人教版数学九年级上册第22章《二次函数》培优训练(三)

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人教版九年级上册第22章《二次函数》培优练习卷

第22章《二次函数》培优练习卷时间：100分钟满分：100分班级：_______ 姓名：________得分:_______一．选择题（每题3分，共30分）1．二次函数y＝3（x﹣2）2﹣1的图象顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（2，1）D．（2，﹣1）2．当函数y＝（a﹣1）x2+bx+c是二次函数时，a的取值为（）A．a＝1 B．a＝﹣1 C．a≠﹣1 D．a≠13．已知二次函数y＝（x+m﹣2）（x﹣m）+2，点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）是其图象上两点，（）A．若x1+x2＞2，则y1＞y2B．若x1+x2＜2，则y1＞y2C．若x1+x2＞﹣2，则y1＞y2D．若x1+x2＜﹣2，则y1＜y24．抛物线y＝x2+2先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线的表达式是（）A．y＝（x﹣2）2+3 B．y＝（x﹣2）2﹣1 C．y＝（x﹣3）2+2 D．y＝（x﹣3）2﹣2 5．抛物线y＝x2﹣9与x轴交于A、B两点，则A、B两点的距离是（）A．3 B．6 C．9 D．186．已知二次函数y＝﹣x2，下列说法正确的是（）A．该抛物线的开口向上B．顶点坐标是（0，0）C．对称轴是x＝﹣D．当x＜0时，y随x的增大而减小7．在二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（）A．x＞﹣1 B．x＜1 C．x＜﹣1 D．x＞18．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x的图象可能是（）A．B．C ．D ．9．二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，下面结论：①a ＞0；②c ＝0；③函数的最小值为﹣3；④当x ＞4时，y ＞0；⑤当x 1＜x 2＜2时，y 1＜y 2（y 1、y 2分别是x 1、x 2对应的函数值）．正确的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．510．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x ＝﹣，结合图象分析下列结论：①abc ＞0； ②3a +c ＞0；③当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，④一元二次方程cx 2+bx +a ＝0的两根分别为x 1＝﹣，x 2＝；⑤若m ，n （m ＜n ）为方程a （x +3）（x ﹣2）+3＝0的两个根，则m ＞﹣3且n ＜2，其中正确的结论有（）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个二．填空题（每题4分，共20分）11．若二次函数y ＝x 2﹣6x +3a 的图象与x 轴有且只有一个交点，则a 的值为． 12．如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小明想知道这道门的高度，他先测出门的宽度AB ＝8m ，然后用一根长为4m 的小竹竿CD 竖直的接触地面和门的内壁，并测得AC ＝2m ，则门高OE 为．13．二次函数y ＝x 2﹣bx +c 的图象上有两点A （3，﹣2），B （﹣9，﹣2），则此抛物线的对称轴是直线x ＝．14．二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，若点A （1，y 1），B （3，y 2）是图象上的两点，则y 1 y 2（填“＞”、“＜”、“＝”）．15．在直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ）和Q （x ，y ′）．给出如下定义：若y ′＝，则称点Q 为点P 的“可控变点”．如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．（1）若点（﹣1，﹣2）是一次函数y ＝x +3图象上点M 的“可控变点”，则点M 的坐标为．（2）若点P 在函数y ＝﹣x 2+16（﹣5≤x ≤a ）的图象上，其“可控变点”Q 的纵坐标y ′的取值范围是﹣16≤y ′≤16，则实数a 的取值范围是．三．解答题（每题10分，共50分）16．已知抛物线L ：y ＝x 2+bx +c 经过点（1，15）和（0，8），顶点为M ，抛物线L 关于原点O 对称的抛物线为L ′，点M 的对应点为点N ．（1）求抛物线L 的表达式及点M 的坐标；（2）点P 在抛物线L ′上，点Q 在抛物线L 上，且四边形PMQN 为周长最小的菱形，求点P 的坐标．17．已知抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和（1，﹣2）两点，抛物线L关于原点O的对称的为抛物线L′，点A的对应点为点A′．（1）求抛物线L和L′的表达式；（2）是否在抛物线L上存在一点P，抛物线L′上存在一点Q，使得以AA′为边，且以A、A′、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，抛物线y＝x2+2x的顶点为A，与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧）．（1）请求出A、B、C三点的坐标；（2）平移抛物线，记平移后的抛物线的顶点为D，与y轴交于点E，F为平面内一点，若以A、D、E、F为顶点的四边形是正方形，且平移后的抛物线的对称轴在y轴右侧，请求出满足条件的平移后抛物线的表达式．19．当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升，书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元．根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于20元．（1）直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围；（2）书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠a（0＜a≤10）元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1440元，求a的值．20．水果店购进某种水果的成本为10元/千克，经市场调研，获得销售单价p（元/千克）与销售时间t（1≤t≤15，t为整数）（天）之间的部分数据如表：销售时间t（1≤t≤15，t为整数）（天） 1 4 5 8 12 销售单价p（元/千克）20.25 21 21.25 22 23 已知p与t之间的变化规律符合一次函数关系．（1）试求p关于t的函数表达式；（2）若该水果的日销量y（千克）与销售时间t（天）的关系满足一次函数y＝﹣2t+120（1≤t≤15，t为整数）．①求销售过程中最大日销售利润为多少？②在实际销售的前12天中，公司决定每销售1千克水果就捐赠n元利润（n＜3）给“精准扶贫”对象．现发现：在前12天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求n的取值范围．参考答案一．选择1．解：∵二次函数y＝3（x﹣2）2﹣1，∴该函数图象的顶点坐标为（2，﹣1），故选：D．2．解：由题意得：a﹣1≠0，解得：a≠1，故选：D．3．解：如图，当x＝m或x＝﹣m+2时，y＝2，∴抛物线的对称轴x＝＝1，∴当x1+x2＜2时，点A与点B在对称轴的左侧或点A在对称轴的左侧，点B在对称轴的右侧，且点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离大，观察图象可知，此时y1＞y2，故选：B．4．解：y＝x2+2先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线的表达式是y＝（x ﹣2）2﹣1．故选：B．5．解：令y＝0，即x2﹣9＝0，解得x1＝3，x2＝﹣3，∴A、B两点的坐标为（﹣3，0），（3，0），∴A、B两点的距离＝3﹣（﹣3）＝6．故选：B．6．解：A 、∵a ＝﹣＜0，∴开口向下，故错误，不符合题意；B 、顶点坐标是（0，0），正确，符合题意；C 、对称轴为直线x ＝0，故错误，不符合题意；D 、∵a ＝﹣＜0，∴开口向下，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，故错误，不符合题意，故选：B ．7．解：∵二次函数y ＝﹣（x ﹣1）2+2，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，当x ＜1时，y 随x 的增大而增大，故选：B ．8．解：∵二次函数y ＝x 2﹣2x ＝（x ﹣1）2﹣1， ∴开口向上，顶点为（1，﹣1），且经过原点．故选：A ．9．解：∵该函数图象开口向上， ∴a ＞0，故①正确；∵该函数图象经过点（0，0）， ∴c ＝0，故②正确；∵该函数图象开口向上，有最低点（2，﹣3）， ∴函数的最小值为﹣3，故③正确；∵该函数的对称轴为直线x ＝2，经过点（0，0）， ∴该函数与x 轴的另一个交点为（4，0）， ∴当x ＞4时，y ＞0，故④正确；由函数图象可知，当x ＜2时，y 随x 的增大而减小，故当x 1＜x 2＜2时，y 1＞y 2（y 1、y 2分别是x 1、x 2对应的函数值），故⑤错误；故选：C ．10．解：由函数图象可得，a ＜0，b ＜0，c ＞0，则abc ＞0，故①正确； ﹣＝，得a ＝b ，∵x ＝﹣3时，y ＝9a ﹣3b +c ＝0， ∴6a +c ＝0，∴c ＝﹣6a ，∴3a +c ＝3a ﹣6a ＝﹣3a ＞0，故②正确；由图象可知，当x ＜﹣时，y 随x 的增大而增大，当﹣＜x ＜0时，y 随x 的增大而减小，故③错误；∵抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与X 轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x ＝﹣， ∴该抛物线与x 轴的另一个交点的坐标为（2，0）， ∴ax 2+bx +c ＝0的两个根为x 1＝﹣3，x 2＝2， ∴a +b+c （）2＝0的两个根为x 1＝﹣3，x 2＝2，∴一元二次方程cx 2+bx +a ＝0的两根分别为x 1＝﹣，x 2＝，故④正确； ∵该函数与x 轴的两个交点为（﹣3，0），（2，0）， ∴该函数的解析式可以为y ＝a （x +3）（x ﹣2），当y ＝﹣3时，﹣3＝a （x +3）（x ﹣2）∴当y ＝﹣3对应的x 的值一个小于﹣3，一个大于2，∴若m ，n （m ＜n ）为方程a （x +3）（x ﹣2）+3＝0的两个根，则m ＜﹣3且n ＞2，故⑤错误；故选：A ．二．填空题（共5小题）11．解：∵二次函数y ＝x 2﹣6x +3a 的图象与x 轴有且只有一个交点， ∴△＝b 2﹣4ac ＝（﹣6）2﹣4×3a ＝0，解得：a ＝3，故答案为：3．12．解：由题意得，抛物线过点A （﹣4，0）、B （4，0）、D （﹣2，4），设y ＝a （x +4）（x ﹣4），把D （﹣2，4）代入y ＝a （x +4）（x ﹣4），得4＝a （﹣2+4）（﹣2﹣4），解得a ＝﹣，∴y ＝﹣（x +4）（x ﹣4）．令x＝0得y＝，即（0，），∴OE＝∴门的高度约为m．故答案为：m．13．解：∵函数y＝x2﹣bx+c的图象上有两点A（3，﹣2），B（﹣9，﹣2），且两点的纵坐标相等，∴A、B关于抛物线的对称轴对称，∴对称轴为：直线x＝＝﹣3，故答案为：﹣314．解：∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，且开口向下，∴点A（1，y1），B（3，y2）都在对称轴右侧的抛物线上，∴y1＞y2．故答案为：＞．15．解：（1）根据“可控变点”的定义可知M的坐标（﹣1，2）；故答案为：（﹣1，2）；（2）依题意可得，y＝﹣x2+16图象上的点P的“可控变点”必在函数y′＝的图象上（如图），∵﹣16≤y′≤16，∴﹣16＝﹣x2+16，∴x＝4，当x＝﹣5时，x2﹣16＝9，当y′＝9时，9＝﹣x2+16（x≥0），∴x＝，∵0的时候对应的﹣16取不到，要得到﹣16只能是4的时候，∴a的取值范围是a＝4．故答案为：a＝4，三．解答题（共5小题）16．解：（1）∵y＝x2+bx+c经过点（1，15）和（0，8），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2+6x+8，∵抛物线L：y＝x2+6x+8＝（x+3）2﹣1，∴顶点M（﹣3，﹣1），（2）∵抛物线L′与抛物线L关于原点对称，抛物线L的顶点M（﹣3，﹣1），∴抛物线L′的顶点M′（3，1），解析式为y＝﹣（x﹣3）2+1＝﹣x2+6x﹣8∵四边形PMQM′是菱形，∴PQ⊥MM′，∵直线MM′的解析式为y＝x，∴直线PQ的解析式为y＝﹣3x，由，解得或，∴P（1，﹣3）或（8．﹣24）．∵菱形PMQM′的周长最小，∴P（1，3）．17．解：（1）∵抛物线L：y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和（1，﹣2）两点，∴，解得：，∴抛物线L的解析式为：y＝x2﹣x﹣2，∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣，∴顶点坐标为（，﹣），∵抛物线L关于原点O的对称的为抛物线L′，∴抛物线L′的解析式为：y＝﹣（x+）2+；（2）∵点A关于原点O对应点为点A′，∴点A '（1，0），∴AA '＝2，∵以AA ′为边，且以A 、A ′、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，∴PQ ＝AA '＝2，PQ ∥AA '，设点P （x ，x 2﹣x ﹣2），当点P 在点Q 的左侧，∴点Q 的横坐标为x +2，∴x 2﹣x ﹣2＝﹣（x +2+）2+，∴x ＝﹣1，∴点P （﹣1，0）（不合题意舍去）；当点P 在点Q 的右侧，∴点Q 的横坐标为x ﹣2，∴x 2﹣x ﹣2＝﹣（x ﹣2+）2+，∴x 1＝+1，x 2＝﹣+1， ∴点P 1（+1，），P 2（﹣+1，﹣）． 18．解：（1）∵抛物线y ＝x 2+2x 与x 轴交于B 、C 两点，∴0＝x 2+2x ，∴x 1＝0，x 2＝﹣2，∴点B （﹣2，0），点C （0，0），∵y ＝x 2+2x ＝（x +1）2﹣1，∴点A （﹣1，﹣1）；（2）设平移后抛物线的表达式为：y ＝（x +1﹣m ）2﹣1+n （m ＞1），∴点D （m ﹣1，﹣1+n ），∵y ＝（x +1﹣m ）2﹣1+n ＝x 2+2×（1﹣m ）x +m 2﹣2m +n ，∴点E （0，m 2﹣2m +n ），如图1，当点D 在点A 的下方时，过点A 作AM ⊥y 轴于N ，过点D 作DM ⊥AM 于M ，∴∠ANE＝∠AMD＝90°，∵以A、D、E、F为顶点的四边形是正方形，∴AE＝AD，∠EAD＝90°，∴∠EAN+∠DAM＝90°，∵∠AEN+∠EAN＝90°，∴∠AEN＝∠DAM，∴△AEN≌△DAM（AAS），∴AN＝DM，EN＝AM，∴1＝﹣1﹣（﹣1+n），m﹣1﹣（﹣1）＝m2﹣2m+n﹣（﹣1），∴n＝﹣1，m＝3，∴平移后抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2﹣2；（2）如图2，点D在点A上方时，过点D作DM⊥y轴于N，过点A作AM⊥DM于M，同理可证△EDN ≌△DAM ，∴DN ＝AM ，EN ＝DM ，∴m ﹣1＝﹣1+n +1，m 2﹣2m +n ﹣（﹣1+n ）＝m ﹣1+1，∴m ＝，n ＝，∴平移后抛物线的表达式为：y ＝（x ﹣）2﹣，综上所述：平移后抛物线的表达式为：y ＝（x ﹣2）2﹣2或y ＝（x ﹣）2﹣． 19．解：（1）由题意得：y ＝250﹣10（x ﹣25）＝﹣10x +500（30≤x ≤40）．∴函数关系式及自变量的取值范围是y ＝﹣10x +500（30≤x ≤40）．（2）设每天扣除捐赠后可获得利润为W 元，则：W ＝（﹣10x +500）（x ﹣20﹣a ）＝﹣10x 2+（700+10a ）x ﹣500a ﹣10000（30≤x ≤40），∴对称轴为x ＝35+，又∵0＜a ≤10，∴35＜35+≤40，∵30≤x ≤40，∴x ＝35+时，W max ＝1440，∴﹣10+（700+10a ）（35+）﹣500a ﹣10000＝1440，整理得：a 2﹣60a +324＝0，解得a 1＝6，a 2＝54（舍）．∴a ＝6．20．解：（1）设p 与t 之间的变化的一次函数关系为：p ＝kt +b ，将点（4，21）、（8，22）代入上式得：，解得：，故p 关于t 的函数表达式为：p ＝t +20（1≤t ≤15，t 为整数）；（2）①设日销售利润为w，由题意得：w＝y（p﹣10）＝﹣（t﹣60）（t+40）（1≤t≤15，t为整数），∵＜0，故w有最大值，当t＝10时，w的最大值为1250；故销售过程中最大日销售利润为1250元；②设捐赠后的日销售利润为m，由题意得：m＝w﹣n＝﹣（t﹣60）（t+40）﹣n＝﹣t2+（10+2n）t+1200﹣120n，∵在前12天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，∴﹣≥11.5，∴n≥．又∵n＜3，∴n的取值范围为≤n＜3．。

人教版九年级数学上册课时练：第22章《二次函数》 (培优篇)

课时练：第22章《二次函数》（培优篇）时间：100分钟满分：100分学校：______班级：_____姓名：______得分：_______一．选择题（每小题3分，共30分）1．下列对于抛物线y ＝﹣3x 2+12x ﹣3的描述错误的是（） A ．开口向下B ．对称轴是x ＝2C ．与y 轴交于（0，﹣3）D ．顶点是（﹣2，9）2．在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝x 2﹣（m ﹣1）x +m （m ＞1）沿y 轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．如图，直线y 1＝kx 与抛物线y 2＝ax 2+bx +c 交于A 、B 两点，则y ＝ax 2+（b ﹣k ）x +c 的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．4．已知二次函数y ＝x 2﹣2bx +2b 2﹣4c （其中x 是自变量）的图象经过不同两点A （1﹣b ，m ），B （2b +c ，m ），且该二次函数的图象与x 轴有公共点，则b +c 的值为（）A ．﹣1B ．2C ．3D ．45．如图所示，二次函数y ＝﹣x 2+mx 的图象与x 轴交于坐标原点和（4，0），若关于x 的方程x 2﹣mx +t ＝0（t 为实数）在1＜x ＜6的范围内有解，则t 的取值范围是（）A．﹣12＜t＜3 B．﹣12＜t≤4 C．3＜t≤4 D．t＞﹣126．已知：点B（﹣2，3），C（2，3），若抛物线l：y＝x2﹣2x﹣3+n与线段BC有且只有一个公共点，若n为正整数，确定所有n的值．“甲的结果是n＝7，乙的结果是n＝1或2，丙的结果是n＝3或4或5”，则（）A．甲的结果正确B．乙的结果正确C．丙的结果正确D．甲、乙、丙的结果合在一起正确7．如图，抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B，顶点为点D，把抛物线在x轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D′，点A对应点C，连接DD′，CD′，DC，当△CDD′是直角三角形时，a的值为（）A．或B．或C．或D．或8．二次函数y＝x2+bx+c的部分对应值如下表：x…﹣2 ﹣1 0 1 2 4 …y… 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 5 …则关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0的解为（）A．x1＝﹣1，x2＝﹣3 B．x1＝﹣1，x2＝1C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣1，x2＝59．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．110．若抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；②若点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为3++．其中错误的是（）A．①③B．②C．②④D．③④二．填空题（每小题4分，共20分）11．若二次函数y＝﹣（x+1）2+h的图象与线段y＝x+2（﹣3≤x≤1）没有交点，则h的取值范围是．12．抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A（﹣2，0），B（0，2）．当x＜0时，若y＝ax2+bx+c 的函数值随x的增大而增大，则a的取值范围为．13．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内，若以每件x元（20≤x≤40，且x为整数）出售，可卖出（40﹣x）件，若要使利润最大，则每件商品的售价应为元．14．如图，有一座抛物线拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m达到警戒水位时，水面CD的宽是10米，建立如图所示的平面直角坐标系，O为坐标原点，如果水位以0.2m/h的速度匀速上涨，那么达到警戒水位后，再过h水位达到桥拱最高点O．15．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），顶点坐标为（1，n），则下列结论：①2a+b＜0；②﹣1≤a≤﹣；③对于任意实数m，a（m2﹣1）+b（m﹣1）≤0总成立；④关于x的方程ax2+bx+c＝n+1有两个不相等的实数根．其中结论正确的序号是．三．解答题（每题10分，共50分）16．已知抛物线y1＝ax2﹣2amx+am2+4，直线y2＝kx﹣km+4，其中a≠0，a、k、m是常数．（1）抛物线的顶点坐标是，并说明上述抛物线与直线是否经过同一点（说明理由）；（2）若a＜0，m＝2，t≤x≤t+2，y1的最大值为4，求t的范围；（3）抛物线的顶点为P，直线与抛物线的另一个交点为Q，对任意的m值，若1≤k≤4，线段PQ（不包括端点）上至少存在两个横坐标为整数的点，求a的范围．17．“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降2元，则每月可多销售10条，设每条裤子的售价为x元（x为正整数），每月的销售量为y条．（1）直接写出y与x的函数关系式；（2）设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生，为了保证捐款后每月利润不低于4175元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？18．在平面直角坐标系中，抛物线y＝mx2﹣4mx+n（m＞0）与x轴交于A，B两点，点B在点A的右侧，顶点为C，抛物线与y轴交于点D，直线CA交y轴于E，且S△ABC ：S△BCE＝3：4．（1）求点A，点B的坐标；（2）将△BCO绕点C逆时针旋转一定角度后，点B与点A重合，点O恰好落在y轴上，①求直线CE的解析式；②求抛物线的解析式．19．已知二次函数y＝ax2+（3a+1）x+3（a＜0）．（1）该函数的图象与y轴交点坐标为；（2）当二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且a为负整数．①求a的值及二次函数的表达式；②画出二次函数的大致图象（不列表，只用其与x轴的两个交点A、B，且A在B的左侧，与y轴的交点C及其顶点D，并标出A，B，C，D的位置）；（3）在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点P，使△PCA为直角三角形，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．20．如图1，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（3，0），并且OA＝OC＝3OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上，（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P，使得△ACP是以AC为底的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，以线段EF的中点G为圆心，以EF为直径作⊙G，求⊙G最小面积．参考答案一．选择题1．解：y ＝﹣3x 2+12x ﹣3 ＝﹣3（x ﹣2）2+9，A 、a ＝﹣3＜0，故抛物线开口向下，正确，不合题意；B 、对称轴是x ＝2，正确，不合题意；C 、当x ＝0时，y ＝﹣3，则与y 轴交于（0，﹣3），正确，不合题意；D 、顶点是（2，9），错误，原选项符合题意；故选：D ．2．解：∵y ＝x 2﹣（m ﹣1）x +m ＝（x ﹣）2+m ﹣，∴该抛物线顶点坐标是（，m ﹣），∴将其沿y 轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是（，m ﹣﹣3），∵m ＞1， ∴m ﹣1＞0， ∴＞0，∵m ﹣﹣3＝＝＝﹣﹣1＜0，∴点（，m ﹣﹣3）在第四象限；故选：D ． 3．解：设y ＝y 2﹣y 1， ∵y 1＝kx ，y 2＝ax 2+bx +c ， ∴y ＝ax 2+（b ﹣k ）x +c ，由图象可知，在点A 和点B 之间，y ＞0，在点A 的左侧或点B 的右侧，y ＜0，故选项B 符合题意，选项A 、C 、D 不符合题意；故选：B ．4．解：由二次函数y ＝x 2﹣2bx +2b 2﹣4c 的图象与x 轴有公共点， ∴（﹣2b ）2﹣4×1×（2b 2﹣4c ）≥0，即b 2﹣4c ≤0 ①，由抛物线的对称轴x＝﹣＝b，抛物线经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，m），b＝，即，c＝b﹣1 ②，②代入①得，b2﹣4（b﹣1）≤0，即（b﹣2）2≤0，因此b＝2，c＝b﹣1＝2﹣1＝1，∴b+c＝2+1＝3，故选：C．5．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，解得m＝4，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，抛物线的顶点坐标为（2，4），当x＝1时，y＝﹣x2+4x＝﹣1+4＝3；当x＝6时，y＝﹣x2+4x＝﹣36+24＝﹣12，当x＝2时，y＝4，在1＜x＜6时有公共点时当直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+4x在1＜x＜6时有公共点时，﹣12＜t≤4，故选：B．6．解：①当抛物线的顶点在直线y＝3上时，△＝（﹣2）2﹣4（n﹣6）＝0，解得：n＝7；②当抛物线的顶点在BC下方时，根据题意知当x＝﹣2时y≥3，当x＝2时y＜3，即，解得：﹣2≤n＜6，∵n取正整数，∴n有0，1，2，3，4，5，7共6个，故选：D．7．解：∵y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x+1）2﹣4a，∴点A的坐标为（﹣3，0），点B（1，0），点D（﹣1，﹣4a），∴D′（3，4a），C（5，0），∵△CDD′是直角三角形，∴当∠DD′C＝90°时，4a＝×（5﹣1）＝2，得a＝，当∠D ′CD ＝90°时，CB ＝DD ′， ∴5﹣1＝，解得，a 1＝，a 2＝﹣（舍去），由上可得，a 的值是或，故选：A ．8．解：∵x ＝0时，y ＝﹣3；x ＝2时，y ＝﹣3， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝1， ∴x ＝﹣1或x ＝3时，y ＝0，∴关于x 的一元二次方程x 2+bx +c ＝0的解为x 1＝﹣1，x 2＝3．故选：C ．9．解：由图象知，抛物线与x 轴有两个交点， ∴方程ax 2+bx +c ＝0有两个不相等的实数根， ∴b 2﹣4ac ＞0，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴直线为x ＝2， ∴﹣＝2，∴4a +b ＝0，由图象知，抛物线开口方向向下， ∴a ＜0， ∵4a +b ＝0，∴b ＞0，而抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上， ∴c ＞0，∴abc ＜0，故②③正确，由图象知，当x ＝﹣2时，y ＜0， ∴4a ﹣2b +c ＜0，故④错误，即正确的结论有3个，故选：B ．10．解：∵y ＝﹣x 2+2x +m +1＝﹣（x ﹣1）2+m +2， ∴抛物线y ＝﹣x 2+2x +m +1的顶点坐标为（1，m +2），∴顶点在直线y＝m+2上，所以①的说法正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴点M到对称轴的距离最大，点N到对称轴的距离最小，而抛物线的开口向下，∴y1＜y3＜y2，所以②的说法错误；∵点（1，m+2）向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得对应点的坐标为（﹣1，m），∴平移后的抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m，所以③的说法正确；当m＝1时，A（0，2），B（1，3），∵点A关于直线x＝1的对称点为C，∴C（2，2），作B点关于y轴的对称点B′，C点关于x轴的对称点C′，连接B′C′，B′C′交x轴于D，交y轴于E，连接BE、CD，如图，∴EB′＝EB，DC＝DC′，∴BE+DE+DC＝EB′+DE+DC′＝B′C′，∴此时BE+DE+DC的值最小，∴四边形BCDE周长的最小值＝B′C′+BC，∵B′（﹣1，3），C′（2，﹣2），∴B′C′＝＝，而BC＝＝，∴四边形BCDE周长的最小值为+，所以④的说法错误．故选：C．二．填空题（共5小题）11．解：x＝1时，y＝x+2＝3，将（1，3）代入y＝﹣（x+1）2+h并解得：h＝7，联立y＝﹣（x+1）2+h和y＝x+2并整理得：x2+3x+（3﹣h）＝0，∵△＝3﹣4（3﹣h）＜0，∴h＜，故答案为h＞7或h＜．12．解：将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）点A、B，且当x＜0时，若y＝ax2+bx+c的函数值随x的增大而增大，则函数的对称轴在x＝0的右侧，即x＝﹣＞0，则＜0，解得：a≥，故答案为≤a＜0．13．解：设商品所获利润为w元，由题意得：w＝（x﹣20）（40﹣x）＝﹣x2+60x﹣800＝﹣（x﹣30）2+100，∵二次项系数﹣1＜0，20≤x≤40，且x为整数，∴当x＝30时，w取得最大值，最大值为100元．∴每件商品的售价应为30元．故答案为：30．14．解：设抛物线解析式为y＝ax2，因为抛物线关于y轴对称，AB＝20，所以点B的横坐标为10，CD＝10米，所以D点横坐标为5，设点B（10，n），点D（5，n+3），，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2，当x＝5时，y＝﹣1，则t＝1÷0.2＝5，故答案为：5．15．解：如图，∵抛物线的顶点坐标为（1，n），∴抛物线的对称性为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，所以①错误；∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴c＝b﹣a＝﹣2a﹣a＝﹣3a，∵抛物线与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），∴2≤c≤3，即2≤﹣3a≤3，∴﹣1≤a≤﹣，所以②正确；∵当x＝1时，y有最大值，∴a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数），即a（m2﹣1）+b（m﹣1）≤0，所以③正确；∵抛物线的顶点坐标为（1，n），∴直线y＝n与抛物线只有一个交点，∴直线y＝n+1与抛物线没有公共点，∴关于x的方程ax2+bx+c＝n+1没有实数根，所以④错误．故答案为②③．三．解答题（共5小题）16．解：（1）∵y 1＝ax 2﹣2amx +am 2+4＝a （x ﹣m ）2+4，∴顶点坐标为（m ，4），∵y 2＝kx ﹣km +4＝k （x ﹣m ）+4，当x ＝m 时，y 2＝4，∴直线y 2＝kx ﹣km +4恒过点（m ，4），∴抛物线与直线都经过同一点（m ，4），故答案为（m ，4）；（2）当m ＝2时，y 1＝a （x ﹣2）2+4，∵a ＜0，∴当x ＝2时，y 1有最大值4，又∵t ≤x ≤t +2，y 1的最大值为4，∴，∴0≤t ≤2；（3）令y 1＝y 2，则有ax 2﹣2amx +am 2+4＝kx ﹣km +4，解得x 1＝m ，x 2＝m +，∵线段PQ 上至少存在两个横坐标为整数的点，k ＞0，∴当a ＞0时，m +﹣m ＞2，∴2a ＜k ，又∵1≤k ≤4，∴2a ＜1，即a ＜，∴0＜a＜；同理当a＜0时，可求得﹣＜a＜0，综上所述：0＜a＜或﹣＜a＜0．17．解：（1）由题意可得：y＝100+×10＝100+5（80﹣x）＝﹣5x+500，∴y与x的函数关系式为：y＝﹣5x+500；（2）由题意得：w＝（x﹣40）（﹣5x+500）＝﹣5x2+700x﹣20000＝﹣5（x﹣70）2+4500，∵a＝﹣5＜0，∴当x＝70时，w有最大利润，最大利润是4500元；∴应降价80﹣70＝10（元）．∴当销售单价降低10元时，每月获得的利润最大，最大利润是4500元；（3）由题意得：﹣5（x﹣70）2+4500＝4175+200，解得：x1＝65，x2＝75，∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝70，∴当65≤x≤75时，符合该网店要求，而为了让顾客得到最大实惠，故x＝65．∴当销售单价定为65元时，既符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．18．解：（1）如图，过点C作CF⊥AB于F，∵抛物线y＝mx2﹣4mx+n（m＞0），∴对称轴为直线x＝2，∴AF＝BF，点F（2，0），即OF＝2，∵S△ABC ：S△BCE＝3：4，∴S△ABC ＝3S△ABE，∴3××AB×OE＝AB×CF，∴CF＝3OE，∵CF⊥AB，OE⊥AB，∴CF∥OE，∴，∴AF＝3OA，∵OF＝OA+AF＝2，∴OA＝，AF＝，∴点A坐标为（，0），∵AB＝2AF＝3，∴OB＝，∴点B坐标为（，0）；（2）①∵抛物线y＝mx2﹣4mx+n（m＞0）过点A（，0），∴0＝m﹣2m+n，∴n＝m，∴y＝mx2﹣4mx+n＝m（x﹣2）2﹣m，∴点C（2，﹣m），如图2，过点C作CF⊥OB于F，CH⊥y轴于H，又∵∠FOH＝90°，∴四边形OFCH是矩形，∴CF＝OH＝m，∵将△BCO绕点C逆时针旋转一定角度后，点B与点A重合，点O恰好落在y轴上，∴OC＝O'C，OB＝O'A＝，又∵CH⊥OO'，∴OO'＝2OH＝m，∵OA2+O'O2＝O'A2，∴+m2＝，∴m＝，∴点C坐标为（2，﹣），设直线CE的解析式为y＝kx+b，∴，解得：∴直线CE的解析式为y＝﹣x+；②∵m＝，∴y＝x2﹣x+．19．解：（1）令x＝0时，y＝3，∴函数的图象与y轴交点坐标为（0，3），故答案为：（0，3）；（2）①令y＝0，则ax2+（3a+1）x+3＝0，∴（ax+1）（x+3）＝0，∴x1＝﹣，x2＝﹣3，∵二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且a为负整数．∴a＝﹣1，∴二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3；②图象如图所示：（3）设点P（m，﹣m2﹣2m+3），当点P为直角顶点时，如图，过点P作PF⊥y轴于F，过点A作AE⊥PF，交FP的延长线于E，∵∠APC ＝90°，∴∠APE +∠CPF ＝90°，∵∠APE +∠EAP ＝90°，∴∠CPF ＝∠EAP ，又∵∠AEP ＝∠CFP ＝90°，∴△APE ∽△PCF ，∴， ∴＝ ∴∴﹣（m ﹣1）（m +2）＝1，∴m 1＝，m 2＝，经检验，m 1＝，m 2＝是原方程的根； ∴点P 坐标为（，）或（，）；若点A 为直角顶点时，如图，过点P 作PH ⊥x 轴于P ，∵点A（﹣3，0），点C（0，3），∴OA＝OC，又∵∠AOC＝90°，∴∠CAO＝∠ACO＝45°，∵∠CAP＝90°，∴∠PAH＝45°，∵PH⊥x轴，∴∠PAH＝∠APH＝45°，∴AH＝PH，∴m+3＝m2+2m﹣3∴m1＝﹣3（舍去），m2＝2，∴点P坐标为（2，﹣5）；若点C为直角顶点，过点P作PE⊥y轴于E，∵∠ACP＝90°，∠ACO＝45°，∴∠PCE＝45°，∵PE⊥y轴，∴∠PCE＝∠CPE＝45°，∴PE＝CE，∴﹣m＝﹣m2﹣2m+3﹣3，∴m1＝0（舍去），m2＝﹣1，∴点P坐标为（﹣1，4）；综上所述：点P坐标为（，）或（，）或（2，﹣5）或（﹣1，4）．20．解：（1）∵点A的坐标是（3，0），∴OA＝3，∵OA＝OC＝3OB，∴OC＝3，OB＝1，∴点C（0，3），点B（﹣1，0），设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），∴3＝﹣3a，∴a＝﹣1，∴抛物线解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3；（2）∵△ACP是以AC为底的等腰三角形，∴AP＝CP，又∵OA＝OC，∴OP是AC的垂直平分线，∵OA＝OC，∠AOC＝90°，OP是AC的垂直平分线，∴OP平分∠AOC，∴直线OP解析式为y＝x，联立方程组可得：，∴或，∴点P 坐标为（，）或（，）；（3）如图，∵点A的坐标是（3，0），点C坐标为（0，3），∴直线AC解析式为：y＝﹣x+3，设点D坐标为（m，﹣m+3），∴DE＝|m|，DF＝|﹣m+3|，∴EF2＝DE2+DF2＝m2+（﹣m+3）2，∵⊙G 的面积＝×EF2＝×[m2+（﹣m+3）2]＝×[2（m﹣）2+]，∴当m＝时，⊙G最小面积为．。

