第六节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

第六节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用

A组基础题组

1.函数y=sin-在区间-上的简图是( )

答案 A 令x=0,得y=sin-=-,排除B,D.令x=-,得y=sin(-π)=0,排除C.

2.将函数f(x)=cos 2x-sin 2x的图象向左平移个单位后得到函数F(x)的图象,则下列说法中正确的是( )

A.函数F(x)是奇函数,最小值是-2

B.函数F(x)是偶函数,最小值是-2

C.函数F(x)是奇函数,最小值是-

D.函数F(x)是偶函数,最小值是-

答案 C f(x)=cos 2x-sin 2x=cos,将f(x)的图象向左平移个单位后得F(x)的图象,则F(x)=·cos=cos=-sin 2x,所以F(x)是奇函数,最小值为-.故选C.

3.(2018河北、河南重点中学第三次联考,7)若对于任意的x∈R都有f(x)+2f(-x)=3cos x-sin x,则函数f(2x)图象的对称中心为( )

A.-(k∈Z)

B.-(k∈Z)

C.-(k∈Z)

D.-(k∈Z)

答案 D 因为f(x)+2f(-x)=3cos x-sin x,

所以f(-x)+2f(x)=3cos x+sin x.

可得f(x)=cos x+sin x=sin,

所以f(2x)=sin.

令2x+=kπ(k∈Z),得x=-(k∈Z).

所以f(2x)图象的对称中心为-(k∈Z).

4.(2018山东潍坊统一考试)函数y=sin 2x-cos 2x的图象向右平移φ个单位长度后,得到函数g(x)的图象,若函数g(x)为偶函数,则φ的值为( )

A. B.C.D.

答案 B 由题意知y=sin 2x-cos 2x=2sin-,其图象向右平移φ个单位长度后,得到函数g(x)=2sin--的图象,因为g(x)为偶函数,所以2φ+=+kπ,k∈Z,所以φ=+,k∈Z,又φ∈,所以φ=.

5.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,若将f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,则g(x)的解析式为( )

A.y=sin

B.y=sin

C.y=sin

D.y=sin

答案 A 根据函数的图象可得A=1,=-=,∴T=π,∴ω==2.

∵f=1,∴2×+φ=+2kπ,k∈Z,∴φ=2kπ+,k∈Z.∵|φ|<,∴φ=,∴

f(x)=sin.将f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,则g(x)=sin.故选A.

6.函数y=tan的图象与x轴交点的坐标是.

答案-,k∈Z

解析令2x+=kπ(k∈Z),

得x=-(k∈Z).

∴函数y=tan的图象与x轴交点的坐标是-,k∈Z.

7.若函数f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<, f(x)的最小正周期为π,且

f(0)=,则ω= ,φ= .

答案 2

解析由函数f(x)的最小正周期为π,得到ω=2(ω>0),又由f(0)=且|φ|<得到φ=.

8.(2019江西南昌模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)是偶函数,它的部分图象如图所示.M是函数f(x)图象上的点,K,L是函数f(x)的图象与x轴的交点,且△KLM 为等腰直角三角形,则f(x)= .

答案cos πx

解析由题意可得·=KL=1,所以ω=π,易得A=,

所以f(x)=sin(πx+φ).

再结合f(x)为偶函数以及所给的图象,可得φ=,所以f(x)=cos πx.

9.如图所示,某市拟在长为8 km的道路OP的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM,该曲线段为函数y=Asin ωx(A>0,ω>0),x∈[0,4]的图象,且图象的最高点为

S(3,2),赛道的后一部分为折线段MNP,求A,ω的值和M,P两点间的距离.

解析依题意,有A=2,=3,因为T=,

所以ω=,所以y=2sin x,x∈[0,4],

所以当x=4时,y=2sin=3,

所以M(4,3),又P(8,0),

所以MP=--==5(km),

即M,P两点间的距离为5 km.

10.已知函数f(x)=2sin(其中0<ω<1),若点-是函数f(x)图象的一个对称中心.

(1)试求ω的值,并求出函数的单调增区间;

(2)先列表,再作出函数f(x)在[-π,π]上的图象.

解析(1)因为点-是函数f(x)图象的一个对称中心,所以-+=kπ,k∈Z,所以

ω=-3k+(k∈Z),因为0<ω<1,所以当k=0时,可得ω=.

所以f(x)=2sin,令2kπ-

(2)由(1)知, f(x)=2sin,

x∈[-π,π],列表如下:

作图如下:

B组提升题组

1.已知A,B,C,D,E是函数y=sin(ωx+φ)的一个周期内的图象上的五个点,如图所示,A-,B为y轴上的点,C为图象上的最低点,E为该函数图象的一个对称中心,B与D关于点E对称,在x轴上的投影为,则ω,φ的值分别为( )

A.ω=2,φ=

B.ω=2,φ=

C.ω=,φ=

D.ω=,φ=

答案 A 根据题意,E为该函数图象的一个对称中心,B与D关于点E对称,且||在x轴上的投影为,

所以最小正周期T=4×=π,

所以ω==2.又A-,

所以sin-=0,又0<φ<,所以φ=.故选A.

2.水车是古代劳动人民进行灌溉引水的工具,是人类的一项古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车,一个水斗从点A(3,-3)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时60秒.经过t秒后,水斗旋转到点P,设P的坐标为(x,y),其纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ),则下列叙述错误的是( )