正方体中角的计算

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立方体顶面和底面的角系数

立方体顶面和底面的角系数
在几何学中，立方体（亦称为正方体）是一个六面体，其所有面都是正方形。

每个角上的角度为90度。

我们可以将立方体想象成一个平面正方形围绕其对角线旋转形成的立体。

立方体的顶面和底面是两个平行的正方形，它们的角系数是相同的。

角系数是指一个多边形中，一个顶点所连接的边的数量。

对于正方形，其角系数为4，因为每个顶点都连接着4条边。

由于立方体的顶面和底面都是正方形，它们的角系数都是4。

此外，立方体的其他四个侧面也是正方形，角系数同样为4。

因此，在整个立方体中，所有角的角系数之和为2（顶面和底面的角系数）+ 4（四个侧面的角系数）= 6。

立方体顶面和底面的角系数均为4。

二年级∠角的各部分名称

二年级∠角的各部分名称角是一个基本的几何概念，被用来描述几何图形的形状。

它可以被定义为两直线段之间的锐角或者钝角。

在几何中，当任意两条直线段以不同的方向相连接时，便形成了一个∠角。

它们决定着几何图形的大小和形状，因此它们对几何图形的绘制至关重要。

在数学中，角可以有多种不同的分类，其中一种尤为重要，便是二年级∠角。

【定义】定义二年级∠角的最基本的性质是，其内角的角度是90°，因此它也称为直角。

它是由两条直线段之间的角度和三条边构成的。

特别的是，直角三角形的两个角都是直角，所以它也可以被称为二年级直角三角形。

【结构】正如此前提到的，二年级∠角有三个部分：直角，锐角和钝角。

这三个部分具有不同的特性。

首先，直角便是所有二年级∠角中角度最小的部分，它的角度大小是90°，是所有其他角度的最小值；其次，锐角是比90°稍大的角度，相比之下，它更加尖锐；最后，钝角比锐角大，它更加平滑。

【类型】接下来，有许多不同类型的二年级∠角，它们的特点不尽相同，其中有定边直角三角形，等腰直角三角形，等边直角三角形，直角梯形，正方形，正方体，正八面体，正二十面体等等。

它们有不同形状和大小，但都具有一个共性，那就是它们具有90°的内角，而且它们的两个直边都重合在一起，形成一条直线。

【应用】既然二年级∠角具有重要的定义，那么它们也被广泛应用于实际生活中。

比如它们可以用来解决几何问题，计算工程的面积和周长，制图等等，它们在建筑物的设计，装饰，建造等方面都发挥了重要的作用。

【总结】总而言之，二年级∠角是一种基本几何概念，它可以被定义为两条直线段之间的锐角或钝角，其特点是其内角的角度是90°，它有三个部分：直角，锐角和钝角，有许多不同的类型，它们被广泛应用于实际生活中，比如解决几何问题，计算工程的面积和周长，制图等等，对几何图形的绘制至关重要。

直线和平面所成的角

直线和平面所成的角直线和平面所成的角，应分三种情况：(1)直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；(2)直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；(3)直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°. 显然，斜线和平面所成角的范围是(0,)2π直线和平面所成的角的范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π.例1、如图，在正方体AC 1中，（1）求BC 1与平面ACC 1A 1所成的角；（2）求A 1B 1与平面A 1C 1B 所成的角的余弦值.解：（1）设所求角为α,先证BD ⊥平面ACC 1A 1，则si n α=si n ∠OC 1B =211=BC OB ,故α=30 (2)△A 1B 1C 1是正三角形，且A 1B 1=B 1C 1=BB 1. ∴棱锥B 1—A 1BC 1是正三棱锥.过B 1作B 1H ⊥平面A 1BC 1，连结A 1H ，∠B 1A 1H 是A 1B 1与平面A 1C 1B 所成的角. 设A 1B 1=a ,则A 1B = a 2,得A 1H=a 36. 故c os ∠B 1A 1H=36111=B A H A ，所求角的余弦值为36. 点评：1.求线面角即求这条直线与它在平面内的射影所成的角，关键在于找或作出直线A 1B 在平面A 1B 1CD 内的射影.2.通过本例我们要进一步明确求线面角的一般步骤，平面的垂线是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用，因此，找或作出平面的垂线是求线面角的关键.3.直线和平面所成的角，是刻画空间位置关系的一类基本几何量，与射影密切相关.其中线面垂直是构成射影的必要条件，而空间各种角的计算方法，都是化为平面图形角的计算.因此，掌握转化的思想方法是解决这类问题的基本功.变式练习：1．已知正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，（1）求直线1AB 和平面1111A B C D 所成的角；（2）求直线1DB 和平面1111A B C D 所成的角的正弦值；2、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AA 1、AB 的中点，求EF 与平面AA 1C 1C 所成角的大小。

高中数学空间的角的计算

面-线-面
0，2
语言叙述
二面角半平面-线-半平面
0，
语言叙述或符号表示
要点三：直线和平面的夹角 1. 有关概念斜线：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫作平面的斜．线．，斜线和平面的交点叫作斜．足．. 射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫作斜线在这个平面上的射影. 斜线与平面的夹角：平面的一条斜线与它在该平面内的射影的夹角叫作该直线与此平面的夹角. 如图， l 是平面的一条斜线，斜足为 O ， OA 是 l 在平面内的射影， POA 就是直线 l 与平面的夹角.
3. “平面间的夹角”不同于“二面角” （1）二面角的有关概念半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫半平面. 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角. 如图，可记作二面角 -a- 或 - AB - .
2
（2）区别：构成范围
表示法
平面间的夹角
2
5
举一反三：
【变式 1】如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD ⊥底面 ABCD ， PD DC ，点 E 是 PC 的中点，作 EF ⊥ PB 交 PB 于点 F ．
（1）求证： PB ⊥平面 EFD ；
（2）求平面与平面的夹角的大小．
【变式 2】在四棱锥 P ABCD 中，侧面 PCD ⊥底面 ABCD ，PD ⊥ CD ，E 为 PC 中点，底面 ABCD 是直角梯形， AB ∥ CD ， ADC=90 ， AB AD PD 1， CD 2 . 设 Q 为侧
11
一、选择题
S
C
B
D
A

四年级奥数：角的分类和角的计算(含答案)

