李尚志_线性代数_勘误
成人高考专升本的参考书目推荐
成人高考专升本的参考书目推荐一、数学类1.《高等数学》（第七版）陈纪修、杨立新、周立宏著该书为成人高考专升本考生提供了全面的高等数学知识，内容分析透彻，涵盖了线性代数、概率统计、数学分析等重点内容。
配有丰富的例题和习题，便于考生进行实践练习。
2.《线性代数》（第九版）李尚志著这本教材系统地介绍了线性代数的基础知识和方法，包括向量空间、矩阵和行列式、特征值与特征向量等。
书中理论与实例结合，适合成人高考专升本考生掌握线性代数的基本概念和解题技巧。
二、英语类1.《大学英语四级考试·完全突破》刘洪波著考生可以通过阅读这本书来提高英语听、说、读、写的综合能力，适用于成人高考专升本英语科目的备考和自学。
2.《剑桥商务英语(BEC) Vantage官方指南》剑桥大学出版社作为成人高考专升本英语科目备考的参考资料，该书全面介绍商务英语的知识和应用，帮助考生掌握商务交流、商务写作等技巧。
三、专业课1.《财务会计》（第七版）李晓霞、林焕勇著这本教材详细讲解了财务会计的基本原理和操作方法，适合成人高考专升本财经类专业的考生。
书中配有大量案例和习题，帮助考生巩固所学知识。
2.《法律基础》范文枫、钟源著该书系统地介绍了法律基础的内容，包括宪法、民法、刑法等方面的知识，适用于成人高考专升本法学类专业考生备考使用。
四、综合类1.《历史纲要》钱穆著这本书是一本系统介绍中国历史的教材，适用于成人高考专升本考生备考中国历史科目。
2.《现代汉语词典》商务印书馆一本权威的汉语词典，考生可以使用该书来查询汉字的读音、字义和用法，提高汉语水平。
以上推荐的书目只是提供给考生参考，考生也可以根据自身的专业或者兴趣选择其他相关的参考书。
除了阅读书籍，考生还应积极参加模拟考试和真题练习，不断提升自己的学习和应试能力。
祝愿广大成人高考专升本考生取得优异成绩！。
“线性代数”教学改革的实践和思考
“线性代数”教学改革的实践和思考作者：王军霞郭艳凤来源：《教育教学论坛》2023年第27期［摘要］从“线性代数”课程的内容特点和教学现状以及中国地质大学的办学特色出发，在教学内容方面，除了重视基础理论以外，提出了加强代数与几何的联系、重视应用实例在引入新教学内容时的作用，以及强调矩阵初等变换和向量组理论的重要性等举措。
在教学方法和教学手段方面，从渗透数学思想方法、加强与高等数学的联系、善于类比和联系以及积极开展第二课堂等方面进行教学改革，以期增强教学效果，进而提高学生的学习兴趣，锻炼学生解决实际问题的能力，提升学生的数学素养。
［关键词］线性代数；教学内容；教学方法和教学手段［基金项目］ 2020年度中国地质大学（武汉）教改项目“线性代数金课建设”（2020G24）；2022年度高等学校大学数学教学研究中心项目“面向新时代地质创新育人的大学数学课程教学新模式的研究与实践”（CMC202202预02）［作者简介］王军霞（1977—），女，河南南阳人，理学博士，中国地质大学（武汉）数学与物理学院副教授，主要从事有限群表示论研究；郭艳凤（1976—），女，河南新乡人，理学博士，中国地质大学（武汉）数学与物理学院教授（通信作者），主要从事偏微分方程理论研究。
［中图分类号］ G642.0 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-9324（2023）27-0017-04 ［收稿日期］ 2022-08-12“线性代数”课程是理工科乃至某些文科专业的一门重要基础理论课，具有逻辑严密、高度抽象、符号独特、应用广泛等特点，其理论知识也是做离散化处理的重要基础。
因此，线性代数理论是学生将来从事各项科学研究所必须具备的数学基础，其中蕴含的数学思想和理论方法也是理工科学生学习后续课程的基础。
一、“线性代数”的内容特点与教学现状“线性代数”课程的主要内容包括行列式、矩阵、线性方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵与二次型等基本理论知识，其教学内容承前启后，语言论述严谨科学，逻辑推理环环相扣，因此，一些学生学习时感到概念抽象、内容繁杂，学习上存在较大困难。
线性代数精彩应用案例_之一_
1 斐波那契数列
例 1 数列 F1 , F2 , , Fn , 如果 = Fn- 1 + Fn- 2 ( 对所有的正整数 n 3) , 就称为斐波那契( F ibonacci) 数列. 试求斐波那契数列的通项公式.
解 先求满足递推关系
an = an- 1 + an- 2
Fn=
qn2 q2 -
qn1 q1
=
n
n
1+ 5 2
-
1- 5 2
.
5
以上的解法的关键是: 满足条件( 1) 的两个等比数列{ an } , { bn} 之和{ cn } 仍然满足条件( 1) , ( 虽然
{ cn } 一般说来不再是等比数列) , 适当选择{ an } , { bn } 就可以使{ cn } 的前两项都等于 1. 实际上, 满足条件( 1) 的任意两个数列的和仍然满足条件( 1) , 满足条件( 1) 的任意一个数列{ an } 的
公式.
