课后训练{1.2.1 排列}
高中数学第一章1.2排列与组合1.2.1排列1课后导练
1.2.1 排列（一）课后导练基础达标1.判断下列问题是否是排列问题：(1)从2、3、5、7、11中任取两数相乘可得多少不同的积?(2)从上面各数中任取两数相除，可得多少不同的商?(3)某班共有50名同学，现要投票选举正副班长各一人，共有多少种可能的选举结果?(4)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买商品后再从另一个门出来，不同的出入方 式共有多少种?解析：(1)不是 (2)是 (3)是 (4)是2.写出下面问题中所有可能的排列.(1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数?(2)A 、B 、C 、D 四名同学站成一排照相，写出A 不站在两端的所有可能的站法，共有多少种? 解析：(1)所组成的两位数是：12、13、14、21、23、24、31、32、34、41、42、43共12 个.(2)所有可能的站法为：BACD 、BADC 、BCAD 、BDAC 、CABD 、CADB 、CBAD 、CDAB 、DACB 、DABC 、DBAC 、DCAB 共12种.3.从0，3，4，5，7中任取三个数分别作为一元二次方程的二次项系数，一次项系数及常数项，则可做出的不同方程的个数是( )A.10B.24C.48D.60解析：由于二次项系数不能为0，故只能从3，4，5，7中任选一个，其他两个系数没有限制，故共可做出14A ·24A =48(个)不同的方程.答案：B4.6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有( )A.720种B.360种C.240种D.120种解析：因甲、乙两个要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人进行全排列有55A 种排法，但甲、乙两人之间有22A 种排法，由乘法原理可知，共有55A ·22A =240种不同排法.选(C)5.要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少不同的排法(只要求写出式子，不必计算)?解析：先将6个歌唱节目排好，其不同的排法为66A 种，这6个歌唱节目的空隙及两端共七个位置中再排4个舞蹈节目有47A 种排法，由乘法原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为47A ·66A 种.综合运用6.计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有多少种( )A.4544A AB.354433A A AC.554413A A CD.554422A A A解析：选把3种品种的画看成整体，而水彩画不能放在头尾，故只能放在中间，又油画与国画有22A 种放法，再考虑油画与国画本身又可以全排列，故排列的方法为554422A A A ，故选D.7.从{1，2，3，4，…，20}中任选三个不同的数，使这三个数成等差数列，这样的等差数列最多有( )A.90B.180C.200D.120解析：从其中10个奇数中任选两个作为等差数列的首项和末项，则它们的等差中项为自然数(唯一确定)，这样的等差数列有210A 个.同理，从其中10个偶数中任选两个作为等差数列的首项和末项的等差数列，也有210A 个，故共有2102A 个，选B.8.把6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法共有( )A.36种B.120种C.720种D.1 440种解析：本题相当于6个不同元素站成一排，共有66A =720种，故选C.9.由1，2，3，4，5组成比40 000小的没有重复数字的五位数的个数是__________.解析：要比40 000小首位数只能是1，2，3，所以应为13A ·14A =72个.答案：72.拓展探究10.如图，在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物，要求同一块中种同一植物，相邻的两块种不同的植物.现有4种不同的植物可供选择，则有多少种栽种方案.解析：给六块区域依次标上字母A ，B ，C ，D ，E ，F ，按间隔三块A ，C ，E 种植植物的种数分三类：1)若A ，C ，E 种同一种植物，有4种种法.当A ，C ，E 种植好后，B ，D ，E 各有3种种法.此时共有4×3×3×3=108种；2)若A ，C ，E 种2种不同植物，有24A 种种法.在这种情况下，若A ，C 种同一植物，则B 有3种种法，D ，F 各有2种种法；若C ，E 或E ，A 种同一植物，情况相同(只是次序不同)，此时共有24A ×3(3×2×2)=432种；3)若A ，C ，E 种3种不同植物，有34A 种种法.这时，B ，D ，F 各有2种种法.此时共有34A ×2×2×2=192种.综上所述，不同的种植方案共有N=108+432+192=732(种).拓展探究11.从6名志愿者中选出4人分别从事保健、翻译、导游、保洁四项不同工作，若其中两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有( )A.280种B.240种C.180种D.96种解析：可分三类：不能从事翻译工作的两名志愿者有0人当选、1人当选、两人当选.于是选派方案共有：24233413142A A A A A ∙+∙+=240(种),故选B.12.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( )A.42B.30C.20D.12解析：可分两类：一类是这两个节目相邻，另一类是这两个节目不相邻，于是不同插法的种数为262216A A A +∙=42,故选A. 13.从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植.不同的种植方法共有( )A.24种B.18种C.12种D.6种解析：由于黄瓜必须种植，故只需从剩下的3种蔬菜品种中再选出2种进行种植即可，不同的种植方法共有：13A ·23A =18种，故选B.14.有8本不同的书，其中科技书3本，文艺书2本，其他书3本.将这些书竖排在书架上，则科技书连在一起，文艺书也连在一起的不同排法种数与这8本书的不同排法种数之比为( )A.1∶14B.1∶28C.1∶140D.1∶336 解析：28188552233=∙∙A A A A ,选B. 15.有三张卡片的正反两面分别写有数字1和2，4和5，7和8，将它们并排组成三位数，不同的三位数的个数是__________________.解析：分两步：第一步先从每张卡片中各选一数字，第二步把这三个数字全排列，故可组成的不同的三位数有23·33A =48(个)，故填48. 16.晚会上有8个歌唱节目和3个舞蹈节目，若3个舞蹈在节目单中要隔开，则不同节目单的种数( )A.88AB.811AC. 3988A A ∙ D.88A ·38A 解析：这是一个不相邻问题，故可用插空法来求，不同节目单的种数为3988A A ∙,故选C.。
2021学年高中数学1.2排列与组合1.2.1第2课时排列二练习含解析人教A版选修2_3
第一章 1.2 1.2.1 第2课时请同学们认真完成练案[4]A级基础巩固一、选择题1．5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数为( C )A．18 B．24C．36 D．48[解析] 5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法有3A33×A22＝36(种)．2．某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天安排1人，每人值班1天．若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有( C )A．504种B．960种C．1 008种D．1 108种[解析] 甲、乙相邻的所有方案有A22A66＝1 440种；其中丙排在10月1日的和丁排在10月7日的一样多，各有：A22A55＝240种，其中丙排在10月1日且丁排在10月7日的有A22A44＝48种，故符合题设要求的不同安排方案有：1 440－2×240＋48＝1 008种，故选C．3．停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有( D )A．A812种B．2A88A44种C．8A88种D．9A88种[解析] 将4个空车位视为一个元素，与8辆车共9个元素进行全排列，共有A99＝9A88种．4．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( B )A．192种B．216种C．240种D．288种[解析] 分两类：最左端排甲有A55＝120种不同的排法，最左端排乙，由于甲不能排在最右端，所以有4A44＝96种不同的排法，由分类加法原理可得满足条件的排法共有120＋96＝216种．5．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有( A ) A．20种B．30种C．40种D．60种[解析] 分类完成，甲排周一，乙、丙只能从周二至周五这4天中选2天排，有A24种安排方法；甲排周二，乙、丙有A23种安排方法；甲排周三，乙、丙只能排周四和周五，有A22种安排方法．由分类加法计数原理可知，共有A24＋A23＋A22＝20种不同的安排方法．6．(2020·广元模拟)在航天员进行一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有( C )A．34种B．48种C．96种D．144种[解析] 根据题意，程序A只能出现在第一步或最后一步，则从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A排列，有A12＝2种结果，又由程序B和C实施时必须相邻，把B和C看作一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列，共有A44A22＝48种结果，根据分步计数原理知共有2×48＝96种结果，故选C．