四年级奥数：角的分类和角的计算（含答案）角,既可以用静止的眼光来观察,也可以用运动的眼光来看待．具有公共端点的两条射线组成的图形或一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一位置所成的图形,称为角．角也是几何学的基本图形之一,与角相关的知识有：周角、平角、直角、锐角、钝角、角平分线、数量关系角(如余角、补角)、位置关系角(如邻补角、对顶角)等概念及关系．解与角有关的问题,类似于解与线段相关的问题,常常用到重要概念、分类的思想、代数化的观点等知识与方法．例题【例1】如图是一个3× 3的正方形,则图中∠1+∠2+∠3+…+∠9的度数是．思路点拨除∠3＝∠5＝∠7＝45°外,其他各角的度数无法求出,故不能顺序求和．考虑应用加法的交换律、结合律,关键是对图形进行恰当的处理．【例2】如图．A 、O 、B 在一条直线上,∠1是锐角,则∠1的余角是( )． A ．21∠2一∠l B ．21∠2一23∠1 C ．21（∠2一∠l ） D ．（∠2+∠1）思路点拨 ∠1的余角表示为90°一∠1,化简这个代数式,直至与选择项相符为止．31注：概念是数学的基础与出发点,几何的学习贯彻着丰富的概念,为掌握重要的几何概念,应注意以下几点：(1)重视概念的图化,即用田来反映出概念,做到图意相通．(2)图文互译,由图说出概念,由概念的文字叙述画出图,做到会说、会写、会画． (3)注意概念判定与性质在解题中的双重作用．【例3】已知∠1和∠2互补,∠3和∠2互余,求证∠3=21(∠l 一∠2)．思路点拨依据互补、互余的概念得到含∠l 、∠2、∠3的两个等式,盯住所要达到的目的,恰当处理两个等式．【例4】如图,已知∠AOB 与∠BOC 互为补角,OD 是∠AOB 的平分线,OE 在∠BOC 内,∠BOE=21∠EOC,∠DOE= 72°,求∠EOC 的度数．思路点拨设∠AOB=x 度,∠BOC= y 度,建立x 、y 的方程组,用代数方法解几何问题是一种常用的方法．【例5】(1)如图,已知∠AOB=90°,∠BOC=30°,OM 平分∠AOC,ON 平分之∠BOC,求∠MON 的度数．(2) 如果(1)中∠AOB=α,其他条件不求,求∠MON 的度数．(3) 如果(1)中∠BOC=β（β为锐角）,其他条件不求,求∠MON 的度数．(4)从(1)、(2)、<3)的结果中能得出什么结论?(5)线段的计算与角的计算存在着紧密的联系,它们之间可以互相借鉴解法,请你模仿(1)~(4)设计一道以线段为背景的计算题,写出其中的规律,并给出解答．思路点拨本例层层设问,由易到难,从特殊入手,观察归纳,发现一般规律,并运用类比的方法(线段与角相关概念类比)提出问题,是一个从模仿到创造的过程,根据条件,结合图形寻找图形中各种数量之间的关系是解这类问题的常用方法．注：互余、互补的概念在角的计算与证明中占有重要地位,由这两个概念得到的两个等式,是几何问题代数化的桥梁,方程(组)的应用,可以简洁、清晰地表示出几何量之间的数量关系.探索是数学发现的先导,探索性数学问题是近年出现在中考竞赛中的新题型,解答这类问题,有一个探索发现结论的过程,要对结论论作出判断,这就需要展开观察.试验、类比、归纳、猜测等探索活动,有启迪科学方法的作用,具有创速发现的意义,具有较高层次的训练价值．【例6】钟面上从2点到4点有几次时针与分针的夹角为60°?分别是几点几分? 思路点拨第一次正好为两点整；第二次设为两点x 分时,时针与分针的夹角为60°,则x=10+12x +10,解之得x=21119(分)；第三次设为两点y 分时,时针与分针的夹角为60°,则y+10=12y +15,解之得y=5115 (分)；第四次设为3点z 分,时针与分针的夹角为60°,则z=15+12z +10,解之得z=27113(分)．注：时钟问题的关键是将时针、分针、秒针转动的速度用角表示出来．时针转动的速度为0.5°／分,分针为6°／分,秒针为360°／分．学力训练1．一个角的补角与这个角的余角的度数比为3：l,则这个角是度． 2．钟表时间是2时15分时,时针与分针的夹角是．3．由O 点引出的7条射线如图,若OA ⊥OE,OC ⊥OC,∠BOC>∠FOC,则图中以O 为顶角的锐角共有个．4．如图,O 是直线AB 上一点,∠AOD ＝120°,∠AOC=90°,OE 平分∠BOD,则图中彼此互补的角有对．5．如图,∠AOB=180°,OD 是∠COB 的平分线,OE 是∠AOC 的平分线,设∠BOD=α,则与α的余角相等的角是( )．A ．∠OODB ．∠ODEC ．∠DOAD ．∠COA6．如图,在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB,AC,那么这两条对角线的夹角等于( )． A ．60° B ．75° C ．90° D ．135°注：解钟表上的问题,常用到以下知识：(1)钟表上相邻两个数宇之间有5个小格,每个小格表示1分钟,如与角度联系起来,每小格对应6°．(2)秒钟每分钟转运360°,分针每分钟转过6°,时钟每分钟特过0.5°． (3)画示意图把这类问题看成是行程问题中的追及问题来解决．7．将一长方形纸片按如图的方式折叠,BC 、BD 为折痕,则∠CBD 的度数为( )． A ．60° B ．75° C ．90° D ．95°8．如图,∠1>∠2,那么∠2与21(∠1一∠2)之间的关系是( )． A ．互补 B ．互余 C ．和为45° D ．和为22．5°9．如图,已知A 、O 、E 三点在一条直线上,OB 平分∠AOC,∠AOB+∠DOE=90°,试问：∠COD与∠DOE 之间有怎样的关系?说明理由．10．(1)一副三角板由一个等腰直角三角形和一个含30°角的直角三角形组成．利用这副三角板构成15°角的方法很多,请你画出其中三种不同构成的示意图,并在图上作出必要的标注,不写作法．(2)一个长方形和一个正方形摆放如图,试找出除直角外的互余的角和互补的角． 11．α、β、γ中有两个锐角和一个钝角,其数值已经给出,在计算)(151γβα++的值时,有三位同学分别算出了23°、24°、25°这三个不同的结果,其中确有一个是正确的答案,则γβα++ ．12．如图,O 是直线AB 上一点,∠AOE=∠FOD ＝90°,OB 平分∠COD,图中与∠DOE 互余的是 ,与∠DOE 互补的角是．13．以∠AOB 的顶点O 为端点引射线OC,使∠AOC ：∠BOC=5：4,若∠AOB=15°,则∠AOC 的度数是．14．光线以图所示的角度α照射到平面镜I 上,然后在乎面镜I 、Ⅱ之间来回反射,已知∠α=60°,∠β=50°,则∠γ＝．14．若∠β与∠α互补,∠γ与∠α互余,且∠β与∠γ的和是34个平角,则∠β是∠α的( )．A ．251倍 B ．5倍 C ．11倍 D ．无法确定倍数15．4点钟后,从时针到分针第二次成90°角,共经过( )分钟(答案四舍五入到整数) ．A．60 B．30 C．40 D．3317．如图,从点O引出6条射线OA、OB、OC、OD、OE、OF,且∠AOB＝100°,OF平分∠BOC,∠AOE ＝∠DOE,∠EOF=140°,求∠COD的度数．18．过点O任作7条直线,求证：以O为顶点的角中必有一个小于26°．19．钟面上从2点到4点有几次时钟与分针夹成60°的角?分别是几点几分?20．(1)现有一个19°的“模板”(如图),请你设计一种办法,只用这个“模板”和铅笔在纸上画出1°的角来．(2)现有一个17°的“模板”与铅笔,你能否在纸上画出一个1°的角来?(3)用一个21°的“模板”与铅笔,你能否在纸上画出一个1°的角来?对于(2)、(3)两问,如果能,请你简述画法步骤；如果不能,请你说明理由．参考答案。

正方体数个数的方法

正方体数个数的方法正方体是一个非常常见的几何体，在我们的日常生活中也是经常会用到的一个形状。

有时候我们需要知道一个正方体中包含多少个小立方体，这时候就需要用到一些方法来计算正方体中包含的小立方体的个数。

下面就来介绍一些常用的方法。

方法一：列式计算法我们可以将一个正方体分解成若干个小立方体，每个小立方体的大小相同，然后按照一定规律进行列式计算。

比如对于一个边长为n的正方体，我们可以将其分解成n层，每层有n*n个小立方体，共有n*n*n个小立方体，计算公式为：n*n*n方法二：叠加法我们可以通过将多个正方体叠加在一起来计算其所包含的小立方体的个数。

具体方法是将正方体一个一个堆叠起来，然后数出其中所有的小立方体的个数。

这种方法适用于正方体数量比较少的情况，如果正方体数量很大，这种方法可能比较麻烦。

方法三：立体计数法这种方法比较抽象，需要一定的几何直觉。

我们可以通过将正方体的棱、面、角进行计数来计算其中的小立方体数量。

具体方法是首先计算正方体中的棱的数量，每个小立方体都有三个面与之相邻，所以正方体中的棱的数量为3*n*n，然后计算正方体中的面的数量，每个小立方体都有两个相对的面与之相邻，所以正方体中的面的数量为2*n*n，最后计算正方体中的顶点数量，每个小立方体都有一个顶点，所以正方体中的顶点数量为n*n*n。

然后根据立体计数法，计算其中的小立方体数量为：n*n*n + 2*n*n + 3*n*n以上就是一些常用的计算正方体中小立方体数量的方法，当然还有其他一些方法，但是大多都比较麻烦，不太实用。

