湘教版九上数学相似三角形判定的基本定理练习与答案

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最新2019-2020年度湘教版九年级数学上册《相似三角形的判定》专项练习及答案解析-精编试题

《3.4.1 相似三角形的判定》一、填空题1．三角形一边的和其他两边，所构成的三角形与原三角形相似．2．如果两个三角形的对应边的，那么这两个三角形相似．3．如果两个三角形的对应边的比相等，并且相等，那么这两个三角形相似．4．如果一个三角形的角与另一个三角形的，那么这两个三角形相似．5．在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=56°，∠B=28°，∠A′=56°，∠C′=28°，那么这两个三角形能否相似的结论是，理由是．6．在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=48°，∠C=102°，∠A′=48°，∠B′=30°，那么这两个三角形能否相似的结论是，理由是．7．在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=34°，AC=5cm，AB=4cm，∠A′=34°，A′C′=2cm，A′B′=1.6cm，那么这两个三角形能否相似的结论是，理由是．8．在△ABC和△DEF中，如果AB=4，BC=3，AC=6，DE=2.4，EF=1.2，FD=1.6．那么这两个三角形能否相似的结论是，理由是．9．如图，△ABC的两条高AD、BE交于点H，则图中的相似三角形共有对．10．如图所示，▱ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，此图中的相似三角形共有对．二、选择题11．如图，不能判定△ABC∽△DAC的条件是（）A．∠B=∠DAC B．∠BAC=∠ADC C．AC2=DC•BC D．AD2=BD•BC12．如图，在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是（）A．5 B．8.2 C．6.4 D．1.813．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A． B．C．D．三、解答题14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．（1）图中有哪两个三角形相似？（2）求证：AC2=AD•AB；BC2=BD•BA；CD2=AD•BD；（3）若AD=2，DB=8，求AC，BC，CD的长；（4）若AC=6，DB=9，求AD，CD，BC的长；（5）求证：AC•BC=AB•CD．15．如图所示，如果D、E、F分别在OA、OB、OC上，且DF∥AC，EF∥BC．求证：（1）OD：OA=OE：OB；（2）△ODE∽△OAB；（3）△ABC∽△DEF．16．如图，已知AB∥CD，AD，BC相交于E，F为EC上一点，且∠EAF=∠C．求证：（1）∠EAF=∠B；（2）AF2=FE•FB．17．已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，以AD为直径的半圆与BC相切于E点．求证：AB•CD=BE•EC．18．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为点B，点D是⊙O上的一点，且AD∥OC．求证：AD•BC=OB•BD．19．已知：如图，在⊙O中，CD过圆心O，且CD⊥AB，垂足为D，过点C任作一弦CF交⊙O 于F，交AB于E．求证：CB2=CF•CE．20．已知D是BC边延长线上的一点，BC=3CD，DF交AC边于E点，且AE=2EC，试求AF与FB的比．21．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AH⊥BC于H，以AB和AC为边在Rt△ABC外作等边△ABD和△ACE，试判断△BDH与△AEH是否相似，并说明理由．22．如图，在△ABC中，∠C=90°，P为AB上一点，且点P不与点A重合，过点P作PE⊥AB 交AC边于E点，点E不与点C重合，若AB=10，AC=8，设AP的长为x，四边形PECB的周长为y，求y与x之间的函数关系式．《3.4.1 相似三角形的判定》参考答案与试题解析一、填空题1．平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．【考点】相似三角形的判定．【分析】平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所得的三角形与原三角形的三边对应成比例．所以所构成的三角形与原三角形相似．【解答】解：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．故答案是：平行于；直线；相交．【点评】本题考查了相似三角形的判定．（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．2．如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．【考点】相似三角形的判定．【分析】由三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；即可求得答案．【解答】解：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．故答案为：三组，比相等．【点评】此题考查了相似三角形的判定．注意熟记相似三角形的判定定理是关键．3．如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角对应相等，那么这两个三角形相似．【考点】相似三角形的判定．【分析】由两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；即可求得答案．【解答】解：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且夹角对应相等，那么这两个三角形相似．故答案为：两组，夹角对应．【点评】此题考查了相似三角形的判定．注意熟记相似三角形的判定定理是关键．4．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．【考点】相似三角形的判定．【分析】根据“两角法”来判定两个三角形相似．【解答】解：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．故答案为：两个，两个角对应相等．【点评】本题考查了相似三角形的判定．两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．5．在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=56°，∠B=28°，∠A′=56°，∠C′=28°，那么这两个三角形能否相似的结论是△ABC∽△A′C′B′，理由是有两组角对应相等的两个三角形相似．【考点】相似三角形的判定．【分析】由已知条件易得∠A=∠A′，∠B=∠C′，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断两三角形相似．【解答】解：∵∠A=56°，∠B=28°，∠A′=56°，∠C′=28°，∴∠A=∠A′，∠B=∠C′，∴△ABC∽△A′C′B′．故答案为△ABC∽△A′C′B′；有两组角对应相等的两个三角形相似．【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．6．在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=48°，∠C=102°，∠A′=48°，∠B′=30°，那么这两个三角形能否相似的结论是△ABC∽△A′B′C′，理由是有两组角对应相等的两个三角形相似．【考点】相似三角形的判定．【专题】常规题型．【分析】先根据三角形内角和定理计算出∠B=30°，于是得到∠A=∠A′，∠B=∠B′，所以根据有两组角对应相等的两个三角形相似可证明∴△ABC∽△A′B′C′．【解答】解：∵∠A=48°，∠C=102°，∴∠B=180°﹣∠A﹣∠C=30°，而∠A′=48°，∠B′=30°，∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′．故答案为△ABC∽△A′B′C′；有两组角对应相等的两个三角形相似．【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．7．在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A=34°，AC=5cm，AB=4cm，∠A′=34°，A′C′=2cm，A′B′=1.6cm，那么这两个三角形能否相似的结论是△ABC∽△A′B′C′，理由是两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．【考点】相似三角形的判定．【专题】常规题型．【分析】先计算出=，=，得到=，加上∠A=∠A′=34°，于是根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断两三角形相似．【解答】解：∵AC=5cm，AB=4cm，A′C′=2cm，A′B′=1.6cm，∴==，=，∴=，而∠A=∠A′=34°，∴△ABC∽△A′B′C′．故答案为△ABC∽△A′B′C′；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．8．在△ABC和△DEF中，如果AB=4，BC=3，AC=6，DE=2.4，EF=1.2，FD=1.6．那么这两个三角形能否相似的结论是△ABC∽△DEF ，理由是三组对应边的比相等的两个三角形相似．【考点】相似三角形的判定．【分析】先求出两三角形对应边的比，进而可得出结论．【解答】解：∵==，==，==，∴==，∴△ABC∽△DEF．故答案为：△ABC∽△DEF，三组对应边的比相等的两个三角形相似．【点评】本题考查的是相似三角形的判定定理，熟知三组对应边的比相等的两个三角形相似是解答此题的关键．9．如图，△ABC的两条高AD、BE交于点H，则图中的相似三角形共有 6 对．【考点】相似三角形的判定．【分析】根据相似三角形的判定定理进行解答即可．【解答】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC=∠ADB=∠AEB=∠BED=90°，∴△AEH∽△ADC∽△BDH∽△BEC，∴共有6对相似三角形．故答案为：6．【点评】本题考查的是相似三角形的判定定理，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．10．如图所示，▱ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，此图中的相似三角形共有 6 对．【考点】相似三角形的判定；平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形的对边平行，再根据平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似找出相似三角形即可得解．【解答】解：在▱ABCD中，∵AB∥CD，∴△ABE∽△FDE，△ABG∽△FCG；∵AD∥BC，∴△ADE∽△GBE，△FDA∽△FCG，∴△ABG∽△FDA，△ABD∽△BCD∴图中相似三角形有6对．故答案为：6．【点评】本题考查了相似三角形的判定，主要利用了平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似，要注意△ABG与△FDA都与△FCG相似，所以也相似，这也是本题容易出错的地方．