二、填空题7．(2020·和平区高三)现有6个人排成一横排照相，其中甲不能被排在边上，则不同排法的总数为__480__．[解析] 假设6个人分别对应6个空位，甲不站在两端，有4个位置可选，则其他5人对应其他5个位置，有A55＝120种情况，故不同排列方法种数4×120＝480种．故答案为480．8．将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是__96__．[解析] 先分组后用分配法求解，5张参观券分为4组，其中2个连号的有4种分法，每一种分法中的排列方法有A44种，因此共有不同的分法4A44＝4×24＝96(种)．9．2020年某地举行博物展，某单位将展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该单位展出这5件作品不同的方案有__24__种．(用数字作答)[解析] 将2件书法作品排列，方法数为2种，然后将其作为1件作品与标志性建筑设计作品共同排列有2种排法，对于其每一种排法，在其形成的3个空位中选2个插入2件绘画作品，故共有不同展出方案：2×2×A23＝24种．三、解答题10．一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单．(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？(2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？[解析] (1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有A25种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有A66种排法，故共有不同排法A25A66＝14 400种．(2)先不考虑排列要求，有A88种排列，其中前四个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有A45A44种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有A88－A45A44＝37 440种．B级素养提升一、选择题1．(2020·濮阳三模)《红海行动》是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A必须排在前三位，且任务E、F必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有( D )A．240种B．188种C．156种D．120种[解析] 根据题意，由于任务A必须排在前三位，分3种情况讨论：①A排在第一位，任务E、F必须排在一起，则任务E、F相邻的位置有4个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个任务全排列，安排在其他三个位置，有A33＝6种安排方法，则此时有4×2×6＝48种安排方案；②A排在第二位，任务E、F必须排在一起，则任务E、F相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个任务全排列，安排在其他三个位置，有A33＝6种安排方法，则此时有3×2×6＝36种安排方案；③A排在第三位，任务E、F必须排在一起，则任务E、F相邻的位置有3个，考虑两者的顺序，有2种情况，将剩下的3个任务全排列，安排在其他三个位置，有A33＝6种安排方法，则此时有3×2×6＝36种安排方案；则符合题意要求的安排方案有36＋36＋48＝120种．故选D．2．(多选题)某地为了迎接2021年城运会，某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间可以是( ABC )A．1 205秒B．1 200秒C．1 195秒D．1 190秒[解析] 由题意每次闪烁共5秒，所有不同的闪烁为A55个，相邻两个闪烁的时间间隔为5秒，因此需要的时间至少是5A55＋(A55－1)×5＝1 195秒，故选ABC．二、填空题3．6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为__576__．[解析] “不能都站在一起”与“都站在一起”是对立事件，由间接法可得A66－A33A44＝576．4．有语文、数学、英语、物理、化学、生物6门课程，从中选4门安排在上午的4节课中，其中化学不排在第四节，共有__300__种不同的安排方法．(用数字回答) [解析] 法一：(分类法)分两类．第1类，化学被选上，有A13A35种不同的安排方法；第2类，化学不被选上，有A45种不同的安排方法．故共有A13A35＋A45＝300种不同的安排方法．法二：(分步法)第1步，第四节有A15种排法；第2步，其余三节有A35种排法，故共有A15A35＝300种不同的安排方法．法三：(间接法)从6门课程中选4门安排在上午，有A46种排法，而化学排第四节，有A35种排法，故共有A46－A35＝300种不同的安排方法．三、解答题5．用0、1、2、3、4五个数字：(1)可组成多少个五位数；(2)可组成多少个无重复数字的五位数；(3)可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数；(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数．[解析] (1)各个数位上的数字允许重复，故由分步乘法计数原理知，共有4×5×5×5×5＝2 500(个)．(2)解法一：先排万位，从1,2,3,4中任取一个有A14种填法，其余四个位置四个数字共有A44种，故共有A14·A44＝96(个)．解法二：先排0，从个、十、百、千位中任选一个位置将0填入有A14种方法，其余四个数字全排有A44种方法，故共有A14·A44＝96(个)．(3)构成3的倍数的三位数，各个位上数字之和是3的倍数，按取0和不取0分类：①取0，从1和4中取一个数，再取2进行排，先填百位A12，其余任排有A22，故有2A12·A22种．②不取0，则只能取3，从1或4中再任取一个，再取2然后进行全排为2A33，所以共有2A12A22＋2A33＝8＋12＝20(个)．(4)考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从1、3中选一个填入个位有A12种填法，然后从剩余3个非0数中选一个填入万位，有A13种填法，包含0在内还有3个数在中间三位置上全排列，排列数为A33，故共有A12·A13·A33＝36(个)．6．4个男同学，3个女同学站成一排．(1)3个女同学必须相邻，有多少种不同的排法？(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？(3)三位女同学站在中间三个位置上的不同排法有多少种？(4)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？(5)若3个女生身高互不相等，女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？[解析] (1)3个女同学是特殊元素，她们排在一起，共有A33种排法；我们可视排好的女同学为一整体，再与男同学排队，这时是5个元素的全排列，应有A55种排法，由分步乘法计数乘法原理，有A33A55＝720种不同排法．(2)先将男生排好，共有A44种排法，再在这4个男生之间及两头的5个空档中插入3个女生有A35种方案，故符合条件的排法共有A44A35＝1 440种不同排法．(3)三位女同学站在中间三个位置上的不同排法有A33·A44＝144种．(4)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有A44种排法；由于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有A22种排法；最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空档中有A25种排法．这样，总共有A44A22A25＝960种不同排法．(5)从7个位置中选出4个位置把男生排好，则有A47种排法．然后再在余下的3个空位置中排女生，由于女生要按身体高矮排列，故仅有一种排法．这样总共有A47＝840种不同排法．。
1.2.1排列
重点、难点探究
• 无限制条件的排列问题 • (1)有5本不同的书,从中选3本送给3名同学, 每人各1本,共有多少种不同的送法? • (2)有5本不同的书,分别送给5名同学,每人1 本,共有多少种不同的送法?
重点、难点探究
• 有限制条件的排列问题 • 有4名男生,5名女生,全体排成一行,下列情形 各有多少种不同的排法? • (1)甲不在中间也不在两端 • (2)甲、乙两人必习的内容！
课后作业
• 作业：
• 课本第15页，练习B，2，3，4，5
•
你能帮他们计算一下吗？
课程学习目标
• 1、理解排列、排列数的概念,掌握排列数公 式的推导,从中体会“化归”的数学思想； • 2、 能用排列数公式计算； • 3、排列的应用；
新知自学
• 问题1:排列的概念: • 问题2:排列数 • ①定义 • ②公式 • ③推导 问题3:举例说明排列与排列数的不同 • 问题4:阶乘的概念
人教版选修2--3
1.2.1 排列
主讲人：长葛二高 赵俊霞
课题引入
• 5月1日,小王、小刘、小超等6名同学与李老师一起外 出郊游,在游兴正浓之际,小王提议大家合影,把美好的山水 风景与老师、同学的身影一起发给班里的每一位同学.大家 齐声叫好,并一致提议李老师排中间。小王说:“我与老师排 在一起.”小刘说:“我不与小王排在一起.” 小赵说“我要与小 刘排在一起”，其他三位同学说:“我们随便”。于是,大家 排了队,合了影,高兴极了。 • 在回学校的路上,李老师提了一个间题:“我们7个人排队, 刚才大家提出了各自的要求,那么,符合你们这些要求的排 法共有多少种呢?”
