2015-2016学年度高二数学上学期期中考答案
2015-2016年河南省南阳市高二上学期数学期中试卷带答案
2015-2016学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷一、选择题1．（5分）在等差数列{a n}中，a1=21，a7=18，则公差d=（）A．B．C．﹣ D．﹣2．（5分）在△ABC中，若sinA=cosB=，则∠C=（）A．45°B．60°C．30°D．90°3．（5分）已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列命题成立的是（）A．a2＜b2B．a2b＜ab2C．2a﹣2b＜0 D．＞4．（5分）设等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则=（）A．2 B．4 C．D．5．（5分）如果方程x2+（m﹣1）x+m2﹣2=0的两个实根一个小于﹣1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是（）A．﹣＜m＜B．﹣2＜m＜0 C．﹣2＜m＜1 D．0＜m＜16．（5分）已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是等比数列，其公比q≠1，且b i ＞0（i=1，2，3，…），若a1=b1，a11=b11，则（）A．a6=b6B．a6＞b6C．a6＜b6D．a6＞b6或a6＜b67．（5分）平面区域如图所示，若使目标函数z=x+ay（a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值是（）A．B．1 C．D．48．（5分）等差数列{a n}的公差d＜0，且a12=a112，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n是（）A．5 B．6 C．5或6 D．6或79．（5分）若关于x的不等式2x2﹣8x﹣4﹣a＞0在1＜x＜4内有解，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣4 B．a＞﹣4 C．a＞﹣12 D．a＜﹣1210．（5分）△ABC中，AB=，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积等于（）A．B．C．D．11．（5分）已知a＞0，b＞0，，若不等式2a+b≥4m恒成立，则m的最大值为（）A．10 B．9 C．8 D．712．（5分）设等差数列{a n}（n∈N+）的前n项和为S n，该数列是单调递增数列，若S4≥10，S5≤15，则a4的取值范围是（）A．（] B．（]C．（﹣∞，4]D．（3，+∞）二、填空题13．（5分）设公比为q的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S n+1、S n、S n+2成等差数列，则q=．14．（5分）在约束条件下，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则ab的最大值等于．三、解答题（共7小题，满分80分）15．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．16．（10分）已知数列{a n}满足数列{b n}的前n项和S n=n2+2n．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和T n．17．（10分）已知关于x的不等式ax2+5x+c＞0的解集为{x|＜x＜}，（Ⅰ）求a，c的值；（Ⅱ）解关于x的不等式ax2+（ac+b）x+bc≥0．18．（12分）已知三角形ABC中，A为锐角，且b=2asinB（1）求A，（2）若a=7，三角形ABC的面积为10，求b+c的值．19．（12分）某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162 平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400 元/米，中间两道隔墙建造单价为248 元/米，池底建造单价为80 元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计．（1 ）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；（2 ）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16 米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低．20．（12分）三角形ABC中，a（cosB+cosC）=b+c，（1）求证A=（2）若三角形ABC的外接圆半径为1，求三角形ABC周长的取值范围．21．（12分）设数列{a n}的前n项的和S n=a n﹣×2n+1+（n=1，2，3，…）（Ⅰ）求首项a1（Ⅱ）证明数列{a n+2n}是等比数列并求a n．2015-2016学年河南省南阳市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）在等差数列{a n}中，a1=21，a7=18，则公差d=（）A．B．C．﹣ D．﹣【解答】解：由等差数列的通项公式可得a7=a1+6d，∴18=21+6d，解得d=．故选：D．2．（5分）在△ABC中，若sinA=cosB=，则∠C=（）A．45°B．60°C．30°D．90°【解答】解：△ABC中，若sinA=cosB=，则∠B=60°，∴∠A=30°，∠C=90°，故选：D．3．（5分）已知a，b为非零实数，且a＜b，则下列命题成立的是（）A．a2＜b2B．a2b＜ab2C．2a﹣2b＜0 D．＞【解答】解：A 不正确，如a=﹣3，b=﹣1，显然a2＜b2不成立．B 不成立，如a=﹣3，b=1时，显然a2b＜ab2不成立．D不正确，如a=﹣3，b=1时，＞显然不成立．∵函数y=2x在定义域R上是个增函数，∴2a＜2b，∴2a﹣2b＜0，故选：C．4．（5分）设等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则=（）A．2 B．4 C．D．【解答】解：由等比数列的求和公式和通项公式可得：==，故选：C．5．（5分）如果方程x2+（m﹣1）x+m2﹣2=0的两个实根一个小于﹣1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是（）A．﹣＜m＜B．﹣2＜m＜0 C．﹣2＜m＜1 D．0＜m＜1【解答】解：令f（x）=x2+（m﹣1）x+m2﹣2，则由题意可得，求得0＜m＜1，故选：D．6．（5分）已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是等比数列，其公比q≠1，且b i ＞0（i=1，2，3，…），若a1=b1，a11=b11，则（）A．a6=b6B．a6＞b6C．a6＜b6D．a6＞b6或a6＜b6【解答】解：由题意可得a1+a11=b1+b11=2a6．∵公比q≠1，b i＞0，∴b1+b11＞2=2b6，∴2a6＞2b6，即a6＞b6，故选：B．7．（5分）平面区域如图所示，若使目标函数z=x+ay（a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值是（）A．B．1 C．D．4【解答】解：∵z=x+ay（a＞0），∴y=﹣x+，∵目标函数z=x+ay（a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，∴﹣=k AB==﹣，∴a=，故选：A．8．（5分）等差数列{a n}的公差d＜0，且a12=a112，则数列{a n}的前n项和S n取得最大值时的项数n是（）A．5 B．6 C．5或6 D．6或7【解答】解：由，知a1+a11=0．∴a6=0，故选：C．9．（5分）若关于x的不等式2x2﹣8x﹣4﹣a＞0在1＜x＜4内有解，则实数a的取值范围是（）A．a＜﹣4 B．a＞﹣4 C．a＞﹣12 D．a＜﹣12【解答】解：原不等式2x2﹣8x﹣4﹣a＞0化为：a＜2x2﹣8x﹣4，只须a小于y=2x2﹣8x﹣4在1＜x＜4内的最大值时即可，∵y=2x2﹣8x﹣4在1＜x＜4内的最大值是﹣4．则有：a＜﹣4．故选：A．10．（5分）△ABC中，AB=，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积等于（）A．B．C．D．【解答】解：由AB=，AC=1，cosB=cos30°=，根据余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB，即1=3+BC2﹣3BC，即（BC﹣1）（BC﹣2）=0，解得：BC=1或BC=2，当BC=1时，△ABC的面积S=AB•BCsinB=××1×=；当BC=2时，△ABC的面积S=AB•BCsinB=××2×=，所以△ABC的面积等于或．故选：D．11．（5分）已知a＞0，b＞0，，若不等式2a+b≥4m恒成立，则m的最大值为（）A．10 B．9 C．8 D．7【解答】解：∵a＞0，b＞0，∴2a+b＞0∵，∴2a+b=4（2a+b）（）=4（5+）≥36，∵不等式2a+b≥4m恒成立，∴36≥4m，∴m≤9，∴m的最大值为9，故选：B．12．（5分）设等差数列{a n}（n∈N+）的前n项和为S n，该数列是单调递增数列，若S4≥10，S5≤15，则a4的取值范围是（）A．（] B．（]C．（﹣∞，4]D．（3，+∞）【解答】解：∵等差数列{a n是单调递增数列，若S4≥10，S5≤15，∴4a1+6d≥10 ①5a1+10d≤15 ②（﹣1）①+②a5≤50＜d≤1，由②得，a3≤3，∴故选：A．二、填空题13．（5分）设公比为q的等比数列{a n}的前n项和为S n，若S n+1、S n、S n+2成等差数列，则q=﹣2．【解答】解：记等比数列{a n}的通项为a n，则a n+1=a n•q，a n+2=a n•q2，又∵S n+1、S n、S n+2成等差数列，∴S n﹣S n+1=S n+2﹣S n，即﹣a n•q=a n•q+a n•q2，∴q2+2q=0，∴q=﹣2，故答案为：﹣2．14．（5分）在约束条件下，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则ab的最大值等于．【解答】解：约束条件对应的平面区域如图3个顶点是（1，0），（1，2），（﹣1，2），由图易得目标函数在（1，2）取最大值1，此时a+2b=1，∵a＞0，b＞0，∴由不等式知识可得：1≥∴ab，当且仅当a=，b=时，取等号∴ab的最大值等于故答案为：三、解答题（共7小题，满分80分）15．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．【解答】解：（I）在Rt△PBC中，=，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．在△PBA中，由余弦定理得PA2=PB2+AB2﹣2PB•ABcos30°==．∴PA=．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，PB=BCcos（90°﹣α）=sinα．在△PBA中，由正弦定理得，即，化为．∴．16．（10分）已知数列{a n}满足数列{b n}的前n项和S n=n2+2n．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解（1）∵∴数列{a n}是以1为首项以3为公办的等比数列∴∵S n=n2+2n当n≥2时，b n=s n﹣s n﹣1=n2+2n﹣（n﹣1）2+2（n﹣1）=2n+1当n=1时，b1=s1=3适合上式∴b n=2n+1（2）由（1）可知，c n=a n b n=（2n+1）•3n﹣1∴T n=3•1+5•3+7•32+…+（2n+1）•3n﹣13T n=3•3+5•32+…+（2n+1）•3n两式相减可得，﹣2T n=3+2（3+32+33+…+3n﹣1）﹣（2n+1）•3n=3=2n•3n∴17．（10分）已知关于x的不等式ax2+5x+c＞0的解集为{x|＜x＜}，（Ⅰ）求a，c的值；（Ⅱ）解关于x的不等式ax2+（ac+b）x+bc≥0．【解答】解：（Ⅰ）由题得a＜0且，是方程ax2+5x+c=0的两个实数根则=﹣，=，解得a=﹣6，c=﹣1，（Ⅱ）由a=﹣6，c=﹣1，原不等式化为﹣x2+（6+b）x﹣b≥0，即（6x﹣b）（x﹣1）≤0．①当即b＞6时，原不等式的解集为[1，]；②当=1即b=6时，原不等式的解集为{1}；③当1即b＜6时，原不等式的解集为[，1]；综上所述：当即b＞6时，原不等式的解集为[1，]；当b=6时，原不等式的解集为{1}；当b＜6时，原不等式的解集为[，1]；18．（12分）已知三角形ABC中，A为锐角，且b=2asinB（1）求A，（2）若a=7，三角形ABC的面积为10，求b+c的值．【解答】解：﹙1﹚由正弦定理知a=2RsinA，b=2RsinB，∴×2RsinB=2×2RsinAsinB，sinB≠0，∴sinA=且A为锐角，∴A=60°（2）∵S=bcsinA=bc×=10，∴即解得：bc=40，∴由余弦定理可求得：49=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣3bc=（b+c）2﹣120，∴b+c=13．19．（12分）某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162 平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400 元/米，中间两道隔墙建造单价为248 元/米，池底建造单价为80 元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计．（1 ）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；（2 ）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16 米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低．【解答】解：（1）设污水处理池的宽为x米，则长为米．则总造价f（x）=400×（2x+2×）+248×2x+80×162=1296x++12960=1296（x+）+12960≥1296×2×+12960=38880（元），当且仅当x=（x＞0），即x=10时取等号．∴当长为16.2 米，宽为10 米时总造价最低，最低总造价为38 880 元．（2）由限制条件知，∴10≤x≤16设g（x）=x+（10≤x≤16）．g（x）在[10，16]上是增函数，∴当x=时，g（x）有最小值，即f（x）有最小值．∴当长为16 米，宽为10米时，总造价最低．20．（12分）三角形ABC中，a（cosB+cosC）=b+c，（1）求证A=（2）若三角形ABC的外接圆半径为1，求三角形ABC周长的取值范围．【解答】解：（1）证明：∵a（cosB+cosC）=b+c，∴由余弦定理可得：a+a=b+c，∴整理可得：（b+c）（a2﹣b2﹣c2）=0，∵b+c＞0，∴a2=b2+c2，∴A=，得证．（2）∵三角形ABC的外接圆半径为1，A=，∴a=2，∴b+c=2（sinB+cosB）=2sin（B+），∵0，＜B+＜，∴2＜b+c，∴4＜a+b+c≤2，∴三角形ABC周长的取值范围是：（4，2+2]．21．（12分）设数列{a n }的前n 项的和S n =a n ﹣×2n +1+（n=1，2，3，…） （Ⅰ）求首项a 1（Ⅱ）证明数列{a n +2n }是等比数列并求a n ．【解答】（I ）解：∵S n =a n ﹣×2n +1+（n=1，2，3，…）， ∴当n=1时，a 1=S 1=﹣+，解得a 1=2．（II ）证明：当n ≥2时，S n ﹣1=﹣+， 可得a n =a n ﹣×2n +1+﹣（﹣+），化为：a n =4a n ﹣1+2n ． ∴=，∴数列{a n +2n }是等比数列，首项为4，公比为4． ∴a n +2n =4n ， ∴a n =4n ﹣2n ．赠送初中数学几何模型【模型二】半角型：图形特征：45°4321DA1FDAB正方形ABCD 中，∠EAF =45° ∠1=12∠BAD 推导说明：1.1在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠FAE ＝45°，求证：EF ＝BE +DFE-a1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°DEa+b-aa45°A BE挖掘图形特征：a+bx-aa 45°DBa+b-a45°A运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．E3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE＝45°.（1）求线段AB的长；（2）动点P从B出发，沿射线．．BE运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t，则t为何值时，△ABP为等腰三角形；（3）求AE－CE的值.变式及结论：4.在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图1），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图2），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图3），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．F。
2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理科)试卷解析
2015-2016学年上学期期中考高二理科数学试题（考试时间：120分钟 总分：150分） 2015、11参考公式：b=2121xn xyx n yx ni ini ii--∑∑==，a=y －b x ， b 是回归直线的斜率，a 是截距样本数据1x ，2x ，...，n x 的方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-其中x 为样本平均数一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、下列给出的赋值语句正确的是( )A ．6＝AB ．M ＝－MC ．B ＝A ＝2D ．x ＋5y ＝02、已知命题p ：R x ∈∀，1cos ≤x ，则（ ）(A) 1cos ,:≥∈∃⌝x R x p (B) 1cos ,:≥∈∀⌝x R x p (C) 1cos ,:00>∈∃⌝x R x p (D) 1cos ,:>∈∀⌝x R x p 3、设x R ∈,则“12x >”是“2210x x +->”的（ ） (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件4、从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）(A) 至少有一个黑球与都是黑球 (B) 至少有一个红球与都是黑球(C) 至少有一个黑球与至少有1个红球 (D) 恰有1个黒球与恰有2个黑球5、甲，乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，命中个数的茎叶图如图，则甲，乙两命中个数的中位数分别为( )甲 茎 乙8 0 93 2 1 1 34 8 765420 2 0 0 1 1 373A. 23,19B.24,18 C ．22,20D.23,206、若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点)23,25(-，则椭圆方程是 （ ）A ．14822=+x yB ．161022=+y xC ．18422=+x yD ． 161022=+x y7、在长为10㎝的线段AB 上任取一点P ，并以线段AP 为边作正方形，这个正方形的面积介于25cm 2与64 cm 2之间的概率为 （ ） (A)103 (B)52(C)54 (D)51 8、某程序框图如右图所示，现输入如下四个函数， 则可以输出的函数是（ ） (A) ()2f x x = (B) ()1f x x=(C) ()xf x e = (D) ()sin f x x =（第8题图）9、21,F F 是椭圆17922=+y x 的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠02145=F AF ，则Δ12AF F 的面积为（ ）A ．7 B ．47 C ．27 D ．257 ）(A) 5i >？ (B) 7i ≥？ (C) 9i ≥？ ( D) 9i >？11、某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表广告费用x （万元） 4 2 3 5 销售额y （万元）49263954根据上表可得回归方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆb 为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）(A) 63．6万元 (B) 65．5万元 (C) 67．7万元 (D) 72．0万元开始1=i 0=S iS S 2+=2+=i i ?否S输出结果是12、下列说法错误的是（ ）(A) “若0x y += , 则,x y 互为相反数”的逆命题是真命题。
