二次函数与一元二次方程
二次函数与一元二次方程的关系
（5）a+b+c的符号：因为x=1时,y=a+b+c,所以 a+b+c的符号由x=1时，对应的y值决定。 当x=1时，y>0,则a+b+c>0 当x=1时，y<0，则a+b+c<0 当x=1时，y=0，则a+b+c=0 (6)a-b+c的符号：因为x=-1时,y=a-b+c,所以a-b+c 的符号由x=-1时，对应的y值决定。 当x=-1，y>0,则a-b+c>0 当x=-1，y<0,则a-b+c<0 当x=-1，y=0,则a-b+c=0
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
根据图像可得： 1、a＞0
o
x
b 2、＞0 2a
3、△=b² -4ac＝0 4、C＞0
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
根据图像可得： 1、a＞0
o
b 2、＝0 2a
x
3、△=b² -4ac＝0 4、C＝0
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0
例(1)如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个 1 相等的实数根,则m=＿＿＿＿ ,此时抛物线 y=x21 2x+m与x轴有 8x +c的顶点在 x轴 16 上,则c=＿＿＿＿ .
快速回答：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的 符号： y
根据图像可得： 1、a＞0
二次函数与一元二次方程的关系
(2)取3和4的中间数3.5代入表达式 中试值．
当x＝3.5时，y＝3.52－2×3.5－ 6＝－0.75＜0；
当x＝4时，y＞0，在3.5＜x＜4 范围内，
y随x的增大而增大，∴3.5＜x2 ＜4.
• (3)取3.5和4的中间数3.75代入表达式 中试值．
• 当x＝3.75时，y＝3.752－2×3.75－6 ＝0.562 5＞0； • 当x＝3.5时，y＜0.在3.5＜x＜3.75范 围内，
b2-4ac=0
有一个
有两个相等的实数根
b2-4ac<0
没有公共点
没有实数根
二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标就是 方程ax2+bx+c=0的根。
1 (中考·柳州)小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象 如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是( D ) A．无解 B．x＝1 C．x＝－4 D．x＝－1或x＝4
• 2．如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝ax2+bx+c交于A （﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n ＞ax2+bx+c的解集是 x<-1或x>4 ．
• 3．二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为直 线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0 （t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取
知识点 1 二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y =x2+x-2,y=x2-6x+9,y =x2–x+1的图象如图所示.
(1)每个图象与x轴有几个交点？ (2)一元二次方程 x2+x-2=0 ,x2-6x+9=0有几个根?
二次函数与一元二次方程的关系
从以上可以看出, 已知二次函数y的值为m，求相应自变量x的 值，就是求相应一元二次方程的解.
例如,已知二次函数y=-X2+4x的值为3,求自变 量x的值. 就是求方程3=-X2+4x的解, 例如,解方程X2-4x+3=0 就是已知二次函数y=X2-4x+3的值为0,求自变量 x的值. 一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2 ,则 抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是 (x1,0),(x2,0)
y=x 2 -3x-4
答案： （1）A（-1，0），B（4，0）； （2）x=-1或4； （3） x=-1或4； （4）方程的解就是二次函数的交点的横坐标。
变式训练
观察下列图象，分别说出一元二次方程x2 6 x 9 0, x2 x 3 0的根的情况。
y=x 6 x 9
（4）球从飞出到落地需要用多少时间？
y （m ）
20· 5
20
15
（2，20）
0
1
2
3
4
x t） （
解：（1）解方程 （3）解方程 h 15=20t-5t² 20.5=20t-5t² t² -4t+3=0 t² -4t+4.1=0 t 1 =1， t 2 =3. ∵（-4）² -4*4.1＜0， 当球飞行1s和2s时， ∴方程无实数根 它的高度为15m。 （4）解方程 （2）解方程 0=20t-5t² 20=20t-5t² t² -4t=0 t² -4t+4=0 t 1 =0， t2 =4. t 1 = t 2 =2. 当球飞行0s和4s时， 当球飞行2s时， 它的高度为20m。 它的高度为0m，即0s飞 出，4s时落回地面。
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与一元二次方程的关系二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（10分）解题思路一：(1)方程ax2＋bx＋c＝0的两个根为y＝ax2＋bx＋c的图像与y＝0的图像交点的横坐标(2)方程ax2＋bx＋c＝1的解为y＝ax2＋bx＋c的图像与y＝1的图像交点的横坐标(3)方程ax2＋bx＋c＝－1的解为y＝ax2＋bx＋c的图像与y＝1的图像交点的横坐标(4)方程ax2＋bx＋c＝2的解是y＝ax2＋bx＋c的图像与y＝2的图像交点的横坐标(5)方程ax2＋bx＋c＝3的解是y＝ax2＋bx＋c的图像与y＝3的图像交点的横坐标(6)方程ax2＋bx＋c＝k的解是，y＝ax2＋bx＋c的图像与y＝k动直线的图像交点的横坐标(7)方程ax2＋bx＋c＝kx+n的解是，y＝ax2＋bx＋c的图像与y＝kx+n的图像交点的横坐标解题思路二：(1)方程ax2＋bx＋c＝0的两个解是y＝ax2＋bx＋c与y＝0组成方程组的解的x的值。
