抛物线中的切线问题

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抛物线外一点做两条切线轨迹方程

抛物线外一点做两条切线轨迹方程1. 概述抛物线是数学中常见的一种曲线，其在物理学、工程学、计算机图形学等领域有着广泛的应用。

抛物线外一点做两条切线是一个经典的问题，其涉及到抛物线的性质和切线的几何关系。

本文将探讨抛物线外一点做两条切线的轨迹方程，希望能够为读者对此问题的理解提供一些帮助。

2. 抛物线的一般方程一般来说，抛物线的一般方程可以表示为：\[y = ax^2 + bx + c \]其中a、b、c为常数且a不为0。

抛物线的顶点坐标为(-b/2a, c - b^2/4a)。

3. 抛物线外一点做两条切线的条件对于给定的抛物线和一点P(x, y)外，我们希望找到通过点P的两条切线。

根据几何性质，抛物线外一点做两条切线的条件为：点P到抛物线的切线长度相等。

设点P到抛物线的距离为d，则点P到抛物线的两个切点为A和B，过点P作AB的垂线交抛物线于C和D，则PC=PD。

4. 推导轨迹方程我们可以找到切线的一般方程。

设抛物线的方程为y = f(x)，点P的坐标为(x, y)，则点P到抛物线的距离 \[d = \frac{|y - f(x)|}{\sqrt{1 +f'(x)^2}} \] 其中f'(x)为抛物线的导数。

根据切线的性质，切线的斜率为f'(x)。

由上式我们得到\[d = \frac{|y - f(x)|}{\sqrt{1 + f'(x)^2}} = \frac{|ax^2 + bx + c -f(x)|}{\sqrt{1 + f'(x)^2}} \]根据点到直线的距离公式，我们知道点P到抛物线的切线的距离为d，于是我们得到抛物线外一点做两条切线的轨迹方程。

5. 结论通过以上推导，我们得到了通过抛物线外一点的两条切线的轨迹方程。

这个问题的解决不仅涉及到抛物线的性质，也考虑到切线的几何特性。

抛物线作为数学中的经典曲线，在这个问题中展现了其独特的魅力。

希望读者通过本文能够对抛物线外一点做两条切线的轨迹方程有一个更清晰的认识。

抛物线的切线问题知识交流

MB
的方程为
y

2p

x2 p
(x

x0 ).
所以
x12 2p

2p

x1 p
( x1

x0 ),
①
x22 2p

2p

x2 p
( x2

x0 ).
②
由①、②得:
x1
2
x2

x1

x2

x0 ,
因此
x0

x1
x2 2
，即 2x0

x1

x2 .
所以 A、M、B 三点的横坐标成等差数列.
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当 x0=2 时，
M(x0,y0)为 x2 2 py 外任意一点,过 M 引抛物线
的两条切线，切点分别为 A(x1,y1), B(x2,y2)．求过 A, B 两点的直线方程。
x0 x p( y y0 )
. .
结论2:
P(x0 , y0 )是抛物线x2 =2py外一点,过P点作抛物线的两条切线,切点分别为A(x1, y1), B(x2, y2 ),则
将其代入①、②并整理得：
x12 4x1 4 p2 0, x22 4x2 4 p2 0,
所以 x1、x2 是方程 x2 4x 4 p2 0 的两根，因此 x1 x2 4, x1x2 4 p2 ,
x22 x12
又 kAB

2p x2
2p x1

M(x0,y0)为 x2 2 py 外任意一点,过 M 引抛物线的切线，切点分别为 A，B ．
问: A，M，B三点的横坐标是否仍成等差数列?

抛物线中的切线问题(推荐完整)

过 A, B 两点的直线方程。（直线 AB 用 x0、y0 的形
式表示）
. .
变式 3 如图，设抛物线方程为 x2 2 py( p 0) ，
M(x0,y0)为 x2 2 py 外任意一点,过 M 引抛物线
的两条切线，切点分别为 A(x1,y1), B(x2,y2)．求
过 A, B 两点的直线方程为: x0 x p( y y0 )

x2
x1x0 x2 x0

p( x12 2p
p( x22 2p

y0 ) y0 )
A、M、B三点的横坐标成等差数列
变式 3 如图，设抛物线方程为 x2 2 py( p 0) ，
M(x0,y0)为 x2 2 py 外任意一点,过 M 引抛物线
的两条切线，切点分别为 A(x1,y1), B(x2,y2)．求
抛物线中的切线问题
例题：（山东高考）如图，设抛物线方程为
x2 2 py( p 0) ， M 为直线 y 2 p 上任意一点,过 M 引抛物线的切线，切点分别为 A，B ．求证： A，M，B三点的横坐标成等差数列
变式 1:如图，设抛物线方程为 x2 2 py( p 0) ，
xx0 yy0 r2
2. 设P(x0,
y0
)为椭圆
x2 a2

y2 b2
1上的点，则过该点的切线方程为：
xx0 a2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
yy0 b2
1
3. 设P(
x0
,
y0
)为双曲线
x2 a2

y2 b2
1上的点，则过该点的切线方程为：
xx0 yy0 1

抛物线中的切线问题(解析版)

