何老师教辅资料——初二数学重难点专题突破-等腰三角形

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初二数学上册等腰三角形重点难点学习目标、例题解析

初二数学上册等腰三角形重点难点学习目标、例题解析一．学习目标1. 了解等腰三角形和等边三角形的概念，并能判定等腰三角形和等边三角形；2. 正确理解等腰三角形和等边三角形的性质，能运用它们的性质解决相关的问题；二．重难点分析重点：等腰三角形和等边三角形的性质和判定，及有一个角是的直角三角形的性质。

难点：综合运用等腰三角形的性质解决问题。

三．知识梳理四．精讲精练等腰三角形的性质1．等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形2．等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形3．等腰三角形的性质：(1)两腰相等(2)两底角相等(3)“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(4)是轴对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴例题解析例1.如图，AE∥BD，C是BD上的点，且AB=BC，∠ACD=110°，则∠EAB度数为（）A．70°B．55°C．40°D．35°【答案】C【解析】解：∵∠ACD=110°，∴∠BCA=70°，∵AB=BC，∴∠BAC=∠BCA=70°，∵AE∥BC，∴∠EAC=∠ACD=110°，∴∠EAC=110°﹣70°=40°．例2. 等腰三角形两边长分别是4cm和1cm，则这个三角形周长是（）A．9cmB．6cmC．9cm或6cmD．10cm【答案】A【解析】解：当腰长是1cm时，因为1+1＜4，不符合三角形的三边关系，应排除；当腰长是4cm时，因为4+4＞1，符合三角形三边关系，此时周长是9cm；例3. 如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC．若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（）A．AE=ECB．AE=BEC．∠EBC=∠BACD．∠EBC=∠ABE【答案】C【解析】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，∴BE=BC，∴∠ACB=∠BEC，∴∠BEC=∠ABC=∠ACB，∴∠A=∠EBC，练习.如图，直线l1∥l2，以直线l1上的点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于点B、C，连接AC、BC．若∠ABC=67°，则∠1=（）A．23°B．46°C．67°D．78°【答案】B【解析】解：根据题意得：AB=AC，∴∠ACB=∠ABC=67°，∵直线l1∥l2，∴∠2=∠ABC=67°，∵∠1+∠ACB+∠2=180°，∴∠1=180°﹣∠2﹣∠ACB=180°﹣67°﹣67°=46°．例4. 某城市几条道路的位置关系如图所示，已知AB∥CD，AE与AB 的夹角为48°，若CF与EF的长度相等，则∠C的度数为（）A．48°B．40°C．30°D．24°【答案】D【解析】∵AB∥CD，∴∠1=∠BAE=48°，∵∠1=∠C+∠E，∵CF=EF，∴∠C=∠E，∴∠C=∠1=×48°=24。

初二等腰三角形解题技巧

初二等腰三角形解题技巧
等腰三角形是三角形的一种特殊形式，其中两边长度相等。

在初二数学中，等腰三角形是一个重要的知识点，需要掌握其性质和判定方法。

首先，要明确等腰三角形的性质。

等腰三角形两腰相等，两个底角相等，并且有一个顶角。

此外，等腰三角形的高、中线和角平分线三线合一。

这些性质是解决等腰三角形问题的关键。

其次，要掌握等腰三角形的判定方法。

有以下几种方法：
1. 两边相等：如果一个三角形的两边长度相等，则它是等腰三角形。

2. 两个角相等：如果一个三角形的两个角相等，则它是等腰三角形。

3. 三线合一：如果一个三角形的高、中线和角平分线三线合一，则它是等腰三角形。

最后，要学会运用这些性质和判定方法来解决等腰三角形的问题。

以下是一些常见的题型和解题技巧：
1. 求角度：利用等腰三角形的性质，可以通过已知的角度或边长来求其他角度。

2. 作辅助线：在解题过程中，可以通过作辅助线来将问题转化为更容易解决的问题。

例如，作等腰三角形的高、中线或角平分线。

3. 利用三线合一：在解题过程中，可以利用三线合一的性质来证明或求解问题。

4. 分类讨论：对于一些复杂的问题，需要进行分类讨论，分别考虑不同的情况。

总之，掌握等腰三角形的性质和判定方法是解决等腰三角形问题的关键。

在解题过程中，要灵活运用这些性质和判定方法，通过作辅助线、分类讨论等方法来解决问题。

同时，要注意细节和计算准确性，避免因为粗心而出现错误。

人教部初二八年级数学上册等腰三角形的复习课名师教学PPT课件

问题一：
已知，在△ABC中，AE平分∠CAB交CB于E，过E点作DE∥AB交AC于点D，问△ADE是等腰三角形吗？
C
D
3
E
1
A
2
B
角平分，线平行，形等腰。
问题二：
角平分，线平行，形等腰
如图，△ABC两角的平分线AO与BO交于点O，过O点作底边AB的平行线交AC与点F，交BC与点E。问：线段EF和线段AF、BE有怎样的数量关系？
人教版义务教育教科书·八年级上册
白桦中学·李国蕊
学习目标
1、通过复习回顾，进一步掌握和理解等腰三角形的性质和判定。
2、通过练习灵活运用相关知识解决实际问题。
一、了解型任务
1、△ABC中，AB=AC，∠B=50°,则∠C=
A
50°
B
C
2、△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC=
A
B
C
一、了解型任务
答案：80°或 20°
二、操作型任务
问题一：如图，在△ABC中，D、E为边BC上两点，且AB=AC，AD=AE．问BD与CE相等吗？请说明理由。
等腰三角形常用辅助线：作底边上的高线
如图，在△ABC中，D、E为边BC上两点，且 AB=AC，AD=AE．问BD与CE相等吗？请说明理由。
证明：过点A作AF⊥BC，垂足为点F， ∵ AB=AC，AF⊥BCቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ∴ BF=CF ∵ AD=AE，AF⊥BC， ∴ DF=EF ∴ BF-DF=CF-EF，
A
36°
B
72°
72° C
把这个等腰三角形纸片剪两刀，你能减成三个等腰三角形吗？请将剪痕画在三角形中。
A

专题01 等腰三角形三种压轴题型全攻略(解析版)

专题01 等腰三角形三种压轴题型全攻略(解析版)等腰三角形三种压轴题型全攻略(解析版)在数学中，等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有两条边相等的性质。

在考试中，等腰三角形常常出现在各类题目中，而三种压轴题型更是考察学生对等腰三角形的理解和运用能力。

本文将为大家介绍三种常见的等腰三角形压轴题型，并给出详细的解析，帮助大家更好地掌握解题技巧。

一、等腰三角形的性质首先，我们回顾一下等腰三角形的性质。

等腰三角形有两条边相等，可以分为底边和两条等腰边。

其性质如下：1. 等腰三角形的底边上的两个底角相等。

2. 等腰三角形的两条等腰边上的两个顶角相等。

利用这些性质，我们可以解决以下三种常见的等腰三角形压轴题型。

二、题型一：等腰三角形边长第一种题型是给定一个等腰三角形，要求计算其边长。

这种题型通常会给出等腰三角形的底边长度或两条等腰边的长度，并要求计算等腰三角形的其他边长。

解题步骤如下：Step 1：根据已知条件，将等腰三角形的底边或两条等腰边的长度表示出来。

Step 2：利用等腰三角形的性质，根据已知条件得到其他边长的表达式。

Step 3：根据所得到的表达式，计算出未知边长的具体数值。

三、题型二：等腰三角形的面积第二种题型是给定一个等腰三角形，要求计算其面积。

这种题型通常会给出等腰三角形的底边长度和高，并要求计算面积。

解题步骤如下：Step 1：根据已知条件，将等腰三角形的底边长度和高表示出来。

Step 2：根据面积公式 S = (1/2) ×底边 ×高，计算出面积。

Step 3：得到等腰三角形的面积。

四、题型三：等腰三角形的角度第三种题型是给定一个等腰三角形，要求计算其顶角的度数。

这种题型通常会给出等腰三角形的顶角的度数，并要求计算其他角的度数。

解题步骤如下：Step 1：根据已知条件，将等腰三角形的某个顶角的度数表示出来。

Step 2：利用等腰三角形的性质，根据已知条件得到其他角度的表达式。

2024届中考数学压轴题攻略(湘教版)易错易混淆集训：等腰三角形中易漏解或多解的问题(原卷版)

