第一章 函数&第二章 极限

第一章 函数一、本章学习要求与内容提要1.函数的定义 (1) 函数的定义定义1 设x 和y 是两个变量,D 是一个给定的数集,如果对于每个数D x ∈,变量y 按照一定法则总有惟一确定的数值与其对应,则称y 是x 的函数,记作)(x f y =.数集D 称为该函数的定义域, x 称为自变量, y 称为因变量.当自变量x 取数值0x 时，因变量y 按照法则f 所取定的数值称为函数)(x f y =在点0x 处的函数值，记作)(0x f .当自变量x 遍取定义域D 的每个数值时,对应的函数值的全体组成的数集W ={}D x x f y y ∈=),(称为函数的值域.定义2 设D 与B 是两个非空实数集，如果存在一个对应规则f ，使得对D 中任何一个实数x ，在B 中都有惟一确定的实数y 与x 对应，则对应规则f 称为在D 上的函数，记为B D f y x f →→: :或,y 称为x 对应的函数值，记为D x x f y ∈=),(,其中，x 称为自变量，y 称为因变量.由定义2知, 函数是一种对应规则，在函数)(x f y =中，f 表示函数，)(x f 是对应于自变量x 的函数值，但在研究函数时，这种对应关系总是通过函数值表现出来的，所以习惯上常把在x 处的函数值y 称为函数，并用)(x f y =的形式表示y 是x 的函数.但应正确理解，函数的本质是指对应规则f .例如104(23-+=x x x f ）就是一个特定的函数，f 确定的对应规则为10)(4)()(23-+=f就是一个函数.(2) 函数的两要素函数)(x f y =的定义域D 是自变量x 的取值范围，而函数值y 又是由对应规则f 来确定的，所以函数实质上是由其定义域D 和对应规则f 所确定的，因此通常称函数的定义域和对应规则为函数的两个要素.也就是说，只要两个函数的定义域相同，对应规则也相同，就称这两个函数为相同的函数，与变量用什么符号表示无关，如2v z x y ==与，就是相同的函数.2． 函数的三种表示方法(1) 图像法 (2) 表格法 (3) 公式法在用公式法表示函数时经常遇到下面几种情况： ① 分段函数在自变量的不同取值范围内，用不同的公式表示的函数，称为分段函数.如⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<≤<+=,52,ln ,20,,0,1)(2x x x x x x x f就是一个定义在区间]5,(-∞上的分段函数.② 用参数方程确定的函数 用参数方程 ⎩⎨⎧ψ=ϕ=)()(t y t x （t ∈Ι）表示的变量x 与y 之间的函数关系，称为用参数方程确定的函数.例如函数)]1,1[(12-∈-=x xy 可以用参数方程)0(sin cos π≤≤⎩⎨⎧=t tty 表示.③ 隐函数如果在方程0),(=y x F 中，当x 在某区间I 内任意取定一个值时，相应地总有满足该 方程的惟一的y 值存在，则称方程0),(=y x F 在区间I 内确定了一个隐函数.例如方程01e =-+xy x 就确定了变量y 是变量x 之间的函数关系.注意 能表示成)(x f y =(其中)(x f 仅为x 的解析式)的形式的函数,称为显函数. 把 一个隐函数化成显函数的过程称为隐函数的显化.例如01e =-+xy x可以化成显函数xy x e 1-=.但有些隐函数确不可能化成显函数,例如-+xy x e 0e =y .3． 函数的四种特性设函数)(x f y =的定义域为区间D ，函数的四种特性如下表所示.函数的四种特性表4． 基本初等函数六种基本初等函数见下表5. 反函数、复合函数和初等函数二、主要解题方法1．求函数定义域的方法 例1 求下列函数的定义域: (1) y =216x -+x sin ln ，(2) y =)12arcsin(312-+-xx .小结 函数由解析式给出时，其定义域是使解析式子有意义的一切函数.为此求函数的定义域时应遵守以下原则：(I) 在式子中分母不能为零； (II)在偶次根式内非负；(III)在对数中真数大于零；(IV)反三角函数 x x arccos ,arcsin ，要满足1≤x ；(V)两函数和（差）的定义域，应是两函数定义域的公共部分； (VI) 分段函数的定义域是各段定义域的并集.(VII)求复合函数的定义域时，一般是外层向里层逐步求. 2．