(2)方程ax2＋bx＋c＝1的解是y＝ax2＋bx＋c与y＝1组成方程组的解的x的值。
(3)方程ax2＋bx＋c＝－1的解是y＝ax2＋bx＋c与y＝1组成方程组的解的x的值。
(4)方程ax2＋bx＋c＝2的解是y＝ax2＋bx＋c与y＝2组成方程组的解的x的值。
(5)方程ax2＋bx＋c＝3的解是y＝ax2＋bx＋c与y＝3组成方程组的解的x的值。
(6)方程ax2＋bx＋c＝k的解是，y＝ax2＋bx＋c与y＝k组成方程组的解的x的值。
(7)方程ax2＋bx＋c＝kx+n的解是，y＝ax2＋bx＋c与y＝kx+n组成方程组的解的x的值。
解题思路三：注意变形(1)方程ax2＋bx＋c－1＝0的解是y＝ax2＋bx＋c与y＝1组成方程组的解的x的值。
(2)方程ax2＋bx＋c+1＝0的解是y＝ax2＋bx＋c与y＝1组成方程组的解的x的值。
2022年初中数学《二次函数与一元二次不等式2》精品教案
21.3 二次函数与一元二次方程第1课时二次函数与一元二次方程教学目标【知识与技能】掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系,会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解以及一元二次不等式的解集.【过程与方法】经历探究二次函数与一元二次方程、一元二次不等式关系的过程,体会函数、方程、不等式之间的联系.【情感、态度与价值观】进一步培养学生的综合解题能力,掌握解决问题的方法,培养探究精神.重点难点【重点】用函数图象求一元二次方程的近似解及一元二次不等式的解集.【难点】用数形结合的思想解方程及不等式.教学过程一、创设情境,导入新知师:任意一次函数的图象与x轴有几个交点?生甲:一个.生乙:不对,当直线与x轴平行时,没有交点.生丙:还有一种情况,当直线与x轴重合时,有无数个交点.师:同学们考虑得很周到!当一次函数的图象与x轴有1个交点时,你能求出它与x轴交点的坐标吗?比方一次函数y=2x-3,它的图象与x轴交点的坐标是多少?学生计算后答复.二、共同探究,获取新知师:你猜测一下,二次函数的图象与x轴可能会有几个交点?我们可以借助什么来研究?学生思考.生:借助二次函数的图象.师:对.教师多媒体课件出示:二次函数y=x2+3x+2的图象如以下图,根据图象答复以下问题:1.它与x轴有公共点吗?如果有,公共点的横坐标是多少?2.当x取公共点的横坐标时,函数的值是多少?3.由此你能求出方程x2+3x+2=0的根吗?4.方程x2+3x+2=0的解与交点的横坐标有什么关系?师:请同学们先画出函数图象,然后思考下面几个问题.学生作图,教师巡视指导.教师出示图象:学生观察图象后答复.生:这个函数的图象与x轴有公共点,公共点的横坐标分别是-2和-1.这时函数值都为0,所以方程x2+3x+2=0的根为-2和-1.方程x2+3x+2=0的解与交点的横坐标是一样的.师:同学们答复得很好!你能归纳出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其他情况吗?交点的个数与方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系呢?学生思考,交流讨论.生:函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数与方程ax2+bx+c=0根的个数一样,所以也有三种情况:令Δ=b2-4ac,当Δ>0时,函数图象与x轴有两个交点,方程有两个根;当Δ=0时,函数图象与x 轴有一个交点,方程有两个相等的根;当Δ<0时,函数图象与x轴没有交点,方程无解.师:同学们答复得很好!所以我们有了求一元二次方程根的另一种方法,画出二次函数的图象,然后怎么确定方程的解呢?生:二次函数的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的解.三、例题讲解【例】用图象法求一元二次方程x2+2x-1=0的近似解(精确到0.1).解:画出函数y=x2+2x-1的图象,如图.由图象可知,方程有两个实数根,一个在-3和-2之间,另一个在0和1之间.观察上表可以发现,当x分别取和时,对应的y由正变负,可见在与之间肯定有一个x使y=0,即有方程x2+2x-1=0的一个根.题目只要求精确到0.1,这时取或作为根都符合要求.但当时比y=0.25(x=-2.5)更接近0,应选x=-2.4.同理,可求出方程x2+2x-1=0在0和1之间精确到的另一个根.方程x2+2x-1=0的近似解还可以这样求:分别画出函数y=x2和y=-2x+1的图象,如图,它们的交点A、B的横坐标就是方程x2+2x-1=0的根.如有条件,可以在计算机上用《几何画板》处理.四、练习新知师:我这有几个习题,现在让我们一起来解决它们.1.抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点坐标分别为(1,0)、(-5,0),那么关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是.【答案】x1=1,x2=-52.判断以下二次函数的图象与x轴有无交点.假设有,求出交点的坐标;假设没有,请说明理由.(1)y=2x2-5x+3;(2)y=x2+3x+5;(3)y=3x2-7x+8; (4)y=x2+x-12.【答案】(1)有交点,交点坐标为(1,0)、(,0);(2)无交点,Δ=b2-4ac=32-4×1×5=-11<0;(3)无交点,Δ=b2-4ac=(-7)2-4×3×8=-47<0;(4)有交点,交点坐标为(4,0)、(-6,0).3.二次函数y=kx2-3x-2的图象与x轴有两个交点,求k的取值范围.【答案】根据题意,得解得k>-且k≠0.五、继续探究,层层推进师:我们前面学习了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系,上面讨论了二次函数与一元二次方程的关系,下面我们讨论二次函数与一元二次不等式的关系.请同学们看课本第30页的图21~20.学生看图.