抽象函数专题分析-精选文档
高一数学抽象函数常见题型解法综述
抽象函数常见题型解法综述抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。
由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。
本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题例1. 已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。
解：)(2x f 的定义域是［1，2］，是指21≤≤x ，所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x从而函数f （x ）的定义域是［1，4］评析：一般地，已知函数))((x f ϕ的定义域是A ，求f （x ）的定义域问题，相当于已知))((x f ϕ中x 的取值范围为A ，据此求)(x ϕ的值域问题。
例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21[，-，求函数)]3([log 21x f -的定义域。
解：)(x f 的定义域是]21[，-，意思是凡被f 作用的对象都在]21[，-中，由此可得4111)21(3)21(2)3(log 11221≤≤⇒≤-≤⇒≤-≤--x x x 所以函数)]3([log 21x f -的定义域是]4111[，评析：这类问题的一般形式是：已知函数f （x ）的定义域是A ，求函数))((x f ϕ的定义域。
正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。
这类问题实质上相当于已知)(x ϕ的值域B ，且A B ⊆，据此求x 的取值范围。
例2和例1形式上正相反。
二、求值问题例3. 已知定义域为+R 的函数f （x ），同时满足下列条件：①51)6(1)2(==f f ，；②)()()(y f x f y x f +=⋅，求f （3），f （9）的值。
解：取32==y x ，，得)3()2()6(f f f +=因为51)6(1)2(==f f ，，所以54)3(-=f 又取3==y x ，得58)3()3()9(-=+=f f f 评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取32==y x ，，这样便把已知条件51)6(1)2(==f f ，与欲求的f （3）沟通了起来。
常见的抽象函数问题及分析方法
㊀㊀㊀常见的抽象函数问题及分析方法◉山东省菏泽第一中学㊀管雨坤㊀㊀摘要:本文中通过对常见的抽象函数问题的讨论,归纳推广一些常用结论;并结合历年高考题浅谈抽象函数问题的分析方法．关键词:抽象函数;定义域;对称性;周期性㊀㊀１引言函数是高中数学内容的重点与难点,是培养学生数学抽象㊁数学运算㊁逻辑推理等核心素养的重要载体．在抽象函数问题中,可以综合考查定义域㊁单调性㊁对称性㊁周期性等内容,是各类考试的考查热点,对学生抽象㊁推理及计算能力提出较高要求．下面我们通过深入分析常见的抽象函数典型问题,引导学生总结解决问题的一般分析方法,提升学生的数学核心素养．２抽象函数常见问题分析２．１抽象函数的定义域问题对于这类问题,应注意:(１)函数的定义域是指解析式中自变量x 的取值范围构成的集合;(２)同一法则f 下,f (∗)与f ( )中 ∗ 的整体意义相同,取值范围相同．类型一:已知f (x )的定义域,求f (g (x ))的定义域例１㊀已知f (x )的定义域为(－１,０),求f (２x ＋１)的定义域．解:由f (x )的定义域可知,－１＜２x ＋１＜０,解之得:－１＜x ＜－１２．题型解法总结:若f (x )的定义域[a ,b ],则在f (g (x ))中,由a ɤg (x )ɤb ,从中解出x 的取值范围即为f (g (x ))的定义域．类型二:已知f (g (x ))的定义域,求f (x )的定义域例２㊀已知函数y ＝f (l n (x ＋１))的定义域为０ɤx ɤ３,求y ＝f (x )的定义域．解:由０ɤx ɤ３,得１ɤx ＋１ɤ４,所以０ɤl n (x ＋１)ɤl n ４,故y ＝f (x )的定义域为[０,l n ４]．题型解法总结:若f (g (x ))的定义域为m ɤx ɤn ,则由m ɤx ɤn 确定g (x )的范围,即为f (x )的定义域．类型三:已知f (g (x ))的定义域,求f (h (x ))的定义域．例３㊀已知函数y ＝f (x ＋１)定义域为[－１,３],求y ＝f (２x －１)的定义域．解:先求f (x )的定义域,由－１ɤx ɤ３,知０ɤx ＋１ɤ４,即f (x )的定义域为[０,４];再求y ＝f (２x －１)的定义域,由０ɤ２x －１ɤ４,得１２ɤx ɤ５２．题型解法总结:可先由f (g (x ))定义域求得f (x )的定义域,再由f (x )的定义域求得f (h (x ))的定义域．类型四:运算型的抽象函数的定义域．例４㊀已知函数f (x )的定义域是(０,２],求y ＝f (２x －１)l g(x －１)的定义域．解:由题意知:０＜２x －１ɤ２,x －１ʂ１,x －１＞０,ìîíïïïï解之得１＜x ɤ３２．题型解法总结:求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域时,先求出各个函数的定义域,再求交集．２．２抽象函数的对称性问题对称性(奇偶性)本是函数的图象特征[１],但问题题干却常以代数式予以呈现,这对初学者来说很难加以识别．在教学中,教师要结合具体函数图象详细阐述代数式的几何意义,总结归纳常见结论,并加以证明,５９２０２２年４月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀师生园地教育纵横Copyright ©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀让学生加深对抽象函数对称性的理解．结论１:若y＝f(x)满足f(x＋a)＝c－f(b－x),则y＝f(x)图象关于点a＋b２,c２æèçöø÷成中心对称．结论２:若y＝f(x)满足f(x＋a)＝f(b－x),则y＝f(x)图象关于直线x＝a＋b２对称．结论３:函数y＝m＋f(a＋x)与函数y＝n－f(b－x)图象关于点b－a２,n－m２æèçöø÷对称．结论４:函数y＝Aʃf(a＋x)与函数y＝Aʃf(b－x)图象关于直线x＝b－a２对称．例５㊀已知函数f(x)＝l n x＋l n(２－x),则A．在(０,２)上单调递增B．在(０,２)上单调递减C．y＝f(x)的图象关于x＝１对称D．y＝f(x)的图象关于(１,０)对称分析:f(x)的定义域为(０,２),且f(x)＝l n x＋l n(２－x)＝l n[－(x－１)２＋１],由复合函数的单调性知A,B选项错误;若f(x)的图象关于x＝１对称,由结论２知f(x)必然满足关系f(x)＝f(２－x);若f(x)的图象关于(１,０)对称,由结论１知f(x)必然满足关系f(x)＋f(２－x)＝０;通过验证发现C答案正确．例６㊀已知函数f(x)(xɪR)满足f(－x)＝２－f(x),若函数y＝x＋１x与y＝f(x)图象的交点为x１,x２(),(x２,y２), ,(x m,y m)则ðm i＝１(x i＋y i)＝．分析:由f(－x)＝２－f(x)及结论１知f(x)关于点(０,１)对称,而y＝x＋１x＝１＋１x也关于点(０,１)对称,所以f(x)与y＝x＋１x有公共的对称中心(０,１),易知函数y＝x＋１x与y＝f(x)图象的交点为(x１,y１),(x２,y２), ,(xm,ym)为偶数个且关于点(０,１)对称的对应两个交点(x i,y i),(x j,y j),满足x i＋x j＝０,y i＋y j＝２,所以x１＋x２＋ ＋x m＝０,y１＋y２＋ ＋y m＝m,所以ðm i＝１(x i＋y i)＝m．２．３抽象函数的周期性问题抽象函数周期性[２]与对称性的代数形式有很多相似之处,教师要引导学生加以区分,并结合具体函数图象(如:正弦函数㊁余弦函数)对周期性的代数形式加以解释说明,渗透数形结合的思想方法．结论１:若y＝f(x)满足f(x＋a)＝f(x＋b),aʂbʂ０,则y＝f(x)是周期为|b－a|的周期函数．