数理方法第二章热传导方程习题答案1
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1u x ∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v v x y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()0000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*000lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i ze zθ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z z z z ∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()332222220,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩，332222220(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
2.3-热传导定解问题
X ( x) = A + Bx.
B = 0 A + Bl + hB = 0, A=B=0 (3)λ > 0 X ( x) = A cos λ x + B sin λ x,
数 学 物 理 方 法
B λ = 0 A cos λ l + B sin λ l + h(− A λ sin λ l + B λ cos λ l ) = 0.
λ学 = − β 2 < 0
X ′′ − β 2 X = 0
X ′(0) = Aβ − Bβ = 0 A= B=0
X ′(l ) = Aβ e βl − Bβ e − βl
X =0
λ =0
X ′′ = 0
X ′′ + β 2 X = 0
X = Ax + B
X = B0
λ =β2 >0
X = A sin βx + B cos βx
A −λ − B −λ = 0 − λl + Be − − λl + h( A −λ e Ae
A − B = 0 (1 + h −λ e
− λl
− B −λ e −
− λl
) = 0,
− λl
) A + (1 − h −λ e
A= B=0
− λl
) B = 0,
(2)λ = 0
n =1
∞
−
µn 2 a 2
l
2
cos
µn
l
x,
∑ A cos
n =1 n l
∞
µn
l
x = ϕ ( x),
An =
热传导方程习题解答
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2015-11-27 13 / 51
初边值问题的分离变量法
Example 2.1
用分离变量法求下列定解问题的解:
ut = a2uxx (t > 0, 0 < x < π), u(0, t) = ux(π, t) = 0 (t > 0), u(x, 0) = f(x) (0 < x < π).
故单位时间流入 (x, x + ∆x) 的热量为
( ∂
) ∂u
πl2
dQ = dQ1 + dQ2 + dQ3 = ∂x
k(x) ∂x
·
x∗
4 ∆x − k1(u − u1)πl∆x.
综上, 从时刻 t1 到 t2 流入位于 [x1, x2] 杆段的热量为
∫ t2
t1
∫ x2
x1
[ ∂ ∂x
(
)
∂u
k(x) ∂x
y,
z)
∂N ∂n
dSdt.
因此从时刻 t1 到 t2 流入区域 Ω (Γ 为 Ω 的表面) 的质量为
∫ t2
D(x, y, z) ∂N dSdt = ∫ t2
t1
Γ
∂n
t1
div(DgradN)dxdydzdt.
Ω
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2015-11-27 5 / 51
热传导方程及其定解问题的导出
(
)
∂u 1 ∂ ∂t = cρ ∂x
∂u k(x) ∂x
−
4k1 cρl
(u
−
u1).
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2015-11-27 4 / 51
数学物理方程谷超豪版第二章课后规范标准答案
,.第 二 章 热 传 导 方 程§1 热传导方程及其定解问题的提1. 一均匀细杆直径为l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律dsdt u u k dQ )(11-=又假设杆的密度为ρ，比热为c ，热传导系数为k ，试导出此时温度u 满足的方程。
解：引坐标系：以杆的对称轴为x 轴，此时杆为温度),(t x u u =。
记杆的截面面积42l π为S 。
由假设，在任意时刻t 到t t ∆+内流入截面坐标为x 到x x ∆+一小段细杆的热量为t x s xu kts xu k t s xukdQ xx xx ∆∆∂∂=∆∂∂-∆∂∂=∆+221 杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。
由假设，在时刻t 到t t ∆+在截面为x 到x x ∆+一小段中产生的热量为()()t x s u u lkt x l u u k dQ ∆∆--=∆∆--=111124π又在时刻t 到t t ∆+在截面为x 到x x ∆+这一小段内由于温度变化所需的热量为()()[]t x s tuc x s t x u t t x u c dQ t ∆∆∂∂=∆-∆+=ρρ,,3由热量守恒原理得：()t x s u u lk t x s x uk t x s t u c x t ∆∆--∆∆∂∂=∆∆∂∂11224ρ消去t x s ∆∆，再令0→∆x ，0→∆t 得精确的关系：()11224u u l k xu k t u c --∂∂=∂∂ρ 或 ()()11222112244u u l c k xu a u u l c k x u c k t u --∂∂=--∂∂=∂∂ρρρ 其中 ρc k a =22. 试直接推导扩散过程所满足的微分方程。
