八年级数学角平分线2(1)

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人教版初中数学八年级上册第十二章角的平分线的性质(第2课时)

结
OP平分∠AOB
PD=PE
已知条件
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD⊥OA于D PE⊥OB于E
结论 PD=PE
OP平分∠AOB
巩固练习
12.3 角的平分线的性质/
到三角形三边距离相等的点是( C ) A．三边垂直平分线的交点 B．三条高所在直线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条中线的交点如图，河南岸有一个工厂在公路西侧，工厂到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与B的距离为300 m，则工厂的位置在哪里？
∠BOC＝180°－70°＝110°.
探究新知方法点拨
12.3 角的平分线的性质/
由已知，O 到三角形三边的距离相等，得 O是三角形三条内角平分线的交点，再利用三
角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．
探究新知
12.3 角的平分线的性质/ 角的平分线的性质角的平分线的判定
归
图形
纳
C P
C P
总
课堂检测
12.3 角的平分线的性质/
能力提升题
如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在
∠DAE的平分线上．
E
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M. G
∵点F在∠BCE的平分线上，FG⊥AE， FM⊥BC.
C
∴FG＝FM.
又∵点F在∠CBD的平分线上，
M
F
知识点 2 三角形的内角平分线
分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线相交于一点.
探究新知
12.3 角的平分线的性质/
分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组

八年级角平分线知识点总结

八年级角平分线知识点总结角平分线是几何知识中的一个重要概念，也是初中数学中常见的考点之一。

在八年级中学习了角平分线的相关知识后，许多同学还存在一定的困惑。

因此，本文将对八年级角平分线的知识点做一个总结，以帮助大家更好地掌握该知识。

一、角平分线的定义和性质1. 定义所谓“角平分线”，是指将一个角平分为两个角的线段。

在角上下方形成两个新的角，它们的大小相等。

2. 性质(1) 角平分线把原来的角分成两个大小相等的角。

(2) 角平分线的两侧所对的两个角相等。

(3) 在三角形中，若一条线段是一个角的平分线，则它所在的线段所对的两侧角的大小之比等于它所在的线段所对的两侧边的长度之比。

二、与角平分线有关的定理1. 外角定理所谓“外角”，是指一个三角形的一个内角所对的另一个角。

外角定理是指一个三角形的一个外角等于它的不相邻两个内角之和。

2. 内角定理一个多边形的内角和等于这个多边形的狄利克雷函数乘以180°。

三、角平分线的应用了解了角平分线的定义和性质以及与角平分线有关的定理，我们就可以在解题过程中灵活应用，其中最常见的就是角平分线定理的应用。

在三角形中，若已知一条角平分线及其所分割的两边长度，则可以利用角平分线定理求解三角形中其它角的大小。

例如，已知在三角形ABC中，角BAD的平分线交BC边于点E，且BE=7，EC=5，则可以利用角平分线定理求解角DAB和角DAC的大小。

根据角平分线定理，有：$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}$因此，$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{BE}{EC}=\dfrac{7}{5}$又有：$\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{\sin \angle BAD}{\sin \angle DAC}$因此，$\dfrac{\sin \angle DAB}{\sin \angle DAC}=\dfrac{7}{5}$由于$\angle DAB+\angle DAC=180^\circ$，因此可以列出以下方程组：$\begin{cases} \dfrac{\sin \angle DAB}{\sin \angleDAC}=\dfrac{7}{5} \\ \sin \angle DAB+\sin \angle DAC=1\end{cases}$解得$\sin \angle DAB=\dfrac{7}{12}$，$\sin \angleDAC=\dfrac{5}{12}$，$\angle DAB=\sin^{-1} \dfrac{7}{12}$，$\angle DAC=\sin^{-1} \dfrac{5}{12}$，即$\angle DAB \approx 36.87^\circ$，$\angle DAC \approx 26.57^\circ$。

人教版数学八年级上册《角平分线的性质(1)》教学设计

人教版数学八年级上册《角平分线的性质（1）》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级上册《角平分线的性质（1）》这一节的内容主要包括角平分线的定义、性质及其在几何中的应用。

学生通过学习这一节内容，可以进一步了解角的平分线与角的大小、角的边长之间的关系，为后续学习三角形、多边形等几何知识打下基础。

二. 学情分析学生在学习这一节内容之前，已经学习了角的概念、垂线的性质等知识，具备了一定的几何基础。

但部分学生对角平分线的理解可能仍存在困难，因此在教学过程中需要加强对角平分线概念的讲解，并通过大量的实例让学生加深对角平分线的认识。

三. 教学目标1.了解角平分线的定义及其性质；2.学会运用角平分线解决一些简单的几何问题；3.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.角平分线的定义及其性质；2.角平分线在几何中的应用。

五. 教学方法1.采用讲解法，让学生理解角平分线的定义和性质；2.运用示例法，让学生通过观察、分析、归纳角平分线的性质；3.采用练习法，让学生在实践中运用角平分线解决几何问题；4.运用小组合作法，让学生在讨论中加深对角平分线性质的理解。

六. 教学准备1.准备相关的教学课件、图片、几何模型等；2.准备一些有关角平分线的练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习角的概念、垂线的性质等知识，引导学生进入新课的学习。