结论２:若函数y＝f(x)满足f(x＋２a)＝f(x＋a)－f(x),则y＝f(x)是周期为６a的周期函数．结论３:若y＝f(x)满足f(x＋a)＝b－f(x)(或f(x＋a)＝f(x－a),或f(x－２a)＝f(x)),则y＝f(x)是周期为２|a|的周期函数．结论４:若y＝f(x)满足f(x＋a)＝ʃbf(x＋c),aʂc,bʂ０在xɪR恒成立,其中a＞０,则y＝f(x)是周期为２|a－c|的周期函数．结论５:若y＝f(x)满足f(x＋a)＝f(x＋b)＋１f(x＋b)－１(aʂb),则y＝f(x)是周期为２|a－b|的周期函数．结论６:若y＝f(x)满足f(x＋a)＝f(x＋b)－１f(x＋b)＋１(aʂb),则y＝f(x)是周期为４|a－b|的周期函数．结论７:若y＝f(x)满足f(x＋a)＝１＋f(x＋b)１－f(x＋b)(aʂb),则y＝f(x)是周期为４|a－b|的周期函数．结论８:若y＝f(x)满足f(x＋a)＝１－f(x＋b)１＋f(x＋b)(aʂb),则y＝f(x)是周期为２|a－b|的周期函数．例７㊀定义在R上的函数f(x)满足f(x＋６)＝f(x),当－３ɤx＜－１时,f(x)＝－(x＋２)２,当－１ɤx＜３时,f(x)＝x．则f(１)＋f(２)＋f(３)＋ ＋f(２０１２)＝(㊀㊀)．A．３３５㊀㊀㊀B．３３８㊀㊀㊀C．１６７８㊀㊀㊀D．２０１２分析:f(x＋６)＝f(x)知,f(x)的周期T＝６,而f(１)＝１,f(２)＝２,f(３)＝f(－３)＝－１,f(４)＝f(－２)＝０,f(５)＝f(－１)＝－１,f(６)＝f(０)＝０,所以f(１)＋f(２)＋f(３)＋f(４)＋f(５)＋f(６)＝１,f(２０１１)＝f(６ˑ３３５＋１)＝f(１)＝１,f(２０１２)＝６９教育纵横师生园地㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年４月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀f (６ˑ３３５＋２)＝f (２)＝２．所以f (１)＋f (２)＋f (３)＋ ＋f (２０１２)＝３３５ˑ１＋f (２０１１)＋f (２０１２)＝３３８．例８㊀定义在R 上的函数f (x )满足f (x ) f (x ＋２)＝１３,若f (１)＝２,则f (９９)＝(㊀㊀)．A．１３B ．２C ．１３２D．２１３分析:由f (x ) f (x ＋２)＝１３知,f (x )＝１３f (x ＋２),由结论４知,f (x )的周期T ＝４,所以f (９９)＝f (４ˑ２４＋３)＝f (３),又f (１) f (１＋２)＝f (１) f (３)＝１３,所以f (９９)＝１３２．２．４抽象函数的对称性与周期性综合问题抽象函数的对称性与周期性综合问题[３]常用如下三个结论．结论１:(两线对称型)若y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 和x ＝b 对称(即f (a ＋x )＝f (a －x ),且f (b ＋x )＝f (b －x ))则函数y ＝f (x )是周期为２|a －b |的周期函数．结论２:(两点对称型)若y ＝f (x )的图象关于点(a ,b )和(n ,b )对称,其中a ʂn (即f (a ＋x )＝２b －f (a －x ),f (n ＋x )＝２b －f (n －x )),则函数y ＝f (x )是周期为２|a －n |的周期函数．特例:若y ＝f (x )的图象关于点(a ,０)和(b ,０)对称(即f (a ＋x )＝－f (a －x ),f (b ＋x )＝－f (b －x )),则函数y ＝f (x )是周期为２|a －b |的周期函数．结论３:(一线一点对称型)若y ＝f (x )的图象有一个对称中心A (m ,n )和一条对称轴x ＝a (a ʂm )(即f (m ＋x )＝２n －f (m －x ),f (a ＋x )＝f (a －x )),则函数y ＝f (x )是周期为４|a －m |的周期函数．特例:若y ＝f (x )的图象有一个对称中心A (a ,０)和一条对称轴x ＝b (a ʂb )(即f (a ＋x )＝－f (a －x ),f (b ＋x )＝f (b －x )),则函数y ＝f (x )是周期为４|a －b |的周期函数．例９㊀已知f (x )是定义域为(－¥,＋¥)的奇函数,满足f (１－x )＝f (１＋x )．若f (１)＝２,则f (１)＋f (２)＋f (３)＋ ＋f (５０)＝(㊀㊀)．A．－５０B ．０C ．２D．５０分析:由f (x )为奇函数,知f (x )图象关于点(０,０)对称,又由f (１－x )＝f (１＋x )知f (x )图象关于x ＝１对称．由结论３知,f (x )的周期T ＝４,故f (４)＝f (０)＝０,又由f (１)＝２,有f (３)＝f (－１)＝－f (１)＝－２,f (２)＝f (０)＝０,可知f (１)＋f (２)＋f (３)＋f (４)＝０,从而有f (５)＋f (６)＋f (７)＋f (８)＝０, ,f (４５)＋f (４６)＋f (４７)＋f (４８)＝０．又f (４９)＝f (１２ˑ４＋１)＝f (１)＝２,f (５０)＝f (４ˑ１２＋２)＝f (２)＝０,所以㊀f (１)＋f (２)＋f (３)＋ ＋f (５０)＝１２ˑ０＋f (４９)＋f (５０)＝２．３结语本文中对常见的抽象函数问题归纳推广了一些常用结论,并结合历年高考题的具体实例展示了抽象函数问题的分析与解决方法．参考文献:[１]安凤吉,马敢飞．高考题中抽象函数的奇偶性㊁周期性和对称性问题[J ]．中学数学研究,２００７(６):２５Ｇ２７．[２]朱永瑛．抽象函数周期性的判断及其简单运用[J ]．福建中学数学,２００８(８):３１Ｇ３４．[３]张绍林,王江．浅谈函数奇偶性㊁周期性㊁对称性之联系[J ]．数学教学,２００８(４):１５Ｇ１７．７９２０２２年４月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀师生园地教育纵横Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
归纳抽象函数常见题型及解法
5归纳抽象函数常见题型及解法抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数•由于抽象函数表现 形式的抽象性，使得这类问题是函数内容的难点之一，其性质常常是隐而不漏，但一般情况下大多是以学过的常见 函数为背景，对函数性质通过代数表述给出•抽象函数的相关题目往往是在知识网络的交汇处设计，高考对抽象函 数的要求是考查函数的概念和知识的内涵及外延的掌握情况、逻辑推理能力、抽象思维能力和数学后继学习的潜 能•为了扩大读者的视野，特就抽象函数常见题型及解法评析如下.一、函数的基本概念问题 1 •抽象函数的定义域问题2 例1 已知函数f(x )的定义域是［1 , 2］,求f (X)的定义域.2 2解：由f(x )的定义域是［1 , 2］,是指1 ≤ X ≤ 2 ,所以1 ≤x ≤ 4, 即函数f(x)的定义域是［1 , 4］ • 评析：一般地，已知函数 f ［ (X)］的定义域是A,求f (X)的定义域问题，相当于已知 f ［ (X)］中X 的取值范围为A 据此求 (X)的值域问题.例2已知函数f (X)的定义域是［—1, 2］,求函数f ［log 1(3 X)］的定义域.2解：由f (X)的定义域是［—1, 2］,意思是凡被f 作用的对象都在［—1 , 2］中，由此易得 f(x)的定义域是A,求函数f ( (X))的定义域.正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键•一般地，若函数f (X)的定义域是A,则X 必须是A 中的元素，而不能是 A以外的元素，否则，f (X)无意义.因此，如果f(χo )有意义，则必有x o A 所以，这类问题实质上相当于已知 (X)的值域是A,据此求X 的取值范围，即由(X) A 建立不等式，解出 X 的范围•例2和例1形式上正相反.2 •抽象函数的求值问题1例3已知定义域为R 的函数f(x),同时满足下列条件：①f(2) = 1, f (6)=1:②f(x y)=f(x) + f(y),求 f(3)、f(9)的值.