第7章非线性控制系统(1)

y(t)
y(t)
0 △ sin tdt
–△
x(t)
k(x+△） x<-△ ωt ω 2 ψ π ψ π sin / A , cos 1 ( / A ) cos t 2
Ψ
｛
k(x△) x>△ 1
2 1 2 1 X(t)= Asinωt y(t) ≈ B sinωt A y ( t ) cos 0 d t t 0 1 ψ 0 B y ( t ) sin td 1 x(t) 0 0 B1 B1+jA 1 =A N(A)= 4 A2 k (A π-ψ sin t ) sin td t π 1 2 A A1 y( t ) cos tdt 0 0 22k kA 2 4 k 2 1 ( A> △ N(A) B [ arcsin ) ] 2π 1 [A sin sin t ]dt ωt 2 A A t A x(t)=Asinωt
先求等效非线性特性，再求总的描述函数。
例题1(补充)
x
x1
1
y
x
0 k1=0.7 1
x1
0
k2=1 1
x1
y
x
0
y
7.3.3
用描述函数法分析非线性系统
1 基本假设 ① 结构上：N(X), G(j) 串联 ② N(X)奇对称,y1(t)幅值占优 ③ G(j)低通滤波特性好 2 稳定性分析
用奈氏判据 闭环频率特性
非线性一阶系统的时间 响应
x0e x(t ) t 1 x0 x0e
t
3）非线性系统可以产生自持振荡： 在没有外作用时,有可能产生频率和振幅一定的稳定周 期性响应。该周期响应过程物理上可实现并可保持,通 常将其称为自持振荡或自振荡； 线性系统只有两种工作模式：要么发散，要么收敛； 非线性系统有收敛、发散和自持振荡三种状态。
仿真方法
全数字仿真 半实物仿真
7.2 常见非线性及其对系统运动的影响
继电特性(relay characteristic)、死区(dead zone)、饱和(saturation)、间隙(gap)和摩擦 (friction)
典型非线性特性
7.2.1 非线性特性的等效增益
设非线性特性可以表示为X——输入， y——输出，
3、滞环（非单值特性）
k ( x a sgn x) x 0 , 且y 0 y y＝0 x2 m sgn x
滞环特性会 使系统的相 角裕度减小, 动态性能恶 化,甚至产生 自持振荡。
x2
x2m
x2
x2m
a
0
x1
a
x2m
b a 0
x1
a
b
x2m
c)
d)
M y M 继电器非线性会使系统产生自持
第七章 非线性系统控制
Chapter 7 control of nonliner systems
本章重点内容
7.1 非线性控制系统概述 7.2 常见非线性及其对系统运动的影响
7.3 描述函数法
7.4 相平面法 7.5 Matlab 在本章中的应用
7.1 非线性控制系统概述
如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非 线性特性的元件或环节,则此系统即为非线性系统。 • 前面研究的线性系统满足叠加性和齐次性； • 严格地说，由于控制元件或多或少地带有非线性特 性，所以实际的自动控制系统都是非线性系统； • 一些系统作为线性系统来分析： ①系统的非线性 不明显，可近似为线性系统。②某些系统的非线性 特性虽然较明显，但在某些条件下，可进行线性化 处理； • 但当系统的非线性特征明显且不能进行线性化处理 时，就必须采用非线性系统理论来分析。这类非线 性称为本质非线性。
y(t ) A1 cost B1 sintA Y1 sin( tA 1 )
Y1 A B
2 1 2 1
A1 1 arctg B1
t (1 cos 2t )dt y(t)= t 0sin t cos t sin td x < △ k π2 1 2 1 2 2
22