例 1 可以推广到更一般的情形:
问题 1 对任意给定的复数 b, c, 如果数列{ un} 满足条件
un = bun- 1 + c un- 2 ( n 3)
( 4)
并且已知这个数列的前两项 u1 , u2 , 求 un . 仍用 V 表示复数组成的全体数列{ an} 组成的复数域上线性空间. 则满足条件( 4) 的全体数列组成 V
列 , 与等比数列类似可以得到它的通项:
F n- 1 =
n- 1 = A n- 2 = A2 n- 3 =
Fn
= An- 2 1 = An- 2 F1 = An- 2 1 .
F2
1
只要算出了 An- 2 , 就能得到 F n . 为了算出 An- 2 , 利用矩阵相似的理论和方法, 先将 A 相似于尽可能
《线性代数》新教材精彩案例(之一)
２ 前
言（ ） 选
有人 说 ， 学 的永 恒 主题 是爱 与死 ． 文 数 学 的永 恒 主 题 是 什 么 ？ 问题 的 答 案 也 许 会 众 说 纷 纭 ， 且 随 着 科 学 的 发 展 而 不 断 变 化 ． 无 论 如 并 但 何 ， 以说 函数与 方程 是数 学 的重 要 主题 ， 少 是 中学 数学 与 大学 数学 的重 要 主题． 可 至
将 方程 组 （ 通过 一系 列初 等行变换 化成 三角形 ： Ｕ）
ｃ卜 ｂ — ＋ （ ） Ｕ ａ一 １， Ｃ ｂ＋ 口一 １， ＋ ６＋ ３ ａ一 １，
眼 ， 高实 现这 种转 化 的能 力 ， 提 这需 要在 长期 的实践 中努 力 ， 不是 仅 仅 通过 几 十 学 时 的课 堂 教 学 就 能做
到的． 是 ， 堂 教 学 至 少 应 当 让 学 生 有 一 个 良 好 的 开 端 和 正 确 的 前 进 方 向 ， 不 要 背 道 而 驰・ 但 课 而 ，
的连 续剧 ． 每个 故 事从 颇具 悬 念 的问题 开 始 ， 解决 问题 的过程 中将所 要学 习 的知识 一 步一 步“ 明” 在 发 出 来． 随着 剧情 的发 展 ， 知识 的 引入 如“ 随风潜 入 夜” 知识 的应用 如“ ， 润物 细无 声 ” 都成 为 自然 而然 的 了． ，
线性 代数 干什 么 ？“ 性 ” 线 就是 “ 次 ” 线 性代 数 的主 要 内容 就 是 研 究 多元 的一 次 方程 组 与 一 次 函 一 ． 数组 ． 次方程 组 也称 线性 方 程 组． 数 项 为 ０的 多 元 一 次 函数 Ｙ—ａ ＋ … ＋ａ ｚ 一 常 ｎ 称 为 线 性 函数 ． 个 元线 性 函数 组成 的函数组 Ｙ 一 ． ＋ … ＋ａ ． （ ≤ ｎ 称为 线性 变换 ． 学非 数学 专业 线 性代 ｚ １ ≤ ） ｚ 大
《线性代数》课程教学大纲
《线性代数》课程教学大纲Linear Algebra—、课程基本信息二、教学目标本课程以应用型人才的培养计划为LI标，以提高学生的数学素质、掌握线性代数的基本思想方法、基本讣算方法与培养学生的数学应用创新能力为教学LI标。
同时为学习后继课程和自我更新奠定必要的数学基础。
（一）知识LI标线性代数将使学生获得行列式、n维向量、矩阵、线性方程组、特征值和特征向量、二次型等相关的基本知识，同时接受基本运算技能的训练，为今后学习各类后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。
（二）能力LI标线性代数培养学生抽象思维能力和逻辑推理的理性思维能力，综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力以及较强的自主学习能力，进而培养学生的创新意识和能力。
（三）素质□标随着社会的发展，线性代数的内容更为丰富、方法更为综合、应用更为广泛。
线性代数不仅是一种工具，而且是一种思维模式；它不仅是一种知识, 而且是一种素养；它不仅是一种科学，而且是一种文化。
本课程将培养学生的思维能力、数学素养及数学文化，在应用型高素质人才培养中起到不可替代的作用。
培养学生科学思维的能力。
为今后学习各类后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。
三、基本要求本课程是理工等学科各专业的一门重要基础理论课程。
要求学生掌握行列式、n 维向量、矩阵、线性方程组、特征值和特征向量、二次型等基本知识和基本计算方法, 并能利用所学知识解决一些实际问题。
（-）了解克莱姆法则及应用；向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法; 初等矩阵的性质和矩阵等价的概念；线性方程组的基本概念；二次型秩的概念、二次型的标准型的概念及惯性定理。