—1≤ log 1 (3 — X )≤ 2 (1) 2 ≤ 3 — X ≤( 1) 12 2111 ≤ X ≤4•••函数f[∣og 1(3X )］的定义域是［1 , 7]评析：这类问题的一般形式是：已知函数解：取 X = 2 , y = 3 ,得 f(6)= f(2) + f (3),1 4•• f(2) = 1 , f(6)= ,∙∙∙ f(3)=-5 5又取 X = y = 3 ,得 f (9) = f (3) + f (3) =- 8.51评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地取X = 2 , y = 3 ,这样便把已知条件f (2) = 1 , f (6)= 与欲求的5f(3)沟通了起来.这是解此类问题的常用技巧.3.抽象函数的值域问题例4设函数f (x)定义于实数集上，对于任意实数 X 、y, f (x + y) = f (x) f (y)总成立，且存在 X I ≠χ设存在 X 0 ∈ R 使得 f ( X 0) = 0 ,则 f (0) = f ( X 0 — x 0) = f ( X 0) f ( — x 0) = 0 这与f (0) ≠0矛盾，因此，对任意 X∈ R f (x) ≠0. 所以 f (x) > 0.4 .抽象函数的解析式问题1 2x 一 1f (———)=,⑵使得f (X 1 ) ≠ f ( X 2 ),求函数f (X)的值域.解：令 X = y = 0 ,得 f (0) = f 2(0),即有 f (0) = 0若 f (0) = 0 ,贝U f (X) = f (X + 0) = f (X) f (0) 由于 f (X + y)==f (X)f (y) 对任意X 、 y ∈R 均成立, XZX X 上，x 、 r X2f (X) = f (- + —) =(―) f (―)=[f (―)] 2 ≥2 22 22下面只需证明，对任意x ∈ R f (0) ≠0 即可.或 f (0) = 1 .,对任意X ∈R 均成立，这与存在实数 X I ≠χ 2 ,使得因此，对任意 x∈ R 有评析：在处理抽象函数的问题时, 往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是 般向特殊转化的必要手段.式.解：在 设对满足 X≠0, X≠1的所有实数X,函数f (X)满足f (X) + f (X 1)=1 + X ,求f (X)的解析Xf (X) + f (+ X , (1)X 1中以 代换其中X ,得:Xf (x 1 ) ≠ f ( X 2 )成立矛盾•故 f (0) ≠0,即 f (0) =1X 1 X1 1 X 2再在(1)中以一——代换X,得:f(———)+ f (X)= ------------------- , ⑶X 1 X 1 X 13 2 1(1) — (2) + ⑶ 化简得：f(x) = -__X——.2X(X— 1)X 1评析：如果把X和-一1分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键•通常情况下，X给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略.二、寻觅特殊函数模型问题1 •指数函数模型例6 设f (X)定义于实数集 R上，当x>0时，f (X) > 1 ，且对于任意实数 X、y ,有f (x + y) = f (X)∙ f (y)，同时f (1) = 2 ,解不等式f (3x — X2 ) >4•联想：因为a x y= a X∙a y(a > 0，a≠ 1),因而猜测它的模型函数为f(x) = a x (a > 0，a≠ 1)(由f(1) = 2 ，还可以猜想f (X) = 2 x) •思路分析：由f(2)= f (1 1)=f(1)∙ f (1)= 4 ,需解不等式化为f(3x — X2 ) > f (2) •这样，证明函数f(x) 的(由f (X) = 2 X ,只证明单调递增)成了解题的突破口.解：由f (x + y) = f (x) ∙ f (y)中取 X =y = 0 2得f (0) = f (0),若f (O) = 0 ,令 x> 0 , y = 0 ,则f(X)=0 ,与f (X) > 1 矛盾.∙∙∙ f (0) ≠ 0 ,即有f (0)= 1当X > 0时,f (X) > 1 > 0 ,当XV 0 时，—X > 0 , f ( — X) > 1> 0 ,而f(X) •f ( — x) = f (0) = 1∙∙∙ f(X)=1 > 0 •f( X)又当X = 0 时，f (0) = 1 > 0 ,∙ X∈R , f (X) > 0 •设一∞V X I V X 2 V +∞ ,贝y X 2 —X 1 > 0 ,f ( X 2 —X I) > 1•∙ f ( X 2) =f [ X I + ( X 2 - X1 )]= :f (X1) f ( X 2 — X1 ) > f ( X I ) •∙∙∙ y = f在R上为增函数(X)又∙∙∙ f! ,∙ f (3x — X2) > f (1) • f (1) = f (1 + 1) = f (2),由f (X)的单调递增性质可得: (1) = 23x — x 2> 2,解得 K XV 2. 2. 对数函数模型1例7已知函数f (X)满足：⑴f (1) = 1;⑵函数的值域是［—1, 1］;⑶在其定义域上单调递减；⑷ f (X) +2I I1 1f(y)= f (X ∙ y)对于任意正实数x 、y 都成立•解不等式 f (x) ∙ f () ≤ 1 X 2以猜测它的模型函数为 f (X) =log I X 且f 1 (x)的模型函数为f 1(x) = (1)x .22思路分析：由条件⑵、⑶知,f(x)的反函数存在且在定义域 ［—1, 1］上递减，由⑴知f 1(1) =- •剩下的只需2由f 1(x)的模型函数性质和运算法则去证明 f 1(X 1) ∙ f 1(X 2) = f 1(X 1 X 2),问题就能解决了.解：由已知条件⑵、⑶知，f (x)的反函数存在，且 f 1(1)=—,又在定义域［—1 , 1］上单调递减.2设 y 1= f 1 (X 1), y 2 = f 1(X 2),则有 χ1=f (yj , χ2=f ( y 2)，1∙∙∙χ 1 + X 2 =f (y 1) + f ( y 2) = f (y 1y 2),即有 yd 2=f (X 1 + X 2).∙∙∙ f 1(x 1) ∙ f 1(x 2) = f 1(X 1 X 2),于是，原不等式等价于：11 11f (X )f (1),X11 X1 X1 ,11 X 1 ,1 X1,1 X1 XX = 0 .1 X 1,1 X 1,111 - 1 .1 1 . 1 X1 X故原不等式的解集为{0}.解这类冋题可以通过化抽象为具体的方法，即通过联想、分析，然后进行类比猜测，经过带有非逻辑思维成份的推理，即可寻觅出它的函数模型，由这些函数模型的性质、法则来探索此类问题的解题思路.3 •幕函数模型例8 已知函数f (x)对任意实数x 、y 都有f (Xy) = f (x) ∙ f (y),且f( 1) =1, f (27) =9,当0≤XV 1时, 0≤f (x) V 1 时.⑴判断f(x)的奇偶性；联想：因为 Iog a (X ∙ y) = Iog X + log a y,而 Iog1 丄=1 , y = Iog2 21 X 在其定义域［—1, 1］内为减函数，所 2⑵判断f (X)在[0,+∞ )上的单调性，并给出证明；⑶若a≥0且f (a 1) ≤ 39 ,求a的取值范围.2 联想：因为X n∙y n = (X ∙ y)n，因而猜测它的模型函数为 f (x) = X n (由f(27)=9,还可以猜想f (x) = X ).2思路分析：由题设可知 f (X)是幕函数y = X1的抽象函数，从而可猜想 f (X)是偶函数，且在[O,+∞ )上是增函数.解：⑴令 y = -1 ,则f( X) = f(X) ∙f( 1),∙∙∙ f( 1)=1,∙∙∙ f ( X)= f(X),即f (X)为偶函数.⑵若X≥0,贝y f(X)= f (、. X X) = f X) ∙ f (、. x) =[ f ( '一X)] 2≥0.设 0≤χ I VX2 ,则 0≤ 0 V 1,X2X1X1∙ f (X I)= f (一X2)=f( I)∙ f (X2 ),X2X2∙.∙当 x≥0 时f (x) ≥0,且当0≤X V 1 时，0≤ f (x) V 1.