2.呈现（10分钟）利用课件、图片等展示角平分线的定义和性质，让学生直观地了解角平分线。

3.操练（10分钟）让学生通过观察、分析、归纳角平分线的性质，并尝试解答一些有关角平分线的问题。

4.巩固（10分钟）让学生分组讨论，运用角平分线的性质解决一些几何问题，加深对角平分线性质的理解。

5.拓展（5分钟）引导学生思考：角平分线在实际生活中有哪些应用？让学生联系生活实际，拓宽思路。

6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强化学生对角平分线性质的记忆。

7.家庭作业（5分钟）布置一些有关角平分线的练习题，让学生课后巩固所学知识。

八年级数学人教版(上册)第2课时角的平分线的判定

∴OB＝OD．∴OE＝OD．又∵OE⊥AC，∠D＝90°，即 OD⊥CD， ∴CO 平分∠ACD．
(2)OA⊥OC．证明：在 Rt△ABO 和 Rt△AEO 中，OAOB＝＝OAOE，， ∴Rt△ABO≌Rt△AEO(HL).
∴∠AOB＝∠AOE＝12∠BOE. 同理，∠COD＝∠COE＝12∠DOE. ∴∠AOC＝∠AOE＋∠COE＝12∠BOE＋12∠DOE＝90°.∴OA
4.(教材 P51 习题 T3 变式)如图，CD⊥AB 于点 D，BE⊥AC 于点 E，BE，CD 相交于点 O.
(1)当∠1＝∠2 时，求证：OB＝OC．证明：∵∠1＝∠2，OD⊥AB，OE⊥AC，
∴OE＝OD，∠ODB＝∠OEC＝90°.
在△BOD 和△COE 中，
∠BOD＝∠COE， OD＝OE， ∠ODB＝∠OEC， ∴△BOD≌△COE(ASA).
第 11 题图
12.(教材 P52 习题 T7 变式)如图，在四边形 ABDC 中，∠D＝ ∠B＝90°，O 为 BD 的中点，且 AO 平分∠BAC．求证：
(1)CO 平分∠ACD．证明：过点 O 作 OE⊥AC 于点 E， ∵∠B＝90°，AO 平分∠BAC， ∴OB＝OE. ∵点 O 为 BD 的延长线相
交于点 E.若存在点 P，使得 S△PAB＝S△PCD，则满足此条件的点 P( D ) A．有且只有 1 个
B．有且只有 2 个
C．组成∠E 的平分线
第 8 题图
D．组成∠E 的平分线所在的直线(点 E 除外)
9.如图，l1，l2，l3 是三条两两相交的笔直公路，现欲修建一个加
6.如图，△ABC 的三边 AB，AC，BC 的长分别为 4，6，8，其三条角平分线将△ABC 分成三个三角形，则 S△OAB∶S△OAC∶S△OBC ＝ 2∶3∶4 .

人教八年级数学上册《角的平分线的判定》(共18张)

等于2 cm，则Q 在∠AOB 的平分线上．( ) √
A
M
Q
O
ห้องสมุดไป่ตู้
N
B
应用角平分线性质定理的逆定理
2．在问题1中，在S 区建一个集贸市场，使它到公路与铁路的距离相等．
（1）这个集贸市场应建于何处？这样的集贸市场可建多少个？
应用角平分线性质定理的逆定理
2．在问题1中，在S 区建一个集贸市场，使它到公路与铁路的距离相等．
学习重点：角平分线性质定理的逆定理．
引言
问题1 如图，要在S 区建一个集贸市场，使它到公路，铁路的距离相等，并且距离公路与铁路的交叉处500m
，请你帮忙设计一下，这个集贸市场应建于何（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）？
探索并证明角平分线的性质定理的逆定理
问题2 交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？
（1）这个集贸市场应建于何处？这样的集贸市场可建多少个？
（在图上标出它的位置，比例尺为1：20 000）
应用角平分线性质定理的逆定理
2．在问题1中，在S 区建一个集贸市场，使它到公路与铁路的距离相等．
（3）如图，点P是△ABC的两条角平分线BM， CN 的交点，点P 在∠BAC的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
探索并证明角平分线的性质定理的逆定理
追问1 你能证明这个结论的正确性吗？
探索并证明角平分线的性质定理的逆定理
追问2 这个结论与角的平分线的性质在应用上有什么不同？
这个结论可以判定角的平分线，而角的平分线的性质可用来证明线段相等．

湘教版八年级数学下册第2课时角平分线的性质

解题方法二：构造辅助线
总结词
通过构造辅助线，利用角平分线的性质解决问题。
详细描述
在解题过程中，可以根据题目的特点，通过构造辅助线，利用角平分线的性质，将问题转化为易于解决的问题，进而得出结论。
解题方法三：利用全等三角形进行证明
总结词
利用全等三角形的性质，结合角平分线的性质进行证明。
详细描述
学习目标
理解角平分线的定义和性质。
培养学生的逻辑推理能力和空间想象能力。
能够运用角平分线的性质解决几何问题。
02 角平分线的性质
角平分线的定义
01
角平分线：将一个角平分为两个相等的角的射线叫做角的平分线。
02
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
角平分线的性质定理
角平分线上的点到角的两边的距离相等。
利用角平分线的性质定理可以计算一些距离问题，例如“求点到直线的最短距离”。
03 角平分线的性质证明
证明方法一
总结词
利用全等三角形证明
详细描述
通过构造两个全等的三角形，利用角平分线的性质，证明两个三角形全等，从而得出角平分线的性质。
证明方法二

总结词
利用等腰三角形证明
详细描述
通过将角平分线与相对边上的中线重合，构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质，证明角平分线的性质。
在解题过程中，可以利用全等三角形的性质，结合角平分线的性质，通过证明三角形全等，得出相关结论。这种方法在解题中也比较常用。
05 总结与回顾
本课重点回顾
角平分线的定义
角平分线的性质定理
从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。

初二【数学(人教版)】角的平分线的性质(二)

∠PEO ，并证明你的结论．
A FD
分析：标图 1 ．已知可推？“角分无垂直”，
O
P C 考虑“作双垂”．
E H B
2 ．猜测∠PDA = ∠PEO ；求证何来？构造的全等．
解： ∠PDA = ∠PEO．理由如下：
如图，过点P作PF⊥OA于点F，PH⊥OB于点H．
∵OP平分∠AOB，∴PF = PH ．
C
证明：识别定理及对应基本图
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE = DF（角的平分线的性质）．
A
E ？
B
D
在Rt△BDE和Rt△CDF中,
DE DF，
BD
CD，
F？ ∴Rt△BDE ≌ Rt△CDF（HL）．
C ∴EB = FC．
例如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
A N
PM
分析：已知可推？“角分无双垂” 求证何来？“距离需作垂”
B
C
例如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
A ND
PM
分析：已知可推？“角分无双垂” 求证何来？“距离需作垂”
B
E
C 考虑“作双垂”．
例如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于P．求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等．
作业
1．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线．求证：S△ABD：S△ACD = AB：AC．
作业
2．如图，BD是∠ABC的平分线，AB = BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．求证：PM = PN．
例如图，△ABC中，∠C = 90°，试在AC上找一点P，使P到斜边的距离等于PC．（画出图形，并写出画法）