解：在扩散介质中任取一闭曲面s ，其包围的区域 为Ω，则从时刻1t 到2t 流入此闭曲面的溶质，由dsdt nuDdM ∂∂-=，其中D 为扩散系数，得 ⎰⎰⎰∂∂=21t t sdsdt nuDM 浓度由u 变到2u 所需之溶质为()()[]⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩ∂∂=∂∂=-=2121121,,,,,,t t tt dvdt t uC dtdv t u C dxdydz t z y x u t z y x u C M两者应该相等，由奥、高公式得：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ∂∂==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=21211t t t t dvdt t uC M dvdt z uD z y u D y x u D x M 其中C 叫做孔积系数=孔隙体积。
第二章习题解答
第二章 思考题1 试写出导热傅里叶定律的一般形式，并说明其中各个符号的意义。
答：傅立叶定律的一般形式为：nx t gradt q＝－，其中：gradt 为空间某点的温度梯度；n是通过该点的等温线上的法向单位矢量，指向温度升高的方向；q 为该处的热流密度矢量。
2 已知导热物体中某点在x,y,z 三个方向上的热流密度分别为y x q q ,及z q ，如何获得该点的 热密度矢量？ 答：k q j q i q q z y x，其中k j i ,,分别为三个方向的单位矢量量。
3 试说明得出导热微分方程所依据的基本定律。
答：导热微分方程式所依据的基本定律有：傅立叶定律和能量守恒定律。
4 试分别用数学语言将传热学术语说明导热问题三种类型的边界条件。
答：① 第一类边界条件：)(01 f t w 时， ② 第二类边界条件：)()(02 f x tw 时③ 第三类边界条件：)()(f w w t t h x t5 试说明串联热阻叠加原则的内容及其使用条件。
答：在一个串联的热量传递过程中，如果通过每个环节的热流量都相同，则各串联环节的总热阻等于各串联环节热阻的和。
使用条件是对于各个传热环节的传热面积必须相等。
7.通过圆筒壁的导热量仅与内、外半径之比有关而与半径的绝对值无关，而通过球壳的导热量计算式却与半径的绝对值有关，怎样理解？ 答：因为通过圆筒壁的导热热阻仅和圆筒壁的内外半径比值有关，而通过球壳的导热热阻却和球壳的绝对直径有关，所以绝对半径不同时，导热量不一样。
6 发生在一个短圆柱中的导热问题，在下列哪些情形下可以按一维问题来处理？ 答：当采用圆柱坐标系，沿半径方向的导热就可以按一维问题来处理。
8 扩展表面中的导热问题可以按一维问题来处理的条件是什么？有人认为，只要扩展表面细长，就可按一维问题来处理，你同意这种观点吗？答：只要满足等截面的直肋，就可按一维问题来处理。
不同意，因为当扩展表面的截面不均时，不同截面上的热流密度不均匀，不可看作一维问题。
传热学习题答案
第一章 导热理论基础1. 按20℃时，铜、碳钢（1.5%C ）、铝和黄铜导热系数的大小，排列它们的顺序；隔热保温材料导热系数的数值最大为多少？列举膨胀珍珠岩散料、矿渣棉和软泡沫塑料导热系数的数值。
答：铜>铝>黄铜>碳钢；隔热保温材料导热系数最大值为0.12W/（m •K ）膨胀珍珠岩散料：25℃ 60-300Kg/m 3 0.021-0.062 W/（m •K ） 矿渣棉： 30℃ 207 Kg/m 3 0.058 W/（m •K ）软泡沫塑料： 30℃ 41-162 Kg/m 3 0.043-0.056 W/（m •K ） 2. 推导导热微分方程式的已知前提条件是什么？ 答：导热物体为各向同性材料。
3．(1)m k xt /2000=∂∂ , q=-2×105(w/m 2). (2)m k xt /2000-=∂∂, q=2×105(w/m 2). 4. (1),00==x q 3109⨯==δx q w/m 2 (2) 5108.1⨯=νq w/m 35. 已知物体的热物性参数是λ、ρ和c ，无内热源，试推导圆柱坐标系的导热微分方程式。
答：2222211[()]t t t t a r r r r r z τφ∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂ 6. 已知物体的热物性参数是λ、ρ和c ，无内热源，试推导球坐标系的导热微分方程式。
答：2222222111[()(sin )]sin sin t t t ta r r r r r r θτθθθθϕ∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂ 7. 一半径为Ｒ的实心球，初始温度均匀并等于t 0，突然将其放入一温度恒定并等于t f 的液体槽内冷却。
已知球的热物性参数是λ、ρ和c ，球壁表面的表面传热系数为h ，试写出描写球体冷却过程的完整数学描述。
答：2201[()],0,00,0,0,,()f r R r Rt t r r R c r r r r R t t tr R h t t rλττρττλ==∂∂∂=><<∂∂∂=≤≤=∂>=-=-∂8. 从宇宙飞船伸出一根细长散热棒，以辐射换热将热量散发到外部空间去，已知棒的发射率（黑度）为ε，导热系数为λ，棒的长度为l ，横截面面积为f ，截面周长为Ｕ，棒根部温度为Ｔ0。
传热学第二章热传导习题
传热学第⼆章热传导习题传热学第⼆章热传导习题⼀、名词解释1．温度场：某⼀瞬间物体内各点温度分布的总称。
