2020届清华中学生标准学术能力(9月)数学(文)试题(解析版)

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2020届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试高三5月测试数学(文)试题(一卷)(解析版)

2020届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试高三5月测试数学（文）试题（一卷）一、单选题1．已知集合{}{}14,2P x x Q x x =-<<=<，那么()R P C Q ⋂=（） A ．[)2,4B ．()1,-+∞C ．[)2,+∞D ．(]1,2- 【答案】A 【解析】{}2R C Q x x =≥，所以()[)2,4R P C Q ⋂=，选A.2．已知复数z 满足4z i i =-（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为（） A ．4iB ．4C ．1D ．1- 【答案】B【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由4z i i=-，得2(4)414z i i i i i =-=-=+． ∴复数z 的虚部是4．故选：B ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．已知实数x ，y 满足约束条件222y x y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则3x y +的最大值为（）A ．2B ．6C ．8D ．12 【答案】C【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，3z x y =+表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最大值即可．【详解】先根据约束条件画出可行域，作直线30x y +=，讲直线30x y +=平移，当过点(2,2)时，3x y +取得最大值 ()max 33228x y +=⨯+=故选：C ．【点睛】本题主要考查线性规划问题，以及利用几何意义求最值，属于基础题．4．已知实数a ，b 满足5a b +=，23log log a b =，则ab =（）A ．2B ．3C ．5D ．6【答案】D【解析】设23log log a b k ==，则2k a =，3k b =，再利用5a b +=即可求出k 的值，进而求出a ，b 的值．【详解】设23log log a b k ==，则2k a =，3k b =，235k k a b ∴+=+=， 1k ∴=，2a ∴=，3b =，∴236ab =⨯=故选：D ．【点睛】本题主要考查了对数式与指数式的互化，以及对数的运算性质，是基础题．5．已知向量a r ，b r 满足1a =r ，2a b -=r r 且a b ⊥r r ，则向量a r 与a b -r r 的夹角为（）A ．2π3B ．π3C ．5π6D ．π6【答案】B【解析】根据()a b b -⊥r r r 即可得出()0a b b -=r r r g ，从而得出·1a b =r r ，进而得出1cos ,2a b <>=r r ，根据向量夹角的范围即可求出夹角．【详解】Q a b ⊥r r ，∴0a b ⋅=r r∴()21a a b a a b ⋅-=-⋅=r r r r r r 设向量a r 与a b -r r 的夹角为θ∴()1cos 2a a b a a b θ⋅-==-r r r r r r ∵()0,θπ∈∴3πθ=故选：B ．【点睛】考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，属于中档题． 6．已知函数()ln f x x x =，则函数()f x 的单调递增区间为（）A ．RB ．()0,∞+C ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(),e +∞【答案】C【解析】求()ln f x x x =的导数()f x '，由()0f x '>，即可求得答案．【详解】()ln 1f x x '=+Q ，令()0f x '>得：ln 1x >-，11x e e-∴>=． ∴函数()ln f x x x =的单调递增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．故选：C ．【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，易错点在于忽视函数的定义域，属于中档题．7．数列{}n a 的前n 项和()2*23n S n n n =-∈N ，若5p q +=()*,p q ∈N ，则p q a a +=（）A ．6B ．8C ．9D ．10【答案】D 【解析】当1n =时，可得1a ，当2n …时，1n n n a S S -=-，验证1n =时是否适合可得通项公式，代入通项公式求解可得结果．【详解】当1n =时，11231a S ==-=-，当2n …时，221232(1)3(1)45n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-，当1n =时，上式也适合，∴数列{}n a 的通项公式为：45n a n =-∴()454541010p q a a p q p q +=-+-=+-=故选：D ．【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式和通项公式的关系，属中档题．8．已知x ，y ∈R ，“1x y +≤且1x y -≤”是“1x y +≤”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用区域关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】 1x y +≤且1x y -≤等价于1111x y x y -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩ 1x y +≤等价于()()()()10,010,010,010,0x y x y x y x y x y x y x y x y ⎧+≤≥≥⎪-≤≥≤⎪⎨-+≤≤≥⎪⎪--≤≤≤⎩作出两个不等式组对应的平面区域都是以()1,0，()0,1，()1,0-，()0,1-为顶点的正方形∴“1x y +≤且1x y -≤”是“1x y +≤”的充要条件，故选：C ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件结合平面区域的关系是解决本题的关键．9．已知实数0a ≠，则函数()1sin f x ax a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象一定不可能的是（） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】求函数的导数，判断()0f '的正负情况，即可得出答案.【详解】∵()1sin f x ax a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ∴()1cos f x a ax a ⎛⎫'=+⎪⎝⎭ ∴()10cos f a a'=，观察各选项的图象，判断()0f '的正负情况，得：观察A 选项的图象，得()10sin 0f a=>，34T <<，故234a π<< ∴223a ππ<<，3122a ππ<<，()10cos 0f a a'=> 故A 选项的图象不符合观察B 选项的图象，得()10sin 0f a=>，67T <<，故267a π<< ∴273a ππ<<，3172a ππ<<，()10cos 0f a a'=> 故B 选项的图象符合观察C 选项的图象，得()10sin 0f a=>，69T <<，故269a π<< ∴293a ππ<<，3192a ππ<<，()10cos 0f a a'=> 故C 选项的图象符合观察D 选项的图象，得()10sin 0f a=>，24T <<，故224a π<< ∴2a ππ<<，112a ππ<<，()10cos 0f a a'=> 故D 选项的图象符合故选：A.【点睛】本题考查了函数的图象的识别，利用导数判断函数的性质，属于中档题．10．已知x ，y ∈R ，则方程组21y =⎪=+⎩的解(),x y 的个数（）A ．0B ．1C ．2D ．4【解析】2=的几何意义知图像是双曲线，化简得2213y x -=，故题目等价于求解直线1y =+与双曲线2213y x -=的交点个数，联立方程组求解即可.【详解】设()12,0F -，()22,0F ，(),P x y2=等价于212PF PF -=∴动点P 的轨迹是以()12,0F -，()22,0F 为焦点，以2为实轴长的双曲线∴2c =，1a =，b =∴双曲线的标准方差为2213y x -= ∴题目等价于求解直线1y =+与双曲线2213y x -=的交点个数联立22131y x y⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，求解得1x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∵方程组只有一组解，故直线1y =+与双曲线2213y x -=只有一个交点故选：B.【点睛】本题主要考查双曲线和直线的位置关系，根据定义判断得到曲线为双曲线是解题的关键.11．已知ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．若4cos a b C b a+=，且()1cos 6A B -=，则cos C =（） A ．23 B ．34 C ．23或34- D ．不存在【解析】由题意，利用余弦定理和正弦定理，化简求得222sin sin 2sin A B C +=，再利用降幂公式与和差化积，以及同角的三角函数关系，求得cos C 的值．【详解】ABC ∆中，4cos b a C a b+=，cos 0C ∴>；2222222cos 2()a b ab c a b c ∴+=⨯=+-， 2222a b c ∴+=，222sin sin 2sin A B C ∴+=， ∴21cos21cos22sin 22A B C --+=，即22(cos2cos2)4sin A B C -+=；22cos[()()]cos[()()]4sin A B A B A B A B C -++--+--=222cos()cos()4sin A B A B C ∴-+-=，又1cos()6A B -=，cos()cos A B C +=-， 2212cos 4sin 4(1cos )3C C C ∴+==⨯-，化简得212cos cos 60C C +-=，解得2cos 3C =或3cos 4C =- ∵4cos 2a b C b a =+≥，1cos 2C ≥ ∴2cos 3C =．故选：A ．【点睛】本题考查了三角恒等变换应用问题，也考查了正弦、余弦定理的应用问题，是中档题．12．已知m ，n ，p ∈R ，若三次函数()32f x x mx nx p =+++有三个零点a ，b ，c ，且满足()()3112f f -=<，()()022f f =>，则111a b c ++的取值范围是（） A ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】根据条件建立方程求出m ，n 的值，然后回代，求出p 的范围，结合零点式求出a ，b ，c 的等式关系，结合不等式的性质进行求解即可．【详解】∵()()3112f f -=<，()()022f f => ∴11842m n p m n p p m n p -+-+=+++⎧⎨=+++⎩，即10240n m n +=⎧⎨++=⎩，得321m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，代入得323()2f x x x x p =--+， ∵()312f -<，()02f > ∴3311222p p ⎧--++<⎪⎨⎪>⎩，解得23p <<，设三次函数的零点式为()()()()f x x a x b x c =---，比较系数得1ab bc ca ++=-，abc p =-，故1111ab bc ca a b c abc p ++++==∈11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭故选：D.【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用条件求出参数m ，n ，利用函数零点式以及不等式的关系进行转化是解决本题的关键．二、填空题13．已知1F 和2F 是椭圆2213x y +=的两个焦点，则12F F =______．【答案】【解析】求出椭圆的a ，b，再由c 2c ．【详解】椭圆2213x y +=的a =1b =，∴c ==即有12||F F =故答案为：．【点睛】本题考查椭圆的方程，主要考查椭圆的焦距的求法，考查运算能力，属于基础题． 14．将1名同学和2名老师随机地排成一排，则该名学生恰好在2名老师中间的概率为______．【答案】13【解析】用列举法计算总的排法和该名学生恰好在2名老师中间的排法，由概率公式可得．【详解】设学生用a 表示，老师用A 、B 表示1名同学和2名老师随机地排成一排，总的排法有：aAB ，aBA ，AaB ，ABa ，BaA ，BAa ，共6种其中该名学生恰好在2名老师中间的有AaB ，BaA 共2种所以该名学生恰好在2名老师中间的概率为2163P ==. 故答案为：13．【点睛】本题主要考查古典概型的计算，属于基础题．15．定义在R 上的偶函数()f x 满足()184f x +=，则()2020f =______．【解析】将等式中的x 替换为x -，两式相减得()()88f x f x +=-+，结合()f x 是偶函数，得到函数()f x 的周期8T =，所以()()()202044f f f ==-，令4x =-代入求解即可.【详解】∵()()()2184f x f x f x +=+-……①将①中的x 替换为x -，得()()()2184f x f x f x -+=+---……②①-②得()()880f x f x +--+=又∵()f x 是偶函数，故()()f x f x -= ∴()()()888f x f x f x +=-+=- ∴()f x 是周期函数，16T =∴()()()()202012616444f f f f =⨯+==- ①式中令4x =-，得()()()2148444f f f -+=+---∴()()()214444f f f =+-，整理得()()()()()2232424410440144f f f f f ⎧⎪-+=⎪-≥⎨⎪⎪≥⎩解得()374f +=∴()()20204f f ==37+ 故答案为：378+. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于中档题. 16．已知ABC V 中，π2A ∠=，3AB =，4AC =．如图，点D 为斜边BC 上一个动点，将ABD △沿AD 翻折，使得平面AB D '⊥平面ACD ．当BD =______时，B C '取到最小值．【答案】157【解析】设BAD ∠=α，作BE AD ⊥或AD 的延长线于E 点，作CF AD ⊥或AD 的延长线于F 点，求出BE 、CF 、EF ，表示出2512sin 2B C α'=-，利用三角函数性质求最值，B C '取最小值时，4πα=，在BAD V 中利用正弦定理可求BD 的值. 【详解】设BAD ∠=α，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，作BE AD ⊥或AD 的延长线于E 点，作CF AD ⊥或AD 的延长线于F 点，则ACF BAD α∠=∠=，3sin BE α=，3cos AE α=，4cos CF α=，4sin AF α=∴4sin 3cos EF AF AE αα=-=- ∴2222512sin 2B C BE CF EF α'=++=-∴当sin21α=，即4πα=时，min 13B C ' 在Rt ABC V 中，4sin 5ABC ∠=，3cos 5ABC ∠= 在BAD V 中，由正弦定理得sin sin BD ABBAD ADB=∠∠ 即()3sin sin BD ABC αα=∠+ ∴()3sin 3sin 15sin sin cos cos sin 7BD ABC ABC ABC ααααα===∠+∠+∠.故答案为：157. 【点睛】本题主要考查空间中的线段长计算，考查正弦定理得应用，考查学生的计算能力，属于难题.三、解答题17．如图，点0P 是锐角α的终边与单位圆的交点，0OP 逆时针旋转π3得1OP ，1OP 逆时针旋转π3得2OP ，…，1n OP -逆时针旋转π3得n OP ．（1）若0P 的坐标为34,55⎛⎫⎪⎝⎭，求点1P 的横坐标；（2）若点2020P 的横坐标为45，求2πsin 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1343-2）2425- 【解析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，求得cos α、sin α的值，再利用两角和的余弦公式即可求解；（2）根据得2020P 的横坐标4cos(2020)35πα+⨯=的值，化简得π4cos 35α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，利用同角三角函数关系和二倍角公式可求2πsin 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【详解】（1）因为点034,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据三角函数的定义可得4sin 5α=，3cos 5α=根据题意可知点1P 的横坐标为πππ3143343cos cos cos sin sin 333525ααα-⎛⎫+=-=⨯-=⎪⎝⎭ （2）根据题意可知点2020P 的横坐标为2020π4π4cos cos 335αα⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以π4cos 35α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 又因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ5π,336α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π3sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以2πππ24sin 22sin cos 33325ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角公式、诱导公式、两角和的余弦公式，属于中档题．18．某高中某班共有40个学生，将学生的身高分成4组：平频率/组距[)150,160，[)160,170，[)170,180，[)180,190进行统计，作成如图所示的频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a 的值和身高在[)160,170内的人数；（2）求这40个学生平均身高的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）（精确到0.01）．【答案】（1）0.0450；18人，（2）169.25cm ．【解析】（1）根据频率分布直方图和频率的定义可得a 的值，计算身高在[)160,170内的频率，由此能估计身高在[)160,170内的人数；（2）同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，直接计算可得平均身高的估计值. 【详解】（1）由图可得[)150,160，[)170,180，[)180,190三组的频率分别为0.1250，0.3000，0.1250 所以10.12500.30000.12500.045010a ---==所以身高在[)160,170内的人数为：400.0451018⨯⨯=（人）（2）这40个学生平均身高的估计值为()1155516518175121855169.2540⨯⨯+⨯+⨯+⨯= 所以这40个学生平均身高的估计值为169.25cm ．【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用以及平均数的计算问题，属于基础题.19．如图，四棱锥P ABCD -中，PAB △是边长为2的等边三角形．梯形ABCD 满足：1BC CD ==，AB ∥CD ，AB BC ⊥．（1）求证：PD AB ⊥；（2）若2PD =，求点D 到平面PBC 的距离．【答案】（1）见解析（2）3【解析】（1）证明AB ⊥平面POD ，由PD ⊂平面POD ，从而得到PD AB ⊥；（2）利用等体积法D PBC P DBC V V --=计算即可得结果. 【详解】（1）取AB 的中点O ，连接OP ，OD ，因为PAB △为边长为2的等边三角形，所以PO AB ⊥，因为1BO CD ==，AB ∥CD ，所以四边形OBCD 为平行四边形，又因为AB BC ⊥，所以⊥DO AB ．因为DO PO O =I ，所以AB ⊥平面POD ，所以PD AB ⊥；（2）设点D 到平面PBC 的距离为h ，因为1BC DO ==，3PO =2PD =，所以DO PO ⊥，又因为⊥DO AB ，所以DO ⊥平面PAB ．由D PBC P DBC V V --=可得，11113232h BC PB PO BC DC ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，所以32h =．【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理和点到平面的距离计算，利用等体积法是解决点到平面的距离的关键.20．如图，已知抛物线C ：24x y =，过直线1y =上一点M 作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且点M 为AB 中点、作直线MN AB ⊥交y 轴于点N ．（1）求点N 的坐标；（2）求NAB △面积的最大值．【答案】（1）()0,3N （2）166【解析】（1）设点()11,A x y ，()22,B x y ，中点(),1M t ，直线AB 的斜率为k ，利用点差法得2t k =，写出直线MN 的方程可得N 的坐标；（2）设出直线AB 的方程，与抛物线方程联立，利用弦长公式得2121AB k x x =+-，利用点到直线的距离公式得点N 到直线AB 的距离，进而表示出NAB ∆的面积，利用基本不等式确定三角形面积的最大值．【详解】设点()11,A x y ，()22,B x y ，中点(),1M t ，直线AB 的斜率为k ，（k 斜率显然存在且不为0）．由21122244x y x y ⎧=⎨=⎩可得()()()1212124x x x x y y -+=-，所以1212124y y x x x x -+=⨯-，故24t k =，（1）直线MN ：()11y x t k -=--，即()112y x k k-=--，解得点()0,3N ．（2）因为直线AB 经过点(),1M t ，直线AB 的斜率为k ，所以可得直线AB 的方程是：221y kx k =-+，由22421x yy kx k ⎧=⎨=-+⎩联立可得224840x kx k -+-=，所以1221224,84,16160,x x k x x k k +=⎧⎪=-⎨⎪∆=-+>⎩，所以12AB x =-= 又因为点N 到直线AB的距离为d =，所以NAB △的面积为：2112S AB d ==+=≤=当213k =时，NAB △ 【点睛】本题考查抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系的应用，注意韦达定理、弦长公式、不等式等知识的灵活运用，考查运用解析几何的方法解决数学问题的能力，属于中档题． 21．已知函数()()1ln f x x x =+．（1）求()y f x =在1x =处的切线方程：（2）已知实数2k >时，求证：函数()y f x =的图象与直线l ：()1y k x =-有3个交点．【答案】（1）22y x =-（2）见解析【解析】（1）求出原函数的导函数，可得()12f '=，再求出切点为（1，0），利用直线方程的点斜式可得函数的图象在1x =处的切线方程；（2）函数()y f x =的图象与直线l 交点的个数等价于函数()()1ln 1k x h x x x -=-+的零点个数，通过导数判断函数的单调性，求函数的最值同0进行比较，得到结果. 【详解】（1）因为()()1ln f x x x =+，所以()1ln x f x x x+'=+，所以()12f '=，又因为()10f =，所以()f x 在1x =处的切线方程22y x =-；（2）证明：当2k >时，函数()y f x =的图象与直线l 交点的个数等价于函数()()1ln 1k x h x x x -=-+的零点个数，因为()()()()222121211x kx k h x x x x x +-'=-=++，()0,x ∈+∞，设()()2221g x x k x =+-+，因为二次函数()g x 在x ∈R 时，()010g =>，()1420g k =-<，所以存在()10,1x ∈，()21,x ∈+∞，使得()10g x =，()20g x =，所以()h x 在()10,x 单调递增，()12,x x 单调递减，()2,x +∞单调递增．因为()10h =，所以()()110h x h >=，()()210h x h <=，因此()h x 在()12,x x 存在一个零点1x =；又因为当k x e -=，()()()12011k k k kkk e k e h e k e e -------=--=<++，所以()h x 在()1,ke x -存在一个零点；当k x e =时，()()12011k k kk k e h e k k e e -⎛⎫=-=> ⎪++⎝⎭，所以()h x 在()2,kx e存在一个零点；所以，函数()y f x =的图象与直线l ：()1y k x =-有3个交点．【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运用导数研究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程的数学思想方法和分析问题、解决问题的能力. 22．在极坐标系中，已知曲线C ：2221sin ρθ=+，过点()1,0F -引倾斜角为α的直线l ，交曲线C 于P ，Q 两点．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 分别交直线2x =±于A ，B 两点，且PQ 、AF BF -、AB 成等比数列，求cos α的值．【答案】（1）2212x y +=；（2）cos 2α=2【解析】（1）曲线C 的极坐标方程转化为222sin 2ρρθ+=，由此能求出曲线C 的直角坐标方程；（2）写出直线l 的参数方程，将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得()222cos 2cos 10tt αα--⋅-=，由此韦达定理、等比数列的性质，结合已知条件能求出cos α的值．【详解】（1）∵曲线C ：2221sin ρθ=+∴222sin 2ρρθ+=∴曲线C 的直角坐标方程为2222x y y ++=，化简得2212x y +=（2）直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，整理得：()222cos 2cos 10tt αα--⋅-=设P ，Q 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则1222cos 2cos t t αα+=-，12212cos t t α-=-∴1222cos PQ t t α=-==- 设直线l 交直线2x =-于A 点，直线l 交直线2x =于B 点，∴1cos AF α=，3cos BF α=，4cos AB AF BF α=+=（2πα≠） ∵PQ 、AF BF -、AB 成等比数列 ∴()2AF BFPQ AB -=⋅代入数据得：22134cos cos 2cos cos αααα⎛⎫-=⋅ ⎪ ⎪-⎝⎭解得：cos 2α=或cos 2α=.【点睛】本题考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查等比数列的性质，考查题目转换能力和运算求解能力，是中档题. 23．已知实数a ，b 满足：22a b +=．（1）求证：2821ca b b c +++≥+；（2）若对任意的a ，*b ∈R ，1211c c b a++-≤+恒成立，求c 的取值范围．【答案】（1）见解析（2）22c -≤≤【解析】（1）利用基本不等式和绝对值的三角不等式证明；（2）利用基本不等式求出12b a+的最小值，得出114c c ++-≤，再讨论c 的范围解出c . 【详解】（1）证明：因为2224a b b a b +++≥++=，若0c ≤，不等式显然成立;．若0c >，则288411c c c c=≤=++，所以2821ca b b c +++≥+，当()()20a b b +⨯+≥，且1c =取到等号；综上2821ca b b c +++≥+．（2）因为122222422a b a b a b b a b a b a+++=+=++≥，第 21 页共 21 页所以114c c ++-≤，当1c ≤-时，()114c c -++-≤，解得2c ≥-，∴21c -≤≤-；当11c -<<时，1124c c ++-=≤，∴11c -<<；当1c ≥时，114c c ++-≤，解得2≤c ，∴12c ≤≤.综上，解得22c -≤≤.【点睛】本题考查了不等式的证明，绝对值不等式的解法，绝对值的三角不等式和基本不等式的应用，属于中档题.。

THUSSAT2020年9月诊断性测试高三文科数学试卷-含答案

A. 32
32
B.
3
C. 16 3
.D. 16 3 3
第2页共4页
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为
( ) 14．设向量 a,b 满足 a = 1, b = 2 , a a + b = 0 ,则 a 与 b 的夹角是
5．已知公比为 q ,等比数列an 的首项 a1 0 ,则“ a5 a3 ”是“ q 1”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．要从已编号（1~85）的 85 只灯泡中随机抽取 5 只来试验灯泡的使用寿命，用每部分选取的号码
间隔一样的系统抽样方法确定所选取的 5 只灯泡的编号可能是
A.（0， 2 ） 2
..B.（ 2 ,1） 2
.C. （0，1 ） 2
.D.（1 ,1） 2
11．已知函数 f ( x) = x2 + ax + b（a,bR）在（0, 2）上有两个不同的零点，则 3a + b 的取值范围是
A.（− 4,0）
.B.（−12,0）
C.（−8,0）
. ..D.（− 4,4）
18．（12 分）已知数列 an 为等差数列，且 a2 = 3, a5 = 9 ,数列 bn 满足 Sn + bn = 1,其中 Sn 为数列
bn 的前 n 项和 (n N ) ．
（1）求数列 an , bn 的通项公式；
（2）设 cn = an + bn ,设数列 cn 的前 n 项和为 Tn ,求证：Tn n2 +1．
π