专题08易错易混淆集训：等腰三角形中易漏解或多解的问题易错点一求长度时忽略三边关系易错点二当腰和底不明求角度时没有分类讨论易错点三三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论易错点一求长度时忽略三边关系例题：（2022·河北·石家庄石门实验学校八年级期末）已知等腰三角形的两边长分别为4和8，则它的周长等于____________．【变式训练】1．（2022·新疆·和硕县第二中学八年级期末）等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长是多少（）A ．13B ．17C ．13或17D ．13或102．（2022·山东菏泽·八年级期末）已知等腰三角形底边和腰的长分别为6和5，则这个等腰三角形的周长为（）A ．15B ．16C ．17D ．183．已知实数x ，y 满足2|5|(10)0 x y ，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A ．20B ．25C ．20或25D ．以上答案均不对4．（2021·云南·富源县第七中学八年级期中）若等腰三角形的周长为26cm ，一边为8cm ，则腰长为_______．5．（2022·黑龙江·肇东市第十中学八年级期末）已知等腰三角形的两边长分别为5cm ，2cm ，则该等腰三角形的周长是________．6．（1）等腰三角形一腰上的中线把周长分为15和12两部分，求该三角形各边的长．（2）已知一个等腰三角形的三边长分别为21,1,32x x x ，求这个等腰三角形的周长．易错点二当腰和底不明求角度时没有分类讨论例题：（2022·山东烟台·七年级期末）若等腰三角形中有一个角等于35 ，则这个等腰三角形的顶角的度数为________．【变式训练】1．（2022·陕西·西安爱知初级中学八年级阶段练习）若等腰三角形有一个内角为40°，则它的顶角度数为________．典型例题2．（2022·陕西·交大附中分校七年级期末）已知ABC 中，20B ，在AB 边上有一点D ，若CD 将ABC 分为两个等腰三角形，则A ________．3．（2022·福建泉州·七年级期末）“特征值”的定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”，记作“()F △”．若等腰ABC 中，80A ，则它的特征值()ABC F △______．4．（2022·江西赣州·八年级期末）如图，ABC 中，AB AC ，40ABC ，点D 在线段BC 上运动（点D 不与点B ，C 重合），连接AD ，作40ADE ，DE 交线段AC 于点E ．当ADE 是等腰三角形时，BAD 的度数为______．5．（2021·福建省泉州实验中学八年级期中）如示意图，在△ABC 中，AC ＝BC ，AE ⊥BC 于点E ，过点B 作∠ABC 的角平分线BF 交AE 于G ，点D 是射线BF 上的一个动点，且点D 在△ABC 外部，连接AD ．∠C ＝2∠ADB ，当△ADG 为等腰三角形，则∠C 的度数为____________6．（2022·江西吉安·八年级期中）如图，O 是等边△ABC 内一点，连接OA ，OB ，OC ，100AOB ，BOC ，将△BOC 绕点C 顺时针旋转60°，得到△ADC ，连接OD ．若△AOD 是等腰三角形，则的度数为________．7．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠ABC =30°，D 、E 分别为BC 、AB 边上的动点，且∠ADE =45°，若△ADE 为等腰三角形，则∠DAC 的大小为______．易错点三三角形的形状不明时与高线及其他线结合没有分类讨论例题：若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50 ，则这个等腰三角形的底角的度数为（）A ．20B ．50 或70C ．70D ．20 或70 【变式训练】5．（2022·陕西·交大附中分校七年级期末）已知ABC 中，20B ，在AB 边上有一点D ，若CD 将ABC 分为两个等腰三角形，则A ________．6．（2021·江西育华学校八年级期末）已知△ABC 中，如果过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC 的关于点B 的二分割线．如图1，Rt △ABC 中，显然直线BD 是△ABC 的关于点B 的二分割线．在图2的△ABC 中，∠ABC ＝110°，若直线BD 是△ABC 的关于点B 的二分割线，则∠CDB 的度数是_____．。

等腰三角形知识点+经典例题

等腰三角形知识点+经典例题等腰三角形知识点+经典例题等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有两条边相等的性质。

在几何学中，等腰三角形有着独特的特点和应用。

本文将介绍等腰三角形的基本性质和解题技巧，并通过经典例题加深对该知识点的理解。

一、等腰三角形基本性质1. 两边相等：等腰三角形的两条边长相等，通常表示为AB = AC。

2. 两底角相等：等腰三角形的两个底角（即底边两侧的角）相等，通常表示为∠B = ∠C。

3. 对顶角平分底边：等腰三角形的对顶角（即顶点处的角）平分底边，即顶角的平分线与底边相等和垂直。

4. 底角是钝角：当等腰三角形的顶角大于90度时，底角为钝角。

二、等腰三角形的特殊性质1. 高线重合：等腰三角形的高线与底边重合，且高线上的高度等于底边的中线和中线的一半。

2. 内切圆：等腰三角形的内切圆与底边相切，且圆心在高线上。

3. 外接圆：等腰三角形的外接圆的圆心位于底边的中点，且外接圆的半径等于底边长度的一半。

三、等腰三角形的解题技巧1. 利用等腰三角形的两边相等性质，可在题目中找到相等的边长，进而推导其他角度和边长的关系。

2. 利用等腰三角形的两底角相等性质，可在题目中找到已知角度与未知角度的关系，从而推导解题过程。

3. 利用等腰三角形的对顶角平分底边性质，和底角是钝角的特点，可应用角平分线定理解题。

四、经典例题例题1：在等腰三角形ABC中，AB = AC = 6cm，∠B = 60°，求角A的度数和三角形的面积。

解析：由于AB = AC，可知三角形ABC是等腰三角形。

又∠B =∠C = 60°，由等腰三角形的两底角相等性质可得∠A = 180° - 2∠B = 60°。

三角形ABC的三个角度均为60°，是等边三角形。

根据等边三角形的性质，三角形ABC的面积为√3/4 * AB^2 = √3/4 * 6^2 = 9√3 cm^2。

例题2：在等腰三角形ABC中，AB = AC = 8cm，∠A = 100°，求顶角B的度数和三角形的周长。

等腰三角形的核心知识点精讲(讲义)-备战2024年中考数学一轮复习考点帮(全国通用)(解析版)