（二）理解矩阵的等价、相似与合同，矩阵的初等变换和秩；向量的线性相关性, 极大无关组与向量组的秩；齐次线性方程组的基础解系，线性方程组的通解：矩阵的特征值与特征向量，矩阵的相似对角化；二次型与标准形。
（三）掌握矩阵与行列式的运算；向量组线性相关性的判定，向量组的极大无关组和秩的计算；线性方程组的解法；矩阵的特征值与特征向量的计算，矩阵的相似对角化的判定；化二次型为标准形的方法。
《线性代数》新教材精彩案例(之二)
（
程 组写 成 向量形 式
２ ） （ ） 解 得（一 （ ， 之 。 ）
。 ） ．
因此 ， ７ 点 （ ｙ ） 与 个 ｚ ， 总体 上最 接近 的直 线是 ｙ 一１ ０ ６ ３ ＋４ ８ ２ ． 一 ．４ ４ｘ ． １５ 例 ｌ中的方 程组 （ ． ） 例 ２中的（ ． 都 没有 确 精解 ， 它们 的近 似解 使 “ ３ １与 ３ １） 求 总体 误 差 ” 小 ． 方 最 将 ＋ 一ｃ 就化 成一 个几 何 问题 ： 口 一Ｏ ｎ 一Ｏ 所 生成 的平 面 丌上 求 一 ， 在 Ａ 与 Ａｚ
与 口 一Ｏ Ａ ＋ｈ ， ａ 求
（． ） ３ ２ 的几 何意 义是 ： 三维几 何 向量 ｃ ห้องสมุดไป่ตู้ 一 表 示 成 ｎ ＝
线性 组 合系数 ｋ ｂ Ｏ Ｏ ，． Ａ ， Ａ 的全体 实系 数线 性组 合０户 应 的点 Ｐ 组 成 过 ０， Ａ 对 Ａ ， 的平 面 丌 方 程 组 ．
函数 Ｙ一尼 ＋６近似地 表示 ． ｚ 待定 系数 ｋ ｂ 足方程 组 ，满
ｆｘｌ 一Ｙ１ ｋ ＋６ ，
； （ ． ３ １）
ｌ ｘ７ ｂ Ｙ ＋ — ７ ｋ
写 成 向 量 形 式 和 矩 阵 形 式 ， 别 是 分
忌 ＋ ｂ 一 Ｃ １ ａ２ ，
ＡＸ ＝ ｃ，
（ ． ３２）
ｄ。 （ ｘ１ ６ Ｙ１ ＋ … ＋ （ ｘ７ ６一 ７ 。 一 ｋ ＋ 一 ） ｋ ＋ ）
第 ４期
李 尚志 ：线性 代数 》 教 材 精彩 案例 （ 二 ） 《 新 之
７
取 最 小 值 ． 沿 用 例 １的 方 法 ， ＡＸ＝ｃ 边 同 时 左 乘 Ａ 得 到 ＡＴ Ｘ —Ａ Ｃ即 仍 将 两 Ａ
线性代数基础学习书单
线性代数基础学习书单线性代数是很传统的课程，国内还比较喜欢叫做高等代数，这就更加传统了。
一般地，在我们的高等代数里，除了线性空间外，还有大量的矩阵论，一点点多项式理论。
大致来说，线性代数可以从两个角度去看它，一是它的几何理论，即线性空间以及线性空间里的线性变换；二是代数方法，那就是矩阵论了。
“所谓线性代数学，就是或者直接研究线性空间的几何问题，或者将线性空间的一些几何问题化为化为矩阵问题。
所以线性空间理论和矩阵论实际上是相伴而生的。
”（许以超，线性代数与矩阵论（第二版）·序言，p.ii）至于多项式，在这里主要是一个将平面上的几何问题化为代数多项式问题来解决的方案，这是平面解析几何的问题。
那么，多项式要不要学，光是看看那么多线性代数教科书里都要包含一章来讲多项式，就知道答案是肯定的。
几何问题其实都可以是线性问题，这样，间接地，多项式也就跟线性代数挂上了钩。
不过，是否可以把多项式分出去就是一个值得考虑的问题了。
我觉得多项式还是不要放在线性代数课程中为好，一则费时，二则也讲不透。
事实上，很多老师会把本来放在前头的多项式挪到后面来讲，甚至干脆就不讲。
有一门课叫做“整数与多项式”，不过现在很少在大学课堂里出现了。
整数理论是属于数论的，但加减乘除跟多项式是一样的，比较一下算术基本定理和代数基本定理就知道了。
另外，多项式其实也不是一个简单的问题，更不只限于跟整数挂钩。
在多项式环中，我们有带余除法，若表示为分式，就扩展到有理域了，更进一步，我们去求根的话，那就有实根甚至复根，再则，还有多元多项式的问题。
这显然不是在一本线性代数教科书的一章之内就可以交代清楚的。
当代线性代数课是比较注重空间理论的。
这是符合线性代数本质的，因为在线性空间里，毕竟都是几何对象。
首先得弄清楚这门课的对象，这一点是毫无疑义的。
所以，刚开始学习线性代数时，应该把注意力集中在这方面。
等到对此有了一个比较透彻的理解时，就该开始苦练矩阵计算的功夫了。
_线性代数_新教材精彩案例之一_李尚志
４ ３ ２ ） １ ５ １ ４ １ ３ １ ｎ（ ６ ｎ ＋１ ５ ｎ ＋１ ０ ｎ －１ Ｓ ｎ ＋ ｎ ＋ ｎ － ｎ＝ ． ｎ＝ ５ ２ ３ ３ ０ ３ ０ 例 １ 的一次方程组左边好像一个上宽下窄的三角形 ， 可以由下而上依次求出各未知数的值 ． 如果一