师:我们可以清楚地看到二次函数y=x2+3x+2的图象被x轴分成三局部:一局部与x轴相交,一局部在x轴上方,一局部在x轴下方.在x轴上方或下方的意义是什么?生1:在x轴上方时,y>0,也就是x2+3x+2>0,所以图象在x轴上方的x的取值范围就是不等式x2+3x+2>0的解集.生2:在x轴下方时,y<0,也就是x2+3x+2<0,所以图象在x轴下方的x的取值范围就是不等式x2+3x+2<0的解集.师:同学们很聪明!你现在就根据这个来完成课本第33页练习的1、2.学生做题,教师巡视指导,完成后集体订正.六、课堂小结师:本节课你学习了什么内容?有什么收获? 学生答复.师:你还有什么不明白的地方吗? 学生提问,教师解答. 教学反思学习这节内容要充分运用两种思想方法:1.函数与方程的思想,用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想,函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括,是在知识和方法反复学习中抽象出的带有观念的指导方法.2.数形结合思想,在中学数学里,我们不可能把“数〞和“形〞完全孤立地割裂开,也就是说,代数问题可以几何化,几何问题也可以代数化,“数〞和“形〞在一定条件下可以相互转化、相互渗透.在学生理解二次函数与一元二次方程的联系的根底上,能够运用二次函数及其图象、性南去解决现实生活中的一些问题,进一步培养学生综合解题的能力,在整个章节的学习过程中始终渗透数形结合的思想,更表达了学好数学的重要意义.3．乘、除混合运算1．能熟练地运用有理数的运算法那么进行有理数的加、减、乘、除混合运算；(重点) 2．能运用有理数的运算律简化运算；(难点)3．能利用有理数的加、减、乘、除混合运算解决简单的实际问题．(难点)一、情境导入1．在小学我们已经学习过加、减、乘、除四那么运算，其运算顺序是先算________，再算________，如果有括号，先算__________里面的．2．观察式子3×(2＋1)÷⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，里面有哪几种运算，应该按什么运算顺序来计算？ 二、合作探究探究点一：有理数乘、除混合运算计算：(1)－2.5÷58×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－47÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－314×⎝ ⎛⎭⎪⎫－112.解析：(1)把小数化成分数，同时把除法变成乘法，再根据有理数的乘法法那么进行计算即可．(2)首先把乘除混合运算统一成乘法，再确定积的符号，然后把绝对值相乘，进行计算即可．解：(1)原式＝－52×85×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝52×85×14＝1；(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－47×⎝ ⎛⎭⎪⎫－143×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－⎝ ⎛47×⎭⎪⎫143×32＝－4. 方法总结：解题的关键是掌握运算方法，先统一成乘法，再计算． 探究点二：有理数的加、减、乘、除混合运算及乘法的运算律 【类型一】 有理数加、减、乘、除混合运算计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－13×(－6)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－316－113＋114×(－12)． 解析：(1)先计算括号内的，再按“先乘除，后加减〞的顺序进行；(2)可考虑利用乘法的分配律进行简便计算．解：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－13×(－6)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＝53×(－6)－12÷43＝(－10)－12×34＝－10－38＝－1038；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－316－113＋114×(－12)＝⎝⎛－3－16⎭⎪⎫－1－13＋1＋14×(－12)＝⎝⎛⎭⎪⎫－3－14×(－12)＝－3×(－12)－14×12＝3×12－14×12＝36－3＝33.方法总结：在进行有理数的混合运算时，应先观察算式的特点，假设能应用运算律进行简化运算，就先简化运算．【类型二】 有理数乘法的运算律计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－56＋38×(－24)；(2)(－7)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43×514.解析：第(1)题括号外面的因数－24是括号内每个分数的倍数，相乘可以约去分母，使运算简便．利用乘法分配律进行简便运算．第(2)题－7可以与514的分母约分，因此可利用乘法的交换律把它们先结合运算．解：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－56＋38×(－24)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－56×(－24)＋38×(－24)＝20＋(－9)＝11； (2)(－7)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43×514＝(－7)×514×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－52×⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝103.方法总结：当一道题按照常规运算顺序去运算较复杂，而利用运算律改变运算顺序却能使运算变得简单些，这时可用运算律进行简化运算．【类型三】 有理数混合运算的应用海拔高度每升高1000m ，气温下降6℃.某人乘热气球旅行，在地面时测得温度是8℃，当热气球升空后，测得高空温度是－1℃，热气球的高度为________m.解析：此类问题考查有理数的混合运算，解题时要正确理解题意，列出式子求解，由题意可得[8－(－1)]×(1000÷6)＝1500(m)，故填1500.方法总结：此题的考点是有理数的混合运算，熟练运用运算法那么是解题的关键． 三、板书设计1．有理数加减乘除混合运算的顺序：先算乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的，同级运算从左到右依次进行． 2．利用运算律简化运算 3．有理数混合运算的应用这节课主要讲授了有理数的加减乘除混合运算．运算顺序“先乘除后加减〞学生早已熟练掌握，让学生学会分析题目中所包含的运算是本节课的重难点．在教学时，要注意结合学生平时练习中出现的问题，及时纠正和指导，培养学生良好的解题习惯．。