专题17等腰三角形的核心知识点精讲1．了解等腰三角形的有关概念，掌握其性质及判定．2．了解等边三角形的有关概念，掌握其性质及判定．3．掌握线段垂直平分线的性质及判定．考点1：等腰三角形的性质与判定考点2：等边三角形的性质与判定性质 1.等腰三角形的两个底角度数相等2.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（简写成“等腰三角形三线合一”）3.等腰三角形是轴对称图形，有2条对称轴判定 1.有两条边相等的三角形的等腰三角形2.有两个角相等的三角形是等腰三角形面积公式，其中a 是底边常，hs 是底边上的高性质 1.三条边相等2.三个内角相等，且每个内角都等于60°3.等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴判定 1.三条边都相等的三角形是等边三角形2.三个角相等的三角形是等边三角形3.有一个角的是60°的等腰三角形是等边三角形面积公式是等边三角形的边长，h 是任意边上的高考点3：线段垂直平分线（1）线段垂直平分线的作图1.分别以点A 、B 为圆心，以大于21AB 的长为半径作弧，两弧相交于C 、D 两点；2.作直线CD ，CD 为所求直线（2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.（3）判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上【题型1：等腰三角形的性质和判定】【典例1】（2022•宜昌）如图，在△ABC 中，分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ．作直线MN ，交AC 于点D ，交BC 于点E ，连接BD ．若AB ＝7，AC ＝12，BC ＝6，则△ABD 的周长为（）A ．25B ．22C ．19D ．18【答案】C 【解答】解：由题意可得，MN 垂直平分BC ，∴DB ＝DC ，∵△ABD 的周长是AB +BD +AD ，∴AB +BD +AD ＝AB +DC +AD ＝AB +AC ，∵AB ＝7，AC ＝12，∴AB +AC ＝19，∴△ABD 的周长是19，故选：C ．1.（2023•宿迁）若等腰三角形有一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角是（）A．70°B．45°C．35°D．50°【答案】C【解答】解：当等腰三角形的顶角为110°时，则它的底角＝＝35°，故选：C．2．（2023•菏泽）△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）2++|c﹣3|＝0，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等腰直角三角形【答案】D【解答】解：由题意得，解得，∵a2+b2＝c2，且a＝b，∴△ABC为等腰直角三角形，故选：D．3．（2022•温州）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）求证：∠EBD＝∠EDB．（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）CD＝ED，理由见解析．【解答】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠CBD＝∠EBD，∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠EDB，∴∠EBD＝∠EDB．（2）解：CD＝ED，理由如下：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴CD＝BE，由（1）得，∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，∴CD＝ED．【题型2：等边三角形的性质和判定】【典例2】（2023•金昌）如图，BD是等边△ABC的边AC上的高，以点D为圆心，DB长为半径作弧交B C的延长线于点E，则∠DEC＝（）A．20°B．25°C．30°D．35°【答案】C【解答】解：在等边△ABC中，∠ABC＝60°，∵BD是AC边上的高，∴BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABC＝30°，∵BD＝ED，∴∠DEC＝∠CBD＝30°，故选：C1．（2022•鞍山）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝40°，则∠1的度数为（）A．80°B．70°C．60°D．50°【答案】A【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，∵∠A+∠3+∠2＝180°，∴∠3＝180°﹣40°﹣60°＝80°，∵a∥b，∴∠1＝∠3＝80°．故选：A．2．（2022•张家界）如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝，则△AOB与△B OC的面积之和为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：将△AOB绕点B顺时针旋转60°得△CDB，连接OD，∴OB＝BD，∠OBD＝60°，CD＝OA＝2，∴△BOD是等边三角形，∴OD＝OB＝1，∵OD2+OC2＝12+（）2＝4，CD2＝22＝4，∴OD2+OC2＝CD2，∴∠DOC＝90°，+S△BCD＝S△BOD+S△COD＝×12+＝，∴△AOB与△BOC的面积之和为S△BOC故选：C．3．（2023•凉山州）如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A、B分别在两条射线OM、ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是1+．【答案】1+．【解答】解：取AB中点D，连OD，DC，∴OC≤OD+DC，当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值是OD+CD，∵△ABC为等边三角形，D为AB中点，∴BD＝1，BC＝2，∴CD＝＝，∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，∴OD＝AB＝1，∴OD+CD＝1+，即OC的最大值为1+．故答案为：1+．【题型3：线段的垂直平分线】【典例3】（2023•青海）如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．若AB＝5，AC＝8，则△ABD的周长是13．【答案】13．【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线．∴BD＝CD，∴AC＝AD+CD＝AD+BD，∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+AC＝5+8＝13，故答案为：13．1．（2023•吉林）如图，在△ABC中，AB＝AC．分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，作直线AD交BC于点E．若∠BAC＝110°，则∠BAE的大小为55度．【答案】55．【解答】解：∵AB＝AC．∴△ABC是等腰三角形，∵分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点D，作直线AD交BC于点E．∴AE垂直平分BC，∴AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE＝∠BAC＝55°．故答案为：55．2．（2023•丽水）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，∠B＝∠ADB．若A B＝4，则DC的长是4．【答案】4．【解答】解：∵∠B＝∠ADB，AB＝4，∴AD＝AB＝4，∵DE是AC的垂直平分线，∴DC＝AD＝4，故答案为：4．3．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC 于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是40°．【答案】40°．【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°，∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°，∴∠EAC＝∠C＝40°，故答案为：40°．一．选择题（共9小题）1．若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（）A．9B．7C．12D．9或12【答案】C【解答】解：（1）若2为腰长，5为底边长，由于2+2＜5，则三角形不存在；（2）若5为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为5+5+2＝12．故选：C．2．如图，AD是等边△ABC的一条中线，若在边AC上取一点E，使得AE＝AD，则∠EDC的度数为（）A．30°B．20°C．25°D．15°【答案】D【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD是等边△ABC的一条中线，∴AD⊥BC，∠CAD＝∠BAC＝30°，∵AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED，∵∠ADE+∠AED+∠CAD＝180°，∴∠ADE＝75°，∴∠EDC＝90°﹣75°＝15°，故选：D．3．如图，A、B、C表示三个居民小区，为了居民生活的方便，现准备建一个生活超市，使它到这三个居民小区的距离相等，那么生活超市应建在（）A．AB，AC两边中线的交点处B．AB，AC两边高线的交点处C．∠B与∠C这两个角的角平分线的交点处D．AB，AC两边的垂直平分线的交点处【答案】D【解答】解：∵生活超市到这三个居民小区的距离相等，∴生活超市应建在△ABC的三边的垂直平分线的交点处．故选：D．4．在△ABC中，若AB＝AC＝3，∠B＝60°，则BC的值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴BC＝AB＝3．故选：B．5．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F．若AB＝12，AC＝8，BC＝13，则△AEF的周长是（）A．15B．18C．20D．22【答案】C【解答】解：∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠EBD＝∠EDB，∴ED＝EB，同理可证得DF＝FC，∴AE+AF+EF＝AE+EB+AF+FC＝AB+AC＝20，即△AEF的周长为20，故选：C．6．如图，在△ABC中，AC＝10，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则BC的长为（）A．4B．6C．8D．10【答案】C【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴BD+CD＝AC＝10．∴BC＝△BDC的周长﹣（BD+CD）＝18﹣10＝8，故选：C．7．如图，在△ABC中，∠A＝90°，边AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，已知BE＝3，则B C长为（）A．5B．6C．7D．8【答案】B【解答】解：如图所示，连接AE，∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠B＝∠EAB，∵∠A＝90°，∴∠B+∠C＝90°，∠BAE+∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠C，∴EA＝EC，∴EC＝EB，∴BC＝BE+CE＝2BE＝6，故选：B．8．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点F，若∠BAC＝140°，则∠EAF的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°【答案】B【解答】解：∵∠BAC＝140°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝40°，∵AB的垂直平分线交BC于点E，AC的垂直平分线交BC于点F，∴EA＝EB，FA＝FC，∴∠B＝∠BAE，∠C＝∠FAC，∴∠BAE+∠FAC＝40°，∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）＝100°，故选：B．9．如图，P是等边△ABC的边AC的中点，E为BC边延长线上一点，PE＝PB，则∠CPE的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°【答案】C【解答】解：∵P是等边△ABC的边AC的中点，∴BP平分∠ABC，∠ABC＝60°＝∠ACB，∴∠PBC＝30°，∵PE＝PB，∴∠PBC＝∠E＝30°，∴∠CPE＝∠ACB﹣∠E＝30°，故选：C．二．填空题（共6小题）10．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝36°，DE是线段AB的垂直平分线，交AB于点D，交A C于点E，则∠EBC的度数是18度．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线∴AE＝BE∵∠C＝90°，∠A＝36°∴∠EBA＝∠A＝36°∴∠EBC＝90°﹣36°﹣36°＝18°．11．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC与点E，∠A＝∠ABE．若AC＝7，BC＝4，则BD的长为．【答案】．【解答】解：∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ECD，∵BE⊥CD，∴∠BDC＝∠EDC＝90°，∵CD＝CD，∴△BDC≌△EDC（ASA），∴BC＝CE＝4，BD＝DE，又∵∠A＝∠ABE，∴AE＝BE，∵AC＝7，BC＝4，∴AE＝AC﹣CE＝3，∴BE＝AE＝3，∴BD＝BE＝，故答案为：．12．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，则∠BAD＝30°．【答案】30．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＝∠ADB﹣∠B＝30°；故答案为30．13．如图，在边长为4的等边△ABC中，点P为BC边上任意一点，PE⊥AB于点，PF⊥AC于点F，则PE+PF的长度和为2．【答案】2．