中考数学专题复习探究性问题

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中考数学专题复习：规律探索题

中考链接观察“田”字中各数之间的关系：
，…，，则的值为
．
七、学业检测
一．选择题（共4小题，每题10分，共40分） 1．教材上“阅读与思考”曾介绍“杨辉三角”（如图），
利用“杨辉三角”展开（1﹣3x）5＝ a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，那么a1+a2+a3+a4+a5＝（）
“★”按一定规律组成的．已知第1个图形中有8个“●” 和1个“★”，第2个图形中有16个“●”和4个“★”，第 3个图形中有24个“●”和9个“★”，…，则第个图形中“★”的个数是“●”的个数的2倍．
类型三图形变化类规律探索
针对训练4 4.我们将如图所示的两种排列形式的点
的个数分别称作“三角形数”（如1，3， 6，10…）和“正方形数”（如1，4，9， 16…），在小于200的数中，设最大的“三角形数”为m，最大的“正方形数 ”为n，则m+n的值为．
中考链接
将从1开始的连续自然数按以下规律排列:
第1行
1
第2行
234
第3行
56789
第4行
10 11 12 13 14 15 16
第5行 17 18 19 20 21 22 23 24 25
若有序数对（n,m）表示第n行，从左到右第m个数，如（3,2）表示6,则表示99的有序数对是 .
中考链接
如图，点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，过点B1作 B1A1⊥l ，交x轴于点A1 ，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1 ，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2 ，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3 ，延长 B4C3交x轴于点A4；…；照这个规律进行下去，则第n个正方形 AnBnBn+1Cn的边长为 ________（结果用含正整数n的代数式表示）．

中考数学复习专题2 规律探索型问题数学课件

2．解图形规律探索题的方法：第一步：标序号：记每组图形的序数为“1，2，3，…，n”；第二步：数图形个数：在图形数量变化时，要记出每组图形的表示个数；第三步：寻找图形数量与序号数 n 的关系：针对寻找第 n 个图形表示的数量时，先将后一个图形的个数与前一个图形的个数进行比对，通常作差(商)来观察是否有恒定量的变化，然后按照定量变化推导出第 n 个图形的个数；函数法：若当图形变化规律不明显时，可把序号数 n 看作自变量，把第 n 个图形的个数看作函数，设函数解析式为 y＝an2＋bn＋c(初中阶段设二次函数完全可以解决)，再代入三组数值进行计算出函数解析式(若算出 a＝0 就是一次函数)即可．
【点评】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是能够仔细读题，找到图形内和图形外格点的数目．
[对应训练] 4．在由 m×n(m×n＞1)个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数 f， (1)当 m，n 互质(m，n 除 1 外无其他公因数)时，观察下列图形并完成下表：
[对应训练] 2．(2015·咸宁)古希腊数学家把数 1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为 a1，第二个三角数记为 a2…，第 n 个三角数记为 an，计算 a1＋ a2，a2＋a3，a3＋a4，…由此推算 a399＋a400＝__1.6×105 或 160_000__．
1．(2015·德州)一组数 1，1，2，x，5，y…满足“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中 y 表示的数为( A )
A．8 B．9 C．13 D．15 2．(2015·河南)如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为 1 个单位长度的半圆 O1，O2，

中考数学专题复习——规律探索(详细答案)

中考数学复习专题——规律探索一.选择题1. （2018·湖北随州·3 分）我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别称作“三角形数”（如 1，3， 6，10…）和“正方形数”（如 1，4，9，1，在小于 200 的数中，设最大的“三角形数”为 m ，最大的 “正方形数”为 n ，则 m +n 的值为（）A ．33B ．301C ．386D ．5712.（2018•山东烟台市•3 分）如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆下去，第 n 个图形中有 120 朵玫瑰花，则 n 的值为（）3.（2018•山东济宁市•3 分）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（）A ．B ． B.C ．D ．4. （2018 湖南张家界 3.00 分）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256…，则 2+22+23+24+25+…+21018 的末位数字是（）A ．8B ．6C ．4D ．0二、填空题 1. （2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·3 分）如图，在平面直角坐标系中，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2， △P3A2A3，…都是等2.（2018•江苏淮安•3 分）如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数y=x 的图象，点A1的坐标为（1，，过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1，以A1D1为边作正方形A1B1C1D1；过点C1作直线l的垂线，垂足为A2，交x 轴于点B2，以A2B2为边作正方形A2B2C2D2；过点C2作x 轴的垂线，垂足为A3，交直线l 于点D3，以A3D3为边作正方形A3B3C3D3，…，按此规律操作下所得到的正方形A n B n C n D n的面积是（92）n﹣1 ．3.（2018•山东东营市•3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线y=15x+b和x轴上．△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形．如果点A1（1，那么点A2018的纵坐标是20173()2．4.（2018•临安•3 分.）已知：2+23=22×23，3+38=32×38，4+415=42×415，5+524=52×524，…，若10+ba=102×ba符合前面式子的规律，则a+b= ．5. （2018•广西桂林•3分）将从1开始的连续自然数按如图规律排列：规定位于第m行，第n列的自然记为6. （2018•广西南宁•3 分）观察下列等式：30=1，31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，…，根据其中规律可得 30+31+32+…+32018 的结果的个位数字是．7. （2018·黑龙江龙东地区·3 分）如图，已知等边△A BC 的边长是 2，以 B C 边上的高 AB 1 为边作等边三角形，得到第一个等边△AB 1C 1；再以等边△AB 1C 1 的 B 1C 1边上的高 AB 2 为边作等边三角形，得到第二个等边△AB 2C 2；再以等边△A B 2C 2 的B 2C 2边上的高 A B 3 为边作等边三角形，得到第三个等边△AB 3C 3；…，记△B 1CB 2 的面积为 S 1，△B 2C 1B 3 的面积为 S 2，△B 3C 2B 4 的面积为 S 3，如此下去，则 S n = ．8.（2018·黑龙江齐齐哈尔·3 分）在平面直角坐标系中，点 A （3，1）在射线 O M 上，点 B （3，3）在射线 ON 上，以 AB 为直角边作 Rt △A BA 1，以 BA 1 为直角边作第二个 Rt △BA 1B 1，以A 1B 1 为直角边作第三个 Rt△A 1B 1A 2，…，依次规律，得到 R t △B 2017A 2018B 2018，则点 B 2018 的纵坐标为． 9.（2018•广东•3 分）如图，已B 1 作 B 1A 2∥OA 1 交双曲线于点 A 2，过 A 2 作 A 2B 2∥A 1B 1 交 x 轴于点 B 2，得到第二个等边△B 1A 2B 2；过 B 2 作 B 2A 3∥B 1A 2 交双曲线于点 A 3，过 A 3 作 A 3B 3∥A 2B 2 交 x 轴于点 B 3，得到第三个等边△B 2A 3B 3；以此类推，…，则点 B 6 的坐标为（）．nn201810. （2018•广西北海•3 分）观察下列等式： 30 = 1， 31 = 3， 32 = 9 ， 33 = 27 ， 34 = 81， 35= 243，…，根据其中规律可得 01220183+3+3+...3+的结果的个位数字是。

中考数学探究性问题复习练习-中考数学试题、初中数学中考试卷、模拟题-初中数学试卷

中考数学探究性问题复习练习-中考数学试题、初中数学中考试卷、模拟题、复习资料-初中数学试卷-试卷下载中考数学探究性问题复习探究性问题是指在给定条件下探究尚不明确的结论，或由给出的结论探求满足该结论所需要的（或尚不确定的）条件的一类问题，它与传统条件结论封闭是截然不同的。

一般情况下，传统题条件完备，结论明确，只需计算结果，或对结论加以论证，其解题通法往往是确定的。

探究性问题是通过对题目的具体分析，选择并建立恰当的数学模型，经过观察、试验、分析、比较、类比、归纳、猜测、推断等探究性活动来探索解题思路。

探究性问题一般可分为结论探究题、条件探究题和存在性探究题。

我市近年来一直以考查结论探究题和存在性探究题为主。

1、结论探究题结论探究题，一般是由给定的已知条件探求相应的结论，解题时往往要求充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论。

例1、有若干个数，第1个数记为，第2个数记为，第3个数记为，……，第个数记为，若，从第2个数起，每个数都等于“1与它前面的那个数的差的倒数”。

（1）试计算：＝，＝，＝；（2）根据以上计算结果，请你写出：＝，＝。

例2、水葫芦是一种水生飘浮植物，有着惊人的繁殖能力。

据报现已造成某些流域河道堵塞，水质污染等严重后果。

据研究表明：适量的水葫芦生长对水质的净化是有利的，关键是科学管理和转化利用。

若在适宜条件下，1株水葫芦每5天就能新繁殖1株（不考虑植株死亡、被打捞等其它因素）。

（1）假设江面上现有一株水葫芦，填写下表：第几天51015…50…5n总株数24（2）假设某流域内水葫芦维持在约33万株以内对净化水质有益。

若现有10株水葫芦，请你尝试利用计算器进行估算探究，照上述生长速度，多少天时水葫芦约有33万株？此后就必须开始定期打捞处理水葫芦。

（要求写出必要的尝试、估算过程！）例3、如图，“取正方形各边的中点，并把相对的两个中点相连，这样把一个大正方形分成了四个小正方形”，我们称之为第1次操作。

中考数学专题复习— 探索规律问题完整版后附真题剖析

解:(1)观察图 1 可知:中间的每个正方形都对应了两个等腰直角三角形, 所以每增加一块正方形地砖,等腰直角三角形地砖就增加 2 块.故答案为 2. (2)观察图形 2 可知:中间一个正方形的左上、左边、左下共有 3 个等腰直角三角形,它右上和右下各对应了一个等腰直角三角形,右边还有 1 个等腰直角三角形,即 6=3+2×1+1=4+2×1;图 3 和图 1 中间正方形右上和右下都对应了两个等腰直角三角形,均有与图 2 一样的规律,图 3:8=3+2×2+1=4+2×2;归纳得:4+2n(即 2n+4); ∴若一条这样的人行道一共有 n(n 为正整数)块正方形地砖,则等腰直
中考数学专题复习
许多事物都存在着一定的规律性，只要我们善于观察、勤于思考，就可以发现它们，并利用它们来丰富我们的生活。
●解题思路
一、数字规律
例1
请你按照如下的数字规律,分别
写出第n个数字：（n为正整数）
① ②③ ④ ⑤
n
（1）2,4,6,8,10, … , _2_n__;
（2）1,3,5,7,9, … , 2n-1
一、选择题
1.平面上不重合的两点确定一条直线,不同三点最多可确定 3 条直线,
若平面上不同的 n 个点最多可确定 21 条直线,则 n 的值为 ( C )
A.5
B.6 C.7 D.8
2.(2021 山东临沂)实验证实,放射性物质在放出射线后,质量将减少,
减少的速度开始较快,后来较慢,实际上,物质所剩的质量与时间成某
•即时演练•
1.(2020 天水)观察等式:2+22=23-2;2+22+23=24-2;2+22+23+24=25-2;…已

