人教版高中数学必修系列：10.2排列(第二课时)

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高中数学新高考复习试卷讲义第10章 §10.2 排列与组合

§10.2 排列与组合考试要求 1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能利用排列、组合解决简单的实际问题．知识梳理1．排列与组合的概念名称定义排列从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素按照排成一列组合作为一组2.排列数与组合数(1)排列数：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有的个数，用符号表示．(2)组合数：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有的个数，用符号表示．3．排列数、组合数的公式及性质公式 (1)A m n ＝＝ (n ，m ∈N *，且m ≤n )． (2)C m n ＝A m n A m m＝ (n ，m ∈N *，且m ≤n )．特别地，C 0n ＝1 性质(1)0！＝；A n n ＝ .(2)C m n ＝C n －m n ；C m n ＋1＝常用结论 1．排列数、组合数常用公式(1)A m n ＝(n －m ＋1)A m －1n. (2)A m n ＝n A m －1n －1. (3)(n ＋1)！－n ！＝n ·n ！.(4)k C k n ＝n C k －1n －1.(5)C m n ＋C m n －1＋…＋C m m ＋1＋C m m ＝C m ＋1n ＋1. 2．解决排列、组合问题的十种技巧(1)特殊元素优先安排．(2)合理分类与准确分步．(3)排列、组合混合问题要先选后排．(4)相邻问题捆绑处理．(5)不相邻问题插空处理．(6)定序问题倍缩法处理．(7)分排问题直排处理．(8)“小集团”排列问题先整体后局部．(9)构造模型．(10)正难则反，等价转化．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．()(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．()(3)若组合式C x n＝C m n，则x＝m成立．()(4)A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m)．()教材改编题1．A24＋C37等于()A．35 B．47 C．45 D．572．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男、女生都有的选法种数是() A．18 B．24 C．30 D．363．将4名学生分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生参加，则不同的安排方案共有________种．题型一排列问题例1(1)中国国家滑雪队将开展自由式滑雪项目中的空中技巧、雪上技巧、障碍追逐和U型场地技巧四个项目表演，现安排两名男队员和两名女队员组队参演，参演选手每人展示其中一个不同的项目，雪上技巧项目必须由女队员展示，则所有不同出场顺序与项目展示方案种数为()A．576 B．288 C．144 D．48(2)用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成________个无重复数字且不大于4 310的四位偶数．听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华对于有限制条件的排列问题，分析问题时，有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时，一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．跟踪训练1(1)(2023·武汉模拟)源于探索外太空的渴望，航天事业在21世纪获得了长足的发展．太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件，宇航员常常在太空旅行中进行科学实验．在某次太空旅行中，宇航员们负责的科学实验要经过5道程序，其中A，B两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有()A．18种B．36种C．72种D．108种(2)8人站成前后两排，每排4人，其中甲、乙两人必须在前排，丙在后排，则共有________种排法．题型二组合问题例2(1)(多选)从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛，则下列说法正确的有()A．如果4人全部为男生，那么有30种不同的选法B．如果4人中男生、女生各有2人，那么有30种不同的选法C．如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有28种不同的选法D．如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有140种不同的选法(2)在某场新闻发布会上，主持人要从5名国内记者与4名国外记者中依次选出3名来提问，要求3人中既有国内记者又有国外记者，且不能连续选国内记者，则不同的选法有() A．80种B．180种C．260种D．420种听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华组合问题常有以下两类题型(1)“含有”或“不含有”问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“最多”问题：用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．跟踪训练2(1)从4名男生和3名女生中选派4人去参加课外活动，要求至少有一名女生参加，则不同的选派种数为()A．12 B．24 C．34 D．60(2)如图，从上往下读(不能跳读，即念完标号为②的国字后只能念下一行标号为③或④的荣字，又如标号为⑤的校字只能接在标号为④的荣字后念)，构成句子“爱国荣校做市西卓越学生”的不同读法总数为________．题型三排列与组合的综合问题命题点1相邻、相间问题例3(多选)有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，正确的是()A．全体站成一排，女生必须站在一起有144种排法B．全体站成一排，男生互不相邻有1 440种排法C．任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有70种D．全体站成一排，甲不站排头，乙不站排尾有3 720种排法听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点2定序问题例4有4名男生，3名女生，其中3名女生高矮各不相同，将7名学生排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列(不一定相邻)，不同的排法共有________种.听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________命题点3分组、分配问题例5(1)(2023·岳阳模拟)中国书法历史悠久，源远流长，书法作为一门艺术，以文字为载体，不断地反映着和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观，谈到书法艺术，就离不开汉字，汉字是书法艺术的精髓，汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术，我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图，以“国”字为例，现有5张分别写有一种书体的临摹纸，将其全部分给3名书法爱好者，每人至少1张，则不同的分法种数为()A．60 B．90 C．120 D．150(2)中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排6名航天员开展实验，其中每个舱安排2人．若甲、乙两人不被安排在同一个舱内做实验，则不同的安排方案共有()A．20种B．36种C．72种D．84种听课记录：______________________________________________________________________________________________________________________________________思维升华求解排列、组合应用问题的常用方法跟踪训练3(1)(多选)已知A，B，C，D，E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有() A．若A，B不相邻，共有72种排法B．若A不站在最左边，B不站在最右边，有72种排法C．若A在B右边有60种排法D．若A，B两人站在一起有48种排法(2)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，同类节目不相邻的排法种数是()A．72 B．120 C．144 D．168(3)将9名大学生志愿者安排在星期五、星期六及星期日3天参加社区公益活动，每天分别安排3人，每人参加一次，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)。