次方程组不是三角形 ， 但可以通过同解变形化成三角形 ， 仍能够仿照例 １ 的方法求解 ． 中学用加减消去法解二元一次方程组 ， 将原方程分别乘常数再相加得到新方程 ， 则原方程组的解都 是新方程的解 ． 一般地 ， 方程组 Ｕ 的各方程分别乘常数再相加到新方程称为方程组 Ｕ 的 线性组合 ． 如果 原方程组 Ｕ 的每个方程也都是新方程组 Ｗ 的线 新方程组 Ｗ 的每个方程都是原方程组 Ｕ 的线性组合 ， 性组合 ， 则方程组 Ｕ 与 Ｗ 同解 ， Ｕ →Ｗ 是同解变形 ． 易见方程组的如下三种变形是同解变形 ， 称为方程组的 初等变换 ． （ ）将第ｉ 个方程与第ｊ 个方程互相交换位置 ， 记为 Ｕ →Ｗ ． ｉ （ ）将第ｉ 个方程两边同乘非零常数λ： ｉ ｉ Ｕ →Ｗ ． （ ）将第ｉ 个方程的λ 倍加到第ｊ 个方程 ： ｉ ｉ ｉ Ｕ →Ｗ ． ） （ ） ， （ ） ， （ ） ， ） 例 ２ 二次函数 ｙ＝ｆ（ 的图象经过三个已知点 求 ｆ（ ｘ １， １ ２， ２ ３， ０ ４ ．
烄 １ ０
） ） ， ） ） －（ １ ＋（ ２ －（ １ ＋（ ３
烄 １ １ １
１烌
０ 烆 －２ ０烌 ２ －３ 烎
２ ８ －１ 烎
烄 １ ０ ０
－３烌 １ １ ２ ． ３ ２烎
→ ０ １ ３ ０ 烆
烄 ｃ
（ ） ） ， ） ） －２ ２ ＋（ ３ －（ ２ ＋（ １
３ ａ ａ ０ ａ ０， ３ －６ ４ ＋１ ５＝ ４ ａ ０ ａ ０， ４ －１ ５＝ ５ ａ １． ５＝
李尚志《线性代数》勘误表
《线性代数》勘误表位置错误更正p.24习题4第3个方程组第3个方程p.91倒数第1行W1∩W2=r=0dim(W1∩W2)=r=0 p.213第3行Binet-Caucht公式Binet-Cauchy公式p.233第4行r+s−n r+s−mp.241习题6x=x−c y=x−cp.248习题62n+12n−1p.293习题1a+b+c a,b,cp.305定理6.1.2线性空间的一组基线性空间U的一组基p.317习题4f∈R[x]f∈R n[x]p.330习题2diag(1,0,...,0)diag(a,0, 0p.337第15行至少为1n i至少为1p.345定义6.7.1化零多项式零化多项式p.383习题2前n−1列第1列p.383习题5Fα1⊕···⊕Fαt F[A]α1⊕···⊕F[A]αt p.383习题6F[α+β]F[A](α+β)p.387第4行当i=k时当i=k时，p.394习题5方阵A可逆方阵Ap.404习题3λm A m+λm−1A m−1+···λk A k+λk−1A k−1+···p.404习题3A m∈F m×n A k∈F m×np.404习题4{α1,...,αn}下的线性变换{α1,...,αn}下的矩阵p.405习题5α,β∈V⇒α+β∈Vα,β∈W⇒α+β∈Wp.446习题1(1)x22+x22x21+x22p.463习题3(1)矩阵Q为正定矩阵Q是正定的p.463习题3(2)矩阵Q为半负定矩阵Q是半负定的p.463习题5矩阵Q为半正定Q是半正定的p.466第3行O=X0=Xp.466习题2n∑i=1(x−s)2n∑i=1(x i−s)2p.466习题5设S是设A是p.466习题5X0=O X0=0p.466习题6实线性函数f1,f2非零实线性函数f1,f2的乘积p.474习题4.且，且p.488命题9.2.5欧氏空间n 维欧氏空间p.491习题2已知求p.492习题9(3)δ=Ax −βδ=AX −βp.504倒数第3行每个n −1阶实方阵每个n −1阶实对称方阵p.506定理9.4.3欧氏空间n 维欧氏空间p.507定理9.4.5欧氏空间n 维欧氏空间p.508习题64y 210y 2p.508命题9.5.1V 是欧氏空间V 是n 维欧氏空间p.523习题1ax 1¯y 1+bx 1¯y 2+cx 2¯y 1+dx 2¯y 2a ¯x 1y 1+b ¯x 1y 2+c ¯x 2y 1+d ¯x 2y 2p.523习题2,4,5XY ∗X ∗Yp.523习题3|xα+yβ|=|xα|+|yβ||xα+yβ|2=|xα|2+|yβ|2p.524命题9.7.2酉空间V n 维酉空间V p.532习题4(2)为Hermite 方阵为反Hermite 方阵p.536倒数第8行由于不能f 不一定正定由于f 不一定正定p.544第18行第7章§7.2第8章§8.2p.547习题2(3)(A (α),A (β))=(α,β)f (A (α),A (β))=f (α,β)p.547习题3rank f =1rank f 1p.547习题5f ((10),(01))f ((10),(01))=1p.547习题7证明：设设p.548习题7(2)H =(O I (m )I (m )O )H =(OI (m )−I (m )O )p.548习题7(3)⇔A⇔Ap.555习题6每个奇异值都是特征值全体奇异值都是特征值（包括重数）p.555习题8det(AX 0−β)|AX 0−β|p.555习题9Morre-PenroseMoore-Penrose。
高等代数学习心得二
