随机过程知识点汇总
第二章 随机过程总结
2.2.1、随机过程的概率分布
随机过程 ，在每一固定时刻 都是随机变量。 随机事件：
发生概率：
， 和
，
，
1、一维分布函数 与 和 都有直接的关系，是 和 的 二元函数，记为： (2.2.1) 被称为随机过程的一维分布函数。 2、一维概率密度函数 如果存在二元函数 ，使 (2.2.2) 成立,则称 为随机过程的一维概率密度函 数, 是 和 的二元函数，且满足 (2.2.3)
(1) 正态随机过程由数学期望和相关函数详细描述。 (2) 复杂背景下目标识别、跟踪所依赖的有效依据 仍然是目标在时间、空间的特征。
图2-2-1 云层背景下的飞机
• 由随机过程的定义2，可知随机过程是随机 变量集合：
1、数学期望(均值函数) 随机过程 在任意时刻 的取值是一随机变 量 ，随机过程 的数学期望 或 ， 即 (2.2.15) 数学期望 的取值与时刻 是有直接联系 的，是时刻 的函数。它是该随机过程在各 个时刻的摆动中心。
证明： 根据题意，则随机过程的自相关函数
(2.3.6)
式中， 。
例2.7 设有随机过程 任意时刻的随机变量是 高斯的，有概率密度函数
若其任意观察时刻组的随机变量是相互独立 的，试判断 是否为严平稳过程。 解：在任意n个时刻 ，随机过程的n 个随机变量是相互独立的，即
显然， 的任意n阶概率密度函数对观察点 时刻组 是平稳的。所以 是严平稳 随机过程。
随机过程知识点汇总
随机过程知识点汇总
随机过程是指一组随机变量{X(t)}，其中t属于某个集合T，每个随机变量X(t)都与一个时刻t相关联。
２．随机过程的分类
随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。
离散时间随机过程是指在离散的时间点上取值的随机过程，例如随机游走。
连续时间随机过程是指在连续的时间区间上取值的随机过程，例如XXX运动。
３．随机过程的数字特征
随机过程的数字特征包括均值函数和自相关函数。
均值函数E[X(t)]描述了随机过程在不同时刻的平均取值。
自相关函数R(t1,t2)描述了随机过程在不同时刻的相关程度。
４．平稳随机过程
平稳随机过程是指其均值函数和自相关函数都不随时间变化而变化的随机过程。
弱平稳随机过程的自相关函数只与时间差有关，而不依赖于具体的时间点。
强平稳随机过程的概率分布在时间上是不变的。
５．高斯随机过程
高斯随机过程是指其任意有限个随机变量的线性组合都服从正态分布的随机过程。
高斯随机过程的均值函数和自相关函数可以唯一确定该过程。
６．马尔可夫随机过程
马尔可夫随机过程是指其在给定当前状态下，未来状态的条件概率分布只依赖于当前状态，而与过去状态无关的随机过程。
马尔可夫性质可以用转移概率矩阵描述，并且可以用马尔可夫链来建模。
７．泊松过程
泊松过程是指在一个时间段内随机事件发生的次数服从泊松分布的随机过程。
泊松过程的重要性质是独立增量和平稳增量。
８．随机过程的应用
随机过程在金融学、信号处理、通信工程、控制理论等领域有广泛的应用。例如，布朗运动被广泛应用于金融学中的期权定价，马尔可夫链被应用于自然语言处理中的语言模型。
随机过程知识点总结
知识点总结
第1章 概率论基础
1.1概论空间
随机试验，它是指其结果不能事先确定且在相同条件下可以重复进行的试验。 其中，一个试验所有可能出现的结果的全体称为随机试验的样本空间，记为Ω，试验的一个结果称为样本点，记为ω，即}{ω=Ω. 样本空间的某个子集称为随机事件，简称事件.
