2014届高三一轮数学(理)复习第29讲复数的概念与运算
高三复数复习课件
三角函数图像的绘制方法
利用MATLAB绘制三角函数图像
使用MATLAB的绘图功能，可以绘制正弦、余弦和正切函数的图像。
利用Python绘制三角函数图像
使用Python的matplotlib库，可以绘制正弦、余弦和正切函数的图像。
04
复数在解方程中的应用
一元二次方程的解法及其应用
实数根与虚数根
一元二次方程的解可以是 实数或虚数，通过判别式
复数解的形式
二元一次方程组的解也可 以表示为复数形式，包括 实部和虚部。
在几何中的应用
二元一次方程组的解可以 表示平面上的点，通过几 何意义可以直观地理解方 程组的意义。
多元一次方程组的解法及其应用
01
消元法与代入法
多元一次方程组可以通过消元法和代入法求解，得到多个未知数的值。
02
复数解的形式
多元一次方程组的解也可以表示为复数形式，包括实部和虚部。
谢谢您的聆听
THANKS
复数的表示方法
复数可以用平面坐标系中的点来 表示，实部为横坐标，虚部为纵 坐标。
复数的性质及其运算规则
复数的性质
复数具有实部和虚部，可以比较大小，可以进行四则运算等 。
复数的运算规则
复数的加法、减法、乘法和除法运算都有特定的规则，需要 掌握。
复数的几何意义与坐标表示
复数的几何意义
复数可以用平面坐标系中的点来表示 ，也可以用向量来表示。
利用复数计算三角函数的值
对于复数$z = a + bi$，其三角形式为$r(\cos \theta + i \sin \theta)$，则 $\sin z = \sin \theta (\cos \theta + i \sin \theta)$，$\cos z = \cos \theta (\cos \theta + i \sin \theta)$。
2014版高考数学一轮总复习 第29讲 复数的概念与运算课件 文 新人教A版
1＋ai 5.(2011· 安徽卷)设 i 是虚数单位， 复数 为纯 2－i 虚数，则实数 a 为( A．2 1 C．－2 ) B．－2 1 D.2
1＋ai 1＋ai2＋i 2＋i＋2ai＋ai2 【解析】 因为 ＝ ＝ ＝ 5 2－i 2－i2＋i 2－a＋1＋2ai 2－a 1＋2a ＝ 5 ＋ 5 i 为纯虚数， 5 2－a 1＋2a 所以 5 ＝0 且 5 ≠0，所以 a＝2. 易错点：纯虚数中一定要注意 b≠0.
【解析】由复数运算的几何意义， → → → AB＝OB－OA＝(－4－i)－(3－2i)＝－7＋i， 故选 C. 易错点：向量的运算出错．
2－i 3.(2011· 山东卷)复数 z＝ (i 为虚数单位)在复 2＋i 平面内对应的点所在象限为( A．第一象限 C．第三象限 )
B．第二象限 D．第四象限
一
复数的概念及运算
【例 1】 已知复数 z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i， 当实数 m 为何值时， (1)z 为纯虚数； (2)z 为实数； (3)z 对应的点在复平面的第二象限．
【分析】依据复数分类的条件和代数形式的几何意 义求解．
【解析】 (1)当 m＝3 时，z 为纯虚数． z
5i 【例 2】(1)(2011· 新课标卷)复数 ＝( 1－2i A．2－i C．－2＋i B．1－2i D．－1＋2i
)
(2)(2011· 上海卷)已知复数 z1 满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数 z2 的虚部为 2，z1·2 是实数，求 z2. z
5i1＋2i 5i＋10i2 5i－10 5i 【解析】 (1) ＝ ＝ 2 ＝ 5 ＝ 1－2i 1－2i1＋2i 1－4i －2＋i，故选 C.
高三集合复数知识点总结
高三集合复数知识点总结集合与复数是高中数学中的重要内容，它们在解决实际问题和理解数学概念中扮演着关键角色。
本文将对高三阶段所涉及的集合与复数的知识点进行总结，以帮助学生更好地理解和掌握这些概念。
一、集合的概念及运算集合是由具有某种特定性质的事物或对象组成的整体。
在数学中，我们通常用大写字母来表示集合，如集合A、集合B等。
集合中的元素可以是数字、字母、图形等。
1. 集合的表示方法集合通常用大括号表示，元素之间用逗号分隔。
例如，集合A = {1, 2, 3} 表示集合A包含元素1、2和3。
2. 集合的分类集合可以分为有限集和无限集。
有限集是元素数量有限的集合，而无限集是元素数量无限的集合。
此外，还有空集，即不包含任何元素的集合。
3. 集合间的关系集合间的关系主要包括子集、真子集、相等和并集等。
子集是指一个集合的所有元素都是另一个集合的元素；真子集是指一个集合不仅是另一个集合的子集，而且还有自己独有的元素；两个集合相等是指它们包含完全相同的元素；并集是指将两个集合的所有元素合并在一起构成的新集合。
4. 集合的运算集合的运算主要包括并集、交集和补集。
并集运算用符号∪表示，交集运算用符号∩表示，补集运算用符号'或{ }^c表示。
例如，集合A 和集合B的并集是A∪B，交集是A∩B，集合A在全集U中的补集是A'或U^c。
二、复数的概念及运算复数是实数的扩展，它由实部和虚部组成，一般形式为a+bi，其中a 和b是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。
1. 复数的表示复数可以在平面上表示为一个点或一个向量。
实部对应于横坐标，虚部对应于纵坐标。
这种表示方法称为复平面。
2. 复数的分类复数可以根据实部和虚部的符号进行分类，包括实数、纯虚数、正实数、负实数等。
3. 复数的运算复数的运算包括加法、减法、乘法和除法。
复数的加法和减法运算类似于向量的加法和减法，即将对应的实部和虚部分别相加或相减。
复数的乘法运算需要使用分配律和虚数单位i的幂运算规则。
高中复数复习知识点(整理)
复数知识点总结一；复数的基本概念（1）形如a + b i 的数叫做复数（其中）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部实数：当b = 0时复数a + b i 为实数虚数：当时的复数a + b i 为虚数；纯虚数：当a = 0且时的复数a + b i 为纯虚数（2）幂运算：（3）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习）（4）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模；（5）两个复数相等的定义：（6）复数的基本运算:设111z a b i =+，222z a b i =+1)加法：()()121212z z a a b b i +=+++；2)减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；3)乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。