中考数学专题复习探索规律问题

专题探索规律问题解读考点考点归纳归纳 1：数字猜想型基础知识归纳：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系,先猜想,然后通过适当的计算回答问题．注意问题归纳：要认真分析比较,从而发现题中蕴涵的数量关系,通过猜想,再通过计算解决问题．例1一列数：0,-1,3,-6,10,-15,21,……,按此规律第n个数为归纳 2：数式规律型基础知识归纳：数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证,然后得出一般性的结论,以列代数式即函数关系式为主要内容．注意问题归纳：要注意观察、分析、归纳、并验证得出结论．例2有一个计算程序,每次运算都是把一个数先乘以2,再除以它与1的和,多次重复进行这种运算的过程如下：则第n次运算的结果yn= 用含字母x和n的代数式表示．归纳 3：图形规律型基础知识归纳：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点,分析其联系和区别,用相应的算式描述其中的规律,要注意对应思想和数形结合．注意问题归纳：要注意分析图形的组成与分拆过程中的特点,要注意数形结合．例3如图,是由一些点组成的图形,按此规律,在第n个图形中,点的个数为．归纳 4：数形结合猜想型基础知识归纳：数形结合猜想型问题首先要观察图形,从中发现图形的变化方式,再将图形的变化以数或式的形式反映出来,从而得出图形与数或式的对应关系,数形结合总结出图形的变化规律,进而解决相关问题．注意问题归纳：要注意观察图形,发现图形的变化方式,用好数形结合思想解决问题．例4如图,等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,且AC边在直线a上,将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1,此时AP1=；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②,可得到点P2,此时AP2=1+；将位置②的三角形绕点P2顺时针旋转到位置③,可得到点P3,此时AP3=2+；……,按此规律继续旋转,直至得到点P2014为止．则AP2014= ．归纳5：动态规律型基础知识归纳：动态规律问题是探求图形在运动变换过程中的变化规律,解答此类问题时,要将图形每一次的变化与前一次变化进行比较,明确哪些结果发生了变化,哪些结果没有发生变化,从而逐步发现规律．注意问题归纳：要注意探求图形的变化规律,明确发生变化的与没有发生变化的量,从而逐步发现规律．例5如图,在x轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点A1,A2,A3,A4,……,An分别过这些点做x轴的垂线与反比例函数y=1x的图象相交于点P1,P2,P3,P4,……Pn作P2B1⊥A1P1,P3B2⊥A2P2,P4B3⊥A3P3,……,PnBn﹣1⊥An﹣1Pn﹣1,垂足分别为B1,B2,B3,B4,……,Bn﹣1,连接P1P2,P2P3,P3P4,……,Pn﹣1Pn,得到一组Rt△P1B1P2,Rt△P2B2P3,Rt△P3B3P4,……,Rt△Pn﹣1Bn﹣1Pn,则Rt△Pn﹣1Bn﹣1Pn的面积为．2年中考2015年题组1．2015绵阳将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放,观察每个“龟图”中的“○”的个数,若第n个“龟图”中有245个“○”,则n=A．14 B．15 C．16 D．17考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题．2．2015十堰如图,分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形,公共边只用一根火柴棍．如果搭建正三角形和正六边形共用了2016根火柴棍,并且正三角形的个数比正六边形的个数多6个,那么能连续搭建正三角形的个数是A．222 B．280 C．286 D．2923．2015荆州把所有正奇数从小到大排列,并按如下规律分组：1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,…,现有等式Am=i,j表示正奇数m 是第i组第j个数从左往右数,如A7=2,3,则A2015=A．31,50 B．32,47 C．33,46 D．34,424．2015包头观察下列各数：1,43,97,1615,…,按你发现的规律计算这列数的第6个数为A．2531 B．3635 C．47 D．6263考点：1．规律型：数字的变化类；2．综合题．5．2015重庆市下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的,其中第①个图形中一共有6个小圆圈,第②个图形中一共有9个小圆圈,第③个图形中一共有12个小圆圈,…,按此规律排列,则第⑦个图形中小圆圈的个数为A．21 B．24 C．27 D．306．2015泰安下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定x的值为A．135 B．170 C．209 D．252考点：1．规律型：数字的变化类；2．综合题．7．2015重庆市下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成,图①中有2个黑色正方形,图②中有5个黑色正方形,图③中有8个黑色正方形,图④中有11个黑色正方形,…,依次规律,图⑩中黑色正方形的个数是A．32 B．29 C．28 D．26考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题．8．2015崇左下列图形是将正三角形按一定规律排列,则第4个图形中所有正三角形的个数有A．160 B．161 C．162 D．1639．2015贺州观察下列等式：21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,…,解答下面问题：2+22+23+24+…+22015﹣1的末位数字是A．0 B．3 C．4 D．8考点：1．尾数特征；2．规律型；3．综合题．10．2015宜宾如图,以点O为圆心的20个同心圆,它们的半径从小到大依次是1、2、3、4、…、20,阴影部分是由第1个圆和第2个圆,第3个圆和第4个圆,…,第19个圆和第20个圆形成的所有圆环,则阴影部分的面积为A ．231π B．210π C．190π D．171π11．2015鄂州在平面直角坐标系中,正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置,其中点B1在y 轴上,点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x 轴上,已知正方形A1B1C1D1的边长为1,∠B1C1O=60°,B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是A ．201421）（B ．201521）（C ．201533）（D ．201433）（答案D ．考点：1．正方形的性质；2．规律型；3．综合题．12．2015庆阳在如图所示的平面直角坐标系中,△OA1B1是边长为2的等边三角形,作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称,再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称,如此作下去,则△B2nA2n+1B2n+1n 是正整数的顶点A2n+1的坐标是A ．4n ﹣3．2n ﹣3．3 D ．313．2015宁德如图,在平面直角坐标系中,点A1,A2,A3…都在x 轴上,点B1,B2,B3…都在直线y x 上,△OA1B1,△B1A1A2,△B2B1A2,△B2A2A3,△B3B2A3…都是等腰直角三角形,且OA1=1,则点B2015的坐标是A ．20142,20142B ．20152,20152C ．20142,20152D ．20152,20142考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．等腰直角三角形；3．规律型；4．综合题．14．2015河南省如图所示,在平面直角坐标系中,半径均为1个单位长度的半圆O1、O2、O3,…组成一条平滑的曲线,点P 从原点O 出发,沿这条曲线向右运动,速度为每秒2π个单位长度,则第2015秒时,点P 的坐标是A ．2014,0B ．2015,﹣1C ．2015,1D ．2016,0考点：1．规律型：点的坐标；2．规律型；3．综合题；4．压轴题．15．2015张家界任意大于1的正整数m 的三次幂均可“分裂”成m 个连续奇数的和,如：5323+=,119733++=,1917151343+++=,…按此规律,若3m 分裂后其中有一个奇数是2015,则m 的值是A ．46B ．45C ．44D ．4316．2015邵阳如图,在矩形ABCD 中,已知AB=4,BC=3,矩形在直线l 上绕其右下角的顶点B 向右旋转90°至图①位置,再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置,…,以此类推,这样连续旋转2015次后,顶点A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是A ．2015π B．π C ．3018π D．3024π17．2015威海如图,正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为2,正六边形A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切,正六边形A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形A2B2C2D2E2F2的各边相切,…按这样的规律进行下去,A10B10C10D10E10F10的边长为A ．92432B ．98132C ．9812 D ．88132考点：1．正多边形和圆；2．规律型；3．综合题．18．2015日照观察下列各式及其展开式：222()2a b a ab b +=++；33223()33a b a a b ab b +=+++；4432234()464a b a a b a b ab b +=++++；554322345()510105a b a a b a b a b ab b +=+++++；…请你猜想10()a b +的展开式第三项的系数是A ．36B ．45C ．55D ．66考点：1．完全平方公式；2．规律型；3．综合题．19．2015宁波如图,将△ABC 沿着过AB 中点D 的直线折叠,使点A 落在BC 边上的A2处,称为第1次操作,折痕DE 到BC 的距离记为h1；还原纸片后,再将△ADE 沿着过AD 中点D1的直线折叠,使点A 落在DE 边上的A2处,称为第2次操作,折痕D1E1到BC 的距离记为h2；按上述方法不断操作下去…,经过第2015次操作后得到的折痕D2014E2014到BC 的距离记为h2015,到BC 的距离记为h2015．若h1=1,则h2015的值为A ．201521B ．201421C ．2015211- D ．2014212-考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形中位线定理；3．翻折变换折叠问题；4．规律型；5．综合题．20．2015常州数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式,作出了一个着名的猜想． 4=2+2； 12=5+7；6=3+3； 14=3+11=7+7；8=3+5； 16=3+13=5+11；10=3+7=5+5 18=5+13=7+11；…通过这组等式,你发现的规律是请用文字语言表达．21．2015淮安将连续正整数按如下规律排列：若正整数565位于第a 行,第b 列,则a+b= ．22．2015雅安若1m ,2m ,…,2015m 是从0,1,2这三个数中取值的一列数,若122015...m m m +++=1525,222122015(1)(1)...(1)1510m m m -+-++-=,则1m ,2m ,…,2015m 中为2的个数是．23．2015桂林如图是一个点阵,从上往下有无数多行,其中第一行有2个点,第二行有5个点,第三行有11个点,第四行有23个点,…,按此规律,第n 行有个点．24．2015梧州如图是由等圆组成的一组图,第①个图由1个圆组成,第②个图由5个圆组成,第③个图由12个圆组成…按此规律排列下去,则第⑥个图由个圆组成．25．2015百色观察下列砌钢管的横截面图：则第n 个图的钢管数是用含n 的式子表示26．2015北海如图,直线22y x =-+与两坐标轴分别交于A 、B 两点,将线段OA 分成n等份,分点分别为P1,P2,P3,…,Pn﹣1,过每个分点作x 轴的垂线分别交直线AB 于点T1,T2,T3,…,Tn ﹣1,用S1,S2,S3,…,Sn ﹣1分别表示Rt△T1OP1,Rt△T2P1P2,…,Rt△Tn ﹣1Pn ﹣2Pn ﹣1的面积,则当n=2015时,S1+S2+S3+…+Sn﹣1= ．考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．规律型；3．综合题．27．2015南宁如图,在数轴上,点A 表示1,现将点A 沿x 轴做如下移动,第一次点A向左移动3个单位长度到达点A1,第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2,第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点,按照这种移动规律移动下去,第n次移动到点An,如果点An 与原点的距离不小于20,那么n 的最小值是．28．2015常德取一个自然数,若它是奇数,则乘以3加上1,若它是偶数,则除以2,按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．最少经过下面5步运算可得1,即：,如果自然数m 最少经过7步运算可得到1,则所有符合条件的m 的值为．29．2015株洲“皮克定理”是用来计算顶点在整点的多边形面积的公式,公式表达式为12b S a =+-,孔明只记得公式中的S 表示多边形的面积,a 和b 中有一个表示多边形边上含顶点的整点个数,另一个表示多边形内部的整点个数,但不记得究竟是a 还是b 表示多边形内部的整点个数,请你选择一些特殊的多边形如图1进行验证,得到公式中表示多边形内部的整点个数的字母是 ,并运用这个公式求得图2中多边形的面积是．30．2015内江填空：()()a b a b -+= ；22()()a b a ab b -++= ；3223()()a b a a b ab b -+++= ．2猜想：1221()(...)n n n n a b a a b ab b -----++++= 其中n 为正整数,且2n ≥．3利用2猜想的结论计算：98732222...222-+-+-+． 31．2015南平定义：底与腰的比是51-的等腰三角形叫做黄金等腰三角形．如图,已知△ABC 中,AB=BC,∠C=36°,BA1平分∠ABC 交AC 于A1．AB=AA1A C；122探究：△ABC是否为黄金等腰三角形请说明理由；提示：此处不妨设AC=13应用：已知AC=a,作A1B1∥AB交BC于B1,B1A2平分∠A1B1C交AC于A2,作A2B2∥AB 交B2,B2A3平分∠A2B2C交AC于A3,作A3B3∥AB交BC于B3,…,依此规律操作下去,用含a,n的代数式表示An﹣1An．n为大于1的整数,直接回答,不必说明理由考点：1．相似形综合题；2．新定义；3．探究型；4．综合题；5．压轴题；6．规律型．33．2015重庆市如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字,与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同,那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如自然数12321,从最高位到个位依次排出的一串数字是：1,2,3,2,1,从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1,2,3,2,1,因此12321是一个“和谐数”,再加22,545,3883,345543,…,都是“和谐数”．1请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除并说明理由；2已知一个能被11整除的三位“和谐数”,设其个位上的数字x1≤x≤4,x为自然数,十位上的数字为y,求y与x的函数关系式．2014年题组1．2014年南平中考如图,将1,若规定a,b表示第a排第b列的数,则8,2与2014,2014表示的两个数的积是A．B．C． D．12．2014年株洲中考在平面直角坐标系中,孔明做走棋的游戏,其走法是：棋子从原点出发,第1步向右走1个单位,第2步向右走2个单位,第3步向上走1个单位,第4步向右走1个单位……依此类推,第n步的走法是：当n能被3整除时,则向上走1个单位；当n被3除,余数为1时,则向右走1个单位；当n被3除,余数为2时,则向右走2个单位,当走完第100步时,棋子所处位置的坐标是A．66,34 B．67,33 C．100,33 D．99,343．2014年宜宾中考如图,将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放,点A1,A2,……An分别是正方形的中心,则这n个正方形重叠部分的面积之和是A．n B．n-1 C.n11()4D．n1()4考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质．4．2014年崇左中考如图,在平面直角坐标系中,A1,1,B﹣1,1,C﹣1,﹣2,D1,﹣2．把一条长为2014个单位长度且没有弹性的细线线的粗细忽略不计的一端固定在点A处,并按A﹣B﹣C﹣D﹣A……的规律绕在四边形ABCD的边上,则细线另一端所在位置的点的坐标是A．﹣1,0 B．1,﹣2 C．1,1 D．﹣1,﹣15．2014年百色中考观察以下等式：32﹣12=8,52﹣12=24,72﹣12=48,92﹣12=80,……由以上规律可以得出第n个等式为．6．2014年衡阳中考如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知点0M 的坐标为()10，,将线段0OM 绕原点O 逆时针方向旋转45,再将其延长至点1M ,使得100M M OM ⊥,得到线段1OM ；又将线段1OM 绕原点O 逆时针方向旋转45,再将其延长至点2M ,使得211M M OM ⊥,得到线段2OM ；如此下去,得到线段3OM 、4OM 、5OM 、……．根据以上规律,请直接写出线段2014OM 的长度为．答案2014．7．2014年抚顺中考如图,已知CO1是△ABC 的中线,过点O1作O1E1∥AC 交BC 于点E1,连接AE1交CO1于点O2；过点O2作O2E2∥AC 交BC 于点E2,连接AE2交CO1于点O3；过点O3作O3E3∥AC 交BC 于点E3,……,如此继续,可以依次得到点O4,O5,……,On 和点E4,E5,……,En ．则OnEn= AC ．用含n 的代数式表示考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形中位线定理．8．2014年资阳中考如图,以O0,0、A2,0为顶点作正△OAP1,以点P1和线段P1A 的中点B 为顶点作正△P1BP2,再以点P2和线段P2B 的中点C 为顶点作△P2CP3,……,如此继续下去,则第六个正三角形中,不在第五个正三角形上的顶点P6的坐标是9．2014年宜宾中考在平面直角坐标系中,若点Px,y 的坐标x 、y 均为整数,则称点P 为格点,若一个多边形的顶点全是格点,则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S,其内部的格点数记为N,边界上的格点数记为L,例如图中△ABC 是格点三角形,对应的S=1,N=0,L=4．1求出图中格点四边形DEFG 对应的S,N,L 的值．2已知格点多边形的面积可表示为S=N+aL+b,其中a,b为常数,若某格点多边形对应的N=82,L=38,求S的值．考点：1．规律型：图形的变化类； 2．二元一次方程组的应用．10．2014年凉山中考实验与探究：三角点阵前n行的点数计算如图是一个三角点阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有1个点,第二行有2个点……第n行有n个点……容易发现,10是三角点阵中前4行的点数约和,你能发现300是前多少行的点数的和吗如果要用试验的方法,由上而下地逐行的相加其点数,虽然你能发现1+2+3+4+……+23+24=300．得知300是前24行的点数的和,但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n行的点数的和与n的数量关系前n行的点数的和是1+2+3+……+n﹣2+n﹣1+n,可以发现．2×1+2+3+……+n﹣2+n﹣1+n=1+2+3+……+n﹣2+n﹣1+n+n+n﹣1+n﹣2+……3+2+1把两个中括号中的第一项相加,第二项相加……第n项相加,上式等号的后边变形为这n个小括号都等于n+1,整个式子等于nn+1,于是得到1+2+3+……+n﹣2+n﹣1+n=12nn+1这就是说,三角点阵中前n项的点数的和是12nn+1下列用一元二次方程解决上述问题设三角点阵中前n行的点数的和为300,则有12nn+1整理这个方程,得：n2+n﹣600=0解方程得：n1=24,n2=25根据问题中未知数的意义确定n=24,即三角点阵中前24行的点数的和是300．请你根据上述材料回答下列问题：1三角点阵中前n行的点数的和能是600吗如果能,求出n；如果不能,试用一元二次方程说明道理．2如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、……、2n、……,你能探究处前n行的点数的和满足什么规律吗这个三角点阵中前n行的点数的和能使600吗如果能,求出n；如果不能,试用一元二次方程说明道理．1年模拟1．2015届山东省济南市平阴县中考二模在平面直角坐标系xOy中,对于点Px,y,我们把点P-y+1,x+1叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2,点A2的伴随点为A3,点A3的伴随点为A4,…,这样依次得到点A1,A2,A3,…,An,…．例如：点A1的坐标为3,1,则点A2的坐标为0,4,…；若点A1的坐标为a,b,则点A2015的坐标为A．-b+1,a+1 B．-a,-b+2 C．b-1,-a+1 D．a,b2．2015届山东省潍坊市昌乐县中考一模如图,下面是按照一定规律画出的“树形图”,经观察可以发现：图A2比图A1多出2个“树枝”,图A3比图A2多出4个“树枝”,图A4比图A3多出8个“树枝”,…,照此规律,图A6比图 A2多出“树枝”A．32 B．56 C．60 D．643．2015届山西省晋中市平遥县九年级下学期4月中考模拟如图,四边形ABCD 中,AC=a,BD=b,且AC⊥BD,顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A1B1C1D1,再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点,得到四边形A2B2C2D2,如此进行下去,得到四边形AnBnCnDn．下列结论正确的是①四边形A4B4C4D4是菱形；②四边形A3B3C3D3是矩形；③四边形A7B7C7D7周长为；④四边形AnBnCnDn面积为．A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④4．2015届广东省深圳市龙华新区中考二模如图,已知直线y=-12x+2与x轴交于点B,与y轴交于点A．过线段AB的中点A1做A1B1⊥x轴于点B1,过线段A1B的中点A2作A2B2⊥x轴于点B2,过线段A2B的中点A3作A3B3⊥x轴于点B3…,以此类推,则△AnBnBn-1的面积为A ．112n -B ．12nC ．114n -D ．14n5．2014-2015学年山东省潍坊市诸城市实验中学中考三模如图放置的△OAB1,△B1A1B2,△B2A2B3,…都是边长为2的等边三角形,边AO 在y 轴上,点B1,B2,B3,…都在直线y=33x 上,则A2015的坐标是．考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．规律型．6．2015届北京市平谷区中考二模在平面直角坐标系中,点A,B,C 的坐标分别为()1,0,()0,1,()1,0-．一个电动玩具从坐标原点O 出发,第一次跳跃到点P1,使得点P1与点O 关于点A 成中心对称；第二次跳跃到点P2,使得点P2与点P1关于点B 成中心对称；第三次跳跃到点P3,使得点P3与点P2关于点C 成中心对称；第四次跳跃到点P4,使得点P4与点P3关于点A 成中心对称；第五次跳跃到点P5,使得点P5与点P4关于点B 成中心对称；．…照此规律重复下去．则点P3的坐标为；点Pn 在y 轴上,则点Pn 的坐标为．7．2015届北京市门头沟区中考二模在平面直角坐标系xOy 中,矩形OABC 如图放置,动点P 从0,3出发,沿所示方向运动,每当碰到矩形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点P 第2次碰到矩形的边时,点P 的坐标为；当点P 第6次碰到矩形的边时,点P 的坐标为；当点P 第2015次碰到矩形的边时,点P 的坐标为____________．答案7,4, 0,3 ,1,4．8．2015届安徽省安庆市中考二模一组按规律排列的式子：,,,,…则第n 个式子是 n为正整数．9．2015届山东省威海市乳山市中考一模在直角坐标系xOy中,对于点Px,y,我们把点P′y+1,-x+1叫做点P的影子点．已知点A1的影子点为A2,点A2的影子点为A3,点A3的影子点为A4,…,这样依次得到点A1,A2,A3,…,An,…若点A1的坐标为a,b,对于任意的正整数n,点An均在y轴的右侧,则a,b应满足的条件是．10．2015届山东省日照市中考模拟如图,在直角坐标系中,第一次将△OAB变换成△OA1B1,第二次将△OA1B1变换成△OA2B2,第三次将△OA2B2变换成△OA3B3,已知A1,3,A12,3,A24,3,A38,3,B2,0,B14,0,B28,0,B316,0．1观察每次变换前后的三角形有何变化,找出规律,按此变换规律再将△OA3B3变换成△OA4B4,则A4的坐标是．2若按1题找到的规律将△OAB进行了n次变换,得到的△OAnBn,比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化,找出规律,推出Bn的坐标是．11．2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试如图,依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形,再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形,按照此方法继续下去．已知第一个矩形的两条邻边长分别为6和8,则第n个菱形的周长为．12．2015届湖北省黄石市6月中考模拟如图,点A1,A2,A3,A4,…,An在射线OA上,点B1,B2,B3,…,Bn﹣1在射线OB上,且A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥An﹣1Bn﹣1,A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥AnBn﹣1,△A1A2B1,△A2A3B2,…,△An﹣1AnBn﹣1为阴影三角形,若△A2B1B2,△A3B2B3的面积分别为1、4,则△A1A2B1的面积为__________；面积小于2011的阴影三角形共有__________个．13．2015届广东省佛山市初中毕业班综合测试若a是不为1的有理数,我们把11a-称为a的差倒数．如：2的差倒数是112-=-1,-1的差倒数是111(1)2=--．已知a1=-13,a2是a1的差倒数,a3是a2的差倒数,a4是a3的差倒数,…,依此类推．1分别求出a2,a3,a4的值；2求a1+a2+a3+…+a2160的值．。

2025中考复习数学考点专题探究课件：专题1 数与式规律探究

第一章
数与式
专题1
规律探究(一)
刷难关
专题1
刷难关
专题1
类型1
规律探究(一)
数或式规律探究
1. [2023湖南常德中考，中]观察下边的数表(横排为行，竖排为列)，按数表中

的规律，分数
若排在第 a 行 b 列，则 a － b 的值为(

A. 2 003
B. 2 004
C. 2 022
下去，则 a1＋ a2＋ a3＋…＋ an ＝ 2 n2－ n
1
2
3
4
5
6
7
.(结果用含 n 的代数式表示)
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专题1
规律探究(一)
【解析】∵题图(1)有1个三角形，记作 a1＝1；题图(2)有5个三角形，记作 a2＝
5＝1＋4＝1＋4×1；题图(3)有9个三角形，记作 a3＝9＝1＋4＋4＝1＋
这 n 个自然数中，任取两数之和大于 n 的取法种数 k 进行了探究.发现：当 n ＝
2时，只有{1，2}一种取法，即 k ＝1；当 n ＝3时，有{1，3}和{2，3}两种取
法，即 k ＝2；当 n ＝4时，可得 k ＝4；….若 n ＝6，则 k 的值为
n ＝24，则 k 的值为
144
9
；若
.
【解析】当 n ＝6时，从1，2，3，4，5，6中取两个数的和大于6，则取法有
{23，2}，{23，3}，…，{23，22}，
{22，3}，{22，4}，…，{22，21}，…，
{14，11}，{14，12}，{14，13}，
{13，12}，
∴ k ＝23＋21＋19＋…＋3＋1＝144.
故答案为9，144.