⼀般来说，它是空间坐标和时间坐标的函数。
2．等温⾯(线)：由物体内温度相同的点所连成的⾯（或线）。
3．温度梯度：在等温⾯法线⽅向上最⼤温度变化率。
4．热导率：物性参数，热流密度⽮量与温度降度的⽐值，数值上等于1 K／m的温度梯度作⽤下产⽣的热流密度。
热导率是材料固有的热物理性质，表⽰物质导热能⼒的⼤⼩。
5．导温系数：材料传播温度变化能⼒⼤⼩的指标。
6．稳态导热：物体中各点温度不随时间⽽改变的导热过程。
7．⾮稳态导热：物体中各点温度随时间⽽改变的导热过程。
8．傅⾥叶定律：在各向同性均质的导热物体中，通过某导热⾯积的热流密度正⽐于该导热⾯法向温度变化率。
9．保温(隔热)材料：λ≤0.12 W/(m·K)(平均温度不⾼于350℃时)的材料。
10．肋效率：肋⽚实际散热量与肋⽚最⼤可能散热量之⽐。
11．接触热阻：材料表⾯由于存在⼀定的粗糙度使相接触的表⾯之间存在间隙，给导热过程带来额外热阻。
12．定解条件(单值性条件)：使微分⽅程获得适合某⼀特定问题解的附加条件，包括初始条件和边界条件。
⼆、填空题1．导热基本定律是_____定律，可表述为。
（傅⽴叶，）2．⾮稳态导热时，物体内的_____场和热流量随_____⽽变化。
（温度，时间）3．导温系数的表达式为_____，单位是_____，其物理意义为_____。
（a=λ/cρ,m2/s,材料传播温度变化能⼒的指标）4．肋效率的定义为_______。
（肋⽚实际散热量与肋⽚最⼤可能散热量之⽐。
）5．按照导热机理，⽔的⽓、液、固三种状态中_______态下的导热系数最⼩。
（⽓）6．⼀般，材料的导热系数与_____和_____有关。
（种类，温度）7．保温材料是指_____的材料.（λ≤0.12 W/(m·K)(平均温度不⾼于350℃时)）8．已知材料的导热系数与温度的关系为λ＝λ0(1+bt)，当材料两侧壁温分别为t1、t2时，其平均导热系数可取下的导热系数。
数理方程第一章、第二章习题全解
u( 0 , t) = u( l, t) = 0 现考虑初始条件,当冲量 k 作用于 x = c处时, 就相当于在这点 给出了一个初速度 , 我们考虑以 c点为中心 , 长为 2δ的一小段弦 ( c δ, c + δ) , 设弦是均匀的 , 其线密度为 ρ, 则这 一小段 弦的质量 为 2δρ, 受冲击时速度为 ut ( x, 0) , 由动量定理得
h c
x
l
h -
c(
l
-
x)
(0 ≤ x ≤ c) ( c < x ≤ l)
ut ( x, 0) = ψ( x ) = 0
则 u( x, t) 是下列定解问题的解 :
utt - a2 uxx = 0
( 0 < x < l, t > 0)
u( x, 0) = φ( x ) , ut ( x, 0 ) = ψ( x )
2 .4 习题全解
1. 设弦的两端固定于 x = 0 及 x = l, 弦的初始位称如图 2 2 所 示,初速度为零, 又设有外力作用, 求弦作横向振动时的位移函数 u( x, t) 。
解 如图 2 2 所示, 弦作横向振动时初始条件为
62
数学物理方程与特殊函数导教·导学·导考
图2 2
u( x, 0) = φ( x ) =
5. 若 F( z) , G( z) 是任意两个二次连续可微函数 , 验证
u = F( x + at ) + G( x - at )
满足方程
2u t2
=
a2
2x2u。
解 作自变量代换ξ= x + at,η= x - at, 由复合函数求导法则
有
所以 于是
u t
数学物理方程谷超豪版第二章课后答案.doc
第二章热传导方程§ 1热传导方程及其定解问题的提1. 一均匀细杆直径为 l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律dQ k 1(u u 1 )dsdt又假设杆的密度为，比热为 c ，热传导系数为 k ，试导出此时温度 u 满足的方程。
解：引坐标系：以杆的对称轴为x 轴，此时杆为温度u u( x,t) 。
记杆的截面面积 l 2为 S 。
t 到 tt 内流入截面坐标为 x 到 xx 一小段细杆的热量为 4由假设，在任意时刻dQu s t k u2u s x tkxs t k1x x x xx 2 xt 到 tt 在截面为杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。
由假设，在时刻x 到 xx 一小段中产生的热量为4k 1dQ2k 1 u u l x tu u s x t1l1又在时刻 t 到 tt 在截面为 x 到 xx 这一小段内由于温度变化所需的热量为dQc u x,tt u x,t s x c u s x t由热量守恒原理得：3t tcu s x t k2us x t4k 1u u s x tt tx2 xl1消去 sx t ，再令x 0 ， t 2 u 0 得精确的关系：cuk 4k 1 u ut x 2 l1u k 2u 4ka 22 u4k或t cx2c 1u u 1x2c 1u u 1ll其中a2kc2. 试直接推导扩散过程所满足的微分方程。
解：在扩散介质中任取一闭曲面s ，其包围的区域 为 ，则从时刻 t 1 到 t 2 流入此闭曲面的溶 质，由 dMDudsdt ，其中 D 为扩散系数，得nt 2D udsdtMt 1 snt 2t 2C udvdtM 1C u x, y, z, t 2 u x, y, z, t 1 dxdydzCudtdvt 1tt 1t两者应该相等，由奥、高公式得：t 2uuut 2C udvdtMD D D dvdt M 1t 1xx y y z zt 1t其中 C 叫做孔积系数 =孔隙体积。
传热学习题及答案
传热学习题及答案传热学习题及答案传热学是热力学的一个重要分支，研究热量如何在物质之间传递的过程。
在工程和科学领域中，传热学的知识对于理解和解决各种热传递问题至关重要。
