人教版九年级数学上册课件：24.3正多边形和圆作业本
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人教版九年级数学上册作业课件 第二十四章 圆 正多边形和圆 (2)
a，则正六
边形的面积为 6×21
×a×
3 2
a＝32 3
a2，正方
形的面积为 a×a＝a2，∴正六边形与正方形的面
(2积)易比得为O3F2＝3 Ea2F∶＝aF2＝G，3 ∴3 ∠∶O2GF＝12 (180°－60°－90°)＝15°
16．如图①，②，③，④，M，N分别是⊙O的内接正三角形ABC，正方 形ABCD，正五边形ABCDE，正n边形ABCDEF…的边AB，BC上的点，且 BM＝CN，连接OM，ON.
人教版
第二十四章 圆
24．3 正多边形和圆
1．各边_相__等__、各角也_相__等__的多边形是正多边形． 练习1：下列图形中是正多边形的是( D ) A．等腰三角形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
2．正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的_____，中外心接圆的 _____叫半做径正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多 边形的______中，心中角心到正多边形的一边的_____叫距做离正多边形的
(2)90° 72° (3)∠MON＝36n0°
(1)求图①中∠MON的度数； (2)图②中∠MON的度数是_9_0_°___，_ 图③中∠MON的度数是_7_2_°___；_ (3)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系．(直接写出答案)
解：(1)连接OA，OB，图略．∵正三角形ABC内接于⊙O，∴AB＝BC， ∠OAM＝∠OBN＝30°，∠AOB＝120°.∵BM＝CN，∴AM＝BN，又 ∵OA＝OB，∴△AOM≌△BON(SAS)，∴∠AOM＝∠BON，∴∠AOM＋ ∠BOM＝∠BON＋∠BOM，∴∠AOB＝∠MON＝120°
∠DEB＝72°，∴∠AME＝∠EAC，∴ME＝AE
人教版九年级上册2正多边形和圆人教版数学九年级上册课件
∵OM＝ OB2－BM2＝ 42－22＝ 12＝2 3(cm)， ∴S△OBC＝12BC·OM＝12×4×2 3＝4 3(cm2)． ∴正六边形的面积为 6×4 3＝24 3(cm2)．
课堂小结
正多边形
正多边形的定义与对称性
正多边形的有 关概念及性质
正多边形的 有关计算
①正多边形的内角
和=
(n 2)180
合作探究
问题3 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是 轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？
问题1
归纳 正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数 为偶数的正多边形才是中心对称图形.
合作探究
二 正多边形与圆的关系
问题引导
问题1 怎样把一个圆进行四等分？
问题2 依次连接各等分点，得到一个什么图形？
各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.
问题2 矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？
为什么？ 不是，因为矩形不符合各边相等；
不是，因为菱形不符合各角相等；
注意 正多边形
各边相等 各角相等
缺一不可
合作探究
问题3 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是 轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？
18,则它们的周长之比为
为 4﹕9 .
2﹕3
,面积之比
5.如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则 ∠BAD= 72° 。
6. 已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为
（ B ）。
A．1
B. 3
C. 2
D. 2 3
7.蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全
Hale Waihona Puke 相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，
课堂小结
正多边形
正多边形的定义与对称性
正多边形的有 关概念及性质
正多边形的 有关计算
①正多边形的内角
和=
(n 2)180
合作探究
问题3 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是 轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？
问题1
归纳 正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数 为偶数的正多边形才是中心对称图形.
合作探究
二 正多边形与圆的关系
问题引导
问题1 怎样把一个圆进行四等分？
问题2 依次连接各等分点，得到一个什么图形？
各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.
问题2 矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？
为什么？ 不是，因为矩形不符合各边相等；
不是，因为菱形不符合各角相等；
注意 正多边形
各边相等 各角相等
缺一不可
合作探究
问题3 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是 轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？
18,则它们的周长之比为
为 4﹕9 .
2﹕3
,面积之比
5.如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则 ∠BAD= 72° 。
6. 已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为
（ B ）。
A．1
B. 3
C. 2
D. 2 3
7.蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全
Hale Waihona Puke 相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，
人教版数学九年级上册24.3 正多边形和圆课件
E
新知探究
知识点2
正多边形的相关概念及计算
正多边形的中心:该正多边形的外接圆的圆心.
E
正多边形的半径:外接圆的半径.
正多边形的中心角:正多边形的每一条边
所对的圆心角.
D
半径R
F
正多边形的边心距：中心到正多边形的一
边的距离.
中心角
.
