2014年暑假平面几何讲义：四点共圆(教师版)

BB四点共圆文武光华数学工作室 潘成华平面几何中证四点共圆的几个基本方法 方法一：平面上有四点A B C D 、、、,若A D ∠=∠, 则A B C D 、、、四点共圆方法二 线段AC BD 、交于E ,若AE EC BE ED ⋅=⋅,则方法三 线段AC BD 、交于E ,若AE BE CE ED ⋅=⋅, 则A B C D 、、、四点共圆方法四：若四边形ABCD ,180A C ∠+∠=︒， 则A B C D 、、、四点共圆DCBPB方法四、已知 AD 是ABC △内角或外角平分线，AB AC ≠,且BD DC =,则A B C 、、证明 设BAD α∠=,因为AD AD DB DC =,所以sin sin sin sin B C BAD CAD=∠∠，所以sin sin B C =，内角时180B C +=︒,外角时B C =，所以A B C D 、、、四点共圆托勒密定理：Tolemy(托勒密定理）若四边形ABCD 是圆O 内接四边形,则AD •BC+AB •CD=AC •BD证明 在AC 上取点E,使∠EDC=∠ADB,因为∠ABD=∠ACD,所以△ABD ∼△EDC,△ADE ∼△BDC ，于是(AB/CE)=(DB/DC),(AD/AE)=(DB/BC),于是AD •BC+AB •DC=AE •BD+BD •CE=AC •BD例1、已知 点D E 、在ABC ∆内，ABD CBE ∠=∠,BAE CAD ∠=∠. 求证ACD BCE ∠=∠.BCBB证明(一)（文武光华数学工作室南京潘成华）作E关于BC AB AC、、对称点P R Q、、,易知BRD∆≌BPD∆,ARD∆≌AQD∆,于是DP DR DQ==,所以DCP∆≌DCQ∆,得到PCD QCD∠=∠,进而BCE ACD∠=∠.证明（二）作BDS∆外接圆交AD延长线于S,可知ASC DBC ABE∠=∠=∠,得到ABE∆∽ASC∆,所以ABS∆∽AEC∆,得到ACE ASB DSB∠=∠=∠,所以BCE ACD∠=∠.例2、已知（文武光华数学工作室南京潘成华）E是ABC∆内一点，点D在BC上，且BAE DAC∠=∠,EDB ADC∠=∠.则180AEC BED∠+∠=︒证明先证明AB BEAC EC=,过E作AB AC BC、、垂线EF EG EL、、交AB AC BC、、分别于F G L、、，直线EL AD、交于J,取AF中点K,易知B F E L、、、四点共圆，E G C L、、、四点共圆，所以sinsinFLAB C FL CEBEAC B LG LG BECE===⋅(1),(B C、是ABC∆的内角)，因为EDB ADC∠=∠，所以EL LJ=,于是//KL AJ,易知A F E G、、、四点共圆，圆心是K，BAE DAC∠=∠,所以AD FG⊥,进而//KL FG，得到KL是FG中垂线，所以FL LG=，(1)得AB BEAC EC=B下面我们证明180AEC BED∠+∠=︒，因为sin sin,ACAEC EACAE∠=∠sin sin,ABBAE BAEBE∠=∠,两式相除得sin sin sinsin sin sinAEC EAC BADBAE BAE DAC∠∠∠==∠∠∠sin sinsin sinAB BAD EC BD EC BEDAC DAC BE CD BE DEC∠∠=⋅=⋅=∠∠,因为360AEC BAE BED DEC∠+∠+∠+∠=︒所以，180AEC BED∠+∠=︒证明（二）在AB取H,使得AHB PDB∠=∠,所以AHD∆∽APC∆,易知H P D B、、、四点共圆，所以180APC BPD BHD AHD∠+∠=∠+∠=︒例3、叶中豪老师2013年国庆讲义一几何题我的解答已知，D是ABC∆底边BC上任一点，P是形内一点，满足12∠=∠，34∠=∠。