二次函数与二次方程二次不等式的关系
二次函数与二次方程、二次不等式的关系一、知识要点知识点1、二次函数与一元二次方程、二次不等式有着十分紧密的联系；当二次函数y=ax2+bx+c(a丰0)的函数值y=0时，就是一元二次方程，当沪0时，就是二次不等式。
知识点2、二次函数的图象与 x轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，图像的交点个数与一元二次方程的根的个数是完全相同的，这是数和形有机结合的重要体现。
研究二次函2 . . 2数y=ax + bx + c图象与x轴交点问题从而就转化为研究一元二次方程ax + bx + c=0的根的变式训练：1、函数y=ax2— bx + c的图象过(一1, 0)，贝U b c c a a b的值是___________________ 2、已知二次函数 y=x2 + mx + m— 2 •求证：无论 m取何实数，抛物线总与 x轴有两个交点.3 .已知二次函数 y=x2— 2kx + k2 + k— 2 •(1)当实数k为何值时，图象经过原点？(2)当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？5 .已知抛物线 y=mx2 +( 3 — 2m) x + m — 2 ( m^O)与x轴有两个不同的交点.(1 )求m的取值范围；(2)判断点P (1，1)是否在抛物线上；(3)当m=1时，求抛物线的顶点 Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P'的坐标，并过P'、Q、P三点，画岀抛物线草图.2例2、(本题满分12分)二次函数y ax bx 6(a 0)的图像交y轴于C点，交x轴于A，B△ =b2— 4ac △ > 0 △ =0△ < 0二次函数y=ax2+bx+c(a > 0)的图像一元二次方程ax2+bx+c=0(a > 0)的根无实数根一元二次不等式ax2+bx+c> 0(a > 0)的解集x < x1或x > x2(% < x2)x为全体实数一元二次不等ax2+bx+c< 0(a > 0)的解集x1<x < x2(x1< x2)无解无解问题，这样图像问题就可以转化成方程问题，应用根的判别式、韦达定理、求根公式等解题。
二次函数知识点归纳总结
二次函数知识点归纳总结二次函数知识点总结二次函数是形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。
与一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b和c可以为零。
二次函数的定义域是全体实数。
二次函数的根本形式是y=ax²。
a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a的符号决定开口方向。
当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下。
顶点坐标是（0,0），对称轴是y轴。
当x增大时，y随之增大，当x减小时，y随之减小，当x=0时，y有最小值。
当二次函数的形式为y=ax²+c时，顶点坐标是（0,c），对称轴是y轴。
其他性质与y=ax²相同。
当二次函数的形式为y=a(x-h)²时，顶点坐标是（h,0），对称轴是以顶点为中心的垂直于x轴的直线。
当x增大时，y随之增大，当x减小时，y随之减小，当x=h时，y有最小值。
当二次函数的形式为y=a(x-h)²+k时，顶点坐标是（h,k），对称轴是以顶点为中心的垂直于x轴的直线。
其他性质与y=a(x-h)²相同。
平移二次函数的图像，可以将抛物线的顶点平移到（h,k）处。
具体方法是保持抛物线形状不变，将其顶点平移到（h,k）处。
如果k>0，则向上平移|k|个单位；如果k<0，则向下平移|k|个单位。
y=ax^2+k向右移动h个单位（h>0）或向左移动|h|个单位（h0）或向下移动|k|个单位（k<0）。
y=a(x-h)^2向上移动k个单位（k>0）或向下移动|k|个单位（k<0），平移规律为“左加右减，上加下减”，概括为八个字。
另一种方法是对于y=ax^2+bx+c，沿y轴平移m个单位向上（下）为y=ax^2+bx+c+m（或y=ax^2+bx+c-m），沿轴平移m个单位向左（右）为y=a(x+m)^2+b(x+m)+c（或y=a(x-m)^2+b(x-m)+c）。
对于二次函数y=a(x-h)^2+k和y=ax+bx+c，两者是不同的表达形式，通过配方可以得到y=ax^2+bx+c，其中h=-b/2a，k=a(h^2)+b(h)+c。
一元二次方程与二次函数知识点总结归纳
（3）公式法
、
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
；
2.一元二次方程有四个特点：
(1)含有一个未知数；
(2)且未知数次数最高次数是2；
(3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。
（4）将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足（a≠0）
一元二次方程 的求根公式：
（4）因式分解法
因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
根的判别式：一元二次方程 中， 叫做一元二次方程 的根的判别式，通常用“ ”来表示，即
如果方程 的两个实数根是 ，那么 ， 。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
1.定义：一般地，如果 是常数， ，那么 叫做 的二次函数.