注：两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.①若为复数，则若，则.（×）[为复数，而不是实数]若，则.（√）②若，则是的必要不充分条件.（当R b a ∈，1i 2-=0≠b 0≠b 1,,1,,143424142=-=-==-=+++n n n n i i i i i i i )(,0321Z n i i i i n n n n ∈=++++++00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且21,z z 1021 z z +21z z - 21,z z 221z z 021 z z -C c b a ∈,,0)()()(222=-+-+-a c c b b a c b a ==，时，上式成立）（7）除法：c di z a bi+=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=⋅≠+，当c d a b=时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi+==+进一步建立方程求解 (8)共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；注：1）共轭复数的性质：，（a + b i ）（） 2）注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]3） ①复数的乘方： ②对任何，及有以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如若由就会得到的错误结论.在实数集成立的. 当为虚数时，，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.③常用的结论：22)(i b a =-0)(,1)(22=-=-a c c b z z =2121z z z z +=+a z z 2=+i 2b z z =-=z 22||||z z z z ==⋅2121z z z z -=-2121z z z z ⋅=⋅2121z z z z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛02≠z n n z z )(=)(...+∈⋅⋅=N n z z z z z nnz 21,z z C ∈+∈N n m ,n n n n m n m n m n m z z z z z z z z z 2121)(,)(,⋅=⋅==⋅⋅+1,142=-=i i 11)(212142===i i 11=-2||x x =x 2||x x ≠i i i i i i i i -=+-=-+±=±11,11,2)1(2二． 例题分析【例1】已知()14z a b i =++-，求（1） 当,a b 为何值时z 为实数（2） 当,a b 为何值时z 为纯虚数（3） 当,a b 为何值时z 为虚数（4） 当,a b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限。
复数的概念及运算 知识点+例题 全面分类
[例2] 设复数z 满足)1)(23(i i iz -+=-，则.______=z i 51+[巩固1] 复数i i a 212+-是纯虚数，则实数a 的值为________.4[巩固2] 如果)(112R m mi i ∈+=-，那么._____=m 1[例3] 已知i z 34+-=，则._______2=-z i 36+[巩固1] 已知复数i z 211+=，i z 322-=，则21z z +的共轭复数是___________.i +3[巩固2] 已知i 是虚数单位，R n m ∈，，且ni i m -=+22，则ni m ni m -+的共轭复数为_________.i[例4] 计算：（1）3)2)(1(ii i ++-（2）22)1(1)1(1i i i i -+++-[巩固] 计算：（1）)1()2()23(i i i +---++；（2）)2)(1(2013i i i -+⋅；（3）ii 4321-+1．复平面：我们把建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2．复数的模：22b a bi a z +=+=3．bi a z +=1，di c z +=2，则2221)()(d b c a z z -+-=- 两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.[例1] 已知复数i i z -+=12，则._____=z 210[巩固1] 复数)0(21<+=a iai z ，其中i 为虚数单位， 5=z ，则a 的值为__________.-5[巩固2] 若2=z ，求i z 43-+取最大值时的.______=z i 5856-[例2] 复数)(23)1(2R a i a a i z ∈++--=（1）若z z =，求z ；（2）若在复平面内复数z 对应的点在第一象限，求a 的范围. 知识模块3复数的模精典例题透析[巩固] 已知z为复数，iz2+为实数，且zi)21(-为纯虚数，其中i为虚数单位.（1）求复数z；（2）若复数z满足1=-zw，求w的最小值.题型一：复数的概念[例]（1）已知a∈R，复数z1＝2＋a i，z2＝1－2i，若z1z2为纯虚数，则复数z1z2的虚部为_______.（2）若z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i(m∈R)，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的_________条件.（填充分不必要，必要不充分，充要或既不充分也不必要）答案(1) 1(2) 充分不必要条件解析(1)由z1z2＝2＋a i1－2i＝(2＋a i)(1＋2i)5＝2－2a5＋4＋a5i是纯虚数，得a＝1，此时z1z2＝i，其虚部为1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧m2＋m＋1＝3，m2＋m－4＝－2，解得m＝－2或m＝1，所以“m＝1”是“z1＝z2”的充分不必要条件．[巩固]（1）设i是虚数单位．若复数a－103－i(a∈R)是纯虚数，则a的值为__________.（2）已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋b i)2＝2i”的____________条件.（填充分不必要，知识模块4经典题型必要不充分，充要或既不充分也不必要）答案 (1) 3 (2) 既不充分也不必要条件解析 (1)a －103－i＝a －(3＋i)＝(a －3)－i ，由a ∈R ， 且a －103－i为纯虚数知a ＝3. (2)当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ；当(a ＋b i)2＝2i 时，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ＝1， 解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的充分不必要条件．题型二：复数的运算[例] 计算：（1）3(1＋i )2i －1＝________； （2）(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i＝________. 答案 (1)3－3i (2)－1＋i解析 (1)3(1＋i )2i －1＝3×2i i －1＝6i i －1＝－6i (i ＋1)2＝－3i(i ＋1)＝3－3i. (2)原式＝[(1＋i )22]6＋(2＋3i )(3＋2i )(3)2＋(2)2＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i. [巩固]（1）已知复数z 满足(3＋4i)z ＝25，则z 等于_________.（2）复数⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2＝________. 答案 (1) 3－4i (2)－1解析 (1)方法一 由(3＋4i)z ＝25，得z ＝253＋4i ＝25(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝3－4i. 