平面解析几何经典题(含答案)
高考数学压轴专题衡水备战高考《平面解析几何》经典测试题及答案解析
数学《平面解析几何》复习资料
一、选择题
1．已知点P 是椭圆22
221(0,0)x y a b xy a b
+=>>≠上的动点，1(,0)F c -、2(,0)F c 为椭圆
的左、右焦点，O 为坐标原点，若M 是12F pF ∠的角平分线上的一点，且F 1M ⊥MP ，则|OM|的取值范围是( ) A ．(0,)c B ．(0,)a
C ．(,)b a
D ．(,)c a
【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
解：如图，延长PF 2，F 1M ，交与N 点，∵PM 是∠F 1PF 2平分线，且F 1M ⊥MP ， ∴|PN|=|PF 1|，M 为F 1F 2中点，
连接OM ，∵O 为F 1F 2中点，M 为F 1F 2中点 ∴|OM|=|F 2N|=||PN|﹣|PF 2||=||PF 1|﹣|PF 2|| ∵在椭圆
中，设P 点坐标为（x 0，y 0）
则|PF 1|=a+ex 0，|PF 2|=a ﹣ex 0，
∴||PF 1|﹣|PF 2||=|a+ex 0+a ﹣ex 0|=|2ex 0|=|ex 0| ∵P 点在椭圆上，
∴|x 0|∈（0，a]，
又∵当|x 0|=a 时，F 1M ⊥MP 不成立，∴|x 0|∈（0，a ） ∴|OM|∈（0，c ）． 故选A ．
2．已知直线21y kx k =++与直线1
22
y x =-
+的交点位于第一象限，则实数k 的取
值范围是（ ）
A ．12
k >
B ．16k <-
或1
2
k > C ．62k -<< D ．11
平面解析几何经典题(含答案)
平面解析几何
一、直线的倾斜角与斜率
1、直线的倾斜角与斜率
（1）倾斜角的范围00
0180
（2）经过两点的直线的斜率公式是
（3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率
2.两条直线平行与垂直的判定
（1）两条直线平行
对于两条不重合的直线l1,l2，其斜率分别为k1,k2，则有l1//l2k1k2。特别地，
当直线l1,l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为平行。
（2）两条直线垂直
如果两条直线l1,l2斜率存在，设为k1,k2，则l1l2k1k21
注：两条直线l1,l2垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率
之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果l1,l2中
有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1与l2互相垂直。
二、直线的方程
1、直线方程的几种形式
名称方程的形式已知条件局限性
点斜式
不包括垂直于x轴的直线为直线上一定点，k为斜率
斜截式k为斜率，b是直线在y轴上的截距不包括垂直于x轴的直线
两点式
不包括垂直于x轴和y轴的是直线上两定点
直线
截距式a是直线在x轴上的非零截距，b是直不包括垂直于x轴和y轴或
线在y轴上的非零截距过原点的直线
一般式A，B，C为系数无限制，可表示任何位置的
直线
三、直线的交点坐标与距离公式
三、直线的交点坐标与距离公式
3.两条直线的交点
设两条直线的方程是，两条
直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条
直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平
行；反之，亦成立。
平面解析几何经典题含答案
平面解析几何
一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率
（1）倾斜角α的范围00
0180α≤<
（2）经过两点
的直线的斜率公式是
（3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定
（1）两条直线平行
对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ⇔=。特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。
（2）两条直线垂直
如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥⇔=-g
注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。
二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件
局限性
点斜式
为直线上一定点，k 为
不包括垂直于x 轴的
斜率直线
斜截式k为斜率，b是直线在y轴上的
截距
不包括垂直于x轴的
直线
两点式是直线上两
定点
不包括垂直于x轴和y
轴的直线
截距式a是直线在x轴上的非零截距，
b是直线在y轴上的非零截距
不包括垂直于x轴和y
轴或过原点的直线
一般式A，B，C为系数无限制，可表示任何
位置的直线
三、直线的交点坐标与距离公式
三、直线的交点坐标与距离公式
1.两条直线的交点
设两条直线的方程是，两条直
线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两
平面解析几何经典例题(直线与圆)
（一）直线的倾斜角与斜率经典例题
例1．已知直线的倾斜角的变化范围为，求该直线斜率的变化范围；
思路点拨：已知角的范围，通过正切函数的图像，可以求得斜率的范围，反之，已知斜率的范围，通过正切函数的图像，可以求得角的范围
解析：∵，
∴．
总结升华：
在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围，或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范
围时，可利用在和上是增函数分别求解.当时，；
当时，；当时，；当不存在时，.反之，亦成立.