抛物线中的切线问题一、考情分析对于抛物线特别是抛物线x 2=2py p ≠0 ,可以化为函数y =x 22p,从而可以借组导数研究求性质,这种关联使得可以把抛物线与导数的几何意义交汇,这是圆锥曲线中的一大亮点,也是圆锥曲线解答题的一个热点.二、解题秘籍(一)利用判别式求解抛物线中的切线问题求解直线抛物线相切问题,可以把直线方程与抛物线方程联立整理成一个一元二次方程,然后利用Δ=0求解.【例1】(2023届河南省新未来高三上学期联考)已知抛物线C ：y 2=2px p >0 ,直线l 1,l 2都经过点P -p2,0 ．当两条直线与抛物线相切时,两切点间的距离为4．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)若直线l 1,l 2分别与抛物线C 依次交于点E ,F 和G ,H ,直线EH ,FG 与抛物线准线分别交于点A ,B ,证明：PA =PB ．【解析】(1)设经过点P -p 2,0 的直线为l ：y =k x +p2 ,由y 2=2px y =k x +p 2消去y ,得k 2x 2+k 2-2 px +k 2p 24=0,Δ=k 2-2 2p 2-4×k 2⋅k 2p 24=4p 2-k 2+1 ,当直线l 与抛物线C 相切时,Δ=0,∵p >0,∴k =±1,所以x 2-px +p 24=0,解得x =p 2,∴切点为p 2,p ,p 2,-p ,又∵两切点间的距离为4,∴2p =4,即p =2,∴抛物线C 的标准方程为y 2=4x ；(2)设点E x 1,y 1 ,F x 2,y 2 ,G x 3,y 3 ,H x 4,y 4 ,设直线l 1：x =k 1y -1,直线l 2：x =k 2y -1,联立y 2=4x x =k 1y -1 消去x ,得y 2-4k 1y +4=0,则y 1y 2=4,同理,y 3y 4=4,故y 1=4y 2,y 4=4y 3,直线EH 的方程为y -y 1y 4-y 1=x -x 1x 4-x 1,令x =-1,得y A -y 1y 4-y 1=1-y 214y 244-y 214,整理得y A =y 1y 4-4y 1+y 4,同理,y B =y 2y 3-4y 2+y 3,所以y A =4y 2⋅4y 3-44y 2+4y 3=4-y 2y 3y 2+y 3=-y B ,∴PA =PB ．(二)利用导数几何意义求解抛物线中的切线问题求解抛物线x 2=2py 在其上一点P x 1,y 1 处的切线方程,可先把x 2=2py 化为y =x 22p ,则y =xp,则抛物线x 2=2py 在点P x 1,y 1 处的切线斜率为x 1p ,切线方程为y -y 1=x1px -x 1 .【例2】(2023届湖南省三湘名校教育联盟高三上学期联考)在直角坐标系xoy 中,已知抛物线C :x 2=2py p >0 ,P 为直线y =x -1上的动点,过点P 作抛物线C 的两条切线,切点分别为A ,B ,当P 在y 轴上时,OA ⊥OB .(1)求抛物线C 的方程；(2)求点O 到直线AB 距离的最大值.【解析】(1)当P 在y 轴上时,即P 0,-1 ,由题意不妨设A x 0,y 0 x 0>0 则B -x 0,y 0 ,设过点P 的切线方程为y =kx -1,与x 2=2py 联立得x 2-2pkx +2p =0,由直线和抛物线相切可得Δ=4p 2k 2-8p =0,x 0x 0=x 20=2p ,所以x 0=2p 由x 20=2py 0得y 0=1,∴A 2p ,1 ,B -2p ,1 ,由OA ⊥OB 可得2p ⋅-2p +1×1=0,解得p =12,∴抛物线C 的方程为x 2=y ；(2)x 2=y ,∴y =2x ,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则y -y 1=2x 1x -x 1 ,又x 21=y 1,所以y -y 1=2x 1x -2y 1即2x 1x =y +y 1,同理可得2x 2x =y +y 2,又P 为直线y =x -1上的动点,设P t ,t -1 ,则2x 1t =t -1+y 1,2x 2t =t -1+y 2,由两点确定一条直线可得AB 的方程为2xt =t -1+y ,即y -1=2t x -12 ,∴直线AB 恒过定点M 12,1 ,∴点O 到直线AB 距离的最大值为OM =12 2+1=52.(三)抛物线中与切线有关的性质过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线,则(1)切线交点在准线上(2)切线交点与弦中点连线平行于对称轴(3)切线交点与焦点弦的两端点连线垂直(4)切线交点与焦点连线与焦点弦垂直(5)弦AB 不过焦点即切线交点P 不在准线上时,切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴．反之：(1)过抛物线准线上任一点作抛物线的切线,则过两切点的弦必过焦点,该点与焦点连线垂直于过两切点的弦(2)过准线上任一点作抛物线的切线,过两切点的弦最短时,即为通径．【例3】已知抛物线C :x 2=2py (p >0)的焦点为F ,过F 的直线l 与C 相交于A ,B 两点,PA ,PB 是C 的两条切线,A ,B 是切点．当AB ∥x 轴时,|AB |=2．(1)求抛物线C 的方程；(2)证明：|PF |2=|AF |⋅|FB |．【解析】(1)由题意,F 0,p 2 ,当AB ∥x 轴时,将y =p2代入x 2=2py 有x 2=p 2,解得x =±p ,又AB =2故2p =2,解得p =1.故抛物线C 的方程为x 2=2y .(2)由(1),设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,直线l 的方程为y =kx +12,联立抛物线方程有x 2-2kx -1=0,故x 1+x 2=2k ,x 1x 2=-1.又抛物线方程y =12x 2,故y =x ,故切线PA 的方程为y -12x 21=x 1x -x 1 ,即y =x 1x -12x 21,同理可得切线PB 的方程为y =x 2x -12x 22,联立y =x 1x -12x 21y =x 2x -12x 22可得x 1-x 2 x =12x 21-x 22 ,解得x =12x 1+x 2 ,代入y =x 1x -12x 21有y =12x 1x 1+x 2 -12x 21=12x 1x 2,代入韦达定理可得P k ,-12.故当k =0时有l ⊥PF ,当k ≠0时,因为k FP =-12-12k -0=-1k,故k FP ⋅k l =-1,也满足l ⊥PF .故l ⊥PF 恒成立.又k PA ⋅k PB =x 1x 2=-1,故PA ⊥PB .所以∠PAB +∠PBA =90∘,∠PAF +∠APF =90∘,故∠PBF =∠APF ,故Rt △PBF ∼Rt △APF ,故BFPF=PF AF ,即PF 2=AF ⋅BF ,即得证.【例4】已知直线l 过原点O ,且与圆A 交于M ,N 两点,MN =4,圆A 与直线y =-2相切,OA 与直线l 垂直,记圆心A 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)过直线y =-1上任一点P 作C 的两条切线,切点分别为Q 1,Q 2,证明：①直线Q 1Q 2过定点；②PQ 1⊥PQ 2．【解析】(1)如图,设A (x ,y ),因为圆A 与直线y =-2相切,所以圆A 的半径为|y +2|．由圆的性质可得|OA |2+|ON |2=|AN |2,即x 2+y 2+4=(y +2)2,化简得x 2=4y ．因为O 与A 不重合,所以y ≠0,所以C 的方程为x 2=4y (y ≠0)．(2)证明：①由题意可知Q 1,Q 2与O 不重合．如图,设P (t ,-1),Q 1x 1,y 1 ,则x 21=4y 1,因为y =x2,所以切线PQ 1的斜率为x 12,故x12=y 1+1x 1-t,整理得tx 1-2y 1+2=0．设Q 2x 2,y 2 ,同理可得tx 2-2y 2+2=0．所以直线Q 1Q 2的方程为tx -2y +2=0,所以直线Q1Q 2过定点(0,1)．②因为直线Q 1Q 2的方程为tx -2y +2=0,由tx -2y +2=0,x 2=4y ,消去y 得x 2-2tx -4=0,所以x 1+x 2=2t ,x 1x 2=-4．又PQ 1 ⋅PQ 2=x 1-t x 2-t +y 1+1 y 2+1=x 1x 2-t x 1+x 2 +t 2+tx 1+22+1 tx 2+22+1 =x 1x 2-t x 1+x 2 +t 2+t 2x 1+2 t2x 2+2 =x 1x 2-t x 1+x 2 +t 2+t24x 1x 2+t x 1+x 2 +4=1+t24x 1x 2+t 2+4=0,所以PQ 1⊥PQ 2．三、跟踪检测1.(2023届云南省名校高三上学期月考)已知抛物线E :x 2=2py p >0 的焦点为F ,斜率为k k ≠0 的直线l 与E 相切于点A .(1)当k =2,AF =5时,求E 的方程；(2)若直线l 与l 平行,l 与E 交于B ,C 两点,且∠BAC =π2,设点F 到l 的距离为d 1,到l 的距离为d 2,试问：d1d 2是否为定值？若是,求出定值；若不是,说明理由.【解析】(1)由x 2=2py 得y =x 22p ,则y =x p,令xp =2,则x =2p ,即x A =2p ,y A =2p 22p=2p 则AF =2p +p2=5,所以p =2,故抛物线E 的方程为x 2=4y .(2)设A 2pt 0,2pt 20 ,B 2pt 1,2pt 21 ,C 2pt 2,2pt 22 ,则切线l 的斜率k =2pt 0p=2t 0,则切线l 的方程为：y -2pt 02=2t 0x -2pt 0 ,即y =2t 0x -2pt 20,k BC =2pt 12-2pt 222pt 1-2pt 2=t 1+t 2.直线l 的方程为y -2pt 21=t 1+t 2 x -2pt 1 ,化简得y =t 1+t 2 x -2pt 1t 2,因为l ∥l ,所以t 1+t 2=2t 0,由∠BAC =π2得2pt 12-2pt 022pt 1-2pt 0⋅2pt 22-2pt 022pt 2-2pt 0=-1,则t 1+t 0 t 2+t 0 =-1,即t 1t 2=-1-3t 20,即l :2t 0x -y +2p +6pt 02=0.由F 0,p 2 ,则d 1=3p 2+6pt 20 4t 20+1=3p 2+6pt 204t 20+1,d 2=-p 2-2pt 204t 20+1=p 2+2pt 204t 20+1,所以d 1d 2=3p 12+2t 20 p 12+2t 20 =3.故d1d 2是定值,定值为3.2.(2023届河南省北大公学禹州国际学校高三上学期月考)已知抛物线C 的顶点在坐标原点,焦点在y 轴的正半轴上,直线l ：mx +y -1=0经过抛物线C 的焦点．(1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 与抛物线C 相交于A ,B 两点,过A ,B 两点分别作抛物线C 的切线,两条切线相交于点P ,求△ABP 面积的最小值．【解析】(1)由题意,设抛物线C 的方程为x 2=2py p >0 ,因为直线l :mx +y -1=0经过0,1 ,即抛物线C 的焦点F 0,p2,所以p2=1,解得p =2,所以抛物线C 的方程为x 2=4y .