高考数学二轮专题突破课堂讲义 第22讲 高考题中的填空题解法

专题八高考数学题型训练第22讲高考题中的填空题解法江苏数学高考试题中填空题共14题，每小题5分，共计70分．填空题在整个试卷中占有相当大的比重，填空题的得分不仅对做整个试卷影响很大，而且对学生整个高考都起非常重要的作用．填空题是一种客观性试题，它只要求写出结果(简练、概括、准确)，不要求写出解答过程．高考数学填空题涉及考点少，目标比较集中，以基础题和中档题为主，只有一两道题综合性较强，难度较大；填空题主要还是考查数学的基础知识和基本方法．目前高考填空题，基本上都是计算型和概念判断型的试题，求解填空题的基本策略是在“准”、“巧”、“快”上下功夫，合情推理、优化思路、少算多思，充分利用各种数学思想方法是准确解答填空题的基本要求．解填空题的常用方法：(1) 直接法：指直接从题目的条件或已知的公理、定理出发，通过严密推理或准确计算(注意运算技巧)而得出正确的结果．(2) 特例法：题中的条件提供的信息暗示结论是一个定值或结论是唯一的，这样可以把题中变化的量(图形、式子、位置等)用特殊的图形或值代替，而得出正确的结果．(3) 数形结合法：借助于图形进行直观的分析，辅之简单的计算而得出正确的结果．此外在解填空题的过程中，定义法、等价转化法、逆向思维法等也是我们必须掌握的解题方法．1. 设复数z满足(3＋4i)z＋5＝0(i是虚数单位)，则复数z的模为________．答案：1解析：由(3＋4i)z＋5＝0，得(3＋4i)z＝－5，|3＋4i|·|z|＝5，5|z|＝5，|z|＝1.2. 在等差数列{a n}中，前n项和为S n，若a7＝5，S7＝21，那么S10＝________．答案：403. 已知正实数x、y满足xy＋2x＋y＝4，则x＋y的最小值为________.答案：26－34. 设a、b为不重合的两条直线，α、β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若a∥α且b∥α，则a∥b；②若a⊥α且b⊥α，则a∥b；③若a∥α且α∥β，则a∥β；④若a⊥α且a⊥β，则α∥β.上面命题中，真命题是________．(填序号)答案：②④解析：取一个正方体，将其中的棱、面分别看成是直线a、b，平面α、β.题型一通过直接计算得到结果例 1 已知数列{a n}的通项公式为a n＝1n＋n＋1，若{a n}前n项和为24, 则n＝________．答案：624解析：a n＝1n＋n＋1＝n＋1－n，{a n}前n项和为S n＝n＋1－1，∴n＋1－1＝24，n ＝624.本题通过直接对通项变形、求和，从而求出结果．已知函数y ＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为________．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，23，1 解析：由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧π2ω≥π2，3ωπ＝k π， 即⎩⎪⎨⎪⎧0<ω≤1，ω＝k3，其中k∈Z ，则k ＝13或k ＝23或k ＝1. 题型二 利用图象分析得到结果例 2 已知不等式log a x ≥x 2(a>0，a ≠1)对x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案：116≤a ＜1解析：在同一直角坐标系中作出函数y ＝log a x ，y ＝x 2的图象，则log a 12≥⎝ ⎛⎭⎪⎫122，故116≤a＜1.在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1、C 2、C 3依次为y ＝2log 2x 、y ＝log 2x 、y ＝klog 2x(k 为常数，0＜k ＜1)．曲线C 1上的点A 在第一象限，过A 分别作x 轴、y 轴的平行线交曲线C 2分别于点B 、D ，过点B 作y 轴的平行线交曲线C 3于点C.若四边形ABCD 为矩形，则k 的值是________．答案：12解析：设A(t ，2log 2t)(t ＞1)，则B(t 2，2log 2t)，D(t ，log 2t)，C(t 2，2klog 2t)，则有log 2t ＝2klog 2t ，由于log 2t ＞0，故2k ＝1，即k ＝12.题型三 通过转化将问题解决例3 已知n∈N *且n≥2，则3n ＋4n 与5n的大小关系是________．答案：3n ＋4n ≤5n解析：构造函数f(n)＝3n ＋4n5n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫45n，f(n ＋1)－f(n)＜0，故函数f(n)在n≥2时单调减，又f(2)＝1，所以3n ＋4n ≤5n(当且仅当n ＝2时取等号)．数列{a n }是等差数列，数列{b n }满足b n ＝a n a n ＋1a n ＋2 (n∈N *)，设S n 为{b n }的前n 项和．若a 12＝38a 5＞0，则当S n 取得最大值时n 的值是________．答案：16解析：设{a n }的公差为d ，由a 12＝38a 5＞0，得a 1＝－765d ，d ＜0，所以a n ＝⎝⎛⎭⎪⎫n －815d ，从而可知1≤n≤16时，a n ＞0, n ≥17时，a n ＜0.从而b 1＞b 2＞…＞b 14＞0＞b 17＞b 18＞…，b 15＝a 15a 16a 17＜0，b 16＝a 16a 17a 18＞0， 故S 14＞S 13＞…＞S 1，S 14＞S 15，S 15＜S 16.