2021学年高中数学1.2排列与组合1.2.1第1课时排列一练习含解析人教A版选修2_3.doc
第一章 1.2 1.2.1 第1课时请同学们认真完成练案[3]A级基础巩固一、选择题1．甲、乙、丙三名同学排成一排，不同的排列方法有( C )A．3种B．4种C．6种D．12种[解析] 由排列定义得，共有A33＝6种排列方法．2．从1,2,3,4中任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组成不同点的个数为( C )A．2 B．4C．12 D．24[解析] 本题相当于从4个元素中取2个元素的排列，即A24＝12．3．(2020·东安区校级期末)A59＋A49A610－A510＝( D )A．415B．715C．310D．320[解析]A59＋A49A610－A510＝9×8×7×6×5＋9×8×7×610×9×8×7×6×5－10×9×8×7×6＝5＋110×5－10＝320．故选D．4．下列问题属于排列问题的是( A )①从10个人中选2人分别去种树和扫地；②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作log a b中的底数与真数．A．①④B．①②C．④D．①③④[解析] 根据排列的概念知①④是排列问题．5．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有( B )A．108种B．186种C ．216种D ．270种[解析] 从全部方案中减去只选派男生的方案数，所有不同的选派方案共有A 37－A 34＝186(种)，选B ．6．有4名司机、4名售票员分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方案有( C )A ．A 88种 B ．A 48种 C ．A 44A 44种D ．2A 44种[解析] 安排4名司机有A 44种方案，安排4名售票员有A 44种方案．司机与售票员都安排好，这件事情才算完成，由分步乘法计数原理知共有A 44A 44种方案．二、填空题7．(2020·天津模拟)由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数，要求奇数不相邻，且4不在第四位，则这样的六位数共有__120__个．[解析] 1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位数，奇数不相邻，有A 33A 34＝144个， 4在第四位，则前3位是奇偶奇，后两位是奇偶或偶奇，共有2A 33A 22＝24个， ∴所求六位数共有120个．故答案为120．8．将A 、B 、C 、D 、E 、F 六个字母排成一排，且A 、B 均在C 的同侧，则不同的排法共有__480__种(用数字作答)．[解析] A 、B 两个字母与C 的位置关系仅有3种：同左、同右或两侧，各占13，∴排法有23A 66＝480． 9．(2020·烟台一模)上合组织峰会于2018年6月在青岛召开，组委会预备在会议期间将A ，B ，C ，D ，E 这五名工作人员分配到两个不同的地点参与接待工作．若要求A ，B 必须在同一组，且每组至少2人，则不同分配方法的种数为__8__．[解析] 根据题意，分2种情况讨论：①A ，B 在一组，C ，D ，E 都分在另一组，将两组全排列，对应两个地点即可，有A 22＝2种分配方法；②C ，D ，E 中取出1人，与A 、B 一组，剩下2人一组，再将两组全排列，对应两个地点， 有3A 22＝6种分配方法； 故一共有2＋6＝8种分配方法． 故答案为8． 三、解答题10．(2020·深圳高二检测)用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此时：(1)各位数字互不相同的三位数有多少个？(2)可以排出多少个不同的三位数？ [解析] (1)三位数的每位上数字均为 1,2,3,4,5,6之一．第一步，得首位数字，有6种不同结果， 第二步，得十位数字，有5种不同结果， 第三步，得个位数字，有4种不同结果， 故可得各位数字互不相同的三位数有 6×5×4＝120(个)．(2)三位数，每位上数字均可从1,2,3,4,5,6六个数字中得一个，共有这样的三位数6×6×6＝216(个)．B 级 素养提升一、选择题1．从集合{1,2,3，…，11}中任选两个元素作为椭圆方程x 2m 2＋y 2n2＝1中的m 和n ，则能组成落在矩形区域B ＝{(x ，y )||x |<11，且|y |<9}内的椭圆个数为( B )A ．43B ．72C ．86D ．90[解析] 在1、2、3、4、…、8中任取两个作为m 、n ，共有A 28＝56种方法；可在9、10中取一个作为m ，在1、2、…、8中取一个作为n ，共有A 12A 18＝16种方法，由分类加法计数原理，满足条件的椭圆的个数为：A 28＋A 12A 18＝72．2．给出下列4个等式： ①n ！＝n ＋1！n ＋1；②A m n ＝n A m －1n －1；③A mn ＝n ！n －m ！；④A m －1n －1＝n －1！m －n ！．其中正确的个数为( C ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] 由排列数公式逐一验证，①②③成立，④不成立．故选C ． 二、填空题3．(1)7个人站成一排，若甲必须站在正中间的站法有__720__种； (2)7个人站成一排，若甲、乙2人必须站在两端的站法有__240__种；(3)7个人站成两排，其中3个女孩站在前排，4个男孩站在后排的站法有__144__种； (4)7个人站成两排，其中前排站3人，后排站4人的站法有__5_040__种． [解析] (1)甲站中间后，剩下的人的位置排列数为A 66＝720．(2)甲、乙必须站两端，剩下的人的位置排列数为A55，甲、乙站两端的站法有A22，故共有A55·A22＝240．(3)女孩和男孩的排列相互独立，故为A44·A33＝144．(4)先排前排，再排后排，故为A37·A44＝5 040．4．如果A m n＝15×14×13×12×11×10，那么n＝__15__，m＝__6__．[解析] 15×14×13×12×11×10＝A615，故n＝15，m＝6.三、解答题5．(2020·宝鸡市金台区高二检测)“渐降数”是指每一位数字比其左边的数字小的正整数(如632)，那么比666小的三位渐降数共有多少个？[解析] 百位是6，十位是5比666小的渐降数有654,653,652,651,650共5个，百位是6，十位是4比666小的渐降数有643,642,641,640共4个，百位是6，十位是3比666小的渐降数有632,631,630共3个，百位是6，十位是2比666小的渐降数有621,620共2个，百位是6，十位是1比666小的渐降数有610，所以百位是6比666小的渐降数有1＋2＋3＋4＋5＝15个，同理：百位是5比666小的渐降数有1＋2＋3＋4＝10个，百位是4比666小的渐降数有1＋2＋3＝6个，百位是3比666小的渐降数有1＋2＝3个，百位是2比666小的渐降数有1个，所以比666小的三位渐降数共有15＋10＋6＋3＋1＝35个．。
高中数学1.2.1.1排列与排列数公式课时作业(含解析)新人教A版选修23
高中数学1.2.1.1排列与排列数公式课时作业（含解析）新人教A版选修23知识点一排列的概念1.下列问题是排列问题吗？(1)从1,3,5,7四个数字中，任选两个做乘法，其结果有多少种不同的可能？(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法有多少种不同的可能？(3)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排3位客人入座，又有多少种方法？解(1)从1,3,5,7四个数字中，任选两个做乘法，其结果与顺序无关，不是排列问题．(2)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其结果与顺序有关，是排列问题．(3)会场有50个座位，选出3个座位不是排列问题，而选出3个座位安排3位客人入座，是排列问题．知识点二排列的列举问题2.写出下列问题的所有排列：(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？(2)A、B、C、D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A不排第一，B不排第四，共有多少种不同的排列方法？解(1)列出每一个起点和终点情况，如图所示．故符合题意的机票种类有：北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种．(2)因为A不排第一，排第一位的情况有3类(可从B、C、D中任选一人排)，而此时兼顾分析B的排法，列树形图如图．所以符合题意的所有排列是： BADC ，BACD ，BCAD ，BCDA ，BDAC ，BDCA ，CABD ，CBAD ，CBDA ，CDBA ，DABC ，DBAC ，DBCA ，DCBA 共14种.知识点三 排列数的计算3.A 67－A 56A 45＝( ) A ．12 B ．24 C ．30 D ．36答案 D解析 A 67＝7×6×A 45，A 56＝6×A 45，所以原式＝36A 45A 45＝36. 4．已知A 2n ＝7A 2n －4，则n ＝________.答案 7 解析 原方程可化为n (n －1)＝7(n －4)(n －5)．解得n ＝7⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＝103舍去. 5．若3A 3n ＝2A 2n ＋1＋6A 2n ，求n .解 由3A 3n ＝2A 2n ＋1＋6A 2n ，得3n (n －1)(n －2)＝2(n ＋1)n ＋6n (n －1)．因为n ≥3且n ∈N *，所以3n 2－17n ＋10＝0.解得n ＝5或n ＝23(舍去)． 所以n ＝5.6．求证：A m n －1＋m A m －1n －1＝A m n .证明 A m n －1＋m A m －1n －1＝n －1！n －1－m ！＋m ·n －1！n －m ！ ＝n －1！n －m ＋m n －m ！＝n ！n －m ！＝A m n .一、选择题1．下列问题中：(1)10本不同的书分给10名同学，每人一本；(2)10位同学去做春季运动会志愿者；(3)10位同学参加不同项目的运动会比赛；(4)10个没有任何三点共线的点构成的线段．属于排列的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个答案 B解析由排列与顺序是否有关决定，可知(1)(3)是排列，(2)(4)不是排列，故选B.2．