2012深圳高三二模理科数学试题及答案

绝密★启用前 试卷类型：A
2012年深圳市高三年级第二次调研考试
数学（理科） 2012.4
本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．
参考公式：柱体体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高
锥体的体积为13V Sh
=
，其中S 为锥体的底面积，h 为椎体的高
如果事件A B 、互斥，那么P A B P A P B +=+()()()；
如果事件在事件A 发生的条件下事件B 发生的概率记为()|P B A ，那么
|P AB P A P B A =()()()；
一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，
有且只有一项是符合题目要求的．
1．集合*
{|}n i n N ∈（其中i 是虚数单位）中元素的个数是 A ．1 B ．2 C ．4 D ．无穷多个 2．设随机变量()2
1,3
X N ，若()()P X
c P X c ≤=>，则c 等于
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3．已知命题p ：“存在正实数a ，b ，使得()lg lg lg a b a b +=+”；命题q ：“空间两条直线异面的充分必要条件是它们不同在任何一个平面内”．则它们的真假是 A ．p ，q 都是真命题 B ．p 是真命题，q 是假命题 C ．p ，q 都是假命题 D ．p 是假命题，q 是真命题
4．在学校的一次演讲比赛中，高一、高二、高三分别有1名、2名、3名同学获奖，将这 六名同学排成一排合影，要求同年级的同学相邻，那么不同的排法共有 A ．6种 B ．36种 C ．72种 D ．120种
5．设,,,a b c d R ∈，若a ，1，b 成等比数列，且c ，1，d 成等差数列，则下列不等式 恒成立的是
A ．2a b cd +≤
B ．2a b cd +≥
C ．||2a b cd +≤
D ．||2a b cd +≥
6．设函数
若()f x 的值域为R ，则常数a 的取值范围是
7．如图1，直线l 和圆c ，当l 从0 开始在平面上绕点O 按逆时针方向匀速转动（转动角度
不超过900
）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，
这个函数的图象大致是
8．如果函数||1y x =-的图象与方程221x y λ+=的曲线恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是
A ．(,1][0,1)-∞-
B ．[1,1)-
C ．{}1,0-
D ．()[1,0]1,-+∞
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．本大题分
为必做题和选做题两部分．
（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．在实数范围内，方程|||1|1x x ++=的解集是 ．
10．某机器零件的俯视图是直径为24mm 的圆（包括圆心），主 视图和侧视图完全相同，如图2所示．则该机器零件的体积 是______3mm （结果保留π）．
11．已知平面向量a ，b 满足条件()()0,1,1,2a b a b +=-=- ，则a b ⋅
＝＿＿＿＿＿．
12．执行图3中程序框图表示的算法，若输入5533,2012m n ==，则输出d ＝＿＿＿． （注：框图中的赋值符号“＝”也可以写成“←”或“：＝”）
13．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验． 根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程
．
现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为 ．
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的
得分．
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知直线
把曲线
所围成的区域分成面积相等的两部分，则常数a 的值是 ．
15．（几何证明选讲选做题）如图4，AB 是圆O 的直径， 弦AD 和BC 相交于点P ，连接CD ．若120APB ∠=︒， 则C D A B
等于 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步
骤． 16．（本小题满分12分）
已知函数
（1）求()f x 的最大值；
（2）设△ABC 中，角A 、B 的对边分别为a 、b ，若2B A =，且26b af A π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
，