人教版数学八年级上册1.2角的平分线的判定课件

A
∵ PD⊥OA，PE⊥OB, PD＝PE．
D PC
∴点Q在∠AOB的平分线上。 O

2.有关到线段距离相等的点的位置确定方法 1.当点指定在三角形内部时，只要作出内角的平分线的交点即可; 2.在点没有指定在三角形内部时，要注意画出内角平分线的交点和外角平分线的交点，这时交点有多个.
（证明两条线段相等的依据）
判定
点在角平
点到角两边
分线1上、画任意角的角的平分线的；距离相等 2、角的平分性线质的性质。
（证明两角相等的依据）
1、在以下结论中，不正确的是( )B
A．平面内到角的两边的距离相等的点一定在角平分线上
B．角平分线上任一点到角的两边的距离一定相等 C．一个角只有一条角平分线
D．角的平分线有时是直线，有时是线段 2、在△ABC中，∠B=∠ACB，CD是∠ACB的角平分线，
点B,且PA=PB,∠MON=50°,∠OPC=30°, 则∠PCA的度数是__5_5_°__.
5、某地为了发展旅游业，要在三条
公路上修建一个度假村，使度假村到
三条公路的距离相等，这个度假
村的选址地点共有( D )
A.1处
B.2处
C.3处
D.4处
1.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
用符号语言表示为：
点在角平分线上
判定
点到角两边的距离相等
是否成立？
12.3 角平分线的判定
掌握角的平分线的判定定理并且能够利用定理解决几何问题。
请自学课本49—50页，并思考以下问题:
1、已知点到角两边的距离相等，这个点是否在角平分线上呢？ 2、完成49页思考题。
1、如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．

1.4.2角平分线教案2021-2022学年北师大版八年级数学下册

课题1.4角平分线（2）学习目标1.证明与角的平分线的性质定理和判定定理相关的结论。

2.角平分线的性质定理和判定定理的灵活运用。

3.培养将文字语言转化为符号语言、图形语言的能力，提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力。

重点难点重点：角的平分线的性质，综合运用角平分线的判定和性质定理，解决几何中的问题。

难点：角平分线的性质定理和判定定理的综合应用。

教法选择自主探究、合作学习课型新授课课前准备课件是否采用多媒体是教学时数2课时教学时数第 2 课时备课总数第课时教学设计思路及其意图本节设计对学生能力的要求较高，教师要善于利用典型例题，加以发挥，使例题的功能得以体现，达到以点带线，以线带面的功效。

教师可以让学生自己证明，自己写出角平分线性质定理的逆命题，并写出已知、求证，写出证明过程，角平分线性质定理中的“距离”是点到线的距离，教学中教师要加以强调。

这样设计教学，既符合教材的逻辑，也符合学生的认知。

课堂教学过程设计教学内容教师活动学生活动一、复习旧知，探究新知1.如图，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E，F， DE=DF，∠EDB= 60º，则∠EBF= 度，BE= .2.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是△ABC的__________，AE+DE=____.学生回忆角平分线的性质和判定定理的相关知识，自主完成.3.尺规作图：作∠AOB的平分线.学生回忆角平分线尺规作图的作法，在练习本上自主完成.提出要求：尺规作图三角形的三个内角的角平分线，并仔细观察所作的图形，你有什么发现呢?二、设置问题，引入新课问题：通过作三角形的三个内角的角平分线，你发现了什出示问题，鼓励学生采用不同方法证明此问题。

并对学生的说理给予肯定.对全班学生做出讲解，并书写证明过程.小组合作，相互讨论，完成所提出的问题.独立思考问题，根据定理写出已知、求证，全班交流.么?能证明自己发现的结论一定正确吗？于是，首先证明“三角形的三个内角的角平分线交于一点”．三、合作学习，自主探究（一）探究三角形的的角平分线性质定理并仔细观察所作的三角形的三个内角的角平分线的图形，你发现了什么?学生观察讨论得出结论：“三角形的三个内角的角平分线交于一点”．提问：你能证明自己发现的结论一定正确吗？请同学们自己尝试着证明上述结论，然后在全班进行交流．证明过程如下：已知：如图，设△ABC的角平分线．BM、CN相交于点P，求证：P点在∠BAC的角平分线上．证明：过P点分别做AB、BC、AC的垂线PD、PE、PF,垂足分别为D、E、F.∵ BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴ PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等).同理，PE=PF.∴ PD=PE=PF.∴点P在∠A的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)，即：∠A的平分线经过点P.在证明过程中，我们除证明了三角形的三条角平分线相交于一点外，还有什么“附带”的成果呢?（PD=PE=PF，即这个交点到三角形三边的距离相等．）于是我们得出了有关三角形的三条角平分线的结论，即定理三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．归纳总结：三角形角平分线的性质定理：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．几何语言：如图，在△ABC中∵ AE、BF、CN是△ABC的三条角平分线且PD⊥AB、PM⊥AC、 PO ⊥BC(已知)∴ AE、BF、CN相交于一点P且PD=PM=PO(三角形角平分线的性质定理)下面我通过列表来比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理三边垂直平分线三条角平分线三角形锐角三角形交于三角形内一点交于三角形内一点钝角三角形交于三角形外一点直角三角形交于斜边的中点交点性质到三角形三个顶点的距离相等到三角形三边的距离相等二、展示思维过程，构建探究平台求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．已知：如图，在△ABC中，角平分线BM和角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB,BC,AC的垂线，垂足分别是D,E,F.求证：∠A的平分线经过点P,且PD=PE=PF.DFEMNC BAP三、例题讲解例如图，在△ABC 中．AC=BC ，∠C=90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ．(1)已知CD=4 cm ，求AC 的长； (2)求证：AB=AC+CD ．(1)解：∵AD 是△ABC 的角平分线，∠C=90°，DE ⊥AB ．∴DE=CD=4cm(角平分线上的点到角两边的距离相等)． ∵AC=BC ∴∠B=∠BAC(等边对等角)． ∵∠C=90°，∴∠B=12 ×90°=45°．∴∠BDE=90°—45°＝45°．∴BE=DE(等角对等边)．在等腰直角三角形BDE 中BD=cm DE 2422=(勾股定理)，∴AC=BC=CD+BD=cm )244(+．(2)证明：由(1)的求解过程可知，Rt △ACD ≌Rt △AED(HL)∴AC=AE. ∵BE=DE=CD ，∴AB=AE+BE=AC+CD ．四、巩固练习1.完成课本P31 随堂练习五、本课小结指导学生理解题意，并疏通证明思路.出示问题，巡查学生完成情况，并个别讲解.对于例题的第一问，着重讲解，并板书解题过程，对做得好的学生给予表扬和鼓励.引导学生完成本节课所学内容的小结.理解题意，并独立思考解题过程小组合作，相互讨论，完成例题。

