三相逆变器的建模

三相逆变器的建模
1.1逆变器主电路拓扑与数学模型
三相全桥逆变器结构简单，采用器件少，并且容易实现控制，故选择三相三线两电平全桥逆变器作为主电路拓扑，如错误!未找到引用源。

所示。

图1三相三线两电平全桥逆变拓扑
错误!未找到引用源。

中V dc为直流输入电压；C dc为直流侧输入电容；Q1-Q6为三个桥臂的开关管；L fj(j=a,b,c)为滤波电感；C fj(j=a,b,c)为滤波电容，三相滤波电容采用星形接法；N为滤波电容中点；L cj(j=a,b,c)是为确保逆变器输出呈感性阻抗而外接的连线电感；v oj(j=a,b,c)为逆变器的滤波电容端电压即输出电压；i Lj(j=a,b,c)为三相滤波电感电流，i oj(j=a,b,c)为逆变器的输出电流。

由分析可知，三相三线全桥逆变器在三相静止坐标系abc下，分析系统的任意状态量如输出电压v oj(j=a,b,c)都需要分别对abc三相的三个交流分量v oa、v ob、v oc进行分析。

但在三相对称系统中，三个交流分量只有两个是相互独立的。

为了减少变量的个数，引用电机控制中的Clark 变换到三相逆变器系统中，可以实现三相静止坐标系到两相静止坐标系的变换，即将abc坐标系下的三个交流分量转变成αβ坐标系下的两个交流分量。

由自动控制原理可以知道，当采用PI 控制器时，对交流量的控制始终是有静差的，但PI控制器对直流量的调节是没有静差的。

为了使逆变器获得无静差调节，引入电机控制中的Park变换，将两相静止坐标系转换成两相旋转坐标系，即将αβ坐标系下的两个交流分量转变成dq坐标系下的两个直流分量。

定义αβ坐标系下的α轴与abc三相静止坐标系下的A轴重合，可以得到Clark变换矩阵为：
11122230Clark
T ⎡⎤--⎢⎥
⎢
=⎢⎢⎣ (1)
两相静止坐标系αβ到两相旋转坐标系dq 的变换为Park 变换，矩阵为：
cos()sin()sin()cos()Park t t T t t ωωωω⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
(2)
对三相全桥逆变器而言，设三相静止坐标系下的三个交流分量为：
cos()cos(2/3)cos(2/3)
a m
b m
c m u U t u U t u U t ωωπωπ==-=+ (3)
经过Clark 和Park 后，可以得到：
d m q u U u == (4)
由式错误!未找到引用源。

和式错误!未找到引用源。

可以看出，三相对称的交流量经过上述Clark 和Park 变换后可以得到在 d 轴和 q 轴上的直流量，对此直流量进行 PI 控制，可以取得无静差的控制效果。

1.1.1 在abc 静止坐标系下的数学模型
首先考虑并网情况下，微电网储能逆变器的模型。

选取滤波电感电流为状态变量，列写方程：
000a a a la b f b b lb c c lc c di dt u u i di L u u r i dt u u i di dt ⎡⎤
⎢⎥
⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
（5）
其中，f L 为滤波电感，r 为滤波电感寄生电阻，系统中三相滤波电感取值相同。

在abc 三相静止坐标系中，三个状态变量有两个变量独立变量，需要对两个个变量进行分析控制，但是其控制量为交流量，所以其控制较复杂。

1.1.2 在αβ两相静止坐标系下的数学模型
由于在三相三线对称系统中，三个变量中只有两个变量是完全独立的，可以应用Clark 变
换将三相静止坐标系中的变量变换到αβ两相静止坐标系下，如错误!未找到引用源。

所示。

A
图 2 Clark 变换矢量图
定义αβ坐标系中α轴与abc 坐标系中a 轴重合，根据等幅变换可以得到三相abc 坐标系到两相αβ坐标系的变换矩阵：
12
12120
3a b c u u u u u αβ⎡⎤--⎡⎤⎡⎤⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎢⎥⎣⎦
（6）
联立式（5）与式（6），可以得到微电网储能逆变器在αβ坐标系下的数学模型：
00f di u u i dt L r u u i di dt α
αααββββ⎡⎤
⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦
（7）
从式（7）可以看出，与三相静止坐标系下模型相比，减少了一个控制变量，而各变量仍然为交流量，控制器的设计依然比较复杂。

