九年级数学上册24.3正多边形和圆课件(新版)新人教版 (1)
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24.3 正多边形和圆 课件4(数学人教版九年级上册)
6
因此,亭子地基的周长 l =4×6=24(m). BC 4 2， 在Rt△OPC中,OC=4, PC= 2 2 利用勾股定理,可得边心距
F
r 4 2 2 3.
2 2
E O r R C
亭子地基的面积
A
D
1 1 S lr 24 2 3 41.6(m 2 ). 2 2
B
P
练习
1. 矩形是正多边形吗?菱形呢?正方形呢?为什么?
解答：
矩形不是正多边形，因为四条边不都相等 ; 菱形不是正多边形，因为菱形的四个角不都相等;
正方形是正多边形．因为四条边都相等，四个角都相等.
3.分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方形的边长，边 心距和面积. 解：作等边△ABC的BC边上的高AD,垂足为D
你能尺规作出正六边形、正三角形、 正十二边形吗？
以半径长在 圆周上截取六段 相等的弧，依次 连结各等分点， 则作出正六边形 . 先作出正 六边形，则可作 正三角形，正十 二边形，正二十 四边形………
F
E O ·
A
D
B
C
C
A M N
B
D
达标检测：
1、判断题。
①各边都相等的多边形是正多边形。 （× ）
中心角
O
·
半径R
边心距r
中心角 360 n
中心角
E
D
边心距把△AOB分成 2个全等的直角三角形
F
R
. .O
a
C
180 AOG BOG n A G B 设正多边形的边长为a,半径为R,它的周长为L=na.
边心距r 面积S
R
2
（
因此,亭子地基的周长 l =4×6=24(m). BC 4 2， 在Rt△OPC中,OC=4, PC= 2 2 利用勾股定理,可得边心距
F
r 4 2 2 3.
2 2
E O r R C
亭子地基的面积
A
D
1 1 S lr 24 2 3 41.6(m 2 ). 2 2
B
P
练习
1. 矩形是正多边形吗?菱形呢?正方形呢?为什么?
解答：
矩形不是正多边形，因为四条边不都相等 ; 菱形不是正多边形，因为菱形的四个角不都相等;
正方形是正多边形．因为四条边都相等，四个角都相等.
3.分别求出半径为R的圆内接正三角形，正方形的边长，边 心距和面积. 解：作等边△ABC的BC边上的高AD,垂足为D
你能尺规作出正六边形、正三角形、 正十二边形吗？
以半径长在 圆周上截取六段 相等的弧，依次 连结各等分点， 则作出正六边形 . 先作出正 六边形，则可作 正三角形，正十 二边形，正二十 四边形………
F
E O ·
A
D
B
C
C
A M N
B
D
达标检测：
1、判断题。
①各边都相等的多边形是正多边形。 （× ）
中心角
O
·
半径R
边心距r
中心角 360 n
中心角
E
D
边心距把△AOB分成 2个全等的直角三角形
F
R
. .O
a
C
180 AOG BOG n A G B 设正多边形的边长为a,半径为R,它的周长为L=na.
边心距r 面积S
R
2
（
正多边形和圆PPT课件
一共吃了多少只虫子？
易错辨析（选题源于《典中点》）
4．填表。
加数 加数
和
23 36 40 50
63 86
59 30 20 27
79 57
辨析：求和用加法，求加数用和减另一个加数。
小试牛刀（源于《典中点》） 1．想一想，填一填。
32＋40＝ 72 先算：30 ＋40 ＝ 70 再算：2 ＋ ＝70 72
感悟新知
知2－练
1 (西宁)一元钱硬币的直径约为24 mm，则用它能
完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过( A )
A．12 mm
B．12 3 mm
C．6 mm
D．6 3 mm
感悟新知
知识点 3 正多边形的作图
正多边形和圆有什么关系？ 你能借助圆画一个正多边形吗？
知3－讲
感悟新知
已知⊙O 的半径为 2 cm，画圆的内接正三角形． 知3－讲
作OP⊥BC,垂足为P.
在Rt△OPC中，OC=4 m，
PC=
BC 2
4 2
=2（m）,利用勾股定理，
可得边心距r= 42 22 2 3(m).
