高考数学(理)(北师大版)大一轮复习讲义第五章 平面向量第五章 5.3

1．向量的夹角

已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →

＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a 与b 的夹角．

2．平面向量的数量积

定义 已知两个向量a 和b ，它们的夹角为θ，我们把|a ||b |·cos θ叫作a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b

几何意义 a 与b 的数量积等于a 的长度|a |与b 在a 方向上射影|b |cos θ的乘积，或b 的长度|b |与a 在b 方向上射影|a |cos θ的乘积

3.平面向量数量积的性质

设a ，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．则 (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.

(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |； 当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |. 特别地，a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a . (4)cos θ＝a ·b |a ||b |.

(5)|a ·b |≤|a ||b |.

4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b ＝b·a ；

(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)； (3)a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c .

5．平面向量数量积有关性质的坐标表示

设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到 (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.

(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离AB ＝|AB →

|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (4)若a ，b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b

|a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21· x 22＋y 22. 【知识拓展】

1．两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a·b >0且a ，b 不共线； 两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a·b <0且a ，b 不共线． 2．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. (2)(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2. (3)(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)向量在另一个向量方向上的射影为数量，而不是向量．( √ )

(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( √ ) (3)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( × ) (4)(a ·b )c ＝a (b ·c )．( × )

(5)两个向量的夹角的范围是[0，π

2

]．( × )

1．(教材改编)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a·(2a －b )＝0，则k 等于( ) A ．－12 B ．6 C ．－6 D ．12

答案 D

解析 ∵2a －b ＝(4,2)－(－1，k )＝(5,2－k )， 由a ·(2a －b )＝0，得(2,1)·(5,2－k )＝0， ∴10＋2－k ＝0，解得k ＝12.

2．(2016·南宁质检)已知向量a 与b 的夹角为30°，且|a |＝1，|2a －b |＝1，则|b |等于( ) A. 6 B. 5 C. 3 D. 2

答案 C

解析 由题意可得a·b ＝|b |cos 30°＝3

2

|b |,4a 2－4a·b ＋b 2＝1，即4－23|b |＋b 2＝1，由此求得|b |＝3，故选C.

3．(2015·广东)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2,1)，则AD →·AC →等于( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 答案 A

解析 ∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AC →＝AB →＋AD →

＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)． ∴AD →·AC →＝2×3＋(－1)×1＝5.

4．(2016·北京)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，1)，则a 与b 夹角的大小为________． 答案 π6

解析 设a 与b 的夹角为θ，则 cos θ＝a·b

|a ||b |

＝

1×3＋1×3

12＋(3)2·12＋(3)2

＝234＝32

，

又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π

6

.

5．(2016·厦门模拟)设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝________. 答案

10

解析 ∵a ⊥b ，∴a·b ＝0，即x －2＝0， ∴x ＝2，∴a ＝(2,1)，∴a 2＝5，b 2＝5， ∴|a ＋b |＝(a ＋b )2＝

a 2＋2a·

b ＋b 2

＝

5＋5＝10.

题型一 平面向量数量积的运算

例1 (1)(2016·天津)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中

点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →

的值为( ) A ．－58

B.18

C.14

D.118

(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为________；DE →·DC →

的最大值为________． 答案 (1)B (2)1 1 解析 (1)如图，

由条件可知BC →＝AC →－AB →， AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋32DE →

＝12AB →＋34AC →

， 所以BC →·AF →

＝(AC →－AB →)·(12AB →＋34AC →)

＝34AC →2－14AB →·AC →－12

AB →2

. 因为△ABC 是边长为1的等边三角形， 所以|AC →|＝|AB →

|＝1，∠BAC ＝60°， 所以BC →·AF →＝34－18－12＝18

.

(2)方法一 以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，