使用这些方法可以帮助我们快速准确地计算正方体中小立方体的数量，特别是在一些需要迅速计算正方体数量的问题中，这些方法非常实用。

第2讲立体几何中的空间角问题

(2)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值.
解方法一如图(2)，过点O作OH⊥BD，交直线BD于点H，连接CH.
由ABC－DEF为三棱台，得DF∥CO，
所以直线DF与平面DBC所成角等于直线CO与平面DBC所成角.
由BC⊥平面BDO，得OH⊥BC，又BC∩BD＝B，
故OH⊥平面DBC，
所以∠OCH为直线CO与平面DBC所成角.
(2)(2021·温州模拟)如图，点M，N分别是正四面体ABCD的棱AB，CD上的点，设BM＝x，直线MN与直线BC所成的角为θ，则 A.当ND＝2CN时，θ随着x的增大而增大 B.当ND＝2CN时，θ随着x的增大而减小 C.当CN＝2ND时，θ随着x的增大而减小
√D.当CN＝2ND时，θ随着x的增大而增大
又∵AA1∥B1B，∴BB1⊥BM. 又BM∩BC＝B，BM，BC⊂平面BMC， ∴BB1⊥平面BMC，又CM⊂平面BMC，∴BB1⊥CM.
(2)求直线BM与平面CB1M所成角的正弦值.
解方法一作BG⊥MB1于点G，连接CG. 由(1)知BC⊥平面AA1B1B，得到BC⊥MB1，又BC∩BG＝B，BC，BG⊂平面BCG，
MN＝ x2－3x＋7，
所以在△MNE 中，cos θ＝2
4－x x2－3x＋7
＝12 1＋x2－9－3x5＋x 7(x∈[0,3])，
令 f(x)＝x2－9－3x5＋x 7，
则 f′(x)＝5xx22－－31x8＋x－782<0，
所以f(x)在定义域内单调递减，即x增大，f(x)减小，即cos θ减小，从而θ 增大，故D正确，C错误.
所以在△FNM中， cos θ＝2 x25－－3xx＋7＝21
1＋x21－8－3x7＋x 7(x∈[0,3])，

高中数学立体几何角度和与体积计算方法

高中数学立体几何角度和与体积计算方法在高中数学中，立体几何是一个重要的章节，它涉及到角度和体积的计算方法。

本文将以具体的题目为例，分析和说明这些题目的考点，并给出解题技巧和指导性语言，帮助高中学生或他们的父母更好地理解和应用这些知识。

一、角度计算方法角度是立体几何中一个重要的概念，它可以用来描述物体之间的相对位置关系。

在计算角度时，我们可以利用几何知识和三角函数来求解。

例如，有一道题目如下：已知一个正方体的一个顶点A，以及与这个顶点相邻的两个顶点B和C，求∠BAC的度数。

解题思路：1. 首先，我们可以利用正方体的性质，知道正方体的六个面都是相等的正方形，所以∠BAC的度数应该是90度。

2. 其次，我们可以利用三角函数来计算∠BAC的度数。

根据正方体的性质，我们可以知道AB与AC是两个边长相等的直角三角形，所以可以利用三角函数中的正弦函数来计算∠BAC的度数。

由于∠BAC是直角，所以sin(∠BAC) = 1，所以∠BAC的度数是90度。

通过这个例子，我们可以看到，角度的计算方法可以根据题目的要求来选择合适的方法。

在解题时，我们可以根据题目给出的条件和已知的几何知识来选择合适的计算方法。

二、体积计算方法体积是立体几何中另一个重要的概念，它可以用来描述物体的大小和容积。

在计算体积时，我们可以利用几何知识和公式来求解。

例如，有一道题目如下：已知一个长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm、5cm，求它的体积。

解题思路：1. 首先，我们可以利用长方体的性质，知道长方体的体积可以通过长、宽、高的乘积来计算。

所以这个长方体的体积为3cm × 4cm × 5cm = 60cm³。

2. 其次，我们可以利用公式来计算长方体的体积。

长方体的体积公式为V = lwh，其中V表示体积，l表示长，w表示宽，h表示高。

所以这个长方体的体积为V = 3cm × 4cm × 5cm = 60cm³。

2020年高考数学之冲破压轴题讲与练专题17 立体几何中的最值问题(解析版)