人教版-数学-八年级上册-角的平分线的性质课标解读

初中-数学-打印版
角的平分线的性质课标解读
一、课标要求
人教版八年级数学上册《角的平分线的性质》一节的主要内容是全等三角形的概念、性质和判定方法，以及角的平分线的性质．《义务教育数学课程标准（2011年版）》对本章内容提出的教学要求是：探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
二、课标解读
对于角的平分线的性质，《义务教育数学课程标准（2011年版）》的要求是“探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．”教科书首先由平分角的仪器工作原理引出了作一个角的平分线的尺规作图，然后探究并证明了角的平分线的性质，同时总结了证明一个几何命题的一般步骤，最后给出了角的平分线的性质定理的逆定理．教学时不需要向学生提出逆定理的概念，只要让学生认识到这两个定理的题设和结论是相反的就可以了．这里也让学生经历了猜想验证的过程．
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八年级数学角平分线的性质2

2、基本作图：平分已知角
已知： ∠ＡＯＢ(如图) 求作： ∠ＡＯＢ的角平分线OC.
作法：1、以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M，交OB于N。 2、分别以M、N为圆心，大于 1 MN 的长为半径作弧，两弧在 2 ∠AOB内部交于点C。 3、作射线OC，射线OC即为所求。
证明:连结MC,NC由作法知: 在△OMC和△ONC中 OM=ON MC=NC OC=OC ∵△OMC≌△ONC(SSS) O ∴∠AOC=∠BOC 即:OC 是∠ＡＯＢ的角平分线.
2、求证：三角形的三条平分线交于一点。
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法解决永恒之河の问题.”鞠言道.听着鞠言の讲述,众人都有些唏嘘.倒是没有人,对鞠言の来历有抵触.现在,大家都知道,名暗混元同属一个混元,鞠言大王至少不是从其他混元空间来の外人.“鞠言大王,你是通过永恒之河来到暗混元の吗?”一名天庭大王敏锐の发现了呐一点,他出声问道.“对.”鞠言又点了点头,在来暗混元之前,俺根本就不知道暗混元の存在.“原来是呐样！现在,一切都能够说得通了.”“是啊！鞠言大王在法辰王国举办の战申榜排位赛上突然崛起,俺们还都诧异,以前从未听说过鞠言大王.”“鞠言大王,那你找到平衡明混元永恒之河の办法了吗?”几个天庭大王の话都多了起来.“有一个法子能够试试,但俺の能历,还欠缺一些.”鞠言说道.“鞠言大王已经如此之强,能历还不够吗?”有天庭大王骇然道.“俺现在,还不是真正の混元大王.”鞠言摇摇头说道：“而诸位,其实也都没有资格称大王.真正の混元大王,不仅要在两种道则上皆为善王境界, 还有更高の要求.”“鞠言大王,那枯殇是哪个水平?”苍耳大王眉毛一抬.枯殇归来后,所展现出来の实历,也是让众人记忆幽琛.那强横の历量,简直能够轻易就碾压他们其他人.“枯殇应该是掌握了几百条黑色与白色本源道则吧！他距离混元大王,还远得很.所以,他即便有灭绝长枪,仍被俺击杀. 如果他是混元大王,那俺是一点获胜机会都不可能有.”鞠言嘴角上扬说道.“鞠言大王通过永恒之河,从明混元来到了暗混元,那俺们,是否能够通过永恒之河,从暗混元去往明混元.若是能够,那俺们岂不是都能够尽情の参悟白色道则了?”有天庭大王眼申一亮.他话一说出来,其他人の眼申也都亮了起来.是啊！在暗混元,没机会参悟白色道则,可如果去了明混元,不就能够参悟了?就好像鞠言大王,在明混元の事候也不可能掌握黑色道则,可来到暗混元之后,很快就在黑色道则上成就善王境界.“不行の.便是现在の俺,都无法通过永恒之河回到明混元.”鞠言摇头看着众人说道：“明混元与暗混元の永恒之河,本质上自然是一样の.可是,规模却是不同.永恒之河の大部分,都处于暗混元之内.从明混元到暗混元,阻历相对很小,可要从暗混元去往明混元,那阻历就异常恐怖了.俺想,只有真正の大王,才有可能突破那种阻历吧！”众大王,眼申又暗淡下来.“诸位也不必急于一事.”“你们能够信任俺,俺会竭尽全历,让俺们の混元,成为一个完整の混元.”鞠言眼眸变得琛邃：“而呐一天,不会太遥远.俺必须,在明混元破灭之前,解决呐个问题.明混元の永恒之河,不会给俺很多の事间.”“鞠言大王,在呐件事上,俺们是否有能够帮忙の地方?”苍耳大王问道.鞠言看着苍耳大王等人, 摇头苦笑说道：“永恒先生,在此事上也是帮不上哪个忙の.永恒先生来到暗混元有多久,你们也都是知道の.”第三一陆八章全部融合第三一陆八章全部融合(第一/一页)鞠言大王の意思,众人都明白.以他们现在の实历,帮不上鞠言大王.“多谢鞠言大王告知俺们如此多の信息,若不是鞠言大王相告,俺们可能永远都无法知晓呐些.”苍耳大王对鞠言琛琛躬身.其他天庭大王,也都如此.“好了,该说俺の已经说了.”“俺准备再使用秘境万年事间,你们可有异议?”鞠言问众人.没有人提出异议.使用天庭秘境万年事间算哪个?“鞠言大王,你全部能够使用更长事间の秘境.”浦桑大王出声道.“再用一万年秘境,也差不多够了.”鞠言摇摇头,而后继续道：“不过,俺想现在就开启秘境.”由于鞠言刚用过秘境,按照之前の惯例,天庭秘境要关闭一万年才会再次开启被大王使用.而鞠言,不想再等上万年の事间,他想早日真正の掌握元祖道则.“鞠言大王,秘境提前开启,也是能够の.不过, 其修行效果,怕是会降低一些.”苍耳大王道.对于苍耳大王说の,鞠言当然也早就知道,连续の使用秘境,确实会令其效果降低,呐也是为哪个秘境通常都是使用万年关闭万年の原因.不过,偶尔破例一次,问题也不大,效果不会严叠削弱.“呐一点,俺是知晓の.”鞠言道.……鞠言再次进入天庭秘境, 盘坐于悟道石之上.鞠言感受着道韵波动,申魂体清灵.“影响并不大.不过,呐修行效果应该是持续降低の,俺还是抓紧事间吧！”鞠言目光闪了闪.将小型界善取出,再将黑月明台取出,最后将大量の蓝槐果实取出.收敛心申,道法运转,申历涌入黑月明台,凝现小型界善内の九百九拾九条本源道则. 随意选择一条尚未掌握の黑色道则,鞠言开始参悟起来.或许是由于掌握了半成品の元祖道则,现在鞠言参悟本源道则の速度,竟是又飙升了一个层次.仅仅三千年事间过去,鞠言便将小型界善凝现出来本源道则之中,先前他尚未参悟の那数百条本源道则,尽皆掌握了.现在の鞠言,掌握了足足九百九拾九条本源道则.而当呐九百九拾九条本源道则全部掌握之后,鞠言有了另一种感觉,那就是,似乎呐九百九拾九条本源道则,仍然不是一个完整混元空间全部の本源道则.“感觉,似乎还是差了一点哪个.”鞠言皱眉.“九百九拾九条道则之中,黑色本源道则,有四百伍拾条.而白色の本源道则,却只有四百四拾九条.”“粗略の看,似乎是差了一条白色本源道则.”鞠言の申念,再次探入小型界善空间,仔细感应.而呐一次他感应小型界善,与上一次感觉有了一些不同.呐座小型界善,确实是非比寻常の东西.不过,鞠言并未寻到第一千条本源道则.申念退出小型界善空间.皱眉摇了摇头,道则再次运转.在鞠言の身前,半成品元祖道则凝现而出.上一次使用天庭秘境闭关の事候,鞠言融合两条本源道则,当达到呐个程度の事候,便无法继续取得进展.当事,鞠言就觉得,应该是自身掌握の本源道则数量不够の原因.现在,他已经掌握了九百九拾九条本源道则.“希望呐一次,能够顺利の完成吧.”鞠言心中念头一转,而后心申沉浸于半成品元祖道则之中.事情正如鞠言先前所预料の那样.呐一次继续融合本源道则,立刻就取得进展.仅仅耗费数年事间,两条本源道则,一条白色和一条黑色,呐两条本源道则,终于是达到了彻底の契合.当然,呐两条本源道则,并不是如同冰融化在水中那样全部の融为一体.本质上,呐两条本源道则,仍然保持着自俺の独立.仔细の感应观察,能够分辨得出来.此事凝现在鞠言面前の呐条道则,结构成体呈现为螺旋状.两条本源道则,旋转缠绕在一起.而在道则线条上,存在无数の连接点,让呐两条本源道则相通.道则上,厚叠の威能波动,令人震惊.“呐……是元祖道则了吗?”鞠言看着眼前缓缓转动の道则.他自身,也不能确定,面前の呐条道则,是否就是元祖道则.由于,他の自身,似乎并未发生哪个大の变化.“或许,俺该去见奎安大王问一问.”鞠言低声道.“呐只是两条本源道则,是否能够继续融合本源道则呢?”鞠言一挥手,又凝现出两条本源道则,黑色与白色.不过呐一次,鞠言の尝试,全部失败了.呐刚刚凝现出来の两条本源道则,全部无法融合.鞠言竭尽全历,也不能让呐两条道则,产生哪怕一个连通点.“到底是怎么回事?”鞠言皱眉了.“在黑月遗址の事候,奎安大王说,掌握一条元祖道则,才称得上是大王.而像黑月大王那样の存在,是掌握更多元祖道则の.能够确定,修行者肯定能够掌握不止一条元祖道则.可是,为哪个……俺再尝试融合本源道则の事候,却无法取得任何进展了?”鞠言看了看两条本源道则,又看了看旁边融合成功の道则.苦思良久,没有任何头绪.“罢了！”“还是去找奎安大王吧！”“奎安大王说过,待俺成为大王, 能够再去黑月遗址.现在,俺应该算是大王了吧?”鞠言自身,也有些不太确定.不过没关系,去试一试便是.最坏の结果,就是无法进入黑月遗址见不到奎安大王.而到此事,鞠言呐次试用天庭秘境,才三千多年の事间.鞠言出秘境,回到天庭总部.“鞠言大王,你……怎么从秘境出来了?”一名天庭大王看到鞠言,露出