【新教材教案】10.2 事件的相互独立性教学设计(1)-人教A版高中数学必修第二册

10.2 事件的相互独立性本节《普通高中课程标准数学教科书-必修二（人教A版）第十章《10.2 事件的相互独立性》，本节课主要事在已学互斥事件和对立事件基础上进一步了解事件之间的关系，相互独立性是另一种重要的事件关系，注意对概率思想方法的理解。

发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。

课程目标学科素养A.理解两个事件相互独立的概念．B．能进行一些与事件独立有关的概念的计算．C. 通过对实例的分析，会进行简单的应用.1.数学建模：相互独立事件的判定2.逻辑推理：相互独立事件与互斥事件的关系3.数学运算：相互独立事件概率的计算4.数据抽象：相互独立事件的概念1.教学重点：理解两个事件相互独立的概念2.教学难点：事件独立有关的概念的计算多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、探究新知前面我们研究过互斥事件，对立事件的概率性质，还研究过和事件的概率计算方法，对于积事件的概率，你能提出什么值得研究的问题吗？我们知道积事件AB就是事件A与事件B同时发生，因此，积由知识回顾，提()A A B B AB AB()()()P A P AB P AB[]()()()(()1()P AB P A P AB P P A P B P ∴=-==-=AB根据概率的加法公式和事件独立性定义,得)AB AB)()P B P⋅++⨯0.10.2AB AB+AB P ABAB AB)()()+0.72P AB AB=：由于事件“至少有一人中靶根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶=0.020.98甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性，与B 独立,进而.独立CABAB ，()1()P C P C1()()1[1()][1()]P A P B P A P B 1(10.6)(10.5)0.8三、达标检测1.两个实习生每人加工一个零件,加工为一等品的概率分别为23和34,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A.12 B.512C.14D.16答案:B解析:恰有一个一等品即有一个是一等品、一个不是一等品,故所求概率为23×1-34+1-23×34=23×14+13×34=212+312=512,故选B . 2.甲、乙两人各进行1次射击,如果两人击中目标的概率都是0.7,则其中恰有1人击中目标的概率是( ) A.0.49 B.0.42C.0.7D.0.91解析:记甲击中目标为事件A ,乙击中目标为事件B ,且A ,B 相互独立.则恰有1人击中目标为A B 或A B ,所以只有1人击中目标的概率P=P (A B )+P (A B )=0.7×0.3+0.3×0.7=0.42. 答案:B3.一件产品要经过2道独立的加工程序,第一道工序的次品率为a ,第二道工序的次品率为b ,则产品的正品率为( ) A.1-a-b B.1-ab C.(1-a )(1-b ) D.1-(1-a )(1-b )答案:C解析:设A 表示“第一道工序的产品为正品”,B 表示“第二道工序的产品为正品”,且P (AB )=P (A )P (B )=(1-a )(1-b ).4.已知A ,B 相互独立,且P (A )=14,P (B )=23,则P (A B )= . 答案:112解析:根据题意得,P (A B )=P (A )P (B )=P (A )(1-P (B ))=14×1-23=112. 5.某天上午,李明要参加“青年文明号”活动.为了准时起床,他用甲、乙两个闹钟叫醒自己.假设甲闹钟准时响的概率是0.80,乙闹钟准时响的概率是0.90,则两个闹钟至少有一个准时响的概率是 . 答案:0.98解析:至少有一个准时响的概率为1-(1-0.90)×(1-0.80)=1-0.10×0.20=0.98.6.已知诸葛亮解出问题的概率为0.8,臭皮匠老大解出问题的概率为0.5,老二为0.45,老三为0.4,且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？略解: 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为1()10.50.550.60.835P A B C -⋅⋅=-⨯⨯=0.8()P D >=所以，合三个臭皮匠之力就解出的概率大过诸葛亮.()()AB AB AB AB “两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码可以用表示。