河南省信阳市2015_2016学年高二数学上学期期中试题文含解析
2015-2016学年河南省信阳市高二（上）期中数学试卷（文科）一.选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是( )A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（4） D．（2）（3）2．下列各数中，最小的数是( )A．75 B．210（6）C．111111（2）D．85（9）3．下面为一个求20个数的平均数的程序，在横线上应填充的语句为( )A．i＞20 B．i＜20 C．i＞=20 D．i＜=204．袋内分别有红、白、黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是( ) A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．恰有一个白球；一个白球一个黑球D．至少有一个白球；红、黑球各一个5．如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色不全相同的概率为( )A．B．C．D．6．在如图的程序框图表示的算法中，输入三个实数a，b，c，要求输出的x是这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入( )A．x＞c B．c＞x C．c＞b D．c＞a7．对某班学生一次英语测验的成绩分析，各分数段的分布如图（分数取整数），由此，估计这次测验的优秀率（不小于80分）为( )A．92% B．24% C．56% D．5.6%8．下列有关命题的说法正确的是( )A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件．C．命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题9．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；关于上述样本的下列结论中，正确的是( )A．②、③都不能为系统抽样B．②、④都不能为分层抽样C．①、④都可能为系统抽样D．①、③都可能为分层抽样10．将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成n3（n≥3）个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取1个，则其中三面都涂有颜色的概率为( )A．B．C．D．11．在等腰直角三角形ABC中，角C为直角．在∠ACB内部任意作一条射线CM，与线段AB交于点M，则AM＜AC的概率( )A．B．C．D．12．如图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入( )A．P=B．P=C．P=D．P=二.填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知f（x）=3x4+2x3+x﹣3，用秦九韶算法求当x=2时v2=__________的值．14．假设要抽查某种品牌的850颗种子的发芽率，抽取60粒进行实验．利用随机数表抽取种子时，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数7开始向右读，请你依次写出检测的第4颗种子的编号__________．（下面摘取了随机数表第7行至第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．15．设p：x＞2或；q：x＞2或x＜﹣1，则¬p是¬q的__________条件．16．有5条长度分别为1，3，5，7，9的线段，从中任意取出3条，则所取3条线段可构成三角形的概率是__________．三.解答题（本题共6题，共70分，解答应写出文字说明）17．如图茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．（1）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．（注：方差，其中为x1，x2，…x n 的平均数）18．如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：（1）79.5﹣89.5这一组的频数、频率分别是多少？（2）估计这次环保知识竞赛的众数、中位数、平均分是多少？19．某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表商店名称 A B C DE销售额x（千万元） 3 5 6 7 9利润额y（百万元） 2 3 3 4 5（1）画出散点图．观察散点图，说明两个变量有怎样的相关性．（2）用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程．（3）当销售额为4（千万元）时，估计利润额的大小．20．已知命题p：关于x的方程x2﹣ax+4=0有实根；命题q：关于x的函数y=2x2+ax+4在8．下列有关命题的说法正确的是( )A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件．C．命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；对应思想；简易逻辑．【分析】写出命题的否定判断A；求解方程后结合充分必要条件的判断方法判断B；写出特称命题的否定判断C；由互为逆否命题的两个命题共真假判断D．【解答】解：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2≠1，则x≠1”，故A错误；由x2﹣5x﹣6=0，解得x=﹣1或x=6，∴“x=1”是“x2﹣5x﹣6=0”的既不充分也不必要条件，故B错误；命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，故C错误；命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题，∴其逆否命题为真命题，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了命题的否定和否命题，训练了充分必要条件的判断方法，是基础题．9．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得号码有下列四种情况：①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265；③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254；④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；关于上述样本的下列结论中，正确的是( )A．②、③都不能为系统抽样B．②、④都不能为分层抽样C．①、④都可能为系统抽样D．①、③都可能为分层抽样【考点】收集数据的方法．【专题】应用题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】观察所给的四组数据，根据四组数据的特点，把所用的抽样选出来，①，③可能是系统抽样或分层抽样，②是简单随机抽样，④一定不是系统抽样和分层抽样．【解答】解：观察所给的四组数据，①，③可能是系统抽样或分层抽样，②是简单随机抽样，④一定不是系统抽样和分层抽样，故选D．【点评】简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法．常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法．简单随机抽样和系统抽样过程中，每个个体被抽取的可能性是相等的．10．将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成n3（n≥3）个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取1个，则其中三面都涂有颜色的概率为( )A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】计算题；整体思想；分析法；概率与统计．【分析】试验发生包含的事件是正方体锯成n3个同样大小的小正方体，共有n3个结果，然后计算出满足条件三面都涂有颜色的基本事件个数，代入古典概型概率公式即可得到答案．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是正方体锯成n3个同样大小的小正方体，共有n3个结果，满足条件的事件是三面都涂有颜色，出现各个顶点上，共有8个，根据古典概型概率公式得到，故选：C．【点评】古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，概率问题同其他的知识点结合在一起，实际上是以概率问题为载体，主要考查的是另一个知识点，本题主要考查正方体的结构．11．在等腰直角三角形ABC中，角C为直角．在∠ACB内部任意作一条射线CM，与线段AB交于点M，则AM＜AC的概率( )A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】由于过直角顶点C在∠ACB内部任作一射线CM，故可以认为所有可能结果的区域为∠ACB，可将事件A构成的区域为∠ACC'，以角度为“测度”来计算【解答】解：在AB上取AC'=AC，则∠ACC′==67.5°．记A={在∠ACB内部任作一射线CM，与线段AB交于点M，AM＜AC}，则所有可能结果的区域为∠ACB，事件A构成的区域为∠ACC'．又∠ACB=90°，∠ACC'=67.5°．∴P（A）=．故选：C．【点评】本题考查了几何概型的概率求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．12．如图是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入( )A．P=B．P=C．P=D．P=【考点】程序框图．【专题】概率与统计．【分析】由题意以及框图的作用，直接推断空白框内应填入的表达式．【解答】解：由题意以及程序框图可知，用模拟方法估计圆周率π的程序框图，M是圆周内的点的次数，当i大于1000时，圆周内的点的次数为4M，总试验次数为1000，所以要求的概率，所以空白框内应填入的表达式是P=．故选：D．【点评】本题考查程序框图的作用，考查模拟方法估计圆周率π的方法，考查计算能力，属于基础题．二.填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知f（x）=3x4+2x3+x﹣3，用秦九韶算法求当x=2时v2=16的值．【考点】秦九韶算法．【专题】计算题；转化思想；算法和程序框图．【分析】利用秦九韶算法可得：f（x）=（（（3x+2）x+0）x+1）x﹣3，【解答】解：由秦九韶算法可得：f（x）=（（（3x+2）x+0）x+1）x﹣3，∴v0=3，v1=3x+2，v2=（3x+2）x+0，∴当x=2时，v2=16．故答案为：16．【点评】本题考查了秦九韶算法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．假设要抽查某种品牌的850颗种子的发芽率，抽取60粒进行实验．利用随机数表抽取种子时，先将850颗种子按001，002，…，850进行编号，如果从随机数表第8行第7列的数7开始向右读，请你依次写出检测的第4颗种子的编号810．（下面摘取了随机数表第7行至第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54．【考点】系统抽样方法．【专题】应用题；对应思想；分析法；概率与统计．【分析】由题意，本题是一个利用随机数表收集数据的问题，由于数据已编号，按题设中所给的规则在随机数表中读出符号条件的编号即可得到答案【解答】解：由题意，及表知，从随机数表第8行第7列的数7开始向右读，所得到的三位编码依次是785，916，955，567，199，810由于850颗种子按001，002，…，850进行编号所以检测的第4颗种子的编号810，故答案为：810．【点评】本题考查随机数表法收集数据，理解随机数表收集数据的方法规则是解题的关键，本题是基础方法考查题，掌握其规则是解题的重点．15．设p：x＞2或；q：x＞2或x＜﹣1，则¬p是¬q的充分不必要条件．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】不等式的解法及应用．【分析】可先判p是q的什么条件，也可先写出¬p和¬q，直接判断¬p是¬q的什么条件．【解答】解：由题意q⇒p，反之不成立，故p是q的必要不充分条件，从而¬p是¬q的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．【点评】解决一个条件是另一个的什么条件常先化简各个条件，将判断条件问题转化为判断集合的包含关系问题．16．有5条长度分别为1，3，5，7，9的线段，从中任意取出3条，则所取3条线段可构成三角形的概率是0.3．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题．【分析】由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从5条线段中取3条，满足条件的事件可以列举出共有3种，根据古典概型的公式得到结果．【解答】解：由题意知，本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是从5条线段中取3条，有C53=10种结果，满足条件的事件是3，7，，5，；3，7，9；5，7，9，共有3种，∴根据古典概型公式得到概率是=0.3故答案为：0.3【点评】本题考查古典概型，组成三角形的条件，是一个综合题，解题的关键是列举能够组成三角形的三条线段，做到不重不漏．三.解答题（本题共6题，共70分，解答应写出文字说明）17．如图茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．（1）如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；（2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．（注：方差，其中为x1，x2，…x n 的平均数）【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图．【专题】计算题；概率与统计．【分析】（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，由此能求出乙组同学植树棵树的平均数和方差；（2）先求出从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果，再求出选出的两名同学的植树总棵数为19的结果数，由此可得概率．【解答】解：（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，所以平均数为=方差为s2==（2）记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，B4），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，B4），（A3，B1），（A2，B2），（A3，B3），（A1，B4），（A4，B1），（A4，B2），（A4，B3），（A4，B4），用C表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：（A1，B4），（A2，B4），（A3，B2），（A4，B2），故所求概率为P（C）==．【点评】本题考查茎叶图的应用，考查概率的计算，解题时要认真审题，注意茎叶图的性质和应用．18．如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：（1）79.5﹣89.5这一组的频数、频率分别是多少？（2）估计这次环保知识竞赛的众数、中位数、平均分是多少？【考点】众数、中位数、平均数；频率分布直方图．【专题】计算题；数形结合；综合法；概率与统计．【分析】（1）先求频率，再求频数；（2）根据频率分步直方图中计算平均数、众数、中位数的方法，计算可得答案．【解答】解：（1）频率=（89.5﹣79.5）×0.025=0.25；频数=60×0.25=15．（2）79.5～89.5一组的频率最大，人数最多，则众数为84.5，69.5分左右两侧的频率均为0.5，则中位数为69.5平均分为：44.5×0.1+54.5×0.15+64.5×0.15+74.5×0.3+84.5×0.25+94.5×0.05=71分．【点评】考查了频率分布直方图中的数字特征．关键利用频率分步直方图，从中得到数据信息．19．某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表商店名称 A B C DE销售额x（千万元） 3 5 6 7 9利润额y（百万元） 2 3 3 4 5（1）画出散点图．观察散点图，说明两个变量有怎样的相关性．（2）用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程．（3）当销售额为4（千万元）时，估计利润额的大小．【考点】回归分析的初步应用．【专题】计算题；作图题．【分析】（1）画出散点图如图；（2）先求出x，y的均值，再由公式=，=﹣计算出系数的值，即可求出线性回归方程；（3）将零售店某月销售额为4千万元代入线性回归方程，计算出y的值，即为此月份该零售点的估计值．【解答】解：（1：（1）根据所给的五组数据，得到五个有序数对，在平面直角坐标系中画出点，得到散点图．：（I）散点图（五个点中，有错的，不能得，有两个或两个以上对的，至少得1分）两个变量符合正相关…（2）设回归直线的方程是：，；…∴=…a=0.4∴y对销售额x的回归直线方程为：y=0.5x+0.4…（3）当销售额为4（千万元）时，利润额为：=2.4（百万元）…【点评】本题考查线性回归方程，解题的关键是掌握住线性回归方程中系数的求法公式及线性回归方程的形式，按公式中的计算方法求得相关的系数，得出线性回归方程，本题考查了公式的应用能力及计算能力，求线性回归方程运算量较大，解题时要严谨，莫因为计算出错导致解题失败．20．已知命题p：关于x的方程x2﹣ax+4=0有实根；命题q：关于x的函数y=2x2+ax+4在[3，+∞）上是增函数，若“p或q”是真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】计算题．【分析】由已知中，命题p：关于x的方程x2﹣ax+4=0有实根；命题q：关于x的函数y=2x2+ax+4在[3，+∞）上是增函数，我们可以求出命题p与命题q为真或假时，实数a的取值范围，又由“p或q”为真，“p且q”为假，构造关于a的不等式组，解不等式组即可得到实数a的取值范围．【解答】解：若p真：则△=a2﹣4×4≥0∴a≤﹣4或a≥4若q真：，∴a≥﹣12由“p或q”是真命题，“p且q”是假命题得：p、q两命题一真一假当p真q假时：a＜﹣12；当p假q真时：﹣4＜a＜4综上，a的取值范围为（﹣∞，﹣12）∪（﹣4，4）（14分）【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中根据已知条件，求出命题p与命题q为真或假时，实数a的取值范围，是解答本题的关键．21．甲盒中有红、黑、白三种颜色的球各3个，乙盒中有黄、黑、白三种颜色的球各2个从两个盒子中各取1个球（1）计算取出两个球都是黑色的概率．（2）计算取出两个球是不同颜色的概率．【考点】互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；整体思想；分析法；概率与统计．【分析】（1）A=“取出的两球是都是黑颜色”，共有9×6=54种，其中两球都是黑色的有3×2=6种，根据概率公式计算即可．（2）设C=“取出的两球是相同颜色”，D=“取出的两球是不同颜色”，进而分析可得取出的两球是相同颜色，则两球的颜色均为黑色或白色，易得其情况数目，由等可能事件的概率可得事件D的概率，由对立事件的概率性质，可得答案．【解答】（1）解：A=“取出的两球是都是黑颜色”，共有9×6=54种，其中两球都是黑色的有3×2=6种，P（A）==．（2）设C=“取出的两球是相同颜色”，D=“取出的两球是不同颜色”，则事件的D概率为：P（C）==．由于事件C与事件D是对立事件，所以事件D的概率为：P（D）=1﹣P（C）=1﹣=．【点评】本题考查等可能事件的概率的求法，用所有的取法减去两球的颜色相同的取法，即得两球的颜色不同的取法．22．若点（p，q），在|p|≤3，|q|≤3中按均匀分布出现．（1）点M（x，y）横、纵坐标分别由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，则点M（x，y）落在上述区域的概率？（2）试求方程x2+2px﹣q2+1=0有两个实数根的概率．【考点】几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】计算题．【分析】（1）是古典概型，首先分析可得|p|≤3，|q|≤3整点的个数，进而分析可得点M的纵横坐标的范围，可得M的个数，由古典概型公式，计算可得答案；（2）是几何概型，首先可得|p|≤3，|q|≤3表示正方形区域，易得其面积，进而根据方程x2+2px﹣q2+1=0有两个实数根，则有△=（2p）2﹣4（﹣q2+1）≥0，变形可得p2+q2≥1，分析可得其表示的区域即面积，由几何概型公式，计算可得答案．【解答】解：（1）根据题意，点（p，q），在|p|≤3，|q|≤3中，即在如图的正方形区域，其中p、q都是整数的点有6×6=36个，点M（x，y）横、纵坐标分别由掷骰子确定，即x、y都是整数，且1≤x≤3，1≤y≤3，点M（x，y）落在上述区域有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），有9个点，所以点M（x，y）落在上述区域的概率P1=；（2）|p|≤3，|q|≤3表示如图的正方形区域，易得其面积为36；若方程x2+2px﹣q2+1=0有两个实数根，则有△=（2p）2﹣4（﹣q2+1）＞0，解可得p2+q2≥1，为如图所示正方形中圆以外的区域，其面积为36﹣π，即方程x2+2px﹣q2+1=0有两个实数根的概率，P2=．【点评】本题考查几何概型、古典概型的计算，解题时注意区分两种概率的异同点．。