1.1.3 在dq 同步旋转坐标系下的数学模型
根据终值定理，PI 控制器无法无静差跟踪正弦给定，所以为了获得正弦量的无静差跟踪，可以通过Clark 和Park 变换转换到dq 坐标系下进行控制。

dq 两相旋转坐标系相对于αβ两相静止坐标系以ω的角速度逆时针旋转，其坐标系间的夹角为θ，错误!未找到引用源。

给出了Park 变换矢量图。

图 3 Park 变换矢量图
Park 变换矩阵方程为：
cos sin sin cos d q u u t t u u t
t αβωωωω⎡⎤⎡⎤
⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢
⎥-⎣⎦⎣⎦
⎣⎦
（8）
联立式（7）和式（8）可得微电网储能逆变器在dq 坐标系下的数学模型：
00d
f d d f q d q
f q q f d q di L u u L i ri dt
di L u u L i ri dt
ωω⎧
=-+-⎪⎪⎨⎪=---⎪⎩
（9）
在两相旋转坐标系下电路中控制变量为直流量，采用PI 控制能消除稳态误差，大大简化了系统控制器的设计。

但是，由于dq 轴变量之间存在耦合量，其控制需要采用解耦控制，解耦控制方法将在下节介绍。

1.1.4 解耦控制
从式（9）可以看出，dq 轴之间存在耦合，需要加入解耦控制。

令逆变器电压控制矢量的d 轴和q 轴分量为：
d gd q d
q
gq d q v u Li v v u Li v ωω=+-∆⎧⎪⎨
=--∆⎪⎩ （10）
其中d v ∆，q v ∆分别是d 轴和q 轴电流环的输出，当电流环采用PI 调节器，满足：
**()()()()
ii d ip d d ii q ip q q K v K i i s
K v K i i s ⎧∆=+-⎪⎪⎨
⎪∆=+-⎪⎩
（11）
ip K ，ii K 分别是电流PI 调节器的比例系数和积分系数，*d i ，*
q i 分别为d 轴和q 轴的参考电
流，d i ，q i 分别为d 轴和q 轴的实际电流采样。

把公式（10）代入公式（9）可得：
d
d d q q q
di L ri v dt
di L ri v
dt
⎧=-+∆⎪⎪⎨
⎪=-+∆⎪⎩ （12）
由式（12）可以看出，由于在控制矢量中引入了电流反馈，抵消了系统实际模型中的耦合电流量，两轴电流已经实现独立控制。

同时控制中引入电网电压前馈量gd u 和gq u ，提高了系统
对电网电压的动态响应。

错误!未找到引用源。

是电流解耦控制框图。

解耦方法为在各轴电流PI 调节器输出中加入其他轴的解耦分量，解耦分量大小与本轴被控对象实际产生的耦合量大小一致，方向相反[1]。

图 4 电流解耦控制图
对公式（12）进行拉普拉斯变换，同时把公式（11）代入公式（12）可得：
()()()()()()
ii d ip d d
ii q ip q q
k Ls r i k i i s k Ls r i k i i s **⎧
+=+-⎪⎪⎨
⎪+=+-⎪⎩
（13
）
在采用解耦控制之后，d 轴电流和q 轴电流分别控制。

错误!未找到引用源。

给出电流内环的结构框图。

*
图 5 电流内环结构框图
其中，s T 为电感电流采样周期，ip K 和ii K 对应电流环的PI 参数，1/(10.5)s T s +代表PWM 控制产生的惯性环节[2]，1/(1)s T s +代表电流采样的延迟[3]。

PWM K 为调制比，由于本文空间矢量调制(Space Vector Pulse Width Modulation, SVPWM)，调制过程中引入了直流电压的前馈环节，
所以PWM K 可以表示为：
1PWM K =
(14)
本系统开关频率和器件参数为：1/1/15kHz=66.7us s s T f ==， 1.5mH L =，0.1R =Ω，50uF C =。

由于d 轴和q 轴电流环完全对称，所以本文只分析d 轴电流环的设计过程。

由于合并小惯性环节并不会影响系统低频特性，可以将错误!未找到引用源。

化简，得到错误!未找到引用源。

图 6 d 轴电流环简化结构框图
1.2 电压电流双环设计
1.2.1 电流环设计
由上述分析可知，在环路设计时可以对d 轴电流和q 轴电流分别进行控制[4]，从而可以得到如错误!未找到引用源。