2025届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试语文高三第一学期期末学业水平测试试题含解析

2025届清华大学中学生标准学术能力诊断性测试语文高三第一学期期末学业水平测试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．1．阅读下面的文字，完成下面小题。

维权孙春平吴老太到三亚有好几年了。

每年11月初南下，待来年春暖花开的时候再回东北去，被人称作候鸟一族。

吴老太患有肺气肿，以前每到冬天，就觉得气短，听人说海南冬天暖和，还没有雾霾，便坐火车跑来一试。

这一试就上瘾了，那口气一下就吸到了肺窝最深处，甜甜的、润润的，连吐出去都觉不舍。

当然，当候鸟也需有本钱。

要住房，还要坐飞机，是一笔不小的费用。

人家腰包厚实的，在海南买了房，飞到落脚处便有了巢，好比去年来过的老燕子。

可吴老太没这种方便，穷候鸟必须精打细算。

吴老太退休前在一个国营煤矿管矿灯管三十多年，后来据说是资源危困，退休金两千元不到。

老伴过世得早，活着时是矿工，矿难后只见了骨灰盒，还有一笔抚恤金。

那笔钱后来给儿子买了一室一厅的房子，不然，只怕儿子连媳妇都娶不上。

穷有穷的活法。

吴老太买不起房，那就租，租也不敢去正规小区，太贵。

她是去城中村。

当地村民等着拆迁，早把房子盖得密密匝匝。

但便宜啊，一月几百元钱就说下来了。

飞机票贵，咱坐火车，睡不起卧铺咱坐硬座行不？刚来三亚时，吴老太还曾去住宅小区翻过垃圾箱，她想把租房的钱翻出来。

但那活计只干了三天，房东不干了，说院子本来就小，不可再堆放纸壳易拉罐。

吴老太想想也是，歇了手。

中学生标准学术能力2024届高三语文上学期9月诊断性试卷及答案详析

中学生标准学术能力2024届高三语文上学期9月诊断性试卷2023-09一、现代文阅读（35分）（一）论述类文本阅读（本题共5小题，17分）阅读下面的文字，完成1～5题。

材料一：如果人们追求更高的专注力和读书效果，就会选择到图书馆去阅读，因为图书馆是个人行为受到限制的公共场所，可以避免个人在家阅读时注意力分散或者被别的事务所影响。

另外，在图书馆中，素不相识的读者聚在一起阅读会形成独特而浓烈的阅读氛围，这种氛围有助于阅读者抑制自己的活跃行为，聚精会神且长时间地阅读。

情境的重要影响很难从几个具体方面的列举中被穷尽，尽管人们并不能清晰地了解究竟是什么具体的因素影响了阅读——认知的效果，但当他们面临紧迫的阅读学习任务，比如重要的大型考试时，他们会选择在书房中或者图书馆中啃书本，并努力抵抗屏阅读①对他们注意力加以分散的诱惑。

当人们尝试着把纸质书换成电子书时，就不难发现，纸质阅读过程中身体上的伴随动作会因为媒介的物质技术形态的原因而无法实施，像弹拨书页、画线条、做批注或者将书籍卷起来握在手上之类的行为都无法在电子阅读器上实施，因此阅读电子书的思维状态与阅读纸质书的状态并不相同。

当然，几乎也不会有人郑重其事地、带有仪式感地阅读电子书，至于网页浏览、平板电脑的使用等屏阅读行为，更不会有严肃的仪式感，相反这些阅读活动通常与轻松、娱乐、休闲以及见缝插针地打发时间的心态有关。

而且它们也有属于它们的使用场景，也会形成相应的身体图式。

例如手机的阅读可以随时随地进行，无论是适合阅读的场景，如交通工具上或者公园座椅上；还是不适合阅读的场景，如车水马龙的大马路上或者亲朋好友聚餐时的餐桌上。

手机用户都会显现使用手机的身体姿势，并形成相应的身体图式。

手机读者会不定期地掏出手机阅读，即便在没有手机提示信号的情况下，他们也会习惯性地不时掏出手机进行浏览或阅读。

与这种分散的注意力的习惯相应的，是在阅读纸质书籍时很难集中精力，经常掏出手机阅读或把玩。

2020届北京市清华大学中学生标准学术能力诊断性测试测试数学(文)(一卷)试题(解析版)

2020届北京市清华大学中学生标准学术能力诊断性测试测试数学（文）（一卷）试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合10x A x x ⎧⎫-=≥⎨⎬⎩⎭，(){}lg 31B x y x ==-，则()UA B =ð（） A ．(]0,1 B ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,13⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】求出集合A 、B ，利用补集的定义求出集合U B ð，然后利用交集的定义可求出集合()U A B ∩ð. 【详解】(]11000,1x x A x x x x ⎧⎫⎧⎫--=≥=≤=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，(){}{}1lg 31310,3B x y x x x ⎛⎫==-=->=+∞ ⎪⎝⎭，则1,3U B ⎛⎤=-∞ ⎥⎝⎦ð，因此，()10,3U A B ⎛⎤= ⎥⎝⎦ð.故选：B. 【点睛】本题考查交集和补集的计算，同时也考查分式不等式与对数函数定义域的计算，考查运算求解能力，属于基础题. 2．已知a R ∈，复数23a iz i -=+（i 为虚数单位），若z 为纯虚数，则a =（） A ．23B ．23- C ．6 D ．6-【答案】A【解析】利用复数的除法法则将复数z 表示为一般形式，由题意得出该复数的实部为零，虚部不为零，可求出实数a 的值. 【详解】()()()()()()233262326333101010a i i a a i a i a a z i i i i ----+--+====-++-，由于复数z 为纯虚数，则320106010a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩，解得23a =.故选：A. 【点睛】本题考查复数的除法运算，同时考查了复数相关的概念，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，考查运算求解能力，属于基础题.3．某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取25名职工进行问卷调查，若采用分层抽样方法，则40~50岁年龄段应抽取的人数是（）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【解析】先计算出饼图中40~50岁的职工所占的比例，再乘以25即可得出结果. 【详解】由题中饼图可知，40~50岁年龄段的职工所占的比例为10.440.20.36--=，因此，40~50岁年龄段应抽取的人数是250.369⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查利用分层抽样计算所抽取的人数，根据分层抽样的特点列方程是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.4．下列函数中，在区间()0,∞+上单调递增的是（） A ．3x y -= B ．0.5log y x =C ．21y x=D ．12x y x +=+ 【答案】D【解析】分析各选项中函数在区间()0,∞+上的单调性，可得出合乎题意的选项.【详解】对于A 选项，函数133xx y -⎛⎫== ⎪⎝⎭在区间()0,∞+上为减函数；对于B 选项，函数0.5log y x =在区间()0,∞+上为减函数；对于C 选项，函数21y x =在区间()0,∞+上是减函数；对于D 选项，函数()21111222x x y x x x +-+===-+++在区间()0,∞+上是增函数. 故选：D. 【点睛】本题考查基本初等函数单调性的判断，熟悉一些基本初等函数的单调性是判断的关键，考查推理能力，属于基础题.5．已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过点F 与抛物线交于A 、B 两点，若3AF BF =，则AB =（）A ．4B ．92C ．132D ．163【答案】D【解析】设直线l 的方程为1x my =+，由3AF BF =，得出3AF FB =uu u r uu r，可得出123y y =-，并将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合关系式123y y =-求得213m =，再利用抛物线的定义可求出AB . 【详解】如下图所示：抛物线24y x =的焦点为()1,0F ，设直线l 的方程为1x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与抛物线的方程联立241y xx my ⎧=⎨=+⎩，得2440y my --=.由韦达定理得124y y m +=，124y y =-，3AF BF =，3AF FB ∴=，即()()11221,31,x y x y --=-，123y y ∴-=，即123y y =-.则12224y y y m +=-=，得22y m =-，由221224312y y y m -==-=-，所以，213m =. 由抛物线的定义得()()()21212124162112444433AB x x my my m y y m =++=++++=++=+=+=. 故选：D. 【点睛】本题考查抛物线焦点弦的性质，将直线方程与抛物线联立，利用韦达定理法结合抛物线的定义求解是解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题. 6．已知1tan 43πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则()()sin 22sin cos 2παπαπα⎛⎫+--+= ⎪⎝⎭（）A ．75B ．15C ．15-D ．3125【答案】A【解析】利用两角差的正切公式求出tan α的值，然后利用诱导公式、二倍角公式结合弦化切的思想可求出所求代数式的值. 【详解】tan tantan 114tan 41tan 31tan tan 4παπααπαα--⎛⎫-===- ⎪+⎝⎭+，解得1tan 2α=. 因此，()()sin 22sin cos cos 22sin cos 2παπαπαααα⎛⎫+--+=+ ⎪⎝⎭222222cos sin 2sin cos cos sin 2sin cos cos sin αααααααααα-+=-+=+222222222222211cos sin 2sin cos 121tan 2tan 722cos cos cos cos sin 1tan 511cos cos 2αααααααααααααα⎛⎫-+⨯-+ ⎪-+⎝⎭====+⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查两角差的正切公式、诱导公式、二倍角公式求值，解题的关键就是利用弦化切思想进行化简，同时也要注意弦化切所适用的基本类型，考查运算求解能力，属于中等题.7．设变量x 、y 满足约束条件20240240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，且z kx y =+的最大值为12，则实数k 的值为（） A ．2- B ．3-C ．2D ．3【答案】C【解析】作出不等式组所表示的可行域，可知当直线z kx y =+经过可行域的顶点()4,4和点()0,12时，直线z kx y =+在y 轴上的截距最大，且为12，再将点()4,4代入直线z kx y =+的方程可求出实数k 的值. 【详解】作出不等式组20240240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩所表示的可行域如下图所示：联立240240x y x y -+=⎧⎨--=⎩，得44x y =⎧⎨=⎩，得点()4,4A .作直线z kx y =+，由图形可知，当直线z kx y =+过点()0,12P 和点()4,4A 时，直线z kx y =+在y 轴上的截距最大，此时z 取到最大值，即max 4412z k =+=，解得2k =.故选：C. 【点睛】本题考查含参的线性规划问题，解题的关键就是利用数形结合法找出线性目标函数取得最值时的位置，考查数形结合思想的应用，属于中等题.8．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若1a =，c =，sin sin 3b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin C =（）AB．7C．12D【答案】B【解析】利用两角差的正弦公式和边角互化思想可求得tan B =，可得出6B π=，然后利用余弦定理求出b 的值，最后利用正弦定理可求出sin C 的值. 【详解】1sin sin cos sin 322b A a B a B a B π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，即1sin sin cos sin sin 22A B A B A B =-，即3sin sin cos A B A A =， sin 0A >，3sin B B ∴=，得tan 3B =，0B π<<，6B π∴=.由余弦定理得b === 由正弦定理sin sin c bC B=，因此，1sin sin c B C b ===. 故选：B. 【点睛】本题考查三角形中角的正弦值的计算，考查两角差的正弦公式、边角互化思想、余弦定理与正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中等题.9．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥外接球的表面积为（）A ．27πB ．28πC ．29πD ．30π【答案】C【解析】作出三棱锥的实物图P ACD -，然后补成直四棱锥P ABCD -，且底面为矩形，可得知三棱锥P ACD -的外接球和直四棱锥P ABCD -的外接球为同一个球，然后计算出矩形ABCD 的外接圆直径AC ，利用公式2R =球的直径2R ，再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积. 【详解】三棱锥P ACD -的实物图如下图所示：将其补成直四棱锥P ABCD -，PB ⊥底面ABCD ，可知四边形ABCD 为矩形，且3AB =，4BC =.矩形ABCD 的外接圆直径5AC ，且2PB =.所以，三棱锥P ACD -外接球的直径为2R ==因此，该三棱锥的外接球的表面积为()224229R R πππ=⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积，解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图，并分析三棱锥的结构，选择合适的模型进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.10．函数||13cos 6x y x e =-的大致图象是（） A ． B ． C ． D ．【答案】A【解析】设()13cos 6xf x x e =-，利用定义分析函数()y f x =的奇偶性，然后利用导数判断出函数()y f x =在区间()0,∞+上的单调性，即可得出函数()y f x =的图象. 【详解】设()13cos 6xf x x e =-，该函数的定义域为R ， ()()()113cos 3cos 66x xf x x e x e f x --=--=-=，则函数()y f x =为偶函数.当0x >时，()13cos 6xf x x e =-，当0πx <<时，()13sin 06xf x x e '=--<；当x π>时，()113sin 3066x f x x e e π'=--<-<.所以，函数()y f x =在区间()0,∞+上为减函数. 因此，选项A 中的图象为函数13cos 6xy x e =-的图象. 故选：A. 【点睛】本题考查函数图象的识别，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点与函数值符号来进行判断，考查推理能力，属于中等题.11．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，直线:l y =与C 交于A 、B 两点，AF 、BF 的中点分别为M 、N ，若以线段MN 为直径的圆经过原点，则双曲线的离心率为（）A ．3B ．1C 2D 1【答案】D【解析】作出图形，由题意得出2MON π∠=，再由中位线的性质可得出2AFB π∠=，设双曲线C 的左焦点为F '，可得出2F AF π'∠=，6AF F π'∠=，可得出AF '=，AF c =，再利用双曲线的定义即可求出其离心率.【详解】如下图所示，设双曲线C 的焦距为()20c c >，由于以线段MN 为直径的圆经过原点，则2MON π∠=，AF 、BF 的中点分别为M 、N ，且O 为AB 的中点，//OM BF ∴，//ON AF ，2AFB π∴∠=，O 为FF '的中点，所以，四边形AFBF '为矩形，2F AF π'∴∠=，由于直线l 3AOF π∠=，所以，6AF F π'∠=，2cos6AF c π'∴==，2sin6AF c c π==，由双曲线的定义得2AF AF a '-=2c a -=，因此，双曲线C 的离心率为1c e a ===. 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，考查了双曲线的定义，在涉及焦点三角形问题时，应充分分析三角形的形状，结合正弦、余弦定理以及锐角三角函数来计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12．在ABC ∆中，8AB =，6AC =，60A ∠=，M 为ABC ∆的外心，若AM AB AC λμ=+，λ、R μ∈，则43λμ+=（）A ．34B ．53C ．73D ．83【答案】C【解析】作出图形，先推导出212AM AB AB ⋅=，同理得出212AM AC AC ⋅=，由此得出关于实数λ、μ的方程组，解出这两个未知数的值，即可求出43λμ+的值. 【详解】如下图所示，取线段AB 的中点E ，连接ME ，则AM AE EM =+且EM AB ⊥，()212AM AB AE EM AB AE AB EM AB AB ∴⋅=+⋅=⋅+⋅=，同理可得212AM AC AC ⋅=，86cos6024AB AC ⋅=⨯⨯=，由221212AM AB AB AM AC AC ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，可得()()3218AB AC AB AB AC AC λμλμ⎧+⋅=⎪⎨+⋅=⎪⎩，即642432243618λμλμ+=⎧⎨+=⎩，解得512λ=，29m =，因此，52743431293λμ+=⨯+⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查利用三角形外心的向量数量积的性质求参数的值，解题的关键就是利用三角形外心的向量数量积的性质列方程组求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.二、填空题13．已知{}n a 为等比数列，若33a =，512a =，则7a =__________. 【答案】48【解析】利用等比中项的性质得出2537a a a =，由此可得出7a 的值.【详解】由等比中项的性质可得2537a a a =，2257312483a a a ∴===. 故答案为：48. 【点睛】本题考查等比数列中项的计算，利用等比中项的性质进行计算是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.14．若函数()()2cos 2cos 202f x x x πθθ⎛⎫=++<< ⎪⎝⎭的图象过点()0,1M ，则()f x 的值域为__________.【答案】33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】将点()0,1的坐标代入函数()y f x =的解析式，求出4πθ=，利用诱导公式和二倍角余弦公式得出()22sin 2sin 1f x x x =--+，换元[]sin 1,1t x =∈-，于是可将函数()y f x =的值域转化为二次函数213222y t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭在[]1,1t ∈-上的值域，利用二次函数的基本性质即可求解. 【详解】由题意可得()02cos2cos02cos211f θθ=+=+=，得cos20θ=，02πθ<<，02θπ∴<<，22πθ∴=，则4πθ=，()22cos cos 2cos 22sin 2sin 2sin 12f x x x x x x x π⎛⎫∴=++=-=--+ ⎪⎝⎭2132sin 22x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，令[]sin 1,1t x =∈-，则213222y t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.当12t =-时，该函数取最大值，即max 32y =，当1t =时，该函数取最小值，即min 3y =-.因此，函数()y f x =的值域为33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查正弦型二次函数值域的求解，利用诱导公式、二倍角余弦公式化为有关正弦的二次函数的值域是解题的关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.15．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：()[]1,,,0,0,10,1q qx p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩当都是正整数是既约真分数当或上的无理数，若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x 都有()()20f x f x -+=，当[]0,1x ∈时，()()f x R x =，则()18lg 305f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________. 【答案】15-【解析】先利用题中条件推导出函数()y f x =是以2为周期的周期函数，然后利用题中定义结合周期性和奇偶性可分别求出185f ⎛⎫⎪⎝⎭和()lg30f 的值，相加即可. 【详解】由于函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且()()20f x f x +-=，()()()22f x f x f x ∴=--=-，所以，函数()y f x =是以2为周期的周期函数，则181822214=555555f f f f R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=--⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()()()()()lg30lg3lg10lg31lg311lg31lg30f f f f f R =+=+=-=--=--=，因此，()181lg 3055f f ⎛⎫+=-⎪⎝⎭. 故答案为：15-. 【点睛】本题考查新定义函数值的计算，推导出函数的周期是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.16．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，过点1D 、E 、F 的截面将正方体分割成两部分，则较小部分几何体的体积为__________.【答案】32572a 【解析】先将截面1D EF 在正方体各个面上的交线画出来，并将位于截面下方的几何体的体积计算出来，即可得出答案. 【详解】如下图所示，延长EF 分别交DA 、DC 的延长线于M 、N ，连接DM 交1AA 于点G ，连接1D N 交1CC 于点H ，再连接GE 、HF ，则该截面截正方形的截面为五边形1D GEFH .//BC AD Q ，则//AM BF ，则EMA EFB ∠=∠，EAM EBF ∠=∠，E 为AB 的中点，则AE BE =，EAM EBF ∴∆≅∆，2aAM BF ∴==，同理2a CN =， 11//AM A D ，11GAMGA D ∴∆∆，11112AG AM A G A D ∴==，1133a AG AA ∴==，在Rt MDN ∆中，32DM DN a ==，则21928DMN S DM DN a ∆=⋅=， 123111933388D DMNDMN V S DD a a a -∆=⋅=⨯⨯=，2211112228AMNS AM AE a a ∆⎛⎫=⋅=⨯= ⎪⎝⎭，2311111338372G AME AME V S AG a a a -∆=⋅=⨯⨯=，所以，正方体位于截面1D GEFH 下方的几何体体积为133333125122872722D DMN G AME V V a a a a ---=-⨯=<.因此，较小部分几何体的体积为32572a . 故答案为：32572a . 【点睛】本题考查截面截几何体所得体积的计算，作出截面图形是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题17．某学校为了解学生假期参与志愿服务活动的情况，随机调查了30名男生，30名女生，得到他们一周参与志愿服务活动时间的统计数据如右表（单位：人）：（1）能否有95%的把握认为该校学生一周参与志愿服务活动时间是否超过1小时与性别有关？（2）以这60名学生参与志愿服务活动时间超过1小时的频率作为该事件发生的概率，现从该校学生中随机抽查10名学生，试估计这10名学生中一周参与志愿服务活动时间超过1小时的人数. 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）有，理由见解析；（2）6.【解析】（1）列出22⨯列联表，根据表格中的数据计算出2K 的观测值，并将2K 的值与3.841作大小比较，即可判断出题中结论的正误；（2）根据表格中的数据得出参与志愿服务活动时间超过1小时的频率，然后乘以10即可得出结果. 【详解】（1）22⨯列联表如下表所示：()222602216814403.8413624309K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯，因此，有95%的把握认为该校学生一周参与志愿服务活动时间是否超过1小时与性别有关；（2）由表格中的数据可知，该校参与志愿服务活动时间超过1小时的学生频率为360.660=，因此，抽取的10名学生中一周参与志愿服务活动时间超过1小时的人数为100.66⨯=. 【点睛】本题考查独立性检验思想的应用，同时也考查了分层抽样中频数的计算，考查运算求解能力，属于基础题.18．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，且35a =，4237S a -=，数列{}n b 为等比数列，且12b a =，49b S =. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若n n n a c b =，设数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：113n T ≤<. 【答案】（1）21n a n =-，3nn b =；（2）证明见解析.【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，列出关于1a 和d 的方程组，求出这两个量，利用等差数列的通项公式求出n a ，根据题意求出1b 和q ，利用等比数列的通项公式可求出n b ；（2）求出n c ，然后利用错位相减法求出n T ，再利用数列{}n T 的单调性即可证明出113n T ≤<. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由题意可得()()3142112534637a a d S a a d a d =+=⎧⎨-=+-+=⎩，即112537a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，()()1112121n a a n d n n ∴=+-=+-=-.123b a ==，34918998132b S a d q ⨯==+==，解得3q =，因此，111333n n nn b b q --==⨯=.综上所述，21n a n =-，3nn b =；（2）213n n n n a n c b -==，23135213333n nn T -∴=++++，① 231113232133333n nn n n T +--=++++，② ①-②得，21231121121222211213313333333313n n n n n n n T -++⎛⎫- ⎪--⎝⎭=++++-=+--111111212221333333n n n n n -++-+⎛⎫=+--=- ⎪⎝⎭，1113n n n T +∴=-<，又110n n n T T c ++-=>，则数列{}n T 是单调递增数列，则113n T T ≥=. 因此，113n T ≤<. 【点睛】本题考查等差数列和等比数列通项公式的计算，同时也考查了错位相减法求和，考查运算求解能力，属于中等题.19．如图，已知四边形ABCD 为梯形，//AB CD ，90CBA ∠=，四边形ACFE 为矩形，且平面ACFE ⊥平面ABCD ，又AB BC CF a ===，2CD a =.（1）求证：DE BF ⊥；（2）求点E 到平面BDF 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）a .【解析】（1）取BF 的中点M ，连接DM 、EM ，利用三线合一得出BF DM ⊥，BF EM ⊥，利用直线与平面垂直的判定定理可证明出BF ⊥平面DEM ，即可得出DE BF ⊥；（2）过点E 在平面DEM 内作EN DM ⊥，垂足为点N ，证明出EN ⊥平面BDF ，并计算出DEM ∆三边边长，然后利用等面积法求出EN ，即为点E 到平面BDF 的距离. 【详解】（1）如下图所示，取BF 的中点M ，连接DM 、EM ，四边形ACFE 为矩形，AC CF ∴⊥，平面ACFE ⊥平面ABCD ，平面ACFE ⋂平面ABCD AC =，CF ⊂平面ACFE ，CF ∴⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，CF CD ∴⊥，DF ∴==，四边形ABCD 为梯形，//AB CD ，90CBA ∠=，90BCD ∴∠=，BD ∴==，M 为BF 的中点，DM BF ∴⊥，同理可得BE BF ==，EM BF ∴⊥，又DMEM M =，BF ∴⊥平面DEM .DE ⊂平面DEM ，DE BF ∴⊥；（2）如下图所示，过点E 在平面DEM 内作EN DM ⊥，垂足为点N ，由（1）知，BF ⊥平面DEM ，EN ⊂平面DEM ，EN BF ∴⊥.EN DM ⊥，DM BF M =，EN ∴⊥平面BDF .由（1）知，CF ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，CF BC ∴⊥，BF ∴=，DM a ==，EM ==， CF ⊥平面ABCD ，//AE CF ，AE ∴⊥平面ABCD ，AD ⊂Q 平面ABCD ，AE AD ∴⊥，由于四边形ABCD 为直角梯形，且90ABC ∠=，AD ∴==，DE ∴=，222DE EM DM ∴+=，则90DEM ∠=.由等面积法可得2DE EMEN a DM⋅===. 因此，点E 到平面BDF 的距离为a . 【点睛】本题考查异面直线垂直的证明，同时也考查了点到平面距离的计算，一般作出垂线或者利用等体积法进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．已知点52,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>上，1A 、2A 分别为E 的左、右顶点，直线1A M 与2A M 的斜率之积为59-，F 为椭圆的右焦点，直线9:2l x =.（1）求椭圆E 的方程；（2）直线m 过点F 且与椭圆E 交于B 、C 两点，直线2BA 、2CA 分别与直线l 交于P 、Q 两点.试问：以PQ 为直径的圆是否过定点？如果是，求出定点坐标，否则，请说明理由.【答案】（1）22195x y +=；（2）过定点()2,0和()7,0，理由见解析. 【解析】（1）利用直线1A M 与2A M 的斜率之积为59-，得出3a =，再由点M 在椭圆上，可求出b 的值，即可得出椭圆E 的标准方程；（2）由对称性知，以PQ 为直径的圆过x 轴上的定点(),0K k ，设直线BC 的方程为2x ty =+，点()11,B x y 、()22,C x y ，设点9,2P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭、9,2Q q ⎛⎫⎪⎝⎭，求出p 、q ，将直线BC 的方程与椭圆E 的方程联立，列出韦达定理，求出pq 的值，由0PK QK ⋅=，结合韦达定理求出k 的值，即可得出定点K 的坐标.【详解】（1）点M 在椭圆E 上，则2225431a b⎛⎫⎪⎝⎭+=，①，易知点()1,0A a -、()2,0A a ，直线1A M 的斜率为1532k a =+，直线2A M 的斜率为1532k a =-，由题意可得122255949k k a ==--，解得3a =，代入①式得b = 因此，椭圆E 的方程为22195x y +=；（2）易知，直线m 不能与x 轴重合.由对称性知，以PQ 为直径的圆过x 轴上的定点(),0K k ，设直线BC 的方程为2x ty =+，点()11,B x y 、()22,C x y ，设点9,2P p ⎛⎫ ⎪⎝⎭、9,2Q q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，如下图所示：易知点()23,0A ，22//A B A P ，即()1131,//,2ty y p ⎛⎫-⎪⎝⎭，()11312y p ty ∴=-，得()11321y p ty =-，同理可得()22321y q ty =-. 将直线m 的方程与椭圆E 的方程联立222195x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得，()225920250t y ty ++-=，()()2224001005990010t t t ∆=++=+>. 由韦达定理得1222059t y y t +=-+，1222559y y t =-+， ()()()21212222121212222599925594114412520415959y y y y t pq ty ty t y y t y y t t t t ⎛⎫⨯- ⎪+⎝⎭∴====---⎡⎤⎛⎫-++⎣⎦⨯-++ ⎪++⎝⎭，9,2PK k p ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，9,2QK k q ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，2299250224PK QK k pq k ⎛⎫⎛⎫∴⋅=-+=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2k =或7.因此，以PQ 为直径的圆过定点()2,0和()7,0.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了圆过定点的问题，一般将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理设而不求法求解，考查计算能力，属于中等题. 21．.已知函数()ln f x x ax =-，a R ∈.（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()1,1M f 处的切线方程；（2）当1a >时，求证：函数()()g x f x a =+恰有两个零点. 【答案】（1）210x y --=；（2）证明见解析.【解析】（1）将1a =-代入函数()y f x =的解析式得()ln f x x x =+，求出()1f 和()1f '的值，然后利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）可得出()10g =，利用导数分析函数()y g x =在区间()0,∞+上的单调性，利用零点存在定理证明出函数()y g x =在区间10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个零点，从而可证明出结论成立. 【详解】（1）当1a =-时，()ln f x x x =+，则()11f =，()11f x x'=+，()12f '∴=. 因此，曲线()y f x =在点()()1,1M f 处的切线方程为()121y x -=-，即210x y --=；（2）()()ln g x f x a x ax a =+=-+Q ，则()10g =.1a >Q ，则()11ax g x a -'=-=，令()0g x '=，得()10,1x =∈，列表如下：所以，函数()y g x =在1x a=处取得极大值，亦即最大值，即()max 11ln g x g a a a ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭.令()1ln h a a a =--，1a >，则()1110a h a a a-'=-=>，所以，函数()y h a =在()1,a ∈+∞上单调递增，则()()10h a h >=，()ln 0a a a a g e e ae a ae ----=-+=-<，且11a a e e a-=<，所以，函数()y g x =在区间1,ae a -⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点， ()11,,a ⎛⎫+∞⊆+∞⎪⎝⎭，所以，函数()y g x =在区间()1,+∞上单调递减，当1x >时，则()()10g x g <=，所以，函数()y g x =在区间()1,+∞上没有零点. 综上所述，函数()()g x f x a =+恰有两个零点. 【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用导数研究函数的零点个数问题，一般结合导数研究函数的单调性，结合极值与最值的符号来进行分析，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.22．以平面直角坐标系中的坐标原点为极点，x 轴的正半抽为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是6sin 4cos ρθθ=+，直线l 的参数方程是4cos 3sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于M 、N两点，且MN =l 的倾斜角α. 【答案】（1）()()222313x y -+-=；（2）6π或56π. 【解析】（1）在曲线C 的极坐标的两边同时乘以ρ，再由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩，可将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得到关于t 的一元二次方程，并列出韦达定理，借助弦长公式即可计算出α的值. 【详解】（1）在曲线C 的极坐标的两边同时乘以ρ，得26sin 4cos ρρθρθ=+，所以，曲线C 的直角坐标方程为2246x y x y +=+，即()()222313x y -+-=；（2）设点M 、N 在直线l 上对应的参数分别为1t 、2t ，将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得()2222cos sin 13t t αα++=，即24cos 90t t α+-=，216cos 360α∆=+>，由韦达定理得124cos t t α+=-，129t t =-，12MN t t ∴=-===cos 2α=±， 0απ<<，因此，6πα=或56π. 【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了利用直线与圆所得弦长求直线的倾斜角，考查了韦达定理的应用，考查运算求解能力，属于中等题.23．己知函数()3132f x x x =+-+的最大值为m ，a 、b 、c 均为正实数，且a b c m ++=.（1）求证：1119a b c++≥；（2+≤.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）利用绝对值三角不等式可求出函数()y f x =的最大值为1，可得出1a b c ++=，然后将代数式a b c ++与111a b c++相乘，利用柯西不等式可证明出1119a b c++≥；（2）利用柯西不等式得()()2111a b c ++++≥，化简后可证明出≤【详解】（1）由绝对值三角不等式得()()32311m x x =+-+=，1a b c ∴++=，由柯西不等式得()21111119a b ca b c a b c ⎛⎫++=++++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当13a b c ===时，等号成立，因此，1119a b c++≥；（2）由柯西不等式得()()2111a b c ++++≥，即23≤，13a b c ===时，等号成立.≤. 【点睛】本题考查利用柯西不等式证明不等式，同时也考查了利用绝对值三角不等式求绝对值函数的最值，在利用柯西不等式证明不等式时，需要对代数式进行合理配凑，考查计算能力，属于中等题.。