(2)设A x 1,y 1 ､B x 2,y 2 ,联立方程组x 2=4y mx +y -1=0 ,整理得x 2+4mx -4=0,因为Δ=16m 2+16>0,且x 1+x 2=-4m ,x 1x 2=-4,y 1+y 2=x 214+x 224=x 1+x 2 2-2x 1x 24=4m 2+2,y 1y 2=x 214×x 224=-4 216=1所以AB =y 1+y 2+p =41+m 2 ,由x 2=4y ,可得y =x 24,则y =x 2,所以抛物线C 经过点A 的切线方程是y -y 1=x 12x -x 1 ,将y 1=x 214代入上式整理得y =x 12x -x 214,同理可得抛物线C 经过点B 的切线方程为y =x 22x -x 224,联立方程组y =x 12x -x 214y =x 22x -x 224,解得x =x 1+x 22,y =x 1x 24,所以x =-2m ,y =-1,所以P -2m ,-1 到直线mx +y -1=0的距离d =m ×-2m -1-1m 2+1=2m 2+1,所以△ABP 的面积S =12AB d =12×4×1+m 2 ×2m 2+1=4m 2+1 32,因为m 2+1≥1,所以S ≥4,即当m =0时,S =4,所以△ABP 面积的最小值为4.3.(2022届浙江省绍兴市高三上学期12月选考)已知抛物线C 的焦点是0,14 ,如图,过点D 22,t(t ≤0)作抛物线C 的两条切线,切点分别是A 和B ,线段AB 的中点为M ．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)求证：直线MD ⎳y 轴；(3)以线段MD 为直径作圆,交直线AB 于MN ,求|AB |-|MN ||AB |+|MN |的取值范围．【解析】(1)设抛物线的方程为x 2=2py p >0 ,由题意可得p 2=14,所以p =12,所以抛物线方程y =x 2.(2)由(1)y =x 2,因为y =2x ,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线AD 的方程为y =2x 1x -x 21,直线BD 的方程为y =2x 2x -x 22,联立上述两直线方程,得D 点坐标D x 1+x 22,x 1x 2 ,又因为M 点为线段AB 的中点,所以M 点坐标M x 1+x 22,1-x 1x 2 ,因为x D =x M ,所以直线MD ⎳y 轴：(3)因为点D 22,t (t ≤0),所以x 1+x 22=22,x 1x 2=t ,则M 22,1-t ,圆心22,12,直线AB 的斜率为k =x 21-x 22x 1-x 2=x 1+x 2=2,直线AB 方程为y =2x -t ,y =x 2y =2x -t ,得x 2-2x +t =0,Δ=2-4t ,|AB |=1+k 2⋅Δ=6(1-2t ),圆心到直线AB 的距离为d =1-2t 23,半径r =|MD |2=1-2t2,|MN |=2r 2-d 2=63(1-2t ),令1-2t =m ≥1,|AB |-|MN ||AB |+|MN |=3-m 3+m =-1+6m +3在m ≥1时单调递减,|AB |-|MN ||AB |+|MN |∈-1,12 ．4.(2022届山东省济宁市高三上学期期末)已知抛物线E ：y 2=2px (p >0)上一点C 1,y 0 到其焦点F 的距离为2．(1)求实数p 的值；(2)若过焦点F 的动直线l 与抛物线交于A 、B 两点,过A 、B 分别作抛物线的切线l 1、l 2,且l 1、l 2的交点为Q ,l 1、l 2与y 轴的交点分别为M 、N ．求△QMN 面积的取值范围．【解析】(1)因为点C 1,y 0 到其焦点F 的距离为2,由抛物线的定义知1+p2=2解得p =2(2)由上问可知,抛物线方程E ：y 2=4x设A y 214,y 1 ,B y 224,y 2,(y 1≠0,y 2≠0),设l ：x =ty +1,联立y 2=4x x =ty +1 ,得y 2-4ty -4=0,判别式Δ=16t 2+16>0,故t ∈R y 1+y 2=4t ,y 1y 2=-4设l 1：y -y 1=k x -y 214联立方程组y 2=4xy -y 1=k x -y 214,消x 得ky 2-4y +4y 1-ky 21=0,所以Δ=16-4k 4y 1-ky 21 =44-4ky 1+k 2y 21 =0所以k =2y 1则l 1：y -y 1=2y 1x -y 214,即y =2y 1x +y 12,令x =0,得M 0,y 12,同理l 2：y =2y 2x +y 22,N 0,y 22,联立y =2y 1x +y12y =2y 2x +y 22,得交点Q 的横坐标为x Q =y 1y 24=-1,∴S △QMN =12MN ⋅x Q =12y 12-y 22×1=14y 1+y 2 2-4y 1y 2=t 2+1≥1∴△QMN 面积的取值范围是1,+∞ ．5.(2022届百校联盟高三上学期12月联考)已知曲线C 上任意一点到F 1(-1,0),F 2(1,0)距离之和为433,抛物线E ：y 2=2px 的焦点是点F 2.(1)求曲线C 和抛物线E 的方程；(2)点Q x 0,y 0 x 0<0 是曲线C 上的任意一点,过点Q 分别作抛物线E 的两条切线,切点分别为M ,N ,求△QMN 的面积的取值范围．【解析】(1)依题意,曲线C 是以F 1(-1,0),F 2(1,0)为左右焦点,长轴长为433的椭圆,则短半轴长b 有b 2=232-12=13,曲线C 的方程为：x 243+y 213=1,即3x 24+3y 2=1,在y 2=2px 中,p 2=1,即p =2,所以曲线C 的方程为：3x 24+3y 2=1,抛物线E 的方程为：y 2=4x .(2)显然,过点Q 的抛物线E 的切线斜率存在且不为0,设切线方程为：y -y 0=k (x -x 0),由y -y 0=k (x -x 0)y 2=4x消去x 并整理得：k4⋅y 2-y +y 0-kx 0=0,依题意,Δ=1-k (y 0-kx 0)=x 0k 2-y 0k +1=0,设二切线斜率为k 1,k 2,则k 1+k 2=y 0x 0,k 1k 2=1x 0,设斜率为k 1的切线所对切点M (x 1,y 1),斜率为k 2的切线所对切点N (x 2,y 2),因此,y 1=2k 1,y 2=2k 2,于是得M 1k 21,2k 1 ,N 1k 22,2k 2 ,NM =1k 21-1k 22,2k 1-2k 2,直线MN 上任意点P (x ,y ),MP =x -1k 21,y -2k 1,由MP ⎳NM 得：2k 1-2k 2 x -1k 21 -1k 21-1k 22y -2k 1 =0,化简整理得：2x -k 1+k 2k 1k 2y +2k 1k 2=0,则直线MN 的方程为：2x -y 0y +2x 0=0,点Q 到直线MN 的距离d =|4x 0-y 20|4+y 2,|MN |=1k 21-1k 222+2k 1-2k 2 2=1k 1-1k 2 21k 1+1k 22+4 =k 1+k 2k 1k 22-4k 1k 2k 1+k 2k 1k 2 2+4 =(y 20-4x 0)(y 20+4),则△QMN 的面积S △QMN =12|MN |⋅d =12⋅(y 20-4x 0)(y 20+4)⋅|4x 0-y 20|4+y 20=12(y 20-4x 0)32,而点Q x 0,y 0 x 0<0 在曲线C 上,即y 20=13-14x 20,-23≤x 0<0,y 20-4x 0=-14x 20-4x 0+13在x 0∈-23,0 上单调递减,当x 0=0时,(y 20-4x 0)min =13,当x 0=-23时,(y 20-4x 0)max =83,于是有13<y 20-4x 0≤83,则39<(y 20-4x 0)32≤164123,有318<S △QMN ≤84123所以△QMN 的面积的取值范围是318,84123.6.(2022届四川省达州高三上学期诊断)过定点0,1 的动圆始终与直线l ：y =-1相切.(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)动点A 在直线l 上,过点A 作曲线C 的两条切线分别交x 轴于B ,D 两点,当△ABD 的面积是32时,求点A 坐标.【解析】(1)设动圆圆心坐标为x ,y ,因为过定点0,1 的动圆始终与直线l ：y =-1相切,可得-x 2+y -1 2=y +1 ,化简得x 2=4y ,即动圆圆心的轨迹方程C ：x 2=4y .(2)设动点A x 0,-1 ,根据题意过点A 作曲线C 的切线斜率存在,设为k k ≠0 ,所以切线方程为y =k x -x 0 -1,联立方程组x 2=4y ,y =k x -x 0 -1 ,整理得x 2-4kx +4kx 0+4=0,且Δ=k 2-kx 0-1=0,因为k 2-kx 0-1=0有两不等实根,所以有两条切线,斜率分别设为k 1,k 2,所以k 1+k 2=x 0,k 1k 2=-1,切线y =k 1x -x 0 -1交x 轴于点B x 0+1k 1,0 ,切线y =k 2x -x 0 -1交x 轴于点D x 0+1k 2,0 ,所以S △ABD =12x 0+1k 1-x 0-1k 2×1=12k 2-k 1k 1k 2=12k 1+k 22-4k 1k 2k 1k 2=32,即12x 02+41=32,解得x 0=±5,所以点A 坐标为5,-1 或-5,-1 .7.(2022届四川省成都市高三上学期考试)已知抛物线C :x 2=2py p >0 的焦点为F .且F 与圆M :x 2+y +42=1上点的距离的最小值为4.(1)求抛物线的方程；(2)若点P 在圆M 上,PA ,PB 是C 的两条切线.A ,B 是切点,求△PAB 面积的最大值.【解析】(1)抛物线C 的焦点为F 0,p 2 ,FM =p2+4,所以,F 与圆M :x 2+(y +4)2=1上点的距离的最小值为p2+4-1=4,解得p =2；所以抛物线的方程为x 2=4y .(2)抛物线C 的方程为x 2=4y ,即y =x 24,对该函数求导得y =x 2,设点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,P x 0,y 0 ,直线PA 的方程为y -y 1=x 12x -x 1 ,即y =x 1x2-y 1,即x 1x -2y 1-2y =0,同理可知,直线PB 的方程为x 2x -2y 2-2y =0,由于点P 为这两条直线的公共点,则x 1x 0-2y 1-2y 0=0x 2x 0-2y 2-2y 0=0,所以,点A 、B 的坐标满足方程x 0x -2y -2y 0=0,所以,直线AB 的方程为x 0x -2y -2y 0=0,联立x 0x -2y -2y 0=0y =x 24,可得x 2-2x 0x +4y 0=0,由韦达定理可得x 1+x 2=2x 0,x 1x 2=4y 0,所以AB =1+x 022⋅x 1+x 22-4x 1x 2=1+x 022⋅4x 20-16y 0=x 20+4 x 20-4y 0点P 到直线AB 的距离为d =x 20-4y 0x 2+4,所以,S △PAB =12AB ⋅d =12x 20+4 x 20-4y 0 ⋅x 20-4y 0x 20+4=12x 20-4y 0 32,∵x 20-4y 0=1-y 0+4 2-4y 0=-y 20-12y 0-15=-y 0+6 2+21,由已知可得-5≤y 0≤-3,所以,当y 0=-5时,△PAB 的面积取最大值12×2032=205.8.(2022届山西省怀仁市高三上学期期中)已知抛物线C ：y 2=2px p >0 的焦点为F ,准线与x 轴交于D点,过点F 的直线与抛物线C 交于A ,B 两点,且FA ⋅FB =FA +FB .(1)求抛物线C 的方程；(2)设P ,Q 是抛物线C 上的不同两点,且PF ⊥x 轴,直线PQ 与x 轴交于G 点,再在x 轴上截取线段GE =GD ,且点G 介于点E 点D 之间,连接PE ,过点Q 作直线PE 的平行线l ,证明l 是抛物线C 的切线.