2016中考第二轮复习专题四：几何最值

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中考数学第二轮复习专题(14个)

中考数学二轮专题复习之一：配方法与换元法把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题的条件的目的，这种解题方法叫配方法．所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。

【范例讲析】：例1：填空题：1）．将二次三项式x 2+2x －2进行配方，其结果为。

2）．方程x 2+y 2+4x －2y+5=0的解是。

3）．已知M=x 2－8x+22，N=－x 2+6x －3，则M 、N 的大小关系为。

例2.已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，且a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac ，则△ABC 的形状为。

例3.解方程：422740x x --=【闯关夺冠】 1.已知13x x +=．则221x x+的值为__________． 2．若a 、b 、c 是三角形的三边长，则代数式a 2–2ab+b 2–c 2的值（） A 大于零 B 等于零 C 小于零 D 不能确定 3已知：a 、b 为实数，且a 2+4b 2－2a+4b+2=0，求4a 2－b1的值。

4. 解方程： 211()65()11x x +=--对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称为待定系数法．【范例讲析】：【例1】二次函数的图象经过A(1，0)、B(3，0)、C(2，－1)三点．(1)求这个函数的解析式．(2)求函数与直线y=－x+1的交点坐标．【例2】一次函数的图象经过反比例函数xy 8-=的图象上的A 、B 两点，且点A 的横坐标与点B 的纵坐标都是2。

（1）求这个一次函数的解析式；（2）若一条抛物线经过点A 、B 及点C （1，7），求抛物线的解析式。

中考复习线段和差的最大值与最小值(拔高)

中考二轮复习之线段和（差）的最值问题一、两条线段和的最小值。

填空题：1．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB+PE的最小值是．2．如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，则P A+PC的最小值是．3．如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是．4．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝4，AB＝5，BC＝6，点P是AB上一个动点，当PC＋PD的和最小时，PB的长为__________．5．已知A(－2，3)，B(3，1)，P点在x轴上，若P A＋PB长度最小，则最小值为．若P A—PB长度最大，则最大值为．6．如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为AN弧的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为．7、如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为8、如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD 和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值为．综合题：1．如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．第1题第2题第3题第4题2．如图，已知平面直角坐标系，A ，B 两点的坐标分别为A (2，－3），B (4，－1）设M ，N 分别为x 轴和y 轴上的动点，请问：是否存在这样的点M (m ，0），N (0，n ),使四边形ABMN 的周长最短？若存在，请求出m ＝______，n ＝ ______（不必写解答过程）；若不存在，请说明理由．中考赏析：1．著名的恩施大峡谷（A ）和世界级自然保护区星斗山（B ）位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，AB =50km 、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ，向A 、B 两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP 与直线X 垂直，垂足为P ），P 到A 、B 的距离之和S 1＝P A ＋PB ，图（2）是方案二的示意图（点A 关于直线X 的对称点是A'，连接BA'交直线X 于点P ），P 到A 、B 的距离之和S 2＝P A ＋PB ．（1）求S 1、S 2，并比较它们的大小；（2）请你说明S 2＝P A ＋PB 的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km ，请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ，使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．2．如图，抛物线y ＝35x 2－185x ＋3和y 轴的交点为A ，M 为OA 的中点，若有一动点P ，自M 点处出发，沿直线运动到x 轴上的某点（设为点E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F ），最后又沿直线运动到点A ，求使点P 运动的总路程最短的点E ，点F 的坐标，并求出这个最短路程的长．3、在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC 绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ＝1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P、Q两点的坐标．4．如图，已知平面直角坐标系，A，B两点的坐标分别为A(2，－3），B(4，－1）若C(a，0)，D(a+3，0)是x轴上的两个动点，则当a为何值时，四边形ABDC的周长最短．5、如图11，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；（2）若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.二、求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边)1.直线2x-y-4=0上有一点P ，它与两定点A （4，-1）、B （3，4）的距离之差最大，则P 点的坐标是 .2.已知A 、B 两个村庄的坐标分别为（2，2），（7，4），一辆汽车（看成点P ）在x 轴上行驶．试确定下列情况下汽车（点P ）的位置：（1）求直线AB 的解析式，且确定汽车行驶到什么点时到A 、B 两村距离之差最大？（2）汽车行驶到什么点时，到A 、B 两村距离相等？3. 如图，抛物线y ＝－14x 2－x ＋2的顶点为A ，与y 轴交于点B ．(1)求点A 、点B 的坐标；(2)若点P 是x 轴上任意一点，求证：P A －PB ≤AB ； (3)当P A －PB 最大时，求点P 的坐标.4. 如图，已知直线y ＝21x ＋1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线y ＝21x 2＋bx ＋c 与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B （1）求该抛物线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM －MC |大，求出点M 的坐标．5. 如图，直线y ＝－3x ＋2与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，点A 为y 轴正半轴上的一点，⊙A 经过点B 和点O ，直线BC 交⊙A 于点D ．（1）求点D 的坐标；（2）过O ，C ，D 三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使线段PO 与PD 之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P 的坐标．若不存在，请说明理由．好题赏析：原型：已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求P A ＋PB ＋PC 的最小值．例题：如图，四边形ABCD 是正方形，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM ．（1）求证：△AMB ≌△ENB ；（2）①当M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；②当M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由；（3）当AM ＋BM ＋CM 的最小值为3＋1时，求正方形的边长．变式：如图四边形ABCD 是菱形，且∠ABC ＝60，△ABE 是等边三角形，M 为对角线BD （不含B 点）上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接EN 、AM 、CM ，则下列五个结论中正确的是（）①若菱形ABCD 的边长为1，则AM ＋CM 的最小值1； ②△AMB ≌△ENB ；③S 四边形AMBE =S 四边形ADCM ；④连接AN ，则AN ⊥BE ；⑤当AM ＋BM ＋CM 的最小值为23时，菱形ABCD 的边长为2． A ．①②③ B ．②④⑤ C ．①②⑤三、其它非基本图形类线段和差最值问题1、求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其他两边是已知的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其他两线段之差。

专题4.5圆---利用“瓜豆”模型求最值-中考数学二轮复习必会几何模型剖析(全国通用)

轨迹的相似比！
上述模型在数学江湖中也被称作“捆绑动点轨迹模型”
Q
强化训练
“瓜豆”模型
提升能力
1.如图,正方形ABCD中,AB=12,E是BC边上一点,CE=7,F是正方形内部一点,
且EF=3,连接EF,DE,DF,并将△DEF绕点D逆时针旋转90º得到△DMN(点M,N
10
分别为点E,F的对应点),连接CN,则CN长度的最小值为_____.
2
2
E G
D
A
圆型运动轨迹
典例精讲
考点2-2
【引例】如图,已知A是⊙O外一点,P是⊙O上的动点,线段AP的中点为Q,连
接OA,OP.若⊙O的半径为2,OA=4,则线段OQ的最小值是(
A.0
B.1
C.2
B )
D.3
【思考】当点P在圆O上运动时,Q点轨迹是？
解：连接AO,取AO的中点M,连接QM,PO.
O
A
(1)主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：
∠OAM=∠PAQ；
(2)主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：
AP:AQ=AO:AM,也等于两圆半径之比.按以上两点即可确定从动点轨迹圆,Q
与P的关系相当于旋转+伸缩.
古人云：种瓜得瓜,种豆得豆.种圆得圆,种线得线,谓之“瓜豆模型”.
2
倍而得到的,所以点P所在圆的圆心绕点A逆时针旋转90º，
再乘以 2 就是点C所在圆的圆心B´,而半径也缩小
2
2倍,
2
即 2 .根据点圆最值模型,可知：BB´-CB´≤BC≤BB´+CB´,
即3 2 ≤BC≤ 5 2 ,因此最大值与最小值的差为 3 2 .

初中数学专题04几何最值存在性问题(解析版)

专题四几何最值的存在性问题【考题研究】在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。

从历年的中考数学压轴题型分析来看，经常会考查到距离或者两条线段和差最值得问题，并且这部分题目在中考中失分率很高，应该引起我们的重视。

几何最值问题再教材中虽然没有进行专题讲解，到却给了我们很多解题模型，因此在专题复习时进行压轴训练是必要的。

【解题攻略】最值问题是一类综合性较强的问题，而线段和（差）问题，要归归于几何模型：（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型．（2）归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型．两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）．三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）．两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3，P A与PB的差的最大值就是AB，此时点P在AB的延长线上，即P′．解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，建立一次函数或者二次函数求解最值问题．【解题类型及其思路】解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。