C
O
边心距r
A
B
新知探究
A
正多边形中的有关概念：
中心
半径
中心角
边心距
2
面积为4×4-(48-32 2)=(32 2-32)cm2.
2
1 4 48 32 2 cm2 .
2
新知探究
综合应用
6.如图，已知正五边形ABCDE中，BF与CM相交
于点P，CF=DM.
(1)求证：△BCF≌△CDM；
(2)求∠BPM的度数.
新知探究
(1)证明：在正五边形ABCDE中，
边数是偶数的正多边形还是
是对称中心.
中心对称图形
，它的中心就
新知探究
正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分
成相等的几段弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，
这个圆就是这个正多边形的外接圆.
A
B
E
O·
C
D
新知探究
我们以圆的接正五边形为例证明.
如图，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到正五边
过点O作OP⊥BC于P.
4
在Rt△OPB中，OB＝4 m, PB＝ 2 = 2=2（m）,
利用勾股定理，可得边心距 r = 42 − 2²=2 3 ,
人教版九年级数学上24.3正多边形和圆(共32张PPT)
24.3正多边形和圆
E
A
D
B
C
三条边相等，
四条边相等，
三个角相等
正三 角形
（60度）。
正方形
四个角相等 （900）。
一 .正多边形定义
各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.
二、说说下列多边形的名称
正五边形
正六边形
正八边形
1、正多边形的各边相等 2、正多边形的各角相等
3、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形 共有n条对称轴，每条对称轴都通过n边形 的中心。
E
D
一个正多边形的外接
圆的圆心.
正多边形的半径: 外接圆的半径
F
.半径R O
中心角
C
正多边形的中心角:
360
n
边心距r
正多边形的每一条
A
B
边所对的圆心角.
正多边形的边心距： 中心到正多边形的一边 的距离.
正多边形的周长= 正多边形的面积=
中心角 360
中心角 E
D
n
边心距把△AOB分成 F
2个全等的直角三角形
AOG BOG 180 n
.. O R
AG
C a
B
正n边形被相邻周半径长分为成L=na
___n___个全等的等腰三角
形.被边心距边分心成距__r_2_n个全R 2
等的直角三角形,
(1 2
a )2
设正多边形面的积S边长 为12 aar,n边心12距lr为r,半经为R.
1、O是正△ABC的中心，它是△ABC的_外__接__圆__ 与__内__切__圆___圆的圆心。
B
E
边形是正六边形。
C
E
A
D
B
C
三条边相等，
四条边相等，
三个角相等
正三 角形
（60度）。
正方形
四个角相等 （900）。
一 .正多边形定义
各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.
二、说说下列多边形的名称
正五边形
正六边形
正八边形
1、正多边形的各边相等 2、正多边形的各角相等
3、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形 共有n条对称轴，每条对称轴都通过n边形 的中心。
E
D
一个正多边形的外接
圆的圆心.
正多边形的半径: 外接圆的半径
F
.半径R O
中心角
C
正多边形的中心角:
360
n
边心距r
正多边形的每一条
A
B
边所对的圆心角.
正多边形的边心距： 中心到正多边形的一边 的距离.
正多边形的周长= 正多边形的面积=
中心角 360
中心角 E
D
n
边心距把△AOB分成 F
2个全等的直角三角形
AOG BOG 180 n
.. O R
AG
C a
B
正n边形被相邻周半径长分为成L=na
___n___个全等的等腰三角
形.被边心距边分心成距__r_2_n个全R 2
等的直角三角形,
(1 2
a )2
设正多边形面的积S边长 为12 aar,n边心12距lr为r,半经为R.
1、O是正△ABC的中心，它是△ABC的_外__接__圆__ 与__内__切__圆___圆的圆心。
B
E
边形是正六边形。
C
人教版数学九年级上册2正多边形和圆课件
）
6
3
6
4
A. 2
B.4
C. 3
D.3
8. 矩形是正多边形吗?菱形呢?正方形呢?为什么? 矩形不是正多边形，因为四条边不都相等;
菱形不是正多边形，因为菱形的四个角不都相等; 正方形是正多边形．因为四条边都相等，四个角都相等.
.O
的半径。
B
D
C
4．正八边形的每个内角是_1_3__5_°_度.
5．边长为6的正三角形的半径是___2__3___.
6．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则
∠CFD的度数是（ C ）
A. 60° B. 45° C. 30° D. 22.5°
当堂训练
7、同圆的内接正三角形与内接正方形的边长
的比是(
半径R
.
F 中心角O..