亭子地基的面积S= 1 lr 1 24 2 3 41.6(m2 ). 22
感悟新知
知2－讲
正n边形的一个内角的度数是多少？中心角呢？ 正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？
第二十四章 圆
24.3 正多边形和圆
24.3 正多边形和圆
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
正多边形的有关概念 正多边形的有关计算 正多边形的作图
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
观察下列图形他们有什么特点？
感悟新知
人教版数学九年级上册第二十四章《24.3 正多边形和圆》课件(共19张PPT)
对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作图. 再如，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可以把圆四等分，从而作 出正方形.
用尺规等分圆： 用尺规作图的方法等分圆周，然后依次连接圆上各分点得到正多边形，这 种方法有局限性，不是任意正多边形都能用此法作图，这种方法从理论上 讲是一种准确方法．
2.如图，正五边形ABCDE的对角线AC和BE相交于点M. 求证：(1) AC//ED；(2) ME=AE.
如图，正五边形ABCDE的对角线AC和BE相交于点M. 求证：(1) AC//ED；(2) ME=AE.
归纳新知
正多边形 的画法
用量角器等分圆 用尺规等分圆
此方法可将圆任意n等分，所以用 该方法可作出任意正多边形，但边 数很大时，容易产生较大的误差.
度量法③：
用圆规在⊙O 上顺次截取6条长度等于半径(2 cm)的弦，连接其中的 AB， BC，CA 即可．
B
O
A
C
对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作图. 例如，我们也可以这样来作正六边形.由于正六边形的边长等于半径，所以 在半径为R的圆上依次截取等于R的弦，就可以把圆六等分，顺次连接各分 点即可得到半径为R的正六边形.
课堂练习
1.画一个半径为2 cm的正五边形，再作出这个正五边形的各条对角线，画 出一个五角星.
2.面积相等的正三角形与正六边形的边长之比为
.
中考实题
1.已知⊙O如图所示. (1) 求作⊙O的内接正方形(要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； (2) 若⊙O的半径为4，求它的内接正方形的边长.
此方法是一种比较准确的等分圆的方 法，但有局限性，不能将圆任意等分.
再见
合作探究
已知⊙O 的半径为 2 cm，画圆的内接正三角形． 度量法①： 用量角器或 30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°．
最新人教版初中数学九年级上册《24.3 正多边形和圆(第1课时)》精品教学课件
2.一个正多边形的各个顶点在同一个圆上? 一个正多边形的各个顶点在同一个圆上，则这个正多边形就是这 个圆的一个内接正多边形，圆叫做这个正多边形的外接圆. 3.所有的多边形是不是都有一个外接圆和内切圆？ 多边形不一定有外接圆和内切圆，只有是正多边形时才有，任意 三角形都有外接圆和内切圆.
探究新知
正多边形的外接圆和内切圆的公
(n 2)180
n
中心角
120 ° 90 ° 60 °
360 n
外角
120 ° 90 ° 60 °
360 n
正多边形的外
角=中心角
A
F
中心
中心角
B
O半径R E
边心距r
C
D
探究新知
知识点 3 正多边形的有关计算
如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF：
①它的中心角等于 60 度 ；
② OC=BC (填＞、＜或＝）； F
探究新知
AC是∠DAB及∠DCB的角平
E A
B 分线，BD是∠ABC及∠ADC
的角平分线，
O
G
H ∴OE=OH=OF=OG.
DF
∴正方形ABCD还有一个以点O
C
为圆心的内切圆.
探究新知 想一想
1.所有的正多边形是不是也都有一个外接圆和一个内切圆？
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.
F
抽象成
A
E
O
D
PC
探究新知
解：过点O作OM⊥BC于M.
在Rt△OMB中,OB＝4,
MB＝B2C
4 2， 2
利用勾股定理,可得边心距
r 42 22 2 3.
亭子地基的面积：
探究新知
正多边形的外接圆和内切圆的公
(n 2)180
n
中心角
120 ° 90 ° 60 °
360 n
外角
120 ° 90 ° 60 °
360 n
正多边形的外
角=中心角
A
F
中心
中心角
B
O半径R E
边心距r
C
D
探究新知
知识点 3 正多边形的有关计算
如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF：
①它的中心角等于 60 度 ；
② OC=BC (填＞、＜或＝）； F
探究新知
AC是∠DAB及∠DCB的角平
E A
B 分线，BD是∠ABC及∠ADC
的角平分线，
O
G
H ∴OE=OH=OF=OG.
DF
∴正方形ABCD还有一个以点O
C
为圆心的内切圆.