【解析】(1)解：设过点F 的直线方程为y =k x -p2,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,联立y =k x -p2 y 2=2px,得k 2x 2-pk 2+2p x +k 2p 24=0,则x 1+x 2=pk 2+2p k 2,x 1⋅x 2=p 24,所以FA +FB =x 1+p 2+x 2+p 2=2pk 2+2pk 2,FA ⋅FB =x 1+p 2 x 2+p 2 =p 22+p 2k 2+2 2k 2,因为FA ⋅FB =FA +FB ,所以2pk 2+2p k 2=p 22+p 2k 2+2 2k 2,化简得p 2-2p 1+1k2 =0,所以p =2,当过点F 的直线斜率不存在时,则FA =FB =p ,故FA +FB =2p ,FA ⋅FB =p 2,又因为FA ⋅FB =FA +FB ,则p 2=2p ,所以p =2,综上所述,p =2,所以y 2=4x ；(2)证明：不妨设点P 在第一象限,则P 1,2 ,D -1,0 ,F 1,0 ,设直线PQ 的方程为y -2=m x -1 ,m ≠0,Q x 3,y 3 ,联立y -2=m x -1 y 2=4x ,消元整理得m 24y 2-y -m +2=0,则2+y 3=4m ,即y 3=4-2mm 故x 3=2-m 2m 2,即Q 2-m 2m 2,4-2m m,当y =0时,x =-2m +1,则G -2m+1,0 ,又因GE =GD ,且点G 介于点E 点D 之间,则G 为DE 的中点,所以E -4m+3,0 ,则直线PE 的斜率为24m-2=m2-m ,因为直线PE 平行直线l ,所以直线l 的斜率为m2-m,故直线l 的方程为y -4-2m m =m 2-m x -2-m 2m 2,即y =m 2-m x +2-m m ,联立y =m 2-m x +2-mm y 2=4x,消元整理得m 42-m y 2-y +2-m m =0,Δ=1-4×m 42-m⋅2-mm =0,所以直线l 与抛物线只有一个交点,有直线l 斜率不为0,所以l 是抛物线C 的切线.9.已知抛物线C :x 2=2py ,点M -4,4 在抛物线C 上,过点M 作抛物线C 的切线,交x 轴于点P ,点O 为坐标原点．(1)求P 点的坐标；(2)点E 的坐标为-2,-1 ,经过点P 的直线交抛物线于A ,B 两点,交线段OM 于点Q ,记EA ,EB ,EQ 的斜率分别为k 1,k 2,k 3,是否存在常数λ使得k 1+k 2=λk 3．若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由．【解析】(1)因为M -4,4 在抛物线C 上,所以-4 2=8p ,所以p =2所以抛物线C 的方程为x 2=4y ,即y =14x 2,则y =12x ,所以切线的斜率为12×(-4)=-2,所以过点M 的切线方程为y =-2x +4 +4,即y =-2x -4联立y =-2x -4y =0,解得P 点的坐标为-2,0(2)由题意可知过点P 的直线的斜率存在,设为y =kx +2k ,线段OM 所在的直线为y =-x ,联立y =kx +2k y =-x,解得Q 点坐标为-2k k +1,2kk +1,所以k 3=2k k +1+1-2k k +1+2=3k +12设A x 1,x 214 ,B x 2,x 224,联立y =kx +2kx 2=4y ,得x 2-4kx -8k =0,所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-8k ．则k 1+k 2=x 214+1x 1+2+x 224+1x 2+2=14x 1x 2x 1+x 2 +x 1+x 2 +12x 21+x 22 +4x 1x 2+2x 1+x 2 +4=-8k 2+4k +1216k 2+16k +4-8k +8k +4=12k +44=3k +1所以k 1+k 2=2k 3,即存在λ=2满足条件．10.如图,已知A x 1,y 1 ､B x 2,y 2 为二次函数y =ax 2(a >0)的图像上异于顶点的两个点,曲线y =ax 2在点A x 1,y 1 ､B x 2,y 2 处的切线相交于点P x 0,y 0 .(1)利用抛物线的定义证明：曲线y =ax 2上的每一个点都在一条抛物线上,并指出这条抛物线的焦点坐标和准线方程；(2)求证：x 1､x 0､x 2成等差数列,y 1､y 0､y 2成等比数列；(3)设抛物线y =ax 2焦点为F ,过P 作PH 垂直准线l ,垂足为H ,求证：∠BPH =∠APF .【解析】(1)证明：令F 0,14a ,直线l ：y =-14a,曲线y =ax 2上任意一点P x 0,ax 02,又a >0,则点P x 0,ax 02 到直线l 的距离d =ax 02+14a,则PF =x 02+ax 02-14a 2=x 02+ax 02 2-x 022+14a 2=ax 02 2+x 022+14a 2=ax 02+14a 2=ax 02+14a =ax 02+14a=d ,即曲线y =ax 2上任意一点到点F 0,14a 的距离与到直线l ：y =-14a的距离相等,且点F 0,14a 不在直线l ：y =-14a上,所以曲线y =ax 2上的每一个点都在一条抛物线上,抛物线的方程即为y =ax 2,焦点坐标为F 0,14a,准线方程为y =-14a；(2)解：对于y =ax 2,则y =2ax ,所以y |x =x 1=2ax 1,y |x =x 2=2ax 2,即过点A x 1,y 1 、B x 2,y 2 的切线方程分别为y -y 1=2ax 1x -x 1 、y -y 2=2ax 2x -x 2 ,又y 1=ax 12,y 2=ax 22,所以y =2ax 1x -ax 12、y =2ax 2x -ax 22,由y =2ax 1x -ax 12y =2ax 2x -ax 22 ,解得x =x 1+x 22y =ax 2x 1,即P x 1+x 22,ax 2x 1 ,即x 0=x 1+x 22,y 0=ax 2x 1,又y 02=a 2x 22x 12=y 1⋅y 2,所以x 1、x 0、x 2成等差数列,y 1、y 0、y 2成等比数列；(3)解：由(2)可知k BP =2ax 2,k AP =2ax 1,F 0,14a ,所以k PF =y 0-14ax 0=ax 2x 1-14a x 1+x 22,如图,设AP ,PF ,PB 与x 轴分别交于点C 、D 、E ,则tan ∠ACx =2ax 1,tan ∠BEx =2ax 2,tan ∠FDx =ax 2x 1-14ax 1+x 22,又∠BPH =π2-π-∠BEx =∠BEx -π2,∠FPA =∠FDx -∠ACx ,所以tan ∠BPH =tan ∠BEx -π2 =-1tan ∠BEx=-12ax 2,tan ∠FPA =tan ∠FDx -∠ACx =tan ∠FDx -tan ∠ACx1+tan ∠FDx tan ∠ACx=ax 2x 1-14a x 1+x 22-2ax11+ax 2x 1-14a x 1+x 22⋅2ax 1=ax 2x 1-14a -2ax 1⋅x 1+x 22x 1+x 22+ax 2x 1-14a ⋅2ax 1=-14a-ax 12x 1+x 22+2a 2x 12x 2-x 12=-14a -ax 12x 22+2a 2x 12x 2=-14a-ax 1212x 2+4a 2x 12x 2 =-1+4a 2x 12 2ax 21++4a 2x 12 =-12ax 2,即tan ∠BPH =tan ∠FPA ,所以∠BPH =∠FPA ；11.已知抛物线x 2=2py (p >0)上的任意一点到P (0,1)的距离比到x 轴的距离大1．(1)求抛物线的方程；(2)若过点(0,2)的直线l 与抛物线交于A ,B 两点,过A ,B 两点分别作抛物线的切线,两条切线交于点Q ,求△QAB 重心G 的轨迹方程．【解析】(1)由抛物线的定义可得p =2,∴抛物线的方程为x 2=4y ；(2)由题意可得直线AB 的斜率存在,设其为k ,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,则直线AB 的方程为y =kx +2；代入抛物线方程得x 2-4kx -8=0,则有x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-8,∵y =x 24,∴y=x 2,∴l AQ :y -y 1=x 12x -x 1 ,即y =x 12x -x 214①同理可得l BQ :y =x 22x -x 224②,①-②有x 1-x 22 x =x 21-x 224,得x Q =x 1+x 22=2k ,∴y Q =kx 1-x 214=kx 1-y 1=-2．∴Q (2k ,-2)又y 1+y 2=k x 1+x 2 +4=4k 2+4,设G (x ,y ),则x =x 1+x 2+x Q3=2ky =y 1+y 2+y Q 3=4k 2+23,消k 得y =x 2+23,所以G 的轨迹方程为y =13x 2+23．12.已知抛物线C :x 2=2py p >0 的焦点为F ,点P -2,y 0 为抛物线上一点,抛物线C 在点P 处的切线与y 轴相交于点Q ,且△FPQ 的面积为2．(1)求抛物线的方程．(2)若斜率不为0的直线l 过焦点F ,且交抛物线C 于A ,B 两点,线段AB 的中垂线与y 轴交于点M ,证明：MF AB为定值．【解析】(1)将P -2,y 0 代入x 2=2py 得,y 0=2p 设抛物线的切线方程为y =k (x +2)+2p,代入x 2=2py 整理得：x 2-2pkx -(4pk +4)=0由题知Δ=4p 2k 2+4pk +4=0,解得k =-2p又y Q =2k +2p ,所以FQ =p 2-2k -2p 所以S △FPQ =p 2-2k -2p =p 2+2p=2,解得p =2所以抛物线C 的方程为x 2=4y(2)记AB 中点为N ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),N (x 3,y 3)设直线AB 方程为y =mx +1,代入x 2=4y 整理得：x 2-4mx -4=0,则x 1+x 2=4m ,x 1x 2=-4所以AB =m 2+1(x 1+x 2)2-4x 1x 2=4(m 2+1)因为N 为AB 中点,所以x 3=x 1+x 22=2m ,y 3=2m 2+1所以直线MN 的方程为y -(2m 2+1)=-1m(x -2m )则y M =2m 2+3所以MF =2m 2+2所以MF AB =2m 2+24(m 2+1)=1213.(2022届新未来4月联考)已知直线l :x -ky +k -1=0与抛物线C :y 2=2px (p >0)交于A ,B 两点,过A ,B 两点且与抛物线C 相切的两条直线相交于点D ,当直线l ⊥x 轴时,|AB |=4．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)求|OD |的最小值．【解析】(1)当直线l ⊥x 轴时,x =1,代入y 2=2px 解得y =±2p ,∴|AB |=22p =4,得p =2,∴抛物线C 的标准方程为y 2=4x ；(2)设A x A ,y A ,B x B ,y B ,D x D ,y D ．联立x -ky +k -1=0,y 2=4x ,得y 2-4ky +4k -4=0．∴y A +y B =4k ,y A ⋅y B =4k -4①,∵直线l :x -ky +k -1=0恒过点(1,1),且与抛物线有两个交点,点(1,1)在抛物线上,∴k ≠0,当直线AD 和直线BD 斜率存在时,设直线AD :y =mx +n ,联立y =mx +n ,y 2=4x ,∴my 2-4y +4n =0,Δ=16-4m ⋅4n =0,∴m ⋅n =1,∴y A =2m ,同理,设直线BD :y =ax +b ,则ab =1,y B =2a,联立y =mx +n ,y =ax +b , ∴x D =1am ,y D =1a +1m.