【典例指引】类型一【确定线段（或线段的和，差）的最值或确定点的坐标】【典例指引1】（2018·天津中考模拟）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上．点B的坐标为（8，4），将该长方形沿OB翻折，点A的对应点为点D，OD与BC交于点E．（I）证明：EO=EB；（Ⅱ）点P是直线OB上的任意一点，且△OPC是等腰三角形，求满足条件的点P的坐标；（Ⅲ）点M是OB上任意一点，点N是OA上任意一点，若存在这样的点M、N，使得AM+MN最小，请直接写出这个最小值．【答案】（I）证明见解析；（Ⅱ）P的坐标为（4，2）或（55，455）或P（﹣55，﹣455）或（165，85）；（Ⅲ）325．【解析】分析：（Ⅰ）由折叠得到∠DOB=∠AOB，再由BC∥OA得到∠OBC=∠AOB，即∠OBC=∠DOB，即可；（Ⅱ）设出点P坐标，分三种情况讨论计算即可；（Ⅲ）根据题意判断出过点D作OA的垂线交OB于M，OA于N，求出DN即可．详解：（Ⅰ）∵将该长方形沿OB翻折，点A的对应点为点D，OD与BC交于点E，∴∠DOB=∠AOB，∵BC∥OA，∴∠OBC=∠AOB，∴∠OBC=∠DOB，∴EO=EB；（Ⅱ）∵点B的坐标为（8，4），∴直线OB解析式为y=12 x，∵点P是直线OB上的任意一点，∴设P（a，12 a）．∵O（0，0），C（0，4），∴OC=4，PO2=a2+（12a）2=54a2，PC2=a2+（4-12a）2．当△OPC是等腰三角形时，可分三种情况进行讨论：①如果PO=PC，那么PO2=PC2，则54a2=a2+（4-12a）2，解得a=4，即P（4，2）；②如果PO=OC，那么PO2=OC2，则54a2=16，解得a=±855，即P（855，455）或P（-855，-455）；③如果PC=OC时，那么PC2=OC2，则a2+（4-12a）2=16，解得a=0（舍），或a=165，即P（165，85）；故满足条件的点P的坐标为（4，2）或（855，455）或P（-855，-455）或（165，85）；（Ⅲ）如图，过点D作OA的垂线交OB于M，交OA于N，此时的M，N是AM+MN的最小值的位置，求出DN就是AM+MN的最小值．由（1）有，EO=EB，∵长方形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（8，4），设OE=x，则DE=8-x，在Rt△BDE中，BD=4，根据勾股定理得，DB2+DE2=BE2，∴16+（8-x）2=x2，∴x=5，∴BE=5，∴CE=3，∴DE=3，BE=5，BD=4，∵S△BDE=12DE×BD=12BE×DG，∴DG=12=5 DE BDBE⨯，由题意有，GN=OC=4，∴DN=DG+GN=125+4=325．即：AM+MN的最小值为325．点睛：此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，极值的确定，进行分类讨论与方程思想是解本题的关键．【举一反三】（2020·云南初三）如图，抛物线y=ax2+bx+3经过点B（﹣1，0），C（2，3），抛物线与y轴的焦点A，与x轴的另一个焦点为D，点M为线段AD上的一动点，设点M的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）过点M作y轴的平行线，交抛物线于点P，设线段PM的长为1，当t为何值时，1的长最大，并求最大值；（先根据题目画图，再计算）（3）在（2）的条件下，当t为何值时，△P AD的面积最大？并求最大值；（4）在（2）的条件下，是否存在点P，使△P AD为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)y=﹣x2+2x+3；（2）当t=32时，l有最大值，l最大=94；（3）t=32时，△P AD的面积的最大值为278；（4）t 15 +.【解析】试题分析：（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）易知直线AD解析式为y=-x+3，设M点横坐标为m，则P（t，-t2+2t+3），M（t，-t+3），可得l=-t2+2t+3-（-t+3）=-t2+3t=-（t-32）2+94，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）由S△P AD=12×PM×（x D-x A）=32PM，推出PM的值最大时，△P AD的面积最大；（4）如图设AD的中点为K，设P（t，-t2+2t+3）．由△P AD是直角三角形，推出PK=12AD，可得（t-32）2+（-t2+2t+3-32）2=14×18，解方程即可解决问题；试题解析：（1）把点B（﹣1，0），C（2，3）代入y=ax2+bx+3，则有30 4233 a ba b-+=⎧⎨++=⎩，解得12ab=-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）在y=﹣x2+2x+3中，令y=0可得0=﹣x2+2x+3，解得x=﹣1或x=3，∴D（3，0），且A（0，3），∴直线AD解析式为y=﹣x+3，设M点横坐标为m，则P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+3），∵0＜t＜3，∴点M在第一象限内，∴l=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t=﹣（t﹣32）2+94，∴当t=32时，l有最大值，l最大=94；（3）∵S△P AD=12×PM×（x D﹣x A）=32PM，∴PM的值最大时，△P AD的面积中点，最大值=32×94=278．∴t=32时，△P AD的面积的最大值为278．（4）如图设AD的中点为K，设P（t，﹣t2+2t+3）．∵△P AD 是直角三角形，∴PK =12AD ， ∴（t ﹣32）2+（﹣t 2+2t +3﹣32）2=14×18，整理得t （t ﹣3）（t 2﹣t ﹣1）=0，解得t =0或3或15±， ∵点P 在第一象限， ∴t =1+5. 类型二【确定三角形、四边形的周长的最值或符合条件的点的坐标】【典例指引2】（2020·重庆初三期末）如图，抛物线2y ax bx =+（0a >）与双曲线ky x=相交于点A 、B ，已知点A 坐标()1,4，点B 在第三象限内，且AOB ∆的面积为3（O 为坐标原点）.（1）求实数a 、b 、k 的值；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点P 使得POB ∆为等腰三角形？若存在请求出所有的P 点的坐标，若不存在请说明理由.（3）在坐标系内有一个点M ，恰使得MA MB MO ==，现要求在y 轴上找出点Q 使得BQM ∆的周长最小，请求出M 的坐标和BQM ∆周长的最小值.【答案】（1）13a b =⎧⎨=⎩，4k =；（2）存在，1 1.5,2P ⎛-- ⎝⎭，2 1.5,2P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，3 1.5,22P ⎛--- ⎝⎭，4 1.5,2P ⎛-- ⎝⎭，()5 1.5,0.5P --；（3）12【解析】【分析】（1）由点A 在双曲线上，可得k 的值，进而得出双曲线的解析式．设4,B m m ⎛⎫⎪⎝⎭(0m <)，过A 作AP ⊥x 轴于P ，BQ ⊥y 轴于Q ，直线BQ 和直线AP 相交于点M ．根据AOB AMB AOP QOB OPMQ S S S S S ∆∆∆∆=---矩形=3解方程即可得出k 的值，从而得出点B 的坐标，把A 、B 的坐标代入抛物线的解析式即可得到结论；（2）抛物线对称轴为 1.5x =-，设()1.5,P y -，则可得出2PO ；2OB ；2PB ．然后分三种情况讨论即可；（3）设M (x ，y )．由MO =MA =MB ，可求出M 的坐标．作B 关于y 轴的对称点B '．连接B 'M 交y 轴于Q ．此时△BQM 的周长最小．用两点间的距离公式计算即可．【详解】（1）由()1,4A 知：k =xy =1×4=4， ∴4y x=．设4,B m m ⎛⎫⎪⎝⎭(0m <)．过A 作AP ⊥x 轴于P ，BQ ⊥y 轴于Q ，直线BQ 和直线AP 相交于点M ，则S △AOP =S △BOQ =2．AOB AMB AOP QOB OPMQ S S S S S ∆∆∆∆=---矩形()()14414102AOP QOB m S S m m ∆∆⎛⎫⎛⎫=---+-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭242224m m m ⎛⎫⎛⎫=--+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22m m=- 令：223m m-=，整理得：22320m m +-=，解得：112m =，22m =-． ∵m ＜0， ∴m =-2，故()2,2B --．把A 、B 带入2y ax bx =+2424a ba b -=-⎧⎨=+⎩解出：13a b =⎧⎨=⎩，∴23y x x =+．（2）223( 1.5) 2.25y x x x =+=+- ∴抛物线23y x x =+的对称轴为 1.5x =-．设()1.5,P y -，则2294PO y =+，28OB =，()22124PB y =++．∵△POB 为等腰三角形， ∴分三种情况讨论： ①22PO OB =，即2984y +=，解得：2y =±，∴1 1.5,P ⎛- ⎝⎭，2P ⎛- ⎝⎭；②22PB OB =，即()21284y ++=，解得：22y =-±，∴3 1.5,2P ⎛-- ⎝⎭，4 1.5,2P ⎛-- ⎝⎭；③22PB OP =，即()2219244y y ++=+，解得：0.5y =- ∴()5 1.5,0.5P --；（3）设(),M x y ．∵()1,4A ，()2,2B --，()0,0O ，∴222MO x y =+，()()22214MA x y =-+-，()()22222MB x y =+++．∵MO MA MB ==，∴()()()()222222221422x y x y x y x y ⎧+=-+-⎪⎨+=+++⎪⎩ 解得：11272x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴117,22M ⎛⎫-⎪⎝⎭．作B 关于y 轴的对称点B '坐标为：(2，-2)．连接B 'M 交y 轴于Q ．此时△BQM 的周长最小．BQM C MQ BQ MB ∆=++MQ QB MB '=++=MB '+MB222211711722222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()13461702=+．【名师点睛】本题是二次函数综合题．考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、轴对称-最值问题等．第（1）问的关键是割补法；第（2）问的关键是分类讨论；第（3）问的关键是求出M 的坐标．【举一反三】（2019·重庆实验外国语学校初三）如图1，已知抛物线y ＝﹣23384x +x +3与x 轴交于A 和B 两点，（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求出直线BC 的解析式．（2）M 为线段BC 上方抛物线上一动点，过M 作x 轴的垂线交BC 于H ，过M 作MQ ⊥BC 于Q ，求出△MHQ 周长最大值并求出此时M 的坐标；当△MHQ 的周长最大时在对称轴上找一点R ，使|AR ﹣MR |最大，求出此时R 的坐标．（3）T 为线段BC 上一动点，将△OCT 沿边OT 翻折得到△OC ′T ，是否存在点T 使△OC ′T 与△OBC 的重叠部分为直角三角形，若存在请求出BT 的长，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝﹣34x +3；（2）R （1，92）；（3）BT ＝2或BT ＝165．【解析】【分析】（1）由已知可求A （﹣2，0），B （4，0），C （0，3），即可求BC 的解析式；（2）由已知可得∠QMH ＝∠CBO ，则有QH ＝34QM ，MH ＝54MQ ，所以△MHQ 周长＝3QM ，则求△MHQ周长的最大值，即为求QM 的最大值；设M （m ，233384m m -++），过点M 与BC 直线垂直的直线解析式为243733812y x m m =--+，交点22972721,35025200100Q m m m m ⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭，可求出()23=410MQ m m -+，当m ＝2时，MQ 有最大值65；函数的对称轴为x ＝1，作点M 关于对称轴的对称点M '（0，3），连接AM '与对称轴交于点R ，此时|AR ﹣MR |＝|AR ﹣M 'R |＝AM '，|AR ﹣MR |的最大值为AM '；求出AM '的直线解析式为332y x =+，则可求912R ⎛⎫⎪⎝⎭，；（3）有两种情况：当TC '∥OC 时，GO ⊥TC '；当OT ⊥BC 时，分别求解即可．【详解】解：（1）令y =0，即2333084x x -++=，解得122,4x x =-=， ∵点A 在点B 的左侧 ∴A （﹣2，0），B （4，0），令x =0解得y =3， ∴C （0，3），设BC 所在直线的解析式为y =kx +3，将B 点坐标代入解得k =34- ∴BC 的解析式为y ＝-34x +3；（2）∵MQ ⊥BC ，M 作x 轴， ∴∠QMH ＝∠CBO ， ∴tan ∠QMH ＝tan ∠CBO ＝34， ∴QH ＝34QM ，MH ＝54MQ ，∴△MHQ 周长＝MQ +QH +MH ＝34QM +QM +54MQ ＝3QM ，则求△MHQ 周长的最大值，即为求QM 的最大值；设M （m ，233384m m -++），过点M 与BC 直线垂直的直线解析式为243733812y x m m =--+，直线BC 与其垂线相交的交点22972721,35025200100Q m m m m ⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭，∴()23=410MQ m m -+， ∴当m ＝2时，MQ 有最大值65， ∴△MHQ 周长的最大值为185，此时M （2，3），函数的对称轴为x ＝1，作点M 关于对称轴的对称点M '（0，3），连接AM '与对称轴交于点R ，此时|AR ﹣MR |＝|AR ﹣M 'R |＝AM '， ∴|AR ﹣MR |的最大值为AM '； ∵AM '的直线解析式为y ＝32x +3， ∴R （1，92）；（3）①当TC '∥OC 时，GO ⊥TC '， ∵△OCT ≌△OTC '， ∴3412=55OG ⨯＝， ∴12655T ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴BT ＝2；②当OT⊥BC时，过点T作TH⊥x轴，OT＝125，∵∠BOT＝∠BCO，∴3=1255cOo BOTHs∠＝，∴OH＝36 25，∴36482525 T⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴BT＝165；综上所述：BT＝2或BT＝165．【点睛】本题是一道综合题，考查了二次函数一次函数和三角形相关的知识，能够充分调动所学知识是解题的关键. 类型三【确定三角形、四边形的面积最值或符合条件的点的坐标】【典例指引3】（2019·甘肃中考真题）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．（1）求二次函数的解析式；（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；（3）最大值为94，E（32，﹣34）．【解析】【分析】（1）用交点式函数表达式，即可求解；（2）分当AB为平行四边形一条边、对角线，两种情况，分别求解即可；（3）利用S四边形AEBD＝12AB（y D﹣y E），即可求解．【详解】解：（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；（2）①当AB为平行四边形一条边时，如图1，则AB＝PE＝2，则点P坐标为（4，3），当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，故：点P（4，3）或（0，3）；②当AB是四边形的对角线时，如图2，AB中点坐标为（2，0）设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为：22m+，即：22m+＝2，解得：m＝2，故点P（2，﹣1）；故：点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；（3）直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点E坐标为（x，x2﹣4x+3），则点D（x，﹣x+3），S四边形AEBD＝12AB（y D﹣y E）＝﹣x+3﹣x2+4x﹣3＝﹣x2+3x，∵﹣1＜0，故四边形AEBD面积有最大值，当x＝32，其最大值为94，此时点E（32，﹣34）．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．【举一反三】（2019·内蒙古中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线22(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于()1,0A -），()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．（1）求该抛物线的解析式，并写出它的对称轴；（2）点D 为抛物线对称轴上一点，连接CD BD 、，若DCB CBD ∠=∠，求点D 的坐标；（3）已知()1,1F ，若(),E x y 是抛物线上一个动点（其中12x <<），连接CE CF EF 、、，求CEF ∆面积的最大值及此时点E 的坐标．（4）若点N 为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点M ，使得以,,,B C M N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）224233y x x =-++，对称轴1x =；（2）11,4D ⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）面积有最大值是4948，755,424E ⎛⎫⎪⎝⎭；（4）存在点M 使得以,,,B C M N 为顶点的四边形是平行四边形，()2,2M或104,3M ⎛⎫-⎪⎝⎭或102,3M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【解析】【分析】（1）将点A （-1，0），B （3，0）代入y =ax 2+bx +2即可；（2）过点D 作DG ⊥y 轴于G ，作DH ⊥x 轴于H ，设点D （1，y ），在Rt △CGD 中，CD 2=CG 2+GD 2=（2-y ）2+1，在Rt △BHD 中，BD 2=BH 2+HD 2=4+y 2，可以证明CD =BD ，即可求y 的值；（3）过点E 作EQ ⊥y 轴于点Q ，过点F 作直线FR ⊥y 轴于R ，过点E 作FP ⊥FR 于P ，证明四边形QRPE是矩形，根据S △CEF =S 矩形QRPE -S △CRF -S △EFP ，代入边即可；（4）根据平行四边形对边平行且相等的性质可以得到存在点M 使得以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，点M （2，2）或M （4，- 103）或M （-2，-103）；【详解】解：（1）将点()()1,0,3,0A B -代入22y ax bx =++，可得24,33a b =-=， 224233y x x ∴=-++；∴对称轴1x =；（2）如图1：过点D 作DG y ⊥轴于G ，作DH x ⊥轴于H ，设点()1,D y ，()()0,2,3,0C B Q ，∴在Rt CGD ∆中，()222221CD CG GD y =+=-+， ∴在Rt BHD ∆中，22224BD BH HD y =+=+，在BCD ∆中，DCB CBD ∠=∠QCD BD ∴=，22CD BD ∴=()22214y y ∴-+=+ 14y ∴=，11,4D ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭；（3）如图2：过点E 作EQ y ⊥轴于点Q ，过点F 作直线FR y ⊥轴于R ，过点E 作FP FR ⊥于P ，90EQR QRP RPE ︒∴∠=∠=∠=， ∴四边形QRPE 是矩形，CEF CRF EFP QRPE S S S S ∆∆∆=--Q 矩形，()()(),,0,2,1,1E x y C F Q ，111•222CEF S EQ QR EQ QC CR RF FP EP ∴=⋅-⨯⋅-⋅-V()()()()111121111222CEF S x y x y x y ∆∴=----⨯⨯---224233y x x =-++Q ，21736CEF S x x ∆∴=-+∴当74x =时，面积有最大值是4948，此时755,424E ⎛⎫⎪⎝⎭；（4）存在点M 使得以,,,B C M N 为顶点的四边形是平行四边形，设()()1,,,N n M x y ，①四边形CMNB 是平行四边形时，1322x+=2x ∴=-102,3M ⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭②四边形CNBM 时平行四边形时，3122x +=2x ∴=， ()2,2M ∴；③四边形CNNB 时平行四边形时，1322x+=， 4x ∴=，104,3M ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭；综上所述：()2,2M 或104,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭或102,3M ⎛⎫--⎪⎝⎭；【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象及性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，及分类讨论的数学思想.