类型二：斜率定义
例2．已知△ABC为正三角形，顶点A在x轴上，A在边BC的右侧，∠
BAC的平分线在x轴上，求边AB与AC所在直线的斜率.
思路点拨：
本题关键点是求出边AB与AC所在直线的倾斜角，利用斜率的定义求出
斜率.
解析：
如右图，由题意知∠BAO=∠OAC=30°
∴直线AB的倾斜角为180°-30°=150°，直线AC的倾斜角为30°，
∴k AB=tan150°=k AC=tan30°=
总结升华：
在做题的过程中，要清楚倾斜角的定义中含有的三个条件①直线向上方向②轴正向③小于的角，只有这样才能正确的求出倾斜角.
类型三：斜率公式的应用
例3．求经过点，直线的斜率并判断倾斜角为
锐角还是钝角．
思路点拨：已知两点坐标求斜率，直接利用斜率公式即可.
解析：
且，
经过两点的直线的斜率，
即． 即当时，
为锐角，当
时，
为钝角．
例4、过两点，的直线的倾斜角为，求的
值．
【答案】 由题意得： 直线的斜率
，
故由斜率公式，
解得或
．
经检验不适合，舍去.
故． 例5．已知三点A(a ，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a 的值．
平面几何练习题及解答
平面几何练习题及解答
一、直线与角度
1. 给定一条直线L1和两条直线L2和L3，若L1与L2垂直，L2与L3平行，则L1与L3之间的夹角为多少度？
解答：
由于L1与L2垂直，可得出L2的斜率为无穷大，即L2为竖直线。
而L2与L3平行，说明它们具有相同的斜率。
因此，L3的斜率也为无穷大，即L3也是竖直线。
由此可知，L1与L3之间的夹角为90度。
2. 给定一条直线L和两点A、B，若L与AB的垂线相交于点M，且角AMB为40度，则角LMA的度数是多少？
解答：
由垂线的性质可得出，角LMA与角AMB互补，它们的度数和为90度。
已知角AMB为40度，因此角LMA的度数为90度减去40度，即50度。
二、三角形
3. 已知三角形ABC，其中∠B = 90度，AB = 3 cm，BC = 4 cm，求AC的长度。
解答：
根据勾股定理可得：
AC² = AB² + BC²
AC² = 3² + 4²
AC² = 9 + 16
AC² = 25
AC = √25
AC = 5 cm
4. 已知三角形ABC，其中AB = 6 cm，BC = 8 cm，AC = 10 cm，求∠B的度数。
解答：
根据余弦定理可得：
BC² = AB² + AC² - 2 * AB * AC * cosB
8² = 6² + 10² - 2 * 6 * 10 * cosB
64 = 36 + 100 - 120 * cosB
64 = 136 - 120 * cosB
120 * cosB = 136 - 64
120 * cosB = 72
cosB = 72 / 120
高考数学总复习核心突破平面解析几何8
)
【答案】A
3.过点A(3,2)且与直线2x-y+3=0垂直直线方程
是 x+2y-7=0 .
第1页
题型2.直线与圆位置关系
4.过点P(2,0)且与圆x2+y2+2x-4y+1=0相切直线方程
为 y=0 或 y=- (x-2).