5.中考数学专题“化简求值型”相关的探索性问题母题题源系列(解析版)

【母题来源一】【2019•长春】先化简，再求值：（2a +1）2-4a （a -1），其中a 18=．【解析】原式=4a 2+4a +1-4a 2+4a =8a +1，当a 18=时，原式=8a +1=2．【名师点睛】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．【母题来源二】【2019•吉林】先化简，再求值：（a -1）2+a （a +2），其中a =【解析】原式=a 2-2a +1+a 2+2a =2a 2+1，当a ==5．【名师点睛】此题考查了整式的混合运算–化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【母题来源三】【2019•宁波】先化简，再求值：（x -2）（x +2）-x （x -1），其中x =3．【解析】（x -2）（x +2）-x （x -1） =x 2-4-x 2+x =x -4，当x =3时，原式=x -4=-1．【名师点睛】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．【母题来源四】【2019•凉山州】先化简，再求值：（a +3）2-（a +1）（a -1）-2（2a +4），其中a 12=-．【解析】原式=a 2+6a +9-（a 2-1）-4a -8 =2a +2，专题01 中考中与“化简求值型”相关的探索性问题将a 12=-代入，原式=2×（12-）+2=1．【名师点睛】本题主要考查整式的混合运算，灵活运用两条乘法公式：完全平方公式和平方差公式是解题的关键，同时，在去括号的过程中要注意括号前的符号，若为负号，去括号后，括号里面的符号要改变．【母题来源五】【2019•河南】先化简，再求值：（12x x +--1）22244x xx x -÷-+，其中x = 【解析】原式=（1222x x x x +----）()22(2)x x x -÷- 32x =-·2x x - 3x=，当x ===．【名师点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．【母题来源六】【2019•黄冈】先化简，再求值．（2222538a b b a b b a ++--）221a b ab÷+，其中a =b =1．【解析】原式()225381a b b a b ab a b +-=÷-+()()()5a b a b a b -=+-·ab （a +b ）=5ab ，当a =b =1时，原式【名师点睛】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．【母题来源七】【2019•福建】先化简，再求值：（x -1）÷（x 21x x--），其中x =1．【解析】原式=（x -1）221x x x-+÷=（x -1）·2(1)xx -1x x =-，当x =1，原式=【名师点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．【母题来源八】【2019•广东】先化简，再求值：（122x x x ---）224x xx -÷-，其中x = 【解析】原式()()()22121x x x x x x +--=⋅--2x x+=，当x =原式1==．【名师点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．【母题来源九】【2019•成都】先化简，再求值：（143x -+）22126x x x -+÷+，其中x =1．【解析】原式()22334()33(1)x x x x x ++=-⨯++- ()22313(1)x x x x +-=⨯+- 21x =-．将x =1代入，原式==【名师点睛】此题主要考查了方程解的定义和分式的运算，把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．【母题来源十】【2019•辽阳】先化简，再求值：（222211x x x x x-+-+-）221x x -÷-，其中x =3tan30°-（13）-1．【解析】（222211x x x x x-+-+-）221x x -÷- =[()212(1)1x x x x ----]()()112x x x +-⋅-=（211x x x ---）()()112x x x +-⋅- ()()11212x x x x x +--=⋅-- =x +1，当x =3tan30°-（13）-1=3-==3时，原式3+1=2．【名师点睛】本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．【母题来源十一】【2019•湘潭】阅读材料：运用公式法分解因式，除了常用的平方差公式和完全平方公式以外，还可以应用其他公式，如立方和与立方差公式，其公式如下：立方和公式：x 3+y 3=（x +y ）（x 2-xy +y 2）立方差公式：x 3-y 3=（x -y ）（x 2+xy +y 2）根据材料和已学知识，先化简，再求值：22332428x x x x x x ++---，其中x =3．【解析】22332428x x x x x x ++--- ()()()223242224x x x x x x x x ++=---++ 3122x x =--- 22x =-，当x =3时，原式232==-2．【名师点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．【命题意图】这类试题主要考查整式、分式、二次根式的化简求值，经常与特殊角的三角函数值、实数的运算、一元一次不等式组、一元二次方程等结合考查．【方法总结】化简求值是指我们不直接把字母的值代人代数式中计算，而是先化简（即去括号，合并同类项），然后再代人求值．1．整式的化简求值（1）一般情况下，字母取值不同，代数式的值也不同；（2）当字母的取值是分数或负数时，代入时要注意将分数或负数添上括号；（3）把数值代入时，原代数式中的系数、指数及运算符号都不改变．2．分式的化简求值分式化简求值是代数式化简求值的常见题型之一、也是中考中的固定题型，其基本步骤是先化简，再把字母的值或条件中所含关系代人计算分式求值中所含知识覆盖面广，解法灵活，可根据所给条件和求值式的特征进行适当的变形、转化．3．二次根式的化简求值解二次根式的化简求值问题的一般方法是直接代人法变形代人法技巧性较强，也常采用整体代入的方法．1．【2019年河南省开封市中考数学二模试卷】先化简，再求值：（x+y）2+（x-y）（x+y）-2x（x-y），其中x，y1．【解析】原式=x2+2xy+y2+x2-y2-2x2+2xy=4xy，当x，y1时，原式=4×）×1）=16．【名师点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．【山东省菏泽市郓城县2019届中考数学模拟试卷（6月份）】已知x2+x-5=0，求代数式（x-1）2-x（x-3）+（x+2）（x-2）的值．【解析】（x -1）2-x （x -3）+（x +2）（x -2） =x 2-2x +1-x 2+3x +x 2-4 =x 2+x -3， ∵x 2+x -5=0， ∴x 2+x =5， ∴原式=5-3=2．【名师点睛】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确运用整式的运算法则进行化简是解此题的关键．3．【2019年江苏省盐城市建湖县中考数学二模试卷】先化简，再求值：（x -3）2+2（x -2）（x +7）-（x +2）（x -2），其中x 2+2x -3=0．【解析】原式=x 2-6x +9+2x 2+10x -28-x 2+4=4x -15，由x 2+2x -3=0，即（x -1）（x +3）=0，得到x =1或x =-3，当x =1时，原式=4-15=-11；当x =-3时，原式=-12-15=-27．【名师点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．【2019年河南省南阳市宛城区中考数学一模试卷】先化简，再求值：23()111x x xx x x -÷-+-，其中x 的值从不等式组111223x x ⎧-≥⎪⎨⎪-<⎩ 的整数解中选取．【解析】23()111x x x x x x -÷-+- =3(1)(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x+--+-⋅+-=3（x +1）-（x -1） =3x +3-x +1 =2x +4，由不等式组111223x x ⎧-≥⎪⎨⎪-<⎩得，-3<x ≤1，当x =-2时，原式=2×（-2）+4=0．【名师点睛】本题考查分式的化简求值、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．5．【广东省肇庆市怀集县2019届九年级中考一模数学试题】先化简，后求值：22211(1)(1)x x x--÷-，其中，x 从0、-1、-2三个数值中适当选取．【解析】原式=2222211x x x x x-+-÷ =222(1)(1)(1)x x x x x -⋅+- =11x x -+，因为x 取数值0、-1时，代入原式无意义，所以：取x =-2，得：原式=3．【名师点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．6．【湖南省株洲市石峰区2019届九年级中考数学模拟试题（二）】先化简，再求值：（x -1+221x x -+）÷21x xx -+，其中x 的值从不等式-1≤x <2.5的整数解中选取．【解析】原式=221(1)1(1)x x x x x x -+-+⋅+- =12(1)1(1)(1)1(1)x x x x x x x x x +--+-⋅⋅⋅-+-=12x x x+-+=1x x-， -1≤x <2.5的整数解为-1，0，1，2， ∵分母x ≠0，x +1≠0，x -1≠0， ∴x ≠0且x ≠1，且x ≠-1， ∴x =2，当x =2时，原式=21122-=．【名师点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键． 7．【山东省德州市齐河县2019年中考数学二模试卷】先化简，再求值：235(2)22m m m m m -÷+---，其中m 是方程x 2+3x +1=0的根．【解析】原式=222234539()22222m m m m m m m m m m m ----÷-=÷-----， =()()()23212333m m m m m m m m--⨯=-+-+．∵m 是方程x 2+3x +1=0的根， ∴m 2+3m +1=0， ∴m 2+3m =-1，当m 2+3m =-1时，原式=111=--．【名师点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．8．【黑龙江省哈尔滨市2019中考模拟测试三数学试题】先化简，再求代数式22693111x x x x x x x -+-+÷--+的值，其中2sin30tan60x ︒=-︒．【解析】原式2(3)13·1(1)(1)31x x x x x x x x-+=+=-+---．∵2sin 30tan 601x ︒︒=-==【名师点睛】本题考查了分式的化简求值，其中正确的化简是解答本题的关键．9．【福建省厦门市集美区2019年初中毕业班总复习练习（二模）数学试题】化简求值：22121124a a a a a +++-÷+-，其中31a．【解析】原式=1-12a a ++ ·2(2)(2)(1)a a a +-+ =1-12a a ++=31a +，当a 1时，原式【名师点睛】本题主要考查了分式的化简求值，此类题，一般要先进行因式分解，再应用分式的基本性质进行约分和通分.熟练掌握因式分解、分式的约分和通分是解题的关键．10．【湖北省谷城县2018–2019学年九年级中考适应性考试数学试题】先化简，再求值：22()a b b a ba b a b a b---÷+-+，其中a =b =【解析】（2a b a b -+–ba b -）÷2a b a b-+ =()()()()()22a b a b b a b a ba b a b a b ---++⋅+--=2222312a ab b ab b a b a b-+--⋅-- =()2212a a b a b a b-⋅-- =2a a b-，当a b 时，原式33．【名师点睛】本题考查分式的化简求值、分母有理化，解答本题的关键是明确分式化简求值的计算方法．11．【2019年江苏省苏州市高新区中考数学模拟试卷（4月份）】先化简，再求值：2169(1)224a a a a -+-÷--，其中3a =．【解析】原式=232(2)2(3)a a a a --⋅--=23a -，当a 时，原式【名师点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．。

2024年中考数学总复习第一部分中考考点探究微专题(三)二次函数的对称性、增减性问题

－4＜a＜1
.
类型三
对称轴已知，利用所给范围求参数的值或取值范围
典例6 已知二次函数y＝ax2－2ax＋3（a＞0），当0≤x≤m时，3－
a≤y≤3，则m的取值范围是（
A. 0≤m≤1
B. 0≤m≤2
C. 1≤m≤2
D. m≥2
C ）
典例7 已知二次函数y＝x2－2x＋2，当t≤x≤t＋1时，函数的最小值为t，
y2，y3的大小关系为（
B ）
A. y1＞y2＞y3
B. y2＞y1＞y3
C. y3＞y1＞y2
D. y2＞y3＞y1
典例3 已知二次函数y＝ax 2 ＋bx＋5，函数y与自变量x的部分对应值
如下表.
x
…
－1
…
2
…
y
…
10
…
1
…
设m≥2，且A（m，y1），B（m＋1，y2）两点都在该函数的图象上，试
第一部分
福建中考考点探究
微专题（三）
三函数
二次函数的对称性、增减性问题
方法指导：将抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）上任意一点到其对称轴的距
离记为d.结论：d相等，y的值相等；a＞0时，d越大，y的值越大，d越
小，y的值越小；a＜0时，d越大，y的值越小，d越小，y的值越大.
如图①②，当d2＝d3时，点B，C关于抛物线的对称轴对称，yB＝yC；如
y3）都在该抛物线上，则y1，y2，y3的大小关系是（
A. y3＞y1＞y2
B. y3＜y2＜y1
C. y3＞y2＞y1
D. y3＜y1＜y2
D
）
典例2 在抛物线y＝ax2－2ax－3a（a≠0）上有A（－0.5，y1），B（2，

中考数学专题复习函数过程探究性问题

中考数学专题复习函数过程探究性问题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 评卷人得分一、解答题1．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质及其应用的过程．以下是我们研究函数2241x y x -=+的性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．（1）请把下表补充完整，并在给出的图中补全该函数的大致图象； x… －5－4－3－2 －1 0 1 2 3 4 5 …2241x y x -=+… －2126 －1217 －12 0 324 0 …（2）请根据这个函数的图象，写出该函数的一条性质；（3）已知函数332y x =-+的图象如图所示．根据函数图象，直接写出不等式2234321x x x --+>+的解集．（近似值保留一位小数，误差不超过0.2）2．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数|26|y x x m =+-++性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题． x…2-1-0 1 2 3 4 5 …y (6)54a 2 1b 7 …（1）写出函数关系式中m 及表格中a ，b 的值：m =________，=a _________，b =__________；（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：__________；（3）已知函数16y x=的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式16|26|x x m x+-++>的解集．3．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数261xy x =+性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．（1）请把下表补充．．完整，并在图中补全．．该函数图象； x… －5 －4－3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 …261xy x =+…1513-2417-125-－3 0 3 12524171513…（2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在相应的括号内打“√”，错误的在相应的括号内打“×”；①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y 轴；( )①该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当1x =时，函数取得最大值3；当1x =-时，函数取得最小值－3；( )①当1x <-或1x >时，y 随x 的增大而减小；当11x -<<时，y 随x 的增大而增大；( ) （3）已知函数21y x =-的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式26211xx x >-+的解集（保留1位小数，误差不超过0.2）．4．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数2122=-+yx的图象并探究该函数的性质．x①-4-3-2-101234①y①23-a-2-4b-4-21211-23-①（1）列表，写出表中a，b的值：a=____ ，b=．描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用“√”作答，错误的用“×”作答）：①函数2122=-+yx的图象关于y轴对称；①当x=0时，函数2122=-+yx有最小值，最小值为-6；①在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小．（3）已知函数21033y x=--的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式212210233xx-<--+的解集．5．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题＂的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义(0)(0)a aaaa≥⎧=⎨-⎩＜．结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题在函数3y kx b=-+中，当2x=时，4y=-；当0x=时，y 1.=-（1）求这个函数的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象井并写出这个函数的一条性质；（3）已知函1y32x=-的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式1323kx b x-+≤-的解集．6．函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画函数2||y x =-的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示；经历同样的过程画函数2||2y x =-+和2| 2|y x =-+的图象如图所示． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …y …﹣6﹣4﹣2﹣2﹣4﹣6…（1）观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解折式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最高点和对称轴发生了变化．写出点A ，B 的坐标和函数-2|2|y x =+的对称轴．（2）探索思考：平移函数2||y x =-的图象可以得到函数2||2y x =-+和2|2|y x =-+的图象，分别写出平移的方向和距离．（3）拓展应用：在所给的平面直角坐标系内画出函数2|3|1y x =--+的图象．若点()11,x y 和(22,)x y 在该函数图象上，且213x x >>，比较1y ，2y 的大小．参考答案：1．（1）从左到右，依次为：311221,,,221726--，图见解析；（2）该函数图象是轴对称图象，对称轴是y 轴；（3）0.3,12x x <-<< 【解析】【分析】（1）直接代入求解即可；（2）根据函数图象，写出函数的性质即可；（3）根据图象交点写出解集即可．【详解】解：（1）表格中的数据，从左到右，依次为：311221,,,221726--．函数图象如图所示．；（2）①该函数图象是轴对称图象，对称轴是y 轴；①该函数在自变量的取值范围内，有最大值，当0x =，函数取得最大值4；①当0x <是，y 随x 的增大而增大；当0x >是，y 随x 的增大而减小；（以上三条性质写出一条即可）（3）当0.2x =-时，33 3.32x -+=，224 3.81x x -≈+；当0.4=-x 时，33 3.62x -+=，224 3.311x x -≈+；所以0.3x =-是2234321x x x --+=+的一个解；由图象可知1x =和2x =是2234321x x x --+=+的另外两个解；①2234321x x x --+>+的解集为0.3,12x x <-<<．【点睛】本题考查函数图象和性质，能够从表格中获取信息，利用描点法画出函数图象，并结合函数图象解题是关键．2．（1）2-；3；4；（2）作图见解析；当3x <时，y 随x 的增大而减小，当3x >时，y 随x 的增大而增大；（3）0x <或4x > 【解析】【分析】（1）将表格中的已知数据任意选择一组代入到解析式中，即可求出m ，然后得到完整解析式，再根据表格代入求解其余参数即可；（2）根据作函数图象的基本步骤，在网格中准确作图，然后根据图象写出一条性质即可；（3）结合函数图象与不等式之间的联系，用函数的思想求解即可．【详解】（1）由表格可知，点()3,1在该函数图象上，①将点()3,1代入函数解析式可得：13236m =+-⨯++，解得：2m =-，①原函数的解析式为：|26|2y x x =+-+-；当1x =时，3y =；当4x =时，4y =；故答案为：2-；3；4；（2）通过列表-描点-连线的方法作图，如图所示；根据图像可知：当3x <时，y 随x 的增大而减小，当3x >时，y 随x 的增大而增大；故答案为：当3x <时，y 随x 的增大而减小，当3x >时，y 随x 的增大而增大；（3）要求不等式16|26|x x m x+-++>的解集，实际上求出函数|26|y x x m =+-++的图象位于函数16y x=图象上方的自变量的范围， ①由图象可知，当0x <或4x >时，满图条件，故答案为：0x <或4x >．【点睛】本题考查新函数图象探究问题，掌握研究函数的基本方法与思路，熟悉函数与不等式或者方程之间的联系是解题关键．3．（1）95-，95；（2）①× ①√ ①√；（3）x ＜−1或−0.3＜x ＜1.8．【解析】【分析】（1）代入x=3和x=-3即可求出对应的y 值，再补全函数图象即可；（2）结合函数图象可从增减性及对称性进行判断；（3）根据图象求解即可．【详解】解：（1）当x=-3时，2618911x y x -==++95=-，当x=3时，2618911x y x ===++95，函数图象如下：（2）①由函数图象可得它是中心对称图形，不是轴对称图形；故答案为：× ，①结合函数图象可得：该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值，当1x =时，函数取得最大值3；当1x =-时，函数取得最小值－3；故答案为：√ ，①观察函数图象可得：当1x <-或1x >时，y 随x 的增大而减小；当11x -<<时，y 随x 的增大而增大；故答案为：√．（3）1x <-，0.28 1.78(0.280.2 1.780.2)x x -<<-±<<±26211xx x =-+时，()2(1)2310x x x +--=得11x =-，2 1.8x ，30.3x ≈-，故该不等式的解集为： x ＜−1或−0.3＜x ＜1.8．【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键． 4．（1）1211-，6-，作图见解析；（2）①√；①√；①×；（3）x ＜-4或-2＜x ＜1．【解析】【分析】（1）把对应的x 的值代入即可求出a 和b 的值，通过描点，用平滑的曲线连接，即可作出图象；（2）观察图象即可判断；（3）找出函数2122=-+y x 的图象比函数21033y x =--的图象低时对应的x 的范围即可．【详解】（1）当3x =-时，212121132a =-=-+；当0x =时，1262b =-=-； ①1211a =-，6b =-，故答案为：1211-，6-．所画图象，如图所示．（2）①观察图象可知函数2122=-+y x 的图象关于y 轴对称，故该说法正确； ①观察图象可知，当x =0时，函数2122=-+y x 有最小值，最小值为6-，故该说法正确； ①观察图象可知，当0x <时，y 随x 的增大而减小，当0x >时，y 随x 的增大而增大，故该项题干说法错误．（3）不等式212210233x x -<--+表现在图象上面即函数2122=-+y x 的图象比函数21033y x =--的图象低，因此观察图象，即可得到212210233x x -<--+的解集为：x ＜-4或-2＜x ＜1．【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键．5．（1）3342y x =--；（2）见解析，当2x ≥时，y 随x 的增大而增大；当2x <时，y 随x 的增大而减小；（3）14x ≤≤.【解析】【分析】（1）根据在函数y=|kx -3|+b 中，当x=2时，y=-4；当x=0时，y=-1，可以求得该函数的表达式；（2）根据（1）中的表达式可以画出该函数的图象并写出它的一条性质；（3）根据图象可以直接写出所求不等式的解集.【详解】解：（1）由题意，可得23431k b b ⎧-+=-⎪⎨-+=-⎪⎩ 324k b ⎧=⎪∴⎨⎪=-⎩ ∴函数的解析式为：3342y x =-- （2）当2x ≥时，y 随x 的增大而增大；当2x <时，y 随x 的增大而减小；（3）14x ≤≤；【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式与一次函数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答.6．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】【分析】（1）根据图形即可得到结论；（2）根据函数图形平移的规律即可得到结论；（3）根据函数关系式可知将函数2||y x =-的图象向上平移1个单位，再向右平移3个单位得到函数2|-3|1y x =-+的图象．根据函数的性质即可得到结论．【详解】解：（1）(0,2)A ，(2,0)B -，函数2| 2|y x =-+的对称轴为2x =-；（2）将函数2||y x =-的图象向上平移2个单位得到函数2||2y x =-+的图象；将函数2||y x =-的图象向左平移2个单位得到函数2|2|y x =-+的图象；（3）将函数2||y x =-的图象向上平移1个单位，再向右平移3个单位得到函数2|3|1y x =--+的图象．所画图象如图所示，当213x x >>时，12y y >．【点睛】本题考查了一次函数与几何变换，一次函数的图象，一次函数的性质，平移的性质，正确的作出图形是解题的关键．。

