九年级数学第一学期期末试卷(二十四)附答案
九年级数学上册第二十四章圆典型例题(带答案)
九年级数学上册第二十四章圆典型例题单选题1、如图,在⊙O中,CD是直径,AB是弦,AB⊥CD于E,AB=8,OD=5,则CE的长为()A.4B.2C.√2D.1答案:B分析:连接OA,如图,先根据垂径定理得到AE=BE=4,再利用勾股定理计算出OE=3,然后计算OC﹣OE即可.解:连接OA,如图,∵AB⊥CD,∴AE=BE=1AB=4,2在Rt△OAE中,OE=√OA2−AE2=√52−42=3,∴CE=OC﹣OE=5﹣3=2.故选:B.小提示:本题考查了垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.也考查了勾股定理,掌握垂径定理是解题的关键.2、已知⊙O的半径为3,OA=5,则点A和⊙O的位置关系是()A.点A在圆上B.点A在圆外C.点A在圆内D.不确定答案:B分析:根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断,OA小于半径则在圆内,OA等于半径则在圆上,OA大于半径则在圆外.解:∵⊙O的半径为3,OA=5,即A与点O的距离大于圆的半径,所以点A与⊙O外.故选:B.小提示:本题考查了点与圆的位置关系:点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系,反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.3、如图,AB是⊙O的直径,OD垂直于弦AC于点D,DO的延长线交⊙O于点E.若AC=4√2,DE=4,则BC的长是()A.1B.√2C.2D.4答案:C分析:根据垂径定理求出OD的长,再根据中位线求出BC=2OD即可.设OD=x,则OE=OA=DE-OD=4-x.∵AB是⊙O的直径,OD垂直于弦AC于点,AC=4√2∴AD =DC =12AC =2√2 ∴OD 是△ABC 的中位线∴BC =2OD∵OA 2=OD 2+AD 2∴(4−x)2=x 2+(2√2)2,解得x =1∴BC =2OD =2x =2故选:C小提示:本题考查垂径定理、中位线的性质,根据垂径定理结合勾股定理求出OD 的长是解题的关键.4、如图,CD 是⊙O 的直径,弦AB ⊥CD 于点E ,则下列结论不一定成立的是( )A .AE =BEB .OE =DEC .AC⌢=BC ⌢D .AD ⌢=BD ⌢ 答案:B分析:根据垂径定理即可判断.解:∵CD 是⊙O 的直径,弦AB ⊥CD 于点E ,∴AE =EB ,AC⌢=BC ⌢, AD ⌢=BD ⌢. 故选:B .小提示:本题主要考查垂径定理,掌握垂径定理是解题的关键.5、斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋线”,是根据斐波那契数列1,1,2,3,5,…画出来的螺旋曲线.如图,在每个边长为1的小正方形组成的网格中,阴影部分是依次在以1,1,2,3,5的一个四分之一圆做圆锥的侧面,则该圆锥的底面半径为( )A .54B .2C .52D .4答案:A分析:根据斐波那契数的规律,求出下一个圆弧的底面半径和弧长,结合圆锥的侧面积性质进行求解即可. 解:有根据斐波那契数的规律可知,从第三项起,每一个数都是前面两个数之和,即半径为5的扇形对应的弧长l =2π×5×14=52π设圆锥底面半径为r ,则2πr =52π ∴r =54故选:A .小提示:本题考查圆锥侧面积的计算,结合斐波那契数的规律,及扇形的弧长公式进行转化是解题关键.6、如图,正五边形ABCDE 和正三角形AMN 都是⊙O 的内接多边形,则∠BOM 的度数是( )A .36°B .45°C .48°D .60°答案:C分析:如图,连接AO .利用正多边形的性质求出∠AOM ,∠AOB ,可得结论.解:如图,连接AO.∵△AMN是等边三角形,∴∠ANM=60°,∴∠AOM=2∠ANM=120°,∵ABCDE是正五边形,=72°,∴∠AOB=360°5∴∠BOM=120°−72°=48°.