定义1.1.1 设Ω样本空间，是Ω的某些子集构成的集合，如果：
（1）∈
Ω （2）若∈A ，则∈
A
（3）若∈
n A ，，， ,21n =则
∈
∞
= 1
n n
A
那么称为一事件域，也称
为σ域.
显然，如果是一事件域，那么
（1）∈
φ
（2）若∈B A ,，则∈
-B A
（3）若∈
n A ， ∞
==1
n n 2,1n A ，则，
，
定义 1.1.2 设Ω是样本空间，
是一事件域，定义在上的实值函数
)(⋅P 如果满足：
（1）∈
∀A 0)(,≥A P ，
（2）1)(=ΩP ， （3）若∈
n A ,,2,1, =n 且,,2,1,,, =≠=j i j i A A j i φ则
∞=∞
=∑=1
1
)()(n n n n A P A P
那么称P 是二元组（,Ω)上的概率，称P (A )为事件A 的概率，称三元组,(Ω)
,P 为概率空间。
关于事件的概率具有如下性质：
（1）
;0)(=φP
（2）若∈
n
A ,,,2,1,,,,,,2,1,n j i j i A A n i j i =≠==φ 则
n
i n
i i i A P A P 1
1
)()(==∑=
（3）若∈B A ,,,B A ⊂则）A P B P A B P ()()(-=-
（4）若∈B A ,)()(,,B P A P B A ≤⊂则； （5）若∈A ;1)(,≤A P 则
随机过程知识点总结
∞
1、 = ∫−∞ ()
= ∑ ( )
= [( − )( − )]
=
√√
2、 特征函数
∞
∞
g() = [
]=∫
−∞
3、 = g
′ (0)(−)
2
= g
第二章
() 或 ∑ ( )
4.4 步转移概率的渐近性质与平稳分布
1、 如非常返或零常返，则
()
lim
→∞
= 0,
∀ ∈
有限状态的马氏链，不可能全是非常返状态，也不可能含有零常返状态，从而不可约的
有限状态的马氏链必为正常返的。
如马氏链有一个零常返状态，则必有无限多个零常返状态。
2、 对平稳分布{ , ∈ }，有
1−
=
令 = 0
0 =
1 −
1−
(1 − 1 ) = 1 ⇒ 1 − 1 =
1−
1 −
− 1 −
−
×
=
1−
1 −
1 −
7、 天气预报问题（二阶马尔可夫链）
表示连续两天有雨，记为状态 0；表示第 1 天无雨第 2 天有雨，记为状态 1；表示
=1
∞
非常返
< 1
()
高等数学中的随机过程相关知识点详解
高等数学中的随机过程相关知识点详解
近年来，随机过程被越来越多的人所关注和使用。作为高等数
学的一个分支，随机过程具有广泛的应用领域，包括金融、医学、生物学等等。在本文中，将详细解析高等数学中的随机过程相关
知识点，帮助读者更好地理解和应用这一领域的知识。
一、概率论基础
在进行随机过程的学习之前，我们需要了解一些概率论的基础
知识。概率论是确定不确定性的一种科学方法，它研究的是随机
事件的发生规律和概率计算方法。在概率论中，有一些基本概念
和公式，包括概率、条件概率、概率分布、随机变量等等。
1.1 概率
概率是指一个事件发生的可能性大小。通常用P来表示，它的
取值范围是0到1。当P=0时，表示这个事件不可能发生；当P=1时，表示这个事件一定会发生。例如，掷一枚硬币正面朝上的概
率为1/2，或者说P=0.5。
1.2 条件概率
条件概率是指在已知某些条件下，某个事件发生的概率。通常
用P(A|B)来表示，表示在B发生的情况下，A发生的概率。例如，从一副牌中摸两张牌，第一张是红桃，第二张是黑桃的概率为
P(第二张是黑桃|第一张是红桃)=26/51。
1.3 概率分布
概率分布是指所有可能事件发生的概率分布，它是概率论的基础。在不同的情况下，概率分布也是不同的。例如，在离散型随
机变量中，概率分布通常以概率质量函数的形式给出；而在连续
性随机变量中，概率分布通常以概率密度函数的形式给出。
1.4 随机变量