由①可知2m +2a =4k ,2m ⋅2a =4k -4,∴1m +1a -2ma=2,即y D -2x D =2,∴点D 在直线2x -y +2=0上．当直线AD 或直线BD 斜率不存在时,即直线l 过原点时,k =1,过原点的切线方程为x =0,易知另外一点为(4,4),过点(4,4)的切线方程设为x -4=t (y -4),联立x -4=t (y -4)y 2=4x,得y 2-4ty +16t -16=0,Δ=16t 2-416t -16 =0,解得t =2,即切线方程y =12x +2．此时交点D 的坐标为(0,2),在直线2x -y +2=0上,故OD 的最小值为原点到直线2x -y +2=0的距离,即25=255．14.过原点O 的直线与拋物线C ：y 2=2px (p >0)交于点A ,线段OA 的中点为M ,又点P 3p ,0 ,PM ⊥OA ．在下面给出的三个条件中任选一个填在横线处,并解答下列问题：①OA =46,②PM =23；③△POM 的面积为62．(1)______,求拋物线C 的方程；(2)在(1)的条件下,过y 轴上的动点B 作拋物线C 的切线,切点为Q (不与原点O 重合),过点B 作直线l 与OQ 垂直,求证：直线l 过定点．注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分．【解析】(1)由题意知直线OA 的斜率存在且不为0,设其方程为y =kx k ≠0 ,由y 2=2px ,y =kx 得x =0,y =0 或x =2p k 2,y =2p k,即O 0,0 ,A 2p k 2,2p k所以线段OA 的中点M p k 2,p k．因为PM ⊥OA ,所以直线PM 的斜率存在,k PM =p kpk 2-3p =k1-3k 2．所以k 1-3k2⋅k =-1,解得k =±22,所以直线OA 的方程为x ±2y =0,A 4p ,±22p ．若选①,不妨令A 4p ,22p ,由OA =46,得4p2+22p 2=46,解得p =2(舍去p =-2),所以抛物线C 的方程为y 2=4x ．若选②,因为PM ⊥OA ,PM =23,所以点P 到直线OA 的距离为23,即3p12+±2 2=23,解得p =2(舍去p =-2),所以抛物线C 的方程为y 2=4x ．若选③,不妨令A 4p ,22p ,因为OM =12OA =124p 2+22p 2=6p ,点P 到直线OA 的距离PM =3p12+±22=3p ,所以S △POM =12OM ⋅PM =12×6p ×3p =62,解得p =2(舍去p =-2),所以抛物线C 的方程为y 2=4x ．(2)由题意可知切线BQ 的斜率存在且不为0．设B 0,b b ≠0 ,切线BQ 的方程为y =k 1x +b ,由y =k 1x +b ,y 2=4x得k 1y 2-4y +4b =0,(*)所以Δ=-4 2-4×k 1×4b =0,解得k 1=1b,所以方程(*)的根为y =2b ,代入y 2=4x 得x =b 2,所以切点b 2,2b ,于是k OQ =2b b2=2b ,则k l =-b2,所以直线l 的方程为y =-b 2x +b ,即y =-b2x -2 ,所以当b 变化时,直线l 恒过定点2,0 ．15.已知抛物线x 2=2py (y >0),其焦点为F ,抛物线上有相异两点A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ．(1)若AF ⎳x 轴,且经过点A 的抛物线的切线经过点(1,0),求抛物线方程；(2)若p =2,且|AF |+|BF |=4,线段AB 的中垂线交x 轴于点C ,求△ABC 面积的最大值．【解析】(1)抛物线x 2=2py (y >0),焦点坐标为0,p2,因为AF ⎳x ,所以y A =p 2,所以x A =p ,又y =x 22p ,所以y =x p,所以过A 点的切线的斜率k =1,所以切线方程为y -p 2=x -p ,令y =0得x =p2=1,所以p =2,所以x 2=4y(2)若p =2,则抛物线为x 2=4y ,焦点为0,1 ,准线方程为y =-1,因为|AF |+|BF |=4,所以y A +1+y B +1=4,所以y A +y B =2,设直线AB 的方程为y =kx +m ,联立x 2=4y 得x 2-4kx -4m =0,Δ=16k 2+16m >0所以x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-4m ,所以y 1+y 2=kx 1+kx 2+2m =4k 2+2m =2,即m =1-2k 2,所以Δ=16k 2+161-2k 2 >0,解得-1<k <1,当k =0时,直线方程为y =1,则A 2,0 ,B -2,0 ,所以AB 的中垂线恰为y 轴,则C 0,0 ,所以S △ABC =12×4×1=2,当-1<k <1,且k ≠0时,又AB 的中点坐标为x 1+x 22,y 1+y 22 =2k ,1 ,所以AB 的中垂线l 的方程为y =-1kx -2k +1,令y=0得x =3k ,所以C 3k ,0 ,所以C 到AB 的距离d =3k 2+m k 2+1,又AB=k 2+116k 2+16m ,所以S △ABC =12AB d =2k 2+m ×3k 2+m =21-k 2×1+k 2 =21-k 2 1+k 2 2令1-k 2=t ,则t ∈0,1 ,f t =t 2-t 2=t 3-4t 2+4t ,因为f t =3t 2-8t +4=t -2 3t -2 ,所以当t ∈0,23 时f t >0,f t 在0,23 上单调递增,当t ∈23,1 时f t <0,f t 在23,1 上单调递减,所以f t max =f 23 =3227所以S △ABC max =23227=869>2所以S △ABC max =86916.设抛物线C ：x 2=2py (p >0)的焦点为F ,点P m ,2 (m >0)在抛物线C 上,且满足PF =3．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)过点G 0,4 的直线l 与抛物线C 交于A ,B 两点,分别以A ,B 为切点的抛物线C 的两条切线交于点Q ,求三角形PQG 周长的最小值．【解析】(1)由抛物线定义,得PF =2+p2=3,得p =2,∴抛物线C 的标准方程为x 2=4y ；(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,直线l 的方程为y =kx +4,∴联立y =kx +4x 2=4y,消掉x ,得x 2-4kx -16=0,Δ>0,∴x 1+x 2=4k ,x 1x 2=-16,设A ,B 处的切线斜率分别为k 1,k 2,则k 1=x 12,k 2=x22,∴在点A 的切线方程为y -y 1=x 12x -x 1 ,即y =x 1x 2-x 124①,同理,在B 的切线方程为y =x 2x 2-x 224②,由①②得：x Q =x 1+x 22=2k ,代入①或②中可得：y Q =kx 1-x 214=y 1-4-y 1=-4,∴Q 2k ,-4 ,即Q 在定直线y =-4上,设点G 关于直线y =-4的对称点为G ,则G 0,-12 ,由(1)知P 22,2 ,∵PQ +GQ =PQ +G Q ≥G P =251,即P ,Q ,G 三点共线时等号成立,∴三角形PQG 周长最小值为GP +G P =251+23．17.已知圆C :x 2+y -2 2=1与定直线l :y =-1,且动圆M 与圆C 外切并与直线l 相切.(1)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程；(2)已知点P 是直线l 1:y =-2上一个动点,过点P 作轨迹E 的两条切线,切点分别为A 、B .①求证：直线AB 过定点；②求证：∠PCA =∠PCB .【解析】(1)依题意知：M 到C 0,2 的距离等于M 到直线y =-2的距离,∴动点M 的轨迹是以C 为焦点,直线y =-2为准线的抛物线,设抛物线方程为x 2=2py p >0 ,则p2=2,则p =4,即抛物线的方程为x 2=8y ,故：动圆圆心M 的轨迹E 的方程为：x 2=8y ；(2)①由x 2=8y 得：y =18x 2,∴y =14x ,设A x 1,18x 21、B x 2,18x 22 ,P t ,-2 ,其中x 1≠x 2,则切线PA 的方程为y -18x 21=x 14x -x 1 ,即y =14x 1x -18x 21,同理,切线PB 的方程为y =14x 2x -18x 22,由y =14x 1x -18x 21y =14x 2x -18x 22 ,解得x =x 1+x 22y =x 1x 28 ,∴t =x 1+x 22-2=x 1x 28,即x 1+x 2=2t x 1x 2=-16 ,∵A x 1,18x 21、B x 2,18x 22 x 1≠x 2 ,∴直线AB 的方程为y -18x 21=18x 22-18x 21x 2-x 1x -x 1 ,化简得y =x 1+x 28x -x 1x 28,即y =t4x +2,故直线AB 过定点0,2 ；②由①知：直线AB 的斜率为k AB =t4,(i )当直线PC 的斜率不存在时,直线AB 的方程为y =2,∴PC ⊥AB ,∴∠PCA =∠PCB ；(ii )当直线PC 的斜率存在时,∵P t ,-2 、C 0,2 ,∴直线PC 的斜率k PC =-2-2t -0=-4t ,∴k AB ⋅k PC =t 4×-4t=-1,∴PC ⊥AB ,∴∠PCA =∠PCB .综上所述：∠PCA =∠PCB 得证.18.设抛物线C ：x 2=2py p >0 ,其焦点为F ,准线为l ,点P 为C 上的一点,过点P 作直线l 的垂线,垂足为M ,且MF =FP ,FM ⋅FP=2.(1)求抛物线C 的方程；(2)设点Q 为C 外的一点且Q 点不在坐标轴上,过点Q 作抛物线C 的两条切线,切点分别为A ,B ,过点Q 作y 轴的垂线,垂足为S ,连接AS ,BS ,证明：直线AS 与直线BS 关于y 轴对称.【解析】(1)∵PM =PF =FM ,∴△PFM 为等边三角形,∴∠FMP =∠PFM =60°,又FM ⋅FP=FM ⋅FP cos ∠PFM =FM 2cos60°=2,∴FM =2设直线l 交y 轴于N 点,则在Rt △MNF 中∠NMF =30°,NF =1=p ,∴C 的方程为x 2=2y(2)设点Q a ,b a ≠0,b ≠0 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,又C 的方程为x 2=2y 可化为y =x 22,∴y =x所以过点A 且与C 相切的直线的斜率为x 1,过点B 且与C 相切的直线的斜率为x 2,所以直线QA 的方程为y-y1=x1x-x1,直线QB的方程为y-y2=x2x-x2.又直线QA与QB均过点Q,b-y1=x1a-x1,b-y2=x2a-x2,又x21=2y1,x22=2y2,∴y1=ax1-b,y2=ax2-b,所以直线AB的方程为y=ax-b,联立方程y=ax-b和x2=2y得方程组x2=2y,y=ax-b,消去y得x2-2ax+2b=0,∵b≠0,∴x1≠0,x2≠0,∵x1x2=2b,又S0,b,则直线AS的斜率k1=y1-bx1；直线BS的斜率k2=y2-bx2,∴k1+k2=x1+x2x1x22-bx1x2,∵x1x22-b=0,∴k1+k2=0,所以直线AS与直线BS关于y轴对称.。

