第4章根轨迹法-2-3
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这种形式的特征方程就是根轨迹方程 1+k*P(s)=0
2018年9月20日星期四
根轨迹增益K*与开环系统增益K的关系
K lim s G (s ) H (s )
s0
西安理工大学课堂教学讲稿 ——根轨迹法
由第三章，系统的开环增益（或开环放大倍数）为 式中 ν 是开环传递函数中含积分环节的个数，由它来确 定该系统是零型系统（ν =0）,Ⅰ型系统（ν =1）或Ⅱ型 系统（ν =2）等。
2018年9月20日星期四 3
西安理工大学课堂教学讲稿 ——根轨迹法
4-1 根轨迹与根轨迹方程
一、根轨迹的基本概念
稳定性 动态性能 参数变化 闭环特征根
Si
？
Si
系统性能
根 轨 迹
所谓根轨迹就是指当系统中某个参量由零 到无穷大变化时，其闭环特征根（极点）在s 平面上变化的轨迹。
西安理工大学课堂教学讲稿 ——根轨迹法
例4-3 控制系统开环传递函数
绘制闭环根轨迹 解：开环极点
k G( s) H ( s) s( s 2 2s 2)
j
p1 0
p2,3 1 j
0
共有3条根轨迹，起始于开环极点，终止
于无穷远
实轴上[-∞，0]为根轨迹
渐近线与实轴的交点
渐近线与正实轴夹角
a
p z
i 1 i j 1
k 0, 1, 2,
用试探法寻找满足相角方程的点： （1）在负实轴的（-0.5 ，0）区段上 任取一点s1，代入相角条件验证：
j
s2
p2
0.5
G(s1 ) (s1 p1 ) (s1 p2 )
180 0 180
满足相角方程，该区段在根轨迹上。 （2）在 p1p2 线段的垂直平分线上 任取一点s2 进行验证：
s2 s2 0.5
西安理工大学课堂教学讲稿 ——根轨迹法
作业
4-1(a～c)
2018年9月20日星期四
13
西安理工大学课堂教学讲稿 ——根轨迹法
设控制系统的开环传递函数为
G( s) H ( s) K
*
4-2 绘制根轨迹的基本法则
(s z ) (s p )
j 1 j i 1 n i m
K lim s ν G(s) H(s) lim K *
s0 s0
(s z )
j
m
(s p )
i i 1
j1 n ν
K*
( z )
j
m
( p )
i i 1
9
j1 n ν
2018年9月20日星期四
闭环零极点与开环零极点的关系(P145)
i=1 * G(s)= KG
点和开环极点的个数总是相等的。因此根轨迹起始于开环极点，
终止于开环零点。
西安理工大学课堂教学讲稿 ——根轨迹法
2.根轨迹的分支数
n阶系统根轨迹有n个分支
3.根轨迹的对称性
根轨迹各分支连续且关于实轴对称
规则4 根轨迹的渐近线
西安理工大学课堂教学讲稿 ——根轨迹法
j
当m =< n时，有n - m条根轨迹趋向无穷远，它们 趋向无穷远的方位由n - m条渐近线决定。 渐近线：起于实轴上某点，终于无穷远处
2018年9月20日星期四
5.53
K 35, 1.35
14
西安理工大学课堂教学讲稿 ——根轨迹法
绘制根轨迹的基本法则
1.根轨迹的起点和终点 2.根轨迹分支数 3.根轨迹的对称性 4.根轨迹的渐近线 5.实轴上的根轨迹
6.根轨迹的起始角和终止角
7.根轨迹的分离点和会合点
s1
p1
0
G( s2 ) ( s2 p1 ) ( s2 p2 ) 180
整个垂直平分线都在根轨迹上。 逐点试探可绘制出全部根轨迹。
根据模值方程，可求出S1、 S２处 的根轨迹增益（或开环增益）。
K1* s1 p1 s1 p2 s1 s1 0.5
* K2 s2 p1 s2 p2
p2
z3
p4
若位于s1右边的开环实数零、极点数之差 （之和）为奇数，则s1满足相角条件， s1所 在线段必为根轨迹。。
西安理工大学课堂教学讲稿 ——根轨迹法