熟练掌握二次函数的性质、灵活运用勾股定理求边长、掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．【新题训练】1．如图，直线y ＝5x ＋5交x 轴于点A ，交y 轴于点C ，过A ，C 两点的二次函数y ＝ax 2＋4x ＋c 的图象交x 轴于另一点B .(1)求二次函数的表达式；(2)连接BC ，点N 是线段BC 上的动点，作ND ⊥x 轴交二次函数的图象于点D ，求线段ND 长度的最大值； (3)若点H 为二次函数y ＝ax 2＋4x ＋c 图象的顶点，点M (4，m )是该二次函数图象上一点，在x 轴，y 轴上分别找点F ，E ，使四边形HEFM 的周长最小，求出点F 、E 的坐标．【答案】(1) y＝－x2＋4x＋5；(2);(3) F (，0)，E(0，)．【解析】【分析】（1）先根据坐标轴上点的坐标特征由一次函数的表达式求出A，C两点的坐标，再根据待定系数法可求二次函数的表达式；（2）根据坐标轴上点的坐标特征由二次函数的表达式求出B点的坐标，根据待定系数法可求一次函数BC 的表达式，设ND的长为d，N点的横坐标为n，则N点的纵坐标为-n+5，D点的坐标为D（n，-n2+4n+5），根据两点间的距离公式和二次函数的最值计算可求线段ND长度的最大值；（3）由题意可得二次函数的顶点坐标为H（2，9），点M的坐标为M（4，5），作点H（2，9）关于y轴的对称点H1，可得点H1的坐标，作点M（4，5）关于x轴的对称点HM1，可得点M1的坐标连结H1M1分别交x轴于点F，y轴于点E，可得H1M1+HM的长度是四边形HEFM的最小周长，再根据待定系数法可求直线H1M1解析式，根据坐标轴上点的坐标特征可求点F、E的坐标．【详解】解：(1)∵直线y＝5x＋5交x轴于点A，交y轴于点C，∴A(－1，0)，C(0，5)，∵二次函数y＝ax2＋4x＋c的图象过A，C两点，∴，解得，∴二次函数的表达式为y＝－x2＋4x＋5；(2)如解图①，第2题解图①∵点B是二次函数的图象与x轴的交点，∴由二次函数的表达式为y＝－x2＋4x＋5得，点B的坐标B(5，0)，设直线BC解析式为y＝kx＋b，∵直线BC过点B(5，0)，C(0，5)，∴，解得，∴直线BC解析式为y＝－x＋5，设ND的长为d，N点的横坐标为n，则N点的坐标为(n，－n＋5)，D点的坐标为(n，－n2＋4n＋5)，则d＝|－n2＋4n＋5－(－n＋5)|，由题意可知：－n2＋4n＋5＞－n＋5，∴d＝－n2＋4n＋5－(－n＋5)＝－n2＋5n＝－(n－)2＋，∴当n＝时，线段ND长度的最大值是；（3）∵点M(4，m)在抛物线y＝－x2＋4x＋5上，∴m＝5，∴M(4，5)．∵抛物线y＝－x2＋4x＋5＝－(x－2)2＋9，∴顶点坐标为H(2，9)，如解图②，作点H(2，9)关于y轴的对称点H1，则点H1的坐标为H1(－2，9)；作点M(4，5)关于x轴的对称点M1，则点M1的坐标为M1(4，－5)，连接H1M1分别交x轴于点F，y轴于点E，∴H1M1＋HM的长度是四边形HEFM的最小周长，则点F，E即为所求的点．设直线H1M1的函数表达式为y＝mx＋n，∵直线H1M1过点H1(－2，9)，M1(4，－5)，∴，解得，∴y＝－x＋，∴当x＝0时，y＝，即点E坐标为(0，)，当y＝0时，x＝，即点F坐标为(，0)，故所求点F，E的坐标分别为(，0)，(0，)．2．（2019·江苏中考真题）如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合），直线l是经过点P的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B’.（1）如图1，当PB=4时，若点B’恰好在AC边上，则AB’的长度为_____；（2）如图2，当PB=5时，若直线l//AC，则BB’的长度为；（3）如图3，点P在AB边上运动过程中，若直线l始终垂直于AC，△ACB’的面积是否变化？若变化，说明理由；若不变化，求出面积；（4）当PB=6时，在直线l变化过程中，求△ACB’面积的最大值.【答案】（1）4；（2）（3）面积不变，S△ACB’=（4）【解析】【分析】(1)证明△APB′是等边三角形即可解决问题；(2)如图2中，设直线l交BC于点E，连接B B′交PE于O，证明△PEB是等边三角形，求出OB即可解决问题；(3)如图3中，结论：面积不变，证明B B′//AC即可；(4)如图4中，当PB′⊥AC时，△ACB′的面积最大，设直线PB′交AC于点E，求出B′E即可解决问题.【详解】(1)如图1，∵△ABC为等边三角形，∴∠A=60°，AB=BC=CA=8，∵PB=4，∴PB′=PB=P A=4，∵∠A=60°，∴△APB′是等边三角形，∴AB′=AP=4，故答案为4；(2)如图2，设直线l交BC于点E，连接B B′交PE于O，∵PE∥AC，∴∠BPE=∠A=60°，∠BEP=∠C=60°，∴△PEB是等边三角形，∵PB=5，B、B′关于PE对称，∴BB′⊥PE，BB′=2OB，∴OB=PB·sin60°，∴BB，故答案为(3)如图3，结论：面积不变.过点B作BE⊥AC于E，则有BE=AB·sin60°=3843⨯=，∴S△ABC=1184322AC BE=⨯⨯g=163，∵B、B′关于直线l对称，∴BB′⊥直线l，∵直线l⊥AC，∴AC//BB′，∴S△ACB’=S△ABC=163；(4)如图4，当B′P⊥AC时，△ACB′的面积最大，设直线PB′交AC于E，在Rt△APE中，P A=2，∠P AE=60°，∴PE=P A·sin60°=3，∴B′E=B′P+PE=6+3，∴S△ACB最大值=12×(6+3)×8=24+43.【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定与性质，轴对称变换，解直角三角形，平行线的判定与性质等知识，理解题意，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.3．（2019·湖南中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．(1)当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；(2)设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为212时，求OA的长；(3)当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD的值．【答案】(1)点C的坐标为(2，3；(2)OA＝2；(3)OC的最大值为8，cos∠OAD 5．【解析】【分析】(1)作CE⊥y轴，先证∠CDE＝∠OAD＝30°得CE＝12CD＝2，DE2223CD CE-=OAD＝30°知OD＝12AD＝3，从而得出点C坐标；(2)先求出S△DCM＝6，结合S四边形OMCD＝212知S△ODM＝92，S△OAD＝9，设OA＝x、OD＝y，据此知x2+y2＝36，12xy＝9，得出x2+y2＝2xy，即x＝y，代入x2+y2＝36求得x的值，从而得出答案；(3)由M为AD的中点，知OM＝3，CM＝5，由OC≤OM+CM＝8知当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8，连接OC，则此时OC与AD的交点为M，ON⊥AD，证△CMD∽△OMN得CD DM CM ON MN OM==，据此求得MN＝95，ON＝125，AN＝AM﹣MN＝65，再由OA22ON AN+cos∠OAD＝ANOA可得答案．【详解】(1)如图1，过点C作CE⊥y轴于点E，∵矩形ABCD中，CD⊥AD，∴∠CDE+∠ADO＝90°，又∵∠OAD+∠ADO＝90°，∴∠CDE＝∠OAD＝30°，∴在Rt△CED中，CE＝12CD＝2，DE22CD CE＝3，在Rt△OAD中，∠OAD＝30°，∴OD＝12AD＝3，∴点C的坐标为(2，3)；(2)∵M为AD的中点，∴DM＝3，S△DCM＝6，又S四边形OMCD＝212，∴S△ODM＝92，∴S△OAD＝9，设OA＝x、OD＝y，则x2+y2＝36，12xy＝9，∴x2+y2＝2xy，即x＝y，将x＝y代入x2+y2＝36得x2＝18，解得x＝2(负值舍去)，∴OA＝2；(3)OC的最大值为8，如图2，M为AD的中点，∴OM＝3，CM22CD DM+5，∴OC≤OM+CM＝8，当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8，连接OC，则此时OC与AD的交点为M，过点O作ON⊥AD，垂足为N，∵∠CDM＝∠ONM＝90°，∠CMD＝∠OMN，∴△CMD∽△OMN，∴CD DM CMON MN OM==，即4353ON MN==，解得MN＝95，ON＝125，∴AN＝AM﹣MN＝65，在Rt△OAN中，OA2265 5ON AN+=，∴cos∠OAD＝5 ANOA=．【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点．4.（2018·江苏中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣23x+4的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点．动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O 停止运动，点A关于点P的对称点为点Q，以线段PQ为边向上作正方形PQMN．设运动时间为t秒．（1）当t=13秒时，点Q的坐标是；（2）在运动过程中，设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数表达式；（3）若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值．【答案】（1）（4，0）；（2）①当0＜t≤1时，S =334t2；②当1＜t≤43时，S =﹣394t2+18t；③当43＜t≤2时，S =﹣3t2+12；（3）OT+PT的最小值为32【解析】【分析】（1）先确定出点A的坐标，进而求出AP，利用对称性即可得出结论；（2）分三种情况，①利用正方形的面积减去三角形的面积，②利用矩形的面积减去三角形的面积，③利用梯形的面积，即可得出结论；（3）先确定出点T的运动轨迹，进而找出OT+PT最小时的点T的位置，即可得出结论．【详解】（1）令y=0，∴﹣23x+4=0，∴x=6，∴A（6，0），当t=13秒时，AP=3×13=1，∴OP=OA﹣AP=5，∴P（5，0），由对称性得，Q（4，0）；（2）当点Q在原点O时，OQ=6，∴AP=12OQ=3，∴t=3÷3=1，①当0＜t≤1时，如图1，令x=0，∴y=4，∴B（0，4），∴OB=4，∵A（6，0），∴OA=6，在Rt△AOB中，tan∠OAB=2=3 OBOA，由运动知，AP=3t，∴P（6﹣3t，0），∴Q（6﹣6t，0），∴PQ=AP=3t，∵四边形PQMN是正方形，∴MN∥OA，PN=PQ=3t，在Rt△APD中，tan∠OAB=233 PD PDAP t==，∴PD=2t，∴DN=t，∵MN∥OA∴∠DCN=∠OAB，∴tan∠DCN=23 DN tCN CN==，∴CN=32t，∴S=S正方形PQMN﹣S△CDN=（3t）2﹣12t×32t=334t2；②当1＜t≤43时，如图2，同①的方法得，DN=t，CN=32t，∴S=S矩形OENP﹣S△CDN=3t×（6﹣3t）﹣12t×32t=﹣394t2+18t；③当43＜t≤2时，如图3，S=S梯形OBDP=12（2t+4）（6﹣3t）=﹣3t2+12；（3）如图4，由运动知，P（6-3t，0），Q（6-6t，0），∴M（6-6t，3t），∵T是正方形PQMN的对角线交点，∴T（6-93,22t t），∴点T是直线y=-13x+2上的一段线段，（-3≤x＜6），同理：点N是直线AG：y=-x+6上的一段线段，（0≤x≤6），∴G（0，6），∴OG=6，∵A（6，0），∴AG2，在Rt△ABG中，OA=6=OG，∴∠OAG=45°，∵PN⊥x轴，∴∠APN=90°，∴∠ANP=45°，∴∠TNA=90°，即：TN⊥AG，∵T 正方形PQMN 的对角线的交点， ∴TN =TP ， ∴OT +TP =OT +TN ，∴点O ，T ，N 在同一条直线上（点Q 与点O 重合时），且ON ⊥AG 时，OT +TN 最小，即：OT +TN 最小，∵S △OAG =12OA ×OG =12AG ×ON ， ∴ON =OA OGAGn =32．即：OT +PT 的最小值为32【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了正方形的面积，梯形，三角形的面积公式，正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键，找出点T 的位置是解本题（3）的难点．5.（2020·江苏初三期末）已知二次函数223y x x =--+的图象和x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点P 是直线AC 上方的抛物线上的动点.(1)求直线AC 的解析式.(2)当P 是抛物线顶点时，求APC ∆面积. (3)在P 点运动过程中，求APC ∆面积的最大值. 【答案】(1)3y x =+；(2)3；(3)APC ∆面积的最大值为278. 【解析】【分析】（1）由题意分别将x =0、y =0代入二次函数解析式中求出点C 、A 的坐标，再根据点A 、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线AC 的解析式；（2）由题意先根据二次函数解析式求出顶点P ，进而利用割补法求APC ∆面积；（3）根据题意过点P 作PE y P 轴交AC 于点E 并设点P 的坐标为()2,23m m m --+(30m -<<)，则点E的坐标为(),3+m m 进而进行分析. 【详解】解：(1) 分别将x =0、y =0代入二次函数解析式中求出点C 、A 的坐标为()0,3C ；()30A -,；将()0,3C ；()30A -,代入223y x x =--+，得到直线AC 的解析式为3y x =+. (2)由223y x x =--+，将其化为顶点式为2(1)4y x =-++，可知顶点P 为(1,4)-，如图P 为顶点时连接PC 并延长交x 轴于点G ，则有S APC S APG S ACG =-V V V ，将P 点和C 点代入求出PC 的解析式为3y x =-+，解得G 为(3,0)，所有S APC S APG S ACG =-V V V 11646312922=⨯⨯-⨯⨯=-=3；(3)过点P 作PE y P 轴交AC 于点E .设点P 的坐标为()2,23m m m --+(30m -<<)，则点E 的坐标为(),3+m m ∴()2233PE m m m =--+-+2239324m m m ⎛⎫=--=-++ ⎪⎝⎭，当32m =-时，PE 取最大值，最大值为94.∵()1322APC C A S PE x x PE ∆=⋅-=，∴APC ∆面积的最大值为278. 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、二次函数的性质以及解二元一次方程组，解题的关键是利用待定系数法求出直线解析式以及利用二次函数的性质进行综合分析.6．（2020·江苏初三期末）如图，抛物线265y ax x =+-交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，点B 的坐标为()5,0，直线5y x =-经过点B 、C .（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，求BCP ∆面积S 的最大值并求出此时点P 的坐标；（3）过点A 的直线交直线BC 于点M ，连接AC ，当直线AM 与直线BC 的一个夹角等于ACB ∠的3倍时，请直接写出点M 的坐标.【答案】（1）265y x x =-+-；（2）1258S =，点P 坐标为515,24⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）点M 的坐标为7837,2323⎛⎫-⎪⎝⎭， 6055,2323⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用B （5，0）用待定系数法求抛物线解析式；（2）作PQ ∥y 轴交BC 于Q ，根据12PBC S PQ OB ∆=⋅求解即可；（3）作∠CAN =∠NAM 1=∠ACB ，则∠A M 1B =3∠ACB , 则∆ NAM 1∽∆ A C M 1,通过相似的性质来求点M 1的坐标；作AD ⊥BC 于D ,作M 1关于AD 的对称点M 2, 则∠A M 2C =3∠ACB ,根据对称点坐标特点可求M 2的坐标. 【详解】（1）把()5,0B 代入265y ax x =+-得253050a +-= 1a =-.∴265y x x =-+-；（2）作PQ ∥y 轴交BC 于Q ，设点()2,65P x x x -+-，则∵()5,0B∴OB =5， ∵Q 在BC 上，∴Q 的坐标为（x ，x -5），∴PQ =2(65)(5)x x x -+---=25x x -+， ∴12PBC S PQ OB ∆=⋅ =21(5)52x x -+⨯ =252522x x -+∴当52x =时，S 有最大值，最大值为1258S =，∴点P 坐标为515,24⎛⎫⎪⎝⎭. （3）如图1，作∠CAN =∠NAM 1=∠ACB ，则∠A M 1B =3∠ACB ,∵∠CAN =∠NAM 1, ∴AN =CN ,∵265y x x =-+-=-(x -1)(x -5),∴A 的坐标为（1，0），C 的坐标为（0，-5），设N 的坐标为（a ,a -5），则∴2222(1)(5)(55)a a a a -+-=+-+，∴a =136, ∴N 的坐标为（136,176-）, ∴AN 2=221317(1)()66-+-=16918，AC 2=26，∴22169113182636 ANAC=⨯=，∵∠NAM1=∠ACB，∠N M1A=∠C M1A，∴∆NAM1∽∆A C M1,∴11AMANAC CM=,∴21211336AMCM=,设M1的坐标为（b,b-5），则∴222236[(1)(5)]13[(55)]b b b b-+-=+-+,∴b1=7823，b2=6(不合题意，舍去)，∴M1的坐标为7837(,)2323-，如图2，作AD⊥BC于D,作M1关于AD的对称点M2, 则∠A M2C=3∠ACB,易知∆ADB是等腰直角三角形，可得点D的坐标是（3，-2），∴M2横坐标=7860232323⨯-=，M2纵坐标=37552(2)()2323⨯---=-，∴M2的坐标是6055(,)2323-，综上所述，点M的坐标是7837(,)2323-或6055(,)2323-.【点睛】本题考查了二次函数与几何图形的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质及相似三角形的判定与性质，会运用分类讨论的思想解决数学问题．7.（2019·石家庄市第四十一中学初三）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x（x﹣b）﹣与y轴相交于A点，与x轴相交于B、C两点，且点C在点B的右侧，设抛物线的顶点为P．（1）若点B与点C关于直线x＝1对称，求b的值；（2）若OB＝OA，求△BCP的面积；（3）当﹣1≤x≤1时，该抛物线上最高点与最低点纵坐标的差为h，求出h与b的关系；若h有最大值或最小值，直接写出这个最大值或最小值．【答案】（1）2（2）（3）h存在最小值，最小值为1【解析】【分析】（1）由点B与点C关于直线x＝1对称，可得出抛物线的对称轴为直线x＝1，再利用二次函数的性质可求出b值；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，结合OA＝OB可得出点B的坐标，由点B的坐标利用待定系数法可求出抛物线的解析式，由抛物线的解析式利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，利用配方法可求出点P的坐标，再利用三角形的面积公式即可求出△BCP的面积；（3）分b≥2，0≤b＜2，﹣2＜b＜0和b≤﹣2四种情况考虑，利用二次函数图象上点的坐标特征结合二次函数的图象找出h关于b的关系式，再找出h的最值即可得出结论．【详解】解：（1）∵点B与点C关于直线x＝1对称，y＝x（x﹣b）﹣＝x2﹣bx﹣，∴﹣＝1，解得：b＝2．（2）当x＝0时，y＝x2﹣bx﹣＝﹣，∴点A的坐标为（0，﹣）．又∵OB＝OA，∴点B的坐标为（﹣，0）．将B（﹣，0）代入y＝x2﹣bx﹣，得：0＝+b﹣，解得：b＝，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣．∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣）2﹣，∴点P的坐标为（，﹣）．当y＝0时，x2﹣x﹣＝0，解得：x1＝﹣，x2＝1，∴点C的坐标为（1，0）．∴S△BCP＝×[1﹣（﹣）]×|﹣|＝．（3）y＝x2﹣bx﹣＝（x﹣）2﹣﹣．当≥1，即b≥2时，如图1所示，y最大＝b+，y最小＝﹣b+，∴h＝2b；当0≤＜1，即0≤b＜2时，如图2所示，y最大＝b+，y最小＝﹣﹣，∴h＝1+b+＝（1+）2；当﹣1＜＜0，﹣2＜b＜0时，如图3所示y最大＝﹣b，y最小＝﹣﹣，∴h＝1﹣b+＝（1﹣）2；当≤﹣1，即b≤﹣2时，如图4所示，y最大＝﹣b+，y最小＝b+，h＝﹣2b．综上所述：h＝，h存在最小值，最小值为1．【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式、三角形的面积、二次函数图象以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质，求出b的值；（2）利用二次函数图象上的坐标特征及配方法，求出点B，C，P的坐标；（3）分b≥2，0≤b＜2，﹣2＜b＜0和b≤﹣2四种情况，找出h关于b的关系式．8.（2020·江西初三期中）如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．。