探究新知 想一想
1.所有的正多边形是不是也都有一个外接圆和一个内切圆？
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.
F
抽象成
A
E
O
D
PC
探究新知
解：过点O作OM⊥BC于M.
在Rt△OMB中,OB＝4,
MB＝B2C
4 2， 2
利用勾股定理,可得边心距
r 42 22 2 3.
亭子地基的面积：
九年级数学上册24.3正多边形和圆课件(新版)新人教版
24.3 正多边形和圆（1）
1．创设情境，导入新知
观察这些图片，你能否看到正多边形？
2．小组合作学习
如何画出一个正多边形呢？
2．小组合作学习
你能否借助圆画出圆内接正三角形？
你能否借助圆画出圆内接正方形？
你能否借助圆画出圆内接正五边形？
2．小组合作学习
什么叫正多边形？ 各边相等，各角相等的多边形. 什么是正多形的边心距、半径？ 正多边形内切圆的半径叫做边心距． 正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
有一个亭子，它的地基是半径为 4 m的正六边形， 求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）．
3．探究学习
亭子的地基是什么图形？求地基的周长和面积也就 是求什么图形的周长和面积？ 正六边形的半径，分别将它分割成多少个什么样子 的三角形？ 观察图形中所得的三角形具有什么关系？为什么？ 将上图中的结论推而广之，你得出了什么结论？哪 位同学说说自己的想法？
4．强化练习
（1）正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成___ 个全等的直角三角形； （2）正三角形的半径为 R，则边长为_____，边心 距为______，面积为________．若正三角形边长为 a， 则半径为______； （3）正 n 边形的一个外角为 30°，则它的边数为 ____，它的内角和为______； （4）如果一个正多边形的一个外角等于一个内角 的三分之二，则这个正多边形的边数 n =____；
4．强化练习
（5）正六边形的边长为 1，则它的半径为_____， 面积为________； （6）同圆的内接正三角形、正方形、正六边形的 边长之比为________________； （7）正三角形的高∶半径∶边心距为_________； （8）边长为 1 的正六边形的内切圆的面积是____．5．课堂小结源自（1）正多边形与圆有什么关系？
1．创设情境，导入新知
观察这些图片，你能否看到正多边形？
2．小组合作学习
如何画出一个正多边形呢？
2．小组合作学习
你能否借助圆画出圆内接正三角形？
你能否借助圆画出圆内接正方形？
你能否借助圆画出圆内接正五边形？
2．小组合作学习
什么叫正多边形？ 各边相等，各角相等的多边形. 什么是正多形的边心距、半径？ 正多边形内切圆的半径叫做边心距． 正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
有一个亭子，它的地基是半径为 4 m的正六边形， 求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）．
3．探究学习
亭子的地基是什么图形？求地基的周长和面积也就 是求什么图形的周长和面积？ 正六边形的半径，分别将它分割成多少个什么样子 的三角形？ 观察图形中所得的三角形具有什么关系？为什么？ 将上图中的结论推而广之，你得出了什么结论？哪 位同学说说自己的想法？
4．强化练习
（1）正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成___ 个全等的直角三角形； （2）正三角形的半径为 R，则边长为_____，边心 距为______，面积为________．若正三角形边长为 a， 则半径为______； （3）正 n 边形的一个外角为 30°，则它的边数为 ____，它的内角和为______； （4）如果一个正多边形的一个外角等于一个内角 的三分之二，则这个正多边形的边数 n =____；
4．强化练习
（5）正六边形的边长为 1，则它的半径为_____， 面积为________； （6）同圆的内接正三角形、正方形、正六边形的 边长之比为________________； （7）正三角形的高∶半径∶边心距为_________； （8）边长为 1 的正六边形的内切圆的面积是____．5．课堂小结源自（1）正多边形与圆有什么关系？
九年级数学上册(人教版)第二十四章《圆》课件
(1)在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它所 对的弧相等,所对的弦相等. (2)在圆中,如果弧相等,那么它所对的圆心角相 等,所对的弦相等. (3)在一个圆中,如果弦相等,那么它所对的弧相 等,所对的圆心角相等.