5.圆x2+y2+2x+6y+9=0圆心到直线3x-4y=4距离
8.8 平面解析几何经典题型
题型1.求直线方程
1.过点P(-3,2)、Q(4,5)直线方程是 (
)
A.7x-3y+23=0
B.3x-7y+23=0
C.7x-3y-7=0
D.3x-7y-7=0
【答案】B
2.过点(0,-1)且平行于直线2x+y-1=0直线方程是(
A.2x+y+1=0 B.2x+y=0
C.x-2y+2=0
第9页
12.以椭圆 + =1 的左焦点为焦点的抛物线的标准方程是(
A.x2=4y
B.x2=-4y
C.y2=-4x
)
D.y2=2x
【答案】C
13.已知双曲线经过点(2,- ) ,且焦点在 x 轴上,渐近线方程是
平面解析几何经典题(含答案)
平面解析几何
一、直线的倾斜角与斜率
1、直线的倾斜角与斜率
（1）倾斜角α的范围000180α≤<
（2）经过两点的直线的斜率公式
是
（3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率
2.两条直线平行与垂直的判定
（1）两条直线平行
对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ⇔=。特别地，
当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。
（2）两条直线垂直
如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥⇔=-g
注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率
之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。
二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称
方程的形式 已知条件 局限性 点斜式
为直线上一定点，k 为斜率 不包括垂直于x 轴的直线 斜截式
k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距 不包括垂直于x 轴的直线 两点式
是直线上两定点
不包括垂直于x 轴和y 轴的
直线
截距式
a 是直线在x 轴上的非零截距，
b 是直线在y 轴上的非零截距 不包括垂直于x 轴和y 轴或过原点的直线
一般式A，B，C为系数无限制，可表示任何位置的
直线
三、直线的交点坐标与距离公式
三、直线的交点坐标与距离公式
1.两条直线的交点
设两条直线的方程是，两条
直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条
(完整版)平面解析几何(经典)习题.docx
平面解析几何（经典）练习题
一、选择题
1．方程 x 2 + 6xy + 9y 2 + 3x + 9y –4 =0 表示的图形是
（
）
A ． 2 条重合的直线
B ． 2 条互相平行的直线
C ．2 条相交的直线
D ． 2 条互相垂直的直线
2．直线 l 1 与 l 2 关于直线 x +y = 0 对称， l 1 的方程为 y = ax + b ，那么 l 2 的方程为
（ ）
A ． y
x b
x b C ． y x 1 x
b
a
B ． y
a
a
a b
D ． y
a
a
3．过点 A(1,－ 1)与 B(－ 1， 1)且圆心在直线 x+y －2=0 上的圆的方程为
（
）
A ． (x － 3)2+(y ＋ 1)2=4
B ． (x ＋ 3)2+( y － 1)2=4
C ．4(x ＋ 1)2+( y ＋ 1)2=4
D ． (x － 1)2+(y － 1)2
=
4．若 A(1 ， 2)， B( － 2， 3)， C(4， y)在同一条直线上，则 y 的值是
（
）
1
B ．
3
C ． 1
D ．－ 1
A ．
2
2
5．圆 x 2
y 2 2x 3与直线 y
ax
1 的交点的个数是
（
）
A ． 0 个
B ． 1 个
C ．2 个
D ．随 a 值变化而变化
6．已知半径为
1 的动圆与定圆 ( x
5) 2 ( y
7) 2 16 相切，则动圆圆心的轨迹方程是
（
）
A ． (x 5)2 ( y 7) 2 25
B ． (x 5)2 ( y 7) 2 3 或 ( x 5)2
( y 7) 2 15
C ． (x 5)2
( y 7) 2
9
D ． (x 5)2 ( y 7) 2 25 或 (x 5)2 ( y 7) 2
解析几何经典练习题(含答案)
解析几何经典练习题(含答案)题目一：
已知平面直角坐标系中两点A（-3，4）和B（5，-2），求直
线AB的斜率和方程。
解答：
直线AB的斜率可以使用斜率公式计算：
斜率 = (y2 - y1) / (x2 - x1)
其中，A的坐标为(x1, y1) = (-3, 4)，B的坐标为(x2, y2) = (5, -2)。
斜率 = (-2 - 4) / (5 - (-3)) = -6 / 8 = -3/4
直线AB的方程可以使用点斜式来表示：
y - y1 = m(x - x1)
其中，m为斜率，(x1, y1)为直线上的任意一点。
将斜率和点A的坐标代入得到方程：
y - 4 = (-3/4)(x + 3)
化简得到直线AB的方程为：
4y - 16 = -3x - 9
整理得到标准形式方程：
3x + 4y = 7
答案：直线AB的斜率为 -3/4，方程为 3x + 4y = 7。
题目二：
已知直线L的斜率为2，经过点A（3，-1），求直线L的方程。
解答：
直线L的方程可以使用点斜式来表示：
y - y1 = m(x - x1)
其中，m为斜率，(x1, y1)为直线上的任意一点。将斜率和点A的坐标代入得到方程：
y - (-1) = 2(x - 3)
化简得到直线L的方程为：
y + 1 = 2x - 6
整理得到标准形式方程：
2x - y = 7
答案：直线L的方程为 2x - y = 7。
题目三：
已知直线L的方程为 3x + y = 5，求直线L的斜率和经过点A （2，-1）的方程。
解答：
直线L的斜率可以从方程的标准形式中直接读取：
平面解析几何经典题含答案
平面解析几何
一、直线的倾斜角及斜率
1、直线的倾斜角及斜率
（1）倾斜角α的范围000
180α≤< （2）经过两点
