第二十二届希望杯全国数学邀请赛培训题

第二十二届希望杯全国数学邀请赛培训题
“希望杯”命题委员会
初一年级
一.选择题（以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案的英文字母填在每题后面的圈括号内）
1. 计算：()()()3
211201*********-⨯----+⨯-+=（ ） A.-2 B.-1 C.1 D.2
2.下列4个选项图中，不能由图1中的“灰格拐形”经过平移或旋转得到的是（ ）
A. B. C. D. 3.The reciprocal of number ()310.1+- equals ( )
A.0.999
B.11999
C.10001001
D.1.001 （英语小字典：reciprocal of number 倒数）
4.两条平行线被第三条直线所截，则（ ）
A.一组对顶角的平分线互相垂直.
B.一组内错角的平分线互相垂直.
C.一组同位角的平分线互相垂直.
D.一组同旁内角的平分线互相垂直.
5.关于有理数，下面的说法中正确的是（ ）
A.存在最大的数.
B.存在绝对值最小的数.
C.存在最小的数.
D.存在绝对值最大的数. 6.如图2，一副三角板在同一平面上，且两直角顶点重合，若
140ABE ∠=，则CBD ∠的大小是（ ） A.45 B.40
C.35
D.30
7.下面有4个结论：
①若两条线段不相交，则它们所在的两条直线必定平行；
②若两条射线不相交，则它们所在的两条直线必定平行； 图E D
C B A
图
③平面内的两条直线若不相交，则必定平行； ④空间中的两条直线若不相交，则必定平行.
其中不正确的结论的个数是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4 8.在图3中数轴上点A ，B ，C 所对应的有理数依次用字
母a ，b ，c 表示，则ab ，ac ，bc 这三个数的大小关系是
（ ）
A.ab ac bc >>
B.bc ac ab >>
C.bc ab ac >>
D.ac ab bc >>
9.若一列数：-4，7，-4，7，-4，7，……的第n 项可以用
公式()1n a b +-表示，则a b +的值为（ ） A.-4 B.32- C.7 D.72
10.下列说法中正确的是（ ）
A.负数的任意正整数次幂还是负数.
B.正数的任意正整数次幂可能是负数.
C.0的任意正整数次幂都是0.
D.任何数的正整数次幂不可能是1.
11.关于x ，y 的方程90xy y +-=的整数解(),x y 的组数是（ ）
A.2
B.3
C.4
D.6
12.若有理数a ，b 满足0a b <<，则
①a b a b +<-； ②a b b a +<-；
③a b a b +>-； ④a b a b ->+
中成立的是（ ）
A.①②③.
B.①③④.
C.①②④.
D.②③④
13.若a 是有理数，观察下列式子：
①221a -+； ②221a +； ③()21a +； ④()21a -+
其中，值可以等于0的是（ ）
A.①②③.
B.①③④.
C.①②④.
D.②③④
14.若a ，b 都是正整数，且a 除以5余2，b 除以5余3，则24a b +除以5，得到的余数是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
15.如图4，已知点C 、D 分别在AOB ∠的两边上，ACD ∠的平
分线和BDC ∠的平分线交于点E ，若AOB ∠=40，则CED ∠=
（ ） A.90 B.80 C.70
图
O E
D C B A 图
D.60
16.若a ，b 互为相反数，则在
①2a 与3b ； ②a 与b -； ③3a 与2b -； ④a -与b
中，不能互为相反数的有（ ）组.
A.0
B.1
C.2
D.3
17.10名运动员参加乒乓球比赛，其中每两名恰好比赛一场，比赛中，没有平局，第一名胜1x 局，负1y 局；第二名胜2x 局，负2y 局；……；第十名胜10x 局，负10y 局.若
记2221210M x x x =+++，2221210N y y y =+++，则（ ）
A.M N <
B.M N >
C.M N =
D.M ，N 的大小关系不确定.
18.四边形ABCD 的角A 、B 、C 、D 的外角的度数之比是2：3：5：8，则以下四个关系中成立的是（ ）
A.A D B C ∠+∠>∠+∠.
B.A D B C ∠+∠=∠+∠.
C.A D B C ∠+∠<∠+∠.
D.A C B D ∠+∠=∠+∠.
19.2013201120152013+的末位数字是（ ）
A.8.
B.6.
C.4.
D.2.
20.在m 千克的浓度为%p 的盐水中，先加入n 千克的浓度为%q 的盐水的一半，然后再加入所剩盐水的一半，这样所得到的盐水的浓度是（ ） A.%24q q p ⎛⎫++ ⎪⎝
⎭ B.43%43mp nq m n ++ C.%24nq nq mp ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ D.43%43p q m n ++ 21.单位分数是分子为1，分母为正整数的分数，若要将
5121
表示为单位分数之和，则下面表达式中不正确的是（ ） A.11125759208725++ B.11133121363
++ C.1112510083025++ D.11126350275275++ 22.设235x y z a =，并且x ，y ，
z 都是非负整数，则满足110a ≤≤的a 的个数为（ ） A.10 B.8 C.9 D.4
23.方程组126x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩
的解(),x y 共有（ ）组. A.1 B.2 C.3 D.4
24.某商店有5袋不同重量的杂粮，各袋重量在25~30公斤之间，店里有一架磅秤，它只有能称50~70公斤重量的秤砣，现要确定各袋杂粮的重量，至少要称（ ）次.
