教学中，用方程的思想作支撑，以具体问题具体分析作指导，引领学生认识问题、分析问题并最终解决问题。
北师大版高中数学必修5第二章《解三角形》之解三角形应用举例(四)
第九课时 §2.3。
4解三角形应用举例（四）一、教学目标1、知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用2、过程与方法：本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。
另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。
只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点。
3、情感态度与价值观：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验二、教学重点：推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目。
教学难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程Ⅰ.课题导入师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。
在ABC 中，边BC 、CA 、AB 上的高分别记为h a 、h b 、h c ，那么它们如何用已知边和角表示？生：h a =bsinC=csinB ，h b =csinA=asinC ，h c =asinB=bsinaA师：根据以前学过的三角形面积公式S=21ah,应用以上求出的高的公式如h a =bsinC 代入，可以推导出下面的三角形面积公式，S=21absinC ，大家能推出其它的几个公式吗？ 生：同理可得，S=21bcsinA, S=21acsinB 师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解Ⅱ.探析新课例1、在∆ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积S （精确到0.1cm 2）（1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5︒;（2）已知B=62.7︒,C=65.8︒,b=3.16cm;（3）已知三边的长分别为a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。
最新-2021学年高中数学北师大版必修5课件：第2章 3 解三角形的实际应用举例 精品
如图 2-3-4，在海岸 A 处发现北偏东 45°方向，距 A 处( 3－1)海里 的 B 处有一艘走私船．在 A 处北偏西 75°方向，距 A 处 2 海里的 C 处的我方缉私 船奉命以 10 3海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以 10 海里/时的速度， 从 B 处向北偏东 30°方向逃窜．问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私 船？并求出所需时间．
∴BC＝ 6海里．
又∵sin∠BCBAC＝sin∠ACABC，
∴sin∠ABC＝AC·siBn∠C BAC＝2·sin
120°＝ 6
22，
∴∠ABC＝45°，∴B 点在 C 点的正东方向上，
∴∠CBD＝90°＋30°＝120°.
在△BCD 中，由正弦定理，得
sin∠BDBCD＝sin∠CDCBD，
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围是0，π2.(
)
(2)方位角大小的范围是[0,2π]，方向角大小的范围一般是0，π2.(
)
(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关
系．( )
【解析】 (1)俯角是铅垂线与水平线所成的角． (2)根据方位角与方向角的定义可知． (3)方位角与方向角都是确定观察点与目标点之间的位置关系． 【答案】 (1)× (2)√ (3)√
求解实际应用中的角度问题时，一般把求角的问题转化为解三角形的问题， 基本方法是：
(1)明确各个角的含义； (2)分析题意，分析已知与所求，画出正确的示意图； (3)将图形中的已知量与未知量之间的关系转化为三角形的边与角的关系，运 用正弦定理求解．
[再练一题] 3．如图 2-3-5 所示，A，B 是海面上位于东西方向相距 5(3＋ 3)海里的两个 观测点，现位于 A 点北偏东 45°，B 点北偏西 60°的 D 点有一艘轮船发出求救信 号，位于 B 点南偏西 60°且与 B 点相距 20 3海里的 C 点的救援船立即前往营救， 其航行速度为 30 海里/时，该救援船到达 D 点需要多长时间？
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应用性问题1．三角形中的有关公式（正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理、三角形面积公式等）； 2．正弦定理和余弦定理解三角形的常见问题有：测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等； 3．实际问题中有关术语、名称．（1）仰角和俯角：在目标视线和水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的角叫仰角；在水平视线下方的角叫俯角（2）方位角：指正北方向顺时针转到目标方向线水平角． 典例分析例1．(1)某人朝正东方走x km 后，向左转1500，然后朝新方向走3km ，结果它离出发点恰好3km ，那么x 等于 （ ）（A ）3 （B ）32 （C ）3或 32 （D ）3 解：C 提示：利用余弦定理（2）甲、乙两楼相距20m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为060，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为030，则甲、乙两楼的高分别是 （ ）A BC m 解：A（3）一只汽球在2250m 的高空飞行，汽球上的工件人员测得前方一座山顶上A 点处的俯角为018，汽球向前飞行了2000m 后，又测得A 点处的俯角为082，则山的高度为（ ）A 1988mB 2096mC 3125mD 2451m 解： B（4）已知轮船A 和轮船B 同时离开C 岛，A 向北偏东025方向，B 向西偏北020方向，若A 的航行速度为25 nmi/h ，B 的速度是A 的35，过三小时后，A 、B 的距离是 ． 解：90.8 nmi(5) 货轮在海上以40km/h 的速度由B 到C 航行， 航向为方位角0140NBC ∠=，A 处有灯塔， 其方位角0110NBA ∠=，在C 处观测灯塔A 的方位角035MCA ∠=，由B 到C 需航行半小时， 则C 到灯塔A 的距离是解：km 提示：由题意知 075BCA ∠=，利用余弦定理或解直角三角形可得。