人教版高中数学必修第二册10.2 事件的相互独立性

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第十章概率
27
解：(1)由题意可得甲、乙两人超过三小时但不超过四小时还车的概率分别为
1 4
，14
.
记“甲、乙两人所付的租车费用相同”为事件 A，则 P(A)＝14 ×12 ＋12 ×14
＋14 ×14 ＝156 .所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为156 .
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第十章概率
9
探究点1 相互独立事件的判断
(2021·新高考卷Ⅰ)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5， 6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出
的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示
事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的
义．
公式判断事件的独立性，并能将古典概型
2．结合古典概型，利用独与事件独立性相结合，计算简单问题的概
立性计算概率．
率．
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第十章概率
3
相互独立事件
相互独立事件
相关内容
定义性质
对任意两个事件 A 与 B，如果 P(AB)＝ __P_(_A_)_P_(B__)_________成立，则称事件 A 与事件 B 相互独立若事件 A 与 B 相互独立，那么 A 与_－B___，－A 与_B___，－A 与－B 也都相互独立
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第十章概率
26
本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租用时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费 2 元(不足一小时的部分按一小时计算).有甲、乙两人单独来该租车点租车骑游(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14 ，12 ，超过两小时但不超过三小时还车的概率分别为12 ，14 ，两人租车时间都不会超过四小时． (1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率； (2)设 ξ 为甲、乙两人所付的租车费用之和，求 P(ξ＝4)和 P(ξ＝6)的值．

新人教版高中数学必修2课件：10.2 事件的相互独立性

所以P(D)=P(AB∪C)=P(AB)+P(C)
=0.912+0.086=0.998.
素养形成
概率问题中的数学思想
典例在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关,只要其中有1个开关能
够闭合,线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关闭合的概率都是
0.7,计算在这段时间内线路正常工作的概率.
分析该线路是并联电路,当且仅当三个开关都不闭合时,线路才不通,故本
独立,则与 B,A 与, 与也是相互独立的,代入相互独立事件的概率公式求
解.
变式训练 2(1)(2021 江苏无锡期末)现行排球比赛规则为五局三胜制,前四
局每局先得 25 分者为胜,第五局先得 15 分者为胜,并且每赢 1 球得 1 分,每
次得分者发球;当出现 24 平或 14 平时,要继续比赛至领先 2 分才能取胜.
1
3
在一局比赛中,甲队发球赢球的概率为2,甲队接发球赢球的概率为5,在比
分为 24∶24 平且甲队发球的情况下,甲队以 27∶25 赢下此局比赛的概率
为(
1
A.
8
)
3
B.
20
3
C.
10
7
D.
20
(2)设事件 A 与事件 B 相互独立,两个事件中只有 A 发生的概率与只有 B 发
1
生的概率都是4,求 P(A),P(B).
(4)A,B 恰有一个发生为事件 A + B.
(5)A,B 中至多有一个发生为事件 A + B+ .
延伸探究在例3中条件不变,试求恰有一列火车正点到达的概率.
解恰有一列火车正点到达的概率为
P3=P(A )+P()+P( C)