【解答】解：如图所示，连接AP，作CD⊥AB交AB于点D，＝S△ABP+S△ACP，则S△ABC即AB•CD＝AB•PE+AC•PF，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∴CD＝PE+PF，∵AB＝AC＝BC＝4，CD⊥AB，∴，∴，∴，故答案为：．14．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于点D．若BC＝9，AD＝5，则△ABD的面积为．【答案】．【解答】解：∵AB的垂直平分线交BC于点D，∴DB＝DA＝5，∴CD＝BC﹣BD＝9﹣5＝4，在Rt△ACD中，∵∠C＝90°，∴AC＝＝＝3，＝×5×3＝．∴S△ABD故答案为：．15．如图，过边长为4的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为2．【答案】见试题解答内容【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形，∴AP＝PF＝AF，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ．∵在△PFD和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD＝CD，∵AE＝EF，∴EF+FD＝AE+CD，∴AE+CD＝DE＝AC，∵AC＝4，∴DE＝．故答案为：2．三．解答题（共3小题）16．已知，如图，△ABC是等边三角形，D是边AC的中点，E是BC延长线上的一点，DB＝DE．求∠CD E的度数．【答案】30°．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵D是边AC的中点，∴，∵DB＝DE，∴∠E＝∠DBC，∴∠E＝30°，∵∠BCD＝60°，∴∠CDE＝∠BCD﹣∠E＝30°．17．图①中所示的遮阳伞，伞柄垂直于地面，其示意图如图②．当伞收紧时，点P与点A重合；当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动；当点P到达点B时，伞张得最开．已知伞在撑开的过程中，总有PM＝PN，CM＝CN．（1）求证：PC垂直平分MN；（2）若CN＝PN＝60cm，当∠CPN＝60°时，求AP的值．【答案】（1）见解析；（2）60cm．【解答】（1）证明：在△CMP和△CNP中，，∴△CMP≌△CNP（SSS），∴∠MPB＝∠NPB，∵PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形，∴PB⊥MN，BM＝BN，∴PC垂直平分MN；（2）解：∵CN＝PN＝60cm，∴当伞收紧时，点P与点A重合，∴AC＝CN+PN＝120cm，当∠CPN＝60°时，∵CN＝PN，∴△CPN是等边三角形，∴PC＝PN＝60cm，∴AP＝AC﹣PC＝60cm．18．如图，△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，垂足为D，且BD＝DE，连接AE．（1）求证：AB＝EC；（2）若△ABC的周长为20cm，AC＝7cm，则DC的长为多少？【答案】（1）见解析；（2）．【解答】（1）证明：∵EF垂直平分AC，∴AE＝EC，∵AD⊥BC，BD＝DE，∴AB＝AE，∴AB＝EC；（2）解：∵△ABC的周长为20cm，∴AB+BC+AC＝20cm，∵AC＝7cm，∴AB+BC＝13cm，∵AB＝EC，BD＝DE，∴AB+BD＝DE+EC＝DC，∵AB+BC＝AB+BD+DC＝2DC＝13cm∴．一．选择题（共5小题）1．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（）A．25°B．20°C．15°D．7.5°【答案】C【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°．∵∠ACB＝∠CGD+∠CDG，∴∠CGD+∠CDG＝60°．∵CG＝CD，∴∠CGD＝∠CDG＝30°．∵∠CDG＝∠DFE+∠E，∴∠DFE+∠E＝30°．∵DF＝DE，∴∠E＝∠DFE＝15°．故选：C．2．如图，用一张矩形纸片DEFG覆盖等边△ABC，且DG∥BC，若边AB被DG、EF三等分，则△ABC被覆盖（阴影部分）的面积是未被覆盖的面积的（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：如图：DG交AB于M，交AC于L，EF交AB于N，AC于K，∵DG∥BC，边AB被DG、EF三等分，∴△AML∽△ANK，△ABC∽△ANK，∴BP＝，，∴，，＝9a，设S△ABC＝a，S△ANK＝4a，则S△AML＝4a﹣a＝3a，∴S四边形MNKL∴未被覆盖的面积为：9a﹣3a＝6a，△A B C被覆盖（阴影部分）的面积是未被覆盖的面积，故选：A．3．如图，在等边三角形ABC中，AB＝AC＝BC＝10cm，DC＝4cm．如果点M，N都以2cm/s的速度运动，点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由点B向点A运动．它们同时出发，当两点运动时间为t秒时，△BMN是一个直角三角形，则t的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵点M、N都以2cm/s的速度运动则CM＝2t，BM＝10﹣2t，BN＝2t，当∠BMN＝90°时，∵三角形ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠BNM＝30°，∴BN＝2BM，即2t＝2×（10﹣2t），解得：，当∠BNM＝90°时，∵三角形ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∴∠BMN＝30°，∴BM＝2BN，即2×2t＝（10﹣2t），解得：，综上所述，t的值为或时，△BMN是一个直角三角形．故选：D．4．如图，在等边△ABC中，AB＝5，点D在AB上，且BD＝1，点E、F分别是BC、AC上的点，连接DE，EF，如果∠DEF＝60°，DE＝EF，那么BE的长是（）A．3B．3.5C．4D．4.5【答案】C【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝5，∵∠BEF＝∠C+∠EFC＝∠DEF+∠BED，∠DEF＝∠C＝60°，∴∠BED＝∠EFC，在△DBE和△ECF中，，∴△DBE≌△ECF（AAS），∴DB＝EC＝1，∴BE＝BC﹣EC＝5﹣1＝4．故选：C．5.如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为2cm2，则△PBC的面积为（）A．0.8cm2B．1cm2C．1.2cm2D．不能确定【答案】B【解答】解：如图，延长AP交BC于E，∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠EBP，∵AP⊥BP，∴∠APB＝∠EPB＝90°，∴△ABP≌△EBP（ASA），∴AP＝PE，＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，∴S△ABP＝S△ABC＝×2＝1（cm2），∴S△PBC故选：B．二．填空题（共4小题）6．如图，边长为5cm的正三角形ABC向右平移1cm，得到正三角形A'B'C'，此时阴影部分的周长为12 cm．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意得，△ABC为等边三角形，BC＝5cm，BB'＝1cm，∴B'C＝BC﹣BB'＝5﹣1＝4cm，且阴影部分为等边三角形，∴阴影部分的周长为3×4＝12cm，故答案为12．7．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点F在BC延长线上，且EB＝EF，若BD＝4，BF＝8，则线段DE的长为2．【答案】2．【解答】解：过E点作EH⊥BF，设DE＝x，∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC＝60°，∠AED＝∠ACB＝60°，∴△ADE是等边三角形，∵BD＝4，∴EC＝BD＝4，AB＝BC＝AC＝4+x，∠ACB＝60°，在Rt△CHE中，∵∠ACB＝60°，EC＝BD＝4，∴∠HEC＝180°﹣∠ACB﹣∠EHC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∴，∴BH＝BC﹣CH＝4+x﹣2＝2+x，∵EB＝EF，∴△EBF是等腰三角形，∵EH⊥BF，BF＝8，∴BH＝FH＝4，∴2+x＝4，∴x＝2，∴DE＝2．故答案为：2．8．如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AB于O，则：①DB＝AE；②∠AMC＝∠DNC；③△MCE是等腰三角形；④△MCN是等边三角形；⑤∠AOD＝60°．其中，正确的有①②④⑤．【答案】①②④⑤．【解答】解：△ACD和△BCE都是等边三角形，∴AC＝AD＝CD，CE＝CB＝BE，∠ACD＝∠DAC＝∠ADC＝60°＝∠BCE＝∠CBE＝∠CEB，∴∠DCE＝60°，∴∠ACE＝∠DCB＝120°，在△ACE和△DCB中，，∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝BD，∠EAC＝∠BDC，故①符合题意；∴∠AOD＝∠ACD＝60°，故⑤符合题意；在△ACM和△DCN中，，△ACM≌△DCN（ASA），∴AM＝DN，CM＝CN，∠AMC＝∠DNC，∴△MCN是等腰三角形；△MCN是等边三角形；故②④符合题意，综上：①②④⑤都符合题意．故答案为：①②④⑤．9．如图，四边形ABCD，AD＝1，，BC＝3，点E为AB的中点，连接DE、CE，使得∠DEA+∠CEB＝60°，则DC的最大值为．【答案】##．【解答】【详解】解：将△ADE沿DE翻折得到△MDE，将△BCE沿CE翻折得到△NCE，连接MN，由翻折可知：∠AED＝∠MED，∠BEC＝∠NEC，AD＝MD＝1，BC＝NC＝3，∵E是AB中点，，∴，∵∠DEA+∠CEB＝60°，∴∠AEM+∠BEN＝120°，∴∠MEN＝60°，∴△EMN是等边三角形，∴，∴CD≤DM+MN+CN，当D，M，N，C共线时，CD取得最大值为，故答案为：．三．解答题（共2小题）10．已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．（1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE＝DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE＝DB（填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．（3）【拓展结论，设计新题】在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）当E为AB的中点时，AE＝DB；（2）AE＝DB，理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F，证明：∵△ABC为等边三角形，∴△AEF为等边三角形，∴AE＝EF，BE＝CF，∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD，∵∠DEB＝60°﹣∠D，∠ECF＝60°﹣∠ECD，∴∠DEB＝∠ECF，在△DBE和△EFC中，，∴△DBE≌△EFC（SAS），∴DB＝EF，则AE＝DB；（3）点E在AB延长线上时，作EF∥AC，则△EFB为等边三角形，如图所示，同理可得△DBE≌△CFE，∵AB＝1，AE＝2，∴BE＝1，∵DB＝FC＝FB+BC＝2，则CD＝BC+DB＝3．故答案为：（1）＝；（2）＝11．如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动．（1）当点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是2cm/s，当Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）当它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t（s），则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？【答案】（1）△BPQ是等边三角形；（2）当t＝2s或t＝4s时，△PBQ是直角三角形．【解答】解：（1）如图，根据题意得：AP＝tcm，BQ＝2tcm，当t＝2时，AP＝2cm，BQ＝4cm，∵△ABC是边长为6cm的等边三角形，∴AB＝6cm，∠B＝60°，∴BP＝4cm，∴BP＝BQ，∴△BPQ是等边三角形；（2）△PBQ中，BP＝6﹣t，BQ＝t，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，①当∠BQP＝90°时，∠B＝60°，∴∠BPQ＝30°，∴BQ＝BP，即t＝，解得：t＝2；②当∠BPQ＝90°时，同理得：BP＝BQ，即6﹣t＝t，解得：t＝4，答：当t＝2s或t＝4s时，△PBQ是直角三角形．1．（2022•大连）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN．直线MN与AB相交于点D，连接CD，若AB＝3，则CD的长是（）A．6B．3C．1.5D．1【答案】C【解答】解：由已知可得，MN是线段AC的垂直平分线，设AC与MN的交点为E，∵∠ACB＝90°，MN垂直平分AC，∴∠AED＝∠ACB＝90°，AE＝CE，∴ED∥CB，∴△AED∽△ACB，∴，∴，∴AD＝AB，∴点D为AB的中点，∵AB＝3，∠ACB＝90°，∴CD＝AB＝1.5，故选：C．2．（2020•台州）如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F 沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是6．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点，∴EF＝2，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，又∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠DEF＝∠B＝60°，∠DFE＝∠C＝60°，∴△DEF是等边三角形，∴剪下的△DEF的周长是2×3＝6．故答案为：6．3.（2023•攀枝花）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交A C于点E，则∠EBC＝10°．【答案】10°．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠EBA＝∠A＝40°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠EBA＝50°﹣40°＝10°，故答案为：10°．。