第四章立体几何专题17 立体几何中的最值问题【压轴综述】在立体几何中，判定和证明空间的线线、线面以及面面之间的位置关系(主要是平行与垂直的位置关系)，计算空间图形中的几何量(主要是角与距离)是两类基本问题．在涉及最值的问题中主要有三类，一是距离（长度）的最值问题；二是面（体）积的最值问题；三是在最值已知的条件下，确定参数（其它几何量）的值.从解答思路看，有几何法（利用几何特征）和代数法(应用函数思想、应用基本不等式等)两种，都需要我们正确揭示空间图形与平面图形的联系，并有效地实施空间图形与平面图形的转换．要善于将空间问题转化为平面问题：这一步要求我们具备较强的空间想象能力，对几何体的结构特征要牢牢抓住，有关计算公式熟练掌握.一、涉及几何体切接问题最值计算求解与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径等.通过作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．这样才能进一步将空间问题转化为平面内的问题；二.涉及角的计算最值问题1. 二面角的平面角及其求法有：定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等，依据题目选择方法求出结果．2.求异面直线所成角的步骤:一平移,将两条异面直线平移成相交直线．二定角,根据异面直线所成角的定义找出所成角．三求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角．四结论．3.线面角的计算：（1）利用几何法：原则上先利用图形“找线面角”或者遵循“一做----二证----三计算”. （2）利用向量法求线面角的方法(i分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(ii)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角.下面通过例题说明应对这类问题的方法与技巧.【压轴典例】例1.（2018·全国高考真题（理））已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）A ．334B ．233C ．324D ．32【答案】A 【解析】根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AB D 与线11111,,AA A B A D 所成的角是相等的，所以平面11AB D 与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面1C BD 也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面11AB D 与1C BD 中间的，且过棱的中点的正六边形，且边长为22，所以其面积为232336()424S =⨯⋅=，故选A. 例2.（2018·全国高考真题（文））设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC -体积的最大值为（） A ．123 B ．183C ．243D ．543【答案】B 【解析】如图所示，点M 为三角形ABC 的中心，E 为AC 中点，当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大此时，OD OB R 4===23934ABC S AB ==V Q AB 6∴=,Q 点M 为三角形ABC 的中心2BM 233BE ∴== Rt OMB ∴V 中，有22OM 2OB BM =-=DM OD OM 426∴=+=+=()max 19361833D ABC V -∴=⨯⨯=故选B.例3.（2017·全国高考真题（理））a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60°.其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）【答案】②③ 【解析】由题意知，a 、b 、AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图，不妨设图中所示正方体边长为1，故|AC |＝1，|AB |2=，斜边AB 以直线AC 为旋转轴，则A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆，以C 坐标原点，以CD 为x 轴，CB 为y 轴，CA 为z 轴，建立空间直角坐标系，则D （1，0，0），A （0，0，1），直线a 的方向单位向量a =r （0，1，0），|a r|＝1，直线b 的方向单位向量b =r （1，0，0），|b r|＝1，设B 点在运动过程中的坐标中的坐标B ′（cosθ，sinθ，0），其中θ为B ′C 与CD 的夹角，θ∈[0，2π），∴AB ′在运动过程中的向量，'AB =u u u u r （cosθ，sinθ，﹣1），|'AB u u u u r|2=，设'AB u u u u r与a r所成夹角为α∈[0，2π]，则cosα()()101022'cos sin a AB θθ--⋅==⋅u u uu r r ，，，，|sinθ|∈[0，22]， ∴α∈[4π，2π]，∴③正确，④错误．设'AB u u u u r 与b r 所成夹角为β∈[0，2π]，cosβ()()'110022''AB b cos sin AB b b AB θθ⋅-⋅===⋅⋅u u u u r r u u u u r u u u u r r r ，，，，|cosθ|，当'AB u u u u r与a r 夹角为60°时，即α3π=，|sinθ|22232cos cosπα===， ∵cos 2θ+sin 2θ＝1，∴cosβ22=|cosθ|12=，∵β∈[0，2π]，∴β3π=，此时'AB u u u u r 与b r 的夹角为60°，∴②正确，①错误．故答案为：②③．例4.（2017·全国高考真题（理））如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm 3)的最大值为______．【答案】415 【解析】如下图，连接DO 交BC 于点G ，设D ，E ，F 重合于S 点，正三角形的边长为x (x >0)，则1332OG x =⨯36x =. ∴356FG SG x ==-，222233566SO h SG GO x x ⎛⎫⎛⎫==-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3553x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， ∴三棱锥的体积21133553343ABC V S h x x ⎛⎫=⋅=⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭V 451535123x x =-. 设()45353n x x x =-，x >0，则()3453203n x x x '=-，令()0n x '=，即43403x x -=，得43x =，易知()n x 在43x =处取得最大值. ∴max 15485441512V =⨯⨯-=.例5.（2016·浙江高考真题（理））如图，在ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是 .【答案】【解析】中，因为，所以.由余弦定理可得，所以.设，则，.在中，由余弦定理可得.故.在中，，.由余弦定理可得，所以.由此可得，将ABD沿BD翻折后可与PBD重合，无论点D在任何位置，只要点D的位置确定，当平面PBD⊥平面BDC时，四面体PBCD的体积最大（欲求最大值可不考虑不垂直的情况）.过作直线的垂线，垂足为.设，则，即，解得.而的面积.当平面PBD⊥平面BDC 时：四面体的体积.观察上式，易得，当且仅当，即时取等号，同时我们可以发现当时，取得最小值，故当时，四面体的体积最大，为例6.（2019·安徽芜湖一中高三开学考试）在Rt AOB ∆中，6OAB π∠=，斜边4AB =．Rt AOC ∆可以通过Rt AOB ∆以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --是直二面角．动点D 的斜边AB 上．（1）求证：平面COD ⊥平面AOB ；（2）求直线CD 与平面AOB 所成角的正弦的最大值．【答案】（1）详见解析；（2）277. 【解析】（1）AOB ∆Q 为直角三角形，且斜边为AB ，2AOB π∴∠=.将Rt AOB ∆以直线AO 为轴旋转得到Rt AOC ∆，则2AOC π∠=，即OC AO ⊥.Q 二面角B AO C --是直二面角，即平面AOC ⊥平面AOB .又平面AOC I 平面AOB AO =，OC ⊂平面AOC ，OC ∴⊥平面AOB .OC ⊂Q 平面COD ，因此，平面COD ⊥平面AOB ；（2）在Rt AOB ∆中，6OAB π∠=，斜边4AB =，122OB AB ∴==且3OBA π∠=. 由（1）知，OC ⊥平面AOB ，所以，直线CD 与平面AOB 所成的角为ODC ∠. 在Rt OCD ∆中，2COD π∠=，2OC OB ==，2224CD OD OC OD =+=+，22sin 4OC ODC CD OD ∴∠==+，当⊥OD AB 时，OD 取最小值，此时sin ODC ∠取最大值，且sin33OD OB π==.因此，22227sin 774OC ODC CD OD ∠==≤=+，即直线CD 与平面AOB 所成角的正弦的最大值为277. 例7.（2019·深圳市高级中学高三月考（文））如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且PO ＝OB ＝1.(1)若D 为线段AC 的中点，求证：AC⊥平面PDO ； (2)求三棱锥P －ABC 体积的最大值； (3)若，点E 在线段PB 上，求CE ＋OE 的最小值．【答案】（1）见解析；（2）；（3）【解析】(1)证明：在△AOC中，因为OA＝OC，D为AC的中点，所以AC⊥DO.又PO垂直于圆O所在的平面，所以PO⊥AC.因为DO∩PO＝O，所以AC⊥平面PDO.