随机变量是一种随机事件的数学描述。它通常用大写字母表示，如X、Y、Z等等。根据其取值的类型，随机变量可以分为离散型
和连续型。离散型随机变量只能取到有限或可数个值，如掷硬币、
随机过程知识点汇总
第一章随机过程得基本概念与基本类型 一. 随机变量及其分布
1. 随机变量，分布函数
离散型随机变量得概率分布用分布列 连续型随机变量得概率分布用概率密度
2. n 维随机变量
离散型
联合分布列
连续型联合概率密度
3 .随机变量得数字特征
数学期望：离散型随机变量 连续型随机变量
方差：
反映随机变量取值得离散程度 协方差(两个随机变量): 相关系数(两个随机变量):
独立不相关
4 .特征函数
离散 连续
重要性质:,,，
5 .常见随机变量得分布列或概率密度、期望、 0 — 1分布
二项分布 泊松分布 正态分布 指数分布
6 .N 维正态随机变量得联合概率密度
”正定协方差阵
二. 随机过程得基本概念
1 .随机过程得一般定义
设就是概率空间，就是给定得参数集 上得随机过程。简记为。
含义：随机过程就是随机现象得变化过程，用一族随机变量才能刻画出这种随机现象得全部统计规 律性。另一方面，它就是某种随机实验得结果，而实验出现得样本函数就是随机得。
当固定时，就是随机变量。当固定时，时普通函数，称为随机过程得一个样本函数或轨道。
分类:根据参数集与状态空间就是否可列，分四类。也可以根据之间得概率关系分类，如独立增量 过程,马尔可夫过程，平稳过程等。
2 .随机过程得分布律与数字特征
用有限维分布函数族来刻划随机过程得统计规律性。随机过程得一维分布 ，二维分布，…，维分布
得
全体称为有限维分布函数族。随机过程得有限维分布函数族就是随机过程概率特征得完整描述。 在实
际中，要知道随机过程得全部有限维分布函数族就是不可能得 ，因此用某些统计特征来取代。
随机过程个人总结
随机过程个人总结
随机过程是一种数学工具，用于描述随机变量随时间的变化。它是一组随机变量的集合，每个随机变量表示系统在不同时间点上的状态。
随机过程具有以下特点：
1. 基本元素：随机过程由样本空间、状态空间、时间空间和随机变量等基本元素组成。
2. 状态空间：随机过程的状态空间描述系统所能取到的所有状态。
3. 时间空间：时间空间定义了随机过程的时间轴，用于描述系统的演变过程。
4. 随机变量：随机过程中的每个状态对应一个随机变量，表示系统在对应时间点上的
取值。
5. 独立性：随机过程中的随机变量之间可能具有相互独立性，也可能存在相关性。
6. 马尔可夫性：马尔可夫性是随机过程的重要特点，它表示在给定现在状态的条件下，未来状态与过去状态无关。
7. 特定形式：随机过程可以根据其性质的不同分为不同的类型，如离散时间随机过程
和连续时间随机过程。
个人总结：随机过程是一种有序的随机变量序列，用于描述随机现象的演化过程。它
是概率论与统计学的重要分支，应用广泛，例如在信号处理、金融工程、通信系统等
领域都有重要应用。掌握随机过程的基本概念和性质，对于理解和分析随机现象具有
重要意义。
随机过程重点
1.平稳过程:随机过程的变化只和时间差（t-s）有关，和时间起点t0没有关系。
2.遍历性:简单的理解就是一个粒子在足够长的时间能够到达所有状态空间上的点。
第三章:
最主要的是排队的问题，也就是像例3.1.1/3.1.2/3.1.3/3.2.1这样的都是很基本的计算可能会穿插在题目里面。
第四章:
Poisson过程的推广，我觉得大概可能不会考……嗯……是酱紫的……
第五章:
1.将来只与现在有关，与过去无关
2.状态转移，就是那个矩阵的那个，也是比较简单的，至于考不考，怎么考……就不太清楚……还是要掌握的……
3.n步转移和C-K方程以及后面的例题啊神马神马的，就是状态转移的推广，，，
4.状态的分类及性质:互通、一个类、常返、非常返，零常返……
5.后面的应用里人口结构变化模型没有讲