20×19×18×…×9＝( )A．A1220 B．A1120 C．A1020 D．A920答案 A解析∵20×19×18×…×9是从20开始，表示12个数字的乘积，∴20×19×18×…×9＝A1220.3．已知A2n＝132，则n等于( )A．11 B．12 C．13 D．14答案 B解析A2n＝n(n－1)＝132，即n2－n－132＝0，解得n＝12或n＝－11(舍去)．4．若M＝A11＋A22＋A33＋…＋A20142014，则M的个位数字是( )A．3 B．8 C．0 D．5答案 A解析∵当n≥5时，A n n＝1×2×3×4×5×…×n＝120×6×…×n，∴当n≥5时A n n的个位数字为0，又∵A11＋A22＋A33＋A44＝1＋2＋6＋24＝33，∴M的个位数字为3.5．从a，b，c，d，e 5个人中选出1名组长和1名副组长，但a不能当副组长，则不同的选法种数是( )A．20 B．16 C．10 D．6答案 B解析不考虑限制条件有A25种选法，若a当副组长，有A14种选法，故a不当副组长，有A25－A14＝16种不同的选法．二、填空题6．A66－6A55＋5A44＝________.答案120解析原式＝A66－A66＋A55＝A55＝5×4×3×2×1＝120.7．乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，要派5名队员参加比赛，其中3名主力队员安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有________种．答案 252解析 三名主力队员排在第一、三、五位置有A 33种排法，其余7名队员选2名排在第二、四位置有A 27种排法，故共有A 33·A 27＝252种出场安排．8．两个家庭的4个大人与2个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排2个爸爸，另外，2个小孩一定要排在一起，则这6人入园顺序的排法种数为________．答案 24解析 第一步：将2个爸爸排在两端，有2种排法；第二步：将2个小孩视为一人与2个妈妈任意排在中间的三个位置上，有A 33种排法；第三步：将2个小孩排序有2种排法．故总的排法有2×2×A 33＝24种．三、解答题9．解下列各式中的n 值．(1)90A 2n ＝A 4n ；(2)A 4n ·A n －4n －4＝42A n －2n －2.解 (1)∵90A 2n ＝A 4n ，∴90n (n －1)＝n ·(n －1)(n －2)(n －3)，∴n 2－5n ＋6＝90， n 2－5n －84＝0即(n －12)(n ＋7)＝0，n ＝12或n ＝－7.由排列数定义知n ≥4，n ∈N *，∴n ＝12.(2)∵A 4n ·A n －4n －4＝42A n －2n －2，∴n ！n －4！·(n －4)！＝42(n －2)！， ∴n (n －1)＝42， 即n 2－n －42＝0解得n ＝7或n ＝－6.由排列数定义知n ≥4，n ∈N *.∴n ＝7.10．从1到9这9个数字中取出不同的5个数进行排列．问：(1)奇数的位置上是奇数的有多少种排法？(2)取出的奇数必须排在奇数位置上有多少种排法？解 (1)奇数共5个，奇数位置共有3个；偶数共有4个，偶数位置有2个．第一步先在奇数位置上排上奇数共有A 35种排法；第二步再排偶数位置，4个偶数和余下的2个奇数可以排，排法为A 26种，由分步乘法计数原理知，排法种数为A 35·A 26＝1800.(2)因为偶数位置上不能排奇数，故先排偶数位，排法为A 24种，余下的2个偶数与5个奇数全可排在奇数位置上，排法为A 37种，由分步乘法计数原理知，排法种数为A 24·A 37＝2520种．。
高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.1 第1课时 排列与排列数公式检测(含解析)
1.2 排列与组合排列第1课时 排列与排列数公式A 级 基础巩固一、选择题1．从集合{3， 5，7，9，11}中任取两个元素：①相加可得多少个不同的和？②相除可得多少个不同的商？③作为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中的a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的椭圆方程？④作为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1中的a ，b ，可以得到多少个焦点在x 轴上的双曲线方程？上面四个问题属于排列问题的是( ) A ．①②③④B ．②④C ．②③D ．①④解析：因为加法满足交换律，所以①不是排列问题；除法不满足交换律，如53≠35，所以②是排列问题．若方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则必有a >b ，a ，b 的大小一定；在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1中不管a >b 还是a <b ，方程均表示焦点在x 轴上的双曲线，且是不同的双曲线．故③不是排列问题，④是排列问题．答案：B2．计算A 67－A 56A 45＝( )A ．12B ．24C ．30D ．36解析：A 67＝7×6A 45，A 56＝6A 45，所以A 67－A 56A 45＝36A 45A 45＝36.答案：D3．、某某、某某三个民航站之间的直达航线，需要准备不同的飞机票的种数为( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12解析：这个问题就是从、某某、某某三个民航站中，每次取出两个站，按照起点站在前、终点站在后的顺序排列，求一共有多少种不同的排列．起点站终点站飞机票答案：B4．若从6名志愿者中选出4名分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，则选派方案有( )A ．180种B ．360种C ．15种D ．30种解析：由排列定义知选派方案有A 46＝6×5×4×3＝360(种)． 答案：B5．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有( ) A ．24个 B ．30个 C ．40个 D ．60个解析：将符合条件的偶数分为两类：一类是2作个位数，共有A 24个，另一类是4作个位数，也有A 24个．因此符合条件的偶数共有A 24＋A 24＝24(个)．答案：A 二、填空题6．若A m10＝10×9×…×5，则m ＝_________________________. 解析：由10－(m －1)＝5，得m ＝6. 答案：67．现有8种不同的菜种，任选4种种在不同土质的4块地上，有________种不同的种法(用数字作答)．解析：将4块不同土质的地看作4个不同的位置，从8种不同的菜种中任选4种种在4块不同土质的地上，则本题即为从8个不同元素中任选4个元素的排列问题．所以不同的种法共有A 48＝8×7×6×5＝1 680(种)．答案：1 6808．从2，3，5，7中每次选出两个不同的数作为分数的分子、分母，则可产生不同的分数的个数是______，其中真分数的个数是____．解析：第一步：选分子，可从4个数字中任选一个作分子，共有4种不同选法；第二步：选分母，从剩下的3个数字中任选一个作分母，有3种不同选法．根据分步乘法计数原理，不同选法共有4×3＝12(种)，其中真分数有23，25，27，35，37，57，共6个．答案：12 6 三、解答题9．求下列各式中n 的值： (1)90A 2n ＝A 4n ； (2)A 4n A n －4n －4＝42A n －2n －2. 解：(1)因为90A 2n ＝A 4n ，所以90n (n －1)＝n (n －1)(n －2)(n －3)． 所以n 2－5n ＋6＝90. 所以(n －12)(n ＋7)＝0. 解得n ＝－7(舍去)或n ＝12. 所以满足90A 2n ＝A 4n 的n 的值为12.(2)由A 4n A n －4n －4＝42A n －2n －2，得n ！（n －4）！·(n －4)！＝42(n －2)！.所以n (n －1)＝42.所以n 2－n －42＝0.解得n ＝－6(舍去)或n ＝7.10．用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的四位数． (1)能被5整除的四位数有多少个？ (2)这些四位数中偶数有多少个？解：(1)能被5整除的数个位必须是5，故有A 36＝120(个)．(2)偶数的个位数只能是2，4， 6，有A 13种排法，其他位上有A 36种排法，由乘法原理知，四位数中偶数共有A 13·A 36＝360(个)．B 级 能力提升1．满足不等式A 7nA 5n ＞12的n 的最小值为( )A ．12B ．10C ．9D ．8解析：由排列数公式得n ！（n －5）！（n －7）！n ！＞12，即(n －5)(n －6)＞12，解得n ＞9或n ＜2.又n ≥7，所以n ＞9.又n ∈N *，所以n 的最小值为10.答案：B2．从集合{0，1，2，5，7，9，11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中的系数A ，B ，C ，所得直线经过坐标原点的有________条．解析：易知过原点的直线方程的常数项为0，则C ＝0，再从集合中任取两个非零元素作为系数A ，B ，有A 26种．所以符合条件的直线有A 26＝30(条)． 答案：303．一条铁路线原有m 个车站，为了适应客运需要，新增加了n (n ≥1，n ∈N *)个车站，因而客运车票增加了58种，问：原来这条铁路线有多少个车站？现在又有多少个车站？解：原有m 个车站，所以原有客运车票A 2m 种，现有(n ＋m )个车站，所以现有客运车票A 2n ＋m 种．所以A 2n ＋m －A 2m ＝58，所以(n ＋m )(n ＋m －1)－m (m －1)＝58. 即2mn ＋n 2－n ＝58，即n (2m ＋n －1)＝29×2＝1×58.由于n ，2m ＋n －1均为正整数，故可得方程组①⎩⎪⎨⎪⎧n ＝29，2m ＋n －1＝2或②⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2，2m ＋n －1＝29 或③⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1，2m ＋n －1＝58或④⎩⎪⎨⎪⎧n ＝58，2m ＋n －1＝1. 方程组①与④不符合题意．解方程组②得m ＝14，n ＝2，解方程组③得m ＝29，n ＝1.所以原有14个车站，现有16个车站或原有29个车站，现有30个车站．。