下面，我们将提供一些传热学的学习题及其答案，帮助读者巩固对该领域的理解。
1. 对流传热是指什么？请列举几个常见的对流传热的例子。
答案：对流传热是指通过流体（气体或液体）的运动而传递热量的过程。
常见的对流传热例子包括：自然对流（如烟囱中的烟气上升）、强迫对流（如风扇吹过热食物）、冷却系统中的冷却液循环等。
2. 传热过程中的三种传热方式是什么？请分别解释它们。
答案：传热过程中的三种传热方式是导热、对流和辐射。
- 导热是指通过物质内部的分子振动和传递热量的方式。
导热通常发生在固体和液体中，如铁棒两端的温度差会导致热量从高温端传递到低温端。
- 对流是指通过流体的运动传递热量的方式。
对流通常发生在气体和液体中，如热水从底部加热，底部的热水上升并与顶部的冷水交换热量。
- 辐射是指通过电磁波传递热量的方式。
辐射传热不需要介质，可以在真空中传递热量。
例如，太阳辐射的热量可以穿过空气和云层到达地球表面。
3. 请解释传热中的热传导方程。
答案：热传导方程是描述导热过程的数学方程。
它可以用来计算热量在物质中的传递速率。
热传导方程的一般形式为：q = -kA(dT/dx)其中，q表示单位时间内通过物质传递的热量，k是物质的热导率，A是传热面积，dT/dx是温度梯度（温度变化率）。
4. 请解释传热中的对流换热系数。
答案：对流换热系数是描述对流传热过程中热量传递速率的参数。
它表示单位面积上的热量传递速率与温度差之间的比值。
对流换热系数取决于流体的性质、流体的速度、流体与固体表面的接触情况等。
通常，对流换热系数越大，热量传递速率越快。
5. 请解释传热中的辐射换热系数。
答案：辐射换热系数是描述辐射传热过程中热量传递速率的参数。
它表示单位面积上的热量传递速率与温度差之间的比值。
数理方法答案
[
]
(6) sin ix 解 sin ix = e−x − e x e x − e−x =i = ishx 2i 2
第13页
试推导极坐标系中的柯西
黎曼方程(1.3.4)
解 f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) 或写成 f ( z ) = u ( ρ , ϕ ) + iv( ρ , ϕ ) f ( z + ∆z ) − f ( z ) u ( ρ + ∆ρ , ϕ ) + iv(ρ + ∆ρ , ϕ ) − (u + iv) = lim ∆z ∆ρe iϕ ∆ρe iϕ → 0 即∆z = ∆ρe iϕ → 0 (∆ϕ = 0) 若∆z沿径向趋于零 ∴ lim
---end---
(
)
)
得f (z ) = 2C1 ln ρ + C 2 + i 2C1ϕ + iC 3 = 2C1 (ln ρ + iϕ ) + C 2 + iC 3
数学物理方法
附加 解 1 用柯西公式求
第 2 章 作业解答
1 ez ∫ c z 1 − z 3 dz 2π i v c 不经过 0 1 讨论所有的曲线
(4 x
∂ 2u ∂ 2u 2 = ... = 2 F '+4 y 2 F " = = + ... 2 ' 4 " F x F 2 2 ∂y ∂x + 4 y 2 F "+4 F ' = 0
2
)
dF ' F" 1 1 1 dt = − =− 2 = − 即左边 F' t F' t x + y2 dF ' 1 ∴ = − dt F' t C1 F= t F = C1 ln t + C 2 = C1 ln x 2 + y 2 + C 2
第二章热传导方程习题解答
Heat Equations
齐 海 涛
山东大学（威海）数学与统计学院
htqisdu@
齐海涛
(SDU)
数学物理方程
2015-11-27
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热传导方程及其定解问题的导出 初边值问题的分离变量法 柯西问题 极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性 解的渐近性态 补充练习
Ω Ω t2 t1
∂N dtdxdydz. ∂t
根据质量守恒, 并注意到 Ω, t1 , t2 的任意性, 得所求方程为 ( ) ( ) ( ) ∂N ∂ ∂N ∂ ∂N ∂ ∂N = D + D + D . ∂t ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
齐海涛
(SDU)
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因此从时刻 t1 到 t2 流入区域 Ω (Γ 为 Ω 的表面) 的质量为 ∫ t2 ∫ t2 ∂N div(DgradN)dxdydzdt. D(x, y, z) dSdt = ∂n t1 t1 Ω Γ
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热传导方程及其定解问题的导出
另外, 从时刻 t1 到 t2 , Ω 中该物质的增加为 ∫ [N(x, y, z, t2 ) − N(x, y, z, t1 )]dxdydz =
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热传导方程及其定解问题的导出 初边值问题的分离变量法 柯西问题 极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性 解的渐近性态 补充练习
热传导 试题(含答案解析)
5热传播一、填空题1、热可以从物体的一部分传递到另一部分，也可以通过（），从一个物体传递给另一个物体，这种传热方式叫作（）。
2、如图所示，把金属条的一端浸在很烫的热水中，用手触摸露出水面部分的金属条，感觉会很快热起来。
这个现象说明热能从温度（）的物体向温度（）的物体传递；在同一物体中从温度（）的部分传向温度（）的部分。