A.4
B.5
C.6
D.7
25.口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个，现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么这样取法的种数是（ ）
A.14
B.16
C.18
D.20
26.下面4个结论：
①三角形中至少有一个角不大于60； ②凸四边形中至少有一个角不小于90； ③凸五边形中至少有一个角不大于108； ④凸六边形中至少有一个内角不大于90. 其中正确的是（ ）
A.①，②，③.
B. ①，②，④.
C.①，③，④.
D.②，③，④.
27.设
2221114834441004A ⎛⎫=⨯+++ ⎪---⎝⎭
， 则与A 相差最小的正整数是（ ）
A.18.
B.20.
C.24.
D.25.
28.线段AB 和直线l 在同一个平面内：
（1）直线l 上恰好存在1个点P ，使ABP ∆为等腰三角形.
（2）直线l 上恰好存在2个点P ，使ABP ∆为等腰三角形.
（3）直线l 上恰好存在3个点P ，使ABP ∆为等腰三角形.
（4）直线l 上恰好存在4个点P ，使ABP ∆为等腰三角形.
以上四种判断中可能成立的有（ ）个.
A.1.
B.2.
C.3.
D.4.
29.形如21p -（其中p 为素数）的素数称为为梅森素数，最近发现了第47个梅森素数，该素数为“4264380121-”，它有12837064位数，如果用普通字号将这个巨数连续写下来，它的长度超过50公里，这个梅森素数的个位数字是（ ）
A.1.
B.3.
C.5.
D.7.
30.并排放置的三个相同的正方形如图5所示，则1∠的度数为（ ）
A.30
B.36.
C.45.
D.60.
二.填空题
31.计算：()()23320.1250.750.750.125÷+÷=__________________________
32.If rational number a ,b and c satisfy a b c <<,then a b b c c a -+---=______.
(英汉小字典：rational number 有理数；satisfy 满足) 33.如图6，在数轴Ox 上（O 为原点），点B 的坐标为6，且AB =8，P
点在Ox 上，且AP =5，则点P 的
图
坐标是___________. 34.A 、B 、C 、D 是数轴上从左到右排列的4个不同的点，若点A 重合原点O ，5AC ≥，4AB ≤，6BD ≤，则CD 的取值范围是__________________________
35.在数轴上，表示数22a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的点M 与表示数33a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭
的点N 关于原点对称，则a 的值为_______.
36.请写出一个一元一次方程：使未知数的系数为-2，这个方程的解为
0.5x =，这个方程是__________________________.
37.如图7，直线c 与a 、b 相交，形成8个不同的角，请你填上你认为
适当的一个条件，使得a b :__________________________.
38.a ,b 是直角三角形的两直角边的长，若a ,b 满足
2556390a b a b -+++-=，那么直角三角形的斜边长是_________. 39.计算：()()()2433310.252352168⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫---⨯-÷⨯-+÷-⎨⎬ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎩⎭⎣⎦
=_________________. 40.如果四个互不相同的整数m ，n ，p ，q 满足()()()()99999m n p q ++++=，那么m n p q +++=____________________
41.已知当10x <时，
25
a x bx +=--成立，则22a
b -=_____________ 42.图8是一个平行四边形，其中74
BF FC =，ACE ∆的面积与BFD ∆的面积比是3335，则AE ED =_____________. 43.If 4x =,281y =,and 0xy <,then x y +=____________.
44.若()()764,3418,x x y x y x +-=-⎧⎪⎨+-=⎪⎩则x y -=_____________. 45.边长为1的正ABC ∆的顶点A 与线段MN 的端点M 重合（图9），AB 在MN 上.将ABC ∆沿着线段MN 顺时针翻转，当边CA 第三次落在线段MN 上时，点A 与N 重合，则线段MN 的长度是_____________,在翻转过程中点A 经过的路程是___________.
46.若3个质数的和为26，其中任意2个的差的绝对值不小于5，
图
F D 图
图N M C A B A A B A B C C B
则这3个质数是__________.
47.在图10所示的各边相等的正五角星中，A α∠=，CGH β∠=，HIJ γ∠=，则::αβγ=____________.
48.For integer numbers x and y ,define x ☆y =()()x y x y +-,then 3☆(4☆
5)=___________.
(英汉小字典：integer numbers 整数；define 定义)
49.若2615x kx --被24x -除后余1，则k =___________.
50.若有理数x ，y ，z 满足 ()()()12131218x x y y z z ++--+--++=，则23x y z ++的
最小值是____________,最大值是___________.
51.如图11，点D 和点E 在ABC ∆的边BC 上，若
BD =AD =AE =EC ，且2B DAE ∠=∠，则
BAC ∠=_____________.
52.沿图12中的网线从O 到Z ，经过的最短路程的不同的走法共
有_________种.
53.若14x -≤，则23x y -的最大值是_______________，2
23x y -的最小值是________.
