六年级最值问题教师版
六年级奥数专题经典 最值问题及答案
例1．
1.有9个同学要进行象棋比赛，他们准备分成两组，不同组的人相互之间只比赛一场，同组的人之间不
比赛。他们一共最多能比赛多少场？
2.直角三角形斜边长为10cm，求这个直角三角形面积的最大值。
3.一个边长为30的正方形，四个角减去四个正方形，剩下部分可以拼成一个无盖长方体，那么所得的
长方体容积最大是多少？
4.用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字（每个数字仅用一次）组成两个多位数，那么这两个多位
数的乘积最大是多少？
5.用1，3，5，7，9这5个数字组成一个三位数ABC和一个两位数DE，再用0，2，4，6，8这5个
⨯-⨯的计算结果的最大值。
数字组成一个三位数FGH和一个两位数IJ。求算式ABC DE FGH IJ
例2．
1.如图，用1×2和1×3两种规格的小长方形地板砖铺满5×8的地面，至少
需要地板砖多少块？
2. 国际象棋的皇后可以控制她所在的横线、竖线和斜线，图中一个皇后（图中五角星）就把整个3×3
的棋盘控制了。那么为了控制一个4×4的棋盘至少要放几个皇后？
3. 通过在表达式1÷2÷3中加括号，我们可以得到两个不同的值（1÷2）÷3＝61和1÷（2÷3）＝2
3，现在表达式1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8中加上括号，问我们所能得到的最大值是多少？
4. 把14分拆成几个自然数的和，再求出这些自然数的乘积，使得到的积尽可能大，这个乘积是多少？
请证明你的结论。
5. 在1，3，5，……99中选取k 个数，使得它们的和为1949，那么k 的最大值是多少？
6. A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、I 表示9个各不相同的不为零的自然数，这9个数排成一排，如果其中任
小学六年级奥数课件：最值问题
例8. A、B两人在沙漠中探险，他们 每天向沙漠深处走20千米，已知 每人最多可携带一个人24天的食 物和水，问：其中一人最远可深 入沙漠多少千米后返回出发地？
解析
24÷3=8（天) 24+8=32(天） 32÷2=16（天） 16×20=320（千米） 两人共同走8天后，一人将8天的水和食物给 另一人并携带8天的水和食物返回。则另一 人共用24+8=32天的水和食物去探险。最远 走16天后返回 ，所以最远可以深入沙漠320千米。
例7.8个互不相等的非零自然数的 和为56，如果去掉最大的数和 最小的数，那么剩下的数的和 为44。问剩下的数中，最小的 数是多少？
解析
8个不相同的非零自然数之和为56，平均数是56÷ 8=7， 2个数和为14。 去掉最大数和最小数的和44，大数和小数之和是 56-44=12 ，所有自然数在 1-12之间,即可能是:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 以上11个数中，8个数加起来和为56,并且和为12，小数和大数{只能是1 和11}， 44÷ 6=7……2 ,就是说其它的6个数平均为7点多, 2个数和为14的有：10和4， 9和5， 8和6 ，它们的和是42，比44少2 ， 把5 换7 即可，这8个数是：1 4 6 7 8 9 10 11。
例如：面积为64的长方形和正方形
8× 8=64
32× 2=64
最值问题题库
最值问题（题库）
六年级暑假：最值问题
一、学习目标
掌握小学类各种最值问题
二、知识点拨
(1)从极端情况入手
我们在分析某些数学问题时，不妨考虑一下把问题推向“极端”。因为当某一问题被推向“极端”后，往往能排除许多枝节问题的干扰，使问题的“本来面目”清楚地显露出来，从而使问题迅速获解。
