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高等数学第七章习题答案

习题7-1

1. 下列向量的终点各构成什么图形？

（1）空间中一切单位向量归结为共同的始点；

（2）平行于同一平面的一切单位向量归结为共同的始点；

（3）平行于同一直线的所有单位向量归结为同一始点；

（4）平行于同一直线的所有向量归结为同一始点。

答：（1）单位球面（2）单位圆（3）两个点（4）直线。

2．设点O 是正六边形ABCDEF 的中心，在向量,,,,,,,,OA OB OC OD OE OF AB BC ,,,CD DE EF FA 中，哪些向量是相等的？答：,OA EF =,OB FA =,OC AB =,OD BC =,OE CD =.OF DE =

3.平面四边形,ABCD 点,,,K L M N 分别是,,,AB BC CD DA 的中点，证明：.KL NM =当四边形ABCD 是空间四边形时，上等式是否仍然成立？

证明：连结AC, 则在∆BAC 中，21AC. 与方向相同；在∆DAC 中，21AC. NM 与AC 方向相同，从而KL ＝NM 且KL 与NM 方向相同，所以KL ＝NM .当四边形ABCD 是空间四边形时，上等式仍然成立。

4．解下列各题：

（1）化简()()()()2332;x y x y -+-+-a b a b

（2）已知12312323,322,=+-=-+a e e e b e e e 求,,32+--a b a b a b.

解：（1）()()()()2332x y x y -+-+-a b a b

()()()()23322332x y x y x y x y =--++-++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦a b

《高等数学》同济第六版第7章答案

xn 的收敛域为 [−2,2) ； ∑ n n =1 2 ⋅ n 2n +1 1 (n + 1) 2 + 1 1 1 = lim = 2, 所以收敛半径为 R = ，收敛区间为 (− , ) . n n →∞ 2 2 2 2 2 n +1
∞
（3） ρ = lim
n →∞
an +1 an
当x=
1 1 时级数收敛，当 x = − 时级数收敛， 2 2
1 1 1 25 = 25( + + ") = 25 ⋅ 100 = . 1 100 10000 99 1− 100
7.用比较审敛法或其极限形式判定下列级数的敛散性:
1 (1) ∑ n =1 3n + 2
(4)
∞
2 (2) ∑ n n =1 3 + 4
(5)
∞
n2 −1 (3) ∑ 3 n =1 n + 4
当 x = 1 和 x = −1 时级数发散，所以幂级数
∑ nx
n =1
∞
n
的收敛域为 (−1,1) ；
（2） ρ = lim
n →∞
an +1 an
1 2 (n + 1) 1 = lim = , 所以收敛半径为 R = 2 ，收敛区间为 (−2,2) . n →∞ 1 2 n 2 n

《高数》第7章级数-练习题参考答案

第七章无穷级数练习题—参考答案

一、单项选择题

1-5. ABDCC; 6-10. BCADA; 11-15.CBACC; 16-20.CACCC; 21.C 二、填空题 1．

;21 1

-n ; 2. 1<q ; 1≥q 3. 0 , 8 ; 4. p=0 ; ]1,0(∈p ; p>1 5. 1 , (-1,1). 6. 0 7.

R ; 8. ∑∞

==0

2!)2(n n

n x e

, ),(+∞-∞

∑∞

=--0

)1()

1(n n n

x , (0,2).

三．判定下列级数的敛散性 1．

∑

∞

=+1

121

n n （比较法） 2．∑∞

=++12)

1(2n n n n （比较法）解：,31

21121n

n n n U n =+>+=

解：,212)1(23222

n n n n n n n n U n +=•+<++= 发散又∑∞

=131n n 都收敛与又∑∑∞

=∞

=13

122

n n n

发散∑∞

=+∴11

21n n ）收敛（3122

1n n n +∴∑

∞= ∑∞

=++∴

)