54.如图13所示，在单位正方形ABCD 中，2AE ED =，F 是AB 的
中点，EG CD ，则五边形EDGCF 的面积是_____________.
55.若()623456012345621x a a x a x a x a x a x a x +=++++++，
那么0123456a a a a a a a -+-+-+-=_______.
56.计算： ()432201120102011201120112-⨯++-=______________.
57.某工厂有离休职工182人，退休职工2674人，离休人员的年龄都在70岁以上，其中80岁以上者68人.退休人员中70岁以下者1326人，80岁以上者102人.试统计，在70岁以上的人群中，80岁以上人员所占比例为
58.将35表示成连续自然数的和，最多有__________种和式.
59.在一条公路上汽车A 、B 、C 分别以每小时80，70，50km 的速度行驶，汽车A 从甲站开往乙站，同时汽车B 、C 从乙站出发与A 相向而行开往甲站，途中，车A 与车B 相遇后两小时再与车C 相遇，则甲乙两站的距离为_________km .
60.记不超过15的质数的（算术）平均数为M ，则与M 相差最小的整数是__________.
61.若3个连续正整数a ，b ，c 的倒数之和大于1，则(),,a b c =_________.
E D C B A
F 图13 图12
62.三位数13x 与35y的积等于五位数5000z，其中x，y，z互不相等，则x=____，xyz=_____.
63.若()()
22
2315
x x
-++=，则()()
23
x x
-+=__________
64.满足22
x x
->-的x的取值范围是___________.
65.设10
a=，2
10
b=，3
10
c=，则在()
P a b c
=÷÷，()
Q b c a
=÷÷，()
R c a b
=÷÷的值中，最大的是____________，最小的是___________.
66.如果不等式组
10
x
x a
->
⎧
⎨
-<
⎩
无解，则a的取值范围是___________.
67.一个有弹性的球从A点落下到地面，弹起后，到B点后又落到高20厘米的平台上，再弹起到C点，然后，又落到地面（如图14），每次弹起的高度都是落下高度的80%，已知A点离地面比C点离地面高出68厘米，那么A点离地面的高度是_________厘米.
68.边长为整数，周长为20的等腰三角形有________个.
69.一个几何体，是由许多相同的小正方体堆积而成的，
其主视图、左视图如图15所示，要摆成这样的图形，
至少需用_________个小正方体.
70.圈上有A、B、C、D、E五个点，连接每两点得
到的不同线段最多有________条.
71.已知1
a b
-=，221
a b
-=-，则20122011
a b
-=____________.
72.如果3个不同质数的和是小于20的偶数，那么满足这样条件的3
个质数共有_______组.
73.如图16，；圆周上顺时针排列着n个互不相同的有理数：
1
a，
2
a，……，n
a.若
11
i i i
a a a
-+
=⨯（i=2，3，4，……）且
11
n n
a a a
-
=⨯，则n的最小值
是______________.
74.若()()
22
260
a ab
-+-=，则
()()()()
111
1120112011
ab a b a b
+++
++++
=______.
75.甲、乙两人同喝1罐咖啡，10天喝完，甲单独喝，需12天喝完.甲、乙两人同喝
1罐奶茶，12天喝完，乙单独喝，20天喝完.假如甲在有奶茶的情况下不喝咖啡，而乙在有咖啡的情况下不喝奶茶，则两人一起喝完1罐奶茶和1罐咖啡需要_________图14
图16
左视图
主视图
图15
天.
三.解答题
76.若 []x 表示不大于x 的最大整数，对正有理数a ，求方程324x a +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
的正整数解.
77.甲、乙、丙三个车队于某日共行驶了21600公里，其中甲车队每辆车平均行驶了325公里，乙车队每辆车平均行驶了250公里，丙车队的每辆车平均行驶了150公里.已知丙车队的车辆数恰好是甲乙两个车队车辆总数的三分之一，问丙车队最多有多少辆车？
78.在凸四边形ABCD 中，60BAD ∠=，
点1A 和2A 分别关于CB 和CD 与点A 对称.如果已知点1A 、2A ，B 和D 在一条直线上.求证：60BCD ∠=
79.某公司有100个股东，它们中的任意66人特有的股份总额不小于50%.求拥有该公司的股份最多的那位股东拥有的股份额的最大值.
80.质数5p >，求336除475p +得到的余数.
81.For the list of two-digit prime numbers,fine:
(1)Prime number ________that cannot be expressed as the sum of n (2n ≥)distiner prime numbers.
(2)The maximum value for n is _________.
82.Tin the table below,the numbers on the right and the
numbers on the bottom represent sum of the 4 numbers in their
corresponding rows and columns.Each of the letters are
rational numbers.Then the product abcdefg =_________.
K
A 2A 1D C
B A 图17
83.As in the Fig.18,ABCDEF is regular hexagon of perimeter 100 cm .A robot starts walking from 1P on AB (but 1P is not the midpoint of AB )and it is walking parallel to AB until it arrives at CD .Then it turns to EF walking parallel to DE until it reaches EF and then it turns toward AB walking parallel to AF ,and so on until it returns to point 1P .The total distance this robot had travelled is ________cm
. E B Fig.。