C
边心距r
当堂检测：
1、⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，弦AB的弦心距OF
叫正五边形ABCDE的
，它是正五边形ABCDE
的
圆的半径。
2、 ∠AOB叫做正五边形ABCDE的 角，度数是
D
E
D
E
C
.O
F .O C
A FB
AB
3、图中正六边形ABCDEF的中心角是
，度数是
4、正六边形ABCDEF的半径与边长具有什么数量 关系？为什么？
若将圆分成六、七等分，你的结论还成立吗？
E
弦相等（多边形的边相等）
A
D 弧相等
圆周角相等（多边形的角相等）
B
C
—多边形是正多边形
正多边形的中心:一个正多边形的外接圆的圆心.
正多边形的半径:外接圆的半径
正多边形的中心角:正多边形的每一条边所对的圆
正多边形和圆初中数学课件
如图②，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接八边形 ABCDEFGH.(不写作法，保留作图痕迹)
解：如图
10．如图，在⊙O 中，OA＝AB，OC⊥AB 交⊙O 于点 C，则下列结论错误 的是( D )
A．弦 AB 的长等于圆内接正六边形的边长 B．弦 AC 的长等于圆内接正十二边形的边长 C． AC ＝ BC D．∠BAC＝30°
n
(n 2) 180
n
中心角
120 ° 90 ° 60 °
360 n
外角
120 ° 90 ° 60 °
360 n
正多边形的外
角=中心角
A
F
中心
中心角
B
O半径R E
边心距r
C
D
合作探究
新知三 正多边形的有关计算
如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF：
①它的中心角等于 60 度 ；
② OC=BC (填＞、＜或＝）； F
正多边形的外接圆和内切圆的公
A
E
共圆心，叫作正多边形的中心.
B
R
外接圆的半径叫作正多边形的半
O
径.
G
H
r
DF
C
内切圆的半径叫作正多边形的边 心距.
正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中
心角.正多边形的每个中心角都等于
360 n
练一练 完成下面的表格：
正多 边形边数
3 4 6
内角
60 ° 90 ° 120 °
12．(2020·徐州)如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，O为正多边 形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为___1_0____．
13．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了 “割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面 积，设圆 O 的半径为 1，若用圆 O 的外切正六边形的面积来近似估计 圆 O 的面积，则 S＝_2___3__．(结果保留根号)
解：如图
10．如图，在⊙O 中，OA＝AB，OC⊥AB 交⊙O 于点 C，则下列结论错误 的是( D )
A．弦 AB 的长等于圆内接正六边形的边长 B．弦 AC 的长等于圆内接正十二边形的边长 C． AC ＝ BC D．∠BAC＝30°
n
(n 2) 180
n
中心角
120 ° 90 ° 60 °
360 n
外角
120 ° 90 ° 60 °
360 n
正多边形的外
角=中心角
A
F
中心
中心角
B
O半径R E
边心距r
C
D
合作探究
新知三 正多边形的有关计算
如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF：
①它的中心角等于 60 度 ；
② OC=BC (填＞、＜或＝）； F
正多边形的外接圆和内切圆的公
A
E
共圆心，叫作正多边形的中心.
B
R
外接圆的半径叫作正多边形的半
O
径.
G
H
r
DF
C
内切圆的半径叫作正多边形的边 心距.
正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中
心角.正多边形的每个中心角都等于
360 n
练一练 完成下面的表格：
正多 边形边数
3 4 6
内角
60 ° 90 ° 120 °
12．(2020·徐州)如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，O为正多边 形的中心，若∠ADB＝18°，则这个正多边形的边数为___1_0____．
13．刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了 “割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面 积，设圆 O 的半径为 1，若用圆 O 的外切正六边形的面积来近似估计 圆 O 的面积，则 S＝_2___3__．(结果保留根号)
人教版九年级数学上册课件：正多边形和圆作业本共33页
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁 形和圆作业本
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
人教版九年级数学上册课件：正多边形和圆作业本33页PPT
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
谢谢！
Hale Waihona Puke 36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
人教版九年级数学上册课件：正多边 形和圆作业本
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
人教版九年级数学上册课件：24.3正多边形和圆作业本
24.3 正多边形和圆
B 规律方法综合练
12．如图 24－3－6 所示，⊙O 的内接多边形的周长为 3，⊙O 的
外切多边形的周长为 3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是 ( C)
A. 6 B. 8 C. 10 D. 17
图 24－3－6
24.3 正多边形和圆
【解析】根据两点之间，线段最短可得圆的周长大于 3 而小于 3.4，选项
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
24.3 正多边形和圆
4．若正方形的边长为 6，则其内切圆半径的大小为( B )
A．3 2 B．3
C．6
D．6 2
24.3 正多边形和圆
在 Rt△OME 中，∵OE＝2 2，∠OEM＝12∠GEF＝30°，∴OM＝ 2，EM＝
OE2－OM2＝ 6，∴EF＝2 6.