1(2

n n n n 3．∑∞

=15

5n n n （比值法） 4．1

+∑∞

=n n （比较法）

解.151

55)1(lim lim 5151<=⋅+=+∞→+∞→n n U U n n n n

n n 解. ,111

n U n =

.515

收敛∑∞

=∴n n n 收敛又2

n ∑

∞

131

收敛+∴∑

∞

=n n

5．

1n n n +∑

∞

= （比较法） 6.∑∞

《高等数学》第七章微分方程单元测试题

一、选择题

1、下列方程可分离变量的是（）

A. 0)sin(=+dy e dx xy y

B. 02=++dy y dx xe

C. 0)1(2=++dy y dx xy

D. 0)(=+++dy e dx y x y

2、下列方程中为常微分方程的是（） A. 4

310x x x +-+=

B. 2

"'y y x += C. 222222u u u

t x y

∂∂∂=+∂∂∂

D. 2

u v w =+

3、下列微分方程是线性的是（） A. 2

y xy y x '''++= B. 22

y x y '=+ C. 2

()y xy f x ''-=

D. 3

y y y '''-=

4、微分方程230y y y '''--=的通解是y = （） A. 3

3x x ++

B. 2

13c c x x

C. 312x x

c e c e -+ D. 312x x

c e c e -+

5、方程36916x

y y y e '''-+=-特解的形式为 ( ) A. 31x y Ae = B. 231x y Ax e =

C. 31x y Axe =

D. 31(sin 3cos3)x y e A x B x =+ 6、方程

2dy

xy dx

=的通解为（） (A) 2e x y c =；（B ）e x y c =； (C) 2e x

y =； (D) 2

e x y c =。

7、下列微分方程不能变量分离的是（） (A) 11+y

y'=

；（B ）1y x y'=y --； (C) 220y dx+x dy =； (D)

高等数学第七章测试题答案第版

第七章测试题答案

一、填空（20分）

1、5322x y x y x y x =+'+'''是3阶微分方程；

2、与积分方程⎰=x

x dx y x f y 0),(等价的微分方程初值问题是⎪⎩⎪⎨⎧=='=0),(0

x x y y x f y ； 3、已知微分方程02=+'-''y y y ，则函数x e x y 2=不是（填“是”或“不是”）该微分方程的解；

4、设1y 和2y 是二阶齐次线性方程0)()(=+'+''y x q y x p y 的两个特解，21,C C 为任意常数，则2211y C y C y +=一定是该方程的解（填“通解”或“解”）；

5、已知1=y 、x y =、2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通

解为：1)1()1(221+-+-=x C x C y ；

6、方程054=+'-''y y y 的通解为)sin cos (212x C x C e y x +=.

7、微分方程x y y cos 4=+''的特解可设为x B x A y sin cos *+=；

8、以221==x x 为特征值的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是：

044=+'-''y y y ；

9、微分方程1+=-''x e y y 的特解*y 形式为：b axe y x +=；

10、微分方程044=-'+''-'''y y y y 的通解：x C x C C x 2sin 2cos e 221++。

二、（10分）求x x

y y =+'的通解. 解：由一阶线性微分方程的求解公式

)(11

高等数学第七章习题详细解答

第七章习题答案

习题7.0

1．下列各种情形中，P 为E 的什么点？

（1）如果存在点P 的某一邻域()U P ，使得()⊂c U P E （c E 为E 的余集）；（2）如果对点P 的任意邻域()U P ，都有, ()(),C U P E U P E φφ≠≠；（3）如果对点P 的任意邻域()U P ，都有. 解（1）P 为E 的外点；（2）P 为E 的边界点；（3）P 为E 的聚点。 2.判定下列平面点集的特征（说明是开集、闭集、区域、还是有界集、无界集等？）并分别求出它们的导集和边界.

(1) (){}

,0≠x y y ;

(2) (){}

22,620≤+≤x y x y ; (3) (){}

2,≤x y y x ;

(4) ()(){

}()(){

}

22,11,24+-≥⋂+-≤x y x y x y x y .

解 (1) 是开集，是半开半闭区域，是无界集，导集为2R ,边界集为

(){},0=x y y ；(2)既不是开集也不是闭集，是半开半闭区域，是有界集，导集

为(){}

22,620≤+≤x y x y ，边界集为(){}

2222,=6=20++，x y x y x y ；(3) 是闭集，是半开半闭区域，是无界集，导集为集合本身,边界集为(){}

2,=x y y x ；是闭集，是闭区域，是有界集，导集为集合本身，边界集为

()()

(){

}

22,11,24+-=+-=x y x y x y

习题7.1

1. 设求

1. 解令

,=-=

u x y v x

，解得

,11=

=--u uv x y v v

高等数学微分方程第七章练习题答案

第七章练习题

一、填空：第一节

1、微分方程()1y x 2

='+'y 的阶一 __.