方法二 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(3＋4i)(a ＋b i)＝25，即3a －4b ＋(4a ＋3b )i ＝25，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －4b ＝25，4a ＋3b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－4，故z ＝3－4i. (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2＝1＋i 2＋2i 1＋i 2－2i ＝i －i＝－1.题型三：复数的几何意义[例] 如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：（1）AO →、BC →所表示的复数；（2）对角线CA →所表示的复数；（3）B 点对应的复数．解 (1)AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i.∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i.(2)CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即B 点对应的复数为1＋6i.[巩固]（1）在复平面内复数Z ＝i(1－2i)对应的点位于第_____象限.答案 一解析 ∵复数Z ＝i(1－2i)＝2＋i ，∵复数Z 的实部2>0，虚部1>0，∴复数Z 在复平面内对应的点位于第一象限．（2）已知z 是复数，z ＋2i 、z 2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解 设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.∵z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ， 由题意得x ＝4.∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0， 解得2<a <6，∴实数a 的取值范围是(2,6)．1．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为___________.答案 －1解析 由复数z 为纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，解得x ＝－1，故选A. 2．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数是__________.答案 －3－4i解析 因为CA →＝CB →＋BA →＝－1－3i ＋(－2－i)＝－3－4i.3．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z 1＋i的点是______点. 夯实基础训练。
(完整版)复数基础知识点
1、复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根，i 称为虚数单位，形如a +bi (a 、b ∈R )的数，称为复数.所有复数构成的集合称复数集,通常用C 来表示.a 为实部，b 为虚部2．复数集⎧⎧⎧整数⎪⎪有理数⎨实数(b =0)⎨⎪⎩分数⎪⎪复数a +bi (a ,b ∈R )⎨小数)⎩无理数(无限不循环⎪虚数(a ≠0)⎪虚数(b ≠0)⎧纯⎨⎪虚数(a =0)⎩非纯⎩3.复数的几何意义对任意复数z=a+bi（a,b∈R），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z).z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。
因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。
复平面内的点Z （a,b ）复数z =a +bi平面向量OZ4.两个复数相等的定义：a +bi =c +di ⇔a =c 且b =d （其中a ，b ，c ，d ，∈R ）特别地，a +bi =0⇔a =b =0.5.复数的四则运算设z 1=a 1+b 1i ，z 2=a 2+b 2i（1）加法：z 1+z 2=(a 1+a 2)+(b 1+b 2)i 即实部与实部相加，虚部与虚部相加；，（2）减法：z 1-z 2=(a 1-a 2)+(b 1-b 2)i ，即实部与实部相减，虚部与虚部相减；（3）乘法：z 1⋅z 2=(a 1a 2-b 1b 2)+(a 2b 1+a 1b 2)i ，特别z ⋅z =a 2+b 2；c +di（a ,b 是均不为0的实数）的化简就是通过分母实数化的方a +bi法将分母化为实数，即分子分母同时乘以分母的共轭复数，然后再化简：（4）除法z =c +di c +di a -bi (ac +bd )+(ad -bc )iz ==⋅=；a +bi a +bi a -bi a 2+b 2（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。
高考复数知识点总结
高考复数知识点总结复数是高中数学中的一个重要内容，也是高考数学中的常考知识点。
理解和掌握复数的相关知识，对于提高数学成绩和解决数学问题具有重要意义。
下面我们就来对高考中复数的知识点进行一个全面的总结。
一、复数的定义形如 a ＋ bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中 a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部。
当 b ＝ 0 时，复数 a ＋ bi 为实数；当b ≠ 0 时，复数a ＋ bi 为虚数；当 a ＝ 0，b ≠ 0 时，复数 a ＋ bi 为纯虚数。
二、复数的表示形式1、代数形式：z ＝ a ＋ bi（a，b∈R）2、几何形式：在复平面内，复数z ＝a ＋bi 对应点的坐标为（a，b），其中实轴上的点表示实数，虚轴上的点（除原点外）表示纯虚数。
3、三角形式：z ＝ r（cosθ ＋isinθ），其中 r ＝√（a²＋ b²)，cosθ ＝ a/r，sinθ ＝ b/r。
4、指数形式：z ＝ re^（iθ)三、复数的运算1、复数的加法：（a ＋ bi）＋（c ＋ di）＝（a ＋ c）＋（b ＋d）i2、复数的减法：（a ＋ bi）（c ＋ di）＝（a c）＋（b d）i3、复数的乘法：（a ＋ bi）（c ＋ di）＝（ac bd）＋（ad ＋ bc）i4、复数的除法：（a ＋ bi）÷（c ＋ di）＝（ac ＋ bd)／（c²＋ d²) ＋（bc ad)／（c²＋ d²)i在进行复数运算时，要注意将复数的实部和虚部分别进行运算。
四、复数的模复数 z ＝ a ＋ bi 的模记作|z|，｜z| ＝√（a²＋ b²)。
复数的模表示复数在复平面上对应的点到原点的距离。
五、共轭复数两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数。
若 z ＝ a ＋bi，则其共轭复数为z＝ a bi。
共轭复数的性质：1、 z ＋z＝ 2a（实部的 2 倍）2、 z z＝ 2bi（虚部的 2 倍）3、 z·z＝ a²＋ b²＝｜z|²六、复数的方程1、实系数一元二次方程 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0（a ≠ 0）在复数范围内的根的判别式：△＝ b² 4ac当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根；当△＝ 0 时，方程有两个相等的实数根；当△＜0 时，方程有两个共轭虚根。
高考数学一轮复习第六章平面向量与复数第29课平面向量的基本概念及其线性运算课件
5．已知 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 a＋λb 与－(b－3a)共线，则 λ＝ ________.