抛物线的切线

线AM,BM有何位置关系? 解：由结论2可知：经过 AB两点的直线方程为：
p xx (y ) 0 p 2 设 A ( x , y ), B ( x , y )
1 1 2 2
联立方程：
p xx p ( y ) 0 2 2 x 2py
由 x 2 py ，得 y
2
2 2 得： x 2 xx p 0 0
解题方法研究
解：（1）依题意可得 MA (2 x,1 y) ，
MB (2 x,1 y)
| MA MB | (2 x) 2 (2 2 y) 2 , OM (OA OB) ( x, y ) (0, 2) 2 y
2 2 由已知得 (2 x) (2 2 y ) 2 y 2 ，
是y
解题方法研究
x0 t 1 t 1 1 ，存在 x0 (2, 2) ，使得， 2 2 2 2 即 l 与直线 PA 平行，故当 1 t 0 时不符合题意 x 1 t x t 1 1 0 , 1 0 ，所以 l 与直线 PA，PB 一定 ②当 t 1 时， 2 2 2 2
F A B
O
P
阿基米德三角形的性质
性质 6 若直线 l 与抛物线没有公共点，以 l 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点．证明：如上图，设 l 方程为
ax by c 0 ，且 A( x2 , y2 ) ，弦 AB 过点 C ( x0 , y0 ) ，由
①当 1 t 0 时， 1
t 1 y xt 2 , 相交，分别联立方程组 2 y x0 x x0 2 4
1 t y xt 2 ， 2 y x0 x x0 2 4