河南省信阳市2015_2016学年高二数学上学期期中试题理含解析
2015-2016学年河南省信阳市高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，只有一项是符合题目要求的。
1．下列给出的赋值语句中正确的是( )A．3=A B．M=﹣M C．B=A=2 D．x+y=02．设a∈R，则a＞1是＜1的( )A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知命题p：∃x∈R，使tanx=1，其中正确的是( )A．¬p：∃x∈R，使tanx≠1B．¬p：∃x∉R，使ta nx≠1C．¬p：∀x∈R，使tanx≠1D．¬p：∀x∉R，使tanx≠14．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A．恰有1个黑球与恰有2个黑球B．至少有一个黑球与都是黑球C．至少有一个黑球与至少有1个红球D．至多有一个黑球与都是黑球5．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②．则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是( )A．分层抽样法，系统抽样法B．分层抽样法，简单随机抽样法C．系统抽样法，分层抽样法D．简单随机抽样法，分层抽样法6．某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为( )A．B．C．D．7．下图是把二进制的数11111（2）化成十进制数的﹣个程序框图，则判断框内应填入的条件是( )A．i≤4 B．i≤5 C．i＞4 D．i＞58．若直线y=x+k与曲线x=恰有一个公共点，则k的取值范围是( )A．k=﹣或﹣1＜k≤1B．k≥或k≤﹣ C．﹣＜k＜D．k=±9．已知函数f（x）=x6+1，当x=x0时，用秦九韶算法求f（x0）的值，需要进行乘方、乘法、加法的次数分别为( )A．21，6，2 B．7，1，2 C．0，1，2 D．0，6，610．我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”（其中a2=b2+c2，a＞b＞c＞0）．如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1、A2和B1、B2是“果圆”与x，y轴的交点，若△F0F1F2是边长为1的等边三角，则a，b的值分别为( )A．B．C．5，3 D．5，411．函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈，在定义域内任取一点x0，使f（x0）＞0的概率是( ) A．B．C．D．12．从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是( )A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。
北京市海淀区2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题及参考答案
海淀区2015—2016学年度第一学期期中练习高二数学一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合要求的，把答案填在答题纸上的表格内．1．下列说法正确的是（ ）A ．三点确定一个平面B ．梯形一定是平面图形C ．四边形一定是平面图形D ．平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 2.已知命题:p “0a ∀>，有e 1a ≥成立”，则p ⌝为（ ）A. 0a ∃>，有e 1a<成立 B. 0a ∃≤，有e 1a≥成立 C. 0a ∃≤，有e 1a≤成立 D. 0a ∃>，有e 1a≤成立1111ABCD A B C D -的棱所在的直线中，与直线AB 垂直的异面直线共有（ ）A ．1条B ．2条C ．4条D ．8条4. 命题p ：22,0x x ax a ∀∈++≥R ；命题q ：若一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()p q ⌝∨D ．()()p q ⌝∧⌝ 5．已知m ，n 表示两条不同直线，α 表示平面．下列说法正确的是（ ）A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥nC ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αD ．若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α6.设直线l ，m ,n 均为直线，其中m ,n 在平面α内, 则“l α⊥”是“l m ⊥且l n ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．设,,,A B C D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确．．．的是（ ） A ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面班级 姓名 学号 装订线ABCD（第3题图）A 11C 1D 1俯视图侧（左）视图正（主）视图B ．若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 C ．若,AB AC DB DC ==，则AD BC ⊥ D ．若,AB AC DB DC ==，则AD BC =8．如图，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，E 、F 分别是BC 1、BD 的中点，则至少过正方体3个顶点的截面中与EF 平行的截面个数为（ ）A.2B.3C.4D.5二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分 9．高为2的圆柱侧面积为4π，此圆柱的体积为 .10.已知直线b ∥平面α，平面α∥平面β，则直线b 与β的位置关系为 . 11. 命题“如果直线l 垂直于平面α内的两条相交直线，则直线l 垂直于平面α”的否命题是 ;该否命题是 命题．(填“真”或“假”) 12.给定下列命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面互相平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直； ③垂直于同一直线的两条直线互相平行；④若两个平面互相垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中为真命题的序号是 .13.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥四个面的面积中最大值是 .14.如图，在四棱锥S ABCD -中，SB ⊥底面ABCD ．底面ABCD 为梯形，AB AD ⊥，AB ∥CD ,1,3AB AD ==，2CD =．若点E 是线段AD 上的动点，则满足90SEC ∠=︒的点E 的个数是个．SABCDEFA 1B 1C 1D 1三、解答题：本大题共4小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知命题:p 2230m m +-≤q ：方程2210x mx -+=p ⌝为假命题，p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围．16.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 、Q 分别是棱DD 1、 CC 1的中点. （1）画出面D 1BQ 与面ABCD 的交线，简述画法及确定交线的依据. （2）求证：平面D 1BQ ∥平面P AO17.如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为正方形，11BB C C 是菱形，平面11AA B B ⊥平面11BB C C .（1）求证：//BC 平面11AB C ； （2）求证：1B C ⊥1AC ；18.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，又AD ∥BC ，AD DC ⊥， 且33PD BC AD ===.（1）在下列网格中画出四棱锥P ABCD -的正视图； （2）求证：平面PAD ⊥平面PCD ；CBC 1B 1A 1A班级 姓名 学号 装订线（3）求证：棱PB上存在一点E，使得AE∥平面PCD，并求PEEB的值.DC BAP2015—2016学年度第一学期期中练习 答题纸高二数学一、 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9. ； 10. ；11. ， ；12. ； 13. ；14. .三、解答题：本大题共4小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.已知命题:p 2230m m +-≤成立.命题2:210q x mx -+=方程有实数根.若p ⌝为假命题，p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围．班级 姓名 学号 装订线16.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 、Q 分别是棱DD 1、 CC 1的中点. （1）画出面D 1BQ 与面ABCD 的交线，简述画法及确定交线的依据. （2）求证：平面D 1BQ ∥平面P AO17.如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为正方形，11BB C C 是菱形，平面11AA B B ⊥平面11BB C C .（1）求证：//BC 平面11AB C ； （2）求证：1B C ⊥1AC ；CBC 1B 1A 1A18.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，又AD ∥BC ，AD DC ⊥， 且33PD BC AD ===.（1）在下列网格中画出四棱锥P ABCD -的正视图； （2）求证：平面PAD ⊥平面PCD ；（3）求证：棱PB 上存在一点E ，使得AE ∥平面PCD ，并求PEEB的值.DCBAP2015—2016学年度第一学期期中练习 参考答案高二数学一、 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，把答案填在下表中.题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案BACABADB三、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 9. 2π ; 10. b ∥β或 b ⊂β；11. 否命题：如果直线l 不垂直于平面α内的两条相交直线，则直线l 不垂直于平面α；真 12.②和④； 13. 234； 14.2.三、解答题：本大题共4小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.（9分）已知命题:p 2230m m +-≤成立. 命题q ：方程2210x mx -+=p ⌝为假命题，p q ∧为假命题，求实数m 的取值范围．解：由p ⌝为假命题，p q ∧为假命题可知，命题p 为真命题，命题q 为假命题………………………………………………2分命题p ：2230m m +-≤可得[3,1]m ∈- ，…………………………………5分命题2:210q x mx -+=方程有实数根，可得(,1][1,)m ∈-∞⋃+∞…………7分 由于q 为假，则(1,1)m ∈-综上，(1,1)m ∈-………………9分16.（10分）如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 、Q 分别是棱DD 1、 CC 1的中点.（1）画出面D 1BQ 与面ABCD 的交线，简述画法及确定交线的依据. （2）求证：平面D 1BQ ∥平面P AO（1）解：作法：延长D 1面D 1BQ 与面ABCD 的交线……………………………………2分 理由如下：由作法可知，1M D Q ∈直线 又1D Q ⊂直线面D 1BQ M ∴∈面D 1BQ同理可证M ∈面ABCD则M 在面D 1BQ 与面ABCD 的交线上， 又因为B ∈ 面D 1BQ 且B ∈面ABCD, 则B 也在面D 1BQ 与面ABCD 的交线上，………………………………4分 且面D 1BQ 与面ABCD 有且只有一条交线，班级 姓名 学号 装订线 班级 姓名 学号 装订线 M则BM 即为所求交线. …………………………………………………5分（2）连接PQ 、BD ，易证四边形P ABQ 为平行四边形AP ∴∥BQAP ⊂面AOPBQ ⊄面AOPBQ ∴∥面AOP …………………………………………8分同理可证1D B ∥面AOP 又1=BQ D B B ⋂，BQ ⊂面1BQD ，1BD ⊂面1BQD∴ 面1BQD ∥面AOP …………………………………10分17.（共11分）证明：（Ⅰ）在菱形11BB C C 中，BC ∥11B C . 因为 BC平面11AB C ，11B C 平面11AB C ，所以 //BC 平面11AB C . ………………3分 （Ⅱ）连接1BC .在正方形11ABB A 中，1ABBB .因为 平面11AA B B ⊥平面11BB C C ，平面11AA B B 平面111BB C C BB =，AB平面11ABB A ，所以 AB 平面11BB C C . …………………6分因为 1B C平面11BB C C ， 所以 1AB B C . ………………………………7分在菱形11BB C C 中，11BC B C .因为 1BC 平面1ABC ，AB平面1ABC ，1BC AB B ，所以 1B C 平面1ABC . ………………………9分 因为 1AC 平面1ABC ，所以 1B C ⊥1AC . ………………11分CBC 1B 1A 1A18.（共14分）（Ⅰ）解：四棱准P ABCD -的正视图如图所示.………………3分明：因为 PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，（Ⅱ）证所以PD AD ⊥. ………………5分因为 AD DC ⊥，PD CD D =，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AD ⊥平面PCD . ………………7分 因为 AD ⊂平面PAD ，所以 平面PAD ⊥平面PCD . ………………8分（Ⅲ）分别延长,CD BA 交于点O ，连接PO ，在棱PB 上取一点E ，使得12PE EB =.下证//AE 平面PCD . ………………10分因为 //AD BC ，3BC AD =， 所以13OA AD OB BC ==，即12OA AB =. 所以OA PEAB EB=. 所以 //AE OP . ………………12分 因为OP ⊂平面PCD ，AE ⊄平面PCD ， 所以 //AE 平面PCD . ………………14分O EDCBAP。
2015-2016学年山西省运城市高二(上)数学期中试卷带解析答案
2015-2016学年山西省运城市高二（上）期中数学试卷一、选择题：每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（4分）在空间直角坐标系中，点，过点P作平面xOy的垂线PQ，则Q的坐标为（）A．B．C．D．2．（4分）经过点P（﹣4，3），倾斜角为45°的直线方程是（）A．x+y+7=0 B．x+y﹣7=0 C．x﹣y﹣7=0 D．x﹣y+7=03．（4分）圆的方程为x2+y2﹣10x+6y+25=0，则圆心坐标是（）A．（5，﹣3）B．（5，3） C．（﹣5，3）D．（﹣5，﹣3）4．（4分）一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为（）A．B．C．16πD．24π5．（4分）如图（1）、（2）、（3）、（4）为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为（）A．三棱台、三棱柱、圆锥、圆台B．三棱台、三棱锥、圆锥、圆台C．三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台D．三棱柱、三棱台、圆锥、圆台6．（4分）点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）A．x+y﹣1=0 B．2x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=07．（4分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l∥α，α⊥β，则l⊥βD．若l⊥α，α∥β，则l⊥β8．（4分）经过点M（1，1）且在两轴上截距相等的直线是（）A．x+y=2 B．x+y=1 C．x=1或y=1 D．x+y=2或x﹣y=09．（4分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是（）A．CC1与B1E是异面直线B．AC⊥平面ABB1A1C．AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1D．A1C1∥平面AB1E10．（4分）若过点A（4，0）的直线l与曲线（x﹣2）2+y2=1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：每小题4分，共24分，请把答案填在答题卡上。
2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试卷-有答案-通用版
18
12
C． 1 6
D
．1
3
1 O 图1 A x x
8. 已知可导函数 f ( x) (x ? R ) 满足 f ￠( x) > f (x) ，则当 a 0 时， f ( a) 和 ea f (0) 大小关系
为
A. f (a) < ea f (0)
B.
f (a) > ea f (0)
C. f (a) = ea f (0)
பைடு நூலகம்
．- 3
A．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 y
7．如图 1，在矩形 OABC 内：记抛物线 y x2 1
C
2 与直线 y x 1 围成的区域为 M （图中阴影部分） ．
y x2 1
y x1 B
则区域 M面积与矩形 OABC 面积之比为
A． 1
B
．1
1
x2
设双曲线 C：
y2
1（a>0，b>0）的一个焦点坐标为 （ 3 ，0），离心率 e
3，
a2 b2
A、 B 是双曲线上的两点， AB的中点 M（1， 2） .