6.根轨迹的起始角和终止角
起始角：始于开环极点的根轨 终止角：止于开环零点的根轨 迹，在起点处的切线与水平线 迹，在终点处的切线与水平线 的正方向夹角 的正方向夹角
q i=1
∏(s-zi )
f
∏(s-pi )
j=1 * ; H (s)= KH h j=1 h
∏(s-ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱj )
l
G H
∏(s-pj )
* ∏(s-z ) ∏(s-p ) KG j i
i=1 j=1 h f l f
闭环零点
Φ(s)=
q
* k * ∏(s-z )∏(s-z ) ∏(s-pi ) ∏(s-pj ) + kG H i j i=1 j=1 i=1
因为：
K G( s) H ( s)
*
(s z
j 1 i
m
j
) 1
(s z
j 1 n i 1
m
j
)
(s p )
i 1
n
(s p )
i
1 K*
当n > m时
s 是 K * 时，上述方程的根
当n < m时，则有n条根轨迹起始于开环极点，m - n条根轨迹起始于无
当K=0.5时， 闭环系统为两个相同的负实根， 系统为临界阻 尼状态， 阶跃响应为非周期过程， 速度响应较0<K<0.5快 当K>0.5时， 闭环极点为一对共轭复数， 系统为欠阻尼状态， 阶跃响应为振荡过程，
2018年9月20日星期四 6
西安理工大学课堂教学讲稿 ——根轨迹法
二、根轨迹方程 D( s ) 1 G( s ) H ( s ) 0
穷远，它们分别终止于m个开环零点（此时认为系统在无穷远处有m-n 个开环极点，称其为无限极点）。
K G( s) H ( s)
*
(s z
j 1 i
m
j
) 1
(s p ) (s z
j 1 i 1 m i j
n
(s p )
i 1
n
K *
)
若把位于无穷远处开环极点或开环零点包括在内，系统开环零
渐近线与实轴的交点
a
p z
i 1 i j 1
n
m
a
a
j
nm
渐近线与正实轴夹角
(2k 1) a nm
（k 0, 1, 2, ）
渐近线的特点：渐近线对称于实轴，是n-m条与实轴交于 a ，交角为a 的一组射线。 当m >n时，
西安理工大学课堂教学讲稿 ——根轨迹法
j=1
n=q+h m=f+l
k * k
* * k H G 2018年9月20日星期四
(s ) =
k ( s z i ) (s p j )
* G
f
h
(s p i ) k * ( s z j10)
i 1
j 1
n
i 1
j 1
m
例4-2 单位负反馈系统开环传递函数为
G( s ) H ( s ) 1
根轨迹方程
G( s) H ( s) K
*
(s z ) (s p )
j 1 j i 1 n i
m
1
m个零点 n个极点
幅值 条件
K*
sz
j 1 i 1 n
m
（nm）
i
1
相角条件（k=…-2,-1,1,2…）
s pj
K 1
K 0 K 0.5 K 0 0
K 0 s1 0 ; s2
2 解为两实根；
2
K 0.5 s1 1 ; s2 1 解为两实重根
K 1 s1 1 j ; s2 1 j 解为一对共轭复根
K 1
K s1 1 j s2 1 j
例4-1
K 2K GK s s(0.5 s 1) s s 2
2K GB ( s ) 2 R s s 2s 2 K Y s
R s
K s 0.5s 1
Y s
jω
D( s) s 2 2s 2K
s1,2 1 1 2 K
试用根轨迹方程绘制闭环根轨迹。
G(s)
K s (2s 1)
* K 0.5 K K 解： G( s) s(2s 1) s(s 0.5) s(s 0.5)
根轨迹增益
K * 0.5K
无开环零点，开环极点为： p1 0 根据相角方程，应有
p2 0.5
(s p1 ) (s p2 ) (2k 1)
8.根轨迹与虚轴的交点 9. 根之和