变式训练1：如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到1）？ 解：连接BC,由余弦定理得BC 2=202+102－2×20×10×cos120°=700. 于是,BC=107.∵sin 20ACB ∠=∴sin∠ACB=73,∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41° ∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B 处救援.例2. 在某海滨城市附近海面有一台风，据检测，当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南(cos 10θθ=方向300 km 的海面P 处，并以20 km / h 的速度向西偏北 45的方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km ，并以10 km / h 的速度不断增加，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？持续多长时间？解：设在时刻t(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km) 若在时刻t 城市O 受到台风的侵袭,则6010+≤t OQ 由余弦定理知OPQ PO PQ PO PQ OQ∠⋅-+=cos 2222由于PO=300,PQ=20t()5445cos cos =-=∠ θOPQ 故2222203009600OQt t =+-()21060t ≤+即2362880t t -+≤ 解得 2412≤≤t答：12小时后该城市受到台风的侵袭，侵袭的时间将持续12小时．变式训练2：如图所示,海岛A 周围38海里内有暗礁，一艘船向正南方向航行，在B 处测得岛A 在船的南偏东030方向上，船航行30海里后，在C 处测得岛A 在船的南偏东045方向上，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？北2010 A B•C解：由题意得，在△ABC 中，BC=30，030B =，0135ACB ∠= 所以 015A =，由正弦定理可知：sin sin BC ACA B= 0030sin15sin 30AC ∴= 所以060cos15AC =， 于是A 到BC 所在直线的距离为000sin 4560cos15sin 45AC =40.9838≈>所以船继续向南航行无触礁危险。
例3. 如图所示，公园内有一块边长2a 的等边△ABC 形状的三角地， 现修成草坪，图中DE 把草坪分成面积相等的两部分，D 在AB 上， E 在AC 上.（1）设AD ()x x a =≥，ED y =，求用x 表示y 的函数关系式； （2）如果DE 是灌溉水管，为节约成本希望它最短，DE 的位置 应该在哪里？如果DE 是参观线路，则希望它最长，DE 的 位置又在哪里？请给予证明.解：（1）在△ABC 中，D 在AB 上，2a x a ∴≤≤S △ADE =12S △ABC 02011sin 60sin 6024x AE AB ∴⋅=⋅ 22a AE x∴= ，在△ADE 中，由余弦定理得：4222242a y x a x =+-2)y a x a ∴=≤≤（2）令 2x t =，则224a t a ≤≤则y =令 42224()2,[,4]a f t t a t a a t =+-∈， 则4242222244(2)(2)()1a t a t a t a f t t t t --+'=-==22(,2) ()0t a a f t '∴∈<当时,；22(2,4) ()0t a a f t '∈>当时, 222222 ()3,(2)2,(4)3f a a f a a f a a ===又22, t a x ∴==当 即 时,y，此时DE∥BC，且AD =224, 2 ta a x a a y ==当 或 即 或 时,，此时DE 为△ABC的边AB 或AC 的中线上.变式训练3：水渠道断面为等腰梯形，如图所示，渠道深为h ，梯形面积为S ，为了使渠道的渗水量达到最小，应使梯形两腰及下底之和达到最小，此时下底角α应该是多少？ 解：设 CD a =，则2,,sin tan h h CD a CB AB a αα===+则， 所以 12()2tan tan h S hS a a h a h αα=++⋅∴=- 设两腰与下底之和为l ， 则22cos 2tan sin sin S h h S l a CB h h h αααα-=+=-+=+⋅ 22212sin3sin cos 2222sin cos 2sin cos 2222S S h h h h ααααααα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪=+⋅=+⋅⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31tan 222tan 2S h h αα⎛⎫⎪=++⋅ ⎪⎪⎝⎭S Sh h h h ⎛ ≥+⋅=+⎝当且仅当31tan 222tan 2αα=时，上式取等号，即当tan 2α=时，上式取等号 0030,602αα∴==即，所以下角060α=时，梯形两腰及下底之和达到最小．例4. 如图，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，OA=2，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC 。
问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？ 解：设AOB α∠=，在△AOB 中，由余弦定理得： 2222cos AB OA OB OA OB AOB =+-⨯⨯∠ 2212212cos 54cos αα=+-⨯⨯⨯=- 于是，四边形OACB 的面积为 S=S △AOB + S △ABC 21sin 2OA OB AB α=⋅ 121sin 4cos )24αα=⨯⨯⨯+-sin2sin()3πααα=-+=-+因为0απ<<，所以当32ππα-=，56πα=，即56AOBπ∠=时，四边形OACB面积最大．变式训练4：如图所示，某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东060的C处，12时20分测得船在海岛北偏西060的B处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km的E 港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？解：轮船从C到B用时80分钟，从B到E用时20分钟，而船始终匀速前进，由此可见：BC=4EB，设EB=x，则则BC=4x，由已知得0030,150BAE EAC∠=∠=在△AEC中，由正弦定理得：sinsinsin sinEC AE AE EACCEAC C EC⋅∠=∴=∠5sin150152x x==在△ABC中，由正弦定理得：sin120sinBC ABC=14sinsin120xBC CAB⋅⋅∴===在△ABE中，由余弦定理得：22202cos30BE AB AE AB AE=+-⋅⋅16312525,33BE=+-⨯==故所以船速3BEvt===。