2019-2020学年北京市清华附中高一(上)9月月考数学试卷

2019-2020学年北京市清华附中高一（上）9月月考数学试卷试题数：19，总分：01.（单选题，0分）命题p：∀x∈N，x3≥1，则￢p为（）A.∀x∈N，x3＜1B.∀x∉N，x3≥1C.∃x∉N，x3≥1D.∃x∈N，x3＜12.（单选题，0分）已知a，b∈R，ab=0，则下列等式一定成立的是（）A.a2+b2=0B.|a+b|=|a-b|C.a（a-b）=0D.|a|+|b|=03.（单选题，0分）已知a，b，c∈R，且a＞b＞c，则下列不等式一定成立的是（）A.ab＞bcB.b（a-b）＞c（a-b）C.a2＞b2D.a-b＞b-c4.（单选题，0分）已知全集U=R，集合A={x|x2-2x-3＞0}，集合B={x||x|≤2}．则如图的阴影部分表示的集合为（）A.[-1，2）B.（-2，3]C.（2，3]D.[-1，3]5.（单选题，0分）已知a，b∈R，则“a＞b”是“a+2＞b+1”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件6.（单选题，0分）已知集合A={1，2，3}，B=（-∞，t]，若A⊄B，则实数t的取值范围是（）A.（1，+∞）B.（3，+∞）C.（-∞，1）D.（-∞，3）7.（单选题，0分）已知实数x＞1，则9x−1+x的最小值为（）A.4B.6C.7D.108.（单选题，0分）已知集合A={（x，y）|x≤10，y≤10，x，y∈N}，B⊆A，且对于集合B中任意两个元素（x1，y1），（x2，y2），均有（x1-x2）（y1-y2）≤0，则集合B中元素的个数最多为（）A.21B.19C.11D.109.（填空题，0分）集合{1，2}的真子集的个数为___ ．10.（填空题，0分）写出能说明命题“若a＞b＞c，则a+b＞c”为假命题的一组的整数值：a=___ ；b=___ ；c=___ ．11.（填空题，0分）已知sgn（x）= {1，x＞00，x=0−1，x＜0，则方程x2-x•sgn（x）-6=0的根为___ ．12.（填空题，0分）若关于x的方程2x−ax+2=1的根均为负数，则实数a的取值范围是___ ．13.（填空题，0分）在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元．已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于13，且获得一等奖的人数不能少于2人，有下列四个结论：① 最多可以购买4分一等奖奖品② 最多可以购买16份二等奖奖品③ 购买奖品至少要花费100元④ 共有20种不同的购买奖品方案其中正确结论的序号为___ ．14.（填空题，0分）已知集合A={1，2，3，x}中的最大值与最小值的差等于集合A中所有元素之和，则x=___ ．15.（问答题，0分）解下列关于x的不等式：（1）x2-2x-3≤0；（2）-x2+4x-5＞0；（3）x2-ax+a-1≤0．16.（问答题，0分）已知集合A={1，2，a}，B={a2，a+1}．（Ⅰ）当a=-1时，求A∪B；（Ⅱ）是否存在实数a，使得A∩B={0}，说明你的理由；（Ⅲ）记C={y|y=x2，x∈A}若B∪C中恰好有3个元素，求所有满足条件的实数a的值．（直接写出答案即可）17.（问答题，0分）已知集合A={x|x2-ax+a-2＜0}．（Ⅰ）当a=2时，求集合A中的所有正整数元素；（Ⅱ）求证：对于任意的a∈R，A≠∅；（Ⅲ）若0∈A，求证：[0，2]⊄A．18.（问答题，0分）已知x+y=1，x，y∈R．（Ⅰ）若x，y∈R*，求√x+√y的最大值；（Ⅱ）若x，y∈R*，求1x +4y的最小值；（Ⅲ）求x（1-3y）的最小值．19.（问答题，0分）已知抛物线G：y=ax2+bx+c（ab≠0）的顶点为P，与y轴的交点为Q，则直线PQ称为抛物线G的伴随直线．（Ⅰ）求抛物线y=x2-2x+1的伴随直线的表达式；（Ⅱ）已知抛物线y=ax2+bx+c的伴随直线为y=2x+4，且该抛物线与x轴有两个不同的公共点，求a的取值范围；（Ⅲ）已知A（-3，4），B（0，4），若抛物线y=ax2+bx+c的伴随直线为y=ax+b，且该抛物线与线段AB恰有1个公共点，求a的取值范围．（直接写出答案即可）2019-2020学年北京市清华附中高一（上）9月月考数学试卷参考答案与试题解析试题数：19，总分：01.（单选题，0分）命题p：∀x∈N，x3≥1，则￢p为（）A.∀x∈N，x3＜1B.∀x∉N，x3≥1C.∃x∉N，x3≥1D.∃x∈N，x3＜1【正确答案】：D【解析】：根据全称命题的否定方法，根据已知中的原命题，写出其否定形式，可得答案．【解答】：解：∵命题p：∀x∈N，x3≥1，∴￢p：∃x∈N，x3＜1，故选：D．【点评】：本题考查的知识点是全称命题，命题的否定，熟练掌握全（特）称命题的否定方法是解答的关键．2.（单选题，0分）已知a，b∈R，ab=0，则下列等式一定成立的是（）A.a2+b2=0B.|a+b|=|a-b|C.a（a-b）=0D.|a|+|b|=0【正确答案】：B【解析】：由ab=0可得a=0，b≠0；a=0，b=0；a≠0，b=0，三种情况，进行判断即可．【解答】：解：由ab=0可得a=0，b≠0；a=0，b=0；a≠0，b=0，A：当a=0，b≠0时，A不成立；B：三种情况B都成立，故B正确；C当a≠0，b=0时，C不正确；D当a=0，b≠0时，D不正确．故选：B．【点评】：本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．3.（单选题，0分）已知a，b，c∈R，且a＞b＞c，则下列不等式一定成立的是（）A.ab＞bcB.b（a-b）＞c（a-b）C.a2＞b2D.a-b＞b-c【正确答案】：B【解析】：对于ACD，可以举反例，对于B用不等式的基本性质证明即可．【解答】：解：当b=0时，ab=bc，故A不成立；若a＞b，b＞c，则a-b＞0，即b（a-b）＞b（a-b），故B成立；若a=1，b=-2，则a2＜b2，故C不成立；若a=3，b=2，c=-2，则a-b＜b-c，故D不成立．故B为真命题故选：B．【点评】：本题以不等式的性质为载体考查了命题的真假判断与应用，熟练掌握不等式的基本性质是解答的关键．4.（单选题，0分）已知全集U=R，集合A={x|x2-2x-3＞0}，集合B={x||x|≤2}．则如图的阴影部分表示的集合为（）A.[-1，2）B.（-2，3]C.（2，3]D.[-1，3]【正确答案】：C【解析】：图中阴影部分表示的集合为C U（A∪B），由此能求出结果．【解答】：解：∵全集U=R，集合A={x|x2-2x-3＞0}，B={x||x|≤2}．∴A={x|x＞3或x＜-1}，B={x|-2≤x≤2}，∴A∪B={x|x≤2或x＞3}，∴图中阴影部分表示的集合为：C U（A∪B）={x|2＜x≤3}=（2，3]．故选：C．【点评】：本题考查集合的求法，考查维恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.（单选题，0分）已知a，b∈R，则“a＞b”是“a+2＞b+1”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【正确答案】：A【解析】：根据充分条件，必要条件的定义以及不等式性质即可求解．【解答】：解：因为a＞b，所以a＞b-1，即有a+2＞b+1，当a+2＞b+1，即a＞b-1，不一定推出a＞b，比如：a=b=1，满足a＞b-1，但是a＞b不成立，因此“a＞b”是“a+2＞b+1”的充分而不必要条件．故选：A．【点评】：本题主要考查不等式性质的应用，以及充分条件，必要条件定义的理解和应用，属于容易题．6.（单选题，0分）已知集合A={1，2，3}，B=（-∞，t]，若A⊄B，则实数t的取值范围是（）A.（1，+∞）B.（3，+∞）C.（-∞，1）D.（-∞，3）【正确答案】：D【解析】：根据集合的关系即可求解．【解答】：解：因为A⊄B，所以t＜3．故选：D．【点评】：本题主要考查集合的包含关系的理解和应用，属于容易题．7.（单选题，0分）已知实数x＞1，则9x−1+x的最小值为（）A.4B.6C.7D.10【正确答案】：C【解析】：由9x−1+x = 9x−1+x−1+1≥2√(x−1)•9x−1+1即可求解最小值．【解答】：解：∵x＞1，则9x−1+x = 9x−1+x−1+1≥2√(x−1)•9x−1+1 =7，当且仅当x-1= 9x−1即x=4时取等号，故选：C．【点评】：本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题．8.（单选题，0分）已知集合A={（x，y）|x≤10，y≤10，x，y∈N}，B⊆A，且对于集合B中任意两个元素（x1，y1），（x2，y2），均有（x1-x2）（y1-y2）≤0，则集合B中元素的个数最多为（）A.21B.19C.11D.10【正确答案】：A【解析】：根据题意知集合A表示的是第一象限内的11×11=121个点，又因为B⊆A，B中任意两个元素（x1，y1），（x2，y2），均有（x1-x2）（y1-y2）≤0，则在第一象限内y随着x的增大而减小或相等，根据规律一一列举即可得到结果．【解答】：解：因为A={（x，y）|x≤10，y≤10，x，y∈N}，所以集合A表示的是第一象限内的11×11=121个点，又因为B⊆A，且对于B中任意两个元素（x1，y1），（x2，y2），均有（x1-x2）（y1-y2）≤0，所以 {x 1−x 2＞0y 1−y 2≤0 或 {x 1−x 2＜0y 1−y 2≥0，则在第一象限内或坐标轴的非负半轴，y 随着x 的增大而减小或相等，设M ，N 为集合B 中的元素，若点M （0，10），则N （1，9）或N （1，10），根据规律可得：（2，8），（3，7），（4，6），（5，5），（6，4），（7，3），（8，2），（9，1），（10，0），（2，9），（3，8），（4，7），（5，6），（6，5），（7，4），（8，3），（9，2），（10，1），综上可得，B 中的元素最多有21个．故选：A ．【点评】：本题考查集合的元素的个数的求法，考查不等式求函数的单调性，利用单调性解决集合问题．9.（填空题，0分）集合{1，2}的真子集的个数为___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：若集合A 中有n 个元素，则集合A 有2n -1个真子集．【解答】：解：集合{1，2}的真子集一共有：22-1=3个．故答案为：3．【点评】：本题考查集合的真子集个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意真子集定义的合理运用．10.（填空题，0分）写出能说明命题“若a ＞b ＞c ，则a+b ＞c”为假命题的一组的整数值：a=___ ；b=___ ；c=___ ．【正确答案】：[1]-1; [2]-2; [3]-3【解析】：由题意可得若a ＞b ＞c ，则a+b≤c ，可取c ＜0，b ＜0，a ＜0．【解答】：解：若命题“若a ＞b ＞c ，则a+b ＞c”为假命题，即有a ＞b ＞c ，a+b≤c ，则c ＜0，可取c=-3，b=-2，a=-1，故答案为：-1，-2，-3．【点评】：本题考查命题的真假判断，主要是不等式的性质，考查推理能力，属于基础题．11.（填空题，0分）已知sgn（x）= {1，x＞00，x=0−1，x＜0，则方程x2-x•sgn（x）-6=0的根为___ ．【正确答案】：[1]-3，3【解析】：对x分类把sgn（x）代入方程x2-x•sgn（x）-6=0，分别求解得答案．【解答】：解：当x=0时，方程x2-x•sgn（x）-6=0化为-6=0，此式显然不成立；当x＞0时，方程x2-x•sgn（x）-6=0化为x2-x-6=0，解得x=3；当x＜0时，方程x2-x•sgn（x）-6=0化为x2+x-6=0，解得x=-3．∴方程x2-x•sgn（x）-6=0的根为-3，3．故答案为：-3，3．【点评】：本题考查函数零点与方程根的关系，考查分类讨论的数学思想方法，考查运算求解能力，是基础题．12.（填空题，0分）若关于x的方程2x−ax+2=1的根均为负数，则实数a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-∞，-4）∪（-4，-2）【解析】：由已知方程求得x，再由x＜0且x≠-2，可得a的取值范围．【解答】：解：由2x−ax+2=1，得2x-a=x+2，即x=a+2，∵关于x的方程2x−ax+2=1的根均为负数，∴a+2＜0，即a＜-2，又x+2=a+4≠0，∴a≠-4．∴实数a的取值范围是（-∞，-4）∪（-4，-2）．故答案为：（-∞，-4）∪（-4，-2）．【点评】：本题考查函数零点与方程根的关系，是基础题．13.（填空题，0分）在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元．已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于13，且获得一等奖的人数不能少于2人，有下列四个结论：① 最多可以购买4分一等奖奖品② 最多可以购买16份二等奖奖品③ 购买奖品至少要花费100元④ 共有20种不同的购买奖品方案其中正确结论的序号为___ ．【正确答案】：[1] ① ② ③【解析】：设出获得一、二等奖的人数分别为x，y，即可根据题意可得x≥2，3x≤y，20x+10y≤200，即可推出各结论的真假．【解答】：解：设获得一、二等奖的人数分别为x，y，（x，y∈N*），由题意可得，x≥2，3x≤y，20x+10y≤200，解得2≤x≤4，6≤y≤16．所以，最多可以购买4分一等奖奖品，最多可以购买16份二等奖奖品，① ② 正确；购买奖品至少要花费2×20+6×10=100元，③ 正确；当x=2时，y∈{6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，共有11种；当x=3时，y∈{9，10，11，12，13，14}，共有6种；当x=4时，y=12，只有1种，故共有18种，④ 不正确．故答案为：① ② ③ ．【点评】：本题主要考查简单线性规划中的整解问题的求解，意在考查学生的推理能力和阅读理解能力，属于中档题．14.（填空题，0分）已知集合A={1，2，3，x}中的最大值与最小值的差等于集合A中所有元素之和，则x=___ ．【正确答案】：[1]- 32【解析】：根据题意分类讨论x为最大值或最小值或既不最大也不最小，即可解出．，【解答】：解：若集合A={1，2，3，x}中元素的最小值为x，则3-x=1+2+3+x，解得x=- 32满足题意；若集合A={1，2，3，x}中元素的最大值为x，则x-1=1+2+3+x，此时无解；若集合A={1，2，3，x}中元素x既不是最大值，也不是最小值，则3-1=1+2+3+x，解得x=-4，不满足题意．．综上，x=- 32．故答案为：- 32【点评】：本题主要考查集合的性质的应用，属于容易题．15.（问答题，0分）解下列关于x的不等式：（1）x2-2x-3≤0；（2）-x2+4x-5＞0；（3）x2-ax+a-1≤0．【正确答案】：【解析】：（1）不等式化为（x-3）（x+1）≤0，求出解集即可；（2）不等式化为x2-4x+5＜0，利用△＜0得出不等式的解集为∅；（3）不等式化为（x-1）（x-a+1）≤0，利用分类讨论法求出不等式的解集．【解答】：解：（1）不等式x2-2x-3≤0化为（x-3）（x+1）≤0，解得-1≤x≤3，所以不等式的解集为{x|-1≤x≤3}；（2）不等式-x2+4x-5＞0可化为x2-4x+5＜0，且△=（-4）2-4×1×5=-4＜0，所以原不等式的解集为∅；（3）不等式x2-ax+a-1≤0可化为（x-1）（x-a+1）≤0，且不等式对应的方程实数根为1和a-1；当a=2时，1=a-1，不等式化为（x-1）2≤0，不等式的解集为{2}；当a＞2时，1＜a-1，解不等式得1≤x≤a-1，不等式的解集为{x|1≤x≤a-1}；当a＜2时，1＞a-1，解不等式得a-1≤x≤1，不等式的解集为{x|a-1≤x≤1}；综上知，a=2时，不等式的解集为{2}；a＞2时，不等式的解集为{x|1≤x≤a-1}；a＜2时，不等式的解集为{x|a-1≤x≤1}．【点评】：本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．16.（问答题，0分）已知集合A={1，2，a}，B={a2，a+1}．（Ⅰ）当a=-1时，求A∪B；（Ⅱ）是否存在实数a，使得A∩B={0}，说明你的理由；（Ⅲ）记C={y|y=x2，x∈A}若B∪C中恰好有3个元素，求所有满足条件的实数a的值．（直接写出答案即可）【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据并集的运算即可求出；（Ⅱ）A∩B={0}，则0∈A，代入验证即可；（Ⅲ）分类讨论，a+1=1，a+1=4，a+1=a，即可求出．【解答】：解：（Ⅰ）当a=-1时，A={1，2，-1}，B={1，0}，则A∪B={-1，0，1，2}；（Ⅱ）A∩B={0}，∴0∈A，∴a=0，当a=0时，B={0，1}，此时A∩B={0，1}，不满足A∩B={0}，故不存在实数a，使得A∩B={0}；（Ⅲ）C={y|y=x2，x∈A}={1，4，a2}，∵B∪C中恰好有3个元素，∴a+1=1，即a=0，此时满足，a+1=4，即a=3，则C={1，4，9}，B={4，9}，此时满足，a+1=a，此时无解，综上所述a的值为0，3．【点评】：本题考查了集合的运算，考查交集并集的定义，是一道基础题．17.（问答题，0分）已知集合A={x|x2-ax+a-2＜0}．（Ⅰ）当a=2时，求集合A中的所有正整数元素；（Ⅱ）求证：对于任意的a∈R，A≠∅；（Ⅲ）若0∈A，求证：[0，2]⊄A．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）当a=2时，整理可得A={x|0＜x＜2}，即可得出集合A中的所有正整数的元素为1；（Ⅱ）利用根的判别式得出方程x2-ax+a-2＜0有解，则A≠∅成立；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知△＞0，方程有两根，设A={x|x1＜x＜x2}，又有0∈A，则x1x2＜0，再根据两根之积小于0，得出a＜2，当x=2时，解得a＞2，两者矛盾，则2∉A，可得[0，2]⊄A 成立．【解答】：解：（Ⅰ）已知集合A={x|x2-ax+a-2＜0}，当a=2时，A={x|x2-2x＜0}={x|0＜x＜2}，所以集合A中的所有正整数的元素为1；（Ⅱ）证明：对于任意的a∈R，A={x|x2-ax+a-2＜0}，△=（-a）2-4（a-2）=a2-4a+8=（a-2）2+4＞0，所以x2-ax+a-2＜0有解，所以A≠∅成立；（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知△＞0，方程有两根，设A={x|x1＜x＜x2}，又有0∈A，则x1＜0＜x2，x1x2＜0，又x1x2=a-2，即a＜2，①当x=2时，22-2a+a-2＜0，解得a＞2，与① 矛盾，则2∉A，可得[0，2]⊄A成立．【点评】：本题主要考查了集合间的基本关系，考查一元二次不等式的解与参数的关系，属于中档题．18.（问答题，0分）已知x+y=1，x，y∈R．（Ⅰ）若x，y∈R*，求√x+√y的最大值；（Ⅱ）若x，y∈R*，求1x +4y的最小值；（Ⅲ）求x（1-3y）的最小值．【正确答案】：【解析】：（I）（√x+√y）2=x+y+2 √xy =1+2 √xy，然后利用基本不等式即可求解；（Ⅱ）1x +4y= x+yx+4x+4yy=5 +yx+4xy，然后利用基本不等式即可求解；（Ⅲ）由x（1-3y）=（1-y）（1-3y）=3y2-4y+1，然后结合二次函数的性质可求．【解答】：解：（I）因为x+y=1，x，y∈R*，所以（√x+√y）2=x+y+2 √xy =1+2 √xy≤1+x+y=2，当且仅当x=y时取等号，此时√x+√y取得最大值√2；（Ⅱ）∵x，y∈R*，x+y=1，∴ 1 x +4y= x+yx+4x+4yy=5 +yx+4xy≥5+2√yx•4xy=9，当且仅当yx=4xy且x+y=1即x= 13，y=23时取等号，此时取得最小值9；（Ⅲ）∵x（1-3y）=（1-y）（1-3y）=3y2-4y+1，结合二次函数的性质可知，当y= 23时取得最小值−13．【点评】：本题主要考查了基本不等式及二次函数的性质在求解最值中的应用，解题的关键是应用条件的配凑．19.（问答题，0分）已知抛物线G：y=ax2+bx+c（ab≠0）的顶点为P，与y轴的交点为Q，则直线PQ称为抛物线G的伴随直线．（Ⅰ）求抛物线y=x2-2x+1的伴随直线的表达式；（Ⅱ）已知抛物线y=ax2+bx+c的伴随直线为y=2x+4，且该抛物线与x轴有两个不同的公共点，求a的取值范围；（Ⅲ）已知A（-3，4），B（0，4），若抛物线y=ax2+bx+c的伴随直线为y=ax+b，且该抛物线与线段AB恰有1个公共点，求a的取值范围．（直接写出答案即可）【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由题意求出顶点P坐标和与y轴的交点Q，进而求出伴随直线的表达式；（Ⅱ）将抛物线的顶点坐标和与y轴的交点坐标求出，进而求出伴随直线，由题意可得a，b，c 的关系，再由抛物线与x 轴有两个解可得a 的取值范围；（Ⅲ）将抛物线的顶点坐标和与y 轴的交点坐标求出，进而求出伴随直线，由题意可得a ，b ，c 的关系，再由该抛物线与线段AB 恰有1个公共点可得a 的范围．【解答】：解：（Ⅰ）抛物线y=x 2-2x+1的顶点P （1，0），与y 轴的交点Q （0，1），由题意可得抛物线y=x 2-2x+1的伴随直线的表达式为：x+y=1，即抛物线y=x 2-2x+1的伴随直线的表达式为x+y-1=0；（Ⅱ）抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点坐标P （- b 2a ， 4ac−b 24a ），与y 轴的交点Q （0，c ），所以抛物线y=ax 2+bx+c 的伴随直线为y=2x+4，由题意可得 4ac−b 24a =2•（- b 2a）+4，c=4，所以可得b=4，又因为该抛物线与x 轴有两个不同的公共点，所以△=b 2-4ac ＞0，即b 2-16a ＞0，可得42＞16a ，解得a ＜1且a≠0，所以a 的取值范围（-∞，0）∪（0，+∞）；（Ⅲ）因为抛物线y=ax 2+bx+c 的伴随直线为y=ax+b ，顶点P （- b 2a ，4ac−b 24a ），与y 轴的交点Q （0，c ）， {4ac−b 24a =−b 2a •a +b b =c ，解得b=c=2a ，所以抛物线的方程为：f （x ）=ax 2+2ax+2a ，对称轴x=-1，又因为A （-3，4），B （0，4），且该抛物线与线段AB 恰有1个公共点，可得线段AB 的方程为：y=4（-3≤x≤0），所以 {a ＞0f (−3)≥4f (0)＜4或 {a ＞0f (−1)=4 ，解得 45 ≤a ＜2或a=4，所以a 的取值范围{x| 45 ≤a ＜2或a=4}【点评】：本题考查求伴随直线的方程抛物线的性质，属于中档题．。