2018年9月20日星期四 15
规则1 根轨迹的起点、终点
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。
西安理工大学课堂教学讲稿 ——根轨迹法
因为由根轨迹方程
(s p ) K (s z ) 0
* i 1 i j 1 j
n
m
起点是 K * 0 时的闭环极点，由根轨迹方程得： s pi (i 1, 2, 终点是 K * 时的闭环极点，由根轨迹方程得： s z j ( j 1, 2,
西安理工大学课堂教学讲稿 ——根轨迹法
根轨迹与系统性能的关系
稳定性：当开环增益K从0变到无穷时， 根轨迹不进入s平 面的右半平面， 则系统稳定 。 稳态特性：开环系统在坐标原点有一个极点， 就是I型系 统 ，在阶跃信号作用下，系统稳态误差为0。 动特性：
当0<K<0.5时， 闭环系统的特征根为两个相异负实根， 系统 呈现过阻尼状态， 阶跃响应为非周期过程
p p1 zi ) p1 p j
西安理工大学课堂教学讲稿 ——根轨迹法
举例证明：在实轴上P1Z1之间的线段上任取一点s1，由相角方程
p3
j
(s z ) (s p ) (2k 1)
j 1 1 j i 1 1 i
m
n
z2
（1）开环复数零、极点都成对出现，相角等 值反号，在相角条件中相互抵消； z1 s1 p1 （2）位于s1左边的开环实数零、极点到s1的 向量相角为0； （3）位于s1右边的开环实数零、极点到s1的 向量相角为π。
j
K * ( s z1 )L ( s zm ) ( s p1 )( s p2 )L ( s pn )
K 0 ！绘制注意点 6 1）实轴、虚轴相同的刻度
K 1 1
1
K 35, 1.35
K
3
K 0 5
°
0
2）“×”、 “〇” 3）加粗线及箭头 4）关键点的标注
( s z ) ( s p ) (2k 1)
i 1 i i 1 i
m
n
必要条件
充要条件
根轨迹方程(P146)
特征方程 1+GH = 0 Z 开环零点“○”,是常数！ j m
* 1+K
∏ ( s - zj )
j=1
∏ ( s -pi)
i=1
n
=0
8
p定 “× ”,也是常数 根 轨 迹 增 益k * 不 是 数，从 0变 化 到 ！ ！ i开环极点
西安理工大学课堂教学讲稿 ——根轨迹法
西安理工大学课堂教学讲稿 ——根轨迹法
第四章 根轨迹法
4-1 根轨迹与根轨迹方程
4-2 绘制根轨迹的基本法则
4-3 控制系统的根轨迹分析 4-4 广义根轨迹
西安理工大学课堂教学讲稿 ——根轨迹法
根轨迹法是一种图解方法，它是经典控制理 论中对系统进行分析和综合的基本方法之一。 由于根轨迹图直观地描述了系统特征方程的根 （即系统的闭环极点）在 s 平面上的分布，因 此，用根轨迹法分析自动控制系统十分方便， 特别是对于高阶系统和多回路系统，应用根轨 迹法比用其他方法更为方便，因此在工程实践 中获得了广泛应用。本章主要介绍根轨迹的概 念，绘制根轨迹的基本规则和用根轨迹分析自 动控制系统性能的方法。
n
m
j
nm
2 (2k 1) (2k 1) 3 a nm 3
k 1, a 2 180 k 1, a3 60
k 0, a1 60
西安理工大学课堂教学讲稿 ——根轨迹法
5. 实轴上的根轨迹
实轴上某段区域右边的实数零点和实数极点总数为奇数时， 这段区域必为根轨迹的一部分
, n) , m)
当n = m时，系统的n条根轨迹从n个开环极点出发，终止于m个开
环零点。
当n > m时，从n个开环极点出发的根轨迹，有m条终止于开环零点， 另外n - m条根轨迹终止于无穷远（此时认为系统在无穷远处有n - m 个开环零点，称其为无限零点）。
西安理工大学课堂教学讲稿 ——根轨迹法
2018年9月20日星期四
根轨迹增益K*与开环系统增益K的关系