二、选择题11．如图，不能判定△ABC∽△DAC的条件是（）A．∠B=∠DAC B．∠BAC=∠ADC C．AC2=DC•BC D．AD2=BD•BC【考点】相似三角形的判定．【专题】常规题型．【分析】已知有公共角∠C，则A、B选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；D选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似．【解答】解：已知△ABC和△DCA中，∠ACD=∠BAC；如果△ABC∽△DAC，需满足的条件有：①∠DAC=∠B或∠ADC=∠BAC；②AC2=DC•BC；故选D．【点评】此题主要考查学生对相似三角形判定方法的运用．12．如图，在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是（）A．5 B．8.2 C．6.4 D．1.8【考点】相似三角形的性质；平行四边形的性质．【专题】压轴题．【分析】由△CBF∽△CDE，根据相似三角形的对应边对应成比例，可知BF：DE=BC：DC，即BF=BC：DC×DE．又四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可知BC=AD=6，DC=AD=10，易知DE=3，从而求出BF的长．【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，∴CD=10，BC=6，DE=3．∵△CBF∽△CDE，∴BF：DE=BC：DC，∴BF=6÷10×3=1.8．故选D．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质及相似三角形的性质：平行四边形的对边相等．相似三角形的对应边成比例．13．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A． B．C．D．【考点】相似三角形的判定．【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．【解答】解：根据题意得：AB==，AC=2，BC==，∴BC：AC：AB=1：：，A、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；B、三边之比：2：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；C、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．故选A．【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．三、解答题14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．（1）图中有哪两个三角形相似？（2）求证：AC2=AD•AB；BC2=BD•BA；CD2=AD•BD；（3）若AD=2，DB=8，求AC，BC，CD的长；（4）若AC=6，DB=9，求AD，CD，BC的长；（5）求证：AC•BC=AB•CD．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）由条件可知∠A=∠DCB，∠ACD=∠B，可证得△ACD∽△ABC∽△CDB；（2）利用（1）可得到=，=，=，可证得结论；（3）代入（2）中结论可求得；（4）同（3）代入（2）可求得；（5）利用面积相等即可得出结论．【解答】（1）解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠ADC=∠ACB，∴∠ACD+∠A=∠A+∠B=90°，∴∠ACD=∠B，∴△ACD∽△ABC，△ACD∽△CDB，同理可证得△CDB∽△ABC，∴相似的三角形有：△ACD和△ABC，△ACD和△CDB，△CDB和△ABC；（2）证明：∵△ACD∽△ABC，∴=，∴AC2=AD•AB，同理可得=，=，∴BC2=BD•AB，CD2=AD•BD；（3）解：∵AD=2，DB=8，∴CD2=AD•BD=2×8=16，∴CD=4，又∵AB=AD+BD=10，∴AC2=AD•AB=2×10=20，BC2=BD•AB=8×10=80，∴AC=2，BC=4；（4）解：∵AC=6，DB=9，且AB=AD+BD，∴AC2=AD（AD+BD），即62=AD2+9AD，解得AD=3或（﹣12舍去），∴CD2=AD•BD=3×9=27，∴CD=3，∴AB=AD+BD=12，∴BC2=BD•AB=9×12=108，∴BC=6；（5）证明：∵S△ABC=AC•BC，且S△ABC=CD•AB，∴AC•BC=CD•AB．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握直角三角形中角之间的关系是解题的关键，注意方程思想的应用．15．如图所示，如果D、E、F分别在OA、OB、OC上，且DF∥AC，EF∥BC．求证：（1）OD：OA=OE：OB；（2）△ODE∽△OAB；（3）△ABC∽△DEF．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据平行于三角形一边的直线截其他两边所得的新三角形与原三角形相似就可以得出结论；（2）根据OD：OA=OE：OB由∠AOB=∠AOB就可以得出△ODE∽△OAB；（3）由△ODE∽△OAB就可以得出就可以得出结论．【解答】证明：（1）∵DF∥AC，EF∥BC，∴△ODF∽△OAC，△OEF∽△OBC，∴，，∴OD：OA=OE：OB；（2）∵OD：OA=OE：OB，∠DOE=∠AOB，∴△ODE∽△OAB．（3）∵△ODE∽△OAB，∴，∴．∴△ABC∽△DEF．【点评】本题考查了平行于三角形一边的直线截其他两边所得的新三角形与原三角形相似的判定方法的运用，相似三角形的性质的运用，相似三角形的判定的运用，解答时证明三角形相似是关键．16．如图，已知AB∥CD，AD，BC相交于E，F为EC上一点，且∠EAF=∠C．求证：（1）∠EAF=∠B；（2）AF2=FE•FB．【考点】相似三角形的判定与性质；平行线的性质．【专题】证明题．【分析】（1）欲证∠EAF=∠B，通过AB∥CD及已知发现它们都与∠C相等，等量转换即可；（2）欲证AF2=FE•FB，可证△AFB∽△EFA得出．【解答】证明：（1）∵AB∥CD，∴∠B=∠C，又∵∠EAF=∠C，∴∠EAF=∠B；（2）在△AFB与△EFA中，∵∠EAF=∠B，∠AFB=∠EFA，∴△AFB∽△EFA，∴，即AF2=FE•FB．【点评】乘积的形式通常可以转化为比例的形式，由相似三角形的性质得出，同时考查了平行线的性质．17．已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，以AD为直径的半圆与BC相切于E点．求证：AB•CD=BE•EC．【考点】相似三角形的判定与性质；梯形；切线的性质．【专题】证明题．【分析】连结AE、ED，由平行线的性质推出∠B=∠C，由AD为直径，得出∠AED=90°，从而证得∠AEB=∠CDE=90°﹣∠DEC，根据相似三角形的判定证得△ABE∽△ECD，由相似三角形的性质即可证得结论．【解答】解：连结AE、ED，∵AB∥CD，∠B=90°，∴∠C=90°，∴∠B=∠C，∵AD为直径，∴∠AED=90°，∠AEB=∠CDE=90°﹣∠DEC，∴△ABE∽△ECD，∴，∴AB•CD=BE•EC．【点评】本题主要考查了直径所对的圆周角的性质，相似三角形的判定和性质，能证得∠AEB=∠CDE是解题的关键．18．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为点B，点D是⊙O上的一点，且AD∥OC．求证：AD•BC=OB•BD．【考点】切线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】要证AD•BC=OB•BD，即要证AD：OB=BD：BC，于是求证△ABD∽△OCB即可．【解答】证明：∵BC是⊙O的切线，AB是圆的直径，∴∠CBO=∠D=90°．∵AD∥OC，∴∠COB=∠A．∴△ABD∽△OCB．∴AD：OB=BD：BC．∴AD•BC=OB•BD．【点评】本题利用了相似三角形的判定和性质求解．19．已知：如图，在⊙O中，CD过圆心O，且CD⊥AB，垂足为D，过点C任作一弦CF交⊙O 于F，交AB于E．求证：CB2=CF•CE．【考点】垂径定理；相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】连接BF，证所求的对应边成比例线段所在的三角形相似即可，即证△CBE∽△CFB．【解答】证明：连接FB，（1分）∵CD过圆心O，且CD⊥AB，∴=．（2分）∴∠CBE=∠F．∵∠BCE为公共角，∴△CBE∽△CFB．（4分）∴=．（5分）∴CB2=CE•CF．（6分）【点评】此题考查了垂径定理及相似三角形的判定和性质．20．已知D是BC边延长线上的一点，BC=3CD，DF交AC边于E点，且AE=2EC，试求AF与FB的比．【考点】平行线分线段成比例．【分析】过C作CG∥AB交DF于G，于是得到△CDG∽△BDF，△CEG∽△AFE，根据相似三角形的性质得到，，求得BF=4CG，AF=2CG，即可得到结论．【解答】解：过C作CG∥AB交DF于G，∴△CDG∽△BDF，△CEG∽△AFE，∴，，∴=，∴=，∴BF=4CG，∵AE=2EC，∴=，∴AF=2CG，∴=．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．21．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AH⊥BC于H，以AB和AC为边在Rt△ABC外作等边△ABD和△ACE，试判断△BDH与△AEH是否相似，并说明理由．【考点】相似三角形的判定；等边三角形的性质．【分析】首先由在△ABC中，∠BAC=90°，AH⊥BC于H，证得△BHA∽△AHC，即可得=，又由以AB和AC为边在Rt△ABC外作等边△ABD和△ACE，可得=，∠HBD=∠HAE，则可证得△BDH∽△AEH．【解答】解：相似．理由：∵在△ABC中，∠BAC=90°，∴∠BAH+∠CAH=90°，∴∠AHB=∠CHA=90°，∴∠ABH+∠BAH=90°，∴∠BAH=∠CAH，∴△BAH∽△ACH，∴=，∵△ABD和△ACE是等边三角形，∴BA=BD，AC=AE，∠ABD=∠CAE=60°，∴=，∠HBD=∠HAE，∴△BDH∽△AEH．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．注意证得△BAH∽△ACH是关键．22．如图，在△ABC中，∠C=90°，P为AB上一点，且点P不与点A重合，过点P作PE⊥AB 交AC边于E点，点E不与点C重合，若AB=10，AC=8，设AP的长为x，四边形PECB的周长为y，求y与x之间的函数关系式．【考点】相似三角形的判定与性质；根据实际问题列一次函数关系式；勾股定理．【专题】代数几何综合题；数形结合．【分析】四边形PECB的周长为PE+EC+CB+BP，其中BC在直角△ABC中运用勾股定理可以求出，BP=AB﹣AP=10﹣x，另外两条边均可根据△AEP∽△ABC，借助于比例线段，用含有x的式子表示出来．关键还需求出自变量x的取值范围，这可以令E点运行到C时，求特殊值．【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°AB=10，AC=8，∴BC=6．∵EP⊥AB且∠A为公共角，∴△AEP∽△ABC，∴．∵AP=x，∴，即AE=，PE=，∴．∴．当E与C重合时，CP⊥AB，∴△APC∽△ACB，∴CA2=AP•AB，∴82=10AP，AP=．因为P与A不重合，E与C不重合，所以．即．【点评】本题实际还是考查相似三角形的判定以及一次函数在几何图形中的应用．。