24.3 正多边形和圆
17．如图 24－3－8，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，若⊙O 的内接 正三角形 ACE 的面积为 48 3，试求正六边形的周长．
图 24－3－8
故选 B.
24.3 正多边形和圆
15．2017·达州 以半径为 2 的圆的内接正三角形、正方形、
正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是( A )
A.
2 2
B.
3 2
C. 2
D. 3
24.3 正多边形和圆
【解析】如图①，∵OC＝2，∴OD＝1；
如图②，∵OB＝2，∴OE＝ 2；如图③，∵OA＝2，∴OD＝ 3，
的度数是( C ) A．60° B．45° C．30° D．22.5°
(人教版)九年级数学上册课件：24.3 正多边形和圆
24.3 正多边形和圆
（3）正三角形中，边心距∶半径∶高＝1∶2∶3；正方形 中，正方形的对角线等于其半径的 2 倍，边心距等于其边长的 一半；正六边形中，正六边形边长等于其半径.
24.3 正多边形和圆
探究问题二 画正多边形
例 2 已知⊙O 和⊙O 上的一点 A，如图 24－3－4 所示.
（1）作⊙O
叫做正多边形的中心角.正n边形的每个中心角都等于
360° n.
24.3 正多边形和圆
► 知识点三 正多边形的画法
基本原理：由于在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相
等，所对的弦相等，因此可以用等分圆心角的方法来等分圆
周， 画正多边形. 常用方法：（1）用 量角器 等分；（2）用 圆规
等分.
24.3 正多边形和圆
24.3 正多边形和圆
［归纳总结］ （1）注意掌握正六边形和正四边形的尺规作图 法；（2）本例可作为正十二边形的尺规作图法；（3）求⊙O 内接正n边形的边数，可转化为求其任一边所对的圆心角的度数.
的内接正方形
ABCD
和内接正六边形 ︵
AEFCGH；
（2）在（1）题所作的图中，如果点 E 在劣弧AB上，试证明
EB 是⊙O 内接正十二边形的一边.
图24－3－4
24.3 正多边形和圆
［解析］ （1）根据正四边形和正六边形的作图方法分别作 出⊙O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH；
（2）通过计算EB所对的圆心角的度数来证明. 解：（1）在⊙O中，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径 AC和BD，连接AB，BC，CD，DA，得⊙O的内接正方形 ABCD（图24－3－5）；按正六边形的作法用直尺和圆规在 ⊙O中作出正六边形AEFCGH.
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9．2017·资阳 边长相等的正五边形和正六边形如图 24－3－4
所示拼接在一起，则∠ABC＝___2_4____°.
图 24－3－4
1 【解析】正六边形的一个内角＝6×(6－2)×180°＝120°，正五边形的一
1 个内角＝5×(5－2)×180°＝108°，∴∠BAC＝360°－(120°＋108°)＝132°. ∵两个正多边形的边长相等，即 AB＝AC，∴∠ABC＝21×(180°－132°)＝24°.
在 Rt△OME 中，∵OE＝2 2，∠OEM＝12∠GEF＝30°，∴OM＝ 2，EM＝
OE2－OM2＝ 6，∴EF＝2 6.
24.3 正多边形和圆
17．如图 24－3－8，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，若⊙O 的内接 正三角形 ACE 的面积为 48 3，试求正六边形的周长．
图 24－3－8
24.3 正多边形和圆
知识点 2 与正多边形有关的计算
3．如果一个正多边形的中心角为 72°，那么这个正多边形的边数
是( B )
A．4
B．5
C．6
D．7
【解析】设这个正多边形为正 n 边形，由题意可知 72n＝360，解得 n＝5.
故选 B.
24.3 正多边形和圆
4．若正方形的边长为 6，则其内切圆半径的大小为( B )
＝60°＋54°＝114°.综上所述，可知选 D.
24.3 正多边形和圆
14．若等腰直角三角形的外接圆半径的长为 2，则其内切圆半
径的长为( B )
A. 2
B．2 2－2
C．2－ 2
D. 2－1
24.3 正多边形和圆
【解析】∵等腰直角三角形的外接圆半径为 2，∴此直角三角形的斜边长为 4，两条直角边的长均为 2 2.如图，根据三角形内切圆的性质可得 CD＝CE＝r， AD＝BE＝AO＝BO＝2 2－r，∴AB＝AO＋BO＝4 2－2r＝4，解得 r＝2 2－2.