专题4.2圆---利用“隐圆”模型求最值-中考数学二轮复习必会几何模型剖析(全国通用)

D
Q
Q
C
N N
H
O O
A
MM
P P
B
∵MN=2NH= ON2-OH2 = 262-OH2
∴当OH最短时，MN最长.
与“圆”有关的最值问题
强化训练
提升能力
4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90º,BC=6,AC=8,D,E分别是BC,AC上的一点,且
24/5
DE=6.若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M,N两点,则MN的最大值为_____.
A
M
D
E
B
N
C
针对训练
点圆最值---点心线
考点4-1
1.如图,⊙O、⊙C,OC=5,点A、B分别是平面内的动点,且OA=4,BC=3,则OB长
2 ,AC长的最大值为_____
8 ,OB长的最小值为______
9 ,AC长的最小值
的最大值为______
12 ,AB长的最小值为____．
0
为______
1 ,AB长的最大值为______
2.如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,点E是AB边上的中点,点F是线段BC边上
的动点,将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB´F,连接B´C,则B´C最小值是
A
2 10-2
________.
A
B
O
C
D
B´
E
B´
B
F
C
模型分析
线圆最值---心垂线
考点4-2
BC、CD上两个动点,且∠EAF=60º,则△AEF的面积是否存在最小值?若存在,
求出其最小值；若不存在,请说明理由. 定角夹定高
【简答】将△ADF绕点A顺时针旋转120º,得△ABF´,则∠EAF´=60º,易证