（ 1）求双曲线 C的方程；
（ 2）求直线 AB方程；
（ 3）如果线段 AB的垂直平分线与双曲线交于 C、 D两点，那么 A、 B、 C、 D四点是否
共圆？为什么？
20．（本小题满分 14 分）
设函数 f (x) 1 x3 1 a x2 ax a(a 0) .
3
2
（ 1）若函数 f (x) 在区间（ -2 ， 0）内恰有两个零点，求
a 的取值范围；
（ 2）当 a=1 时，求函数 f ( x) 在区间 [ t ， t +3] 上的最大值 .
2015-2016学年高二上学期期中考试数学试卷
2015学年第一学期期中考试高二年级 数学试卷答卷时间：120分钟； 满分：150分； 命题人：温从赐 审核人：鲁兴冠参考公式：棱柱的体积公式： V Sh =其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高棱锥的体积公式：13V Sh =其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高棱台的体积公式：)(312211S S S S h V ++=其中S 1、S 2分别表示棱台的上、下底面积，h 表示棱台的高球的表面积公式：24S R π=； 球的体积公式： 334R V π= 其中R 表示球的半径一、选择题（每题只有一个正确选项，每题5分，总共40分.）1.10y -+=的倾斜角为（ ）A.30B.150C.60D.120 2.直线()1:110l a x y -+-=和2:320l x ay ++=垂直，则实数a 的值为（ ）A.12B.32C.14D.34 3.用斜二测法画水平放置的边长为1的正方形所得的直观图面积是（ ）D. 4.若直线a 不平行于平面α，且a α⊄，则下列结论成立的是（ ）A.α内的所有直线与a 异面B.α内不存在与a 平行的直线C.α内存在唯一的直线与a 平行D.α内的直线与a 都相交 5.已知实数,x y 满足22230x x y -+-=，则x y -的最大值是（ ）A.1B.1-C.1-D.6.已知直线():10l x ay a R +-=∈是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点()4,A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB =（ ）A.2B. C .6 D.7.已知圆()2214x y ++=的圆心为C ，点P 是直线:540l mx y m --+=上的点，若该圆上存在点Q 使得30CPQ ∠=，则实数m 的取值范围为（ ）A.[]1,1-B.[]2,2-C. D.120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 8.设四边形EFGH 的四条边长为,,,a b c d ，其四个顶点分别在单位正方形ABCD 的四条边上，则222222a b c d +++的最小值为（ ）A.3B.6C. D.83二、填空题（本题共7小题，前4题每空3分，后3题每空4分，共36分.）9.已知直线1:10l x y --=和2:2240l x y -+=，则1l 在y 轴上的截距是 ，直线1l 与2l 间的距离是 .10.在正方体1111ABCD A B C D -中，棱11A D 与棱1BB 所成的夹角是 ，异面直线1AD 与BD 所成的角是 .11.设三棱锥ABC S -的三个侧面两两垂直，且a SC SB SA ===，则其外接球的表面积为 ，体积为 .12.已知变量,x y 满足430401x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则点(),x y 对应的区域面积是__________，22x y u xy+=的取值范围为__________．13.在平面直角坐标系内，到点(1,2)A ，(1,5)B ，(3,6)C ，(7,1)D -的距离之和最小的点的坐标是_____ __.14.设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PAB ∆面积的最大值是 .15.在平面直角坐标系xOy 中，设()1,1,,A B C -是函数()10y x x=>图象上的两点，且ABC ∆为正三角形，则ABC ∆的高为 .三、解答题（本题共5小题，共74分；解答过程应写出必要的过程步骤与详细解答情况.） 16.（本题满分14分）某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图甲所示，墩的上半部分是正四棱锥P EFGH -，下半部分是长方体ABCD EFGH -.图乙、图丙分别是该标识墩的正视图和俯视图.（1）画出该安全标识墩的侧视图，并标出相应的刻度； （2）求该安全标识墩的体积.17.（本题满分15分）过点()2,1P 作直线l 交x 轴、y 轴的正半轴于,A B 两点，O 为坐标原点.（1）当AOB ∆的面积为92时，求直线l 的方程； （2）当AOB ∆的面积最小时，求直线l 的方程.18.（本题满分15分）已知过点()0,1A 且斜率为k 的直线l 与圆()()22:231C x y -+-=交于,M N 两点.（1）求k 的取值范围；（2）若12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求MN .19.（本题满分15分）已知过原点的动直线l 与圆221:650C x y x +-+=相交于不同的两点,A B . （1）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（2）是否存在实数k ，使得直线():4L y k x =-与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.20.（本题满分15分）已知圆()44:22=++y x C 与x 轴交于B A 、两点，P 是圆C 上的动点，直线AP 与PB 分别与y 轴交于N M 、两点.（1）若()4,2P -时，求以MN 为直径圆的面积；（2）当点P 在圆C 上运动时，问：以MN 为直径的圆是否过定点？如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由.x龙湾中学2015学年第一学期期中考试高二年级数学试卷参考答案 一、选择题（每题只有一个正确选项，每题5分，总共40分.）二、填空题（本题共小题，前题每空分，后题每空分，共分.）9. 1- 10. 2π；3π11. 3223,3a a ππ12.85102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦13. ()2,4 14. 52 15. 2 三、解答题（本题共5小题，共74分；解答过程应写出必要的过程步骤与详细解答情况.） 16.（本题满分14分） 解析：（1）侧视图如下图所示2010201020cm40cm（2）364000cm . 17.（本题满分15分）解析：（1）30x y +-=或460x y +-=；（2）min 4S =，此时l 的方程为240x y +-=. 18.（本题满分15分）19.（本题满分15分）20.（本题满分15分）（1）解析：当()4,2P -时，直线AP 方程是6y x =+，所以()0,6M ；直线BP 方程是2y x =--，所以()0,2M -，因此8MN =.所以以MN 为直径圆的面积是16π.（2）解法1：设直线()6:+=x k y AP 交y 轴于()k M 6,0；同法可设直线()21:+-=x ky BP 交y 轴于⎪⎭⎫ ⎝⎛-k N 2,0，线段MN 的中点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k D 13,02.所以以MN 为直径的圆的方程为：222221313⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+k k k k y x ，展开后得()012132222=---+y k k y x ， 令0=y ，得32±=x ，则过定点()032，和()0,32-.解法2：设()()b N a M ,0,,0，线段线段MN 的中点⎪⎭⎫⎝⎛+2,0b a D .所以以MN 为直径的圆的方程为：22222⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+b a b a y x ，展开后得()022=++-+ab y b a y x ，考虑到PB PA ⊥，有⇒-=⇒-=⋅12126ab ba ()01222=-+-+yb a y x ， 令0=y ，得32±=x ，则过定点()032，和()0,32-.。
山东省菏泽市2015_2016学年高二数学上学期期中联考试题(扫描版)
山东省菏泽市2015-2016学年高二数学上学期期中联考试题（扫描版）2015年11月高二期中考试数学参考答案一选择题：1—5 B C A D C 6—10 D A D C B二、填空题：12. 3- 13. 2827 14. 20 15. ①③④ 三、解答题：16. 解: (1)因为3a =，b =，2B A =.所以在ABC ∆中，由正弦定理，可得3sin sin 2A A =.所以2sin cos sin A A A =.故cos A =. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分(2)由(1)可知cos A =，所以sin 3A ==. 又因2B A =， 所以21cos 2cos 13B A =-=.所以sin 3B ==.在ABC ∆中，sin sin()sin cos cos sin 9C A B A B A B =+=+=.由正弦定理，可得3sin sin 5sin sin a C a C c A A ====. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分17．解：⑴ 设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可得7344(12)8a a d -==---=，所以2d =.故3(3)122(3)218n a a n d n n =+-=-+-=-，即218n a n =-. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分⑵ 因为218n a n =-， 所以21()[16(218)]1722n n n a a n n S n n +-+-===-. 由于222171717()()22n S n n n =-=--， 由于n N *∈，所以，当8n =或9n =时，n S 取得最小值为8972S S ==-.故数列{}n a 的前n 项和217n S n n =-，n S 的最小值为72-. ．．．．．．．．．．．．．12分18. 解：⑴ 若3k =-，则有23210x x -++<， 即23210x x -->，即(1)(31)0x x -+>， 解之得13x <-，或1x >， 故原不等式的解集为1(,)(1,)3-∞-+∞U . ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分⑵ 若0k >，则原不等式可化为1(1)()0k x x k --<，由于0k >， 所以1(1)()0x x k--<. ① 当1k =时，11k =，不等式1(1)()0x x k--<无解； ② 当01k <<时，11k >，由1(1)()0x x k --<，可得11x k<<； ③ 当1k >时，11k <，由1(1)()0x x k --<，可得11x k <<. 综上所述，可知：当01k <<时，原不等式的解集为1(1,)k；当1k =时，原不等式的解集为∅；当1k >时，原不等式的解集为1(,1)k. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分19. 解：（1）在ABC ∆中，由正弦定理及cos cos 2B b C a c=-+，可得 cos sin cos 2sin sin B B C A C=-+， 即cos (2sin sin )sin cos B A C B C +=-，整理，可得2sin cos cos sin sin cos A B B C B C+=-2sin cos sin()sin A B B C A -=+=，由于sin 0A ≠ 所以1cos 2B =-，因为0B π<<， 所以23B π=. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由2a =，23B π=，1sin 2S ac B ==4ac =， 从而2c =， 由余弦定理，可得2222cos 12b a c ac B =+-=，所以b =所以4a b c ++=+故ABC ∆的周长为4a b c ++=+. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分20. 解：⑴ 设等差数列{}n a 的公差为(0)d d ≠，则21a a d =+，413a a d =+，由1a ，2a ，4a 成等比数列，可得2214a a a =， 即2111()(3)a d a a d +=+，整理，可得1a d =. 由91989902S a d ⨯=+=，可得12a d ==， 所以1(1)2n a a n d n =+-=. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 ⑵ 由于2n a n =， 所以1111()4(1)41n b n n n n ==-++，从而1111111111[()()()()]412233414144n nnT n n n n =-+-+-+⋅⋅⋅+-=⨯=+++，即数列{}n b 的前n 项和为44n nT n =+. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分21．解：（1）由题意，可知12n n S a a =-，从而1112(2)n n S a a n --=-≥，上述两式相减，可得1122n n n n S S a a ---=-，即122n n n a a a -=-，所以12(2)n n a a n -=≥，从而212a a =，32124a a a ==，43128a a a ==，又因为且1a ，31a +，4a 成等差数列，所以1432(1)a a a +=+，即11182(41)a a a +=+，解之得12a =，又12(2)n n a a n -=≥，所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，故数列{}n a 的通项公式为1222n n n a -=⨯=. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由（1），可知,2n n nnnc a == 所以231123122222n n n n nT --=+++⋅⋅⋅++， ① 以上等式两边同乘以12，可得2311121,22222n n n n nT +-=++⋅⋅⋅++ ②由①-②，可得得23111111222222n n n n T +=+++⋅⋅⋅+-1111[1()]1221()122212n n n n n n ++-=-=---111211222n n n n n +++=--=-， 所以222n n n T +=-. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分。
2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题2
2015-2016学年第一学期高二期中考试数学试题及答案考试时间：120分钟 总分：160分一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 1．直线),(03为常数a R a a y x ∈=+-的倾斜角是 ．2．过点(0，1)，且与直线2x ＋y －3＝0平行的直线方程是____________ ．3．已知直线1:20l ax y a -+=,2:(21)0l a x ay a -++=互相垂直，则实数a 的值是 4．已知空间点），，（和点432)2,1,(B x A ,且62=AB ,则点A 到的平面yoz 的距离是 ．5．圆1C :2(1)x ++2(1)y -=1,圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称,则圆2C 的标准方程为__________ ．6．已知a 、b 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，给出下列命题： ①若α∥β，a ⊂α，则a ∥β ②若a 、b 与α所成角相等，则a ∥b ③若α⊥β、β⊥γ，则α∥γ ④若a ⊥α, a ⊥β，则α∥β 其中正确的命题的序号是________________ ．7． 直线:1l y kx =+与圆0422222=--+-+a a ax y x 恒有交点，则实数a 的取值范围是 ．8．如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 底面ABC ，90=∠ABC ，1===BC AB PA ，则PC 与底面ABC 所成角的正切值．．．为 ．9．已知,x y 满足204x y ≤≤-，则23y x --的取值范围是 ．10．空间四个点P 、A 、B 、C 在同一球面上，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA=PB=PC=a ，那么这个球的表面积是 ．11．设圆222(3)(5)(0)x y r r -++=>上有且仅有两个点到直线4320x y --=的距离等于1，则圆半径r 的取值范围____________ ．12．圆2221:4440C x y ax a +++-=和圆2222:210C x y b y b +-+-=相内切，若,a b R ∈，且0ab ≠，则2211a b +的最小值为 _________ ．13．如图，一个圆锥形容器的高为a ，内装有一定量的水. 如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为2a（如图2-②）， PAB C（第8题）2-①2-②a则图2-①中的水面高度为 .14．直线03=++y tx 与圆422=+y x 相交于A 、B 两点，若AB OB OA >+，则实数t的范围二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知直线经过点(1,2)A ，求分别满足下列条件的直线方程： （1）倾斜角的正弦为513； （2）与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为4.16．已知圆22:()(2)4(0)C x a y a -+-=>及直线:30l x y -+=. 当直线l 被圆C 截得的弦长为22时， 求（1）a 的值； （2）求过点(3,5)并与圆C 相切的切线方程.17．如图，在四面体ABCD 中，CD CB =，BD AD ⊥，点E ，F 分别是AB ，BD 的中点．(1) EF ∥平面ACD(2)求证：平面EFC ⊥平面BCD ；(3)若平面ABD ⊥平面BCD ，且1===BC BD AD ，求三棱锥ADC B -的体积． 18．（本题为选做题，文科生做第1道，理科生做第2道） 1．已知半径为5的圆的圆心在x 轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线43290x y +-= 相切．（1）求圆的标准方程；（2）设直线50ax y -+=(0)a >与圆相交于,A B 两点，求实数a 的取值范围；（3） 在（2）的条件下，是否存在实数a ，使得弦AB 的垂直平分线l 过点(2, 4)p -， 2．已知⊙O ：221x y +=和定点(2,1)A ，由⊙O 外一点(,)P a b 向⊙O 引切线PQ ，切点为Q ，且满足PA PQ =．(1) 求实数a b 、间满足的等量关系； (2) 求线段PQ 长的最小值；(3) 若以P 为圆心所作的⊙P 与⊙O 有公共点，试求半径取最小值时的⊙P 方程．19．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 分别是棱BC 、AB 的中点，点F 在棱1CC 上，已知AB AC =，13AA =，2BC CF ==．（1）求证：1//C E 平面ADF ； （2）设点M 在棱1BB 上，当BM 为何值时，平面CAM ⊥平面ADF ？20．如图，已知圆O 的直径AB=4，定直线L 到圆心的距离为4，且直线L ⊥直线AB 。