10.2 事件的相互独立性教学设计(2)-人教A版高中数学必修第二册

【新教材】10.2 事件的相互独立性教学设计（人教A版）事件的相互独立性是在已学互斥事件和对立事件基础上进一步了解事件之间的关系，及对应的概率的计算.课程目标1．理解两个事件相互独立的概念．2．能进行一些与事件独立有关的概念的计算．3. 通过对实例的分析，会进行简单的应用.数学学科素养1.数学抽象：两个事件相互独立的概念．2.数学运算：与事件独立有关的概念的计算.重点：独立事件同时发生的概率．难点：有关独立事件发生的概率计算教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学有放回地抽取，事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“最后一名同学抽到中将奖券”.事件A的发生会影响事件B发生的概率吗？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本246-249页，思考并完成以下问题1. 满足什么条件两个事件是相互独立的？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究事件A与B相互独立对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立(mutually independent)，简称为独立．注意（1）事件A与B是相互独立的，那么A与B̅，A与B，A与B̅也是否相互独立.（2）相互独立事件同时发生的概率：P(AB)＝P(A)P(B).四、典例分析、举一反三题型一相互独立事件的判断例1一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件A=“第一次摸出球的标号小于3”，事件B=“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与事件B 是否相互独立？【答案】不独立【解析】因为样本空间(){}{},,1,2,3,4,m n m n m n Ω=∈≠且()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,2,1,2,3,2,4A =()()()()()(){}1,2,2,1,3,1,3,2,4,1,4,2B =所以()()61122P A P B ===,()21126P AB == 此时()()()P AB P A P B ≠⋅因此,事件A 与事件B 不独立.解题技巧（独立事件的判断）对于事件A ，B ，在一次试验中，A ，B 如果不能同时发生，则称A ，B 互斥，一次试验中，如果A ，B 两个事件互斥且A ，B 中必然有一个发生，则称A ，B 对立，显然A ∪A 为一个必然事件．A ，B 互斥则不能同时发生，但有可能同时不发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．跟踪训练一1. 从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张，设A ＝“抽到K”，B ＝“抽到红牌”，C ＝“抽到J”，那么下列每对事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？(1)A 与B ；(2)C 与A .【答案】见解析.【解析】 (1)由于事件A 为“抽到K”，事件B 为“抽到红牌”，故抽到红牌中有可能抽到红桃K 或方块K ，即有可能抽到K ，故事件A ，B 有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更加不是对立事件．以下考虑它们是否为相互独立事件：抽到K 的概率为P (A )＝452＝113抽到红牌的概率为P (B )＝2652＝12，故P (A )P (B )＝113×12＝126，事件AB 为“既抽到K 又抽到红牌”，即“抽到红桃K 或方块K”，故P (AB )＝252＝126，从而有P (A )P (B )＝P (AB )，因此A 与B 是相互独立事件．(2)从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张．抽到K 就不可能抽到J ，抽到J 就不可能抽到K ，故事件C 与事件A 不可能同时发生，A 与C 互斥．由于P (A )＝113≠0.P (C )＝113≠0，而P (AC )＝0，所以A 与C 不是相互独立事件，又抽不到K 不一定抽到J ，故A 与C 并非对立事件.题型二相互独立事件同时发生的概率例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：（1）两人都中靶；（2）恰好有一人中靶；（3）两人都脱靶；（4）至少有一人中靶.【答案】（1）0.72 （2）0.26 （3）0.02 （4）0.98【解析】设A =“甲中靶”, B =“乙中靶”,则A =“甲脱靶”,B =“乙脱靶”,由于两个人射击的结果互不影响,所以A 与B 相互独立,A 与B ,A 与B ,A 与B 都相互独立由已知可得,()()()()0.8,0.9,0.2,0.1P A P B P A P B ====.（1）AB = “两人都中靶”,由事件独立性的定义得()()()0.80.90.72P AB P A P B =⋅=⨯=（2）“恰好有一人中靶” AB AB =,且AB 与AB 互斥根据概率的加法公式和事件独立性定义,得 ()()()P AB AB P AB P AB =+()()()()P A P B P A P B =⋅+⋅ 0.80.10.20.90.26=⨯+⨯= （3）事件“两人都脱靶”AB =, 所以()()()P AB P A P B =⋅ ()()10.810.90.02=-⨯-=（4）方法1：事件“至少有一人中靶”ABAB AB =,且AB ,AB 与AB 两两互斥, 所以()P AB AB AB ()()()P AB P AB P AB =++()()P AB P AB AB =+ 0.720.260.98=+=方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶”的概率为()110.020.98P AB -=-=解题技巧 (相互独立事件同时发生的概率)解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若A ，B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也是相互独立的，代入相互独立事件的概率公式求解．跟踪训练二1. 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为14，12，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为12，14，两人租车时间都不会超过四小时． (1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率．【答案】(1) 516．(2) 516．【解析】甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率分别为1－14－12＝14.1－12－14＝14. (1)租车费用相同可分为租车费都为0元、2元、4元三种情况．租车费都为0元的概率为p 1＝14×12＝18，租车费都为2元的概率为p 2＝12×14＝18，租车费都为4元的概率为p 3＝14×14＝116. 所以甲、乙所付租车费用相同的概率为p ＝p 1＋p 2＋p 3＝516. (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ，则“ξ＝4”表示“两人的租车费用之和为4元”，其可能的情况是甲、乙的租车费分别为①0元、4元，②2元、2元，③4元、0元．所以可得P (ξ＝4)＝14×14＋12×14＋14×12＝516，即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为516. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本249页练习，250页习题10.2.两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响一般地，两个事件不可能即互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的.。