－13 [由已知得 a＋λb＝－k(b－3a)，
∴???λ＝－k， ??3k＝1，
? ?
λ＝－13，
得???k＝13.
]
平面向量的有关概念
给出下列六个命题： ①若|a|＝|b|，则 a＝b 或 a＝－b； ②若A→B＝D→C，则 ABCD 为平行四边形； ③若 a 与 b 同向，且 |a|>|b|，则 a>b； ④λ，μ 为实数，若 λa＝μb，则 a 与 b 共线； ⑤λa＝0(λ 为实数)，则 λ 必为零； ⑥a，b 为非零向量， a＝b 的充要条件是 |a|＝|b|且 a∥b. 其中假命题的序号为 ________ ．
(3)a∥b 是 a＝λb(λ∈R)的充要条件． ( )
(4)△ABC 中，D 是 BC 的中点，则 A→D＝12(A→C＋A→B)．(
)
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．(教材改编)已知?ABCD的对角线 AC 和 BD 相交于点 O，且O→A＝a，O→B＝ b，则D→C＝________，B→C＝________.(用 a，b 表示)
抓
基
础
·
自
主 学
第六章 平面向量与复数 课
习
时
第 29 课
平面向量的基本概念及其线性运算
分 层
明 考
训 练
向
·
题
型
突
破
[最新考纲] 内容
平面向量的概念 平面向量的加法、减法及数乘运算
要求
A
B
C
√
√
1．向量的有关概念 (1) 向量：既有 _大__小__ 又有 _方__向__ 的量称为向量，向量的大小称为向量的 _长__度__(_或__模__) ． (2)零向量： __长__度__为__0__ 的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于 __1_个__单__位___ 的向量． (4)平行向量：方向__相__同__或__相__反___ 的非零向量．平行向量又叫 _共__线__向__量___ ．规 定：0 与任一向量 _平__行__． (5)相等向量：长度 _相__等__且方向_相__同__的向量． (6)相反向量：长度 _相__等__且方向_相__反__的向量．
复数的认识 [复数的出现与认识]
![复数的认识 [复数的出现与认识]](https://img.taocdn.com/s3/m/a253f9d8a32d7375a5178065.png)
复数的认识[复数的出现与认识]虚数，即俗称的负数开平方，特别的是，虚数是有单位的，其单位写作负1开平方，记作i，即i=负1开平方。
复数，即俗称包含虚数的数，代数式写作a+bi,其中a、b为实数；a称为实部，bi称为虚部。
人类至少在上古时代，已经会求解一些一元二次方程了，例如：四千多前的古巴比伦人。
与减法运算引出了负数，有点类似，在求解包括一元二次方程在内的高次方程时，一定会出现负数开平方的问题。
负数开平方的数，后来被称之为虚数，虚数这个名称是17世纪法国数学家笛卡尔（ReneDescartes，公元1596——1650年）创造的。
虚数至少在17世纪，还是被认为没有意义的。
例如：牛顿（IsaacNewton,公元1643——1727年）等人。
因此，人们总是回避负数开平方的问题，即使在求高次方程的根时，遇到负数开平方，通常采取放弃。
例如：4000年前的古巴比伦，1700年前的古希腊人，800年前中古时的印度人等。
诞生于纪元初左右，我国的数学著作《九章算术》中，已经有了二次方程的问题，并且给出了一些一元二次方程的求根过程。
事实上，只要涉及到一元二次方程的求根，必然会涉及到复数，《九章算术》中没有复数，并且在以后的数学书中，也没有复数。
由此推断，我国古代的数学家，也是放弃负数开平方的。
值得一提的是，是一件非常有趣的事，那就是古希腊的代数学家丢番图（Diophantus，公元200年左右——284年左右），在解高次方程时，只接受有理根，而放弃其它的根。
这也许是因为当时的西方，还不承认无理数，负数，复数的缘故。
其实，毕达哥拉斯定理的代数式，就是一个一元二次方程，而这个直角三角形斜边的长，则是这个一元二次方程的根，古人取其正根是对的，负根在这里没有意义。
古希腊的丢番图是一个纯粹数学家，他在对数的认识上，还是受到了直观的影响，如几何的直观。
他考虑了高次方程根的实际意义，而忽略了数学上的意义。
处于同时代的我国数学家刘徽，一定也遇到过负数开平方的问题，但在刘徽先生的数学中，也没有负数开平方的记载。
高三数学(理)一轮复习对点训练 第29讲 复数的概念与运算 Word版含解析.pdf
1.(2012·广东省惠州市第二次调研)已知a为实数，如果z＝a＋1－ai为纯虚数，则实数a等于( B ) A．0 B．－1 C．1 D．－1或0 解析：z＝a＋1－ai为纯虚数，则a＋1＝0，所以a＝－1，故选B. 2.(2012·广东省惠州市高三第二次调研)若(a＋4i)i＝b＋i，其中a，bR，i是虚数单位，则a－b＝( B ) A．3 B．5 C．－3 D．－5 解析：由(a＋4i)i＝－4＋ai＝b＋i，得a＝1，b＝－4，所以a－b＝5，故选B. 3.(2013·南宁市第三次适应性)设复数z的共轭复数为＝1－i(i为复数单位)，则－的值为( D ) A．－i B．i C．－1 D．1 解析：－＝(1－)＝(1－i)·＝1，故选D. 4.(2013·韶关第一次调研)在复平面内，复数＋i3对应的点位于( D ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：＋i3＝－i＝，实部为正，虚部为负，所以复数＋i3对应的点位于第四象限，故选D. 5.(2012·武昌区高三5月调研)已知i是虚数单位，复数z＝＋，则|z|＝( C ) A．1 B．2 C. D．2 解析：z＝＋＝＋＝1＋2i，|z|＝，故选C. 6.(2012·济南市高三5月模拟)i是虚数单位，能使得(1＋i)2n＝－2n·i成立的最小正整数是 3 . 解析：由(1＋i)2n＝－2n·i，得(2i)n＝2n·in＝－2n·i， 所以in＝－i，即n＝4k＋3，kN， 所以最小的正整数为3. 