高等代数学习心得二高等代数学习心得篇4代数学从高等代数的问题出发，又发展成为包括许多独立分支的一个大的数学科目，比如：多项式代数，线性代数等。
代数学研究的对象也已不仅是数，还有矩阵，向量，向量空间的变换等。
对于这些对象，都可以进行运算。
虽然也叫做加法或乘法，但是关于书的基本运算定律，有时不再保持有效。
因此代数学的内容可以概括为研究带有运算的一些集合，在数学中把这样的一些集合叫做代数系统。
的算为效men：比如：群，环，域等。
多项式是一类最常见，最简单的函数，他的应用非常广泛。
多项式理论是以代数方程的根的计算和分布作为中心问题的，也叫做方程论。
研究多项式理论，主要在于探讨代数方程的性质，从而寻找简易的解方程的方法。
多项式代数所研究额内容，包括整除性理论，最大公因式，重因式等。
这些大体和中学代数里的内容相同。
多项式的整除性质对于解代数方程是很有用的。
解代数方程无非就是求对应多项式的零点，零点不存在的时候，多对应的代数方程就没有解。
我们把一次方程叫做线性方程，讨论线性方程的代数叫做线性代数。
在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵。
行列式的概念最早是由十七世界日本数学家孝和提出来的。
他在写了一部叫做《解伏题之法》的著作，标题的意思是解行列式问题的方法，书里对行列式的概念和他的展开已经有了清楚的叙述。
欧洲第一个提出行列式概念的是德国的数学家莱布尼茨。
德国数学家雅可比总结并提出了行列式的系统理论。
行列式有一定的计算规则，利用行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，因此行列式是解线性方程组的工具。
行列式可以把一个线性方程组的解表示成公式，也就是说行列式代表着一个数。
因为行列式要求行数等于列数，排成的表总是正方形的，通过对它的研究又发现了矩阵的理论。
矩阵也是由数排成行和列的数表，可是行数和列数相等也可以不相等。
矩阵和行列式是两部完全不同的概念，行列式代表着一个数，而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法。
利用矩阵这个工具，可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量，这样对于一个多元线性方程组的解的情况，以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题，都可以得到彻底的解决。
关于线性方程组求解的论文
线性方程组的求解问题摘要:线性代数是代数学的一个重要组成部分，广泛应用于现代科学的许多分支。
其核心问题之一就是线性方程组的求解问题。
本文先简要介绍了线性方程组求解的历史，然后给出线性方程组解的结构。
重点介绍了解线性方程组的几种方法:消元法，克拉默法则和利用向量空间概念求解线性方程组的方法。
最后介绍了如何利用Matlab、Excel等常用电脑软件解线性方程。
关键词:线性方程组克拉默法则 Matlab1.线性方程组求解的历史线性方程组的解法，早在中国古代的数学著作《九章算术》方程章中已作了比较完整的论述。
其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵施行初等行变换从而消去未知量的方法，即高斯消元法。
在西方，线性方程组的研究是在17世纪后期由莱布尼茨开创的。
他曾研究含两个未知量的三个线性方程组组成的方程组。
麦克劳林在18世纪上半叶研究了具有二、三、四个未知量的线性方程组，得到了现在称为克莱姆法则的结果。
克莱姆不久也发表了这个法则。
18世纪下半叶，法国数学家贝祖对线性方程组理论进行了一系列研究，证明了一元齐次线性方程组有非零解的条件是系数行列式等于零。
法国数学家范德蒙不仅对行列式理论本身进行了开创性研究，而且把行列式应用于解线性方程组。
英国数学家凯莱用矩阵表示线性方程组及线性方程组的解。
19世纪，英国数学家史密斯和道奇森继续研究线性方程组理论，前者引进了方程组的增广矩阵和非增广矩阵的概念，后者证明了n个未知数m个方程的方程组相容的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相同。
格拉斯曼则使用向量表示线性方程组的解。
2.线性方程组解的结构n元线性方程组的一个解(c1,c2,……c n)是一个，维向量，当方程组有无穷多个解时，需要研究这些解向量之间的关系，以便更透彻地把握住它们。
关于齐次线性方程组的解的结构有以下结论:1)定义1齐次线性方程组的一组解η1，η2……ηt称为该方程组的一个基础解系，如果a)该方程组的任一解都能表成η1，η2……ηt的线性组合。
对于线性代数精品课程师资培训的心得体会.
