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第七章测试题答案

一、填空（ 20 分）

1、 xy

x 2 y 2 x 3 y x 5 是 3 阶微分方程；

2、与积分方程 y

x y

f ( x, y)

f ( x, y)dx 等价的微分方程初值问题是

；

x 0

y x x 0

、已知微分方程 y

2y y 0 ，则函数

y

2

x 不是 （填“是”或“不

3

x e 是”）该微分方程的解；

4 、设 y 1 和 y 2 是二阶齐次线性方程

y p( x) y q( x) y 0 的两个特解，

C 1 , C 2 为任意常数，则 y

C 1 y 1 C 2 y 2 一定是该方程的

解

（填“通解”或“解” ）；

、已知 y

1、 y x 、 y 2

5

x 是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该 方程的通解为： y C 1 ( x 2 1) C 2 ( x 1) 1；

、方程 y 4 y

5y 0的通解为

y

2 x

( C 1 cos x C 2 sin ) .

6

e x 7、微分方程 y 4 y cosx 的特解可设为 y * A cosx

B sin x ；

8、以 x 1

x 2 2为特征值的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是：

y 4 y 4 y 0 ；

9、微分方程 y y

e x 1 的特解 y * 形式为： y axe x b ；

10、微分方程 y

y 4 y

4 y 0 的通解： C 1e x

C 2 cos2x C 2 sin 2x 。

二、（ 10 分）求 y

y

x 的通解

.

x

解：由一阶线性微分方程的求解公式

1

1

y e

dx

e x xdx C) ，

x

(

1

( x 2dx C )

1 x

2 C x

3

x

三、（ 10 分）求解初值问题 y xy 0, y(0) 2 .

解： y

xy 0

分离变量 1

dy

xdx ，

y

x 2

x 2

两边同时积分 ln y

ln C ， y

Ce 2

，

2

x 2

又由 y(0) 2，得 C

2 ，故 y 2e 2

四、（15 分）曲线的方程为 y f ( x ) ，已知在曲线上任意点 ( x, y) 处满足 y 6 x ，

且在曲线上的 (0, 2) 点处的曲线的切线方程为 2 x 3 y 6，求此曲线方程。

解： y

6 x 得 y 3x 2

C 1 ， y x 3 C 1 x C 2 ，

又由 y(0)

2, y (0)

2

知，C 1

2 , C 2 2 ，

3

3

故曲线方程为 y

x 3 2 x 2

3

x

x

x

) dy

五、（ 15 分）求齐次方程 (1 2e y ) dx 2e y (1

0的通解.

y

x

x )

dx

2e y (1

y

解：原方程可化为 dy

x

，

1 2e y

x

，则 x

yu ， dx

u y du

.

令 u

dy dy y

原方程变为： u

y du

dy

2e u 1

分离变量，得

2e u

u du

2e u ( u 1)

1 2e u

dy

y

du 2e u

u

即 y 1 u

.

dy 2e

e u u

)

ln y ln C 两边积分得： ln( 2

即 2e u u C .

y

x

以代入上式中的 u ，化简得方程的通解为：y

x

2ye y x C .

六、（ 15 分）求解初值问题：y3 y 1 0

. y

x 1 1, y x 1

解：设 y p ，则 y p dp

，代入方程得：

dy

y3 p dp

1 0 ，分离变量并积分，得：dy

1 p

2 1 y2 1

C ，即 p y 2 C .

2 2 2

当 x 1 时， y 1, p 0 ，得 C 1.

则 p dy y 2 1 .

dx

分离变量并积分，得：x C1 1 y2

由 y x 1 1

，得

C

1 1.

则 ( x 1) 1 y2 即 y 2x x 2.

七、（ 15 分）求方程y 4 y 4 y 3 2x 的通解. 解：该方程对应的齐次方程的特征方程为

r 2 5r 4 0，解得r 4, r

2 1

1

则 Y C e 4 x C e x.

1 2

由于0 不是特征根，所以设y* 为 y* ax b ，

代入原方程，得：a

1 , b 11 .

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