人教版九年级数学上册第二十二章《二次函数》培优训练题(含答案)

人教版九年级数学上册第二十二章《二次函数》培优训练题（含答案）一．选择题1．在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx+2（k≠0）的图象大致如图（）A．B．C．D．2．抛物线y＝x2的图象向左平移3个单位，所得抛物线的解析式为（）A．y＝x2﹣3 B．y＝（x﹣3）2C．y＝x2+3 D．y＝（x+3）23．对于二次函数y＝3（x﹣2）2+1的图象，下列说法正确的是（）A．顶点坐标是（2，1）B．对称轴是直线x＝﹣2C．开口向下D．与x轴有两个交点4．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+4，当x分别取x1、x2两个不同的值时，函数值相等，则当x取x1+x2时，y的值为（）A．6 B．5 C．4 D．35．如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，水面下降2.5m，水面宽度增加（）A．1 m B．2 m C．3 m D．6 m6．某商场降价销售一批名牌衬衫，已知所获利利y（元）与降价金额x（元）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+60x+800，则获利最多为（）A．15元B．400元C．800元D．1250元7．“如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b8．已知二次函数y＝mx2﹣3mx﹣4m（m≠0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C 且∠ACB＝90°，则m的值为（）A．±2 B．±4 C．±D．±9．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＞0；③c﹣a＝2；④方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根．其中正确的结论是（）A．③④B．②④C．②③D．①④二．填空题 10．若抛物线的顶点坐标为（2，9），且它在x 轴截得的线段长为6，则该抛物线的表达式为． 11．若抛物线y ＝a （x ﹣h ）2+k 经过（﹣1，0）和（5，0）两点，则关于x 的一元二次方程a （x +h ﹣2）2+k ＝0的解为．12．抛物线经过原点O ，还经过A （2，m ），B （4，m ），若△AOB 的面积为4，则抛物线的解析式为． 13．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB 的宽为20m ，如果水位上升3m 达到警戒水位时，水面CD 的宽是10m ．如果水位以0.25m /h 的速度上涨，那么达到警戒水位后，再过 h 水位达到桥拱最高点O ．14．如图，抛物线解析式为y ＝x 2，点A 1的坐标为（1，1），连接OA 1；过A 1作A 1B 1⊥OA 1，分别交y 轴、抛物线于点P 1、B 1；过B 1作B 1A 2⊥A 1B 1分别交y 轴、抛物线于点P 2、A 2；过A 2作A 2B 2⊥B 1A 2，分别交y 轴、抛物线于点P 3、B 2…；则点P n 的坐标是．三．解答题16．已知抛物线G ：y ＝mx 2﹣2mx ﹣3有最低点P ．（1）求二次函数y ＝mx 2﹣2mx ﹣3的最小值（用含m 的式子表示）；（2）若点P 关于坐标系原点O 的对称点仍然在抛物线上，求此时m 的值；（3）将抛物线G 向右平移m 个单位得到抛物线G 1．经过探究发现，随着m 的变化，抛物线G 1顶点的纵坐标y 与横坐标x 之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．17．“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降2元，则每月可多销售10条，设每条裤子的售价为x 元（x 为正整数），每月的销售量为y 条．（1）直接写出y 与x 的函数关系式；（2）设该网店每月获得的利润为w 元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？（3）该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生，为了保证捐款后每月利润不低于4175元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？18．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝mx 2﹣4mx +n （m ＞0）与x 轴交于A ，B 两点，点B 在点A 的右侧，顶点为C ，抛物线与y 轴交于点D ，直线CA 交y 轴于E ，且S △ABC ：S △BCE ＝3：4．（1）求点A ，点B 的坐标；（2）将△BCO 绕点C 逆时针旋转一定角度后，点B 与点A 重合，点O 恰好落在y 轴上，①求直线CE 的解析式；②求抛物线的解析式．19．如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象与坐标轴分别交于A、B、C三点，其中A（﹣3，0），点B在x轴正半轴上，连接AC、BC．点D从点A出发，沿AC向点C移动；同时点E从点O出发，沿x轴向点B移动，它们移动的速度都是每秒1个单位长度，当其中一点到达终点时，另一点随之停止移动，连接DE，设移动时间为ts．（1）若t＝3时，△ADE与△ABC相似，求这个二次函数的表达式；（2）若△ADE可以为直角三角形，求a的取值范围．20．某班“数学兴趣小组”对函数y＝﹣x2+3|x|+4的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：x…﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …y…﹣6 0 4 6 6 4 6 6 4 0 m…其中，m＝．（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．（4）直线y＝kx+b经过（，），若关于x的方程﹣x2+3|x|+4＝kx+b有4个不相等的实数根，则b的取值范围为．参考答案一．选择题1．解：由一次函数解析式为：y＝kx+2可知，图象应该与y轴交在正半轴上，故A、B、C错误；D符合题意；故选：D．2．解：∵抛物线y＝x2的图象向左平移3个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（﹣3，0），∴所得抛物线的解析式为y＝（x+3）2．故选：D．3．解：A、顶点坐标是（2，1），说法正确；B、对称轴是直线x＝2，故原题说法错误；C、开口向上，故原题说法错误；D、与x轴没有交点，故原题说法错误；故选：A．4．解：∵y＝ax2﹣4ax+4＝a（x﹣2）2﹣4a+4，当x分别取x1、x2两个不同的值时，函数值相等，∴x1+x2＝4，∴当x取x1+x2时，y＝a（4﹣2）2﹣4a+4＝4，故选：C．5．解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标（﹣2，0）代入得a＝﹣0.5，∴抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2.5与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出：﹣2.5＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±3，2×3﹣4＝2，所以水面下降2.5m，水面宽度增加2米．故选：B．6．解：对于抛物线y＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250，∵a＝﹣2＜0，∴x＝15时，y有最大值，最大值为1250，故选：D．7．解：∵m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两根，∴二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）+1的图象与x轴交于点（m，0）、（n，0），∴将y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）+1的图象往下平移一个单位可得二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）的图象，二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）的图象与x轴交于点（a，0）、（b，0）．画出两函数图象，观察函数图象可知：m＜a＜b＜n．故选：A．8．解：设y＝0，则＝mx2﹣3mx﹣4m＝0，解得：m＝4或m＝﹣1，∵点A在点B的左侧，∴OA＝1，OB＝4，设x＝0，则y＝﹣4m，∴OC＝|﹣4m|，∵∠ACO+∠OCB＝90°，∠CAO+∠ACO＝90°，∴∠CAO＝∠BCO，又∵∠AOC＝∠BOC＝90°，∴△AOC∽△COB，∴，∴OC2＝OA•OB，即16m2＝4，解得：m＝±，故选：C．9．解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，所以①错误；∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D（﹣1，2），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，而抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点A在点（0，0）和（1，0）之间，∴x＝1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以②错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，∵x＝﹣1时，y＝2，即a﹣b+c＝2，∴a﹣2a+c＝2，即c﹣a＝2，所以③正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点D（﹣1，2），即x＝﹣1时，y有最大值2，∴抛物线与直线y＝2只有一个公共点，∴方程ax2+bx+c﹣2＝0有两个相等的实数根，所以④正确．故选：A．二．填空题（共5小题）10．解：∵抛物线的顶点坐标为（2，9），∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∵抛物线在x轴截得的线段长为6，∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（5，0），设此抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）2+9，代入（5，0）得，9a+9＝0，解得a＝﹣1，∴抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣2）2+9，故答案为y＝﹣（x﹣2）2+9．11．解：将抛物线y＝a（x﹣h）2+k关于y轴对称得新抛物线为y′＝a（x+h）2+k，∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k经过（﹣1，0）和（5，0）两点，∴抛物线为y′＝a（x+h）2+k与x轴的交点为（﹣5，0）和（1，0），将新抛物线y′＝a（x+h）2+k向右平移2个单位得抛物线y″＝a（x+h﹣2）2+k，其与x轴的两个交点为（﹣3，0）和（3，0），∴方程a（x+h﹣2）2+k＝0的解为x1＝3，x2＝﹣3，故答案为x1＝3，x2＝﹣3．12．解：∵抛物线经过A（2，m），B（4，m），∴对称轴是：x＝3，AB＝2，∵△AOB的面积为4，∴AB•|m|＝4，m＝±4，当m＝4时，则A（2，4），B（4，4），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣3）2+h，把（0，0）和（2，4）代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣3）2+，即y＝﹣x2+3x；当m＝﹣4时，则A（2，﹣4），B（4，﹣4），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣3）2+h，把（0，0）和（2，﹣4）代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝（x﹣3）2﹣＝x2﹣3x；综上所述，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+3x或y＝x2﹣3x，故答案为y＝﹣x2+3x或y＝x2﹣3x．13．解：设抛物线解析式为y＝ax2，因为抛物线关于y轴对称，AB＝20，所以点B的横坐标为10，设点B（10，n），点D（5，n+3），由题意：，解得，∴y＝﹣x2，当x＝5时，y＝﹣1，故t＝＝4（h），答：再过4小时水位达到桥拱最高点O．故答案为：4．14．解：∵点A1的坐标为（1，1），∴直线OA1的解析式为y＝x，∵A1B1⊥OA1，∴OP1＝2，∴P1（0，2），设A1P1的解析式为y＝kx+b1，∴，解得，∴直线A1P1的解析式为y＝﹣x+2，解求得B1（﹣2，4），∵A2B1∥OA1，设B1P2的解析式为y＝x+b2，∴﹣2+b2＝4，∴b2＝6，∴P2（0，6），解求得A2（3，9）设A1B2的解析式为y＝﹣x+b3，∴﹣3+b3＝9，∴b3＝12，∴P3（0，12），…∴P n（0，n2+n），故答案为（0，n2+n）．三．解答题（共6小题）15．证明：（1）∵点E为CD中点，∴CE＝DE．∵EF＝BE，∴四边形DBCF是平行四边形．（2）∵四边形DBCF是平行四边形，∴CF∥AB，DF∥BC．∴∠FCG＝∠A＝30°，∠CGF＝∠CGD＝∠ACB＝90°．在Rt△FCG中，CF＝6，∴，．∵DF＝BC＝4，∴DG＝1．在Rt△DCG中，CD＝＝216．解：（1）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，抛物线有最低点，∴二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值为﹣m﹣3；（2）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，∴抛物线的顶点P为（1，﹣m﹣3），∴点P关于坐标系原点O的对称点（﹣1，m+3），∵对称点仍然在抛物线上，∴m+3＝m+2m﹣3，解得m＝3；（3）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3∴平移后的抛物线G1：y＝m（x﹣1﹣m）2﹣m﹣3∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，﹣m﹣3）∴x＝m+1，y＝﹣m﹣3∴x+y＝m+1﹣m﹣3＝﹣2即x+y＝﹣2，变形得y＝﹣x﹣2∵m＞0，m＝x﹣1∴x﹣1＞0∴x＞1∴y与x的函数关系式为y＝﹣x﹣2（x＞1）．17．解：（1）由题意可得：y＝100+×10＝100+5（80﹣x）＝﹣5x+500，∴y与x的函数关系式为：y＝﹣5x+500；（2）由题意得：w＝（x﹣40）（﹣5x+500）＝﹣5x2+700x﹣20000＝﹣5（x﹣70）2+4500，∵a＝﹣5＜0，∴当x＝70时，w有最大利润，最大利润是4500元；∴应降价80﹣70＝10（元）．∴当销售单价降低10元时，每月获得的利润最大，最大利润是4500元；（3）由题意得：﹣5（x﹣70）2+4500＝4175+200，解得：x1＝65，x2＝75，∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝70，∴当65≤x≤75时，符合该网店要求，而为了让顾客得到最大实惠，故x＝65．∴当销售单价定为65元时，既符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠．18．解：（1）如图，过点C作CF⊥AB于F，∵抛物线y＝mx2﹣4mx+n（m＞0），∴对称轴为直线x＝2，∴AF＝BF，点F（2，0），即OF＝2，∵S△ABC ：S△BCE＝3：4，∴S△ABC ＝3S△ABE，∴3××AB×OE＝AB×CF，∴CF＝3OE，∵CF⊥AB，OE⊥AB，∴CF∥OE，∴，∴AF＝3OA，∵OF＝OA+AF＝2，∴OA＝，AF＝，∴点A坐标为（，0），∵AB＝2AF＝3，∴OB＝，∴点B坐标为（，0）；（2）①∵抛物线y＝mx2﹣4mx+n（m＞0）过点A（，0），∴0＝m﹣2m+n，∴n＝m，∴y＝mx2﹣4mx+n＝m（x﹣2）2﹣m，∴点C（2，﹣m），如图2，过点C作CF⊥OB于F，CH⊥y轴于H，又∵∠FOH＝90°，∴四边形OFCH是矩形，∴CF＝OH＝m，∵将△BCO绕点C逆时针旋转一定角度后，点B与点A重合，点O恰好落在y轴上，∴OC＝O'C，OB＝O'A＝，又∵CH⊥OO'，∴OO'＝2OH＝m，∵OA2+O'O2＝O'A2，∴+m2＝，∴m＝，∴点C坐标为（2，﹣），设直线CE的解析式为y＝kx+b，∴，解得：∴直线CE的解析式为y＝﹣x+；②∵m＝，∴y＝x2﹣x+．19．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+4的图象与y轴交于点C，∴C（0，4），∴OC＝4，∵A（﹣3，0），∴OA＝3，∴AC＝＝＝5，∵t＝3，∴AD＝OE＝3，AE＝6，当△ADE∽△ACB时，∴，即，∴AB＝10，∴B（7，0），∵二次函数y＝ax2+bx+4的图象过点A（﹣3，0），点B（7，0），∴解得：∴抛物线解析式为：，当△ADE∽△ABC时，，即，∴（舍去），综上，二次函数的表达式为：；（2）若△ADE可以为直角三角形，显然∠ADE＝90°，∴△ADE∽△AOC，∴，∴，解得：．设B（x，0），则，设抛物线对称轴为直线，∵A（﹣3，0），∴①．把x＝﹣3，y＝0代入y＝ax2+bx+4，得②，把②代入①，∵a＜0，解得：．20．解：（1）把x＝5代入函数y＝﹣x2+3|x|+4中，得y＝﹣25+15+4＝﹣6，∴m＝﹣6，故答案为：﹣6；（2）连线得，（3）由函数图象可知①该函数的图象关于y轴对称：②该函数的图象有最高点：（答案不唯一）（4）∵直线y＝kx+b经过（，），∴，∴k＝∵关于x的方程﹣x2+3|x|+4＝kx+b有4个不相等的实数根，∴x2﹣3x﹣4+kx+b＝0和方程x2+3x﹣4+kx+b＝0各有两个不相等的实数根，即方程x2﹣（3﹣）x﹣4+b＝和0x2+（3+）x﹣4+b＝0各有两个不相等的实数根，∴，解得b≠，且b＞或b＜，∴b的取值范围为b＞或b＜．故答案为：b＞或b＜．。

人教版九年级上数学第22章二次函数培优训练(含答案)