对于线性代数精品课程师资培训的心得体会甘肃省兰州交通大学王小玲随着当前教学改革的进一步深入及其教学手段的不断提高，教学工作对教师的教学思想、教学方法、教学语言等提出了更高的要求。
为进一步推进高等学校精品课程建设工作，使国家精品课程发挥应有的示范作用，促进优质教学资源的广泛应用和共享，不断提高高校教师的教学水平，改进教学方法，提高教学效益，教育部组织了全国高校教师网络培训中心组织的精品课程师资培训。
我很荣幸的参加了线性代数的精品课程师资培训，经过三天的培训，受益匪浅。
尤其是李尚志教授的讲授线性代数的思想体系及其风格深深的吸引了我。
本来线性代数这门非常枯燥无味，内容杂乱无章，矩阵行列式一堆，学生对这门课的反应也就是算来算去自己都不知道算了些什么，考试都考完了也不知道这门课到底想告诉大家一个什么内容，最后连矩阵和行列式都分不清楚是什么，会把矩阵写成行列式，或者是矩阵干脆就等于一个数字。
而李教授在讲解线性代数的时候，语言幽默、形象，比方说什么凌波微步，从代数逃到几何啊之类的，将线性代数和我们具体的生活联系在一起，将抽象问题具体化，使得线性代数不再是仅仅的数学运算，使得它充满了生命力，活灵活现的在我的眼前，使得我对线性代数有了一个新的理解，在今后的教学中能够更容易激发学生学习线性代数的兴趣，让他们变被动学习为主动学习。
李教授以一个全新的思路对线性代数的引入及其内容给出了讲解。
在传统的同济三版及四版教材中，二阶行列式的引入是二元非奇次线性方程组，但是对于两个数先相乘再相减，将其和系数联系起来给出对角线法则，很抽象，学生也很难理解，而李教授却以几何向量及其内积引入二阶行列式，使得行列式的对角线法则有了一定的依据，而n阶行列式就成了平行n面体的体积，这使得行列式本是数表然后赋给一个数这样一个抽象得定义变成了空间几何中形象的多面体的体积。
解方程的时候又采用了逆向思维的方式，我们传统的方式是先给定理再给例子，而李教授反其道而行之，先给三个例子，从例子中来探索发明定理，使得学生参与到了教学中，从不知道到发现，从发现到总结定理，这样定理不再是枯燥的那么几句话一带而过，而是深刻的留在了发明探索的过程中，留在了学生的脑海中，这样学生的理解深刻了，教学过程也丰富起来，课堂气氛也不再是老师在上面滔滔不绝大讲，学生在下面窃窃私语小讲，总体说来提高了教学质量。
李尚志线性代数习题答案
李尚志线性代数习题答案李尚志线性代数习题答案线性代数是一门重要的数学学科，它在各个领域都有广泛的应用。
而李尚志老师的线性代数习题集，无疑是学习这门学科的重要参考资料。
本文将为大家提供一些李尚志线性代数习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 矩阵的乘法题目：计算以下两个矩阵的乘积。
A = [1 2 3][4 5 6]B = [7 8][9 10][11 12]答案：首先，我们需要确定乘积矩阵的维度。
由于A是一个2x3的矩阵，B是一个3x2的矩阵，所以乘积矩阵的维度应该是2x2。
接下来，我们按照矩阵乘法的定义进行计算。
乘积矩阵C的第一行第一列元素为A的第一行与B的第一列对应元素的乘积之和，即：C[1,1] = (1*7) + (2*9) + (3*11) = 58同理，可以计算出C的其他元素：C[1,2] = (1*8) + (2*10) + (3*12) = 64C[2,1] = (4*7) + (5*9) + (6*11) = 139C[2,2] = (4*8) + (5*10) + (6*12) = 154所以，乘积矩阵C为：[139 154]2. 矩阵的逆题目：求以下矩阵的逆矩阵。
A = [2 1][4 3]答案：要求一个矩阵的逆矩阵，我们需要首先判断该矩阵是否可逆。
一个矩阵可逆的充要条件是其行列式不为零。
计算矩阵A的行列式：det(A) = (2*3) - (1*4) = 2由于行列式不为零，所以矩阵A可逆。
接下来，我们可以使用伴随矩阵法求解逆矩阵。
首先，计算矩阵A的伴随矩阵：adj(A) = [3 -1][-4 2]然后，计算逆矩阵A的每个元素：A^(-1) = (1/det(A)) * adj(A)A^(-1) = (1/2) * [3 -1][-4 2]所以，矩阵A的逆矩阵为：A^(-1) = [3/2 -1/2][-2 1]3. 特征值和特征向量题目：求以下矩阵的特征值和对应的特征向量。
(完整word版)线性代数教案
二次型是一个二次齐次多项式，其一般形式为$f(x_1, x_2, ..., x_n) = sum_{i=1}^{n}sum_{ j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$，其中$a_{ij}$是常数，$x_i$是变量。
标准型表示方法
通过正交变换，二次型可以化为标准型$f = lambda_1y_1^2 + lambda_2y_2^2 + ... + lambda_ny_n^2$，其中$lambda_i$是二次型的特征值。
03 向量空间与线性变换
向量空间概念及性质
向量空间定义
设V是一个非空集合，P是一个数域，若对V中任意两个元素α与β，总有唯一元素γ∈V与之对应，称为α与β的和 ，记为γ=α+β，且在加法运算下V封闭；又对P中任意数与V中任意元素α，总有唯一元素δ∈V与之对应，称为该 数与α的积，记为δ=kα(k∈P)，且在数乘运算下V封闭，则称V是数域P上的线性空间，或向量空间。
向量空间维数
设V是数域P上的线性空间，若V中存在一个由n个向量组成的 基，且任意n+1个向量都线性相关，则称n为V的维数，记为 dimV=n。若V中不存在由有限个向量组成的基，则称V为无 限维的。
04 方程组求解与矩阵秩
齐次线性方程组求解方法
01
02
03
高斯消元法