2024-2025学年清华大学附属中学九年级上学期9月月考数学试题及答案

2024—2025学年第一学期统一练习01数学（清华附中初22级）2024.09一．选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2. 如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OC 平分,35,AOE BOD °∠∠=则∠BOE 的度数为（）A. 95°B. 100°C. 110°D. 145°3. 已知30m +< ） A. 33m m −<<−<B. 33m m <−<−<C. 33m m −<<<−D. 33m m <−<<−4. 若关于x 的一元二次方程2690kx x −+=有实数根，则k 的取值范围是（） A 1k <B. 1k ≤C. 1k <，且0k ≠D. 1k ≤，且0k ≠5. 正六边形的外角和是（） A. 720°B. 540°C. 360°D. 180°6. 2024年第33届巴黎奥运会是史上第一届男女比例完全平衡的奥运会，参赛的男女运动员分别为5250，5250名，本届奥运会的运动员总数用科学记数法表示为（） A 35.2510×B. 45.2510×C. .41510×D. 41.0510×7. 如图，在菱形ABCD 中，点E 在边AD 上，射线CE 交BA 的延长线于点F ，若12AE ED =，3AB =，则AF 的长为（）..A. 1B.23C.32D. 28. 如图，在四边形ABCD 中，90B BCD ∠=∠=°，点E 在BC 上，CE BE <，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ，连接DE ，ABE ECD ≌．给出下面三个结论：①AE DE ⊥；②AB CD AE +>；EF AD CF ⋅=⋅．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③二．填空题（本题共16分，每小题2分）9. 若代数式15x −有意义，则实数x 的取值范围是___________. 10. 因式分解：3269x x x ++=____________． 11. 方程1203x x −=+ 的解为 ______ ． 12. 在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()21y k x =−+的图象经过点()11,A y ，()22,B y ，如果12y y <，那么k 的取值范围是______．13. 某农科所试验田有3万棵水稻．为了考察水稻穗长的情况，于同一天从中随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度x （单位：cm ），数据整理如下：稻穗长度 5.0x < 5.0 5.5x ≤< 5.5 6.0x ≤< 6.0 6.5x ≤< 6.5x ≥稻穗个数5816147根据以上数据，估计此试验田的3万棵水稻中“良好”（穗长在5.5 6.5x ≤<范围内）的水稻数量为__________万棵．14. 如图，直线AD ，BC 交于点O ，AB EF CD ∥∥，若5AO =，2OF =，3FD =，则BEEC的值为________．15. 综合实践课上，小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度，把一面镜子放在与假山AC 距离为21米的B 处，然后沿着射线CB 退后到点E ，这时恰好在镜子里看到山头A ，利用皮尺测量 2.4BE =米，若小宇的身高是1.6米，则假山AC 的高度为______米．（结果保留整数）16. 车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表：车床代号AB CD E修复时间（分钟） 15 8 29 710若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产．（1）若只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序：①D BE A C →→→→；②D A C E B →→→→；③C A E B D →→→→中，经济损失最少的是______（填序号）；（2）若由两名修理工同时修理车床，且每台车床只由一名修理工修理，则最少经济损失为______元．三．解答题（本题共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）17. 计算：()112024π12−−−−+18. 解不等式组()21581252x x x x +≤+−−<．19. 先化简，再求值：2226911x x x x x ⎛⎫-+⎪ ÷-⎪ --⎝⎭，其中5x =．20. 如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BBBB 相交于点O ，BC ，EO 为矩形BECO 对角线，,BC AD AD EO =∥．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）连接BBDD ，若4,120AC BCD =∠=°，BBDD 的值． 21. 羽毛球运动深受大众喜爱，该运动的场地是一块中间设有球网的矩形区域，它既可以进行单打比赛，也可以进行双打比赛，下图是羽毛球场地的平面示意图，已知场地上各条分界线宽均为．．．．．．4cm ，场地的长比宽的2倍还多120cm 包含分界线宽，单、双打后发球线（球网同侧）间的距离与单、双打边线（中线同侧）间的距离之比是12:7．根据图中所给数据，求单、双打后发球线间的距离．22. 在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠的图象经过点()()3,5,2,0A B −，且与y 轴交于点 C ．（1）求该函数的解析式及点C 的坐标；（2）当2x <时，对于x 的每一个值，函数3y x n =−+的值大于函数()0y kx b k =+≠的值，直接写出n 的取值范围．23. 小宇观看奥运会跳水比赛，对运动员每一跳成绩的计算方法产生了浓厚的兴趣，查阅资料后，小宇了解到跳水比赛的计分规则为：a ．每次试跳的动作，按照其完成难度的不同，对应一个难度系数H ；b ．每次试跳都有7名裁判进行打分（0~10分，分数为0.5的整数倍），在7个得分中去掉2个最高分和两个最低分，剩下3个得分的平均值为这次试跳的完成分p ；c ．运动员该次试跳的得分A ＝难度系数H ×完成分p ×3．在比赛中，甲运动员最后一次试跳后的打分表为：难度系数裁判 1# 2# 3# 4# 5# 6# 7# 3.5 打分7.58.54.09.08.08.57.0（1）甲运动员这次试跳完成分P 甲＝，得分A 甲＝；（直接写出答案）（2）若按照全部7名裁判打分的平均分来计算完成分，得到的完成分为P 甲'，那么与（1）中所得的P 甲比较，判断P 甲' P 甲（填“＞”，“＝”或“＜”）并说明理由；（3）在最后一次试跳之前，乙运动员的总分比甲运动员低13.1分，乙最后一次试跳的难度系数为3.6，若乙想要在总分上反超甲，则这一跳乙的完成分P 乙至少要达到多少分．24. 如图，在OAB △中，OA OB =，E 是AB 的中点，过点E 作EC OA ⊥于点C ，过点B 作BD OB ⊥，交CE 的延长线于点D ．（1）求证：DB DE =；（2）若12AB =，5BD =，求OA 的长．25. 某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，在煮沸模式下将水加热至100C °后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于50C °水壶不加热；若水温降至50C °，水壶开始加热，水温达到100C °时停止加热……此后一直在保温模式下循环工作．某数学小组对壶中水量a （单位：L ），水温T （单位： C °）与时间t （单位：分）进行了观测和记录，以下为该小组记录的部分数据．表1从20C °开始加热至100C °水量与时间对照表的a 0.5 1 1.5 2 2.5 3t4.5 8 11.5 15 18.5 22表2 1L 水从20C °开始加热，水温与时间对照表煮沸模式保温模式t 0 3 6m10 12 14 16 18 20 22 24 26 …T 20 50 80 100 89 80 72 66 60 55 50 55 60对以上实验数据进行分析后，该小组发现，水壶中水量为1L 时，无论在煮沸模式还是在保温模式下，只要水壶开始加热，壶中水温T 就是加热时间t 的一次函数．（1）写出表中m 的值；（2）根据表2中的数据，补充完成以下内容： ①在下图中补全水温与时间的函数图象； ②当60t =时，T = ；（3）假设降温过程中，壶中水温与时间的函数关系和水量多少无关．某天小明距离出门仅有30分钟，他往水壶中注入2.5L 温度为 20C °的水，当水加热至100C °后立即关闭电源．出门前，他（填“能”或“不能”）喝到低于50C °的水．26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()222y x m x m =−++的对称轴为直线x t =．（1）求t 值（用含m 的代数式表示）；（2）点()1,A t y −，()2,B t y ，()31,C t y +在该抛物线上．若抛物线与x 轴一个交点为()0,0x ，其中002x <<，比较1y ，2y ，3y 的大小，并说明理由．27. 在ABC 中，AB AC =，BAC α∠=，点D 是BC 中点，点E 是线段BC 上一点，以点A 为中心，将线段AE 逆时针旋转α得到线段AF ，连接EF ．的的（1）如图1，当点E 与点D 重合时，线段EF ，AC 交于点G ，求证：点G 是EF 的中点；（2）如图2，当点E 在线段BD 上时（不与点B ，D 重合），若点H 是EF 的中点，作射线DH 交AC 于点M ，补全图形，直接写出AMD ∠的大小，并证明．28. 在平面直角坐标系xOy 中，对于线段a ，给出如下定义：直线11:3l y x b =+经过线段a 的一个端点，直线22:4l y x b =−+经过线段a 的另一个端点，若直线1l 与2l 交于点P ，且点P 不在线段a 上，则称点P 为线段a 的“双线关联点”．（1）已知，线段a 的两个端点分别为()0,2−和()0,5，则在点()()123413,3,1,1,,2,1,222P P P P−−，中，线段a 的“双线关联点”是___________：（2）()()12,,3,A m y B m y +是直线23y x =上的两个动点． ①点P 是线段AB 的“双线关联点”，其纵坐标为3，直接写出点P 的横坐标___________；②正方形CDEF 的四个顶点的坐标分别为()()()(),,,,3,,3,C t t D t t E t t F t t −−，其中0t >．若所有线段AB 的“双线关联点”中，有且仅有两个点在正方形CDEF 的边上，直接写出t 的取值范围___________．2024—2025学年第一学期统一练习01数学（清华附中初22级）2024.09一．选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】【分析】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此判断即可．【详解】解：选项A 、B 、C 不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．选项D 能找到一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．故选：D ．2. 如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OC 平分,35,AOE BOD °∠∠=则∠BOE 的度数为（）A. 95°B. 100°C. 110°D. 145°【答案】C 【解析】【分析】本题考查的是对顶角性质，邻补角的性质，角平分线的定义，熟记邻补角之和为180°是解题的关键．先由对顶角性质求得35AOC ∠=°，再根据角平分线的定义求出AOE ∠，再根据邻补角之和为180°计算，即可得到答案．【详解】解：∵35AOC BOD ∠=∠=°，又∵OC 平分AOE ∠， 270AOE AOC ∴∠=∠=°， 180110BOE AOE ∴∠=°−∠=°，故选：C ．3. 已知30m +<，则下列结论正确是（） A. 33m m −<<−< B. 33m m <−<−<C. 33m m −<<<−D. 33m m <−<<−【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质，逐项判断即可求解．【详解】解：∵30m +<， ∴3m <−， ∴3m −>， ∴33m m <−<<−，∴A ，B ，C 不符合题意；D 符合题意；故选：D4. 若关于x 的一元二次方程2690kx x −+=有实数根，则k 的取值范围是（） A. 1k < B. 1k ≤C. 1k <，且0k ≠D. 1k ≤，且0k ≠【答案】D 【解析】【分析】先根据一元二次方程的定义及根的判别式列出关于k 的不等式，求出k 的取值范围即可．本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的根的判别式．【详解】解：关于x 的一元二次方程2690kx x −+=有实数根，∴()2Δ64936360k k =−−××=−≥，0k ≠，解得：1k ≤，且0k ≠ 故选：D ．的5. 正六边形的外角和是（） A. 720° B. 540° C. 360° D. 180°【答案】C 【解析】【分析】根据任何多边形的外角和是360度即可求出答案．【详解】解：六边形的外角和是360°．故选：C ．【点睛】考查了多边形的外角和定理，任何多边形的外角和是360度．外角和与多边形的边数无关． 6. 2024年第33届巴黎奥运会是史上第一届男女比例完全平衡的奥运会，参赛的男女运动员分别为5250，5250名，本届奥运会的运动员总数用科学记数法表示为（） A. 35.2510× B. 45.2510× C. .41510× D. 41.0510×【答案】D 【解析】【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ×的形式，其中1||10,a n ≤<为整数，正确确定a 的值以及n 的值是解决问题的关键．科学记数法的表示形式为10n a ×的形式，其中1||10,a n ≤<为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10≥时，n 是正整数；当原数的绝对值1<时，n 是负整数．【详解】解：45250210500 1.0510×==×．故选：D ．7. 如图，在菱形ABCD 中，点E 在边AD 上，射线CE 交BA 的延长线于点F ，若12AE ED =，3AB =，则AF 的长为（）A. 1B.23C.32D. 2【答案】C 【解析】【分析】此题考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明AFE DCE ∽ 是解题的关键．由菱形的性质得AB DC ∥，3AB DC ==，可证明AFE DCE ∽ ，则12AF AE DC ED ==，求得3122AF DC ==，于是得到问题的答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，3AB =，∴AB DC ∥，3AB DC ==，∵点F 在直线AB 上，∴AF DC ∥，∴AFE DCE ∽ ， ∴12AF AE DC ED ==， ∴1322AF DC ==．故选：C ．8. 如图，在四边形ABCD 中，90B BCD ∠=∠=°，点E 在BC 上，CE BE <，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ，连接DE ，ABE ECD ≌．给出下面三个结论：①AE DE ⊥；②AB CD AE +>；EF AD CF ⋅=⋅．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③【答案】D【解析】【分析】本题考查了全等三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形三边关系、相似三角形的判定与性质等知识点，由全等三角形的性质可得BAE CED ∠=∠，AE ED =，BE CD =，结合90B BCD ∠=∠=°，求出90AED ∠=°，即可判断①；由三角形三边关系即可判断②；证明FEC AEB ∽，得出EF CF AE AB=，即可判断③，从而得解．【详解】解：ABE ECD ≌，BAE CED ∴∠=∠，AE ED =，BE CD =，90B BCD ∠=∠=° ，90AEB CED AEB BAE ∴∠+∠=∠+∠=°，()18090AED AEB CED ∴∠=°−∠+∠=°，AE DE ∴⊥，故①正确，符合题意；AB BE AE +> ，且BE CD =，AB CD AE ∴+>，故②正确，符合题意；AE ED = ，90AED ∠=°，AD ∴=，AE AD ∴， 90FCE B ∠=∠=° ，FEC AEB ∠=∠，FEC AEB ∴ ∽，EF CF AE AB∴=，AB EF AD CF ∴⋅=⋅，EF AD CF ⋅=⋅，故③正确，符合题意；故选：D ．二．填空题（本题共162分）9. 若代数式15x −有意义，则实数x 的取值范围是___________. 【答案】5x ≠【解析】【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式要有意义，分母不等于零，列出式子，求解即可．【详解】解：∵代数式15x −有意义， ∴50x −≠，解得：5x ≠，故答案为：5x ≠．10. 因式分解：3269x x x ++=____________．【答案】()23x x +【解析】【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可．【详解】解：3269x x x ++()269x x x =++()23x x +．故答案为：()23x x +．11. 方程1203x x −=+ 的解为 ______ ．【答案】3x =【解析】【分析】本题主要考查了解方程，先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．【详解】解：1203x x −=+，去分母得：320x x +−=，移项，合并同类项得：3x −=−，系数化为1得：3x =，检验：把3x =代入()()3333180x x +=×+=≠， ∴3x =是原方程的解，故答案为：3x =．12. 在平面直角坐标系xOy 中，一次函数()21y k x =−+的图象经过点()11,A y ，()22,B y ，如果12y y <，那么k 的取值范围是______．【答案】2k >【解析】【分析】根据一次函数的增减性进行解答即可．【详解】解：一次函数()21y k x =−+的图象经过点()11,A y ，()22,B y ，且12y y <，∴一次函数()21y k x =−+的图像y 随x 的增大而增大，20k ∴−>，2k ∴>，故答案为：2k >．【点睛】此题考查了一次函数的增减性，掌握k 的正负性与一次函数y kx b =+的增减性之间的关系是解题的关键．13. 某农科所试验田有3万棵水稻．为了考察水稻穗长的情况，于同一天从中随机抽取了50个稻穗进行测量，获得了它们的长度x （单位：cm ），数据整理如下：稻穗长度5.0x < 5.0 5.5x ≤< 5.56.0x ≤< 6.0 6.5x ≤< 6.5x ≥ 稻穗个数 5 8 16 14 7根据以上数据，估计此试验田的3万棵水稻中“良好”（穗长在5.5 6.5x ≤<范围内）的水稻数量为__________万棵．【答案】1.8【解析】【分析】本题考查用样本估计总体，利用3万棵水稻乘以穗长在5.5 6.5x ≤<范围内的所占比，即可解题．【详解】解：由题知，16143 1.850+×=（万棵），故答案：1.8．14. 如图，直线AD ，BC 交于点O ，AB EF CD ∥∥，若5AO =，2OF =，3FD =，则BE EC的值为________．【答案】73##123【解析】【分析】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键．由平行线分线段成比例可得，BE AF CE DF=，从而可得答案．【详解】解：∵AB EF CD ∥∥，5AO =，2OF =，3FD =，为52733BE AF CE DF +∴===，故答案为：73． 15. 综合实践课上，小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度，把一面镜子放在与假山AC 距离为21米的B 处，然后沿着射线CB 退后到点E ，这时恰好在镜子里看到山头A ，利用皮尺测量 2.4BE =米，若小宇的身高是1.6米，则假山AC 的高度为______米．（结果保留整数）【答案】14【解析】【分析】根据题意可得ABC DBE ∽△△，根据相似三角形对应边成比例，即可进行解答．【详解】解：∵DE CE ⊥，A C C E ⊥， ∴90C E ∠=∠=°，根据平面镜反射原理，入射角等于反射角可得：ABC DBE ∠=∠，∴ABC DBE ∽△△， ∴DE BE AC BC =，即1.6 2.421AC =，解得：14AC =，故答案为：14．【点睛】本题主要考查了利用相似三角形测高，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例． 16. 车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如下表：车床代号 A B C D E修复时间（分钟） 15 8 29 7 10 若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产．（1）若只有一名修理工，且每次只能修理一台车床，则下列三个修复车床的顺序：①D B E A C →→→→；②D A C E B →→→→；③C A E B D →→→→中，经济损失最少的是______（填序号）；（2）若由两名修理工同时修理车床，且每台车床只由一名修理工修理，则最少经济损失为______元．【答案】 ①. ① ②. 1010【解析】【分析】本题考查了有理数的混合运算，找出方案是解题的关键．（1）因为要经济损失最少，就要使总停产的时间尽量短，显然先修复时间短的即可；（2）一名修理工修按D ，E ，C 的顺序修，另一名修理工修按B ，A 的顺序修，修复时间最短，据此计算即可．【详解】解：（1）①总停产时间：574831021529156×+×+×+×+=分钟，②总停产时间：574153292108210×+×+×+×+=分钟，③总停产时间：529415310287258×+×+×+×+=分钟，故答案为：①；（2）一名修理工修按D ，E ，C 的顺序修，另一名修理工修按B ，A 的顺序修，7514936223101×+×+×+×+=分钟，101101010×=（元）故答案为：1010．三．解答题（本题共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）17. 计算：()1012024π12− −−−+【答案】2−【解析】【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，先计算零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，再根据实数的运算法则求解即可．【详解】解：()1012024π12− −−−+112=+−−+2−．18. 解不等式组()21581252x x x x +≤+ −−<．【答案】3x ≤<-2【解析】【分析】分别求出不等式组中不等式的解集，再根据确定不等式组解集的原则：大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无处找，得出不等式组的解集即可．【详解】解：()21581252x x x x +≤+ −−<①②，解①得：2x ≥−，解②得：3x <，∴3x ≤<-2．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握确定不等式组的解集是解题的关键．19. 先化简，再求值：2226911x x x x x ⎛⎫-+ ⎪-÷ ⎪--⎝⎭，其中5x =．【答案】3x x −，52【解析】【分析】先进行通分，和因式分解，再应用分数的除法法则，将5x =代入，即可求解，本题考查了，分式的华计件求值，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则．【详解】解：2226911x x x x x ⎛⎫-+⎪ ÷-⎪ --⎝⎭ ()()2312111x x x x x x −− =−÷ −−−()()21313x x x x x −−×−− 3x x =−，当5x =时，553532xx ==−−． 20. 如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BBBB 相交于点O ，BC ，EO 为矩形BECO 对角线，,BC AD AD EO=∥．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）连接BBDD ，若4,120AC BCD =∠=°，BBDD 的值．【答案】（1）见解析（2）DE =【解析】【分析】（1）由矩形的性质可得OE CB =，90BOC ∠=°，结合AD EO =可得AD CB =，结合BC AD ∥，可证四边形ABCD 是平行四边形，再根据90BOC ∠=°可证四边形ABCD 是菱形；（2）先根据已知条件和（1）中结论证明ABC 是等边三角形，进而求出AO ，BO ，再利用勾股定理解Rt DBE 即可．【小问1详解】证明：四边形BECO 是矩形，OE CB ∴=，90BOC ∠=°， AD EO = ，AD CB ∴=，AD BC ∴∥，∴四边形ABCD 是平行四边形．90BOC ∠=° ，∴平行四边形ABCD 是菱形．【小问2详解】解：如图，连接DE ，四边形ABCD 是菱形，∴AB BC CD AD ===，AB CD ∥，AC BD ⊥，∴180BCD ABC ∠+∠=°，120BCD ∠=°，∴18060ABC BCD ∠=°−∠=°，∴ABC 等边三角形，AC BD ⊥，4AC =，是∴122AO OC AC ===，∴BO ， ∴2BD BO ==，四边形BECO 是矩形，2BE OC ∴==，90OBE ∠=°，∴DE =．【点睛】本题考查菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理解直角三角形等，难度一般，解题的关键是掌握菱形的判定方法．21. 羽毛球运动深受大众喜爱，该运动的场地是一块中间设有球网的矩形区域，它既可以进行单打比赛，也可以进行双打比赛，下图是羽毛球场地的平面示意图，已知场地上各条分界线宽均为．．．．．．4cm ，场地的长比宽的2倍还多120cm 包含分界线宽，单、双打后发球线（球网同侧）间的距离与单、双打边线（中线同侧）间的距离之比是12:7．根据图中所给数据，求单、双打后发球线间的距离．【答案】球网同侧的单、双打后发球线间的距离是72cm【解析】【分析】此题考查了一元一次方程的应用，设球网同侧的单、双打后发球线间的距离是12cm x ，则中线同侧的单、双打边线间的距离是7cm x ，根据题意列方程求解即可．【详解】解：设球网同侧的单、双打后发球线间的距离是12cm x ，则中线同侧的单、双打边线间的距离是7cm x ，由题意可得()1180244425101444120x x ++×=++×+．解得6x =∴1272x =，答：球网同侧的单、双打后发球线间的距离是72cm ．22. 在平面直角坐标系xOy 中，函数()0y kx b k =+≠图象经过点()()3,5,2,0A B −，且与y 轴交于点 C ．（1）求该函数的解析式及点C 的坐标；（2）当2x <时，对于x 的每一个值，函数3y x n =−+的值大于函数()0y kx b k =+≠的值，直接写出n 的取值范围．【答案】（1）函数的解析式为2y x =+，点C 的坐标为()0,2（2）10n ≥【解析】【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式及解不等式，（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，当0x =时，求出2y =即可求解．（2）根据题意结合解出不等式32x n x −+>+结合2x <，即可求解．【小问1详解】解：将()()3,5,2,0A B −，代入函数解析式得，3520k b k b += −+= ，解得12k b = =， ∴函数的解析式为：2y x =+，当0x =时，2y =，∴点C 的坐标为()0,2．【小问2详解】解：由题意得，32x n x −+>+，的即24nx−<，又2x<，∴22 4n−≥，解得：10n≥，∴n的取值范围为10n≥．23. 小宇观看奥运会跳水比赛，对运动员每一跳成绩的计算方法产生了浓厚的兴趣，查阅资料后，小宇了解到跳水比赛的计分规则为：a．每次试跳的动作，按照其完成难度的不同，对应一个难度系数H；b．每次试跳都有7名裁判进行打分（0~10分，分数为0.5的整数倍），在7个得分中去掉2个最高分和两个最低分，剩下3个得分的平均值为这次试跳的完成分p；c．运动员该次试跳的得分A＝难度系数H×完成分p×3．在比赛中，甲运动员最后一次试跳后的打分表为：难度系数裁判1#2#3#4#5#6#7#3.5 打分7.5 8.54.0 9.0 8.0 8.5 7.0（1）甲运动员这次试跳的完成分P甲＝，得分A甲＝；（直接写出答案）（2）若按照全部7名裁判打分的平均分来计算完成分，得到的完成分为P甲'，那么与（1）中所得的P甲比较，判断P甲'P甲（填“＞”，“＝”或“＜”）并说明理由；（3）在最后一次试跳之前，乙运动员的总分比甲运动员低13.1分，乙最后一次试跳的难度系数为3.6，若乙想要在总分上反超甲，则这一跳乙的完成分P乙至少要达到多少分．【答案】（1）8.0，84；（2）<；（3）9.0分【解析】【分析】（1）根据公式求出P甲、A甲即可；（2）根据平均数的公式求出P甲'，比较得出答案；（3）列方程求解即可．【小问1详解】解：7名裁判得分中去掉2个最高分和两个最低分，剩下3个得分为7.5，8.0，8.5，平均数=7.58.08.58.03++=，∴完成分P 甲＝8.0；得分A 甲＝3.58.0384××=，故答案为：8.0，84；【小问2详解】 P 甲'=7.58.5 4.09.08.08.57.07.57++++++=，∵7.5<8.0， ∴P 甲'<P 甲，故答案为<；【小问3详解】由题意得3.638413.1P ××+乙，解得971108P =乙， ∴这一跳乙的完成分P 乙至少要达到9.0分．【点睛】此题考查了平均数的计算公式，列一元一次方程解决问题，正确理解题意，掌握平均数的计算公式是解题的关键．24. 如图，在OAB △中，OA OB =，E 是AB 的中点，过点E 作EC OA ⊥于点C ，过点B 作BD OB ⊥，交CE 的延长线于点D ．（1）求证：DB DE =；（2）若12AB =，5BD =，求OA 的长．【答案】（1）证明见详解（2）152OA = 【解析】【分析】（1）根据等边对等角得出OAB OBA ∠=∠，再根据余角和对顶角的性质可得DEB DBE ∠=∠，即可证明DB DE =．（2）连接OE ，过点D 作AB 的垂线，垂足为F ，根据等腰三角形的性质可得90OEA OEB DFE ∠=∠=∠=°，根据E 是AB 的中点，12AB =，5BD =，得出6AE BE ，3EF BF ==，5EDBD ==，勾股定理可得4DF =，即4sin 5DF DEF DE ∠==，再根据余角和对顶角可得DEF CEA AOE ∠=∠=∠，得4sin sin 5AE AOE DEF AO ∠=∠==，即可求出152OA =．【小问1详解】证明：∵OA OB =， ∴OAB OBA ∠=∠，又∵EC OA ⊥，BD OB ⊥，∴OAB CEA OBA DBE ∠+∠=∠+∠， ∴CEA DBE ∠=∠，又∵CEA DEB ∠=∠， ∴DEB DBE ∠=∠， ∴DB DE =．【小问2详解】解：连接OE ，过点D 作AB 的垂线，垂足为F ，如图：∵OA OB =，E 是AB 的中点，DB DE =， ∴90OEA OEB DFE ∠=∠=∠=°， ∵E 是AB 的中点，12AB =，5BD =， ∴6AE BE ，3EF BF ==，5EDBD ==， ∵5BD =，90DFB ∠=°，∴4DF ==，∴4sin 5DF DEF DE ∠==， ∵CEA DEB ∠=∠，90CEA OAE OAE AOE ∠+∠=∠+∠=°， ∴DEF CEA AOE ∠=∠=∠，∴4sin sin 5AE AOE DEF AO ∠=∠==， ∵6AE =，∴645AO =，解得：152OA =．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角函数值，余角和对顶角，熟练掌握以上知识是解题的关键．25. 某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，在煮沸模式下将水加热至100C °后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于50C °水壶不加热；若水温降至50C °，水壶开始加热，水温达到100C °时停止加热……此后一直在保温模式下循环工作．某数学小组对壶中水量a （单位：L ），水温T （单位： C °）与时间t （单位：分）进行了观测和记录，以下为该小组记录的部分数据．表1从20C °开始加热至100C °水量与时间对照表a 0.5 1 1.5 2 2.5 3t4.5 8 11.5 15 18.5 22表2 1L 水从20C °开始加热，水温与时间对照表对以上实验数据进行分析后，该小组发现，水壶中水量为1L 时，无论在煮沸模式还是在保温模式下，只要水壶开始加热，壶中水温T 就是加热时间t 的一次函数．（1）写出表中m 的值；（2）根据表2中的数据，补充完成以下内容： ①在下图中补全水温与时间的函数图象； ②当60t =时，T = ；（3）假设降温过程中，壶中水温与时间的函数关系和水量多少无关．某天小明距离出门仅有30分钟，他往水壶中注入2.5L 温度为 20C °的水，当水加热至100C °后立即关闭电源．出门前，他（填“能”或“不能”）喝到低于50C °的水．【答案】（1）8（2）①图见解析；②60℃ （3）不能【解析】【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意并分析表格中数据变化的规律是解题的关键．（1）在煮沸模式下，加热时间每增加3分钟，水温就上升30℃，从而计算出每增加1分钟水上升的温度，据此列方程并求解即可；（2）①描点并连线即可；②当时间从26分开始，设时间为t 时，水温加热到100℃．在这个过程中每2分钟，水温升高5℃，从而求出每增加1分钟水上升的温度，据此列方程求出t ，再计算出剩下的时间，根据表2，得到在剩下的时间内水温可以变化到多少；（3）由表1可知，2.5L 的水从20℃加热到100℃需要18.5分，此时离出门还剩3018.511.5−=（分）；根据表2，计算水温从100℃降到50℃需要的时间，将这个时间与21.5分比较，在关闭电源的基础上即可得到结论．【小问1详解】解：在煮沸模式下，加热时间每增加3分钟，水温就上升30℃，30310÷=（℃），∴在煮沸模式下，加热时间每增加1分钟，水温就上升10℃， ∴()10610080m −−， ∴8m =．【小问2详解】解：①补全水温与时间的函数图象如图所示：。

清华大学2020年9月中学生标准学术能力基础性测试(THUSSAT)数学试卷(A)及答案

取AM 中点N ,EN 为PAM ∆的中位线,
EN//PM ∴,即⊥EN 面ABC .作BC NF ⊥于F ,连接EF ,
则EFN ∠就是二面角A BC E −−的平面角.………12分
1122
EN PM =
=,433232360sin =⨯=⋅=
BN NF , (9324)
3321
tan ===∠∴NF EN
252422a a f −=⎪⎭⎫ ⎝⎛,此时()⎪⎭⎫ ⎝⎛<2min 1a f x f ,
此时不符合题意;.………12分
当()∞+∈,a 2时,由a a −≤−14
⎫⎢⎣⎡∈127,0πx 上只有一个根,
.………10分
结合图像可得:0321≤≤−
m ,或13
=m
,.………13分即实数m 的取值范围是{}3,032m ⎡⎤
∈−⎢⎥⎣⎦
.………15分
17. 解:
(1)取AB 中点M ,连接PM,CM ,
,BC AC AB CM =∴⊥ ,
,PA PB AB PM =∴⊥,.………3分
362sin 23662cos 236=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅−=⎪⎭⎫ ⎝⎛ππππf .………4分, 共得4分。
(2)因为⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡∈127,0πx ,⎪⎭⎫⎢⎣⎡−∈−πππ,662x ,.………8分 ()()20m
x f x h =
⇒=,即362sin m x =⎪⎭⎫ ⎝⎛−π在⎪⎭
b a ,
.………12分
当0<a 时,⎩⎨⎧⎭⎬⎫≤≤=a x a x B 24,由B A =,可得:⎪⎩⎪⎨⎧−=−=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==632324