人教版九年级数学第22章二次函数培优训练一、选择题（本大题共10道小题）1. 下列函数解析式中，一定是二次函数的是( )A．y＝3x－1 B．y＝ax2＋bx＋cC．s＝2t2－2t＋1 D．y＝x2＋1 x2. 已知二次函数y＝ax2＋2ax＋c的图象与x轴的一个交点的坐标为(1，0)，则它与x轴的另一个交点的坐标是()A．(1，0) B．(－1，0) C．(－3，0) D．(3，0)3. 从地面竖直向上抛出一个小球，小球的上升高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的关系式为h＝24t－4t2，那么小球从抛出至回落到地面所需的时间是()A．6 s B．4 s C．3 s D．2 s4.将函数y＝x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A(1，4)的是( )A．向左平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度C．向上平移3个单位长度D．向下平移1个单位长度5. 若二次函数y＝x2－6x＋c的图象过A(－1，y1)，B(2，y2)，C(3＋2，y3)三点，则y1，y2，y3的大小关系是()A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y3＞y1＞y26.已知二次函数y＝a(x－1)2＋c的图象如图，则一次函数y＝ax＋c的图象大致是()7. (2019•随州)如图所示，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，，对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④是关于的一元二次方程的一个根．其中正确的有A．1个B．2个C．3个D．4个8.矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为(2，1)，一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数解析式为y＝x2，再次平移这张透明纸，使这个点与点C重合，则此时抛物线的函数解析式变为( )A．y＝x2＋8x＋14 B．y＝x2－8x＋14C．y＝x2＋4x＋3 D．y＝x2－4x＋39.如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC.有下列结论：①abc<0；②b2－4ac4a>0；③ac－b＋1＝0；④OA·OB＝－ca.其中正确的结论有()A．4个B．3个C．2个D．1个10. 如图，将函数y＝1 2(x－2)2＋1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A(1，m)，B(4，n)平移后的对应点分别为点A′，B′.若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分)，则新图象的函数解析式是( )A．y＝12(x－2)2－2 B．y＝12(x－2)2＋7C．y＝12(x－2)2－5 D．y＝12(x－2)2＋4二、填空题（本大题共6道小题）11.若物体运动的路程s(m)与时间t(s)之间的关系式为s＝5t2＋2t，则当物体运动时间为4 s时，该物体所经过的路程为________．12.已知二次函数y＝3x2＋c与正比例函数y＝4x的图象只有一个交点，则c的值为___ _____．13.竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数．小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球．假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度．第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t＝________．14.如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与y轴交于点C，点D(0，1)，点P在抛物线上，且△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为________．15. (2019•天水)二次函数的图象如图所示，若，．则、的大小关系为__________．(填“”、“”或“”)16.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)与x轴交于A，B两点，顶点为P(m，n)．给出下列结论：①2a＋c＜0；②若(－32，y1)，(－12，y2)，(12，y3)在抛物线上，则y1＞y2＞y3；③若关于x的方程ax2＋bx＋k＝0有实数解，则k＞c－n；④当n＝－1 a时，△ABP为等腰直角三角形．其中正确的结论是________．(填序号)三、解答题（本大题共4道小题）17. 已知抛物线y＝ax2经过点A(－2，－8)．(1)求此抛物线的解析式；(2)判断点B(－1，－4)是否在此抛物线上；(3)求出抛物线上纵坐标为－6的点的坐标．18. （2020台州）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．科学原理：如图2，始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为H（单位：cm），如果在离水面竖直距离为h（单位：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系为s2＝4h（H﹣h）．应用思考：现用高度为20cm的圆柱体望料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距高hcm处开一个小孔．（1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式；（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求整高的高度及小孔离水面的竖直距离．19. 如图，用一块长为50 cm，宽为30 cm的长方形铁片制作一个无盖的盒子，若在铁片的四个角各截去一个相同的小正方形，设小正方形的边长为x cm.(1)盒子底面的长AB＝________ cm，宽BC＝________ cm.(用含x的代数式表示)(2)若做成的盒子的底面积为300 cm2，求该盒子的容积．(3)该盒子的侧面积S(cm2)是否存在最大值？若存在，求出此时x的值及S的最大值；若不存在，说明理由.20. (2019·山西)综合与探究如图，抛物线经过点A(–2，0)，B(4，0)两点，与轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为.连接AC，BC，DB，D C.(1)求抛物线的函数表达式；(2)△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求的值；(3)在(2)的条件下，若点M是轴上的一个动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.人教版九年级数学第22章二次函数培优训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C2. 【答案】C[解析] 抛物线的对称轴为直线x＝－2a2a＝－1.因为抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，所以它与x轴的另一个交点的坐标是(－3，0)．3. 【答案】A4. 【答案】 D [解析] A．将函数y＝x2的图象向左平移1个单位长度得到函数y＝(x＋1)2的图象，它经过点(1，4)；B.将函数y＝x2的图象向右平移3个单位长度得到函数y＝(x－3)2的图象，它经过点(1，4)；C.将函数y＝x2的图象向上平移3个单位长度得到函数y ＝x2＋3的图象，它经过点(1，4)；D.将函数y＝x2的图象向下平移1个单位长度得到函数y＝x2－1的图象，它不经过点(1，4)．故选D.5. 【答案】B[解析] 解法一：y＝x2－6x＋c＝(x－3)2－9＋c，其大致图象如图，对称轴为直线x＝3，由图可得y1>y3>y2.解法二：把A，B，C三点的坐标分别代入解析式并化简，得y1＝7＋c，y2＝－8＋c，y3＝－7＋c，所以y1>y3>y2.故选B.6. 【答案】 B [解析] 根据二次函数的图象开口向上，得a＞0，根据c是二次函数图象顶点的纵坐标，得出c＜0，故一次函数y＝ax＋c的图象经过第一、三、四象限．故选B.7. 【答案】B【解析】∵抛物线开口向下，∴，∵抛物线的对称轴为直线，∴，∵抛物线与轴的交点在轴上方，∴，∴，所以①正确；∵，∴，∵，∴，所以②错误；∵，，∴，把代入得，∴，所以③错误；∵，对称轴为直线，∴，∴是关于x的一元二次方程的一个根，所以④正确，综上正确的有2个，故选B ．8.【答案】A [解析]因为矩形ABCD 的两条对称轴为坐标轴，所以矩形ABCD 关于坐标原点成中心对称．因为A ，C 是矩形对角线上的两个点，所以点A ，C 关于原点对称，所以点C 的坐标为(－2，－1)，所以抛物线向左平移了4个单位长度，向下平移了2个单位长度，所以平移后抛物线的函数解析式为y ＝(x ＋4)2－2＝x2＋8x ＋14.故选A.9. 【答案】B [解析] ∵抛物线开口向下，∴a ＜0.∵抛物线的对称轴在y 轴的右侧，∴b ＞0. ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0， ∴abc ＜0，故①正确．∵抛物线与x 轴有两个交点，∴Δ＝b 2－4ac ＞0，而a ＜0，∴b2－4ac4a ＜0，故②错误．∵C(0，c)，OA ＝OC ，∴A(－c ，0)．把(－c ，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得ac 2－bc ＋c ＝0， ∴ac －b ＋1＝0，故③正确．设A(x 1，0)，B(x 2，0)，∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A ，B 两点， ∴x 1和x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根， ∴x 1·x 2＝ca .又∵x 1<0，∴OA·OB ＝－c a，故④正确．故选B.10. 【答案】 D [解析] 如图，连接AB ，A′B′，则S 阴影＝S 四边形ABB′A′.由平移可知，AA′＝BB′，AA′∥BB′，所以四边形ABB′A′是平行四边形．分别延长A′A ，B′B 交x 轴于点M ，N ，因为A(1，m)，B(4，n)，所以MN ＝4－1＝3.因为S 阴影＝AA′·MN ，所以9＝3AA′，解得AA′＝3，即原抛物线沿y 轴向上平移了3个单位长度，所以新图象的函数解析式为y ＝12(x －2)2＋4.二、填空题（本大题共6道小题）11. 【答案】88 m [解析] 把t ＝4代入函数解析式，得s ＝5×16＋2×4＝88.故填88 m.12. 【答案】43【解析】本题考查了已知二次函数的图象与一次函数的图象的交点个数，求字母未知数的值．把y ＝3x 2＋c 与y ＝4x 联立方程组并消去y 得3x 2＋c ＝4x ，化简得3x 2－4x ＋c ＝0，由于它们的图象只有一个交点，故此方程有两个相等的实数根，所以b 2－4ac ＝(－4)2－4×3c ＝0，解得c ＝43.13. 【答案】1.6 秒【解析】本题主要考查了二次函数的对称性问题．由题意可知，各自抛出后1.1秒时到达相同最大离地高度，即到达二次函数图象的顶点处，故此二次函数图象的对称轴为t ＝1.1；由于两次抛小球的时间间隔为1秒，所以当第一个小球和第二个小球到达相同高度时，则这两个小球必分居对称轴左右两侧，由于高度相同，则在该时间节点上，两小球对应时间到对称轴距离相同.故该距离为0.5秒，所以此时第一个小球抛出后t ＝1.1＋0.5＝1.6秒时与第二个小球的离地高度相同．14. 【答案】(1＋2，2)或(1－2，2)【解析】抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与y 轴交于点C ，则点C 坐标是(0，3)，∵点D(0，1)，点P 在抛物线上，且△PCD 是以CD 为底的等腰三角形，∴易得点P的纵坐标是2，当y ＝2时，∴－x 2＋2x ＋3＝2，则x 2－2x －1＝0，解得方程的两根是x ＝2±222＝1±2，∴点P 的坐标是(1＋2，2)或(1－2，2)．15. 【答案】<【解析】当时，，当时，，，即，故答案为：．16. 【答案】②④ [解析] (1)当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＞0.由x ＝－b 2a ＜12和a ＞0可得－b ＜a.∴0＜a －b ＋c ＜a ＋a ＋c ＝2a ＋c ，即2a ＋c ＞0，①错误；(2)结合图象易知②正确；(3)方程ax 2＋bx ＋k ＝0有实数解，即ax 2＋bx ＋c ＝c －k 有实数解．∵y ＝ax 2＋bx ＋c≥n ，∴c －k≥n ，即k≤c －n ，③错误；(4)设抛物线的解析式为y＝－1n(x－m)2＋n(n＜0)．令y＝0，得－1n(x－m)2＋n＝0.∴n2－(x－m)2＝0，∴(n－x＋m)(n＋x－m)＝0.∴x1＝m＋n，x2＝m－n.AB＝|x1－x2|＝－2n.设对称轴交x轴于点H，则AH＝BH＝PH＝－n ，∴△ABP为等腰直角三角形，④正确．三、解答题（本大题共4道小题）17. 【答案】解：(1)∵抛物线y＝ax2经过点A(－2，－8)，∴4a＝－8，解得a＝－2，∴此抛物线的解析式为y＝－2x2.(2)当x＝－1时，y＝－2，∴点B(－1，－4)不在此抛物线上．(3)把y＝－6代入y＝－2x2，得－2x2＝－6，解得x＝±3，∴抛物线上纵坐标为－6的点的坐标为(3，－6)，(－3，－6)．18. 【答案】解：（1）∵s2＝4h（H﹣h），∴当H＝20时，s2＝4h（20﹣h）＝﹣4（h﹣10）2+400，∴当h＝10时，s2有最大值400，∴当h＝10时，s有最大值20cm．∴当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是20cm；（2）∵s2＝4h（20﹣h），设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则有：4a（20﹣a）＝4b（20﹣b），∴20a﹣a2＝20b﹣b2，∴a2﹣b2＝20a﹣20b，∴（a+b）（a﹣b）＝20（a﹣b），∴（a﹣b）（a+b﹣20）＝0，∴a﹣b＝0，或a+b﹣20＝0，∴a＝b或a+b＝20；（3）设垫高的高度为m，则s2＝4h（20+m﹣h）＝﹣4（20+m）2，∴当h时，smax＝20+m＝20+16，∴m＝16，此时h18．∴垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm．19. 【答案】解：(1)(50－2x) (30－2x)(2)依题意，得(50－2x)(30－2x)＝300，整理，得x2－40x＋300＝0，解得x1＝10，x2＝30(不符合题意，舍去)．当x＝10时，盒子的容积＝300×10＝3000(cm3)．(3)存在．盒子的侧面积S＝2x(50－2x)＋2x(30－2x)＝100x－4x2＋60x－4x2＝－8x2＋160x＝－8(x2－20x)＝－8[(x－10)2－100]＝－8(x－10)2＋800，∴当x＝10时，S有最大值，最大值为800.20. 【答案】(1)抛物线经过点A(–2，0)，B(4，0)，∴，解得，∴抛物线的函数表达式为；(2)作直线DE⊥轴于点E，交BC于点G，作CF⊥DE，垂足为F，∵点A的坐标为(–2，0)，∴OA=2，由，得，∴点C的坐标为(0，6)，∴OC=6，∴S△OAC=，∵S△BCD=S△AOC，∴S△BCD=，设直线BC的函数表达式为，由B，C两点的坐标得，解得，∴直线BC的函数表达式为，∴点G的坐标为，∴，∵点B的坐标为(4，0)，∴OB=4，∵S△BCD=S△CDG+S△BDG=，∴S△BCD=，∴，解得(舍)，，∴的值为3；(3)存在，如下图所示，以BD为边或者以BD为对角线进行平行四边形的构图，以BD为边时，有3种情况，∵D点坐标为，∴点N点纵坐标为±，当点N的纵坐标为时，如点N2，此时，解得：(舍)，∴，∴；当点N的纵坐标为时，如点N3，N4，此时，解得：∴，，∴，；以BD为对角线时，有1种情况，此时N1点与N2点重合，∵，D(3，)，∴N1D=4，∴BM1=N1D=4，∴OM1=OB+BM1=8，∴M1(8，0)，综上，点M的坐标为：.【名师点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.。

人教版九(上)数学第二十二章二次函数培优测试卷(附答案)

人教版九（上）数学第二十二章二次函数培优测试卷（附答案）一．选择题1．下列函数中，一定是二次函数的是（）A．y＝﹣x2+1 B．y＝ax2+bx+c C．y＝2x+3 D．y＝2．抛物线y＝4（x+3）2+12的顶点坐标是（）A．（4，12）B．（3，12）C．（﹣3，12）D．（﹣3，﹣12）3．关于抛物线y1＝（2+x）2与y2＝（2﹣x）2的说法，不正确的是（）A．y1与y2的顶点关于y轴对称B．y1与y2的图象关于y轴对称C．y1向右平移4个单位可得到y2的图象D．y1绕原点旋转180°可得到y2的图象4．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点是（﹣4，0），（6，0），则抛物线的对称轴是（）A．1 B．直线x＝1 C．2 D．直线x＝25．二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．6．二次函数y＝x2+bx+c的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到函数解析y ＝x2﹣2x+1，则b与c分别等于（）A．2，﹣2 B．﹣8，14 C．﹣6，6 D．﹣8，187．把一个小球以20米/秒的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（米）与时间t（秒），满足关系h＝20t﹣5t2，当小球达到最高点时，小球的运动时间为（）第 1 页共57 页A．1秒B．2秒C．4秒D．20秒8．若函数y＝（a﹣3）x2﹣2ax+a﹣与x轴有交点，且关于x的不等式组无解，则符合条件的整数a的和为（）A．7 B．10 C．12 D．159．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x ＝2，下列结论：①abc＞0；②4a+b＝0；③9a+c＞3b；④5a+2c＞0，其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．知：如图抛物线y＝ax2+bx+与y轴交于点A，与x轴交于点B、点C．连接AB，以AB为边向右作平行四边形ABDE，点E落在抛物线上，点D落在x轴上，若抛物线的对称轴恰好经过点D，且∠ABD＝60°，则这条抛物线的解析式为（）A．y＝﹣x2xB．y＝﹣x2xC．y ＝﹣x2xD．y＝﹣x2﹣x第 2 页共57 页E．故函数的表达式为：y＝﹣x2x二．填空题（共6小题）11．抛物线y＝x2﹣2x，当y随x的增大而减小时x的取值范围为．12．某种火箭背向上发射时，它的高度h（m）与时间t（s）的关系可以用公式h＝﹣5t2+160t+10表示．经过s，火箭到达它的最高点．13．已知点P（x，y）在抛物线y＝（x﹣1）2+2的图象上，若﹣1＜x＜2，则y的取值范围是．14．若二次函数y＝x2﹣2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0的解一个为x1＝3，则方程x2﹣2x+k＝0另一个解x2＝．15．开口向下的抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）与x轴交于A、B两点，当抛物线与x轴围成的封闭区域（不包含边界）内，仅有4个整数点（整数点就是横、纵坐标均为整数的点）时，a的取值范围是．16．将二次函数y＝2x2向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式是．三．解答题17．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝mx2﹣（2m+1）x+m﹣4的图象与x轴有两个公共点，m取满足条件的最小的整数（1）求此二次函数的解析式（2）当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是﹣5≤y≤1﹣n，求n的值第 3 页共57 页18．若抛物线上y＝ax2+bx+c，它与y轴交于C（0，4），与x轴交于A（﹣1，0）、B（k，0），1P是抛物线上B、C之间的一点．（1）当k＝4时，求抛物线的方程，并求出当△BPC面积最大时的P的横坐标；（2）当a＝1时，求抛物线的方程及B的坐标，并求当△BPC面积最大时P的横坐标；（3）根据（1）、（2）推断P的横坐标与B的横坐标有何关系？19．已知二次函数y＝x2﹣2ax+4a+2．（1）若该函数与x轴的一个交点为（﹣1，0），求a的值及该函数与x轴的另一交点坐标；（2）不论a取何实数，该函数总经过一个定点，①求出这个定点坐标；②证明这个定点就是所有抛物线顶点中纵坐标最大的点．第 4 页共57 页20．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为8米，宽度OM为16米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A．D点在抛物线上．B、C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．21．血橙以果肉酷似鲜血的颜色而得名，果实一般在1月下旬成熟，由于果农在生产实践中积累了丰富的经验，采取了留树保鲜技术措施，将鲜果供应期拉长到了5月初．重庆市万州区孙家村晚熟柑橘以血橙为主，主要销售市场是成都、重庆市区、万州城区，据以往经验，孙家村上半年1﹣5月血橙的售价y（元/千克）与月份x之间满足一次函数关系y＝x+2.5（1≤x≤5，且x是整数）．其销售量P（千克）与月份x之间的函数关系如图．第 5 页共57 页（1）请你求出月销售量P（千克）与月份x之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）；（2）血橙在上半年1﹣5月的哪个月出售，可使销售金额W（元）最大？最大金额是多少（3）由于气候适宜以及留树保鲜技术的提高，预计该产区今年5月将收获60000千克的血橙，由于人力、物力等各方面成本的增加，孙家村决定，将5月的销售价格提高a%，当以提高后的价格销售50000千克血橙后，由于保存技术的限制，剩下的血橙制成一种新型研发出的果肉饼进行销售，每千克的血橙可生产0.8千克果肉饼，果肉饼的售价格在血橙提高后的价格的基础上将再提高a%，最后该产区将这批果肉饼全部售完后，血橙和果肉饼的销售总金额达到了480000元．求a的值．22．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0），分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点D．（1）求点D的坐标．（2）如图1，若该抛物线经过原点O，且a＝﹣．①求该抛物线的解析式；第 6 页共57 页②连结CD．问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，若该抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．23．如图1．已知直线l：y＝﹣1和抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0），抛物线L的顶点为原点，且经过点A（2，）直线y＝kx+1与y轴交于点F，与抛线L交于点B（x1，y1），C（x2，y2），且x1＜x2．（1）求抛物线L的解析式；（2）求证：无论k为何值，直线l总是与以BC为直径的圆相切；（3）①如图2，点P是抛物线L上的一个动点，过点P作PM⊥l于点M，试判断PM与PF 之间的数量关系，并说明理由；②将抛物线L和点F都向右平移2个单位后，得到抛物线L1和点F1，Q是抛物线L1上的一动点，且点Q在L1的对称轴的右侧，过点Q作QN⊥l于点N，连接QA．求|QA﹣QN|的最大值，并直接写出此时点Q的坐标．第7 页共57 页第 8 页共 57 页参考答案一．选择题1．解：A 、是二次函数，故本选项符合题意；B 、当a ＝0时，函数不是二次函数，故本选项不符合题意；C 、不是二次函数，故本选项不符合题意；D 、不是二次函数，故本选项不符合题意；故选：A ．2．解：∵抛物线y ＝4（x +3）2+12，∴该抛物线的顶点坐标为（﹣3，12），故选：C ．3．解：∵抛物线y 1＝（2+x ）2＝（x +2）2，∴抛物线y 1的开口向上，顶点为（﹣2，0），对称轴为直线x ＝﹣2；抛物线y 2＝（2﹣x ）2＝（x ﹣2）2，∴抛物线y 2的开口向上，顶点为（2，0），对称轴为直线x ＝2；∴y 1与y 2的顶点关于y 轴对称，∴它们的对称轴相同，y 1与y 2的图象关于y 轴对称，y 1向右平移4个单位可得到y 2的图象，∵y 1绕原点旋转180°得到的抛物线为y ＝﹣（x +2）2，与y 2开口方向不同， ∴关于抛物线y 1＝（2+x ）2与y 2＝（2﹣x ）2的说法，不正确的是D ，故选：D ．4．解：∵抛物线与x 轴的交点为（﹣4，0），（6，0），∴两交点关于抛物线的对称轴对称，则此抛物线的对称轴是直线x＝＝1，即x ＝1．故选：B ．5．解：∵一次函数和二次函数都经过y 轴上的（0，c ），∴两个函数图象交于y 轴上的同一点，排除B 、C ；当a ＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除D ；当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，A正确；故选：A．6．解：∵得到函数解析y＝x2﹣2x+1∴y＝（x﹣1）2∴将新二次函数y＝（x﹣1）2向下平移3个单位，再向右平移2个单位，得到的解析式为y＝（x﹣1﹣2）2﹣3，即y＝x2﹣6x+6又∵y＝x2+bx+c∴b＝﹣6，c＝6故选：C．7．解：∵h＝20t﹣5t2＝﹣5t2+20t中，又∵﹣5＜0，∴抛物线开口向下，有最高点，此时，t＝﹣＝2．故选：B．8．解：当a﹣3≠0且△＝4a2﹣4×（a﹣3）（a﹣）≥0，解得a＞且a≠3，当a﹣3＝0，函数为一次函数，它与x轴有一个交点，所以a＞，解两个不等式得，因为不等式组无解，所以a≤5，所以a的范围为＜a≤5，所以满足条件的a的值为0，1，2，3，4，5所以所有满足条件的整数a之和为0+1+2+3+4+5＝15．故选：D．9．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，第9 页共57 页∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，∴b＝﹣4a＞0，∵抛物线与x轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵b＝﹣4a，∴4a+b＝0，所以②正确；∵x＝﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，∴9a+c＜3b，所以③错误；把（﹣1，0）代入解析式得a﹣b+c＝0，而b＝﹣4a，∴c＝﹣5a，∴5a+2c＝5a﹣10a＝﹣5a＞0，所以④正确．故选：B．10．解：如下图所示，OA＝，∠ABD＝60°，则OB ＝＝1，过点B（﹣1，0），∵四边形ABDE平行四边形，则∠AED＝∠ABD＝60°，OH＝OA＝，同理可得：HE＝1＝AH，过点E（2，），第10 页共57 页将点B、E的坐标代入函数表达式得：，解得：，故函数的表达式为：y＝﹣x2x故选：B．二．填空题11．解：∵抛物线y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴当y随x的增大而减小时x的取值范围为x＜1，故答案为：x＜1．12．解：函数的对称轴为：t＝﹣＝﹣＝16，即经过16s，火箭到达它的最高点，故答案为16．13．解：∵抛物线y＝（x﹣1）2+2，∴该函数开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，∵点P（x，y）在抛物线y＝（x﹣1）2+2的图象上，﹣1＜x＜2，1﹣（﹣1）＝2，2﹣1＝1，∴当x＝1时，y取得最小值，此时y＝2，当x＝﹣1时，y取得最大值，此时y＝（﹣1﹣1）2+2＝6，∴﹣1＜x＜2，则y的取值范围是2≤y≤6，故答案为：2≤y≤6．14．