2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试卷解析
高二上学期期中考(理科)数学试题命题： 审题：一、选择题(每小题5分,共60分)1.命题“2,11x x ∀∈+≥R ”的否定是（ ） A ．2,11x x ∀∈+<R B ．200,11x R x ∃∈+≤ C ．200,11x R x ∃∈+< D ．200,11x R x ∃∈+≥2.为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图.考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温； ②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温； ③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差； ④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差. 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为 A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 3.R x,则“|x 2|1-<”是“220x x +->”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.如果命题“)(q p ∧⌝”是真命题，则( ) A.命题p 、q 均为假命题B.命题p 、q 均为真命题C.命题p 、q 中至少有一个是真命题D.命题p 、q 中至多有一个是真命题5.椭圆192522=+y x 的焦点1F 、2F ，P 为椭圆上一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为（ ）A ．9B ．12C ．10D ．86. 一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A 表示向上的一面出现奇数点，事件B 表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C 表示向上的一面出现的点数不小于4，则( )A ．A 与B 是互斥而非对立事件 B ．A 与B 是对立事件C ．B 与C 是互斥而非对立事件D ．B 与C 是对立事件7.在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ ）Ａ．310 Ｂ．15 Ｃ．110 Ｄ．112 8. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的渐近线方程为y ＝±33x, 若顶点到渐近线的距离为1, 则双曲线的方程为（ ）A.143422=-y xB. 144322=-y xC. 14422=-y x D.134422=-y x9.某程序框图如右图所示，若输出的57S =，则判断框内为( ) A ．5?k > B ． 6?k > C ．4?k > D ．7?k > 10.在区间]2,0[上随机地取一个数x ,则事件“1)21(log 121≤+≤-x ”发生的概率为 A.32 B. 43 C.31 D.41 11. 若直线mx ＋ny ＝4和圆O: x 2＋y 2＝4没有交点, 则过点(m, n)的直线与椭圆14922=+y x 的交点个数为 ( ) A. 至多一个B. 2个C. 1个D. 0个12.已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:C y 8x =的焦点重合，A 、B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB = ( ) A.12 B.6 C.9 D.3二、填空题(每小题5分,共20分)13.如图所示，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为 ；第9题图14. 已知命题p:存在0],2,1[2≥-∈a x x 使得,命题q:指数函数xa y )(log 2=是R 上的增函数,若命题“p 且q”是真命题,则实数a 的取值范围是_______.15. 已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且2BF FD =，则C 的离心率为 ；16.已知00(,)M x y 是双曲线C ：2212x y -=上的一点，1F 、2F 是C 上的两个焦点，若12F MF ∠为钝角，则0y 的取值范围是 ；三、解答题(共6题,共70分)17．（本题满分10分）已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y|y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x|x ＋m 2≥1}．命题p ：x∈A，命题q ：x∈B，并且命题p 是命题q 的充分条件，求实数m 的取值范围．18.（本题满分12分）某市电视台为了宣传举办问答活动，随机对该市15～65岁的人群抽样了n 人，回答问题计结果如下图表所示：（1）分别求出a ，b ，x ，y 的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，则第2，3，4组每组各抽取多少人?（3）在（2）的前提下，电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．19．（本题满分12分）(1)已知关于x 的二次函数f(x)＝ax 2－4bx ＋1.设集合P ＝{1,2,3}和Q ＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数y ＝f(x)在区间和上分别取一个数,记为a,b,求方程+=1表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆的概率.20. （本题满分12分）已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB|＝9. (1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC OA OB λ=+， 求λ的值．21．（本题满分12分）如图，已知(),0F c 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点，圆()222:F x c y a -+=与x 轴交于,D E 两点，其中E 是椭圆C 的左焦点． （1）求椭圆C 的离心率；（2）设圆F 与y 轴的正半轴的交点为B ，点A 是点D 关于y 轴的对称点，试判断直线AB 与圆F 的位置关系；（3）设直线BF 与圆F 交于另一点G ，若BGD ∆的面积为C 的标准方程．22．（本题满分12分）己知⊙O：x 2+y 2=6，P 为⊙O 上动点，过P 作PM⊥x 轴于M ，N 为PM 上一点，且2PM NM =．（1）求点N 的轨迹C 的方程；（2）若A(2，1)，B(3，0)，过B 的直线与曲线C 相交于D 、E 两点，则k AD +k AE 是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．Gy xBOAEFD高二上学期期中考试理科数学试题参考答案一、选择题(每小题5分,共60分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案CBADADAA.CBBD二、填空题(每小题5分,共20分) 13.____950_ 14.____ (2,4]___ 15._ ____ 16. 33(⋃17．满分10分解：化简集合A ，由y ＝x 2－32x ＋1，配方，得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，∴y min ＝716，y max ＝2. ∴y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤716，2.∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |716≤y ≤2.………………………4分化简集合B ，由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，B ＝{x |x ≥1－m 2}………………6分∵命题p 是命题q 的充分条件，∴A ⊆B .∴1－m 2≤716，………………8分解得m ≥34，或m ≤－34.∴实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.………………………10分18.满分12分19 .满分12分(1)∵函数f (x )＝ax 2－4bx ＋1的图象的对称轴为直线x ＝2b a，要使f (x )＝ax 2－4bx＋1在区间,b∈,画出满足不等式组的平面区域,如图阴影部分所示,………………………10分阴影部分的面积为,故所求的概率P==.………………………12分20. （本题满分12分）已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB|＝9. (1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC OA OB λ=+， 求λ的值． 20.：(1)直线AB 的方程是y ＝22(x －p2)，与y 2＝2px …………1分联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，……………3分所以：x 1＋x 2＝5p4，由抛物线定义得：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9，………5分所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x . ……………6分(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0，……………7分从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42，从而A (1，－22)，B (4，42)；……8分 设OC ＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)．……………9分 又y 23＝8x 3，即2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，……………11分 解得λ＝0，或λ＝2. ………………………………12分21. （1）∵圆F 过椭圆C 的左焦点，把（—c,0）代入圆F 的方程， 得224c a =，所以椭圆C 的离心率12c e a ==．………………………2分 （2）在方程()222x c y a -+=中，令22220x y a c b ==-=得，可知点B 为椭圆的上顶点．由（1）知12c a =，得222,3a c b a c c ==-=，所以()03B c ，. 在圆F 的方程中，令0y =，可得点D 的坐标为()3,0c ，则点()3,0A c -． (4)分于是可得直线AB 的斜率33AB c k ==，而直线FB 的斜率33FB ck ==.………………………7分 1AB FD k k ⋅=-，∴直线AB 与圆F 相切．………………………8分（3）DF 是BDG ∆的中线，22BDG BFD S S DF OB c ∆∆∴==⋅==，22c ∴=，从而得28a =，26b =，∴椭圆C 的标准方程为22186x y +=．………………………12分22. 解：(1)设()y x N ,,()00,y x P ,则()0,0x M ,()00,PM y =,()0,NM x x y =--由2PM NM =,得()⎪⎩⎪⎨⎧-=--=yy x x 22000,⎪⎩⎪⎨⎧==∴y y xx 200 ……………………3分由于点P 在圆6:22=+y x O 上,则有()6222=+y x ,即13622=+y x . ∴点N 的轨迹C 的方程为13622=+y x ………………………4分(2) 设()11,y x D ,()22,y x E ,过点B 的直线DE 的方程为()3-=x k y ,由()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=136322y x x k y 消去y 得: ()061812122222=-+-+k x k x k ,其中0>∆ 12618,121222212221+-=+=+∴k k x x k k x x ;………………………6分()()213213212122112211-+-+-+-=--+--=+∴x k kx x k kx x y x y k k AE AD ()()()4212415221212121++-++++-=x x x x k x x k x kx()4121221261812412121512618222222222++⋅-+-+++⋅+-+-⋅=k kk k k k k k k k k 2224422-=-+-=k k AE AD k k +∴是定值2-.………………………12分。
2015高二(上)期中数学试卷答案
中学部2015-2016学年第一学期高二年级期中测试数 学 学 科 试 题 参 考 答 案（第一部分 满分100分） 一、填空题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分)1. 10x y --=2.2y x =3.28y x = 4.相离5.2e +6.47. 55(2,)(,3)228.{0}二、解答题 (本大题共4小题，共计60分) 9. （本小题满分14分）解（1）53BC k =-，BC 边所在直线在y 轴上的截距为2， BC 边所在直线方程为52,53603y x x y =-++-=（2）25AC k =，AC 边上的高的斜率为52k =-，AC 边上的高的直线的方程为53(3)2y x +=--，即5290x y +-=10. （本小题满分14分）解（1）右焦点2(3,0)F ，对应右准线253x =.右焦点到对应准线的距离为163. （2）椭圆的离心率为35e =,根据第二定义, 231616535PF ed ==⋅=, 根据第一定义12163421055PF a PF =-=-=,点P 到左焦点1F 的距离为345. 11. （本小题满分16分）解（1）17 (2)能切点坐标(2(2,)33k k k Z ππππ+-∈或 12. （本小题满分16分）解：（1）设圆C 方程为,022=++++F Ey Dx y x则0443206480F D E F D F ⎧=⎪+++=⎨⎪+++=⎩ 解得D= —8，E=F=0.所以圆C ：2280.x y x +-= （2）圆C ：22(4)16.x y -+=圆心C(4,0),半径4当斜率不存在时，:0l x =符合题意；当斜率存在时，设直线:0,l y kx kx y =+-+=即因为直线l 与圆C 相切，所以圆心到直线距离为4，4,k ==解得所以直线:120.l y x x =++-=即故所求直线0,120.l x x =-=为或（第二部分满分60分）三、填空题 (本大题共6小题，每小题5分，共30分)13.20x y -= 14. 22(1)(3)25x y -+-= 15.4259()122f x x x =-+ 16. 25/2. 17.011x -≤≤ 18．.6 四、解答题 (本大题共2小题，共计30分) 19. (本题满分14分)解：（1）由抛物线2:C y x =得x y 2='，02|0x y x x ='∴= 切线l 的方程为)(2000x x x y y -=- 其中200x y = 令,0=x 得20x y -=；令,0=y 得20x x =；所以)0,2(0x A ，),0(20x B - 22400174x AB x =+=得到2004,2x x ==±,点P 的坐标为(2,4)±（2）设圆心E 的坐标为),0(b ，由题知1-=⋅l PE k k ，即12000-=⋅-x x by ，所以210-=-b y ；由||||PA PE =得20202020)2()(y x b y x +=-+整理得0134020=--y y解得10=y 或410-=y （舍去） 所以23=b ，圆E 的圆心E 的坐标为)23,0(，半径=r =||PE 25)(2020=-+b y x 圆E 的方程为45)23(22=-+y x20. (本题满分16分)解(1)①由已知得c a =，22411a b +=，222a b c =+，联立解得228,2a b ==. 椭圆M 的方程为22182x y +=. ②直线AB 的斜率为定值12由已知直线1:1(2)PA y k x -=-代入椭圆M 的方程消去y 并整理得22111(2)[(14)(288)]0x k x k k -+++-=所以2112188214A k k x k --=+,从而2112144114A k k y k --+=+同理2222288214B k k x k --=+,2222244114B k k y k --+=+因为120k k +=所以121222124()(41)(14)(14)A B k k k k y y k k ---==++121222128()(41)(14)(14)A B k k k k x x k k ---=++12A B ABA B y y k x x -==-为定值 (2) 解法一：12TBC S BC t =⋅=△直线TB 方程为：11y x t =+，联立221411x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得E x 22284,44t t E t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭到:TC 30x ty t --=的距离d ==直线TC 方程为：31y x t =-，联立221431x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得22436F t x t =+，所以=所以S 所以k 令21212t m +=>，则2213k m m m ==+-≤，当且仅当24m =，即t =±=”， 所以k 的最大值为43．解法二：直线TB 方程为11y x t =+，联立221411x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得E x直线TC 方程为：31y x t =-，联立221431x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得F x =1sin 21sin 2TBC TEFTB TC BTCS TB TC k S TE TF TE TF ETF ⋅⋅∠⋅===⋅⋅⋅∠△△T CT B T E T F x x x x TB TC TE TF x x x x --=⋅=⋅-- 22824436t tt t t t t t =⋅=+-++令21212t m +=>，则22192413k m m ==+-≤，当且仅当24m =，即t =±=”，所以k 的最大值为43．18解。