中考数学专题复习_几何探究题

专题复习几何探究问题一、结论探究【例1】如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=900，点D是BC中点，作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE、BG（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论（2）将正方形DEFG绕点D逆时针旋转一定角度后（旋转角大于00，小于或等于3600），如图②，通过观察和测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由。

（3）若BC=DE=2，在（2）的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值。

'变式练习：已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）直接写出线段EG与CG的数量关系；（2）将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图2所示，取DF中点G，连接EG，CG．你在（1）中得到的结论是否发生变化写出你的猜想并加以证明．（3）将图1中△BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立（不要求证明）| A D]G图1FA[EG图2、AE图3DFEC BAB'C'二、条件探究【例2】已知两个全等的直角三角形纸片ABC 、DEF ，如图（1）放置，点B 、D 重合，点F 在BC 上，AB 与EF 交于点G ，∠C=∠EFB=900，∠E=∠ABC=300，AB=DE=4 （1）求证：△EGB 是等腰三角形（2）若纸片DEF 不动，问△ABC 绕点F 旋转最小度时，四边形ACDE 成为以ED 为底的梯形（如图（2）），求此梯形的高。

,【例3】如图，Rt △AB C 是由Rt △ABC 绕点A 顺时针旋转得到的，连结CC 交斜边于点E ，CC 的延长线交BB 于点F ． |（1）证明：△ACE ∽△FBE ；（2）设∠ABC =α，∠CAC =β，试探索α、β满足什么关系时，△ACE 与△FBE 是全等三角形，并说明理由．；E图1A:CD图2三、类比探究【例4】（1）操作发现：如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，且点G 在举行ABCD 内部．小明将BG 延长交DC 于点F ，认为GF =DF ，你同意吗说明理由．（2）问题解决：保持（1）中的条件不变，若DC =2DF ，求ABAD的值； /（3）类比探求：保持（1）中条件不变，若DC =nDF ，求ABAD的值．【例5】如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．如，平行四边形的一条对线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线．（1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有________；（（2）如图1，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，如果延长DC 到E ，使CE ＝AB ，连接AE ，那么有S 梯形ABCD＝S △ABE ．请你给出这个结论成立的理由，并过点A 作出梯形ABCD 的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；（3）如图，四边形ABCD 中，AB 与CD 不平行，S △ADC ＞S △ABC ，过点A 能否作出四边形ABCD 的面积等分线若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由．AB。

中考数学专题复习规律探究题练习(四)

中考数学专题复习规律探究题练习（四）学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________ 评卷人得分一、解答题1．图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如等边三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n 层.将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为(1)1232n n n ++++⋯+=. 如果图3、图4中的圆圈均有13层.(1)我们自上往下，在每个圆圈中都图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是________；(2)我们自上往下，在每个圆圈中按图4的方式填上一串连续的整数-23，-22，-21，-20，…，求最底层最右边圆圈内的数是________；(3)求图4中所有圆圈中各数值的绝对值之和.(写出计算过程)2．已知点P （0x ，0y ）和直线y=kx+b ，则点P 到直线y=kx+b 的距离证明可用公式d=002||1kx y b k -++ 计算．例如：求点P （﹣1，2）到直线y=3x+7的距离．解：因为直线y=3x+7，其中k=3，b=7．所以点P （﹣1，2）到直线y=3x+7的距离为：d=002||1kx y b k -++=2|3(1)27|1k ⨯--++ =210=105．根据以上材料，解答下列问题：（1）求点P （1，﹣1）到直线y=x ﹣1的距离；（2）已知⊙Q 的圆心Q 坐标为（0，5），半径r 为2，判断⊙Q 与直线y=3x+9的位置关系并说明理由；（3）已知直线y=﹣2x+4与y=﹣2x ﹣6平行，求这两条直线之间的距离．3．观察以下等式：第1个等式：2222233+=⨯；第2个等式：2333388+=⨯；第3个等式：244441515+=⨯；第4个等式：255552424+=⨯；……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第5个等式：____________________________________________________________；（2）写出你猜想的第n 个等式：____________________；（用含n 的等式表示），并证明.4．观察下列各式规律：⊙ 52-22=3×7；⊙72-42=3×11；⊙ 92-62=3×11；…；根据上面等式的规律：（1）写出第6个和第n 个等式；（2）证明你写的第n 个等式的正确性．5．观察下列等式： 2111123⎛⎫÷⨯+= ⎪⎝⎭ 21111324⎛⎫÷⨯+= ⎪⎝⎭21111435⎛⎫÷⨯+= ⎪⎝⎭ 21111546⎛⎫÷⨯+= ⎪⎝⎭()1写出第⑥个等式：；()2写出你猜想的第n 个等式： (用含n 的等式表示)，并证明．6．化简：2334122232+⨯⨯⨯⨯+45342⨯⨯+…+20203201920202⨯⨯．为了能找到复杂计算问题的结果，我们往往会通过将该问题分解，试图找寻算式中每个式子是否存在某种共同规律，然后借助这个规律将问题转化为可以解决的简单问题．下面我们尝试着用这个思路来解决上面的问题．请你按照这个思路继续进行下去，并把相应横线上的空格补充完整．【分析问题】第1个加数：23122⨯⨯＝112⨯﹣2122⨯；第2个加数：34232⨯⨯＝2122⨯﹣3132⨯；第3个加数：45342⨯⨯＝3132⨯﹣4142⨯；第4个加数：＝2142⨯﹣5152⨯；【总结规律】第n 个加数：＝ ﹣ ．【解决问题】请你利用上面找到的规律，继续化简下面的问题．（结果只需化简，无需求出最后得数）2334122232+⨯⨯⨯⨯+45342⨯⨯+…+20203201920202⨯⨯．7．（1）观察下列图形与等式的关系，并填空：第一个图形：；第二个图形：；第一个等式：9+4＝13；第二个等式：13+8＝21；第三个图形：；……；第三个等式： + ＝；……；（2）根据以上图形与等式的关系，请你猜出第n 个等式（用含有n 的代数式表示），并证明．8．观察以下等式：第1个等式：23-22=13＋2×1＋1；第2个等式：33-32=23＋3×2＋22；第3个等式：43-42=33＋4×3＋32； ……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第4个等式：__________________；（2）写出你猜想的第n 个等式（用含n 的等式表示），并证明．参考答案：1．(1)79；(2)6；(3)2554. 【解析】【详解】【分析】（1）13层时最底层最左边这个圆圈中的数是前12层圆圈的个数和再加1；（2）首先计算圆圈的个数，从而分析出23个负数后，又有多少个正数即可得；（3）将图⊙中的所有数字加起来利用所给的公式进行计算即可得.【详解】（1）当有13层时，前12层共有：1+2+3+…+12=78个圆圈，78+1=79，故答案为79；（2）图⊙中所有圆圈中共有1+2+3+…+13=()131312⨯+=91个数，其中23个负数，1个0，67个正数，故答案为67；（3）图⊙中共有91个数，分别为-23，-22，-21，...，66，67，图⊙中所有圆圈中各数的和为： -23+（-22）+...+（-1）+0+1+2+ (67)()9123672⨯-+=2002.【点睛】本题是一道找规律的题目，通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．注意连续整数相加的时候的这种简便计算方法：1+2+3+…+n=()12n n +.2．(1)22;(2)见解析;(3)25. 【解析】【分析】（1）根据点P 到直线y=kx+b 的距离公式直接计算即可；（2）先利用点到直线的距离公式计算出圆心Q 到直线y=3x+9，然后根据切线的判定方法可判断⊙Q 与直线y=3x+9相切；（3）利用两平行线间的距离定义，在直线y=-2x+4上任意取一点，然后计算这个点到直线y=-2x-6的距离即可．【详解】（1）因为直线y=x-1，其中k=1，b=-1，所以点P （1，-1）到直线y=x-1的距离为：d=002211(1)(1)1222111kx y b k -+⨯--+-===++；（2）⊙Q 与直线y=3x+9的位置关系为相切．理由如下：圆心Q （0，5）到直线y=3x+9的距离为：d=230594221(3)⨯-+==+，而⊙O 的半径r 为2，即d=r ，所以⊙Q 与直线y=3x+9相切；（3）当x=0时，y=-2x+4=4，即点（0，4）在直线y=-2x+4，因为点（0，4）到直线y=-2x-6的距离为：d=20-2-46102551(2)⨯-==+-（），因为直线y=-2x+4与y=-2x-6平行，所以这两条直线之间的距离为25．【点睛】本题考查了一次函数的综合题：熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征、切线的判定方法和两平行线间的距离的定义． 3．（1）266663535+=⨯；（2）211(1)(1)(2)(2)n n n n n n n n ++++=+⋅++，证明见解析.【解析】【分析】（1）根据提供的算式写出第5个算式即可；（2）根据规律写出通项公式然后证明即可．【详解】解：（1）根据已知规律，第5个等式为266663535+=⨯，故应填：266663535+=⨯；（2）根据题意，第n 个等式为211(1)(1)(2)(2)n n n n n n n n ++++=+⋅++证明：左边[](1)(2)1(1)(2)1(1)(2)(1)(2)(2)(2)(2)n n n n n n n n n n n n n n n n n n n ++++++++++=+==++++()222(1)21(1)(1)1(1)(2)(2)(2)n n n n n n n n n n n n n ++++++===+⋅=+++右边，⊙等式成立. 【点睛】本题考查规律探索问题，从特殊的、简单的问题推理到普通的、复杂的问题，从中归纳问题的规律，体现了逻辑推理与数学运算的核心素养．4．（1）第6个：221512327-=⨯，第n 个：()()()22232343n n n +-=+；（2）证明见解析【解析】【分析】（1仿照⊙⊙⊙写出第6和第n 个等式即可；（2）结合（1）发现的规律，并运用整式的四则混合运算证明即可．【详解】解：（1）⊙ 52-22=3×7；⊙72-42=3×11；⊙ 92-62=3×11；…；所以第6个等式为：152-122=3×27：所以第n 个等式为：（2n+3）2-（2n ）2=3（4n+3）（2）证明：左边=（2n+3+2n ）（2n+3-2n ） =3（4n+3） =右边所以第n 个等式正确．【点睛】本题考查了规律型中的数字的变化类，观察数字的变化、寻找规律是解答本题的关键． 5．（1）21161187⎛⎫⨯ ⎪+⎭=⎝÷；（2）()2121111n n n ⎛⎫⨯ ⎪+⎭=⎝++÷，证明见解析【解析】【分析】（1）根据所给等式的特点，写出第⊙个等式即可；（2）由所给等式可知：等号左边的被除数是1，括号内的两个分数的分子都是1，第一个分数的分母和序数相同，第二个分数的分母比序数大2，然后再加1，而等号右边是比序数大1的数的平方，据此可写出第n 个等式，然后根据分式的混合运算法则进行证明．【详解】解：（1）2111123⎛⎫÷⨯+= ⎪⎝⎭21111324⎛⎫÷⨯+= ⎪⎝⎭21111435⎛⎫÷⨯+= ⎪⎝⎭21111546⎛⎫÷⨯+= ⎪⎝⎭∴第⊙个等式为：()2211681161=7⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭÷+=+；（2）由分析可猜想第n 个等式为：()2121111n n n ⎛⎫⨯ ⎪+⎭=⎝++÷，证明：左边()()221112112n n n n n =÷+=++=+=+右边，故等式成立．【点睛】本题考查了数字类规律探索、分式的混合运算，根据所给式子，分析变化的部分与不变的部分，正确得出规律是解题的关键．6．56452⨯⨯；12(1)2n n n n ++⨯+⨯，12n n ⨯，11(1)2n n ++⨯；2020202010102120202⨯-⨯ 【解析】【分析】（1）观察前3个加数即可写出第4个加数；通过前4个加数即可发现规律写出第n 个加数；（2）根据（1）中的规律进行化简即可计算．【详解】解：（1）因为第1个加数：223111221222=-⨯⨯⨯⨯；第2个加数：3234112322232=-⨯⨯⨯⨯；第3个加数：4345113423242=-⨯⨯⨯⨯；所以第4个加数：5456114524252=-⨯⨯⨯⨯总结规律：所以第n 个加数：()()1121112212n nn n n n n n +++=-⨯+⨯⨯+⨯．解决问题：原式＝223342019202011111111...1222223232422019220202-+-+-++-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =202011220202-⨯ =2020202010102120202⨯-⨯故答案为：56452⨯⨯；12(1)2n n n n ++⨯+⨯，12n n ⨯，11(1)2n n ++⨯；2020202010102120202⨯-⨯ 【点睛】本题考查数的规律，根据已知条件找出数字规律是解题关键． 7．（1）17，12，29；（2）（4n+5）+4n ＝8n+5，证明见解析【解析】【分析】（1）观察图形的变化写出前两个个图形与等式的关系，进而可得第三个等式；（2）结合（1）总结规律即可得第n 个等式．【详解】解：（1）观察图形的变化可知：第一个图形：9+4＝13，即4×1+5+4＝13＝8×1+5，第二个图形：13+8＝21，即4×2+5+4×2＝21＝8×2+5，第三个图形：17+12＝29，即4×3+5+4×3＝29＝8×3+5， … 发现规律：第n 个等式为：（4n+5）+4n ＝8n+5；故答案为：17，12，29；（2）由（1）发现的规律：所以第n 个等式为：（4n+5）+4n ＝8n+5；证明：左边＝4n+5+4n ＝8n+5＝右边．所以等式成立．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律，总结规律．8．（1）3232554544-=+⨯+；（2）猜想出第n 个等式为3232(1)(1)(1)n n n n n n +-+=+++，证明见解析．【解析】【分析】（1）根据前三个等式归纳总结出规律即可得；（2）先归纳总结出一般规律，得出第n 个等式，再利用因式分解的方法分别计算等式的两边即可得证．【详解】（1）由前三个等式可得：第4个等式为3232554544-=+⨯+ 故答案为：3232554544-=+⨯+；（2）猜想出第n 个等式为3232(1)(1)(1)n n n n n n +-+=+++，证明如下：等式的左边[]3222(1)(1)(1)(1)1(1)n n n n n n =+-+=++-=+等式的右边()32222(1)(1)21(1)n n n n n n n n n n n n n ⎡⎤=+++=+++=++=+⎣⎦则等式的左边=等式的右边所以等式成立．【点睛】本题考查了因式分解的实际应用，理解题意，正确归纳类推出一般规律是解题关键．。

中考数学总复习第40课探索型问题

－ b ＝1，
2a
a＝－1，
∴ －b2＝1，解得 b＝2.
4a
即当顶点坐标为(1，1)时，a＝－1.
－ b ＝m， 2a
a＝－ 1 ，
当顶点坐标为 (m ，m )，m ≠0
时，
－b2＝m ， 4a
解得
b＝2.
m
∴a 与 m 之间的关系式是：a＝－m1 或 am＋1＝0.］
(2)∵a≠0，
∴y＝ax2＋bx＝a
专题解读
1．探索型问题：探索是人类认识客观世界过程中最生动，最活跃的思维活动．探索问题主要考查学生探究、发现、总结问题的能力，主要包括： (1)规律探索型问题； (2)结论探索型问题； (3)存在性探索型问题； (4)动态探索型问题． 2．解答探索型问题的注意事项：由于探索型问题的题型新颖，综合性强，思维能力要求高，结构独特，因此解题时并无固定模式，它要求解题者具有较扎实的基本功，较强的观察力，丰富的想象力及综合分析问题的能力．解题时要注意问题情境，注重思维的严密性，注意寻找问题解决的切入口．有时也可采用以下方法来寻找突破口：(1)利用特殊值(特殊点，特殊数量，特殊线段等)进行归纳，概括；(2) 反演推理法(反证法)；(3)分类讨论法；(4)类比猜想法．
3，4 3
3，
－2 P2 3
3，4 3
3
；当∠PAO＝90°时，P3
34 9
3，4 3
3 ；当∠POA＝90°时，
－16 3，4 3
P4 9
3.
名师点拨
存在性探索问题是运用几何计算进行探索的综合型问题，要注意相关的条件，可以先假设结论成立，然后通过计算求相应的值，再作存在性的判断．
【预测演练 3】如图 40－7，在△ABC 中，AB＝AC＝10 cm，BC＝12 cm，点 D 是 BC 边的中点．点 P 从点 B 出发，以 a(cm/s)(a>0)的速度沿 BA 匀速向点 A 运动；点 Q 同时以 1 cm/s 的速度从点 D 出发，沿 DB 匀速向点 B 运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设它们运动的时间为 t(s)． (1)若 a＝2，△BPQ∽△BDA (点 P 与点 D 对应)，求 t 的值； (2)设点 M 在边 AC 上，四边形 PQCM 为平行四边形． ①若 a＝5，求 PQ 的长； 2 ②是否存在实数 a，使得点 P 在∠ACB 的平分线上？若存在，请求出 a 的值；若不存在，请说明理由．

中考数学复习指导：相似三角形的探索性问题

相似三角形的探索性问题探索性问题一般没有明确的结论，没有固定的形式和方法，要求学生通过自己的观察、分析、比较、概括，得出结论，形成方法和思路的数学问题，这类题是考查学生分析问题和解决问题的重要题型，它可以分为三类：一、条件探索性问题条件探索性问题是指所给问题中结论明确，而需要完备使结论成立的条件的题目，这类问题大致分为两种类型：一是问题中的条件未知或不足需要探求，二是条件多余或有错，要求排除或修正.例1:如图1,已知△ABC ,P 是AB 边上的一点,连结CP .要使△APC ∽△ACB ,则应添加一个条件是_______.分析:⑴∠ACP =∠B (或∠APC =∠ACB )时,可得到△APC ∽△ACB ;⑵即△APC ∽△ACB方法探究:在△APC 和△ACB 中,已有一角对应相等,因此添加的条件应从“有两个角对应相等，两个三角形相似”和“两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形形似”两个途径进行思考，本题是一个条件探究题，这类问题一般解法是把结论当作已知反溯条件.二、结论探索性问题它是指题目结论不确定,不唯一,或题目结论需要通过类比引申推广,或题目给出特例,要通过归纳总结出一般结论.例2:已知:如图2, △ABC 中,点D.E 分别在边AB.AC 上,连结DE 并延长交BC 的延长线于点F ,连结DC.BE .若∠BDE +∠BCE =180°.(1)写出图中三对相似三角形(注意:不得加字母和线);(2)请在你所找出的相似三角形中选取一对,说明他们相似的理由.分析: 先由角的关系入手,由∠BDE +∠BCE =180°和图形中∠BDE +∠ADE =∠BCE +∠ECF =180°, 可得∠BDE =∠ECF , ∠ADE =∠BCE , 易得△ADE ∽△ACB (∠A 为公共角)、 △ECF ∽△BDF (∠F 为公共角), 其次，由△ECF ∽△BDF 得可得△FDC ∽△FBE (∠F 为公共角).图2A图1PCB解：⑴△ADE ∽△ACB ，△ECF ∽△BDF ，△FDC ∽△FBE .⑵①△ADE ∽△ACB . 证明如下：∵∠BDE +∠BCE =180°.又∵∠BDE +∠ADE =180°，∴∠ADE =∠BCE . ∵∠A =∠A ，∴△ADE ∽△ACB 。