的直线的斜率公式是
（3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率
2.两条直线平行及垂直的判定
〔1〕两条直线平行
对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，那么有
1212//l l k k ⇔=。特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为
平行。
〔2〕两条直线垂直
如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，那么12121l l k k ⊥⇔=-
注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正
确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，
另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。
二、直线的方程
1、直线方程的几种形式 名称 方程的形式 条件 局限性
点斜式为直线上一定点，k
为斜率不包括垂直于x轴的直线
斜截式k为斜率，b是直线在y轴上
的截距不包括垂直于x轴的直线
两点式是直线上两
定点不包括垂直于x轴与y轴的直线
截距式a是直线在x轴上的非零截
距，b是直线在y轴上的非零
截距不包括垂直于x轴与y轴或过原点的直线
一般式A，B，C为系数无限制，可表示任何
位置的直线
三、直线的交点坐标及距离公式
三、直线的交点坐标及距离公式
设两条直线的方程是
，两条直线的交点坐
标就是方程组的解，假设方程组有唯一解，那么
这两条直线相交，此解就是交点的坐标；假设方程组无解，那么两条
平面解析几何 经典习题(含答案
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平面解析几何
一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率
（1）倾斜角α的范围00
0180α≤<
（2）经过两点的直线的斜率公式是
（3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定
（1）两条直线平行
对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ⇔=。特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。
（2）两条直线垂直
如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥⇔=-
注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。 二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件
局限性
点斜式
为直线上一定点，k 为斜
率
不包括垂直于x 轴的直线
斜截式
k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距
不包括垂直于x 轴的直线
两点式
是直线上两定
点
不包括垂直于x 轴和y 轴的直线
截距式
a 是直线在x 轴上的非零截距，
b 是直线在y 轴上的非零截距
不包括垂直于x 轴和y 轴或过原点的直线 一般式
A ，
B ，
C 为系数
无限制，可表示任何位置的直线
三、直线的交点坐标与距离公式 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是
，两条直线的交点坐
高考数学压轴专题最新备战高考《平面解析几何》经典测试题附答案
【高中数学】数学《平面解析几何》试卷含答案
一、选择题
1．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上，
12AB F F ⊥于2F ，4AB =
，12F F = ）
A ．2
213x y +=
B ．22132x y +=
C ．22196x y +=
D ．22
1129
x y +=
【答案】C 【解析】 【分析】
利用椭圆的性质，根据4AB =
，12F F =
c =2
2 4b a
=，求解a ，b 然后
推出椭圆方程． 【详解】
椭圆22
22 10x y a b a b +=>>（）
的焦点分别为1F ，2F ，点A ，B 在椭圆上， 12AB F F ⊥于2F ，4AB =
，12F F =
c =
，2
2 4b a
=， 222c a b =-，解得3a =
，b =，
所以所求椭圆方程为：22
196
x y +=，故选C ．
【点睛】
本题主要考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的求法，是基本知识的考查．
2．已知直线21y kx k =++与直线1
22
y x =-+的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．1
2
k >
B ．16k <-
或1
2
k > C ．62k -<< D ．1162
k -
<< 【答案】D 【解析】 【分析】
联立21
1
22y kx k y x =++⎧⎪⎨=-+⎪⎩
，可解得交点坐标(,)x y ，由于直线21y kx k =++与直线1
22y x =-+的交点位于第一象限，可得00x y >⎧⎨>⎩
平面解析几何 经典题(含答案)
平面解析几何
一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率
（1）倾斜角α的范围00
0180α≤<
（2）经过两点
的直线的斜率公式是
（3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定
（1）两条直线平行
对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ⇔=。特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。
（2）两条直线垂直