3、炒板粟时，（）吸收大量的热量，再把热量（）地传给板粟，板粟很快就被炒熟了。
二、判断题1、热总是从冷的一端向热的一端传递。
（）2、热传导一般是在固体中发生的一种传热方式。
（）3、离金属片加热的部分越远，热得越快。
（）4、熨衣服时，加热电熨斗的金属底板，金属底板的热量传递给与其接触的衣服，使衣服变热，变得平整。
（）5、烙饼时，热从铁锅传导到面饼上，使面饼变熟。
（）三、选择题1、在金属片的中部加热，热传递的方向是（）。
A．不确定的B．向一个方向传递的C．向四周传递的2、热传导现象一般发生在固体中，其产生条件不包括（）。
A．物体要直接接触B．要有温度差C．必须在物体中心处加热3、如图所示，把装有热水的试管放到装有冷水的水槽中，下列说法正确的是（）。
A．热水温度降低，冷水温度升高B．热水温度升高，冷水温度降低C．热水和冷水温度都升高四、实验分析在一段铁丝上每隔一定距离用蜡粘上一根火柴，将铁丝固定在铁架台上，火柴都向下悬挂。
（1）当用酒精糨给铁丝的一端加热时（如图所示），下列分析正确的是（）A．由A到E温度逐渐上升B．由A到E温度逐渐下降C．A处温度最高，其他位置温度不变（2）紫枫用这个装置做了第二个实验，他将酒精灯放在中间位置，左右各粘两根火柴，如图所示。
①4根火柴的掉落顺序是（）和（）先掉落，（）和（）后掉落。
②由此得出的结论是热总是从（）的一端逐步传递到（）的一端。
（3）紫枫用同样的装置做了第三个实验，他将酒精灯放在下图中A点的位置，过一段时间B、C、D、E、F各点上的火柴都掉落了。
热传导学试题及答案高一
热传导学试题及答案高一一、选择题（每题3分，共30分）1. 热传导的基本方式是什么？A. 对流B. 辐射C. 传导D. 蒸发答案：C2. 下列物质中，导热性能最好的是：A. 木头B. 铝C. 橡胶D. 空气答案：B3. 热传导的速率与温差成什么关系？A. 正比B. 反比C. 无关D. 指数关系答案：A4. 傅里叶定律中，热流密度与温差之间的关系是什么？A. 正比B. 反比C. 对数关系D. 无关答案：A5. 在相同条件下，下列哪种情况下热传导速率最大？A. 固体B. 液体C. 气体D. 真空答案：A6. 什么是热传导的稳态？A. 温度随时间变化的状态B. 温度不随时间变化的状态C. 热量不随时间变化的状态D. 热量随时间变化的状态答案：B7. 热传导方程中，时间因子的作用是什么？A. 表示热量的总量B. 表示热量的传递速率C. 表示温度的变化速度D. 表示温度的分布答案：C8. 两个相同材料的物体，若它们的体积不同，那么它们的热容量也不同。
这个说法：A. 正确B. 错误答案：A9. 热传导问题中，边界条件通常包括哪些类型？A. 温度边界条件B. 热流密度边界条件C. 混合边界条件D. 以上都是答案：D10. 在热传导问题中，初始条件是什么？A. 物体的初始温度分布B. 物体的初始热流密度C. 物体的初始体积D. 物体的初始质量答案：A二、填空题（每题2分，共20分）11. 热传导的三种基本方式包括传导、________和辐射。
答案：对流12. 热传导方程是一个________偏微分方程。
答案：二阶13. 在热传导中，物体的导热系数是一个与________无关的量。
答案：温度14. 根据傅里叶定律，单位时间内通过单位面积的热流量与该面积两侧的温差成________。
答案：正比15. 在稳态热传导中，物体内部任意一点的温度________随时间变化。
答案：不16. 热容量是指单位质量的物质温度升高1摄氏度所吸收的热量，其单位是________。
热传导学试题及答案高一
热传导学试题及答案高一一、选择题（每题2分，共20分）1. 热传导的三种基本方式是：A. 热传导、热对流、热辐射B. 热对流、热辐射、热交换C. 热传导、热对流、热交换D. 热传导、热辐射、热交换答案：A2. 热传导的微观机制是：A. 原子振动B. 电子运动C. 光子传递D. 粒子碰撞答案：D3. 根据傅里叶定律，热传导的速率与：A. 温度梯度成正比B. 材料的热导率成正比C. 材料的密度成正比D. 材料的比热容成正比答案：A4. 热传导方程中，热扩散率的单位是：A. m/sB. m²/sC. kg/m³D. J/kg·K答案：B5. 在同种材料中，热传导的方向总是：A. 从高温向低温B. 从低温向高温C. 从高压向低压D. 从低压向高压答案：A6. 热传导的效率与材料的：A. 热导率成正比B. 热导率成反比C. 热容成正比D. 热容成反比答案：A7. 热传导的稳态条件是：A. 温度随时间不变B. 温度随位置不变C. 温度梯度随时间不变D. 温度梯度随位置不变答案：A8. 热传导的非稳态条件是：A. 温度随时间不变B. 温度随位置不变C. 温度梯度随时间不变D. 温度梯度随位置不变答案：B9. 热传导方程的解通常需要考虑：A. 初始条件B. 边界条件C. 材料性质D. 所有上述选项答案：D10. 在热传导过程中，如果材料的热导率是各向同性的，则：A. 热流线是直线B. 热流线是曲线C. 热流线是平行的D. 热流线是交叉的答案：C二、填空题（每空1分，共10分）1. 热传导方程通常表示为 \( \frac{\partial T}{\partial t} =\alpha \nabla^2 T \)，其中 \( \alpha \) 表示材料的_______。
答案：热扩散率2. 热传导的三种基本方式中，不需要介质的是_______。
答案：热辐射3. 根据傅里叶定律，单位时间内通过单位面积的热流量 \( q \) 与温度梯度 \( \frac{\partial T}{\partial x} \) 的关系是 \( q =-k \frac{\partial T}{\partial x} \)，其中 \( k \) 表示材料的_______。
数理方法第二章热传导方程习题答案1
u dsdt ，其中 D 为 n
M D
s
u dsdt n