7.(2012·浙江省重点中学协作体第二学期4月联考)复数z＝－ai，aR，且z2＝－i，则a的值为 . 解析：z2＝(－ai)2＝(－a2)－ai＝－i， 由对应系数相等得，解得a＝. 8.已知复数z＝，ω＝z＋ai(aR)，当||≤时，求a的取值范围． 解析：z＝＝＝1－i， ||＝||≤，所以≤， 即(a－1)2＋1≤4，即a2－2a－2≤0， 所以a[1－，1＋]． 9.已知复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，当实数m为何值时， (1)z为纯虚数； (2)z为实数； (3)z对应的点在复平面的第二象限． 解析：(1)z为纯虚数 m＝3. 所以当m＝3时，z为纯虚数． (2)z为实数 m＝－2或m＝－1. 所以当m＝－2或m＝－1时，z为实数． (3)由，得， 解得， 即－1<m<1－或1＋<m<3. 所以当－1<m<1－或1＋<m<3时，z对应的点在复平面的第二象限．。
高中复数的知识点
高中复数的知识点一、复数的定义1、形如\（a ＋ bi\）（＼（a,b\in R\），＼（i\）为虚数单位，＼（i^2 ＝－1\））的数叫做复数。
＼（a\）叫做复数的实部，记作\（Re(z)＼）；＼（b\）叫做复数的虚部，记作\（Im(z)＼）。
当\（b ＝ 0\）时，复数\（a ＋ bi\）为实数；当\（b ＼neq 0\）时，复数\（a ＋ bi\）为虚数；当\（a ＝ 0\）且\（b ＼neq 0\）时，复数\（a ＋ bi\）为纯虚数。
二、复数的表示1、代数形式：＼（z ＝ a ＋ bi\）（＼（a,b\in R\））2、几何形式复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，＼（x\）轴叫做实轴，＼（y\）轴叫做虚轴。
复数的坐标表示：复数\（z ＝ a ＋ bi\）对应复平面内的点\（Z(a,b)＼）。
复数的模：复数\（z ＝ a ＋ bi\）的模\（＼vert z\vert ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼）。
三、复数的运算1、复数的加法法则：＼（（a ＋ bi) ＋（c ＋ di) ＝（a ＋ c) ＋（b ＋ d)i\）几何意义：复数的加法对应复平面内向量的加法。
2、复数的减法法则：＼（（a ＋ bi) （c ＋ di) ＝（a c) ＋（b d)i\）几何意义：复数的减法对应复平面内向量的减法。
3、复数的乘法法则：＼（（a ＋ bi)（c ＋ di) ＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i\）4、复数的除法法则：＼（＼frac{a ＋ bi}｛c ＋ di} ＝＼frac{（a ＋ bi)（c di)｝｛（c ＋ di)（c di)｝＝＼frac{ac ＋ bd}｛c^2 ＋ d^2} ＋＼frac{bc ad}｛c^2 ＋ d^2}i\）（＼（c ＋ di ＼neq 0\））四、共轭复数1、定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数互为共轭复数。
复数\（z ＝ a ＋ bi\）的共轭复数记为\（＼overline{z} ＝ a bi\）。
复数基础知识及其运算规律
复数基础知识及其运算规律一、复数的概念1.复数的定义：复数是由实数和虚数构成的数，一般形式为a+bi，其中a和b分别为实数，i为虚数单位，满足i^2=-1。
2.复数的分类：a)纯虚数：实部为0的复数，如i、-i等；b)实数：虚部为0的复数，如2、-3等；c)混合数：实部和虚部都不为0的复数，如1+2i、-3-4i等。
二、复数的表示方法1.代数表示法：用a+bi的形式表示复数；2.极坐标表示法：用r(cosθ+isinθ)的形式表示复数，其中r为模长，θ为辐角。
三、复数的运算规律1.加减法：a)(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i；b)(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i。
c)(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i；d)特殊情形：两个纯虚数相乘，结果为实数；e)单位根的乘法：i^k，其中k为整数。
f)(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)/(c2+d2)] + [(bc-ad)/(c2+d2)]i。
g)(a+bi)^2 = (a2-b2) + 2abi；h)(a+bi)3、(a+bi)4等，可以利用乘方公式进行展开。
2.共轭复数：a)若复数为a+bi，则它的共轭复数为a-bi；b)共轭复数具有以下性质：两数相加为实数，两数相乘为实数。
四、复数的性质1.模长：表示复数在复平面上的长度，公式为|a+bi| = √(a2+b2)；2.辐角：表示复数在复平面上与实轴的夹角，公式为θ = arctan(b/a)，其中a≠0；3.复数的平方等于1的解：i、-1、1+i、1-i等；4.复数的平方等于-1的解：i、-i等；5.复数的平方等于k（k为非零实数）的解：±√k、±i√k等。
五、复数在实际应用中的例子1.信号处理：在通信系统中，信号往往可以表示为复数形式，如调制解调器中的正弦波信号；2.物理学：在电磁学、量子力学等领域，复数用于描述物理量，如电流、电压、波函数等；3.工程学：在电子工程、控制理论等领域，复数用于分析电路、系统稳定性等。
高考复数知识点精华总结
高考复数知识点精华总结1.复数的概念：复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为z=a+bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位。