如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥⇔=-
注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。 二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称 方程的形式
已知条件
局限性
点斜式
为直线上一定点，k 为斜率
不包括垂直于x 轴的直线 斜截式
k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距
不包括垂直于x 轴的直线
两点式是直线上两定点不包括垂直于x轴和y轴的
直线
截距式a是直线在x轴上的非零截距，b是直
线在y轴上的非零截距
不包括垂直于x轴和y轴或
过原点的直线
一般式A，B，C为系数无限制，可表示任何位置的
直线
三、直线的交点坐标与距离公式
三、直线的交点坐标与距离公式
1.两条直线的交点
设两条直线的方程是，两条
直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条
平面解析汇报几何经典题(含答案)
平面解析几何
一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率
（1）倾斜角α的范围00
0180α≤<
（2）经过两
点的直线的斜率公式
是
（3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定
（1）两条直线平行
对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ⇔=。特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。
（2）两条直线垂直
如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥⇔=-
注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。 二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称 方程的形式
已知条件
局限性
点斜式
为直线上一定点，k 为斜率
不包括垂直于x 轴的直线 斜截式
k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距
不包括垂直于x 轴的直线 两点式
是直线上两定点
不包括垂直于x 轴和y 轴的直线
截距式
a 是直线在x 轴上的非零截距，
b 是直不包括垂直于x 轴和y 轴或
线在y 轴上的非零截距
过原点的直线
一般式
A ，
B ，
C 为系数
无限制，可表示任何位置的直线
三、直线的交点坐标与距离公式 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点
设两条直线的方程是
，两条
直线的交点坐标就是方程组
平面解析几何 经典习题(含答案
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平面解析几何
一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率
（1）倾斜角α的范围00
0180α≤<
（2）经过两点的直线的斜率公式是
（3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定
（1）两条直线平行
对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ⇔=。特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。
（2）两条直线垂直
如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥⇔=-
注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。 二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件
局限性
点斜式
为直线上一定点，k 为斜
率
不包括垂直于x 轴的直线
斜截式
k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距
不包括垂直于x 轴的直线
两点式
是直线上两定
点
不包括垂直于x 轴和y 轴的直线
截距式
a 是直线在x 轴上的非零截距，
b 是直线在y 轴上的非零截距
不包括垂直于x 轴和y 轴或过原点的直线 一般式
A ，
B ，
C 为系数
无限制，可表示任何位置的直线
三、直线的交点坐标与距离公式 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是
，两条直线的交点坐
平面解析几何 经典题(含答案)
平面解析几何
一、直线的倾斜角与斜率
1、直线的倾斜角与斜率
（1）倾斜角α的范围000180α≤<
（2）经过两点的直线的斜率公式是
（3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率
2.两条直线平行与垂直的判定
（1）两条直线平行
对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ⇔=。特别地，
当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。
（2）两条直线垂直
如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥⇔=-
注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率
之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。
二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称
方程的形式 已知条件 局限性 点斜式