(2)枚举比较
根据题目的要求，把可能的答案一一枚举出来，使题目的条件逐步缩小范围，筛选比较出题目的答案。
(3)分析推理
根据两个事物在某些属性上都相同，猜测它们在其他属性上也有可能相同的推理方法。
(4)构造
在寻求解题途径难以进展时，构造出新的式子或图形，往往可以取得出奇制胜的效果。
(5)应用求最大值和最小值的结论
和一定的两个数，差越小，积越大。
积一定的两个数，差越小，和越小。
三、教学建议
本讲重点是让学生体会加法和减法的意义，以及学习在面对错误时利用还原思想调整出正确答案的能力。那么针对这个目标，教师在选题时，可以根据班级学生的知识体系结构以及学习能力选择题目。其中类型一到类型六是必学的知识，建议可以只选每个类型的例题（练习可以根据班级情况适当选择），从简到难学习。注：本建议适合班级学生程度中等。
四、经典例题
[类型一]和一定差小积大、积一定差大和大
【例 1】把16拆成若干个自然数的和，要求这些自然数的乘积尽量大，应如何拆？
分析：拆数问题尽可能多的出现3，
解答：16÷3=5……1，所以16=3+3+3+3+3+4
【巩固提高1】将17分成若干个自然数的和，再求这些自然数的乘积，要使得到的乘积尽可能大，这个乘积是多少？A
小学六年级奥数 第十五章 最值问题
第十五章最值问题
知识要点
1.如果两个整数的和一定，那么这两个整数的差越小，它们的乘积越大。当两个数相等时，它们的乘积最大。
2.两个自然数的乘积一定时，两个自然数的差越小，这两个自然数的和也越小。
3.把一个数拆分成若干个自然数之和，如果要使这若干个自然数的乘积最大，那么这些自然数应全是2或3，且2的个数不超过2个。
典例巧解
例1 两个自然数的和是13，要使两个整数的乘积最大，这两个整数是多少？
点拨将两个自然数的和为13的所有情况都列出来，有以下7种情况：
13＝0＋13，0×13＝0； 13＝1＋12，1×12＝12；
13＝2＋11，11×2＝22； 13＝3＋10，3×10＝30；
13＝4＋9，4×9＝36； 13＝5＋8，5×8＝40；
13＝6＋7，6×7＝42。
由此可见，两个整数的和一定时，两个整数的差越小，它们的乘积越大。
解13÷2＝6……1，6×(6＋1)＝42。
答：这两个整数分别为6和7。
例2 比较下面两个乘积的大小。
A＝57128463×87596512 B＝57128470×87596505
点拨要比较A与B的大小，用计算的方法求积会很麻烦。仔细观察两组对应因数的大小，我们不难发现，两个因数的和是一定的，只要比较每组两个因数差的大小就可以了，差大的积反而小，差小的积反而大。
解 A组两个因数的差：87596512－57128463＝30468049，
B组两个因数的差：87596505－57128470＝30468035。
因为30468049＞30468035，所以B＞A。
例3 两个自然数的积是50，这两个自然数是什么值时，它们的和最小？
小学六年级奥数计算题及答案：最值问题
小学六年级奥数计算题及答案：最值问题
★这篇【小学六年级奥数计算题及答案：最值问题】，是特地为大家整理的，希望对大家有所帮助！
一把钥匙只能开一把锁.现在有4把钥匙4把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试( )次才能配好全部的钥匙和锁.
分析：第一把钥匙最坏的情况要试3次，把这把钥匙和这把锁拿出;剩下的3把锁和3把钥匙，最坏的情况要试2次，把这把钥匙和这把锁拿出;剩下的2把锁和2把钥匙，最坏的情况要试1次，把这把钥匙和这把锁拿出;剩下的1把锁和1把钥匙就不用试了.
解：3+2+1=6(次);
答：最多要试6次才能配好全部的钥匙和锁.
故答案为：6.