K lim s G (s ) H (s )
s0
西安理工大学课堂教学讲稿 ——根轨迹法
由第三章，系统的开环增益（或开环放大倍数）为 式中 ν 是开环传递函数中含积分环节的个数，由它来确 定该系统是零型系统（ν =0）,Ⅰ型系统（ν =1）或Ⅱ型 系统（ν =2）等。
2018年9月20日星期四 3
西安理工大学课堂教学讲稿 ——根轨迹法
4-1 根轨迹与根轨迹方程
一、根轨迹的基本概念
稳定性 动态性能 参数变化 闭环特征根
Si
？
Si
系统性能
根 轨 迹
所谓根轨迹就是指当系统中某个参量由零 到无穷大变化时，其闭环特征根（极点）在s 平面上变化的轨迹。
西安理工大学课堂教学讲稿 ——根轨迹法
例4-3 控制系统开环传递函数
绘制闭环根轨迹 解：开环极点
k G( s) H ( s) s( s 2 2s 2)
j
p1 0
p2,3 1 j
0
共有3条根轨迹，起始于开环极点，终止
于无穷远
实轴上[-∞，0]为根轨迹
渐近线与实轴的交点
渐近线与正实轴夹角
a
p z
i 1 i j 1
k 0, 1, 2,
用试探法寻找满足相角方程的点： （1）在负实轴的（-0.5 ，0）区段上 任取一点s1，代入相角条件验证：
j
s2
p2
0.5
G(s1 ) (s1 p1 ) (s1 p2 )
180 0 180
满足相角方程，该区段在根轨迹上。 （2）在 p1p2 线段的垂直平分线上 任取一点s2 进行验证：
s2 s2 0.5
西安理工大学课堂教学讲稿 ——根轨迹法
作业
4-1(a～c)
2018年9月20日星期四
13
西安理工大学课堂教学讲稿 ——根轨迹法
设控制系统的开环传递函数为
G( s) H ( s) K
*
4-2 绘制根轨迹的基本法则
(s z ) (s p )
j 1 j i 1 n i m
K lim s ν G(s) H(s) lim K *
s0 s0
(s z )
j
m
(s p )
i i 1
j1 n ν
K*
( z )
j
m
( p )
i i 1
9
j1 n ν
2018年9月20日星期四
闭环零极点与开环零极点的关系(P145)
i=1 * G(s)= KG
点和开环极点的个数总是相等的。因此根轨迹起始于开环极点，
终止于开环零点。
西安理工大学课堂教学讲稿 ——根轨迹法
2.根轨迹的分支数
n阶系统根轨迹有n个分支
3.根轨迹的对称性
根轨迹各分支连续且关于实轴对称
规则4 根轨迹的渐近线
西安理工大学课堂教学讲稿 ——根轨迹法
j
当m =< n时，有n - m条根轨迹趋向无穷远，它们 趋向无穷远的方位由n - m条渐近线决定。 渐近线：起于实轴上某点，终于无穷远处
2018年9月20日星期四
5.53
K 35, 1.35
14
西安理工大学课堂教学讲稿 ——根轨迹法
绘制根轨迹的基本法则
1.根轨迹的起点和终点 2.根轨迹分支数 3.根轨迹的对称性 4.根轨迹的渐近线 5.实轴上的根轨迹
6.根轨迹的起始角和终止角
7.根轨迹的分离点和会合点
s1
p1
0
G( s2 ) ( s2 p1 ) ( s2 p2 ) 180
整个垂直平分线都在根轨迹上。 逐点试探可绘制出全部根轨迹。
根据模值方程，可求出S1、 S２处 的根轨迹增益（或开环增益）。
K1* s1 p1 s1 p2 s1 s1 0.5
* K2 s2 p1 s2 p2
p2
z3
p4
若位于s1右边的开环实数零、极点数之差 （之和）为奇数，则s1满足相角条件， s1所 在线段必为根轨迹。。
西安理工大学课堂教学讲稿 ——根轨迹法
6.根轨迹的起始角和终止角
起始角：始于开环极点的根轨 终止角：止于开环零点的根轨 迹，在起点处的切线与水平线 迹，在终点处的切线与水平线 的正方向夹角 的正方向夹角
q i=1
∏(s-zi )
f
∏(s-pi )
j=1 * ; H (s)= KH h j=1 h