2024届高三数学上学期9月中学生标准学术能力诊断性测试卷附答案解析

2024届高三数学上学期9月中学生标准学术能力诊断性测试卷2023.9（全卷满分150分，考试用时120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}11,,1522x A xx B x x x -⎧⎫=<∈=∈<<⎨⎬+⎩⎭R N ，则A B = （）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,42．欧拉公式i e cos isin θθθ=+把自然对数的底数e 、虚数单位i 、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美．已知实数指数幂的运算性质同样也适用于复数指数幂，则i i =（）A ．π2e B ．π2e -C ．πe D ．πe -3．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且公比1q ≠-，若124816S S S =+，则公比q =（）A ．3B ．2±C ．2D ．3±4．已知向量6AB AC ⋅=，线段BC 的中点为M ，且6AM = ，则BC = （）A ．230B ．330C ．226D ．3265．已知函数()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的周期为T ，且满足2πT >，若函数()f x 在区间,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭不单调，则ω的取值范围是（）A ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．4,15⎛⎫ ⎪⎝⎭6．三棱锥A BCD -中，ππ3,42,,43AB BC BD ABC ABD DBC ===∠=∠=∠=，则直线AD 与平面ABC 所成角的正弦值是（）A ．41717B ．42929C ．31717D ．329297．已知三角形ABC 中，3BC =，角A 的平分线交BC 于点D ，若12BD DC =，则三角形ABC 面积的最大值为（）A ．1B ．2C ．3D ．48．比较11101011a =-，ln1.2b =，0.115ec =的大小关系为（）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c>>二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对但不全得3分，有错选的得0分．9．已知实数,,a b c 满足a b c >>，且1abc =，则下列说法正确的是（）A ．()21a c b+>B ．11a cb c<--C ．22a b >D ．()()22110a b ab -->10．已知10个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的8个样本数据的方差为21s ，平均数1x ；最大和最小两个数据的方差为22s ，平均数2x ；原样本数据的方差为2S ，平均数x ，若12x x =，则（）A ．剩下的8个样本数据与原样本数据的中位数不变B ．1x x =C ．剩下8个数据的下四分位数大于原样本数据的下四分位数D ．222124155S s s =+11．已知函数()cos22sin f x x x =+，则（）A ．函数()f x 在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B ．直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴C ．函数()f x 的值域为31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．方程()()()0,2πf x a x =∈最多有8个根，且这些根之和为8π12．已知椭圆C ：2212x y +=的中心为O ，A ，B 是C 上的两个不同的点且满足OA OB ⊥，则（）A ．点O 在直线AB 上投影的轨迹为圆B ．AOB ∠的平分线交AB 于D 点，OD 的最小值为63C ．AOB 面积的最小值为23D ．AOB 中，AB 边上中线长的最小值为233三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知tan 2α=，则sin4α=．14．若()52210012103x x a a x a x a x --=++++ ，则12345a a a a a ++++=．15．已知四棱锥的各个顶点都在同一个球面上．若该球的体积为36π，则该四棱锥体积的最大值是．16．已知函数()()21e sin 112xf x m x x m x =+--++，在0x =处取到极小值，则实数m =．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知{}n a 是各项均为正数的数列，设3log n n c a =，若数列{}n c 的前n 项和22n n nS +=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记()2265n n d a n n =⋅++，求数列{}n d 的前n 项和n T ．18．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos cos cos2c a A B b A A B =-≤．(1)求A ；(2)若D 是BC 上的一点，且:1:2,2BD DC AD ==，求a 的最小值．19．某单位组织知识竞赛，有甲、乙两类问题．现有A 、B 、C 三位员工参加比赛，比赛规则为：先从甲类问题中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该员工比赛结束；若回答正确再从乙类问题中随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该员工比赛结束．每人两次回答问题的过程相互独立．三人回答问题也相互独立．甲类问题中每个问题回答正确得20分，否则得0分；乙类问题中每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知A 员工能正确回答甲类问题的概率为0.5，能正确回答乙类问题的概率为0.6；B 员工能正确回答甲类问题的概率为0.6，能正确回答乙类问题的概率为0.5；C 员工能正确回答甲类问题的概率为0.4，能正确回答乙类问题的概率为0.75．(1)求3人得分之和为20分的概率；(2)设随机变量X 为3人中得分为100的人数，求随机变量X 的数学期望．20．已知四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是矩形，SA BD ⊥，22SA AD CD ==，M 是SB 的中点．(1)证明：MC BD ⊥；(2)若SA AD ⊥，2SA =，点P 是SC 上的动点，直线AP 与平面AMC 所成角的正弦值为1010，求SP SC ．21．已知椭圆222:1(0)6x y C b b +=>的左右焦点分别为12,,F F C 是椭圆的中心，点M 为其上的一点满足125,2MF MF MC ⋅==．(1)求椭圆C 的方程；(2)设定点(),0T t ，过点T 的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，若在C 上存在一点A ，使得直线AP 的斜率与直线AQ 的斜率之和为定值，求t 的范围．22．已知函数()ln e ee (0)axxf x a x x=-->．(1)当1a =时，求函数()()1e eax f x g x x a -=-+-的单调区间；(2)证明：当2e a -<-时，不等式()0f x >恒成立．1．B【分析】根据分式不等式的解法、交集的定义求解即可.【详解】1122x x -<+，则11022x x --<+，即402x x -<+，()()420x x -+<，解得24-<<x ，故{}24A x x =-<<，又{}{}152,3,4B x x =∈<<=N ，故{}2,3A B ⋂=.故选：B 2．B【分析】由已知得出πi 2ππi cos isin e 22⋅=+=，然后指数运算可得结果.【详解】因为πi 2ππi cos isin e 22=+=，所以，2iπππi i i 222i e e e ⋅⋅-⎛⎫=== ⎪⎝⎭.故选：B.3．B【分析】利用等比数列片断和的性质，构造新的等比数列求解即可.【详解】由题意可知，公比1q ≠.由{}n a 是等比数列，则484128,,S S S S S --成等比数列，且公比为4q ，已知124816S S S =+，则412848488444)1615()1515(S S S S S S S S S S S -=-+=+-=++，即844441615S q S S q =+，当40S ≠时，两边同除以4S 得，8415160q q --=，解得，41q =-（舍），或416q =，则2q =±，当40S =时，此时414(1)01a q S q-==-，由10a ≠，解得1q =-，由已知1q ≠-，舍去.故选：B.4．A【分析】用平面向量基底{},AB AC 表示,AM BC，找到,AM BC 的关系求解即可.【详解】设,AB a AC b ==，则()()11,22AM AB AC a b BC AC AB b a =+=+=-=-，由()22222212,24AM a a b b BC a a b b =+⋅+=-⋅+ ，得2244AM BC a b -=⋅ ，又已知6AB AC a b ⋅=⋅=，且6AM = ，则有22444(366)120BC AM a b =-⋅=-=，故230BC =.故选：A.5．C【分析】由函数()f x 在区间,64ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭不单调，转化为在,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭上存在对称轴，求出对称轴方程，建立不等式组求解即可.【详解】已知()πsin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，令πππ()32x k k ω+=+∈Z ，解得ππ6,()k x k ω+=∈Z 则函数()f x 对称轴方程为ππ6,()k x k ω+=∈Z 函数()f x 在区间,64ππ⎛⎫⎪⎝⎭不单调，∴ππππ6,()64k k ω+<<∈Z ，解得2461,3k k k ω+<<+∈Z ，又由2πT >，且0ω>，得01ω<<，故仅当0k =时，213ω<<满足题意.故选：C.6．A【分析】取CD 中点，连接,AE BE ，证得CD ⊥面ABE ，作AO BE ⊥于O 得AO ⊥面BCD ，由等积法求出点D 到平面ABC 的距离h ，则hAD为直线AD 与平面ABC 所成角的正弦值.【详解】取CD 中点，连接,AE BE ，,,AB AB BC BD ABC ABD ==∠=∠ ，ABC ∴ ≌ABD △，AC AD ∴=，AE CD ∴⊥，π,3BC BD DBC =∠=，BCD ∴△是边长为42的正三角形，,26BE CD BE ∴⊥=，,AE BE ⊂ 面,ABE AE BE E = ，CD \^面ABE ，作AO BE ⊥于O ，AO ⊂Q 面,ABE CD AO ∴⊥，,BE CD ⊂ 面,BCD BE CD E = ，AO ∴⊥面BCD ，在ABC 中，由余弦定理得2222cos AC AB BC AB BC ABC=+-⋅⋅∠22π3(42)2342cos4=+-⨯⨯17=，17AC AD ∴==，221783AE AC CE ∴=-=-=，3AB AE == ，OB OE ∴=，22963AO AB BO ∴=-=-=，1sin 2ABC S AB BC ABC =⋅⋅∠△1π342sin 624=⨯⨯⨯=，设点D 到平面ABC 的距离为h ，由A BCD D ABC V V --=得1133BCD ABC S AO S h =⋅⋅ ，即21π(42)sin 3623h ⨯⋅⋅=⋅，解得4h =，所以直线AD 与平面ABC 所成角的正弦值为44171717h AD ==.故选：A.7．C【分析】先根据正弦定理可得12AB AC =，再建立平面直角坐标系求解A 的轨迹方程，进而可得ABC 面积的最大值.【详解】在ABD △中sin sin AB BDADB BAD =∠∠，在ABD △中sin sin AC DC ADC CAD=∠∠，故sin sin AB ADB BD BAD ∠=∠，sin sin AC ADCDC CAD∠=∠，因为180ADB ADC ∠=︒-∠，故()sin sin 180sin ADB ADC ADC ∠=︒-∠=∠，又角A 的平分线交BC 于点D ，则BAD CAD ∠=∠，故AB ACBD DC=.故12AB BD AC DC ==.以D 为坐标原点建立如图平面直角坐标系，则因为3BC =，12BD DC =，故()1,0B -，()2,0C ，设(),A x y ，则()()22221122x y x y ++=-+，即()()2222412x y x y ⎡⎤=++-+⎣⎦，故222484344x x y x x +++=-+，化简可得2240x x y ++=，即()2224x y -+=，故点(),A x y 的轨迹是以()2,0-为圆心，2为半径的圆（除去()()4,0,0,0-）.故当A 纵坐标最大，即()2,2A -时ABC 面积取最大值为13232ABC S =⨯⨯=△.故选：C 8．D【分析】构造函数()12ln f x x x x=--，其中1x >，()()2ln 211x g x x x =+-+，其中0x >，()e 1x h x x =--，其中0x >，利用导数分析各函数的单调性，由()f x 的单调性可得出a 、b 的大小关系，由()g x 的单调性可得出b 、211的大小关系，由()h x 的单调性可得出c 、211的大小关系，综合可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】构造函数()12ln f x x x x =--，其中1x >，则()()22211210x f x x x x-'=+-=>，所以，函数()f x 在()1,+∞上为增函数，所以，()()111011101.12ln1.1ln1.211010111011f f =--=-->=，所以，1110ln1.21ln1.21011a b =->>=，令()()2ln 211xg x x x =+-+，其中0x >，则()()()222220111xg x x x x '=-=>+++对任意的0x >恒成立，所以，函数()g x 在()0,∞+上为增函数，所以，()()0.220.1ln1.2ln1.2001.111g g =-=->=，即2ln1.211b =>，令()e 1x h x x =--，其中0x >，则()e 10xh x '=->对任意的0x >恒成立，所以，函数()h x 在()0,∞+上为增函数，则()()0.10.1e 1.100g g =->=，则0.1e 1.1>，所以，0.11125e 5 1.111c =<=⨯，综上所述，a b c >>.故选：D.9．ABD【分析】对A ，根据1abc =可得1ac b =，再代入()21a c b+>推导即可；对B ，由0a c b c ->->推导即可；对C ，举反例判断即可；对D ，根据1abc =代入化简()()2211a b ab --即可判断.【详解】对A ，根据1abc =可得1ac b =，故()21a c b+>即()2a c ac +>，即220a ac c ++>.因为22223204a a a c c c c ⎛⎫=++ ⎪+⎭+>⎝恒成立，故()21a c b +>成立，故A 正确；对B ，因为a b c >>，故0a c b c ->->，故11a cb c<--成立；对C ，当1,1,22a b c ==-=-时，满足a b c >>且1abc =，但22a b >不成立，故C 错误；对D ，因为1abc =，()()()()2221111a c b c a b a b ab c c c --⎛⎫⎛⎫--=--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因为a b c >>，故()()20a c b c c -->，故D 正确.故选：ABD 10．ABD【分析】设10个样本数据从小到大排列分别为12310,,...x x x x ，再根据中位数、平均数、下四分卫数与方差的定义与公式推导即可.【详解】设10个样本数据从小到大排列分别为12310,,...x x x x ，则剩下的8个样本数据为239,...x x x .对A ：原样本数据的中位数为562x x +，剩下的8个样本数据中位数为562x x+，故A 正确；对B ，由题意()12391...8x x x x =+++，()211012x x x =+，()12101...10x x x x =+++.因为12x x =，故()()123911011 (82)x x x x x x =+++=+，即23911101...8,2x x x x x x x +++=+=，故1239101...10x x x x x x +++++=，故()12391011 (10)x x x x x x +++++=，故1x x =.故B 正确；对C ，因为1824⨯=，故剩下8个数据的下四分位数为()3412x x +，又110 2.54⨯=，故原样本数据的下四分位数为3x ，又43x x ≥，故()34312x x x +≥，故C 错误；对D ，因为12x x x ==，故()2222212391...8s x x x x =+++-，()2222211012s x x x =+-，()2222212101 (10)S x x x x =+++-.故222222391...88x x x s x +++=+，2222110222x x s x +=+，故()22222222121114188221055S s x s x x s s =+++-=+，故D 正确.故选：ABD 11．BCD【分析】根据函数的周期性与对称性，结合复合函数的单调性作出图象即可解决问题.【详解】()cos22sin ,f x x x x =+∈R ，()cos(2)2|sin()|cos 22|sin |()f x x x x x f x ∴-=-+-=+=，则()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称.()cos 2()2sin()cos 22sin ()f x x x x x f x +π=+π++π=+= ，()f x ∴是周期函数，周期T π=.又()cos 2()2sin()cos 22cos 222f x x x x xπππ-=-+-=-+ 且()cos 2()2sin()cos 22cos 222f x x x x x πππ+=+++=-+，()()22f x f x ππ∴-=+，即()f x 图象关于2x π=轴对称，故直线,2k x k π=∈Z 都是()f x 的对称轴.当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin 0x ≥，则2()cos 22sin 2sin 2sin 1f x x x x x =+=-++2132(sin )22x =--+，令sin t x =，则()f x 可看成由2132()22y t =--+与sin t x =复合而成的函数，sin ,0,2t x x π⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦单调递增，当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则10,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2132()22y t =--+单调递增，则()f x 单调递增；当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2132()22y t =--+单调递减，则()f x 单调递减；且min max 3()(0)()1,()()262f x f f f x f ππ=====.结合以上性质，作出函数()[]cos22sin ,0,2πf x x x x =+∈的大致图象.GGB选项A ，函数()f x 在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故A 项错误；选项B ，直线2x π=是函数()f x 图象的一条对称轴，故B 项正确；选项C ，当[0,]x π∈时，函数()f x 的值域为31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，由函数周期πT =，函数()f x 的值域为31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故C项正确；选项D ，如图可知，方程()f x a =最多有8个根，设为(1,2,3,,8)i x i = ，不妨设1238x x x x <<<< ，当()0,2πx ∈时，函数()f x 的图象关于x π=对称，则8182736451()()()()428i i x x x x x x x x x ==+++++++=⨯π=π∑，即这些根之和为8π，故D 项正确.GGB故选：BCD.12．ABC【分析】根据斜率是否存在分类设直线AB 方程，利用OA OB ⊥，可求得点O 到直线AB 的距离为定值，即可判断A ；根据椭圆的对称性，AOB ∠的平分线OD 及AB 边上中线最小值都为点O 到直线AB 的距离可判断BD ；C 选项可有射影定理和基本不等式求出AB 的最小值，进而得到AOB 面积的最小值.