2.二次函数 的性质
（1）抛物线 的顶点是坐标原点，对称轴是 轴.
（2）函数 的图像与 的符号关系.
|
①当 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；
②当 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点.
（3）顶点是坐标原点，对称轴是 轴的抛物线的解析式形式为 .
一元二次不等式与二次函数一元二次方程的关系
示范例题
例7
对应的二次函数 y=x²-4x+4 对应的一元二次方程 x²-4x+4=0
双基讲解
解一元二次不等式的关键是看不等式对应的二次函数图像
0
计算判 别式ห้องสมุดไป่ตู้
双基讲解
方a 程 xbx c,(其a 中 ) 有两不相 .设等 x为 、 x实 ，根 x且 x
求根
画图
写出不等 式解集
ax bxc的解集
2.2 一元二次不等式的解法
Solving Quadratic Inequalities with One Unknown
——一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系
新课导入
一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系
解一元二次不等式是否一定要转化 为一元一次不等式组来解呢? 其实不然 ！
因为一元二次不等式与二次函数、 一元二次方程三者之间存在着密不可分 的“亲缘”关系, 你可以借助二次函数 的图像及相应一元二次方程的根，彻底 解决一元二次不等式的解的问题.
本课小结
知识要点 1 利用二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之
间的关系求解一元二次不等式. 2 利用上述关系给出了一个一般性的求解方法.
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布置作业
习题册P19 习题2.2（3）/A组全部
,xx,
ax2 bxc0的解集
x1, x2
大于(或大于等于)号取两边，小于(或小于等于)号取中间
0
计算判 别式
双基讲解
方程 axbxc,(其中 a) 有两相等 .设实 为 x根 x ba
求根
画图
写出不等 式解集
ax2 bxc 0的解集
, b b ,
2a 2a
二次函数和一元二次方程的关系
精讲精练
1.（2009丽水）已知二次函数y＝ax ＋bx＋c(a≠2 0)的图象如
图所示，则
当
时，y=0;
当
时，y>0;
当
时，y<0.
(第7题)
精讲精练
驶向胜利的 彼岸
2、校运会上，某运动员掷铅球，铅球 的高y(m)与水平距离x(m)之间的函数 关系式为y=-0.2x2+1.5x+1.7，则此运 动员的成绩是多少？
1、△＞0
一元二次方程ax2+bx+c=0
有两个不等的实数根
抛物线y=ax2+bx+c
与x轴有两个交点——相交。
2、△=0
一元二次方程ax2+bx+c=0
有两个相等的实数根
抛物线y=ax2+bx+c
与x轴有唯一公共点——相切（顶点）。
3、△＜0
一元二次方程ax2+bx+c=0
没有实数根
抛物线y=ax2+bx+c
a=
；若抛物线与x轴有两个交点，则a
的范围是
；
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ已知抛物线y=x2-3x+a+1与x轴最多只有一
个交点，则a的范围是
。
3、已知抛物线y=x2+px+q与x轴的两个交点为 （-2，0），（3，0），则p= ，q= 。
4、判断下列各抛物线:①是否与x轴相交，如 果相交，求出交点的坐标。 ②求出图像与Y 轴的交点坐标。
与x轴的两个交点的横坐标。因此，抛物线与一元二次 方程是有密切联系的。
即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是 x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交 点坐标分别是A（x1，0）， B（x2，0）
22.2.2二次函数与一元一次不等式
B 4
x
五点法定位作图
函数图像的顶点、图像与x,y坐标轴的交点，以及图 像与y轴的交点关于图象对称轴的对称点。
y X=-b/2a
2 y=ax +bx+c
b ( , c) a
(0,c)
o
x
1
b 4ac b 2 ( , ) 2a 4 a
x
2
x
课堂练习
练习1.抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴 的公共点是(－2，0)， (4，0)，求
这条抛物线的对称轴．
2.如图22-2-4是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，且过
点A(3，0)，二次函数图象的对称轴是直线x=1，则图象与
x轴的另一个交点坐标是
(-1，. 0)
利用五点法画二次函数y=x2-x-6的图象。
25 1 1 （—，-— ） 直线x=— 4 2 （1）顶点坐标是__________ 对称轴是_________ 2
x1 2, x2 （2)方程x2-x-6=0的两个根是_________
y 1 x=— 2
3
（3）函数值y的正负性: 当 x<-2或x>3 时,y>0 时,y=0
(-2,0) 0 (0,-6)
x (3,0)
当 x=-2或x=3
当 -2<x<3
时,y<0
(1,-6) （4）求不等式 2 25 1 （—，-— x<-2或x>3 4） 2
[ 注意 ] 当二次函数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a≠0) 的图 象与 x 轴有交点时，其交点横坐标就是方程 ax2 ＋bx＋c＝0的根．
1.已知二次函数y= ax2＋bx＋c(a≠0) 的图象如图所示, 则一元二次方程ax2＋bx＋c=0的解 是 x1 1, x2 .4
二次函数与一元二次方程的关系
解：（1）-1 x 3．
（2）设y=x2 -1，则y是x的二次函数．
a=1 0,抛物线开口向上．
又 当y=0时，x2 -1=0，
∴
＞0
∴△＞0，
∴无论 m取何值,抛物线总与x轴有两个交点.