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0的解一个为x1＝3，∴二次函数y＝x2﹣2x+k与x轴的一个交点坐标为（3，0），∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴二次函数y＝x2﹣2x+k与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），∴方程x2﹣2x+k＝0另一个解x2＝﹣1．故答案为﹣1．15．解：∵y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x﹣1）2﹣4a，∴顶点P的坐标为（1，﹣4a）．第11 页共57 页当x＝0时，y＝a（x+1）（x﹣3）＝﹣3a，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3a）．则，解得：﹣≤a＜﹣，故答案为：﹣≤a＜﹣．16．解：将抛物线y＝2x2向上平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y＝2x2+1．故答案为：y＝2x2+1．三．解答题17．解：（1）∵二次函数y＝mx2﹣（2m+1）x+m﹣4的图象与x轴有两个公共点，∴关于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣4＝0有两个不相等的实数根，∴解得：m＞﹣且m≠0．∵m＞且m≠0，m取其内的最小整数，∴m＝1，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣3x﹣3；（2）∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝，∵1＞0，∴当x≤时，y随x的增大而减小．第12 页共57 页第 13 页共 57 页又∵n ≤x ≤1时，函数值y 的取值范围是﹣5≤y ≤1﹣n ， ∴n 2﹣3n ﹣3＝1﹣n ，1﹣3﹣3＝﹣5，解得：n ＝1﹣．18．解：（1）k ＝4时，由交点式得y ＝a （x +1）（x ﹣4），（0，4）代入得a ＝﹣1， ∴y ＝﹣3x 2+3x +4，则B （4，0），连OP ，设P （m ，﹣m 2+3m +4），S △BCP ＝S △OPB +S △OPB ﹣S △OBC＝＝﹣2（m ﹣2）2+8m ＝2时，最大值为8，∴P 的横坐标为2时有最大值．（2）a ＝1时，c ＝4，设y ＝x 2+bx +4，A （﹣1，0）代入得b ＝5， ∴y ＝x 2+5x +4．令y ＝0求得B （﹣4，0），则直线BC 方程为y ＝x +4，过P 作PH 平行于y 轴交直线BC 于H ，设P （n ，n 2+5n +4）、H （n ，n +4），＝＝﹣2（n +2）2+8n ＝﹣2面积最大值为8，此时P 的横坐标为﹣2．（3）由（1）知，当面积最大时，P 的横坐标等于B 的横坐标的一半，由（2）知，面积最大时，P的横坐标等于B的横坐标的一半，故：可以推断，当面积最大时，P的横坐标等于B的横坐标的一半．19．解：（1）（﹣1，0）代入得0＝1+2a+4a+2，∴，∴y＝x2+x，∴另一交点为（0，0）．（2）①整理得y＝a（4﹣2x）+x2+2，令x＝2代入y＝6，故定点为（2，6），②∵y＝x2﹣2ax+4a+2＝（x﹣a）2+（﹣a2+4a+2），顶点为（a，﹣a2+4a+2），而﹣a2+4a+2＝﹣（a﹣2）2+6，当a＝2时，纵坐标有最大值6，此时x＝2，y＝6，顶点（2，6），故定点（2，6）是所有顶点中纵坐标最大的点．20．解：（1）抛物线的顶点坐标为（8，8），则其表达式为：y＝a（x﹣8）2+8，将点O（0，0）代入上式得：0＝64a+8，解得：a＝﹣，故函数的表达式为：y＝﹣（x﹣8）2+8，（0≤x≤16）；（2）双向行车道，正中间是一条宽1米的隔离带，则每个车道宽为7.5米，车沿着隔离带边沿行驶时，车最左侧边沿的x＝7.5﹣3.5＝4，当x＝4时，y＝6，即允许的最大高度为6米，5.8＜6，故该车辆能通行；（3）点A、D关于函数对称轴对称，则设AD＝2m，第14 页共57 页第 15 页共 57 页则点A （8﹣m ，y ），则AB ＝y＝﹣（x ﹣8）2+8＝8﹣m 2，设：w ＝AB +AD +DC ＝2m +2AB＝﹣m 2+2m +16，∵﹣＜0，故w 有最大值，当m ＝4时，w 的最大值为20，故AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是20．21．解：（1）设P ＝kx +b ，将（1，70000），（5，50000）代入得：，解得∴P ＝﹣5000x +75000．（2）∵上半年1﹣5月血橙的售价y （元/千克）与月份x 之间满足一次函数关系y＝x +2.5（1≤x ≤5，且x 是整数）∴W ＝Py＝（﹣5000x +75000）（x +2.5）＝﹣2500x 2+25000x +187500 ∴当x＝﹣＝5时，销售金额W （元）最大，最大金额是250000元．（3）设a %＝t ，5月份的销售价格y＝×5+2.5＝5由题意得：5（1+t ）×50000+（60000﹣50000）×0.8×5（1+t ）（1+）＝480000∴25（1+t ）+4（1+t ）（1+t ）＝48 ∴化简得：6t 2+35t ﹣19＝0 ∴（2t ﹣1）（3t +19）＝0 ∴t ＝50%或t＝﹣（舍）故a ＝50．22．解：（1）过点D 作DF ⊥x 轴于点F ，如图1，∵∠DBF+∠ABO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠DBF＝∠BAO，又∵∠AOB＝∠BFD＝90°，AB＝BD，在△AOB和△BFD中，，∴△AOB≌△BFD（AAS）∴DF＝BO＝1，BF＝AO＝2，∴D的坐标是（3，1），（2）①根据题意，得a＝﹣，c＝0，且a×32+b×3+c＝1，解得：b ＝，∴抛物线的解析式为y＝．②∵点A（0，2），B（1，0），点C为线段AB的中点，∴C （，1），∵C、D两点的纵坐标都为1，∴CD∥x轴，∴∠BCD＝∠ABO，∴∠BAO与∠BCD互余，要使得∠POB与∠BCD互余，则必须∠POB＝∠BAO，设P的坐标为（x，），（Ⅰ）当P在x轴的上方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图2，第16 页共57 页则tan∠POB＝tan∠BAO，即，∴，解得：x1＝0（舍去），，∴，∴点P的坐标为（）．（Ⅱ）当P在x轴的下方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图3，则tan∠POB＝tan∠BAO，即，∴，解得：x1＝0（舍去），，∴，∴P点坐标为（），综上所述，在抛物线上是否存在点P（）或，使得∠POB与∠BCD互余．第17 页共57 页（3）如图4，∵D（3，1），E（1，1），抛物线y＝ax2+bx+c过点E、D，代入可得，解得，∴y＝ax2﹣4ax+3a+1．分两种情况：①当抛物线y＝ax2+bx+c开口向下时，若满足∠QOB与∠BCD互余且符合条件的Q点的个数是4个，则点Q在x轴的上、下方各有两个．（i）当点Q在x轴的下方时，直线OQ与抛物线有两个交点，满足条件的Q有2个；（ii）当点Q在x轴的上方时，要使直线OQ与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点必须在x轴的正半轴上，与y轴的交点在y轴的负半轴，∴3a+1＜0，解得a＜﹣；②当抛物线y＝ax2+bx+c开口向上时，点Q在x轴的上、下方各有两个，（i）当点Q在x轴的上方时，直线OQ与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q有两个；（ii）当点Q在x轴的下方时，要使直线OQ与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q有两个．根据（2）可知，要使得∠QOB与∠BCD互余，则必须∠QOB＝∠BAO，∴，第18 页共57 页设Q（2a，﹣a）在直线OQ上，设直线OQ的解析式为y＝kx，∴k＝﹣，则直线OQ的解析式为y＝﹣x，要使直线OQ与抛物线y＝ax2+bx+c有两个交点，∴方程ax2﹣4ax+3a+1＝﹣x有两个不相等的实数根，∴，整理得：，解得：或（舍去），综上所示，a的取值范围为a＜﹣或．23．解：（1）抛物线的表达式为：y＝ax2，将点A坐标代入上式得：＝a（2）2，解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2；（2）将抛物线的表达式与直线y＝kx+1联立并整理得：x2﹣4kx﹣4＝0，则x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，则y1+y2＝k（x1+x2）+2＝4k2+2，则x2﹣x1＝＝4，设直线BC的倾斜角为α，则tanα＝k，则cosα＝，则BC＝＝4（k2+1），BC＝2k2+2，设BC的中点为M（2k，2k2+1），则点M到直线l的距离为：2k2+2，故直线l总是与以BC为直径的圆相切；第19 页共57 页（3）①设点P（m， m2）、点M（m，﹣1），点F（0，1），则PF2＝m2+（m2﹣1）2＝（m2+4）2，PM＝m2+1＝（m2+4）＝PF，即：PM与PF之间的数量关系为：PM＝PF；②抛物线新抛物线的表达式为：y＝（x﹣2）2…①，如图2，设平移后点F的对应点为F′（2，1），由①知：PM＝PF，同理QN＝QF′，故当A、F′、Q三点共线时，|QA﹣QN|有最大值，|QA﹣QN|的最大值＝|QA﹣QF′|＝AF′，则AF′＝＝；将点A、F′的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线AF′的表达式为：y＝x﹣…②，联立①②并解得：x＝1或6（舍去1），故点Q（6，4）；故：|QA﹣QN|的最大值为，此时点Q的坐标为（6，4）．第20 页共57 页人教版九年级数学上册第二十二章二次函数单元练习题含答案一、选择题1.一枚炮弹射出x秒后的高度为y米，且y与x之间的关系为y=ax2+bx+c（a≠0），若此炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A．第3.3sB．第4.3sC．第5.2sD．第4.6s2.二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表：下列说法正确的是（）A．抛物线的开口向下B．当x＞-3时，y随x的增大而增大C．二次函数的最小值是-2D．抛物线的对称轴是x =-3.已知矩形的周长为36m，矩形绕着它的一条边旋转形成一个圆柱，设矩形的一条边长为x m，圆柱的侧面积为y m2，则y与x的函数关系式为（）A．y=-2πx2+18πxB．y=2πx2-18πxC．y=-2πx2+36πxD．y=2πx2-36πx4.如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（）A．60m2B．63m2第21 页共57 页C．64m2D．66m25.已知抛物线y=ax2+bx+c过（1，-1）、（2，-4）和（0，4）三点，那么a、b、c的值分别是（）A．a=-1，b=-6，c=4B．a=1，b=-6，c=-4C．a=-1，b=-6，c=-4D．a=1，b=-6，c=46.二次函数y=2x2-3的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是（）A．抛物线开口向下B．抛物线经过点（2，3）C．抛物线的对称轴是直线x=1D．抛物线与x轴有两个交点7.抛物线y=-2x2的对称轴是（）A．直线x =B．直线x =-C．直线x=0D．直线y=08.如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A、D，与y轴交于点C，四边形ABCD是平行四边形，则点B的坐标是（）A．（-4，-3）B．（-3，-3）第22 页共57 页C．（-3，-4）D．（-4，-4）二、填空题9.在同一平面直角坐标系中，如果两个二次函数y1=a1（x+h1）2+k1与y2=a2（x+h2）2+k2的图象的形状相同，并且对称轴关于y轴对称，那么我们称这两个二次函数互为梦函数．如二次函数y=（x+1）2-1与y=（x-1）2+3互为梦函数，写出二次函数y=2（x+3）2+2的其中一个梦函数_____________________．10.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象可知：当k__________时，方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根．11.已知函数y=（m-2）x2-3x+1，当________时，该函数是二次函数；当_______时，该函数是一次函数．12.抛物线y=2x2-4x-6与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．有下列说法：①抛物线的对称轴是x=1；②A、B两点之间的距离是4；③△ABC的面积是24；④当x＜0时，y随x的增大而减小．其中，说法正确的是_________________．（只需填写序号）13.如图，抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为________________．14.观察下表：第23 页共57 页则一元二次方程x2-2x-2=0在精确到0.1时一个近似根是______，利用抛物线的对称性，可推知该方程的另一个近似根是_______．15.如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过原点和点（-2，0），则2a-3b______0．（＞、＜或=）16.如图，坐标系中正方形网格的单位长度为1，抛物线y1=-x2+3向下平移2个单位后得抛物线y2，则阴影部分的面积S=_____________．三、解答题17.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从点O正上方2米的点A处发出把球看成点，其运行的高度y（米）与运行的水平距离x（米）满足关系式y=a（x-6）2+h，已知球网与点O的水平距离为9米，高度为2.43米，球场的边界距点O的水平距离为18米．（1）当h=2.6时，求y与x的函数关系式；（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；（3）若球一定能越过球网，又不出边界．则h的取值范围是多少？第24 页共57 页18.如图，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出（点A在y轴上），足球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间满足函数关系y=at2+5t+c，已知足球飞行0.8s时，离地面的高度为3.5m．（1）足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？（2）若足球飞行的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系x=10t，已知球门的高度为2.44m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28m，他能否将球直接射入球门？19.已知函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数），当a，b，c满足什么条件时，（1）它是二次函数？（2）它是一次函数？（3）它是正比例函数？20.将抛物线y=mx2+n向下平移6个单位长度，得到抛物线y=-x2+3，设原抛物线的顶点为P，且原抛物线与x轴相交于点A、B，求△PAB的面积．21.已知二次函数y=-x2+2x+m．（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．第25 页共57 页第二十二章《二次函数》单元练习题答案解析1.【答案】D【解析】∵炮弹在第3.2秒与第5.8秒时的高度相等，∴抛物线的对称轴方程为x=4.5．∵4.6s最接近4.5s，∴当4.6s时，炮弹的高度最高．2.【答案】D【解析】将点（-4，0）、（-1，0）、（0，4）代入到二次函数y=ax2+bx+c中，得，解得，∴二次函数的解析式为y=x2+5x+4．A、a=1＞0，抛物线开口向上，A不正确；B、-=-，当x≥-时，y随x的增大而增大，B不正确；C、y=x2+5x+4=(x +)2-，二次函数的最小值是-，C不正确；D、-=-，抛物线的对称轴是x =-，D正确．3.【答案】C【解析】根据题意，矩形的一条边长为x m，则另一边长为（36-2x）÷2=18-x（m），则圆柱体的侧面积y=2πx（18-x）=-2πx2+36πx．4.【答案】C【解析】设BC=x m，则AB=（16-x）m，矩形ABCD面积为y m2，根据题意得y=（16-x）x=-x2+16x=-（x-8）2+64，当x=8m时，y max=64m2，则所围成矩形ABCD的最大面积是64m2．5.【答案】D【解析】根据题意，得，第26 页共57 页解得．6.【答案】D【解析】A、a=2，则抛物线y=2x2-3的开口向上，所以A选项错误；B、当x=2时，y=2×4-3=5，则抛物线不经过点（2，3），所以B选项错误；C、抛物线的对称轴为直线x=0，所以C选项错误；D、当y=0时，2x2-3=0，此方程有两个不相等的实数解，所以D选项正确．7.【答案】C【解析】对称轴为y轴，即直线x=0．8.【答案】A【解析】令y=0，可得x=3或x=-1，∴A点坐标为（-1，0）；D点坐标为（3，0）；令x=0，则y=-3，∴C点坐标为（0，-3），∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∵AD=BC=4，∴B点的坐标为（-4，-3）．9.【答案】y=2（x-3）2+2（答案为不唯一）．【解析】由一对梦函数的图象的形状相同，并且对称轴关于y轴对称，可|a1|=a2，h1与h2互为相反数,二次函数y=2（x+3）2+2的一个梦函数是y=2（x-3）2+2.10.【答案】＜2【解析】由二次函数和一元二次方程的关系可知y的最大值即为k的最大值，因此当k＜2时，方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根．11.【答案】m≠2；m=2【解析】y=（m-2）x2-3x+1，当m≠2时，该函数是二次函数；当m=2时，该函数是一次函数．12.【答案】①②④【解析】①抛物线y=2x2-4x-6的对称轴是直线x =-=1，故①正确；②2x2-4x-6=0，解得x=-1或3，所以AB=4；故②正确；③∵AB=4，C（0，-6），∴S△ABC =×4×6=12，故③错误；④∵抛物线y=2x2-4x-6的开口向上，对称轴是直线x=1，∴当x＜1时，y随x的增大而减小；x＞1时，y随x的增大而增大；∴当x＜0时，y随x的增大而减小，故④正确，所以正确的第27 页共57 页是①②④．13.【答案】（1+，2）或（1-，2）【解析】∵△PCD是以CD为底的等腰三角形，∴点P在线段CD的垂直平分线上，如图，过P作PE⊥y轴于点E，则E为线段CD的中点，∵抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C，∴C（0，3），且D（0，1），∴E点坐标为（0，2），∴P点纵坐标为2，在y=-x2+2x+3中，令y=2，可得-x2+2x+3=2，解得x =1±，∴P点坐标为（1+，2）或（1-，2）.14.【答案】2.7；-0.7【解析】∵x=2.7时，y=-0.11；x=2.8时，y=0.24，∴方程的一个根在2.7和2.8之间，又∵x=2.7时的y值比x=2.8更接近0，∴方程的一个近似根为2.7；∵此函数的对称轴为x=1，设函数的另一根为x ，则=1，解得x=-0.7．15.【答案】＞【解析】∵抛物线的开口向下，∴a＜0．∵抛物线经过原点和点（-2，0），∴对称轴是x=-1，又对称轴x =-，∴-=-1，b=2a．∴2a-3b=2a-6a=-4a＞0．16.【答案】4【解析】根据题意知，图中阴影部分的面积即为平行四边形的面积：2×2=4．17.【答案】解：（1）∵h=2.6，球从O点正上方2m的A处发出，∴抛物线y=a（x-6）2+h过点（0，2），∴2=a（0-6）2+2.6，解得a =−，故y与x的关系式为y =-（x-6）2+2.6；（2）当x=9时，y =−（x-6）2+2.6=2.45＞2.43，所以球能过球网；第28 页共57 页当y=0时，−（x-6）2+2.6=0，解得x1=6+2＞18，x2=6-2（舍去），故会出界；（3）当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a（x-6）2+h还过点（0，2），代入解析式得，解得，此时二次函数解析式为y =−（x-6）2+，此时球若不出边界h ≥，当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），抛物线y=a（x-6）2+h还过点（0，2），代入解析式得，解得，此时球要过网h ≥，故若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围是h ≥．【解析】（1）利用h=2.6，球从O点正上方2m的A处发出，将点（0，2）代入解析式求出即可；（2）利用当x=9时，y =-（x-6）2+2.6=2.45，当y=0时，−（x-6）2+2.6=0，分别得出即可；（3）根据当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a（x-6）2+h还过点（0，2），以及当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），第29 页共57 页抛物线y=a（x-6）2+h还过点（0，2）时分别得出h的取值范围，即可得出答案．18.【答案】解：（1）由题意得函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5）（0.8，3.5），∴，解得，∴抛物线的解析式为y =-t2+5t +，∴当t =时，y最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，∴当t=2.8时，y =-×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，∴他能将球直接射入球门．【解析】（1）由题意得函数y=at2+5t+c的图象经过（0，0.5），（0.8，3.5），于是得到，求得抛物线的解析式为y =-t2+5t +，当t =时，y最大=4.5；（2）把x=28代入x=10t得t=2.8，当t=2.8时，y =-×2.82+5×2.8+=2.25＜2.44，于是得到他能将球直接射入球门．19.【答案】解：（1）当a≠0时，y=ax2+bx+c是二次函数；（2）当a=0，b≠0，c≠0时，y=ax2+bx+c是一次函数；（3）当a=0，b≠0，c=0时，y=ax2+bx+c是正比例函数．【解析】（1）根据二次项系数不等于零是二次函数，可得答案；（2）根据二次项系数等于零而一次项系数不等于零，且常数项不等于零是一次函数，可得答案；（3）根据二次项系数等于零而一次项系数不等于零，且常数项等于零是正比例函数，可得答案．20.【答案】解：∵将抛物线y=mx2+n向下平移6个单位长度，得到y=mx2+n-6，∴m=-1，n-6=3，∴n=9，∴原抛物线y=-x2+9，∴顶点P（0，9），令y=0，第30 页共57 页则0=-x2+9，解得x=±3，∴A（-3，0），B（3，0），∴AB=6，∴S△PAB =AB•OP =×6×9=27．【解析】根据平移的性质得出y=mx2+n-6，根据题意求得m=-1，n=9，从而求得原抛物线的解析式，得出顶点坐标和与x轴的交点坐标，进而根据三角形面积求得即可．21.【答案】解：（1）∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴△=22+4m＞0，∴m＞-1；（2）∵二次函数的图象过点A（3，0），∴0=-9+6+m∴m=3，∴二次函数的解析式为y=-x2+2x+3，令x=0，则y=3，∴B（0，3），设直线AB的解析式为：y=kx+b，∴，解得，∴直线AB的解析式为y=-x+3，∵抛物线y=-x2+2x+3的对称轴为x=1，∴把x=1代入y=-x+3得y=2，∴P（1，2）．【解析】（1）由二次函数的图象与x轴有两个交点，得到△=22+4m＞0于是得到m＞-1；（2）把点A（3，0）代入二次函数的解析式得到m=3，于是确定二次函数的解析式为：y=-x2+2x+3，求得B（0，3），得到直线AB的解析式为：y=-x+3，把对称轴方程x=1，代入直线y=-x+3即可得到结果．第31 页共57 页人教版九年级数上册第22章：二次函数单元提优测试（附答案）一．选择题1．二次函数y＝3（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（）A．图象的开口向下B．图象的顶点坐标是（1，2）C．当x＞1时，y随x的增大而减小D．图象与y轴的交点坐标为（0，2）2．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如下表所示：则方程ax2+bx+4＝0的根是（）A．x1＝x2＝200 B．x1＝0，x2＝400C．x1＝100，x2＝300 D．x1＝100，x2＝5003．在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝（x﹣2）2+1，下列说法中错误的是（）A．y的最小值为1B．图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2C．当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小D．它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到4．如图，一段抛物线y＝﹣x2+4（﹣2≤x≤2）为C1，与x轴交于A0，A1两点，顶点为D；将C1绕点A1旋转180°得到C2，顶点为D2；C1与C2组成一个新的图象，垂直1于y轴的直线l（x轴除外）与新图象交于点P1（x1，y1），P2（x2，y2），与线段D1D2交于点P3（x3，y3），t＝x1+x2+x3，则t的取值范围是（）第32 页共57 页A．0≤t＜2或10＜t≤12 B．0≤t≤2或10≤t≤12C．0≤t＜2或6＜t≤8 D．0≤t≤2或6≤t≤85．二次函数y＝2x2﹣5x+3的图象与x轴的交点有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．已知A（4，y1），B（1，y2），C（﹣3，y3）在函数y＝﹣3（x﹣2）2+m（m为常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1D．y1＜y2＜y37．一位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈．如图所示，建立平面直角坐标系，已知篮圈中心到地面的距离为3.05m，该运动员身高1.9m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m处出手球出手时，他跳离地面的高度是（）A．0.1m B．0.2m C．0.3m D．0.4m8．二次函数y＝ax2+2ax+c的图象如图所示，当x＝t时，y＞0，则x＝t+2时函数值（）A．c＜y＜0 B．y＜c C．y＞0 D．y＜09．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐第33 页共57 页标分别为x1，x2，其中﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，下列结论：①4a﹣2b+c＜0；②2a﹣b＜0；③a＜0；④b2+8a＞4ac，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之个间，以下结论：①abc＞0 ②b2﹣4ac＝0，③2a﹣b＝0，④a+b+c ＜0；⑤c﹣a＝3，其中正时的有（）个A．2 B．3 C．4 D．511．定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A叫做“整点”．如：B（3，0）、C（﹣1，3）都是“整点”．抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）与x轴交于点M，N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a的取值范围是（）A．﹣1≤a＜0 B．﹣2≤a＜﹣1 C．﹣1≤a＜D．﹣2≤a＜012．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中正确的是（）①abc＜0②b2﹣4ac＜0③2a＞b第34 页共57 页。