通过消元将系数矩阵化为 上三角矩阵，然后回代求 解未知数。
向量空间性质
向量空间具有8条基本性质，包括加法交换律、加法结合律、零元存在性、负元存在性、数乘分配律、数乘结合 律、数乘单位元存在性以及数乘零元存在性。
线性变换定义及性质
线性变换定义
设V和W是数域P上的两个线性空间，σ是V到W的一个映射，若对V中任意元素α 、β和P中任意数k，都有σ(α+β)=σ(α)+σ(β)，σ(kα)=kσ(α)，则称σ是V到W的 一个线性映射或线性变换。
关于足球运动中的进攻与防守问题的几点看法
守则不足，攻则有余关于足球运动中进攻与防守问题的几点看法冯奇11091204、毕洪潇11231036 守尚不足，攻而有余，岂不怪哉？然而在我们看来，这句话并无任何错误之处，事实上，“守不足”的情况下，确可以“攻有余”。
题目：足球运动中1.进攻是最好的防守2.没有防守怎能进攻我们认同1的观点，但对于题目中所说1与2相反，我们并不十分认同，这一点将在下文进行详尽的论述。
下面我们将对我们对题目的几点看法和证明进行论述。
首先我们通过反证法证明题目中定理1的错误性。
正如李尚志教授在线性代数课上所讲的，以中国国足为例，当赢球后，全队回来防守的时候，对方就将举全队之力对我方球门进攻，而根据定理1，我们知道此时我们采取了保证胜利最佳的方法即全队回来防守，但是历年历次国足失败的经验和教训告诉我们，我们并没有较大的获胜概率，亦即定理1的反例数不胜数。
由此我们知道定理1是显然错误的。
完成了定理1的否定，我们将进而证明“进攻是最好的防守”。
首先不难看出在赛场上球队进行的每一个行动的目的都是获得比赛的胜利，即比对方赢更多的球。
那么我们定义最好的防守应是所有防守中最有利于球队获得比赛胜利的防守方式。
而球队在赛场上进行的行动分为两种，进攻和防守（此处指狭义防守，即仅限于防守而非进攻）。
进而运用反证法假设进攻不是最好的防守，那么必然存在一种最好的防守，且它不是进攻，记为防守A。
分两种情况A.对方比分大于等于我方比分时此时根据球队行为又可将问题分为两种情况1.重点进攻（*）因为进攻不是最好的防守，所以此时球队没有重点进行防守A，所以它的最好的防守效果并没有体现。
同时，在我方进攻时，对方必须投入更多的球员进行防守，进而对方的赢球概率更低，亦即此时进攻的防守效果更佳。
这与防守A为最佳防守矛盾，原假设错误。
2.重点防守若重心放在防守A上，又因为防守A不是进攻，故此时我方基本不能赢球，这显然不利于球队获得比赛胜利，这与最好防守的定义矛盾，原假设错误。
李尚志教授线性代数
案例5.6 图解特征向量
• 例4的曲线 x2+2xy+5y2=4被拉伸成圆.
案例5.7 利用线性变换引入e
• 求双曲线围成的面积
案例5.8 实对称方阵的正交相似
• 例6.通过直角坐标系旋转将曲线 x2+2xy+5y2=4方程化为标准形式. • 分析.
• 直角坐标变换 X=UY 使
• • • • Q(X) =(UY)TA(UY)=YTBY, B=UTAU. 选择正交方阵 U 使 B =diag(l1,l2). 则 AU=UB,A(U1,U2)=(l1U1,l2U2) U 的两列是 A 的特征向量.
案例5.3 勾股定理的理由
• (a-b)2 = a(a-b)+(-b)(a-b) = aa+a(-b)+(-b)a+(-b)(-b) = a2 -2ab +b2
• 对向量 a,b 仍成立: • AB 2 =CA2 + CB 2 -2CA*CB *cosC • 完全平方公式 = 余弦定理（含勾股定理) • 对数组向量 a,b 也成立。
联系办法: lisz@
新书介绍
数学的神韵
科学出版社 2010.4
2018/11/21
已出版教材 李尚志, 线性代数(数学专业用), 高等教育出版社,21.1 解n元一次方程组
• 与中学接轨：加减消去法 • 各方程乘常数再相加 = 线性组合 • 原方程组解新方程解原方程解? • 怎样保证:变形前后互为线性组合! • 怎样实现:初等变换,高斯消去法。 • 只计算系数:矩阵消元. • 只用到加减乘除:数域
• (2)X,Y有若干列: 逐列比较
案例4.3 矩阵乘法运算律
• 结合律 (AB)C = A(BC). • (AX)l=(a1x1+…+anxn)l • =a1(x1l)+…+an(xnl)= A(Xl) • (AB)L= • = A(BL) • (AB)Cj=A(BCj)
在发明中学习线代数概念的引入
xi = yi, i = 1,2,…,n 从而线性组合式 (2.5) 中的系数x1,x2,…,xn由u唯 一决定?
2021/4/6
解
x1u1+x2u2+…+xnun = y1u1+y2u2+…+ynun
(4.2)
(x1-y1)u1+(x2-y2)u2+…+(xn-yn)un = 0
(4.3)
为了将V中所有的向量都用坐标来表示, 还需要 选取这样的线性无关向量组{u1, u2,…, un}, 使V中 所有的向量都能表示成u1, u2, … , un的线性组合.
2021/4/6
定义 设V是数域F上的线性空间. 如果V上存 在一组由有限个向量组成的线性无关向量组
B ={α1, α2,…,αn} 使 V 中每个α 都能写成 B 中向量的线性组合
(4.5) (4.6)
由于u1,u2,u3线性无关, (4.6) 成立仅当
(4.7)
方程组(4.7) 只有零解. u1, u2, u3 线性无关。
解法2 以u1,u2,u3为子空间的基, 将所要判 断的向量写成坐标 (1,1,0),(0,1,1),(1,0,1).
2021/4/6
五、齐次线性方程组的解集
有解 λ1 = - 7, λ2 = 4, -7u+4v = w
2021/4/6
(3) u= (1,1,1); v = (2,1,5); w = (1,-3,6).