2022年中考数学专题复习：开放探究题

2022年中考数学专题复习：开放探究题1．点E 是矩形ABCD 边AB 延长线上一动点（不与点B 重合），在矩形ABCD 外作Rt△ECF 其中△ECF ＝90°，过点F 作FG △BC 交BC 的延长线于点G ，连接 DF 交CG 于点H ．(1)发现如图1，若AB ＝AD ，CE ＝CF ，猜想线段DH 与HF 的数量关系是______ (2)探究如图2，若AB ＝nAD ，CF ＝nCE ，（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． (3)拓展在（2）的基础上，若FC 的延长线经过AD 的三等分点，且AD ＝3，AB ＝4，请直接写出线段EF 的值2．如图1，在Rt ABC 中，90B ∠=︒，4AB =，2BC =，点D 、E 分别是边BC 、AC 的中点，连接DE ．将CDE △绕点C 逆时针方向旋转，记旋转角为α．(1)问题发现△当0α=︒时，AE BD =________；△当180α=︒时，AEBD=______． (2)拓展探究试判断：当0360α︒≤<︒时，AEBD的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． (3)问题解决CDE △绕点C 逆时针旋转至A 、B 、E 三点在同一条直线上时，请直接写出线段BD 的长________．3．如图1，在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，CA ＝CB ，点D 为AB 边上一动点，连接CD ，并将CD 绕点C 逆时针旋转90°得到CE ，连接BE 、DE ，点F 为DE 中点，连接BF ．（1）求证：△ACD ≅△BCE ；（2）如图2所示，在点D 的运动过程中，当ADn BD=时（n ＞1），分别延长AC 、BF 相交于G ：△当32n =时，求CG 与AB 的数量关系； △当AD BD ＝n 时（n ＞1），ABCG＝．（3）当点D 运动时，在线段CD 上存在一点M ，使得AM +BM +CM 的值最小，若CM ＝2，则BE ＝．4．如图，在Rt △ABC 中，△ACB ＝90°，AC ＝6，△ABC ＝30°，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，在线段ED 左侧构造Rt △DEF ，使△DEF △△BCA ．（1）如图1，若AD ＝BD ，点E 与点C 重合，DF 与BC 相交于点H ．求证：2CH ＝BH ．（2）当AE ＝2时，连接BF ，取BF 的中点G ，连接DG ． △如图2，若点F 落在AC 边上，求DG 的长．△是否存在点D ，使得△DFG 是直角三角形？若存在，求AD 的长；若不存在，试说明理由．5．【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起，A 为公共顶点，△BAC ＝△G ＝90°，BC ＝6，若△ABC 固定不动，将△AFG 绕点A 旋转，边AF 、AG 与边BC 分别交于点D ，E （点D 不与点B 重合，点E 不与点C 重合）△求证：AE 2＝DE •BE ； △求BE •CD 的值；【拓展探究】（2）如图2，在△ABC 中，△C ＝90°，点D ，E 在边BC 上，△B ＝△DAE ＝30°，且34AD AE，请直接写出DE BC的值．6．（1）[问题发现]如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，△BAC＝90°，点D为BC的中点，以CD为一条边作正方形CDEP，点E恰好与点A重合．则线段BE与AF的数量关系为；（2）[拓展研究]在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请就图2的情形给出证明；（3）[问题发现]当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长．7．综合与实践在△ABC中，BD△AC于点D，点P为射线BD上任一点（点B除外），连接AP，将线段P A绕点P顺时针方向旋转α，α=△ABC，得到PE，连接CE．（1）如图1，当BA=BC，且△ABC=60°时，BP与CE的数量关系是，BC与CE的位置关系是（2）如图2，当BA=BC，且△ABC=90°时，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由．（请选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）（3）在（2）的条件下，若AB=8，AP=CE的长．8．【问题情境】如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分△DAM．【探究展示】（1）请你判断AM，AD，MC三条线段的数量关系，并说明理由；（2）AM = DE + BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展延伸】（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否仍然成立？请分别作出判断，不需要证明．9．【背景】如图1，在△ABC中，AB＝AC，过点A的直线MN△BC，点D是直线MN 上的一动点，将射线DB绕着点D逆时针旋转，交线段AC于点P，使△BDP＝△BAC，试说明：DB＝DP．小丽提出了自己的想法：如图2在线段AB上取一点F，使DA＝DF，通过证明△BDF△△PDA可以解决问题．【尝试】△请你帮助小丽完成说理过程．△若AC＝6，BC＝4，AD＝3，求AP的长．【拓展】如图3，过点A的直线MN△BC，AB＝3 cm，AC＝4cm，点D是直线MN上一点，点P是线段AC上的一点，连接DP，使得△BDP＝△BAC，求DBDP的值．10．如图1，E是直线AB，CD内部一点，AB△CD，连接EA，ED．（1）探究猜想：△若∠A=30°，∠D=40°，则∠AED等于_______度；△若∠A=20°，∠D=60°，则∠AED等于_______度；△猜想图1中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系并证明你的结论．（2）拓展应用：如图2，射线FE与矩形ABCD的边AB交于点E，与边CD交于点F，△△△△分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域△、△位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系并选择其中一个证明．11．在△ABC中，AC＝BC，△ACB＝90°，点P为△ABC外一点，点P与点C位于直线AB异侧，连接AP，△APB＝45°，过点C作CD△P A，垂足为D．（1）当△ABP＝90°时，直接写出线段AP与CD的数量关系为AP＝_____________；（2）如图，当△ABP＞90°时．△试探究（1）中的结论是否成立；△在线段AP上取一点K，使得△ABK＝△ACD，画出图形并直接写出KPBP的值．12．如图1，已知两条直线AB，CD被直线EF所截，分别交于点E，点F，EM平分△AEF 交CD 于点M ，且△FEM =△FME ．（1）若2△AEF = △MFE ，求△AEF 的度数．（2）如图2，点G 是射线 MD 上一动点（不与点M ，F 重合），EH 平分△FEG 交CD 于点H ，过点H 作HN △EM 于点N ，设△EHN =α，△EGF = β． △当点G 在点F 的右侧时，若β= 50°，求α的度数；△当点G 在运动过程中，α 和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．13．已知：点E 是矩形ABCD 边AB 延长线上的一动点，在矩形ABCD 外作RtECF △，90ECF ∠=︒．FG BC ⊥交BC 的延长线于点G ，连接DF ，交CG 于点H ．（1）初步发现：如图1，若AB AD =，CE CF =．求证：DH HF =．（2）深入探究：如图2，若AB nAD =，CF nCE =．DH 与HF 是否仍然相等？若相等，进行证明；若不相等，写出新的数量关系并证明；（3）拓广延伸：在（2）的条件上，3AD =，4AB =，且射线FC 过边AD 的三等分点，直接写出线段EF 的长．14．【感知】如图△，在四边形AEFC 中，EB 、FD 分别是边AE 、CF 的延长线，我们把△BEF 、△DFE 称为四边形AEFC 的外角，若△A ＋△C ＝260°，则△BEF ＋△DFE ＝度．【探究】如图△，在四边形AECF 中，EB 、FD 分别是边AE 、AF 的延长线，我们把△BEC 、△DFC 称为四边形AECF 的外角，试探究△A 、△C 与△BEC 、△DFC 之间的数量关系．【结论】综合以上，请你用文字描述上述关系：．【应用】如图△，FM 、EM 分别是四边形AEFC 的外角△DFE 、△BEF 的平分线，若△A ＋△C ＝210°，求△M 的度数．15．ABC 中，AB AC =，ABC α∠=，过点A 作直线MN ，使//BC MN ，点D 在直线MN 上（不与点A 重合），作射线BD ，将射线BD 绕点B 顺时针旋转α后交直线AC 于点E ．（1）如图1，点D 在射线AN 上，60α=︒，求证：AB AD AE +=；（2）如图2，点D 在射线AN 上，45α=︒，线段AB ，AD ，AE 之间又有何数量关系？写出你的结论，并证明；（3）若30α=︒，15ABE ∠=︒，BC =AD 的长．16．综合与探究：如图△，在△ABC 中，△C ＞△B ，AD 是△BAC 角平分线．（1）探究与发现：如图△，AE △BC 于点E ，△若△B =20º， △C =70º，则△CAD =_______º， △DAE =_____º； △若△B =40º，△C =80ºº，则△DAE =_____º；△试探究△DAE 与△B 、△C 的数量关系，并说明理由．（2）判断与思考：如图△，F 是AD 上一点，FE △BC 于点E ，这时△DFE 与△B 、△C 又有怎样的数量关系？17．在ABC 中，AB AC =．（1）如图1、求证：B C ∠=∠：（2）如图2，D 为AB 上一点，连接CD ，E 为CD 中点，过点E 作EF CD ⊥于点E ，连接,FC FD ，求证：FC FD =；（3）如图3，在（2）的条件下，过点F 作FH AC ⊥于点H ，连接AF ，若AF△BC ，FH=4，CH=20，BD=10，求ADF 的面积18．如图1，四边形ABCD 为正方形，△AEF 为等腰直角三角形，△EAF ＝90°，连接BE、DF．（1）求证：△ABE△△ADF；（2）如图2，延长DF交AB于点G，交BE于点H，连结AH．△求△EHA的度数；△过点D作DM△HA交HA的延长线于点M，请你写出线段AM与BH之间的数量关系，并证明你的结论．19．在ABC中，AB＝AC，△BAC＝90°，点D在射线BC上（与B、C两点不重合），以AD为边作正方形ADEF，使点E与点B在直线AD的异侧，射线BA与直线CF相交于点G．（1）若点D在线段BC上，如图1，判断：线段BC与线段CG的数量关系，位置关系；（2）如图2，△若点D在线段BC的延长线上，（1）中判断线段BC与线段CG的数量关系与位置关系是否仍然成立，并说明理由；△当G为CF中点，BC＝2时，求正方形ADEF的面积（直接写出结果）.20．如图1，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，连接DF，且点M是DF的中点，连接MC、MG．（1）在图1中，MC与MG的位置关系是，数量关系是；（2）如图2，将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“矩形ABCD和矩形BEFG”，其他条件不变，求证：MC＝MG；（3）如图3，若将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“菱形ABCD和菱形BEFG”，点A、B、E在同一直线上，连接DF，且点M是DF的中点，连接MC、MG，且△ABC＝△BEF＝60°求MCMG的值．。

备战2023年中考数学二轮专题复习河北省中考题型突破题型八探究型问题

题型八探究型问题题型精练类型一拓展与探究1.(2021山东东营,25,12分)已知点O是线段AB的中点,点P是直线l上的任意一点,分别过点A 和点B作直线l的垂线,垂足分别为点C和点D.我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”.(1)[猜想验证]如图1,当点P与点O重合时,请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC和OD的数量关系是;(2)[探究证明]如图2,当点P是线段AB上的任意一点时,“足中距”OC和OD的数量关系是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;(3)[拓展延伸]如图3,①当点P是线段BA延长线上的任意一点时,“足中距”OC和OD的数量关系是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;②若∠COD=60°,请直接写出线段AC、BD、OC之间的数量关系.图1 图2图32.(2022江西,23,12分)综合与实践问题提出某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题:将足够大的直角三角板PEF (∠P =90°,∠F =60°)的一个顶点放在正方形中心O 处,并绕点O 逆时针旋转,探究直角三角板PEF 与正方形ABCD 重叠部分的面积变化情况(已知正方形边长为2).操作发现(1)如图1,若将三角板的顶点P 放在点O 处,在旋转过程中,当OF 与OB 重合时,重叠部分的面积为 ;当OF 与BC 垂直时,重叠部分的面积为 ;一般地,若正方形面积为S ,在旋转过程中,重叠部分的面积S 1与S 的关系为 ;类比探究(2)若将三角板的顶点F 放在点O 处,在旋转过程中,OE ,OP 分别与正方形的边相交于点M ,N. ①如图2,当BM =CN 时,试判断重叠部分△OMN 的形状,并说明理由;②如图3,当CM =CN 时,求重叠部分四边形OMCN 的面积(结果保留根号);拓展应用(3)若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O 处,该锐角记为∠GOH (设∠GOH =α),将∠GOH 绕点O 逆时针旋转,在旋转过程中,∠GOH 的两边与正方形ABCD 的边所围成的图形的面积为S 2,请直接写出S 2的最小值与最大值(分别用含α的式子表示).(参考数据:sin 15°=√6−√24,cos 15°=√6+√24,tan 15°=2-√3)图1 图2 图3 备用图3.(2022保定易县二模)问题发现(1)如图1所示,△ABC和△ADE是有公共顶点的等边三角形,BD、CE的关系是(填“相等”或“不相等”);(请直接写出答案)类比探究(2)如图2所示,△ABC和△ADE是有公共顶点的含有30°角的直角三角形,(1)中的结论还成立吗?请说明理由;拓展延伸(3)如图3所示,△ADE和△ABC是有公共顶点且相似比为1∶2的两个等腰直角三角形,将△ADE 绕点A自由旋转,若BC=2√2,当B、D、E三点共线时,直接写出BD的长.图1 图2图3类型二思考与探究1.(2021山东枣庄,24,10分)如图1,对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.(1)概念理解:如图2,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,问四边形ABCD是垂美四边形吗?请说明理由;(2)性质探究:如图1,垂美四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,猜想:AB2+CD2与AD2+BC2有什么关系?并证明你的猜想;(3)解决问题:如图3,分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE,连接CE,BG,GE,已知AC=4,AB=5,求GE的长.图1 图2图32.(2020山西,22,12分)问题情境:如图①,点E为正方形ABCD内一点,∠AEB=90°,将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°,得到△CBE'(点A的对应点为点C).延长AE交CE'于点F,连接DE.猜想证明:(1)试判断四边形BE'FE的形状,并说明理由;(2)如图②,若DA=DE,请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明;解决问题:(3)如图①,若AB=15,CF=3,请直接．．写出DE的长.3.(2022保定清苑一模)课本再现(1)在证明“三角形内角和定理”时,小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图1即可证明,其中与∠A相等的角是.图1 图2图3 图4类比迁移(2)如图2,在四边形ABCD中,∠ABC与∠ADC互余,小明发现四边形ABCD中这对互余的角可类比(1)中的思路进行拼合,作∠CDF=∠ABC.若过点C作CE⊥DF于点E,连接AE,则发现AD,DE,AE之间的数量关系是.方法运用(3)如图3,在四边形ABCD中,连接AC,∠BAC=90°,点O是△ACD中两边垂直平分线的交点,连接OA,∠OAC=∠ABC.①求证:∠ABC+∠ADC=90°;②连接BD,如图4,已知AD=m,DC=n,AB=2,求BD的长(用含m,n的式子表示).AC类型三实践与探究1.(2022陕西,26,10分)问题提出(1)如图1,AD是等边△ABC的中线,点P在AD的延长线上,且AP=AC,则∠APC的度数为.问题探究(2)如图2,在△ABC中,CA=CB=6,∠C=120°.过点A作AP∥BC,且AP=BC,过点P作直线l⊥BC,分别交AB、BC于点O、E,求四边形OECA的面积.问题解决(3)如图3,现有一块△ABC型板材,∠ACB为钝角,∠BAC=45°.工人师傅想用这块板材裁出一个△ABP型部件,并要求∠BAP=15°,AP=AC.工人师傅在这块板材上的作法如下:①以点C为圆心,以CA长为半径画弧,交AB于点D,连接CD;②作CD的垂直平分线l,与CD交于点E;③以点A为圆心,以AC长为半径画弧,交直线l于点P,连接AP、BP,得△ABP.请问,若按上述作法,裁得的△ABP型部件是否符合要求?请证明你的结论.图1 图2图32.(2020陕西,25,12分)问题提出(1)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC>BC,∠ACB的平分线交AB于点D.过点D分别作DE ⊥AC,DF⊥BC,垂足分别为E,F,则图1中与线段CE相等的线段是;问题探究(2)如图2,AB是半圆O的直径,AB=8.P是AB上一点,且PB=2PA,连接AP,BP.∠APB的平分线交AB于点C,过点C分别作CE⊥AP,CF⊥BP,垂足分别为E,F,求线段CF的长;问题解决(3)如图3是某公园内“少儿活动中心”的设计示意图.已知☉O的直径AB=70 m,点C在☉O上,且CA=CB.P为AB上一点,连接CP并延长,交☉O于点D,连接AD,BD.过点P分别作PE⊥AD,PF ⊥BD,垂足分别为E,F.按设计要求,四边形PEDF内部为室内活动区,阴影部分是户外活动区,圆内其余部分为绿化区.设AP的长为x(m),阴影部分的面积为y(m2).①求y与x之间的函数关系式;②按照“少儿活动中心”的设计要求,发现当AP的长度为30 m时,整体布局比较合理.试求当AP=30 m 时,室内活动区(四边形PEDF)的面积.图1 图2图33.(2022唐山迁安一模)问题提出:(1)如图1,△ABC是边长为8的等边三角形,D是AB边上一点且CD平分△ABC的面积,则线段CD的长度为;(2)如图2,☉O的半径为13,弦AB=24,P是☉O上一动点,试判断△PAB的面积是否存在最大值.若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.问题解决:(3)如图3,某市要规划一块形状不规则的四边形公园ABDC,满足AB=10√3米,AC=20√3米,∠A=60°,∠D=60°.规划局打算过B点修一条笔直的小路BE,把四边形ABDC分成面积相等且尽可能大的两部分,分别规划成不同的景观以供市民休闲观赏.问是否存在满足上述条件的小路BE?若存在,求出小路BE的长;若不存在,请说明理由.图1 图2。