∏(s-ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱj )
l
G H
∏(s-pj )
* ∏(s-z ) ∏(s-p ) KG j i
i=1 j=1 h f l f
闭环零点
Φ(s)=
q
* k * ∏(s-z )∏(s-z ) ∏(s-pi ) ∏(s-pj ) + kG H i j i=1 j=1 i=1
因为：
K G( s) H ( s)
*
(s z
j 1 i
m
j
) 1
(s z
j 1 n i 1
m
j
)
(s p )
i 1
n
(s p )
i
1 K*
当n > m时
s 是 K * 时，上述方程的根
当n < m时，则有n条根轨迹起始于开环极点，m - n条根轨迹起始于无
当K=0.5时， 闭环系统为两个相同的负实根， 系统为临界阻 尼状态， 阶跃响应为非周期过程， 速度响应较0<K<0.5快 当K>0.5时， 闭环极点为一对共轭复数， 系统为欠阻尼状态， 阶跃响应为振荡过程，
2018年9月20日星期四 6
西安理工大学课堂教学讲稿 ——根轨迹法
二、根轨迹方程 D( s ) 1 G( s ) H ( s ) 0
穷远，它们分别终止于m个开环零点（此时认为系统在无穷远处有m-n 个开环极点，称其为无限极点）。
K G( s) H ( s)
*
(s z
j 1 i
m
j
) 1
(s p ) (s z
j 1 i 1 m i j
n
(s p )
i 1
n
K *
)
若把位于无穷远处开环极点或开环零点包括在内，系统开环零
渐近线与实轴的交点
a
p z
i 1 i j 1
n
m
a
a
j
nm
渐近线与正实轴夹角
(2k 1) a nm
（k 0, 1, 2, ）
渐近线的特点：渐近线对称于实轴，是n-m条与实轴交于 a ，交角为a 的一组射线。 当m >n时，
西安理工大学课堂教学讲稿 ——根轨迹法
j=1
n=q+h m=f+l
k * k
* * k H G 2018年9月20日星期四
(s ) =
k ( s z i ) (s p j )
* G
f
h
(s p i ) k * ( s z j10)
i 1
j 1
n
i 1
j 1
m
例4-2 单位负反馈系统开环传递函数为
G( s ) H ( s ) 1
根轨迹方程
G( s) H ( s) K
*
(s z ) (s p )
j 1 j i 1 n i
m
1
m个零点 n个极点
幅值 条件
K*
sz
j 1 i 1 n
m
（nm）
i
1
相角条件（k=…-2,-1,1,2…）
s pj
K 1
K 0 K 0.5 K 0 0
K 0 s1 0 ; s2
2 解为两实根；
2
K 0.5 s1 1 ; s2 1 解为两实重根
K 1 s1 1 j ; s2 1 j 解为一对共轭复根
K 1
K s1 1 j s2 1 j
例4-1
K 2K GK s s(0.5 s 1) s s 2
2K GB ( s ) 2 R s s 2s 2 K Y s
R s
K s 0.5s 1
Y s
jω
D( s) s 2 2s 2K
s1,2 1 1 2 K
试用根轨迹方程绘制闭环根轨迹。
G(s)
K s (2s 1)
* K 0.5 K K 解： G( s) s(2s 1) s(s 0.5) s(s 0.5)
根轨迹增益
K * 0.5K
无开环零点，开环极点为： p1 0 根据相角方程，应有
p2 0.5
(s p1 ) (s p2 ) (2k 1)
8.根轨迹与虚轴的交点 9. 根之和
2018年9月20日星期四 15
规则1 根轨迹的起点、终点
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。
西安理工大学课堂教学讲稿 ——根轨迹法
因为由根轨迹方程
(s p ) K (s z ) 0