人教版数学九年级(上)第22章二次函数解答题培优综合试题

人教版数学九年级（上）第22章二次函数解答题培优综合试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．如图抛物线y＝ax2+2交x轴于点A（﹣2，0）、B，交y轴于点C；（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点A出发，以1个单位/秒的速度向终点B运动，同时点Q从点C出发，以相同的速度沿y轴正方向向上运动，运动的时间为t秒，当点P到达点B时，点Q也停止运动，设△PQC的面积为S，求S与t间的函数关系式并直接写出t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当点P在线段OB上时，设PQ交直线AC于点G，过P作PE⊥AC 于点E，求EG的长．2．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（3，0）和点B（4，3）．（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式．（2）直接写出该抛物线开口方向和顶点坐标．（3）直接在所给坐标平面内画出这条抛物线．3．某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间满足关系y＝mx2+20x+n，其图象如图所示．（1）m ＝_____，n ＝_____．（2）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？（3）该种商品每天的销售利润不低于16元时，直接写出x 的取值范围．4．童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售,经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件,已知该款童装每件成本30元,设降价后该款童装每件售价x 元,每星期的销售量为y 件.(1)降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时，求这一星期中每件童装降价多少元?(2)当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少?5．某商场经调研得出某种商品每天的利润y （元）与销售单价x （元）之间满足关系：y ＝ax 2+bx ﹣75，其图象如图所示．（1）求a 与b 的值；（2）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（参考公式：当x ＝2b a时，二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）有最小（大）值）（3）销售单价定在多少时，该种商品每天的销售利润为21元？结合图象，直接写出销售单价定在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于21元？6．如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣x+3与抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的横坐标为﹣1．动点P 在抛物线上运动（不与点A 、B 重合），过点P 作y 轴的平行线，交直线AB 于点Q ，当PQ 不与y 轴重合时，以PQ 为边作正方形PQMN ，使MN 与y 轴在PQ 的同侧，连结PM ．设点P 的横坐标为m ．（1）求b 、c 的值．（2）当点N落在直线AB上时，直接写出m的取值范围．（3）当点P在A、B两点之间的抛物线上运动时，设正方形PQMN周长为c，求c与m 之间的函数关系式，并写出c随m增大而增大时m的取值范围．（4）当△PQM与y轴只有1个公共点时，直接写出m的值．7．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示．（1）确定二次函数的解析式；（2）若方程ax2+bx+c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．8．某汽车厂决定把一块长100m、宽60m的矩形空地建成停车场．设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的矩形），空白区域为停车位，且四周的4个出口宽度相同，其宽度不小于28m，不大于52m．设绿化区较长边为xm，停车场的面积为ym2（1）直接写出：①用x的式子表示出口的宽度为_____．②y与x的函数关系式及x的取值范围．（2）求停车场的面积y的最大值．（3）预计停车场造价为100元/m2，绿化区造价为50元/m2．如果汽车厂投资不得超过540000元建造，当x为整数时，共有几种建造方案？9．如图，正方形ABCD的边长为8，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH．（1）判断四边形EFGH的形状．（直接写结论，不必证明）（2）设BE＝x，四边形EFGH的面积为S，请真接写出S与x的数解析式，并求出S 的最小值．10．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），顶点为C．（1）求A，B两点的坐标；（2）若将该抛物线向上平移t个单位后，它与x轴恰好只有一个交点，求t的值．11．抛物线的顶点为（1，﹣4），与x轴交于A、B两点，与y轴负半轴交于C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为对称轴右侧抛物线上一点，以BP为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M 落在对称轴上，求P点的坐标．12．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线最高点D到墙面OB的水平距离为6m时，隧道最高点D 距离地面10m．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后宽为4m，高为6m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？13．如图，已知直线y＝x+2交x轴、y轴分别于点A、B，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣12，且抛物线经过A、B两点，交x轴于另一点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是抛物线x轴上方一点，∠MBA＝∠CBO，求点M的坐标；（3）过点A作AB的垂线交y轴于点D，平移直线AD交抛物线于点E、F两点，连结EO、FO．若△EFO为以EF为斜边的直角三角形，求平移后的直线的解析式．14．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0）和C点（0，﹣4），与x轴另一个交点为B．（1）求此二次函数的解析式和顶点D的坐标；（2）求出A、B两点之间的距离；（3）直接写出当y＞﹣4时，x的取值范围．15．如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示放置，点A在x轴上，点B 的坐标为（n，1）（n＞0），将此矩形绕O点逆时针旋转90°得到矩形OA′B′C′，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、A′、C′三点．（1）求此抛物线的解析式（a、b、c可用含n的式子表示）；（2）若抛物线对称轴是x＝1的一条直线，直线y＝kx+2（k≠0）与抛物线相交于两点D（x1，y1）、E（x2、y2）（x1＜x2），当|x1﹣x2|最小时，求抛物线与直线的交点D和E的坐标；（3）若抛物线对称轴是x＝1的一条直线，如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一动点，点Q是坐标平面内一点，四边形APQM是以PM为对角线的平行四边形，点Q′与点Q关于直线AM对称，连接MQ′、PQ′，当△PMQ′与平行四边形APQM重合部分的面积是平行四边形的面积的14时，求平行四边形APQM的面积．16．国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于80万元，已知这种设备的月产量x（套）与每套的售价y（万元）之间满足关系式y＝150﹣2x，月产量x（套）与生产总成本y2（万元）存在如图所示的函数关系．（1）直接写出y2与x之间的函数关系式；（2）求月产量x的范围；（3）当月产量x（套）为多少时，这种设备的利润W（万元）最大？最大利润是多少？17．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为Q（2，﹣1），且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D．（1）求该抛物线的函数关系式及A、B两点的坐标；（2）求点P在运动的过程中，线段PD的最大值；（3）若点P与点Q重合，点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A，P，E，F 为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．（1）y ＝﹣12x 2+2；（2）S ＝﹣12t 2+t （0＜t ＜2）；S═12t 2﹣t （2＜t≤4）；（3. 【解析】【分析】（1）把A 点坐标代入二次函数，解得a=-12，即可求解；（2）利用S=12•CQ•OP ，分0＜t ＜2、2＜t≤4两种情况求解即可；（3）过点G 作GH ⊥y 轴，利用HG ∥OP ，得HG OP =QH QO ，求出GH=22t ，利用GE=EC+CG=即可求解．【详解】解：（1）把A 点坐标代入二次函数，解得a ＝﹣12，故：二次函数的表达式为：y ＝﹣12x 2+2；（2）S ＝12•CQ•OP ，当0＜t ＜2时，S ＝12•t （﹣t+2）＝﹣12t 2+t ，当2＜t≤4时， S═12•t•（t ﹣2）＝12t 2﹣t ；（3）t 秒时，AP ＝t ，OP ＝t ﹣2，CQ ＝t ，直线AC 与x 轴的夹角为45°，则AE ，GC GH ，AC ＝，HC ＝HG ，过点G 作GH ⊥y 轴，交y 轴于点H ，∵HG ∥OP ， ∴HG OP =QH QO，即：2HG t -=t 2HG t -+ ，解得：GH=22t -，则：GC ＝2GH ＝24t ）-GE ＝EC+CG ＝AC ﹣AE+GC ＝2+2•22t - 【点睛】本题考查二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．2．（1）y ＝x 2﹣4x+3（2）（2，﹣1）（3）见解析【解析】【分析】（1）把A 点和B 点坐标代入y ＝ax 2+bx+3得关于a 、b 的方程组，然后解方程组即可；（2）先把一般式配成顶点式，然后根据二次函数的性质解决问题；（3）利用描点法画函数图象．【详解】（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx+3经过点A （3，0）和点B （4，3）．∴9330{16433a b a b ++=++= ，解得1{4a b ==-，∴这条抛物线所对应的二次函数的表达式为y ＝x 2﹣4x+3；（2）a ＝1＞0，抛物线开口向上，∵y ＝（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线顶点坐标为（2，﹣1）；（3）如图，【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．3．（1）﹣1，﹣75（2）销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元（3）销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式得出即可；（2）利用配方法求出二次函数最值即可；（3）根据函数值大于或等于16，可得不等式的解集，可得答案．【详解】（1）y＝mx2+20x+n图象过点（5，0）、（7，16），∴251000 4914016m nm n++=⎧⎨++=⎩，解得：175 mn=-⎧⎨=-⎩；故答案为﹣1，﹣75；（2）∵y＝﹣x2+20x﹣75＝﹣（x﹣10）2+25，∴当x＝10时，y最大＝25．答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元；（3）∵函数y＝﹣x2+20x﹣75图象的对称轴为直线x＝10，可知点（7，16）关于对称轴的对称点是（13，16），又∵函数y＝﹣x2+20x﹣75图象开口向下，∴当7≤x≤13时，y≥16．答：销售单价不少于7元且不超过13元时，该种商品每天的销售利润不低于16元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求解析式，利用顶点坐标求最值，利用对称点求不等式的解集．4．（1）这一星期中每件童装降价20元；（2）每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．【分析】（1）根据售量与售价x（元/件）之间的关系列方程即可得到结论．（2）设每星期利润为W元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题．【详解】解：（1）根据题意得，（60﹣x）×10+100＝3×100，解得：x＝40，60﹣40＝20元，答：这一星期中每件童装降价20元；（2）设利润为w，根据题意得，w＝（x﹣30）[（60﹣x）×10+100]＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，答：每件售价定为50元时，一星期的销售利润最大，最大利润4000元．【点睛】本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二次函数解决最值问题，利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型．5．（1）a=-1 ,b=20；(2)当x=10时，y值最大，最大值为25.即销售单价定为10元时，销售利润最大，为25元；(3)销售单价在8 ≤x ≤12时，销售利润不低于21元.【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式得出即可；（2）利用配方法求出二次函数最值即可；（3）根据题意令y=21，解方程可得x的值，结合图象可知x的范围．【详解】（1）y=ax2+bx-75图象过点（5，0）、（7，16），∴255750 4977516a ba b＝＝+-⎧⎨+-⎩，解得：120ab-⎧⎨⎩＝＝；（2）∵y=-x2+20x-75=-（x-10）2+25，∴当x=10时，y最大=25．答：销售单价为10元时，该种商品每天的销售利润最大，最大利润为25元；（3）根据题意，当y=21时，得：-x2+20x-75=21，解得：x1=8，x2=12，∴x=8 或 x=12即销售单价定在8元或12元时，该种商品每天的销售利润为21元；故销售单价在8≤x≤12时，销售利润不低于21元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求二次函数解析式等知识，正确利用二次函数图象是解题关键．6．（1）b=1，c=6；（2）0＜m＜3或m＜-1；（3）-1＜m≤1且m≠0，（4）m的值为：12或12-或32或32.【分析】（1）求出A、点B的坐标代入二次函数表达式即可求解；（2）当0＜m＜3时，以PQ为边作正方形PQMN，使MN与y轴在PQ的同侧，此时，N 点在直线AB上，同样，当m＜-1，此时，N点也在直线AB上即可求解；（3）当-1＜m＜3且m≠0时，PQ=-m2+m+6-（-m+3）=-m2+2m+3，c=4PQ=-4m2+8m+12即可求解；（4）分-1＜m≤3、m≤-1，两种情况求解即可．【详解】（1）把y=0代入y=-x+3，得x=3．∴点A的坐标为（0，3），把x=-1代入y=-x+3，得y=4．∴点B的坐标为（-1，4），把（0，3）、（-1，4）代入y=-x2+bx+c，解得：b=1，c=6；（2）当0＜m＜3时，以PQ为边作正方形PQMN，使MN与y轴在PQ的同侧，此时，N点在直线AB上，同样，当m＜-1，此时，N点也在直线AB上，故：m的取值范围为：0＜m＜3或m＜-1；（3）当-1＜m＜3且m≠0时，PQ=-m2+m+6-（-m+3）=-m2+2m+3，∴c=4PQ=-4m2+8m+12；c随m增大而增大时m的取值范围为-1＜m≤1且m≠0，（4）点P（m，-m2+m+6），则Q（m，-m+3），①当-1＜m≤3时，当△PQM与y轴只有1个公共点时，PQ=x P，即：-m2+m+6+m-3=m，解得：m=；②当m≤-1时，△PQM与y轴只有1个公共点时，PQ=-x Q，即-m+3+m2-m-6=-m，整理得：m2-m-3=0，解得：m=，③m＞3时，同理可得：m=（舍去负值）；④当-1＜m ＜0时，PQ=-m ，解得：32m = 故m的值为：12+或12或32或32. 【点睛】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形和正方形相关知识，本题解题的关键是通过画图确定正方形或三角形所在的位置，此题难度较大．7．（1）y ＝﹣12x 2﹣x+32；（2）k ＜2．【分析】根据待定系数法求二次函数的解析式，并根据公式求顶点坐标的纵坐标，当方程ax 2+bx+c=k 有两个不相等的实数根，即直线y=k 与抛物线有两个交点，从而得出k 的取值．【详解】解：（1）从图象可以看出：c ＝1.5，函数与x 轴的交点为（﹣3，0），函数对称轴为x ＝﹣1，则：函数表达式为y ＝ax 2+bx+1.5，将（﹣3，0），对称轴x ＝﹣1代入函数表达式， 93 1.5012a b b a -+=⎧⎪⎨-=-⎪⎩，解得：a ＝﹣12，b ＝﹣1，即函数的表达式为：y ＝﹣12x 2﹣x+32；（2）ax 2+bx+c ＝k ，即：﹣12x 2﹣x+32﹣k ＝0， △＝（﹣1）2﹣4（﹣12）（32﹣k ）＞0，解得：k ＜2．【点睛】本题考查了二次函数图象与一元二次方程的关系，同时还考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，注意抛物线是轴对称图形，根据对称性可以求抛物线上点的坐标，解好本题还要熟练掌握顶点坐标公式：（-2b a ，244aac b ）；方程ax 2+bx+c=k 的解的情况由图象与y=k 的交点个数确定，反之k 的取值也决定了方程解的情况．8．（1）①（100﹣2x ）m ；②y ＝﹣4x 2+80x+6000（24≤x≤36）；（2）5616m 2；（3）共有3种建造方案．【解析】【分析】（1）①根据图形可得结论；②根据题意可得y 与x 的关系式；（2）根据二次函数的增减性可得结论；（3）根据列方程即可得到结论．【详解】解：（1）①出口的宽度为：100﹣2x ，②根据题意得，y ＝100×60﹣4x （x ﹣20），即y 与x 的函数关系式及x 的取值范围为：y ＝﹣4x 2+80x+6000（24≤x≤36）；故答案为：（100﹣2x ）m ；（2）y ＝﹣4x 2+80x+6000＝﹣4（x ﹣10）2+6400，∵a ＝﹣4＜0，抛物线的开口向下，对称轴为x ＝10，当24≤x≤36时，y 随x 的增大而减小，∴当x ＝24时，y 最大＝5616，答：停车场的面积y 的最大面积为5616m 2；（3）设费用为w ，由题意得，w ＝100（﹣4x 2+80x+6400）+50×4x （x ﹣20）＝﹣200（x ﹣10）2+660000，∴当w ＝540000时，解得：x 1＝﹣+10，x 2＝+10，∵a ＝﹣100＜0，∴x 1＝﹣+10，x 2＝+10，w ＝540000，∵24≤x≤36，∴+10≤x≤36，且x 为整数，∴共有3种建造方案．【点睛】本题考查了二次函数的应用，此题关键是求得短边的长度，再利用矩形的面积求得各部分面积，进一步列不等式（组）解决问题．9．（1）证明见解析；（2）S＝2（x﹣4）2+32；最小值为32．【解析】【分析】（1）由正方形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，证出AH=BE=CF=DG，由SAS证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，得出EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，证出四边形EFGH是菱形，再证出∠HEF=90°，即可得出结论；（2）根据四边形EFGH面积为S，BE=x，则BF=8-x，由勾股定理得出S=x2+（8-x）2=2（x-4）2+32，S是x的二次函数，容易得出四边形EFGH面积的最小值．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AH＝BE＝CF＝DG，在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，AE BF CG DHA B C DAH BE CF DG⎧⎪∠∠∠∠⎨⎪⎩＝＝＝＝＝＝，＝＝＝∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），∴EH＝FE＝GF＝GH，∠AEH＝∠BFE，∴四边形EFGH是菱形，∵∠BEF+∠BFE＝90°，∴∠BEF+∠AEH＝90°，∴∠HEF＝90°，∴四边形EFGH是正方形；（2）设BE＝x，四边形EFGH的面积为S，则BF＝8﹣x，根据勾股定理得：EF2＝BE2+BF2＝x2+（8﹣x）2，∴S＝x2+（8﹣x）2＝2（x﹣4）2+32，∵2＞0，∴S有最小值，当x＝4时，S的最小值＝32，∴四边形EFGH面积的最小值为32．【点睛】本题考查正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数的最值等知识；本题综合性强，有一定难度．10．（1）A（﹣1，0），B（3，0）；（2）t＝4．【分析】（1）通过解方程x2-2x-3=0得A点坐标和B点坐标；（2）利用抛物线的平移规律得到平移后的抛物线解析式为y=x2-2x-3+t，利用判别式的意义得到△=（-2）2-4（-3+t）=0，然后解关于t的方程即可．【详解】解：（1）当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1，所以A点坐标为（﹣1，0），B点坐标为（3，0）；（2）抛物线y＝x2﹣2x﹣3向上平移t个单位后所得抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3+t，则△＝（﹣2）2﹣4（﹣3+t）＝0，解得t＝4．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．11．（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）点P的坐标为（2，﹣3）或（4，5）．【解析】【分析】（1）由抛物线的顶点坐标可设抛物线的解析式为y=a（x-1）2-4，代入点C的坐标可求出a 值，进而可得出抛物线的解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，设抛物线对称轴与x轴交于点E，过点P作PF∥x轴，交抛物线对称轴于点F，易证△MBE≌△PMF，根据全等三角形的性质可得出ME=PF=x-1，MF=BE=2，进而可得出EF=x+1，结合EF为点P纵坐标的绝对值，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可求出x的值，取其大于1的值代入点P的坐标中即可得出结论．【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将C（0，﹣3）代入y＝a（x﹣1）2﹣4，得：﹣3＝a（0﹣1）2﹣4，解得：a＝1，∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3．（2）当y＝0时，有x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0）．设抛物线对称轴与x轴交于点E，过点P作PF∥x轴，交抛物线对称轴于点F，如图所示．设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3）（x＞1），则PF＝x﹣1，BE＝3﹣1＝2．∵∠BME+∠PMF＝90°，∠BME+∠MBE＝90°，∴∠MBE＝∠PMF．在△MBE和△PMF中，90BEM PFMMBE PMFBM MP＝＝＝＝∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△MBE≌△PMF（AAS），∴ME＝PF＝x﹣1，MF＝BE＝2，∴EF＝ME+MF＝x+1．∵EF＝|x2﹣2x﹣3|，∴|x2﹣2x﹣3|＝x+1，即x2﹣3x﹣4＝0或x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝2，x3＝4，∴点P的坐标为（2，﹣3）或（4，5）．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质以及解一元二次方程，解题关键是：（1）根据点的坐标特征，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用全等三角形的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x 的一元二次方程．12．（1）y ＝﹣16（x ﹣6）2+10；（2）这辆货车能安全通过；（3）．【分析】（1）设出抛物线的解析式，根据抛物线顶点坐标，代入解析式；（2）由于抛物线的对称轴为直线x=6，而隧道内设双向行车道，车宽为4m ，则货运汽车最外侧与地面OA 的交点为（2，0）或（10，0），然后计算自变量为2或10的函数值，再把函数值与6进行大小比较即可判断；（3）抛物线开口向下，函数值越大，对称点之间的距离越小，于是计算函数值为8所对应的自变量的值即可得到两排灯的水平距离最小值．【详解】解：（1）根据题意，该抛物线的顶点坐标为（6，10），C （0，4），设抛物线解析式为：y ＝a （x ﹣6）2+10，将点C （0，4）代入，得：36a+10＝4，解得：a ＝﹣16，故该抛物线解析式为：y ＝﹣16（x ﹣6）2+10；（2）由题意得货运汽车最外侧与地面OA 的交点为（2，0）或（10，0），当x ＝2或x ＝10时，y ＝223＞6，所以这辆货车能安全通过；（3）令y ＝8，则﹣16（x ﹣6）2+10＝8，解得x 1＝，x 2＝6﹣则x 1﹣x 2＝，所以两排灯的水平距离最小是．【点睛】本题考查二次函数的应用：构建二次函数模型解决实际问题，利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．13．（1）y ＝﹣x 2﹣x +2．（2）M （﹣23，209）．（3）平移后的解析式为y ＝﹣x ﹣y＝﹣x ﹣1【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）如图1中，作EA ⊥AB 交BM 的延长线于E ，作EF ⊥x 轴于F ．求出点E 坐标，再求出直线BE 的解析式，利用方程组即可解决问题；（3）如图2中，当直线AD 向下平移时，设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），作EH ⊥x 轴于H ，FG ⊥x 轴于G ．利用相似三角形的性质以及根与系数关系构建方程组即可解决问题；【详解】（1）∵直线y ＝x +2交x 轴、y 轴分别于点A 、B ，∴A （﹣2，0），B （0，2），∵抛物线的对称轴x ＝﹣12，A ，C 关于对称轴对称， ∴C （1，0），设抛物线的解析式为y ＝a （x +2）（x ﹣1），把（0，2）代入得到a ＝﹣1，∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣x +2．（2）如图1中，作EA ⊥AB 交BM 的延长线于E ，作EF ⊥x 轴于F ．∵∠ABE ＝∠OBC ，∠BAE ＝∠BOC ＝90°， ∴△BAE ∽△BOC ，∴AE AB OC OB=，∴1AE =， ∴AE，∵∠EAF +∠BAO ＝90°，∠BAO ＝45°， ∴∠EAF ＝45°， ∴EF ＝AF ＝1，∴E （3，1），∴直线BE 的解析式为y ＝﹣13x +2，由22123y x x y x ＝＝⎧--+⎪⎨+⎪⎩，解得02x y ⎧⎨⎩＝＝或43149x y ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝， ∴M （-43，149）．（3）如图2中，当直线AD 向下平移时，设E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），作EH ⊥x 轴于H ，FG ⊥x 轴于G ．∵∠EOF=90°=∠PHE=∠OGF ，由△EHO ∽△OGF 得到：EH OH OG FG=， ∴1122y x x y --=-，∴x 1x 2+y 1y 2=0，由22y x b y x x ＝＝-+⎧⎨--+⎩，消去y 得到：x 2+b-2=0， ∴x 1x 2=b-2，x 1+x 2=0，y 1y 2=（-x 1+b ）（-x 2+b ）=x 1x 2+b 2，∴2（b-2）+b 2=0，解得，当直线AD 向上平移时，同法可得综上所述，平移后的解析式为【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了一次函数的应用，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题．14．（1）y ＝x 2+3x ﹣4；D （﹣32，﹣254）；（2）5；（3）x ＜﹣3或x ＞0．【解析】【分析】（1）根据抛物线y=x 2+bx+c 经过点A （-4，0）和C 点（0，-4），可以求得该函数的解析式，然后根据配方法即可求出该函数的顶点坐标；（2）根据（1）中的函数解析式可以求得点B 的坐标，然后根据点A 的坐标，即可求得AB 的长；（3）根据题目中的函数解析式和过点C （0，-4）、二次函数的性质即可写出当y ＞-4时，x 的取值范围．【详解】解：（1）∵抛物线y ＝x 2+bx+c 经过点A （﹣4，0）和C 点（0，﹣4），∴16404b c c -+⎧⎨-⎩＝＝，得34b c ⎧⎨-⎩＝＝，即抛物线y ＝x 2+3x ﹣4， ∵y ＝x 2+3x ﹣4＝（x+32）2﹣254 ，∴该抛物线的顶点坐标为（﹣32，﹣254）；（2）令y＝0，0＝x2+3x﹣4，解得，x1＝﹣4，x2＝1，∴点B的坐标为（1，0），∵点A的坐标为（﹣4，0），∴AB＝1﹣（﹣4）＝5；（3）∵y＝x2+3x﹣4＝（x+32）2﹣254，过点（0，﹣4），∴当y＞﹣4时，x的取值范围是x＜﹣3或x＞0．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．15．（1）y＝﹣x2+（n﹣1）x+n；（2）D（﹣1，0），E（1，4）；（3）5或10．【分析】（1）先根据四边形ABCD是矩形，点B的坐标为（n，1）（n＞0），求出点A、C的坐标，再根据图形旋转的性质求出A′、C′的坐标；把A、A′、C′三点的坐标代入即可得出a、b、c的值，进而得出其抛物线的解析式；（2）将一次函数与二次函数组成方程组，得到一元二次方程x2+（k-2）x-1=0，根据根与系数的关系求出k的值，进而求出D（-1，0），E（1，4）；（3）设P（0，p），根据平行四边形性质及点M坐标可得Q（2，4+p），分P点在AM下方与P点在AM上方两种情况，根据重合部分的面积关系及对称性求得点P的坐标后即可得▱APQM面积．【详解】解：（1）∵四边形ABCO是矩形，点B的坐标为（n，1）（n＞0），∴A（n，0），C（0，1），∵矩形OA′B′C′由矩形OABC旋转而成，∴A′（0，n），C′（﹣1，0）；将抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，∵A（n，0），A′（0，n），C′（﹣1，0），∴200an bn c c n a b c ⎧++⎪=⎨⎪-+⎩＝＝，解得11a b n c n -⎧⎪-⎨⎪⎩＝＝＝，∴此抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+（n ﹣1）x+n ；（2）对称轴为x ＝1，得﹣1-2n -＝1，解得n ＝3，则抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2x+3．由2223y kx y x x +⎧⎨-++⎩＝＝，整理可得x 2+（k ﹣2）x ﹣1＝0，∴x 1+x 2＝﹣（k ﹣2），x 1x 2＝﹣1．∴（x 1﹣x 2）2＝（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2＝（k ﹣2）2+4．∴当k ＝2时，（x 1﹣x 2）2的最小值为4，即|x 1﹣x 2|的最小值为2，∴x 2﹣1＝0，由x 1＜x 2可得x 1＝﹣1，x 2＝1，即y 1＝4，y 2＝0．∴当|x 1﹣x 2|最小时，抛物线与直线的交点为D （﹣1，0），E （1，4）；（3）①当P 点在AM 下方时，如答图1，设P （0，p ），易知M （1，4），从而Q （2，4+p ），∵△PM Q′与▱APQM 重合部分的面积是▱APQM 面积的14， ∴PQ′必过AM 中点N （0，2），∴可知Q′在y 轴上，易知QQ′的中点T的横坐标为1，而点T必在直线AM上，故T（1，4），从而T、M重合，∴▱APQM是矩形，∵易得直线AM解析式为：y＝2x+2，∵MQ⊥AM，∴直线QQ′：y＝﹣12x+92，∴4+p＝﹣12×2+92，解得：p＝﹣12，∴PN＝52，∴S▱APQM＝2S△AMP＝4S△ANP＝4×12×PN×AO＝4×12×52×1＝5；②当P点在AM上方时，如答图2，设P（0，p），易知M（1，4），从而Q（2，4+p），∵△PM Q′与▱APQM重合部分的面积是▱APQM面积的14，∴PQ′必过QM中点R（32，4+2p），易得直线QQ′：y＝﹣12x+p+5，联立22152y xy x p+⎧⎪⎨-++⎪⎩＝＝，解得：x＝625p+，y＝2245p+，∴H（625p+，2245p+），∵H为QQ′中点，故易得Q′（245p+，2435p+），由P（0，p）、R（32，4+2p）易得直线PR解析式为：y＝（83﹣3p）x+p，将Q′（245p+，2435p+）代入到y＝（83﹣3p）x+p得：2435p+＝（83﹣3p）×24 5p++p，整理得：p2﹣9p+14＝0，解得p1＝7，p2＝2（与AM中点N重合，舍去），∴P（0，7），∴PN＝5，∴S▱APQM＝2S△AMP＝2×12×PN×|x M﹣x A|＝2×12×5×2＝10．综上所述，▱APQM面积为5或10．【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法确定函数解析式、二次函数的性质、一元二次方程根与系数的关系、方程思想及分类讨论思想等知识点．在（2）中利用求得n的值是解题的关键，在（2）中确定出k的值是解题的关键，在（3）中根据点P的位置分类讨论及根据已知条件求出点P的坐标是解决本题的难点．16．（1）y2＝30x+500；（2）25≤x≤35；（3）月产量为30件时，利润最大，最大利润是1300万元．【解析】【分析】（1）设函数关系式为y2=kx+b，把（30，1400）（40，1700）代入求解即可；（2）根据题中条件“每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于80万元”列出不等式组求解月产量x 的范围；（3）根据等量关系“设备的利润=每台的售价×月产量-生产总成本”列出函数关系式求得最大值．【详解】解：（1）设函数关系式为y 2＝kx+b ，把坐标（30，1400）（40，1700）代入，301400401700k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：30500k b ⎧⎨⎩＝，＝∴函数关系式y 2＝30x+500；（2）依题意得：5003050150280x x x +≤⎧⎨-≥⎩，解得：25≤x≤35；（3）∵W ＝x•y 1﹣y 2＝x （150﹣2x ）﹣（500+30x ）＝﹣2x 2+120x ﹣500∴W ＝﹣2（x ﹣30）2+1300∵25＜30＜35，∴当x ＝30时，W 最大＝1300答：当月产量为30件时，利润最大，最大利润是1300万元．【点睛】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，解答此类题目的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用二次函数的顶点式求函数的最值，注意自变量的取值范围．17．（1）y ＝x 2﹣4x+3；A （3，0），B （1，0）；（2）x ＝32时，PD 取得最大值，最大值为94；（3）存在；F 点坐标（2，1）和（，1）．【解析】【分析】（1）由抛物线的顶点坐标，可得出抛物线的顶点式，代入点C 的坐标可求出a 的值，进而可得出抛物线的函数关系式，再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A ，B 的坐标；（2）由点A，C的坐标，利用待定系数法可求出直线AC的函数关系式，设点P的坐标为（x，x2-4x+3）（0≤x＜3），则点D的坐标为（x，-x+3），进而可得出PD=-x2+3x，再利用二次函数的性质即可解决最值问题；（3）分AP为边及AP为对角线两种情况考虑：①以AP为边构造平行四边形，平移直线AP交x轴于点E，交抛物线于点F，由点A的坐标可设点F的坐标为（x，1），利用二次函数图象上点的坐标特征可求出x的值，进而可得出点F的坐标；②以AP为对角线进行构造平行四边形，由点A，E的纵坐标为0，可得出点F的纵坐标为-1，此时点P，F重合，进而可得出不存在这种情况，舍去．综上，此题得解．【详解】解：（1）∵抛物线的顶点为Q（2，﹣1），∴抛物线的函数关系式为y＝a（x﹣2）2﹣1，将C（0，3）代入y＝a（x﹣2）2﹣1，得：3＝a（0﹣2）2﹣1，解得：a＝1，∴抛物线的函数关系式为y＝（x﹣2）2﹣1，即y＝x2﹣4x+3．当y＝0时，有x2﹣4x+3＝0，即（x﹣1）（x﹣3）＝0，解得：x1＝1，x2＝3，又∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（1，0）．（2）设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0），将A（3，0），C（0，3）代入y＝mx+n，得：303m nn+⎧⎨⎩＝，＝解得：13mn-⎧⎨⎩＝＝，∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+3．设点P的坐标为（x，x2﹣4x+3）（0≤x＜3），则点D的坐标为（x，﹣x+3），∴PD＝﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）＝﹣x2+3x＝﹣（x﹣32）2+94，∵﹣1＜0，∴当x＝32时，PD取得最大值，最大值为94．（3）分两种情况考虑：①以AP为边构造平行四边形，平移直线AP交x轴于点E，交抛物线于点F，∵点P的坐标为（2，﹣1），∴设点F的坐标为（x，1），∴x2﹣4x+3＝1，解得：x1＝2，x2＝∴点F的坐标为（2，1）和（，1）；②以AP为对角线进行构造平行四边形，∵点A，E的纵坐标为0，∴点F的纵坐标为﹣1，此时点P，F重合，∴不存在这种情况，舍去．综上所述，符合条件的F点有两个，即（21）和（，1）．【点睛】本题考查二次函数的三种形式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点C的坐标，利用待定系数法求出抛物线的函数关系式；（2）由点P，D的坐标，找出PD=-x2+3x；（3）分AP为边及AP为对角线两种情况找出点F的坐标．。

人教版九年级数学上册第22章二次函数尖子生培优 (含答案)