2.复数集：复数集包括整数、有理数、实数（当b=0时）、分数、小数、无理数、纯虚数和虚数。
3.复数a+bi的实部为a，虚部为b，i是虚数单位。
当b=0时，a+bi是实数，当b≠0时，a+bi是虚数。
若a=0且b≠0，则a+bi是纯虚数。
4.复数的四则运算：加法、减法、乘法、除法都可以用实数单位和虚数单位进行运算。
特殊复数的运算包括周期性运算和(1±i)2=±2i等。
5.共轭复数与复数的模：复数z=a+bi的共轭复数为a-bi，模为|z|=√(a^2+b^2)。
共轭复数关于实轴对称，若b=0，则实数a与其共轭复数相等。
6.两个复数相等的定义为a+bi=c+di，其中a、b、c、d都是实数。
复数不能进行大小比较，只能由定义判断它们相等或不相等。
在运算中需要将虚数单位i的平方i^2=-1结合到实际运算过程中去。
6.复数的除法可以通过将分母实化得到，即满足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi≠0)的复数x+yi被称为复数a+bi除以复数c+di的商。
由于两个共轭复数的积是实数，因此可以得到以下公式：a+bi / (c+di) = (ac+bd)/(c^2+d^2) + (bc-ad)i/(c^2+d^2)7.复数a+bi的模表示复数a+bi的点到原点的距离。
1.例1：对于复数z=m+1+(m－1)i，当m=1时，z是实数；当m≠1时，z是虚数；当m=-1时，z是纯虚数；当m<-1时，z对应的点Z在第三象限。
例2：已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x。
y∈R，求x。
y。
解得x=2.y=4.2.例4：对于复数z＝m25+(m2+3m－10)i，当虚部m2+3m－10=0时，z为实数，解得m=2；当虚部m2+3m－10≠0且分母不为零时，z为虚数，解得m≠2且m≠±5；当虚部为0且分母不为零时，z为纯虚数，解得m=-2.3.计算i＋i2＋i3+……+i2005，可以将i的周期性用以下公式表示：i＋i2＋i3+……+i2005=(i+i2+i3+i4)+……+(i2001+i2002+ i2003＋i2004)＋i2005=(i－1－i+1)+ (i－1－i+1)+……+(i－1－i+1)+i。
高中数学复数知识点总结
高中数学复数知识点总结一、复数的定义复数是实数的扩展，形式为 `a + bi`，其中 `a` 和 `b` 是实数，`i` 是虚数单位，满足 `i^2 = -1`。
二、复数的代数形式1. 复数的加减法- 两个复数相加或相减时，分别将实部与实部、虚部与虚部相加或相减。
- 例如：`(2 + 3i) + (1 - 4i) = (2 + 1) + (3 - 4)i = 3 - i`。
2. 复数的乘法- 两个复数相乘时，使用分配律和虚数单位 `i` 的性质。
- 例如：`(2 + 3i)(1 - 4i) = 2 - 8i + 3i - 12i^2 = 2 - 5i + 12 = 14 - 5i`。
3. 复数的除法- 两个复数相除时，先将分母的复数取共轭，然后相乘，最后将结果化简。
- 例如：`(2 + 3i) / (1 - 4i) = (2 + 3i)(1 + 4i) / (1 -4i)(1 + 4i) = (8 + 10i + 12i + 12i^2) / (1 + 16i^2) = (20 +22i) / 17 = 20/17 + (22/17)i`。
三、复数的几何意义复数 `a + bi` 可以对应于平面上的点 `(a, b)`，其中 `a` 是横坐标，`b` 是纵坐标。
这种表示方法称为复数的几何表示或阿尔冈图。
四、复数的模和幅角1. 模（Magnitude）- 复数 `z = a + bi` 的模是`|z| = √(a^2 + b^2)`。
- 模表示复数在复平面上的长度。
2. 幅角（Argument）- 复数 `z = a + bi` 的幅角（或称为相位）是`θ =arctan(\frac{b}{a})`。
- 幅角表示复数与实轴正方向的夹角，取值范围为 `0` 到`2π`。
五、复数的极坐标形式复数 `z = a + bi` 可以表示为极坐标形式`r(cosθ + isinθ)`，其中 `r` 是模，`θ` 是幅角。
2014届高三一轮数学(理)复习第29讲复数的概念与运算
⇒km＝＝－22
2
或mk＝＝2－2 2
.
所以方程的实根为 x＝ 2或 x＝－ 2，
相应 k 的值为－2 2或 2 2.
【拓展演练 2】 已知集合 M＝{1，m,3＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，若 M∩N＝{3}，求实数 m 的值．
解析：因为 M∩N＝{3}，所以 3∈M 且－1∉M， 所以 m≠－1,3＋(m2－5m－6)i＝3 或 m＝3， 所以 m2－5m－6＝0 且 m≠－1 或 m＝3. 解得 m＝6 或 m＝3.
z 的虚部为－1，其中的真命题为( C )
A．p2D．p3，p4
解析：因为 z＝－12＋i＝－12＋－i1－－1i－i＝2－21－i ＝－1－i，所以|z|＝ 2，z2＝(－1－i)2＝2i， 共轭复数为－z ＝－1＋i，z 的虚部为－1， 所以真命题为 p2，p4，故选 C.
z2＝3－4i，且zz21为纯虚数，则实数 a＝____________.
解析：(1)1－3＋3ii＝1－3＋3ii11＋＋
3i ＝ 3i
3＋i＋3i－ 1＋3
3＝i，
故选 C.
(2)zz21
＝
a＋2i 3－4i
＝
a3＋－24ii33＋＋44ii＝
3a－8＋4a＋6i 25
第29讲 复数的概念与运算
1．(2012·福建省福州第二次模拟)
如果复数 z＝a2－4＋(a2－3a＋2)i(a∈R)是纯虚数，
则实数 a 的值为( A )
A．－2
B．1
C．2
D．1 或－2
解析：由aa22－ －43＝a＋02≠0 ，得aa＝≠21或 且－a≠22 ， 所以 a＝－2，故选 A.