2015-2016学年高二上学期期中考试数学试卷
高二期中数学卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共5页。
满分150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试卷以及答题卡和答题纸一并交回。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在试卷、答题卡和答题纸规定的地方。
第Ⅰ卷注意事项：第Ⅰ卷为选择题，共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个最符合题目要求。
每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其他答案标号。
不能直接写在本试卷上。
1、集合}032|{2<--=x x x M ，}|{a x x N >=，若N M ⊆，则实数a 的范围是（ ）A ．),3[+∞B ．),3(+∞C ．]1,(--∞D ．)1,(--∞ 2、将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为（ ）3、已知a 、b 均为单位向量，它们的夹角为3π，那么3a b + 等于（ ）D.44、已知直线l ，m 与平面αβγ，，满足//l l m βγαα=⊂ ，，，m γ⊥，则有（ ） A ．αγ⊥且//m β B ．αγ⊥且l m ⊥ C ．//m β且l m ⊥ D ．//αβ且αγ⊥5、设函数2,0(),01x x bx c f x x ≥⎧++=⎨<⎩，若(4)(0)f f =，(2)2f =，则函数()()g x f x x=-的零点的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36、已知0)](log [log log 237=x ，那么21-x 等于（ ）A.31 B.63 C.33 D.427、已知3cos(),sin 245x x π-=则=（ ）（D ）（C ）（B ）（A ）A ．1825 B ．725 C ．725- D ．1625- 8、利用如图所示程序框图在直角坐标平面上打印一系列点，则打印的点落 在坐标轴上的个数是（ ）A.0B.1C.2D.3 9、各项为正的等比数列{}n a 中，4a 与14a的等比中项为7112a a +的最小值为（ ）A ．16B ．8C．D ．410、在错误！未找到引用源。
2015-2016学年浙江省温州中学高二上学期期中数学试卷与解析
2015-2016学年浙江省温州中学高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（4分）命题“若x2＜9，则﹣3＜x＜3”的逆否命题是（）A．若x2≥9，则x≥3或x≤﹣3 B．若﹣3＜x＜3，则x2＜9C．若x＞3或x＜﹣3，则x2＞9 D．若x≥3或x≤﹣3，则x2≥92．（4分）在平面直角坐标系内，曲线C：y2=xy 表示的点的轨迹为（）A．原点B．一条直线C．一点和一条直线 D．两条相交直线3．（4分）已知a∈R，则“a＜1”是“a2＜a”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条4．（4分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n B．若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥βC．若α⊥β，m∥n且n⊥β，则m∥αD．若m⊂α，n⊂β且m∥n，则α∥β5．（4分）已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为，则该锥体的俯视图可以是（）A．B． C．D．6．（4分）已知异面直线a，b成60°角，A为空间中一点，则过A与a，b都成45°角的平面（）A．有且只有一个B．有且只有两个C．有且只有三个D．有且只有四个7．（4分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C．D．8．（4分）已知正四面体ABCD的棱长为2，若动点P从底面△BCD的BC的中点出发，沿着正四面体的侧面运动到D点停止，则动点P经过的最短路径长为（）A．3 B．C．2 D．9．（4分）已知球O夹在一个锐二面角a﹣l﹣β之间，与两个半平面分别相切于点A、B，若AB=，球心O到该二面角的棱l的距离为2，则球O的体积为（）A．B．C．4πD．10．（4分）如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜边AB的中点，将△BCD 沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是（）A．（0，]B．（，2]C．（，2]D．（2，4]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．（5分）若命题p：“函数f（x）=|x﹣a|在区间[2，+∞）上为增函数”为真命题，则实数a的取值范围是．12．（5分）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是．13．（5分）已知正三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C都在半径为1的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为．14．（5分）已知圆O：x2+y2=4，圆内有定点P（1，1），圆周上有两个动点A，B，使PA⊥PB，则矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程为．三、解答题（共4小题，满分40分）15．（10分）在直三棱柱中，AA1=AB=BC=2，AC=1，D是AC中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）求点B1到平面A1BD的距离．16．（10分）已知m∈R，命题p：关于实数x的方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根；命题q：关于实数x的方程x2+mx+1=0有两个不等的负根．（Ⅰ）写出一个能使命题p成立的充分不必要条件；（Ⅱ）当命题p与命题q中恰有一个为真命题时，求m的取值范围．17．（10分）如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF=AD=2DE=2．（Ⅰ）求异面直线EF与BC所成角的大小；（Ⅱ）若二面角A﹣BF﹣D的平面角的余弦值为，求AB的长．18．（10分）已知四边形ABCD是矩形，BC=kAB（k∈R），将△ABC沿着对角线AC翻折，得到△AB1C，设顶点B1在平面ABCD上的投影为O．（1）若点O恰好落在边AD上，①求证：AB1⊥平面B1CD；②若B1O=1，AB＞1．当BC取到最小值时，求k的值（2）当k=时，若点O恰好落在△ACD的内部（不包括边界），求二面角B1﹣AC﹣D的余弦值的取值范围．2015-2016学年浙江省温州中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．（4分）命题“若x2＜9，则﹣3＜x＜3”的逆否命题是（）A．若x2≥9，则x≥3或x≤﹣3 B．若﹣3＜x＜3，则x2＜9C．若x＞3或x＜﹣3，则x2＞9 D．若x≥3或x≤﹣3，则x2≥9【解答】解：命题“若x2＜9，则﹣3＜x＜3”的逆否命题是：若x≤﹣3或x≥3，则x2≥9．故选：D．2．（4分）在平面直角坐标系内，曲线C：y2=xy 表示的点的轨迹为（）A．原点B．一条直线C．一点和一条直线 D．两条相交直线【解答】解：∵y2=xy，∴y（x﹣1）=0，∴y=0或x﹣1=0，∴曲线C：y2=xy 表示的点的轨迹为两条相交直线，故选：D．3．（4分）已知a∈R，则“a＜1”是“a2＜a”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条【解答】解：a2＜a等价于a（a﹣1）＜0，解得0＜a＜1，∴“a＜1”是“a2＜a”的必要不充分条件，故选：B．4．（4分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n B．若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则α⊥βC．若α⊥β，m∥n且n⊥β，则m∥αD．若m⊂α，n⊂β且m∥n，则α∥β【解答】解：若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故A错误；若m⊥α，n⊥β且m⊥n，则由平面与平面垂直的判定定理知α⊥β，故B正确；若α⊥β，m∥n且n⊥β，则m∥α或m⊂α，故C错误；若m⊂α，n⊂β且m∥n，则α与β相交或平行，故D错误．故选：B．5．（4分）已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为，则该锥体的俯视图可以是（）A．B． C．D．【解答】解：∵锥体的正视图和侧视图均为边长为2的等边三角形，故锥体的高为，又∵锥体的体积为，故锥体的底面面积为2，A中图形的面积为4，不满足要求；B中图形的面积为π，不满足要求；C中图形的面积为2，满足要求；D中图形的面积为，不满足要求；故选：C．6．（4分）已知异面直线a，b成60°角，A为空间中一点，则过A与a，b都成45°角的平面（）A．有且只有一个B．有且只有两个C．有且只有三个D．有且只有四个【解答】解：已知平面过A，再知道它的方向，就可以确定该平面了∵涉及到平面的方向，我们考虑它的法线，并且假设a，b为相交直线也没关系，∴原题简化为：已知两条相交直线a，b成60°角，求空间与a，b都成45°角的直线．过P作a′∥a，b′∥b，设直线a′、b′确定的平面为α，∵异面直线a、b成60°角，∴直线a′、b′确所成锐角为60°①当直线l在平面α内时，若直线l平分直线a′、b′确所成的钝角，则直线l与a、b都成60°角，不成立；②当直线l与平面α斜交时，若它在平面α内的射影恰好落在直线a′、b′确所成的锐角平分线上时，直线l与a、b所成角相等．此时l与a'、b'所成角的范围为[30°，90°]，适当调整l的位置，可使直线l与a、b也都成45°角，这样的直线l有两条．综上所述，过点P与a′、b′确都成45°角的直线，可以作2条．∴过A与a，b都成45°角的平面有且只有2个．故选：B．7．（4分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略），则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．∴cos＜，＞═=．∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为故选：D．8．（4分）已知正四面体ABCD的棱长为2，若动点P从底面△BCD的BC的中点出发，沿着正四面体的侧面运动到D点停止，则动点P经过的最短路径长为（）A．3 B．C．2 D．【解答】解：如图，由题意可知，动点P从底面△BCD的BC的中点出发，沿着正四面体的侧面运动到D点停止，则动点P经过的最短路径为右图中的PD，在△PBD中，∵BD=2，BP=1，∠PBD=120°，∴=．故选：B．9．（4分）已知球O夹在一个锐二面角a﹣l﹣β之间，与两个半平面分别相切于点A、B，若AB=，球心O到该二面角的棱l的距离为2，则球O的体积为（）A．B．C．4πD．【解答】解：设O、A、B三点确定的平面交棱l于点C，连接AC、CB、OC则∠ACB就是二面角a﹣l﹣β的平面角，OC长即为点O到棱l的距离，OC=2设OA=x，AC=y，则Rt△OAC中，解之得x=，y=1或x=1，y=∵二面角a﹣l﹣β是锐二面角，∴当x=，y=1时，∠ACB=120°不符合题意；当x=1，y=时，∠ACB=60°符合题意因此球0的半径R=OA=1，得球0的体积为V==故选：D．10．（4分）如图，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜边AB的中点，将△BCD 沿直线CD翻折，若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是（）A．（0，]B．（，2]C．（，2]D．（2，4]【解答】解：由题意得，AD=CD=BD=，BC=x，取BC中点E，翻折前，在图1中，连接DE，CD，则DE=AC=，翻折后，在图2中，此时CB⊥AD．∵BC⊥DE，BC⊥AD，∴BC⊥平面ADE，∴BC⊥AE，DE⊥BC，又BC⊥AE，E为BC中点，∴AB=AC=1，∴AE=，AD=，在△ADE中：①，②，③x＞0；由①②③可得0＜x＜．如图3，翻折后，当△B1CD与△ACD在一个平面上，AD与B 1C交于M，且AD⊥B1C，AD=B1D=CD=BD，∠CBD=∠BCD=∠B1CD，又∠CBD+∠BCD+∠B1CD=90°，∴∠CBD=∠BCD=∠B1CD=30°，∴∠A=60°，BC=ACtan60°，此时x=1×综上，x的取值范围为（0，]，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．（5分）若命题p：“函数f（x）=|x﹣a|在区间[2，+∞）上为增函数”为真命题，则实数a的取值范围是a≤2．【解答】解：函数f（x）=|x﹣a|=，在区间[a，+∞）上为增函数，若函数f（x）=|x﹣a|在区间[2，+∞）上为增函数，则a≤2，故答案为：a≤2．12．（5分）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是．【解答】解：根据三视图，可知几何体的直观图如下．可以分割成一个直三棱柱，和一个同底的三棱锥．底面三角形一边为2，此边上的高为，直三棱柱高为h1=2，三棱锥高为h2=1．体积V=S（h1+h2）=（2+）=故答案为：13．（5分）已知正三棱锥P﹣ABC，点P，A，B，C都在半径为1的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为．【解答】解：∵正三棱锥P﹣ABC，PA，PB，PC两两垂直，∴此正三棱锥的外接球即以PA，PB，PC为三边的正方体的外接球O，∵球O的半径为1，∴正方体的边长为，即PA=PB=PC=，球心到截面ABC的距离即正方体中心到截面ABC的距离，设P到截面ABC的距离为h，则正三棱锥P﹣ABC的体积V=S△ABC ×h=S△PAB×PC=，△ABC为边长为的正三角形，S=×（）2=，△ABC∴h=，∴球心（即正方体中心）O到截面ABC的距离为．故答案为：．14．（5分）已知圆O：x2+y2=4，圆内有定点P（1，1），圆周上有两个动点A，B，使PA⊥PB，则矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程为x2+y2=6．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x，y），又P（1，1），则x1+x2=x+1，y1+y2=y+1，，．由PA⊥PB，得，即（x1﹣1）（x2﹣1）+（y1﹣1）（y2﹣1）=0．整理得：x1x2+y1y2﹣（x1+x2）﹣（y1+y2）+2=0，即x1x2+y1y2=x+1+y+1﹣2=x+y ①又∵点A、B在圆上，∴②再由|AB|=|PQ|，得，整理得：=（x﹣1）2+（y﹣1）2③把①②代入③得：x2+y2=6．∴矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程为：x2+y2=6．故答案为：x2+y2=6．三、解答题（共4小题，满分40分）15．（10分）在直三棱柱中，AA1=AB=BC=2，AC=1，D是AC中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）求点B1到平面A1BD的距离．【解答】证明：（Ⅰ）连结AB1，交A1B于点O，连结OD∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AB=BC=3，∴ABB 1A1是正方形，∴O是AB1的中点，∵D是AC的中点，∴OD是△ACB1的中位线，∴OD∥B1C，∵B1C不包含于平面A1BD，OD⊂平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD．解：（Ⅱ）取A1C1的中点E，连结DE，∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是AC的中点，∴DE⊥平面ABC，BD⊥AC，以D为原点，DC为x轴，DB为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，AA1=AB=BC=2，AC=1，则B1（0，，2），A1（﹣，0，2），D（0，0，0），B（0，，0），=（0，，2），=（﹣，0，2），=（0，，0），设平面A1BD的法向量=（x，y，z），则，取x=4，得=（4，0，1），∴点B1到平面A1BD的距离d==．16．（10分）已知m∈R，命题p：关于实数x的方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根；命题q：关于实数x的方程x2+mx+1=0有两个不等的负根．（Ⅰ）写出一个能使命题p成立的充分不必要条件；（Ⅱ）当命题p与命题q中恰有一个为真命题时，求m的取值范围．【解答】解：（1）命题p：△=16（m﹣2）2﹣16＜0，解得1＜m＜3，即关于实数x的方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根充要条件是1＜m＜3，则能使命题p成立的充分不必要条件为1＜m＜2，（答案不唯一，{m|1＜m＜3}的真子集均可）；（2）命题q：，解得m＞2命题p：1＜m＜3∵命题p与命题q中恰有一个为真命题①p真q假时，，∴m≥3．②p假q真时，，∴1＜m≤2．∴m的取值范围是{m|1＜m≤2或m≥3}．17．（10分）如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF=AD=2DE=2．（Ⅰ）求异面直线EF与BC所成角的大小；（Ⅱ）若二面角A﹣BF﹣D的平面角的余弦值为，求AB的长．【解答】解：（Ⅰ）延长AD，FE交于Q．∵ABCD是矩形，∴BC∥AD，∴∠AQF是异面直线EF与BC所成的角．在梯形ADEF中，由DE∥AF，AF⊥FE，AF=2，DE=1得∠AQF=30°．即异面直线EF与BC所成角为30°…（7分）（Ⅱ）方法一：设AB=x．取AF的中点G．由题意得DG⊥AF．∵平面ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，∴AB⊥平面ADEF，∴AB⊥DG．∴DG⊥平面ABF．过G作GH⊥BF，垂足为H，连接DH，则DH⊥BF，∴∠DHG为二面角A﹣BF﹣D的平面角．在直角△AGD中，AD=2，AG=1，得DG=．在直角△BAF中，由=sin∠AFB=，得=，∴GH=．在直角△DGH中，DG=，GH=，得DH=．∵cos∠DHG==，得x=，∴AB=．…（15分）方法二：设AB=x．以F为原点，AF，FQ所在的直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系Fxyz．则F（0，0，0），A（﹣2，0，0），E（0，，0），D（﹣1，，0），B（﹣2，0，x），∴=（1，﹣，0），=（2，0，﹣x）．∵EF⊥平面ABF，所以平面ABF的法向量可取=（0，1，0）．设=（x1，y1，z1）为平面BFD的法向量，则∴可取=（，1，）．∵cos＜，＞==，得x=，∴AB=．…（15分）18．（10分）已知四边形ABCD是矩形，BC=kAB（k∈R），将△ABC沿着对角线AC翻折，得到△AB1C，设顶点B1在平面ABCD上的投影为O．（1）若点O恰好落在边AD上，①求证：AB1⊥平面B1CD；②若B1O=1，AB＞1．当BC取到最小值时，求k的值（2）当k=时，若点O恰好落在△ACD的内部（不包括边界），求二面角B1﹣AC﹣D的余弦值的取值范围．【解答】解：（1）①证明：∵点B1在平面ABCD上的射影为O，点O恰好落在边AD上，∴平面AB1D⊥平面ACD，又CD⊥AD，∴CD⊥平面AB1D，∴AB1⊥CD，又∵AB1⊥CB1，∴AB1⊥平面B1CD．②解：作矩形ABMN，使得B1在MN上，设AB=x，BC=y，则NB1=，∵AB1⊥B1D，∴△ANB1∽△B1MD，∴B1D==，∴y=B1C==≥2，当且仅当x=时取等号，y有最小值，k=；（2）解：作BF⊥AC，交AC于E，交AD于F，当点O恰好落在△ACD的内部（不包括边界），点O恰好在线段EF上，又∵B1E⊥AC，EF⊥AC，∴∠B1EF为二面角B1﹣AC﹣D的平面角∴cos∠B1EF=∈（0，），故二面角B1﹣AC﹣D的余弦值的取值范围为（0，）．。