湘教版九年级数学上册《3.4 相似三角形的判定与性质》练习题-带参考答案

湘教版九年级数学上册《3.4 相似三角形的判定与性质》练习题-带参考答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1.已知△ABC∽△A′B′C′且ABA′B′＝12，则S△ABC∶S△A′B′C′为( )A.1∶2B.2∶1C.1∶4D.4∶12.如图，△ABC与△DE F相似，相似比为1∶2，BC的对应边是EF，若BC＝1，则EF的长是( )A.1B.2C.3D.43.已知△ABC∽△DEF，且AB∶DE＝1∶2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为( )A.1∶2B.1∶4C.2∶1D.4∶14.如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF ：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．3：25.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有( )A.1对B.2对C.3对D.4对6.如图，P是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一点，过P点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有( )A.1条B.2条C.3条D.4条7.如图，点P是△ABC的边AB上的一点，过点P作直线(不与直线AB重合)截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似.满足这样条件的直线最多有( )A.2条B.3条C.4条D.5条8.如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在格点为( )A.P1 B.P2C.P3D.P49.要做甲、乙两个形状相同(相似)的三角形框架，已知三角形框架甲的三边分别为50cm，60cm，80cm，三角形框架乙的一边长为20cm，那么符合条件的三角形框架乙共有( )A.1种B.2种C.3种D.4种10.如图，在△ABC中，CD⊥AB，且CD2＝AD•DB，AE平分∠CAB交CD于F，∠EAB＝∠B，CN＝BE.①CF＝BN；②∠ACB＝90°；③FN∥AB；④AD2＝DF•DC.则下列结论正确的是( )A.①②④B.②③④C.①②③④D.①③二、填空题11.若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比值为.12.若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是.13.若△ABC∽△A′B′C′，且AB：A′B′＝3：4，△ABC的周长为12 cm，则△A′B′C′的周长为____________．14.下图中的每个点(包括△ABC的各个顶点)都在边长为1的小正方形的顶点上，在P、Q、G、H中找一个点，使它与点D、E构成的三角形与△ABC相似，这个点可以是.(写出满足条件的所有的点)15.如图，平行四边形ABCD中，E是BC边延长线上一点，AE交CD于F，则图中相似三角形有对．16.如图，在平面直角坐标中，直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为60°，过点A(0，1)作y轴的垂线l于点B，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A1，以A1B.BA为邻边作▱ABA1C1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2，以A2B1.B1A1为邻边作▱A1B1A2C2；…；按此作法继续下去，则Cn的坐标是.三、解答题17.如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AB上，且∠ADE＝60°. 求证：△ADC∽△DEB.18.如图，A、B、C、P四点均在边长为1的小正方形网格格点上．(1)判断△PBA与△ABC是否相似，并说明理由；(2)求∠BAC的度数．19.如图所示，已知AB∥CD，AD，BC相交于点E，F为BC上一点，且∠EAF＝∠C.求证：(1) ∠EAF＝∠B；(2) AF2＝FE·FB.20.如图，在△ABC中，AD和BG是△ABC的高，连接GD.(1)求证△ADC∽△BGC；(2)求证CG·AB＝CB·DG.21.如图，已知P是正方形ABCD边BC上一点，BP＝3PC，Q是CD的中点(1)求证：△ADQ∽△QCP；(2)若AB＝10，连接BD交AP于点M，交AQ于点N，求BM，QN的长.22.在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D是AB延长线上一点，E是AC上一点，DE交BC于点F.(1)如图①，若BD＝CE，求证：DF＝EF.(2)如图②，若BD＝1nCE，试写出DF和EF之间的数量关系，并证明.(3)如图③，在(2)的条件下，若点E在CA的延长线上，那么(2)中结论还成立吗？试证明.答案1.C2.B3.B4.A5.C.6.C7.C.8.B9.C.10.C.11.答案为：1：4.12.答案为：4：9.13.答案为：16cm.14.答案为：Q.15.答案为：4.16.答案为(﹣3×4n﹣1，4n).17.证明：∵△ABC是等边三角形∴∠B＝∠C＝60°∴∠ADB＝∠CAD＋∠C＝∠CAD＋60°∵∠ADE＝60°∴∠ADB＝∠BDE＋60°∴∠CAD＝∠BDE∴△ADC∽△DEB.18.解：(1)△PBA与△ABC相似，理由如下：∵AB＝5，BC＝5，BP＝1∴∵∠PBA＝∠ABC∴△PBA∽△ABC；(2)∵△PBA∽△ABC∴∠BAC＝∠BPA∵∠BPA＝90°＋45°＝135°∴∠BAC＝135°．19.证明：(1)∵AB∥CD∴∠B＝∠C又∠C＝∠EAF∴∠EAF＝∠B(2)∵∠EAF＝∠B，∠AFE＝∠BFA ∴△AFE∽△BFA则AFBF＝FEFA∴AF2＝FE·FB20.解：(1) ∵在△ABC中，AD和BG是△ABC的高∴∠BGC＝∠ADC＝90°.又∠C＝∠C∴△ADC∽△BGC.(2)∵△ADC∽△BGC∴CGDC＝BCAC.∴CGBC＝DCAC.又∠C＝∠C∴△GDC∽△BAC.∴CGBC＝DGAB.∴CG·AB＝CB·DG.21.证明：(1)∵正方形ABCD中，BP＝3PC，Q是CD的中点∴PC＝14﹣BC，CQ＝DQ＝12CD，且BC＝CD＝AD∴PC ：DQ ＝CQ ：AD ＝1：2 ∵∠PCQ ＝∠ADQ ＝90° ∴△PCQ ∽△ADQ (2)∵△BMP ∽△AMD ∴BM ：DM ＝BP ：AD ＝3：4 ∵AB ＝10 ∴BD ＝10 2 ∴BM ＝同理QN ＝53 5.22.证明：(1)在题图①中作EG ∥AB 交BC 于点G 则∠ABC ＝∠EGC ，∠D ＝∠FEG. ∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C. ∴∠EGC ＝∠C.∴EG ＝EC. ∵BD ＝CE ，∴BD ＝EG. ∵∠D ＝∠FEG ，∠BFD ＝∠GFE ∴△BFD ≌△GFE. ∴DF ＝EF. (2)解：DF ＝1nEF.证明：在题图②中作EG ∥AB 交BC 于点G ，则∠D ＝∠FEG.由(1)得EG ＝EC. ∵∠D ＝∠FEG ，∠BFD ＝∠EFG ∴△BFD ∽△GFE.∴BD EG ＝DF EF. ∵BD ＝1n CE ＝1n EG∴DF ＝1n EF.(3)解：成立.证明：在题图③中作EG ∥AB 交CB 的延长线于点G则仍有EG＝EC，△BFD∽△GFE.∴BDEG＝DFEF.∵BD＝1nCE＝1nEG，∴DF＝1nEF.。