求证：PB ABPC AC=。

证明作BPD CPD∆∆、外接圆交AB AC、分别于H I、，易知AHP∆∽ADC∆,所以AHD∆∽APC∆，所以AC ADPC DH=（1）,易知API∆∽ABD∆,进而得到ABP∆∽ADI∆,所以AB ADBP DI=（2）,易知A H P I、、、四点共圆，所以AHI API ABC∠=∠=∠,所以CBCB//HI BC ,334IHD HDB HDP HBP ADI IDC HID ∠=∠=∠-∠=∠-∠=∠-∠=∠=∠,所以HD ID =,进而根据（1）、（2）得到PB AB PC AC=。

例4、已知ABC ∆是锐角三角形，AD 是BC 边上中线，H 是ABC ∆垂心，HI AD ⊥于点I ，求证B C H I 、、、四点共圆证明（一）：延长AD 到G 使得=AD DG ,易知四边形ABGC 是平行四边形，因为CH AB ⊥，BH AC ⊥,所以90HBG HCG ∠=∠=︒,得到I B G C H 、、、、，所以B C H I 、、、四点共圆证明（二）HAC HBD BFD ∠=∠=∠,所以FD 是⊙()AIHF 切线，所以22DC FD DI DA ==⋅,所以DIC ∆∽DCA ∆,得到DCA DAC BHI ∠=∠=∠,所以B C H I 、、、四点共圆第四题、第51届波兰数学奥林匹克，1999例5、已知 在ABC ∆中，AB AC =,点P 在ABC ∆内部，点D 是BC 中点，CBP ACP ∠=∠.求证 180BPD APC ∠+∠=︒.CBCB证明（文武光华数学工作室 南京 潘成华）设ACP x ∠=,ABP y ∠=,BPD α∠=,DPC γ∠=,APB θ∠=,APC β∠=,因为BD CD =,可知sin sin BP PC αγ=，可知sin sin sin sin y x αγ=,（1），AP AP AB AC =,可知sin sin sin sin y xθβ=得到sin sin sin sin y x βθ=（2），根据（1）、（2）得sin sin sin sin αθγβ=180αβ⇒+=︒，即180BPD APC ∠+∠=︒。

证明(二)（文武光华数学工作室 潘成华给出）延长CP 交以A 为圆心，AB 为半径的圆于F ,直线FA 交BP 于G ,F ACP PBC ∠=∠=∠, ,因此G PCB ∠=∠ ,于是G 在⊙A 上， PFG ∆∽PBC ∆,所以APF ∆∽DPB ∆,可知APF BPD ∠=∠,即180BPD APC APF APC ∠+∠=∠+∠=︒,得证例6、已知M 是ABC ∆边BC 中点，AM 交ABC ∆外接圆⊙O 于D , 过点D 作//DE BC 交⊙O 于E ,在AD 上取点F ,使得FC AC ⊥. 求证AFC EFC ∠=∠PBB证明(一)（文武光华数学工作室 南京 潘成华）因为以ABEC 是调和四边形，易知直线AE 、过点B C 、AMC ∠,1902ECF ABE OAE PME EMF ∠=︒-∠=∠=∠=∠,因此C 是EMF∆旁心，进而AFC EFC ∠=∠.证明（二）因为M 是ABC ∆边BC 中点，所以ABD ACD S S ∆∆=,得到AB BD AC CD ⋅=⋅,易知BCED 是等腰梯形，所以AB CE AC BE ⋅=⋅,根据托勒密定理可知2+=2AB CE AB CE AC BE AE BC BM AE ⋅=⋅⋅⋅=⋅,得到AB CE BM AE ⋅=⋅，ABM AEC ∠=∠,所以ABM ∆∽AEC ∆，所以EAC BAD ∠=∠,可知EAB CAD ∠=∠,取AE 中点S ,同理可得ACS ECB BAE DAC ∠=∠=∠=∠,所以CS 与AD 交点设为N ,则N 为AF 中点，所以 //CN EF ,于是EFC NCF AFC ∠=∠=∠证明（三）（田开斌老师）作//CJ BD 交AD 于J ，所以CJ BD CE ==,JCE BDC BCE ∠=∠=∠,909090AFC DAC DBC ECB JEC ∠=︒-∠=︒-∠=︒-∠=∠,所以J F E C 、、、四点共圆，因为JC EC =,所以AFC EFC ∠=∠BCB例7、已知AD是ABC∆角平分线交BC于D，ABD ACD ABC∆∆∆、、外心分别是12O O O、、,求证12=O O OO证明易知1119090902O AB AO O ADC B BAC∠=︒-∠=︒-∠=︒-∠-OAC DAC=∠-∠OAD=∠，2190902BAO AOB C DAO∠=︒-=︒-∠=∠,所以12=O AO O AO∠∠（1），又12AOO ADC AO O ADB∠=∠∠=∠、，于是12++=180AOO AO O ADC ADB∠∠=∠∠︒，所以12A O O O、、、四点共圆，根据（1）得到12=O O OO证明（二）记ABC∆三角A B C、、，设直线12BO CO、交于E，2BCE C ACO∠=∠-∠(90)C ADC=∠-︒-∠1(90)2C B A=∠-︒-∠-∠2B C A+-=,同理·2B C AEBC+-∠=,所以BE CE=，12BOO ADC CO O ADB∠=∠∠=∠、，12++=180BOO CO O ADC ADB∠∠=∠∠︒所以12E O O O、、、四点共圆得到12=O O OO例8、已知⊙P、⊙O交于A B、,四边形ABCD是平行四边形，C在⊙O上，PF BC⊥交AB于F,直线CF交⊙O于G.B D证明延长DA交⊙P于点K,连接KE KB、，易知AKBE是等腰梯形，DKEC是等腰梯形，CF FG AF FB EF FK⋅=⋅=⋅,所以K G E C、、、四点共圆，因此K G E C D、、、、五点共圆,进而E G D C、、、四点共圆例9、已知O I、分别是ABC∆外心，内心，求证OI AI⊥的充要条件是2AB AC BC+=,=AD•BC(1),因为OI⊥AI，所以AI=ID,由（1）得：（AB+AC)•BD=BC•2DI,因为∠BID=∠IBD,于是BD=DI,所以AB+AC=2BC此题，若O，I分别是△ABC外心，内心，AB+AC=2BC，求证 OI⊥AI证明方法是一样的例10、P为ABC∆外接圆上一点，P在BC AC、上的射影为D E、.点L M、分别是AD BE、中点。