初三数学几何中的最值问题

初三数学几何中的最值问题一、几何中的最值问题1．如图1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4．点E是AD的中点，以DE 为边作正方形DEFG，连接AG，CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．（1）如图2，在旋转过程中，①判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由；②当CE＝CD时，AG与EF交于点H，求GH的长．（2）如图3，延长CE交直线AG于点P．①求证：AG⊥CP；②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．2．如图1，在一张▱ABCD的纸片中，▱ABCD的面积为6，DC＝3，∠BCD＝45°，点P是BD 上的一动点（点P与点B，D不重合）．现将这张纸片分别沿BD，AP剪成三块，并按图2（注：图2中的①，②是将图1中的①，②翻转背面朝上，再拼接而成的）所示放置（1）当点P是BD的中点时，求AP的长．（2）试探究：当点P在BD的什么位置上时，MN的长最小？请求出这个最小值．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2经过点A(﹣1，0)和点B(4，0)，且与y 轴交于点C，点D的坐标为(2，0)，点P(m，n)是该抛物线上的一个动点，连接CA，CD，PD，PB．(1)求该抛物线的解析式；(2)当△PDB的面积等于△CAD的面积时，求点P的坐标；(3)当m＞0，n＞0时，过点P作直线PE⊥y轴于点E交直线BC于点F，过点F作FG⊥x轴于点G，连接EG，请直接写出随着点P的运动，线段EG的最小值．4．定义：有一组对边相等目这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．（1）如图①，四边形ABCD 与四边形AEEG 都是正方形，135AEB 180<∠<︒︒，求证：四边形BEGD 是“等垂四边形”；（2）如图②，四边形ABCD 是“等垂四边形”，AD BC ≠，连接BD ，点E ，F ，G 分别是AD ，BC ，BD 的中点，连接EG ，FG ，EF ．试判定EFG 的形状，并证明；（3）如图③，四边形ABCD 是“等垂四边形”，4=AD ，6BC =，试求边AB 长的最小值．5．问题探究（1）如图1．在ABC 中，8BC =，D 为BC 上一点，6AD =．则ABC 面积的最大值是_______．（2）如图2，在ABC 中，60BAC ∠=︒，AG 为BC 边上的高，O 为ABC 的外接圆，若3AG =，试判断BC 是否存在最小值？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由．问题解决：如图3，王老先生有一块矩形地ABCD ，6212AB =+，626BC =+，现在他想利用这块地建一个四边形鱼塘AMFN ，且满足点E 在CD 上，AD DE =，点F 在BC 上，且6CF =，点M 在AE 上，点N 在AB 上，90MFN ∠=︒，这个四边形AMFN 的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．6．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=3cm ，AD=5cm ，折叠纸片使B 点落在边AD 上的点E 处，折痕为PQ ．过点E 作EF ∥AB 交PQ 于点F,连接BF（1）若AP ： BP=1：2，则AE 的长为．（2）求证：四边形BFEP 为菱形；（3）当点E 在AD 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．若限定点P ，Q 分别在边AB 、BC 上移动，求出点E 在边AD 上移动的最大距离．7．在图1至图3中，O 的直径30BC =，AC 切O 于点C ，40AC =，连接AB 交O 于点D ，连接CD ，P 是线段CD 上一点，连接PB ．（1）如图1，当点P ，O 的距离最小时，求PD 的长；（2）如图2，若射线AP 过圆心O ，交O 于点E ，F ，求tan F 的值；（3）如图3，作DH PB ⊥于点H ，连接CH ，直接写出．．．．CH 的最小值．8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝12x +2的图象与y 轴交于A 点，与x 轴交于B 点，⊙P 5P 在x 轴上运动．（1）如图1，当圆心P 的坐标为（1，0）时，求证：⊙P 与直线AB 相切；（2）在（1）的条件下，点C 为⊙P 上在第一象限内的一点，过点C 作⊙P 的切线交直线AB 于点D ，且∠ADC ＝120°，求D 点的坐标；（3）如图2，若⊙P 向左运动，圆心P 与点B 重合，且⊙P 与线段AB 交于E 点，与线段BO 相交于F 点，G 点为弧EF 上一点，直接写出12AG +OG 的最小值． 9．在ABC ∆中，90,2ACB BC AC ︒∠===，将ABC ∆绕点A 顺时针方向旋转α角0180()α︒<<︒至''AB C ∆的位置．（1）如图1，当旋转角为60︒时，连接'C C 与AB 交于点M ，则'C C = ．（2）如图2，在（1）条件下，连接'BB ，延长'CC 交'BB 于点D ，求CD 的长．（3）如图3，在旋转的过程中，连线'','CC BB CC 、所在直线交'BB 于点D ，那么CD 的长有没有最大值?如果有，求出CD 的最大值：如果没有，请说明理由．10．在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC =120°，以CA 为边在∠ACB 的另一侧作∠ACM =∠ACB ，点D 为射线BC 上任意一点，在射线CM 上截取CE=BD ，连接AD 、DE 、AE ．（1）如图1，当点D 落在线段BC 的延长线上时，求∠ADE 的度数；（2）如图2，当点D 落在线段BC （不含边界）上时，AC 与DE 交于点F ，试问∠ADE 的度数是否发生变化？如果不变化，请给出理由；如果变化了，请求出∠ADE 的度数；（3）在（2）的条件下，若AB =6，求CF 的最大值．11．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，E 为BC 上一点，且BE=1，∠AED=90°，将AED 绕点E 顺时针旋转得到A ED ''△，A′E 交AD 于P ， D′E 交CD 于Q ，连接PQ ，当点Q 与点C 重合时，AED 停止转动．（1）求线段AD 的长；（2）当点P 与点A 不重合时，试判断PQ 与A D ''的位置关系，并说明理由；（3）求出从开始到停止，线段PQ 的中点M 所经过的路径长．12．如图，在▱ABCD 中，AB 32=，BC 5=，B 45∠=，点E 为CD 上一动点，经过A 、C 、E 三点的O 交BC 于点F ．（操作与发现）()1当E 运动到AE CD ⊥处，利用直尺与规作出点E 与点F ；(保留作图痕迹) ()2在()1的条件下，证明：AF AB AE AD =．（探索与证明）()3点E 运动到任何一个位置时，求证：AF AB AE AD=；（延伸与应用）()4点E 在运动的过程中求EF 的最小值．13．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，tan ∠BAC ＝12．点D 在边AC 上（不与A ，C 重合），连结BD ，F 为BD 中点．（1）若过点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CF 、EF 、CE ，如图1．设CF ＝kEF ，则k ＝；（2）若将图1中的△ADE 绕点A 旋转，使得D 、E 、B 三点共线，点F 仍为BD 中点，如图2．求证：BE-DE ＝2CF ；（3）若BC ＝6，点D 在边AC 的三等分点处，将线段AD 绕点A 旋转，点F 始终为BD 中点，求线段CF 长度的取值范围．14．（阅读材料）某兴趣小组的同学将一个矩形ABED 和一个等腰直角三角形DEC 拼成如图1的一个四边形ABCD ，已知1,2AD DC ==（1）①直接写出BC 的长为②如图2，若P 为AB 边上任意一点，以PD PC 、为边作PCQD ，请问对角线PQ 的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．爱动脑筋的小明得到如下思路：过点Q 作//QH AB ，交BC 的延长线于点H ，因为APQ DPQ PQH PQC ∠-∠=∠-∠，即APD HQC ∠=∠，则PAD QHC ∆≅∆，得AD CH =，所以BH BC CH BC AD =+=+，即PQ 存在最小值为（方法应用）（2）①若P 为AB 边上任意一点，延长PD 到F ，使2PF PD =，再以PF PC 、为边作PCQF ，请在图3中画图研究，求出对角线PQ 的长的最小值？②若P 为AB 边上任意一占，延长PD 到F ，使 PF nPD =（n 为常数），再以PF PC 、为边作PCQF ，则对角线PQ 的长的最小值=（延伸拓展）（3）如图4，若P 为直线DC 上任意一点，延长PA 到F ，使PF nPA =（n 为常数），以PF PB 、为边作PBQF ，请探究对角线PQ 的长是否也存在最小值？如果存在，直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．15．如图1所示，菱形ABCD的顶点A，B在x轴上，点A在点B的左侧，点D在y轴的正半轴上，其中点9,02B⎛⎫⎪⎝⎭、()0,6D．（1）求C点的坐标；（2）如图2，E是AD上一点，且AE＝114，P是AC上一动点，求PD PE+的最小值；（3）如图3，动点Q从点B出发，以每秒54个单位长度的速度，沿折线B C D→→在菱形的两边上匀速运动，设运动时间为t秒．若点Q到BD的距离是52，则t＝．16．如图，△ABC的两条中线BD、CE交于点F．（1）DFBF= _______；（2）若BE2= EF▪EC，且BEDF=32，6，求DE的长；17．将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点(3)A，，点()0, 3B，点(0,0)O(I)过边OB上的动点D (点D不与点B，O重合)作DE OB⊥交AB于点E，沿着DE折叠该纸片，点B落在射线BO上的点F处．①如图，当D为OB中点时，求E点的坐标；②连接AF，当AEF∆为直角三角形时，求E点坐标：(Ⅱ)P是AB边上的动点(点P不与点B重合)，将AOP∆沿OP所在的直线折叠，得到'A OP∆，连接'BA，当'BA取得最小值时，求P点坐标(直接写出结果即可)．18．已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝4，BC＝6．（1）如图1，P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H．求证：△ADP≌△HCQ；（2）若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE＝PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE．请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．（3）如图2，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE＝nPA（n为常数），以PE，PB为边作平行四边形PBQE．请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．19．如图，一次函数y＝12x+1的图象与二次函数y＝12x2+bx+c的图象交于A，B两点，点A在x轴上．点B的横坐标为4．（1）b＝，c＝；（2）设二次函数的图象与y轴交于C点，与x轴的另一个交点为D．连接AC，CD，求∠ACD的正弦值；（3）若M点在x轴下方二次函数图象上，①过M点作y轴平行线交直线AB于点E，以M点为圆心，ME的长为半径画圆，求圆M 在直线AB上截得的弦长的最大值；②若∠ABM＝∠ACO，则点M的坐标为．20．如图，△ABC中，O是△ABC内一点，AO平分∠BAC，连OB，OC．（1）如图1，若∠ACB＝2∠ABC，BO平分∠ABC，AC＝5，OC＝3，则AB＝；（2）如图2，若∠CBO+∠ACO＝∠BAC＝60°，求证：BO平分∠ABC；（3）如图3，在（2）的条件下，若BC＝23，将点B绕点O逆时针旋转60°得点D，直接写出CD的最小值为．21．如图，以G(0，1)为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于F，当点E在⊙O的运动过程中，线段FG的长度的最小值为________．22．如图，△ABC中，AC＝BC，CD是△ABC的高，AB＝8，CD＝3，以点C为圆心，半径为2作⊙C，点E是⊙C上一动点，连接AE，点F是AE的中点，求线段DF的最小值23．n（n n矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个2矩形，如图a 所示．操作1：将正方形ABEF 沿过点A 的直线折叠，使折叠后的点B 落在对角线AE 上的点G 处，折痕为AH ．操作2：将FE 沿过点G 的直线折叠，使点F 、点E 分别落在边AF 、BE 上，折痕为CD ．则四边形ABCD 2矩形．（1）证明：四边形ABCD 2（2）点M 是边AB 上一动点．①如图b ，O 是对角线AC 的中点，若点N 在边BC 上，OM ON ⊥，连接MN ．求tan OMN ∠的值；②若AM AD =，点N 在BC 边上，当DMN 周长最小时，求CN NB 的值． ③连接CM ，作BR CM ⊥，垂足为R ．若2AB =DR 的最小值为． 24．如图，点A 在抛物线y ＝﹣x 2+6x 上，且横坐标为1，点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称，直线AB 与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点，点E 的坐标为（2，2）．（1）求线段AB 的长；（2）点P 为线段AB 上方抛物线上的任一点，过P 作AB 的垂线交AB 于点H ，点F 为y 轴上一点，当△PBE 的面积最大时，求PH +HF +32FO 的最小值；（3）在（2）中，当PH +HF 3取得最小值时，将△CFH 绕点C 顺时针旋转60°后得到CF H ''，过点F '作CF '的垂线与直线AB 交于点Q ，点R 为y 轴上一动点，M 为平面直角坐标系中的一动点，是否存在使以点D ，Q ，R ，M 为顶点的四边形为矩形？若存在请直接写出点R 的坐标，若不存在，请说明理由．25．如图1，在ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC =，23BC =，以点B 为圆心，3为半径作圆．点P 为B 上的动点，连接PC ，作P C PC '⊥，使点P '落在直线BC 的上方，且满足:1:3C PC P ='，连接BP ，'AP ．（1）求BAC ∠的度数，并证明AP C BPC '△△∽；（2）如图2，若点P 在AB 上时，连接BP '，求BP '的长；（3）点P 在运动过程中，BP '是否有最大值或最小值？若有，请求出当BP '取得最大值或最小值时，PBC ∠的度数；若没有，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、几何中的最值问题1．（1）①全等，理由见解析； ②GH 815=（2）①见解析；②PC 的最大值为3【分析】（1）①结论：△AGD ≌△CED ．根据SAS 证明即可．②如图2中，过点A 作AT ⊥GD 于T ．解直角三角形求出AT ，GT ，再利用相似三角形的性质求解即可．（2）①如图3中，设AD 交PC 于O ．利用全等三角形的性质，解决问题即可．②因为∠CPA ＝90°，AC 是定值，推出当∠ACP 最小时，PC 的值最大，推出当DE ⊥PC 时，∠ACP的值最小，此时PC 的值最大，此时点F 与P 重合（如图4中）．【详解】（1）①如图2中，结论：△AGD ≌△CED ．理由：∵四边形EFGD 是正方形，∴DG ＝DE ，∠GDE ＝90°，∵DA ＝DC ，∠ADC ＝90°，∴∠GDE ＝∠ADC ，∴∠ADG ＝∠CDE ，∴△AGD ≌△CED （SAS ）．②如图2中，过点A 作AT ⊥GD 于T ．∵△AGD ≌△CED ，CD ＝CE ，∴AD ＝AG ＝4，∵AT ⊥GD ，∴TG ＝TD ＝1，∴AT 2215AG TG =-∵EF ∥DG ，∴∠GHF ＝∠AGT ，∵∠F ＝∠ATG ＝90°，∴△GFH ∽△ATG ， ∴GH FG AG AT =， ∴415GH =， ∴GH 815=．（2）①如图3中，设AD 交PC 于O ．∵△AGD≌△CED，∴∠DAG＝∠DCE，∵∠DCE+∠COD＝90°，∠COD＝∠AOP，∴∠AOP+∠DAG＝90°，∴∠APO＝90°，∴CP⊥AG．②∵∠CPA＝90°，AC是定值，∴当∠ACP最小时，PC的值最大，∴当DE⊥PC时，∠ACP的值最小，此时PC的值最大，此时点F与P重合（如图4中），∵∠CED＝90°，CD＝4，DE＝2，∴EC222242CD DE=-=-=3∵EF＝DE＝2，∴CP＝CE+EF＝3，∴PC的最大值为3【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会寻找特殊位置解决最值问题，属于中考压轴题．2．（1）292；（2）当AP⊥BD时，MN的长最小，105【分析】（1）连接AC交BD于P，根据平行四边形的性质得到PD＝PB，即点P是BD的中点，过D作DH⊥AB于H，PE⊥AB于E，根据三角形的中位线的性质得到PE＝12DH，BE＝12BH，根据已知条件得到DH＝2，解直角三角形即可得到结论；（2）由题意得，CM＝CN＝AP，∠MCD＝∠PAB，∠NCB＝∠PAD，于是得到∠MCN＝90°，当AP⊥BD时，MN的长最小，过D作DH⊥AB于H，根据勾股定理得到BD＝22DH BH+＝5，根据三角形的面积公式得到AP＝655，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：（1）连接AC交BD于P，∵四边形ABCD是平行四边形，∴PD＝PB，即点P是BD的中点，过D作DH⊥AB于H，PE⊥AB于E，∴PE∥DH，∴PE＝12DH，BE＝12BH，∵▱ABCD的面积为6，DC＝3，∴DH＝2，∴PE＝1，∵∠BCD＝45°，∴∠DAB＝45°，∴AH＝DH＝2，∴BH＝1，∴HE＝BE＝12，∴AE＝52，∴AP＝22AE PE+＝292；（2）由题意得，CM＝CN＝AP，∠MCD＝∠PAB，∠NCB＝∠PAD，∴∠MCD+∠NCB＝45°，∴∠MCN＝90°，当AP⊥BD时，MN的长最小，过D作DH⊥AB于H，由（1）求得DH＝2，BH＝1∴BD ＝22DH BH +＝5 ，∵AP ⊥BD ， ∴S △ABD ＝12AB•DH ＝12BD•AP ， ∴AP ＝655， ∴CM ＝CN ＝AP ＝655， ∴MN ＝22CM CN +＝6105， ∴MN 长的最小值是6105．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形面积的计算，三角形准确性的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．3．（1）213222y x x =-++；（2）点P 的坐标是（1，3）、（2，3）、（5，-3）或（-2，-3）；（3）线段EG 的最小值为455.. 【分析】（1）根据抛物线y=ax 2+bx+2经过点A （-1，0）和点B （4，0），应用待定系数法，求出该抛物线的解析式即可；（2）首先根据三角形的面积的求法，求出△CAD 的面积，即可求出△PDB 的面积，然后求出BD=2，即可求出|n|=3，据此判断出n=3或-3，再把它代入抛物线的解析式，求出x 的值是多少，即可判断出点P 的坐标；（3）首先应用待定系数法，求出BC 所在的直线的解析式，然后根据点P 的坐标是（m ，n ），求出点F 的坐标，再根据二次函数最值的求法，求出EG 2的最小值，即可求出线段EG 的最小值．【详解】解：（1）把A （-1，0），B （4，0）两点的坐标代入y=ax 2+bx+2中，可得2016420a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴抛物线的解析式为：213222y x x =-++；（2））∵抛物线的解析式为213222y x x =-++，当x=0时，y=2，∴点C 的坐标是（0，2），∵点A （-1，0）、点D （2，0），∴AD=2-（-1）=3， ∴S △CAD =13232⨯⨯=， ∴S △PDB =3， ∵点B （4，0）、点D （2，0），∴BD=2，∴|n|=3×2÷2=3，∴n=3或-3，①当n=3时，2132322m m -++=，解得：m=1或m=2，∴点P 的坐标是（1，3）或（2，3）；②当n=-3时，2132322m m -++=- 解得m=5或m=-2，∴点P 的坐标是（5，-3）或（-2，-3）；综上，可得点P 的坐标是（1，3）、（2，3）、（5，-3）或（-2，-3）；（3）如图，设BC 所在的直线的解析式是：y=mx+n ，∵点C 的坐标是（0，2），点B 的坐标是（4，0），∴240n m n =⎧⎨+=⎩，解得：122m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴BC 所在的直线的解析式是：122y x =-+， ∵点P 的坐标是（m ，n ），∴点F 的坐标是（4-2n ，n ），∴()22242EG n n =-+ 251616n n =-+2816555n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ∴当85n =时，线段EG= ∴线段EG的最小值为5. 