湘教版九年级上册数学相似三角形的判定定理同步测试题

3.4 相似三角形的判定与性质3.4.1 相似三角形的判定第2课时相似三角形的判定定理11. 有一个含有30°的两个直角三角形,一定( )A.相似B.全等C.既全等也相D.无法确定2．如图，在△ABC中．∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有（）A．1对 B．2对 C．3对D．4对3. 如图,在Rt ABC∠=,E是AC的中点,且AB=5,AC=4,过E ∆中, C90作EF⊥AB于F,则AF=_______.4.如图，∠1=∠2=∠3，则图中相似三角形共有_____.5. 如图在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，DE⊥BC，那么与△ABC相似的三角形的个数有____.6. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB 于E.求证：△ABD∽△CBE．初中生提高做题效率的方法厚薄读书法：复习课本要厚薄结合著名数学家华罗庚先生说:“书要能从薄读到厚,还要能从厚读到薄。

”这就是厚薄读书法。

我们在复习功课时,也可以用这种方法,具体来说分为“由薄到厚”和“由厚读薄”两个部分由薄到厚第一步要“由薄到厚”地复习课本。

这就是说,我们在复习过程中对书本中的某些原理、定律、公式,不仅应该记住它的结论,而且还应该思考一下,这个定律是怎样发现的,这个公式是怎样推导的。

在阅读过程中对书中的每个概念、原理和观点要有自己的理解,对自己不懂的地方,还要查阅参考资料,通过充实书本的有关内容,使自己获得比书本上内容更为丰富、更为深刻的认识和见解,也就是把书“越读越厚”。

由厚到薄第二步可采用“由厚读薄”的方法。

在深入理解课本内容的基础上,经过自己的思考,对书中的内容加以归纳、综合和概括,抓住书中的精要、纲领,提高记忆效率。

具体来说,可采用提纲法和图表法进行归纳。

1.提纲法。

我们在复习的时候,一定要抓住纲要。

所以,在学完一个章节后,立即进行小结,总结归纳出一个复习提纲。

湘教版九年级上相似三角形性质与判定基础练习题

九上基础提高五 1、已知线段a 、b 有32a b a b +=-,则a:b 为 2、如图，两个三角形相似，AD ＝2，AE ＝3，EC ＝1，则BD ＝．第2题图第3题图第4题图3、如图，□ABCD 中，EF ∥AB ，DE:DA=2:5,EF=4，则CD 的长为。

4、如图，电灯P 在横杆AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为CD ,AB ∥CD,AB=2米，CD=5米，点P 到CD 的距离是3米，则P 到AB 的距离是米。

5、如图，在河两岸分别有A 、B 两村，现测得A 、B 、D 在一条直线上，A 、C 、E 在一条直线上，BC//DE ，DE=90米，BC=70米，BD=20米。

则A 、B 两村间的距离为。

第5题图第6题图第8题图6、如图，要使△ADB∽△ABC，还需要增添的条件是 _____ ____7、若△ABC ∽△'''C B A ，相似比为3∶2，则面积比为，若它们的周长差为40厘米，则△'''C B A 的周长为厘米。

8、如图，在△ABC 中，CD ，AE 是三角形的两条高，写出图中所有相似的三角形为 9、已知△ABC∽△A'B'C'，S △ABC ∶S △A'B''C '=16∶9，AB=2，则A'B'= ___ 10、已知△ABC ∽△A′B′C′,AD 和A′D′是对应角平分线，且AD=8 A′D′=3 ，则△ABC 与△A′B′C′对应高的比为11、如图，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，BE 、CD 交于点O ，则△ADE ∽△ ，相似比K 1＝； △ODE ∽△ ，相似比K 2＝．12、如图，△ADE ∽△ABC ，21=BD AD ，△ABC 的面积为18，则四边形BCED 的面积为．13、已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，（1）求AEF ∆与CDF ∆ 的周长的比，（2）如果2cm 6=∆AEF S ，求CDF S ∆．14、如图，已知ΔABC 中，AD 为BC 边中线，E 为AD 上一点，且CE=CD,∠EAC=∠B,求证：(1)ΔAEC ∽ΔBDA, (2) DC 2=AD •AE15、如图，在4×3的正方形方格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．（1）填空：∠ABC= _________ °，BC= _________ ；（2）判断△ABC 与△DEC 是否相似，并证明你的结论．16、如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=6 ，AD=2．问当AB 的长为多少时，这两个直角三角形相似．17、如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？18、如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D ，AC=12,BC=9，求AB 及BD 的长19、如图梯形ABCD 中，AD BC ∥，AC 与BD 相交于O 点，过点B 作BE CD ∥交CA 的延长线于点E ．求证：OE OA OC ⋅=220.如图，平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC 于为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B.（1）求证：△ADF ∽△DEC (2)若AB ＝4,AD ＝33,AE ＝3,求AF 的长.21、如图、在等边⊿ABC 中，P 为BC 边的一点，D 为AC 上的一点，且∠APD= ︒06，（1）求证：ΔABP ∽ΔPCD; (2)若BP=1，CD=32，求⊿ABC 的边长.22、如图，在直角坐标系中，已知点A （2，0），B （0，4），在坐标轴上找到点C （1，0）和点D ，使△AOB 与△DOC 相似，求出D 点的坐标。