课件9：1.2.1 排列（一）
2．全排列、阶乘的概念及相关性质 (1)全排列：n 个不同元素__全__部__取__出____的一个排列． (2)n 的阶乘：正整数由 1 到 n 的__连__乘__积____，叫做 n 的阶 乘，用 n！表示． (3)阶乘的相关应用： ①规定：0！＝1； ②排列数公式的另一种形式：Amn ＝n－n！m！．
④从a，b，c，d四个字母中取出2个字母，然后按顺序排列成
一列．其中是排列问题的有
(B )
A．1个
B．2个 C．3个 D．4个
【解析】①④是排列，②③不是排列，故选B．
2．若 n∈N＋且 n<20，则(27－n)(28－n)…(34－n)
等于
( D)
A．A827－n
B．A2374－ －nn
C．A374－n
规律总结 在应用排列数公式A时要注意隐含条件 m≤n，且m，n∈N*.如本例中应有x≥3且x∈N*．
跟踪练习 4 证明：Amn＋1－Amn ＝mAmn －1．
证明：解法一：∵Amn＋1－Amn ＝n＋n＋1－1m！！－n－n！m！＝n－n！m！·(n＋n＋1－1 m－1) ＝n－n！m！·n＋1m－m＝m·n＋1n－！m！＝mAmn －1， ∴Amn＋1－Amn ＝mAmn －1．
例 3 求解下列问题： (1)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N*，且 n<55)； (2)计算2AA8885－＋A7A59 84； (3)解方程：A24x＋1＝140A3x．
解：(1)因为 55－n,56－n，…，69－n 中的最大数为 69－n， 且共有 69－n－(55－n)＋1＝15(个)， 所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝A1659－n． (2)2AA5888＋ －7AA59 48＝8×27××86××75××64××53××42＋ ×17－×89××78××67××56×5 ＝88××77××66××55××((284＋－79))＝1．
1.2排列与组合(课后习题详解)
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（4） 3C8 2C5 3 56 2 10 148 。
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6．求证 Cn
m
m 1 m1 Cn1 。 n 1
【解析】
m 1 m1 m 1 (n 1)! n! m Cn1 Cn n 1 n 1 (m 1)![(n 1) (m 1)]! m! n m !
4 A4 24 .
6．一个学生有 20 本不同的书，所有这些书能够以多少种不同的方式排在一个单层的书架上？ 【解析】排列 由于书架是单层的，所以问题相当于 20 个元素的全排列，有 A20 种不同的排法. 7．学校要安排一场文艺晚会的 11 个节目的演出顺序，除第 1 个节目和最后一个节目已确定外，4 个音乐节目要求排在第 2,5,7,10 的位置，3 个舞蹈节目要求排在第 3,6,9 的位置，2 个曲艺节目 要求排在第 4,8 的位置，共有多少种不同的排法？ 【解析】分步乘法计数原理，排列 可以分三步完成： 第一步，安排 4 个音乐节目，共有 A4 种排法； 第二步，安排舞蹈节目，共有 A3 种排法； 第三步，安排曲艺节目，共有 A2 种排法。 所以不同的排法有 A4 A3 A2 288 （种） 。
n 2 Cn 1 Cn (n 1)
（4） Cn 1 Cn
n
n2
n(n 1) n(n2 1) 。 2 2
3．求证： （1） An1 An n An1 ；
n 2 n 1 n 1
（2）
(n 1)! n! (n k 1)n ! （k n） 。 k! (k 1)! k!
2．用计算器计算： （1） A15 ；
课时作业1：1.2.1 排列(二)
1.2.1排列(二)一、基础过关1．把4个不同的黑球，4个不同的红球排成一排，要求黑球、红球分别在一起，不同的排法种数是()A．A88B．A44A44C．A44A44A22D．以上都不对答案 C2．6个停车位置，有3辆汽车需要停放，若要使3个空位连在一起，则停放的方法总数为() A．A33B．A36C．A46D．A44答案 D解析3个空位连在一起作为一个元素与3辆汽车看成4个不同元素的全排列，故有A44种停放方法．3．某省有关部门从6人中选4人分别到A、B、C、D四个地区调研十二五规划的开局形势，要求每个地区只有一人，每人只去一个地区，且这6人中甲、乙两人不去A地区，则不同的安排方案有()A．300种B．240种C．144种D．96种答案 B解析A地区有A14种方法，其余地区有A35种方法，共有A14A35＝240(种)．4．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为()A．A88A29B．A88A210C．A88A27D．A88A26答案 A解析运用插空法，8名学生间共有9个空隙(加上边上空隙)，先把老师排在9个空隙中，有A29种排法，再把8名学生排列，有A88种排法，共有A88×A29种排法．5．从0、1、2、3这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c中的参数a、b、c，可组成不同的二次函数共有____个．答案18解析若得到二次函数，则a≠0，a有A13种选择，故二次函数有A13A23＝3×3×2＝18(个)．6．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有________种．答案186解析没有女生的选法有A34种，一共有A37种选法，则至少有1名女生的选派方案共有A37－A34＝186(种)．7．分别求出符合下列要求的不同排法的种数．(1)6名学生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；(2)6名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；(3)6人排成一排，甲、乙不相邻．解(1)分排与直排一一对应，故排法种数为A66＝720.(2)甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有A14种选法，然后其他5人排，有A55种排法，故排法种数为A14A55＝480.(3)甲乙不相邻，第一步除甲乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙在已排好的4人的左、右及之间的空位中排，共有A44A25＝480(种)排法．二、能力提升8．五名男生与两名女生排成一排照相，如果男生甲必须站在中间，两名女生必须相邻，符合条件的排法共有()A．48种B．192种C．240种D．288种答案 B解析(用排除法)将两名女生看作1人，与四名男生一起排队，有A55种排法，而女生可互换位置，所以共有A55×A22种排法，男生甲插入中间位置，只有一种插法；而4男2女排列中2名女生恰在中间的排法共有A22×A44(种)，这时男生甲若插入中间位置不符合题意，故符合题意的排列种数为A55×A22－A44×A22＝192.9．5名大人要带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头、尾，则共有________种排法(用数字作答)．答案 1 440解析先让5名大人全排列有A55种排法，两个小孩再依条件插空有A24种方法，故共有A55A24＝1 440(种)排法．10．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有________种．答案12解析先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有A33种不同的排法．再排第二列，其中第二列第一行的字母共有A12种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．因此共有A33·A12·1＝12(种)不同的排列方法．11．某天课程表要排入政治、语文、数学、物理、化学、体育共6门课程，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，一共有多少种不同的排法？解不考虑任何条件限制共有A66种排法，其中包括不符合条件的有：(1)数学排在最后一节，有A55种；(2)体育排在第一节，有A55种；但这两种情况都包含着数学排在最后一节，且体育排在第一节的情况有A44种(即重复)，故共有A66－2A55＋A44＝504种．12．7名班委中有A、B、C三人，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工．(1)若正、副班长两职只能从A、B、C三人中选两人担任，有多少种分工方案？(2)若正、副班长两职至少要选A、B、C三人中的一人担任，有多少种分工方案？解(1)先排正、副班长有A23种方法，再安排其余职务有A55种方法，依分步乘法计数原理，知共有A23A55＝720(种)分工方案．(2)7人中任意分工方案有A77种，A、B、C三人中无一人任正、副班长的分工方案有A24A55种，因此A、B、C三人中至少有一人任正、副班长的方案有A77－A24A55＝3 600(种)．三、探究与拓展13．三个女生和五个男生排成一排，(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？解(1)由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有六个元素，排成一排有A66种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有A33种排法，因此共有A66·A33＝4 320(种)不同排法．(2)先排5个男生，有A55种排法，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A36种排法，因此共有A55·A36＝14 400(种)不同排法．(3)因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人排列，有A25种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A66种排法，因此共有A25·A66＝14 400(种)不同排法.。
1.2.1排列(二)
1.阶乘：n! 1 2 3 • • • (n 1)n
（2）排列数公式:
A
m n
n (n 1)(n
Ann
m
1)
n!