t2 t
浓度由 u 变到 u 2 所需之溶质为
2 u u M 1 Cu x, y, z, t 2 u x, y, z, t1 dxdydz C dtdv C dvdt t t t1 t1
dQ u 4 dsdt
今假设物体和周围介质之间只有辐射而没有热传导，又假设物体周围介质的绝对温度为已 知函数 f ( x, y, z, t ) ,问此 时该物体热传§ 导问题的边界条件应如何叙述？ 解：由假设，边界只有辐射的热量交换，辐射出去的热量为 的传导定律得边界条件为：
dQ1 u 4 | s dsdt, 辐射进来的热量为 dQ2 f 4 | s dsdt, 因此由热量
因此
C n 2[ x sin nxdx (1 x) sin nxdx ]
0 1 2
1 2
1
1 1 2 2[ 1 (1 x) cos nx 1 sin nx]1 2[ x cos nx 2 2 sin nx]0 1 n n n n 2 2
a 2 ( 2 n 1) 2 t 4
(n 0, 1, )
Tn (t ) C n e
u ( x, t )
由初始值得
f ( x)
n 0
Cn e
n 0
a 2 ( 2 n 1) 2 t 4
sin
2n 1 x 2
Cn sin
2n 1 x 2
27
因此
Cn
l
0
视 A, B 为未知数，此为一齐次线性代数方程组，要 X ( x) 非零，必需不同为零，即 此齐次线性代数方程组要有非零解，由代数知必需有
2021年秋【新苏教版】五年级科学上册2.1《热传导》练习(含答案).docx
2. 1《热传导》练习一、填空题1、热可以从物体的某一部分传递到另一部分，也可以通过接触，从一个物体传递给另一个物体，这种传热方式叫作 02、热传导时，热总是从温度较处传到温度较处。
3、给涂满凡士林的金属片中间加热，凡士林油从向扩散熔化。
二、判断题，对的打错的打X。
1、暖手宝传热让手暖和是固体与固体接触。
（）2、电吹风产生的热传递给头发，头发温度升高，头发就干了。
（）3、只要存在温度差就会发生热传导。
（）4、热传导不会停止，会一直传下去。
（）5、金属棒加热后，热会从一端传到另一端。
（）6、塑料比铁导热速度快。
（）三、选择题，将正确的序号填写在括号内。
1、下列事例可以用热传导解释的是（）A.天冷多穿，天热少穿B.冰棍箱用棉被蒙住C.洗个热水澡2、一个物体受热后，热的传递方向是（）A.向四周传递B.沿直线从一端向另一端传递C.无法确定，需根据具体情况而定3、下列热传导过程不正确的是（）A.电熨斗金属底板一衣服B.冰块一纱布一皮肤C.水槽热水一玻璃杯一杯里的冷水4、热传导的速度描述正确的一项是（）A.先快后慢B.先慢后快C.匀速传递5、炒菜锅的手柄一般都是橡胶或木头做的，主要是为了（）A.轻巧美观B.降低成本C.减少热传导，防止烫手 6、下列事例中，不属于热传导的是（）B.扭伤脚踝后热敷C.蜡烛燃烧发光四、实验题1.下图是热传导实验，在铁丝上的不同位置穿了 A、B、C、D、E五个蜡环。
4厘米6厘米8厘米—6 ---- ® ----- ®BCD（1）当酒精灯在图中位置加热一段时间之后，酒精灯右侧的四个蜡环中，最先掉落的是—最后掉落的是 O（2）从蜡环掉落情况来看，可以得出热是从传递的。
（3）加热过程中，蜡环E （填“会”或“不会”）掉下，由此可以得出热的传递是（填"可以”或"不可以”）向不同方向传递的。
2、将盛有冷水的烧杯放入盛有热水的水槽里，记录你的发现。
实验发现：在相互接触的冷热不同的物体之间，热也可以 o热从水槽里的热水传到,再传到,最后玻璃杯里的水也慢慢变 o也就是说热会从温度的物体传到温度的物体。
传热学复习题答案
第一章 绪论1．试用简练的语言说明导热，对流传热及辐射传热三种热传递方式之间的联系和区别。
答：导热和对流的区别在于：物体内部依靠微观粒子的热运动而产生的热量传递现象，称为导热；对流则是流体各部分之间发生宏观相对位移及冷热流体的相互掺混。
联系是：在发生对流换热的同时必然伴生有导热。
导热、对流这两种热量传递方式，只有在物质存在的条件下才能实现，而辐射可以在真空中传播，辐射换热时不仅有能量的转移还伴有能量形式的转换。
辐射传热由于黑体的辐射力与其热力学温度的四次方成正比，高温时显得尤为重要。
2．以热流密度表示的傅立叶定律、牛顿冷却公式及斯忒藩-玻尔兹曼定律是应当熟记的传热学基本公式。
试写出这三个公式并说明其中每个符号的意义。
答：傅里叶定律：t A xλ∂Φ=-∂ Φ：导热热量，单位：Wλ：导热系数，单位：()/W m K ⋅A ：平板面积，单位：2mt x∂∂：温度沿x 方向的变化率，单位：/K m ，/C m ︒ “-”：表示热量传递方向与温度升高方向相反牛顿冷却公式：（1）加热时()w f hA t t Φ=-（2）冷却时()f w hA t t Φ=-Φ：导热热量，单位：Wh ：表面传热系数，单位：()2/W m K ⋅A ：平板面积，单位：2mf t ：流体温度，单位：K ，C ︒w t ：壁面温度，单位：K ，C ︒斯忒藩-玻尔兹曼定律：4A T σΦ=Φ：导热热量，单位：WA ：辐射表面积，单位：2mσ：斯忒藩-玻尔兹曼常量，即黑体辐射常数，值为()8245.6710/W m K -⨯⋅ T ：黑体的热力学温度，单位：K ，C ︒3．导热系数、表面传热系数及传热系数的单位各是什么？哪些是物性参数，哪些与过程有关？答： 导热系数的单位是：W/(m.K)；表面传热系数的单位是：W/(m 2.K)；传热系数的单位是：W/(m 2.K)。
这三个参数中，只有导热系数是物性参数，其它均与过程有关。
4．当热量从避免一侧的流体穿过壁面传给另一侧的流体时，冷热流体之间的换热量可以通过其中任何一个环节来计算（过程是稳态的），但本章中又引入了传热方程式，并说它是“换热器热工计算的基本公式”。
热传导练习题详解
热传导练习题详解热传导是热从一个物体传递到另一个物体的过程。
在这个练习题的详细解析中，我们将探讨热传导的基本理论和热传导方程的应用。