【点睛】本题是对二次函数知识的综合考查，熟练掌握二次函数的图像和性质是解决本题的关键，难度较大，属于中考的常考题型.4．（1）见解析；（2）EFG 是等腰直角三角形．理由见解析；（3【分析】（1）延长,BE DG 交于点H ，根据四边形ABCD 与四边形AEFG 都为正方形，易证()ABE ADG SAS ≌△△，则有BE DG =，ABE ADG ∠=∠，可证BHD 90∠=︒，根据BE DG =，可证四边形BEGD 是等垂四边形．（2）延长,BA CD 交于点H ，根据四边形ABCD 是等垂四边形，AD BC ≠，有AB CD ⊥，AB CD =，HBC HCB 90∠+∠=︒，根据点E,F,G 分别是AD,BC,BD 的中点可得1EG AB 2=，1GF CD 2=，//EG AB ，//GF DC ，则可证EGF 90，即有EFG 是等腰直角三角形；（3）延长,BA CD 交于点H 分别取,AD BC 的中点,E F ，连接,,HE EF HF ，根据11EF HF HE BC AD 32122-=-=-=，EFG 是等腰直角三角形，可得12GE GF AB ，22EF AB ，即可得出AB ．【详解】（1）如图，延长,BE DG 交于点H ，∵四边形ABCD 与四边形AEFG 都为正方形∴AB AD =，AE AG =，90BAD EAG ∠=∠=︒．∴BAE DAG ∠=∠．∴()ABE ADG SAS ≌△△．∴BE DG =，ABE ADG ∠=∠．∵ABD ADB 90∠+=︒∴90ABE EBD ADB DBE ADB ADG ∠+∠+∠=∠+∠+∠=︒即EBD BDG 90∠+∠=︒，∴BHD 90∠=︒．∴BE DG ⊥．又∵BE DG =，∴四边形BEGD 是等垂四边形．（2）EFG 是等腰直角三角形．理由如下：如图，延长,BA CD 交于点H ，∵四边形ABCD 是等垂四边形，AD BC ≠，∴AB CD ⊥，AB CD =∴HBC HCB 90∠+∠=︒∵点E,F,G 分别是AD,BC,BD 的中点 ∴1EG AB 2=，1GF CD 2=，//EG AB ，//GF DC ， ∴BFG C ∠=∠，EGD HBD ∠=∠，EG GF =． ∴EGF EGD FGD ABD DBC GFB ABD DBC C HBC HCB 90， ∴EFG 是等腰直角三角形；（3）如图，延长,BA CD 交于点H 分别取,AD BC 的中点,E F ，连接,,HE EF HF ，则11EF HF HE BC AD 32122-=-=-=，由（2）可知EFG 是等腰直角三角形， ∴12GEGF AB ∴2222112222EFGE GF AB AB AB ∴AB 2EF 2=．∴AB 2．【点睛】本题是新定义类探究题，主要考查了等腰直角三角形的性质、正方形的性质和勾股定理，解决本题需利用新定义，逐一讨论，解题中利用条件，构造直角三角形是解题的关键． 5．问题探究：（1）24；（2）存在，BC 的最小值为23144【分析】（1）根据三角形的面积公式即可得到结论；（2）如图2中，连接OA ，OB ，OC ，作OE BC ⊥于E ．设2OB OC x ==．求出x 的最小值即可解决问题；（3）如图3中，连接AF ，延长BC 交AE 的延长线于G ，将EFM △顺时针旋转得到FBH ，作FNH △的外接圆O ．由（2）可知，当FNH △的外接圆的圆心O 在线段BF 上时，FNH △的面积最小，此时四边形ANFM 的面积最大．【详解】解：（1）当AD BC ⊥时，ABC 面积的最大，则ABC 面积的最大值是11862422BC AD ⋅=⨯⨯=，故答案为：24；（2）如图中，连接OA ，OB ，OC ，作OE BC ⊥于E ．设2OA OC x ==，∵2120COB CAB ∠=∠=︒，OC OB =，OE CB ⊥，∴CE EB =，60COE BOE ∠=∠=︒， ∴12OE OB x ==，3BE x =． ∵OC OE AG +，∴33x ，∴1x ，∴x 的最小值为1，∵23BC x =，∴BC 的最小值为23；（3）如图中，连接AF ，EF ，延长BC 交AE 的延长线于G ，∵90D ∠=︒，626AD DE ==+，∴45DAE AED ∠=∠=︒，∵6212CD AB ==，∴6CE CF ==，∴45CEF CFE ∠=∠=︒，∴90AEF ∠=︒，∴62EF BF ==，将EFM △顺时针旋转得到FBH ，作FHB △的外接O 交BC 于N ，连接ON ，∵90AEF ABF ∠=∠=︒，AF AF =，EF BF =，∴Rt Rt ()AEF ABF HL △≌△，∴AEF ABF S S =△△，∵45EFG ∠=︒，∵90FEG ∠=︒，45EFG ∠=︒， ∴EF EG == ∴12FG ==，由（2）可知，当FHN △的外接圆的圆心O 在线段BF 上时，FNH △的面积最小，此时四边形ANFE 的面积最大，设OF ON r ==，则2OB BN r ==，∴r +=∴r ⋅=-， ∴12(2NH ==-，∴四边形ANFM 的面积的最大值112(1212(222=⨯⨯+⨯⨯⨯ 144=．【点睛】本题属于圆综合题，考查了三角形的外接圆，解直角三角形，最值问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．6．，(2)证明见解析；(3)2cm ；【分析】(1) 先根据AB=3cm ，AP ： BP=1：2，计算出AP 、BP 的长度，再根据勾股定理即可求得AE 的长度；(2)根据折叠的性质得到点B 与点E 关于PQ 对称，进而得到PB=PE ，BF=EF ，∠BPF=∠EPF ，根据平行的性质再证明BP=BF=EF=EP 即可得到答案；(3) 找到E 点离A 最近和最远的两种情况，运用矩形的性质以及勾股定理即可求出点E 在边AD 上移动的最大距离；【详解】解：(1)∵AB=3cm ，若AP ： BP=1：2，则AP=113AB cm = ，BP=223AB cm =，根据折叠的性质得到：PE=PB=2cm ，又∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A=90°， ∴222AP AE PE += ,即：22212AE +=，∴23AE=，AE=，即：3故AE的长为：3cm；(2)∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，∴点B与点E关于PQ对称．∴PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF．又∵EF∥AB，∴∠BPF=∠EFP（两直线平行，内错角相等），∴∠EPF=∠EFP（等量替换），∴EP=EF，∴BP=BF=EF=EP（四边相等的四边形是菱形），∴四边形BFEP为菱形；(3)当点Q与点C重合时，如图2所示，此时点E离点A最近，∵四边形ABCD是矩形，BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°．∵点B与点E关于PQ对称，∴CE=BC=5cm，在Rt△CDE中，224=-=DE CE CD∴AE=AD-DE=5-4=1cm，此时AE=1cm；当P点与A点重合时，如图3所示，点E离点A最远．此时四边形ABQE为正方形，AE=AB=3cm．点E在边AD上移动的最大距离为2cm．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、菱形的判定方法、勾股定理等知识，解题的关键是依题意画出正确的图形，运用折叠的对称性解决问题．7．（1）12；（2）73388-；（3）CH 的最小值为3739- 【分析】（1）连接OP ，根据切线的性质和圆周角定理的推论可得AC BC ⊥,∠BDC=90°，利用勾股定理求出AB ，然后根据三角形的面积公式即可求出CD ，根据垂线段最短可得当OP CD ⊥时，点P ，O 的距离最小，从而求出PD 的长；（2）连接CE ，则90ECF ∠=︒，利用勾股定理即可求出AE ，然后根据相似三角形的判定定理证出Δ~ΔACE AFC ，列出比例式，根据正切的定义即可求出结论；（3）以BD 为直径作G ，则G 为BD 的中点，利用勾股定理和圆的基本性质求出半径DG ，根据直径所对的圆周角是直角可得点H 一定在G 上，当点C ，H ，G 在一条直线上时，CH 最小，利用勾股定理求出CG ，即可求出结论．【详解】解：（1）如图1，连接OP ，AC 切O 于点C ，BC 为直径AC BC ∴⊥,∠BDC=90°30BC =，40AC =，50AB ∴=．由Δ1122ADC S AB CD AC BC =⋅=⋅, 即1150403022CD ⨯⨯=⨯⨯, 解得24CD =，当OP CD ⊥时，点P ，O 的距离最小，此时1122PD CD ==．（2）如图2，连接CE ，则90ECF ∠=︒．由（1）知，90ACB ∠=︒，由222AO AC OC =+，得()222154015AE +=+，解得57315AE =． 90ACB ECF ∠=∠=︒，ACE BCF AFC ∴∠=∠=∠．又CAE FAC ∠=∠，Δ~ΔACE AFC ∴， CE AE FC AC ∴=． 57315733tan 404088CE AE F CF AC ∴===-=-．（3）CH 的最小值为3739-．如图3，以BD 为直径作G ，则G 为BD 的中点，BD=2218-=BC CD ∴192==DG BD ， DH PB ⊥，∴点H 总在G 上，9GH =， ∴当点C ，H ，G 在一条直线上时，CH 最小，此时，2222249373CG CD DG =+=+=，3739CH =-，即CH 的最小值为3739-．【点睛】此题考查的是圆的综合大题、相似三角形的判定及性质、锐角三角函数和勾股定理，掌握切线的性质、圆周角定理及推论、相似三角形的判定及性质、锐角三角函数和勾股定理是解决此题的关键．8．（1）见解析；（2）D（233，33+2）；（3）372．【分析】（1）连接PA，先求出点A和点B的坐标，从而求出OA、OB、OP和AP的长，即可确定点A在圆上，根据相似三角形的判定定理证出△AOB∽△POA，根据相似三角形的性质和等量代换证出PA⊥AB，即可证出结论；（2）连接PA，PD，根据切线长定理可求出∠ADP＝∠PDC＝12∠ADC＝60°，利用锐角三角函数求出AD，设D（m，12m+2），根据平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式求出m的值即可；（3）在BA上取一点J，使得BJ＝52，连接BG，OJ，JG，根据相似三角形的判定定理证出△BJG∽△BGA，列出比例式可得GJ＝12AG，从而得出12AG+OG＝GJ+OG，设J点的坐标为（n，12n+2），根据平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式求出n，从而求出OJ的长，然后根据两点之间线段最短可得GJ+OG≥OJ，即可求出结论．【详解】（1）证明：如图1中，连接PA．∵一次函数y＝12x+2的图象与y轴交于A点，与x轴交于B点，∴A（0，2），B（﹣4，0），∴OA＝2，OB＝4，∵P（1，0），∴OP＝1，∴OA2＝OB•OP，225+=OA OP∴OAOP ＝OBOA，点A在圆上∵∠AOB＝∠AOP＝90°，∴△AOB∽△POA，∴∠OAP＝∠ABO，∵∠OAP+∠APO＝90°，∴∠ABO+∠APO＝90°，∴∠BAP＝90°，∴PA⊥AB，∴AB是⊙P的切线．（2）如图1﹣1中，连接PA，PD．∵DA，DC是⊙P的切线，∠ADC＝120°，∴∠ADP＝∠PDC＝12∠ADC＝60°，∴∠APD＝30°，∵∠PAD＝90°∴AD＝PA•tan30°＝153，设D（m，12m+2），∵A（0，2），∴m2+（12m+2﹣2）2＝159，解得m＝23∵点D在第一象限，∴m＝233，∴D233）．（3）在BA上取一点J，使得BJ5，连接BG，OJ，JG．∵OA＝2，OB＝4，∠AOB＝90°，∴AB22OA OB+2224+5∵BG5BJ5，∴BG2＝BJ•BA，∴BGBJ＝BABG，∵∠JBG＝∠ABG，∴△BJG∽△BGA，∴JGAG＝BGAB＝12，∴GJ＝12AG，∴12AG+OG＝GJ+OG，∵BJ5，设J点的坐标为（n，12n+2），点B的坐标为（-4,0）∴（n+4）2+（12n+2）2＝54，解得：n=-3或-5（点J在点B右侧，故舍去）∴J（﹣3，12），∴OJ22132⎛⎫+ ⎪⎝⎭37∵GJ+OG≥OJ，∴12AG+OG37，∴12AG+OG37故答案为372．【点睛】此题考查的是一次函数与圆的综合大题，掌握相似三角形的判定及性质、切线的判定及性质、切线长定理、勾股定理、锐角三角函数和两点之间线段最短是解决此题的关键． 9．（1）2；（2）13CD =+；（3）CD 的值最大，此时22CD =.【分析】(1)由旋转60°可知，△ACC’为等边三角形，进而'C C =AC=2即可求解.(2)过点B 作BH ⊥CD 于H ，求得△CBH 三边之比为1:3:2，进而求出CH 和BH 的长，再求得△DBH 为等腰直角三角形，最后得到CD=DH+CH 即可求解.(3)证明''∆∆B AB C AC ，再取AB 的中点H ，以H 为圆心，HB 为半径作H ，连接CH ，得出D 点的运动轨迹为以H 为圆心，HA 为半径的圆，当CD 是该圆的直径时CD 最大，即可求解.【详解】解：(1) ∵旋转前后对应的边相等，∴AC=AC’又∵旋转60°，∴△ACC’为等边三角形∴'2==C C AC .故答案为2.(2)如图2中，作BH CD ⊥于H ，如下图所示：','60AB AB BAB ︒=∠='ABB ∴∆是等边三角形，60︒∴∠=∠=DBM ACM ，DMB AMC ，45BDC BAC ︒∴∠=∠=，且△DBH 为等腰直角三角形，'30BCH BCA ACC ︒∠=∠-∠=11,32BH DH BC CH ∴==== 13CD CH DF ∴=+=故答案为：13+.()3CD 的长有最大值为22，理由如下，如下图3中，’'45B AC BAC ︒∠=∠=''B AB C AC ∴∠=∠','AB AB AC AC ==''AB AB AC AC∴= ''B AB C AC ∴∆∆DBM ACM DMB AMC ∴∠=∠45BDM MAC ︒∴∠=∠=取AB 的中点H ，以H 为圆心，HB 为半径作H ，连接CH ．,90CA CB ACB ︒=∠=,CH AB CH BH AH ∴⊥==，90BHC ︒∠=∴12BDC BHC ∴点D 的运动轨迹是以H 为圆心，HA 为半径的圆，当CD 是该圆的直径时CD 最大, 故CD AB =时，CD 的值最大，此时22CD =故答案为2.【点睛】本题综合考察了旋转图形的性质、含30°角的直角三角形三边之比、相似三角形的性质和判定、圆的相关知识等，熟练掌握线段绕其端点旋转60°会得到等边三角形这个特点进而求解本题.10．（1）∠ADE=30°；（2）∠ADE=30°，理由见解析；（3）92 【分析】（1）利用SAS 定理证明△ABD ≌△ACE ，根据全等三角形的性质得到AD =AE ，∠CAE=∠BAD，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可证明；（2）同（1）的证明方法相同；（3）证明△ADF∽△ACD，根据相似三角形的性质得到26ADAF=，求出AD的最小值，得到AF的最小值，求出CF的最大值．【详解】解：（1）∠ADE=30°．理由如下：∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=∠ACB=30°，∵∠ACM=∠ACB，∴∠ACM=∠ABC，在△ABD和△ACE中，∵AB ACABC ACE BD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD≌△ACE，∴AD=AE，∠CAE=∠BAD，∴∠DAE=∠BAC=120°，∴∠ADE=30°；（2）（1）中的结论成立，证明：∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=30°．∵∠ACM=∠ACB，∴∠B=∠ACM=30°．在△ABD和△ACE中，∵AB ACABC ACE BD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD≌△ACE，∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，∴∠CAE+∠DAC=∠BAD+∠DAC=∠BAC=120°．即∠DAE=120°，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=30°；（3）∵AB=AC，AB=6，∴AC=6，∵∠ADE=∠ACB=30°且∠DAF=∠CAD，∴△ADF∽△ACD，∴AD AFAC AD =， ∴AD 2=AF•AC ， ∴AD 2=6AF ，∴AF=26AD ，∴当AD 最短时，AF 最短、CF 最长，易得当AD ⊥BC 时，AF 最短、CF 最长，此时AD=12AB=3， ∴AF 最短=26AD =96=32，∴CF 最长=AC －AF 最短=6－32=92．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形、相似三角形解决问题，属于中考常考题型．11．（1）5；（2）PQ ∥A D ''，理由见解析；（3 【分析】（1）求出AE △ABE ∽△DEA ，由AD AEAE BE=可求出AD 的长；（2）过点E 作EF ⊥AD 于点F ，证明△PEF ∽△QEC ，再证△EPQ ∽△A'ED'，可得出∠EPQ ＝∠EA'D'，则结论得证；（3）由（2）知PQ ∥A′D′，取A′D′的中点N ，可得出∠PEM 为定值，则点M 的运动路径为线段，即从AD 的中点到DE 的中点，由中位线定理可得出答案．【详解】解：（1）∵AB ＝2，BE ＝1，∠B ＝90°， ∴AE∵∠AED ＝90°， ∴∠EAD+∠ADE ＝90°，∵矩形ABCD 中，∠ABC ＝∠BAD ＝90°， ∴∠BAE+∠EAD ＝90°， ∴∠BAE ＝∠ADE ， ∴△ABE ∽△DEA ， ∴AD AEAE BE=，∴=，∴AD ＝5；（2）PQ ∥A′D′，理由如下： ∵5,5AD AE ==，∠AED ＝90°∴22DE DA AE =-＝225(5)-＝25，∵AD ＝BC ＝5，∴EC ＝BC ﹣BE ＝5﹣1＝4，过点E 作EF ⊥AD 于点F ，则∠FEC ＝90°， ∵∠A'ED'＝∠AED ＝90°， ∴∠PEF ＝∠CEQ ， ∵∠C ＝∠PFE ＝90°， ∴△PEF ∽△QEC ， ∴2142EP EF EQ EC ===， ∵51225EA EA ED ED ''===， ∴EP EA EQ ED ''=， ∴PQ ∥A′D′；（3）连接EM ，作MN ⊥AE 于N ，由（2）知PQ ∥A′D′， ∴∠EPQ ＝∠A′＝∠EAP ，又∵△PEQ 为直角三角形，M 为PQ 中点， ∴PM ＝ME ， ∴∠EPQ ＝∠PEM ，∵∠EPF ＝∠EAP+∠AEA′，∠NEM ＝∠PEM+∠AEA′ ∴∠EPF ＝∠NEM ，又∵∠PFE ＝∠ENM ﹣90°， ∴△PEF ∽△EMN ， ∴NM EM EF PE =＝PQ2PE为定值，又∵EF ＝AB ＝2，∴MN 为定值，即M 的轨迹为平行于AE 的线段， ∵M 初始位置为AD 中点，停止位置为DE 中点， ∴M 的轨迹为△ADE 的中位线， ∴线段PQ 的中点M 所经过的路径长＝1AE 2＝52．【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，中位线定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．12．()1作图见解析；()2证明见解析；()3证明见解析；()4 EF 最小值为262. 【分析】()1当AE CD ⊥，此时AC 是O 的直径，作出AC 的中点O 后，以OA 为半径作出O即可作出点E 、F ；()2易知AC 为直径，则AF BC ⊥，ABCD S BC AF CD AE =⋅=⋅四边形，从而得证；()3如图，作AM BC ⊥，AN CD ⊥，若E 在DN 之间，由()2可知，AMABANAD=，然后再证明AMF ∽ANE ，从而可知AM AF ABAN AE AD==，若E 在CN 之间时，同理可证；()4由于A 、F 、C 、E 四点共圆，所以180FAE BCD ∠+∠=，由于四边形ABCD 为平行四边形，45B ∠=，从而可证FOE 为等腰直角三角形，所以2FE R =，由于2AN AC R ≤≤，所以E 与N 重合时，FE 最小．【详解】()1如图1所示，()2如图，易知AC 为直径，则AF BC ⊥，则ABCD S BC AF CD AE =⋅=⋅四边形，AF CD ABAE BC AD∴==， ()3如图，作AM BC ⊥，AN CD ⊥，若E 在DN 之间由()2可知，AM ABAN AD= A 、F 、C 、E 四点共圆，AFC AEC 180∠∠∴+=，AFC AFM 180∠∠+=， AEN AFM ∠∠∴=， AMF ANE ∠∠=， AMF ∴∽ANE AM AF AB AN AE AD∴==，若E 在CN 之间时，同理可证()4A 、F 、C 、E 四点共圆，FAE BCD 180∠∠∴+=，四边形ABCD 为平行四边形，B 45∠=，BCD 135∠∴=， FAE 45∠∴=， FOE 90∠∴=，FOE ∴为等腰直角三角形， FE 2R ∴=，AN AC 2R ≤≤，E ∴与N 重合时，FE 最小，此时2FE =，在ABC 中，AM BM 3==，则CM 2=∴由勾股定理可知：AC 13=此时EF 最小值为262. 【点睛】。