求角C 的大小． 17．（本小题满分12分）
深圳市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球）， 3 个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2 个球，用完后放回．
（1）设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望； （2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．
18．（本小题满分14分）
如图 5，已知正方形ABCD 在水平面上的正投影（投影线垂直于投影面）是四边形''''A B C D ，其中A 与'A 重合，且'''BB DD CC <<．
（1）证明'//AD 平面''BB C C ，并指出四边形'''AB C D 的形状； （2）如果四边形中'''AB C D ’中，
，正方形的边长为
，
求平面ABCD 与平面AB'C'D ’所成的锐二面角的余弦值．
19．（本小题满分14分） 已知数列
满足：
，且
（1）求通项公式n a （2）设
的前n 项和为n S ，问：是否存在正整数m 、n ，使得
若存在，请求出所有的符合条件的正整数对(),m n ，若不存在，请说明理由．
20．（本小题满分14分）
如图6，已知动圆M 过定点()1,0F 且与x 轴相切，点F 关于圆心M 的对称点为'F ， 动点'F 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程； （2）设
是曲线C 上的一个定点，过点A 任意作两条倾斜角互补的直线，分别与
曲线C 相交于另外两点P 、Q ． ①证明：直线PQ 的斜率为定值；
②记曲线C 位于P 、Q 两点之间的那一段为l ．若点B 在l 上，且点B 到直线PQ 的 距离最大，求点B 的坐标．
21．（本小题满分14分）
已知函数()ln f x x x x =-，()()()'g x f x xf a =- ，其中()'f a 表示函数()f x 在x a
=处的导数，a 为正常数． （1）求()g x 的单调区间；
（2）对任意的正实数12,x x ，且12
x x <，证明：
()()()()()()21221211''x x f x f x f x x x f x -<-<-
（3）对任意的
2012年深圳市高三年级第二次调研考试 数学（理科）参考答案及评分标准 2012.4
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案
C
B
A
C
D
A
D
B
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题．
9．]0,1[- 10．π2880 11．1- 12．503 13．68 （注：第9题答案也可以写成}01|{≤≤-x x ，如果写成01≤≤-x ，不扣分．） （二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题． 14．（坐标系与参数方程选做题）1- 15．（几何证明选讲选做题）
2
1
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．解：（1）)6
cos(sin )(π-+=x x x f x x x sin 2
1cos 2
3sin +
+
= ……2分
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=x x cos 21
sin 233)6
sin(3π+
=x ．
（注：也可以化为)3
cos(3π-x ） 4分
所以)(x f 的最大值为3． …………6分
（注：没有化简或化简过程不全正确，但结论正确，给4分） （2）因为)6
(2π-
=A f a b ，由（1）和正弦定理，得A B 2
sin
32sin =．……7分
又A B 2=，所以A A 2
sin 322sin =，即A A A 2
sin
3cos sin =， ……9分
而A 是三角形的内角，所以0sin ≠A ，故A A sin 3cos =
，3
3tan =A ， ……11分
所以6
π=
A ，3
2π=
=A B ，2
ππ=
--=B A C ． …………12分
17．解：（1）ξ的所有可能取值为0，1，2． ………1分
设“第一次训练时取到i 个新球（即i =ξ）”为事件i A （=i 0，1，2）．因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以
5
1)0()(2
6
23
0=
=
==C C P A P ξ，…3分 5
3)1()(2
6
1
31
31=
=
==C C C P A P ξ，…5分
5
1)2()(26
2
32=
=
==C
C P A P ξ．…7分 所以ξ的分布列为（注：不列表，不扣分）
ξ
0 1
2
P
5
1
5
3
5
1
ξ的数学期望为15