24.3 正多边形和圆
6．如图 24－3－2 所示，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，则∠ADB
的度数是( C ) A．60° B．45° C．30° D．22.5°
图 24－3－2
【解析】连接 OB，则∠AOB＝60°，∴∠ADB＝12∠AOB＝30°.
24.3 正多边形和圆
7．正八边形的中心角等于___4_5____度．
(1)求图①中∠MON 的度数； (2)图②中，∠MON 的度数是________，图③中∠MON 的度数是
________；
(3)试探究∠MON 的度数与正 n 边形的边数 n 的关系(直接写出
答案)．
24.3 正多边形和圆
解：(1)方法一：如图①，连接 OB，OC.
图① ∵正三角形 ABC 内接于⊙O，∴∠OBM＝∠OCN＝30°，∠BOC＝120°. 又∵BM＝CN，OB＝OC， ∴△OBM≌△OCN，∴∠BOM＝∠CON，∴∠MON＝∠BOC＝120°.
中只有 C 满足要求．
24.3 正多边形和圆
13．若 AB 是⊙O 内接正五边形的一边，AC 是⊙O 内接正六边
形的一边，则∠BAC 等于( D )
A．120°
B．6°
C．114°
D．114°或 6°
24.3 正多边形和圆
【解析】分两种情况考虑：(1)如图①所示，∵AB 是⊙O 内接正五边形的 一边，∴∠AOB＝3650°＝72°.∵AC 是⊙O 内接正六边形的一边，∴∠AOC＝ 3660°＝60°，∴∠BOC＝72°－60°＝12°，∴∠BAC＝12∠BOC＝6°.(2)如图 ②所示，∠AOB＝72°，∠AOC＝60°，∴∠OAB＝54°，∠OAC＝60°，∴∠BAC
24.3 正多边形和圆
B 规律方法综合练
12．如图 24－3－6 所示，⊙O 的内接多边形的周长为 3，⊙O 的
外切多边形的周长为 3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是 ( C)
A. 6 B. 8 C. 10 D. 17
图 24－3－6
24.3 正多边形和圆
【解析】根据两点之间，线段最短可得圆的周长大于 3 而小于 3.4，选项
24.3 正多边形和圆
8．将一个边长为 1 的正八边形补成如图 24－3－3 所示的正方形， 这个正方形的边长等于___1＋___2__．(结果保留根号)
图 24－3－3
2 【解析】如图，∵△BDE 是等腰直角三角形，BE＝1，∴BD＝ 2 ， ∴正方形的边长等于 AB＋2BD＝1＋ 2.
24.3 正多边形和圆
图 24－3－7
24.3 正多边形和圆
【解析】连接 AC，OE，OF，作 OM⊥EF 于点 M. ∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB＝BC＝4，∠ABC＝90°， ∴AC 是⊙O 的直径，AC＝4 2，∴OE＝OF＝2 2. ∵OM⊥EF，∴EM＝MF.∵△EFG 是等边三角形，∴∠GEF＝60°.
24.3 正多边形和圆
方法二：如图②，连接 OA，OB.
图② ∵正三角形 ABC 内接于⊙O，∴AB＝BC，∠OAM＝∠OBN＝30°，∠AOB＝120°. ∵BM＝CN，∴AM＝BN.又∵OA＝OB，∴△AOM≌△BON， ∴∠AOM＝∠BON，∴∠MON＝∠AOB＝120°. (2)90° 72° (3)∠MON＝36n0°.
24.3 正多边形和圆
C新拓知广梳探理究创新练 18．如图 24－3－9①②③④，M，N 分别是⊙O 的内接正三角形 ABC，
正方形 ABCD，正五边形 ABCDE，…，正 n 边形 ABCDEFG…的边 AB，BC 上的点，且 BM＝CN，连接 OM，ON.
图 24－3－9
24.3 正多边形和圆2．如图 24－3－1 所示，已知△ABC 是⊙O 的内接等腰三 角形，顶角∠BAC＝36°，弦 BD，CE 分别平分∠ABC，∠ACB. 求证：五边形 AEBCD 是正五边形．
图 24－3－1
24.3 正多边形和圆
证明：∵△ABC 是等腰三角形，且∠BAC＝36°， ∴∠ABC＝∠ACB＝72°. 又∵BD 平分∠ABC，CE 平分∠ACB， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠BCE＝∠ACE＝36°， 即∠BAC＝∠ABD＝∠CBD＝∠BCE＝∠ACE， ∴B︵C＝︵ AD＝︵ CD＝B︵E＝A︵E， ∴A，E，B，C，D 是⊙O 的五等分点， ∴五边形 AEBCD 是正五边形．
则该三角形的三边长分别为 1， 2， 3.