5．复数13＋－24ii2的值是( A )
2014年高考数学最后回归基础知识：复数(选学)
复数(选学>一：基本观点1．复数的观点：<1）虚数单位 i；<2）复数的代数形式z=a+bi，(a, b∈R>；<3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。
2．复数集整数有理数实数 ( b=0)分数复数 a+bi(a,b R)无理数（无穷不循环小数）虚数 (b纯虚数（ a0) 0)0)非纯虚数（ a复数 a+bi(a, b∈ R>由两部分构成，实数 a 与 b 分别称为复数 a+bi 的实部与虚部， 1 与 i 分别是实数单位和虚数单位，当b=0 时， a+bi 就是实数，当 b≠0时， a+bi 是虚数，此中a=0且 b≠ 0 时称为纯虚数。
hq9HO4DAzM应特别注意， a=0 仅是复数 a+bi 为纯虚数的必需条件，若a=b=0，则 a+bi=0 是实数。
3．复数的四则运算若两个复数 z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，a> 复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有差别，最主要的是在运算中将 i^2= － 1 联合到实质运算过程中去。
hq9HO4DAzM<1）加法： z1+z2=(a1+a2>+(b1+b2>i；<2）减法： z1－ z2=(a1－a2>+(b1－b2>i；<3）乘法： z1· z2=(a1a2－ b1b2>+(a1b2+a2b1>i；b>复数的除法：复数的除法是复数乘法的逆运算，因为两个共轭复数的积是实数，所以复数的除法能够经过将分母实化获得，即.a1b1i(a1b1i)*(a2b2i )a1* a2 b1* b2 (a1* b2i b1* a2i )a2b2i(a2b2i )*(a2b2i)a22b22<4）四则运算的互换率、联合率；分派率都合适于复数的状况。
<5）特别复数的运算：①in (n 为整数 >的周期性运算；② (1± i>^2=±2i；1 3③若ω=－2+2i ，则ω^3=1，1+ω+ω^2=0.4. 复数 z=a+bi 的模， |a|= a2b2, 且z z | z |2=a^2+b^2.5. 共轭复数定义：对于复数z=a+bi，称复数z =a-bi 为 z 的共轭复数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2－1－i 2－1－i 2 解析：因为 z＝ ＝ ＝ 2 －1＋i －1＋i－1－i ＝－1－i，所以|z|＝ 2，z2＝(－1－i)2＝2i， 共轭复数为－＝－1＋i，z 的虚部为－1， z 所以真命题为 p2，p4，故选 C.
3.(2013· 陕西卷)设 z1，z2 是复数，则下列命题中的假命 题是( D ) A．若|z1－z2|＝0，则 z1＝z2 B．若 z1＝－2，则－1＝z2 z z C．若|z1|＝|z2|，则 z1－1＝z2－2 z z D．若|z1|＝|z2|，则 z2＝z2 1 2
2 9 故当 x＝ ，|z＋ 2|有最大值 . 8 2
【拓展演练 3】 若复数 z 满足|z＋2－2i|＝1，求|z－2－2i|的最小值．
解析：(方法一)一般地，满足|z－z0|＝r 的复数 z 对应的点 的轨迹是以 z0 对应的点为圆心，r 为半径的圆． 因为圆|z＋2－2i|＝1 的圆心为 C(－2,2)，半径 r＝1，而|z －2－2i|表示圆上的点到定点 A(2,2)的距离， 故其最小值为|CA| －r＝4－1＝3. (方法二)因为|z－2－2i|＝|z＋2－2i－4| ≥||z＋2－2i|－4|＝3， 故|z－2－2i|min＝3.
3＋i 3＋i1＋ 3i 3＋i＋3i－ 3 解析：(1) ＝ ＝ ＝i， 1＋3 1－ 3i 1－ 3i1＋ 3i 故选 C. z1 a＋2i a＋2i3＋4i 3a－8＋4a＋6i (2) ＝ ＝ ＝ 为纯虚 z2 3－4i 3－4i3＋4i 25 8 数，故得 a＝ . 3
第29讲 复数的概念与运算
1．(2012· 福建省福州第二次模拟) 如果复数 z＝a2－4＋(a2－3a＋2)i(a∈R)是纯虚数， 则实数 a 的值为( A ) A．－2 C．2 B．1 D．1 或－2
a2－4＝0 a＝2或－2 解析：由 2 ，得 ， a －3a＋2≠0 a≠1且a≠2
6.(2013· 天津卷)已知 a，b∈R，i 是虚数单位， 若(a＋i)(1＋i)＝bi，则 a＋bi＝ .
解析：因为(a＋i)(1＋i)＝bi， 所以 a－1＋(a＋1)i＝bi，
a－1＝0 a＝1 所以 ⇒ ， a＋1＝b b＝2
所以 a＋bi＝1＋2i.
4.(2012· 上海卷)若 1＋ 2i 是关于 x 的实系数方程 x2＋bx＋c＝0 的一个复数根，则( B ) A．b＝2，c＝3 C．b＝－2，c＝－1 B．b＝－2，c＝3 D．b＝2，c＝－1
解析：因为 1＋ 2i 是实系数方程的一个复数根， 所以 1－ 3i 也是方程的根， 则 1＋ 2i＋1－ 2i＝2＝－b，(1＋ 2i)(1－ 2i)＝3＝c， 所以解得 b＝－2，c＝3，选 B.
三
复数加法运算的几何意义及应用
【例 3】设复数 z 满足|z＋4i|＋|z－4i|＝6 2，求|z＋ 2|的
最大值．
解析：由|z＋4i|＋|z－4i|＝6 2的几何意义知 z 对应点在 x2 y2 椭圆 ＋ ＝1 上． 2 18 所以|z＋ 2|＝ x＋ 22＋y2 ＝ x＋ 22＋18－9x2 ＝ －8x2＋2 2x＋20 ＝ 2 2 81 －8x－ ＋ . 8 4
所以方程的实根为 x＝ 2或 x＝－ 2， 相应 k 的值为－2 2或 2 2.