2、0

)()67(=++-dy y x dx y x 是一阶常微分方程. 3、

01"

=+xy 是二阶常微分方程. 4、微分方程2'=y x 的通解为 c x y +=2 。 5、 153'+=+x y xy 是 1 阶常微分方程 6、与积分方程()dx y x f y x x ⎰

等价的微分方程初值问题是0|),,(0'===x x y y x f y

7、223421xy x y x y x ''''++=+是 3 阶微分方程。

8、方程222(1)1x

d y

e e dx

+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为 2

9、微分方程()

1/22

///

=+y x y 的通解中含有任意常数的个数是 3

10、方程()01///=+--y xy y x 的通解中含有 2 个任意常数 11、微分方程03322=+dx x dy y 的阶是 1 第二节 1、微分方程

x dy

e dx

=满足初始条件(0)2y =的解为1x y e =+． 2、微分方程y x e y -=2/的通解是 C e e x

y +=22

1 3、微分方程

2dy

xy dx

=的通解是 2x y Ce = 4、一阶线性微分方程

23=+y dx dy

的通解为 323x Ce -+

5、微分方程0=+'y y 的通解为 x ce y -=

6、微分方程3

23y y ='的一个特解是 ()3

2+=x y

第三节

1、

tan dy y y

dx x x

第七章-线性变换练习题参考答案

第七章线性变换练习题参考答案

一、填空题

1．设123,,εεε是线性空间V 的一组基，V 的一个线性变换σ在这组基下的矩阵是33112233(),,ij A a x x x V αεεε⨯==++∈则σ在基321,,εεε下的矩阵B ＝

1,T AT -而可逆矩阵T ＝001010100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

满足1,B T AT -=σα在基123,,εεε下的坐标为

123x A x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ .

2．设A 为数域P 上秩为r 的n 阶矩阵，定义n 维列向量空间n P 的线性变换:(),n A P σσξξξ=∈,则1(0)σ-＝{}|0,n A P ξξξ=∈，()1dim (0)σ-＝n r -，()dim ()n P σ＝r .

3．复矩阵()ij n n A a ⨯=的全体特征值的和等于1n

ii i a =∑ ，而全体特征值的积等于

||A .

4．设σ是n 维线性空间V 的线性变换，且σ在任一基下的矩阵都相同，则σ为__数乘__变换 .

5．数域P 上n 维线性空间V 的全体线性变换所成的线性空间()L V 为2n 维线性空间，它与n n P ⨯同构.

6．设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,

,n λλλ，()f x 为任一多项式，则()f A 的全体特征值为12(),(),

,()n f f f λλλ . 7．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2231A ，则向量⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛11是A 的属于特征值 4 的特征向量． 8．若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛--=100001011A 与1010101k B k ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭相似，则k = -1/2 ． 9．设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23+--=λλλλf ，则=||A 3 ．

(完整版)高等数学第七章向量

第七章空间解析几何与向量代数

§7.1 空间直角坐标系

§7.2 向量及其加减法、向量与数的乘法

一、判断题。

1．点（-1，-2，-3）是在第八卦限。（） 2．任何向量都有确定的方向。（） 3．任二向量b a ,

=.则a =b 同向。 ( ) 4．若二向量b a ,

,则b a ,同向。（）

5．若二向量b a ,满足关系b a -=a +b

，则b a ,反向。（）

6．若

a b a +=+,则

c b =

( ) 7．向

量

a ,满

足

，则

a ,同向。

（）二、填空题。

1．点（2，1，-3）关于坐标原点对称的点是

2．点（4，3，-5）在坐标面上的投影点是M （0，3，-5） 3．点（5，-3，2）关于的对称点是M （5，-3，-2）。

4．设向量a 与b 有共同的始点，则与b a ,共面且平分a 与b 的夹角的向量为 5．已知向量a 与b 方向相反，且||2||a b =，则b 由a 表示为b = 。 6．设b a ,有共同的始点，则以b a ,为邻边的平行四边形的两条对角线的向量分别为。三、选择题。