∵12＋( 2)2＝( 3)2，∴该三角形是直角三角形，
1 ∴该三角形的面积是2×1×
2＝
2 2 .故选
A.
24.3 正多边形和圆
16．2016·威海 如图 24－3－7，正方形 ABCD 内接于⊙O，其边 长为 4，则⊙O 的内接正三角形 EFG 的边长为___2__6___．
第二十四章 圆
第二十四章 圆
24.3 正多边形和圆
A 知识要点分类练 B 规律方法综合练 C 拓广探究创新练
24.3 正多边形和圆
A 知识要点分类练
知识点 1 正多边形与圆的关系
1．如果一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，那么这个四
边形一定是( C )
A．矩形
B．菱形
C．正方形
D．不能确定
【解析】只有正多边形的外接圆与内切圆才是同心圆，故这个四边形是正方
24.3 正多边形和圆
知识点 3 与正多边形有关的作图
11．已知⊙O 和⊙O 上的一点 A，作⊙O 的内接正方形和内接正 六边形(点 A 为正方形和正六边形的顶点)．
24.3 正多边形和圆
解：如图所示．
作法：①作直径 AC； ②作直径 BD⊥AC，依次连接 AB，BC，CD，DA，则四边形 ABCD 是⊙O 的内接 正方形； ③分别以点 A，C 为圆心，OA 的长为半径画弧，交⊙O 于点 E，H 和 F，G，顺 次连接 AE，EF，FC，CG，GH，HA，则六边形 AEFCGH 为⊙O 的内接正六边形．
24.3 正多边形和圆
解：如图，连接 OA，作 OH⊥AC 于点 H，则∠OAH＝30°.
在 Rt△OAH 中，设 OA＝R，则 OH＝12R，
由勾股定理可得 AH＝ OA2－OH2＝ R2－（12R）2＝12 3R. 而△ACE 的面积是△OAH 面积的 6 倍，即 6×12×12 3R×12R ＝48 3，解得 R＝8， 即正六边形的边长为 8，所以正六边形的周长为 48.
24.3 正多边形和圆
10．如图 24－3－5，已知正五边形 ABCDE，M 是 CD 的中点，连 接 AC，BE，AM.
求证：(1)AC＝BE；(2)AM⊥CD.
图 24－3－5
24.3 正多边形和圆
证明：(1)由五边形 ABCDE 是正五边形，得 AB＝AE，∠ABC＝∠BAE，AB＝BC， ∴△ABC≌△EAB，∴AC＝BE. (2)连接 AD，由五边形 ABCDE 是正五边形，得 AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝ ED， ∴△ABC≌△AED， ∴AC＝AD. 又∵M 是 CD 的中点， ∴AM⊥CD.
故选 B.
24.3 正多边形和圆
15．2017·达州 以半径为 2 的圆的内接正三角形、正方形、
正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是( A )
2 A. 2
3 B. 2
C. 2
D. 3
24.3 正多边形和圆
【解析】如图①，∵OC＝2，∴OD＝1；
如图②，∵OB＝2，∴OE＝ 2；如图③，∵OA＝2，∴OD＝ 3，
A．3 2 B．3
C．6
D．6 2
24.3 正多边形和圆
5．2016·南平 若正六边形的半径为 4，则它的边长等于( A ) A．4 B．2 C．2 3 D．4 3
【解析】正六边形的中心角为 360°÷6＝60°，那么外接圆的半径和正六边 形的边组成一个等边三角形．因为正六边形的外接圆半径等于 4，所以正六边形 的边长等于 4.
所示拼接在一起，则∠ABC＝___2_4____°.
图 24－3－4
1 【解析】正六边形的一个内角＝6×(6－2)×180°＝120°，正五边形的一
1 个内角＝5×(5－2)×180°＝108°，∴∠BAC＝360°－(120°＋108°)＝132°. ∵两个正多边形的边长相等，即 AB＝AC，∴∠ABC＝21×(180°－132°)＝24°.
在 Rt△OME 中，∵OE＝2 2，∠OEM＝12∠GEF＝30°，∴OM＝ 2，EM＝
OE2－OM2＝ 6，∴EF＝2 6.
24.3 正多边形和圆
17．如图 24－3－8，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，若⊙O 的内接 正三角形 ACE 的面积为 48 3，试求正六边形的周长．
图 24－3－8
24.3 正多边形和圆
知识点 2 与正多边形有关的计算
3．如果一个正多边形的中心角为 72°，那么这个正多边形的边数
是( B )
A．4
B．5
C．6
D．7
【解析】设这个正多边形为正 n 边形，由题意可知 72n＝360，解得 n＝5.