人教版数学八年级上册教研专题讲义：等腰三角形的一条重要性质及应用

人教版数学八年级上册等腰三角形的一条重要性质及其应用等腰三角形是一种特殊的三角形，独特的性质是其特殊性的明显变现.下面的这条性质就是一个重要佐证.性质：平行于等腰三角形的一边，截三角形的两边或两边的延长线，所得三角形是等腰三角形. 推论：平行于等边三角形的一边，截三角形的两边或两边的延长线，所得三角形是等边三角形. 下面给出性质的证明：已知：如图1，△ABC中，AB=AC，DE∥AB，交AC边于点D，交BC边于点E.求证：△DEC是等腰三角形.分析：只要证明三角形中有两条边相等即可.证明:因为AB=AC，所以∠B=∠C.因为DE∥AB，所以∠B=∠DEC，所以∠DEC=∠C，所以DE=DC，所以△DEC是等腰三角形.当截延长线时，如图2，请你自己给出证明吧.比较容易的.推论的证明在这里不详细给出了.下面我们重要的是谈谈性质在解题中的应用.注意，构造平行线将是应用的主要辅助线.1.证明线段的相等例1 已知：如图3，△ABC中，AB=AC，点D是边AB上一点，点F是底边BC上一点，DF 的延长线于AC的延长线交于点E，若DF=EF.求证：BD=CE.分析：△ABC是等腰三角形，根据性质，我们有两种构造辅助线的方法：一是过点F作平行线，一是过点D作平行线，通过与已知条件的对接，发现方式1效果不明显，于是我们采用第二种方式，这样再利用三角形的全等，我们就可以顺利实现目标.证明：过点D作 DG∥AC，交BC于点G，因为AB=AC，所以∠B=∠ACB.因为DG∥AB，所以∠ACB=∠DGB，所以∠DGB=∠B，所以DB=DG.因为DG∥AB，所以∠GDF=∠CEF，∠DGF=∠ECF，在△DGF和△ECF中因为GDF CEFDGF ECFDF EF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以△DGF≌△ECF，所以CE=GD，因为GD=DB，所以DB=CE.例2 已知，如图4，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，EF=FD．求证：AD=CE．分析：作DG∥BC交AC于G，先证明△DFG≌△EFC，得出GD=CE，再证明△ADG是等边三角形，得出AD=GD，即可得出结论．证明：作DG∥BC交AC于G，如图4所示：则∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，因为△ABC是等边三角形，所以△ADG是等边三角形,所以DG=AD.因为DG∥BC，所以∠GDF=∠CEF，∠DGF=∠ECF，在△DGF和△ECF中因为GDF CEFDGF ECFDF EF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以△DGF≌△ECF，所以CE=GD，因为GD=AD，所以AD=CE.当平行线截三角形的两边延长线时，可以得到如下证明方法：证明：作E G∥AB交AC的延长线于G，如图5所示：则∠A=∠G，∠ACB=∠ECG，因为△ABC 是等边三角形，所以△ECG是等边三角形，所以EG=CE.因为EG∥AB，所以∠G=∠A，∠ADF=∠GEF，在△ADF和△GEF中因为G AGEF ADFEF DF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以△ADF≌△GEF，所以GE=AD，因为GE=CE，所以AD=CE.当我们学习了三角形的中位线定理后，还可以用如下的方法：证明：作E G∥AC交BA的延长线于G，如图6所示：则∠G=∠BAC，∠BEG=∠BCA，因为△ABC 是等边三角形，所以△BEG是等边三角形，所以BG=BE，所以BE-BC=BG-BC=BG-BA，所以CE=AG. 因为EG∥AC，DF=EF,所以AD=AG，因为AG=CE，所以AD=CE.此题也给我们还多的启示：保持其它条件不变，两组相等的线段互换一下，鄂伦当条件，条件当结论，能成立吗？不妨试一下：变式题：已知，如图4，点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E，AD=CE．求证：EF=FD．分析：作DG∥BC交AC于G，先证明△ADG是等边三角形，得出AD=GD，得出GD=CE，再证明△DFG≌△EFC，即可得出结论．证明：作DG∥BC交AC于G，如图4所示：则∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，因为△ABC是等边三角形，所以△ADG是等边三角形,所以DG=AD.因为AD=CE，所以GD=CE.因为DG∥BC，所以∠GDF=∠CEF，∠DGF=∠ECF，在△DGF和△ECF中因为GDF CEFDGF ECFDG CE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以△DGF≌△ECF，所以DF=EF.你还有更好的变式题吗？想一想.2.证明三角形全等，判定三角形的形状例3 已知，如图7，点D在等边三角形ABC的边AB上，将线段DB顺时针旋转60°，得到线段DE，延长ED交AC于点F.（1）连接AE,CD，求证：△ADE≌△DFC；（2）作EH∥DC交AB于G点,交BC于点H，判定△AEH的形状．分析：旋转60°，就是说∠EDG=∠ADF=∠B=60°，从而得到EF∥BC，可以利用性质了. 证明：（1）因为段DB顺时针旋转60°，得到线段DE，△ABC是等边三角形，所以∠EDG=∠ADF=∠B=60°，所以EF∥BC，所以△ADF是等边三角形，所以AD=DF.所以AB-AD=AC-AF，所以DB=CF，所以DE=CF.因为∠ADF=∠AFD=60°，所以∠ADE=∠DFC=120°.在△ADE和△DFC中因为AD DFADE DFCDE CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以△ADE≌△DFC.(2) △AEH是等边三角形.理由可能要用到平行四边形的性质，可以先试着理解.因为EF∥BC，EH∥DC，所以四边形EHCD是平行四边形，所以EH=CD，∠DEH=∠DCH.所以EH=AE, ∠AEH=∠AED+∠DEH=∠DCH+∠DCF=∠ACB=60°，所以△AEH是等边三角形.3.求三角形的周长例4 已知，如图8，△ABC中，BD平分∠ABC，且BD⊥AC，DE∥BC与AB交于点，BC=5,AC=4.求△ADE的周长.分析：条件：BD平分∠ABC，且BD⊥AC，可以断定三角形ABC是等腰三角形，结合条件DE∥BC可以判定三角形AED是等腰三角形，BED是等腰三角形，这样问题就解决了.解：因为BD平分∠ABC，且BD⊥AC，所以AB=BC，AD=CD.因为DE∥BC，所以AE=ED=EB，所以△ADE的周长为：AE+ED+AD=AE+EB=AD=AB+AD=BC+AD=BC+12AC=5+2=7.通过应用足以见证性质的重要性，请同学们要努力学习并熟练掌握.。

北师版初中八下数学期末复习重难突破一等腰三角形的判定与性质

7.如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，BD＝AD. （1）如图1，求∠A的度数；
（1）解：设∠ABD＝x°.
∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝x°.
∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝2x°.
∵BD＝AD，∴∠A＝∠ABD＝x°. 在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，
（2）求证：△ACF是等腰三角形.
（2）证明：∵E是AB的中点，AD＝BD， ∴DE⊥AB，即FE⊥AB，∴AF＝BF， ∴∠BAF＝∠ABF. ∵∠ABD＝∠BAD＝36°， ∴∠FAD＝∠FBD＝∠ABC－∠ABD＝36°. ∵∠ACB＝72°， ∴∠AFC＝∠ACB－∠CAF＝36°， ∴∠CAF＝∠AFC＝36°， ∴AC＝CF，∴△ACF是等腰三角形.
图1
图2
∴x＋2x＋2x＝180，解得x＝36，∴∠A＝36°.
（2）如图2，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF.求
证：AF＝AB＋BC.
（2）证明：∵E是AB的中点，BD＝AD，
∴EF是AB的垂直平分线，∴AF＝BF，∴∠FBA＝72°，∴∠FAB＝72°，∴∠AFB＝∠FAC＝36°，
期末复习
重难突破一等腰三角形的判定与性质
1.如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC于点D. （1）求∠ADC的度数；
（2）求证：DC＝2DB.
2.如图，在△ABD中，AB＝AD，AC平分∠BAD，交BD于点E. （1）求证：△BCD是等腰三角形；
（2）若∠ABD＝50°，∠BCD＝130°，求∠ABC的度数.
点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF.
（1）求∠BAC和∠ACB的度数；

初中数学专题复习资料-----等腰三角形

初中数学专题复习资料-----等腰三角形【知识梳理】知识点1：等腰三角形的性质定理1（1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）。

（2）符号语言：如图，在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C（3）定理的作用：证明同一个三角形中的两个角相等。

知识点2：等腰三角形性质定理2（1）文字语言：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合（简称“三线合一”）。

（2）符号语言：∵AB=AC ∵AB=AC ∵AB=AC∠1=∠ 2 AD⊥BC BD=DC∴AD⊥BC ∴∠1=∠2 ∴∠1=∠2BD=DC BD=DC AD⊥BC（3）定理的作用：可证明角相等，线段相等或垂直。

【注意】：在等腰三角形中经常添加辅助线，虽然“顶角的平分线，底边上的高、底边上的中线互相重合，如何添加要根据具体情况来定，作时只作一条，再根据性质得出另两条”。

知识点3：等腰三角形是以底边上的高（底边上的中线、或顶角平分线）所在直线为对称轴的轴对称图形。

知识点4：等腰三角形的判定定理（1）文字语言：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对等边”）（2）符号语言：在△ABC中∵∠B=∠C∴AB=AC（3）定理的作用：证明同一个三角形中的边相等。