中考复习之几何图形最值问题

最值问题解决几何最值问题的通常思路:1、两点之间线段最短；2、直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短；3、三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）以上是解决几何最值问题的理论依据，根据不同特征转化是解决最值问题的关键．通过转化减少变量，向三个定理靠拢进而解决问题；直接调用基本模型也是解决几何最值问题的高效手段。

1.如图，在等边△ABC中，AB＝10，BD＝4，BE＝2，点P 从点E 出发沿EA 方向运动，连结PD，以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F 运动的路径长是________．2.如图，平面直角坐标系中，点A（0，－2），B（－1，0），C（－5，0），点D从点B 出发，沿x轴负方向运动到点C，E为AD上方一点，若在运动过程中始终保持△AED～△AOB，则点E 运动的路径长为_______.3.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，∠DCA＝30°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF，以DF为斜边作∠DFE＝30°的直角三角形DEF，使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是__________.4.如图，已知点M（0，4），N（4，0），开始时，△ABC的三个顶点A、B、C分别与点M、N、O重合，点A在y轴上从点M开始向点O滑动，到达点O结束运动，同时点B沿着x轴向右滑动，则在此运动过程中，点C的运动路径长为__________.5.如图，在等腰 Rt△ABC中，AC＝BC＝2，点P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点，当点P从点A运动至点B时，点M运动的路径长为________．6.如图，在平面直角坐标系中，A（4，0）、B（0，－3），以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP，若点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为 .7.如图，点P（t，0）（t＞0）是x轴正半轴上的一定点，以原点为圆心作半径为1的弧分别交x 轴、y轴于A，B两点，点M是上的一个动点，连结PM，作∠MPM1＝90°，∠PMM1＝60°，当P是x轴正半轴上的任意一点时，点M从点A运动至点B，M1的运动路径长是__________.8.如图，在平面直角坐标系中，有一条长为10的线段AB，其端点A、点B分别在y轴、x轴上滑动，点C为以AB为直径的⊙D上一点（C始终在第一象限），且tan∠BAC12=,则当点A从A（0，10）滑动到O（0，0），B从 O（0，0）滑动到B（10，0）的过程中，点C运动的路径长为__________.9.如图，在反比例函数2yx=-的图像上有一个动点A，连接AO并延长交图像的另一支于点B，在第一象限内有一点C，满足AC＝BC，当点A运动时，点C始终在函数kyx=的图像上运动，若 tan∠CAB＝2，则k 的值为__________.10.如图，A（－1，1），B（－1，4），C（－5，4），点P是△ABC边上一动点，连接OP，以OP 为斜边在OP的右上方作等腰直角△OPQ，当点P在△ABC边上运动一周时，点Q的轨迹形成的封闭图形面积为__________.11．如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB=1，BC=，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCE沿直线AE翻折，得到多边形AB′C′E，点B、C的对应点分别为点B′、C′．（1）当B′C′恰好经过点D时（如图1），求线段CE的长；（2）若B′C′分别交边AD，CD于点F，G，且∠DAE=22.5°（如图2），求△DFG的面积；（3）在点E从点C移动到点D的过程中，求点C′运动的路径长．12．如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上．（1）试说明CE是⊙O的切线；（2）若△ACE中AE边上的高为h，试用含hkyx的代数式表示⊙O的直径AB；（3）设点D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，⊙O的直径AB的长为8，求12CD+OD的最小值．13．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：16 2y x=--交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求12AM+CM它的最小值．。

中考复习-几何中的最值问题ppt

典例分析例2 如图：∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、 B分别在OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O最大距离为 2 。1
E
典例分析
例3如图，在边长为2的正方形ABCD中，E是AB 的中点，F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF 所在直线折叠得到△GEF，连接GC，则GC长度的
已知线段AB=3，AC=4，则线段BC的最大值
为
，最小值为
.
几何最值模型回顾
类型四：圆中的最大值最小值问题 Nhomakorabear
A1
A1
d A2
PA1最大，PA2最小，
几何最值模型回顾
类型四：圆中的最大值最小值问题
几何最值模型回顾
类型五：“线段之差绝对值最大”问题
在直线m上找一点P，使得|PA-PB|最大.
两点一线同侧
最小值是5－1 ．
典例分析
例4 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6， BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC 上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P 处，则点P到边AB距离的最小值是 1.2.
典例分析
例5 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5， BC＝3，点P是AC边上的一个动点，将线段PB绕着点P逆时针旋转90°，得到线段PD，连接AD，
于点Q，则PQ的最小值为 .5
一定一动
P
三角形三边关系——构造圆
5.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，
E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则
线段CE的最小值为
10－2.
几何最值模型回顾

专题04 最值问题(专题+课件)-中考数学高分突破(课件)

问题：在直线 l 上确定一点 P，使 PA+PB 的值最小．
方法：作点 A 关于直线 l 的对称点 A′，连结 A′B 交 l 于点 P，则
PA+PB=A′B 的值最小（不必证明）．
模型应用：（1）如图 1，正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 AB 的中点，
P 是 AC 上一动点．连结 BD，由正方形对称性可知，B 与 D 关于直线 AC
的函数关系式，并直接写出 t 的取值范围；
(3)是否存在这样的时刻，使动点 D
到点 O 的距离最小，若存在请求出这个 48
最小距离，若不存在说明理由．
15
达标检测
1．如图，在平面直角坐标系中，分别以点 A（2，3），B（3， 4）为圆心，以 1，3 为半径作⊙A，⊙B，点 M，N 分别是⊙A，
⊙B 上的动点，P 为x 轴上的动点，则 PM+PN 的最小值为（ A ）
求点 P(2，0)到直线 y＝kx＋m 的距离的最大时直线 y
＝kx＋m 的解析式.
y＝－2x＋9
中考回顾
1．（2016 浙江台州卷）定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形．
（1）三等角四边形 ABCD 中，∠A=∠B=∠C，求∠A 的取值
范围； 60°＜∠A＜120°
（2）如图，折叠平行四边形纸片 DEBF，使顶点 E，F 分别落在边 BE，BF 上的点 A，C 处，折痕分别为 DG，DH．求证：四边形 ABCD 是三等角四边形．
时间为 t 秒，过点 P 作 PC⊥x 轴，垂足为 C，把△ACP 沿 AP 对折，使
点 C 落在点 D 处.
(1)求抛物线的解析式； y
1 x2 1 x 2 42
(2)当点 D 在△ABP 的内部时，△ABP 与