直线与抛物线切线问题

直线与抛物线切线问题直线与抛物线的切线问题是数学中一个重要且常见的研究课题。

本文将介绍直线和抛物线的定义及性质，并详细讨论它们的切线问题。

一、直线的定义与性质直线是最基本的几何图形之一，它由无数个点按照一条连续无间隙的轨迹组成。

直线有以下几个重要性质：1. 直线上的任意两点可以确定一条直线。

2. 直线没有长度和宽度，只有方向。

3. 直线可以无限延伸，不会相交或重叠。

二、抛物线的定义与性质抛物线是由一个定点（焦点）和一条定直线（准线）确定的几何图形。

抛物线上的任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。

抛物线有以下几个重要性质：1. 抛物线的对称轴垂直于准线，通过焦点的中垂线。

2. 抛物线关于对称轴对称。

3. 抛物线上的任意一点都处于焦点和准线之间。

三、直线与抛物线的切线问题直线与抛物线的切线是指直线与抛物线相切于一点，并且与抛物线的曲线方向相切。

具体而言，直线与抛物线的切线有以下几个性质：1. 切线与抛物线相切于一个点。

2. 切线与抛物线的曲线方向相切，即切线与抛物线在交点处的切线方向相同。

3. 直线与抛物线的切点处的斜率相等。

解决直线与抛物线的切线问题可以利用导数的概念。

通过求解抛物线的导函数，并将直线方程与导函数相等，可以得到直线与抛物线的切点和切线方程。

例如，设抛物线的方程为 $y=ax^2+bx+c$，直线的方程为$y=mx+n$，其中 $a$、$b$、$c$、$m$、$n$ 为常数。

我们可以将直线方程代入抛物线方程中，然后求解方程组，得到直线与抛物线的切点。

进一步求解导函数，可以得到切线的斜率，从而得到切线的方程。

结论直线与抛物线的切线问题是一个基于导数的数学问题。

通过求解切点和斜率，可以得到直线与抛物线的切线方程。

这个问题不仅具有理论意义，而且在实际应用中也有很多重要的应用，例如物理学中的运动学问题等。

巧解抛物线的切线问题

巧解抛物线的切线问题例6 抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( D ) A ．316 B ．38C ．233D ．433 [解析] 抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的焦点坐标为(0，p 2)，双曲线x 23－y 2＝1的右焦点坐标为(2,0)，两点连线的方程为y ＝－p 4(x －2)，联立⎩⎨⎧ y ＝－p 4(x －2)，y ＝12p x 2，得2x 2＋p 2x －2p 2＝0.设点M 的横坐标为m ，易知在M 点处切线的斜率存在，则在点M 处切线的斜率为y ′|x ＝m ＝(12p x 2)′|x ＝m ＝m p. 又双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为x 3±y ＝0，其与切线平行，所以m p ＝33，即m ＝33p ，代入2x 2＋p 2x －2p 2＝0，得p ＝433或p ＝0(舍去)．名师点拨 ☞利用导数工具解决抛物线的切线问题，使问题变得巧妙而简单，若用判别式解决抛物线的切线问题，计算量大，易出错．〔变式训练3〕过点M (2，－2p )作抛物线x 2＝2py (p >0)的两条切线，切点分别为A ，B ，若线段AB 中点的纵坐标为6，求抛物线方程．[解析] x 2＝2py 变形为y ＝12p x 2，∴y ′＝x p .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴y ′|x ＝x 1＝x 1p.∴切线AM 方程为y －y 1＝x 1p(x －x 1)，即y ＝x 1p x －x 212p .同理BM 方程为y ＝x 2p x －x 222p. 又(2，－2p )在两条直线上，∴－2p ＝2x 1p －x 212p ，－2p ＝2x 2p －x 222p. ∴x 1，x 2是方程x 22p －2x p－2p ＝0的两根，即x 2－4x －4p 2＝0.∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－4p 2.∴y 1＋y 2＝12p(x 21＋x 22) ＝12p [(x 1＋x 2)2－2x 1x 2]＝12p(16＋8p 2)．又∵线段AB 中点纵坐标为6，∴y 1＋y 2＝12，即12p(16＋8p 2)＝12，解得p ＝1或p ＝2.∴抛物线方程为x 2＝2y 或x 2＝4y .。

高中数学抛物线中的切线问题

3
变式 1:如图，设抛物线方程为 x2 2 py( p 0) ，
M 为抛物线外任意一点,过 M 引抛物线的切线，切
点分别为 A，B ．设 A(x1,y1).试用 x1,y1 表示过 A
的切线方程
解: x2 2 py 得 y x2 ，得 y x
2p
p
y'
x x1
x p
x x1
x1 p
过A( x1 ,
的两条切线，切点分别为 A(x1,y1), B(x2,y2)．求过 A, B 两点的直线方程。
.
10
.
变式 3 如图，设抛物线方程为 x2 2 py( p 0) ，
M(x0,y0)为 x2 2 py 外任意一点,过 M 引抛物线
的两条切线，切点分别为 A(x1,y1), B(x2,y2)．求
过 A, B 两点的直线方程为: x0 x p( y y0 )
11
结论2:
1.P(x0 , y0 )是抛物线x2 =2py外一点,过P点作抛物线的两条切线,切点分别为A(x1, y1), B(x2 , y2 ),则
直线AB的方程为: x0 x=p(y+y0 )
12
变式4:设抛物线方程为 x2 2 py( p 0) ，若 M(x0, p )是抛物线准线l上任意一点,焦点为F,
y1)的切线方程为:y-y1
x1 p
(x
x1 )
即: py py1 x1x x12 x1x 2 py1
4
变式 1:如图，设抛物线方程为 x2 2 py( p 0) ， M(x0,y0)为抛物线外任意一点,过 M 引抛物线的切线，切点分别为 A，B ．设 A(x1,y1).试用 x1,y1 表
6

利用导数求抛物线切线方程的三种问题类型

利用导数求抛物线切线方程的三种问题类型问题类型一：已知抛物线上一点求切线方程已知抛物线方程为 $y=ax^2+bx+c$，且已知抛物线上一点为$(x_1, y_1)$，求该点处的切线方程。

解题步骤如下：1. 求出抛物线方程的导数 $\frac{dy}{dx}$。

2. 将已知点 $(x_1, y_1)$ 代入导数 $\frac{dy}{dx}$ 中，求出切线的斜率 $k$。

3. 使用点斜式来表示切线方程，即 $y-y_1=k(x-x_1)$。

问题类型二：已知切线斜率求切线方程已知抛物线方程为$y=ax^2+bx+c$，且已知切线的斜率为$k$，求切线方程。

解题步骤如下：1. 求出抛物线方程的导数 $\frac{dy}{dx}$。

2. 将切线的斜率 $k$ 代入导数 $\frac{dy}{dx}$ 中，得到一个方程。

3. 解方程，求出该方程对应的横坐标 $x$。

4. 将求得的横坐标 $x$ 代入抛物线方程中，求出纵坐标 $y$。

5. 使用点斜式来表示切线方程，即 $y-y=k(x-x_1)$，其中 $(x_1, y_1)$ 为切点坐标。

问题类型三：已知抛物线与切线重合求切点坐标已知抛物线方程为$y=ax^2+bx+c$，且已知抛物线与切线重合，求切点的坐标。

解题步骤如下：1. 求出抛物线方程的导数 $\frac{dy}{dx}$。

2. 将导数$\frac{dy}{dx}$ 与抛物线方程相等，得到一个方程。

3. 解方程，求出该方程对应的横坐标 $x$。

4. 将求得的横坐标 $x$ 代入抛物线方程中，求出纵坐标 $y$。

5. 切点的坐标为 $(x, y)$。

以上是利用导数求抛物线切线方程的三种问题类型及解题步骤。

希望对你有所帮助！。

抛物线的切线方程

抛物线的切线方程抛物线是数学中最基本的几何概念之一，它是一种特殊的曲线，平面内的任意一点都不在抛物线的双曲线以外。

它的特征是它的曲线是由一个连续的函数或变量控制的，而它的切线方程就是用来表示抛物线的切线的一种数学方程式。

抛物线的切线方程是一元二次方程，它可以用如下形式来表示： y = ax2 + bx + c其中，a、b、c是实数，a不能为0，这个方程表示抛物线的切线。

如果a>0，则抛物线是一个“拱形”，如果a<0，则抛物线是一个“凹形”。

抛物线的切线不仅仅是一元二次方程，它还可以用极坐标的形式来表示：r = k/cosθ其中，k是抛物线的切线上的一点的极轴方向的绝对值，θ是抛物线中相对于原点的角度，这种表示方式可以用来更好的建模抛物线的切线。

除了一元二次方程和极坐标的形式以外，抛物线的切线还可以用另外三种方法来表示：变量分析法、矢量分析法和图形分析法。

变量分析法是将切线定义为一元函数；矢量分析法是将切线定义为两个矢量；图形分析法是根据抛物线上一点和直线上另一点之间关系，得到抛物线的切线方程。

通过使用这三种方法，我们可以更好地理解抛物线的切线方程，从而更好地优化抛物线的性能。

此外，抛物线的切线方程在数学建模中也有很多应用，比如它可以用来求解复杂的动态系统，也可以用来模拟特定的运动轨迹；它还可以用来求解特定类型的函数，比如空气动力学、摄动系统等。

因此，抛物线的切线方程在数学建模中有很多重要的应用，它能够更有效地帮助我们解决一些复杂的问题。

总之，抛物线的切线方程是一个实用的数学概念，它具有很强的实用价值，可以用于求解复杂的动力学过程，也可以用来建模分析特定的运动轨迹。

它的重要性不仅在于它的数学理论，更重要的是它能够用于数学建模，帮助我们更好地优化复杂动力系统的性能。

抛物线的切线方程推导

抛物线的切线方程推导
抛物线y^2=4ax是二次函数，它与直线y=mx+k形成了交叉点。

令f(x)=mx+k，则有以下几个点，(a, 0)，(0, k)，和(–a, 0)；一般来说，m代表抛物线的斜率。

又因为抛物线f(x)=y^2=4ax的导数为dy/dx=2ay, 所以当a!=0 时，我们可以利用导数的概念对抛物线f(x)的切线进行求解。

随后我们可以确定该切线的斜率 m = dy/dx = 2ay, 并考虑得到该切线的方程：
y-y0=2ay(x-x0)
其中，(x0,y0)为抛物线上任一点。

若我们定义：y2=2ay0,又有(x0,y0)=(a,0), 则可以得出：
y-0=2ay(x-a)，即y=2ax。

可见，当a 不等于0时，抛物线y^2=4ax在y轴上的切线方程为y=2ax。

以上就是抛物线y^2=4ax的切线方程的推导过程，而它的核心根据的便是对抛物线y^2=4ax的斜率的求解，最后当a不等于0时，抛物线y^2=4ax的切线方程表达式可以确定为 y=2ax。