6.连续时间马氏链5.5.3/5.5.4也都没有8BB2
第六章:
1.鞅来源于赌博，表示的是第n次赌博的收获情况（也就是赢钱/输钱的情况）
2.随机过程第n-1次赌博完后手上的钱，包含了之前的一切信息。
3.如果每次赌博的输赢的机会是均等的，并且赌博是公平的，经过长时期后，期望收益和最初的相同。
4.上鞅:对参与者有利；下鞅:对赌场老板有利
5.例题
6.1.3/6.1.4/6.1.5都没怎么讲提了一下
6.例题6.2.4/6.2.5/6.2.6/定理6.2.2推论6.2.1
7.停时定理6.2.2没讲
8.鞅的收敛定理:金融市场的投资会使得资产增加，但是不会变得无穷，一直投资下去，资产的期望值等于初始的期望；金融工程:构造一个凸函数形成下鞅；期权是构造价值标的资产凸函数。
2.5节随机过程相关知识
• 功率谱密度
Pn (
f
)
n0 2
0
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f fH 其它
– 由上式可见，白噪声的功率谱密度被限制在| f |
fH内，通常把这样的噪声也称为带限白噪声。
• 自相关函数
R( )
n0
fH
sin 2f H 2f H
31
由曲线看出，这 种带限白噪声只 有在
k / 2 f H (k 1,2,3,)
上得到的随机 变量才不相关。
随机过程简介
1
1 随机过程的基本概念 随机过程是一类随时间作随机变化的过程，
可以从两种不同角度来描述： 角度1：随机过程是对应不同随机试验结果的时
间过程的集合。例如设有n台性能完全相同的 接收机，它们的工作条件也完全相同。现在用
n台示波器同时观测并记录这n台接收机的输出
噪声波形 。测试结果表明，尽管测试设备和
实际中，例如通过窄带系统的噪声必然是窄带随机过程。
19
示意图：
窄带条件：
f fc
fc 0
可视为 包络缓慢变化
的正弦波
20
– 窄带随机过程的表示式
(t) a (t) cos[ct (t)] , a (t) 0
式中，a (t) － 随机包络， (t) － 随机相位
c － 中心角频率
随机过程的基本知识
• 解：X2 (t) =E(X(t)X(t))=E{AAcos(t)cos(t)}=cos^2(t)E(A^2) • =cos^2(t)(1x1+2x2+3x3)/3= 14 cos2 (t)
3
2 X
(t
)
E{[
X
(t
)
E(
X
(t))]2}
E{[
A
cos(t)
cos(t)E(
A)]2}
E{[ Acos(t) 2 cos(t)]2} E{cos2 (t)( A2 4A 4)}
对于任意的正整数n, 任意的实数t1, t2 ,...,tn属于T
定义
F(x1, x2,...,xn;t1,t2,...,tn ) P{X (t1) x1, X (t2 ) x2,...,X (tn ) xn}
• 称作随机过程{X(t),t属于T}的一个n维分布函数。
n维分布函数的意义
• (X(1),X(2))是二维随机变量，它的分布函数 就是一个二维分布函数
• 解：对于任意的t1,t2,…,tn, • 考虑任意的实数 l1, l2 ,...ln ,证 l1X (t1) l2 X (t2 ) ... ln X (tn ) • 服从一维正态分布
n
n
l1X (t1) l2 X (t2 ) ... ln X (tn ) lk X (tk ) lk ( A cos(tk ) B sin(tk ))
随机过程知识点汇总52047
第一章 随机过程的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布
1．随机变量X ， 分布函数)()(x X P x F ≤=
离散型随机变量X 的概率分布用分布列 )(k k x X P p == 分布函数∑=k
p
x F )(