【拓展演练 2】 已知集合 M＝{1，m,3＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，若 M∩N＝{3}，求实数 m 的值．
解析：因为 M∩N＝{3}，所以 3∈M 且－1∉M， 所以 m≠－1,3＋(m2－5m－6)i＝3 或 m＝3， 所以 m2－5m－6＝0 且 m≠－1 或 m＝3. 解得 m＝6 或 m＝3.
所以 a＝－2，故选 A.
2．(2012· 广东省汕头市质量测评)复数 z＝(2＋i)i 的虚部 是( A ) A．2 C．2i B．－2 D．－2i
解析： z＝(2＋i)i＝－1＋2i， 虚部是 2， 故选 A.特别提醒： 不是 2i.
a＋3i 3． (2012· 江苏南京市第二次模拟)已知 ＝b－i， 其中 i a，b∈R，i 为虚数单位，则 a＋b＝ .
x－5<0 解析：由题意可知， ⇒3<x<5，故选 C. 3－x<0
一
复数的概念及运算
【例 1】 (2012· 河南省豫北六校高第三次精英联考)复数
3＋i (i 为B．－1 D．－i
(2)(2012· 江苏省无锡市五校联考)若 z1＝a＋2i， z1 z2＝3－4i，且 为纯虚数，则实数 a＝____________. z2
解析：设 z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)． ①若|z1－z2|＝0，则 a＝c，b＝d，所以 z1＝z2，A 正确； ②若 z1＝－2，则 a＝c，b＝－d，所以－1＝z2，B 正确； z z － C ③若|z1|＝|z2|， a2＋b2＝c2＋d2， 1· 1＝z2· 2， 正确； 则 z － z z ④z2＝(a2－b2)＋2abi，z2＝(c2－d2)＋2cdi，在 a2＋b2 1 2 ＝c2＋d2 时，不能确定 a2－b2＝c2－d2，且 2ab＝2cd， 故 D 不正确．
1＋2i2 5．复数 的值是( 3－4i A．－1 C．－i
A )
B．1 D．i
1＋2i2 1＋4i－4 解析： ＝ ＝－1，故选 A. 3－4i 3－4i
6．已知复数 z 满足(1＋ 3i)z＝i，则 z＝
.
7．(2012· 广东省肇庆第一次模拟)若复数 z＝(x－5)＋(3 －x)i 在复平面内对应的点位于第三象限， 则实数 x 的取值范 围是( C ) A．(－∞，5) C．(3,5) B．(3，＋∞) D．(5，＋∞)
【拓展演练 1】 1－i1＋2i (1)(2013· 湖南省湘潭第三次模拟) ＝( ) 1＋i A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i 1＋ai (2)(2013· 长春市第二次调研)i 为虚数单位，复数 为纯 2＋i 虚数，则实数 a 等于( ) 1 A．－2 B．－ 3 1 C. D．2 2
11－7i 5.(2012· 江苏卷)设 a，b∈R，a＋bi＝ (i 为虚数单 1－2i 位)，则 a＋b 的值为 .
11－7i 解析：由 a＋bi＝ ，得 1－2i 11－7i 11－7i1＋2i 11＋15i＋14 a＋bi＝ ＝ ＝ ＝5＋3i， 1－2i 1－2i1＋2i 1＋4 所以 a＝5，b＝3，a＋b＝8.
解析：将等式两边都乘 i，得到 a＋3i＝1＋bi，两边比较 得结果为 4.
4．(2012· 河南省南阳市高中三年级期终评估)复数 5 的共轭复数为( C ) 1＋2i 5 10 A．－ － i 3 3 C．1＋2i 5 10 B．－ ＋ i 3 3 D．1－2i
5 5 解析：因为复数 ＝1－2i，所以复数数 的共轭 1＋2i 1＋2i 复数为 1＋2i，故选 C.
1－i1＋2i 1＋2i－i－2i2 3＋i 解析：(1) ＝ ＝ 1＋i 1＋i 1＋i 3＋i1－i 3－3i＋i＋1 ＝ ＝ ＝2－i，故选 C. 2 1＋i1－i 1＋ai 1＋ai2－i 2＋a＋2a－1i (2)由 ＝ ＝ 为纯虚数， 5 2＋i 2＋i2－i 2＋a 得 ＝0，且 2a－1≠0，即 a＝－2，故选 A. 5
二
复数相等及应用
【例 2】已知关于 x 的方程 x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0 有实
根，求实数 k 的值．
解析：令 x＝m 是方程的实根， 则 m2＋(k＋2i)m＋2＋ki＝0， 即(m2＋km＋2)＋(2m＋k)i＝0. 由复数相等的充要条件知，
m＝ 2 m＝－ 2 m2＋km＋2＝0 ⇒ 或 . k＝－2 2 k＝2 2 2m＋k＝0
2i 1.(2013· 湖北卷)在复平面内， 复数 z＝ (i 为虚数单位) 1＋i 的共轭复数对应的点位于( D ) A．第一象限 C．第三象限 B．第二象限 D．第四象限
2i 解析：z＝ ＝1＋i，所以－＝1－i，选 D. z 1＋i
2 2.(2012· 新课标全国卷)下面是关于复数 z＝ 的四个 －1＋i 命题：p1；|z|＝2；p2：z2＝2i；p3：z 的共轭复数为 1＋i；p4： z 的虚部为－1，其中的真命题为( C ) A．p2，p3 C．p2，p4 B．p1，p2 D．p3，p4
(方法三)设 z＝x＋yi(x， y∈R)， 因此有|x＋2＋(y－2)i|＝1， 即(x＋2)2＋(y－2)2＝1. 又|z－2－2i|＝ x－22＋y－22 ＝ x－22＋1－x＋22 ＝ 1－8x， 而|x＋2|＝ 1－y－22≤1，即－3≤x≤－1， 所以当 x＝－1 时，|z－2－2i|取得最小值 3.