人教版九年级数学第22章二次函数尖子生培优一、选择题（本大题共10道小题）1. 抛物线y ＝2x 2－5的顶点坐标为( )A ．(2，5)B ．(－2，5)C ．(0，－5)D ．(0，5)2. 在平面直角坐标系中，二次函数y ＝a (x －h )2 的图象可能是( )3. 抛物线y ＝x 2－2x ＋m 2＋2(m 是常数)的顶点在 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4. (2019•咸宁)已知点()()()()1,,1,,2,0Am B m C m n n -->在同一个函数的图象上，这个函数可能是 A ．y x ＝ B ．2y x=-C ．2y x ＝D ．2y x ＝﹣5. （2020·温州）9．已知(﹣3，1y )，(﹣2，2y )，(1，3y )是抛物线2312yx x m=--+上的点，则A ．3y ＜2y ＜1yB ．3y ＜1y ＜2yC ．2y ＜3y ＜1yD ．1y ＜3y ＜2y6. （2020·泰安）在同一平面直角坐标系内，二次函数y ﹦ax 2＋bx ＋b （a ≠0）与一次函数y ﹦ax ＋b 的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．7. （2020·常德）二次函数的图象如图所示，下列结论：240b ac ->①；0abc <②；40a b +=③；420a b c -+>④．其中正确结论的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．18. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则以下结论同时成立的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧abc>0，b 2－4ac<0 B.⎩⎪⎨⎪⎧abc<0，2a ＋b>0 C.⎩⎪⎨⎪⎧abc>0，a ＋b ＋c<0 D.⎩⎪⎨⎪⎧abc<0，b 2－4ac>09. （2020·遵义）抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是直线x ＝－2，抛物线与x 轴的一个交点在点(－4， 0)和点(－3，0)之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有：①4a －b ＝0;②c ≤3a ;③关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝2有两个不相等实数根;④b 2＋2b > 4ac ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10. 如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA＝OC.有下列结论：①abc<0；②b 2－4ac 4a >0；③ac －b ＋1＝0；④OA·OB ＝－ca .其中正确的结论有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题（本大题共8道小题）11. 若抛物线y ＝x 2＋bx ＋25的顶点在x 轴上，则b 的值为________．12. （2020·襄阳）汽车刹车后行驶的距离s （单位：米）关于行驶时间t （单位：秒）的函数关系式是s＝15t－6t2，则汽车从刹车到停止所用时间为__________秒．13. 某抛物线与抛物线y＝7x2的形状、开口方向都相同，且其顶点坐标为(－2，5)，则该抛物线的解析式为__________________．14. 若二次函数y＝x2＋bx－5的图象的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2＋bx－5＝2x －13的解为______________．15. 将抛物线y＝2x2向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为________________．16. (2019•襄阳)如图，若被击打的小球飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有的关系为2h t t=-，则小球从飞出到落地所用的时间为205__________s．17. 如图，已知抛物线过A，B，C三点，点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(3，0)，且3AB＝4OC，则此抛物线的解析式为__________________．18. 如图，平行于x 轴的直线AC 与函数y 1＝x 2(x ≥0)，y 2＝13x 2(x ≥0)的图象分别交于B ，C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1的图象于点D ，直线DE ∥AC 交y 2的图象于点E ，则DEAB ＝________．三、解答题（本大题共4道小题）19. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分．如图，甲在O 点正上方1 m 的P 处发出一球，羽毛球飞行的高度y (m )与水平距离x (m )之间满足函数表达式y ＝a (x －4)2＋h .已知点O 与球网的水平距离为5 m ，球网的高度为1.55 m .(1)当a ＝－124时，①求h 的值，②通过计算判断此球能否过网．(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O 的水平距离为7 m ，离地面的高度为125 m 的Q 处时，乙扣球成功，求a 的值．20. 如图所示，在矩形ABCD中，AB ＝18 cm ，AD ＝4 cm ，点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，点P 在边AB 上沿AB 方向以每秒2 cm 的速度匀速运动，点Q 在边BC 上沿BC 方向以每秒1 cm 的速度匀速运动．当一点到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为x s ，△PBQ 的面积为y cm 2. (1)求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围； (2)求△PBQ 的面积的最大值．21. （2020·鄂州）一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y （件）与售价x （元件）（x 为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：（1）求y 与x 的函数关系式（不求自变量的取值范围）；（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于15元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m 元（16m ≤≤），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出m 的取值范围．22. （2020·青岛）某公司生产A型活动板房成本是每个425元.图①表示A型活动板房的一面墙，它由长形和抛物线构成，长方形的长AD=4m，宽AB=3m，抛物线的最高点E到BC的距离为4m.(1)按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用m=2(k≠0)表示.求该抛物线kxy+的函数表达式；(2)现将A型活动板房改造为B型活动板房.如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户m.已知GM=2m，求每个B型活动板房的成本是多少？(每个B 的成本为50元/2型活动板房的成本=每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本)(3)根据市场调查，以单价650元销售(2)中的B型活动板房，每月能售出100个，而单价每降低10元，每月能多售出20个.公司每月最多能生产160个B型活动板房.不考虑其他因素，公司将销售单价n(元)定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润w(元)最大？最大利润是多少？人教版九年级数学第22章二次函数尖子生培优-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C2. 【答案】D3. 【答案】A [解析] 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标为(－b2a ，4ac －b 24a )．∵－b 2a ＝－－22＝1＞0，4ac －b 24a ＝4（m 2＋2）－44＝m 2＋1＞0，故此抛物线的顶点在第一象限．故选A.4. 【答案】D【解析】()()1,,1,A m B m -， ∴点A 与点B 关于y 轴对称；由于2y x y x==-，的图象关于原点对称，因此选项A ，B 错误；∵0n >，∴m n m -<，由()()1,,2,B m C m n -可知，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，对于二次函数只有0a <时，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小， ∴D 选项正确，故选D ．5. 【答案】B【解析】本题考查了二次函数的增减性，当a ＞0，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当a ＜0时，在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴右侧，y 随x 的增大而减小，由对称轴x ＝12222(3)b a --=-=-⨯-，知（-3，y 1）和（-1，y 1）对称，因为a ＝-3＜0，所以当x ≥-2时，y 随x 的增大而减小，-2＜-1＜1，所以y 2＞y 1＞y 3，因此本题选B ．6. 【答案】C【解析】本题考查了一次函数与二次函数的图像性质，选项A 中y =ax 2+bx +c 的图像可知a ＞0、b ＜0，y =ax +b 的图像可知a ＞0、b ＞0，则选项A 不正确；选项B 中y =ax 2+bx +c 的图像可知a ＜0、b ＜0，y =ax +b 的图像可知a ＞0、b ＜0，则选项B 不正确；选项C 中y =ax 2+bx +c 的图像可知a ＞0、b ＜0，y =ax +b 的图像可知a ＞0、b ＜0，则选项C 正确；选项D 中y =ax 2+bx +c 的图像可知a ＞0、b ＜0，y =ax +b 的图像可知a ＜0、b =0，则选项D 不正确；，因此本题选C ．7. 【答案】B 【解析】本题考查了二次函数图像与系数的关系.∵抛物线与x 轴有两个交点，∴方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，240b ac ∴->，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴为直线2x =，22ba∴-=，40a b ∴+=，故③正确，由图象知，抛物线开口方向向下，0a ∴<.∵40a b +=，0b ∴>.∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，0c ∴>. 0abc ∴<，故②正确，由图象知，当2x =-时，0y <，420a b c ∴-+<，故④错误.综上所述，正确的结论有3个，因此本题选B ．8. 【答案】C [解析] 由图象可知，当x ＝1时，y ＜0，∴a ＋b ＋c ＜0；∵二次函数图象与x轴有两个交点，∴b 2－4ac>0；∵二次函数图象与y 轴的交点在y 轴负半轴上，∴c ＜0；∵二次函数图象开口向上，∴a ＞0；∵对称轴－b2a ＞0，a ＞0，∴b ＜0.∴abc ＞0.故选C.9. 【答案】C【解析】本题考查二次函数的图象与性质．由－ba2=－2得4a －b ＝0，故①正确;由ac b a -244＝3得4ac －b 2＝12a ，又4a ＝b ，代入消去b 得c ＝4a ＋3，故②错误; 由图，象得，关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝2有两个不相等实数根正确; 由ac b a-244＝3得4ac －b 2＝12a ，∴4ac ＝12a ＋b 2＝3b ＋b 2，∵a ＜0，b ＜0，c ＜0，∴4ac ＜2b ＋b 2 ，故④正确．故选C ．10. 【答案】B [解析] ∵抛物线开口向下，∴a ＜0.∵抛物线的对称轴在y 轴的右侧，∴b ＞0. ∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，∴c ＞0， ∴abc ＜0，故①正确．∵抛物线与x 轴有两个交点，∴Δ＝b 2－4ac ＞0，而a ＜0，∴b 2－4ac4a ＜0，故②错误．∵C(0，c)，OA ＝OC ，∴A(－c ，0)．把(－c ，0)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得ac 2－bc ＋c ＝0， ∴ac －b ＋1＝0，故③正确．设A(x 1，0)，B(x 2，0)，∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A ，B 两点， ∴x 1和x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根， ∴x 1·x 2＝ca .又∵x 1<0，∴OA·OB ＝－ca ，故④正确．故选B.二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】±1012. 【答案】2.5．【解析】令s ＝0，得15t －6t 2＝0，解得t 1＝2.5，t 2＝0（不合题意，舍去），故答案为2.5．13. 【答案】y ＝7x 2＋28x ＋33 [解析] 设该抛物线的解析式为y ＝a(x －h)2＋k.∵该抛物线与抛物线y ＝7x 2的形状、开口方向都相同，∴a ＝7.又∵其顶点坐标为(－2，5)，∴它的解析式为y ＝7(x ＋2)2＋5，整理，得y ＝7x 2＋28x ＋33.14. 【答案】x 1＝2，x 2＝4 [解析] ∵二次函数y ＝x 2＋bx －5的图象的对称轴为直线x ＝2，∴－b 2＝2，∴b ＝－4，∴原方程化为x 2－4x －5＝2x －13，解得x 1＝2，x 2＝4.15. 【答案】y ＝2(x ＋1)2－216. 【答案】4【解析】依题意，令0h =得：∴20205t t =-，得：(205)0t t -=，解得：0t =(舍去)或4t =，∴即小球从飞出到落地所用的时间为4s ，故答案为：4．17. 【答案】 y ＝－x2＋2x ＋318. 【答案】3－3[解析] 设点A的坐标为(0，b)，则B(b，b)，C(3b，b)，D(3b，3b)，E(3 b，3b)．所以AB＝b，DE＝3 b－3b＝(3－3) b.所以DEAB＝（3－3）bb＝3－ 3.三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】【思维教练】(1)将点P坐标代入解析式求出h的值，当抛物线到达球网位置的时候，对比抛物线与球网的高度判断是否能过网；(2)球能过网说明抛物线过点(0，1)和点(7，125)，代入抛物线解析式求解即可．解：(1)①把(0，1)代入y＝－124(x－4)2＋h，得h＝53.(2分)②把x＝5代入y＝124(x－4)2＋53，得y＝－124(5－4)2＋53＝1.625.∵1.625＞1.55.∴此球能过网；(4分)(2)把(0，1)，(7，125)代入y＝a(x－4)2＋h，得⎩⎪⎨⎪⎧16a＋h＝1，9a＋h＝125，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝－15，h＝215.∴a＝－15.(8分)20. 【答案】[解析] 先运用三角形的面积公式求出y关于x的函数解析式，然后运用公式法或配方法把函数解析式化成顶点式，再根据x的取值范围求所得函数的最大值，进而解决问题．解：(1)∵S△PBQ＝12PB·BQ，PB＝AB－AP＝(18－2x)cm，BQ＝x cm，∴y＝12(18－2x)·x，即y ＝－x 2＋9x(0<x≤4)．(2)由(1)知y ＝－x 2＋9x ，∴y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －922＋814. ∵当x<92时，y 随x 的增大而增大，而0<x≤4，∴当x ＝4时，y 最大值＝20，即△PBQ的面积的最大值是20 cm 2.21. 【答案】解：（1）设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，代入（4，10000），（5，9500）可得：10000495005k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得：50012000k b =-⎧⎨=⎩，即y 与x 的函数关系式为50012000y x =-+；（2）设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w ，根据题意可得：315500120006000x x ≤≤⎧⎨-+≥⎩，解得：312x ≤≤，()()()2350012000327500551252w y x x x x =-=-+-⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭∵312x ≤≤，∴当x ＝12时，w 有最大值，w ＝54000，答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为54000元，售价为12元．（3）设这一周该商场销售这种商品获得的利润为w ，当每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m 元时，()()()()()2350012000350050027500243w y x m x x m x m x m =--=-+--=-++-⨯-由题意，当x ≤15时，利润仍随售价的增大而增大，可得：()()50027152500m +-≥⨯-，解得：m ≥3，∵16m ≤≤∴36m ≤≤故m 的取值范围为：36m ≤≤．22. 【答案】解：（1）由题意得AD=4，AB=3，EH=4，∴OA=OD=21AD=21×4=2，OE=EH-OH=EH-AB=4-3=1， ∴A （-2，0），E （0，1），∴⎪⎩⎪⎨⎧+⋅=+-⋅=m k m k 2201)2(0，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=141m k ， ∴该抛物线的函数表达式为：1412+-=x y . （2）由题意得OM=21GM=21×2=1，∴当x=1时，4311412=+⨯-=y ，∴MN=43. ∴每个B 型活动板房的成本是：425+50×4×43=575（元）. （3）由题意得)1065020100)(575(n n w -⨯+-==)]650(2100)[575(n n -+- =)21300100)(575(n n -+-=)21400)(575(n n --=805000255022-+-n n由⎪⎩⎪⎨⎧≤-⨯+≤≤1601065020100650575n n x 得620≤n≤650. ∵805000255022-+-=n n w 的对称轴5.637)2(22550=-⨯-=n 在620≤n≤650之内， ∴当公司将销售单价n(元)定为637.5时，每月销售B 型活动板房所获利润w(元)最大，最大利润是：)5.63721400)(5755.637(⨯--=w =62.5×125=7812.5（元）.。

第22章二次函数培优训练人教版九年级数学上册

第22章二次函数培优训练20232024年度人教版九年级上册一、选择题1. 下列函数中是二次函数的是( )A ．y ＝3x －1B ．y ＝3x 2－1C ．y ＝(x ＋1)2－x 2D ．y ＝x 3＋2x －32. 抛物线的顶点坐标是（）A ．(3，1)B ．(3，－1)C ．(－3，1)D ．(－3，－1) 3. 二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示，则下列结论正确的是( )＞0,b ＜0,c ＞0 ＜0,b ＜0,c ＞0＜0,b ＞0,c ＜0 ＜0,b ＞0,c ＞04. 抛物线42-=x y 与x 轴交于B,C 两点，顶点为A ，则ABC ∆的周长为（）A ．54B ．454+C ．12D ．452+5.将抛物线y ＝－2x 2＋1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为( )＝－2(x ＋1)2－1 ＝－2(x ＋1)2＋3＝－2(x －1)2＋1 ＝－2(x －1)2＋36.用长40 m 的篱笆围成一个矩形菜园,则围成的菜园的最大面积为( )A.400 m 2B.300 m 2C.200 m 2D.100 m 27.在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数2y ax bx =+的图象可能为（）8.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论：0ac >①；②方程20ax bx c ++=的两根之和大于0；y ③随x 的增大而增大；④0a b c -+<，其中正确的个数（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 1)3(22+-=x y9．如图，用水管从某栋建筑物高的窗口A 处向外喷水，喷的水流呈抛物线型（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M 离墙1米，离地面3米，则水流下落点B 离墙的距离OB 是（）A ．米B ．3米C ．米D ．4米10. 如图,在平面直角坐标系中,四边形OBCD 是边长为4的正方形,平行于对角线BD 的直线l 从O 出发,沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,运动到直线ll 扫过的正方形OBCD 的面积为y,直线l 运动的时间为x(秒),下列能反映y 与x 之间函数关系的图象是( )二、填空题11．当2-=x 时，二次函数3422+-=x x y 的值是．12. 已知二次函数()()m mx x m y --+-=3222的图象的开口向上，顶点在第三象限，且交于y 轴的负半轴，则m 的取值范围是_________________.13．如果把抛物线y=2x 2﹣1向左平移1个单位，同时向上平移4个单位，那么得到的新的抛物线是______．14．已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的根为________．15.如图,用长8 m 的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框,那么这个窗户的最大透光面积是 __m 2.(中间横框所占的面积忽略不计)16.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价．若每件商品的售价为x 元，则可卖出（350﹣10x ）件，销售这批商品所得利润y （元）与售价x （元/件）的函数关系式为________三、解答题17. 已知如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，4），且与y轴交于点C（0，3）.（1）求该函数的关系式；（2）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标.18.如图,矩形ABCD 的两边长AB=18 cm,AD=4 cm,点P,Q 分别从A,B 同时出发,P在边AB 上沿AB 方向以每秒2 cm 的速度匀速运动,Q 在边BC 上沿BC 方向以每秒1 cm的速度匀速运动.设运动时间为x s,△PBQ 的面积为y(cm2).(1)求y 关于x 的函数表达式,并写出x 的取值范围.(2)求△PBQ 的面积的最大值.19．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=﹣x2+bx+c表示，且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为3m时，到地面OA的距离为m．（1）求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？20．某商品的进价为每件40元，如果售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果售价超过50元但不超过80元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖1件，如果售价超过80元后，若再涨价，则每涨1元每月少卖3件．设每件商品的售价x元（x为整数），每个月的销售量为y件．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）设每月的销售利润为W，请直接写出W与x的函数关系式．21.已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)交x轴于A(1，0)和B(−3，0)，交y轴于C．（1）求抛物线的解析式；（2）D是抛物线的顶点，P为抛物线上的一点（不与D重合），当S△PAB=S△ABD时，求P的坐标；（3）若F是x轴上一动点，Q是抛物线上一动点，是否存在F，Q，使以B，C，F，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标．。

人教版九年级上册第22章《二次函数》压轴培优训练

人教版九年级上册第22章《二次函数》压轴培优训练一．选择题1．已知函数y＝﹣（x﹣m）（x﹣n）+3，并且a，b是方程（x﹣m）（x﹣n）＝3的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（）A．m＜a＜b＜n B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．a＜m＜n＜b 2．根据下表，确定方程ax2+bx+c＝0的一个解的取值范围是（）x2 2.23 2.24 2.25ax2+bx+c﹣0.05﹣0.020.030.07A．2＜x＜2.23B．2.23＜x＜2.24C．2.24＜x＜2.25D．2.24＜x≤2.253．如图，点E、F、G、H分别是正方形ABCD边AB、BC、CD、DA上的点，且AE＝BF ＝CG＝DH．设A、E两点间的距离为x，四边形EFGH的面积为y，则y与x的函数图象可能为（）A．B．C．D．4．关于二次函数y＝2x2﹣mx+m﹣2，以下结论：①抛物线交x轴有交点；②不论m取何值，抛物线总经过点（1，0）；③若m＞6，抛物线交x轴于A、B两点，则AB＞1；④抛物线的顶点在y＝﹣2（x﹣1）2图象上．其中正确的序号是（）A．①②③④B．①②③C．①②④D．②③④5．如图：二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若AC⊥BC，则a的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣1D．﹣26．某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似抛物线y＝x2的形状．今在一个坡度为1：5的斜坡上，沿水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米的塔柱（如图），这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为（）A．12.75米B．13.75米C．14.75米D．17.75米7．如图是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x 轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b＝0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①③⑤D．②④⑤8．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B．①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点；②若点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m；④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为．其中正确判断有（）A．①②③④B．②③④C．①③④D．①③二．填空题9．如果函数y＝b的图象与函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3的图象恰有三个交点，则b的可能值是．10．已知关于x的函数y＝（m﹣1）x2+2x+m图象与坐标轴只有2个交点，则m＝．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y＝于点B、C，则BC的长为．12．如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A、B两点，拱桥最高点C到AB的距离为9m，AB＝36m，D、E为拱桥底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7m，则DE的长为m．13．二次函数的图象如图所示，点A0位于坐标原点，点A1，A2，A3，…，A2011在y轴的正半轴上，点B1，B2，B3，…，B2011在二次函数位于第一象限的图象上，若△A0B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A2010B2011A2011都为等边三角形，则△A2010B2011A2011的边长＝．14．如图，在一个与地面垂直的截面中建立直角坐标系（横坐标表示地面位移，纵坐标表示高度），一架无人机的飞行路线为y＝ax2+bx+c（a≠0），在直角坐标系中x轴上的线段AB上的某点起飞，途经空中线段EF上的某点，最后在线段CD上的某点降落，其中A （﹣2，0）、B（﹣1，0）、C（3，0）、D（4，0）、E（0，3）、F（0，2），则下列结论正确的有（填序号）（1）abc＜0；（2）从起飞到当x≤1时无人机一直是上升的；（3）2≤a+b+c≤4.5；（4）最大飞行高度不超过4．三．解答题15．抛物线C1：y＝﹣x2﹣x+2交x轴于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．（1）求A，B两点的坐标．（2）M为平面内一点，将抛物线C1绕点M旋转180°后得到抛物线C2，C2经过点A 且抛物线C2上有一点P，使△BCP是以∠B为直角的等腰直角三角形．是否存在这样的点M？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．16．已知，抛物线y＝ax2﹣2amx+am2+2m﹣5与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2）两点，顶点为P．（1）当a＝1，m＝2时，求线段AB的长度；（2）当a＝2，若点P到x轴的距离与点P到y轴的距离相等，求该抛物线的解析式；（3）若，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．17．如图1，我们将经过抛物线顶点的所有非竖直的直线，叫做该抛物线的“风车线”，若抛物线的顶点为P（a，b），则它的所有“风车线”可以统一表示为：y＝k（x﹣a）+b，即当x＝a时，y始终等于b．（1）若抛物线y＝﹣2（x+1）2+3与y轴交于点A，求该抛物线经过点A的“风车线”的解析式；（2）若抛物线可以通过y＝﹣x2平移得到，且它的“风车线”可以统一表示为y＝kx+3k ﹣2，求该抛物线的解析式；（3）如图2，直线m：y＝x+3与直线n：y＝﹣2x+9交于点A，抛物线y＝﹣2（x﹣2）2+1的“风车线”与直线m、n分别交于B、C两点，若△ABC的面积为12，求满足条件的“风车线”的解析式．18．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式及顶点坐标；（2）若P是线段OB上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交BC于点N，设OP＝t时，△BCH的面积为S．求S关于t的函数关系式；若S有最大值，请求出S 的最大值，若没有，请说明理由．（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在抛物线上是否存在这样的点P，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，已知二次函数y＝x2+bx+c经过A，B两点，BC⊥x轴于点C，且点A（﹣1，0），C（4，0），AC＝BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是线段AB上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标及S△ABF；（3）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使△ABP成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．20．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）如图，直线y＝与抛物线交于A，D两点，与直线BC交于点E．若M（m，0）是线段AB上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线AD于点G，交直线BC于点H．①当点F在直线AD上方的抛物线上，且S△EFG＝S△OEG时，求m的值；②在平面内是否在点P，使四边形EFHP为正方形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题1．解：函数y＝﹣（x﹣m）（x﹣n）+3，令y＝0，根据题意得到方程（x﹣m）（x﹣n）＝3的两个根为a，b，∵当x＝m或n时，y＝3＞0，∴实数m，n，a，b的大小关系为a＜m＜n＜b．故选：D．2．解：∵对于函数y＝ax2+bx+c，当x＝2.23时y＜0，当x＝2.24时y＞0，可见，x取2.23与2.24之间的某一值时，y＝0，则方程ax2+bx+c＝0的一个解的取值范围是2.23＜x＜2.24．故选：B．3．解：设正方形的边长为m，则m＞0，∵AE＝x，∴DH＝x，∴AH＝m﹣x，∵EH2＝AE2+AH2，∴y＝x2+（m﹣x）2，y＝x2+x2﹣2mx+m2，y＝2x2﹣2mx+m2，＝2[（x﹣m）2+]，＝2（x﹣m）2+m2，∴y与x的函数图象是A．故选：A．4．解：二次函数y＝2x2﹣mx+m﹣2，∵a＝2，b＝﹣m，c＝m﹣2，∴b2﹣4ac＝（﹣m）2﹣8（m﹣2）＝（m﹣4）2≥0，则抛物线与x轴有交点，故①正确；∵当x＝1时，y＝2﹣m+m﹣2＝0，∴不论m取何值，抛物线总经过点（1，0），故②正确；设A的坐标为（x1，0），B（x2，0），令y＝0，得到2x2﹣mx+m﹣2＝0，∴x1+x2＝，x1x2＝，∴AB＝|x1﹣x2|＝＝＝||，当m＞6时，可得m﹣4＞2，即＞1，∴AB＞1，故③正确；∵抛物线的顶点坐标为（，），∴将x＝代入得：y＝﹣2（﹣1）2＝﹣2（﹣+1）＝，∴抛物线的顶点坐标在y＝﹣2（x﹣1）2图象上，故④正确，综上，正确的序号有①②③④．故选：A．5．解：设A（x1，0）（x1＜0），B（x2，0）（x2＞0），C（0，t），∵二次函数y＝ax2+bx+2的图象过点C（0，t），∴t＝2；∵AC⊥BC，∴OC2＝OA•OB，即4＝|x1x2|＝﹣x1x2，根据韦达定理知x1x2＝，∴a＝﹣．故选：A．6．解：如图，以点D为原点，DC方向为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝x2+bx+c，易知：A（0，20），B（50，30），代入解析式可求得：b＝﹣，c＝20，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+20，∵斜坡的坡度为1：5，∴斜坡所在直线的解析式为：y＝x，设一条与x轴垂直的直线x＝m与抛物线交于M，与斜坡交于G，则MG＝m2﹣m+20﹣m＝（m﹣25）2+13.75，∴当m＝25时，MG的最小值为13.75，即下垂的电缆与地面的最近距离为13.75m；故选：B．7．解：∵抛物线的顶点坐标A（1，3），∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴2a+b＝0，所以①正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∴b＝﹣2a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标A（1，3），∴x＝1时，二次函数有最大值，∴方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根，所以③正确；∵抛物线与x轴的一个交点为（4，0）而抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣2，0），所以④错误；∵抛物线y1＝ax2+bx+c与直线y2＝mx+n（m≠0）交于A（1，3），B点（4，0）∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以⑤正确．故选：C．8．解：①把y＝m+2代入y＝﹣x2+2x+m+1中，得x2﹣2x+1＝0，∵△＝4﹣4＝0，∴此方程两个相等的实数根，则抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点，故①结论正确；②∵抛物线的对称轴为x＝1，∴点P（2，y3）关于x＝1的对称点为P′（0，y3），∵a＝﹣1＜0，∴当x＜1时，y随x增大而增大，又∵﹣2＜0＜，点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P′（0，y3）在该函数图象上，∴y2＞y3＞y1，故②结论错误；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+2（x+2）x+m+1﹣2，即y＝﹣（x+1）2+m，故③结论正确；④当m＝1时，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+2，∴A（0，2），C（2，2），B（1，3），作点B关于y轴的对称点B′（﹣1，3），作C点关于x轴的对称点C′（2，﹣2），连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，如图，则BE+ED+CD+BC＝B′E+ED+C′D+BC＝B′C′+BC，根据两点之间线段最短，知B′C′最短，而BC的长度一定，∴此时，四边形BCDE周长＝B′C′+BC最小，为：+＝+＝，故④结论正确；综上所述，正确的结论是①③④．故选：C．二．填空题9．解：当x≥1时，函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3＝x2﹣7x，图象的一个端点为（1，﹣6），顶点坐标为（，﹣），当x＜1时，函数y＝x2﹣3|x﹣1|﹣4x﹣3＝x2﹣x﹣6，顶点坐标为（，﹣），∴当b＝﹣6或b＝﹣时，两图象恰有三个交点．故本题答案为：﹣6，﹣．10．解：（1）当m﹣1＝0时，m＝1，函数为一次函数，解析式为y＝2x+1，与x轴交点坐标为（﹣，0）；与y轴交点坐标（0，1）．符合题意．（2）当m﹣1≠0时，m≠1，函数为二次函数，与坐标轴有两个交点，则过原点，且与x 轴有两个不同的交点，于是△＝4﹣4（m﹣1）m＞0，解得，（m﹣）2＜，解得m＜或m＞．将（0，0）代入解析式得，m＝0，符合题意．（3）函数为二次函数时，还有一种情况是：与x轴只有一个交点，与y轴交于交于另一点，这时：△＝4﹣4（m﹣1）m＝0，解得：m＝．故答案为：1或0或．11．解：∵抛物线y＝ax2+3与y轴交于点A，∴A点坐标为（0，3）．当y＝3时，＝3，解得x＝±3，∴B点坐标为（﹣3，3），C点坐标为（3，3），∴BC＝3﹣（﹣3）＝6．故答案为6．12．解：如图所示，建立平面直角坐标系，x轴在直线DE上，y轴经过最高点C．设AB与y轴交于点H，∵AB＝36，∴AH＝BH＝18，由题可知：OH＝7，CH＝9，∴OC＝9+7＝16，设该抛物线的解析式为：y＝ax2+k，∵顶点C（0，16），∴抛物线y＝ax2+16，代入点（18，7）∴7＝18×18a+16，∴7＝324a+16，∴324a＝﹣9，∴a＝﹣，∴抛物线：y＝﹣x2+16，当y＝0时，0＝﹣x2+16，∴﹣x2＝﹣16，∴x2＝16×36＝576∴x＝±24，∴E（24，0），D（﹣24，0），∴OE＝OD＝24，∴DE＝OD+OE＝24+24＝48，故答案为：48．13．解：分别过B1，B2，B3作y轴的垂线，垂足分别为A、B、C，设A0A1＝a，A1A2＝b，A2A3＝c，则AB1＝a，BB2＝b，CB3＝c，在正△A0B1A1中，B1（a，），代入y＝x2中，得＝•（a）2，解得a＝1，即A0A1＝1，在正△A1B2A2中，B2（b，1+），代入y＝x2中，得1+＝•（b）2，解得b＝2，即A1A2＝2，在正△A2B3A3中，B3（c，3+），代入y＝x2中，得3+＝•（c）2，解得c＝3，即A2A3＝3，由此可得△A2010B2011A2011的边长＝2011．故答案为：2011．14．解：∵线段AB上的某点起飞，途经空中线段EF上的某点，最后在线段CD上的某点降落，且由所给点的坐标可知，对称轴位于y轴右侧，抛物线开口向下∴a＜0，b＞0（a，b符号左同右异），c＞0（抛物线与y轴交于线段EF上某点）∴abc＜0∴（1）正确；当起飞点位于点A，而降落点位于点C时，对称轴为x＝＝＜1∴（2）不正确；当抛物线过点B，点E，点C时，设y＝a（x+1）（x﹣3），将E（0，3）代入得：3＝a（0+1）（0﹣3），∴a＝﹣1∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）当x＝1时，y＝﹣2×（﹣2）＝4；当抛物线过点B，点E，点D时，设y＝a（x+1）（x﹣4），将E（0，3）代入得：3＝a（0+1）（0﹣4），解得a＝﹣，∴y＝﹣（x+1）（x﹣4），当x＝＝时，y＝＞4，故（4）不正确，当抛物线过点A，点F，点D时，设y＝a（x+2）（x﹣4），将F（0，2）代入得：2＝a（0+2）（0﹣4），解得a＝﹣，∴y＝﹣（x+2）（x﹣4），当x＝1时，y＝a+b+c＝＞2，当抛物线过点A，点F，点C时，设y＝a（x+2）（x﹣3），将F（0，2）代入得：2＝a（0+2）（0﹣3），解得a＝﹣，∴y＝﹣（x+2）（x﹣3），当x＝1时，y＝a+b+c＝2，将x＝1代入y＝﹣（x+1）（x﹣4）得y＝a+b+c＝4.5，故（3）正确．综上，（1）（3）正确．故答案为：（1）（3）．三．解答题15．解：（1）当y＝0时，﹣x2﹣x+2＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝2，∵点A在点B的右侧，∴A（2，0），B（﹣4，0）；（2）分两种情况：①当P在x轴的下方时，如图1，过P作PD⊥x轴于D，设抛物线C1的顶点为E，则E（﹣1，），∵△PBC是等腰直角三角形，∴BC＝PB，∠PBC＝90°，∴∠CBO+∠OCB＝∠OBC+∠PBD＝90°，∴∠OCB＝∠PBD，∵∠BOC＝∠PDB＝90°，∴△BOC≌△PDB（AAS），∴PD＝OB＝4，BD＝OC＝2，∴OD＝4﹣2＝2，∴P（﹣2，﹣4），∵抛物线C1绕点M旋转180°后得到抛物线C2，∴设抛物线C2的解析式为：y＝，把P（﹣2，﹣4）和A（2，0）代入得：，解得：，∴抛物线C2的解析式为：y＝＝，此时点P为抛物线C2的顶点，∴M是线段EP的中点，∴M（﹣，﹣）；②当点P在x轴的上方时，如图2，过P作PD⊥x轴于D，同理得△PDB≌△BOC，∴PD＝OB＝4，BD＝OC＝2，∴P（﹣6，4），∵抛物线C2经过点P和点A，同理可得抛物线的解析式为：y＝＝，∴顶点F（﹣1，﹣），∵抛物线C1绕点M旋转180°后得到抛物线C2，∴M是线段EF的中点，∴M（﹣1，0）；综上，点M的坐标为：（﹣，﹣）或（﹣1，0）．16．解：（1）当a＝1，m＝2时，y＝x2﹣4x+3，当y＝0时，x2﹣4x+3＝0，解得：x1＝1，x2＝3，∴AB＝3﹣1＝2；（2）当a＝2时，y＝2x2﹣4mx+2m2+2m﹣5＝2（x﹣m）2+2m﹣5，∵顶点为P，∴P（m，2m﹣5），∴点P在直线y＝2x﹣5上，∵点P到x轴的距离与点P到y轴的距离相等，∴当点P在第一象限时，m＝2m﹣5，m＝5，该抛物线的解析式为y＝2（x﹣5）2+5，当解析式为y＝2（x﹣5）2+5时，该抛物线与x轴无交点与题意有两个交点矛盾，故这种情况舍去，当点P在第四象限时，m＝﹣（2m﹣5），m＝，该抛物线的解析式为；（3）当a＝时，抛物线的解析式为y＝（x﹣m）2+2m﹣5，分三种情况考虑：①当m＞2m﹣2，即m＜2时，有（2m﹣2﹣m）2+2m﹣5＝2，整理，得：m2﹣14m+39＝0，解得：m1＝7﹣（舍去），m2＝7+（舍去）；②当2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5时，有2m﹣5＝2，解得：m＝；③当m＜2m﹣5，即m＞5时，有（2m﹣5﹣m）2+2m﹣5＝2，整理，得：m2﹣20m+60＝0，解得：m3＝10﹣2（舍去），m4＝10+2．综上所述：m的值为或10+2．17．解：（1）对于y＝﹣2（x+1）2+3，令x＝0，则y＝1，故点A（0，1），顶点P的坐标为（﹣1，3），则“风车线”的表达式为y＝k（x+1）+3，将点A的坐标代入上式并解得：k＝﹣2，故“风车线”的解析式为y＝﹣2（x+1）+3＝﹣2x+1；（2）y＝kx+3k﹣2＝k（x+3）﹣2，故点P的坐标为（﹣3，﹣2），故平移后的抛物线表达式为y＝﹣（x+3）2﹣2；（3）∵抛物线的表达式为y＝﹣2（x﹣2）2+1，则点P（2，1），则“风车线”的表达式为y＝k（x﹣2）+1，联立，解得，故点A（2，5），故AP＝5﹣1＝4，则△ABC的面积＝S△APB+S△APC＝×4×（x C﹣x B）＝12，解得：x C﹣x B＝6，设点B的横坐标为t，则点C的横坐标为t+6，点B在直线m上，则点B（t，t+3），同理点C（t+6，﹣2t﹣3），将点B、C的坐标分别代入y＝k（x﹣2）+1，得，解得，故“风车线”的表达式为y＝k（x﹣2）+1＝﹣（x﹣2）+1＝﹣x+3．18．解：（1）把点A（﹣1，0），点C（0，﹣3）代入抛物线的解析式为y＝x2+bx+c中得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点的坐标为（1，﹣4）；（2）如图1，设直线BC的解析式为y＝kx+d（k≠0），当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，∴B（3，0），将B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+d中，得：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，∵OP＝t，设点P的坐标为（t，0），则点N的坐标为（t，t﹣3），H（t，t2﹣2t﹣3），∴NH＝t﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+3t，∴S＝S△BCH＝NH•OB＝＝﹣t＝﹣，∵0≤t≤3，﹣，∴当t＝时，S取最大值，最大值为；（3）分两种情况：①当Q在x轴的上方时，如图2和图4，四边形ACPQ是平行四边形，根据A（﹣1，0）和C（0，﹣3）可知：点Q的纵坐标为3，当y＝3时，x2﹣2x﹣3＝3，解得：x1＝1+，x2＝1﹣，∴P（2+，0）或（2﹣，0）；②当Q在x轴的上方时，如图3，四边形ACQP是平行四边形，当y＝﹣3时，由对称得：Q（2，﹣3），∴P（1，0）；综上，P点的坐标为（2+，0）或（2﹣，0）或（1，0）．19．解：（1）∵点A（﹣1，0），C（4，0），∴AC＝5，OC＝4，∵AC＝BC＝5，∴B（4，5），把A（﹣1，0）和B（4，5）代入二次函数y＝x2+bx+c中得：，解得：，∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图1，∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝x+1，∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3，∴设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），∴EF＝（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣（t﹣）2+，∴当t＝时，EF的最大值为，∴点E的坐标为（，），∴S△ABF＝＝＝．（3）存在，y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴设P（1，m），分三种情况：①以点B为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+AB2＝P A2，∴（4﹣1）2+（m﹣5）2+（4+1）2+52＝（1+1）2+m2，解得：m＝8，∴P（1，8）；②以点A为直角顶点时，由勾股定理得：P A2+AB2＝PB2，∴（1+1）2+m2+（4+1）2+52＝（4﹣1）2+（m﹣5）2，解得：m＝﹣2，∴P（1，﹣2）；③以点P为直角顶点时，由勾股定理得：PB2+P A2＝BA2，∴（1+1）2+m2+（4﹣1）2+（m﹣5）2＝（4+1）2+52，解得：m＝6或﹣1，∴P（1，6）或（1，﹣1）；综上，点P的坐标为（1，8）或（1，﹣2）或（1，6）或（1，﹣1）．20．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，∴y＝﹣（x+3）（x﹣4）＝﹣；（2）①如图1，∵B（4，0），C（0，4），∴设BC的解析式为：y＝kx+b，则，解得，∴BC的解析式为：y＝﹣x+4，∴﹣x+4＝，解得：x＝1，∴E（1，3），∵M（m，0），且MH⊥x轴，∴G（m，），F（m，﹣），∵S△EFG＝S△OEG，∴，[（﹣）﹣（）]（1﹣m）＝，解得：m1＝，m2＝﹣2；②存在，由①知：E（1，3），∵四边形EFHP是正方形，∴FH＝EF，∠EFH＝∠FHP＝∠HPE＝90°，∵M（m，0），且MH⊥x轴，∴H（m，﹣m+4），F（m，﹣），分两种情况：i）当﹣3≤m＜1时，如图2，点F在EP的左侧，∴FH＝（﹣m+4）﹣（﹣）＝，∵EF＝FH，∴，解得：m1＝（舍），m2＝，∴H（，），∴P（1，），ii）当1＜m＜4时，点F在PE的右边，如图3，同理得﹣＝m﹣1，解得：m1＝，m2＝（舍），同理得P（1，）；综上，点P的坐标为：或．。