O A 2023/1/4
︵ ︵ D ∵ ∠COD =∠AOB ∴ AB = CD C ∴AB=CD
．r
O
S = nπr2
360
2023/1/4
或
S
=
1
2
lr
4.圆柱的展开图:
A
D
h Br C
S侧 =2πr h S全=2πr h+2 π r2
2023/1/4
5.圆锥的展开图:
a h
r S侧 =πr a S全=πr a+ π r2
2023/1/4
a 侧面
底面
常见的基本图形及结论:
AC
A
2023/1/4
构成等腰解疑难； 灵活应用才方便。
2023/1/4
典型例题:
1.如图, ⊙O的直径AB=12,以OA为直径的 ⊙O1交大圆的弦AC于D,过D点作小圆的 切线交OC于点E,交AB于F.
C
DE A O1 O F B
(1)说明D是AC的中点.
(2)猜想DF与OC的位 置关系,并说明理由. (3)若DF=4,求OF的长.
． (3)弦心距
O
2023/1/4
二. 圆的基本性质 1.圆的对称性: (1)圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直 线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴. (2)圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转 任何一个角度都能与自身重合,即圆具 有旋转不变性.
．
2023/1/4
2.同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系:
O A 2023/1/4
︵ ︵ D ∵ ∠COD =∠AOB ∴ AB = CD C ∴AB=CD
．r
O
S = nπr2
360
2023/1/4
或
S
=
1
2
lr
4.圆柱的展开图:
A
D
h Br C
S侧 =2πr h S全=2πr h+2 π r2
2023/1/4
5.圆锥的展开图:
a h
r S侧 =πr a S全=πr a+ π r2
2023/1/4
a 侧面
底面
常见的基本图形及结论:
AC
A
2023/1/4
构成等腰解疑难； 灵活应用才方便。
2023/1/4
典型例题:
1.如图, ⊙O的直径AB=12,以OA为直径的 ⊙O1交大圆的弦AC于D,过D点作小圆的 切线交OC于点E,交AB于F.
C
DE A O1 O F B
(1)说明D是AC的中点.
(2)猜想DF与OC的位 置关系,并说明理由. (3)若DF=4,求OF的长.
． (3)弦心距
O
2023/1/4
二. 圆的基本性质 1.圆的对称性: (1)圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直 线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴. (2)圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转 任何一个角度都能与自身重合,即圆具 有旋转不变性.
．
2023/1/4
2.同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系:
人教版九年级数学上册24.3正多边形和圆 (2)课件 (共14页)
3R
R 2
3 3R 3 3 R2
4
2R
R
2 R 2 3 R 2
4 2R
2R2
3 3 2 R 2
6R
课本P109第6题
C x x A 4 B
2x
2x
x
当堂测试 《基础小练习》P
布置作业
《作业手册》P75-76
3.（09汕头）（1）如图1，圆内接△ABC 中，AB=BC=CA OD、OE为⊙O半径，OD⊥BC于点F,OE⊥AC 于点E, 1 求证：阴影部分四边形OFCG 的面积是△ABC面积的 3 角度不变， 求证：当 （2）如图2，若∠DOE保持120° ∠DOE绕着点O旋转时，由两条半径和△ABC的两条边围 1 成的图形（图中阴影部分）面积始终是△ABC的面积的 3 A A E G E O B F D 图1 C B D 图2 O C
正多边形 内 中心 角 角 边数 3 60° 120 90 90 4 120 60 6
半 径
边 边心 周 面 长 距 长 积
2 2 3 2 2 2 2
1
1
3
6 33 3
8 4 12 6 3
随堂训练
正多边形
1.课本P109第8题
半径 边长 边心距 周长 面积
正三角形
正四边形 正六边形
R
R R
1、什么是正多边形？
2、什么是正多边形的中心、半径、中心角、边心距？ 3、正n边形的中心角、外角、内角各为多少度？ 周长、面积时应建立什么样的模型来实现？其间体现了
4、通过研习例题，你认为计算正多边形的有关线段长、
什么数学思想方法？ 5、完成【练习】第1、2题
时间：6分钟后检测自学效果．
自学效果检测
人教版初中数学九年级上册第二十四章24.3正多边形和圆
A
B
E
C
D
类比以上探究过程，你能得出什么结论？
把一个圆分成相等的一些弧，可以作出这个圆的内接正多 边形 ，这个圆就是这个正多边形的外接圆.
阅读课本107页，思考：如何利用等分圆弧的方法来作正n边形？
方法1：用量角器等分圆周.