(2)解：因为点C在圆O上，所以当CO⊥AB时，C到AB的距离最大，且最大值为1.又AB＝2，所以△ABC面积的最大值为.又因为三棱锥P－ABC的高PO＝1，故三棱锥P－ABC体积的最大值为.(3)解：在△POB中，PO＝OB＝1，∠POB＝90°，所以.同理，所以PB＝PC＝BC.在三棱锥P－ABC中，将侧面BCP绕PB旋转至平面BC′P，使之与平面ABP共面，如图所示．当O，E，C′共线时，CE＋OE取得最小值．又因为OP＝OB，，所以垂直平分PB，即E为PB的中点．从而，即CE＋OE的最小值为.例8.（2016·江苏高考真题）现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱（如图所示），并要求正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍.（1）若则仓库的容积是多少？（2）若正四棱锥的侧棱长为，则当为多少时，仓库的容积最大？【答案】（1）312（2）【解析】（1）由PO 1=2知OO 1=4PO 1=8. 因为A 1B 1=AB=6，所以正四棱锥P-A 1B 1C 1D 1的体积正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积所以仓库的容积V=V 锥+V 柱=24+288=312（m 3）.（2）设A 1B 1=a （m ），PO 1=h （m ），则0<h<6，OO 1=4h.连结O 1B 1. 因为在中，所以，即于是仓库的容积，从而. 令，得或（舍）.当时，，V 是单调增函数；当时，，V 是单调减函数.故时，V 取得极大值，也是最大值.因此，当m 时，仓库的容积最大.【压轴训练】1．（2019·四川石室中学高三开学考试（文））在ABC △中，已知23AB =，26BC =，045ABC ∠=，D 是边AC 上一点，将ABD △沿BD 折起，得到三棱锥A BCD -．若该三棱锥的顶点A 在底面BCD 的射影M 在线段BC 上，设BM x =，则x 的取值范围为（） A.()23,26 B.()6,23C.()3,6D.()0,23【答案】B 【解析】由将ABD △沿BD 折起，得到三棱锥A BCD -，且A 在底面BCD 的射影M 在线段BC 上，如图2所示，AM ⊥平面BCD ，则AM BD ⊥，在折叠前图1中，作AM BD ⊥，垂足为N ，在图1中过A 作1AM BC ⊥于点1M ，当运动点D 与点C 无限接近时，折痕BD 接近BC ，此时M 与点1M 无限接近，在图2中，由于AB 是直角ABM ∆的斜边，BM 为直角边，所以BM AB <，由此可得1BM BM AB <<,因为ABC ∆中，023,26,45ABC AB BC ∠===，由余弦定理可得23AC =,所以221(23)(6)6BM =-=，所以623BM <<由于BM x =，所以实数x 的取值范围是()6,23，故选B ．2．（2019·四川高三月考（文））已知球O 表面上的四点A ，B ，C ，P 满足2AC BC ==，2AB =．若四面体PABC 体积的最大值为23，则球O 的表面积为（） A ．254πB ．254π C ．2516π D ．8π【答案】A 【解析】当平面ABP 与平面ABC 垂直时，四面体ABCP 的体积最大．由2AC BC ==，2AB =，得90ACB ︒∠=．设点Р到平面ABC 的距离为h ，则11222323h ⨯⨯⨯⨯=，解得2h =．设四面体ABCP 外接球的半径为R ，则()22221R R =-+，解得5R=4．所以球O 的表面积为2525444ππ⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭．故选：A ．3．（2019·湖南雅礼中学高三月考（理））圆锥的母线长为2，其侧面展开图的中心角为θ弧度，过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为2，则θ的取值范围是（） A ．)2,2ππ⎡⎣ B ．,2ππ⎡⎤⎣⎦C ．{}2πD ．2,2ππ⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【答案】A 【解析】设轴截面的中心角为α，过圆锥顶点的截面的顶角为β，且βα≤ 过圆锥顶点的截面的面积为：122sin β2sin β2⨯⨯⨯=，又过圆锥顶点的截面中，面积的最大值为2，故此时β2π=，故απ2π≤＜圆锥底面半径r )2sin222α⎡=∈⎣，∴侧面展开图的中心角为θ弧度2sin222πsin22απα⨯⨯==∈)2,2ππ⎡⎣故选：A.4．（2019·安徽高考模拟（理））如图，已知四面体ABCD 为正四面体，1AB ＝，E ，F 分别是AD ，BC 中点．若用一个与直线EF 垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面α去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（）A ．14B ．24C ．34D ．1【答案】A 【解析】将正四面体补成正方体，如下图所示：EF α⊥Q ∴截面为平行四边形MNKL ，可得1NK KL +=又//KL BC ，//KN AD ，且AD BC ⊥ KN KL ∴⊥ 可得2124MNKLNK KL S NK KL +⎛⎫=⋅≤=⎪⎝⎭四边形（当且仅当NK KL =时取等号）本题正确选项：A5．（2019·湖北高三月考（理））若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为( ) A ．3 B ．22C ．23D ．33【答案】A 【解析】设正方形的边长为a ，则四棱锥的高为227h a =，正方形对角线长为2a ，则其外接圆的半径22r a =.设球的半径为R ，则()222h R r R -+=，解得44222272727210844108a a R a a a =+=++4322272793441084a a a ≥⋅⋅=，当且仅当42274108a a =，即3a =时等号成立，此时，四棱锥的高为2272739h a ===.故选A. 6．（2019·四川雅安中学高三开学考试（文））已知三棱锥D ABC -四个顶点均在半径为R 的球面上，且2AB BC ==，2AC =，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为（）A.50081πB.1009πC.259πD.4π【答案】B 【解析】2AB BC ==Q ，2AC = 222AB BC AC ∴+= AB BC ∴⊥112ABC S AB BC ∆∴=⋅= 如下图所示：若三棱锥D ABC -体积最大值为1，则点D 到平面ABC 的最大距离：3d = 即：3DO '=设球的半径为R ，则在Rt OAO '∆中：()22213R R =+-，解得：53R =∴球的表面积：210049S R ππ==本题正确选项：B7．（2017·山西高三（理））两球1O 和2O 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的内部，且互相外切，若球1O 与过点A 的正方体的三个面相切，球2O 与过点1C 的正方体的三个面相切，则球1O 和2O 的表面积之和的最小值为( ) A ．()323p - B ．()423p -C ．()323p +D ．()423p +【答案】A 【解析】设球1O 与球2O 的半径分别为r 1,r 2,∴r 1+r 2+3 (r 1+r 2)= 3. r 1+r 2=313+=332-， r 1+r 2⩾212r r ,球1O 与球2O 的面积之和为： S =4π(21r+21r)=4π(r 1+r 2)2−8π12r r ⩾()212π13+−2π()2313+=(6−33)π,当且仅当r 1=r 2时取等号其面积最小值为(6−33)π. 故选A.8．（2019·广东高考模拟（理））平面四边形ABCD 中，2AD AB ==，5CD CB ==，且AD AB ⊥，现将ABD ∆沿对角线BD 翻折成A BD '∆，则在A BD '∆折起至转到平面BCD 的过程中，直线A C '与平面BCD 所成最大角的正切值为（）A ．2B ．12C ．3D ．33【答案】D 【解析】取BD 的中点O,则,,,A B A D BC CD A O BD CO BD '''==∴⊥⊥Q 即BD ⊥平面A OC ',从而平面BCD ⊥平面A OC ',因此A '在平面BCD 的射影在直线OC 上，即A CO '∠为直线A C '与平面BCD 所成角，因为2AD AB ==，5CD CB ==，且AD AB ⊥，所以111,2sin sin sin 22A O A O OC A CO OA C OA C OC '''''==∴∠=∠=∠≤,即A CO '∠最大值为π6，因此直线A C '与平面BCD 所成最大角的正切值为π3tan63=，选D.9．（2019·云南省玉溪第一中学高二月考（理））已知底面边长为42，侧棱长为25的正四棱锥S ABCD -内接于球1O ．若球2O 在球1O 内且与平面ABCD 相切，则球2O 的直径的最大值为__________．【答案】8 【解析】如图所示，正四棱锥S ABCD -内接于球1O ，1SO 与平面ABCD 交于点O ，正方形ABCD 中，42,4AB AO ==，在直角三角形SAO 中，2222(25)42SO SA OA =-=-=，设球1O 的半径为R ，则在直角三角形1OAO 中，222(2)4R R -+=，解得5R =，所以球1O 的直径为10，当求2O 与平面ABCD 相切且与球1O 相切时，球2O 的直径最大，又因为球2SO =，所以球2O 的直径的最大值为1028-=.10．（2019·山西高三月考）已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在半径为3的球面上，AB AC ⊥，则该三棱锥体积的最大值是__．