八年级数学上-角平分线的作法

八年级数学上-角平分线的作法(总13页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-2一. 教学内容：1. 角平分线的作法．2. 角平分线的性质及判定．3. 角平分线的性质及判定的应用．二. 知识要点：1. 角平分线的作法（尺规作图）①以点O 为圆心，任意长为半径画弧，交OA 、OB 于C 、D 两点；②分别以C 、D 为圆心，大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ； ③过点P 作射线OP ，射线OP 即为所求．OAB①②③2. 角平分线的性质及判定（1）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． ①推导已知：OC 平分∠MON ，P 是OC 上任意一点，PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，垂足分别为点A 、点B ．求证：PA ＝PB ．OPABMN12C证明：∵PA ⊥OM ，PB ⊥ON ∴∠PAO ＝∠PBO ＝90° ∵OC 平分∠MON ∴∠1＝∠2在△PAO 和△PBO 中，⎩⎨⎧∠PAO ＝∠PBO∠1＝∠2OP=OP∴△PAO ≌△PBO ∴PA ＝PB3②几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）OPABMN12如图所示，∵OP 平分∠MON （∠1＝∠2），PA ⊥OM ，PB ⊥ON ， ∴PA ＝PB ．（2）角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． ①推导已知：点P 是∠MON 内一点，PA ⊥OM 于A ，PB ⊥ON 于B ，且PA ＝PB ．求证：点P 在∠MON 的平分线上．OABMNP证明：连结OP在R t △PAO 和R t △PBO 中，⎩⎨⎧PA ＝PBOP ＝OP∴R t △PAO ≌R t △PBO （HL ） ∴∠1＝∠2∴OP 平分∠MON即点P 在∠MON 的平分线上．②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）OPABMN12C如图所示，∵PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，PA ＝PB ∴∠1＝∠2（OP 平分∠MON ） 3. 角平分线性质及判定的应用4①为推导线段相等、角相等提供依据和思路； ②实际生活中的应用．例：一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且到河上公路桥头的距离为300米．在下图中标出工厂的位置，并说明理由．比例尺1∶2000北4. 画一个任意三角形并作出两个角（内角、外角）的平分线，观察交点到这个三角形三条边所在直线的距离的关系．A BCDEFP(1)两个内角的角平分线三. 重点难点：1. 重点：角平分线的性质及判定2. 难点：角平分线的性质及判定的应用【考点分析】本讲内容作为基础内容来讲，它在中考题中偶尔以选择题或填空题的形式出现，但角平分线的性质及判定有时出现在综合题题目当中，因此还是比较重要的．【典型例题】例1. 已知：如图所示，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′．求证：（1）∠ABC＝∠ABC′；（2）BC＝BC′（要求：不用三角形全等判定）．AB CC'分析：由条件∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′，可以把点A看作是∠CBC′平分线上的点，由此可打开思路．证明：（1）∵∠C＝∠C′＝90°（已知），∴AC⊥BC，AC′⊥BC′（垂直的定义）．又∵AC＝AC′（已知），∴点A在∠CBC′的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．∴∠ABC＝∠ABC′．（2）∵∠C＝∠C′，∠ABC＝∠ABC′，∴180°－（∠C＋∠ABC）＝180°－（∠C′＋∠ABC′）（三角形内角和定理）．即∠BAC＝∠BAC′，∵AC⊥BC，AC′⊥BC′，∴BC＝BC′（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．评析：利用三角形全等进行问题证明对平面几何的学习有一定的积极作用，但也会产生消极作用，在解题时，要能打破思维定势，寻求解题方法的多样性．例2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F，P 是AD上一点，且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．56A BCE FD P1234分析：判定一条射线是不是一个角的平分线，可用角平分线的定义和角平分线的判定定理．根据题意，首先由角平分线的判定定理推导出∠1＝∠2，再利用平行线推得∠3＝∠4，最后用角平分线的定义得证．解：AD 平分∠BAC ．∵D 到PE 的距离与到PF 的距离相等， ∴点D 在∠EPF 的平分线上． ∴∠1＝∠2．又∵PE ∥AB ，∴∠1＝∠3．同理，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4，∴AD 平分∠BAC ．评析：由角平分线的判定判断出PD 平分∠EPF 是解决本例的关键．“同理”是当推理过程相同，只是字母不同时为书写简便可以使用“同理”．例3. 如图所示，已知△ABC 的角平分线BM ，CN 相交于点P ，那么AP 能否平分∠BAC 请说明理由．由此题你能得到一个什么结论ABCD NMF EP分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点P 到三边的垂线段．解：AP 平分∠BAC ．结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等．理由：过点P 分别作BC ，AC ，AB 的垂线，垂足分别是E 、F 、D ． ∵BM 是∠ABC 的角平分线且点P 在BM 上，∴PD ＝PE （角平分线上的点到角的两边的距离相等）．同理PF ＝PE ，∴PD ＝PF ．∴AP 平分∠BAC （到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）．7例4. 如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的P 点处，距公路400m ，现分别以公路、铁路所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系．（1）学校距铁路的距离是多少？（2）请写出学校所在位置的坐标．分析：因为角平分线上的点到角的两边距离相等，所以点P 到铁路的距离与到公路的距离相等，也是400m ；点P 在第四象限，求点P 的坐标时要注意符号．解：（1）∵点P 在公路与铁路所夹角的平分线上，∴点P 到公路的距离与它到铁路的距离相等，又∵点P 到公路的距离是400m ，∴点P （学校）到铁路的距离是400m ．（2）学校所在位置的坐标是（400，－400）．评析：角平分线的性质的作用是通过角相等再结合垂直证明线段相等．例5. 如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，DA 平分∠CAB 交BC 于D ，问能否在AB 上确定一点E ，使△BDE 的周长等于AB 的长？若能，请作出点E ，并给出证明；若不能，请说明理由．ABCDE分析：由于点D 在∠CAB 的平分线上，若过点D 作DE ⊥AB 于E ，则DE ＝DC ．于是有BD ＋DE ＝BD ＋DC ＝BC ＝AC ，只要知道AC 与AE 的关系即可得出结论．解：能．过点D 作DE ⊥AB 于E ，则△BDE 的周长等于AB 的长．理由如下：∵AD 平分∠CAB ，DC ⊥AC ，DE ⊥AB ，8∴DC ＝DE ．在R t △ACD 和R t △AED 中，⎩⎨⎧DC ＝DEAD ＝AD，∴R t △ACD ≌R t △AED （HL ）． ∴AC ＝AE ．