小学六年级奥数专题5. 最值问题
四初一奥数培训专题4：最值问题
四初一班姓名：；
例1 .如果2007a=b2,其中a,b为大于0的自然数，则a的最小值是
例2.将50拆成10个质数的和，要求其中最大的质数尽可能大，那么这个最大的质数是
例3.在1—2007的所有自然数中，挑选出一些数，使它们中的每一个数都不是另外一个数的倍数，而且不会出现对称数（如：22，303，1001），则至多能选出个数
例4若甲的身高和体重这两个数量中至少有一个比乙大，则称甲不亚于乙，在10个小伙子中如果某人不亚于其余9人，那么称之为棒小伙子，那么这10个小伙子中棒小伙子最多可以有个。
例5 学校购进作文类，奥数类，英语类，文艺类，科普类图书若干本，能够满足全校数百名学生没人从中任意借两本（同类书不能借两本），则至少有名学生中一定有两人所借的图书种类完全相同。
四初2018级数学竞赛班作业4
四初一班姓名：
1.六年级的几位同学合拍了一张照片，已知冲洗一张底片需要0.8元，洗一张照片需要0.35元，在每位同学得到一张照片，共用一张底片的前提下，平均每人分摊的钱不足0.5元，那么参加合影的人至少有多少个？
2.某邮局只有1.2元，0.8元，0.6元三种邮票，某人要邮寄一个包裹，其邮资为6.2元，若刚好贴满6.2元，则至少要贴多少张邮票？
3.四个人年龄之和是100岁，其中一个年龄正好是他们年龄的平均数，另外三个人的年龄最多相差7岁，最少相差2岁，求这四个人的年龄
4.现有分别写着1，2，3，4，5，6六个数字卡片各若干张，从中任取出2010张摆放成一行，然后从这一行卡片中任意取出相邻的两张卡片，让其数字相乘得到一个乘积，那么在这些乘积中至少有多少个相同？
六年级下册奥数最值问题全国通用
现在有1g、2g、5g、10g、20g的砝码各若干个，至少要用其中的多少个砝码才能用天平一次称出39g的味精？ a、b、c、d、e、f、g、h、i分别代表自然数1至9中的某一个，如果每一个圆环内的各数字之和都相等，求每一个圆环内的数字和的 最大值和最小值。
用0——9这十个数字组成5个两位数， 一张圆桌有12个座位，已有n个人按某种方式就座，当某人就座时，发现无论他坐在哪个座位，都将与已经就座的人为邻，则n的最小
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a、b、c、d、e、f、g、h、i分别代 表自然数1至9中的某一个，如果每一 个圆环内的各数字之和都相等，求每一 个圆环内的数字和的最大值和最小值。
a
bd c
e f
h g
i
你来当厂长
甲、乙两车间生产同一种成衣，但两 车间生产特长不同，甲每月用3/5的时 间生产上衣，2/5的时间生产裤子，每 月生产900套；乙每月用4/7的时间生 产上衣，3/7的时间生产裤子，每月生 产1200套。现在两车间联合起来生产， 尽量发挥各自特长多生产成衣，现在 比过去每月多生产多少套？
用其中的多少个砝码才能用天 一张圆桌有12个座位，已有n个人按某种方式就座，当某人就座时，发现无论他坐在哪个座位，都将与已经就座的人为邻，则n的最小
值是几？
用2—9这八个数字分别组成两个四位数，使这两个四位数的乘积最大。 求表面积最小的长方体的体积是多少？
六年级下册数学试题-奥数专题训练：组合最值人教版
组合最值
本讲主要学习解决3个问题：
1、一个数如何才能最大：
a：位数尽可能多
b：高位数字尽可能大
2、两个数和一定乘积如何最大：和一定，差值越小，乘积越大
3、两个数差如何最小：
a：最高位数字之差最小
b：其他位被减数尽可能小，减数尽可能大
小明和小强两人手里各拿着一张扑克牌，两个人的牌的点数之和刚好是10。请问两个人的点数之积最大可能是多少？
1. 1.
2个互不相同的自然数的和是17，它们的乘积最大可能是______？
2. 2.
3个自然数的和是19，它们的乘积最大可能是______？
3. 3.
3个连续奇数相乘，所得的乘积的个位数字最小可能是_______？
用22根长1厘米的火柴围成一个矩形，这个矩形的面积最大是多少？
1. 1.
用24根长1厘米的火柴围成一个矩形，这个矩形的面积最大是_____平方厘米？
2. 2.
某班有9个学生参加象棋比赛，将他们分成2组，其中同一组的人不比赛，而不同组的人之间都要进行一场比赛，那么如何分组才能使比赛进行的场数最多？比赛场数最多为______场？（回答比赛场数最多为______场）
3. 3.
3个连续偶数相乘，所得的乘积的个位数字最小可能是______？
一个自然数是由数字8和9组成的，它的任意相邻的两位都是可以看成两位数的，并且这些数字组成的两位数都不相同。问：满足这些条件的自然数最大是多少？
1. 1.
一个自然数是由数字6和8组成的，它的任意相邻的两位都是可以看成两位数的，并且这些数字组成的两位数都不相同。问：满足这些条件的自然数最大是______？
2. 2.