故选 B.
24.3 正多边形和圆
4．若正方形的边长为 6，则其内切圆半径的大小为( B )
＝60°＋54°＝114°.综上所述，可知选 D.
24.3 正多边形和圆
14．若等腰直角三角形的外接圆半径的长为 2，则其内切圆半
径的长为( B )
A. 2
B．2 2－2
C．2－ 2
D. 2－1
24.3 正多边形和圆
【解析】∵等腰直角三角形的外接圆半径为 2，∴此直角三角形的斜边长为 4，两条直角边的长均为 2 2.如图，根据三角形内切圆的性质可得 CD＝CE＝r， AD＝BE＝AO＝BO＝2 2－r，∴AB＝AO＋BO＝4 2－2r＝4，解得 r＝2 2－2.
24.3 正多边形和圆
6．如图 24－3－2 所示，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，则∠ADB
的度数是( C ) A．60° B．45° C．30° D．22.5°
图 24－3－2
【解析】连接 OB，则∠AOB＝60°，∴∠ADB＝12∠AOB＝30°.
24.3 正多边形和圆
7．正八边形的中心角等于___4_5____度．
(1)求图①中∠MON 的度数； (2)图②中，∠MON 的度数是________，图③中∠MON 的度数是
________；
(3)试探究∠MON 的度数与正 n 边形的边数 n 的关系(直接写出
答案)．
24.3 正多边形和圆
解：(1)方法一：如图①，连接 OB，OC.
图① ∵正三角形 ABC 内接于⊙O，∴∠OBM＝∠OCN＝30°，∠BOC＝120°. 又∵BM＝CN，OB＝OC， ∴△OBM≌△OCN，∴∠BOM＝∠CON，∴∠MON＝∠BOC＝120°.
中只有 C 满足要求．
24.3 正多边形和圆
13．若 AB 是⊙O 内接正五边形的一边，AC 是⊙O 内接正六边
形的一边，则∠BAC 等于( D )
A．120°
B．6°
C．114°
D．114°或 6°
24.3 正多边形和圆
【解析】分两种情况考虑：(1)如图①所示，∵AB 是⊙O 内接正五边形的 一边，∴∠AOB＝3650°＝72°.∵AC 是⊙O 内接正六边形的一边，∴∠AOC＝ 3660°＝60°，∴∠BOC＝72°－60°＝12°，∴∠BAC＝12∠BOC＝6°.(2)如图 ②所示，∠AOB＝72°，∠AOC＝60°，∴∠OAB＝54°，∠OAC＝60°，∴∠BAC
24.3 正多边形和圆
B 规律方法综合练
12．如图 24－3－6 所示，⊙O 的内接多边形的周长为 3，⊙O 的
外切多边形的周长为 3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是 ( C)
A. 6 B. 8 C. 10 D. 17
图 24－3－6
24.3 正多边形和圆
【解析】根据两点之间，线段最短可得圆的周长大于 3 而小于 3.4，选项
24.3 正多边形和圆
8．将一个边长为 1 的正八边形补成如图 24－3－3 所示的正方形， 这个正方形的边长等于___1＋___2__．(结果保留根号)
图 24－3－3
2 【解析】如图，∵△BDE 是等腰直角三角形，BE＝1，∴BD＝ 2 ， ∴正方形的边长等于 AB＋2BD＝1＋ 2.
24.3 正多边形和圆
图 24－3－7
24.3 正多边形和圆
【解析】连接 AC，OE，OF，作 OM⊥EF 于点 M. ∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB＝BC＝4，∠ABC＝90°， ∴AC 是⊙O 的直径，AC＝4 2，∴OE＝OF＝2 2. ∵OM⊥EF，∴EM＝MF.∵△EFG 是等边三角形，∴∠GEF＝60°.
24.3 正多边形和圆
方法二：如图②，连接 OA，OB.
图② ∵正三角形 ABC 内接于⊙O，∴AB＝BC，∠OAM＝∠OBN＝30°，∠AOB＝120°. ∵BM＝CN，∴AM＝BN.又∵OA＝OB，∴△AOM≌△BON， ∴∠AOM＝∠BON，∴∠MON＝∠AOB＝120°. (2)90° 72° (3)∠MON＝36n0°.
24.3 正多边形和圆
C新拓知广梳探理究创新练 18．如图 24－3－9①②③④，M，N 分别是⊙O 的内接正三角形 ABC，
正方形 ABCD，正五边形 ABCDE，…，正 n 边形 ABCDEFG…的边 AB，BC 上的点，且 BM＝CN，连接 OM，ON.