【详解】AI选项A ：如图，作OM AB ⊥于M ，则点O 在直线AB 上投影为点M ，当直线AB 斜率不存在时，设直线AB 为x m =，因OA OB ⊥，根据椭圆的对称性可知若A 在第一象限，则(),A m m ，代入2212x y +=得2212m m +=，得63m =，故直线AB 方程为63x =，此时M 为直线AB 与x 轴的交点，63OM =，根据椭圆的对称性知，当直线AB 方程为63x =-，也符合题意，63OM =，当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx n =+，联立2212x y +=得()222144220k x knx n +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122414kn x x k +=-+，21222214n x x k-=+，因OA OB ⊥，故12120x x y y +=，即()()12120x x kx n kx n +++=，化简得()()22121210k x x kn x x n ++++=，即()22222224101414n knk kn n k k-⎛⎫++-+= ⎪++⎝⎭，得()22213n k =+，OM 即点O 到直线AB 的距离，则222261331nn OM k k====++，综上可知OM 为定值63，故M 点的轨迹为以O 为圆心以63为半径的圆，故A 正确；选项B ：由A 选项知点O 到直线AB 的最小距离为63，AOB ∠的平分线交AB 于D 点，当直线AB 斜率不存在时，根据椭圆的对称性，OD 即为OM ，故OD 的最小值为63，故B 正确；选项C ：根据射影定理，223AM BM OM ⋅==，故2623AB AM BM AM BM =+≥⋅=，当且仅当AM BM =时等号成立，此时11226623332AOB S AB OM =壮=创，故C 正确；D 选项：当直线AB 斜率不存在时，根据椭圆的对称性，AOB 中，AB 边上中线即为63OM =，故D 错误，故选：ABC 13．2425-##0.96-【分析】知切求弦，转化为齐次比形式再变形为切代入求解即可.【详解】22sin 42sin 2cos 24sin cos (cos sin )==-ααααααα333322242244(sin cos sin cos )4(sin cos sin cos )(sin cos )sin 2sin cos cos --==+++αααααααααααααα3424(tan tan )4(28)24tan 2tan 1168125--===-++++αααα.故答案为：2425-.14．46-【分析】根据二项展开式公式分别计算12345,,,,a a a a a 即可.【详解】由题意，()523x x --中含x 的项为()()1415C 3405x x =---；含2x 的项为()()()()2123421255C 35C 3+13x x x --=-；含3x 的项为()()()()()1133212135453+C C 33450C x x x x -=---；含4x 的项为()()()()()()()213224122122455454C 3+1C 53C 3C x x x x x -+=-----；含5x 的项为()()()()()()()21123152211253553545C C +2C 3C C 131x x x x x x -+=-----；故123454051354501521146a a a a a ++++=-++--=-.故答案为：46-15．643##1213【分析】根据球的体积求出半径，再判断出体积最大时为正四棱锥，根据直角三角形中勾股定理求出正四棱锥底面边长和高的关系，表示出正四棱锥的体积，通过导数求得其最大值.【详解】球的体积314363V R ππ==,∴球的半径3R =要使该四棱锥体积最大，如图四棱锥P ABCD -，对于底面ABCD 所在的小圆中，顶点P 到该小圆面距离最大，也就是高最大，即点P 位于小圆圆心O 与球心M 所在直线与球面的交点（远离小圆圆心的那点）；同时要使四棱锥体积最大，底面四边形ABCD 面积S 取最大，1111sin sin()sin()sin 2222AOB AOD BOC COD S S S S S AO BO AO OD OB OC CO DO θπθπθθ=+++=⋅⋅+⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅ 1sin 2AC BD θ=⋅⋅（其中θ为AC 与BD 的夹角）所以当AC 、BD 取最大即小圆的直径，sin θ取最大为1时，即AC BD ⊥时，底面四边形ABCD 面积S 最大，也就是四边形ABCD 为正方形时，其面积最大，因此当四棱锥P ABCD -为正四棱锥时，其体积最大.设2AB a =，高PO h =，则2OD a =,在Rt MOD 中，222MD MO OD =+,即2223(3)2h a =-+，221[9(3)]2a h ∴=--所以正四棱锥的体积()223211224934(06)3333V Sh a h h h h h h ⎡⎤==⨯=--=-+<<⎣⎦2282(4)V h h h h '=-+=--，故当()0,4h ∈时，0V '>，函数V 单调递增；当()4,6h ∈时，0V '<，函数V单调递减，所以4h =时，函数V 取得最大值32max 26444433V =-⨯+⨯=故答案为：643.16．1【分析】首先求函数的导数，并求函数的多阶导数，并分析求得m 的取值.【详解】()()e cos 1xf x m x x m '=+--+，由题意可知，()()0110f m m '=+-+=，设()()g x f x '=，()e sin 1xg x m x '=--，()00g '=，设()()h x g x '=，()e cos xh x m x '=-，()01h m '=-，若()010h m '=->，则存在(),x εε∈-，使()0h x '>，则(),x εε∈-，()h x 单调递增，即()g x '单调递增，又()00g '=，所以(),0x ε∈-，()0g x '<，函数()g x 单调递减，()0,x ε∈，()0g x '>，函数()g x 单调递增，所以(),x εε∈-，()()00g x g ≥=，即()0f x '≥，那么，(),x εε∈-，函数()f x 单调递增，在0x =处不能取到极小值，故不成立，若()010h m '=-<，则存在(),x εε∈-，使()0h x '<，则(),x εε∈-，()h x 单调递减，即()g x '单调递减，又()00g '=，所以(),0x ε∈-，()0g x '>，函数()g x 单调递增，()0,x ε∈，()0g x '<，函数()g x 单调递减，所以(),x εε∈-，()()00g x g ≤=，即()0f x '≤，那么，(),x εε∈-，函数()f x 单调递减，在0x =处不能取到极小值，故不成立，所以()010h m '=-=，即1m =.故答案为：1【点睛】思路点睛：本题表面是一道普通的根据极小值点求参数的取值问题，实际得需要求多阶导数，再分析出m 的取值.17．(1)3nn a =(2)n T ()212236n n n +=++⨯-【分析】（1）根据1n n n S S c --=可得n c n =，进而可得{}n a 的通项公式；（2）裂项可得()()21211313n n n d n n +⎡⎤=++⨯-+⨯⎣⎦，再累加求和即可.【详解】（1）()()22111,22n n n n n n S S --+-+=∴=，()11,n n n S S n c n n -∴-==>∈N 又()111,,3nn n c S c n n a +==∴=∈∴=N （2）()()22123265(1)1313n n nn d n n n n +⎡⎤=⨯++=++⨯-+⨯⎣⎦ ()()()()2222322213113313213n T ∴=+⨯-+⨯++⨯-+⨯++()()22121213(1)13(1)1313n n n nnn n n -+⎡⎤⎡⎤+⨯--+⨯+++⨯-+⨯⎣⎦⎣⎦()221113(1)13n n +⎡⎤=-+⨯+++⨯⎣⎦()212236n n n +=++⨯-18．(1)π3A =(2)677【分析】（1）根据正弦定理化简可得()sin sin 2C A B =-，再根据角度关系分析即可；（2）根据平面向量基本定理可得23AB ACAD += ，再两边平方可得224236b c bc ++=，结合余弦定理可得222421361c c b b a c c b b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再令c x b =，结合函数单调性与最值求解即可.【详解】（1）()2cos cos cos2c a A B b A A B =-≤ ，sin 2sin cos cos sin cos2C A A B B A∴=-()sin sin2cos sin cos2sin 20C A B B A A B ∴=-=->又02πA B <-<，则C 2A B =-或2πC A B +-=，若C 2A B =-，则π3A =；若2πC A B +-=，则2A B =，又A B ≤，不符合题意，舍去，综上所述π3A =.（2）22222,,()33AB AC AB AC BD DC AD AD ⎛⎫++=∴=∴= ⎪⎝⎭224236b c bc ∴++=①，又222a b c bc =+-②，①÷②得：222222242136421c c c b bc b b a b c bc c c b b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭==+-⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令cx b=，又22222,,,A B a b a b b c bc b ≤∴≤∴≤∴+-≤，,01cc b x b∴≤∴<=≤，令()()22242163(01),411x x x f x x f x x x x x ++-=<≤=+-+-+ 令363,6t x t x +-==，令()()2364(33)27tg t f x t t ==+-<≤+，当0=t 时()4g t =，当0t ≠时()364(33)27g t t t t=+-<≤+，由对勾函数性质可得当03t <≤时，27y t t =+为减函数，故27273123t t +≥+=，同理当0t <时2712t t+<-，()2366717,7,7g t a a ∴<≤∴≤∴≥所以当三角形ABC 为等边三角形时a 最小，最小值为67719．(1)0.158(2)0.9【分析】（1）列举出3人得分之和为20分的各种情况，结合独立事件的概率乘法公式以及互斥事件的概率加法公式可求得所求事件的概率；（2）计算出3人各自得分为100的概率，可知()~3,0.3X B ，利用二项分布的期望公式可求出()E X 的值.【详解】（1）解：设事件1A 为A 员工答对甲类问题；设事件2A 为A 员工答对乙类问题；设事件1B 为B 员工答对甲类问题；设事件2B 为B 员工答对乙类问题；设事件1C 为C 员工答对甲类问题；设事件2C 为C 员工答对乙类问题；三人得分之和为20分的情况有：①A 员工答对甲类题，答错乙类题；B 与C 员工均答错甲类题，则()()()()()121112110.50.40.40.60.048P A A B C P A P A P B P C ⋅⋅⋅==⨯⨯⨯=；②B 员工答对甲类题，答错乙类题；A 与C 员工均答错甲类题，()()()()()121112110.60.50.50.60.09P B B A C P B P B P A P C ⋅⋅⋅==⨯⨯⨯=；③C 员工答对甲类题，答错乙类题；A 与B 员工均答错甲类题，()()()()()121112110.40.250.50.40.02P C C A B P C P C P A P B ⋅⋅⋅==⨯⨯⨯=，所以三人得分之和为20分的概率为0.0480.090.020.158++=.（2）解：因为A 员工得100分的概率为()()()12120.50.60.3P A A P A P A ⋅=⋅=⨯=，B 员工得100分的概率为()()()12120.60.50.3P B B P B P B ⋅=⋅=⨯=，C 员工得100分的概率为()()()12120.40.750.3P C C P C P C ⋅=⋅=⨯=，所以，随机变量()3,0.3X B ，所以，()30.30.9E X =⨯=.20．(1)证明见解析(2)12SP SC =【分析】（1）取AB 的中点N ，连接MN 、CN ，推导出BD ⊥平面CMN ，再利用线面垂直的性质定理可证得结论成立；（2）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、AS 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设SP SC λ=，其中01λ≤≤，求出平面AMC 的一个法向量的坐标，利用空间向量法可得出关于λ的方程，解出λ的值，即可得解.【详解】（1）取AB 的中点N ，连接MN 、CN ，因为M 、N 分别为SB 、AB 的中点，则//MN SA ，因为SA BD ⊥，所以，BD MN ⊥，设直线CN 与直线BD 交于Q 点，因为//BN CD ，则BNQ DCQ ∠=∠，NBQ CDQ ∠=∠，所以，BNQ CDQ △∽△，所以，12NQ BQ BN CQ DQ DC ===，故13NQ BQ NC BD ==，设AD a =，则22CD AD a ==，22222622NC BN BC a a a ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以，1636NQ CN a ==，且()222223BD AD AB a aa =+=+=，1333BQ BD a ==，所以，222222632a a a NQ BQ BN +=+==，所以，BD CN ⊥，又因为MN CN N ⋂=，MN 、CN ⊂平面CMN ，则BD ⊥平面CMN ，因为MC ⊂平面CMN ，故MC BD ⊥.（2）因为SA AD ⊥，SA AB ⊥，AB AD ⊥，以点A 为坐标原点，AD 、AB 、AS 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，因为2SA =，则()0,0,0A 、()0,0,2S 、()2,22,0C 、()0,22,0B 、()0,2,1M ，设平面AMC 的法向量为(),,m x y z =，则()2,22,0AC = ，()0,2,1AM = ，则222020m AC x y m AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取2x =，则()2,1,2m =- ，设()()2,22,22,22,2SP SC λλλλλ==-=-，其中01λ≤≤，()()()0,0,22,22,22,22,22AP AS SP λλλλλλ=+=+-=-，因为直线AP 与平面AMC 所成角的正弦值为1010，则()222110cos ,1051684m AP AP m m APλλλ-⋅===⋅⋅-+，解得12λ=，即12SP SC =.21．(1)22163x y +=(2)6t >或6t <-【分析】（1）在12MF F △中，根据余弦定理及MC可得2229a c -=，从而求得椭圆方程.（2）设()()()001122,,,,,A x y P x y Q x y ，直线l 的方程为x y t λ=+，代入椭圆方程得韦达定理，要使01020102y y y y x x x x --+=--()()()()200000222002212462x y tx y x t x x t λλλ+-+--+-为常数，则02120tx -=，根据0x 范围得到t 的范围及点A 坐标.【详解】（1）设1122,MF r MF r ==，在12MF F △中，设12F MF θ∠=，22221212122cos 4F F r r r r c θ=+-=，()22212121212cos 4,2r r r r c MC MF MF θ∴=+-=+ 又，()()2222222212112212121122cos 4422r r MC MF MF MF MF r r r r c θ∴=++⋅=++=+- ，()222121222222122254222r r r r r r MC c c a c +-∴=+-=-=--=2222229,6,3,3a c a c b ∴-==∴=∴= ，所以椭圆C 的方程为：22163x y +=（2）设()()()001122,,,,,A x y P x y Q x y ，直线l 的方程为x y t λ=+，()222221226063x y y t y t x y t λλλ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩，2121211222226,,,22t t y y y y x y t x y t λλλλλ-∴+=-==+=+++，22121222426,22t t x x x x λλλ-+==++，设()()()()()()01020201010201020102y y x x y y x x y y y y x x x x x x x x -⋅-+-⋅---+=---⋅-()()()()0001212012201201222x y y x x y y t x y y x x x x x x λ-+++-+=-++()()()()200000222002212462x y tx y x t p x x t λλλ+-+-==-+-，若p 为常数，则02120tx -=，即06tx =，而此时()()()000002200042262y x t x y y x t x x t -==---，又0666,66x t-<<∴-<<，即6t >或6t <-，综上所述，6t >或6t <-，存在点2618,3A t t ⎛⎫±- ⎪ ⎪⎝⎭，使得直线AP 的斜率与直线AQ 的斜率之和为定值002y x t-【点睛】关键点点睛：()()()()200000222002212462x y tx y x t x x t λλλ+-+--+-对任意λ恒为定值，因为分子分母中同时含有λ，这种情况下分子分母λ的对应系数成比例则整体可以为定值，故需要02120tx -=且()()()000022004262y x t x y x x t -=--即2λ项、常数项对应成比例.22．(1)函数()g x 在()0,∞+上单调递增(2)证明见解析【分析】（1）利用导函数研究函数()g x 的单调性，由导函数分子21ln x x -+符号不易判断，再构造函数()21ln ,0h x x x x =-+>，借助导函数研究()h x 的单调性，进而求出其最小值大于0，即()0g x '>，从而得到函数的单调性.（2）等价转化不等式为1e ln 0ax x x ax --->，构造函数()1e ln ax x x x ax -=--ϕ，求导得()()()111e 1ax x ax x x-'=+-ϕ，再构造研究函数()1e 1ax r x x -=-的单调性与最值，得1e 10ax x --<，再由()()()111e 1ax x ax x x -'=+-ϕ符号，分析单调性，得()22min e e ln 1x a a --⎛⎫=---- ⎪⎝⎭ϕ，再构造函数证明()min ()ln 10x m t t t ==-->ϕ即可.【详解】（1）当1a =时，()ln e ee(0)xxf x x x=-->，则()()1ln e 1e x f x xg x x x x-=-+-=+，()()2221ln 1ln 1x x x g x x x --+=+='令()21ln ,0h x x x x =-+>，则()21212x h x x x x -=-+='，令()0h x '=，得22x =，当20,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 单调递减；当2,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 单调递增.所以函数()h x 在20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减,在2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增，()()()min 221311ln ln 20,0,022222h x h h x g x ⎛⎫∴==-+=+>∴>⎝'∴> ⎪ ⎪⎭，所以函数()g x 在()0,∞+上单调递增.（2）不等式ln e e e 0ax xa x -->等价于1e ln 0ax x x ax --->令()1e ln 0ax x x x ax -=-->ϕ则()()()()11111e 1e 1ax ax x ax a ax x x x --'=+-=+--ϕ设()()()11e 1,1e ax ax r x x r x ax --'=-∴=+，当()10,0x r x a '<<->，当()1,0x r x a '>-<，所以函数()r x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递减，()()2max 11e r x r a a a -⎛⎫∴=-=-+ ⎪⎝⎭，()22max 1e ,()e 0a r x a a --<-∴=-+< ，即()0r x <，则令()()()111e 10ax x ax x x -'=+-<ϕ，解得1x a <-，令()()()111e 10ax x ax x x -'=+->ϕ，解得1x a >-，所以函数()x ϕ在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，在1,a ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭单调递增，()222min 111e e e ln 1ln 1x a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=---+=---- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ϕϕ，令2e t a -=-，则()()()11ln 1,0,1,1t m t t t t m t t t -=-=-='-∈，当(0,1)t ∈时，()0m t '<，()m t ∴在()0,1单调递减，()()1,(1)1ln110,m t m m ∴>=--=，()0m t ∴>()()min 0,0x x ∴>∴>ϕϕ即2e a -<-时，不等式()0f x >恒成立．。