1

2
二、非线性特性的化简
1）并联 描述函数相加
e(t ) A sin t , x11 N1 ( A) A sin t , x12 N 2 ( A) A sin t ,
2）串联
x1 x11 x 21 x1 x11 x 21 , N ( A) N1 ( A) N 2 ( A) e e
y A Yn sin( n t ) (0t ) Y sin( t n
n 1
2 1 2 2 非线性环节可近似认为具有和线性环节相类似的频率响应形式 A 0 y (t )dt Y A B 0 n n n 为此，定义正弦信号作用下，非线性环节的稳态输出中一次谐波
本质非线性系统有以下特点： 1）初始条件与输入量对非线性系统的影响
非线性系统可能 会出现某一初始 条件下的响应过 程为单调衰减， 而在另一初始条 件下则为衰减振 荡，如图所示。 线性系统如果某系统在某初始条件下的响应过程 为衰减振荡，则其在任何输入信号及初始条件下 该系统的暂态响应均为衰减振荡形式。
因为本部分讨论的典型非线性特性都是奇对称的，所以 A0 0 ， 则输出的基波分量为
y1 (t ) B1 cos t A1 sin t Y1 sin( t 1 )
描述函数的定义 ∞ y(t)= A0+∑(A cosn ωt+B sin n ωt) n n n=1 x (t ) A sin t
1 2 1 1ห้องสมุดไป่ตู้2 2
k
1 2
1 2
1 2
2 sin 1 / A , cos 1 ( / A ) 1 B1+jA B 1 1 0 0 t 1 N(A)= x(t) = 2 A a / A , cos A 1 A sin ( a / A ) y( t ) 2 k( A sint ) 1 t 2 2 ψ1 ψ2 2 t k(a ) 2 1 2 B1 1 y 2 ( t ) sin tdt 0a 2 kA a a 2 k 2 2 0( ) A0 y ( t) cos 0 dt N (A) B arcsin arcsin 1 ( ) 1 1 0 4 A A 2A A A A y( t ) sin td t 2 0 1 tdt 0 A y ( t ) cos 2 1 ωt 0 4 4 2 sin sin t k td t A ( ) B1 + k(a )sin tdt x(t)=Asinωt
y f ( x)
等效增益(equivalence gain)，即
y f ( x) k x x
7.2.2 常见非线性因素对系统运动的影响
G ( s ) 为线性部分 图中k非线性特性等效增益， 的传递函数，K * 为线性部分的开环根轨迹增益。
• 当忽略或不考虑非线性因素，即k为常数 • 非线性特性用等效增益表示 • 非线性因素对系统运动的影响
4）当非线性输入的信号为正弦作用时，由于非线性其输 出将不再是正弦信号，而包含有各种谐波分量，发生非 线性畸变。
5）混沌
非线性系统运动的特殊性
• 不满足叠加原理 — 线性系统理论原则上不能运用 (区别） • 稳定性问题 — 不仅与自身结构参数，且与输入， 初条件有关，平衡点可能不惟一，可以稳定且可以 在多个平衡点稳定，可能不稳定—发散、衰减等 nonlinear • 自振运动— 非线性系统特有的运动形式，产生自 持振荡 • 发生频率激变—频率响应的复杂性 — 跳频响应， 倍/分频响应，组合振荡
非线性系统分析方法：
1）非线性系统的运动比线性系统复杂得多； 2）分析线性系统的分析方法不能用于分析 非线性系统；
3）非线性系统的数学模型是非线性微分方程；但至今为止非 线性微分方程没有成 熟的解法；
非线性控制系统的分析方法
小扰动线性化 非线性系统研究方法
相平面法 描述函数法 波波夫法 反馈线性化法 微分几何方法
C ( j) N ( X )G ( j) R( j) 1 N ( X )G ( j)
1 N ( X ) G( j) 0
1 特征方程 1 N ( X )G ( j) 0 G ( j) N(X )
对于线性系统，G(jω)=－1。对于奈氏判据，线性 系统的－１对应非线性系统的－１/N(X)。设线性部 分是最小相位系统，稳定性判据如下。
7-2
典型非线性环节
1、饱和非线性
kx y ka x2 m ka x 2m x a xa x a
x2m
x y k
输入 输出 比例系数 k * 等效增益
饱和非线性对系统的影响： 饱和非线性使系统在大信号作用下的等效增益下降， 严重的可以使系统丧失闭环控制作用。
1
) 1
1 2 1 2 分量和输入信号的复数比为非线性环节的描述函数，用 N(A) 表示： y ( t ) sin n t d t A1n 0 y( t) cos n 1 1tdt Bn 1 0
若A0=0，且当n>1时，Yn均很小，则可近似认为非线性环节的 Y1 j1 B1 jA 1 正弦响应仅有一次谐波分量！ j ∠ N(A) e N(A) = N(A) e =
初始条件不同时非线性系统不同的响应特性
2）系统的稳定性也与输入信号的大小、初 始条件有关
(1 x) x 0 x
（ 1 ）当初始条件 xo ＜ 1 时 ,1 － xo ＞ 0, 上式具有 负的特征根 , 其暂态过程按指数规律衰减 , 该系统 稳定。 （ 2 ）当 xo=1 时 ,1-xo=0, 上式的特征根为零 , 其 暂态过程为一常量。
（ 3）当 xo＞ 1时 ,1-xo＜ 0,上式的特征根为正值 ,系统暂态过程指数规律发散,系统不稳定。
非线性系统的稳定性和零输入响应的性质不仅与系统本 因而对非线性系统，不能笼统地讲系统是否稳定。
2 x x x x( x 1)
身的结构和元件特性有关，而且与系统初始条件也有关。
振荡性↓，s↓ 限制跟踪速度 晶体管特性
2、死区
0 x y k ( x signx) x
1 signx 1 x0 x0
在实际系统中死区可由众多原因引起，它对系统可产生不同 的影响：一方面它使系统不稳定或者产生自振荡；另一方面 有时人们又人为的引入死区特性，使系统具有抗干扰能力。 电动机，仪表 滤除小幅值干扰 稳态误差ess ↑
4、继电器特性
振荡，甚至会导致系统不稳定，
并且使稳态误差加大。 抑制系统发散
x2
x2m
开关特性
x2
x2
x1
x1
x1
0
x2m
0
0
a)
b)
c)
7.3
非线性元件的描述函数

7.3.1 描述函数基本概念
(1) 周期函数 y(t) 的付氏级数展开
y(t ) A0 ( Bn cosn t An sin n t )
A0 Yn sin(n t n )
1 2 Bn y (t ) cos n t d ( t ) 0 1 2 An y (t ) sin n t d ( t ) 0
A0
n 1
n 1
Yn

1
2
0
y (t ) d ( t )
2 2 An Bn B n arctan n An
2
死区非线性环节的描述函数
死区饱和非线性环节的描述函数 y(t) y t (1 sin td cos 2t )dt t sin t cos t
2
y(t) ≈t B1sinωt x(t)= Asinωt ωt sin td t cos ψ ψ △a x