* i 1 i j 1 j
n
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起点是 K * 0 时的闭环极点，由根轨迹方程得： s pi (i 1, 2, 终点是 K * 时的闭环极点，由根轨迹方程得： s z j ( j 1, 2,
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根轨迹与系统性能的关系
稳定性：当开环增益K从0变到无穷时， 根轨迹不进入s平 面的右半平面， 则系统稳定 。 稳态特性：开环系统在坐标原点有一个极点， 就是I型系 统 ，在阶跃信号作用下，系统稳态误差为0。 动特性：
当0<K<0.5时， 闭环系统的特征根为两个相异负实根， 系统 呈现过阻尼状态， 阶跃响应为非周期过程
p p1 zi ) p1 p j
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举例证明：在实轴上P1Z1之间的线段上任取一点s1，由相角方程
p3
j
(s z ) (s p ) (2k 1)
j 1 1 j i 1 1 i
m
n
z2
（1）开环复数零、极点都成对出现，相角等 值反号，在相角条件中相互抵消； z1 s1 p1 （2）位于s1左边的开环实数零、极点到s1的 向量相角为0； （3）位于s1右边的开环实数零、极点到s1的 向量相角为π。
j
K * ( s z1 )L ( s zm ) ( s p1 )( s p2 )L ( s pn )
K 0 ！绘制注意点 6 1）实轴、虚轴相同的刻度
K 1 1
1
K 35, 1.35
K
3
K 0 5
°
0
2）“×”、 “〇” 3）加粗线及箭头 4）关键点的标注
( s z ) ( s p ) (2k 1)
i 1 i i 1 i
m
n
必要条件
充要条件
根轨迹方程(P146)
特征方程 1+GH = 0 Z 开环零点“○”,是常数！ j m
* 1+K
∏ ( s - zj )
j=1
∏ ( s -pi)
i=1
n
=0
8
p定 “× ”,也是常数 根 轨 迹 增 益k * 不 是 数，从 0变 化 到 ！ ！ i开环极点
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第四章 根轨迹法
4-1 根轨迹与根轨迹方程
4-2 绘制根轨迹的基本法则
4-3 控制系统的根轨迹分析 4-4 广义根轨迹
西安理工大学课堂教学讲稿 ——根轨迹法
根轨迹法是一种图解方法，它是经典控制理 论中对系统进行分析和综合的基本方法之一。 由于根轨迹图直观地描述了系统特征方程的根 （即系统的闭环极点）在 s 平面上的分布，因 此，用根轨迹法分析自动控制系统十分方便， 特别是对于高阶系统和多回路系统，应用根轨 迹法比用其他方法更为方便，因此在工程实践 中获得了广泛应用。本章主要介绍根轨迹的概 念，绘制根轨迹的基本规则和用根轨迹分析自 动控制系统性能的方法。
n
m
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nm
2 (2k 1) (2k 1) 3 a nm 3
k 1, a 2 180 k 1, a3 60
k 0, a1 60
西安理工大学课堂教学讲稿 ——根轨迹法
5. 实轴上的根轨迹
实轴上某段区域右边的实数零点和实数极点总数为奇数时， 这段区域必为根轨迹的一部分
, n) , m)
当n = m时，系统的n条根轨迹从n个开环极点出发，终止于m个开
环零点。
当n > m时，从n个开环极点出发的根轨迹，有m条终止于开环零点， 另外n - m条根轨迹终止于无穷远（此时认为系统在无穷远处有n - m 个开环零点，称其为无限零点）。
西安理工大学课堂教学讲稿 ——根轨迹法