【答案】323【解析】如图所示，设,AB m AC n ==，则12ABCS mn ∆=，ABC ∆外接圆的半径为222m n + 则三棱锥的高为22934m n +-+，三棱锥P ABC -的体积公式为222222111(93)(93)324344m n m n m n mn +++⨯-+≤⨯-+，设224m n t +=，则1()(93)3f t t t =-+，1()93329t f t t t '⎛⎫=--+ ⎪-⎝⎭，令()0f t '=，解得8t =，()f t 在()0,8单增，[]8,9单减，max 32()(8)3f t f ∴==，所以三棱锥P ABC -体积最大值为32311．（2019·云南师大附中高三月考）在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒且14BB =，设其外接球的球心为O ，已知三棱锥O -ABC 的体积为2，则球O 的表面积的最小值是_____________. 【答案】28π 【解析】如图，在Rt ABC △中，设AB c =，=AC b ，则22BC b c =+，取BC ，11B C 的中点分别为2O ，1O ，则2O ，1O 分别为Rt ABC △和111Rt A B C △的外接圆的圆心，连接2O 1O ，又直三棱柱111ABC A B C -的外接球的球心为O ，则O 为2O 1O 的中点，连接OB ，则OB 为三棱柱外接球的半径．设半径为R ，因为直三棱柱111ABC A B C -，所以1214BB O O ==，所以三棱锥O ABC -的高为2，即22OO =，又三棱锥O ABC -体积为2，所以1122632O ABC V bc bc -=⨯⨯=⇒=．在2Rt OO B △中，2222222221()44224b c b c R BC OO ⎛⎫++⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2=4πS R =球表22224π4π()16π2π16π12π16π28π4b c b c bc ⎛⎫++=+++=+= ⎪⎝⎭≥，当且仅当b c =时取“=”，所以球O 的表面积的最小值是28π，故答案为28π.12．（2019·湖南高三月考（文））已知三棱锥A BCD -满足3AB BD DC CA ====，则该三棱锥体积的最大值为________. 【答案】23 【解析】取AD 中点E ，连接BE ，CE ，因为3AB BD DC CA ====，所以BE AD ⊥，CE AD ⊥，且BE CE =，由题意可得，当平面⊥BAD 平面CAD 时，棱锥的高最大，等于BE ，此时体积也最大；所以此时该三棱锥体积为113sin sin 362-∆=⋅⋅=⋅⋅⋅∠⋅=⋅∠A BCD ACD V S BE CA CD ACD BE CE ACD ，设ACD θ∠=，则sin 3cos 22πθθ-⎛⎫=⋅=⎪⎝⎭CE CD ，所以239cos sin 9sin cos 9sin sin 222222θθθθθθ-⎛⎫=⋅=⋅=- ⎪⎝⎭A BCD V ，令sin2θ=x ，因为0θπ<<，所以0sin12θ<<，设3()=-f x x x ，01x <<，则2()13'=-f x x ，由2()130'=->f x x 得303x <<；由2()130'=-<f x x 得313x <<；所以函数3()=-f x x x 在30,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在3,13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减；所以max 333323()33279⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭f x f ，因此三棱锥体积的最大值为239239-=⋅=A BCD V . 故答案为2313．（2019·河南高三月考（文））已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC ∆满足6BA BC ==，2ABC π∠=，若该三棱锥体积的最大值为3．则其外接球的体积为________.【答案】323π 【解析】如图所示：设球心为O ，ABC △所在圆面的圆心为1O ，则1OO ⊥平面ABC ；因为6BA BC ==，2ABC π∠=，所以ABC △是等腰直角三角形，所以1O 是AC 中点；所以当三棱锥体积最大时，P 为射线1O O 与球的交点，所以113p ABC ABC V PO S -=⋅⋅V ；因为16632ABC S =⋅⋅=V ，设球的半径为R ，所以2221113PO PO OO R R AO R R =+=+-=+-，所以()213333R R ⋅+-⋅=，解得：2R =，所以球的体积为：343233R ππ=.14．（2019·四川双流中学高三月考（文））已知球的直径4DC =，A ，B 是该球面上的两点，6ADC BDC π∠=∠=，则三棱锥A BCD -的体积最大值是______.【答案】2 【解析】因为球的直径4DC =，且6ADC BDC π∠=∠=，所以2AC BC ==，23AD BD ==，13A BCD BCD V S h -∆=⨯⨯（其中h 为点A 到底面BCD 的距离），故当h 最大时，A BCD V -的体积最大，即当面ADC ⊥面BDC 时，h 最大且满足4223h =⨯，即3h =，此时112233232A BCD V -=⨯⨯⨯⨯=.15．（2019·河北高三月考）在四棱锥P ABCD -中，PD AC ⊥，AB ⊥平面PAD ，底面ABCD 为正方形，且3CD PD +=，若四棱锥P ABCD -的每个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积的最小值为_____. 【答案】6π 【解析】∵AB⊥平面PAD，∴AB PD⊥，又PD AC⊥，∴PD⊥平面ABCD，则四棱锥P ABCD-可补形成一个长方体，球O的球心为PB的中点，设()03CD x x=<<，则3PD x=-.从而球O的表面积为()()222223431262x x xxπππ⎛⎫++-⎪⎡⎤=-+≥⎣⎦⎪⎝⎭.故答案为6π16.（2016·浙江高考真题（文））如图，已知平面四边形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=5，∠ADC=90°.沿直线AC将V ACD翻折成V ACD'，直线AC与BD' 所成角的余弦的最大值是______.【答案】66【解析】试题分析：如图，连接BD′，设直线AC与'BD所成的角为θ．O是AC的中点.由已知得6AC=，以OB为x轴，OA为y轴，过O与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则60,,02A⎛⎫⎪⎪⎝⎭，30,0,02B⎛⎫⎪⎪⎝⎭，60,,02C⎛⎫-⎪⎪⎝⎭.作DH AC⊥于H，连接D′H 翻折过程中，'D H始终与AC垂直，则21666CDCHCA===，则63OH=，153066DH⨯==，因此30630'cos,,sin636Dαα⎛⎫--⎪⎪⎝⎭（设∠DHD′=α），则3030630'cos,,sin6236BDαα⎛⎫=---⎪⎪⎝⎭u u u u r，与CAu u u r平行的单位向量为()0,1,0n=，所以cos cos',BD nθ=u u u u r''BD nBD n⋅=u u u u ru u u u r＝6395cosα+，所以cos1α=-时，cosθ取得最大值，为66．17．（2019·重庆一中高三开学考试（理））已知正方形ABCD的边长为22，将ABC∆沿对角线AC折起，使平面ABC⊥平面ACD，得到如图所示的三棱锥B-ACD.若O为AC的中点，点M，N分别为DC，BO上的动点（不包括端点），且BN CM=，则当三棱锥N-AMC的体积取得最大值时，点N到平面ACD的距离为______.【答案】1【解析】由题意知，BO AC⊥，而平面ABC⊥平面ACD，所以BO⊥平面ACD，易知BO＝2，设BN x=，三棱锥N AMC-的高为NO，则2NO x=-，由三棱锥体积公式得21122=22(2)(1)3233N AMCV y x x x-=⨯⨯⨯-=--+，∴x＝1时，y max＝23.此时，211NO=-=. 故本题正确答案为1.18．（2019·浙江高三开学考试）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D-中，点M是AD中点，动点P 在底面ABCD 内（不包括边界），使四面体1A BMP 体积为23，则1C P 的最小值是___________．【答案】2305【解析】由已知得四面体1A BMP 体积1122,33A MBP MBP V S -∆=⨯⨯= 所以1,MBPS ∆=设P 到BM 的距离为h ，则151,2MBP S h ∆=⨯⨯= 解得25,5h =所以P 在底面ABCD 内（不包括边界）与BM 平行且距离为255的线段l 上，要使1C P 的最小，则此时P 是过C 作BM 的垂线的垂足.点C 到BM 的距离为45,5所以25,5CP = 此时()221min 252302.55C P ⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭故答案为2305. 19．（2019·安徽合肥一中高考模拟（文））如图，在棱长为 1 的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面ABCD 内（不包括边界），若1//B P 平面1A BM ，则1C P 的最小值是____．【答案】305【解析】取BC中点N，连结11,,B D B N DN，作CO DN⊥，连1C O，因为面1//B DN面面1A BM，所以动点P在底面ABCD内的轨迹为线段DN，当点P与点O重合时，1C P取得最小值，因为1115222552DN CO DC NC CO⋅=⋅⇒==，所以221min11130()155C P C O CO CC==+=+=.20．（2019·湖南高三期末（文））点P在正方体1111ABCD A B C D-的侧面11BCC B及其边界上运动，并保持1AP BD⊥，若正方体边长为2，则PB的取值范围是__________．【答案】2,2⎡⎤⎣⎦【解析】连结1AB，AC，1CB，易知平面11ACB BD ⊥，故P 点的轨道为线段1CB ，当P 在1CB 中点时：最小为2 当P 与C 或1B 重合时：最大值为2则PB 的取值范围是2,2⎡⎤⎣⎦. 故答案为：2,2⎡⎤⎣⎦。