中考复习之“几何最值”探讨

中考复习之“几何最值”探讨摘要：空间观念、几何直观、模型意识是数学课程的三大核心素养。

探讨几何最值就是根据对图形特征的分析构造出相应的基本模型，并计算以求得最值的过程。

几何最值中蕴含着丰富的数学思想方法，对发展学生的数学核心素养起着十分重要的作用，是检测学生数学能力的一种重要题型。

随着近几年中考中几何最值的不断出现，几何最值已成为中考中的常考题型。

本文将探讨中考中常见的几种几何最值问题的解决方案。

关键词：几何最值共线得最值辅助圆垂线段最短直径最长在几何动点问题中，通过先确定动点运动到何处时达到最值再计算最值的问题，本文称之为几何最值问题。

因此，怎样定位是解决这类问题的关键。

下面探讨几种最常见的几何最值的定位与计算：一、线段最短型线段最短型是通过几何变换（平移、旋转、对称）对所求的线段进行等量转化，最终化为两个定点之间线段最短，即共线得到最值的模型。

主要有以下几种类型：1.对称型（1）一次对称。

一次对称主要解决两定一动型的最值问题，将军饮马是其中的一种，即满足一个动点到两个定点的距离之和最小。

模型如下：（2）两次对称。

两次对称主要解决两定两动型最值问题，解题时将两个定点分别关于两条定直线对称，转化为两个定点之间线段最短，即共线得最值。

例2.已知（如图），∠MON=30°，A为OM上一点，B为ON上一点，且OA=1，OB=3，点D、C分别是OM、ON上的动点，则AC+CD+BD的最小值为＿＿＿＿。

解析：此题中由于∠CMD为定角120°，则∠AMC+∠BMD=60°，所以将A点关于CM对称，B点关于MD对称，则易得△A'MB'为等边三角形，那么A'B'=AM=BM=4，A'C=AC=2，B'D=BD=8。

三条定长线段运动过程中，当D、B'、A'、C共线得最值，所以CD的最大值为2+4+8=14。

2.平移+对称型例4.已知（如图），在平面直角坐标系中，A（1，1），D（4，2），BC在x轴上，且BC=2，则四边形ABCD的周长的最小值为＿＿＿＿。

中考数学几何最值专题

几何中的最值问题几何中最值问题包括：“面积最值”及“线段(和、差)最值”.求面积的最值，需要将面积表达成函数,借助函数性质结合取值范围求解；求线段及线段和、差的最值,需要借助“垂线段最短”、“两点之间线段最短”及“三角形三边关系”等相关定理转化处理. 一般处理方法：12、垂线段最短（已知一个定点、一条定直线时）3、三角形三边关系(已知两边长固定或其和、差固定时)llB4、圆外一点P 与圆心的连线所成的直线与圆的两个交点,离P 最近的点即为P 到圆的最近距离，离Ｐ最远的点即为Ｐ到圆的最远距离类型一线段和最小值1. 如图，圆柱形玻璃杯,高为1２cm ，底面周长为1８ｃｍ，在杯内离杯底4ｃm 的点Ｃ处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4ｃm 与蜂蜜相对的点Ａ处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为＿_____ｃm ．蜂蜜蚂蚁CNO第1题图第２题图P A +PB 最小，需转化，使点在线异侧 |P A -PB |最大，需转化，使点在线同侧2. 如图,点P 是∠ＡOB 内一定点,点M 、Ｎ分别在边OA 、OB 上运动,若∠AOB =45°，OP =32,则△PMN 周长的最小值为 .3. 如图，正方形A ＢCD 的边长是4,∠ＤＡC 的平分线交D Ｃ于点E ，若点P ，Q 分别是AD和A Ｅ上的动点，则ＤQ +ＰＱ的最小值为 .QP ED CBA QPKDCBA第3题图第４题图 4. 如图，在菱形ABCD 中，AB =2,∠A =1２０°，点P 、Q 、Ｋ分别为线段BC 、ＣD 、BD 上的任意一点，则ＰK +ＱＫ的最小值为 .5. 如图，当四边形ＰAB Ｎ的周长最小时,a = .6. 在平面直角坐标系中,矩形OACB 的顶点Ｏ在坐标原点,顶点A 、B 分别在ｘ轴、y 轴的正半轴上，ＯA =3,OB =4,D 为边OB 的中点．若E 、F 为边O Ａ上的两个动点,且EF ＝2,当四边形CDEF 的周长最小时,则点F 的坐标为 .N (a +2,0)P (a ,0)B (4,-1)A (1,-3)OyxF D CBA xy O E第５题图第6题图变式加深:1、如图,正方形AB ＣD 边长为2,当点A 在x 轴上运动时,点D 随之在y 轴上运动,在运动过程中,点B 到原点O 的最大距离为() A.B.C.D.2、如图，∠ＭＯＮ=9０°，矩形ABC Ｄ的顶点A 、Ｂ分别在边O Ｍ，ON 上，当Ｂ在边ON 上运动时,A 随之在边OM 上运动,矩形ABC Ｄ的形状保持不变,其中AB=2,ＢC=1，运动过程中,点Ｄ到点O 的最大距离为３、如图,Ｅ、F 是正方形AB ＣD 的边A Ｄ上的两个动点，满足A Ｅ＝DF ，连接CF 交BD 于点G,连接B Ｅ交ＡＧ与点Ｈ。

专题四几何最值问题

△AEF的周长最小时,∠EAF的度数为(
A.90°
B.80°
C.70°
B)
D.60°
2.如图所示,A,B两点的坐标分别为A(4,3),B(0,-3),在x轴上找一点P,使线段PA+PB的值最小,则点P
(2,0).
的坐标是
3.如图所示,在菱形 ABCD 中,AB=AC=10,对角线 AC,BD 相交于点 O,点 M 在线段 AC 上,且 AM=3,点 P 为
定弦定角隐圆中的最值问题,常转化为点圆或线圆问题求解
[例8](2021广东)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,BC=3.点D为平面上一个动点,∠ADB=45°,则线
段CD长度的最小值为 - .
▶跟踪训练三
1.(2021 鄂州)如图所示,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=2 ,BC=3.点 P 为△ABC 内一点,且满足 PA +
为 6 .
类型三
命题点1
模型
利用隐形圆求最值
点圆、线圆最值问题
一点一圆
平面内,一定点 A 和☉O 上一动点 P 的连线中,当连线过圆心 O 时,线段 PA 有最值,具体分以下情况,规定 OA=d,☉O 的半径
为r
定点在圆外
定点在圆上
定点在圆内
图形
问题
方法
在☉O 上确定一点 P,
使点 P 到点 A 的距离
最小
连接 OA,交☉O 于点
P, 点 P 即为所
求,PA=d-r
在☉O 上确定一点
P,使点 P 到点 A 的
距离最大
连接 AO 并延长交☉
O 于点 P,点 P 即为
所求,PA=d+r
在☉O 上确定一点 P,使点

中考数学专题复习资料--几何最值问题

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！几何最值问题复习本内容全部需要在做讲义题目之前进行一、读一读下面的内容，想一想 1. 解决几何最值问题的理论依据①两点之间，线段最短（已知两个定点）；②_______________（已知一个定点、一条定直线）； ③三角形三边关系（已知两边长固定或其和、差固定）． 2. 几何最值问题常见的基本结构①利用几何变换进行转化——在右侧一栏中画出相关分析的辅助线，找到最终时刻点P 的位置ll求min ()PA PB +，异侧和最小llMN 为固定线段长，求min ()AM BN +ll求max PB PA -，同侧差最大 ②利用图形性质进行转化MDACO N求ODmax不变特征：Rt△AOB中，直角与斜边长均不变，取斜边中点进行分析．二、还原自己做最值问题的过程（从拿到题目读题开始），与下面小明的动作对标，补充或调整与自己不一样的地方．①研究背景图形，相关信息进行标注；②分析考查目标中的定点、动点及图形特征，利用几何变换或图形性质对问题进行分析；③封装常见的几何结构，当成一个整体处理，后期直接调用分析．三、根据最值问题做题的思考过程，思考最值问题跟存在性问题、动点问题在分析过程中有什么样的区别和联系，简要写一写你的看法．答：下面是小明的看法：①都需要分层对问题分析，一层层，一步步进行分析；②都需要研究基本图形，目标，条件，相关信息都需要有标注；③在画图分析时，都会使用与之有关的性质，判定，定理及公理．如存在性问题需要用四边形的判定；最值问题需要回到问题处理的理论依据．四、借助对上述问题的思考，做讲义的题目．几何最值问题（讲义）一、知识点睛解决几何最值问题的通常思路：1.分析定点、动点，寻找不变特征．2.若属于常见模型、结构，调用模型、结构解决问题；若不属于常见模型，结合所求目标，依据不变特征转化，借助基本定理解决问题．转化原则：尽量减少变量，向定点、定线段、定图形靠拢．二、精讲精练1.如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为BC边上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F．若M为EF的中点，则AM长度的最小值为____________．M FE PCBAOED CBA第1题图第2题图2. 如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，点D 在BC 边上，则以AC 为对角线的所有□ADCE 中，DE 长度的最小值为_____________．3. 若点D 与点A (8，0)，B (0，6)，C (a ，a )是一平行四边形的四个顶点，则CD 长度的最小值为_____________．4. 如图，已知AB =2，C 是线段AB 上任一点，分别以AC ，BC 为斜边，在AB 的同侧作等腰直角三角形ACD 和等腰直角三角形BCE ，则DE 长度的最小值为_____________．ED B CA第4题图第5题图5. 如图，已知AB =10，C 是线段AB 上任一点，分别以AC ，BC 为边，在AB 的同侧作等边三角形ACP 和等边三角形BCQ ，则PQ 长度的最小值为_____________．6. 动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB =3，AD =5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P ，Q 也随之移动．若限定点P ，Q 分别在AB ，AD 边上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为________________．QPA'D CB AD CBA7. 如图，在直角梯形纸片ABCD 中，AD ⊥AB ，AB =8，AD =CD =4，点E ，F 分别在线段AB ，AD 上，将△AEF 沿EF 翻折，点A 的对应点记为P ．QPCBA（1）当点P 落在线段CD 上时，PD 的取值范围是_______．（2）当点P 落在直角梯形ABCD内部时，PD 长度的最小值为_____________．P F ED CB APFE DCBADCBADCBA8. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，AC =BC 的中点为D ．将△ABC 绕点C 顺时针旋转任意一个角度得到△FEC ，EF 的中点为G ，连接DG ，则在旋转过程中，DG 长度的最大值为____________．9. 如图，已知△ABC 是边长为2的等边三角形，顶点A 的坐标为(0，6)，BC 的中点D 在点A下方的y 轴上，E 是边长为2且中心在坐标原点的正六边形的一个顶点，把这个正六边形绕其中心旋转一周，则在旋转过程中DE 长度的最小值为_________．10. 探究：如图1，在等边三角形ABC 中，AB =6，AH ⊥BC 于点H ，则AH =_______，△ABC的面积ABC S △__________．发现：如图2，在等边三角形ABC 中，AB =6，点D 在AC 边上（可与点A ，C 重合），分别过点A ，C 作直线BD 的垂线，垂足分别为点E ，F ，设BD =x ，AE =m ，CF =n ．DGFECB A图1 图2（1）用含x ，m ，n 的代数式表示ABD S △及CBD S △；（2）求(m n +)与x 之间的函数关系式，并求出(m n +)的最大值和最小值．应用：如图，已知正方形ABCD 的边长为1，P 是BC 边上的任一点（可与点B ，C 重合），分别过点B ，C ，D 作射线AP 的垂线，垂足分别为点B′，C′，D′，则BB′+CC′+DD′的最大值为______，最小值为______．三、回顾与思考________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ 【参考答案】精讲精练 1．1252．3HBAD'B'C'P D CBA3．4．1 5．5 6．27．（1）84PD -≤；（2）8 8．69．410．探究：发现：（1）12ABD S xm =△，12CBD S xn =△（2）m n +=m +n 的最大值为6，最小值为应用：2。

九年级数学中考第二轮专题1---几何最值专题

九年级数学中考第二轮专题1---几何最值专题班级：姓名：_____________一、课前知识1、关于对几何最值问题的理解：在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量(如线段的长度、图形的周长或面积)的最大值或最小值问题，称为几何最值问题.2、分类点的类型分类：两个定点、一定一动、一定两动、两定两动题型分类：一条线段最值两条线段最值三条线段最值二、题型分析1、两个定点的最值问题：例：如图，有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面上圆的周长等于18厘米,在圆柱下底面上的A 点有一只蚂蚁,它想从点A 爬到点B,蚂蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少?2、一定点一动点的最值问题：（1）点到直线距离及时训练：1、如图，在△ABC 中，∠CAB=90°，点D 是CB 边上的动点，AC=4，AB=3，则AD 的最小值是。

2、如图，在△ABC 中，∠CAB=90°，点D 是CB 边上的动点，AC=4，AB=3，过D 作D E⊥AC 于点E ，DF⊥AB 于点F ，则线段EF 的最小值为。

3、如图，⊙A的半径为2，点A到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙A于点Q，则PQ的最小值为。

（2）点到圆上的距离已知点A是⊙O外一定点，在⊙O上找一点B，使AB最大；在⊙O上找一点C，使AC最小。

总结：①原理：②解题思路：及时训练：1、如图，在边长为10的正方形ABCD中，以AB为直径作半圆O，E是半圆上一动点，连结DE，则DE的最小值是。

2、如图，正方形ABCD的边长为4，正方形AEFG的边长为1，如果正方形AEFG绕点A旋转，那么C、F两点之间最小距离是。

3、如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，点N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则线段A′C长度的最小值是．总结：你是怎么解决以上三道题？拔高突破1、如图，AB=4cm，当点B在y轴的正半轴上滑动时，AB的长度保持不变，点A相应地在x轴上滑动，此时△AOB的面积不断变化，在变化过程中，点O到直线AB距离最大值是 cm。