人教版九年级上册22章：二次函数单元培优测试(有答案)

人教版九年级上册23章：二次函数单元培优测试一、单选题（40分）1．在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线23y x =-先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度后所得到的抛物线的表达式为（）A ．()2334y x =-+-B ．()2334y x =--C ．()2334y x =++D ．()2334y x =--+2．下列函数的图象，不经过原点的是（）A ．32x y =B ．y ＝2x 2C ．y ＝（x ﹣1）2﹣1D ．3y x= 3．将二次函数y =(x ﹣1)2+2的图象向上平移3个单位长度，得到的拋物线相应的函数表达式为( ) A ．y =(x +2)2﹣2B ．y =(x ﹣4)2+2C ．y =(x ﹣1)2﹣1 D ．y =(x ﹣1)2+54．抛物线2y ax bx c =++的部分图象如图所示，当0y <时，x 的取值范围是（）A ．x ＞2 或x ＜－3B ．－3＜x ＜2C ．x ＞2或x ＜－4D ．－4＜x ＜25．三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（）A ．43米B ．52米C ．213米D ．7米6．在同一直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++与一次函数y ax c =+的大致图象可能（）A ．B ．C ．D ．2x… 0 1 2 4 … y … m k m n … 8．如图，四边形ABCD 是菱形，2,60AB ABC =∠=︒，点P 从D 点出发，沿DA AB BC →→运动，过点P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ，设点P 运动的路程为x ，DPQ ∆的面积为y ，则下列图象能正确反映y 与x 之间的函数关系的是( )．A ．B ．C ．D ．9．将函数22(04)y x x m x =-++≤≤在x 轴下方的图像沿x 轴向上翻折，在x 轴上方的图像保持不变，得到一个新图像．若使得新图像对应的函数最大值与最小值之差最小，则m 的值为（）A ．2.5B ．3C ．3.5D ．410．如图是抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)图象的一部分，抛物线的顶点坐标A(1，3)，与x 轴的一个交点B(4，0)，直线y 2＝mx ＋n(m≠0)与抛物线交于A ，B 两点，下列结论：①2a ＋b ＝0；②abc>0；③方程ax 2＋bx ＋c ＝3有两个相等的实数根；④抛物线与x 轴的另一个交点是(－1，0)；⑤当1<x<4时，有y 2<y 1，其中正确的是（）A ．①④⑤B ．①③④⑤C ．①③⑤D ．①②③二、填空题（24分）11．二次函数223y x x =--+的图像的顶点坐标是_________．12．二次函数y ＝3x 2－6x －3图象的对称轴是_________.13．把一个小球以20米/秒的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h （米）与时间t （秒），满足关系：h=20t-5t 2，当小球达到最高点时，小球的运动时间为第_________秒时．14．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的边长为2，∠AOC ＝60°，点D 为AB 边上的一点，经过O ，A ，D 三点的抛物线与x 轴的正半轴交于点E ，连结AE 交BC 于点F ，当DF ⊥AB 时，CE 的长为__．15．如图抛物线223y x x =+-与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点P 是抛物线对称轴上任意一点，若点D 、E 、F 分别是BC 、BP 、PC 的中点，连接DE ，DF ，则DE DF +的最小值为_____．16．若函数图象上存在点(),Q m n ，满足1n m =+，则称点Q 为函数图象上的奇异点．如：直线23y x =-上存在唯一的奇异点()4,5Q ．若y 关于x 的二次函数211(1)22y x a h x b h =+-+++的图象上存在唯一的奇异点，且当32a -≤≤时，b 的最小值为2-，则h 的值为__________．三、解答题（86分）（8分）17．已知二次函数23y x bx =+- （b 是常数）的图象经过点()1,0A -，求这个二次函数的解析式和这个二次函数的最小值．（8分）18．已知抛物线21y ax bx =++经过点(1，﹣2)，(﹣2，13)．（1）求a ，b 的值；（4分）（2）若(5，1y )，(m ，2y )是抛物线上不同的两点，且2112y y =-，求m 的值．（4分）（10分）19．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程ax 2+bx +c ＝0的两个根；（3分）（2）写出不等式ax 2+bx +c ＞0的解集；（3分）（3）若方程ax 2+bx +c ＝k 有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．（4分）（8分）20．如图,已知直线y=-2x+3与抛物线y=x 2相交于A,B 两点,O 为坐标原点.(1)求点A 和B 的坐标；（4分）(2)连结OA,OB,求△OAB 的面积.（4分）（10分）21．“普洱茶”是云南有名的特产，某网店专门销售某种品牌的普洱茶，成本为30元/盒，每天销售y (件)与销售单价x (元)之间存在一次函数关系，如图所示．(1)求y 与x 之间的函数关系式；（4分）(2)如果规定每天该种普洱茶的销售量不低于240盒，该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出500元给扶贫基金会，当销售单价为多少元时，每天获取的净利润最大，最大净利润是多少？(注:净利润=总利润-捐款)（6分）（14分）22．我们知道，经过原点的抛物线解析式可以是()2y=ax bx a 0+≠。

人教版九年级数学上册第22章：二次函数单元培优练习(含解析)

二次函数单元卷（19，20年真题重组卷）一、单选题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．（2020·广东）二次函数y ＝3（x +4）2﹣5的图象的顶点坐标为（） A ．（4，5） B ．（﹣4，5） C ．（4，﹣5） D ．（﹣4，﹣5） 2．（2020·广西）下列二次函数中，二次项系数是﹣3的是（）A ．y ＝3x 2﹣2x +5B ．y ＝x 2﹣3x +2C ．y ＝﹣3x 2﹣xD ．y ＝x 2﹣33．（2020·四川）将二次函数y ＝x 2的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的二次函数的表达式为（） A ．y ＝2x 2+3B ．y ＝﹣2x 2﹣3C ．y ＝（x ﹣2）2﹣3D ．y ＝（x+2）2+34．（2020·湖北）将抛物线21:23C y x x =-+向左平移1个单位长度，得到抛物线2C ，抛物线2C 与抛物线3C 关于x 轴对称，则抛物线3C 的解析式为（） A ．22y x =--B ．22y x =-+C ．22y x =-D ．22y x =+5．（2020·山东）一次函数y ax b =+与二次函数2y ax bx c =++在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．6．（2020·湖南）二次函数2y ax bx c =++，若0ab <，20a b ->，点()11,A x y ，()22,B x y 在该二次函数的图象上，其中12x x <，120x x +=，则（） A ．12y y =-B ．12y y >C ．12y y <D ．1y 、2y 的大小无法确定7．（2020·四川）如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3），若抛物线y=ax 2的图象与正方形有公共顶点，则实数a 的取值范围是（） A ．139a ≤≤ B ．119a ≤≤ C ．133a ≤≤ D ．113a ≤≤ 8．（2020·福建）已知()111,P x y ，()222,P x y 是抛物线22y ax ax =-上的点，下列命题正确的是（）A ．若12|1||1|->-x x ，则12y y >B ．若12|1||1|->-x x ，则12y y <C ．若12|1||1|-=-x x ，则12y y =D ．若12y y =，则12x x =9．（2020·广东）如图，菱形ABCD 的边长是4厘米，60B ∠=，动点P 以1厘米/秒的速度自A 点出发沿AB 方向运动至B 点停止，动点Q 以2厘米/秒的速度自B 点出发沿折线BCD 运动至D 点停止．若点 P ，Q 同时出发运动了t 秒，记BPQ ∆的面积为S 厘米2，下面图象中能表示S 与t 之间的函数关系的是（）A ．B ．C ．D ．10．（2020·黑龙江）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴正半轴交于A ，B 两点，与y 轴负半轴交于点C ．若点(4,0)B ，则下列结论中：①0abc >；②40a b +>；③()11,M x y 与()22,N x y 是抛物线上两点，若120x x <<，则12y y >；④若抛物线的对称轴是直线3x =，m 为任意实数，则(3)(3)(3)a m m b m -+-；⑤若3AB ≥，则430b c +>，正确的个数是（） A ．5B ．4C ．3D ．2二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2020·江苏）二次函数y ＝（m ﹣1）x 2的图象开口向下，则m _____． 12．（2019·吉林）如果22(1)-=-mmy m x 是二次函数，则m =__________．13．（2020·广东）当二次函数246y x x =-+-有最大值时，x =________．14．（2020·江苏）加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y 与加工时间x （单位：min ）满足函数表达式20.2 1.52y x x =-+-，则最佳加工时间为________min ．15．（2020·山东）点11(1,)P y -，22(3,)P y ，33(5,)P y 均在二次函数22(0)y ax ax c a 的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是__________．16．（2020·辽宁）二次函数y=23x 2的图象如图，点A 0位于坐标原点，点A 1，A 2，A 3…A n 在y 轴的正半轴上，点B 1，B 2，B 3…B n 在二次函数位于第一象限的图象上，点C 1，C 2，C 3…C n 在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A 0B 1A 1C 1，四边形A 1B 2A 2C 2，四边形A 2B 3A 3C 3…四边形A n ﹣1B n A n C n 都是菱形，∠A 0B 1A 1=∠A 1B 2A 2=∠A 2B 3A 3…=∠A n ﹣1B n A n =60°，菱形A 2019B 2020A 2020C 2020的周长为________ ．17．（2020·浙江）若直线y x m =+与函数223y x x =--的图象只有一个交点，则交点坐标为__________；若直线y x m =+与函数223y x x =--的图象有四个公共点，则m 的取值范围是__________．18．（2020·江苏）抛物线y=ax 2-4ax+4(a≠0)与y 轴交于点A ．过点B(0,3)作y 轴的垂线l ，若抛物线y=ax 2-4ax+4(a≠0)与直线l 有两个交点，设其中靠近y 轴的交点的横坐标为m ，且│m│<1，则a 的取值范围是______．三、解答题（本大题共8小题，78分）（4分）19．（2020·黑龙江）函数y=ax 2+x+1的图象与x 轴只有一个公共点．求这个函数的关系式；（2+3=5分）20．（2019·陕西）已知抛物线y =ax 2+bx +c 经过(﹣1，0)，(0，﹣3)，(2，3)三点．（1）求这条抛物线的表达式；（2）写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．（2+2+2=6分）21．（2019·南通）二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，经过（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）．（1）求二次函数的解析式；（2）不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为；（3）方程ax 2+bx +c ＝m 有两个实数根，m 的取值范围为．（4+5=9分）22．（2020·内蒙古）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，身体(看成一点)的路线是抛物线23315y x x =-++的一部分，如图所示．（1）求演员弹跳离地面的最大高度；（2）已知人梯高 3.4BC =米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由．（2+2+8=12分）23．（2020·湖南）某班兴趣小组对函数y ＝﹣x 2+2|x |的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．自变量的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值列表如下： x…﹣352-﹣2 ﹣1 0 1 2523 …y … ﹣354- 01 0 1 054- ﹣3 …（1）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该图象的另一部分；（2）观察函数图象，当y 随x 增大而减小时，则x 的取值范围是；（3）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x 轴有个交点，所以对应方程﹣x 2+2|x |＝0有个实数根； ②方程﹣x 2+2|x |＝﹣1有个实数根；③若关于x 的方程﹣x 2+2|x |＝n 有4个实数根，则n 的取值范围是．（3+6+3=12分）24．（2020·湖北）2020年新冠肺炎疫情期间，部分药店趁机将口罩涨价，经调查发现某药店某月（按30天计）前5天的某型号口罩销售价格p （元/只）和销量q （只）与第x 天的关系如下表：第x 天1 2 3 4 5 销售价格p （元/只） 2 3 4 5 6 销量q （只）7075808590物价部门发现这种乱象后，统一规定各药店该型号口罩的销售价格不得高于1元/只，该药店从第6天起将该型号口罩的价格调整为1元/只．据统计，该药店从第6天起销量q （只）与第x 天的关系为2280200q x x =-+-（630x ≤≤，且x 为整数），已知该型号口罩的进货价格为0.5元/只．（1）直接写出．．．．该药店该月前5天的销售价格p 与x 和销量q 与x 之间的函数关系式；（2）求该药店该月销售该型号口罩获得的利润W （元）与x 的函数关系式，并判断第几天的利润最大；（3）物价部门为了进一步加强市场整顿，对此药店在这个月销售该型号口罩的过程中获得的正常利润之外的非法所得部分处以m 倍的罚款，若罚款金额不低于2000元，则m 的取值范围为______．（3+6+4=13分）25．（2020·甘肃）如图所示，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为()2,0A -，点C 的坐标为()0,6C ，对称轴为直线1x =.点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为()14m m <<，连接AC ，BC ，DC ，DB ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）当BCD 的面积等于AOC ∆的面积的34时，求m 的值；（3）在（2）的条件下，若点M 是x 轴上一动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M ，使得以点,,,B D M N 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．（3+6+8+=17分）26．（2020·湖南）如图所示，抛物线223y x x =--与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，点M 为抛物线的顶点．（1）求点C 及顶点M 的坐标．（2）若点N 是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN CN 、求BCN △面积的最大值及此时点N 的坐标．（3）若点D 是抛物线对称轴上的动点，点G 是抛物线上的动点，是否存在以点B 、C 、D 、G 为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G 的坐标；若不存在，试说明理由．参考答案1．D2．C3．D4．A5．B6．B7．A8．C9．D10．B 11．＜1 12．2 13．2 14．3.75 15．y 1＝y 2＞y 3 16．808017．()3,0 1314m << 18．a>13或a<15-. 19．1.y=x+1；2.y=21x x 14++ 20．（1）y =2x 2﹣x ﹣3；（2）抛物线的开口向上，对称轴为x =14，顶点坐标为（14，﹣258）． 21．（1）y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）x ＜﹣1或x ＞3；（3）m ≥﹣4． 22．(1)194；（2）能成功；理由见解析. 23．（1）详见解析；（2）﹣1＜x ＜0，x ＞1；（3）①3，3；②2；③0＜n ＜124．（1）1p x =+，15x ≤≤且x 为整数，565q x =+，15x ≤≤且x 为整数；（2）22135655,152240100,630x x x x W x x x x ⎧++⎪=⎨⎪-+-⎩且为整数且为整数，第5天时利润最大；（3）85m ． 25．（1）233642y x x =-++；（2）m 的值为3；（3）存在，点M 的坐标为()8,0，()0,0，，()． 26．(1) (0,-3)，(1,-4)；(2) 278，(315,24-)；(3) G 点坐标存在，为(2，-3)或(4，5)或(-2，1)；(4) P 点坐标存在，为39(,)44--或(1,2)--．二次函数单元卷一、填空题1．二次函数y ＝（m ﹣1）x 2的图象开口向下，则m _____．【答案】＜1 【解析】【分析】根据二次函数y ＝（m ﹣1）x 2的图象开口向下，列出关于m 的不等式，即可得到答案. 【详解】∵二次函数y ＝（m ﹣1）x 2的图象开口向下， ∴m ﹣1＜0，解得：m ＜1，故答案为：＜1．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次项系数的几何意义，是解题的关键. 2．如果22(1)-=-mmy m x 是二次函数，则m =__________．【答案】2 【解析】【分析】根据二次函数的定义列式计算即可. 【详解】解：由题意得：22m m -=，且210m -≠，解得：2m =，故答案为：2．【点睛】本题主要考查的是二次函数的定义，由二次函数的定义得到22m m -=，且210m -≠是解题的关键． 3．当二次函数246y x x =-+-有最大值时，x =________．【答案】2 【解析】【分析】把二次函数整理成顶点式形式，然后解答即可．【详解】解：∵246y x x =-+-，=-（x-2）2-2，∴当x=2时，二次函数取最大值．故答案为：2．【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式整理成顶点式形式更方便求解． 4．加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y 与加工时间x （单位：min ）满足函数表达式20.2 1.52y x x =-+-，则最佳加工时间为________min ．【答案】3.75 【解析】【分析】根据二次函数的对称轴公式2bx a=-直接计算即可．【详解】解：∵20.2 1.52y x x =-+-的对称轴为()1.5 3.75220.2b x a =-=-=⨯-（min ），故：最佳加工时间为3.75min ，故答案为：3.75．【点睛】此题主要考查了二次函数性质的应用，涉及求顶点坐标、对称轴方程等，记住抛物线顶点公式是解题关键． 5．点11(1,)P y -，22(3,)P y ，33(5,)P y 均在二次函数22(0)yax ax c a 的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是__________．【答案】y 1＝y 2＞y 3 【解析】【分析】由于三个点的横坐标已知，进而分别计算自变量为-1、3、5对应的函数值，然后比较函数值的大小即可．【详解】当x=-1时，y 1=a+2a+c=3a+c ，当x=3时，y 2=9a-6a+c=3a+c ，当x=5时，y 3=25a-10a+c=15a+c ， ∵a ＜0，∴3a+c ＞15a+c ，所以y 1=y 2＞y 3．故答案为：y 1＝y 2＞y 3．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 6．二次函数y=23x 2的图象如图，点A 0位于坐标原点，点A 1，A 2，A 3…A n 在y 轴的正半轴上，点B 1，B 2，B 3…B n 在二次函数位于第一象限的图象上，点C 1，C 2，C 3…C n 在二次函数位于第二象限的图象上，四边形A 0B 1A 1C 1，四边形A 1B 2A 2C 2，四边形A 2B 3A 3C 3…四边形A n ﹣1B n A n C n 都是菱形，∠A 0B 1A 1=∠A 1B 2A 2=∠A 2B 3A 3…=∠A n ﹣1B n A n =60°，菱形A 2019B 2020A 2020C 2020的周长为________ ．【答案】8080 【解析】【分析】由于△A 0B 1A 1，△A 1B 2A 2，△A 2B 3A 3，…，都是等边三角形，因此∠B 1A 0x ＝30°，可先设出△A 0B 1A 1的边长，然后表示出B1的坐标，代入抛物线的解析式中即可求得△A 0B 1A 1的边长，用同样的方法可求得△A 0B 1A 1，△A 1B 2A 2，△A 2B 3A 3，…的边长，然后根据各边长的特点总结出此题的一般化规律，根据菱形的性质易求菱形A n −1B n A n C n 的周长．【详解】∵四边形A 0B 1A 1C 1是菱形，∠A 0B 1A 1＝60°， ∴△A 0B 1A 1是等边三角形．设△A 0B 1A 1的边长为m 1，则B 1的纵坐标为12m ，利用勾股定理求出B 1∴B （12，12m ）；代入抛物线的解析式中得：21232m =⎝⎭，解得m 1＝0（舍去），m 1＝1；故△A 0B 1A 1的边长为1，设△A 1B 2A 2的边长为m 2，则B 2的纵坐标为22m +1，利用勾股定理求出B 2的横坐标为22，∴B 22m +1）；代入抛物线的解析式中得：22221322m ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭，解得m 2＝-1（舍去），m 2＝2；故△A 1B 2A 2的边长为2，同理可求得△A 2B 3A 3的边长为3， …依此类推，等边△A n −1B n A n 的边长为n ，故菱形A n −1B n A n C n 的周长为4n ．∴菱形A 2019B 2020A 2020C 2020的周长为4×2020=8080，故答案是：8080．【点睛】本题考查了二次函数综合题．解题时，利用了二次函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点．解答此题的难点是推知等边△A n −1B n A n 的边长为n ．7．若直线y x m =+与函数223y x x =--的图象只有一个交点，则交点坐标为__________；若直线y x m=+与函数223y x x =--的图象有四个公共点，则m 的取值范围是__________．【答案】()3,0 1314m <<【解析】【分析】作出223y x x =--和y x m =+的图象，根据图象性质即可求出．【详解】①作出223y x x =--和y x m =+的图象，如图所示观察图形即可看出，当直线y x m =+过（3，0）时，与函数223y x x =--的图象只有一个交点，所以答案为（3,0）；②联立223y x m y x x =+⎧⎨=-++⎩，消去y 后可得：230x x m -+-=，令=0，可得14(3)0m --=，134m =，即m=134时，直线y=x+m 与函数223y x x =--的图象只有3个交点，当直线过点（-1，0）时，此时m=1，直线y=x+m 与函数223y x x =--的图象只有3个交点，直线y=x+m 与函数y=|2-2x-3的图象有四个公共点时，m 的范围为：1314m <<；故答案为：①(3,0)；②1314m <<．【点睛】本题考查一次函数与二次函数交点问题，正确作出函数图象，熟练掌握二次函数性质是解题的关键．8．抛物线y=ax 2-4ax+4(a≠0)与y 轴交于点A ．过点B(0,3)作y 轴的垂线l ，若抛物线y=ax 2-4ax+4(a≠0)与直线l 有两个交点，设其中靠近y 轴的交点的横坐标为m ，且│m│<1，则a 的取值范围是______．【答案】a>13或a<15-.【解析】【分析】先确定抛物线的对称轴，根据开口的大小与a的关系，即开口向上时，a>0,且a越大开口越小，开口向下时，a<0,且a越大，开口越大，从而确定a的范围.【详解】解：如图，观察图形抛物线y=ax2-4ax+4的对称轴为直线422axa-=-= ,设抛物线与直线l交点（靠近y轴）为(m,3)，∵│m│<1，∴-1<m<1.当a>0时，若抛物线经过点（1，3）时，开口最大，此时a值最小，将点（1，3）代入y=ax2-4ax+4，得，3=a-4a+4解得a=13 ,∴a>13;当a<0时，若抛物线经过点（-1，3）时，开口最大，此时a值最大，将点（-1，3）代入y=ax2-4ax+4，得，3=a+4a+4解得a=15- ,∴a<15 -.a的取值范围是a>13或a<15-.故答案为：a>13或a<15-. 【点睛】本题考查抛物线的性质，首先明确a 值与开口的大小关系，观察图形，即数形结合的思想是解答此题的关键.二、解答题9．函数y=ax 2+x+1的图象与x 轴只有一个公共点．求这个函数的关系式；【答案】1.y=x+1；2.y=21x x 14++ 【解析】试题分析：分两种情形讨论①a=0，②a≠0，且△=0，即可解决问题．分类讨论：1.y=x+1.试题解析：①当a=0时，函数是一次函数y=x+1与x 轴只有一个公共点。