高中数学教案——排列第二课时

课题： 10．2排列 (二)教学目的： 1进一步理解排列和排列数的概念，理解阶乘的意义，会求正整数的阶乘；2.掌握排列数的另一个计算公式，并能熟练应用公式解决排列数的化简、证明等问题教学重点：排列数公式的应用教学难点：排列数公式的应用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题.排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法）.要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高.排列、组合问题解题方法比较灵活，问题思考的角度不同，就会得到不同的解法.若选择的切入角度得当，则问题求解简便，否则会变得复杂难解.教学中既要注意比较不同解法的优劣，更要注意提醒学生体会如何对一个问题进行认识思考，才能得到最优方法.教学过程：一、复习引入：1 分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++种不同的方法2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法3．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同4．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m 元素的排列数，用符号m n A 表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n 个不同元素中，任取m 个元素按照一定的顺序．．．．．排成一列，不是数；“排列数”是指从n 个不同元素中，任取m （m n ≤所以符号m n A 只表示排列数，而不表示具体的排列5．排列数公式：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+（,,m n N m n *∈≤）说明：（1）公式特征：第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是1n m -+，共有m 个因数；（2）全排列：当n m =时即n 个不同元素全部取出的一个排列全排列数：(1)(2)21!n n A n n n n =--⋅=（叫做n 的阶乘）二、讲解新课：1 阶乘的概念：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列，这时(1)(2)321n n A n n n =--⋅⋅；把正整数1到n 的连乘积，叫做n的阶乘表示：!n ，即n n A =n 规定0!1=．2．排列数的另一个计算公式：(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+ (1)(2)(1)()321()(1)321n n n n m n m n m n m ---+-⋅⋅=---⋅⋅=!()!n n m -即 m n A =!()!n n m - 三、讲解范例：例1．计算：①66248108!A A A +-；② 11(1)!()!n m m A m n ----．解：①原式876543216543218710987⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=⨯-⨯⨯⨯ =5765432513056(89)623⨯⨯⨯⨯⨯=-⨯-； ②原式(1)!1(1)!()!()!m m m n m n -==---．例2．解方程：3322126x x x A A A +=+．解：由排列数公式得：3(1)(2)2(1)6(1)x x x x x x x --=++-，∵3x ≥，∴ 3(1)(2)2(1)6(1)x x x x --=++-，即2317100x x -+=，解得 5x =或23x =，∵3x ≥，且x N *∈，∴原方程的解为5x =．例3．解不等式：2996x x A A ->．解：原不等式即9!9!6(9)!(11)!x x >⋅--，也就是16(9)!(11)(10)(9)!x x x x >--⋅-⋅-，化简得：2211040x x -+>，解得8x <或13x >，又∵29x ≤≤，且x N *∈，所以，原不等式的解集为{}2,3,4,5,6,7．例4．求证：（1）n m n m n n n m A A A --=⋅；（2）(2)!135(21)2!n n n n =⋅⋅-⋅．证明：（1）!()!!()!m n m n n m n A A n m n n m --⋅=-=-n n A =，∴原式成立（2）(2)!2(21)(22)43212!2!n n n n n n n n ⋅-⋅-⋅⋅⋅=⋅⋅2(1)21(21)(23)312!n n n n n n n ⋅-⋅⋅--⋅=⋅ !13(23)(21)!n n n n ⋅⋅--==135(21)n ⋅⋅-=右边 ∴原式成立说明：（1）解含排列数的方程和不等式时要注意排列数m n A 中，,m n N *∈且m n ≤这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围；（2）公式(1)(2)(1)m n A n n n n m =---+常用来求值，特别是,m n 均为已知时，公式m n A =!()!n n m -，常用来证明或化简例5．化简：⑴12312!3!4!!n n -++++；⑵11!22!33!!n n ⨯+⨯+⨯++⨯ ⑴解：原式11111111!2!2!3!3!4!(1)!!n n =-+-+-++-=-11!n - ⑵提示：由()()1!1!!!n n n n n n +=+=⨯+，得()!1!!n n n n ⨯=+-，原式()1!1n =+- 说明：111!(1)!!n n n n -=--．四、课堂练习： 1．若!3!n x =，则x = （） ()A 3n A ()B 3n n A - ()C 3n A ()D 33n A -2．与37107A A ⋅不等的是（）()A 910A ()B 8881A ()C 9910A ()D 1010A 3．若532m mA A =，则m 的值为（） ()A 5 ()B 3 ()C 6 ()D 74．计算：5699610239!A A A +=- ； 11(1)!()!n m m A m n ---=⋅- ． 5．若11(1)!242m m m A --+<≤，则m 的解集是． 6．（1）已知101095m A =⨯⨯⨯，那么m = ；（2）已知9!362880=，那么79A = ；（3）已知256n A =，那么n = ；（4）已知2247n n A A -=，那么n = ．7．一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1列火车）？8．一部纪录影片在4个单位轮映，每一单位放映1场，有多少种轮映次序？答案：1. B 2. B 3. A 4. 1,1 5. {}2,3,4,5,66. (1) 6 (2) 181440 (3) 8 (4) 57. 16808. 24五、小结：排列数公式的两种形式及其应用六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：。