中考数学复习之项目式探究学习综合题-学生版

几何、函数与实际应用实际应用题一直以为是中考数学的热点题型，甚至可以说是必考题型.深圳中考数学对实际应用的考查尤其突出，此类题贴合实际，产生的问题源于生活，同时又与数学中的几何、函数结合.问题的解决一般需要用到几何知识和函数的相关知识.题目文字较多，对多数同学而言，难点在于文字的理解与问题的解决方法，文字的理解主要是了解实际问题，而解决方法则考查同学们的数学基本功底.例1(2023深圳中考21题)蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图1，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD 和抛物线AED 构成，其中AB ＝3m ，BC ＝4m ，取BC 中点O ，过点O 作线段BC 的垂直平分线OE 交抛物线AED 于点E ，若以O 点为原点，BC 所在直线为x 轴，OE 为y 轴建立如图所示平面直角坐标系．请回答下列问题：（1）如图2，抛物线AED 的顶点E （0，4），求抛物线的解析式；（2）如图3，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT ，SMNR ，若FL ＝NR ＝0.75m ，求两个正方形装置的间距GM 的长；（3）如图4，在某一时刻，太阳光线透过A 点恰好照射到C 点，此时大棚截面的阴影为CK ，求CK 的长．解：（1）∵AB ＝3m ，AD ＝BC ＝4m ，E （0，4），∴A （﹣2，3），B （﹣2，0），C （2，0），D （2，3），设抛物线表达式为y ＝ax 2+bx +c ，将A 、D 、E 三点坐标代入表达式，得4−2+=34+2+=3=4，解得=−14=0=4．∴抛物线表达式为=−142+4．（2）设G （﹣t ，3），则L （﹣t −34，3+34），∴3+34=−14(−−34)2+4，解得=14（负值舍去），∴GM ＝2t =12．（3）取最右侧光线与抛物线切点为F ，如图4，设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ，∴−2+=32+=0，解得=−34=32，∴直线AC 的解析式为y =−34x +32，∵FK ∥AC ，设F ：=−34+，∴=−34+=−142+4，得−142+34+4−=0，∴=(34)2−4×(−14)(4−p =0，解得m =7316，∴直线FK 的解析式为=−34+7316，令y ＝0，得x =7312，∴F =7312+2=9712．∴CK ＝BK ﹣BC =9712−4=4912例2(2024南山育才中考模拟)【项目式学习】项目主题：设计浇地窗的遮阳篷项目背景：小明家的窗户朝南，窗户的高度AB=2m ，为了遮挡太阳光，小明做了遮阳篷的设计方案，请根据不同的设计方案完成以下任务.方案1：直角形遮阳篷如图1：小明设计的第一个方案为直角遮阳篷BCD ，点C 在AB 的延长线上CD ⊥AC.(1)若BC=0.5m ，CD=1m ，则支撑杆BD=________m.(2)小明发现上述方案不能很好发挥遮阳作用，如图2，他观察到此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为α，最大夹角为β，小明查阅资料，计算出tanα=31,tanβ=34,为了让遮阳篷既能最大限度的使冬天温暖的阳光射入室内(太阳光与BD 平行)，又能最大限度的遮挡夏天火热的阳光(太阳光与AD 平行)，请求出图2中的BC 、CD 的长度.方案2：抛物线形遮阳篷(3)如图3，为了美观及实用性，小明在(2)的基础上将CD 边改为抛物线形可伸缩的遮阳篷(F 为抛物线的顶点，DF 段可伸缩)，且∠CFD=90°，BC 、CD 的长保持不变，若以C 为原点，CD 方向为x 轴，BC 方向为y 轴,①求该二次函数的表达式；②若某时刻太阳光与水平地面夹角的正切值tan θ=32，使阳光最大限度的射入室内，求遮阳篷点D 上长升的高度的最小值(即点D'到CD 的距离)解：(1)由勾股定理直接计算BD=25(2)如图所示，设EF=m ，则AE=3m,DE=4m ，故2+m=4m 得m=32，故BC=32，CD=2m ；(3)①易知点F(1,1)设二次函数解析式为1)1(2+-=x a y ，将(0,0)代入得a=-1,故二次函数的解析式为xx y 22+-=②如图，设光线恰好经过点B ，与x 轴交于点I ，与抛物线交于点D,则易知BI 的解析式为3232-=x y ，与抛物线x x y 22+-=联立得x 1=9102+,x 2=9102-(舍去)，此时y =92102-，故上升的最小高度为92102-全真模拟练习1.根据以下素材，探索完成任务如何探测弹射飞机的轨道设计素材1：图1是某科技兴趣小组的同学们制作出的一款弹射飞机，为验证飞机的一些性能，通过测试收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离s与飞行时间t的函数关系式为：x=3t，飞行高度y(单位：m)随飞机时间t(单位：s)的变化满足二次函数关系，数据如表所示飞行时间t/s02468...飞行高度y/m010161816...素材2：图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台PQ，当弹射口高度变化时，飞机飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段AB为飞机回收区域，已知AP=42m，AB=(182-24)m,问题解决任务1：确定函数表达式，求y关于t的函数表达式；任务2：探究飞行距离，当飞机落地(高度为0m)时，求飞机飞行的水平距离；任务3：确定弹射口高度，当飞机落到AB内(不包含端点A、B)，求发射台弹射口高度(结果为整数)2.利用素材解决：《桥梁的设计》问题驱动某地欲修建一座搭桥，桥的底边两端间的水平宽AB=L，称跨度，桥面最高点到AB的距离CD=h 称拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧或抛物线型，若修建拱桥的距离L=32米，拱高h=8米.设计方案方案一方案二设计类型圆弧型抛物线型任务一设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴,AB的垂直平分为y轴建立坐标系，求桥拱的函数表达式任务二如图，一艘船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EF=6.1米,EH=16米，请你通过计算说明货船能否分别顺利通过这两座桥梁.3.根据以下素材，探究完成任务设计求碗中面汤液面宽度的方案素材1图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体DEC呈抛物线状(碗体厚度不计)碗高GF=7cm,碗底宽AB=3cm，当瓷碗中装满面汤时，液面宽CD=12cm，此时面汤最大深度EG=6cm.素材2如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当点A离MN距离为1.8cm时停止任务1确定碗体形状在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的表达式任务2拟定设计方案1根据图2位置，把碗中面汤喝掉一部分，当碗中液面高度(离桌面MN距离)为5cm时，求此时碗中液面宽度.任务3拟定设计方案2如图3，当碗停止倾斜时，求此时碗中液面宽度CH.4.九年级某班级同学进行项目式学习<项目式学习报告>如下：绿化带灌溉车的操作探究项目内容项目素材项目任务【项目一】明确灌溉方式如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线I的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m），灌溉车到l的距离OD长度为d（单位：m）．“博学小组”经过实际测量，建立如下数学模型：如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE=3m，竖直高度EF=0.5m喷水口离开地面高h=1.5米，上边缘拋物线最高点离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m．【任务一】结合图象和数据，请你求出灌溉车的最大射程OC的长度【项目二】提倡有效灌溉“笃志小组”实地调查发现：为了节约用水，进行有效灌溉，灌溉车在进行行业时，要保证喷出的水能浇灌到整个绿化带(上边缘抛物线不低于点F，点D不在下边缘抛物线内)【任务二】请你求出灌溉车有效灌溉时，灌溉车到绿化带底边缘的距离OD的取值范围.5.陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．如图是从正面看到的一个“老碗”,其横截面可以近似的看成是如图(1)所示的以AB为直径的半圆O，MN为台面截线，半圆O与MN相切于点P，连结OP与CD相交于点 E.水面截线CD=63cm，MN//CD，AB=12cm.(1)如图(1)求水深EP；(2)将图(1)中的老碗先沿台面MN向左作无滑动的滚动到如图(2)的位置，使得A、C重合，求此时最高点B和最低点P之间的距离BP的长；(3)将碗从（2）中的位置开始向右边滚动到图(3)所示时停止，若此时∠BOP=75°，求滚动过程中圆心O运动的路径长.6．某厂家特制了一批高脚杯，分为男士杯和女士杯（如图1），相关信息如下：素材内容素材1如图1，这种高脚杯从下往上分为三部分：杯托，杯脚，杯体．杯托为一个圆，水平放置时候，杯脚经过杯托圆心，并垂直任意直径，杯体的水平横截面都为圆，这些圆的圆心都在杯脚所在直线上．素材2图2坐标系中，特制男士杯可以看作由线段AB，OC，抛物线DCE（实线部分），线段DF，线段EG绕y轴旋转形成的立体图形（不考虑杯子厚度，下同）；特制女士杯可以看作由线段AB，OC，抛物线FCG（虚线部分）绕y轴旋转形成的立体图形．素材3已知，图2坐标系中，OC＝5cm，记为C（0，5），D（−52，152），E（52，152），F（−52，15），G（52，15）．根据以上素材内容，尝试求解以下问题：（1）求抛物线DCE和抛物线FCG的解析式；（2）当杯子水平放置及杯内液体静止时，若男士杯中的液体与女士杯中的液体深度均为4cm，求两者液体最上层表面圆面积之差；（结果保留π）（3）当杯子水平放置及杯内液体静止时，若男士杯中的液体与女士杯中的液体深度相等，两者液体最上层表面圆面积相差4πcm2，求杯中液体的深度．7．中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的207C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系xOy．如果她从点A（3，10）起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足函数关系式y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．（1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红蝉的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m03 3.54 4.5竖直高度y/m1010k10 6.25根据上述数据，直接写出k的值为，直接写出满足的函数关系式：；（2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣5x2+40x﹣68，记她训练的入水点的水平距离为d1；比赛当天入水点的水平距离为d2，则d1d2（填“＞”“＝”或“＜”）；（3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点B开始计时，若点B到水平面的距离为c，则她到水面的距离y与时间t之间近似满足y＝﹣5t2+c，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？8．【发现问题】一天放学后，妈妈带小丽到面馆去吃牛肉面，爱思考的小丽仔细观察盛面的碗，如图1，她发现面碗的轴截面（不包含碗足部分）可以近似看成是抛物线的一部分．【提出问题】碗体（碗体的厚度忽略不计）上一点到碗底内部所在平面的距离y（cm）与这一点到碗的中轴线（面碗的上、下两个底面圆的圆心所在直线）m的距离x（cm）之间有怎样的函数关系？【分析问题】小丽从书包里拿出刻度尺、笔和本，向服务员借来一个空的面碗，把面碗正放在桌面上，对面碗进行了简单的测量，并根据测量数据画出面碗的轴截面，如图2，面碗的上口径AB＝24cm，碗底直径CD＝EF ＝6cm，面碗的边沿上一点B到桌面EF的距离BG＝8cm，碗足高DF＝1cm．小丽又进一步建立以CD 所在直线为x轴，以直线m为y轴的平面直角坐标系（如图3），从而求出y与x的关系式．【解决问题】（1）请你帮助小丽求出y与x的关系式；（2）小丽向空面碗中倒入一些水，当水面宽度为20cm时，求此时面碗中水的深度；（3）小丽将（2）中面碗中的水倾倒至如图4所示，水面刚好与BC重合，直接写出此时面碗中水的最大深度．如何调整蔬菜大棚的结构？素材1我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟，一块土地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体OA上，另一端固定在墙体BC上，其横截面有2根支架DE，FG，相关数据如图2所示，其中DE＝BC，OF＝DF＝BD．素材2已知大棚有200根长为DE的支架和200根长为FG的支架，为增加棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化如图3所示，调整后C与E上升相同的高度，增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），现有改造经费32000元．问题解决任务1确定大棚形状在图2中以点O为原点，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．任务2尝试改造方案当CC′＝1米，只考虑经费情况下，请通过计算说明能否完成改造．任务3拟定最优方案只考虑经费情况下，求出CC′的最大值．素材一太阳光线与地面的夹角叫做太阳高度角．冬至是北半球各地白昼时间最短、黑夜最长的一天；夏至是北半球各地黑夜时间最短、白昼最长的一天．设冬至这天正午时刻太阳高度角为α，夏至这天正午时刻太阳高度角为β．素材二厂家设计了可伸缩抛物线型遮阳棚，其侧面示意图如图1所示．曲线QM为遮阳棚，PQ 为遮阳棚安装在窗户上方的支架，PQ⊥QM，线段QM的长度称为遮阳棚的跨度．已知遮阳棚QM所在的抛物线与抛物线=−142的形状相同．素材三如图2，AB为小明家的朝南窗户，测得Ba=14，∠β＝45°，窗户AB的高度为1.5米．为能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内，在安装遮阳棚时，需根据实际计算遮阳棚的跨度（QM的长）．素材四春节前期，小明想在遮阳棚顶部挂一盏高为0.3米的灯笼（如图3）．如图4，灯笼CD与窗户的水平距离为m米，灯笼的底端（点D）与窗户的上沿（点B）的铅垂高度为n米，灯笼顶端（点C）与悬挂点（点N）的距离为d米．解决问题任务1求小明家所需的遮阳棚的跨度QM．任务2当d＝0.16时，求m的值．任务3现要求0.6≤m≤1.5且0.1≤n≤0.2，求d的取值范围．。

2022年中考数学试卷精选汇编探索性问题(含解析)

探索性问题一、选择题1．（2016四川省凉山州）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2016应标在（）A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的左上角D．第505个正方形的右下角【答案】D．考点：1．规律型：点的坐标；2．规律型．2．（2016四川省攀枝花市）下列说法中正确的是（）A．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件B．“x2＜0（x是实数）”是随机事件C．掷一枚质地均匀的硬币10次，可能有5次正面向上D．为了了解夏季冷饮市场上冰淇淋的质量情况，宜采用普查方式调查【答案】C．【解析】试题分析：选项A中的事件是随机事件，故选项A错误；．选项B中的事件是不可能事件，故选项B错误；．选项C中的事件是随机事件，故选项C正确；．选项D中的事件应采取抽样调查，普查不合理，故选D错误；．故选C．考点：1．概率的意义；2．全面调查与抽样调查；3．随机事件；4．探究型．3．（2016山东省临沂市）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是（）A ．2n +1B ．21n - C ．22n n + D ．5n ﹣2 【答案】C ．考点：规律型：图形的变化类．4．（2016湖南省邵阳市）如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y 与n 之间的关系是（）A ．21y n =+B ．2ny n =+ C ．12n y n +=+ D ．21n y n =++【答案】B ．考点：规律型：数字的变化类．二、填空题5．（2016北京市）百子回归图是由1，2，3…，100无重复排列而成的正方形数表，它是一部数化的澳门简史，如：中央四位“19 99 12 20”标示澳门回归日期，最后一行中间两位“23 50”标示澳门面积，……，同时它也是十阶幻方，其每行10个数之和、每列10个数之和、每条对角线10个数之和均相等，则这个和为．【答案】505．【解析】试题分析：1～100的总和为：（1+100）×100÷2=5050，一共有10行，且每行10个数之和均相等，所以每行10个数之和为：5050÷10=505，故答案为：505．考点：规律型：数字的变化类．6．（2016北京市）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：已知：直线l和l外一点P．（如图1）求作：直线l的垂线，使它经过点P．作法：如图2（1）在直线l上任取两点A，B；（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；（3）作直线PQ ．所以直线PQ 就是所求的垂线．请回答：该作图的依据是．【答案】到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A 、B 都在线段PQ 的垂直平分线上）．考点：作图—基本作图．7．（2016四川省广安市）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了()na b +（n =1，2，3，4…）的展开式的系数规律（按a 的次数由大到小的顺序）：请依据上述规律，写出20162()x x-展开式中含2014x项的系数是．【答案】﹣4032．考点：1．整式的混合运算；2．阅读型；3．规律型．8．（2016四川省资阳市）设一列数中相邻的三个数依次为m 、n 、p ，且满足p =m 2﹣n ，若这列数为﹣1，3，﹣2，a ，﹣7，b …，则b = ．【答案】128．【解析】试题分析：根据题意得：a =23﹣（﹣2）=11，则b =211﹣（﹣7）=128．故答案为：128．考点：规律型：数字的变化类．9．（2016山东省德州市）如图，在平面直角坐标系中，函数y =2x 和y =﹣x 的图象分别为直线l 1，l 2，过点（1，0）作x 轴的垂线交l 2于点A 1，过点A 1作y 轴的垂线交l 2于点A 2，过点A 2作x 轴的垂线交l 2于点A 3，过点A 3作y 轴的垂线交l 2于点A 4，…依次进行下去，则点A 2017的坐标为．【答案】（21008，21009）．【解析】试题分析：观察，发现规律：A 1（1，2），A 2（﹣2，2），A 3（﹣2，﹣4），A 4（4，﹣4），A 5（4，8），…，∴A 2n +1（(2)n -，2(2)n⨯-）（n 为自然数）． ∵2017=1008×2+1，∴A 2017的坐标为（（﹣2）1008，2（﹣2）1008）=（21008，21009）．故答案为：（21008，21009）．考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．规律型；3．一次函数的应用．10．（2016山东省菏泽市）如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x 轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6，若点P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m= ．【答案】﹣1．考点：1．二次函数图象与几何变换；2．抛物线与x轴的交点；3．规律型．11．（2016湖南省邵阳市）已知反比例函数kyx（k≠0）的图象如图所示，则k的值可能是（写一个即可）．【答案】答案不唯一，只要k＜0即可，如k=-1．【解析】试题分析：∵双曲线的两支分别位于第二、第四象限，∴k＜0，∴k可取﹣1．故答案为：答案不唯一，只要k＜0即可，如k=-1．考点：1．反比例函数的性质；2．开放型．12．（2016甘肃省白银市）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为x 1，第二个三角形数记为x 2，…第n 个三角形数记为x n ，则x n +x n +1=．【答案】2(1)n ．考点：规律型：数字的变化类．三、解答题13．（2016吉林省长春市）感知：如图1，AD 平分∠BAC ．∠B +∠C =180°，∠B =90°，易知：D B =DC ．探究：如图2，AD 平分∠BAC ，∠ABD +∠ACD =180°，∠ABD ＜90°，求证：D B =DC ．应用：如图3，四边形ABCD 中，∠B =45°，∠C =135°，DB =DC =a ，则AB ﹣AC = （用含a 的代数式表示）【答案】探究：证明见解析；应用：2．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．探究型．14．（2016山东省临沂市）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE=BF．连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC．（1）请判断：FG与CE的数量关系是，位置关系是；（2）如图2，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；（3）如图3，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断【答案】（1）FG=CE，FG∥CE；（2）成立；（3）成立．考点：1．四边形综合题；2．探究型；3．变式探究．15．（2016江苏省无锡市）如图1是一个用铁丝围成的篮框，我们来仿制一个类似的柱体形篮框．如图2，它是由一个半径为r、圆心角90°的扇形A2OB2，矩形A2C2EO、B2D2EO，及A B 若干个缺一边的矩形状框A1C1D1B1、A2C2D2B2、…、A n B n C n D n，OEFG围成，其中A1、G、B1在22上，A2、A3…、A n与B2、B3、…B n分别在半径OA2和OB2上，C2、C3、…、C n和D2、D3…D n分别在EC2和ED2上，EF⊥C2D2于H2，C1D1⊥EF于H1，FH1=H1H2=d，C1D1、C2D2、C3D3、C n D n依次等距离平行排放（最后一个矩形状框的边C n D n与点E间的距离应不超过d），A1C1∥A2C2∥A3C3∥…∥A n C n．（1）求d的值；（2）问：C n D n与点E间的距离能否等于d？如果能，求出这样的n的值，如果不能，那么它们之间的距离是多少？【答案】（1）224r；（2）不能，3242r．考点：1．垂径定理；2．存在型；3．规律型．16．（2016江苏省淮安市）小宇想测量位于池塘两端的A、B两点的距离．他沿着与直线AB 平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ACF=45°，再向前行走100米到点D处，测得∠BDF=60°．若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．【答案】403考点：1．解直角三角形的应用；2．探究型．17．（2016江苏省淮安市）问题背景：如图①，在四边形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，探究线段AC，BC，CD之间的数量关系．小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，点B，C分别落在点A，E处（如图②），易证点C，A，E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE2，从而得出结论：A C+BC2．简单应用：（1）在图①中，若AC2BC=22CD= ．（2）如图③，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙上，AD BD，若AB=13，BC=12，求CD的长．拓展规律：（3）如图④，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若AC=m，BC=n（m＜n），求CD的长（用含m，n 的代数式表示）（4）如图⑤，∠ACB=90°，AC=BC，点P为AB的中点，若点E满足AE=13AC，CE=CA，点Q为AE的中点，则线段PQ与AC的数量关系是．172 2；（3）2()2n m-；（4）2PQ=1356+AC或2PQ=3516-AC．【答案】（1）3；（2）考点：1．圆的综合题；2．探究型；3．分类讨论；4．和差倍分；5．压轴题．18．（2016江西省）如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA是支撑臂，OB 是旋转臂，使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆．已知OA=OB=10cm．（1）当∠AOB=18°时，求所作圆的半径；（结果精确到0.01cm）（2）保持∠AOB=18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与（1）中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．（结果精确到0.01cm）（参考数据：sin9°≈0.1564，cos9°≈0.9877，sin18°≈0.3090，cos18°≈0.9511，可使用科学计算器）【答案】（1）3.13cm；（2）0.98cm．∴BE=2BD=2AB•sin9°≈2×3.13×0.1564≈0.98cm，即铅笔芯折断部分的长度是0.98cm．考点：1．解直角三角形的应用；2．探究型．19．（2016甘肃省兰州市）如图，一垂直于地面的灯柱AB被一钢筋CD固定，CD 与地面成45°夹角（∠CDB=45°），在C点上方2米处加固另一条钢线ED，ED与地面成53°夹角（∠EDB=53°），那么钢线ED的长度约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【答案】10．考点：1．解直角三角形的应用；2．探究型．。