说明：证明一个三角形是等腰三角形的方法有两种：1、利用定义 2、利用定理。

【典型例题分析】基础知识应用题：【例1】. 如图，已知P、Q是△ABC边BC上两点，且BP=PQ=AP=AQ=QC，求∠BAC的度数。

解答此类题的步骤如下：（1）利用等边对等角根据已知角的度数求另一个角的度数。

（2）利用三角形内角和定理，确定等量关系，借助等式或方程求解【例2】. 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E、F分别为AB，BC，AC上的点，且BD=CE，∠DEF=∠B。

求证：△DEF是等腰三角形。

【练习】1、某个等腰三角形的一个角为50，则它的顶角为；等腰三角形的一个角是另一个角的2倍,则这40,则这个等腰三角形的一个底角个等腰三角形的顶角等于；等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为0的度数为；等腰三角形中有一个角为52°，则它的一条腰上的高与底边的夹角为度。

2023学年八年级数学上册高分突破必练专题(人教版)-等腰三角形分类讨论问题综合应用(解析版)

等腰三角形分类讨论问题综合应用类型一：腰和底不明时需讨论类型二：顶角和底角不明时需讨论类型三：涉及中线高位置的讨论类型四：等腰三角形个数的讨论类型五：动点引起的分类讨论【考点1 腰和底不明时需分类】【典例1】等腰三角形的两边长分别为4和8 则这个等腰三角形的周长是（）A．20或16B．20C．16D．以上答案均不对【答案】B【解答】解：①若4是腰则另一腰也是4 底是8 但是4+4＝8 故不构成三角形舍去．②若4是底则腰是8 8．4+8＞8 符合条件．成立．故周长为：4+8+8＝20．故选：B【变式1-1】等腰三角形的一条边长为4cm另一条边长为6cm则它的周长是．【答案】14cm或16cm【解答】解：当4cm为腰时三边为4cm4cm6cm可以构成三角形∴周长为：4+4+6＝14（cm）；当6cm为腰时三边为为6cm6cm4cm可以构成三角形∴周长为：6+6+4＝16（cm）；综上周长为14cm或16cm．故答案为：14cm或16cm．【考点2 顶角和底角不明时需讨论】【典例2】等腰三角形的一个角是50°则它的底角是（）A．50°B．50°或65°C．80°D．65°【答案】B【解答】解：当底角为50°时则底角为50°当顶角为50°时由三角形内角和定理可求得底角为：65°所以底角为50°或65°故选：B．【变式2-1】等腰三角形的一个角是100°则其底角是（）A．40°B．100°C．80°D．100°或40°【答案】A【解答】解：当100°为顶角时其他两角都为40°40°当100°为底角时等腰三角形的两底角相等由三角形的内角和定理可知底角应小于90°故底角不能为100°所以等腰三角形的底角为40°40°．故选A（2020秋•慈溪市期中）已知在等腰△ABC中一个外角的度数为100°则【变式2-2】∠A的度数不能取的是（）A．20°B．50°C．60°D．80°【答案】C【解答】解：当100°的角是顶角的外角时顶角的度数为180°﹣100°＝80°另外两个角的度数都为50°；当100°的角是底角的外角时两个底角的度数都为180°﹣100°＝80°顶角的度数为180°﹣2×80°＝20°；故∠A的度数不能取的是60°．故选：C．【考点3 涉及中线高位置的讨论】【典例3】（2020秋•鄞州区期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°则顶角的度数为（）A．65°B．105°C．55°或105°D．65°或115°【答案】D【解答】解：①如图1 当等腰三角形的顶角是钝角时腰上的高在外部．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求得顶角是90°+25°＝115°；②如图2 当等腰三角形的顶角是锐角时腰上的高在其内部故顶角是90°﹣25°＝65°．故选：D．【变式3-1】（2021春•南海区校级月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于30°则这个等腰三角形的顶角等于（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°【答案】D【解答】解：当高在三角形内部时如图1∵∠ABD＝30°BD⊥AC∴∠A＝60°；∴顶角是60°；当高在三角形外部时如图2∵∠ABD＝30°BD⊥AC于D∴∠BAD＝60°∴∠BAC＝180°﹣60°＝120°∴顶角是120°．故选：D．【变式3-2】（2021春•浦东新区期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°那么这个等腰三角形的底角为．【答案】75°或15°【解答】解：根据题意得：AB＝AC BD⊥AC如图（1）∠ABD＝60°则∠A＝30°∴∠ABC＝∠C＝75°；如图（2）∠ABD＝60°∴∠BAD＝30°∴∠ABC＝∠C＝∠BAD＝15°．故这个等腰三角形的底角是：75°或15°．故答案为：75°或15°．【典例4】如图在△ABC中AB＝AC AC边上的中线BD把△ABC的周长分成12cm和15cm两部分求△ABC各边的长．【解答】解：∵BD是AC边上的中线∴AD＝CD＝AC∵AB＝AC∴AD＝CD＝AB设AD＝CD＝xcm BC＝ycm分两种情况：当时即解得：∴△ABC的各边长为8cm8cm11cm；当时即解得：∴△ABC的各边长为10cm10cm7cm；综上所述：△ABC各边的长为8cm8cm11cm或10cm10cm7cm．【变式4】（2021春•浦东新区期中）已知等腰三角形的底边长为6 一条腰上的中线把三角形的周长分为两部分其中一部分比另外一部分长2 则三角形的腰长是．【答案】8或4【解答】解：等腰三角形一条腰上的中线把三角形的周长分为两部分这两部分的差即是腰与底的差的绝对值∵其中一部分比另外一部分长2∴腰比底大2或底比腰大2∴腰为8或4．故答案为：8或4．【考点4 等腰三角形个数的讨论】【典例5】如图网格中的每个小正方形的顶点称作格点图中A B在格点上则图中满足△ABC为等腰三角形的格点C的个数为（）A．7B．8C．9D．10【答案】B【解答】解：如图所示：分三种情况：①以A为圆心AB长为半径画弧则圆弧经过的格点C1C2C3即为点C的位置；②以B为圆心AB长为半径画弧则圆弧经过的格点C3C4C5C6C7C8即为点C的位置；③作AB的垂直平分线垂直平分线没有经过格点；∴△ABC为等腰三角形的格点C的个数为：8故选：B．【变式5-1】如图△ABC中直线l是边AB的垂直平分线若直线l上存在点P使得△P AC△P AB均为等腰三角形则满足条件的点P的个数共有（）A．1B．3C．5D．7【答案】C【解答】解：分三种情况：如图：当AP＝AC时以A为圆心AC长为半径画圆交直线l于点P1P2当CA＝CP时以C为圆心CA长为半径画圆交直线l于点P3P4当P A＝PC时作AC的垂直平分线交直线l于点P5∵直线l是边AB的垂直平分线∴直线l上任意一点（与AB的交点除外）与AB构成的三角形均为等腰三角形∴满足条件的点P的个数共有5个故选：C．【变式5-2】如图已知Rt△ABC中∠C＝90°∠A＝30°在直线BC上取一点P使得△P AB是等腰三角形则符合条件的点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解答】解：分三种情况如图：∵∠ACB＝90°∠BAC＝30°∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝60°当BA＝BP时以B为圆形BA长为半径画圆交直线BC于P1P2两个点∵BA＝BP2∠ABC＝60°∴△ABP2是等边三角形∴AB＝BP2＝AP2当AB＝AP时以A为圆形AB长为半径画圆交直线BC于P2当P A＝PB时作AB的垂直平分线交直线BC于P2综上所述在直线BC上取一点P使得△P AB是等腰三角形则符合条件的点P有2个故选：B．【考点5 动点引起的分类】【典例6】如图所示在△ABC中AB＝AC＝2 ∠B＝40°点D在线段BC上运动（D 不与B C重合）连结AD作∠ADE＝40°DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝115°时∠BAD＝；点D从B向C运动时∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）．（2）当DC的长为多少时△ABD与△DCE全等？请说明理由．（3）在点D的运动过程中△ADE的形状也在改变请判断当∠BDA等于多少度时△ADE是等腰三角形．（直接写出结论不说明理由．）【解答】解：（1）∵∠B＝40°∠BDA＝115°∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝180°﹣115°﹣40°＝25°由图形可知∠BDA逐渐变小故答案为：25°；小；（2）当DC＝2时△ABD≌△DCE理由如下：∵AB＝2∴AB＝DC∵AB＝AC∴∠C＝∠B＝40°∴∠DEC+∠EDC＝140°∵∠ADE＝40°∴∠ADB+∠EDC＝140°∴∠ADB＝∠DEC在△ABD和△DCE中∴△ABD≌△DCE（AAS）；（3）当∠BDA的度数为110°或80°时△ADE是等腰三角形当DA＝DE时∠DAE＝∠DEA＝70°∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝70°+40°＝110°；当AD＝AE时∠AED＝∠ADE＝40°∴∠DAE＝100°此时点D与点B重合不合题意；当EA＝ED时∠EAD＝∠ADE＝40°∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝40°+40°＝80°综上所述当∠BDA的度数为110°或80°时△ADE是等腰三角形．【变式6】如图在△ABC中AB＝AC＝2 ∠B＝∠C＝40°点D在线段BC上运动（点D不与点B C重合）连接AD作∠ADE＝40°DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝110°时∠EDC＝°∠DEC＝°；点D从B向C的运动过程中∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时△ABD≌△DCE请说明理由；（3）在点D的运动过程中求∠BDA的度数为多少时△ADE是等腰三角形．【解答】解：（1）当∠BDA＝110°时∠EDC＝180°﹣110°﹣40°＝30°∴∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣C＝180°﹣30°﹣40°＝110°∵点D从B向C的运动过程中∠BAD逐渐变大∴∠BDA逐渐变小故答案为：30 110 小；（2）当DC＝2时△ABD≌△DCE理由如下∵∠ADC＝∠B+∠BAD∠ADC＝∠ADE+∠CDE∠B＝∠ADE＝40°∴∠BAD＝∠CDE∵AB＝CD＝2 ∠B＝∠C＝40°∴△ABD≌△DCE（ASA）；（3）若AD＝DE时∵AD＝DE∠ADE＝40°∴∠DEA＝∠DAE＝70°∵∠DEA＝∠C+∠EDC∴∠EDC＝30°∴∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣30°＝110°若AE＝DE时∵AE＝DE∠ADE＝40°∴∠ADE＝∠DAE＝40°∴∠AED＝100°∵∠DEA＝∠C+∠EDC∴∠EDC＝60°∴∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣60°＝80°由题意知AD＝AE不可能综上所述：当∠BDA＝80°或110°时△ADE的形状可以是等腰三角形．1．（2019秋•海安市期中）用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形若其中有一边的长为5cm则该等腰三角形的腰长为（）cm．A．5B．6.5C．5或6.5D．6.5或8【答案】C【解答】解：5cm是腰长时底边为18﹣5×2＝8∵5+5＞8∴5cm5cm8cm能组成三角形；5cm是底边时腰长为（18﹣5）＝6.5cm5cm 6.5cm 6.5cm能够组成三角形；综上所述它的腰长为6.5或5cm．故选：C．2．（2021•碑林区校级开学）若等腰三角形的一个内角比另一个内角大30°则这个等腰三角形的底角度数是（）A．50°B．80°C．50°或70°D．80°或40°【答案】C【解答】解：在△ABC中设∠A＝x∠B＝x+30°分情况讨论：当∠A＝∠C为底角时2x+（x+30°）＝180°解得x＝50°底角∠A＝50°；当∠B＝∠C为底角时2（x+30°）+x＝180°解得x＝40°底角∠B＝70°．故这个等腰三角形的底角的度数为50°或70°．故选：C．3．（2020秋•渝北区校级月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°则其底角为（）A．65°B．32.5°C．32.5°或57.5°D．32.5°或65°【答案】C【解答】解：①如图1 当等腰三角形的顶角是钝角时腰上的高在外部根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得顶角是90°+25°＝115°则其底角为（180°﹣115°）÷2＝32.5°；②如图2 当等腰三角形的顶角是锐角时腰上的高在其内部故顶角是90°﹣25°＝65°则其底角为（180°﹣65°）÷2＝57.5°．故选：C．4.（2021春•淮阳区校级期末）某等腰三角形的周长是21cm一条腰上的中线把其周长分成两部分的差为3cm该三角形的腰长是cm．【答案】8或6【解答】解：设等腰三角形的腰长是xcm底边长是ycm根据题意得或解得或∵8 8 5与6 6 9都能组成三角形∴该三角形的腰长为8cm或6cm．故答案是8或6．5．若△ABC中刚好有∠B＝2∠C则称此三角形为“可爱三角形”并且∠A称作“可爱角”．现有一个“可爱且等腰的三角形”那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是（）A．45°或36°B．72°或36°C．45°或72°D．45°或36°或72°【答案】C【解答】解：①设三角形底角为α顶角为2α则α+α+2α＝180°解得：α＝45°②设三角形的底角为2α顶角为α则2α+2α+α＝180°解得：α＝36°∴2α＝72°∴三角形的“可爱角”应该是45°或72°故选：C．6．如图所示的正方形网格中网格的交点称为格点已知A B是两格点如果C也是图中的格点且使得△ABC为等腰三角形则符合条件的点C的个数是（）A．9B．8C．7D．6【答案】B【解答】解：如图：分三种情况：当AB＝AC时以点A为圆心以AB长为半径作圆则点C1C2C3即为所求；当BA＝BC时以点B为圆心以BA长为半径作圆则点C4C5C6即为所求；当CA＝CB时作AB的垂直平分线则点C7C8即为所求；综上所述：符合条件的点C的个数是8故选：B．7．如图在△ABC中AB＝AC＝2 ∠B＝∠C＝40°点D在线段BC上运动（点D 不与点B C重合）连接AD作∠ADE＝40°DE交线段AC于点E．（1）点D从B向C的运动过程中∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）在点D的运动过程中当∠BDA的度数是时△ADE是等腰三角形．【解答】解：（1）点D从B向C的运动过程中∠BDA逐渐变小故答案为：小；（2）分三种情况：当AD＝AE时∴∠ADE＝∠AED＝40°∵∠AED是△DEC的外角∴∠AED＞∠C此种情况不存在当DA＝DE时∵∠ADE＝40°∴∠DAE＝∠DEA＝70°∵∠C＝40°∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝110°当EA＝ED时∴∠EAD＝∠ADE＝40°∵∠C＝40°∴∠BDA＝∠EAD+∠C＝80°综上所述：∠BDA的度数是110°或80°故答案为：110°或80°．8.（秋•宝应县期末）如图△ABC中AB＝AC＝2 ∠B＝∠C＝40°．点D在线段BC上运动（点D不与B C重合）连接AD作∠ADE＝40°DE交线段AC于E．（1）当∠BAD＝20°时∠EDC＝°；（2）当DC等于多少时△ABD≌△DCE？试说明理由；（3）△ADE能成为等腰三角形吗？若能请直接写出此时∠BAD的度数；若不能请说明理由．【答案】（1）20 （2）当DC＝2时△ABD≌△DCE（3）当∠BAD＝30°或60°时△ADE能成为等腰三角形【解答】解：（1）∵∠BAD＝20°∠B＝40°∴∠ADC＝60°∵∠ADE＝40°∴∠EDC＝60°﹣40°＝20°故答案为：20；（2）当DC＝2时△ABD≌△DCE；理由：∵∠ADE＝40°∠B＝40°又∵∠ADC＝∠B+∠BAD∠ADC＝∠ADE+∠EDC．∴∠BAD＝∠EDC．在△ABD和△DCE中．∴△ABD≌△DCE（ASA）；（3）能当∠BAD＝30°或60°时△ADE能成为等腰三角形．理由：①当∠BAD＝30°时∵∠B＝∠C＝40°∴∠BAC＝100°∵∠ADE＝40°∠BAD＝30°∴∠DAE＝70°∴∠AED＝180°﹣40°﹣70°＝70°∴DA＝DE∴△ADE为等腰三角形；②当∠BAD＝60°时∵∠B＝∠C＝40°∴∠BAC＝100°∵∠ADE＝40°∠BAD＝60°∠DAE＝40°∴EA＝ED∴△ADE为等腰三角形．综上所述当∠BAD＝30°或60°时△ADE能成为等腰三角形。