通过深入研究和解答练习题，我们将更好地理解热传导的原理和应用。
问题一：一个金属棒的两端分别接触着两个恒温水槽，左右两个恒温水槽的温度分别为100°C和20°C。
金属棒的长度为1m，截面积为1cm²。
求金属棒中某一位置x处的温度分布。
解析：根据热传导的基本理论，我们可以使用热传导方程来解决这个问题。
热传导方程可以写成：∂²T/∂x² = α∙∂T/∂t其中，T是温度，x是位置，t是时间，α是热扩散系数。
在本题中，我们可以将热传导方程简化为：d²T/dx² = α∙dT/dt根据题目可知，金属棒的两端分别接触着两个恒温水槽，即边界条件为：T(x=0) = 100°CT(x=L) = 20°C其中，L是金属棒的长度。
根据边界条件，我们可以求解出金属棒中某一位置x处的温度分布。
问题二：一个长方形的铜板的两边分别接触着两个恒温环境，左右两个恒温环境的温度分别为200°C和50°C。
铜板的尺寸为10cm×20cm×2mm。
求铜板表面上某一点P处的温度。
解析：在这个问题中，我们需要求解铜板表面上某一点P处的温度分布。
我们可以将铜板视为一个二维的热传导问题，并使用热传导方程来解决。
d²T/dx² + d²T/dy² = α∙dT/dt其中，T是温度，x和y分别是铜板表面上的位置坐标，t是时间，α是热扩散系数。
根据边界条件，即左右两边的恒温环境温度，我们可以求解出铜板表面上某一点P处的温度。
问题三：一块矩形玻璃板的两面分别接触着两个恒温环境，上下两个恒温环境的温度分别为0°C和100°C。
玻璃板的尺寸为1m×60cm×5mm。
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l
0
视 A, B 为未知数，此为一齐次线性代数方程组，要 X ( x) 非零，必需不同为零，即 此齐次线性代数方程组要有非零解，由代数知必需有
1 e
但
l
1 e e
l
0 e
l
1 e
x
1
l
l
e
l
0
因 l 0, 0, e 为单调增函数之故。因此没有非零解 X ( x) 。
或 其中 2.
2 4k1 u k 2 u 4k1 2 u u u1 u u a 1 t c x 2 cl x 2 cl k a2 c
试直接推导扩散过程所满足的微分方程。
解：在扩散介质中任取一闭曲面 s ，其包围的区域 为 ，则从时刻 t1 到 t 2 流入此闭曲面的溶质，由 dM D 扩散系数，得
所以
1
4 n
2 2
sin sin nx 2 2 2 n 1 n ３．如果有一长度为 l 的均匀的细棒，其周围以及两端 x 0, x l 处均匀等到为绝热，初 始温度分布为 u( x,0) f ( x), 问以后时刻的温度分布如何？且证明当 f ( x) 等于常数 u 0 时，恒有 u ( x, t ) u 0 。 u ( x, t ) 4 sin
u t sxt t
4k1 u 2u u u1 sxt s x t k s x t t x t l x 2 消去 sxt ，再令 x 0 ， t 0 得精确的关系： u 2 u 4k c k 2 1 u u1 t l x c
dQ Q ，其中 为常数。又假设砼的比热为 c ，密度为 ，热传导系数为 k ，求 dt
dQ Q 及 Q t 0 Q0 得 Qt Q0 e t 。由假设，放热速度为 dt
Q0 e t
它就是单位时间所产生的热量，因此，由原书 71 页，(1.7)式得
其中 a
2
i2
r
由常温度的热交换所产生的(视为“被动”的热源)，从本节第一题看出为
4k1 u u 0 l p l 2 4 其中 l 为细杆直径，故有 l / ，代入得 4 l k1 p u u0 F2 x, t
因热源可迭加，故有 F x, t F1 x, t F2 x, t 。将所得代入
2 u 2 u a f x, t t x 2
k , f x, t F x, t / c , F x, t 为单位体积单位时间所产生的热量。 c r 2 2 由常电流 i 所产生的 F1 x, t 为 0.24i r / 。因为单位长度的电阻为 ，因此电流 i 作功为 2 乘上功热当量得单位长度产生的热量为 0.24i r / 其中 0.24 为功热当量。 2 2 因此单位体积时间所产生的热量为 0.24i r /
因此
C n 2[ x sin nxdx (1 x) sin nxdx ]
0 1 2
1 2
1
1 1 2 2[ 1 (1 x) cos nx 1 sin nx]1 2[ x cos nx 2 2 sin nx]0 1 n n n n 2 2
求非零解 X ( x) 得 n n 对应Ｔ为 故解为 由始值得
2
2 , X n sin nx n=1,2,„„
2 2
Tn C n e n
n 1
t
2 2
u ( x, t ) C n e n t sin nx
1 0 x x 2 Cn sin nx 1 n 1 1 x x 1 2
f ( x) sin
0
2
2n 1 xdx 2
故解为
u ( x, t )
n 0
f ( ) s i n
0
2
2n 1 d e 2
a 2 ( 2n 1) 2 t 4
2n 1 sin x 2
２．用分离变量法求解热传导方程的混合问题
u 2 u (t 0,0 x 1) 2 t x 1 0 x x 2 u ( x,0) 1 1 x x 1 2 (t 0) u (0, t ) u (1, t ) 0 解：设 u X ( x)T (t ) 代入方程及边值得 X "X 0 X (0) X (1) 0 T 'T 0
C
3. 砼(混凝土)内部储藏着热量，称为水化热，在它浇筑后逐渐放出，放热速度和它所储藏的水化热成正比。以 Qt 表示它在单位体 积中所储的热量， Q0 为初始时刻所储的热量，则 它在浇后温度 u 满足的方程。 解： 可将水化热视为一热源。由
u u u u D D D t x x y y z z
第 二 章
1.