2020年9月中学生标准学术能力基础性测试2021届高三诊断性测试语文答案

中学生标准学术能力诊断性测试2020年9月测试语文参考答案一、选择题（每小题3分）二、非选择题6．【参考答案】①差异：材料一中的有关良渚水利系统的表述比较概括，材料三则对良渚水利系统的意义以及修建过程进行了概述，并且以此推断当时的社会状况。

（3分）②产生差异的原因：材料一的主要内容是围绕“良渚古城遗址申遗成功”展开的，因此只是点出了良渚水利系统在良渚古城遗址中的显著地位及其在世界上的影响，不宜详细展开。

材料三是相对全面地介绍良渚古城的状况，水利系统是古城重要组成部分，因此从其历史地位以及修建所需的人力等方面展开阐述，并且与古城人口状况有机联系起来。

（3分）8．【参考答案】①结构：小说采用了对比的结构方式，以“石榴”这个礼物为线索，将没生病时的父亲和今年的父亲进行对比，表达对父亲的爱以及生命老去的悲哀。

（3分）②故事编排：小说围绕“父亲的礼物”，先写父亲以前每年给“我们”送礼物，后写今年父亲因记忆力衰退导致“丢礼物”，再写大哥为安慰父亲而“买礼物”，最后写暴雨之后收拾箱子发现腐烂的石榴，并且在心里认为“收到礼物”，情节环环相扣。

（3分）9．【参考答案】①人性冷暖：小说写出了乡村人与人之间的淳朴和谐关系，例如父亲记忆力衰退带来的还有心性的变化，他无意之中伤害了街坊，给邻居生活带来困扰，邻居们大度包容，并且对父亲的遭遇表示惋惜。

②悲悯情怀：父亲记忆里衰退，是生命将尽的表现，这种自然规律是无法抗拒的，作者写父亲个体生命逐渐逝去，表达了对生命的悲悯情怀。

（每点3分，其他答案，只要言之成理，也可酌情给分）13．【参考答案】（1）李之纯上疏论述董、黄的污蔑和欺骗，董、黄二人就被罢黜了。

（“疏”，意为“上疏”，1分；诬罔，诬陷欺骗，2分；黜，罢免，1分。

句意通顺，1分。

本句翻译的难点在于被罢黜的是董黄二人还是李之纯，根据后文“以疾，改工部尚书”推断此处被罢免的应是董黄二人。

）（2）李之仪考取进士用了将近三十年时间，跟从苏轼在定州幕府任职。

THUSSAT中学生标准学术能力2023年9月诊断性测试数学答案

中学生标准学术能力诊断性测试2023年9月测试数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对但不全的得3分，有错选的得0分．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．2425−14．46− 15．64316．1四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）（1）()22111,22n n n n n n S S −−+−+=∴=， ()11,n n n S S n c n n −∴−==>∈N ·································································· 2分又()111,,3nn n c S c n n a ==∴=∈∴=N + ······················································· 3分（2）()()()2212326511313n n n n d n n n n +⎡⎤=⨯++=++⨯−+⨯⎣⎦····························· 7分()()()()2222322213113313213n T =+⨯−+⨯++⨯−+⨯++∴()()()()2221121311311313n n n nn n n n −+⎡⎤⎡⎤+⨯−−+⨯+++⨯−+⨯⎣⎦⎣⎦()()221113113n n +⎡⎤=−+⨯+++⨯⎣⎦()212236n n n +=++⨯− ····································································· 10分18．（12分）（1）()2cos cos cos2c a A B b A A B =−≤，sin 2sin cos cos sin cos 2C A A B B A ∴=− ···················································· 2分 ()sin sin 2cos sin cos2sin 20C A B B A A B ∴=−=−> ··································· 4分又02A B <−<π，则2C A B =−或2C A B +−=π，若2C A B =−，则3A π=；若2C A B +−=π，则2A B =，又A B ≤，不符合题意，舍去，综上所述3A π= ························································································· 6分（2）()22222,,33AB ACAB AC BD DC AD AD ⎛⎫++=∴=∴= ⎪⎝⎭···························· 8分 224236b c bc ∴++= ①，又222a b c bc =+− ②，①÷②得：222222242131426c c b b a b c bc c c b c b bc b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+==+−⎛⎫⎛⎫−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎭+⎝········································ 9分令cx b=，又22222,,,A B a b a b b c bc b ≤≤≤∴+−≤∴∴， ,01cc b x b∴≤∴<=≤，令()()()222142111,6430f x x f x x x x x x x x +=<≤=+−+−+−+ ······························ 10分令363,6t x t x +−==， ()()()()23636433,4332727t f t t f t t t t t∴=+−<≤∴=+−<≤++，又2712t t +≥或()2273612,17,7,7t f t a t a +<−∴<≤∴≤∴≥，所以当三角形ABC 为等边三角形时a最小，最小值为7····························· 12分 19．（12分）（1）设事件1A 为A 员工答对甲类问题；设事件2A 为A 员工答对乙类问题；设事件1B 为B 员工答对甲类问题；设事件2B 为B 员工答对乙类问题；设事件1C 为C 员工答对甲类问题；设事件2C 为C 员工答对乙类问题；三人得分之和为20分的情况有：①A 员工答对甲类题，答错乙类题；B 与C 员工均答错甲类题，则()()()()()121112110.50.40.40.60.048P A A B C P A P A P B P C ⋅⋅⋅==⨯⨯⨯= ·············································································································· 2分 ②B 员工答对甲类题，答错乙类题；A 与C 员工均答错甲类题，()()()()()121112110.60.50.50.60.09P B B A C P B P B P A P C ⋅⋅⋅==⨯⨯⨯=·············································································································· 4分 ③C 员工答对甲类题，答错乙类题；A 与B 员工均答错甲类题，()()()()()121112110.40.250.50.40.02P C C A B P C P C P A P B ⋅⋅⋅==⨯⨯⨯=，所以三人得分之和为20分的概率为0.048+0.09+0.02=0.158 ·································· 6分（2）A 员工得100分的概率为()()()12120.3P A A P A P A ⋅=⋅=，B 员工得100分的概率为()()()12120.3P B B P B P B ⋅=⋅=，C 员工得100分的概率为()()()12120.3P C C P C P C ⋅=⋅=，·············································································································· 9分()~3,0.3X B ∴······················································································ 11分∴()30.30.9E X =⨯= ············································································ 12分20．（12分）（1）取AB 的中点N ，连接MN ，NC ，则线段MN 为三角形SAB 的中位线， MNSA ∴，又,SA BD BD MN ⊥∴⊥ ························································ 2分设直线CN 与直线BD 交于Q 点，则1,3NQ BQ BNQCDQ NC BD ∆∆∴==，设,,,26AD a CD NC a NQ =∴=∴=∴=，同理,3BD BQ a ==，又222222632a a a NQ BQ BN +=+== ··························································· 5分 ,BD CN BD ∴⊥∴⊥面,MNC MC BD ∴⊥ ··················································· 6分（2）分别以直线AD ，AB ，AS 为x 轴，y 轴，z 轴建立直角坐标系，则()()()()()0,0,0,0,0,2,,,A S C B M ，设SP SC λ=，()()()()2,21,2,21P AP λλλλ∴−∴=− ································· 8分又()()0,2,1,AM AC ==，设平面AMC 的法向量(),,n x y z =，则(20,2,1,20n AM y z n n AC x ⎧⋅=+=⎪∴=−⎨⋅=+=⎪⎩ ·········································· 10分设直线AP 与平面AMC 所成的角为θ，则sin cos ,10AP n θ===， 11,22SP SC λ∴=∴= ·················································································· 12分 21．（12分）（1）设1122,MF r MF r ==，在12MF F ∆中，设12F MF θ∠=，22221212122cos 4F F r r r r c θ=+−=，22212122cos 4r r r r c θ∴=+−，又()1212MC MF MF =+， ()()2222222212121212121122cos 4422r r MC MF MF MF MF r r r r c θ∴=++⋅=++=+−，()222121222222122254222r r r r r r MC c c a c +−∴=+−=−=−−= ························· 3分 2222229,6,3,3a c a c b ∴−==∴=∴=，所以椭圆C 的方程为：22163x y += ······························································· 4分（2）设()()()001122,,,,,A x y P x y Q x y ，直线l 的方程为x y t λ=+，()222221226063x y y t y t x y t λλλ⎧+=⎪⇒+++−=⎨⎪=+⎩， 2121211222226,,,22t t y y y y x y t x y t λλλλλ−∴+=−==+=+++，22121222426,22t t x x x x λλλ−+==++ ································································ 7分设()()()()()()01020201010201020102y y x x y y x x y y y y x x x x x x x x −⋅−+−⋅−−−+=−−−⋅− ()()()()000121201221201222x y y x x y y t x y y x x x x x x λ−+++−+=−++ ()()()()20000022202212462x y tx y x t p xx t λλλ+−+−==−+−若p 为常数，则02120tx −= ····································································· 10分即06tx =，而此时()()()000002200042262y x t x y y x t x x t −==−−−，又06x t<<<<，即t >t <综上所述，t >t <存在点6,A t ⎛ ⎝，使得直线AP 的斜率与直线AQ 的斜率之和为定值02y x t− ············································································ 12分 22．（12分）（1）()()()2221ln ln 1ln ,1x x x x g x x g x x x x−−+'=+=+= ······································ 1分令()()211ln ,20h x x x h x x x '=−+=−+>，即2x >，所以函数()h x在区间2⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭单调递增，在区间0,2⎛ ⎝⎭单调递减 ················· 3分又()()()min 0,0,02h x h h x g x ⎛⎫'=>∴>∴> ⎪⎪⎝⎭，所以函数()g x 在()0,+∞上单调递增 ····························································· 5分（2）不等式ln e ee 0axxa x−−>等价于1e ln 0ax x x ax −−−> 令()()()()111e ln 01e 1ax ax g x x x ax g x ax x x−−=−−>'=+−， ···························· 7分设()()()11e 1,1e ax ax h x x h x ax −−=−∴'=+，当()10,0x h x a<<−'>，所以函数()h x 在10,a ⎛⎫−⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，()()2max 11e h x h a a a −⎛⎫∴=−=−+ ⎪⎝⎭，()22max 1e ,e 0a h a a−−<−∴=−+<，所以函数()g x 在1,a ⎛⎫−+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在10,a⎛⎫− ⎪⎝⎭单调递减 ··························· 10分 ()2min 2111e ln 1e g x g a a a −−⎛⎫∴=−=−−− ⎪⎝⎭，令21e t a−=，则()()()()()min1ln 10,1,1g t t t m t t m t t =−−=∈'=−， ()m t ∴在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增， ()()()min 10,0m x m m t ∴==>，()()min 0,0g x g x ∴>∴> ········································································ 12分即2e a −<−时，不等式()0f x >恒成立．。

