《相似三角形的应用举例》中考真题

相似三角形的应用举例

1. （2011浙江金华，9，3分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直.如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（ ） A.600m B.500m C.400m D.300m

【答案】B

2. （2011浙江丽水，9，3分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直.

如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（ ）

A.600m

B.500m

C.400m

D.300m

【答案】B 3. （2011湖南怀化，21，10分）如图8，△ABC,是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高，

B C=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG 是宽HE 的2倍的矩形EFGH ，使它的一边EF 在B

C 上，顶点G 、H 分别在AC ，AB 上，A

D 与HG 的交点为M.

(1) 求证：;AM HG AD BC

(2) 求这个矩形EFGH 的周长.

【答案】

(1) 解：∵四边形EFGH 为矩形

∴EF∥GH

∴∠AHG=∠ABC

又∵∠HAG=∠BAC

∴ △AHG∽△ABC ∴

;AM HG AD BC = （2）由（1）得

;AM HG AD BC =设HE=x ，则HG=2x ，AM=AD-DM=AD-HE=30-x 可得40

23030x x =-，解得，x=12 ， 2x=24 所以矩形EFGH 的周长为2×（12+24）=72cm.

4. （2011上海，25，14分）在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =30，AB =50．点P 是AB 边上任意一点，直线PE ⊥AB ，与边AC 或BC 相交于E ．点M 在线段AP 上，点N 在线段BP 上，EM =EN ，sin ∠EMP =

1213

． （1）如图1，当点E 与点C 重合时，求CM 的长；

（2）如图2，当点E 在边AC 上时，点E 不与点A 、C 重合，设AP =x ，BN =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；

（3）若△AME ∽△ENB （△AME 的顶点A 、M 、E 分别与△ENB 的顶点E 、N 、B 对应），求AP 的长．

图1 图2 备用图

【答案】（1）∵∠ACB =90°，∴AC ．

∵S =12

AB CP ⋅⋅=1

2

AC BC ⋅⋅, ∴CP =AC BC AB ⋅=403050

⨯=24． 在Rt△CPM 中，∵sin∠EMP =1213

， ∴1213CP CM =．

∴CM =

1312CP =132412

⨯=26． （2）由△APE ∽△ACB ，得PE AP BC AC =，即3040PE x =，∴PE =34

x ． 在Rt△MPE 中，∵sin∠EMP =1213，∴1213

PE ME =． ∴EM =1312PE =133124x ⨯=1316x ．

∴PM =PN 516x ． ∵AP +PN +NB =50，∴x +

516x +y =50． ∴y =215016

x -+(0 < x < 32)． （3）

第三问：由于给出对应顶点，那么解法一可以直接运用相似和三角比求出对应边长再列比例式求解。本题还可以通过角度之间的关系转换求解，个人认为从角度入手更加简洁直观方法如下：

①当点E 在线段AC 上时，

△AME ∽△ENB ，

AM ME EN NB =．∵EM =EN ，∴2EM AM NB =⋅．设AP =x ，由（2）知EM =1316

x ，AM =x PM -=5111616x x x -=，NB =215016x -+． ∴2

131121(50)1616

16x x x ⎛⎫=⋅-+ ⎪⎝⎭ 解得x 1=22，x 2=0（舍去）．

即AP =22．

② 当点E 在线段BC 上时，

根据外角定理，△ACE ∽△EPM ，∴

125AC EP CE MP ==．∴CE =512AC =503．设AP =x ，易得BE =5(50)3

x -，∴CE =305(50)3x --．∴305(50)3x --=503．解得x =42．即AP =42．

∴AP 的长为22或42．

5. （2011四川绵阳25，14）

已知△ABC 是等腰直角三角形，∠A =90°，D 是腰AC 上的一个动点，过C 作CE 垂直于BD 或BD 的延长线，垂足为E ,如图1.

(1)若BD 是AC 的中线，如图2，求BD CE 的值；

(2)若BD 是∠ABC 的角平分线，如图3，求BD CE

的值； (3)结合（1)、（2)，请你推断BD CE 的值的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究BD CE 的值能小于43

吗？若能，求出满足条件的D 点的位置；若不能，请说明理由.

B

B C

【答案】(1)设AD=x,则AB=2x,根据勾股定理，可得BD=5x,∵△ABD ∽△CDE,

BD AB CE CD =,可得CE=25x,所以BD CE =52

（2）设AD=x,根据角平分线定理，可知DC=2x ，AB=2x+x,由 勾股定理可知BD=（4+22）x ² △ABD ∽△CDE

，AB EC AD DE ==,∴

BD CE

=2, (3)由前面两步的结论可以看出，1BD CE

≥,所以这样的点是存在的，D 在AC 边的五等分点和点A 之间 6. （2011湖北武汉市，24，10分）（本题满分10分） （1）如图1，在△ABC 中，点D ，E ，Q 分别在AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，AQ 交DE 于点P ．求证：

QC PE BQ DP =． （2） 如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上，连接AG ，AF 分别交DE 于M ，N 两点．

①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN 的长；