图 24－3－9
24.3 正多边形和圆2．如图 24－3－1 所示，已知△ABC 是⊙O 的内接等腰三 角形，顶角∠BAC＝36°，弦 BD，CE 分别平分∠ABC，∠ACB. 求证：五边形 AEBCD 是正五边形．
图 24－3－1
24.3 正多边形和圆
证明：∵△ABC 是等腰三角形，且∠BAC＝36°， ∴∠ABC＝∠ACB＝72°. 又∵BD 平分∠ABC，CE 平分∠ACB， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠BCE＝∠ACE＝36°， 即∠BAC＝∠ABD＝∠CBD＝∠BCE＝∠ACE， ∴B︵C＝︵ AD＝︵ CD＝B︵E＝A︵E， ∴A，E，B，C，D 是⊙O 的五等分点， ∴五边形 AEBCD 是正五边形．
则该三角形的三边长分别为 1， 2， 3.
∵12＋( 2)2＝( 3)2，∴该三角形是直角三角形，
1 ∴该三角形的面积是2×1×
2＝
2 2 .故选
A.
24.3 正多边形和圆
16．2016·威海 如图 24－3－7，正方形 ABCD 内接于⊙O，其边 长为 4，则⊙O 的内接正三角形 EFG 的边长为___2__6___．
第二十四章 圆
第二十四章 圆
24.3 正多边形和圆
A 知识要点分类练 B 规律方法综合练 C 拓广探究创新练
24.3 正多边形和圆
A 知识要点分类练
知识点 1 正多边形与圆的关系
1．如果一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆，那么这个四
边形一定是( C )
A．矩形
B．菱形
C．正方形
D．不能确定
【解析】只有正多边形的外接圆与内切圆才是同心圆，故这个四边形是正方
24.3 正多边形和圆
知识点 3 与正多边形有关的作图
11．已知⊙O 和⊙O 上的一点 A，作⊙O 的内接正方形和内接正 六边形(点 A 为正方形和正六边形的顶点)．
24.3 正多边形和圆
解：如图所示．
作法：①作直径 AC； ②作直径 BD⊥AC，依次连接 AB，BC，CD，DA，则四边形 ABCD 是⊙O 的内接 正方形； ③分别以点 A，C 为圆心，OA 的长为半径画弧，交⊙O 于点 E，H 和 F，G，顺 次连接 AE，EF，FC，CG，GH，HA，则六边形 AEFCGH 为⊙O 的内接正六边形．
24.3 正多边形和圆
解：如图，连接 OA，作 OH⊥AC 于点 H，则∠OAH＝30°.
在 Rt△OAH 中，设 OA＝R，则 OH＝12R，
由勾股定理可得 AH＝ OA2－OH2＝ R2－（12R）2＝12 3R. 而△ACE 的面积是△OAH 面积的 6 倍，即 6×12×12 3R×12R ＝48 3，解得 R＝8， 即正六边形的边长为 8，所以正六边形的周长为 48.
24.3 正多边形和圆
10．如图 24－3－5，已知正五边形 ABCDE，M 是 CD 的中点，连 接 AC，BE，AM.
求证：(1)AC＝BE；(2)AM⊥CD.
图 24－3－5
24.3 正多边形和圆
证明：(1)由五边形 ABCDE 是正五边形，得 AB＝AE，∠ABC＝∠BAE，AB＝BC， ∴△ABC≌△EAB，∴AC＝BE. (2)连接 AD，由五边形 ABCDE 是正五边形，得 AB＝AE，∠ABC＝∠AED，BC＝ ED， ∴△ABC≌△AED， ∴AC＝AD. 又∵M 是 CD 的中点， ∴AM⊥CD.
故选 B.
24.3 正多边形和圆
15．2017·达州 以半径为 2 的圆的内接正三角形、正方形、
正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是( A )
2 A. 2
3 B. 2
C. 2
D. 3
24.3 正多边形和圆
【解析】如图①，∵OC＝2，∴OD＝1；
如图②，∵OB＝2，∴OE＝ 2；如图③，∵OA＝2，∴OD＝ 3，
A．3 2 B．3
C．6
D．6 2
24.3 正多边形和圆
5．2016·南平 若正六边形的半径为 4，则它的边长等于( A ) A．4 B．2 C．2 3 D．4 3
【解析】正六边形的中心角为 360°÷6＝60°，那么外接圆的半径和正六边 形的边组成一个等边三角形．因为正六边形的外接圆半径等于 4，所以正六边形 的边长等于 4.