连续型随机变量X 的概率分布用概率密度)(x f 分布函数⎰
∞
-=x
dt t f x F )()(
2．n 维随机变量),,,(21n X X X X =
其联合分布函数),,,,(),,,()(221121n n n x X x X x X P x x x F x F ≤≤≤== 离散型 联合分布列 连续型 联合概率密度 ３．随机变量的数字特征
数学期望：离散型随机变量X ∑=
k k
p x
EX 连续型随机变量X ⎰∞
∞-=dx x xf EX )(
方差：2
2
2
)()(EX EX EX X E DX -=-= 反映随机变量取值的离散程度 协方差（两个随机变量Y X ,）：EY EX XY E EY Y EX X E B XY ⋅-=--=)()])([( 相关系数（两个随机变量Y X ,）：DY
DX B XY XY ⋅=
ρ 若0=ρ，则称Y X ,不相关。
独立⇒不相关⇔0=ρ
４．特征函数)()(itX
e
E t g = 离散 ∑=k itx p e t g k )( 连续 ⎰∞
∞
-=dx x f e t g itx )()(
重要性质：1)0(=g ，1)(≤t g ，)()(t g t g =-，k k k EX i g =)0(
５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差
(完整)随机过程总结,推荐文档
第一章随机变量基础
1历史上哪些学者对随机过程学科的基础理论做出了突出贡献？
答:随机过程整个学科的理论基础是由柯尔莫哥洛夫和杜布奠定的。这一学科最早源于对物理学的研究，如吉布斯、玻尔兹曼、庞加莱等人对统计力学的研究，及后来爱因斯坦、维纳、莱维等人对布朗运动的开创性工作。1907年前后，马尔可夫研究了一系列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链。1923年维纳给出布朗运动的数学定义，直到今日这一过程仍是重要的研究课题。随机过程一般理论的研究通常认为开始于20世纪30年代。1931年，柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》，1934年A·辛饮发表了《平稳过程的相关理论》，这两篇著作奠定了马尔可夫过程与平稳过程的理论基础。1953年，杜布出版了名著《随机过程论》，系统且严格地叙述了随机过程基本理论。
2 全概率公式的含义？
答：全概率公式的含义就是各种可能发生的情况的概率之和为1。
3 概率空间有哪几个要素，其概念体现了对随机信号什么样的建模思想？
答：样本空间、事件集合、概率函数称为概率空间的三要素。概率函数建立了随机事件与可描述随机事件可能性大小的实数间的对应关系，因此，概率空间是在观测者观测前对随机事件发生的可能性大小进行了量化，其有效性是通过多次观测体现出来的，也即在多次观测中，某个随机事件发生的频率可直接认为与其发生的概率相等，所以，概率空间的建模思想实际是对大量观测中某随机事件发生频率的稳定性的描述。
4 可用哪些概率函数完全描述一个随机变量？
答：概率分布函数（cdf）、概率密度函数（pdf）、特征函数（cf）、概率生成函数（gf）。
第3章 随机过程重点
若一个随机过程是各态历经性的，则它必是平稳的，反之不一定成立。
4、广义平稳随机过程的自相关函数 的性质：
(1) ；(2)R(0)等于总平均功率；(3) ，即R(0百度文库为最大值；(4) ，即 表示直流功率；(5) ，即 为交流功率。
5、高斯随机过程的性质：
高斯过程的概率分布服从正态分布，它的完全统计描述只需要它的数字特征。其一维分布的概率密度函数为 ，其中a为均值，即对称轴，表示分布中心； 为方差，表示集中程度，f(x)随 的减小二变高、变窄； ， ， ；当a=0 时，f(x)为标准的正态分布。
高斯过程若是广义平稳的，则它也是严平稳的。