规律变化探究性问题-2023年中考数学压轴题专项训练(解析版)

规律变化探究性问题1.压轴题速练一、单选题1(2023春·重庆丰都·九年级校考阶段练习)下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有3颗棋子，第②个图形一共有9颗棋子，第③个图形一共有18颗棋子，⋯，则第⑦个图形中棋子的颗数为()A.84B.108C.135D.152【答案】A【分析】根据第①个图形的棋子数是3=3×1，第②个图形的棋子数是9=3×1+2，第③个图形的棋子数是18=3×1+2+3，据此求出第⑦个图形，⋯，可得第n个图形的棋子数是3×1+2+⋯+n中棋子的颗数为多少即可．【详解】∵第①个图形的棋子数是3=3×1，第②个图形的棋子数是9=3×1+2，第③个图形的棋子数是18=3×1+2+3，⋯，∴第n个图形的棋子数是3×1+2+⋯+n，∴第⑦个图形中棋子的颗数为：3×1+2+⋯+7=3×24=84．故选：A．【点睛】此题主要考查了图形的变化类问题，要熟练掌握，解答此类问题的关键是首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．2(2022秋·山东菏泽·九年级校考阶段练习)正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，按如图所示的方式放置，点A1，A2，A3，⋯和点C1，C2，C3，⋯分别在直线y=kx+b(k>0)和x轴上，已知点B1(1，1)，B2 (3，2)，则B2021的坐标是()A.(22021,22022)B.(22021,22020)C.(22021-1,22020)D.(22021+1,22020)【答案】C【分析】根据B1(1，1)，B2(3，2)，B3(7，4)，⋯⋯，B n的横坐标为2n-1，B n的纵坐标为2n-1，再求解即可．【详解】解：∵B11,1，即B121-1,21-1∴A10,1，∴b=1，∵B23,2，即B222-1,22-1∴C1A2=2，∴A2B1=1，∴A1B1=A2B1，∴∠A2A1B1=45°，∴y=x+1，∵C2B2=A2B2=A3B2，∴A3C2=4，∴B37,4，即B323-1,23-1⋯⋯，∴B n的横坐标为2n-1，B n的纵坐标为2n-1，∴B2021的坐标是22021-1,22020，故选：C．【点睛】本题考查图形的变化规律，通过观察所给的图形，探索出正方形边长与点坐标的关系是解题的关键．3(2023春·重庆渝北·九年级校联考阶段练习)观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第2023个图案中的“”的个数是()A.6074B.6072C.6070D.6068【答案】C【分析】根据题意可得出第n个图案中的“”的个数为3n+1个，即可求解．【详解】解：∵第1个图案中的“”的个数=1×3+1=4(个)，第2个图案中的“”的个数=2×3+1=7(个)，第3个图案中的“”的个数=3×3+1=10(个)，•••第2023个图案中的“”的个数=3×2023+1=6070(个)，故选：C．【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律．4(2022秋·四川资阳·九年级统考期末)如图，直线l的解析式为y=33x，点M10，1，M1N1⊥y轴交直线l于点N1；点M2为y轴上位于M1上方的一点，且M1M2=M1N1，M2N2⊥y轴交直线l于点N2；点M3为y轴上位于M2上方的一点，且M2M3=M2N2，M3N3⊥y轴交直线l于点N3⋯，按此规律，线段N2022N2023的长为()A.31+32021 B.31+32022 C.231+32021 D.231+32022【答案】C【分析】根据解析式得出：N13，1，N233+1，3+1，N333+12，3+12，从而得出规律，再计算N2022N2023的长度即可．【详解】解：∵M10，1，∴将y=1代入y=33x得：x=3，∴N13，1，∴M20，3+1∴将y=3+1代入y=33x得：x=33+1，∴N233+1，3+1，∴M30，3+12,∴将y=3+12代入y=33x得：x=33+12，N333+12，3+12，∴N n33+1n-1，3+1n-1∴N202233+12021，3+12021N202333+12022，3+12022∴N2022N2023=323+14044+3+14044-323+14042+3+14042 =33+14044+3+14044-33+14042+3+14042=23+12022-23+12021=231+3 2021故选：C ．【点睛】本题考查一次函数的性质，点的坐标的规律，正确得出规律是解题的关键．5(2023·山东德州·模拟预测)我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形解释二项式a +b 2的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．根据“杨辉三角”请计算a +b 10的展开式中第三项的系数为()A.36B.45C.55D.66【答案】B【分析】根据“杨辉三角”确定出所求展开式第三项的系数即可．【详解】找规律发现a +b 3的第三项系数为3=1+2；a +b 4的第三项系数为6=1+2+3；a +b5的第三项系数为10=1+2+3+4；不难发现a +b n 的第三项系数为1+2+3+⋯+n -2 +n -1 ，∴a +b 10第三项系数为1+2+3+⋯+9=45，故选：B ．【点睛】此题考查了探索数字规律以及数学常识，弄清“杨辉三角”中的系数规律是解本题的关键．6(2023·湖南益阳·校考模拟预测)如图，矩形ABCD 的面积为5，它的两条对角线交于点O 1，以AB 、AO 1为两邻边作平行四边形ABC 1O 1，平行四边形ABC 1O 1的对角线交于点O 2，同样以AB 、AO 2为两邻边作平行四边形ABC 2O 2，⋯，依此类推，则平行四边形ABC n O n 的面积为()A.52n -1B.52nC.52n +1D.52n +2【答案】B【分析】先根据矩形的性质可得△ABO 1的面积为54，再根据平行四边形的性质可得平行四边形ABC 1O1的面积为52，同样的方法可得平行四边形ABC2O2和平行四边形ABC3O3的面积，然后归纳类推出一般规律即可得．【详解】解：∵矩形ABCD的面积为5，∴△ABO1的面积为54，∵四边形ABC1O1是平行四边形，∴平行四边形ABC1O1的面积为2×54=52，同理可得：平行四边形ABC2O2的面积为2×14×52=54=522，平行四边形ABC3O3的面积为2×14×522=523，归纳类推得：平行四边形ABC n O n的面积为52n，其中n为正整数，故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质，正确归纳类推出一般规律是解题关键．7(2022春·四川内江·九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，等腰直角△OAB位置如图，∠OBA=90°，点B的坐标为(1，0)，每一次将△OAB绕点O逆时针旋转90°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转得到△OA1B1，第二次旋转得到△OA2B2，⋯，以此类推，则点A2022的坐标是()A.(22022，22022)B.(-22021，22021)C.(22021，-22021)D.(-22022，-22022)【答案】D【分析】△AOB是等腰直角三角形，OA=1，根据等腰直角三角形的性质，可得点A(1，1)逆时针旋转90°后可得A1(-2,2)，同理A2(-4,-4)，依次类推可求得，A3(8,-8)，A4(16,16)，这些点所位于的象限为每4次一循环，根据规律即可求出A2022的坐标．【详解】∵△OAB是等腰直角三角形，点B的坐标为(1，0)，∴AB=OB=1，∴A点坐标为(1，1)．将△OAB绕原点O逆时针旋转90°得到等腰直角三角形OA1B1，且A1B1=2AB，再将△OA1B1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形OA2B2，且A2B2=2A1B1，依此规律，∴点A旋转后的点所位于的象限为每4次一循环，即A1(-2,2)，A2(-4,-4)，A3(8,-8)，A4(16,16)．∵2022=505×4+2，∴点A2022与A2同在一个象限内．∵-4=-22，8=23，16=24，∴点A2022(-22022，-22022)．故选：D．【点睛】本题考查了等腰直角三角形在平面直角坐标系中旋转的规律问题，熟练掌握等腰直角三角形的性质并能够在坐标系中找到点的坐标的变化规律是解题的关键．8(2022秋·全国·九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(-1,1),B (0,-2),C(1,-0)，点P(0,2)绕点A旋转180°得到点P1，点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3，点P3绕点A旋转180°得到点P4⋯⋯按此作法进行下去，则点P2022的坐标为()A.(0,2)B.(-2,0)C.(2,-4)D.(-2,-2)【答案】A【分析】先画出点P1,P2,P3,P4,P5,P6的坐标，再归纳类推出一般规律，由此即可得．【详解】解：如图，P1-2,0,P22,-4,P30,4,P4-2,-2,P52,-2,P60,2，是以6次为一个循环，∵2022=6×337，∴点P2022的坐标与点P6的坐标相同，即为0,2，故选：A．【点睛】本题考查规律型：坐标与图形变化-旋转，解题关键在于归纳类推出一般规律．9(2022秋·八年级单元测试)如图所示，直线y=33x+33与y轴相交于点D，点A1在直线y=3 3x+33上，点B1在x轴，且∆OA1B1是等边三角形，记作第一个等边三角形；然后过B1作B1A2∥OA1与直线y=33x+33相交于点A2，点B2在x轴上，再以B1A2为边作等边三角形A2B2B1，记作第二个等边三角形；同样过B2作B2A3∥OA1与直线y=33x+33相交于点A3，点B3在x轴上，再以B2A3为边作等边三角形A3B3B2，记作第三个等边三角形；⋯依此类推，则第n个等边三角形的顶点A纵坐标为()A.2n-1B.2n-2C.2n-1×3D.2n-2×3【答案】D【分析】可设直线与x轴相交于C点．通过求交点C、D的坐标可求∠DCO=30°．根据题意得△COA1、△CB1A2、△CB2A3⋯都是等腰三角形，且腰长变化有规律．在正三角形中求高即可得解．【详解】解：设直线与x轴相交于C点．令x=0，则y=33；令y=0，则x=-1．∴OC=1，OD=33．∵tan∠DCO=ODOC =33，∴∠DCO=30°．∵△OA1B1是正三角形，∴∠A1OB1=60°．∴∠CA1O=∠A1CO=30°，∴OA1=OC=1．∴第一个正三角形的高=1×sin60°=32；同理可得：第二个正三角形的边长=1+1=2，高=2×sin60°=3；第三个正三角形的边长=1+1+2=4，高=4×sin60°=23；第四个正三角形的边长=1+1+2+4=8，高=8×sin60°=43；⋯第n个正三角形的边长=2n-1，高=2n-2×3．∴第n个正三角形顶点A的纵坐标是2n-2×3．故选：D．【点睛】本题是一次函数综合题型，主要考查了等腰三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特征．10(2023秋·山东济宁·九年级统考期末)如图，直线y=x+1与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点B 作BC⊥AB，使BC=2BA．将ΔABC绕点O顺时针旋转，每次旋转90°．则第2022次旋转结束时，点C的对应点C'落在反比例函数y=kx的图象上，则k的值为()A.-4B.4C.-6D.6【答案】C【分析】过点C作CD⊥y轴，垂足为D，则△BCD是等腰直角三角形，根据BC=22，确定点C的坐标，第一次旋转的坐标，根据第二次旋转坐标与点C关于原点对称，第三次旋转坐标与第一次坐标关于原点对称，确定循环节为4，计算2022÷4的余数，确定最后的坐标，利用k=横坐标×纵坐标计算即可．【详解】如图，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，∵直线y=x+1与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点B作BC⊥AB，使BC=2BA，∴A(-1，0)，B(0，1)，AB=2，BC=22，∴OA=OB，∠ABO=∠BAO=∠CBD=∠DCB=45°，∴DC=BD=2，∴DC=BD=2，OD=OB+BD=3，∴点C(-2，3)，第一次旋转的坐标为(3，2)，第二次旋转坐标与点C关于原点对称为(2，-3)，第三次旋转坐标与第一次坐标关于原点对称为(-3，-2)，第四次回到起点，∴循环节为4，∴2022÷4=505⋯2，∴第2022次变化后点的坐标为(2，-3)，∴k=-3×2=-6，故选C．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，旋转的性质，反比例函数的解析式的确定，点的坐标的对称性，利用旋转性质，确定点的对称性及其坐标是解题的关键．二、填空题11(2022秋·山东泰安·八年级校考期末)如图，已知△ABC的周长是1，连接△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边的中点构成第三个三角形⋯依此类推，则第2019个三角形的长.【答案】122018【分析】根据“三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半”可知第2个三角形的周长为12，第三个三角形的周长为12×12=122，⋯以此类推，找到规律，即可求出第2019个三角形的周长.【详解】根据“三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半”可知第2个三角形的周长为12，第3个三角形的周长为12×12=12 2，第4个三角形的周长为12 2×12=123，⋯第n 个三角形的周长为12n -1，∴第2019个三角形的周长为122018.故答案为：12 2018.【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，找出规律是解题的关键.12(2023·湖北恩施·统考一模)一个质点在第一象限及x 轴、y 轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到0,1 ，然后接着按图中箭头所示方向运动[即0,0 →0,1 →1,1 →1,0 →⋅⋅⋅]，且每秒移动一个单位，那么第2023秒时质点所在位置的坐标是．【答案】1,44【分析】应先判断出走到坐标轴上的点所用的时间以及相对应的坐标，可发现走完一个正方形所用的时间分别为3，5，7，9⋯，此时点在坐标轴上，进而得到规律．【详解】解：由题意可知，这点移动的速度是1个单位长度/每秒，设这点为x ,y ，到达1,0时用了3秒，到达2,0时用了4秒，从2,0到0,2有4个单位长度，则到达0,2时用了4+4=8秒，到0,3时用了9秒；从0,3到3,0有6个单位长度，则到达3,0时用9+6=15秒，到4,0时用16秒；从4,0到0,4有8个单位长度，则到达0,4时用16+8=24秒，到0,5时用了25秒；从0,5到5,0有10个单位长度，则到达5,0时用25+10=35秒，到6,0时用了36秒；⋯，可得在x轴上，横坐标为偶数时，所用时间为x2秒，在y轴上时，纵坐标为奇数时，所用时间为y2秒，∵45×45=2025，2025→0,45，2026→1,45，2024→0,44，2023→1,44，∴第2023秒时这个点所在位置的坐标为1,44，故答案为：1,44．【点睛】本题主要考查了点的坐标的变化规律，得出运动变化的规律是解决问题的关键．13(2023·广东深圳·深圳市南山外国语学校校考一模)化学中直链烷烃的名称用“碳原子数+烷”来表示．当碳原子数为1~10时，依次用天干--甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、千、癸--表示，其中甲烷、乙烷、丙烷的分子结构式如图所示，则第7个庚烷分子结构式中“H”的个数是．【答案】16【分析】观察题干中分子结构式发现规律，第n个分子结构式中“H”的个数是2n+2，据此即可得到答案．【详解】解：观察分子结构式可知，第1个甲烷分子结构式中“H”的个数是4；第2个乙烷分子结构式中“H”的个数是6；第3个丙烷分子结构式中“H”的个数是8；⋯⋯∴第n个分子结构式中“H”的个数是2n+2，∴第7个庚烷分子结构式中“H”的个数是2×7+2=16，故答案为：16．【点睛】本题考查了图形类规律探索，通过观察归纳出规律是解题关键．14(2023·甘肃陇南·校考一模)按一定规律排列的式子：-3ba,8ba3,-15ba5,24ba7，⋯⋯第n个式子是．【答案】(-1)n⋅n(n+2)b a2n-1【分析】根据所给式子找出各部分的规律解答即可．【详解】解：3b,8b,15b,24b，⋯，分子可表示为：n(n+2)b．a,a3,a5,a7，⋯，分母可表示为：a2n-1，则第n 个式子为：(-1)n ⋅n (n +2)ba2n -1．故答案是：(-1)n ⋅n (n +2)ba 2n -1．【点睛】本题考查了规律型：数字类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．此题注意分别观察各部分的符号规律．15(2023·海南省直辖县级单位·统考一模)用火柴棒按上图的方式摆出一系列图案，按这种方式摆下去，第n 个图案所用的火柴棒的根数为．【答案】3n 2+3n 2【分析】先根据图案排列规律求出第n 个图案的三角形的个数，再根据没有个三角形有三根火柴棒计算即可得解．【详解】解：第1个图案有1个三角形，第2个图案有1+2个三角形，第3个图案有1+2+3个三角形，⋯，依此类推，第n 个图案有：1+2+3+⋯+n 个三角形，∵1+2+3+⋯+n =n n +12，∴第n 个图案所用的火柴棒的根数为3×n n +1 2=3n 2+3n2．故答案为：3n 2+3n2．【点睛】本题是对图形变化规律的考查，先求出第n 个图案的三角形的个数是解题的关键．16(2023·山东枣庄·校考模拟预测)观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第n 个大三角形中白色三角形有(用含n 代数式表示)个．【答案】30+31+32+33+⋯⋯3n -1【分析】分别数出第1个图形、第2个图形、第3个图形、第4个图形中白色三角形的个数，总结出白色三角形的增长规律，即可推出第n 个大三角形中白色的三角形的个数．【详解】解：第1个图形的白色三角形个数为1，第2个图形的白色三角形个数为1+3=30+31，第3个图形的白色三角形个数为1+3+9=30+31+32，第4图形的白色三角形个数为1+3+9+27=30+31+32+33，⋯，以此类推，第n个图形的白色三角形个数为30+31+32+33+⋯⋯3n-1，故答案为：30+31+32+33+⋯⋯3n-1．【点睛】本题考查规律型中的图形变化问题，解答此题要有以下步骤：①先数出白色三角形的个数；②探索出白色三角形的增长规律；③根据规律解题．本题运算量比较大，要仔细计算．17(2023秋·重庆永川·七年级统考期末)如图是一个电子青蛙游戏盘，已知AB=7，BC=6，AC=5，BP0=3．电子青蛙在AB边上的P0处，第一步跳到P1处，使BP1=BP0，第二步跳到P2处，使CP2=CP1，第三步跳到P3处，使AP3=AP2，⋯⋯，按上述的规则跳下去，第2023步落点为P2023，则P1与P2023之间的距离为．【答案】0【分析】根据上述规则，显然6次完成一个循环．