因为a 15＝－65d ＞0，a 18＝95d ＜0，所以a 15＋a 18＝－65d ＋95d ＝35d ＜0，所以b 15＋b 16＝a 16a 17(a 15＋a 18)＞0，所以S 16＞S 14，故S n 中S 16最大． 题型四 通过特殊化法将问题解决例 4 三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为22、32、62，则此三棱锥的外接球的体积为________．答案：6π解析：将此三棱锥看成是边长分别为1、2、3的长方体的部分，故其外接球的直径即为长方体的体对角线，则外接球的体积为6π.过圆x 2＋y 2＝9内一点P(1，2)作两条相互垂直的弦AC 、BD ，当AC ＝BD 时，四边形ABCD 的面积为________．答案：13解析：四边形ABCD 的面积为S ＝12AC ·BD ＝29－d 21·9－d 22，其中d 1、d 2分别为圆心到AC 、BD 的距离．又AC ＝BD ，所以d 1＝d 2.又d 21＋d 22＝OP 2＝5，则S ＝13.1. (2014·湖北卷)i 为虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝________．答案：－1解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝（1－i ）2（1＋i ）2＝－2i 2i＝－1，2. (2013·辽宁卷)在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且asinBcosC＋csinBcosA ＝12b ，且a>b ，则∠B＝________．答案：π6解析：由正弦定理得sinAsinBcosC ＋sinCsinBcosA ＝12sinB ，sinB>0，∴ sinAcosC ＋cosAsinC ＝12，sin(A ＋C)＝12，sinB ＝12.又a>b ，∴ B 为锐角，B ＝π6.3. (2013·江西卷)等比数列x ，3x ＋3，6x ＋6，…的第四项为________． 答案：－24解析：(3x ＋3)2＝x(6x ＋6)，x ＝－3或x ＝－1(舍)，故等比数列首项为－3，公比为2，第四项为－24.4. 若函数f(x)＝x ＋1x －2(x ＞2)在x ＝a 处有最小值，则实数a ＝________．答案：3解析：本题考查利用均值不等式求最值，考查学生转化与化归能力、运算求解能力．∵ x＞2，∴ f(x)＝x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2≥2（x －2）×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时取等号，∴ a ＝3，f min (x)＝4. 5. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2＋y 2＝4分别交x 轴正半轴及y 轴正半轴于M 、N两点，点P 为圆C 上任意一点，则PM →·PN →的最大值为________．答案：4＋4 2解析：M(2，0)，N(0，2)，设P(x ，y)，PM →·PN →2＝x 2＋y 2－2x －2y ＝4－2(x ＋y)，又x 2＋y 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，所以|x ＋y|≤22，故最大值为4＋4 2. 6. 设函数g(x)＝x 2－2(x∈R )，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧g （x ）＋x ＋4，x<g （x ），g （x ）－x ，x ≥g （x ），则f(x)的值域是____．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞) 解析：由题意知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x ＜g （x ），x 2－x －2，x ≥g （x ），＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x ∈（－∞，－1）∪（2，＋∞），x 2－x －2，x ∈[－1，2]， ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋74，x ∈（－∞，－1）∪（2，＋∞），⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－94，x ∈[－1，2].所以当x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，f(x)的值域为(2，＋∞)；当x∈[－1，2]时，f(x)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0. 综上，f(x)的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)． 7. (2014·湖北卷)直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________．