又∵AC ＝BC ，∴AE ＝BC ．∴△BDE 的周长＝BD ＋DE ＋BE ＝BD ＋DC ＋BE ＝BC ＋BE ＝AE ＋BE ＝AB ．评析：本题是一道探索题，要善于利用已知条件获得新结论，寻找与要解决的问题之间的联系．本题利用角平分线的性质将要探究的结论进行转化．这是初中几何中常用的一种数学思想．【方法总结】学过“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”与“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”这两个结论后，许多涉及角的平分线的问题用这两个结论解决很方便，需要注意的是有许多同学对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用这两个结论，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次这两个结论．所以特别提醒大家，能用简单方法的，就不要绕远路．【模拟试题】（答题时间：90分钟）一. 选择题1. 如图所示，OP 平分∠AOB ，PC ⊥OA 于C ，PD ⊥OB 于D ，则PC 与PD 的大小关系是（）A. PC ＞PDB. PC ＝PDC. PC ＜PDD. 不能确定OPABCD 第1题 2. 在R t △ABC 中，∠C ＝90°，AD 是角平分线，若BC ＝10，BD ∶CD ＝3∶2，则点D 到AB 的距离是（）A. 4B. 6C. 8D. 103. 在△ABC 中，∠C ＝90°，E 是AB 边的中点，BD 是角平分线，且DE ⊥AB ，则（）A. BC ＞AEB. BC ＝AEC. BC ＜AED. 以上都有可能94. 如图所示，点P 是∠BAC 的平分线AD 上一点，PE ⊥AC 于点E ，已知PE ＝3，则点P 到AB 的距离是（）PAB DCE第4题A. 3B. 4C. 5D. 65. 如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，AE ＝AC ，下列结论中错误的是（）A. DC ＝DEB. ∠AED ＝90°C. ∠ADE ＝∠ADCD. DB ＝DCABC DE 第5题6. 到三角形三边距离相等的点是（）A. 三条高的交点B. 三条中线的交点C. 三条角平分线的交点D. 不能确定7. 如图所示，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB ＝6cm ，则△DEB 的周长为（）ABCD E 第7题A. 4cmB. 6cmC. 10cmD. 以上都不对8. 如图所示，三条公路两两相交，交点分别为A 、B 、C ，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（）A BC第8题A. 一处B. 二处C. 三处D. 四处二. 填空题109. 如图所示，点P 是∠CAB 的平分线上一点，PF ⊥AB 于点F ，PE ⊥AC 于点E ，如果PF ＝3cm ，那么PE ＝__________．PACBFE 第9题 10. 如图所示，DB ⊥AB ，DC ⊥AC ，BD ＝DC ，∠BAC ＝80°，则∠BAD ＝__________，∠CDA ＝__________．AB CD 第10题 11. 如图所示，P 在∠AOB 的平分线上，在利用角平分线性质推证PD ＝PE 时，必须满足的条件是____________________．OPABDE 第11题 12. 如图所示，∠B ＝∠C ，AB ＝AC ，BD ＝DC ，则要证明AD 是∠BAC 的__________线．需要通过__________来证明．如果在已知条件中增加∠B 与∠C 互补后，就可以通过__________来证明．因为此时BD 与DC 已经分别是__________的距离．AB CD 第12题 13. 如图所示，C 为∠DAB 内一点，CD ⊥AD 于D ，CB ⊥AB 于B ，且CD ＝CB ，则点C 在__________．AB D第13题C14. 如图所示，在R t △ACB 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ．AB CD第14题（1）若BC ＝8，BD ＝5，则点D 到AB 的距离是__________．（2）若BD ∶DC ＝3∶2，点D 到AB 的距离为6，则BC 的长为__________．15. （1）∵OP 平分∠AOB ，点P 在射线OC 上，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，∴__________（依据：角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．（2）∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，PD ＝PE ，∴OP 平分∠AOB （依据：___________）．三. 解答题16. 已知：如图，在R t △ABC 中，∠C ＝90°，D 是AC 上一点，DE ⊥AB 于E ，且DE ＝DC ．（1）求证：BD 平分∠ABC ；（2）若∠A ＝36°，求∠DBC 的度数．A B CDE17. 如图：△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 、F 分别为AB 、AC 上的点，且∠EDF ＋∠BAF ＝180°．（1）求证：DE ＝DF ；（2）若把最后一个条件改为：AE ＞AF ，且∠AED ＋∠AFD ＝180°，那么结论还成立吗？ABCDE F18. 如图，∠1＝∠2，AE ⊥OB 于E ，BD ⊥OA 于D ，AE 与BD 相交于点C ．求证：AC ＝BC ．ABCDEO 1219. 如图所示，某铁路MN 与公路PQ 相交于点O ，且夹角为90°，其仓库G 在A 区，到公路和铁路距离相等，且到铁路图上距离为1cm ．（1）在图上标出仓库G 的位置．（比例尺为1∶10000，用尺规作图）（2）求出仓库G 到铁路的实际距离．A 区MNPQO四. 探究题20. 有位同学发现了“角平分线”的另一种尺规作法，其方法为：（1）如图所示，以O 为圆心，任意长为半径画弧交OM 、ON 于点A 、B ；（2）以O 为圆心，不等于（1）中的半径长为半径画弧交OM 、ON 于点C 、D ；（3）连接AD 、BC 相交于点E ；（4）作射线OE ，则OE 为∠MON 的平分线．你认为他这种作法对吗？试说明理由．O试题答案一. 选择题1. B2. A3. B4. A5. D6. C7. B8. D二. 填空题9. 3cm10. 40°，50°11. PD⊥OA，PE⊥OB12. 角平分，全等，角平分线的性质，点D到AB、AC两边13. ∠DAB的角平分线上14. （1）3（2）1515. （1）PD＝PE（2）到角的两边距离相等的点在角的平分线上三. 解答题16. （1）证明：∵DC⊥BC，DE⊥AB，DE＝DC，∴点D在∠ABC的平分线上，∴BD平分∠ABC．（2）∵∠C＝90°，∠A＝36°，∴∠ABC＝54°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝12∠ABC＝27°．17. （1）证明：作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，又∵AD平分∠BAC，∴DM＝DN，∵∠EAF＋∠EDF＝180°，∴∠AED＋∠AFD＝360°－180°＝180°，∵∠AFD＋∠CFD＝180°，∴∠AED＝∠CFD，∴△DME≌△DNF，∴DE＝DF．（2）仍成立．18. 证明：∵∠1＝∠2，BD⊥OA，AE⊥OB，∴CD＝CE，∵∠DCA＝∠ECB，∠ADC＝∠BEC＝90°，∴△ACD≌△BCE，∴AC＝BC．19. （1）图略，仓库G在∠NOQ的平分线上，（2）仓库G到铁路的实际距离是100m．四. 探究题20. 他这种作法对，理由如下：由作法可知：OC＝OD，OB＝OA，∠COB＝∠DOA，∴△BCO≌△ADO，AC＝BD，∴∠OCE＝∠ODE，∵∠AEC＝∠BED，∴△ACE≌△BDE，∴CE＝DE，∵OE＝OE，∴△OCE≌△ODE，∴∠COE＝∠DOE，即OE平分∠MON．。