对于任意正n边形，用量角器作一个等于
360
0
的圆心角，然后
n
在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆周的n等分点，从
E
O
A
D
B
C
解: 由于ABCDEF是正六边形，所以
它的中心角等于360 60， 6
OBC是等边三角形，从而正
六边形的边长等于它的半径.
F
E
O
A
.. R
D
r
∴亭子的周长 l=6×4=24(m)
BP
C
在RtOPC中，OC 4，PC BC 4 2 22
根据勾股定理，可得边 心距r 42 22 2 3
.
.
23
3
3.通过上边的探究，你能得到哪些结论？
结论：
（1）正n边形的中心角等于360
0
，外角等于
360
0
，正多边形的
n
n
中心角与外角相等.
（2)正多边形的半径、边心距、边长的一半构成直角三角形.
例 如图有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，
求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）.
F
亭子的面积 S 1 Lr 1 24 2 22
3 41.6(m2)
课堂小结：
1.正多边形和圆的关系：任意正多边形都有它的外接圆. 2.和正多边形有关的概念：中心、半径、中心角、弦心距. 3.用等弧法作正多边形.
人教版九年级数学上册_24.3 正多边形和圆
感悟新知
知1－练
1-2.若一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，则 这个四边形一定是( C ) A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 不能确定
感悟新知
知识点 2 正多边形的有关计算
1. 正 n 边形的每个内角都等于(n－2)n· 180°. 2. 正 n 边形的每个中心角都等于 36n0°. 3. 正 n 边形的每个外角都等于 36n0°.
感悟新知
知3－讲
特别提醒 1. 画圆内接正n边形，实质是找圆的 n 等分点 . 2. 用量角器等分圆是一种简单常用的方法，但边数
很大时，容易产生较大误差. 3. 尺规作图是一种比较准确的等分圆的方法，但只
限于作一些特殊的正多边形 .
感悟新知
例3 作一个正三角形，使其半径为 0.9 cm.
知3－练
感悟新知
知3－讲
2. 用尺规等分圆 对于一些特殊的正 n 边形，如正方形、正 六边形等，可以用圆规和直尺作图，如图 24.3－2② . 在⊙ O 中，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就 可把圆四等分，从而作出正方形 ， 若再逐次平分各边所对的弧，就可 以作边数逐次倍增的正多边形， 如正八边形、正十六边形等 .
边形的半径 .
(3)正多边形的中心角： 正多边形每一边所对的圆心角叫
作正多边形的中心角 .
(4)正多边形的边心距： 正多边形的中心到正多边形的一
边的距离叫作正多边形的边心距 .
感悟新知
知1－讲
4. 正多边形的对称性 所有的正多边形都是轴对称图形，一个正 n 边形共有
n 条对称轴，每条对称轴都通过正 n 边形的中心 .n 为偶数 时，正 n边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心 .
感悟新知
人教版九年级数学上24.3正多边形和圆(共32张PPT)
24.3正多边形和圆
E
A
D
B
C
三条边相等，
四条边相等，
三个角相等
正三 角形
（60度）。
正方形
四个角相等 （900）。
一 .正多边形定义
各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.
二、说说下列多边形的名称
正五边形
正六边形
正八边形
1、正多边形的各边相等 2、正多边形的各角相等
3、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形 共有n条对称轴，每条对称轴都通过n边形 的中心。
E
D
一个正多边形的外接
圆的圆心.
正多边形的半径: 外接圆的半径
F
.半径R O
中心角
C
正多边形的中心角:
360
n
边心距r
正多边形的每一条
A
B
边所对的圆心角.
正多边形的边心距： 中心到正多边形的一边 的距离.
正多边形的周长= 正多边形的面积=
中心角 360
中心角 E
D
n
边心距把△AOB分成 F
2个全等的直角三角形
AOG BOG 180 n
.. O R
AG
C a
B
正n边形被相邻周半径长分为成L=na
___n___个全等的等腰三角
形.被边心距边分心成距__r_2_n个全R 2
等的直角三角形,
(1 2
a )2
设正多边形面的积S边长 为12 aar,n边心12距lr为r,半经为R.
1、O是正△ABC的中心，它是△ABC的_外__接__圆__ 与__内__切__圆___圆的圆心。
B
E
边形是正六边形。
C
E
A
D
B
C
三条边相等，
四条边相等，
三个角相等
正三 角形
（60度）。
正方形
四个角相等 （900）。
一 .正多边形定义
各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.