6、平稳随机过程通过线性系统
平稳随机过程通过线性系统后，其输出过程也是平稳随机过程。
均值是a的平稳随机过程通过线性系统后，其输出的平稳随机过程的均值为 。
功率谱密度是 的平稳随机过程通过线性系统后，其输出的平稳随机过程的功率谱密度是 。
高斯随机过程通过线性系统后，其输出仍是高斯的。
(2)其包络 的一维分布是瑞利分布；相位 的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言， 和 是统计独立的。
以上两个结论在带通传输系统的抗噪声性能分析中会用于分析噪声（平稳高斯窄带过程）。
3.随机过程基本知识
f1(x3,t3)
t1
t2
t3
2) 随机过程ξ(t)的一维概率密度函数
如果F1(x1, t1)对x1的偏导数存在，即有
F1( x1, t1) x1
f1( x1, t1)
为ξ(t)的一维概率密度函数。
显然，随机过程的一维分布函数或一维概率密度函数仅仅描
述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性，而没有说明随机过
f (x1, x2;t1t2 )
则称f2(x1,x2; t1,t2)为ξ(t)的二维概率密度函数。
5) 随机过程ξ(t)的n维概率密度函数
同理，任给t1, t2, …, tn∈T, 则ξ(t)的n维分布函数被定义为 Fn(x1,x2,…,xn; t1,t2,…,tn)=P｛ξ(t1)≤x1,ξ(t2)≤x2,…, ξ(tn)≤xn｝
随机过程的数学期望a(t)通常为一时间函数，它表示随机过程各时刻数学
期望值随时间的变化情况，反映随机过程在霎时间上集中的位置。方差 σ2(t)或均方差表示随机过程在时刻t对于均值a(t)的偏差程度，一般也是时
间函数。 为了反映随机过程不同时刻之间的内在统计特性，采用方差函数
B(t1,t2)和相关函数R(t1,t2)。当B(t1,t2)及R(t1,t2)取自同一个随机过程时， 分别称为自协协方差函数和自相关函数；当取自两个随机过程时，如ξ(t)
叫做随机过程ξ(t)={xi(t)}
随机过程知识点总结
第一章：
考试范围1.3,1.4
1、计算指数分布的矩母函数.
2、计算标准正态分布)1,0(~N X 的矩母函数.
3、计算标准正态分布)1,0(~N X 的特征函数.
第二章：
1. 随机过程的均值函数、协方差函数与自相关函数
2. 宽平稳过程、均值遍历性的定义及定理
3. 独立增量过程、平稳增量过程，独立增量是平稳增量的充要条件
1、设随机过程()Z t X Yt =+，t -∞<<∞.若已知二维随机变量(,)X Y 的协方差矩阵为2122σρρσ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，求()Z t 的协方差函数. 2、设有随机过程{(),}X t t T ∈和常数a ，()()()Y t X t a X t =+-，t T ∈，计算()Y t 的自相关函数（用(,)X R s t 表示）.
3、设12()cos sin X t Z t Z t λλ=+，其中212,~(0,)Z Z N σ是独立同分布的随机变量，λ为
实数，证明()X t 是宽平稳过程.
4、设有随机过程()sin cos Z t X t Y t =+，其中X 和Y 是相互独立的随机变量，它们都分别以0.5和0.5的概率取值-1和1，证明()Z t 是宽平稳过程.
第三章：
1. 泊松过程的定义（定义3.1.2）及相关概率计算
2. 与泊松过程相联系的若干分布及其概率计算
3. 复合泊松过程和条件泊松过程的定义
1、设{(),0}N t t ≥是参数3λ=的Poisson 过程，计算：
(1). {(1)3}P N ≤； (2). {(1)1,(3)3}P N N ==； (3). {(1)2(1)1}P N N ≥≥.