人教版八年级数学上册1角平分线的性质

（3）、角平分线的性质是全等三角形知识的延续，为后面学习角平分线的判定定理、圆这一章中内心的学习奠定了基础．
因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用．同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律
2、教材目标
知识与技能: （1）掌握角平分线的作法（2）理解角平分线的性质（3）会运角平分线的性质解决问题过程与方法: （1）经历角平分线的探究过程，增强学生的实验、猜想、推理意识（2）依据性质进行简单说理，培养学生动手操作能力、逻辑推理能力（3）初步了解角平分线的性质在生活、生产中的应用。情感目标:激发学生学习兴趣,增强学生学好数学的信心.
A
N
D P
F
M
∟
点P在BM上,
B
∴ PD=PE. 同理 PE=PF.
C E
∴ PD=PE=PF. 即点P到三边AB,BC,CA的距离相等.
三.说教学过程
复
创
例
习
设
题
提
情
讲
问
景
解
导
探
形
入
究
成
新
新
技
课
知
能
合
课
作
堂
交
小
流
结
布
置
巩
达
作
固
标
业
提
测
高
试
自主探究巩固提高
1.如图,E是∠AOB的角平分线OC上的一点,EM⊥OB垂足为M,
（ 2）其次学生们的实际水平有所不同，全面深入探究问题能力有所差异,他们对问题的理性推理有待于提高。
二.说教学法
采用“先学后教·当堂训练“ 教学法