一个自然数是由数字0和9组成的，它的任意相邻的两位都是可以看成两位数的，并且这些数字组成的两位数都不相同，这里要注意的是不能出现09或者00这样的形式。问：满足这些条件的自然数最大是______？
六年级(最值问题)
最值问题
知识要点
1.如果两个整数的和一定，那么这两个整数的差越小，他们的乘积越大。当两
个数相等时，他们的乘积最大。
2.两个自然数的乘积一定时，两个自然数的差越小，这两个自然数的和越小。
3.把一个数拆分成若干个自然数之和，如果要使这若干个自然数的乘积最大，
那么这些自然数应全是2或3，且2的个数不超过2个。
例题
1.两个自然数的和是13，要使两个整数的乘积最大，这两个整数是多少？
2.比较下面两个乘积的大小
A=57128463×87596512 B=57128470×87596505
3.要砌一个面积是144平方米的猪圈，这个猪圈的围墙最少长多少米？
4.把17拆分成若干个自然数的和，怎样拆分才能使他们的乘积最大
5.已知长方体的长宽高均为整厘米数，相邻两个面的面积是180平方厘米和84
平方厘米，求表面积最小的长方体的体积
习题
1.甲乙两项工作，单独做，张需10小时完成甲工作，15小时完成乙工作。李
需8小时完成甲工作。20小时完成乙工作，两人合作完成这两项工作最少要多少小时？
2.把546分解成四个不同的自然数之积，这四个自然数的和最大是多少？
3.今有一队学生（300以内），如果每9人排一列，最后余下4个人，如果每7
人排一列，最后余下3人。问这对学生最少有多少人？最多有多少人？
4用铁丝扎一个长方体的模型，为了使长方体的体积恰好等于216立方厘米，长方体的长宽高格式多少厘米的时候用的铁丝最短？最短是多少？
5.把19拆成几个自然数的和才能使这些自然数的乘积最大？最大乘积是多少？
小升初必考专题：最值问题(讲义)-数学六年级下册-全国通用(含答案)
把一个自然数n 拆分成若干个自然数的和，怎样拆这些分拆数的乘积最大？
第一种情况：拆出的个数已指定
结论：这些数越接近乘积越大
第二种情况：拆出的个数随意
结论：多拆3，少拆2，不拆1
例3
各位数码是0、1或2，且能被225整除的最小自然数是多少？
例2
n 200820082008200808个能被11整除，那么，n 的最小值为多少？
例1
一个数的20倍减1能被153整除，这样的自然数中最小的是多少？
最值问题
测试题
1．从0，l ，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中选出5个不同的数字组成一个五位数，使它能被3，5，7，13整除，这个数最大是多少？
2．要用竹篱笆围一个面积为6400平方米的矩形养鸡场。如果每米篱笆要用去30千克毛竹，那么该怎样围，才能使毛竹最省？
3．
在六位数ABCDEF 中，不同的字母表示不同的数字，且满足A ，AB ，ABC ，ABCD ，ABCDE ，ABCDEF 依次能被2，3，5，7，11，13整除。则ABCDEF 的最小值是 ；已知当ABCDEF 取得最大值时0C =，6F =，那么ABCDEF 的最大值是________。
4．在8个不同约数的自然数中，最小的一个是____。
5．从0、1、2、4、5、7中，选出四个数，排列成能被2、3、5整除的四位数，其中最大的是_____。
6．有13个不同的自然数，它们的和是100。问其中偶数最多有多少个？最少有多少个？
例6
用1，3，5，7，9这5个数字组成一个三位数ABC 和一个两位数DE ，再用O ，2，4，6，8这5个数字组成一个三位数FGH 和一个两位数IJ 。求算式ABC ×DE －FGH ×IJ 的计算结果的最大值。
小学六年级奥数系列讲座：最值问题(含答案解析)
最值问题
内容概述
均值不等式，即和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小．各种求最大值或最小值的问题，解题时宜首先考虑起主要作用的量，如较高数位上的数值，有时局部调整和枚举各种可能情形也是必要的．
典型问题
2．有4袋糖块，其中任意3袋的总和都超过60块．那么这4袋糖块的总和最少有多少块?
【分析与解】 方法一：设这4袋为A、B、C、D，为使4袋糖块的总和最少，则每袋糖应尽量平均，有A、B、C袋糖有20、20、21块糖．
则当A、B、D三袋糖在一起时，为了满足条件，D袋糖不少于21块，验证A、B、C、D这4袋糖依次有20，20，2l，2l时满足条件，且总和最少．
这4袋糖的总和为20+20+21+21=82块．
方法二：设这4袋糖依次有a、b、c、d块糖，
有，①+②+③+④得：3（a+b+c+d）≥244,所以a+b+c+d≥81,因为
a+b+c+d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是82．
评注：不能把不等式列为，如果这样将①+②+③+④得到3(a+b+c+d)>240,a+b+c+d>80，因为a、b、c、d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是81.至于为什么会出现这种情况．如何避免,希望大家自己解决.