热 传 导 方 程
§1 热传导方程及其定解问题的提 一均匀细杆直径为 l ，假设它在同一截面上的温度是相同的，杆的表面和周围介质发生热交换，服从于规律
dQ k1 (u u1 )dsdt 又假设杆的密度为 ，比热为 c ，热传导系数为 k ，试导出此时温度 u 满足的方程。
l 2 解：引坐标系：以杆的对称轴为 x 轴，此时杆为温度 u u( x, t ) 。记杆的截面面积 为 S 。由假设，在任意时刻 t 到 t t 内流入 4 截面坐标为 x 到 x x 一小段细杆的热量为 u u 2u dQ1 k x x st k x st k x sxt x x x 2 杆表面和周围介质发生热交换，可看作一个“被动”的热源。由假设，在时刻 t 到 t t 在截面为 x 到 x x 一小段中产生的热量为
解：即解定解问题
2 u 2 u a t x 2 u u | x l 0 | x 0 x x u |t 0 f ( x ) 设 u X ( x)T (t ) 代入方程及边值得 X ' (0) X ' (l ) 0 X "X 0 2 T ' a T 0 求非零解 X ( x) ： (1) 当 0 时，通解为
X ( x) Ae
x
Be
x
x
X ' ( x) A e
由边值得
B e
x
A B 0 l A e B e l 0
28
因 0 故相当于
A B 0 l Be Ae
a 2 ( 2 n 1) 2 t 4
(n 0, 1, )
Tn (t ) C n e
u ( x, t )
由初始值得
f ( x)
n 0
Cn e
n 0
a 2 ( 2 n 1) 2 t 4
sin
2n 1 x 2
Cn sin
2n 1 x 2
27
因此
Cn
dQ2 k1 u u1 lxt
又在时刻 t 到 t t 在截面为 x 到 x x 这一小段内由于温度变化所需的热量为
4k1 u u1 sxt l
dQ3 c u x, t t u x, t sx c
由热量守恒原理得：
dQ u 4 dsdt
今假设物体和周围介质之间只有辐射而没有热传导，又假设物体周围介质的绝对温度为已 知函数 f ( x, y, z, t ) ,问此 时该物体热传§ 导问题的边界条件应如何叙述？ 解：由假设，边界只有辐射的热量交换，辐射出去的热量为 的传导定律得边界条件为：
dQ1 u 4 | s dsdt, 辐射进来的热量为 dQ2 f 4 | s dsdt, 因此由热量
解：设 u X ( x)T (t ) 代入方程及边值得
X " X 0 T a 2 T 0
求非零解 X ( x) 得 n 对应Ｔ为 因此得
X (0) 0
X ( ) 0
(2n 1) 2 2n 1 , X n ( x) sin x 4 2
(2) 当 0 时，通解为 X ( x) ax b
X ' ( x) a
X ' (0) X ' (l ) a 0 即 b 可任意，故 X ( x) 1 为一非零解。 (3) 当 0 时，通解为
由边值得
X ( x) A cos x B sin x X ' ( x) A sin x B cos x X ' (0) B 0 X ' (l ) A sin l B cos l 0 B0 因 0, 故相当于 A sin l 0
2u 2u 2u Q0 t u a2 x 2 y 2 z 2 c e t
26
2 k a c
4. 设一均匀的导线处在周围为常数温度 u 0 的介质中，试证:在常电流作用下导线的温度满足微分方程
t2 t1
u dsdt ，其中 D 为 n
M D
s
u dsdt n
t2 t
浓度由 u 变到 u 2 所需之溶质为
2 u u M 1 Cu x, y, z, t 2 u x, y, z, t1 dxdydz C dtdv C dvdt t t t1 t1
2 u k 2 u k1 P u u0 0.24i 2r t c x c c
其中 i 及 r 分别表示导体的电流强度及电阻系数，表示横截面的周长， 表示横截面面积，而 k 表示导线对于介质的热交换系数。 解：问题可视为有热源的杆的热传导问题。因此由原 71 页(1.7)及(1.8)式知方程取形式为