答案：2解析：由题意，得直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 平行，又要使直线l 1：y ＝x ＋a 和l 2：y ＝x ＋b 将单位圆C ：x 2＋y 2＝1分成长度相等的四段弧，则由图形可知，直线l 1与l 2截圆C的劣弧所对的圆心角为90°，则圆心距为22，则|a|12＋（－1）2＝22，|b|12＋（－1）2＝22，解得a ＝±1，b ＝±1，当a ＝b 时，l 1与l 2重合，因此a≠b，则a ＝1，b ＝－1，或a ＝－1，b ＝1，所以a 2＋b 2＝2.8. 在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足|BM →||BC →|＝|CN →||CD →|，则AM →·AN →的取值范围是________． 答案：[1，4]解析：以向量AB 所在直线为x 轴，以向量AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为AB ＝2，AD ＝1，所以A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)，D(0，1)．设M(2，b)，N(x ，1)(0≤x≤2)，根据题意，b ＝2－x 2，所以AN →＝(x ，1)，AM →＝⎝⎛⎭⎪⎫2，2－x 2，则AM →·AN →＝2x ＋2－x 2＝32x ＋1.又0≤x≤2， ∴ AM →·AN →∈[1，4]．9. 已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________．答案：54解析：本题考查抛物线定义的应用，考查学生的等价转换能力，利用转化思想得到|AM|＋|BN|＝|AF|＋|BF|是解题的关键．利用梯形的中位线的性质进行过渡求解中点C 的横坐标．由抛物线的定义知|AM|＋|BN|＝|AF|＋|BF|＝3，则|CD|＝32，所以中点C 的横坐标为32－14＝54.10. 设m 、n∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为________．答案：3解析：直线与两坐标轴的交点坐标为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1n ，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，0，直线与圆相交所得的弦长为2，圆心到直线的距离d 满足d 2＝r 2－12＝4－1＝3，所以d ＝3，即圆心到直线的距离d ＝|－1|m 2＋n2＝3，所以m 2＋n 2＝13.△AOB 的面积S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪1m ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1n ＝12|mn|，又S ＝12|mn|≥1m 2＋n 2＝3，当且仅当|m|＝|n|＝66时取等号，所以S 的最小值为3.(本题模拟高考评分标准，满分5分)如图：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝6，AD ＝DC ＝2，若AC →·BD →＝－12，则AD →·BC →＝________．答案：0解析：以AB →、AD →为基底，则AC →＝AD →＋13AB →，BD →＝AD →－AB →，则AC →·BD →＝AD →2－23AB →·AD →－13AB→2＝4－8cos ∠BAD －12＝－12，所以cos ∠BAD ＝12，则∠BAD＝60°，则AD →·BC →＝AD →·(AC →－AB →)＝AD →·⎝⎛⎭⎪⎫AD →－23AB →＝AD →2－23AB →·AD →＝4－4＝0.1. 设{a n }是等差数列，从{a 1，a 2，…，a 20}中任取3个不同的数，使这3个数仍成等差数列，则这样不同的等差数列的个数最多有__________个．答案：180解析：本题要进行分类讨论．设原数列公差为d ，则抽出的三个数公差为±d 的有36个；公差为±2d 的有32个；公差为±3d 的有28个，…，公差为±9d 的有4个，所以共计180个．2. 如图放置的边长为1的正三角形PAB 沿x 轴滚动，设顶点A(x ，y)的纵坐标与横坐标的函数关系式是y ＝f(x)，则f(x)在区间[－2，1]上的解析式是____________．答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－（x ＋1）2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12，1－x 2，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，13. 关于函数y ＝f(x)，有下列命题：① 若a∈[－2，2]，则函数f(x)＝x 2＋ax ＋1的定义域为R ；② 若f(x)＝log 12(x 2－3x ＋2)，则f(x)的单调增区间为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，32；③ 函数f(x)＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a x －4(a ＞0且a≠1)的值域为R ，则实数a 的取值范围是0＜a≤4且a≠1；④ 定义在R 上的函数f(x)，且对任意的x∈R 都有f(－x)＝－f(x)，f(1＋x)＝f(1－x)，则4是y ＝f(x)的一个周期．其中真命题是__________．(填序号) 答案：①③④。