4．用1，3，5，7，9这5个数字组成一个三位数ABC和一个两位数DE，再用O，2，4，6，8这5个数字组成一个三位数FGH和一个两位数IJ．求算式ABC×DE-FGH×IJ的计算结果的最大值．
【分析与解】 为了使ABC×DE-FGH×IJ尽可能的大，ABC×DE尽可能的大，FGH×IJ尽可能的小．
小学数学6年级培优奥数讲义 第17讲 最大最小问题(教师版)
第17讲最大最小问题
教学目标
学会在题目中判断出限制条件；
学会分数知识的综合运用；
从题目限制条件中分析最大最小问题。
知识梳理
在日常生活中,人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最少”等问题,这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题,最终都可以归结成为:在一定范围内求最大值或最小值的问题,我们称这些问题为“最大最小问题”。
解答最大最小问题通常要用下面的方法:
1、枚举比较法。当题中给定的范围较小时,我们可以将可能出现的情形一一举出再比较；
2、着眼于极端情形,即充分运动已有知识和生活常识,一下子从“极端”情形入手,缩短解题过程。
人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题,最终都表现为数学上的极值问题,即小学阶段的最大最小问题。最大最小问题设计到的知识多,灵活性强,解题时要善于综合运用所学的各种知识。
典例分析
考点一:简单最大最小问题
例1、把1、2、3、…、16分别填进图中16个三角形里,使每边上7个小三角形内数的和相等。问这个和最大值是多少？
【解析】为了方便描述,我们把图中部分三角形注上字母,从图中可以看出:中心处D中填的数和三条边上的和没有关系,因此,应填最小的数1。而三个角上的a、b、c六个三角形中的数都被用过两次,所以要尽可能填大数,即填11——16。然后根据“三角形三边上7个小三角形内数的和相等”这一条件,就可以计算出这个和的最大值了。
(2＋3＋4＋…＋16＋11＋12＋13＋14＋15＋16)÷3=72
例2、有8个西瓜,它们的重量分别是2千克、3千克、4千克、4千克、5千克、6千克、8.5千克、10千克。把它们分成三堆,要使最重的一堆西瓜尽可能轻些,那么,最重的一堆应是多少千克？
人教版小学数学六年级教案第27讲最值问题
第二十七讲最值问题
最大和最小都是在某一固定范围内比较的结果.固定的范围就是一个定值，抓住这个“定值”就抓住了解题的关键.解决极值问题的策略，常常因题而异，归纳起来主要有以下四个“突破口”：
1、从极端情况入手；
2、从枚举比较入手；
3、由分析推理入手；
4、凭构造方程入手.
在算式2212366221
+⨯+÷-⨯-中适当添括号，使它的运算结果最大，并求它的最大值.
【解析】：运算尽量用乘法，且使被乘数尽可能最大，对于除法，应该尽量使除数最小，最好是1．
最大值为：()[]()
2212366221 412 36192
+⨯+÷-⨯-=⨯+=
（）．
1、将5、6、7、8、9、10六个数分别填入圆圈内，使三角形每条边上的和相等，这个和最大是多少？
2、把2-9分别填入下图圆圈内，使每个大圆上的五个数的和相等，并且最大.