(n
n！ (m、 m)！
n
N*,m
n)
例 2(1)从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1 本，共有多少种不同的送法？
“从5个不同元素中选出3并按顺序排列”
A3 5
=
5×4×3=
60
(2)从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本， 共有多少种不同的送法？
5×5×5= 125
被选元素可重复选取，不是排列问题！
变式练习
1.从5种不同的蔬菜种子中选3种分别种在 3块不同土质的土地上，共有多少种不同 的种法？
分析：把5个种子分别标上1,2,3,4,5,用123 表示种子1种在第1块土地上，种子2种在第2 块土地上，种子3种在第3块土地上，因此3 个数的一个排列就是一种种植方法，从5个 不同数中取出3个数的一个排列就是一种种 植方法，多少个排列就有多少种种法。
方法总结
1．对有约束条件的排列问题，应注意如下类型： ⑴某些元素不能在或必须排列在某一位置；⑵某些元素要求连 排（即必须相邻）；⑶某些元素要求分离（即不能相邻）；
2．基本的解题方法： （１）有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元 素或特殊位置，称为优先处理特殊元素（位置）法（优先法）；
特殊元素,特殊位置优先安排策略 （２）某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元 素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法 称为“捆绑法”；相邻问题捆绑处理的策略
有约束条件的排列问题
变式：由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位 数，其中小于50000的偶数共有多少个？
1.2.1-排列(二)(学生用)
1.2.1 排 列一 、学习目标：1．知识与技能：熟练掌握排列数公式；熟悉并掌握一些分析和解决排列问题的基本方法；能运用已学的排列知识，正确地解决简单的实际问题2．过程与方法：通过对排列应用问题的学习，让学生通过对具体事例的观察、归纳中找出规律，得出结论，正确地解决的实际问题；3. 情感、态度与价值观：会分析与数字有关的排列问题，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；培养学生严谨的学习态度二 、教学重点与难点教学重点：理解排列的概念, 熟练掌握排列数公式，分析和解决排列问题的基本方法，对加法原理和乘法原理的掌握和运用，并将这两个原理的基本思想方法贯穿在解决排列应用问题当中教学难点：分析和解决排列问题的基本方法，对于有约束条件排列问题的解答三、 教学方法分析：分类计数原理和分步计数原理既是推导排列数公式、组合数公式的基础，也是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题，这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终.搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性.排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系.排列的应用题是本节的难点，通过本节例题的分析，注意培养学生解决应用问题的能力．在分析应用题的解法时，教材上先画出框图，然后分析逐次填入时的种数，这样解释比较直观，教学上要充分利用，要求学生作题时也应尽量采用．在教学排列应用题时，开始应要求学生写解法要有简要的文字说明，防止单纯的只写一个排列数，这样可以培养学生的分析问题的能力，在基本掌握之后，可以逐渐地不作这方面的要求．教学中指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通.四 、教学过程：一、复习引入： 1n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方么完成这件事共有 12n N m m m =+++种不同的方法2.分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法3．排列的概念：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺．．．．序．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．．．．4．排列数的定义：从n 个不同元素中，任取m （m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m元素的排列数，用符号mnA表示5．排列数公式：（1）(1)(2)(1)mnA n n n n m=---+（,,m n N m n*∈≤）常用来求值，特别是,m n均为已知时（2）公式mnA=!()!nn m-，常用来证明或化简6 .阶乘：!n表示正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘规定0!1=．7. 练习：（1）. 计算：5699610239!A AA+=-；11(1)!()!nmmA m n---=⋅-．（2）．解方程：3322126x x xA A A+=+．二、精解例题：例1 某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？例2 将4位司机、4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？例3 从0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？一般地对于有限制条件的排列应用题，可以有两种不同的计算方法：（l）直接计算法排列问题的限制条件一般表现为：某些元素不能在某个（或某些）位置、某个（或某些）位置只能放某些元素，因此进行算法设计时，常优先处理这些特殊要求．便有了：先处理特殊元素或先处理特殊位置的方法．这些统称为“特殊元素（位置）优先考虑法”．（2）间接计算法先不考虑限制条件，把所有的排列种数算出，再从中减去全部不符合条件的排列数，间接得出符合条件的排列种数. 这种方法也称为“去杂法”．在去杂时，特别注意要不重复，不遗漏.例4.由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有多少个？例5.从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？例6（1）7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？（2）7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？（3）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？（4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？（5）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？备选例题例1． 7位同学站成一排，（1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？（2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？（3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？（4）甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起说明：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）．例2．7位同学站成一排，（1）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？（2）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？分析：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）．三、课堂练习：1．一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1列火车）？2．一部纪录影片在4个单位轮映，每一单位放映1场，有多少种轮映次序？3. 由数学1，2，3，4，5组成没有重复数学的五位数，其中偶数共有多少个？4．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有种5. 用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（）（A）288个（B）240个（C）144个（D）126个6. 记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）Ａ．1440种Ｂ．960种Ｃ．720种Ｄ．480种7. 5男5女排成一排，按下列要求各有多少种排法：（1）男女相间；（2）女生按指定顺序排列8.某商场中有10个展架排成一排，展示10台不同的电视机，其中甲厂5台，乙厂3台，丙厂2台，若要求同厂的产品分别集中，且甲厂产品不放两端，则不同的陈列方式有多少种？四、课堂小结1.排列的概念;由排列的定义可知，一是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列”．排列与元素的顺序有关，也就是说与位置有关的问题才能归结为排列问题．当元素较少时，可以根据排列的意义写出所有的排列．2.排列数公式:(1)(2)(1)mnA n n n n m=---+=!()!nn m-（,,m n N m n*∈≤）3.解决排列应用题，常用的思考方法有直接法和间接法直接法：通过对问题进行恰当的分类和分步，直接计算符合条件的排列数；间接法：对于有限制条件的排列应用题，可先不考虑限制条件，把所有情况的种数求出来，然后再减去不符合限制条件的情况种数．对于有限制条件的排列应用题，要恰当地确定分类与分步的标准，防止重复与遗漏4. 对于“在”与“不在”的问题，常常使用“直接法”或“排除法”，对某些特殊元素可以优先考虑5对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松）；对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑）．五、课外作业1.第27页习题1.2 A组1 , 2 , 3,4,52 优化探究第5页《排列》。