湘教版数学九年级上册第三章3.4《相似三角形的判定》解答题专项练习+解析

湘教版九年级数学上册第三章3.4《相似三角形的判定》解答题专项练习+解析一．解答题（共12小题）1．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD为角平分线，DE⊥AB，垂足为E．（1）写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形；（2）选择（1）中一对加以证明．2．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．3．如图，已知△ABC中，AB=，AC=，BC=6，点M为AB的中点，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求MN的长．4．如图，△ABC中，AB=AC，BE⊥AC于E，D是BC中点，连接AD与BE交于点F，求证：△AFE∽△BCE．5．已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C 点重合），∠ADE=45°．求证：△ABD∽△DCE．6．如图，在8×8的正方形网格中，△CAB和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，AC与网格上的直线相交于点M．（1）填空：AC= ，AB= ．（2）求∠ACB的值和tan∠1的值；（3）判断△CAB和△DEF是否相似？并说明理由．7．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，F为CA延长线上一点，∠F=∠C．（1）若BC=8，求FD的长；（2）若AB=AC，求证：△ADE∽△DFE．8．如图：方格纸中的每个小正方形边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．①判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；②点P1，P2，P3，D，F都是△DEF边上的5个格点，请在这5个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似．（写出一个即可，并在图中连接相应线段，不必说明理由）9．如图，已知△ABC中CE⊥AB于E，BF⊥AC于F，求证：△AEF∽△ACB．10．如图，点D在等边△ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC交于点F．（1）证明：△ABD∽△DCF；（2）除了△ABD∽△DCF外，请写出图中其他所有的相似三角形．11．如图，在等边△ABC中，点D、E分别是边BC、AC上的点，且BD=CE，连接BE、AD，相交于点F．（1）求证：△ABD≌△BCE；（2）图中共有对相似三角形（全等除外）．并请你任选其中一对加以证明．你选择的是．12．如图，△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．（1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）．（2）请选择其中的一对三角形，说明其相似的理由．湖南省澧县张公庙镇中学2015-2016学年湘教版九年级数学上册第三章3.4《相似三角形的判定》解答题专项练习+解析参考答案与解析一．解答题（共12小题）1．解：（1）△ADE≌△BDE，△ABC∽△BCD；（2）证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD为角平分线，∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A，在△ADE和△BDE中∵，∴△ADE≌△BDE（AAS）；证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD为角平分线，∴∠DBC=∠ABC=36°=∠A，∵∠C=∠C，∴△ABC∽△BCD．2．（1）证明：∵ABCD为正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，∵AE=ED，∴，∵DF=DC，∴，∴，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，∴，又∵DF=DC，正方形的边长为4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10．3．解：①图1，作MN∥BC交AC于点N，则△AMN∽△ABC，有，∵M为AB中点，AB=，∴AM=，∵BC=6，∴MN=3；②图2，作∠ANM=∠B，则△ANM∽△ABC，有，∵M为AB中点，AB=，∴AM=，∵BC=6，AC=，∴MN=，∴MN的长为3或．4．证明：∵AB=AC，D是BC中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠FAE+∠AFE=90°，∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°，∴∠CBE+∠BFD=90°，∵∠AFE=∠BFD，∴∠FAD=∠CBE，∴△AFE∽△BCE．5．证明：∵∠BAC=90°，AB=AC=1，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，∴∠1+∠2=180°﹣∠B=135°，∵∠ADE=45°，∴∠2+∠3=135°，∴∠1=∠3，∵∠B=∠C，∴△ABD∽△DCE．6．解：（1）如图，由勾股定理，得AC==2．AB==2故答案是：2，2；（2）如图所示，BC==2．又由（1）知，AC=2，AB=2，∴AC2+BC2=AB2=40，∴∠ACB=90°．tan∠1==．综上所述，∠ACB的值是90°和tan∠1的值是；（3）△CAB和△DEF相似．理由如下：如图，DE=DF==，EF==．则===2，所以△CAB∽△DEF．7．解：（1）∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴，DE∥BC．∴∠AED=∠C．∵∠F=∠C，∴∠AED=∠F，∴FD==4；（2）∵AB=AC，DE∥BC．∴∠B=∠C=∠AED=∠ADE，∵∠AED=∠F，∴∠ADE=∠F，又∵∠AED=∠AED，∴△ADE∽△DFE．8．解：①△ABC和△DEF相似．理由如下：∵根据图示知：AB=2，AC=，BC=5，ED=4，DF=2，EF=2，∴===，∴△ABC∽△DEF；②△ACB∽△DP3P2．理由如下：∵由①知，△ABC∽△DEF，∴∠D=∠A．连接DP2P3，DP3=，DP2=，P2P3=．∵==，∴△ACB∽△DP3P2．9．证明：∵CE⊥AB，BF⊥AC，∴∠AEC=∠AFB=90°．∵∠A是公共角，∴△ABF∽△ACE．∴，∴，又∠A是公共角，∴△AEF∽△ACB．10．（1）证明：∵△ABC，△ADE为等边三角形，∴∠B=∠C=∠3=60°，∴∠1+∠2=∠DFC+∠2，∴∠1=∠DFC，∴△ABD∽△DCF；（2）解：∵∠C=∠E，∠AFE=∠DFC，∴△AEF∽△DCF，∴△ABD∽△AEF，故除了△ABD∽△DCF外，图中相似三角形还有：△AEF∽△DCF，△ABD∽△AEF，△ABC∽△ADE，△ADF∽△ACD．11．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BA，∠ABD=∠C=60°，在△ABD和△BCE中，∴△ABD≌△BCE（SAS）；（2）4对，分别是△BDF∽△BEC，△DBF∽△DAB，△AFE∽△ACD，△AFE∽△BAE，选择证明△AEF∽△BEA，∵△ABC是等边三角形，∴AC=BA，∠C=∠BAE=60°，AC=BC，∵BD=CE，∴AE=CD，∴△ACD≌△BAE（SAS），∴∠DAC=∠ABE，又∵∠AEF=∠BEA，∴△AEF∽△BEA．12．（1）解：△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE；（2）△ABD∽△ACE．证明：由（1）知△ABC∽△ADE，∴=，∴AB×AE=AC×AD，∴=，∵∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE．初中数学试卷。

湘教版九年级数学上册第三章3.4相似三角形的判定与性质练习题(解析版)