∙0≤ f (XI) V 1, ∙ f (x1) V f (X2),故函数f (x)在[0 ,+∞ )上是增函数.X2⑶∙∙∙ f (27)=9 ,又f(3 9)= f (3) ∙f(9)=f(3) ∙f(3) ∙f(3) = [ f (3) ] 3,∙ 9 = [ f(3)] 3 ,∙∙∙ f(3) =39 ,∙∙∙ f (a 1) ≤ 39 ,∙ f (a 1) ≤ f(3),τa≥0 , (a + 1), 3 [0 , +∞ ),函数在[0 , +∞ )上是增函数.∙a+ 1 ≤ 3,即a≤ 2 ,又a≥0,故0≤a≤2.三、研究函数的性质问题1•抽象函数的单调性问题例9 设f (x)定义于实数集上，当x>0时，f(X)> 1 ,且对于任意实数 X、y ,有f (x + y) = f (x) ∙ f (y), 求证：f （X）在R上为增函数.证明：由f (x + y) = f (x) f (y)中取 X = y = 0 ,得f (O) = f 2(0),若f (O) = O ，令 x> O, y = O，贝U f (x) = O ，与f(X)> 1 矛盾..∙. f (O) ≠0,即有f (O) = 1 .当 X>O 时，f (X) > 1 > O,当 X V O 时，一X>O, f ( — x) > 1> O,1而f (X) ∙ f ( — X) = f (O) = 1 ------------------ ,∙∙∙ f (X) = > O .f( X)又当 X = O 时，f (O) = 1 > O ,∙ X ∈ R f (x) > O.设一∞V X I Vx2 V +∞,贝U x2— X I >O, f ( X 2— X I ) > 1.∙ f ( X 2) = f [ X I + ( X 2 — x1 )] = f (X 1 ) f ( X 2 — x1 ) > f ( X I ).∙ y = f (X)在R上为增函数.评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，而变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联.2.抽象函数的奇偶性问题例1O已知函数f (x) (X ∈ R, x≠O)对任意不等于零实数x1' X2都有f (x 1∙χ 2 ) = f (x 1) + f (x 2 ), 试判断函数f (X)的奇偶性.解：取 X I =— 1, X2 = 1 得：f( — 1) = f ( — 1) + f (1) , ∙ f (1) = O .又取 x1 = X 2 =— 1 得：f (1) = f ( — 1) + f ( — 1) , ∙ f ( — 1) = O .再取 x1 = X , X 2 = — 1 则有f( — x) = f ( — 1) + f (x),即f( — x) = f (x),∙∙∙ f (X)为非零函数，∙ f (X)为偶函数.3.抽象函数的周期性问题例11函数f(X)定义域为全体实数，对任意实数a、b,有f (a + b) + f (a — b) =2 f (a) ∙ f (b),且存在C C> O，使得f( ) = O ,求证f (x)是周期函数.2联想：因为 cos(a + b) + cos(a — b) = 2cosacosb ,且cos — = 0,因而得出它的模型函数为y = CoSX ,由y = CoSX2的周期为2 ,可猜想2C为f(x)的一个周期.思路分析：要在证明2C为f (X)的一个周期，则只需证 f (X 2C) = f (X),而由已知条件f (C) = 0和f (a +Cb) + f (a — b) =2 f (a) ∙ f (b)知，必须选择好a、b的值，是得条件等式出现f()和f (χ).2C C证明：令 a = X + , b = ,代入f (a + b) + f (a — b) = 2 f (a) ∙ f (b)可得2 2f (X + C ) = —f (x).∙∙∙ f (X + 2C ) = f [(x + C) + C ] = —f (X + C ) = f (X),即f (X)是以 2C 为周期的函数.评析：如果没有余弦函数作为模型，就很难想到2C就是所求函数的周期，解题思路是难找的•由此可见，寻求或构造恰当的模型函数，可以为思考与解题定向，是处理开放型问题的一种重要策略.4•抽象函数的对称性问题例 12 已知函数 y = f (X)满足f (X) + f ( X) = 2002 ,求f 1(χ)+f 1(2002 χ)的值.解：由已知，在等式f (a X) + f (a X) = 2b中a = 0 , b = 2002 ,所以，函数y = f (X)关于点(0 , 2002)对称，根据原函数与其反函数的关系，知函数y = f 1(X)关于点(2002 , 0)对称.∙ f 1(X 1001)+ f 1(1001 X) = 0 ,将上式中的 X用 x— 1001 换，得f 1(x)+ f 1(2002 X)= 0 .评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：即：设a、b均为常数，函数y=f (X)对一切实数X都满足f(a X)+ f (a X) = 2b ,则函数y = f (x)的图象关于点(a , b)成中心对称图形.四、抽象函数中的网络综合问题例13定义在R上的函数f (x)满足：对任意实数 m n,总有f (m n)=f(m)∙f(n),且当x>0时，0v f (x) V 1.⑴判断f (X)的单调性；⑵设 A = {(x , y)| f(x2) ∙ f (y2) > f(1)}, B = {(x , y)| f (ax y ,2) = 1 , a R},若 A B =,试确定 a的取值范围.解：⑴在f (m n)=f(m) ∙f(n)中，令 m= 1, n = 0 ,得f(1)=f(1) ∙ f (0),因为f(1) ≠ 0,所以f (0) = 1.在f(m n)=f(m) ∙f(n)中，令 m = X , n = — X,■/当 x> 0 时，0V f (x) V 1,∙当 XV 0 时，一X > 0, 0V f ( x) V 1,又当X = 0 时，f (0) = 1 > 0,所以，综上可知，对于任意X ∈ R 均有f (X)> 0.设一∞v X I V X 2 V +∞ ,贝y X 2 — X I > 0, 0v f ( X 2 — X I ) V1.∙∙∙ f ( X 2) = f [ X 1 + ( X 2 — X 1 )] = f (X 1 ) ∙ f ( X 2 — X 1 ) V f ( X 1 ).∙∙∙ y = f (X)在R 上为减函数.2 2 2 2 2 2⑵由于函数y = f (X)在R 上为减函数，所以 f (X ) ∙ f(y)=f(χ + y ) > f (1),即有X + y V 1. 又f (ax y ',2) = 1 = f (0),根据函数的单调性，有ax — y + -, 2 = 0 ._/2由A I B =,所以，直线ax — y+ 2 = 0与圆面X 2+ y 2V 1无公共点，因此有：_ ------------ ≥ 1,解得一1≤a≤ 1.评析：⑴要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题，一是f (0)的取值问题，二是 f (X) > 0的结论都成为解题的关键性步骤，完成这些又在抽象函数式中进行，由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和 解决.而 f (X)f ( - x) = f (0) = 1 , f (χ)=> 1> 0f( X)。
抽象函数常见题型和解法
抽象函数的常见题型及解法一、 抽象函数的定义域1. 已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域若已知f(x)的定义域x (a,b)，求f[g(x)]的定义域，其方法是： 由a<g(x)<b,求得x 的范围，即为f[g(x)]的定义域。
即由内层函数的值域，求内层函数的定义域，即为f[g(x)]的定义域。
例1.已知f(x)的定义域为[1，4]，求f()的定义域. 解: 由1≤≤4，得 -1≤≤2 即 -1≤<0 或 0<≤2 解得 X ≤-1 或x ≥∴函数的定义域为:2. 已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域若已知f[g(x)]的定义域x (a,b)，求f(x)的定义域，其方法是： 由a<x<b,求得g(x)的范围，即为f(x)的定义域。