沙场点兵
典型例题
知识宝典
将1，2，3，4，5，6，7这七个数分成两组，组成一个三位数和一个四位数，并使这两个数的乘积最大，那么这个三位数是多少？
【解析】：组数乘积最大坚持两个原则：
1．因数尽可能大；2．两个因数的差要尽可能小；由此求解
⨯=时最大
解：74265314846002
沙场点兵
1、把14拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，如何拆可以使乘积最大？
2、三个连续自然数，后面两个数的积与前面两个数的积之差是114.这三个数中最小的是多少？
30名选手参加数学竞赛，已知参赛者中任何10人里至少有1名男选手，那么男选手至少有多少人？
【解析】：30名学生参加数学竞赛，已知参赛者中任何10人里都至少有一名男生，如果30名学生中有10名女生，最差的情况是，选的10人中可能全为女生，则女生至多只能有9人，即男生至少有30921
六年级数学精讲 最值问题
最值问题
知识要点
1.如果两个整数的和一定，那么这两个整数的差越小，它们的乘积越大。当两个数相等时，它们的乘积最大。
2.两个自然数的乘积一定时，两个自然数的差越小，这两个自然数的和也越小。
3.把一个数拆分成若干个自然数之和，如果要使这若干个自然数的乘积最大，那么这些自然数应全是2或3，且2的个数不超过2个。
典例巧解
例1 两个自然数的和是13，要使两个整数的乘积最大，这两个整数是多少？
点拨将两个自然数的和为13的所有情况都列出来，有以下7种情况：
13＝0＋13，0×13＝0； 13＝1＋12，1×12＝12；
13＝2＋11，11×2＝22； 13＝3＋10，3×10＝30；
13＝4＋9，4×9＝36； 13＝5＋8，5×8＝40；
13＝6＋7，6×7＝42。
由此可见，两个整数的和一定时，两个整数的差越小，它们的乘积越大。
解13÷2＝6……1，6×(6＋1)＝42。
答：这两个整数分别为6和7。
例2 比较下面两个乘积的大小。
A＝57128463×87596512 B＝57128470×87596505
点拨要比较A与B的大小，用计算的方法求积会很麻烦。仔细观察两组对应因数的大小，我们不难发现，两个因数的和是一定的，只要比较每组两个因数差的大小就可以了，差大的积反而小，差小的积反而大。
解 A组两个因数的差：87596512－57128463＝30468049， B组两个因数的差：87596505－57128470＝30468035。
因为30468049＞30468035，所以B＞A。
例3 两个自然数的积是50，这两个自然数是什么值时，它们的和最小？
最值问题(六年级奥数题及答案)
最值问题
阶梯教室座位有10排，每排有16个座位，当有150个人就坐时，某些排坐着的人数就一样多．我们希望人数一样的排数尽可能少，则相同人数的至少有排．
解：至少有4排．
如果排人数各不相同，那么这10排最多分别坐16、15、1 4、13、……、7人，则最多坐16+15+14+13+12+11+10+9+8+7=1 15
（人）；
如果最多有2排人数相同，那么最多坐（16+15+14+13+12）×2＝140 （人）；
如果最多有3排人数一样，那么最多坐（16+15+14）×3+1 3＝148（人）；
如果最多有4排人数一样，那么最多坐（16+15）×4+14×2＝152（人）．
由于148<150<152 ，所以只有3排人数一样的话将不可能坐下 150个人，相同人数的至少有4排．
六年级奥数计数最值问题例题及答案
六年级奥数计数最值问题例题及答案
六年级奥数计数最值问题例题及答案
一把钥匙只能开一把锁.现在有4把钥匙4把锁，但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试()次才能配好全部的钥匙和锁.
分析：第一把钥匙最坏的情况要试3次，把这把钥匙和这把锁拿出;剩下的3把锁和3把钥匙，最坏的情况要试2次，把这把钥匙和这把锁拿出;剩下的2把锁和2把钥匙，最坏的'情况要试1次，把这把钥匙和这把锁拿出;剩下的1把锁和1把钥匙就不用试了.
解：3+2+1=6(次);
答：最多要试6次才能配好全部的钥匙和锁.
故答案为：6.
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内容概述
均值不等式，即和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小．各种求最大值或最小值的问题，解题时宜首先考虑起主要作用的量，如较高数位上的数值，有时局部调整和枚举各种可能情形也是必要的．
在日常生活中我们经常会遇到像下面这样的两类问题：
问题一：从A 地道B 地，可以乘火车，也可以乘汽车或乘轮船。一天中，火车有4班，汽车有3班，轮船有2班。那么从A 地道B 地共有多少种不同的走法？
问题二：从甲村到乙村有两条道路，从乙村去丙村有3条道路（如下图）。从甲村经乙村去丙村，共有多少种不同的走法？解决上述两类问题就是运用加法原理和乘法原理。
加法原理：为了完成一件事，有几类方法。第一类方法中有1m 种不同的方法，第二类方法中有2m 种不同的方法…….第n 类方法中有n m 种不同的方法。那么，完成这件事共有
12n N m m m =++⋅⋅⋅+种不同的方法。
乘法原理：为了完成一件事，需要n 个步骤。做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法……做第n 步有n m 种不同的方法。那么，完成这件事共有
12n N m m m =⨯⨯⋅⋅⋅⨯种不同的方法。
典型问题
2．有4袋糖块，其中任意3袋的总和都超过60块．那么这4袋糖块的总和最少有多少块?