初中数学湘教版九年级上册第三章3.4相似三角形的判定与性质练习题一、选择题1.如图，在△ABC中，DE//BC，ADAB =23，则S△ADES四边形DBCE的值是()A. 45B. 1 C. 23D. 492.如果三角形的每条边都扩大为原来的5倍，那么三角形的每个角()A. 都扩大为原来的5倍B. 都扩大为原来的10倍C. 都扩大为原来的25倍D. 都与原来相等3.如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，若AD=2，BD=3，则AC长为()A. √5B. √6C. √10D. 64.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q.若QH=2PE，PQ=15，则CR的长为()A. 14B. 15C. 8√3D. 6√55.如图，△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，若AD=2，A′D′=3，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为()A. 4：9B. 9：4C. 2：3D. 3：26.如图，在△ABC中，AB=AC=6，D为AC上一点，连接BD，且BD=BC=4，则DC为()A. 2B. 52C. 83D. 57.下列判断中正确的个数有()①全等三角形是相似三角形②顶角相等的两个等腰三角形相似③所有的等腰三角形都相似④所有的菱形都相似⑤两个位似三角形一定是相似三角形．A. 2B. 3C. 4D. 58.如图，△ABC中，若DE//BC，EF//AB，则下列比例式正确的是()A. ADDB =DEBCB. EFAD=BFBCC. EFAB=DEBCD. AEEC=BFFC9.如图，在△ABC中，E，G分别是AB，AC上的点，∠AEG=∠C，∠BAC的平分线AD交EG于点F，交BC于点D，若AFDF =32，则下列结论正确的是()A. AEBE =35B. EFCD=35C. EFFG=23D. EGBC=2310.如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC上的一点，且DE//BC，若S△ADE：S△ABC=4：9，则DE：BC等于()A. 4：9B. 2：3C. 4：5D. 1：2二、填空题11.已知两个相似三角形△ABC与△DEF的相似比为3.则△ABC与△DEF的面积之比为______．12.如图，已知反比例函数y=−1x的图象与直线y=kx(k<0)相交于点A、B，以AB为底作等腰三角形，使∠ACB=120°，且点C的位置随着k的不同取值而发生变化，但点C始终在某一函数图象上，则这个图象所对应的函数解析式为______．13.如图所示，n+1个边长为1的等边三角形，其中点A，C1，C2，C3，…C n在同一条直线上，若记△B1C1D1的面积为S1，△B2C2D2的面积为S2，△B3C3D3的面积为S3，…，△B n C n D n的面积为S n，则S n=______．14.如图，D、E分别是△ABC的边BC、AB上的点，AD、CE相交于点F，AE=15EB，BD=13BC，则CF：EF=______．15.如图，点P是边长为5的正方形ABCD内一点，且PB=2，PB⊥BF，垂足为点B，请在射线BF上找一点M，使得以B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，则BM=______．三、解答题16.从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．(1)如图1，在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°，当∠BCD=______时，CD为△ABC的完美分割线；(2)如图2，△ABC中，AC=2，BC=√2，CD是△ABC的完美分割线，求完美分割线CD的长．17.如图1，在6×6的方格纸中，有格点△ABC(三个顶点都在方格顶点上的三角形)(1)请在图2中作一个格点三角形，使它与△ABC相似(不全等)，且相似比为有理数；(2)请在图3中作一个格点三角形，使它与△ABC相似，且相似比为无理数．18.如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连接AC、BE，它们相交于点F，且∠ACB=∠ABE．(1)求证：AE2=EF⋅BE；(2)若AE=2，EF=1，CF=4，求AB的长．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADES△ABC =(ADAB)2=49，∴S△ADES四边形DBCE =45，故选：A．利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题．本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．2.【答案】D【解析】解：∵所得的三角形与原三角形相似∴三角形的每个角都与原来相等故选：D．三角形的每条边都扩大为原来的5倍，所得的三角形与原三角形相似，相似比是1：5，根据相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等．本题主要考查相似三角形的性质，对应角相等．3.【答案】C【解析】【分析】由∠ACD=∠B，∠CAD=∠BAC可得出△ACD∽△ABC，利用相似三角形的性质可得出AC AB =ADAC，将AB=AD+BD=5，AD=2代入即可求出AC的长．本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形对应边的比成比例是解题的关键．【解答】解：∵∠ACD=∠B，∠CAD=∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∴ACAB =ADAC，即AC2+3=2AC，∴AC=√10或AC=−√10(舍去)．故选C．4.【答案】A【解析】解：如图，连接EC，CH.设AB交CR于J．∵四边形ACDE，四边形BCIH都是正方形，∴∠ACE=∠BCH=45°，∵∠ACB=90°，∠BCI=90°，∴∠ACE+∠ACB+∠BCH=180°，∠ACB+∠BCI=90°∴B，C，H共线，A，C，I共线，∵DE//AI//BH，∴∠CEP=∠CHQ，∵∠ECP=∠QCH，∴△ECP∽△HCQ，∴PCCQ =CECH=EPHQ=12，∵PQ=15，∴PC=5，CQ=10，∵EC：CH=1：2，∴AC：BC=1：2，设AC=a，BC=2a，∵PQ⊥CR，CR⊥AB，∴CQ//AB，∵AC//BQ，CQ//AB，∴四边形ABQC是平行四边形，∴AB=CQ=10，∵AC2+BC2=AB2，∴5a 2=100，∴a =2√5(负根已经舍弃)，∴AC =2√5，BC =4√5，∵12⋅AC ⋅BC =12⋅AB ⋅CJ ， ∴CJ =2√5×4√510=4，∵JR =AF =AB =10，∴CR =CJ +JR =14，故选：A ．如图，连接EC ，CH.设AB 交CR 于J.证明△ECP∽△HCQ ，推出PC CQ =CE CH =EP HQ =12，由PQ =15，可得PC =5，CQ =10，由EC ：CH =1：2，推出AC ：BC =1：2，设AC =a ，BC =2a ，证明四边形ABQC 是平行四边形，推出AB =CQ =10，根据AC 2+BC 2=AB 2，构建方程求出a 即可解决问题．本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会踢脚线有辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 5.【答案】A【解析】解：∵△ABC∽△A′B′C′，AD 和A′D′分别是△ABC 和△A′B′C′的高，AD =2，A′D′=3，∴AB A′B′=AD A′D′=23，∴△ABC 与△A′B′C′的面积的比=(23)2=49，故选：A ．根据相似三角形对应高的比等于相似比求出相似比，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 6.【答案】C【解析】解：如图，作BE⊥AC于E．∵BD=BC，BE⊥CD，∴EC=DE，设EC=DE=x，则有：BE2=AB2−AE2=BC2−EC2，∴62−(6−x)2=42−x2，，解得x=43∴CD=2EC=8，3故选：C．如图，作BE⊥AC于E.设EC=DE=x，则有：BE2=AB2−AE2=BC2−EC2，由此构建方程求出x即可解决问题．本题考查解直角三角形的应用，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．7.【答案】B【解析】解：①全等三角形是相似三角形，正确；②顶角相等的两个等腰三角形相似，正确；③所有的等腰三角形不一定相似故此选项错误；④所有的菱形都相似，错误；⑤两个位似三角形一定是相似三角形，正确．故选：B．直接利用相似三角形的判定方法以及位似图形的性质分别判断得出答案．此题主要考查了相似三角形的判定方法以及位似图形的性质、相似多边形的判定方法，正确掌握相似图形的判定方法是解题关键．8.【答案】D【解析】解：∵DE//BC，EF//AB，∴△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，四边形BDEF为平行四边形，∴△ADE∽△EFC，DE=BF，∴AEEC =DEFC=BFFC．故选：D．