随机过程知识点汇总
第一章随机过程的基本概念与基本类型一．随机变量及其分布1．随机变量，分布函数离散型随机变量的概率分布用分布列分布函数连续型随机变量的概率分布用概率密度分布函数2．n 维随机变量其联合分布函数离散型联合分布列连续型联合概率密度
3 .随机变量的数字特征
数学期望：离散型随机变量连续型随机变量
方差：反映随机变量取值的离散程度协方差（两个随机变量）：
相关系数（两个随机变量）：若，则称不相关。
独立不相关
4•特征函数离散连续
重要性质：，，，
5 •常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差
0 — 1分布
二项分布泊松分布均匀分布略
正态分布
指数分布
6.N维正态随机变量的联合概率密度，，正定协方差阵
二.随机过程的基本概念
1.随机过程的一般定义设是概率空间，是给定的参数集，若对每个，都有一个随机变量与之对应，则称随机变量族是上的随机过程。简记为。
含义：随机过程是随机现象的变化过程，用一族随机变量才能刻画出这种随机现象的全部统计规律性。另一方面，它是某种随机实验的结果，而实验出现的样本函数是随机的。
当固定时，是随机变量。当固定时，时普通函数，称为随机过程的一个样本函数或轨道。分类：根据参数集和状态空间是否可列，分四类。也可以根据之间的概率关系分类，如独立增
量过程，马尔可夫过程，平稳过程等。
2 .随机过程的分布律和数字特征
用有限维分布函数族来刻划随机过程的统计规律性。随机过程的一维分布，二维分布，…，维分布的全体称为有限维分布函数族。随机过程的有限维分布函数族是随机过程概率特征的完整描述。在实际中，要知道随机过程的全部有限维分布函数族是不可能的，因此用某些统计特征来取代。
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第一章随机过程的基本概念与基本类型
一．随机变量及其分布
1．随机变量X，分布函数F(x)P(X x)
离散型随机变量X的概率分布用分布列p k P(X x)分布函数F(x)p k
k
连续型随机变量X的概率分布用概率密度f(x)分布函数
x
F(x)f(t)dt
2．n维随机变量X(X1,X2,,X n)
其联合分布函数()(1,x,,x n)P(X x,X x,,X n x n,)
F x F x
21122
离散型联合分布列连续型联合概率密度
３．随机变量的数字特征
数学期望：离散型随机变量X E X x k p连续型随机变量X EX xf(x)dx
k
方差：2() 2
2
DX E(X EX)EX EX反映随机变量取值的离散程度
协方差（两个随机变量X,Y）：B XY E[(X EX)(Y EY)]E(XY)EX EY
相关系数（两个随机变量X,Y）：
B XY
XY若0，则称X,Y不相关。
DX DY
独立不相关0
itX ４．特征函数g(t)E(e)离散g(t)e连续g(t)e f x dx itx p itx()
k
k
重要性质：g(0)1，g(t)1，g(t)g(t)，k i k EX
g(0)
k ５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差
０－１分布P(X1)p,P(X0)q EX p DX pq
二项分布k k n k
P(X k)C n p q EX np DX n p q
k
泊松分布P(X k)e EX DX均匀分布略
k!