清华大学中学生标准学术能力(TDA)诊断性测试2024-2025学年高二上学期数学试卷和答案

标准学术能力诊断性测试2024年9月测试数学试卷（A 卷）本试卷共150分，考试时间90分钟.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设,a b ∈R ，则“22log log a b >”是“1122b a ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.集合(){}{}22ln 23,23,A x y x x B y y x x x A ==--==-+∈∣∣，则A B ⋂=R ð（）A.(),1∞-- B.()(],13,6∞--⋃C.()3,∞+ D.()[),16,∞∞--⋃+3.已知复数z 满足5z z ⋅=，则24i z -+的最大值为（）C. D.4.已知非零向量,a b 满足3a b = ，向量a 在向量b 方向上的投影向量是9b - ，则a 与b 夹角的余弦值为（） A.33 B.13 C.33- D.13-5.设函数()f x 的定义域为R ，且()()()()42,2f x f x f x f x -++=+=-，当[]1,2x ∈时，()()()2,303f x ax x b f f =+++=-，则b a -=（）A.9-B.6-C.6D.96.班级里有50名学生，在一次考试中统计出平均分为80分，方差为70，后来发现有3名同学的分数登错了，甲实际得60分却记成了75分，乙实际得80分却记成了90分，丙实际得90分却记成了65分，则关于更正后的平均分和方差分别是（）A.82，73 B.80，73 C.82，67D.80，677.已知()sin 404cos50cos40cos θθ-=⋅⋅ ，且ππ,22θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则θ=（）A.π3- B.π6- C.π6 D.π38.已知函数()2221x f x x =-++，则不等式()()2232f t f t +->的解集为（）A.()(),13,∞∞--⋃+ B.()1,3- C.()(),31,∞∞--⋃+ D.()3,1-二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对但不全得3分，有错选的得0分.9.已知实数,,a b c 满足0a b c <<<，则下列结论正确的是（）A.11a c b c>-- B.a a c b b c +<+C.b c a c a b --> D.2ac b bc ab+<+10.已知函数()sin3cos3f x a x x =-，且()3π4f x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭对任意的x ∈R 恒成立，则下列结论正确的是（）A.1a =±B.()f x 的图象关于点π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭对称C.将()f x 的图象向左移π12个单位，得到的图象关于y 轴对称D.当π23π,1236x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，满足()2f x ≤-成立的x 的取值范围是π7π,3636⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11.在长方体1111ABCD A B C D -中，已知4,2AB BC ==，13,AA M N =､分别为1111B C A B ､的中点，则下列结论正确的是（）A.异面直线BM 与AC 所成角的余弦值为7210B.点T 为长方形ABCD 内一点，满足1D T ∥平面BMN 时，1D T的最小值为5C.三棱锥1B B MN -的外接球的体积为14πD.过点,,D M N 的平面截长方体1111ABCD A B C D -所得的截面周长为+三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若实数,x y 满足1232,34x y x y ≤+≤≤-+≤，则x y +的取值范围是__________.13.如图所示，在梯形ABCD 中，1,3AE AB AD =∥,3,BC BC AD CE =与BD 交于点O ，若AO x AD y AB =+ ，则x y -=__________.14.在四面体ABCD 中，3,,CD AD CD BC CD =⊥⊥，且AD 与BC 所成的角为30 .若四面体ABCD 的体积为2，则它的外接球表面积的最小值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知复数12213i z =-+=--.（1）若12z z z =，求z ；（2）在复平面内，复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB ，其中O 是原点，求AOB ∠的大小.16.（15分）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且cos cos 1a C b A c -+=.（1）求角A ；（2）已知b D =为BC 边上一点，且2,BD BAC ADC ∠∠==，求AD 的长.17.（15分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，点Q 为PA 的三等分点，满足13PQ PA =.（1）设平面QCD 与直线PB 相交于点S ，求证：QS ∥CD ；（2）若3,2,60,AB AD DAB PA ∠==== ，求直线CQ 与平面PAD 所成角的大小.18.（17分）甲､乙两位同学进行投篮训练，每个人投3次，甲同学投篮的命中率为p ，乙同学投篮的命中率为()q p q >，且在投篮中每人每次是否命中的结果互不影响.已知每次投篮甲､乙同时命中的概率为15，恰有一人命中的概率为815.（1）求,p q 的值；（2）求甲､乙两人投篮总共命中两次的概率.19.（17分）已知函数()233x x f x a --=⋅+是偶函数，()246h x x x =-+.（1）求函数()e 2x y h a =-的零点；（2）当[],x m n ∈时，函数(()h f x 与()f x 的值域相同，求n m -的最大值.标准学术能力诊断性测试2024年9月测试数学（A卷）参考答案一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.12345678A B C C D B A C二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对但不全的得3分，有错选的得0分.91011AD BC BD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.21,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦13.11114.73π-四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）解：（1）()() ()()12224i13i24i26i4i127i13i13i13i19i5 zzz-+---++-++ =====-+-+---5z∴==（2）依题意向量()()2,4,1,3OA OB=-=--于是有()()()214310OA OB⋅=-⨯-+⨯-=-OA OB====AOB∠为OA 与OB 的夹角，2cos2OA OBAOBOA OB∠⋅∴==-[]0,πAOB∠∈，3π4AOB∠∴=16.（15分）解：（1）由正弦定理可得：cos sin cos sin cos 1sin a C b A C B A c C--+==()cos 1sin sin cos sin A C A C B ∴+=-，由()sin sin B A C =+可得：()cos sin sin sin cos sin A C C A C A C ⋅+=-+，cos sin sin sin cos sin cos cos sin A C C A C A C A C ⋅+=--，cos sin sin cos sin A C C A C∴⋅+=-sin 0C ≠ 可得：cos 1cos A A +=-，1cos 2A ∴=-，()0,πA ∈ ，2π3A ∴=（2）,BAC ADC BCA ACD ∠∠∠∠== ，BAC ∴ 与ADC 相似，满足：AC BC CD AC =，设CD x =，则有3x =解得：1,3x x ==-（舍去），即：1CD =2π3ADC BAC ∠∠== ，在ADC 中，由余弦定理可得：2222πcos 32AD CD AC AD CD+-=⋅⋅，即：211221AD AD +--=⨯⨯解得：1,2AD AD ==-（舍去），AD ∴的长为117.（15分）解：（1）证明：因为平面QCD 与直线PB 相交于点S ，所以平面QCD ⋂平面PAB QS=因为四边形ABCD 为平行四边形，AB ∴∥CD ，AB ⊄ 平面,QCD CD ⊂平面,QCD AB ∴∥平面QCDAB ⊂ 平面PAB ，平面QCD ⋂平面,PAB QS AB =∴∥QS ，AB ∥,CD QS ∴∥CD（2）过点C 作CH AD ⊥于点H ，PA ⊥ 平面,ABCD PA ⊂平面PAD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD ，因为平面PAD ⋂平面ABCD AD =，且CH AD ⊥，CH ∴⊥平面PAD连接,QH CQH ∠∴是直线CQ 与平面PAD 所成的角因为点Q 为PA 的三等分点，232,223PA QA PA =∴==，在Rt DCH 中，333sin602CH =⋅= 在ACD 中，利用余弦定理可得：222223cos120,19223AC AC +-=∴=⨯⨯ ，在Rt QAC 中，222(22)1933QC QA AC =+=+=在Rt QCH 中，3312sin 233CH CQH CQ ∠===，可得π6CQH ∠=，即直线CQ 与平面PAD 所成的角等于π618.（17分）解：（1）设事件A ：甲投篮命中，事件B ：乙投篮命中，甲､乙投篮同时命中的事件为C ，则C AB =，恰有一人命中的事件为D ，则D AB AB =⋃，由于两人投篮互不影响，且在投篮中每人每次是否命中的结果互不影响，所以A 与B 相互独立，,AB AB 互斥，所以：()()()()P C P AB P A P B ==⋅()(()()(()()()P D P AB AB P AB P AB P A P B P A P B =⋃=+=⋅+⋅可得：()()1581115pq p q p q ⎧=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩解得：1335p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3315,,,1533p p q p q q ⎧=⎪⎪>∴==⎨⎪=⎪⎩（2）设i A ：甲投篮命中了i 次；j B ：乙投篮命中了j 次，,0,1,2,3i j =，()30285125P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭()2213223223365555555125P A ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2223232323545555555125P A ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3028327P B ⎛⎫== ⎪⎝⎭()2211221221433333339P B ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2222112112233333339P B ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设E ：甲､乙两人投篮总共命中两次，则021120E A B A B A B =++由于i A 与j B 相互独立，021120,,A B A B A B 互斥，()()()()()()()()021*********P E P A B A B A B P A P B P A P B P A P B ∴=++=⋅+⋅+⋅8236454830412591259125271125=⨯+⨯+⨯=19.（17分）解：（1）()233x x f x a --=⋅+ 是偶函数，则()()f x f x -=，即11333399x x x x a a --⋅+=⋅+，()113309x x a -⎛⎫∴--= ⎪⎝⎭，由x 的任意性得119a =，即9a =()246h x x x =-+ ，()()()()()22e 2e 4e 618e 4e 12e 6e 2x xx x x x x y h a ∴=-=-⋅+-=-⋅-=-+，令()()e 6e 20x x -+=，则e 6x =或e 2x =-（舍去），即ln6x =，()e 2x y h a ∴=-有一个零点，为ln6（2）设当[],x m n ∈时，函数()f x 的值域为[],s t ，则函数()()h f x 的值域也为[],s t ，由（1）知()2933332x x x x f x ---=⋅+=+≥=当且仅当33x x -=，即0x =时等号成立，令()p f x =，则2p ≥，()2246(2)2h x x x x =-+=-+ 在区间[)2,∞+上单调递增，所以当[],p s t ∈时，()2,s h p ≥的值域为()(),h s h t ⎡⎤⎣⎦，即()()h s s h t t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则224646s s s t t t ⎧-+=⎨-+=⎩，即,s t 为方程246x x x -+=的两个根，解得23s t =⎧⎨=⎩，所以当[],x m n ∈时，()f x 的值域为[]2,3令()30x x λ=>，则()133,1x x y f x λλλ-==+=+>，3x λ= 在()0,∞+上单调递增，对勾函数1y λλ=+在()1,∞+上单调递增，由复合函数的单调性知，()f x 在()0,∞+上单调递增，()f x 是偶函数，()f x ∴在(),0∞-上单调递减令()3f x =，即333x x -+=，解得332x +=或332x =，即33log 2x +=或33log 2x -=，故n m -的最大值为3333535735log log log 222-+-=答案解析1.A【解析】由22log log a b >可得0a b >>，由1122b a⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得a b >，由a b >得不到0a b >>，故必要性不成立；由0a b >>可以得到a b >，故充分性成立，则“22log log a b >”是“1122b a ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”的充分不必要条件.2.B 【解析】集合(){}{}22ln 23230A x y x x x x x ==--=-->∣∣()(){}310{13},x x x x x x =-+>=<->∣∣或集合{}{}223,6B yy x x x A y y ==-+∈=>∣∣，{}()(]6,,13,6B y y A B ∞=≤∴⋂=--⋃R R ∣3.C【解析】复数z 满足5z z ⋅=，设22i,5z a b z z a b =+⋅=+=，()()2224i 24i (2)(4)z a b a b -+=-++=-++，则点()2,4-到圆225a b +=+=4.C【解析】设非零向量,a b 夹角为θ，向量a 在向量b 方向上的投影向量是39b - ，则cos ,39b a a b b θ⨯=-= ∣，解得3cos 3θ=-.5.D【解析】()()42f x f x -++= ，取()()1,312x f f =+=，()()()321211f f a b a b =-=-++=--，()()2f x f x +=- ，取()()0,2042x f f a b ===++，()()303,1423,2f f a b a b a +=---+++=-=- ，()()42f x f x -++= ，取2x =，则()21f =，则7b =，则729b a -=+=.6.B【解析】设更正前甲，乙，丙的成绩依次为12350,,,,a a a a ，则12505080a a a +++=⨯ ，即507590655080a ++++=⨯ ，()222250(7580)(9080)(6580)807050a -+-+-++-=⨯ ，更正后平均分：()5016080908050x a =++++= ，()22222501(6080)(8080)(9080)807350s a ⎡⎤=-+-+-++-=⎣⎦ .7.A 【解析】()sin 40sin40cos cos40sin θθθ-=- 4cos50cos40cos 4sin40cos40cos θθ=⋅⋅=⋅⋅ 1cot40tan 4cos40θ⇒-=14cos40tan cot40θ-⇒=sin404sin40cos40cos40-=()sin 30102sin80cos40+-= 13cos102cos1022cos40+-=3313sin10cos10sin10cos102222cos40cos40--==()()sin 1060sin 50cos40cos40--===πππ,,223θθ⎛⎫∈-∴=- ⎪⎝⎭.8.C【解析】设()()21121x g x f x x =-=-++，()()2221112121x x x g x f x x x -⋅-=--=--+=--+++，()()2221102121x x x g x g x x x ⎛⎫⋅+-=-++--+= ⎪++⎝⎭，设()()1212121222,112121x x x x g x g x x x ⎛⎫⎛⎫>-=-+--+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()()()122121121222222021212121x x x x x x x x x x -⎛⎫=-+-=-+> ⎪++++⎝⎭，故()g x 为奇函数，且单调递增，()()()()()()22223212310230f t f t f t f t g t g t +->⇒-+-->⇒+->，()()()()()222302332g t g t g t g t g t +->⇒>--=-，故232t t >-，解得()(),31,t ∞∞∈--⋃+.9.AD【解析】A.0a b c <<<，可得a c b c -<-，故11a c b c>--，A 正确；B.设不等式成立，则()()a a c b c b b c b b b c++<++，可得ab ac ab bc +<+，即ac bc <，由0a b c <<<可得ac bc >，故假设不成立，B 错误；C.不妨假设211313210,,1332b c a c a b c a b --+--+=-<=-<=-<====--，故,C b c a c a b --<错误；D.设不等式成立，()()22,,,0ac b bc ab ac bc ab b a b c a b b a b c +<+-<--<-<<< ，()()a b c a b b -<-成立，故2ac b bc ab +<+成立，D 正确.10.BC【解析】A.()()sin3cos33sin 0,cos πf x a x x x ϕϕϕϕ⎛⎫=-=+=-=≤ ⎪⎝⎭()3π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意x ∈R 恒成立，()f x ∴在3π4x =处取得极值，即3ππ3π42k ϕ⨯+=+，解得7π3ππ,sin 0,π,,sin 4422k ϕϕϕϕϕϕ=-+=-≤∴=-=-=- ，可求得1a =-，A 错误；B.()()3ππ3,0,44f x x f f x ⎛⎫⎛⎫=-=∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象关于点π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，B 正确；C.将()f x 的图象向左平移π12个单位，得到()π3ππ3331242g x x x x ⎛⎫⎛⎫=+⨯-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数图象关于y 轴对称，C 正确；D.()3π2342f x x ⎛⎫=-≤- ⎪⎝⎭，即3π1sin 342x ⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭，7π3π11π2π32π646k x k ∴+≤-≤+，解得23π231π2ππ363363k x k +≤≤+，由题意知π23π,1236x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，符合条件的k 的取值为1,0-，当1k =-时，π7π3636x -≤≤，均在定义域内，满足条件，当0k =时，23π31π3636x ≤≤，此时仅有23π36x =满足条件，所以满足()22f x ≤-成立的x 的取值范围为π7π23π,363636⎡⎤⎧⎫-⋃⎨⎬⎢⎣⎦⎩⎭，D 错误.11.BD【解析】A.MN ∥,AC BMN ∠∴为直线MN 与AC 所成角，在BMN 中，根据余弦定理可知222cos 2BM MN BN BMN BM MN∠+-=⋅，422BM MN BN ======，代入求得cos 10BMN A ∠=错误；B.取AD 的中点E ，取CD F ，取11A D 的中点S ，连接11,,,,EF D E D F AS SM ，SM ∥,AB AS ∥BM ，所以四边形ABMS 是平行四边形，AS ∥BM 且AS ∥11,D E D E ∴∥1BM D E ∴∥平面BMN ，同理可得1D F ∥平面BMN ，1DT ∥平面,BMN T ∈平面ABCD ，所以点T 的运动轨迹为线段EF ，在1ΔD EF 中，过点1D 作1D T EF ⊥，此时1D T 取得最小值，由题意可知，11D E D F EF ===，1111sin sin sin 105D EF BMN D T D E D EF ∠∠∠====，B 正确；C.取MN 的中点1O ，连接11B O ，则1111O N O M O B ==，过点1O 作1OO ∥1BB ，且111322OO BB ==，OM ∴为外接球的半径，在1Rt MB N 中，MN =，2R OM ∴==，34ππ,33V R C ∴==球错误；D.由平面11AA D D ∥平面11BB C C 得，过点,,D M N 的平面必与11,AA C C 有交点，设过点,,D M N 的平面与平面11AA D D 和平面11BB C C 分别交于,DO PM DO ∴∥,PM 同理可得DP ∥,ON 过点,,D M N 的平面截长方体1111ABCD A B C D -所得的截面图形为五边形DPMNO ，如图所示，以D 为坐标原点，以1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设,AO m CP n ==，则()()()()()0,0,0,2,0,,0,4,,1,4,3,2,2,3D O m P n M N ，()()()()0,2,3,1,0,3,2,0,,0,4,ON m PM n DO m DP n ∴=-=-== ，DP ∥,ON DO ∥PM ，()()2323m n n m ⎧=-⎪∴⎨=-⎪⎩，解得2m n ==，DO DP ∴==ON PM MN ====，所以五边形DPMNO 的周长为DO DP ON PM MN ++++==+，D 正确.12.21,55⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】令()()()()2323x y m x y n x y m n x m n y +=++-+=-++，2131m n m n -=⎧∴⎨+=⎩，解得()()2121,,235555m n x y x y x y ==-∴+=+--+，1232,34x y x y ≤+≤≤-+≤ ，则()()22441323,555555x y x y ≤+≤-≤--+≤-，24435555x y ∴-≤+≤-，即21,55x y ⎡⎤+∈-⎢⎣⎦.13.111【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设1AD =，则3BC =，()()()()220,0,3,0,,,1,,,33B C A m n D m n E m n ⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭，所以直线BD 的方程为1n y x m =+，直线CE 的方程为()2329n y x m =--，联立两直线方程求得()()666655,,,,1,0,,11111111m n m n O AO AD AB m n +-⎛⎫⎛⎫∴=-==-- ⎪ ⎝⎭⎝⎭ ，6511,511m x my AO xAD y AB n ny -⎧=-⎪⎪=+∴⎨⎪-=-⎪⎩ ，解得651,,111111x y x y ==∴-=.14.73π-【解析】依题意，可将四面体ABCD 补形为如图所示的直三棱柱ADE FCB -，AD 与BC 所成的角为30 ，30BCF ∠∴= 或150，设,CB x CF y ==，外接球半径记为R ，外接球的球心如图点O ，11113sin 23324ABCD CBF V DC S xy BCF xy ∠⎛⎫∴=⋅⋅=⨯⨯== ⎪⎝⎭ ，解得8xy =，在2Rt OCO 中，2222222223922sin 4BF R OC OO CO BF BCF ∠⎛⎫⎛⎫==+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，在BCF 中，由余弦定理可得2222cos BF BC CF BC CF BCF ∠=+-⋅⋅，要使外接球表面积最小，则R 要尽可能小，则BCF ∠应取30 ，(2222BF x y xy ∴=+≥-，当且仅当x y =时取等，(22min 99732444R BF xy ∴=+=+=-所以外接球表面积的最小值2min min 4π73πS R ==-.。

THUSSAT2020年9月基础性测试语文答案

中学生标准学术能力基础性测试2020年9月测试语文参考答案一、选择题（每小题3分）二、非选择题6．【参考答案】①在学习海外优秀动漫作品的基础之上，探索出独立成熟的动漫表现手法。

（4分）②继续挖掘传统文化中的故事或要素，但在世界观的建构上要更加丰富，从而建立起相对成熟的叙事思维。

（4分）8．【参考答案】①人物塑造：小说主人公龙根有现实生活的原型，他在山上养鸡攒鸡蛋给母亲吃，而当皮狐喝水被瓦罐口卡住之后又大发慈悲，解救了皮狐，并且还打水给皮狐一家喝；被皮狐提醒躲过性命之忧后，以后又不再狩猎。

（3分）这说明他是一个孝顺、善良、知恩图报且有着悲悯情怀的人。

这也是小说着意塑造的人物典型。

（3分）②语言表达：小说语言流畅自然，叙述灵动，主人公龙根的孝心与善心、静谧祥和的山林环境、皮狐的动物灵性、鸡的生活习性、人与狐斗智斗勇的活动场景，在作者笔下活灵活现；（2分）人与狐交流、人物心理独白，带有乡民本土语言特点，让人如临其境；（2分）带有寓言故事色彩的语言，有趣味性，使情感表达细腻而真挚，也使人与自然和谐相处的行为启示自然呈现。

（2分）12．【参考答案】（1）宦官接着叫曹伟，曹伟回头看，王俊义给他使了眼色，曹伟也不出来。

（“目”，意为“使眼色”“看”，1分；“次呼曹伟”的主语是宦官，1分；“亦不出”的主语是曹伟，1分。

句意通顺，2分。

）（2）王俊义被王黼所嫉恨，以直秘阁的身份担任岳州知州。

（补充主语“王俊义”或“他”，1分；“为……所恶”，被……嫉恨，1分，翻译为“讨厌”“厌恶”等，也可给分；以，介词，凭借某种身份，1分；知，担任知州，1分；句意通顺，1分。

）14．【参考答案】①由于仰头贪看天上的飞鸟，结果一回头应错了人。

“贪”字贬义褒用，形象地写出了作者仰观飞鸟时的专注神态；“错”字写得活泼幽默，写出了因贪看飞鸟带来的结果。

②两句诗对仗工稳，彼此存在某种逻辑联系，表达出作者内心的宁静与喜悦。

（每点3分，答对两点得7分；如考生有其他答案，只要言之成理，符合诗意，皆可酌情给分。

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2020届清华中学生标准学术能力（9月）数学（文）试题一、单选题1．已知集合{1,0,1},{||1|,}A B y y x x A =-==+∈，则A B =（）A.{1,0}-B.{0,1}C.{1,1}-D.{1,0,1}-【答案】B【解析】根据集合A ，可求出集合B 中的具体元素，即可得A B 。

【详解】解：{1,0,1},{0,1,2}A B =-=∴，{,}01A B ∴=故选：B 【点睛】本题考查集合的交集运算，是基础题。

2．已知复数123iz i+=-（其中i 为虚数单位），则||z =（）B.12【答案】A 【解析】求出1710iz +=，即可求出||z 。

【详解】解：12(12)(3)173(3)(3)10i i i iz i i i ++++===--+，||102z ∴==故选：A 。

【点睛】本题考查复数乘除法及模的计算，是基础题。

3．若向量,a b 满足||1,||2a b ==，且|3|19a b -=，则向量,a b 的夹角为（） A.30° B.60°C.120°D.150°【答案】C【解析】将|3|19a b -=两边同时平方，利用数量积的定义，即可求出夹角。

【详解】解：|3|a b -=222(3)9619a b a a b b ∴-=-⋅+=即912cos ,419a b -+=，解得1cos ,2a b =-，向量,a b 的夹角为120°，故选：C 。

【点睛】本题考查已知向量的模求夹角，属于基础题． 4．为得到函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象（） A.向左平移6π个长度单位 B.向右平移6π个长度单位。

C.向左平移12π个长度单位D.向右平移12π个长度单位【答案】D【解析】利用三角函数的诱导公式，将函数cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭变形为sin(2)6y x π=+，再根据函数图象平移的公式加以计算，即可得到答案．【详解】解：cos 2sin 2sin(2)3326y x x x ππππ⎛⎫⎛⎫=-=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，只需将函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位长度，即sin 2()sin(2)1236y x x πππ⎡⎤=-+=+⎢⎥⎣⎦ 故选：D 。

【点睛】本题给出两个三角函数式，求将其中一个函数图象经过怎么的平移可得到另一个函数的图象．着重考查了三角的诱导公式、函数图象的平移公式等知识，属于基础题 5．阅读算法流程图，运行相应的程序，则输出的k 是（）A.5B.6C.7D.8【答案】C【解析】本题根据流程图，算出1232+2+2++2100k ≤时的k 的范围时5k ≤，然后从5k =开始继续代入流程图计算，可得输出结果。

【详解】解：当k =1,S =100时，S >0，则S =100-2=98, S >0成立，此时k =2,S =98，S >0，则S =98-22=94，S >0成立，此时k =3,S =94，S >0，则S =94-32=88，S >0成立，以此类推：我们令1232+2+2++2100k ≤，解得：5k ≤当5k =时，S =S -52>0，根据流程图，继续得6k =，S >0成立，得S =S -62<0，7k =，此时S >0不成立，输出7k =，故选：C 。

【点睛】根据流程图写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图，从流程图中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据，②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型，③解模．6．某企业引进现代化管理体制，生产效益明显提高。

2018年全年总收入与2017年全年总收入相比增长了一倍，实现翻番.同时该企业的各项运营成本也随着收入的变化发生了相应变化。

下图给出了该企业这两年不同运营成本占全年总收入的比例，下列说法正确的是（）A.该企业2018年设备支出金额是2017年设备支出金额的一半B.该企业2018年支付工资金额与2017年支付工资金额相当C.该企业2018年用于研发的费用是2017年用于研发的费用的五倍D.该企业2018年原材料的费用是2017年原材料的费用的两倍【答案】C【解析】先对折线图信息的理解及处理，再结合数据进行简单的推理逐一检验即可得解【详解】解：由折线图可知：不妨设2017年全年的收入为t ，则2018年全年的收入为2t ，对于选项A ，该企业2018年设备支出金额为0.2×2t ＝0.4t ，2017年设备支出金额为0.4×t ＝0.4t ，故A 错误，对于选项B ，该企业2018年支付工资金额为0.2×2t ＝0.4t ，2017年支付工资金额为0.2×t ＝0.2t ，故B 错误，对于选项C ，该企业2018年用于研发的费用是0.25×2t ＝0.5t ，2017年用于研发的费用是0.1×t ＝0.1t ，故C 正确，对于选项D ，该企业2018年原材料的费用是0.3×2t ＝0.6t ，2017年原材料的费用是0.15×t ＝0.15t ，故D 错误，故选：C ．【点睛】本题考查了对折线图信息的理解及进行简单的推理，属中档题7．将直线30x y a ++=沿x 轴向右平移1个单位，所得直线与圆22260x y x y ++-=相切，则实数a 的值为（） A.-7或13 B.7或-13C.1或-19D.-1或19【答案】A【解析】根据直线平移的规律，由直线30x y a ++=沿x 轴向右平移1个单位得到平移后直线的方程，然后因为此直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式列出关于a 的方程，求出方程的解即可得到a 的值．【详解】解：把圆的方程化为标准式方程得22(1)(3)10x y ++-=，圆心坐标为(1,3)-，半径为10，直线30x y a ++=沿x 轴向右平移1个单位后所得的直线方程为3(1)0x y a -++=，即330x y a ++-=因为该直线与圆相切，则圆心(1,3)-到直线的距离|3|9110a dr -===+，化简得|3|10a -=，即310a -=或310a -=-，解得13a =或7a =- 故选：A ．【点睛】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．8．设变量x 、y 满足约束条件02360x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩，则34x y x +--的最小值为（）A.-4B.-3C.-12-D.2【答案】B【解析】由约束条件作出可行域，把34x y z x +-=-变形为114y z x +=+-，数形结合得答案．【详解】解：由约束条件02360x y x y x y -≥⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩作出可行域如图，其中A （4，-1），B （3，3），C （1，1），D （2，0）34x y z x +-=-114y x +=+-，可行域内的动点与A （4，-1）的连线的最小值为13443AB k --==--， 34x y z x +-∴=-的最小值为413-+=-。

故选：B 。

【点睛】本题考查了简单的线性规划的应用，考查了数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题． 9．函数3()2x xf x e=的大致图象是（） A.B.C. D.【答案】A【解析】根据奇偶性，可排除B ，再当0x >时，利用导数研究极值，即可得出结果。

【详解】解：33(),()()22x xx xf x f x f x e e=∴-=-=-，故()f x 为奇函数，所以排除B ；当0x >时，'22666(1)()44x x x x xe xe e xf x e e--==，令'()0f x =，得1x =，函数()f x 在1x =处取极值，只有A 符合，故选：A 。

【点睛】本题考查已知函数解析式，判断函数图像，充分利用函数的性质，如对称性，极值，最值等，通过排除得出结果。

10．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，直线:2120l x y +-=与抛物线交于M ，N 两点，且以线段MN 为直径的圆过点F ，则p=（） A.1 B.2C.4D.6【答案】B【解析】以线段MN 为直径的圆为()()()()12120x x x x y y y y --+--=，又其过点F ，可得1212022p p x x y y ⎛⎫⎛⎫--+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()2121212042p p x x x x y y ∴-+++=，明显要用韦达定理，联立方程组，代入韦达定理，解方程即可求出p 。

【详解】设()()1122,,,M x y N x y ，联立222120y px x y ⎧=⎨+-=⎩，消去x 得2120y py p +-=，由韦达定理可得：1212y y p =-，12y y p +=-()()2212121212222414412,362244y y y y p p x x x x p p -++∴+==+===，以线段MN 为直径的圆的方程为()()()()12120x x x x y y y y --+--=，又其过点F ，1212022p p x x y y ⎛⎫⎛⎫∴--+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()2121212042p px x x x y y ∴-+++=，21236120422p p p p ⎛⎫∴-++-= ⎪⎝⎭， 2p ∴=，故选：B 【点睛】本题考查直线和抛物线的位置的关系，充分利用韦达定理来解决问题，难度不大，主要在于计算要过关。

11．已知数列{}n a 的前n 项和()22nn n S a =-，若不等式223n nn ma --≤，对任意*n N ∈恒成立，则实数m 的最小值是（）A.13B.12C.38D.34【答案】C【解析】求出数列的通项公式，化简223n n n ma --≤，得到m 的表达式，利用数列的单调性求解即可．【详解】解：当1n =时，21122S a =-得14a =，当2n ≥时，()22nn n S a =-，1122n n n Sa --=-，两式相减得1222n n n n a a a -=--，即122n n n a a -=+，1111111112211222222n n n n n n n n n n n n n a a a a a a ---------+∴-=-=+-=，又1122a =， ∴数列2nn a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，1为公差的等差数列。