125
3
15
10=⨯
+⨯
+⨯
=ξE ． ……8分
（2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B ． 则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件B A B A B A 210++．
而事件B A 0、B A 1、B A 2互斥，
所以，)()()()(210210B A P B A P B A P B A B A B A P ++=++．
由条件概率公式，得 253535151|()()(26
1
31
3000=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ）， …9分 258158
5
353|()()(2
6141
2111=⨯
=
⨯
==C
C C A B P A P B A P ）， ……10分 15
13
15
15
1|()()(2
6
1
51
1222=
⨯
=
⨯
=
=C C C A B P A P B A P ）． ……11分
所以，第二次训练时恰好取到一个新球的概率为 75
3815125
825
3)(210＝++=
++B A B A B A P ． …………12分
18．证明：（1）依题意，⊥'BB 平面'''D C AB ，
⊥'CC 平面'''D C AB ，
⊥'DD 平面'''D C AB ，
所以'//'//'DD CC BB ． ………2分
（法1）在'CC 上取点E ，使得'DD CE =， 连结BE ，E D '，如图5－1．
因为'//DD CE ，且'DD CE =，
所以E CDD '是平行四边形，DC E D //'，且DC E D ='．
又ABCD 是正方形，AB DC //，且AB DC =，
所以AB E D //'，且AB E D ='，故'ABED 是平行四边形，……4分
从而BE AD //'，又⊂BE 平面C C BB ''，⊄'AD 平面C C BB ''， 所以//'AD 平面C C BB ''． ………6分
四边形'''D C AB 是平行四边形（注：只需指出四边形'''D C AB 的形状，不必证明）．7分
1
5-图C
D
)
'(A A B
'
C '
D '
B E
（法2）因为'//'CC DD ，⊂'CC 平面C C BB ''，⊄'DD 平面C C BB ''， 所以//'DD 平面C C BB ''．
因为ABCD 是正方形，所以BC AD //，又⊂BC 平面C C BB ''，⊄AD 平面C C BB ''， 所以//AD 平面C C BB ''． ………………4分
而⊂'DD 平面'ADD ，⊂AD 平面'ADD ，D AD DD = '，
所以平面//'ADD 平面C C BB ''，又⊂'AD 平面'ADD ，所以//'AD 平面C C BB ''．…6分 四边形'''D C AB 是平行四边形（注：只需指出四边形'''D C AB 的形状，不必证明）．7分 解：（2）依题意，在Rt △'ABB 中，1)5()6(''2
22
2
=-=
-=AB AB
BB ，
在Rt △'ADD 中，2)2()6(''2
2
2
2
=-=
-=
AD AD
DD ，
所以3021''''=-+=-+=AA DD BB CC ．
（注：或312''''=+=+=+=BB DD EC CE CC ） ………8分 连结AC ，'AC ，如图5－2， 在Rt △'ACC 中，33)32(''2
22
2
=
-=
-=
CC AC
AC ．
所以222''''AB C B AC =+，故'''C B AC ⊥．……10分 （法1）延长CB ，''B C 相交于点F ， 则3
1'
''
'==CC BB FC FB ，而2''=C B ，所以22
3'=
FC ．
连结AF ，则AF 是平面ABCD 与平面'''D C AB 的交线．
在平面'''D C AB 内作AF G C ⊥'，垂足为G ， 连结CG ．
因为⊥'CC 平面'''D C AB ，⊂AF 平面'''D C AB ，所以AF CC ⊥'． 从而⊥AF 平面G CC '，AF CG ⊥．
所以'CGC ∠是平面ABCD 与平面'''D C AB 所成的一个锐二面角． ………12分
在Rt △F AC '中，5
5322
3)3(22
33'''2
2
=
⎪⎭
⎫
⎝⎛+⨯
=
⨯=AF
F
C A C G C ，
在Rt △G CC '中，53035533''2
2
2
2
=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+=
+=G C CC CG ． 所以6
6''cos cos ==∠=CG
G C CGC θ，
2
5-图C
D
)
'(A A B
'
C '
D '
B F
G
即平面ABCD 与平面'''D C AB 所成的锐二面角θ的余弦值为
6
6．…………14分
（法2）以'C 为原点，A C '为x 轴，''B C 为y 轴，C C '为z 轴， 建立空间直角坐标系（如图5－3），