高中数学必修二(人教版)《10.2事件的相互独立性》课件

[方法技巧] 事件间的独立性关系已知两个事件 A，B 相互独立，它们的概率分别为 P(A)，P(B)，则有
事件
表示
概率
A，B 同时发生 A，B 都不发生
AB －A －B
P(A)P(B) P(－A )P(－B )
A，B 恰有一个发生
(A －B )∪(－A B)
P(A)P(－B )＋P(－A )·P(B)
(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率；
(2)至少有一个气象台预报准确的概率．解：记“甲气象台预报天气准确”为事件 A，“乙气象台预报天气准确”为事件 B. (1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率为 P(AB)＝P(A)P(B)＝45×34＝35. (2)至少有一个气象台预报准确的概率为 P＝1－P(－A －B )＝1－P(－A )P(－B )＝1－15×14＝1290.
(1)两个人都译出密码的概率为 P(AB)＝P(A)·P(B)＝13×14＝112.
(2)两个人都译不出密码的概率为 P(－A －B )＝P(－A )·P(－B )＝[1－P(A)][1－P(B)]＝1－13×1－14＝12. (3)恰有 1 个人译出密码可以分为两类，即甲译出乙未译出以及甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件，所以恰有 1 个人译出密码的概率为 P(A－B ∪－A B)＝P(A－B )＋P(－A B)＝P(A)P(－B )＋P(－A )P(B)＝13×1－14＋ 1－13×14＝152.
对任意两个事件 A 与 B，如果 P(AB)＝___P_(A__)P__(B__) __成立，则称事件 A 与事件 B 相互独立，简称为独立． 2．相互独立事件的性质：
当事件 A，B 相互独立时，事件__A_与事件_B__相互独立，事件__A_与事件 _B__相互独立，事件_A__与事件_B__相互独立．

高中数学第十章第02课时排列教师专用教案新人教A版

.
【基本概念】
1. 什么叫排列？从 n 个不同元素中，任取 m( m n ) 个元素（这里的被取元素各不相同）
按照一．定．的．顺．序．排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m个元素的一．个．排．列．
2. 什么叫不同的排列？元素和顺序至少有一个不同
.
3. 什么叫相同的排列？元素和顺序都相同的排列
.
4. 什么叫一个排列？
【例题与练习】
1. 由数字 1、2、 3、 4 可以组成多少个无重复数字的三位数？
2. 已知 a、 b、 c、 d 四个元素，①写出每次取出 3 个元素的所有排列；②写出每次取出 4 个元素的所有排列 .
【排列数】
用心爱心专心
1
1. 定义：从 n 个不同元素中，任取 m( m n ) 个元素的所有排列的个数叫做从取出 m元素的排列数，用符号 pnm 表示 .
用符号表示上述各题中的排列数 .
2. 排列数公式： pmn =n(n-1)(n-2) … (n-m+1)
n 个元素中
p
1 n
； pn2
； pn3
；
pn4
；
计算： p52 =
； p54 =
； p125 =
；
【课后检测】 1. 写出：
① 从五个元素 a、b、 c、 d、 e 中任意取出两个、三个元素的所有排列； ② 由 1、2、 3、 4 组成的无重复数字的所有 3 位数 . ③ 由 0、1、 2、 3 组成的无重复数字的所有 3 位数 .
2. 计算：
①p3 100 Nhomakorabea② p63
③ p84
2
p
2 8
④
p182 p712

高二数学最新课件-102排列(2) 精品

一复习提问
①什么叫一个排列？
②什么叫排列数？ ③如何计算一个排列问题的所有排列数？二推导排列数公式先计算An2，再计算Anm。
①求An2
第一位第二位
n
n-1
分步：第一步，先填第一个位置，可从n个元素中任取
一个填空，有n种方法；
第二步，填第二个位置，可从余下的（n-1）个元素中任取一个填空，有（n-1）种方法； ∴N=n（n-1）=An2
②求Anm
第一位第二位
第 m位
…… n任选一个元素填第一位，有n种填法；第二步：从余下的（n-1）个元素中任选一个元素填第二位，有（n-1）种填法； …… 第m步：从余下的（n-m+1）个元素中任选一个元素填第m位，有（n-m+1）种填法；
N=n（n-1）…（n-m+1）=Anm
练习１、
（1）计算：A （2）若
2 ＝ 5
，
A
3 ＝ 8
m=
A
m n
=17×16×‥‥×5×4，则
, n=
例1 、计算：①A163；②A66；③A63
例2、求下列各式中n值： ①A2n+14=140An3；②3A8n=4A9n-1 例3、证明：Anm+m· Anm-1=An+1m
练习2、P95
4、 5 、 6
作业、P95 习题
2、 3、 4。