1．点（4，-3，5）到oy 轴的距离为（A ）2225)3(4+-+ （B ）

225)3(+-

（C ）22)3(4-+ （D ）2254+ 2．已知梯形OABC 、CB //

OA 且

a ，OC =

b ，则AB = （A ）

b a - （B ）b a 21- （C ）a b -21 （D ）a b 21-

3．设有非零向量b a ,，若a ⊥ b ，则必有

高等数学第七章测试题答案

高等数学第七章测试题答案(第7

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第七章测试题答案

一、填空（20分）

1、5

322x y x y x y x =+'+'''是 3 阶微分方程； 2、与积分方程⎰=x

x dx y x f y 0),(等价的微分方程初值问题是⎪⎩⎪⎨⎧=='=0),(0

x x y y x f y ； 3、已知微分方程02=+'-''y y y ，则函数x e x y 2=不是（填“是”或“不是”）该微分方程的解；

4、设1y 和2y 是二阶齐次线性方程0)()(=+'+''y x q y x p y 的两个特解，

21,C C 为任意常数，则2211y C y C y +=一定是该方程的解（填“通解”或“解”）；

5、已知1=y 、x y =、2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该

方程的通解为：1)1()1(221+-+-=x C x C y ；

6、方程054=+'-''y y y 的通解为)sin cos (212x C x C e y x +=.

7、微分方程x y y cos 4=+''的特解可设为x B x A y sin cos *+=；

8、以221==x x 为特征值的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是： 044=+'-''y y y ；

9、微分方程1+=-''x e y y 的特解*y 形式为：b axe y x += ；

10、微分方程044=-'+''-'''y y y y 的通解：x C x C C x 2sin 2cos e 221++。

大学高数答案第七章

第七章习题解答

第一次作业

1．（a , b , c ）； 2．3或-7；

3．D ； 4．B ；

5．解设C 点的坐标为()z ,y ,C 0,于是

18114222=++=

,3==

由()()()⎩⎨⎧=-+-+=+-+22222

2223

122332z y z y 解得 ⎩⎨⎧==2

4z y 或 ⎩⎨⎧-==11z y 故()240,,C 或 ()110-,,C

6．解

D C A

B L

⎪⎩

⎪⎨⎧+=+=+=+=+=b a 212121 解得 ⎪⎩

⎪⎨⎧-=-=b a a

b 32343234 7．证设在ABC ∆中，F ,E 分别为AC ,AB 边

的中点，于是

()

121=-=-= 故 //

C B

第二次作业

1．2

3-； 2．()032,,-； 3．B ； 4．D ；

5．解 β-α-=γ2221c o s c o s c o s

141411=--= 解得 2

2±=γc o s 2

3213=⋅=α=cos a a x 2

3213=⋅=β=cos a a y 223223±=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛±⋅=γ=cos a a z ⎭

⎬⎫⎩⎨⎧±=∴2232323,,a 终点坐标为⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛±22312327,,。 6．解设B （x ，y ，z ），于是={x-2,y+1,z-7} 依题意得，k z y x =--=+=-12

79182

34= 得，

222234712=-+++-)z ()y ()x ( 从而

434144816422222=⇒=++k k k k

⎪⎩

⎪⎨⎧-=+-==-==+=±=⇒1771217

高数(上)第七章复习题(含参考答案)

高数上

第七章复习题

1、设m =3i +5j +8k , n =2i -4j -7k 和p =5i +j -4k . 求向量a =4m +3n -p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量.

解因为

a =4m +3n -p =4(3i +5j +8k )+3(2i -4j -7k )-(5i +j -4k )=13i +7j +15k , 所以a =4m +3n -p 在x 轴上的投影为13, 在y 轴上的分向量7j . 2. 设a =3i -j -2k ,

b =i +2j -k , 求(1)a ⋅b 及a ⨯b ; (2)(-2a )⋅3b 及a ⨯2b ; (3)a 、b 夹角的余弦.

解 (1)a ⋅b =3⨯1+(-1)⨯2+(-2)⨯(-1)=3,

k j i k j i b a 75

121 213++=---=⨯. (2)(-2a )⋅3b =-6a ⋅b = -6⨯3=-18,

a ⨯2

b =2(a ⨯b )=2(5i +j +7k )=10i +2j +14k .

(3)2123

6143||||||) ,cos(^==⋅=b a b a b a .