人教部初二八年级数学上册 13.3.1等腰三角形(1) 名师教学PPT课件

6、练一练
1.等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（ B ）
A．30°，60°
B．45°，45°
C．45°，90°
D．20°，70°
6、练一练
2.在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线与AC
所在的直线相交得的锐角为50°，则底角的大小为 __7_0_°__或__2_0_°_． A
A
角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线 .
总结归纳
性质1:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
如图,在△ABC中, ∵AB=AC(已知), ∴∠B=∠C(等边对等角).
A
B
C
性质2:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）.
如图,在△ABC中,
A
∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)， ∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. 1 2
【学习重点】等腰三角形性质的探索及应用．
【学习难点】等腰三角形性质的应用
一、情境引入
定义及相关概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
A
顶
角
腰
腰
底角
B
底角
C
底边
等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底
边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
二、新知探究
1、剪一剪
如图，把一张长方形的纸按图中的虚线对折,并剪去阴影部分,再把它展开,得△ABC.
（2）如何构造两个全等的三角形？
B
证明:在△ABC中,AB=AC,作底边BC的中线AD, D
C
在 △BAD 与△CAD 中
∵ AB=_A_C_，
BD=_C_D_， AD=_A_D_，

八年级上册数学等腰三角形知识点

八年级上册数学等腰三角形知识点等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有两条边长度相等的性质。

在八年级上学期的数学课程中，我们会学习等腰三角形的定义、性质以及相关的定理。

接下来，我将详细介绍和总结等腰三角形的知识点，以及如何应用它们解决问题。

首先，我们来定义等腰三角形。

等腰三角形是指至少有两条边长度相等的三角形。

在一个等腰三角形中，两条边称为等腰边，另一条边称为底边。

等腰三角形的顶角称为顶角或者顶点角，其余的两个角称为底角。

如果等腰三角形的底角是直角，则该三角形被称为直角等腰三角形。

接下来，我们来讨论等腰三角形的性质。

根据等腰三角形的定义，我们可以得出以下性质：1.两条等腰边的长度相等；2.两个底角的度数相等；3.顶角的度数与底角的度数和为180度；4.顶角的平分线也是底边的垂直平分线；5.顶角的平分线也是等腰三角形的对称轴；6.等腰三角形是轴对称的。