由DE//BC，EF//AB可得出△ADE∽△ABC，△EFC∽△ABC，四边形BDEF为平行四边形，再利用相似三角形的性质及平行四边形的性质可得出AEEC =BFFC，此题得解．本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质，利用相似三角形的性质及平行四边形的性质找出AEEC =BFFC是解题的关键．9.【答案】B【解析】解：∵∠EAG=∠CAB，∠AEG=∠C，∴△AEG∽△ACB，∴AEAB =EGBC=AFAD=32+3=35，∵AD平分∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD，∵∠AEG=∠C，∴△AEF∽△ACD，∴EFCD =AFAD=35．故选：B．先证明△AEG∽△ACB，利用相似比得到AEAB =EGBC=35，再证明△AEF∽△ACD，利用相似比得到EFCD =AFAD=35，从而得到正确答案．本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．10.【答案】B【解析】解：∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∵S△ADE：S△ABC=4：9，∴DE：BC=2：3．故选：B．由DE//BC，即可证得△ADE∽△ABC，又由S△ADE：S△ABC=4：9，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案．本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．11.【答案】9【解析】解：∵△ABC与△DEF的相似比为3，∴△ABC与△DEF的面积之比为9．故答案为9．直接根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求解．本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．12.【答案】y=13x【解析】解：连接CO，过点A作AD⊥x轴于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，∵反比例函数y=−1x的图象与直线y=kx(k<0)相交于点A、B，以AB为底作等腰三角形，使∠ACB=120°，∴CO⊥AB，∠CAB=30°，则∠AOD+∠COE=90°，∵∠DAO+∠AOD=90°，∴∠DAO=∠COE，又∵∠ADO=∠CEO=90°，∴△AOD∽△OCE，∴ADEO =ODCE=OAOC=tan60°=√3，∴S△AODS△OCE=(√3)2=3，∵点A是双曲线y=−1x在第二象限分支上的一个动点，∴S △AOD =12×|xy|=12， ∴S △OCE =16，即12×OE ×CE =16， ∴OE ×CE =13， ∴这个图象所对应的函数解析式为y =13x ．故答案为：y =13x ．连接CO ，过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，证明△AOD∽△OCE ，根据相似三角形的性质求出△AOD 和△OCE 面积比，根据反比例函数图象上点的特征求出S △AOD ，得到S △EOC ，根据反比例函数比例系数k 的几何意义求解．此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点以及相似三角形的判定与性质，得出△AOD∽△OCE 是解题关键．13.【答案】√3n 4(n+1)【解析】解：由题意可知，S 1=S △B 2D 1C 1=12S △AC 1B 2=12S △AC 1B 1，S 2=S △B 3D 2C 2=13S △AC 2B 3=23S △AC 1B 1，S 3=S △B 4D 3C 3=14S △AC 3B 4=34S △AC 1B 1，…，所以S n =n n+1S △AC 1B 1，∵S △AC 1B 1=12×1×√32=√34， ∴S n =√3n 4(n+1)，故答案为：√3n 4(n+1) 首先求出S 1，S 2，S 3，…，探究规律后即可解决问题．本题考查相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究方法，学会利用规律解决问题，属于中考常考题型． 14.【答案】12【解析】解：作EH//BC 交AD 于H ，则△AEH∽△ABD ，∴HEBD =AEAB=16，∵BD=13BC，∴CD=2BD，∴HECD =112，∵EH//BC，∴△CFD∽△EFH，∴CFEF =CDHE=12，即CF：EF=12，故答案为：12．作EH//BC，根据△AEH∽△ABD，得到HEBD =AEAB=16，证明△CFD∽△EFH，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握作辅助线构造相似三角形的一般方法是解题的关键．15.【答案】2或252【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABC=90°，BA=BC，∵PB⊥BF，∴∠PBM=90°，∵∠ABP+∠CBP=90°，∠CBP+∠CBM=90°，∴∠ABP=∠CBM，∴当BABC =BPBM时，△BAP∽△BCM，即55=2BM，解得BM=2；当BABM =BPBA时，△BAP∽△BMC，即5BM=25，解得BM=252，综上所述，当BM为2或252时，以B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似．故答案为2或252．先利用等角的余角相等得到∠ABP=∠CBM，利用相似三角形的判定方法得到当BABC =BPBM时，△BAP∽△BCM，即55=2BM；当BABM=BPBA时，△BAP∽△BMC，即5BM=25，然后分别利用比例的性质求BM的长．本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．也考查了正方形的性质．16.【答案】40°【解析】解：(1)当∠BCD=40°时，∵∠A=40°，∠B=60°，∴∠ACB=80°，∴△ABC不是等腰三角形，∴∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°，∴∠ACD=∠A=40°，∴△ACD是等腰三角形，∵∠BCD=∠A=40°，∠CBD=∠ABC∴△BCD∽△BAC，∴CD是△BAC的完美分割线；故答案为：40°；(2)①∵△BCD∽△BAC，∴BCBA =BDBC，∵AC=AD=2，BC=√2，设BD=x，则AB=2+x，∴√2x+2=x√2，解得x=−1±√3，∵x>0，∴BD=x=−1+√3，∵△BCD∽△BAC，∴CDAC =BDBC，∵AC=2，BC=√2，BD=−1+√3∴CD=2×√3−1√2=√6−√2，如图3，②∵△ADC∽△ACB，∴ACAB =ADAC，∴AD+√2=AD2，∴AD=√2，∴AB=2√2，∵△ADC∽△ACB，∴ACAB =CDBC，∴22√2=CD√2，∴CD=1，如图4，③∵△CDB∽△ACB，∴CDAC =BCAB，∴CD2=√2AD+DB=√2，即CD2=√2CD+DB=DB√2，CD=√2DB，CD2+DB⋅CD=2√2，CD⋅BD+DB2=2，∴CD2−DB2=2√2−2，∴DB=√2√2−2，∴CD=2√√2−1；如图5，④∵△ACD∽△ABC，∴ADAC =CDBC=ACAB，∴AD2=CD√2=ACAB，∴CD=AD√2，同理解得：CD=√4−2√2，如图6，⑤△ADC∽△ACB，CD=BC=√2综上所述，CD的长为√6−√2或1或√2或√4−2√2或2√√2−1．(1)根据已知条件得到△ABC不是等腰三角形，求得∠ACD=∠BCD=∠ACB=40°，得到∠ACD=∠A=40°，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；(2)根据相似三角形的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．本题考查的是相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．17.【答案】解：(1)如图2所示：它与△ABC相似(不全等)，且相似比为2；(2)如图3所示：它与△ABC相似(不全等)，且相似比为√5．【解析】(1)直接利用相似三角形的性质结合网格得出答案；(2)直接利用相似三角形的性质结合网格得出答案．此题主要考查了相似变换，正确应用网格分析是解题关键．18.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD//BC，∴∠DAC=∠ACB，∵∠ACB=∠ABE，∴∠DAC=∠ABE，∵∠EAF=∠EBA，∠AEF=∠BEA，∴△EAF∽△EBA，∴EA：EB=EF：EA，∴AE2=EF⋅BE；(2)∵AE2=EF⋅BE，∴BE=221=4，∴BF=BE−EF=4−1=3，∵AE//BC，∴AFFC =EFBF，即AF4=13，解得AF=43，∵△EAF∽△EBA，∴AFAB =EFAE，即43AB=12，∴AB=83．【解析】(1)利用平行四边形的性质得到AD//BC，则∠DAC=∠ACB，然后证明△EAF∽△EBA，则利用相似三角形的性质得到结论；(2)先利用AE2=EF⋅BE计算出BE=4，则BF=3，再由AE//BC，利用平行线分线段成比例定理计算出AF=43，然后利用△EAF∽△EBA，根据相似比求出AB的长．本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．也考查了平行四边形的性质．。