3. 设a 、b 、c 为单位向量, 且满足a +b +c =0, 求a ⋅b +b ⋅c +c ⋅a . 解因为a +b +c =0, 所以(a +b +c )⋅(a +b +c )=0,

即 a ⋅a +b ⋅b +c ⋅c +2a ⋅b +2a ⋅c +2c ⋅a =0,

于是 23)111(21)(21-=++-=⋅+⋅+⋅-=⋅+⋅+⋅c c b b a a a c c b b a .

《高等数学》(下)习题参考答案

《高等数学》（下）习题参考答案

第七章空间解析几何与矢量代数

习题

一、 1．(,,),(,,),(,,)x y z x y z x y z ------； 2．k j i 573--；

3．2y z +=或210x y z +-=； 4．圆，圆柱面； 5．2340x y z --+=．二、 1. 2. 3. 4. 5.B C B A C

三、

1.u =

11232.cos cos cos 223

αβγαβγ=-

；

3.4-；

4.32550x y z +-+=；

5.3

θ=

； 6.P r j βα=；

7.2OAB

S ∆= 222

8.9x y z ++=； 222289.0x x y z ⎧-+=⎨=⎩

； 10．⎪⎭⎫ ⎝⎛--8343,8356

,83

273； 11.0

x y z -+=．第八章多元函数微分学

习题一一、 1、y

x +-112

； 2、},0,0|),{(2y x y x y x ≥≥≥； 3、1，2； 4、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++xy xy xy xy x 1)1ln()1(，12)1(-+x xy x ； 5、22812y x -，2

2812x y -，xy 16-．二、1. 2. 3. 4. 5.D D B B A

三、 1

11ln ln ln z z z z y y z y z u

y x x y z x x y x y x

--∂∂∂===∂∂∂、 2、

)ln (1z x y z y x x u x z y +=∂∂-，)ln (1z x y z y x y

高等数学课后习题答案--第七章

14. 计算下列映射的导数： ⎛x+ y ⎞ ⎟ （1） f ( x, y ) = ⎜ ⎜ x 2 + y 2 ⎟; ⎝ ⎠
⎛ u cos v ⎞ ⎟ ⎜ （2） g (u , v) = ⎜ u sin v ⎟. ⎟ ⎜v ⎠ ⎝
⎛ dx ⎞ ⎛ dx + dy ⎞ ⎛1 1⎞ ⎜ ⎟ ⎟ df = J , 【解】 (1) J = ⎜ ⎜ dy ⎟ ⎟=⎜ ⎜ ⎜ 2x 2 y ⎟ ⎟; ⎝ ⎠ ⎝ 2 xdx + 2 ydy ⎠ ⎝ ⎠
（1） u = sin(ax − by ); （2） u = e ax cos bx; （3） u = ye xy ; （4） u = x ln y . 【答案】 (1) a 2 sin( −ax + by ) , − ab sin(− ax + by ) , b 2 sin(− ax + by ) ; (2) a 2e ax cos(by ) , − abe ax sin(by ) , − b 2e ax cos(by ) ; (3) y 3e xy , ( xy 2 + 2 y )e xy , ( x 2 y + 2 x)e xy ;
（4）
x2 y2 z2 . ( x , y , z ) →( 0, 0 , 0 ) x 2 + y 2 + z 2 lim

高等数学,课后习题答案,第七章,高分必备

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习题七

1. 在空间直⾓坐标系中，定出下列各点的位置：

A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4);

D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0).

解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限；

点D在xOy⾯上；点E在yOz⾯上；点F在x轴上.

2. xOy坐标⾯上的点的坐标有什么特点？yOz⾯上的呢？zOx⾯上的呢？

答: 在xOy⾯上的点，z=0;

在yOz⾯上的点，x=0;

在zOx⾯上的点，y=0.

3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？

答：x轴上的点，y=z=0;

y轴上的点，x=z=0;

z轴上的点，x=y=0.

4. 求下列各对点之间的距离：

（1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）；

（3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）.

解：（1

）

(2)

s==

(3)

s==

(4)

s==

5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离.

解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂⾜分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）.

故

s==

6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M（0，0，z），则

222222

(4)1(7)35(2)

z z

-++-=++--

解得

9 z=

即所求点为M（0，0，14 9）.