则平面'''D C AB 的一个法向量)1,0,0(=n ．
设平面ABCD 的一个法向量为),,(z y x =m ， 因为)0,0,3(A ，)1,2,0(B ，)3,0,0(C ，
所以)1,2,
3(-=AB ，)2,2,0(-=BC ，
而AB ⊥m ，BC ⊥m ， 所以0=∙AB m 且0=∙BC m ， 即⎪⎩
⎪⎨⎧=+-
=++-0
22023z y z y x ，
取1=z ，则2=y ，3=
x ，所以平面ABCD 的一个法向量为)1,2,
3(=m ．
（注：法向量不唯一，可以是与)1,2,
3(=m 共线的任一非零向量）………12分
6
61
001)2()3(|
110203|
|
||||,cos |cos 2
222
2
2
=
++⨯++⨯+⨯+
⨯=
=
><=∙n m n m n m ||θ．
所以平面ABCD 与平面'''D C AB 所成的锐二面角θ的余弦值为6
6． …14分
（法3）由题意，正方形ABCD 在水平面上的正．投影是四边形''''D C B A ， 所以平面ABCD 与平面'''D C AB 所成的锐二面角θ的余弦值ABCD
D C AB S S '''=
． …12分
而6)6(2
==ABCD S ，632''''''=⨯=
⨯=AC C B S D C AB ，所以6
6cos =
θ，
所以平面ABCD 与平面'''D C AB 所成的锐二面角θ的余弦值为6
6．……14分
19．解：（1）当n 是奇数时，1cos -=πn ；当n 是偶数时，1cos =πn ． 所以，当n 是奇数时，22+=+n n a a ；当n 是偶数时，n n a a 32=+．……2分 又11=a ，22=a ，所以1a ，3a ，5a ，…，12-n a ，…是首项为1，公差为2的等差数列；
2a ，4a ，6a ，…，n a 2，…是首项为2，公比为3的等比数列．……4分
所以，⎪⎩⎪
⎨⎧⨯=-为偶数
为奇数n n n a n
n ,32,
12
． ………………………6分 （2）由（1），得)()(24212312n n n a a a a a a S +++++++=-
3
5-图C
D
)'(A A B
'
C '
D '
B y
x
z
)3
262()]12(31[1
-⨯++++-+++=n n
132
-+=n n ，
13
3
2132
1
1
2
2212-+=⨯--+=-=---n n a S S n n n
n n n ．…………8分
所以，若存在正整数m 、n ，使得122-=n n mS S ，则
1
3
3211
3
132
1
12
121
22-+⨯+
=-+-+=
=
----n n n S S m n n n n
n n 33
3211
1
=⨯+
≤--n n ．……9分
显然，当1=m 时，122
1
2
2)13
(113--=-+⨯≠-+=n n n
n S n n S ；
当2=m 时，由1222-=n n S S ，整理得1321-=-n n ．
显然，当1=n 时，11013211-=≠=-；
当2=n 时，1233212-==-，
所以)2,2(是符合条件的一个解． ……11分 当3≥n 时， +⨯+⨯+=+=----2
21111
1
221)
21(3
n n n n C C
2
111421--++≥n n C C 3422
+-=n n
1)2(22-+-=n n 12
->n ． ………12分
当3=m 时，由1223-=n n S S ，整理得1=n ， 所以)1,3(是符合条件的另一个解．
综上所述，所有的符合条件的正整数对),(n m ，有且仅有)1,3(和)2,2(两对．…14分
（注：如果仅写出符合条件的正整数对)1,3(和)2,2(，而没有叙述理由，每得到一组正确的解，给2分，共4分）
20．解：（1）（法1）设),('y x F ，因为点)1,0(F 在圆M 上， 且点F 关于圆心M 的对称点为'F ，
所以)2
1,2(
+y x M ， …………1分
且圆M 的直径为2
2
)1(|'|-+=
y x FF ．…………2分
由题意，动圆M 与y 轴相切，
所以
2
)
1(2
|1|2
2-+=
+y x y ，两边平方整理得：y x 42
=，
所以曲线C 的方程为y x 42
=． …………………5分
（法2）因为动圆M 过定点)1,0(F 且与x 轴相切，所以动圆M 在x 轴上方， 连结'FF ，因为点F 关于圆心M 的对称点为'F ，所以'FF 为圆M 的直径． 过点M 作x MN ⊥轴，垂足为N ，过点'F 作x E F ⊥'轴，垂足为E （如图6－1）．
1
6-图M
∙
'
∙F x
y
O
F
∙
N E
在直角梯形'EOFF 中，1|'||||'|||2||2|'|+=+===E F FO E F MN MF F F ， 即动点'F 到定点)1,0(F 的距离比到x 轴的距离大1． ……3分
又动点'F 位于x 轴的上方（包括x 轴上），
所以动点'F 到定点)1,0(F 的距离与到定直线1-=y 的距离相等．