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能力提升
5.已知二次函数 y kx2 6x 7 的图像与X轴
ห้องสมุดไป่ตู้
有两个不同的交点.
（1） 求k的取值范围
（2） 当k为何值时，这两个交点横坐标的平方和等
可由一元二次方程的根的判别式来判定二次函数图象与x 轴的交点的情况，由根与系数的关系来解决相关问题。
在函数问题中，往往需要解方程：反过来也可以利用函 数图象解方程。
课后练习
1.已知抛物线y x2 6x a与x轴有两个交点,则a的取值范围是多少? 2.已知抛物线y=x2 px q与x轴的两个交点为(2, 0), (3, 0),则p、q的 值分别是多少? 3.已知二次函数y x2 kx k 2. (1)判别上述抛物线与x轴的交点情况; (2)设抛物线与x轴交点之间的距离为2 5,求k的值. 4.设二次函数的图象与x轴交于A, B两点,与y轴交点点C,线段OA与OB 的长的积等于60(点O是坐标原点), 求m的值.
解得x =-1,x =1．
1
2
由此得抛物线的大致图象如图所示:
观察函数图象可知：
当x -1或x 1时，
一元二次方程和二次函数综合题
一元二次方程和二次函数综合题在这个世界上，一元二次方程和二次函数就像是一对老朋友，时不时就会碰面聊聊。
大家听到方程可能会皱眉，觉得这东西难得要命。
可是，咱们今天就来轻松聊聊这玩意儿，顺便给大家解解渴，看看它们到底有什么妙处。
说到一元二次方程，想象一下，你在公园里溜达，突然看到一条曲线，像一座小山丘，爬上去就像一场冒险。
这种方程的标准形式是 ( ax^2 + bx + c = 0 )，听起来是不是有点吓人？其实没那么复杂。
想想看，( x ) 就是你在寻找的那个神秘数字，而 ( a, b, c ) 就是我们的小伙伴，负责帮助我们找到它。
让我们深入一下这个方程的世界，想象一下你在解方程时的感觉。
哎呀，真是像在寻宝！你会遇到两个解，这就像找到了双份的惊喜，有时候只有一个解，像是找到了一份珍藏版。
方程的解可以用求根公式来找到，公式长得像个“老虎”，但只要你大胆尝试，最终你会发现它其实没那么可怕。
解出来的 ( x ) 就是这场寻宝的最终大奖。
每次解方程的时候，你都会感到一丝小小的成就感，真是让人心里美滋滋的。
咱们聊聊二次函数。
二次函数图像就是那种优美的抛物线，真像一条温柔的波浪，波浪上还翻滚着欢乐的气泡。
它的标准形式是 ( y = ax^2 + bx + c )，听起来又是一个复杂的公式，但实际上它给我们的生活带来了很多乐趣。
比如，抛球时的轨迹，飞翔的小鸟，这些都是二次函数在作祟。
你把方程里的 ( x ) 代入，得到的 ( y ) 就是那条曲线上的点，仿佛每个点都是小小的奇迹。
说到图像，大家可别忘了它的顶点，哎，那可是“王者”哦。
顶点就是抛物线的最高点或最低点，简直是这条曲线的明星。
想象一下，如果你是一位画家，你在画布上勾勒出这条美丽的曲线，每一个点都是你的心血，最后的顶点则是你作品的巅峰，真是让人忍不住想为它喝彩。
二次函数的对称性，哇，简直太完美了！这就像是一面镜子，把一边的美丽反射到另一边，真是妙不可言。
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复习1.二次函数图象的一部分如图所示，其对称轴为直线，且过点．下列说法：①；①；①；①若是抛物线上的两点，则．其中正确的是( )A.①①B.①①C.①①①D.①①①2.小轩从如图所示的二次函数的图象中，观察得到如下四个结论：①；①；①；①．其中正确的结论是( )A.①①①B.①①①C.①①①D.①①①①3.已知二次函数的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为(-1，0)，(3，0)．下列结论：①；①b-2a=0；①；①．其中正确的是( )A.①B.①①C.①①D.①①4.已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；①2a+b=0；①；①．其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个 5.抛物线的顶点为D(-1，2)，与x 轴的一个交点A 在点(-3，0)和(-2，0)之间，其部分图象如图．则以下结论：①；①；①c -a=2；①方程有两个相等的实数根．其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个 6.已知二次函数的图象经过()，(2，0)两点，且，图象与y 轴正半轴的交点在(0，2)的下方．则下列结论：①；①；①；①．其中正确的是( )A.①①B.①①C.①①①D.①①①①二次函数与一元二次方程（讲义）➢ 课前预习1. 学习一次函数与二元一次方程（组）的关系时，有以下结论：两个一次函数交点的坐标即为对应的二元一次方程组的解．如：已知方程组3302360y x y x -+=⎧⎨+-=⎩的解为431x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则一次函数y =3x -3与332y x =-+的交点P 的坐标是________．