过抛物线上一点的切线方程公式推导

过抛物线上一点的切线方程公式推导抛物线，这个名字听起来就有点高大上，其实它就是一种很常见的数学曲线。

想想你在公园里扔球，球的飞行轨迹就像一条抛物线。

今天，我们就来聊聊过抛物线上某一点的切线方程怎么推导。

听起来有点复杂，但别担心，我们慢慢来，讲得轻松点儿！1. 抛物线的基础知识1.1 抛物线是什么？首先，我们得搞清楚什么是抛物线。

简单来说，抛物线就是一个二次函数的图像，比如 (y = ax^2 + bx + c)。

你把这些字母放在一起，就能画出那种弯弯的、对称的曲线。

哎呀，想象一下，像是一只微笑的弓，超级可爱吧？1.2 为什么要找切线？那么，切线是什么鬼呢？切线就像是那条在某一点上恰好碰到曲线的直线，换句话说，它在那儿和曲线“亲密接触”了一下。

切线可以告诉我们在那一点的斜率，也就是曲线的“瞬时速度”。

对于抛物线来说，切线可以帮助我们理解曲线的走势，简直就像是为抛物线开了一扇窗，让我们看到里面的故事。

2. 推导切线方程的步骤2.1 选定点好了，准备开始推导了。

首先，假设我们要找切线的那一点是 ((x_0, y_0))，而这个点必然在抛物线上，所以我们可以代入公式，得到 (y_0 = ax_0^2 + bx_0 + c)。

嘿，没想到吧，这里就已经有了第一个线索。

2.2 求斜率接下来，我们得计算在这个点的斜率。

切线的斜率可以通过导数来找。

你可能会想，导数是什么？简单来说，导数就是一种“变化率”，它能告诉我们在某一点上，曲线是往上走还是往下走。

对于这个抛物线，导数是 (y' = 2ax + b)，所以在点 ((x_0, y_0)) 上，斜率就变成了 (m = 2ax_0 + b)。

3. 切线方程的建立3.1 切线方程的公式我们已经有了切线的斜率，接下来要把切线的方程写出来。

切线的方程可以用点斜式来表示：。

y y_0 = m(x x_0)把 (m) 代进去，我们得到：y (ax_0^2 + bx_0 + c) = (2ax_0 + b)(x x_0)。

过抛物线上一点的切线方程

过抛物线上一点的切线方程
抛物线即二次函数，即根据一定给定的参数方程就有了形式。

这里主要讲述的是抛物线上
一点的切线方程，它介绍了如何通过抛物线上一点切线来求解抛物线的参数。

一般而言，抛物线的方程一般为y = ax² + bx + c，其中a、b、c为系数，而抛物线上
一点的斜率f，即与x轴的切线斜率f，其可通过关系式f = 2ax + b来求得。

由此可见，如果知道抛物线的一个点的坐标，就可以计算出该抛物线的斜率。

特别的，如果我们要求出抛物线的参数，一般可以利用“抛物线上一点的斜率迹来求解”
的方法。

具体而言，我们选取该抛物线两个任意点，利用“斜率等于相邻两点的横纵坐标
差值之比”的推导，则可计算出这两点斜率的差值，从而可以求出抛物线的斜率及其对应
的参数。

因此，上述的抛物线上一点的斜率方法，实质上就是利用相关抛物线的某一点的坐标来求
解当前的抛物线的参数，这也是抛物线最重要的求解方法。

总的来说，抛物线上一点的切线方程是一种较为书本的数学方法，它可以有效的帮助我们
求解抛物线的参数，也是实际应用中重要的分析方法，有着重要的意义和价值。

抛物线的切线和法线

抛物线的切线和法线概述本文将讨论抛物线的切线和法线。

抛物线是一种重要的数学曲线，它在物理学和工程学等领域具有广泛的应用。

理解抛物线的切线和法线可以帮助我们更好地理解其性质和应用。

抛物线的定义抛物线是平面上一条曲线，其定义为所有与一个给定点（焦点）和一条给定直线（准线）的距离相等的点的轨迹。

抛物线由一个二次方程表示：y = ax^2 + bx + c其中 a、b、c 是常数，a ≠ 0。

抛物线的切线抛物线上的切线是曲线上某一点的瞬时斜率，也就是与该点切线重合的直线。

切线的斜率由抛物线的导数给出。

y' = 2ax + b切线的斜率决定了切线与 x 轴的夹角，也是切线的斜率方程。

在抛物线上的每个点，都可以找到一条切线。

抛物线的法线抛物线上的法线是与切线垂直的直线。

法线的斜率与切线的斜率互为负倒数。

我们可以通过切线的斜率公式，求得法线的斜率公式。

m_tangent = 2ax + bm_normal = -1 / m_tangent法线的斜率方程决定了法线与 x 轴的夹角，以及通过抛物线上每个点的法线。

切线和法线的应用抛物线的切线和法线在实际应用中具有重要作用。

以下是一些应用示例：1. 构建抛物线路径：由于抛物线的性质使得物体在特定时间内以相同的力下落，利用抛物线的切线和法线可以构建抛射物的运动轨迹，如投掷物体的轨迹、火箭的轨迹等。

2. 数学建模：抛物线的切线和法线经常在物理学、工程学和计算机图形学等领域中用于数学建模和模拟。

3. 曲线研究：通过研究抛物线的切线和法线，可以深入了解其性质和特点，推导出更多有关抛物线的数学公式和性质。

小结抛物线的切线和法线是抛物线曲线的重要特性，对于理解抛物线的性质和应用具有重要意义。

切线是曲线上某一点的瞬时斜率，而法线是与切线垂直的直线。

通过切线和法线的斜率公式，我们可以确定切线和法线与 x 轴的夹角，以及通过抛物线上每个点的切线和法线。

这些特性在物理学、工程学和其他领域的数学建模和研究中具有广泛应用。

抛物线上点的切线方程

抛物线上点的切线方程
《抛物线上点的切线方程》是数学中的一个重要概念，它是抛物线上任意一点的切线的方程。

抛物线是一种二次曲线，它的方程一般形式为y=ax²+bx+c，其中a≠0。

抛物线上任意
一点的切线方程可以用一般式y-y1=k(x-x1)表示，其中(x1，y1)是抛物线上的任意一点，k
是抛物线上任意一点切线的斜率。

抛物线上任意一点的切线方程可以用微积分的概念来求解，即抛物线的导数就是抛物线上任意一点的切线斜率，这样就可以求出抛物线上任意一点的切线方程。

抛物线上点的切线方程是求解抛物线的重要步骤，它在求解几何问题中也有着重要的作用，比如求解抛物线上两点的连线，求解抛物线上点的切点等等。

《抛物线上点的切线方程》是一个重要的概念，它在数学中有着重要的作用，可以用微积分的概念来求解，并且在几何问题中也有着重要的应用。

抛物线上或外一点切线问题研究经典(20210501094118)

抛物线上或外一点切线问题研究经典
抛物线上或外一点切线问题研究经典
证明:（1 ）抛物线y2 = 2px（p > 0）上一点M（x0,y0）处的切线方程为y o y= /?（x + x0）: ⑵过抛物线y2=2px（p>0）外一点引两条切线，切点弦所在直线方程为）‘0）'=“匕+ 儿）。

（1）设切线方程为x = ty + A,则兀=$。

+儿，①
由［X^ty + A得『2一2“处一2“兄=0.所以△ = 4pW+8p/l = 0,
=2px
所以pt2 + 22 = 0②又因为儿彳=2/如③
2 解①②（㉚得（儿一/"）2=0,所以y0 = pt,即f =如，所以兄=勺一也•
P P
2
所以切线方程为x =卫y +心一卫-即y o y = p（x + ）。

P P
（2）设两切点坐标为（兀，必）,匕2，比），
由（1）知，两条切线方程分别为y x y = p{x+x x Y y2y = p（x+x2）,
因为点M（兀,儿）同时在两条切线上，
所以儿凡=P（X0 + X］）,儿儿=P（x o+ “2），
所以3, y）（吃os）均满足方程y Q y = P（X+x0）,
所以切点弦所在直线方程为y（）y = p（x+x Q）o。