下面，我们来讨论等腰三角形的重要定理。

这些定理可以帮助我们更好地理解等腰三角形的性质和应用。

1.等腰三角形底角定理：等腰三角形的底角相等。

这个定理可以通过等腰三角形的定义直接得出。

当底角的度数相等时，两条边的长度必须相等。

2.等腰三角形顶角定理：等腰三角形的顶角等于底角的补角。

顶角的度数与底角的度数和为180度，这个定理可以根据角的补角性质得出。

3.等腰三角形的高定理：等腰三角形的高同时是顶角的平分线和底边垂直平分线。

这个定理说明了等腰三角形的高存在且为顶角的平分线和底边的垂直平分线。

它还说明了等腰三角形的两个底角相等。

4.等腰三角形的边中点连线定理：等腰三角形边的中点连线垂直于底边。

这个定理指出了等腰三角形的边的中点连线和底边垂直。

根据这个定理，我们可以在等腰三角形中通过连接等腰边的中点形成一个直角三角形。

除了这些定理外，我们还可以应用等腰三角形的性质解决一些问题。

1.使用等腰三角形的底角定理进行计算。

当已知等腰三角形的一些边长或角度时，我们可以使用等腰三角形的底角定理计算其余的边长或角度。

等腰三角形的特性及求解

等腰三角形的特性及求解等腰三角形是初中数学中常见的一个几何形状，它具有一些特殊的性质和求解方法。

在本文中，我将详细介绍等腰三角形的特性及如何求解等腰三角形的各个要素。

一、等腰三角形的特性等腰三角形是指两边长度相等的三角形。

它具有以下几个特性：1. 两底角相等：等腰三角形的两个底角（即底边两边所夹的角）相等。

这是因为等腰三角形的两边长度相等，根据三角形内角和定理可知，两个底角的和等于一个三角形的内角和，而等腰三角形的两个底角相等，所以它们的和也相等。

2. 顶角平分底边：等腰三角形的顶角（即顶边两边所夹的角）平分底边。

这是因为等腰三角形的两边长度相等，所以底边的中垂线也是等腰三角形的高，而高线平分底边。

3. 高线相等：等腰三角形的两条高线相等。

这是因为等腰三角形的两边长度相等，所以底边的中垂线也是等腰三角形的高，而两条高线都是底边的中垂线，所以它们相等。

二、求解等腰三角形的要素1. 已知底边和顶角求高线：如果已知等腰三角形的底边长度和顶角的大小，我们可以通过正弦定理来求解高线的长度。

设底边长度为a，顶角的大小为θ，高线的长度为h，则有sin(θ/2) = h/a，通过这个公式可以求解高线的长度。

2. 已知底边和高线求顶角：如果已知等腰三角形的底边长度和高线的长度，我们可以通过正弦定理来求解顶角的大小。

设底边长度为a，高线的长度为h，顶角的大小为θ，则有sin(θ/2) = h/a，通过这个公式可以求解顶角的大小。

3. 已知顶角和高线求底边：如果已知等腰三角形的顶角的大小和高线的长度，我们可以通过余弦定理来求解底边的长度。

设顶角的大小为θ，高线的长度为h，底边的长度为a，则有a^2 = h^2 + h^2 - 2h^2cosθ，通过这个公式可以求解底边的长度。

三、实际应用等腰三角形的特性和求解方法在实际生活中有很多应用。

例如，在建筑设计中，我们常常需要根据已知的底边长度和顶角的大小来确定建筑物的高度；在地理测量中，我们可以利用已知的底边长度和高线的长度来测量山的高度；在制作旗帜或标识牌时，我们可以利用等腰三角形的特性来设计出美观而稳定的形状。

等腰三角形学习(三)八年级数学(上册)人教版课堂教辅

∠BAD=∠CBE.
分求析证：: AABD=⊥ACB.C ∠ADC=90°
A
BE⊥AC ∠BEC=90°
∠BAD=∠CBE
E
要证：AB=AC ∠ABC=∠C
B
D
C
证明：∵AD⊥BC,BE⊥AC ,
∴∠ADC=∠BEC=90° ∴∠ABD+∠BAD=90°,
∠C+∠CBE=90°. ∵∠BAD=∠CBE, ∴∠ABD=∠C . ∴AB=AC.
垂足为G，且AD=AB，∠EDF=60°，其两边分别交边
AB，AC于点E和F.
(1) 求证：△ABD是等边三角形；
(2) 求证：BE=AF.
E
A F
G B
C
D
等腰三角形学习（三）八年级数学（上册）人教版课堂教辅
年级：八年级学科：数学上（人教版）
等腰三角形学习（三）
利用等腰三角形的判定和性质: (1)判断三角形形状; (2)计算三角形边长及角度; (3)证明几何图形中线段相等.
等腰三角形学习（三）
例如图,在△ABC中, AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,
AM=MN=AN
30°
B
E
C N 30°
F 30° 30°120° A
证明：连接MA和AN.
∵ 在△ABC中, AB=AC,∠A=120°,
∴∠B=∠C=30°.
∵ME垂直平分AB,NF垂直平分AC,
∴BM=AM,CN=AN.
∴ ∠BAM=∠B=30°, ∠NAC=∠C=30°.
M
30°
B
E
C N 30°
课后作业
1. 已知：如图，AC和BD相交于点O，AB//CD，OA=OB，求证：OC=OD.

初二上学期数学辅导知识：等腰三角形

初二上学期数学辅导知识：等腰三角形在学习新知识的同时，既要及时跟上老师步伐，也要及时复习巩固，知识点要及时总结，这是做其他练习必备的前提，下面为大家总结了初二上学期数学辅导知识，仔细阅读哦。

等腰三角形：有两条边相等的三角形叫等腰三角形.相等的两条边叫腰;两腰的夹角叫顶角;顶角所对的边叫底;腰与底的夹角叫底角。

等腰三角形性质：(1)具有一般三角形的边角关系(2)等边对等角;(3)底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合;(4)是轴对称图形，对称轴是顶角平分线;(5)底边小于腰长的两倍并且大于零，腰长大于底边的一半;(6)顶角等于180°减去底角的两倍;(7)顶角可以是锐角、直角、钝角，而底角只能是锐角.等腰三角形分类:可分为腰和底边不等的等腰三角形及等边三角形.等边三角形性质：①具备等腰三角形的一切性质。

②等边三角形三条边都相等，三个内角都相等并且每个都是60°。

5. 等腰三角形的判定：①利用定义;②等角对等边;等边三角形的判定：①利用定义：三边相等的三角形是等边三角形②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。

金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。

”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。

清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。

可见，“教师”一说是比较晚的事了。

如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。

辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。

含30°锐角的直角三角形边角关系:在直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半。

三角形边角的不等关系;长边对大角，短边对小角;大角对长边，小角对短边。

观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。

初二人教新资料等腰三角形教学设计

初二人教新资料等腰三角形教学设计何寨初级中学曹娟红【一】教材依据人教版八年级上册第十四章第14.3节【二】设计思想本课内容在初中数学教学中起着比较重要的作用，它是在探索了两个三角形全等的条件及轴对称性质的基础上进行的，进一步认识特殊的轴对称图形──等腰三角形。

教材通过学生对图形的观察，讨论及证明，得出等腰三角形的轴对称性，给出了等腰三角形的性质“等边对等角和三线合一”，这里“等边对等角是今后证明两角相等常用方法之一，而等腰三角形的“三线合一”是今后证明两条线段相等、两个角相等及两条直线互相垂直的重要依据。

本节内容既是前面知识的深化和应用，又是证明角相等、线段相等及两直线互相垂直的重要依据，具有承上启下的重要作用。

本节课主要运用学生的观察、动手操作能力，以全等三角形为理论依据，在合作交流中突破难点。

采用直观教学法和启发引导教学法，与学生实践操作、合作探究。

【三】教学目标1、知识与能力目标：①掌握等腰三角形的性质及其两个推论。

②运用等腰三角形的性质及其推论进行有关证明和计算。

2、过程与方法目标：①让学生体验等腰三角形是一个轴对称性图形。

②经历操作、发现、猜想、证明的过程，培养学生的逻辑思维能力。

3、情感目标：培养学生合作交流学习精神，使学生在解决问题的过程中体会与人合作的益处，并从中获得成功的喜悦。

【四】教学重点等腰三角形的性质定理及其证明【五】教学难点“三线合一”的理解及应用六、教学准备长方形纸片、剪刀、自制等腰三角形纸片七、教学过程〔一〕、创设情景，引入新知活动1：请同学们拿出昨天的家庭作业，教室巡回检查并提问：你们得到的是一个怎样的图形？教师询问班级后十几名学生回答，根据学生回答，板书：等腰三角形师生共同回顾：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。

(二〕合作交流，探索新知知识点一：等腰三角形的有关概念1：等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边。

2：两腰的夹角叫做顶角。

3：腰和底边的夹角叫做底角。