因为2023÷6=372⋯1，则P2023与P1重合，于是得到结论．【详解】解：第一步跳到P1处，使BP1=BP0=3，第二步跳到P2处，使CP2=CP1=3，第三步跳到P3处，使AP3=AP2=2，第四步跳到P4处，BP3=BP4=5，第五步跳到P5处，CP4=CP5=1，第六步跳到p6处，AP5=AP6=4，与P0重合，∴6次一循环，则2023÷6=372⋯1，则P2023与P1重合．∴P1与P2023之间的距离为0，故答案为：0．【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中各点的变化规律，利用数形结合的思想解答．18(2023秋·河南许昌·九年级校考期末)平面直角坐标系中，若干个半径为1，圆心角为60°的扇形组成的图形如图所示，点P从原点O出发，向右沿箭头所指方向做上下起伏运动，点P在直线上运动的速度为每秒1个单位长度，在弧线上运动的速度为每秒π3个单位长度，则2021秒时，点P的坐标是．【答案】20212，32【分析】根据勾股定理和弧长公式求出的P 1坐标，设第n 秒运动到P n (n 为自然数)点，根据点P 的运动规律找出部分P n 点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“P 4n +14n +12，32，P 4n +2(n +1,0)，P 4n +34n +32，-32 ，P 4n +4(2n +2,0)”，依此规律即可得出结论．【详解】解：如图，过点A 作AB ⊥x 轴，垂足为B ，由题意可得：OA =1，∠AOB =60°，∴OB =12，AB =32，一段弧线长为60×12π180=π3，∴P 112，32，设第n 秒运动到P n (n 为自然数)点，观察，发现规律：P 112，32 ，P 2(1,0)，P 332，-32，P 4(2,0)，P 552，32 ，⋯，∴P 4n +14n +12，32 ，P 4n +2(n +1,0)，P 4n +34n +32，-32 ，P 4n +4(2n +2,0)．∵2021=4×505+1，∴P 2021为20212，32 ，故答案为：20212，32 ．【点睛】本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出变化规律，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据运动的规律找出点的坐标，根据坐标的变化找出坐标变化的规律是关键．19(2022秋·山东临沂·九年级统考期中)若关于x 的一元二次方程x 2-3x +m 2+m =0m >0 ，当m =1,2,3,⋯,2022时，相应的一元二次方程的两根分别记为α1,β1;α2,β2;⋯;α2022,β2022,则1α1+1β1+1α2+1β2+⋯1α2022+1β2022的值为．【答案】60662023【分析】利用根与系数的关系得到α1+β1=3，α1β1=1×2；α2+β2=3，α2β2=2×3；⋯α2022+β2022=3，α2022β2022=2022×2023；把原式变形，再代入，即可求出答案．【详解】解：∵x 2-3x +m 2+m =0，m =1,2,3,⋯,2022，∴由根与系数的关系得：α1+β1=3，α1β1=1×2；α2+β2=3，α2β2=2×3；⋯α2022+β2022=3，α2022β2022=2022×2023；∴原式=α1+β1α1β1+α2+β2α2β2+....α2022+β2022α2022β2022=31×2+32×3+....32022×2023=3×1-12+12-13+....12022-12023=3×1-12023 =3×20222023=60662023故答案为：60662023【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0a ≠0的两根时，x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=ca．20(2023·江苏扬州·九年级专题练习)如图，在正方形ABCD 中，顶点A -5，0 ，C 5，10 ，点F 是BC 的中点，CD 与y 轴交于点E ，AF 与BE 交于点G ，将正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，则第2023次旋转结束时，点G 的坐标为．【答案】-4，3【分析】根据正方形的性质得到AB =BC =CD =10，∠C =∠ABF =90°，根据全等三角形的性质得到∠BAF =∠CBE ，根据余角的性质得到∠BGF =90°，过G 作GH ⊥AB 于H ，根据相似三角形的性质得到BH =2，根据勾股定理得到HG =4，求得G 3，4 ，找出规律即可得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB =BC =CD =10，∠C =∠ABF =90°，∵点F 是BC 的中点，CD 与y 轴交于点E ，∴CE =BF =5，∴△ABF ≌△BCE (SAS )，∴∠BAF =∠CBE ，∵∠BAF +∠BFA =90°，∴∠FBG +∠BFG =90°，∴∠BGF =90°，∴BE ⊥AF ，∵AF =AB 2+BF 2=102+52=55，∴BG =AB ⋅BFAF=25，过G 作GH ⊥AB 于H ，∴∠BHG =∠AGB =90°，∵∠HBG =∠ABG ，∴△ABG ∽△GBH ，∴BG AB=BH BG ，∴BG 2=BH ⋅AB ，∴BH =25210=2，∴HG =BG 2-BH 2=4，∴G 3，4 ，∵将正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，∴第一次旋转90°后对应的G 点的坐标为4，-3 ，第二次旋转90°后对应的G 点的坐标为-3，-4 ，第三次旋转90°后对应的G 点的坐标为-4，3 ，第四次旋转90°后对应的G 点的坐标为3，4 ，⋯，∵2023=4×505+3，∴每4次一个循环，第2023次旋转结束时，相当于正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转3次，∴第2023次旋转结束时，点G 的坐标为-4，3 ，故答案为：-4，3 ．【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形变换-旋转，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．三、解答题21(2023·安徽六安·统考二模)观察以下等式：第1个等式：23=12+16；第2个等式：25=13+115；第3个等式：27=14+128；第4个等式：29=15+145；⋯⋯按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式：；(2)写出你猜想的第n 个等式，并证明你的结论．【答案】(1)213=17+191(2)22n +1=1n +1+1n +1 2n +1【分析】(1)由题干给出的4个等式，抓住不变的量，寻找变化的量前后之间的联系，即可得出第6个等式；(2)用n 表示(1)中找到的规律，利用分式的混合运算法则证明即可．【详解】(1)解：∵第1个等式：23=12+16；第2个等式：25=13+115；第3个等式：27=14+128；第4个等式：29=15+145；⋯⋯∴第6个等式为：213=17+191，故答案为：213=17+191；(2)解：第n 个等式为：22n +1=1n +1+1n +1 2n +1，证明：1n +1+1n +1 2n +1 =2n +1n +1 2n +1 +1n +1 2n +1=2n +1n +1 2n +1 =22n +1．故答案为：22n +1=1n +1+1n +1 2n +1．【点睛】本题考查了运算规律的探究，分式的加减运算，掌握规律的探究方法与分式的加减运算是解题的关键．22(2022秋·江苏徐州·七年级校考阶段练习)先观察，再解题：因为1-12=11×2，12-13=12×3，13-14=13×4，⋯所以(1)15×6=．(2)请接着完成下面的计算：11×2+12×3+13×4+⋯+149×50=1-12 +12-13 +13-14 +⋯+149-150(3)参照上述解法计算11×3+13×5+15×7+⋯+149×51．【答案】(1)15-16；(2)4950；(3)2551【分析】(1)根据所给的等式的形式进行求解即可；(2)利用所给的等式的形式进行求解即可；(3)仿照(2)的解答方式进行求解即可．【详解】(1)解：由题意得：15×6=15-16，故答案为：15-16；(2)解：11×2+12×3+13×4+⋯+149×50=1-12 +12-13 +13-14 +⋯+149-150=1-12+12-13+13-14+⋯+149-150=1-150=4950；(3)解：11×3+13×5+15×7+⋯+149×51=12×1-13 +12×13-15 +12×15-17 +⋯+12×149-151 =12×1-13+13-15+15-17⋯+149-151 =12×1-151 =12×5051=2551．【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．23(2022秋·安徽宣城·七年级统考期末)如图，每个小正方形的面积均为1．将左图中黑色的小正方形移动，得到右边拼成的长方形，根据两种图形方法计算小正方形的个数；如图得出以下等式：(1)请写出第3个等式：；(2)猜想第n个等式为：(用含n的等式表示)；(3)当n为多少时，左图中的最底端有2024个小正方形？此时左图中共有多少个小正方形？【答案】(1)2+4+6+8=4×5(2)2+4+6+⋯+2(n+1)=(n+1)(n+2)(3)n=1011，共有1025156个小正方形【分析】(1)根据给出的等式写出答案即可；(2)根据这3个等式写出答案即可；(3)因为最底端有2024个小正方形，所以2(n+1)=2024，得出n的值，再计算有多少个小正方形即可．【详解】(1)解：2+4+6+8=4×5；(2)解：2+4+6+⋯+2(n+1)=(n+1)(n+2)；(3)解：因为最底端有2024个小正方形，所以2(n+1)=2024，解得：n=1011所以2+4+6+⋯+2024=1012×1013=1025156(个)答：n=1011，共有1025156个小正方形．【点睛】本题考查图形的规律，根据给出的式子找到规律是解题的关键．24(2023·安徽·模拟预测)以下是一幅幅平面镶嵌图案，它们由相同的灰色正方形和白色等边三角形排列而成，观察图案，如图1，当正方形只有1个时，等边三角形有4个；如图2，当正方形有2个时，等边三角形有7个；以此类推⋯⋯(1)第5个图案中正方形有个，等边三角形有个．(2)第n个图案中正方形有个，等边三角形有个．(3)若此类图案中有2023个等边三角形，该图案中正方形有多少个？【答案】(1)5，16；(2)n，3n+1；(3)该图案中正方形有674个【分析】(1)观察第1个图案可知：中间的一个正方形对应4个等边三角形，第2个图案可知增加一个正方形，变成了7个等边三角形，增加了3个等边三角形，•••，依次计算可解答；(2)观察第1个图案，有1个等边三角形；第2个图案，有3+4个等边三角形；•••，依次计算可解答；(3)根据等边三角形的个数求出图形的个数，即可确定正方形的个数．【详解】(1)解：观察第1和2个图案可知：图案中每增加1个正方形，则等边三角形增加3个，∴第5个图案中正方形有5个，等边三角形有4+3+3+3+3=16(个)．故答案为：5，16；(2)解：第1个图案：正方形有1个，等边三角形有：4(个)，第2个图案：正方形有2个，等边三角形有：4+3=7(个)，第3个图案：正方形有3个，等边三角形有：4+2×3=10(个)，第4个图案：正方形有4个，等边三角形有：4+3×3=13(个)，⋅⋅⋅⋅⋅⋅第n个图案：正方形有n个，等边三角形有：4+3(n-1)=(3n+1)个，故答案为：n，3n+1；(3)解：∵3n+1=2023，解得：n=674，∴按此规律镶嵌图案，该图案中正方形有674个．【点睛】本题考查了平面镶嵌，以等边三角形和正方形的拼图为背景，关键是考查规律性问题的解决方法，探究规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．25(2023·安徽·模拟预测)十一期间，泉城广场的一个公共区域用盆栽进行了美化，盆栽按如图的方式摆放，图中的盆栽被折线隔开分成若干层，第一层有1个盆栽，第二层有3个盆栽，第三层有5个盆栽，第四层有7个盆栽，⋯⋯，以此类推．请观察图形规律，解答下列问题：(1)第10层有个盆栽，第a层有个盆栽，前n层共有个盆栽；(2)计算：1+3+5+⋯⋯+25=；(3)拓展应用：求27+29+⋯⋯+1921的值．【答案】(1)19，2n-1，n2(2)169(3)923352【分析】(1)根据已知数据即可得出每一小层盆栽个数是连续的奇数，进而得出答案；(2)利用已知数据得出答案即可；(3)利用已知数据得出答案即可．【详解】(1)解：第10层有19个盆栽，第n 层有2n -1 个盆栽；前n 层共有1+3+5+⋯⋯+2n -1 =n 2，故答案为：19，2n -1 ，n 2；(2)解：1+3+5+⋯+25=132=169，故答案为：169；(3)解：27+29+31⋯⋯+1921=1+3+5+⋯+1921 -(1+3+5+⋯+25)=9612-132=923521-169=923352【点睛】此题主要考查了图形的变化类，根据已知得出数字的变化规律是解题关键．26(2022秋·山东济南·七年级统考期中)利用图形来表示数量或数量关系，也可以利用数量或数量关系来描述图形特征或图形之间的关系，这种思想方法称为数形结合．请你尝试利用数形结合的思想方法解决下列问题(1)如图①，一个边长为1的正方形，依次取正方形面积的12,14,18⋯12n ，根据图示我们可以知道：12+14+18+116+⋯+12n =．(用含有n 的式子表示)(2)如图②，一个边长为1的正方形，第一次取正方形面积的23，然后依次取剩余部分的23，根据图示：计算：23+29+227+⋯+23n =．(用含有n 的式子表示)(3)如图③是一个边长为1的正方形，根据图示：计算：13+29+427+881+⋯+2n -13n =．(用含有n 的式子表示)【答案】(1)1-12n(2)1-13n(3)1-2n3n【分析】(1)根据题意找出规律进行计算即可；(2)根据题干给出图形，依次取正方形面积的23,29,227，⋯，找出规律即可；(3)根据题干给出图形，依次取正方形面积的13,29,427，⋯，找出规律即可．【详解】(1)解：∵第1次截取后剩余12，第2次截取后剩余12×12=122，第3次截取后剩余12×12×12=123，⋯，第n 次截取后剩余12×12×...×12 n 个=12n ，∴12+14+18+116+12n =1-12n ．故答案为：1-12n ．(2)解：∵第1次截取后剩余13，第2次截取后剩余13×13=132，第3次截取后剩余13×13×13=133，⋯，第n 次截取后剩余13×13×...×13 n 个=13n ，∴23+29+227+23n =1-13n ．故答案为：1-13n ．(3)解：∵第1次截取后剩余23，第2次截取后剩余23×23=2232，第3次截取后剩余23×23×23=2333，⋯，第n 次截取后剩余23×23×...×23 n 个=2n 3n ，∴13+29+427+881+2n -13n =1-2n 3n ．故答案为：1-2n 3n ．【点睛】本题考查的图形的变化类，根据题干给出的图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．27(2022秋·浙江杭州·七年级校考期中)完成下列填空：(1)已知a 1=11×2×3+12=23，a 2=12×3×4+13=38，a 3=13×4×5+14=415，⋯⋯，依据上述规律，则a 99==．(2)有若干张边长都是2的四边形纸片和三角形纸片，从中取一些纸片按如图所示的顺序拼接起来(排在第一位的是四边形)，可以组成一个大的平行四边形或一个大的梯形．如果所取的四边形与三角形纸片数的和是5时，那么组成的大平行四边形或梯形的周长是；如果所取的四边形与三角形纸片数的和是n ，那么组成的大平行四边形或梯形的周长是．(3)下面是按一定规律排列的一列数：第1个数：a 1=12-1+-12；第2个数：a 2=13-1+-12 1+(-1)23 1+(-1)34；第3个数：a 3=14-1+-12 1+(-1)23 1+(-1)34 1+(-1)45 1+(-1)56 ；⋯⋯则第n 个数为：．【答案】(1)199×100×101+1100，1009999(2)20，3n +5或3n +4(3)a n =1n +1-1+-12 1+(-1)23 1+(-1)34 ⋯1+(-1)2n -12n【分析】(1)找到规律，根据规律填空即可；(2)第1张纸片的周长为8，由2张纸片所组成的图形的周长比第1张纸片的周长增加了2．由3张纸片所组成的图形的周长比前2张纸片所组成的图形的周长增加了4，按此规律可求解；(3)找到规律，根据规律填空即可．【详解】(1)解：∵a 1=11×2×3+12=23，a 2=12×3×4+13=38，a 3=13×4×5+14=415，⋯⋯，∴a n =1n (n +1)(n +2)+1n +1=n +1n (n +2)，∴a 99=199×100×101+1100=1009999，故答案为：199×100×101+1100，1009999；(2)解：解：从图形可推断：纸张张数为5，图片周长为8+2+4+2+4=3×5+5=20；当n 为奇数时，组成的大平行四边形或梯形的周长为：8+2+4+⋯+2+4=3n +5；当n 为偶数时，组成的大平行四边形或梯形的周长为：8+2+⋯+4+2=3n +4．综上，组成的大平行四边形或梯形的周长为3n +5或3n +4．故答案为：20，3n +5或3n +4．(3)解：∵第1个数：a1=12-1+-12；第2个数：a2=13-1+-121+(-1)231+(-1)34；第3个数：a3=14-1+-121+(-1)231+(-1)341+(-1)451+(-1)56；⋯⋯∴第n个数为a n=1n+1-1+-121+(-1)231+(-1)34⋯1+(-1)2n-12n．故答案为：a n=1n+1-1+-121+(-1)231+(-1)34⋯1+(-1)2n-12n．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化以及数字的变化，解第(2)题的关键是将纸片的张数分奇偶两种情况进行讨论，得出组成的大平行四边形或梯形的周长．28(2022秋·山西吕梁·七年级统考期中)如图，每张小纸带的长为40cm，用胶水把它们粘贴成一张长纸带，接头粘贴重叠部分的长为3cm．(1)用2张这样的小纸带粘贴成的纸带的长度为77cm，则用3张这样的小纸带粘贴成的纸带的长度为cm．(2)①用n张这样的小纸带粘贴成的纸带的长度是cm；②计算用20张这样的小纸带粘贴成的纸带的长度．【答案】(1)114(2)①(37n+3)；②743cm【分析】(1)理解接头是每相邻两张有一个接头，则三张有两个接头，从而求出每张纸带的长度，即可求解；(2)①结合(1)推而广之，n张有(n-1)个接头，n张这样的小纸带粘贴成的纸带的长度是40n-3×(n-1)=(37n+3)cm；②直接把n=30代入①即可求解．【详解】(1)解：每张纸带的长度为：77+3÷2=40(cm)；∴3张这样的小纸带粘贴成的纸带的长度为：40×3-2×3=114(cm)．(2)解：①n张纸带的长度为：40n-3×(n-1)=(37n+3)cm．②当n=20时，37n+3=743(cm)．∴20张这样的小纸带粘贴成的纸带的长度为743cm．【点睛】本题考查图形规律，代数式求值，解决问题的关键是读懂题意，找出图形规律是解题的关键．29(2023春·七年级课时练习)观察下列各式(x-1) (x+1)=x2-1(x-1)x2+x+1=x3-1。