请思考：一元二次方程20ax bx c ++=的根，可否看作是二次函数2y ax bx c =++与x 轴交点的横坐标，即方程组20y ax bx cy ⎧=++⎨=⎩的解中x 的值.2. 两函数值比大小主要是借助数形结合，通过找交点、画直线、定左右来确定取值范围．比如：（1）如图所示，函数y 1=|x |和21433y x =+的图象相交于(-1，1)，(2，2)两点．当y 1＞y 2时，x 的取值范围是（ ）A ．x ＜-1B ．-1＜x ＜2C ．x ＞2D ．x ＜-1或x ＞2（2）如图，函数11y x=与22y k x =的图象相交于点A (1，2)和点B ，当y 1＜y 2时，x 的取值范围是（）A ．x ＞1B ．-1＜x ＜0C ．-1＜x ＜0或x ＞1D ．x ＜-1或0＜x ＜1知识点___________是研究函数、方程、不等式等的一种重要手段． 1. 方程的根是对应的两个____________交点的___________．特别地，一元二次方程ax 2+bx +c =0的根是二次函数________的图象与________交点的横坐标，当0Δ>时，二次函数图象与x 轴有________个交点；当0Δ=时，与x 轴有_____个交点；当<0Δ时，与x 轴______交点．2. 函数间求交点坐标，函数值比大小等问题通常是借助数形结合，以构造的方法将函数问题转化为方程问题解决．➢ 精讲精练1. 如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴分别交于A (-1，0)，B (3，0)两点，与y 轴交于点C (0，-3)，一次函数3y x =-的图象与抛物线交于B ，C 两点．（1）一元二次方程ax 2+bx +c =0的根为______________． 当ax 2+bx +c ＞0时，x 的取值范围为______________． 当ax 2+bx +c ≤0时，x 的取值范围为______________． （2）方程23ax bx c x ++=-的根为_______________． 当___________时，一次函数值大于二次函数值． （3）该二次函数的表达式为__________________．2. （1）一元二次方程-x 2+8x -12=3的根为_____________，直线y =3与抛物线y =-x 2+8x -12的交点坐标为________，不等式-x 2+8x -12＞3的解集为_______________． （2）直线y =2x -1与抛物线y =x 2-x +1的交点坐标为________， 不等式x 2-x +1≥2x -1的解集为_________________．（3）若二次函数的图象经过点A (4，0)，B (-2，0)，C (0，4)，则该二次函数的表达式为___________． 3. 已知二次函数22y x x m =++的图象C 1与x 轴有且只有一个交点，则m 的值为______；若二次函数22y x x m =++的图象与坐标轴有三个交点，则m 的取值范围为_________；若22y x x m =++的函数值总为正数，则图象顶点在第____象限，m 的取值范围是_________．4. 若二次函数2(1)2y m x x =-+的图象与直线1y x =-没有交点，则m 的取值范围是________．5. 如图，二次函数2y ax bx =+与反比例函数ky x=-的图象交于一点P ，那么关于x 的方程20kax bx x++=的解为________；若一元二次方程20ax bx m ++=有实数根，则m 的取值范围为__________．6. 用“描点法”画二次函数2y ax bx c =++的图象时，列了如下表格：根据表格上的信息回答问题：一元二次方程5ax bx c ++=-的解为_____________．7. 设一元二次方程(1)(2)x x m --=（0m >）的两根分别为α，β，且αβ<，则α，β满足（ ）A ．12αβ<<<B ．12αβ<<<C ．12αβ<<<D ．1α<且2>β 8. 已知二次函数()()1y x m x n =--+（m n <）的图象与x 轴交于A (x 1，0)，B (x 2，0)两点，且12x x <，则实数x 1，x 2，m ，n 的大小关系为_______________________．9. 若关于x 的一元二次方程(2)(3)x x m --=有实数根12x x ，，且12x x ≠，有下列结论：①1223x x ==，；②14m >-；③二次函数12()()y x x x x m =--+的图象与x 轴交点的坐标为(2，0)和(3，0)．其中正确的是__________．10. 已知抛物线y =x 2-(4m +1)x +2m -1与x 轴交于两点，如果有一个交点的横坐标大于2，另一个交点的横坐标小于2，并且抛物线与y 轴的交点在点(0，12-)的下方，那么m 的取值范围是__________． 11. 已知抛物线y =x 2+bx +c 的对称轴为直线x =1，若关于x 的一元二次方程x 2-bx -c =0在-3＜x ＜2的范围内有解，则c 的取值范围是（ ）A ．c ≥-1B ．