2 数学-2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题
2015-2016学年第一学期期中考试高二数学2015.11注意事项:1.本试卷分填空题和解答题两部分，共160分，考试用时120分钟.2.答题前，考生务必将自己的班级、姓名、学号写在答题纸的密封线内．答题时，填空题和解答题的答案写在答题纸对应的位置上，答案写在试卷上无效．．．．．．．．．，本卷考试结束后，上交答题纸. 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1. 点(1,1)P -到直线10x y -+=的距离是 ▲ ．2. 若三个球的半径之比是1:2:3，则它们的体积之比是 ▲ ．3. 过点(1,3)P -且垂直于直线230x y -+=的直线方程为 ▲ ．4. 若三条直线两两互相垂直，则下列结论正确的是 ▲ ． ①这三条直线共点；②其中必有两条直线是异面直线； ③三条直线不可能在同一平面内；④其中必有两条在同一平面内．5. 方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆，则a 的取值范围是 ▲ ．6. 已知m n 、是不重合的直线，αβ、是不重合的平面，则下列命题中正确的序号为 ▲ ． （1）若,//n m n αβ= ，则//,//m m αβ； （2）若,m m αβ⊥⊥，则//αβ； （3）若//,m m n α⊥，则n α⊥；（4）若,m n αα⊥⊂，则.m n ⊥．7. 已知正三棱锥P —ABC 中，侧棱0,30PA a APB =∠=，D 、E 分别是侧棱PB 、PC 上的点，则ADE ∆的周长的最小值是 ▲ ．8. 直线l 经过点(2,3)，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程是 ▲ ． 9. 若,62ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,则直线2x cos α＋3y ＋1=0的倾斜角的取值范围 ▲ ．10. 点A ，B 到平面α的距离分别为4cm 和6cm ，则线段AB 的中点M 到α平面的距离为 ▲ ．11. 已知球O 的面上有四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA =AB =BC O 的体积等于 ▲ ．12. 已知(2,0)A ，(1,2)B --，P 是直线y x =上的动点，则PA PB +的最小值为 ▲ ．13. 若圆2221:240C x y mx m +-+-=与圆2222:24480C x y x my m ++-+-=相交，则m 的取值范围是 ▲ ．14. 若直线y =x +b 与曲线x b 的取值范围是 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本题14分）如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥CD，正方形ADEF所在的平面和平面ABCD垂直，点H是BE 的中点，点G是AE、DF的交点．（1）求证：GH∥平面CDE；（2）求证：BD⊥平面CDE.16.（本题满分14分）已知直线1:23160l x y+-=，2:3220l x y-+=．（1）求两直线的交点P；（2）求经过点P且平行于直线230x y+-=的直线方程；（3）求以点P为圆心，且与直线230x y+-=相切的圆的标准方程．17.（本题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD-中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，60BAD∠= ，N是PB中点，截面DAN交PC于M，E是AD中点，求证：（1）//AD MN；（2）AD⊥平面PBE；（3）PB⊥平面ADMN．18..（本题满分16分）如图，在四棱锥P ABCD-中，平面PAD⊥平面A B C D，AB DC∥，PAD△是等边三角形，已知4AD=，BD=，28AB CD==．（1）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；（2）当M点位于线段PC什么位置时，PA∥平面MBD？（3）求四棱锥P ABCD-的体积．19.（本题满分16分）已知圆C:22(1)(3)9x y-+-=,直线:(23)(4)220l m x m y m++++-=．（1）无论m取任何实数，直线l必经过一个定点P，求出定点P的坐标；（2）过点P作圆C的切线，求切线方程；（3）以CP为直径的圆与圆C交于A、B两点，求线段AB的长．20.（本题满分16分）方程2()20f x x ax b=++=的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，求：（1）21ba--的值域；（2）22(1)(2)a b-+-的值域；（3）3a b+-的值域．ACBDMNPECMDCBDHFGEAPA2015-2016学年第一学期期中考试高二数学2015.11一、填空题：本大题共14小题．每小题5分，共70分．1．________________________；2．________________________；3．________________________；4．________________________；5．________________________；6．________________________；7．________________________；8．________________________；9．________________________；10．_______________________；11．_______________________；12．_______________________；13．_______________________；14．_______________________．二、解答题15．(本题14分)CBDHF G EA16．(本题14分) 17．(本题14分)ACBDMNPE18．(本题16分)19．(本题16分)CMDPA B20．(本题16分)2015-2016学年第一学期期中考试高二数学 （参考答案）2015.11一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1； 2．1:8:27； 3．210x y +-=； 4．③；5．223a -<<； 6．(2)(4)； 7；8．3502x y y x +-==或；9．5,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭；10．1cm 或5cm ； 11．92π； 1213．122(,)(0,2)55-- ； 14．(1,1]{-⋃．二、解答题15．（本题满分14分）证明 (1)因为G 是AE 与DF 的交点，所以G 是AE 的中点．…………２分 又H 是BE 的中点，所以在△EAB 中，GH ∥AB . …………４分 因为AB ∥CD ，所以GH ∥CD . …………５分 又CD ⊂平面CDE ，GH ⊄平面CDE ， 所以GH ∥平面CDE . …………７分 (2)平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD ，因为ED ⊥AD ，ED ⊂平面ADEF ， 所以ED ⊥平面ABCD . …………１０分 所以ED ⊥BD . …………１１分 又BD ⊥CD ，CD ∩ED ＝D ，所以BD ⊥平面CDE . …………１４分16．（本题满分14分）解：(1)由231603220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，得24x y =⎧⎨=⎩，所以()2,4P …………４分 (2)设20x y c ++=，…………５分则8c =-…………6分280x y +-=为所求…………8分(3)d ==10分因为相切，所以半径r 12分 所以圆方程为()()22245x y -+-=…………14分17．（本题满分14分）证明：（1）∵//AD BC ，BC ⊂平面PBC ，∴//AD 平面PBC ，…………2分 ∵AD ⊂平面ADMN ，平面ADMN 平面PBC MN =， ∴//AD MN ．…………4分（2）连结BD∵PAD ∆和BAD ∆都是正三角形，∴AD PE ⊥，AD BE ⊥，又PE AE E = ，…………6分 ∴AD ⊥平面PBE ，…………7分（3）又PB ⊂平面PBE ，…………9分∴PB AD ⊥，…………10分 ∵AP AD AB ==，N 是PB 中点， ∴PB AN ⊥，…………12分 又AD AN A = ，∴PB ⊥平面ADMN ．…………14分 18．（本题满分16分） 证明：（1）在ABD △中，∵4AD =，BD =，8AB =，∴222AD BD AB +=． ∴AD BD ⊥．…………2分 又 ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，BD ⊂平面ABCD ， ∴BD ⊥平面PAD ． 又BD ⊂平面MBD ，∴平面MBD ⊥平面PAD ．…………4分（2）当M 点位于线段PC 靠近C 点的三等分点处时，PA ∥平面MBD ．……5分 证明如下：连接AC ，交BD 于点N ，连接MN ．AC BMPD∵AB DC ∥，所以四边形ABCD 是梯形． ∵2AB CD =，∴:1:2CN NA =． 又 ∵:1:2CM MP =，∴:CN NA =:CM MP ，∴PA ∥MN ．…………7分 ∵MN ⊂平面MBD ，∴PA ∥平面MBD ．…………9分 （3）过P 作PO AD ⊥交AD 于O ， ∵平面PAD ⊥平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD ．即PO 为四棱锥P ABCD -的高．…………11分又 ∵PAD △是边长为4的等边三角形，∴4PO ==12分在Rt ADB △中，斜边AB =，此即为梯形ABCD 的高．∴梯形ABCD 的面积482ABCD S +=⨯14分故1243P ABCD V -=⨯=．…………16分19．（本题满分16分）解：(1) 直线: :(23)(4)220l m x m y m ++++-=可变形(22)(342)0m x y x y ++++-=…………2分220,23420,2x y x x y y ++==-⎧⎧⎨⎨+-==⎩⎩由解得。
2015-2016年山东省济宁市曲阜市高二上学期数学期中试卷及参考答案
2015-2016学年山东省济宁市曲阜市高二（上）期中数学试卷一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是正确的．1．（5分）若集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B（）A．（0，1） B．（0，2） C．（1，2） D．（1，+∞）2．（5分）如果a＞b＞0，那么下列不等式中不正确的是（）A．B．C．ab＞b2D．a2＞ab3．（5分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若A=60°，c=4，a=4，则此三角形有（）A．两解B．一解C．无解D．无穷多解4．（5分）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}，它们的首项是一个相等的正数，且第3项也是相等的正数，则a2与b2的大小关系为（）A．a2≤b2B．a2≥b2C．a2＜b2D．a2＞b25．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若=3，则=（）A．2 B．C．D．36．（5分）已知在数列{a n}中，a n=，其前n项和为，则在平面直角坐标系中直线nx+y+（n+1）=0在y轴上的截距是（）A．﹣10 B．﹣9 C．10 D．97．（5分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若△ABC 的面积S=，则角C的大小是（）A．90°B．60°C．45°D．30°8．（5分）已知等差数列的前n项和为S n，且S15＞0，S16＜0，则此数列中绝对值最小的项为（）A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项9．（5分）对一切实数x，不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．[﹣2，+∞）C．[﹣2，2]D．[0，+∞）10．（5分）已知x，y满足，则z=的取值范围为（）A．（﹣1，]B．（﹣∞，﹣1）∪[，+∞） C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）二、填空题：每小题5分，共25分．11．（5分）在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b2=a2+ac+c2，则角B=．12．（5分）在数列{a n}中，若a1=3，a n+1=a n+2（n≥1且n∈N*），则数列{a n}的前n项和S12=．13．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n=3n﹣2，则a n=．14．（5分）设x＞0，y＞0且x+y=1，则的最小值为．15．（5分）定义在R上的运算：x*y=x（1﹣y），若不等式（x﹣y）*（x+y）＜1对一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是．三、解答题：共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，cosA=，bc=182．（1）求△ABC的面积；（2）若c﹣b=1，求a的值．17．（12分）已知在等差数列{a n}中，a1=﹣31，S n为数列{a n}的前n项和，S10=S22．（1）求{a n}的通项公式，并判断2015是否是数列{a n}的项；（2）这个数列前多少项的和最小，最小值是多少？18．（12分）已知不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，（1）求a，b；（2）解不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0．19．（12分）在△ABC中，边a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足bcosC=（3a﹣c）cosB．（1）求cosB；（2）若•=4，b=4，求边a，c的值．20．（13分）某化工企业2012年底投入169万元，购入一套污水处理设备，该设备每年的运转费用是0.7万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．（1）求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y（万元）；（2）问该企业几年后重新更换新的污水处理设备最合算（即年平均污水处理费用最低）？平均最低费用是多少？21．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+2=2a n，且数列{b n}满足b1=1，b n+1=b n+2．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前2n项和T2n；（3）求数列{a n•b n}的前n项和R n．2015-2016学年山东省济宁市曲阜市高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共50分．在四个选项中只有一项是正确的．1．（5分）若集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B（）A．（0，1） B．（0，2） C．（1，2） D．（1，+∞）【解答】解：由A中不等式变形得：x（x﹣2）＜0，解得：0＜x＜2，即A=（0，2），由B中y=lg（x﹣1），得到x﹣1＞0，即x＞1，∴B=（1，+∞），则A∩B=（1，2），故选：C．2．（5分）如果a＞b＞0，那么下列不等式中不正确的是（）A．B．C．ab＞b2D．a2＞ab【解答】解：∵a＞b＞0，∴ab＞0∴，即，故A答案正确；∴a2＞b2＞0，即＞，即，故B答案正确；∴ab＞b2，故C答案正确；∴a2＞ab，故D答案正确；故不等式中不正确的是B故选：B．3．（5分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若A=60°，c=4，a=4，则此三角形有（）A．两解B．一解C．无解D．无穷多解【解答】解：由等边对等角可得C=A=60°，由三角形的内角和可得B=60°，∴此三角形为正三角形，唯一解．故选：B．4．（5分）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}，它们的首项是一个相等的正数，且第3项也是相等的正数，则a 2与b2的大小关系为（）A．a 2≤b2B．a2≥b2C．a2＜b2D．a2＞b2【解答】解：根据题意设出两数列的首项为a，第三项为b（a＞0，b＞0），可得：2a2=a+b，b22=ab，又a＞0，b＞0，∴a2=＞0，当b2＜0时，b2=﹣＜0，显然a2＞b2；当b2＞0时，b2=，∵≥，∴a2≥b2，综上，a2与b2的大小关系为a2≥b2．故选：B．5．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，若=3，则=（）A．2 B．C．D．3【解答】解：设公比为q，则===1+q3=3，所以q3=2，所以===．故选：B．6．（5分）已知在数列{a n}中，a n=，其前n项和为，则在平面直角坐标系中直线nx+y+（n+1）=0在y轴上的截距是（）A．﹣10 B．﹣9 C．10 D．9【解答】解：a n==﹣，前n项和为S n=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣，由题意可得1﹣=，解得n=9，直线nx+y+（n+1）=0，即为9x+y+10=0，令x=0，可得y=﹣10．故选：A．7．（5分）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若△ABC 的面积S=，则角C的大小是（）A．90°B．60°C．45°D．30°【解答】解：a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，△ABC的面积S=，可得=，可得sinC==cosC，∴C=45°．故选：C．8．（5分）已知等差数列的前n项和为S n，且S15＞0，S16＜0，则此数列中绝对值最小的项为（）A．第5项B．第6项C．