人教版高中数学必修二排列与排列数(2)-课件

情况一，0在末位，情况二，0不在末位：
0 排列数为 A39 ；
0
A12
A14 确定剩余2个数位，有 A82 种；
含0的情况共有：A39 A12A14A82 种方法.
第二类，4个数字中不含0，此时限制条件只剩末位为偶数. 第一步，确定末位；第二步，确定其余3个数位.
优化解题
A83
A14
第二类共有：A14A83 种方法.
从反面研究，由于分类情况较多，并不能达到简化问题的效果，不如直接正面计算（插空法的优势）.
【课堂小结】
今天我们学习了几种排列问题的解决方法：（1）含限制条件的问题：特殊位置、特殊元素、排除法.
在解决含有限制条件的计数问题时，经常通过分解问题，采用 “先分类，再分步”的方法. 如果限制条件中包含特殊位置或者特殊元素时，应优先处理特殊要求. 具体的解题策略一般有两个途径，一个是“直接法”，另一个是 “排除法”.如果正面研究情况比较复杂时，我们可以尝试“排除法”，即“正难则反”.
出现类似“不”的否定词语---反面思考：排除法从“六人任意排列”的情况中去掉“A与B相邻”的情况：
A66 240 480 种.
解决“不相邻”问题的其他方法
第一步，将除A,B外的剩余4个对象全排列，共有
A
4 4
种排法；（5个空位）
空位
空位
空位
空位
空位
第二步，从5个空位中任取2个空位分别排列A,B这2个对象，共有 A52 种排法；
综上，共有 A39 +A12A14A82 +A14A83 2296 个.
法3：排除法: “四位偶数”：从“任意四位数”中，去掉“四位奇数” “四位奇数”，末位的要求更特殊，优先讨论末位：

2019-2020学年高中数学必修系列：10.2排列(第二课时).doc

2019-2020学年高中数学必修系列：10.2排列(第二课时)●教学目标（一）教学知识点1.排列、排列数公式.2.全排列、全排列数公式.（二）能力训练要求1.进一步理解排列的意义.2.进一步熟悉排列数公式以及全排列数公式的应用.3.了解科学计算器的简化排列运算功能.4.学会分析和解决一些简单的排列应用问题.（三）德育渗透目标通过实际应用题的求解，体会排列知识在实际中的应用，增强学习数学的兴趣，并提高学生透过现象看本质的能力.●教学重点排列应用题.●教学难点抓排列问题中“顺序”的本质.●教学方法启发式启发学生在分析问题时抓住问题的本质，能够区分有无顺序，与排列的意义产生联系，转化为排列的排列数运算问题.对于排列问题中常见的排队和排数问题，引导学生归纳总结，掌握相邻问题与不相邻问题的一般处理方法，即捆绑法与插空法的应用，并且要注重逆向思维与转化思想的应用.●教具准备投影片.第一张：本节例题（记作10.2.2 A）第二张：补充练习题（记作10.2.2 B）●教学过程Ⅰ.复习回顾［师］上一节课，我们一起学习了排列的基本概念，并推导了基本的排列数运算公式，下面请同学们作简要回顾.［生］排列的定义关键是按顺序排列.［生］排列数公式为A m=n·(n-1)·…·(n-m+1).n=n!.全排列数公式为A nn［师］好，非常正确，有了上述排列数的基本运算公式，这一节，我们将一起探讨排列数知识在实际中的应用.Ⅱ.讲授新课［师］为进一步熟悉排列应用题，我们进行下面的练习.Ⅲ.课堂练习课本P95练习7.解：从5名运动员中选3名比赛，并排定他们的出场顺序，对应于从5个元素中取3个元素的排列，因此，不同选法有=60（种）.A358.解：从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行试验，对应于从4个元素中取3个元素的排列，因此，不同种植方法有=24（种）.A34［师］通过本节学习，要求大家进一步熟悉排列在实际中的应用，初步认识相邻问题的解决方法捆绑法，不相邻问题的解决方法插空法，了解基本原理及转化思想在解题中的应用，不断增强分析、解决问题的能力.Ⅴ.课后作业（一）课本P925、6、8.（二）1.预习课本P89～P90.2.预习提纲（1）对于排数问题含0与不含0有何区别？（2）逆向思考方法适用于哪种情形？●板书设计。

高中_10.2.2排列(2)

§10.排列〔二〕班级学号姓名一、目标要点：进一步理解排列、排列数的概念，掌握排列数公式的阶乘形式，并会用阶乘进展计算。

会处理一些有一定附加条件的排列问题。

二、要点回忆：1、符号),(*n m N n m A m n ≤∈且表示的意义是， =m n A ),(*n m N n m ≤∈且= 〔阶乘形式〕。

2、叫n 个不同元素的一个全排列。

全排列数为。

3、填出并熟记以下阶乘的值：〔1〕!0= 〔2〕!1= 〔3〕!2= 〔4〕!3= 〔5〕!4= 〔6〕!5= 〔7〕!6= 〔8〕!7=4、处理有附加条件的排列问题时，应遵循特殊元素〔位置〕优先的原那么。

常用方法是〔1〕直接法；〔2〕排除法。

三、目标训练：1、计算：① 3100A= ② 36A = ③ 28482A A - = ④ 712812A A = 2、填空：〔1〕591010⨯⨯⨯= m A ，那么=m ；〔2〕362880!9=，那么=79A ；〔3〕562=n A ，那么=n ；〔4〕2427-=n n A A ，那么=n ；〔5〕4345=+nn n A A A ，那么=n ；〔6〕2886-<x x A A ，那么=x 。