即由内层函数的定义域，求内层函数的值域，即为f(x)的定义域。
例2. 若已知f(x+2)的定义域为[-2，2]，求函数f(x)的定义域. 解：∵f(x+2)的定义域为[-2，2]， ∴-2≤x ≤2， ∴ 0≤x+2≤4 故f(x)的定义域为[0，4]3. 已知f[ (x)]的定义域，求f[g(x)]的定义域先由f[ (x)]的定义域，求f(x)的定义域，再由f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域。
即由第一个函数中内层函数的定义域，求得第一个函数内层函数的值域，第一个函数内层函数的值域就是第二个函数内层函数的值域，由第∈21+x21+x x1x 1x121()⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⋃-∞-,211,∈ϕϕ二个函数内层函数的值域，再求出第二个函数内层函数的定义域。
例3.若已知f(x+1)的定义域为，求函数f ()的定义域. 解：∵f(x+1)的定义域为， ∴-2≤x 3， ∴ -1≤x+1 4 即f(x)的定义域为.∴ -1≤<4，∴ -3≤<2 即 -3≤<0 或 0<<2 解得 X ≤-或 x> ∴函数的定义域为:3. 已知f(x)的定义域，求f[ (x)] + f[g(x)]的定义域若已知f(x)的定义域x (a,b)，求f[g(x)]+f[g(x)]的定义域，其方法是：由,求得x 的范围，即为f[ (x)] + f[g(x)]的定义域。
高中常见抽象函数题型归纳
抽象函数常见题型及解法没有明确给出解析式的函数统称为抽象函数。
常见题型及其解法如下：一、函数性质法1.利用奇偶性整体思考；2.利用单调性等价转化；3.利用周期性回归已知；4.利用对称性数形结合；5.借助特殊点.三、常用变换技巧()()()()[()]()()()()()f y f x y f x y f x f x y y f x y f x f y f x f y +-=⇒=+-=⇒+=四、经典例题及易混易错题型(一)定义域问题这类问题只要紧紧抓住：将函数f g x [()]中的g x ()看作一个整体，相当于f x ()中的x 这一特性，问题就会迎刃而解.例1. 函数y f x =()的定义域为(]-∞，1，则函数y f x =-[log ()]222的定义域是___. 分析：因为log ()22x 2-相当于f x ()中的x ，所以log ()2221x -≤，解得22<≤x 或-≤<-22x . 例2. 已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域.分析：已知函数的定义域是A ，求函数f(x)的定义域,相当于求内函数的值域.)(2x f 的定义域是［1，2］，是指21≤≤x ，所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x ,从而函数f （x ）的定义域是［1，4］ )()()()()()(y f x f y x f y f x f y x f =-⇔=+()()()()()[()]()()()()f x f x y f x f y f x f x y y f x y f y f x y f y +=⇒=-+=-⇒-=)()()()()()(y f x f y x f y f x f y x f +=⋅⇔-=()()()()()()()()()()x x x f x y f x f y f x f y f f y f f x f y y y y ⋅=+⇒=⋅=+⇒=-()()x f ϕ()x ϕ例3.若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，求函数)21(+=x f y 的定义域.解析：由)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，知1+x 中的)3,2[-∈x ，从而411<+≤-x ，对函数)21(+=x f y 而言，有1124x -≤+<，解之得：),21(]31,(+∞--∞∈ x . 所以函数)21(+=x f y 的定义域为),21(]31,(+∞--∞例4.已知f x ()的定义域为(0)，1，则y f x a f x a a =++-≤()()(||)12的定义域是______. 分析：因为x a +及x a -均相当于f x ()中的x ，所以 010111<+<<-<⎧⎨⎩⇒-<<-<<+⎧⎨⎩x a x a a x a a x a (1)当-≤≤120a 时，则x a a ∈-+()，1 (2)当012<≤a 时，则x a a ∈-()，1f x ()的定义域为(0)，1，意思是凡被f 作用的对象都在(0)，1中.评析：已知f(x)的定义域是A ，求的定义域问题，相当于解内函数的不等式问题.例5.定义在上的函数f(x)的值域为，若它的反函数为f-1(x)，则y=f-1(2-3x)的定义域为______，值域为______. 答案:(二)函数值问题1. 赋特殊值法求值例1.已知f x ()的定义域为R +，且f x y f x f y ()()()+=+对一切正实数x ，y 都成立，若f ()84=，则f (2)=_______.分析：在条件f x y f x f y ()()()+=+中，令x y ==4，得f f f f ()()()()844244=+==，∴=f ()42又令x y ==2，得f f f (4)(2)(2)=+=2，∴=f (2)1例2.设函数)(x f 的定义域为()+∞,0，且对于任意正实数y x ,都有)(xy f =)(x f )(y f +恒成立。
抽象函数专题二(函数模型相关).doc
抽象函数专题二一一函数模型相关【知识点突破】①正比例函数模型：f{x）= kx{k 0） => /（x, +兀2）= /（石）+ /（兀2）②一次函数模型：f（x）= kx + b伙工0）=> /（x（ +x2） = /（%（）+ f（x2）-h③指数函数模型：/（x） = 6z v（6/>0且心1）=> /（%, +%2） = /（%!）•/（%2）fM = a x（a > 0且a 工1） n /Uj -x0）=严]「/（兀）④对数函数模型：/（x） = log“ x（a > 0且。
H 1） => /（%! -x2） = /（Xj）+ /（勺）rf（x） = log“ x（a > 0且a H1） => /（—） = /（X|）一/（X2）兀2⑤正切函数模型：/*（x） = tanx=> /（x,±xj^ Ax,）±./（x2）*■ 1 刁/（兀i）/（Q⑥凹凸函数模型：凹函数模型：用匕）2心）+ /化）凸函数模型：/（竺乞）5几"）+ /（心）2 2（注意：凹凸函数模型中的“ = ”）⑦单调函数模型：单调增函数模型：心）-/（兀2）>0西一兀2单调减函数模型：心）-小）<0Xj-x2⑧斜率模型：迪V空（DX] 兀2 ■随着变量的增大，动点与原点连线的斜率也逐渐增大。
迤>d（廿兀2）X] x9随着变量的增大，动点与原点连线的斜率逐渐减小。
【典例专练】一.选择题1 >若定义在R上的函数/（兀）满足：对任意x p x2G R有/（%! +x2） = /（x1） + /（x2） + l,则下列说法一定正解的是（）A. /（兀）为奇函数 B. /（兀）为偶函数C. /（%） +1为奇函数D. /（兀）+1为偶函数2、给出四个函数，分别满足①/(x+y) = /(x) + /(y)③h(xy) = h(x) + h(y)又给出四个函数图像：②g(x+刃=g(兀)・g(y)④心y)二心)•心)3、定义在R上的函数/(兀)满足/(x+y) = /(x)- f(y),对任意xw 总有/(%)>0 且/(I)=-，则使得f(a) > 4的d的取值范围为()2A. (-2, +oo)B. (Z+oo)C. (-00,-2)D.(一汽2)4、设指数函数f(x) = a v(a>09a^l)，则下列等式不正确的是()5、在y = 2v, y = log2 x, y = x1,y - cos2x这四个函数中，当0< < x2 < 1,使几宁)>呼凹恒成立的函数的个数是()6、如图所示，是定义在［0,1］上的四个函数/(x)(z = l,2,3,4),其中满足性质:“对「G'(X v 0)7、已知函数/(x)J 满足对任意旺工吃，都有/(兀)= 正确的匹方案是A.①一丁B.①—乙C.①—丙D.①一丁②一乙②一丙②一甲②一甲③一丙③一甲③一乙③一乙甲丁丁内-A©-』A. f(x+y) = f(x)-f(y)B. f[(x-y)n] = f n(x)-f n(y)C. f^-y)fM/(y)A. 0B. 1 C・ 2 D・ 3[0,1 ]中任意的西,勺，任意A G[0,1], /[A%! +(1-A)X2]<2/a) + (1 -2)/也)恒成ra-3)x + 4^(x>0)/（和_/（兀2）<0成立,则a 的取值范围是（二、填空题1、对于任意实数兀，y,有/（x-y ） = /（x ） + /（y ）,① /(D = 0则上述结论中正确的有 _______ 。