第二十二章二次函数培优训练人教版数学九年级上册

人教版九年级上二次函数培优训练一、选择题1．若抛物线258(3)23m m y m x x -+=-+-是关于x 的二次函数，那么m 的值是（）A ．3B ．2-C ．2D ．2或32．已知二次函数y ＝（a ﹣1）x 2﹣x +a 2﹣1图象经过原点，则a 的取值为（） A ．a ＝±1B ．a ＝1C ．a ＝﹣1D ．无法确定A ．()3,4B ．()3,4-C ．()3,4-D ．()3,4--4．若二次函数y ＝x 2＋(m ＋1)x －m 的图象与坐标轴只有两个交点，则满足条件的m 的值有（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5.在抛物线①y ＝2x 2，②，③中．图象开口大小顺序为( )． A ．①＞②＞③ B ．①＞③＞② C ．②＞①＞③ D ．②＞③＞①6．已知一个二次函数图象经过P 1（﹣3，y 1），P 2（﹣1，y 2），P 3（1，y 3），P 4（3，y 4），其中y 2＜y 3＝y 4，则y 1，y 2，y 3中最值情况是（） A ．y 1最小，y 3最大 B ．y 2最小，y 1最大C ．y 2最小，y 3最大D ．无法判断7．二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，有如下结论：①abc ＜0；②2a ﹣b +c ≤0；③3b ﹣2c ＜0；④对任意实数m ，都有2am 2+2bm ﹣b ≥0．其中正确的有（）235y x =276y x =-A．①②B．②③C．②④D．③④8．向空中发射一枚炮弹，经过x秒后高度为y米，且时间与高度y的关系式为2++≠（），若炮弹在第6秒与第14秒时的高度相等，则炮弹所在高度最高的时y ax bx c a=0间是（）A．第8秒B．第9秒C．第10秒D．第11秒9．如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=3m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面4m，P距抛物线对称轴1m，则为使水不落到池外，水池半径最小为（）A．1 B．1.5C．2 D．310．某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y （单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（）A．y＝（200﹣5x）（40﹣20＋x）B．y＝（200＋5x）（40﹣20﹣x）C．y＝200（40﹣20﹣x）D．y＝200﹣5x二、填空题11．二次函数y＝（x﹣2）2+8的最小值是．12．已知二次函数()2y x a =-+，当4x <-时，y 随x 的增大而增大；当4x >-时，y 随x 的增大而减小，当=0x 时，y 的值是____________．13．把抛物线＝x 2﹣2先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式是．14．某工厂1月份的产值是200万元，平均每月产值的增长率为(0)x x >，则该工厂第一季度的产值y 关于x 的函数解析式为．15．矩形的边长分别为2cm 和3cm ，若每边长都增加xcm ，则面积增加2ycm ，则y 与x 的函数关系式为________．16．如图，抛物线21y ax =+与过点(0,3)-且平行于x 轴的直线相交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，若ACB ∠为直角，则=a ___三、解答题17．在平面直角坐标系中，抛物线21y ax bx =++经过点(2,3)、(1,3)--． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式； (2)求这条抛物线与x 轴的交点坐标．(3)当04x <<时，y 的取值范围为_____________．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝mx 2+4mx +3m 与y 轴交于点P ，与x 轴交于点A 、B ，点A 在点B 的右边．（1）求A 、B 两点坐标；（2）若PA 平分∠BPO ，求m 的值．19．已知块边长为30的正方形草地．(1)如图1，先将正方形草地的一条边减少(010)x x <<，再将另一边增加m x ，设变化后的草地的面积为2m S ，则S = （填“是“或“不是”）关于x 的函数． (2)如图2，将正方形草地的相邻两边各增加m x ，设扩充后的草地的面积为2m y ， ①写出y 与x 之间的函数关系式， ②当8x =时，求y 的值．20．某网店店主购进A ，B 两种型号的装饰链，其中A 型装饰链的进货单价比B 型装饰链的进货单价多20元，且消费500元购进A 型装饰链的数量与消费400元购进B 型装饰链的数量相等．销售中发现A 型装饰链每月的销售量1y （个）与销售单价1x （元）之间满足的函数关系式为：11200y x +=-；B 型装饰链每月的销售量2y （个）与销售单价2x （元）之间满足的函数关系式为22140y x +=-． (1)求A ，B 两种型号装饰链的进货单价．(2)已知A 型装饰链的销售单价比B 型装饰链的销售单价高20元，则当A ，B 两种型号装饰链的销售单价各为多少元时，每月销售这两种型号装饰链的总利润最大？并求出最大总利润．A B C的坐标；(1)求点,,。

人教版数学九年级上册第22章《二次函数》单元培优练习题卷(含解析)

《二次函数》单元培优练习卷一．选择题1．抛物线y＝x2﹣2x+1与y轴的交点坐标为（）A．（1，0）B．（0，1）C．（0，0）D．（0，2）2．关于抛物线y＝﹣x2﹣x+2，则下列说法不正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝﹣2C．与坐标轴有3个交点D．若抛物线经过A（﹣1，y1），B（1，y2），则y1＜y23．对于二次函数y＝ax2﹣（2a﹣1）x+a﹣1（a≠0），有下列结论：①其图象与x轴一定相交；②若a＜0，函数在x＞1时，y随x的增大而减小；③无论a取何值，抛物线的顶点始终在同一条直线上；④无论a取何值，函数图象都经过同一个点．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y＝bx+ac在直角坐标系中的图象大致为（）A．B．C．D．5．在平面直角坐标系中，如果抛物线y＝2x2不动，而把x轴、y轴分别向下、向右平移2个单位长度，那么在新坐标系下抛物线的解析式为（）A．y＝2（x﹣2）2+2 B．y＝2（x+2）2﹣2C．y＝2（x﹣2）2﹣2 D．y＝2（x+2）2+26．已知点（x1，y1）（x2，y2）在抛物线y＝（x﹣2）2+k上，如果x1＜x2＜2，则y1，y2，k的大小关系是（）A．y1＜y2＜k B．y2＜y1＜k C．k＜y1＜y2D．k＜y2＜y17．已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：x﹣1 0 2 4y﹣1 2 2 ﹣6下列结论错误的是（）A．该函数有最大值B．该函数图象的对称轴为直线x＝1C．当x＞2时，函数值y随x增大而减小D．方程ax2+bx+c＝0有一个根大于38．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，下列结论：（1）abc＜0；（2）b2＞4ac；（3）3a+2c＝0；（4）5a+3b+2c＜0．其中正确的有几个（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m．已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线表达式是y＝﹣（x﹣6）2+4．则选取点B为坐标原点时的抛物线表达式是（）A．y＝（x+6）2+4 B．y＝﹣（x+6）2+4C．y＝（x+6）2﹣4 D．y＝﹣（x+6）2﹣410．平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给出下列结论：①abc＜0；②c+2a＞0；③9a﹣3b+c＝0；④a﹣b≤am2+bm（m为实数）；⑤4ac﹣b2＜0．其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5二．填空题11．已知二次函数y＝x2+2x+t2的图象经过点（﹣m，﹣1）和（m，n），则n的值为．12．已知二次函数y＝x2﹣2x+3，当自变量x满足﹣1≤x≤2时，函数y的最大值是．13．直线y＝ax+m和直线y＝bx+n在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣1的顶点为A，直线l过点P（0，m）且平行于x轴，与抛物线交于点B和点C．若AB＝AC，∠BAC＝90°，则m＝．15．如图，点P为线段AB（不含端点A、B）上的动点，分别以AP、PB为斜边在AB的同侧作Rt△AEP与Rt△PFB，∠AEP＝∠EPF＝∠PFB＝90°，若AE+PF＝8，EP+FB＝6，则线段EF的取值范围是．16．某网店销售某种商品，成本为30元/件，当销售价格为60元/件时，每天可售出100件，经市场调查发现，销售单价每降1元，每天销量增加10件，当销售单价为元时，每天获取的利润最大．17．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则关于x 的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为．18．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4与x轴、y轴正半轴分别交于点A、B、D，且点B的坐标为（4，0），点C在抛物线上，且与点D的纵坐标相等，点E在x轴上，且BE＝AB，连接CE，取CE的中点F，则BF的长为．三．解答题19．已知直线y＝kx+2k+4与抛物线y＝x2（1）求证：直线与抛物线有两个不同的交点；（2）设直线与抛物线分别交于A，B两点．①当k＝﹣时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5；②在抛物线上是否存在定点D使∠ADB＝90°？若存在，求点D到直线AB的最大距离；若不存在，请你说明理由．20．商场里某产品每月销售量y（只）与销售单价x（元）满足一次函数关系，经调查部分数据如表：（已知每只进价为10元，每只利润＝销售单价﹣进价）销售单价x（元）21 23 25 …月销售额y（只）29 27 25 …（1）求出y与x之间的函数表达式；（2）这产品每月的总利润为w元，求w关于x的函数表达式，并指出销售单价为多少元时利润最大，最大利润是多少元？（3）由于该产品市场需求量较大，进价在原有基础上提高了a元（a＜10），但每月销售量与销售价仍满足上述一次函数关系，此时，随着销售量的增大，所得的最大利润比（2）中的最大利润减少了144元，求a的值．21．已知抛物线y＝ax2+bx+c上有两点M（m+1，a）、N（m，b）．（1）当a＝﹣1，m＝1时，求抛物线y＝ax2+bx+c的解析式；（2）用含a、m的代数式表示b和c；（3）当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c满足b2﹣4ac＝a，b+c≥2a，m，求a的取值范围．22．如图，斜坡AB长10米，按图中的直角坐标系可用y＝x+5表示，点A，B分别在x轴和y轴上．在坡上的A处有喷灌设备，喷出的水柱呈抛物线形落到B处，抛物线可用y＝x2+bx+c表示．（1）求抛物线的函数关系式（不必写自变量取值范围）；（2）求水柱离坡面AB的最大高度；（3）在斜坡上距离A点2米的C处有一颗3.5米高的树，水柱能否越过这棵树？23．在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y＝x2﹣2x，其顶点为A．（1）写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标，并说明它的变化情况；（2）我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．①试求抛物线y＝x2﹣2x的“不动点”的坐标；②平移抛物线y＝x2﹣2x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式．24．如图1，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，顶点为点D的抛物线y＝﹣x2+2x+1经过点B，点C．（1）写出抛物线的对称轴及点B的坐标；（2）将矩形OABC绕点O顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到矩形OA′B′C′，①当点B′恰好落在BA的延长线上时，如图2，求点B′的坐标；②在旋转过程中，直线B'C'与直线OA'分别与抛物线的对称轴相交于点M，点N．若MN＝DM，求点M的坐标．25．在平面直角坐标系xOy中，记y与x的函数y＝a（x﹣m）2+n（m≠0，n≠0）的图象为图形G，已知图形G与y轴交于点A，当x＝m时，函数y＝a（x﹣m）2+n有最小（或最大）值n，点B的坐标为（m，n），点A、B关于原点O的对称点分别为C、D，若A、B、C、D中任何三点都不在一直线上，且对角线AC，BD的交点与原点O重合，则称四边形ABCD 为图形G的伴随四边形，直线AB为图形G的伴随直线．（1）如图1，若函数y＝（x﹣2）2+1的图象记为图形G，求图形G的伴随直线的表达式；（2）如图2，若图形G的伴随直线的表达式是y＝x﹣3，且伴随四边形的面积为12，求y与x的函数y＝a（x﹣m）2+n（m＞0，n＜0）的表达式；（3）如图3，若图形G的伴随直线是y＝﹣2x+4，且伴随四边形ABCD是矩形，求点B的坐标．参考答案一．选择题1．解：令x ＝0，则y ＝1，∴抛物线与y 轴的交点为（0，1），故选：B ．2．解：分别令x ＝±1，得，，∴y 1＞y 2故选：D ．3．解：当y ＝0，ax 2﹣（2a ﹣1）x +a ﹣1，解得x 1＝1，x 2＝，则二次函数y ＝ax 2﹣（2a ﹣1）x +a ﹣1的图象与x 轴的交点坐标为（1，0）、（，0），所以①、④正确；当a ＜0时，抛物线的对称轴x ＝＝1﹣＞1，则函数在x ＞1时，y 先随x 增大而增大，然后减小，所以②错误；该抛物线对称轴为x ＝，顶点的纵坐标为y ＝＝，则y ＝（1﹣）﹣，即无论a 取何值，抛物线的顶点始终在直线y ＝x ﹣上，所以③正确．故选：C ．4．解：由二次函数的图象可知，a ＞0，b ＜0，c ＜0，∵一次函数y ＝bx +ac ， ∴b ＜0， ac ＜0，∴一次函数y ＝bx +ac 的图象经过第二、三、四象限，故选：D ．5．解：抛物线y ＝2x 2的顶点坐标为（0，0）， ∵把x 轴、y 轴分别向下、向右平移2个单位，∴在新坐标系中抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣2），∴抛物线的解析式为y＝2（x+2）2﹣2．故选：D．6．解：由抛物线的解析式可知：抛物线的对称轴为x＝2，顶点坐标为（2，k），开口向上，∴当x＜2时，y随着x的增大而增小，∴x1＜x2＜2，∴y1＞y2＞k，故选：D．7．解：依题意，已知点（﹣1，﹣1），（0，2）（2，2）在y＝ax2+bx+c上，则有，解得故，二次函数解析式为：y＝﹣x2+2x+2选项A，∵a＜0，∴该函数有最大值，选项正确选项B，对称轴x＝＝＝1，选项正确选项C，∵a＜0，函数先增大后减小，对称轴x＝1，∴当x＞2时，函数值y随x增大而减小．选项正确选项D，﹣x2+2x+2＝0可解得方程两根x1，2＝1±，两根均不大于3，选项错误故选：D．8．解：（1）由图象可知：a＞0，c＜0，由对称轴可知：＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故（1）正确；（2）抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，故（2）正确；（3）由于对称轴可知：＝﹣1，∴b＝2a，由于抛物线过点（1，0），∴a+b+c＝0，∴3a+c＝0，故（3）错误；（4）由于b＝2a，c＝﹣3a5a+3b+2c＝5a+6a﹣6a＝5a＞0，故（4）错误；故选：B．9．解：由题意可得出：y＝a（x+6）2+4，将（﹣12，0）代入得出，0＝a（﹣12+6）2+4，解得：a＝﹣，∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是：y＝﹣（x+6）2+4．故选：B．10．解：①由抛物线可知：a＞0，c＜0，对称轴x＝＜0，∴b＞0，∴ab c＜0，故①正确；②由对称轴可知：＝﹣1，∴b＝2a，∵x＝1时，y＝a+b+c＝0，∴c+3a＝0，∴c+2a＝﹣3a+2a＝﹣a＜0，故②错误；③（1，0）关于x＝﹣1的对称点为（﹣3，0），∴x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＝0，故③正确；④当x＝﹣1时，y的最小值为a﹣b+c，∴x＝m时，y＝am2+bm+c，∴am2+bm+c≥a﹣b+c，即am2+bm≥a﹣b，故④正确；⑤抛物线与x轴有两个交点，∴△＞0，即b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，故⑤正确；故选：C．二．填空题（共8小题）11．解：∵二次函数y＝x2+2x+t2的图象经过点（﹣m，﹣1），∴m2﹣2m+t2＝﹣1，∴（m﹣1）2+t2＝0，∴m＝1，t＝0，∴二次函数为y＝x2+2x，∵m＝1，∴点（m，n）为（1，n），∵二次函数y＝x2+2x+t2的图象经过点（m，n），∴n＝1+2＝3，故答案为3．12．解：∵二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴该抛物线的对称轴为x＝1，且a＝1＞0，∴当x＝1时，函数有最小值2，当x＝﹣1时，二次函数有最大值为：（﹣1﹣1）2+2＝6，故答案为6．13．解：如图可知，当x＝2时，2a+m＝2b+n，得2a﹣2b＝n﹣m；当x＝3时，y1＝3a+m①，当x＝6时，y2＝6b+n②，且y1＝y2；②﹣①得n﹣m＝3a﹣6b，∴2a﹣2b＝3a﹣6b，∴a＝4b．由二次函数的性质可知，其对称轴为直线x ＝﹣＝﹣．故答案为：直线x ＝﹣．14．解：如图，作AD ⊥BC 于D ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴AD ＝CD ＝BD ，∴BC ＝2AD ，∵抛物线y ＝﹣1的顶点为A ， ∴A （3，﹣1），∵点P （0，m ），∴AD ＝1+m ，∴BC ＝2+2m ，设B （x 1，m ），C （x 2，m ），∴x 2﹣x 1＝2+2m ，解﹣1＝m 整理得：x 2﹣6x +5﹣4m ＝0， ∴x 1+x 2＝6，x 1•x 2＝5﹣4m ，∴（x 2﹣x 1）2+4x 1x 2＝36，∴（2+2m ）2+4（5﹣4m ）＝36，解得m ＝3和m ＝﹣1（舍去），故答案为3．15．解一（函数思想）：设AE ＝x ，PE ＝y ，则PF ＝8﹣x ，BF ＝6﹣y ，∵∠AEP ＝∠EPF ＝∠PFB ＝90°，∴PE ∥BF ，∴△PEA ∽△BFP ，∴＝，∴4y＝3x，在Rt△FEP中，FE2＝FP2+EP2，∴FE2＝y2+（8﹣x）2，∴FE2＝（x）2+x2﹣16x+64＝x2﹣16x+64＝（x﹣）2+，∵0＜x＜8，∴当x＝时，FE有最小，当x＝0时，EF有最大值8，∴≤EF＜8．故答案为≤EF＜8．解二（几何思想）：延长BF、AE相交于点G，连接GP，∵∠AEP＝∠EPF＝∠PFB＝90°，∴四边形GFPE是矩形，∴FE＝GP，∵GF＝PE，GE＝BF，∴BG＝BF+PE，AG＝AE+FP，∵AE+PF＝8，EP+FB＝6，∴BG＝6，AG＝8，∴AB＝10，当GP⊥AB时，GP最小，最小值为；当EF与GA重合时，EF最大，最大值为8，∵点P为线段AB（不含端点A、B）上的动点，∴≤EF＜8．故答案为故答案为≤EF＜8．16．解：设当销售单价为x 元时，每天获取的利润为y 元，则y ＝（x ﹣30）[100+10（60﹣x ）]＝﹣10x 2+1000x ﹣21000＝﹣10（x ﹣50）2+4000，∴当x ＝50时，y 有最大值，且为4000，故答案为：50．17．解：抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1，抛物线与x 轴的一个交点坐标为（1，0），所以抛物线与x 轴的一个交点坐标为（﹣3，0），即x ＝1或﹣3时，函数值y ＝0，所以关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的解为x 1＝﹣3，x 2＝1．故答案为x 1＝﹣3，x 2＝1．18．解：∵点C 在抛物线上，且与点D 的纵坐标相等，D （0，4），B （4，0）， ∴，∵A 、B 关于对称轴对称，C 、D 关于对称轴对称，∴，连AC ，BE ＝AB ，CE 的中点是F ，∴．故答案为：．三．解答题（共7小题）19．解：（1）由整理得：x2﹣2kx﹣（4k+8）＝0，∴△＝4k2+4（4k+8）＝4（k+2）2+16＞0，∴直线与抛物线有两个不同的交点；（2）当k＝﹣时，直线AB的解析式为y＝﹣x+3令﹣x+3＝x2，即x2+x﹣6＝0，解得x1＝﹣3，x2＝2∴点A的横坐标为﹣3，点B的横坐标为2 过点P作PQ∥y轴交直线AB于点Q，设P（m， m2），则Q（m，﹣m+3）∴PQ＝﹣m+3﹣m2∵S△ABP＝（x B﹣x A）×PQ＝5，即：（2+3）×（﹣m+3﹣m2）＝5整理得：m2+m﹣2＝0，解得m1＝﹣2，m2＝1∴点P的坐标为（﹣2，2）或（1，）（3）设A（x1， x12），B（x2， x22），D（t， t2）联立消去y得：x2﹣2kx﹣4k﹣8＝0∴x1+x2＝2k，x1x2＝﹣4k﹣8过点D作EF∥x轴，分别过点A、B作y轴的平行线，交EF于点E、F，则DE＝t﹣x1，AE＝x12﹣t2，DF＝x2﹣t，BF＝x22﹣t2由∠ADB＝90°，可得△ADE∽△DBF ∴＝，即AE•BF＝DE•DF∴（x12﹣t2）（x22﹣t2）＝（t﹣x1）（x2﹣t）∴t2+（x1+x2）t+x1x2+4＝0∴t2+2kt﹣4k﹣4＝0，即2k（t﹣2）+t2﹣4＝0当t﹣2＝0，即t＝2时，上式对任意实数k均成立即点D的坐标与k无关，∴D（2，2）连接CD，∵C（﹣2，4），∴CD＝2过点D作DH⊥AB，垂足为H，则DH≤CD，当CD⊥AB时，点D到直线AB的距离最大，最大距离为2．20．解：（1）设y＝kx+b（k≠0），根据题意代入点（21，29），（25，25），解得，∴y ＝﹣x +50．（2）依题意得，w ＝（x ﹣10）（﹣x +50）＝﹣x 2+60x ﹣500＝﹣（x ﹣30）2+400， ∵a ＝﹣1＜0，∴当x ＝30时，w 有最大值400，即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润400元．（3）最新利润可表示为﹣x 2+60x ﹣500﹣a （﹣x +50）＝﹣x 2+（60+a ）x ﹣500﹣50a ， ∴此时最大利润为＝400﹣144，解得a 1＝8，a 2＝72，∵当a ＝72时，销量为负数舍去．∴a ＝8．21．解：（1）∵a ＝﹣1，m ＝1，∴M （2，﹣1）、N （1，b ）由题意，得，解，得， ∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+x +1；（2）∵点M （m +1，a ）、N （m ，b ）在抛物线y ＝ax 2+bx +c 上，①﹣②得，2am +b ＝﹣b ，∴b ＝﹣am ，把b ＝﹣am 代入②，得c ＝﹣am ；（3）把b ＝﹣am ，c ＝﹣am 代入b 2﹣4ac ＝a 得a 2m 2+4a 2m ＝a ，∵a ＜0，∴am 2+4am ＝1，∴，把b ＝﹣am ，c ＝﹣am 代入b +c ≥2a 得﹣2am ≥2a ，∴m ≥﹣1，∴，∵m2+4m＝（m+2）2﹣4，当m＞﹣2时，m2+4m随m的增大而增大∴，∴，即．22．解：（1）∵AB＝10、∠OAB＝30°，∴OB＝AB＝5、OA＝AB cos∠OAB＝10×＝5，则A（5，0）、B（0，5），将A、B坐标代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+5；（2）水柱离坡面的距离d＝﹣x2+x+5﹣（﹣x+5）＝﹣x2+x＝﹣（x2﹣5x）＝﹣（x﹣）2+，∴当x＝时，水柱离坡面的距离最大，最大距离为；（3）如图，过点C作CD⊥OA于点D，∵AC＝2、∠OAB＝30°，∴CD＝1、AD＝，则OD＝4，当x＝4时，y＝﹣×（4）2+×4+5＝5＞1+3.5，所以水柱能越过树．23．解：（1）∵a＝1＞0，故该抛物线开口向上，顶点A的坐标为（1，﹣1）；（2）①设抛物线“不动点”坐标为（t，t），则t＝t2﹣2t，解得：t＝0或3，故“不动点”坐标为（0，0）或（3，3）；②∵新抛物线顶点B为“不动点”，则设点B（m，m），∴新抛物线的对称轴为：x＝m，与x轴的交点C（m，0），∵四边形OABC是梯形，∴直线x＝m在y轴左侧，∵BC与OA不平行，∴OC∥AB，又∵点A（1，﹣1），点B（m，m），∴m＝﹣1，故新抛物线是由抛物线y＝x2﹣2x向左平移2个单位得到的，∴新抛物线的表达式为：y＝（x+1）2﹣1．24．解：（1）∵y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2∴抛物线对称轴为直线x＝1∵四边形OABC是矩形∴CB∥OA，即CB∥x轴∴点C、B关于对称轴对称∵x＝0时，y＝1，即C（0，1）∴点B坐标为（2，1）（2）①如图1，连接OB、OB'∵矩形OABC绕点O顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到矩形OA′B′C′∴OB＝OB'∵四边形OABC是矩形∴∠OAB＝90°，即OA⊥BB'∴AB'＝AB＝1∴点B'坐标为（2，﹣1）②i）当0＜α＜90°时，如图2，设抛物线对称轴交x轴于点E，过点D作DF⊥B'C'于点F，交OA'于点G∴OE＝1，∠DFM＝90°∵四边形OA'B'C'是矩形∴OA'∥B'C'，∠A'OC'＝∠OC'B'＝90°∴∠C'OG＝∠OC'F＝∠C'FG＝90°∴四边形OC'FG是矩形∴FG＝OC'＝OC＝1∵FM∥GN，DM＝MN∴∠DMF＝∠ONE，＝1∴DF＝FG＝1在△DMF与△ONE中∴△DMF≌△ONE（AAS）∴DM＝ON设M（1，m）∵抛物线顶点D（1，2）∴MN＝DM＝2﹣m∴y N＝y M﹣MN＝m﹣（2﹣m）＝2m﹣2∴ON＝＝2﹣m解得：m1＝，m2＝1（此时点M在BC上即旋转角度α＝0°，舍去）∴M（1，）ii）当90°＜α＜180°时，如图3，MN＝DM则点D、N重合设抛物线对称轴交x轴于点E，过点D作DF⊥B'C'于点F，同理可证：△DMF≌△ONE，DM＝ON设M（1，m），则DM＝2﹣m∵N（1，2），ON＝∴2﹣m＝∴m＝2﹣∴M（1，2﹣）综上所述，点M坐标为（1，）或（1，2﹣）．25．解：（1）针对函数y＝（x﹣2）2+1，当x＝2时，此函数有最小值1，∴B（2，1），当x＝0时，y＝22+1＝5，∴A（0，5），设所求伴随直线的表达式为y＝kx+b（k≠0）则解，得所以函数y＝（x﹣2）2+1的伴随直线的表达式是y＝﹣2x+5；（2）如图2，作BE⊥AC于点E，由题意知，OC＝OA，OB＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵A（0，﹣3），C（0，3）∴AC＝6∵平行四边形ABCD的面积为12，＝6∴S△ABC即，∴BE＝2；∵m＞0，即顶点B在y轴的右侧，且在直线y＝x﹣3上，∴B（2，﹣1）又图形G经过点A（0，﹣3），∴，∴；（3）如图3，作BF⊥x轴于点E，由已知得：A（0，4），C（0，﹣4），∵B（m，n）在直线y＝﹣2x+4上，∴n＝﹣2m+4，即点B的坐标为（m，﹣2m+4），∵矩形ABCD，∴OC＝OB＝4，∴OC2＝OB2，在Rt△OEB中，42＝m2+（﹣2m+4）2，∴5m2﹣16m＝0，＝0（不合题意，舍去），，∴m1∴，∴点B的坐标为．。

人教版数学九年级上册第22章《二次函数 》培优训练(三)

人教版九年级上 册 第22章 《二次函数》培优练习卷

人教版九年级数学上册课时练：第22章 《二次函数》 (培优篇)

人教版九年级数学上册第二十二章 《二次函数》培优训练题(含答案)

人教版 九年级上数学 第22章 二次函数 培优训练(含答案)