3、7个人站成一列，〔1〕如果甲必须站正中间，那么有种排法；〔2〕如果甲不能站两端，那么有种排法；〔3〕如果甲、乙两人必须站两端，那么有种排法；〔4〕如果甲、乙两人都不能站两端，那么有种排法；〔5〕如果甲不能在首位，乙不能站在末位，那么有种排法；〔6〕*如果甲必须在乙的前面，那么有种排法。

〔7〕*如果甲、乙必须站在一起，那么有种排法4、解方程或不等式：〔1〕3412140x x A A =+ 〔2〕2996->x x A A5、求证：① 11--=m n m n nA A ② 11211--++=-n n n n n n A n A A③()()()!!1!1!!!1k n k n k n k n ⋅+-=--+ ④1)!1(!!33!22!1-+=⋅++⋅+⋅+n n n⑤)!1(11)!1(!43!32!21+-=+++++n n n6、用0、1、2、3、4、5组成四位数，〔1〕共可组成多少个不同的四位数？〔2〕共可组成多少个没有重复数字的四位数？〔3〕共可组成多少个没有重复数字且能被5整除的四位数？〔4〕共可组成多少个没有重复数字且能被3整除的四位数？。

排列第2课时

排列（第二课时）湖北省巴东县第三高级中学许贤永一、课时目标1.正确理解排列、排列数的概念，掌握排列数的计算公式2.能运用公式解决排列数的化简、证明等有关问题二、重点难点排列数公式的推导过程及应用三、问题导学问题1：写出排列、排列数的定义及排列数计算公式，指出排列数计算公式的结构特点。

问题2：课本中将错误!未找到引用源。

时的排列叫什么？写出它的计算公式，并指出其结构特点。

问题3：试将错误!未找到引用源。

的计算公式用阶乘表示。

四、教学步骤Ⅰ、设置情境上节课我们学习了排列与排列数的有关概念，排列数公式的表示还有什么新的形式吗？在运用公式计算时应该注意什么呢？这节课我们进一步解决这一问题。

Ⅱ、探索研究出示导学中的问题1，让学生回答问题，师生共同讨论、研究，深化对相关知识的理解。

研究问题2，得出如下结论：当错误!未找到引用源。

时，正整数1到n的连乘积叫做n的阶乘，用错误!未找到引用源。

表示。

注意：（1）阶乘符号“！”借用于标点符号，表示感叹，意味着随着n的不断增大，错误!未找到引用源。

的值增加得令人惊奇的快，这个符号很形象、很贴切。

（2）排列数公式推导是“构造”框图来解决的，框图是一种简单的数学建模，学习时要引起重视。

研究导学中的问题3，得如下结论：排列数公式还可以写成为了使上面的公式错误!未找到引用源。

时也能成立，我们规定错误!未找到引用源。

一般情况下，第一个公式常用于计算；第二个公式常用于证明。

基础知识形成性练习1.计算（1）错误!未找到引用源。

；（2）错误!未找到引用源。

答案：（1）20；（2）3362.若m是正整数，则错误!未找到引用源。

可表示为错误!未找到引用源。

3.错误!未找到引用源。

= 错误!未找到引用源。

4.错误!未找到引用源。

,则m等于___6__知识应用与解题研究例题1 （1）解方程错误!未找到引用源。

；（2）解不等式错误!未找到引用源。

解：（1）根据原方程应满足错误!未找到引用源。

,解得错误!未找到引用源。

高二数学排列2

(2)5A53 4 A42
(3) Anm
____
Am1 n1
(4)
(5)
AAnmmn(11m (_m1_)_!n_)!Anm_1______
练习2：选择
(1)若x n!，则x等于（ 3!
A: A3 n
B:An3 C:An
n
3
） D:An
n3
（2）100 99 98... 88等于( )
A:A11 100
两个问题的区别： (1)是从5本不同的书中选出3本分送3名同学，各人得到的书不同，
属于求排列数问题； (2)由于不同的人得到的书可能相同，因此不符合使用排列数公式的条件，
只能用分步乘法计数原理进行计算．
例5.用0到9这10个数字，可以组用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
1.2.1排列（二）
复习： 1.排列的定义 2.排列要满足的2个条件 3.排列数公式：
Anm n(n 1)(n 2)...(n m 1)
4.阶乘
例1．用计算器计算：（1） A140
（2） A158
（3）
A18 18
A13 13
.
解：用计算器可得：
练习1：计算
(1) A41 A42 A43 A44
解：任意两队间进行1次主场比赛与 1次客场比赛，对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列．因此，比赛的总场次是
A124 14 13 182
例4(1）从5本不同的书中选选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
(2）从5种不同的书中买买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
B:A12 100
C:A13 100