高一数学抽象函数常见题型解法综述
高一数学抽象函数常见题型解法综述抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。
由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。
本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题例1.已知函数f(某2)的定义域是［1，2］，求f（某）的定义域。
22解：f(某2)的定义域是［1，2］，是指1某2，所以f(某2)中的某满足1某4从而函数f（某）的定义域是［1，4］评析：一般地，已知函数f((某))的定义域是A，求f（某）的定义域问题，相当于已知f((某))中某的取值范围为A，据此求(某)的值域问题。
，2]，求函数f[log1(3某)]的定义域。
例2.已知函数f(某)的定义域是[12，2]，意思是凡被f作用的对象都在[1，2]中，解：f(某)的定义域是[1由此可得1log1(3某)2()3某()21221211某114所以函数f[log1(3某)]的定义域是[1，211]4评析：这类问题的一般形式是：已知函数f（某）的定义域是A，求函数f((某))的定义域。
正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。
这类问题实质上相当于已知(某)的值域B，且BA，据此求某的取值范围。
例2和例1形式上正相反。
二、求值问题例3.已知定义域为R的函数f（某），同时满足下列条件：①f(2)1，f(6)1；②f(某y)f(某)f(y)，5求f（3），f（9）的值。
解：取某2，y3，得f(6)f(2)f(3)欲求的f（3）沟通了起来。
赋值法是解此类问题的常用技巧。
三、值域问题例4.设函数f（某）定义于实数集上，对于任意实数某、y，f(某y)f(某)f(y)总成立，且存在某1某2，使得f(某1)f(某2)，求函数f(某)的值域。
解：令某y0，得f(0)[f(0)]2，即有f(0)0或f(0)1。
若f(0)0，则f(某)f(某0)f(某)f(0)0，对任意某R均成立，这与存在实数某1某2，使得f(某1)f(某2)成立矛盾，故f(0)0，必有f(0)1。
抽象函数专题讲解
f (x2 x1) f (x1) f (x1)
f (x)为x R的增函数。
例2：已知函数f (x)对任意x, y R有
f (x) f ( y) 2 f (x y),当x 0时，f (x) 2 f (3) 5, 求不等式f (a2 2a 2) 3的解集。
任取x1, x2且x1 x2
则f (x1) f (x2 ) f (x1 y) f ( y) [ f (x2 y) f ( y)]
f (x1 y) f (x2 y) f (x1 x2 ) x1 x2 x1 x2 0 则根据题意有 f (x1 x2 ) 0
函数f (x)在x R为增函数
等）。
一、一次函数模型:f(x+y)=f(x)+f(y)
例1:已知函数f (x)对任意的实数 x, y都有
f ( x y) f ( x) f ( y)且当x 0时 f ( x) 0，f (1) 2求f ( x)在[2， 1] 上的值域
解：由f (x y) f (x) f ( y)得，f (x) f (x y) f ( y)
f (x) f (x 1 ) 0
解：1.令x
y
1得f
2
(1)
0
再令x
y
1得f
(1)
0
2.令y 1得f (x) f (x)
3.由f (xy) f (x) f ( y)得 : f (x) f ( y) f (xy)
令y 1 代入上式得: f (x) f (1)
由f
x (x)
f (x1) f (x2 ) 即f (x)为减函数。
三.
对数函数模型：
f(例x4•：y)已=知f函(数xf)(+x)f满(足yf )(xy) f (x) f (y),(x 0)
抽象函数专题讲解
三. 对数函数模型：f(x•y)=f(x)+f(y) 例4： 已知函数f ( x)满足f ( xy) f ( x) f ( y ), ( x 0)
1.求证：f (1) f (1) 0; 2.求证：f ( x) f ( x); 3.若f ( x)在(0,)上是增函数，解不等式
任取x1, x2且x1 x2 , 设x2 x1 x, x 0
f ( x2 ) f ( x1 ) f (x x1 ) f ( x1 ) [ f ( x1 ) f (x x1 )] f ( x1 ) f (x)
则根据题意有 f (x) 0, f ( x1 ) f ( x2 )
y=ax(a>0且 同上 y=xɑ(ɑ>0)
. f(xy)=f(x)f(y)
温 故 知 新
(1)令x=…,-2,-1,0,1,2,…等特殊值求 抽象函数的函数值； (2)令x=x2,y=x1或y= 抽象函数的单调性；
1 x1
,且x1<x2,判断
(3)令y=-x,判断抽象函数的奇偶性；
1 x x (4)用x= 2 + 2 或 x 换为x等来解答抽象
二. 指数函数模型:f(x+y)=f(x)•f(y)
例3: 已知f ( x) 对一切x，y, 满足
时f ( x) 1 0 f ( x) 1; 求证: (1) x 0时，
(2) f ( x)在R上为减函数
f (0) 0，f ( x y) f ( x) f ( y)且当x 0
抽象函数的性质研究
关于抽象函数
概念 题型特点 解题思路 抓住函数中的某 些性质，通过局 部性质或图象的 局部特征，利用 常规数学思想方 法（如类比法、 赋值法添、拆项 等）。
抽象函数常见题型解法综述.doc
二、求值问丿抽象函数常见题型解法综述抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式了的一类函数。
由于抽象函数表现形式的抽彖性，使得这类问题成为函数内容的难点z—。
木文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题例1・已知函数/(X2)的定义域是［1, 2］,求f(X)的定义域。
解：/(x2)的定义域是［1, 2］,是指15x52,所以/(x2)中的/满足15^54从而函数f (x)的定义域是［1,4］评析：一般地，已知函数.f(0(劝的定义域是A,求f(x)的定义域问题，相当于已知/(^(x))中x的取值范I韦I为A,据此求0(兀)的值域问题。
例2・己知函数/(兀)的定义域是［-1, 2］,求函数/［log 1 (3 -%)］的定义域。
解：才(朗的定义域是［-1, 2］,意思是凡被f作用的对象都在［-1, 2|屮，由此可得一1 Slog】(3—兀)W 2 => (-)2 <3-x< (-)■' =>l<x< —3 2 2 4所以函数/［log. (3-X)］的定义域是［1,-］T 4评析：这类问题的一般形式是：己知函数f (x)的定义域是A,求函数的定义域。
正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。
这类问题实质上相当于已知0(兀)的值域B,且Be A,据此求x的取值范围。
例2和例1形式上正相反。
例3・已知定义域为/?+的函数f (x),同时满足下列条件：①/(2) = 1, /(6)=-；②f(x-y) = / W + /(y),求f (3) , f(9)的值。