故动点'F 的轨迹是以点)1,0(F 为焦点，以直线1-=y 为准线的抛物线． 所以曲线C 的方程为y x 42=．………………5分
（2）①（法1）由题意，直线AP 的斜率存在且不为零，如图6－2． 设直线AP 的斜率为k （0≠k ），则直线AQ 的斜率为k -． ……………6分 因为),(00y x A 是曲线C ：y x 42=上的点， 所以4
2
00x y =
，直线AP 的方程为)(4
02
0x x k x y -=-
．
由⎪⎩
⎪
⎨⎧-=-=)(44020
2x x k x y y x ， 解之得⎪⎩⎪⎨⎧==4200x y x x 或⎪⎩
⎪⎨⎧+-=
+-=4)4(4200k x y k x x ， 所以点P 的坐标为)4
)
4(,
4(2
00k x k x +-+-， 以k -替换k ，得点Q 的坐标为)4
)
4(,
4(2
00k x k x +--． ………8分
所以直线PQ 的斜率2
3216)4()4(4)
4(4
)
4(0000202
0x k kx k x k x k x k x k PQ -=-=+----+--
+=
为定值．…10分
（法2）因为),(00y x A 是曲线C ：y x 42
=上的点，所以4
2
00x y =，)4
,(2
00x x A ．
又点P 、Q 在曲线C ：y x 42
=上，所以可设)4
,(2
11x x P ，)4
,
(2
22x x Q ， …6分
而直线AP ，AQ 的倾斜角互补，
所以它们的斜率互为相反数，即0
22
2
2
012
2
1
4444x x x x x x x x --
-=--
，整理得0
212x x x -=+．…8分 所以直线PQ 的斜率2
42444
0021122
1
2
2
x x x x x x x x k PQ -=-=+=--
=为定值．……10分 2
6-图M
∙
'
∙F x
y
O
F
∙
P
Q
A
②（法1）由①可知，P )4)
4(,4(2
00k x k x +-+-，Q )4
)
4(,4(2
00k x k x +--，
2
0x k PQ -
=，所以直线PQ 的方程为)4(2
4
)
4(002
0k x x x k x y -+-
=+--
，
整理得016422
2
00=-++k x y x x ． ……11分
设点)4
,
(2
x
x B 在曲线段L 上，因为P 、Q 两点的横坐标分别为k x 40+-和k x 40--，
所以B 点的横坐标x 在k x 40+-和k x 40--之间，即||4||400k x x k x +-≤≤--， 所以||4||40k x x k ≤+≤-，从而2
2
016)(k x x ≤+．
点B 到直线PQ 的距离4
2|
162|16
4|
164
42|20
2
20022
2
202
0+-++=
+-+⨯
+=
x k x x x x x k x x
x x d
4
216)(4
214
2|
16)(|20
2
2
020
20
2
2
0++
++-
=+-+=
x k
x x x x k x x ．…12分
当0x x -=时，4
21620
2
max +=
x k
d ．
注意到||4||4000k x x k x +-≤-≤--，所以点)4
,
(2
00x x -在曲线段L 上．
所以，点B 的坐标是)4,(2
0x x -． …………………14分
（法2）由①可知，2
x k PQ -
=，结合图6－3可知，
若点B 在曲线段L 上，且点B 到直线PQ 的距离最大， 则曲线C 在点B 处的切线PQ l //． ………………11分
设l ：b x x y +-=20
，由方程组⎪⎩
⎪⎨⎧
=+-
=y
x b x x y 42
20， 消去y ，得04202
=-+b x x x ．
令△0)4(14)2(2
0=-⨯⨯-=b x ，整理，得4
2
0x b -=．……12分
代入方程组，解得0x x -=，4
2
0x y =
．
所以，点B 的坐标是)4
,
(2
00x x -． ………………………………14分
（法3）因为抛物线C ：y x 42
=关于y 轴对称，
由图6－4可知，当直线AP 的倾斜角大于︒0且趋近于︒0时，直线AQ 的倾斜角小于
3
6-图M
∙
'
∙F x
y
O
F
∙
P
Q
A
B
l
︒180且趋近于︒180，即当直线AP 的斜率大于0且趋近于0时，直线AQ 的斜率小于0且
趋近于0．
从而P 、Q 两点趋近于点)4
,
(2
00x x A 关于y 轴的对称点)4
,
('2
00x x A -． ……11分
由抛物线C 的方程y x 42=和①的结论， 得4
2
x
y =
，PQ x x x x k x x y =-==
'-=-=2
2
|00
．
所以抛物线C 以点)4
,
('20
0x
x A -为切点的切线PQ l //．…12分
所以曲线段L 上到直线PQ 的距离最大的点就是点'A ，
即点B 、点'A 重合． 所以，点B 的坐标是)4
,
(2
00x x -． …14分
21．解：（1）x x f ln )('-=，a x x x x x g ln ln )(+-=， x