分点突破式学案4 ：1.2.1排列（一）
排列（1）学习目标1. 理解排列、排列数的概念；2. 了解排列数公式的推导.学习过程一、课前准备（预习教材P14~ P18，找出疑惑之处）复习1：交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有2个不重复的英文字母和4个不重复的阿拉伯数字，并且2个字母必须合成一组出现，4个数字也必须合成一组出现.那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？复习2：从甲，乙，丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另一名参加下午的活动，有多少种不同的选法？二、新课导学※学习探究探究任务一：排列问题1：上面复习1，复习2中的问题，用分步计数原理解决显得繁琐，能否对这一类计数问题给出一种简捷的方法呢？新知1：排列的定义一般地，从n个元素中取出m（）个元素，按照一定的排成一排，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.试试： 写出从4个不同元素中任取2个元素的所有排列.反思：排列问题有何特点？什么条件下是排列问题？探究任务二：排列数及其排列数公式新知2 排列数的定义从 个 元素中取出 （n m ≤）个元素的 的个数，叫做从n 个不同元素取出m 元素的排列数，用符合 表示.试试： 从4个不同元素a ，b, c ，d 中任取2个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？问题：⑴ 从n 个不同元素中取出2个元素的排列数是多少？⑵ 从n 个不同元素中取出3个元素的排列数是少？⑶ 从n 个不同元素中取出m （n m ≤）个元素的排列数是多少？新知3 排列数公式从n 个不同元素中取出m （n m ≤）个元素的排列数=m n A新知4 全排列从n 个不同元素中 取出的一个排列，叫做n 个元素的一个全排列，用公式表示为=n n A※ 典型例题例1计算：⑴410A ; ⑵ 218A ; ⑶ 441010A A ÷.变式：计算下列各式：⑴ 215A ; ⑵ 66A例2若17161554m n A =⨯⨯⨯⨯⨯，则n = ，m = ．例3 (1)计算：2A 58＋7A 48A 88－A 59. (2)求证：A m n ＋1＝m ·A m －1n ＋A m n .小结：排列数m n A 可以用阶乘表示为mn A =※ 学习小结1. 排列数的定义2. 排列数公式及其全排列公式.※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1．下列问题属于排列问题的是( )①从10个人中选2人分别去种树和扫地；②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算．A．①④B．①②C．④D．①③④2．从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为()A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲B．甲乙丙，乙丙甲C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙D．甲乙，甲丙，乙丙3．设m∈N*，且m<15，则(15－m)(16－m)…(20－m)等于()A．A615－m B．A15－m20－mC．A620－m D．A520－m4．(1)将3张电影票分给5人中的3人，每人1张，求共有多少种不同的分法；(2)从2、3、5、7中任意选两个分别作为分子和分母构成分数，求构成不同的分数的个数．5．解不等式A x9>6A x－29.答案复习1：(26×25+10×9×8×7)×2=11380复习2：3×2=6例1. （1）5040；（2）306；（3）151200变式：（1）15×14=210；（2）6×5×4×3×2×1=720；（例2.17 14例3. (1)【解析】2A58＋7A48 A88－A59＝2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×5 8×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5＝8×7×6×5×8＋78×7×6×5×24－9＝1.(2)证明∵A m n＋1－A m n＝n＋1！n＋1－m！－n！n－m！＝n ！n －m ！·⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＋1－m －1 ＝n ！n －m ！·m n ＋1－m＝m ·n ！n ＋1－m ！＝m A m －1n， ∴A m n ＋1＝m A m －1n ＋A m n . 当堂检测1.A2. C3. C4.【解析】(1)问题相当于从5张电影票中选出3张排列起来，这是一个排列问题．故共有A 35＝5×4×3＝60种分法．(2)选出的任意两个数分别作为分子、分母时，构成的分数是不一样的，因此是一个有序问题，应用排列去解．故能构成A 24＝4×3＝12个不同的分数．5.【解析】 原不等式即为9！9－x ！>6·9！9－x ＋2！，化简得x 2－21x ＋104>0， ∴x <8或x >13.又由⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤9，0≤x －2≤9，得2≤x ≤9，x ∈N ＋， ∴2≤x <8，x ∈N ＋，∴x ＝2,3,4,5,6,7.。
高中数学 1.2.1排列课后训练 新人教A版选修23
1.2.1 排列A组1.设a∈N*,且a<27,则(27-a)(28-a)…(34-a)等于()A. B.C. D.解析:8个括号里是连续的自然数,依据排列数的概念可知D正确.答案:D2.用0,1,2,…,9这10个数字组成无重复数字的三位数的个数是()A.9B.C. D.解析:百位上有9种排法;其他数位上有种排法,共有9个无重复数字的三位数.答案:A3.三位老师和三名学生站成一排,要求任何学生都不相邻,则不同的排法总数为()A.144B.72C.36D.12解析:先将老师排好,有种排法,形成4个空位,将3名学生插入4个空位中,有种排法,故共有=144种排法.答案:B4.三位老师和三名学生站成一排,若任意两位老师不相邻,任意两名学生也不相邻,则不同的排法总数为()A.144B.72C.36D.12解析:先将三位老师排好,共有种排法,再将3名学生排在靠左的3个空里或靠右的3个空里,共有2种排法,所以共有·2=72种不同的排法.答案:B5.将甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面,不同的安排方法共有()A.20种B.30种C.40种D.60种解析:分类完成:①甲排周一,乙、丙只能从周二至周五中选2天排,有种排法;②甲排周二,乙、丙有种排法;③甲排周三,乙、丙只能排周四和周五,有种排法,故共有=20种不同的安排方法.答案:A6.安排7位工作人员在10月1日到10月7日值班,每人值班一天,其中甲、乙两人都不能安排在10月1日和10月2日,不同的安排方法共有种.解析:安排甲、乙两人在后5天值班,有种排法;安排其余5人值班时无约束条件,有种排法.故共有=2 400种不同的安排方法.答案:2 4007.5个大人要带2个小孩排队上山,小孩不能排在一起也不能排在头、尾,则共有种不同的排法.(用数字作答)解析:先让5个大人全排列,有种排法,2个小孩再依条件插空有种排法,故共有=1 440种不同的排法.答案:1 4408.7名班委有7种不同的职务,甲、乙、丙三人在7名班委中,现对7名班委进行职务具体分工.(1)若正、副班长两职只能从甲、乙、丙三人中选两人担任,有多少种不同的分工方案?(2)若正、副班长两职至少要选甲、乙、丙三人中的一人担任,有多少种不同的分工方案?解:(1)先排正、副班长,有种方法,再安排其余职务有种方法,由分步乘法计数原理,知共有=720种不同的分工方案.(2)7人中任意分工,有种不同的分工方案,甲、乙、丙三人中无一人担任正、副班长的分工方案有种,因此甲、乙、丙三人中至少有一人担任正、副班长的分工方案有=3 600(种).9.用0,1,2,3,4,5这六个数字:(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数?