为直线上一定点，k 为斜率 不包括垂直于x 轴的直线 斜截式
k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距 不包括垂直于x 轴的直线 两点式
是直线上两定点
不包括垂直于x 轴和y 轴的
直线
截距式
a 是直线在x 轴上的非零截距，
b 是直线在y 轴上的非零截距 不包括垂直于x 轴和y 轴或过原点的直线
一般式
A ，
B ，
C 为系数 无限制，可表示任何位置的直线 三、直线的交点坐标与距离公式
三、直线的交点坐标与距离公式
1.两条直线的交点
设两条直线的方程是，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。
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平面解析几何
一、直线的倾斜角与斜率
1、直线的倾斜角与斜率
（1）倾斜角的范围
0 180
（2）经过两点的直线的斜率公式是
（3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率
2.两条直线平行与垂直的判定
（1）两条直线平行
对于两条不重合的直线l1,l2 ，其斜率分别为k1, k2 ，则有 l1 / /l2 k1 k2 。特别地，
当直线 l1,l2 的斜率都不存在时，l1与l2 的关系为平行。
（2）两条直线垂直
如果两条直线l1,l2 斜率存在，设为k1, k2 ，则l1 l2 k1 k2 1
注：两条直线l1 ,l2 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率
之积为 -1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果 l1,l2 中
有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0 时， l1与l2 互相垂直。
二、直线的方程
1、直线方程的几种形式
名称方程的形式已知条件局限性
点斜式
不包括垂直于x 轴的直
线为直线上一定点，k 为斜率
斜截式k 为斜率， b 是直线在y 轴上的截距不包括垂直于x 轴的直线两点式
不包括垂直于x 轴和 y
轴的是直线上两定点
直线
截距式 a 是直线在x 轴上的非零截距， b 是直不包括垂直于x 轴和 y 轴或
线在 y 轴上的非零截距过原点的直线
一般式 A ，B，C 为系数无限制，可表示任何位置的
直线
三、直线的交点坐标与距离公式
三、直线的交点坐标与距离公式
1.两条直线的交点
设两条直线的方程是，两条
直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条
直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平
行；反之，亦成立。
2.几种距离
（1 ）两点间的距离平面上的两点间的距离公式
（2）点到直线的距离
点到直线的距离；
（3）两条平行线间的距离
两条平行线间的距离
注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；
（2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用
公式计算
（二）直线的斜率及应用
利用斜率证明三点共线的方法：
已知A(x , y ), B(x , y ), C (x , y ), 若 x
1 x
2 x3或k AB k AC ，则有 A 、B、
C 三点共
1 1
2 2
3 3
线。
注：斜率变化分成两段，
90 是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论
。 直线的参数方程
〖例 1〗 已知直线的斜率 k=-cos
( ∈R).求直线的倾斜角
的取值范围。
思路解析： cos 的范围斜率 k 的范围t an 的范围倾斜角 的取值范围。
〖例 2〗设a , b, c 是互不相等的三个实数， 如果
3 3 3
A(a, a )、 B(b,b )、C(c, c ) 在同一直线
上，
求证：
a b c 0
思路解析： 若三点共线，则由任两点所确定的直线斜率相等或都不存在。
〖例 3〗 已知点 M （ 2，2）， N （5，-2），点 P 在 x 轴上，分别求满足下列条件的
P 点坐标。
（1）∠ MOP= ∠OPN （O 是坐标原点） ； （2）∠ MPN 是直角。 思路解析： ∠MOP=∠OPN OM//PN ，∠ MPN 是直角
MP
NP ，故而可利用两直线平
行和垂直的条件求得。
注：（1）充分掌握两直线平行的条件及垂直的条件是解决本题的关键， 对于斜率都存在且不
重合的两条直线 l 和 l 2 ，
。若有一条
直线 1
的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注
意
〖例4〗求过点
P（2，-1），在x 轴和y 轴上的截距分别为a、b,且满足
a=3b 的直线方程。
思路解析：对截距是否为0 分类讨
论设出直线方程代入已知条件求解得直线方程。
（二）用一般式方程判定直线的位置关系
两条直线位置关系的判定
已知直线l1 : A1 x B1 y C1
0 ，
l2 : A2x B2y C2 0，则
（1）
l l A B A B AC A C B C B C
/ / 0且0(或
0) 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1
2 2 1
A B C
1 1 1
或记为：( A 、B 、C 不为0).
2 2 2
A B C
2 2 2
（2） l1 / /l2 A1A2 B1B2 0.
（3）l1 与l2 重合A1B2 A2B1 0 且A1C2 A2C1 0 ( 或B1C2 B2C1 0 ) 或记为
A B C
（
A1 B C
1 1
（4）
〖例5〗已知直线l1 : ax 2y 6 0 和直线
2
l2 : x (a 1)y a 1
，（1）试判断
l1与l
2
是否平行；（2） l1 ⊥l
2 时，求a的值。
思路解析：可直接根据方程的一般式求解，也可根据斜率求解，所求直线的斜率可能不存在，故应按
l2 的斜率是否存在为分类标准进
行分类讨
论
。