a a x a f x f x g ln
ln ln )()()(=+-='-'='． ……2分
所以，),0(a x ∈时，0)('>x g ，)(x g 单调递增； ),(∞+∈a x 时，0)('<x g ，)(x g 单调递减．
所以，)(x g 的单调递增区间为],0(a ，单调递减区间为),[∞+a ． ………4分 （2）（法1）对任意的正实数21,x x ，且21x x <， 取1x a =，则),(12∞+∈x x ，由（1）得)()(21x g x g >， 即)()()()()()(21221111x g x f x x f x f x x f x g ='->'-=，
所以，)()()()(11212x f x x x f x f '-<-……①； ………6分
取2x a =，则),0(21x x ∈，由（1）得)()(21x g x g <， 即)()()()()()(22222111x g x f x x f x f x x f x g ='-<'-=， 所以，)()()()(21212x f x x x f x f '->-……②．
综合①②，得
)()()()()()(11212212x f x x x f x f x f x x '-<-<'-． ………………………8分
（法2）因为x x f ln )('-=，
所以，当)1,0(∈x 时，0)(>'x f ；当),1(∞+∈x 时，0)(<'x f ．
故)(x f 在]1,0(上单调递增，在),1[∞+上单调递减． 所以，对任意的正实数21,x x ，且21x x <，有)1(21f x x f <⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛，)1(12f x x f <⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛．……6分 A
4
6-图M
∙
'
∙F x
y
O
F
∙
1
P 1
Q B 2
P 3
P 2
Q 3Q l
由)1(21f x x f <⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛，得1ln 1
21212<-x x
x x x x ，即0)ln (ln 12212<---x x x x x ， 所以0)ln (ln )()()()(1221211212<---='---x x x x x x f x x x f x f ． 故)()()()(11212x f x x x f x f '-<-．……①；
由)1(12f x x f <⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛，同理可证)()()()(21212x f x x x f x f '->-．……②．
综合①②，得)()()()()()(11212212x f x x x f x f x f x x '-<-<'-． ………8分 （3）对2,,2,1-=n k ，令x
k x x k ln )ln()(+=
ϕ（1>x ），则
2
2
)
)(ln ()
ln()(ln )
(ln )
ln(ln )('x k x x k x k x x x x x
k x k
x x
x k +++-=
+-
+=ϕ，
显然k x x +<<1，)ln(ln 0k x x +<<，所以)ln()(ln k x k x x x ++<， 所以0)('<x k ϕ，)(x k ϕ在),1(∞+上单调递减．
由2≥-k n ，得)2()(k k k n ϕϕ≤-，即
2
ln )2ln()
ln(ln k k n n +≤
-．
所以)ln()2ln(ln 2ln k n k n -+≤，2,,2,1-=n k ． …………10分
所以⎪⎭
⎫ ⎝⎛+++⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++2ln 1ln 1
)1ln(13ln 1ln 12ln 1ln 13ln 12ln 12n n n n 2
ln ln ln 2ln )
1ln(3ln 3ln )1ln(ln 2ln 2ln ln n n n n n
n ++
+-+-+
+=
n
n n
n n
n ln 2ln ln 2ln ln 2ln 3
ln )1ln(ln 2ln 2ln ln ++
++-+
+≤
⎪⎭
⎫
⎝⎛+++=n n ln 2ln ln 3ln 2ln 2 ． ……………12分
又由（2）知n n f n f n f ln )(')()1(-=<-+，所以)1()(ln +-<n f n f n ． )1()()3()2()2()1(ln 2ln 1ln +-++-+-<+++n f n f f f f f n
)1(1)1()1(+-=+-=n f n f f ．
所以，n
n f n
n
n
ln 2ln )1(1ln 2ln ln 3ln 2ln ln 13
ln 12
ln 1+-<
+++≤
+
++
．………14分。