2正态分布N(a,)
2
(x a)
1
2
f(x)e EX a
2
2
D X2
指数分布f(x)
e
0,
x1
,x0
EX
x0
DX
1
2
６．Ｎ维正态随机变量(X1,X,,X n)
X的联合概率密度X~N(a,B)
2
f(
11
T1
x1,x,,x)exp{(x a)B(x a)} 2n
n1
2
22
(2)|B|
a(a1,a2,,a n)，x(x1,x2,,x n)，B(b ij)n n正定协方差阵
二．随机过程的基本概念
１．随机过程的一般定义
设
(,P)是概率空间，T是给定的参数集，若对每个t T，都有一个随机变量X与之对应，
则称随机变量族X(t,e),t T是(,P)上的随机过程。简记为X(t),t T。
含义：随机过程是随机现象的变化过程，用一族随机变量才能刻画出这种随机现象的全部统计规
律性。另一方面，它是某种随机实验的结果，而实验出现的样本函数是随机的。
当
t固定时，X(t,e)是随机变量。当e固定时，X(t,e)时普通函数，称为随机过程的一个样本
函数或轨道。
分类：根据参数集T和状态空间I是否可列，分四类。也可以根据X(t)之间的概率关系分类，如独立增量过程，马尔可夫过程，平稳
过程等
。
２．随机过程的分布律和数字特征
用有限维分布函数族来刻划随机过程的统计规律性。随机过程X(t),t T的一维分布，二维分布，⋯，n维分布的全体称为有限维分布函数族。随机过程的有限维分布函数族是随机过程概率特征
的完整描述。在实际中，要知道随机过程的全部有限维分布函数族是不可能的，因此用某些
统计特征
来取代。
（１）均值函数
m X(t)EX(t)表示随机过程X(t),t T在时刻t的平均值。
（２）方差函数2
D X(t)E[X(t)m X(t)]表示随机过程在时刻t对均值的偏离程度。
（３）协方差函数B
X
(s,t)E[(X(
E[X
s)
(s)
m
(
s
)
)
(t)
(s)
m
X
m
X
(t)
(t))]
且有
B(t,t)D(t)
X X
(
X
X(t)]
m
（４）相关函数R(s,t)E[X(s)X(t)]
X(3)和(4)表示随机过程在时刻s，t时的线性相关程度。（５）互相关函数：X(t),t T，Y(t),t T是两个二阶距过程，则下式称为它们的互协方差函数。
B
X Y
(s,t)E[(
E[
X
X
(s)
(s)Y
m
X
(t)]
(s))(
m
X
Y(t)m
Y
(s)m(t)
Y
(t))]
，那么R(s,t)E[X(s)Y(t)]
XY，称为互相关函数。
若E[X(s)Y(t)]m(s)m(t)
X，则称两个随机过程不相关。
Y
３．复随机过程Z t X t jY t
均值函数m Z(t)EX jEY方差函数
t t
2E Z m t Z m t
D Z(t)E[|Z t m Z(t)|][(t Z())(t Z(
))]
协方差函数B
Z
(s,t)E[(Z
s
m
Z
(s))(Z
t
m
Z
(t))]
相关函数R Z(s,t)E[Z s Z t] E[Z
s
Z
t
]m
Z
(s)m
Z
(t)
４．常用的随机过程
（１）二阶距过程：实（或复）随机过程X(t),t T，若对每一个t T，都有2
E X(t)（二阶距存在），则称该随机过程为二阶距过程。
（2）正交增量过程：设X(t),t T是零均值的二阶距过程，对任意的t1t2t3t4T，有
E[(X2)X(t X(t)X(t))]0，则称该随机过程为正交增量过程。
(t))(
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2s t 其协方差函数B X(s,t)R X(s,t)X
(min(,))
（3）独立增量过程：随机过程X(t),t T，若对任意正整数n2，以及任意的t t t T
1，
2n
随机变量X(2)X(t),X(t)X(t),,X(t n)X(t n)是相互独立的，则称X(t),t T是独立t
1431
增量过程。进一步，如X(t),t T是独立增量过程，对任意s t，随机变量X(t)X(s)的分
布仅依赖于t s，则称X(t),t T是平稳独立增量过程。
（4）马尔可夫过程：如果随机过程X(t),t T具有马尔可夫性，即对任意正整数n及
t1t2n，P(X(t1)x1,,X(t n1)x n1)0，都有
t T