二、说说下列多边形的名称
正五边形
正六边形
正八边形
1、正多边形的各边相等 2、正多边形的各角相等
3、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形 共有n条对称轴，每条对称轴都通过n边形 的中心。
E
D
一个正多边形的外接
圆的圆心.
正多边形的半径: 外接圆的半径
F
.半径R O
中心角
C
正多边形的中心角:
360
n
边心距r
正多边形的每一条
A
B
边所对的圆心角.
正多边形的边心距： 中心到正多边形的一边 的距离.
正多边形的周长= 正多边形的面积=
中心角 360
中心角 E
D
n
边心距把△AOB分成 F
2个全等的直角三角形
AOG BOG 180 n
.. O R
AG
C a
B
正n边形被相邻周半径长分为成L=na
___n___个全等的等腰三角
形.被边心距边分心成距__r_2_n个全R 2
等的直角三角形,
(1 2
a )2
设正多边形面的积S边长 为12 aar,n边心12距lr为r,半经为R.
1、O是正△ABC的中心，它是△ABC的_外__接__圆__ 与__内__切__圆___圆的圆心。
B
E
边形是正六边形。
C
《正多边形和圆形》圆PPT优质课件(第2课时)
课堂检测
2.画一个正十二边形.
作法：如图，分别以⊙O的四
等分点A，B，E，F为圆心，
以⊙O的半径长为半径，画8条 弧与⊙O相交，就可以把⊙O分 成12等份，依次连接各等分点， 即得到正十二边形.
课堂小结
1.画正多边形的方法：
由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因 此作相等的圆心角就可以等分圆周，从而得 到相应的正多边形.
作法：如图，以2cm为半径作一个⊙O，用量角器画一个
360 等60于
的圆心角，它对着一段弧，然后在圆上依
6
次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的6个等分点，顺次
连接各分点，即可得出正六边形．
O·
60°
课堂检测
拓广探索题
1.一个平面封闭图形内(含边界)任意两点距离的最大值 称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为 图形的“周率”，下面四个平面图形(依次为正三角形、 正方形、正六边形、圆)的周率从左到右依次记为a1，a2 ，a3，a4，则下列关系中正确的是B ( ) A.a4＞a2＞a1 B.a4＞a3＞a2 C.a1＞a2＞a3 D.a2＞a3＞a4
四边形……
探究新知
你能尺规作出正六边形、正三角形、正十二边 形吗？
F
E
O
A
·
D
B
C
以半径长在圆周上截取六 段相等的弧，依次连结各等分 点，则作出正六边形.
先作出正六边形，则可作 正三角形，正十二边形，正二 十四边形………
探究新知
说说作正多边形的方法有哪些?
（1）用量角器等分圆周作正n边形； （2）用尺规作正方形及由此扩展作正八边形, 用尺规作正六边形及由此扩展作正12边形、正 三角形．
⑤顺次连接A、E、F、C、G、H各点;
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∴∠OOMAF==∠12 AOBB，E=S4△5A°BO.=
1 4
S正方形ABCD，
又∵∠AOF+∠A′ OB=∠A ′ OB+∠BOE=90°， ∴∠AOF=∠BOE.
∴△AOF≌△BOE，∴S△AOF=S△BOE，
∴重叠部分的面积=S△BOF+S△BOE=S△BOF+S△AOF
=S△ABO=
1 4
解:(1)连接OB，OC.∵正三角形ABC内接于 ☉O，∴∠OBM=∠OCN=30°， ∠BOC=120°.又∵BM=CN，OB=OC， ∴△BOM≌△CON，∴∠BOM=∠CON， ∴∠MON=∠BOC=120°.
(2)90° 72°
(3)∠MON= 360
n
3.如图所示，点M，N分别是☉O的内接正三角形ABC，正方 形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形的边AB，BC上的 点，且BM=CN，连接OM，ON.
(1)求图(1)中的∠MON的度数; (2)在图(2)中，∠MON的度数为 90°，在 图(3)中，∠MON的度数为 72°; (3)在图(n)中，试探索∠MON的度数与正n 边形的边数n之间的关系.(直接写出答案)
九年级数学·上
新课标 [人]
第二十四章 圆
圆内接正多边形的相关计算
圆内接正六边形的边长为4 cm，求同圆中内接 正三角形和正四边形的周长.