正方体的表面积和体积公式

正方体的表面积和体积公式
正方体是一种非常常见的几何体，它的六个面都是正方形，每个角都是直角，边长相等。

正方体的表面积和体积是我们在学习几何学时必须掌握的基本概念。

我们来看正方体的表面积公式。

正方体的表面积是指正方体六个面的总面积。

由于每个面都是正方形，所以每个面的面积都是边长的平方。

因此，正方体的表面积公式为：表面积 = 6 × 边长 × 边长 = 6 × 边长²。

接下来，我们来看正方体的体积公式。

正方体的体积是指正方体所占的空间大小。

由于正方体的六个面都是相等的，所以正方体的体积公式为：体积 = 边长 × 边长 × 边长 = 边长³。

正方体的表面积和体积公式是我们在学习几何学时必须掌握的基本概念。

在实际生活中，正方体也是非常常见的几何体。

例如，我们常见的骰子就是一个正方体，它的边长为1厘米，表面积为6平方厘米，体积为1立方厘米。

又如，我们常见的冰箱、书柜等家具也常采用正方体的形状，因为正方体的结构稳定，易于制作和使用。

在学习正方体的表面积和体积公式时，我们还需要注意一些相关的概念。

例如，正方体的对角线长度为边长的√3倍，正方体的空间对角线长度为边长的√2倍。

此外，正方体的表面积和体积也可以用来计算其他几何体的表面积和体积，例如长方体、正方形棱柱等。

正方体的表面积和体积公式是我们在学习几何学时必须掌握的基本概念。

通过学习正方体的表面积和体积公式，我们可以更好地理解几何学的基本概念，也可以更好地应用几何学知识解决实际问题。

正方体中的等边三角形-概述说明以及解释

正方体中的等边三角形-概述说明以及解释1.引言1.1 概述正方体是一种特殊的立方体，它具有六个面，每个面都是一个正方形。

等边三角形是一种具有三条边长度相等的三角形。

本文将对正方体中存在的等边三角形进行深入研究。

正方体作为一个几何体，在数学和几何学中具有重要的地位。

它不仅在自然界中随处可见，如骰子、沙漏等形状，也广泛应用于建筑、工程和科学研究中。

对正方体的研究有助于我们更好地理解空间、尺寸和几何关系。

等边三角形作为一种特殊的三角形，具有独特的属性和性质。

其中最重要的性质是三条边的长度相等，且每个角均为60度。

等边三角形在数学和物理学中有广泛的应用，例如在计算三角函数、解决力学问题和构建稳定结构等方面。

本文将首先介绍正方体的特性，包括其形状、面积、体积等基本概念。

然后，将探讨等边三角形的性质，如角度关系、边长计算等。

在此基础上，我们将进一步研究正方体中存在的等边三角形，并给出相关结论。

最后，我们将对整篇文章进行总结，强调正方体中等边三角形的重要性和应用前景。

通过对正方体中的等边三角形进行深入研究，我们可以更好地理解正方体的特性和几何关系，并将其应用于实际问题中。

本文旨在为读者提供关于正方体和等边三角形的全面而深入的知识，以期增加对几何学的理解和应用能力。

1.2文章结构文章结构部分的内容应该包括对整篇文章的组织和布局进行描述。

以下是一个可能的内容示例:在本文中，我将首先介绍正方体的特性，包括它的定义、性质和结构。

然后，我将探讨等边三角形的性质，包括其定义、构造和性质。

紧接着，我将通过定理和证明，讨论正方体中存在的等边三角形的情况。

最后，我将总结文章的主要结论，并提出一些思考和展望。

通过上述文章结构，读者将能够清楚地了解本文的组织和内容安排。

首先，我们将介绍正方体的特性，为后续讨论提供基础知识。

接着，我们将深入探讨等边三角形的性质，帮助读者更好地理解正方体中的等边三角形。

随后，我们将阐述正方体中存在的等边三角形的情况，并提供相应的证明和解释。

长方体和正方体的正对角线和斜对角线计算公式

长方体和正方体的正对角线和斜对角线计算公式长方体是一种具有6个矩形面的立体图形，其中相对的两个面是相等的，同时相对的边也是相等的。

长方体的对角线分为正对角线和斜对角线。

接下来，我将分别介绍长方体和正方体的正对角线和斜对角线的计算公式。

1. 长方体的正对角线计算公式：长方体的正对角线是连接立方体相对角上的一条线段。

设长方体的长、宽、高分别为L、W和H，则正对角线的长度D可以通过以下公式计算：D = √(L^2 + W^2 + H^2)其中√表示平方根。

2. 长方体的斜对角线计算公式：长方体的斜对角线是连接长方体对角上的一条线段。

设长方体的长、宽、高分别为L、W和H，则斜对角线的长度d可以通过以下公式计算：d = √(L^2 + W^2 + H^2)同样，其中√表示平方根。

3. 正方体的正对角线计算公式：正方体是一种特殊的长方体，其中长、宽和高相等。

设正方体的边长为a，则正对角线的长度D可以通过以下公式计算：D = √(a^2 + a^2 + a^2) = √3a4. 正方体的斜对角线计算公式：正方体的斜对角线是连接正方体对角上的一条线段。

设正方体的边长为a，则斜对角线的长度d可以通过以下公式计算：d = √(a^2 + a^2 + a^2) = √3a通过以上公式，我们可以轻松计算长方体和正方体的正对角线和斜对角线的长度。

这些公式的推导基于勾股定理，根据立体图形的几何特点可得出。

总结一下：- 长方体的正对角线计算公式：D = √(L^2 + W^2 + H^2)- 长方体的斜对角线计算公式：d = √(L^2 + W^2 + H^2)- 正方体的正对角线计算公式：D = √3a- 正方体的斜对角线计算公式：d = √3a通过这些计算公式，我们可以方便地求解长方体和正方体的对角线长度，为进一步研究和应用这些几何图形提供了基础。

边长为1的正方体在空间直角坐标系中的表示

边长为1的正方体在空间直角坐标系中的表示一、引言正方体是几何学中一个非常基础的几何体，它有许多有趣的性质和特点。

当我们讨论边长为1的正方体在空间直角坐标系中的表示时，我们可以通过数学方法和图形表达来深入理解它的特性。

二、基本概念1. 正方体的定义：正方体是一个六个面都是正方形的立体。

2. 空间直角坐标系：空间直角坐标系是三维空间中用三条相互垂直的坐标轴来确定一个点的坐标系。

3. 边长为1的正方体的表示：我们可以通过在空间直角坐标系中确定八个顶点来表示一个边长为1的正方体。

三、坐标表示在空间直角坐标系中，我们可以使用坐标点的形式来表示正方体的顶点。

假设正方体的一个顶点在坐标系中的位置为(0, 0, 0)，我们可以通过移动这个点来确定其他七个顶点的坐标，从而完整地表示整个正方体。

1. 顶点坐标的确定：顶点的坐标可以表示为(x, y, z)，其中x、y、z分别代表顶点在空间直角坐标系中的横坐标、纵坐标和高度坐标。

通过移动(0, 0, 0)点，我们可以确定另外七个顶点的坐标，分别为(1, 0, 0)、(0, 1, 0)、(0, 0, 1)、(1, 1, 0)、(1, 0, 1)、(0, 1, 1)、(1, 1, 1)。

2. 图形表示：除了使用坐标点来表示正方体的顶点外，我们还可以通过连接这些顶点来绘制正方体的图形，从而更直观地理解正方体在空间直角坐标系中的表示。

四、性质探讨1. 对称性：边长为1的正方体在空间直角坐标系中具有许多对称性，如镜像对称、轴对称等。

这些对称性对于研究正方体的性质和应用具有重要意义。

2. 体对角线：边长为1的正方体的体对角线长度为√3。

这一性质可以通过空间直角坐标系中两点之间距离的计算得到，并且对于许多实际问题具有指导意义。

3. 表面积和体积：通过正方体在空间直角坐标系中的表示，我们可以计算出它的表面积和体积。

这两个参数是描述正方体大小和形状特征的重要指标，对于工程设计、建筑规划等领域具有重要意义。

正方体棱长计算公式

正方体棱长计算公式正方体是最简单的几何体之一，其所有面都是正方形，六个面之间相互平行且相互垂直，这使得它们非常容易计算。

在计算正方体时，其中一个最基本的参数是棱长，它决定着正方体的大小。

正方体的“棱长”指的是正方体的一条边的长度，因此，只需知道其中一条边的长度，就可以计算出整个正方体的各项参数。

正方体的体积和表面积都与棱长相关。

具体公式如下：正方体体积的计算公式为：V = a³，其中 a 代表正方体的棱长。

这里的³符号代表“立方”，意味着 a 的三次方，即a × a × a，也就是 a 的立方。

正方体表面积的计算公式为：S = 6a²，其中 a 代表正方体的棱长。

这里的²符号代表“平方”，意味着 a 的二次方，即a × a，也就是 a 的平方。

以上公式不仅适用于计算正方体的体积和表面积，也可用于计算它的对角线、中心角的余弦等其他参数。

因此，当我们知道正方体的一条边的长度时，我们可以轻松地计算出正方体的所有重要参数，而无需进行额外的测量或计算。

除了上述公式外，我们还可以使用三角函数来计算正方体的一些参数。

例如，如果我们知道正方体的两个相邻面之间的夹角θ，那么我们可以使用余弦函数来计算正方体的对角线 d，即：d = a/cos(θ/2)。

这种方法通常被用于研究立方体集成电路中的晶体管等细微结构的特性。

在计算正方体的棱长时，我们需要注意，它必须是正数。

因此在实际测量时，如果我们遇到了负值，需要对其进行修正，以确保最终的结果正确无误。

总之，计算正方体的棱长是计算其它各种参数的基本步骤，并且该步骤非常简单和直接。

无论是专业人士还是学生，任何人都可以通过这种方法轻松地计算正方体的各种参数，从而更好地理解和应用该几何体的性质和特点。

四年级折角求度数的题目

以下是一个四年级折角求度数的题目：
有一个正方形，对角线与邻边垂直。

已知正方形的一边长为6厘米，那么这个正方形的对角线长是多少厘米？
解法如下：
1. 首先，我们知道正方形有4个相等的边，所以如果一边长为6厘米，那么四边的总长就是6×4=24厘米。

2. 正方形的对角线与邻边垂直，因此，对角线与两邻边构成一个直角三角形。

3. 在直角三角形中，我们知道勾股定理：直角边的平方和等于斜边的平方。

4. 根据题目，我们知道一个直角边的长度为6厘米（即正方形的边长）。

5. 那么，我们可以根据勾股定理计算出斜边的长度，即对角线的长度。

具体计算过程如下：
设对角线的长度为 x 厘米。

根据勾股定理，我们有：6^2 + 6^2 = x^2
所以，x^2 = 6^2 + 6^2 = 72
x = √72 = 6√2
所以，这个正方形的对角线长为6√2 厘米。