所示的电流环控制框图。

图 7 电流环控制框图
其中， K ip 和K ii 对应电流环的PI 参数，T s 为电流内环采样周期，1/(1+T s s )和1/(1+分别代替电流环信号采样的延迟和PWM 控制的小惯性延时环节[5]。

本文设计的系统参数如下：L =，R =Ω，C =50μF ，T s =1/f s =1/15k Hz=μs 。

由于d 轴与q 轴的电流环类似，故以d 轴电流环为例进行分析。

补偿前电流环的开环传递函数为：
0()(1.51)()
PWM
c s K G s T s R Ls =
++
(15)
补偿网络的传递函数为：
1()ip ii
K s K H s s
+=
(16)
直流增益20lg|G c 0(s)|=20dB ；幅频特性的转折频率为100Hz ，设定补偿后的穿越频率为1/10的开关频率，即1500Hz 。

则有：
011(21500)(21500)
c G j H j ππ⋅=
⋅
(17)
若加入补偿网络后，系统回路的开环增益曲线以-20dB/dec 斜率通过0dB 线，变换器具有较好的相位裕量。

由于补偿前的传递函数在中频段的斜率已经为-20dB/dec ，因此补偿网络在1500Hz 时斜率为零。

将PI 调节器的零点设计在原传递函数的主导极点转折频率处，即100Hz 处。

令：
ip ii
K L
K R
= (18)
联立式错误!未找到引用源。

及式错误!未找到引用源。

可得电流环的PI 参数：K ip =18，K ii =1200。

实际取值：K ip =10，K ii =1200。

频率/Hz
图 8 电流环补偿前后的波特图
错误!未找到引用源。

所示为电流环补偿前后的波特图。

可以看出，补偿前电流环的开环传递函数G c 0(s )在低频段的增益为20dB ，并且在100Hz 时穿越0dB 线，相位裕度为75°；加入补偿环节后，电流环的闭环传递函数G il (s )其幅频特性曲线在1000Hz 处以-20dB/dec 斜率通过0dB 线，相位裕度为60°。

补偿之后回路的开环传递函数为：
()()(1.51)()
PWM ip ii s K K s K G s s T s R Ls +=
++ (19)
因此，补偿之后电流环的闭环传递函数为：
2()
(1.51)()()
1
()() 1.51()
11(1.51)()PWM ip ii s il PWM ip ii s ip PWM ip PWM
s K K s K s T s R Ls G s G s K K s K LT L
G s s s K K K K s T s R Ls +++=
=
=
+++++
++ (20)
1.2.2 电压环设计
电压外环主要是保证输出电压的稳态精度，动态响应相对较慢。

设计电压外环时，可以将电流内环看成一个环节，其控制框图如错误!未找到引用源。

所示。

补偿前系统的开环传递函数为：
01
()C s ()(1)
v il s G s G s T s =
⋅⋅+
(21)
图 9 电压环控制框图
PI 调节器的传递函数为：
2()vp vi
K s K H s s
+=
(22)
将电压环的穿越频率设计在150Hz 左右。

由于G v 0(s )的幅频特性在150Hz 处的斜率为-20dB/dec ，因此需要设计PI 调节器的零点在小于200Hz 处，文中取为150Hz 。

同理参照电流环设计方法，可以得到：
021
(2150)(2150)
v G j H j ππ=
(23)
并且
1
2150
vp vi
K K π=⋅
(24)
根据式错误!未找到引用源。

和式错误!未找到引用源。

，得出电压环的PI 参数为：K vp =20，K vi =。

画出初始的传递函数、补偿网络及补偿后系统的开环传递函数Bode 图如错误!未找到引用源。

所示。

由错误!未找到引用源。

可以看出，补偿前原始回路增益函数G v 0(s)在2k Hz 时穿越0dB 线；加入补偿网络之后，由错误!未找到引用源。

可知，幅频特性在150Hz 处以-20dB/dec 斜率通过0dB 线，相位裕度为55°。

在实际调试过程中，PI 参数进行了适当的调整，使系统能够得到最优化。

频率/Hz
图 10 电压环补偿前后的波特图。