将复合函数分解成基本初等函数或简单函数的方法 例2 将下列复合函数分解成基本初等函数或简单函数(1) 11sin 22+=x y（2） )e ln(tan sin 22xxy +=.小结 （I ）复合函数的复合过程是由里到外，函数套函数而成的.分解复合函数，是采取由外到内层层分解的办法.从而拆成若干基本初等函数或基本初等函数的四则运算.（II ）基本初等函数经有限次四则运算所得到的函数称为简单函数. 3． 建立实际问题的函数模型的方法运用数学工具解决实际问题时，通常要先找出变量间的函数关系，用数学式子表示出来，然后再进行分析和计算.建立函数模型的具体步骤可为 ：(1) 分析问题中哪些是变量，哪些是常量，分别用字母表示.(2) 根据所给条件，运用数学、物理、经济及其他知识，确定等量关系.(3) 具体写出解析式)(x f y =，并指明其定义域.第二章极限一、本章学习要求与内容提要１．极限的定义(1) 函数极限、数列极限的描述性定义极限定义表①A x f x =∞→)(lim 的充分必要条件是=+∞→)(lim x f x A x f x =-∞→)(lim ． ②A x f xx =→)(lim 0的充分必要条件是=-→)(lim 0x f x x A x f x x =+→)(lim 0．（３）极限存在准则①单调有界数列极限的存在定理 单调有界数列必有极限． ②夹逼准则若当),ˆ(0δx N x ∈时，有)()((x h x f x g ≤≤），且A x g x x =→)(l i m 0，A x h xx =→)(lim 0，则A x f x x =→)(l i m 0．2. 极限的四则运算法则设)(lim 0x f x x →及)(lim 0x g x x →都存在，则(1) [])(lim )(lim )()(lim 0x g x f x g x f x x x x x x →→→±=±；(2) [])(lim )(lim )()(lim 0x g x f x g x f x x x x x x →→→=,[])(lim )(lim 0x f C x Cf x x x x →→= (C 为任意常数);(3) )()(lim )()(lim00x g x f x g x f x x x x →→= )0)(lim (0≠→x g x x ． 上述极限四则运算法则对自变量的其他变化过程下的极限同样成立．3． 两个重要极限 (1) ,1sin lim0=→xxx 一般形式为1)()(sin lim0)(=→x u x u x u （其中)(x u 代表x 的任意函数）． (2) ,11lim e =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→xx x一般形式为e =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→)()()(11lim x u x u x u （其中)(x u 代表x 的任意函数）． ４． 无穷小量与无穷大量 （１）无穷小量在自变量的某个变化过程中，以零为极限的变量称为该极限过程中的无穷小量，简称无穷小．例如,如果0)(lim 0=→x f x x ，则称当0x x →时,)(x f 是无穷小量．注意 一般说来，无穷小表达的是变量的变化状态，而不是变量的大小，一个变量无论多么小，都不能是无穷小量，数零是惟一可作为无穷小的常数．（２） 无穷大量在自变量的某个变化过程中，绝对值可以无限增大的变量称为这个变化过程中的无穷大量，简称无穷大．应该注意的是：无穷大量是极限不存在的一种情形，我们借用极限的记号∞=→)(lim 0x f xx ，表示“当0x x →时, )(x f 是无穷大量” ．（３）无穷小量与无穷大量的关系在自变量的某个变化过程中，无穷大量的倒数是无穷小量，非零无穷小量的倒数是无穷大量．（４）无穷小量的运算① 有限个无穷小量的代数和是无穷小量． ② 有限个无穷小量的乘积是无穷小量． ③ 无穷小量与有界量的乘积是无穷小量． ④ 常数与无穷小量的乘积是无穷小量． （5）无穷小量的比较下表给出了两个无穷小量之间的比较定义．无穷小量的比较表（６） 极限与无穷小量的关系定理A x f xx =→)(lim 0的充分必要条件是)()(x A x f α+=，其中)(x a 是当0x x →时的无穷小量．