新人教八上数学第1课时角平分线的性质

知识要点
性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离
相等.
应用所具备的条件：
(1) 点在角的平分线上；
(2) 到角两边的距离(垂直). 定理的作用：证明线段相等.
O
DA PC
应用格式：
EB
∵ OP 是∠AOB 的平分线，推理的条件有三个，
PD⊥OA，PE⊥OB，
必须写完全，不能少
∴ PD = PE.
问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？
问题3：如图所示是一个角平分仪，其中 AB = AD，BC
= DC. 将点 A 放在角的顶点，AB 和 AD 沿着角的两边
放下，沿 AC 画一条射线 AE，则 AE 就
A
是角平分线. 你能说明其中的道理吗?
A
EA DC
CF G D
EB
3. 用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图
所示，则能说明∠AOC =∠BOC 的依据是（ A ）
A. SSS
A
B. ASA C. AAS
M C
D. 角平分线上的点到
角两边的距离相等
B
N
O
4. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB，垂足为 E，
S△ABC ＝ 7，DE ＝ 2，AB ＝ 4，则 AC 的长是 ( D )
C
BO
A
结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点
作这条直线的垂线的方法.
讲授新课
二角平分线的性质
实验：OC 是∠AOB 的平分线，点 P 是射线 OC 上的
任意一点. 1.操作测量：取点 P 的三个不同的位置，分别过点 P
作 PD⊥OA，PE⊥OB，点 D，E 为垂足，测量 PD、

角平分线的判定人教版八年级数学上册

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）. ∴DE＝DF.∴AD平分∠BAC．
8. 如图，DE⊥AB 的延长线于点 E，DF⊥AC 于点 F，且 BE=CF，DB=DC.求证：AD 是∠BAC 的
平分线.
证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC 于点F， ∴∠BED＝∠CFD=90°， ∴在Rt△BDE和Rt△CDF中，
谢谢！
（1）证明：∵∠C＝90°，
第9课角平分线的判定
（1）证明：∵∠C＝90°，
证明：如图，过点P作PD⊥BC于点D，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.
∴∠B＝∠DEC，BC＝EC.
∴∠BEC＝∠DEC.
第9课角平分线的判定
证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，
证明：如图，过点P作PD⊥AB，PM⊥BC，PN⊥AC，垂足分别为D，M，N.
∴△ABC≌△DEC（SAS）. ∴∠B＝∠DEC，BC＝EC. ∴∠B＝∠BEC.∴∠BEC＝∠DEC. ∴CE平分∠BED．
三级检测练
一级基础巩固练
7. 如图，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，若 BD=CD， BE=CF.求证：AD 平分∠BAC.
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠E＝∠DFC＝90°. 在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴△DNF≌△EMF（AAS）. ∴FE＝FD．
又PM⊥AB，PN⊥AC，
∵BP是△ABC的外角平分线.
∴AD是△ABC的角平分线．
∴△ABC≌△DEC（SAS）.
∴△ABC≌△DEC（SAS）. 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴Rt△PFD≌Rt△PGE（HL）. ∴∠B＝∠DEC，BC＝EC. ∴∠BEC＝∠DEC. ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）.

人教版八年级上册数学1角平分线的性质课件(共18张)

∴ DB = DC ，
（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。）
A
（√ ）
不必再证全等
B
D C
练习
4、如图，
A
∵ OC是∠AOB的平分线，
D
又 _P_D__⊥__O_A_，__P_E_⊥__O__B_，___
C
P
O
∴PD=PE
E
( 角的平分线上的点到角的两边的距离相等） B
THANK YOU
角平分线上的点到角的两边的距离相等。
用符号语言表示为：
∵ ∠DOP= ∠EOP， PD⊥OA ， PE⊥OB，
∴PD=PE(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)
推理的理由有三个，必须写全，不能少
了任何一个。
A D
P
O
B E
角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
定理应用所具备的条件：
结论:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
探究求证
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，
PE⊥OB，垂足分别是D，E。
求证：PD=PE
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，（已知）
∴∠PDO=∠PEO=90，（垂直的定义）
A D
在△PDO和△PEO中，
∠ PDO= ∠ PEO， ∠ AOC= ∠ BOC， OP=OP，
练习
1、如图， ∵ AD平分∠BAC（已知）
∴ BD = CD ，
（在角的平分线上的点到这
A
个角的两边的距离相等。）
（×）
B
D C
练习
2、如图， ∵ DC⊥AC，DB⊥AB （已知）

八年级数学角的平分线的性质2

已知：PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E， PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上。用符号语言表示为：
A D P
∵PD=PE
PD ⊥OA ，PE ⊥OB ∴ ∠1= ∠2 .
O
C
E
B
由上面两个定理可知：到角的两边的距离相等的点，都在这个角平分线上；反过来，角平分线上的点到角的两边的距离相等。
角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合.
A
练一练
填空： (1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB DC=DE ∴___________
C
1 2
E
D B
(___________________________________________) 在角平分线上的点到角的两边的距离相等 (1). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE
；干燥箱；
壹旁,用天眼看着她,这才晃然丶原来在她の元灵当中,那枚封印の背后,还有壹枚元灵种子,这里面还封印有强大の力量丶"魔神二重,魔神三重,魔神五重,魔神八重。""大魔神。""大魔神三重。""大魔神五重。"很快她の修为便壹路过关斩将,直接来到咯大魔神五重咯,而且还在往上涨丶"丫の, 不会直接变成壹个女魔仙吧?"根汉の神色也有些触动咯,这个修为突破の速度,应该是有史以来最快の咯吧丶他又往她の体内,打进咯三枚六阶还阳丹,之前の五阶还阳丹已经引不出她元灵种子中の封印の力量咯丶"看来咱必须要收咯你咯,不然咱这投资都不小咯呀。"根汉在壹旁摇头暗语,这个刘雨菲确实是壹个难得の美人,而且骨子里の那股劲让自己很欣赏丶好些年,没有遇到这种,自己想主动收下の女人咯丶三枚六阶还阳丹又进咯体内,汹涌の药力,再壹