• 方程组 λ1 u+ λ2 v = w无解。 • 还需解 λ1 u+ λ3 w = v, 仍无解。 • 还需解 λ2 v + λ3 w = u, 仍无解。 • 解三个方程太繁琐！ • 只须解一个方程
线性代数培训之收获对克莱姆法则的一个新教
线性代数培训之收获——对“克莱姆法则”的一个新教案有幸参加国家线性代数精品课程的培训，聆听李尚志老师的教诲，真是受益匪浅，感触很多。
李老师对数学的高深领悟，“空间为体，矩阵为用”，独创性的设计了线性代数新的教学内容体系，淋漓尽致的体现了代数与几何的内在联系，使人耳目一新。
李老师的启发式教学方法也是值得我们学习和借鉴，以问题为驱动，引入新概念，使学生对抽象的数学概念（如n 阶行列式、线性相关、线性无关、方程的秩等）有了形象的、感性的、更简洁、更深刻的理解.特别是用几何方法引入二阶行列式和三阶行列式，而且赋于其几何含义：二阶行列式和三阶行列式分别表示平行四边形的有向面积和平行六面体的有向体积，更一般n 阶行列式在几何上表示“n 维体的有向体积”,这样可以发挥学生的想象力，引导学生去发现更多，引导学生去发现数学定理，充分培养学生的创造性思维能力，一切是为了学生的发展，正如李老师所说评价教学的效果主要是看学生懂了没有，体现了以学生为本的教学理念。
对比本人对线性代数的理解以及教学实际，真是差距很大，觉得自己需要努力去奋斗。
这里就结合这次培训的体会和收获联系自己以往的线性代数教学实际，拟写一份教案，谈谈自己对“克莱姆法则”内容新的处理方式。
§7克莱姆法则一、教学内容(1) 克莱姆法则的证明(2) 克莱姆法则的应用二、教学要求（1）理解克莱姆法则的证明（2）理解非齐次线性方程组有唯一解的充分条件是它的系数行列式D ≠0;若D=0，方程组无解或有无穷多解（3）理解齐次线性方程组有非零解的必要条件是它的系数行列式D=0；若D ≠0，方程组只有零解 教学过程一、（定理1）克莱姆法则若n ×n 线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111,, ⑴ 的系数行列式D=,0212222111211≠nn n n nna a a a a a a a a则方程组⑴有唯一解：x 1=,1D D x 2=,2D D ,x n =DD n . ⑵其中D i (i=1,2, ,n)是把系数行列式D 中的第i 列的元素用方程组⑴右端的常数项代替后所得到的n 阶行列式，即D i =nn i n n i n n ni i ni i a a b a a a a b a a a a b a a1,1,121,221,22111,111,111+-+-+-.证：先证明⑵式是方程组⑴的解.要证⑵式是方程组⑴的解，只需把它代入方程组⑴的第i 个方程，如果左端也等于b i ，则说明⑵确是方程组⑴的解.将⑵代入方程组⑴的第i 个方程的左端，并把D i 按照第i 列展开，第i 个方程的左端=a 1i D D 1+a 2i D D 2+ +a in D D n =D 1(a 1i D 1+a 2i D 2+ +a in D n ) =D1[ a 1i (b 1A 11+b 2A 21+ +b i A i1+ +b n A n1)+ a i2 (b 1A 12+b 2A 22+ +b i A i2+ +b n A n2)++a in (b 1A 1n +b 2A 2n + +b i A in + +b n A nn )] =D1[b 1(a i1A 11+a i2A 12+ +a in A 1n )+ b 2(a i1A 21+a i2A 22+ +a in A 2n )++b i (a i1A i1+a i2A i2+ +a in A in )++b n (a i1A n1+a i2A n2+ +a in A nn )] 根据行列式按行展开法则，可以看出，上面最后一式的方括中只有b i 的系数是D ，而其他b k (k ≠i)的系数都是零，从而第i 个方程的左端=a 1i D D 1+a 2i D D 2+ +a in DD n =D 1（b i D ）=b i =第i 个方程的右端, i=1,2, ,n.故⑵确是方程组⑴的解.再证明解的唯一性.若方程组⑴还有一个解：x 1=c 1 , x 2=c 2 , , x n =c n ⑶只要证明⑶与⑵相同即可.将⑶代入方程组⑴，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n n nn n n n n n n b c a c a c a b c a c a c a b c a c a c a 22112222212111212111,, ⑷ 现在构造一个新的行列式c 1 D=nn n n nna a c a a a c a a a c a211222*********（即在D 的第1列乘以c 1）给此行列式的第2，3， ，n 列分别乘以c 2，c 3, ,，c n 后都加到第1列，得c 1D= nn n n nn n n nn n nn n a a c a c a c a a a c a c a c a a a c a c a c a2221122222221211121212111+++++++++根据⑷式，得c 1D=nnn n nna ab a a b a a b222221121=D 1, 因为 D ≠0,所以 c 1=D D 1. 同理可证，c 2=D D 2, , c n =D D n . 唯一性得证.（说明：我们学校现使用同济大学数学教研室编《工程数学：线性代数（第三版）》，其中克莱姆法则的证明（现略）,笔者认为，有以下几点值得商榷和改进：一是先证明解的唯一性，后验证解的存在性，是否符合思维逻辑？因为没有解的存在性这个前提，怎么谈解的唯一性？二是在解的唯一性的证明中所用的技巧很强与前面行列式的性质联系不够，教学实践也证明学生难以理解，而且不具备数学中证明很多“唯一性”问题的一般方法.因为一个好的方法应是一般性的、具有“以不变应万变”的功效，而且应充分利用学生已知的知识，化未知为已知，这是非常重要的数学思想方法。