-1≤c ＜3C ．3＜c ＜8 D．-1≤c ＜812. 函数2y x x m =-+（0m >）的图象如图所示，如果x a =时0y <，那么1x a =-时，函数值（ ）A ．0y <B ．0y m <<C ．y m >D ．y m =13. 已知二次函数，当自变量x 取m 时，对应的函数值大于0，当自变量x 分别取m -1，m +1时，对应的函数值分别为y 1，y 2，则y 1_____0，y 2_____0．（选填“＞”“＜”）14. 已知二次函数2y x bx c =++，当x ≤1时，总有y ≥0，当1≤x ≤3时，总有y ≤0，那么c 的取值范围是_______________．随堂测试1. 如图，抛物线y =x 2+1与双曲线的交点A 的横坐标是2，则关于x 的不等式的解集是（ ）A ．x ＞2B ．x ＜-2C ．0＜x ＜2D ．-2＜x ＜0 2. 已知二次函数y =x 2-4x +a ，下列说法错误的是（ ）A ．当x ＜1时，y 随x 的增大而减小B ．若图象与x 轴有交点，则a ≤4C ．当a =3时，不等式x 2-4x +a ＜0的解集是1＜x ＜3D ．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(1，-2)，则a =33. 已知二次函数y =-(x -m )(x -n )-2（m ＜n ）的图象与x 轴交于A (x 1，0)，B (x 2，0)两点，且x 1＜x 2，则实数x 1，x 2，m ，n 的大小关系为___________________．215y x x =-+-k y x =210kx x++<作业1. 二次函数y =x 2-2x -3的图象如图所示，当时，自变量x 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．或第1题图 第2题图 2. 二次函数（a ≠0）的图象如图所示，若（k ≠0）有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．3. 抛物线的部分图象如图所示，若，则x 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．或D ．或第3题图 第4题图4. 函数的图象如图所示，根据该图象提供的信息，可求得使成立的x 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．或5. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（ ）A ．B ．C ．D ．第5题图 第6题图6. 如图，若抛物线与双曲线的交点A 的横坐标为1，则关于x 的不等式的解集是（ ）0y <13x -<<1x <-3x >1x <-3x>2y ax bx c =++20ax bx c k +++=3k <-3k >-3k <3k >c bx x y ++-=20>y 14<<-x 13<<-x 4x <-1>x 3-<x 1>x222y x x =--1y ≥13x -≤≤31<<-x 13x x <->或1x -≤3x ≥2y ax bx c =++20ax bx c ++<15x -<<5x >15x x <->且15x x <->或21y x =+k y x =210k x x++<A ．B ．C ．D ．7. 坐标平面上，若平移二次函数y =2(x -175)(x -176)+6的图象，使其与x 轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式可为下列哪一种（ ） A ．向上平移3个单位 B ．向下平移3个单位C ．向上平移6个单位D ．向下平移6个单位8. 设一元二次方程（）的两根分别为α，β，且，则α，β，1，3之间的大小关系为___________；的解集为_____________．9. 若二次函数的图象与直线没有交点，求的取值范围．10. 已知P (-3，m )和Q (1，m )是抛物线上的两点．（1）求b 的值；（2）将抛物线的图象先向上平移2个单位，再向左平移1个单位，请判断新抛物线与x 轴的交点情况．11. 已知二次函数的图象C 1与x 轴有且只有一个交点，则C 1的顶点坐标为__________．12. 若关于x 的一元二次方程无实数根，则函数的图象顶点在第______象限．13. 抛物线上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：①一元二次方程的根为_________________．②抛物线经过点(-3，_____)；③在对称轴右侧，y 随x 的增大而_________．（2）确定抛物线的解析式，并求出该函数的最值．1x >1x <-01x <<10x -<<(1)(3)x x k --=0k <αβ<(1)(3)x x k --<2(2)y m x x =-+21y x =-m 221y x bx =++221y x bx =++m x x y ++=2220x x n --=n x x y --=22y ax bx c =++0ax bx c ++=2y ax bx c =++。