(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数?(3)能组成多少个无重复数字且比1 325大的四位数?解:(1)符合要求的四位偶数可分为三类:第1类:0在个位时有个;第2类:2在个位时,首位从1,3,4,5中选,有种;十位和百位从余下的数字中选,有种.于是有个;第3类:4在个位时,与第二类同理,也有个.由分类加法计数原理知,共有四位偶数=156(个).(2)5的倍数的五位数可分为两类:个位上的数字是0的五位数有个;个位上的数字是5的五位数有个.故满足条件的五位数共有=216(个).(3)比1 325大的四位数可分为三类:第1类:形如2□□□,3□□□,4□□□,5□□□,共个;第2类:形如14□□,15□□,共有个;第3类:形如134□,135□,共有个;由分类加法计数原理知,比1 325大的四位数共有=270(个).B组1.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数”.现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有()A.120个B.80个C.40个D.20个解析:①当十位是3时,个位与百位从1,2中选,有种选法;②当十位是4时,个位与百位从1,2,3中选,有种选法;③当十位是5时,个位与百位从1,2,3,4中选,有种选法;④当十位是6时,个位与百位从1,2,3,4,5中选,有种选法,则伞数有=2+6+12+20=40(个).答案:C2.由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字,且1,3都不与5相邻的六位偶数的个数是()A.72B.96C.108D. 144解析:第1步,先将2,4,6全排,有种排法.第2步,将1,3,5分别插入2,4,6排列产生的前3个空中,若1,3相邻且不与5相邻,有种排法,若1,3,5均不相邻,有种排法.故六位偶数有)=108种.答案:C3.从4名男生和3名女生中选出3人,分别从事三项不同的工作,若这3人中至少有1名女生,则不同的选派方案共有种.(用数字作答)解析:没有女生的选法有种,从7人中选3人共有种选法,则至少有1名女生的选派方案共有=186(种).答案:1864.三个人坐在有八个座位的一排上,若每个人的两边都要有空位,则不同的坐法总数为.(用数字作答)解析:先排好5个空座位,然后让三个人带着座位插到中间4个空中去,所以共有=24(种).答案:245.有语文、数学、英语、物理、化学、生物6门课程,从中选4门安排在上午的4节课中,其中化学不排在第四节,共有多少种不同的安排方法?解:方法一(分类法):分两类:第1类,化学被选上,有种不同的安排方法;第2类,化学不被选上,有种不同的安排方法.故共有=300种不同的安排方法.方法二(分步法):第1步,第四节有种排法;第2步,其余三节有种排法,故共有=300种不同的安排方法.方法三(间接法):从6门课程中选4门安排在上午,有种排法,而化学排第四节,有种排法,故共有=300种不同的安排方法.6.一条铁路有n个车站,为适应客运需要,新增了m个车站,且知m>1,客运车票增加了62种,问原有多少个车站?现在有多少个车站?解:由题意可知,原有车票的种数是种,现在车票的种数是种,∴=62,即(n+m)(n+m-1)-n(n-1)=62.∴m(2n+m-1)=62=2×31,∵m<2n+m-1,且n≥2,m,n∈N*,∴解得m=2,n=15,故原有15个车站,现有17个车站.7.在三位数中,如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小,那么这个数为凹数,如524,746等都是凹数.那么用0,1,2,3,4,5这六个数字能组成多少个无重复数字的凹数?解:符合要求的凹数可分为四类:第1类,十位数字为0的有个;第2类,十位数字为1的有个;第3类,十位数字为2的有个;第4类,十位数字为3的有个.由分类加法计数原理知,凹数共有=40(个).故这六个数字能组成40个无重复数字的凹数.。
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课后训练
一、选择题
1．(2013北京朝阳模拟)12312!3!4!!
n n -++++=…( ) A ．11n -
！ B ．1
1n -！ C ．11n - D ．11n -
2．已知22
4A 7A n n -=，则n 的值为( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．2
3．爱国主义电影《太行山上》在5个单位轮流上映，每一个单位放映一场，有( )种轮映次序．
A ．25
B ．120
C ．55
D ．54
4．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A ．3×3! B ．3×(3！)3 C ．(3！)4 D ．9!
5．某节假日，某校校办公室要安排从一号至六号由指定的六位领导参加的值班表，要求每一位领导值班一天，但校长甲与乙不能相邻且主任丙与主任丁也不能相邻，则共有( )种不同的安排方法．
A ．240
B ．264
C ．336
D ．408
6．某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同．记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是( )
A ．1 205秒
B ．1 200秒
C ．1 195秒
D ．1 190秒 二、填空题
7．由0,1,3,5,7,9这六个数字可组成__________个没有重复数字的六位奇数．
8．张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6个人的入园排法共有__________种．
三、解答题
9．(1)3人坐在有八个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数为多少？
(2)有5个人并排站成一排，如果甲必须在乙的右边，则不同的排法有多少种？
10．某天某班的课程表要排入数学、语文、英语、物理、化学、体育六门课程，如果第一节不排体育，第六节不排数学，一共有多少种不同的排法？
参考答案
1答案：A 解析：∵
111
(1)n n n n -=--！！！
， ∴1231234n n -+++…+！！！！ ＝111111111223!3!4!(1)n n -+-+-++--…！！！！！
＝1－1n ！
．
2答案：B 解析：由排列数公式得：n (n －1)＝7(n －4)·(n －5)，
∴3n 2－31n ＋70＝0，解得n ＝7，或n ＝
10
3(舍)． 3答案：B 解析：由排列数的定义知，有5
5A ＝5×4×3×2×1＝120种轮映次序．
4答案：C 解析：完成这件事可以分为两步，第一步排列三个家庭的相对位置，有3
3
A 种排法；第二步排列每个家庭中的三个成员，共有333
333A A A 种排法．由乘法原理可得不同的坐法种数有3
3
3
3
3333A A A A ，故选C ．
5答案：C 解析：(用排除法)6
2
5
2
5
2
2
4
62525224A A A A A +A A A 336--=．
6答案：C 解析：由题意知，共有5
5A ＝120个不同的闪烁，而每一个闪烁要完成5个闪亮需用时5秒钟，共有120×5＝600秒，每两个闪烁之间需间隔5秒钟，共有120－1＝119个闪烁间隔，用时119×5＝595秒，故总用时600＋595＝1 195秒．
7答案：480 解析：0不能在首位，也不能在末位，有1
4A 种排法，其余的有5
5A 种排法，共有1
5
45A A 480⋅=种．
8答案：24 解析：分3步完成：
第1步，将两位爸爸排在两端，有2
2A 种排法；
第2步，将两个小孩看做一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置，有3
3A 种排法； 第3步，两个小孩之间有2
2A 种排法．
所以这6个人的入园排法共有2
3
2
232A A A 24⋅⋅=种．
9解：由题意知有5个座位都是空的，我们把3个人看成是坐在座位上的人，往5个空座的空档插，由于这5个空座位之间共有4个空，3个人去插，共有3
4A ＝24种．
答案：∵总的排法数为5
5A ＝120种， ∴甲在乙的右边的排法数为
5
51A 602
=种． 10答案：
解法一：依排第一节课的情形进行分类． ∵第一节排数学，第六节排体育的排法有4
4A 种； 第一节排数学，第六节不排体育的排法有14
44A A ⨯种； 第一节不排数学，第六节排体育的排法有1
4
44A A ⨯种； 第一节和第六节都不排数学和体育的排法有2
4
44A A ⨯种． ∴由分类加法计数原理，所求的不同的排法有
41424
44444A 2A A +A A 504+⨯⨯=种．
解法二：依数学课的排法进行分类．
∵数学排在第一节，体育排在第六节的排法有4
4A 种； 数学排在第一节，体育不排在第六节的排法有1
4
44A A ⨯种； 数学不排第一节，体育排在第六节的排法有1
444A A ⨯种； 数学、体育都不排在第一节和第六节的排法有2
4
44A A ⨯种． ∴由分类加法计数原理，所求的不同排法有
4142444444A 2A A +A A 504+⨯⨯=种．
解法三：∵不考虑任何限制条件的排法有66A 种，其中数学在第六节有5
5A 种，体育在第一节有55A 种，但上面两种排法中都含有数学在第六节，体育在第一节的排法有4
4A 种．
∴所求的不同的排法有6
5
4
654A 2A +A 504-=种． 答：一共有504种不同的排法．。