【分析与解】 方法一：设这4袋为A 、B 、C 、D ，为使4袋糖块的总和最少，则每袋糖应尽量平均，有A 、B 、C 袋糖有20、20、21块糖．
第34讲 最值问题
则当A、B、D三袋糖在一起时，为了满足条件，D袋糖不少于21块，验证A、B、C、D 这4袋糖依次有20，20，2l，2l时满足条件，且总和最少．
这4袋糖的总和为20+20+21+21=82块．
方法二：设这4袋糖依次有a、b、c、d块糖，
有
61
61
61
61
a b c
a b d
a c d
b c d
++≥
⎧
⎪
++≥
⎪
⎨
++≥
⎪
⎪++≥
⎩
①
②
③
④
，①+②+③+④得：3（a+b+c+d）≥244,所以a+b+c+d≥81
1
3
,因为
a+b+c+d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是82．
评注：不能把不等式列为
a b c60
a+b+d60
a+c+d60
b+c+d60
++〉
⎧
⎪
〉
⎪
⎨
〉
⎪
⎪〉
⎩
①
②
③
④
，如果这样将①+②+③+④得到
3(a+b+c+d)>240,a+b+c+d>80，因为a、b、c、d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是81.至于为什么会出现这种情况．如何避免,希望大家自己解决.
4．用1，3，5，7，9这5个数字组成一个三位数ABC和一个两位数DE，再用O，2，4，6，8这5个数字组成一个三位数FGH和一个两位数IJ．求算式ABC×DE-FGH×IJ的计算结果的最大值．
【分析与解】为了使ABC×DE-FGH×IJ尽可能的大，ABC×DE尽可能的大，FGH×IJ 尽可能的小．
则ABC×DE最大时，两位数和三位数的最高位都最大，所以为7、9，然后为3、5，最后三位数的个位为1，并且还需这两个数尽可能的接近，所以这两个数为751，93．
则FGH×IJ最小时，最高位应尽可能的小，并且两个数的差要尽可能的大，应为468×20．
所以AB C×DE-FG H×IJ的最大值为751×93-468×20=60483．
评注：类似的还可以算出FGH×IJ-ABC×D E的最大值为640×82-379×15=46795．
6．将6，7，8，9，10按任意次序写在一圆周上，每相邻两数相乘，并将所得5个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少?
【分析与解】我们从对结果影响最大的数上人手，然后考虑次大的，所以我
们首先考虑10，为了让和数最小，10两边的数必须为6和7．
然后考虑9，9显然只能放到图中的位置，最后是8，8的位置有两个位置可放，而且也不能立即得到哪个位置的乘积和最小，所以我们两种情况都计算．
8×7+7×10+10×6+6×9+9×8=312;
9×7+7×10+10×6+6×8+8×9=313．
所以，最小值为312．
8．一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少?
【分析与解】设这个两位数为ab=lOa+b，它们的数字和为a+b,因为lOa+b=(a+b)+9a，所以lOa+b≡9a(mod a+b)，
设最大的余数为k，有9a≡k(mod a+b)．
特殊的当a+b为18时，有9a=k+18m，因为9a、18m均是9的倍数，那么k也应是9的倍数且小于除数18，即0，9，也就是说余数最大为9；
所以当除数a+b不为18，即最大为17时，
:余数最大为16，除数a+b只能是17，此时有9a=15+17m，有
m=7+9t
a=15+17t
⎧
⎨
⎩
(t
为可取0的自然数)，而a是一位数，显然不满足；
：余数其次为15，除数a+b只能是17或16，
除数a+b=17时，有9a=15+17m,有
m=6+9t
a=13+17t
⎧
⎨
⎩
,(t为可取0的自然数)，a是一位数，
显然也不满足；
除数a+b=16时，有9a=15+16m,有
m=3+9t
a=7+16t
⎧
⎨
⎩
(t为可取0的自然数)，因为a是一位数，
所以a只能取7，对应b为16-7=9，满足；
所以最大的余数为15，此时有两位数79÷(7+9)=4……15．