解：取% = 2, y = 3,得/(6) = /(2) + /(3)1 4因为/(2) = 1, /(6)=-,所以/(3)=--又取x = y = 3Q得/(9) = /(3) + /(3)=--评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取兀=2, y = 3,这样便把己知条件/(2) = 1, /(6)=-与欲求的f (3)沟通了起來。
抽象函数归类分析.docx
抽象函数归类分析抽彖函数是指丙数解析式未给出.而只给出函数满足的一些条件的一类函数•由于这类函数解析式不淸楚.故学生在解此类函数问题时•常感到很抽象而“无法(法则)”可依.但利用抽彖这一待点设计考题可更好地考査学生对函数槪念、性质、图線等知识的理Un g F Mt *1 SDK tXl r* B .d i 象函数深受命题专家的青睐.已成为近几年高考的热点之一•为了追踪热点■透视命题规律•本文就2007年高考中的抽象函数题作一归类分析.1抽彖函数的函数值例1 (2007 •北京)已知函数/lx)^(x) 分别由下表缙出；则TTjKDl的值为------------ ;满足f\g(x)]>g[ftx)]tfy X的值是__ .解/1g(i)l=A3)=i・当*1 时J\g(1)1=/(3)=1 .<(/( 1 )]= / 1 )=3「当*2 时Jlg<2)l=/(2)=3,gl/(2)l = g(3)=l：当x=3 时J1g(3)l=/( 1 )=l.g(/(3)]= M 1 )=3•因此满足J]g(X)]>g\Jtx)]ffyx为 2.点评本题以表格的形式给岀了两个抽象函数的自变慣与两数値的对应关系.这种对应关系正是求解抽象函数的函数值的理论依据•抓住了这一点•此类问题就迎刃而解.2抽彖函数的单调性例2 (2007-福建)已知人筲)为R上的域西数■则满足”&问1)的实数.的取值范国是().(A) (-1J) (B)(0,l)(D)(-®t-l)U(U+oc)解因心)为R上的滅函数•且川右|)9(1)•所以 | j-|>h 解得0<x<l 或-l<xv 0 •故选C.点评正确理解7U)为R上的滅函数” 这句话的含义是解决本题的关键.3抽彖函数的奇偶性例3 (2007•全国I)Ax).g(x)M定义在R上的函数屁则爼龙)川龙) 均为偶塚数”是“/»(%)为偶函数”的( ).(A) 充要条件(B) 充分而不必要条件(C) 必要而不充分条件(D) 既不充分也不必耍条件解因为/x),g(x)是低函数•所以人-x) -«)=<(«)•故/i(-x)=/t-«)+ g<-X)= /(x)+g(x)= A(x).所以肛J为偶函数；而是偶函数时・/G)与不一定都是偶函数，例如Jtx)=^+«,g(x)=-x 时•故选B.点评解决此类问题时.只婴紧扣住奇函数或個函数的定义即可.4抽彖函数的极值例4 (2007•辽宁)已知人力)与g(J是定义在R上的连续函数•如果/U)与*龙)仅当x =a时的函数値为0 .且JU) ,那么下列侑形不可能出现的是().(A) 0是人幻的极大值•也是g(x)的极大值(B) 0是/U)的极小值，也是g(J的极小值(c) 0是/GO的极大值•但不是<(*)的极值(D) 0是人力)的极小值•但不是gU)的 极值解3可排除D ；对于C.若其中的情形能同时出 现•即0是/U)的极大伍■但不是gd)的极 值■则当自变議龙在0的附近取值时JU)的 值都不超过0.且在0的附近存在心，心・ 使 gCx, )>o旦 )<0・ ail H 召), 这与/x)^g(x)对任意的xeR 成立矛因 此选项C 中的悄形不可能岀现•故选C.点评处理本题关键是抓住“极值是局 部定义域上的嚴值”这一待征•画岀符合条件 的抽象函数的草图可快速解答此题. 5抽象函数的反函数例5 (2007•陕西)若函数/U)的反函 数为应)：则函1)的图彖 可能是().解 因为只"!)与厂(戈_!)的图象是把 /U)与广G)的图彖共同向右平移一个单位 而得到的■故/U)与广&)图彖的对称轴尸 也向右平移了一个单位得到的直线尸―】即 为心I)与广(“1)的图象的对称轴■所以 应选A.点评 考生易误认为广("1)是人"1) 的反函数，其实不然，因为两数/Kx-I )是尸 广(“)及片“1复合而成的噸数•它的对应法 则与/U-1)的对应法则并不互逆.易知/lx-1) 的反函数为庐的反函数为 y=Ax)+l ・ 6抽彖函数的图彖平移例6 (2007•辽宁)若西数产心0的图 象按向St a 平移后.得到函数产求卄1 )-2的 图象•则向«a=().(A) (-l t -2) (B)(l.-2) (0(-1,2)(D)(l,2)解将灯(力)的图彖向左平移一个单 位•再向下平移卿个草位•可得到尸沢环1)-2 的图象，故a=(-l t -2)・点评 将函数y=/Xx)的图象按向歐"(m.n)(其中mn#0)平移后•得到函数尸 /(x-m )+n 的图象.7抽彖函数的奇偶性与单调性的整合例7(2007 •夭津)在R 上定义的函数/(龙)是偶丙数.且/U )S2P )・若几0在 区间H.2 ］上是减函数•则人龙)是( ).(A) 在区间［-2.-1 ］上是堆函数，在区间［3,4 ］上是堆函数(B) 在区问卜2.-i iJL 是堆函数.在区 间［3,4 ］上是碱函数(C) 在区间【-2严1 ］上是减函数.在区 间|3,4 ］上是增函数(D) 在区［011-2,-1 |上是减函数，在区 间［3,4 ］上是减函数解因/U)是潤函数•故/(2-x)=^x-2)= 人"•所以7=2.又因人戈)在|1・2 ］上单调递• • ■ • ■■ •• • •••• • ■ • • •— ■・■ ■ I. ■■■■ ■ ■■ • • ■ ■ ■滅•所以/U)在［3,4 ］上单调递减.因偶函数 在对称区间上的单调性相反.所以/(龙)在 (-2,-1 ］上单调递增•故选B ・例8 (2007-i 庆)已知定义域为R 的 函数人力)在(8”oo)上为滅函数•且函数尸 /U+8)为2可排除B;由图由图1可排除A;由偶函数•则().(A)人6)泓7) (B) /6)>/(9)(C) /(7)>/(9) (D)/7)>A10)解因产心+8)为偶函数•故人“8)= /X8-«).所以/U)的图線关于直线x=8对称. 又因RU)在(8.2)上为减函数•所以/U) 在(P.8)上为增函数■所以人7)寸(9)机9) 泌10),所以人7)泓10),选D・点评处理上述两例.关键嘤弄淸楚下述两个易混淆的何!g；(l)若尸人鼻)为R上的两数，则人戈代)=/(*11)：(2)若y=/(x4<j) 为R 上的偶函数• #1 Jtx^a)=/(-x+<j).8抽彖函数的奇偶性与周期性的整合例9 (2007 •安績)定义在R上的函»/<x)既是奇瓯数■又是周期西数・卩是它的—NE周期若将方程/U )=0在闭区何|-T.r| 上的根的个数记为/!•则n可能为()... 一_ . ——— - - - - - ——-• • • ■■(A)0 (B) 1 (C)3 (D)5解W X € R t/（-x）=-/（^）①・/（力+ 卩）= /lx）（D.在①中•令x=0 •得人0 ）=0；在②中■ 令x=0. W /（7）=0,所以/（-7）=0；再令"■壬■得/(壬)*/( - y-)=-y(壬)，所以人p=0机弓)=0.所以n可能为5•选D.点评抽彖甬数一般圧以中学阶段所学的基本初等皈数为祈景进行构造的.所以找出一个符合条件的具体模型，则会给此类问题求解带来极大的方便.例如对本例而言■显然正弦函数符合要求•故可令/(z)=sinx.画出正弦函数在卜2打・2“］上的图象.易知图象与％轴有5个交点.例10 (2007•江西)设西数/U)長R上以5为周期的可导個函数，则曲线y^x)在x=5处的切线的斜率为( ).(A) ■十(B) 0(C)十(D) 5解因/U)是以5为周期的可导函数. 则r(5)<(o).又/(“为偶南数•所以厂(o)= 0•故r(5M).选B.点评设/U)是定义在R上的以卩为周期的可导函数•则易知厂("是以卩为周期的函数. 9抽彖函数的奇偶性与导函数的整合例11 (2007 •福建)已知对任意实数" 有/(-x)=-/(x).^(-x)=g<x),且x>0 时 f Cc) >0川Q)>0・则x0时,().(A) /;(x )>0,g*(x)>0(B) ")>0・")<0(C) ")<0O>0(D) /Xx)<0^r(x)<0解由题意知人龙)为奇函数・gU)为(W 两数■又由x>0时・/心)>0昭心)>0■知当c 0时贝切和/■)均为单调递增■从而当兀<0 时贝巧单调递增・/*)单澗通酒，所以x<0 时»/r(x)>O,g*(x)<0,选B.