〔解析〕在同一个圆中涉及三个正多边形，要建立它们边长 之间的关系，关键是求这个圆的半径. 解:如图24 - 109所示，正六边形ABCDEF内接于☉O，
连接OC，OD，则△OCD为正三角形， ∴OC=OD=CD=4 cm，∴☉O的半径为4 cm.
由勾股定理，得OG= 3. ∴正六边形ABCDEF的各个顶点的坐标分别为 A(-2，0)，B(-1，- 3)，C(1，- 3)，D(2，0)，E(1， 3 )，F(-1，3 ).
2.(常德中考)阅读理解:如图(1)所示，在平面内选一
定点O，引一条有方向的射线Ox，再选定一个单位
长度，那么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度
S正方形ABCD， ∴S阴影=
3 4
S正方形ABCD，
∴重叠部分面积与阴影部分面积之比为1∶3.
(2)重叠部分面积与阴影部分面积之比为1∶2.
(3)能.两个相同的正n边形(n为大于2的偶数),其中一个 正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆的圆心处, 则重叠部分与未重叠部分的面积比为(n-2)∶(n+2).
连接AC，则AC为☉O内接正三角形的一边， 作OG⊥AC于G.
在Rt△COG中，OG=
1 2
OC=
1 2
×4=2(cm)，
CG OC2 OG2 42 22 2 3(cm),
AC 2AG 4 3cm,
∴所求的正三角形的周长为4 3×3=12 3 (cm).
又☉O的直径是该圆内接正方形的对角线， 设该正方形的边长为x cm， 则由勾股定理得x2+x2=82，
写出答案). (3)根据前面探索和图24 - 113，你能否将本题推广到一般的正n
边形情况(n为大于2的偶数)?若能，写出推广问题和结论；若不 能，请说明理由.
解:(1)如图(1)所示，连接OA，OB， 过点O作OM⊥AB，垂足为M.
∵点O是正方形ABCD外接圆的圆心， ∴OA=OB.∵四边形ABCD是正方形，
∴x=4 2. ∴该正方形的周长为4x=4×4 2 =16 2(cm).
1.半径为R的圆内接正三角形的面积是 ( D )
A. 3 R B.πR2
2
C. 3 3 R2 2
D. 3 3 R2 4
有关正多边形的综合运算
例2 如图24 - 110所示，求中心为原点， 顶 点A，D在x轴上，半径为2 cm的正六边 形ABCDEF的各个顶点的坐标.
〔解析〕连接OE，并设EF交y轴于点G，由于正六边 形是轴对称图形，那么∠GOE=30°，则在Rt△OGE 中，可得点E的坐标，则点E关于y轴对称的点F的坐 标就可求出，其他坐标类似可求出.
解:如图24 - 111所示，连接OE， 设EF交y轴于点G.
由于正六边形是轴对称图形， ∴在Rt△OGE中，∠GOE=30°，OE=2， ∴GE=1.
[提示:如下图所示，设正六边形的中心为D， 连接AD，∵∠ADO=360°÷6=60°，OD=AD， ∴△AOD是等边三角形，∴OD=OA=2， ∠AOD=60°，∴OC=2OD=2×2=4， ∴正六边形的顶点C的极坐标应记为(60°，4).]
2.(常德中考)阅读理解:如图(1)所示，在平面内选一
A.(60°，4)
B.(45°，4)
C.(60°，2 2 ) D.(50°，2 2 )
圆内接正多边形的规律探究题
例3 图24 - 112(1)(2)分别是两个相同正方形、正六边形，
其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆圆心O处. (1)求图24 - 112(1)中，重叠部分面积与阴影部分面积之比. (2)求图24 - 112(2)中，重叠部分面积与阴影部分面积之比(直接
数θ与OM的长度m确定，有序数对(θ，m)称为M点的
“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”.
应用:在图(2)的极坐标系下，如果正六边形的边长为
2，有一边OA在射线Ox上，则正六边形的顶点C的
极坐标应记为( )2 2 ) D.(50°，2 2 )
定点O，引一条有方向的射线Ox，再选定一个单位
长度，那么平面上任一点M的位置可由∠MOx的度
数θ与OM的长度m确定，有序数对(θ，m)称为M点的
“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”.
应用:在图(2)的极坐标系下，如果正六边形的边长为
2，有一边OA在射线Ox上，则正六边形的顶点C的
极坐标应记为( A )