【湘教版】九年级数学上册：3.4.1相似三角形的判定的预备定理(含答案)

3.4相似三角形的判定与性质3. 4.1相似三角形的判定第1课时相似三角形的判定的预备定理01 基础题知识点用基本定理判定两个三角形相似CD 21 •如图，在Z\ABC 中，DE 〃AB, DE 与AC, BC 的交点分别为D, E,若乔=二, AU □ DE则胚等于(B)2A -33C *2 A. 3 B. 4C. 5D. 6△ B C 3.如图,四边形ABCD 是平行四边形，则图中与ADEF 相似的三角形共有⑻ AD 12.债阳中考)如图，在ZXABC 中，DE 〃BC, —BC=12,则DE 的长是(B)A. 1个C ・3个 B.2个 D.4个2 B -5 3D -54.碱海中考)如图，在口ABCD 中，点E 为AD 的中点，连接BE,交AC 于点F,则AF : CF= (A) A. 1 ： 2 B. 1 ： 3C. 2 ： 3D. 2 ： 5D CA B5•如图，在AABC 中，DE 〃BC, DE = 3 cm, BC = 5 cm,则△ ADE 与△ABC 的 3 相似比为寻(2)如图2, A' B z 〃AB,则AOA^JB^^AOAB,对应边的比例式是:0 £ B‘"OB -— AB -7 •如图，ZADE=ZB,求证：A ADE A ABC. 6.⑴如图1, DE 〃BC,则AADE^AABC,对应边的比例式是:AD_AE_DE AB —AC —BC ; A z 0 OA 二证明：V ZADE=ZB,•••DE 〃BC.•I △ ADE s △ABC.& 如图，在AABC 中，己知 DE 〃BC, AD = 4, DB = 8,解:VDE/ZBC,••• △ ADE s △ABC.••黔箒即絆点•••討9•在AABC 中，若点 D.E 分别在 AB.BC 上，DE 〃AC, —=2, DE = 4 cm,则 AC 的长为(D) A. 8 cmB. 10 cmC. 11 cmD. 12 cm10.如图，在ZXABC 中， D .E 分别为AB. AC 边上的点,DE 〃BC, BE 与CD 相交于点F,则下列结论一定正确的是(A)AD AEA ，AB =ACAD DE r ——=—— •DB BCli 11.（邵阳中考）如图，在DE=3.求BC 的长. 02中档DF AE B —=— FC EC DF EFD 一=一 BF FCoABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E, BP〃DF,且与AD相交于点P,请从图中找出一组相似的三角形：AABPsAAEDsz\BEFsACDF（任写一组即可）.12.如图，在ZiABC中，点D, E分别为AB, AC的中点，连接DE,线段BE,CD相交于点0,若0D=2,则0C=4.13.如图，A.B两点被池塘隔开，在AB外取一点C,连接AC. BC,在AC上取点M,使AM=3MC,作MN〃AB交BC于N,量得MX=38 m,求AB的长.解：・.・MN〃AB,ACMN^ACAB.又・.・AM=3MC,.CM 1•*AC=4-.W^_CM 38_1 ，，AB=AC，N AB=?・・・AB = 38X4 = 152 (m).214.如图，己知口ABCD中，E为AD延长线上的一点，AD=~AE, BE交DC于F,指岀图中各对相似三角形及其相似比.解：•・•四边形ABCD是平行四边形, •••AE〃BC, DC//AB ・ADEF^ACBF,DE其相似比为鬻=C DVDC/7 AB, AADEF^AAEB,—AE其相似比为診滸斗CR AD 9 AACBF-AAEB,其相似比为活=器=刍03 综合题15.如图，AD〃EG〃BC, EG 分别交AB, DB, AC 于点E, F, G, BC=10, AE = 3, AB = 5,求EG, FG 的长.解：•••在AABC 中，EG〃BC,・•・ AAEG^AABC,.EG_AEe#BC=AB •VBC = 10, AE=3, AB = 5,己知AD = 6, DE AE-ADAD_ AD•••在ABAD 中,EF 〃AD,・・・FG=EG-EF=学. 5 • EG 3 •匸祚'/.EG=6. A ABEF^ABAD, .EF_BE e AD _AB - 7AD = 6, AE = 3, AB = 5, .EF 5-3 •石=飞— EF = 12 T。

湘教版九年级上册数学3.4.1 第3课时相似三角形的判定定理2(2)同步练习

.4 相似三角形的判定与性质
3.4.1 相似三角形的判定
第3课时相似三角形的判定定理2
1.已知△ABC 如图，则下列4个三角形中，与△ABC 相似的是（）
A 、 B
、
C 、
D 、
2.如图，△ABC 中，AB=AC ，△DEF 中，DE=DF ，要使得△ABC ∽△DEF ，还需增加的一个条件是（填上你认为正确的一个即可）．
第3题图
3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于O ，试
问△AOB 与△DOC 是否相似？
某同学作如下解答：
解：△AOB ∽△DO C ．理由如下：在△AOB 和△DOC 中，因为AD ∥BC ，OB DO CO AO ．∵∠AOB ＝∠DOC ，∴△AOB ∽△DO C ．
请你回答，该同学的解答是否正确？如果正确，请在每一步后面写出根据．如果不正确，请简要说明理由．
4.如图，∠1=∠2，则下列各式不能说明△ABC∽△ADE的是（）
A、∠D=∠B
B、∠E=∠C C
、D 、
5.已知如图：（1）、（2）中各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图（2）中AB、CD交于0点，对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是（）
A、都相似
B、都不相似
C、只有（1）相似
D、只有（2）相似
第6题图第7题图
6.如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，P是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，试求AQ的长。

湘教版九年级上册数学第3章图形的相似含答案

湘教版九年级上册数学第3章图形的相似含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、下列命题中正确的是（）①三边对应成比例的两个三角形相似②二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似④一个角对应相等的两个等腰三角形相似．A.①③B.①④C.①②④D.①③④2、若，则=（）A. B. C. D.3、如图，在中，点D、E分别在边AB、AC上，DE//BC，且DE经过重心G，在下列四个说法中，；；；，正确的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个4、如图，在△ABC中，D，E分别是线段AB，AC的中点，则△ABC与△ADE的面积之比为（）A.1：2B.1：4C.4：1D.2：15、如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC边上一点，F是AD、BE的交点，CE=2AE，BF=EF，EN∥BC交AD于N，若BD=2，则CD长度为( )A.6B.7C.8D.96、如图，DE∥AB，如果CE∶AE =1∶2，DE=3，那么AB等于（）A.6；B.9；C.12；D.13．7、如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转，若∠BOA的两边分别与函数y=﹣、y=的图象交于B、A两点，则∠OAB的大小的变化趋势为（）A.逐渐变小B.逐渐变大C.时大时小D.保持不变8、如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，则拍球的高度h应为 ( )A.2.7mB.1.8mC.0.9mD.6m9、如图是圆桌正上方的灯泡（看做一个点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为1.2m，桌面距离地面1m．若灯泡距离地面3m，则地面上阴影部分的面积为（）A.0.36π m 2B.0.81π m 2C.2π m 2D.3.24π m 210、将一个直角三角形三边扩大3倍，得到的三角形一定是( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上三种情况都有可能11、若，则的值为（）A.5B.C.-5D.12、如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是（）A. B. C. D.13、如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C 和D的坐标分别为（）A.（2，2），（3，2）B.（2，4），（3，1）C.（2，2），（3，1）D.（3，1），（2，2）14、把边长分别为1和2的两个正方形按图的方式放置.则图中阴影部分的面积为（）A. B. C. D.15、已知，那么下列等式中不一定正确的是（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在△ABC中，4AB=5AC，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在AF上，FG=FD，连接EG交AC于点H．若点H是AC的中点，则的值为________．17、如图，三个顶点的坐标分别为，以点为位似中心，相似比为，将缩小，则点的对应点的坐标是________.18、在同一时刻物高与影长成比例，小莉量得综合楼的影长为6米，同一时刻他量得身高1.6米的同学的影长为0.6米，则综合楼高为________米．19、如图9，CE是平行四边形ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E，连接AC，BE，DO，DO与AC交于点F，则下列结论：①四边形ACBE是菱形；②∠ACD=∠BAE③AF：BE=2：3 ④其中正确的结论有________。