证明DE LM⊥.P证明 取AB 中点N ，连接MN NL AP BP 、、、,易知BPD ∆∽APE ∆，所以DP BD PEAE=,所以DP NL PEMN=,可知MNL ∆∽EPD ∆,所以DE LM ⊥第十题、已知M 是ABC ∆边BC 中点，AM 交ABC ∆外接圆⊙O 于D , 过点D 作//DE BC 交⊙O 于E ,在AD 上取点F ,使得FC AC ⊥. 求证AFC EFC ∠=∠例11、已知（文武光华数学工作室 南京 潘成华） ⊙O 、⊙I 外切于S ,⊙O 弦AB 切⊙I 于T ,点P 是AI 延长线上一点,求证BP AB ⊥充要条件是TS SP ⊥.（2014 6 8 8：49于镇江大港中学）证明（文武光华数学工作室 南京 潘成华）过S 线段AS QI 、交于R ,TS SP ⊥等价于//IR PS ,等价于AI AR AP AS= ,因为QTR QSA ABS ∠=∠=∠,得到//TR BS ,因此，AI AR AP AS =等价于AI AT AP AP=,等价于//IT BP ,即BP AB ⊥C例12、刚才看了一下2014年第5期《中等数学》数学奥林匹克问题（高）383，不难，我把解答写一下已知H是锐角ABC∆的垂心，以AH AB、为直径的圆交BHC∆外接圆于D E、,直线AD交BC于G,直线AE HC、交于F,求证//GF BH证明（文武光华数学工作室南京潘成华）设BHC∆外接圆为⊙O,直线AG交⊙O于N,所以H O N、、共线，延长CH交AB于点M,易知A M H D、、、四点共圆，所以BAD DHC ANC∠=∠=∠,所以//AB CN,同理//BN AC, 所以ABNC是平行四边形，得到G是BC AN、中点，连接AF交⊙O于J,因为BE AF⊥,可知B O J、、共线，所以OG是AHN BJC∆∆、中位线，得到AH CJ、平行且相等，所以F是HC中点，可知//GF BH例13、（文武光华数学工作室南京潘成华）设ABC∆周长为2p，AE AF p AC==-，求证ABC∆的C-旁切圆与ABC∆外接圆外切。