点评由奇、偶隨数及导数定义■不难证明如下两个匝要结论：(丨)若/U)是定义在R 上的可导低破数•则厂(J是R上的奇瓯数；(2)若/U)是定义在R上的奇西数•则广Q) 是R上的個險数.本题若利用这购个结论，也可获解■读者不妨一试.io抽与其导函数图象的整合一例12 (2007 •浙江)设广&)是函数/U) 的导函数•将尸次"和河3的图彖画在同解根据y#r(x)的正负与r=f(x)的单调性的关系•易知D错谋.点评当抽象函数图象与其导函数图象在同一个坐标系时.要注意抓住两个对应关系:原负数的堆区间上对应的导函数值非负; 原函数的法区何上对应的导函数備非正.两个高考题的拓展址近笔者通过对2006年务省市高冷试题的研究发现两个不等式何题的一个新证法•并得出这两ifi试越的改进•进而给出此类不等式问题证明的- 般規律•以集读者.例 1 (陕西省2006年需考询题)巳知隕散心)= *・"♦寺且存在升w(0.*).使/(<©) ”o・(1) 证明E适R上的单iWittUqtt；(2) =/(«.).Xi ■y.y-i =/(/.). 其中n • 1.2.3. — .证明:*• Vi <x0 <y..i <y,.(3) 证明W%’<当・y・・％・ 2证明(3)由(2)可知0G. v ；-欲证(3)成立.只需证2儿.)-2叫.f<y. -X.,即只需证期2y.H -y. <2札・「&成立.寮实上设除数'g(小令寺，则<(«)* «6x2 -4x,易知在"(0・壬)时才(力)<0,因此險数£(力)虹调递减•乂Ow&vy.W*・从而2/■(/.) -y. <2f(*.)即得2治；厂于.<2x,.l -&・评析这蚩构3( rpftttg(x) =2/(x) -X.并运用导数方法结合除数的哝测性•较为乃妙地证明r 不零式•较高浙试题??案*说通俗易懂•那半功(ft. 无独右偶•四川省2006年岛专试題也可应用此法进行i£明.请看下例：例2 (四川省2006年馮考试题)已知除效/(" s* +-^- *alnx(x > 0)./(x)的导数楚/'(〃)・对任盘购卞不辱的正数超•羽ifW：⑴当共o时竺严”(答»(2)当*4时・I厂(召)・/'(®)| >匕7」. 证明(2)®0<x, <辛则由/(x) =x J + f" ♦ ainx(x >0),1?}厂上丄・X X厂(W.斗耳H・X X X2x2 + = 2/ ♦—^3v*S = 6>4^a.X X X・・・ 2x^4-<ix>0 pfitt/7x)在(0. ♦ 8 )内是魚调递堆弟数•为Jtt欲证(2)成立只需if明厂(引)■厂(心)5-5即/'(旺)-X, </*(x2) -x2成立即可.构造x/*(x) -x(x>0) •求导町得K*(x) »/(>)-! (x>0).由于Xx： 4-—-ax2♦—•♦•-^-^3 <4 = /08 >4 ,S X X从而可知&( J >0•即g(x)在(0. ♦ «)上为miMi4ifl*tt.X0<x, <x2與此厂g <厂(乃) ■七•故原不等式得id.评析从本题的证明过程可以斤出•还可将试越加以改进•把#«<>的范屈放宽到扬.此时不等式仍成立•对于例I也町改进加强为证明现证明如F：证明0・・. vy.C*欲证(•)成立•只需证6人・厂6乞.(>y.・x. •即只需证明6y.“ - y. >6x.#l -x.成立• 一哪实上<(*) s6f(x) -x = 6x' - 6x; *2x ♦ y-.則& '(*) “8J ・12* “2 = 18" ・*)bO・易知在X w (o.*)时g，(jr) >0,因此调递堆•又0 <lx.<r.<5y・从而y.)-y. >6/*(x.)・叫・从而务6y.・.-y. >6x.#l-叫・即側* <人；~7?".从以上两例可以斤出•结合欲证不等k窈结构待征将其变形分离为<g(y)形式•准确构造出g(J •并合理利用&("的號调性是证明问題的关键所在•而导数的參与又使彳9小测性的判断快捷而又方便•这种方法无疑为不等式的证明开辟/一条新的途轻•..(收«HW：2OO8OIO9)。
抽象函数问题Word
抽象函数问题中学学习的函数有两种,一种有函数的解析式,叫具体函数,一种没有解析式,只是给了函数的某些性质,叫抽象函数.由于抽象函数的性质是对普遍情况都成立的,所以对特殊情况也成立.因此解决抽象函数问题的办法是:根据需要,取特殊值,构造出需要的等式或数值. 例1..已知函数)(x f 对一切R y x ∈、，都有)()()(y f x f y x f +=+成立，（1）试判断)(x f 的奇偶性；（2）若1)3(=-f ，求)12(f 的值．解:（1）、)()()(,0)0(x f x f x x f f -+=-=所以)()(x f x f -=- 为奇函数（2）、4)3(4)3(4)6(2)12(-=--===f f f f [解析]:函数的奇偶性需要我们研究()f x 和()f x -的关系,那就令y 为x -好了,这样就构造出了需要的等式.同样12可以写为3+3+3+3,利用题目中所给的性质,就可以用(3)f 来表示(12)f .例2.设()f x 的定义域为（0,+∞）对于任意正实数m 、n 恒有()()()f m n f m f n ⨯=+, 且当1x >时()0f x >，1()12f =-（1）求(2)f 的值；（2）求证：()f x 在（0，+∞）上是增函数； （3）解关于x 的不等式()2()4p f x f x ≥+-，其中1p >- 解:(1)先求(1)f =0,再把(1)f 写成1(2)2f ⨯,利用()()()f m n f m f n ⨯=+代入即可得到(2)f =1.(2)设12x x >>0,则1122x x x x =⨯,12x x >1,则有1122()()()x f x f x f x =+,12()x f x >0,所以12()()f x f x >,()f x 为（0，+∞）的增函数.(3) 2= (2)f +(2)f =(4)f .即为()(4)4p f x f x ≥⨯-,由(2)知即为404p x x ≥⨯>-.不等式的解为{|4}x x >. [解析]要证明单调性,就要设12x x >>0,然后比较1()f x 和2()f x 的大小,由于题目中告诉我们当1x >时()0f x >，而121x x >,只要把1122x x x x =⨯,就可以利用题目中的条件了. 例3.函数f(x)对任意的实数m,n ，有f(m+n)=f(m)+f(n)，当x ＞0时，有f(x)＞0。
抽象函数案例分析.doc
抽象函数案例分析这一个月一直在复习函数，正好赶上区里要做一节复习课的研讨课，结合学生的复习进度，我决定讲一节抽象函数的复习课。
确定好了我讲课的主题，虽然以前也给学生复习过这一节的内容，但是，实际上自己仍然有许多的困惑，觉得不知从何入手。
正好，以前我看过一篇文章，是上海七宝中学的文卫星老师写的自2的关于抽象函数的两节课的课例。
于是,我又很认真的把那篇文章找出来, 仔细研读了一下，心里顿时觉得豁然开朗，于是自己的构思就有了。
可能是山于学生程度好的关系，文老师两节课从基本的初等函数出发，类比，联想，学生自己编拟了许多的题目，文老师和学生一起对具有基本初等函数模型的抽象函数做了细致而深刻的分析与挖掘。
有一次函数，指数函数，对数函数，藉函数，三角函数，还有代数与几何的综合问题。
但我感觉, 这也许只能使一部分学生能很好的掌握，但可能仍然有许多学生不明白，所以我感觉这节课有许多不足的地方。
而旦，本身就抽象函数而言，我们课本上并没有明确提到，至于什么是抽象函数，更没有明确的定义，只是，在近些年的高考题中，有涉及到用抽象函数符号表示的函数问题出现。
学生对于解这类问题，很畏惧，有时不知从何入手。
至于教师本身可能也没有做深入细致的研究，只是，发现有些题出现了，于是想法去解决，有时交给学生的方法过于形式化，不利于学生的实际学习。
鉴于高三的学习时间紧，任务重，我必须要对此课做—•些调整，才能真正符合我的学生实际。
备课之前，我又仔细查看了-遍学生用的课本，认真研究了学生学习的一些具体的初等函数：一次函数，二次函数，正比例函数，反比例函数，指数函数，对数函数，三角函数。
仔细杏清楚了新的课程标准及大纲对这些函数的具体要求，做到心中有数。
我还翻阅了近十年的高考题，把所有考过的关于抽象函数问题的题目都一一・摘录出来，并且做了细致的分析与归纳。
考虑到咱们是北京的考生，必须符合北京的实际，我又把北京市近五年的高考题一 -•找出来，做了细致的分析，发现试题基本上在这一部分，出题很有规律，没有偏，难，怪题出现。