第7项D．第8项【解答】解：由题意和等差数列的性质可得S15===15a8＞0，∴a8＞0同理可得S16==8（a8+a9）＜0，∴a8+a9＜0，结合a8＞0可得a9＜0且|a8|＜|a9|，故选：D．9．（5分）对一切实数x，不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．[﹣2，+∞）C．[﹣2，2]D．[0，+∞）【解答】解：当x=0时，不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，当x≠0时，则有a≥=﹣（|x|+），故a大于或等于﹣（|x|+）的最大值．由基本不等式可得（|x|+）≥2，∴﹣（|x|+）≥﹣2，即﹣（|x|+）的最大值为﹣2，故实数a的取值范围是[﹣2，+∞），故选：B．10．（5分）已知x，y满足，则z=的取值范围为（）A．（﹣1，]B．（﹣∞，﹣1）∪[，+∞） C．[﹣，]D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：z=的几何意义是区域内的点到定点D（0，﹣5）的斜率，由图象z≥k AD，或k＜k BC=﹣1，由得，即A（3，8），此时k AD==，故z≥，或k＜﹣1，故选：B．二、填空题：每小题5分，共25分．11．（5分）在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b2=a2+ac+c2，则角B=120°．【解答】解：∵在△ABC中，b2=a2+ac+c2，又b2=a2+c2﹣2accosB∴﹣2accosB=ac，∴cosB=﹣，又∠A为△ABC中的角，∴A=120°．故答案为：120°．12．（5分）在数列{a n}中，若a1=3，a n+1=a n+2（n≥1且n∈N*），则数列{a n}的前n项和S12=168．【解答】解：∵a1=3，a n+1=a n+2（n≥1且n∈N*），∴数列{a n}是等差数列，首项为3，公差为2．其前n项和S12=12×3+×2=168．故答案为：168．13．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n=3n﹣2，则a n=．【解答】解：当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=3n﹣2﹣3n﹣1+2=2•3n﹣1，当n=1时，a1=31﹣2=1≠2=2•30，即n=1时，a1=1不符合n≥2时的关系式a n=2•3n ﹣1，∴a n=．故答案为：14．（5分）设x＞0，y＞0且x+y=1，则的最小值为9．【解答】解：∵x＞0，y＞0且x+y=1，∴=（）•（x+y）=1+4++≥5+2=9，当且仅当=，即x=3，y=6时取等号，∴的最小值是9．故答案为：9．15．（5分）定义在R上的运算：x*y=x（1﹣y），若不等式（x﹣y）*（x+y）＜1对一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是．【解答】解：由题意可得，（x﹣y）*（x+y）=（x﹣y）（1﹣x﹣y）＜1对于任意的x都成立即y2﹣y＜x2﹣x+1对于任意的x都成立设g（x）=x2﹣x+1=（x﹣）2+所以，g（x）min=所以y2﹣y＜所以﹣＜y＜所以实数y的取值范围是故答案为：三、解答题：共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，cosA=，bc=182．（1）求△ABC的面积；（2）若c﹣b=1，求a的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由cosA=，解得sinA==…3分∵bc=182，∴△ABC的面积S=bcsinA=35…6分（2）由bc=182，c﹣b=1，可得c=14，b=13，∴a2=b2+c2﹣abccosA=13=29…10分∴a=…12分17．（12分）已知在等差数列{a n}中，a1=﹣31，S n为数列{a n}的前n项和，S10=S22．（1）求{a n}的通项公式，并判断2015是否是数列{a n}的项；（2）这个数列前多少项的和最小，最小值是多少？【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=﹣31，S10=S22．∴﹣31×10+=﹣31×22+，解得d=2．∴a n=﹣31+2（n﹣1）=2n﹣33．假设2015=2n﹣33，解得n=1024，因此2015是数列{a n}的第1024项．（2）令a n=﹣31+2（n﹣1）=2n﹣33≤0，解得n．∴当n=﹣16时，这个数列前16项的和最小．S16=﹣31×16+=﹣256．18．（12分）已知不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，（1）求a，b；（2）解不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0．【解答】解：（1）因为不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞b}，所以x1=1与x2=b是方程ax2﹣3x+2=0的两个实数根，且b＞1．由根与系的关系得，解得，所以得．（2）由于a=1且b=2，所以不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0，即x2﹣（2+c）x+2c＜0，即（x﹣2）（x﹣c）＜0．①当c＞2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|2＜x＜c}；②当c＜2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|c＜x＜2}；③当c=2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为∅．综上所述：当c＞2时，不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0的解集为{x|2＜x＜c}；当c＜2时，不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0的解集为{x|c＜x＜2}；当c=2时，不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0的解集为∅．19．（12分）在△ABC中，边a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足bcosC=（3a﹣c）cosB．（1）求cosB；（2）若•=4，b=4，求边a，c的值．【解答】解：（1）在△ABC中，∵bcosC=（3a﹣c）cosB，由正弦定理可得sinBcosC=（3sinA﹣sinC）cosB，∴3sinA•cosB﹣sinC•cosB=sinBcosC，化为：3sinA•cosB=sinC•cosB+sinBcosC=sin （B+C）=sinA．∵在△ABC中，sinA≠0，故cosB=．（2）由•=4，b=4，可得，a•c•cosB=4，即ac=12．…①．再由余弦定理可得b2=32=a2+c2﹣2ac•cosB=a2+c2﹣，即a2+c2=40，…②．由①②求得a=2，c=6；或者a=6，c=2．综上可得，，或．20．（13分）某化工企业2012年底投入169万元，购入一套污水处理设备，该设备每年的运转费用是0.7万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．（1）求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y（万元）；（2）问该企业几年后重新更换新的污水处理设备最合算（即年平均污水处理费用最低）？平均最低费用是多少？【解答】解：（1）由题意可知，年平均污水处理费用为：y==（x＞0）；（2）由均值不等式得：y=x++1.7≥2+1.7=27.7（万元）当且仅当x=，即x=13时取到等号所以该企业13年后需要重新更换新设备，平均最低费用是27.7（万元）．21．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+2=2a n，且数列{b n}满足b1=1，b n+1=b n+2．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前2n项和T2n；（3）求数列{a n•b n}的前n项和R n．【解答】解：（1）∵S n+2=2a n，∴当n≥2时，S n﹣1+2=2a n﹣1，可得a n=2a n﹣2a n﹣1，化为a n=2a n﹣1．当n=1时，a1+2=2a1，解得a1=2．∴数列{a n}是等比数列，首项与公比为2，∴a n=2n．∵数列{b n}满足b1=1，b n+1=b n+2．∴数列{b n}是等差数列，首项为1，公差为2．∴b n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（2）由c n=a n+b n，当n=2k（k∈N*）时，c n=c2k=b2k=2n﹣1；当n=2k﹣1（k∈N*）时，c n=a2k=2n．∴数列{c n}的前2n项和T2n=（c1+c3+…+c2n﹣1）+（c2+c4+…+c2n）=（21+23+…+22n﹣1）+[（2×2﹣1）+（2×4﹣1）+…+（4n﹣1）]==+2n2+n．（3）a n•b n=（2n﹣1）•2n．数列{a n•b n}的前n项和R n=2+3×22+5×23+…+（2n﹣1）•2n．2R n=22+3×23+…+（2n﹣3）•2n+（2n﹣1）•2n+1，∴﹣R n=2+2×（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1）•2n+1=﹣2﹣（2n﹣1）•2n+1=（3﹣2n）×2n+1﹣6，∴R n=（2n﹣3）×2n+1+6．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
南安一中2015～2016学年度高二上学期期中考数学（理）科试卷（答案）一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）：1～6 C B A C B B 7～12 B D C C C C 二．填空题（共4小题，每小题4分，共16分）：13．存在01,0200≤+-∈x x R x 使 14．6-15．22162y x -= 16． 1三．解答题（本大题共6小题，共74分): 17．解：∴双曲线的一条渐近线方程为，即……8分 ∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于……12分18．解: p : 由(3)(3)0k k -+<得：33k -<< ……2分q : 令21t kx kx =++，由0t >对x R ∈恒成立.（1）当0k =时, 10>,∴0k =符合题意. ……3分（2）当0k ≠时，0k >⎧⎨∆<⎩，由2410k k ∆=-⨯⨯<得(4)0k k -<，解得：04k << ……5分综上得：q :40<≤k . …… 6分因为p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，所以命题,p q 一个为真,一个为假.… 7分p q 真假 或 p q 假真∴ -3<k 30 4.k k <⎧⎨<≥⎩或 或33,0 4.k k k ≤-≥⎧⎨≤<⎩或 …… 11分∴30k -<<或34k ≤< ………………12分 19．方法一：证：（1）在Rt △BAD 中，AD =2，BD =22， ∴AB =2，ABCD 为正方形，因此BD ⊥AC . ∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PA .又∵PA ∩AC =A ∴BD ⊥平面PAC . ……４分 （2）解：∵PA =AB =AD =2，∴PB =PD =BD =22 ，设C 到面PBD 的距离为d ，由P B D C B C D P V V --=，有d S PA S PBD BCD ∙∙=∙∙∆∆3131， 即d ∙∙∙=⨯⨯⨯∙0260sin )22(21312222131，得332=d ……12分 方法二：证：（Ⅰ）建立如图所示的直角坐标系，则A （0，0，0）、D （0，2，0）、P （0，0，2）.在Rt △BAD 中，AD =2，BD =22， ∴AB =2.∴B （2，0，0）、C （2，2，0），……2分∴)0,2,2(),0,2,2(),2,0,0(-=== ∵0,0=∙=∙， 即BD ⊥AP ，BD ⊥AC ，又AP ∩AC =A ，∴BD ⊥平面PAC .……5分（2）由（Ⅰ）得)2,2,0(),2,0,2(-=-=PD PB ，设平面PBD 的法向量为),,(2z y x n =， 则0,022=∙=∙n n ，即⎩⎨⎧=-+=-+02200202z y z x ，∴x =y =z ，故平面PBD 的法向量可取为)1,1,1(2=n .∵)2,2,2(-=，∴C 到面PBD的距离为332==d ……12分 20．（1）设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程得：221113x y +=，222213x y +=并作差得：13 (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，又x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝23，代入得k=y 1－y 2x 1－x 2＝－1. 则此弦所在直线方程是y －13＝－（x －1） 即x ＋y －43＝0. ……5分 (2)易知直线AB 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋2. ……6分将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去y 得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0. ……7分 令Δ＝144k 2－36(1＋3k 2)>0，得k 2>1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k 2. ……8分所以S △AOB ＝|S △POB －S △POA |＝12³2³|x 1－x 2|＝|x 1－x 2|.因为(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 1＋3k 22－361＋3k 2＝36（k 2－1）（1＋3k 2）2， ……10分设k 2－1＝t (t >0)，则(x 1－x 2)2＝36t （3t ＋4）2＝369t ＋16t＋24≤3629t ³16t＋24＝34.……12分 当且仅当9t ＝16t ，即t ＝43 ,k 2－1＝43, k 2＝73时 等号成立，此时△AOB 面积取得最大值32. ……13分 21．解：方法一(几何方法)：(1)证明：如图①，连接AD 1，由ABCD A 1B 1C 1D 1是正方体，知BC 1∥AD 1.当λ＝1时，P 是DD 1的中点，又F 是AD 的中点，所以FP ∥AD 1，所以BC 1∥FP . 而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ .图① 图②(2)如图②，连接BD .因为E ，F 分别是AB ，AD 的中点，所以EF ∥BD ，且EF ＝12BD .又DP ＝BQ ，DP ∥BQ ，所以四边形PQBD 是平行四边形，故PQ ∥BD ，且PQ ＝BD ，从而EF ∥PQ ，且EF ＝12PQ .在Rt △EBQ 和Rt △FDP 中，因为BQ ＝DP ＝λ，BE ＝DF ＝1， 于是EQ ＝FP ＝1＋λ2，所以四边形EFPQ 也是等腰梯形． 同理可证四边形PQMN 也是等腰梯形．分别取EF ，PQ ，MN 的中点为H ，O ，G ，连接OH ，OG ， 则GO ⊥PQ ，HO ⊥PQ ，而GO ∩HO ＝O ，故∠GOH 是面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角的平面角．若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则∠GOH ＝90°. 连接EM ，FN ，则由EF ∥MN ，且EF ＝MN 知四边形EFNM 是平行四边形． 连接GH ，因为H ，G 是EF ，MN 的中点， 所以GH ＝ME ＝2.在△GOH 中，GH 2＝4，OH 2＝1＋λ2－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝λ2＋12，OG 2＝1＋(2－λ)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝(2－λ)2＋12，由OG 2＋OH 2＝GH 2，得(2－λ)2＋12＋λ2＋12＝4，解得λ＝1±22，故存在λ＝1±22，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角． 方法二(向量方法)：以D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系．由已知得B (2，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，1，0)，F (1，0，0)，P (0，0，λ)．图③BC 1→＝(－2，0，2)，FP ＝(－1，0，λ)，FE ＝(1，1，0)．(1)证明：当λ＝1时，FP ＝(－1，0，1)， 因为BC 1→＝(－2，0，2)，所以BC 1→＝2FP →，即BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ .(2)设平面EFPQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧FE →²n ＝0，FP →²n ＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－x ＋λz ＝0.于是可取n ＝(λ，－λ，1)．同理可得平面MNPQ 的一个法向量为m ＝(λ－2，2－λ，1)． 若存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角， 则m ²n ＝(λ－2，2－λ，1)²(λ，－λ，1)＝0， 即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±22. 故存在λ＝1±22，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角． 22．解：（Ⅰ）∵过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为8．∴4a=8，∴a=2∵e=，∴c=1∴b 2=a 2﹣c 2=3∴椭圆E 的方程为．……4分（Ⅱ）由，消元可得（4k 2+3）x 2+8kmx+4m 2﹣12=0……5分∵动直线l ：y=kx+m 与椭圆E 有且只有一个公共点P （x 0，y 0）∴m ≠0，△=0，∴（8km ）2﹣4³（4k 2+3）³（4m 2﹣12）=0∴4k 2﹣m 2+3=0①此时x 0==，y 0=m3，即P （，m3） 由得Q （4，4k+m ） ……8分 取k=0，m=，此时P （0，），Q （4，），以PQ 为直径的圆为（x ﹣2）2+（y ﹣）2=4，交x 轴于点M 1（1，0）M 2（3，0）取k=，m=2，此时P （1，），Q （4，0），以PQ 为直径的圆为（x ﹣）2+（y ﹣）2=，交x 轴于点M 3（1，0）或M 4（4，0）故若满足条件的点M 存在，即M （1，0），……1２分证明如下 ∵∴故以PQ 为直径的圆恒过x 轴上的定点M （1，0）……1４分=n。