（７） 无穷小的替换定理设当0x x →时，)(~)(21x x αα，)(~)(21x x ββ，)()(lim220x x x x αβ→存在，则)()()()(lim22110x x x x x x αβαβ=→． 5．函数的连续性⑴ 函数在一点连续的概念① 函数在一点连续的两个等价的定义：定义１ 设函数)(x f 在点0x 的某个邻域内有定义，若当自变量的增量0x x x -=∆趋于零时，对应的函数增量也趋于零，即 []0)()(lim lim 000=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x ，则称函数)(x f 在点0x 处连续，或称0x 是)(x f 的一个连续点．定义２ 若)()(lim 00x f x f xx =→，则称函数)(x f 在点0x 处连续． ② 左右连续的概念 若)()(lim 00x f x f xx =-→，则称函数)(x f 在点0x 处左连续；若 )()(lim 00x f x f x x =+→，则称函数)(x f 在点0x 处右连续．⑵ 函数在一点连续的充分必要条件函数)(x f 在点0x 处连续的充分必要条件是)(x f 在点0x 处既左连续又右连续． 由此可知，函数)(x f 在点0x 处连续，必须同时满足以下三个条件： ① 函数)(x f 在点0x 的某邻域内有定义， ② )(lim 0x f xx →存在， ③ 这个极限等于函数值)(0x f ． ⑶ 函数在区间上连续的概念在区间上每一点都连续的函数，称为在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连 续，该区间也称为函数的连续区间．如果连续区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续．⑷ 间断点若函数)(x f 在点0x 处不连续，则称点0x 为函数)(x f 的间断点． ⑸ 间断点的分类设0x 为)(x f 的一个间断点，如果当0x x →时，)(x f 的左极限、右极限都存在，则称0x 为)(x f 的第一类间断点；否则，称0x 为)(x f 的第二类间断点．对于第一类间断点有以下两种情形：① 当)(lim 0x f x x -→与)(lim 0x f x x +→都存在，但不相等时，称0x 为)(x f 的跳跃间断点；② 当)(lim 0x f xx →存在，但极限不等于)(0x f 时，称0x 为)(x f 的可去间断点．⑹ 初等函数的连续性定理基本初等函数在其定义域内是连续的．一切初等函数在其定义区间内都是连续的． ⑺ 闭区间上连续函数的性质① 最大值和最小值存在定理 闭区间上连续函数一定能取得最大值和最小值．② 根的存在定理 设)(x f 为闭区间[]b a ,上的连续函数，且)()(b f a f 与异号，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得0)(=ξf ．③ 介值定理 设)(x f 是闭区间[]b a ,上连续函数，且)()(b f a f ≠，则对介于)()(b f a f 与之间的任意一个数η，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得ηξ=)(f ．二、主要解题方法1．求函数极限方法(1) 利用极限存在的充分必要条件求极限 例1 求下列函数的极限： （1）42lim 22--→x x x ，（2）()⎪⎩⎪⎨⎧++=,1,1sin 2xa xx x f ,0,0><x x 当a 为何值时，)(x f 在0=x 的极限存在.小结 对于求含有绝对值的函数及分段函数分界点处的极限，要用左右极限来求，只有左右极限存在且相等时极限才存在，否则，极限不存在．（2）利用极限运算法则求极限例2 求下列函数的极限：(1)132lim 21+-→x x x ，(2)3lim →x 65922+--x x x ，(3) 2121lim()11x x x→--- ， (4)215lim+-+∞→x x x ．小结 （I ）应用极限运算法则求极限时，必须注意每项极限都存在（对于除法，分母极限不为零）才能适用．（II ）求函数极限时，经常出现,,00∞∞∞-∞等情况，都不能直接运用极限运算法则，必须对原式进行恒等变换、化简，然后再求极限。