一次数学活动课后张明用17个棱长为一的小正方体解析

一次数学活动课后张明用17个棱长为一的小
正方体解析
在一次数学活动课后，张明用17个棱长为一的小正方体进行了解析。

这个活
动旨在帮助学生深入理解立体几何中正方体的性质和特点。

张明首先将这17个小正方体排列成一个大正方体的形状。

由于每个小正方体
的棱长都为一，所以大正方体的边长为17个单位。

通过这个排列，张明展示了如
何将小正方体拼接在一起形成一个整体。

接下来，张明解析了这个大正方体的各种特点。

首先，他计算了大正方体的体积。

由于每个小正方体的体积为1，所以整个大正方体的体积为17立方单位。

然后，张明计算了大正方体的表面积。

由于大正方体有6个面，每个面上都有17个小正方体，所以整个大正方体的表面积为6乘以17的平方，即为：6乘以289，结果为1734平方单位。

除了体积和表面积，张明还探究了大正方体的对角线长度。

通过应用勾股定理，他计算出大正方体的对角线长度为17√3个单位。

通过这次数学活动，张明不仅加深了对立体几何的理解，还通过计算探究了大
正方体的各种特征。

这种实际操作和解析思维相结合的学习方式，让学生更加直观地理解数学知识，并提高了他们的解决问题的能力。

这样的活动可以激发学生对数学的兴趣，培养他们的逻辑思维和创造力，为他们的数学学习打下坚实的基础。

正方体的六组线面垂直关系

缘愿
窑窑摇渊圆园员园年第源期窑高中版冤摇摇摇摇摇摇摇
数学探究
正方体的六组线面垂直关系
猿远源园园园摇福建省龙岩第一中学摇胡寅年
摇摇正方体是空间图形中特殊且内涵丰富的几何图形之一袁在正方体中能反映空间基本的线线关系尧线面关系尧面面关系渊尤其是平行垂直关系冤援通过对正方体的截割袁可以得到多种多样的柱体尧锥体尧台体噎噎援可以说袁正方体是研究空间线面位置关系的一个重要载体袁也是展开空间想象的一个重要依托援那么袁哪些是正方体丰富的线线尧线面尧面面平行垂直关系钥哪些方面体现了正方体与其他几何体之间的内在关系钥对此袁历年全国高考试题都作了很好的诠释袁它对于立体几何的复习也是一个很好的导向援
面角的大小袁求贼葬灶兹援
窑数学探究窑摇摇摇摇摇摇
摇渊圆园员园年第源期窑高中版冤
缘怨
解摇渊员冤略
渊圆冤如图苑袁郧酝彝月云袁又月酝彝月悦袁
所以
蚁月郧酝越蚁悦云月袁
月酝越月郧窑贼葬灶蚁月郧酝越月郧窑贼葬灶蚁悦云月
越月郧窑月悦越
圆
猿窑
越员袁
悦云猿圆
因为粤耘椅月酝袁粤耘越月酝袁所以四边形粤月酝耘为平行
陌生的情境袁考查正方体线面垂直关系的直接运用援
由图形员袁圆袁在一个正方体中袁一个表面有四条棱与
之垂直袁正方体的六个表面构成了圆源个野正交线面对冶曰
而正方体的六个对角面中袁每个对角面又有两条面对角
线与之垂直袁正方体的六个对角面构成了员圆个野正交线
面对冶袁所以共有猿远个野正交线面对冶援

正方体的体对角线公式

正方体的体对角线公式正方体是一种特殊的立体形状，它的六个面都是正方形，所有的面都是相等的。

正方体的体对角线是从一个角到对角的线段，它贯穿了正方体的内部，通过正方体的两个相对的顶点。

在本文中，我们将讨论如何计算正方体的体对角线长度。

首先，我们需要明确正方体的一些基本概念。

设正方体的边长为a，顶点A为正方体的一个顶点，我们要计算的是从顶点A到对角的顶点B的线段长度。

首先，我们可以通过使用勾股定理来计算正方体的一条边的对角线长度。

根据勾股定理，正方体的边长为a的一条边的对角线长度为√(a²+a²)=√(2a²)=a√2、这个结果意味着正方体一条边的对角线长度等于该边长的乘以√2现在，我们将使用这个结果来计算正方体的体对角线长度。

我们知道正方体的体对角线是从顶点A到对角的顶点B的线段，通过正方体的内部。

因为正方体有六个面，并且中心对称，可以通过角度的对称性简化计算。

我们知道体对角线穿过顶点A和对角顶点B，所以它必然经过中心C。

让我们以经过顶点A的体对角线为例。

顶点A到中心C的距离可以通过使用勾股定理计算。

因为中心C是一个正方体的一个对角线的中点，所以距离AC等于体对角线长度的一半。

所以AC=a√2/2=a√2/2√2=a/2、现在，我们可以使用勾股定理来计算体对角线长度。

从中心C到对角顶点B的距离可以表示为√((a/2)²+(a/2)²)=√(2*(a/2)²)=√(a²/2)=a/√2综上所述，正方体的体对角线长度等于边长的除以√2、可以表示为：D=a/√2、这是一个简单而方便的公式，可以用于计算正方体的体对角线长度。

在实际问题中，可以使用这个公式来求解正方体的体对角线长度。

需要注意的是，题目未给出具体的边长或者具体的数值，所以上述公式中的a表示正方体的边长，D表示体对角线的长度。

小学数学数正方体练习题

小学数学数正方体练习题正方体是一种立体几何体，具有六个面，每个面都是一个正方形。

在小学数学中，学生需要掌握正方体的特征和计算相关的问题。

下面是一些小学数学数正方体的练习题，通过练习这些题目，学生可以加深对正方体的理解和应用。

1. 计算正方体的体积和表面积已知一个正方体的边长为a，求其体积和表面积。

2. 计算正方体的对角线长度已知一个正方体的边长为a，求其对角线的长度。

3. 求正方体的体对角线长度已知一个正方体的边长为a，求其体对角线的长度。

4. 求正方体的各个相邻顶点之间的距离已知一个正方体的边长为a，求其各个相邻顶点之间的距离。

5. 计算正方体除去一个顶点后的表面积已知一个正方体的边长为a，求将其中一个顶点去掉后，剩余部分的表面积。

6. 求正方体的长、宽、高已知一个正方体的表面积为A，求其长、宽、高。

7. 求正方体的体积已知一个正方体的表面积为A，求其体积。

8. 判断给定的几个边长是否可以构成正方体给定四个边长为a、b、c、d，判断是否可以构成一个正方体。

以上是一些小学数学数正方体的练习题，学生可以根据自己的知识和经验来解答。

通过解答这些题目，可以巩固对正方体的了解，培养数学思维和解决问题的能力。

在解答这些题目时，学生需要记住正方体的特征：六个面都是正方形，每个面都有相同的边长。

同时，学生还需要掌握计算体积、表面积、距离和对角线长度的公式。

希望学生能够通过这些练习题，提高数学能力，提升对几何知识的理解和应用。

数学是一门重要的学科，掌握好数学知识将对学生的学习和未来的发展产生积极的影响。

好好加油吧！。

正方体容积的公式

正方体容积的公式正方体容积的公式是边长的三次方。

正方体是一种特殊的立方体，它的六个面都是正方形，每个角都是直角。

正方体是我们日常生活中经常接触到的几何体之一，它具有很多有趣的特性和应用。

我们来看一下正方体的形状和结构。

正方体的六个面都是完全相同的正方形，所以我们只需要知道其中一个面的边长，就可以确定整个正方体的形状。

假设正方体的边长为a，那么它的体积V就可以用公式V = a³来表示。

这个公式的意思是，正方体的体积等于边长的三次方。

正方体的容积是用来衡量正方体所占据的空间大小的。

具体来说，容积是指一个几何体所包含的三维空间的量度。

对于正方体来说，容积就是它所占据的空间大小。

正方体的容积的单位通常是立方厘米（cm³）或立方米（m³），具体要根据实际情况来确定。

正方体的容积公式是边长的三次方，这意味着正方体的容积与边长成正比。

如果我们知道了正方体的边长，就可以通过计算边长的三次方来得到正方体的容积。

举个例子，如果一个正方体的边长是2厘米，那么它的容积就是2³ = 8立方厘米。

正方体的容积有很多实际应用。

例如，在建筑和工程领域，我们经常需要计算正方体的容积来确定需要多少材料或物质来填充或覆盖一个空间。

另外，正方体的容积也在物理学和化学中有广泛的应用，例如计算物体的密度或溶液的浓度等。

除了容积，正方体还有一些其他的特性和性质。

例如，正方体的六个面都是相等的正方形，所以它的表面积也可以通过边长来计算。

正方体的表面积公式是6a²，其中a是边长。

正方体的对角线长度也可以通过边长来计算，公式是√3a。

总结一下，正方体的容积公式是边长的三次方，表示正方体所占据的空间大小。

正方体的容积与边长成正比，可以通过计算边长的三次方来得到。

正方体的容积在建筑、工程、物理学和化学等领域有广泛的应用。

正方体还有其他的特性和性质，如表面积和对角线长度，可以通过边长来计算。

正方体是一种常见的几何体，了解它的特性和应用对我们的日常生活和学习都有帮助。