故选:C.小提示:本题考查正多边形与圆,等边三角形的性质,圆周角定理等知识,解题的关键是熟练掌握正多边形的性质,属于中考常考题型.7、如图,斗笠是一种遮挡阳光和蔽雨的编结帽,它可近似看成一个圆锥,已知该斗笠的侧面积为550πcm2,AB是斗笠的母线,长为25cm,AO为斗笠的高,BC为斗笠末端各点所在圆的直径,则OC的值为()A.22B.23C.24D.25答案:A分析:根据圆锥的侧面积和母线可得底面圆的周长,进而可得底面圆的半径.解:∵侧面积为550π cm2,母线长为25cm,∴1×l×25=550π解得l=44π,2∵2πr=44π,∴OC=r=22,故选:A.小提示:本题考查圆锥的计算,根据侧面积和母线得到底面圆的半径是解题关键.8、如图,正五边形ABCDE内接于⊙O,则正五边形中心角∠COD的度数是()A.76°B.72°C.60°D.36°答案:B计算即可.分析:根据正多边形的中心角的计算公式:360°n解:∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形,∴五边形ABCDE的中心角∠COD的度数为360°=72°,5故选:B.小提示:本题考查的是正多边形和圆,掌握正多边形的中心角的计算公式:360°是解题的关键.n9、如图,公园内有一个半径为18米的圆形草坪,从A地走到B地有观赏路(劣弧AB)和便民路(线段AB).已知A、B是圆上的点,O为圆心,∠AOB=120°,小强从A走到B,走便民路比走观赏路少走()米.A .6π−6√3B .6π−9√3C .12π−9√3D .12π−18√3答案:D分析:作OC ⊥AB 于C ,如图,根据垂径定理得到AC =BC ,再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠A ,从而得到OC 和AC ,可得AB ,然后利用弧长公式计算出AB⌢的长,最后求它们的差即可. 解:作OC ⊥AB 于C ,如图,则AC =BC ,∵OA =OB ,∴∠A =∠B =12(180°-∠AOB )=30°, 在Rt △AOC 中,OC =12OA =9, AC =√182−92=9√3,∴AB =2AC =18√3,又∵AB ⌢=120×π×18180=12π,∴走便民路比走观赏路少走12π−18√3米,故选D .小提示:本题考查了垂径定理:垂径定理和勾股定理相结合,构造直角三角形,可解决计算弦长、半径、弦心距等问题.10、在锐角△ABC中,∠ACB=60°,∠BAC、∠ABC的角平分线AD、BE交于点M,则下列结论中错误的是()A.∠AMB=120°B.ME=MDC.AE+BD=AB D.点M关于AC的对称点一定在△ABC的外接圆上答案:D分析:利用三角形内角和定理以及角平分线的定义求出∠MAB+∠MBA=60°,推出∠AMB=120°,可判断A,证明C,E,M,D四点共圆,利用圆周角定理可判断B;在AB上取一点T,使得AT=AE,利用全等三角形的性质证明BD=BT,可判断C;无法判断∠M′与∠ABC互补,可判断D.解:如图,∵∠ACB=60°,∴∠CAB+∠CBA=120°,∵AD,BE分别是∠CAB,∠CBA的角平分线,∴∠MAB+∠MBA=1(∠CAB+∠CBA)=60°,2∴∠AMB=180°-(∠MAB+∠MBA)=120°,故A符合题意,∵∠EMD=∠AMB=120°,∴∠EMD+∠ECD=180°,∴C,E,M,D四点共圆,∵∠MCE=∠MCD,∴EM⌢=DM⌢,∴EM=DM,故B符合题意,∵四边形CEMD是⊙O的内接四边形,∴∠AME=∠ACB=60°=∠BMD,在AB上取一点T,使得AT=AE,在△AME和△AMT中,{AE=AT∠MAE=∠MATAM=AM,∴△AME≌△AMT(SAS),∴∠AME=∠AMT=60°,EM=MT,∴∠BMD=∠BMT=60°,MT=MD,在△BMD和△BMT中,{MD=MT∠BMD=∠BMTBM=BM,∴△BMD≌△BMT,∴BD=BT,∴AB=AT+TB=AE+BD,故C符合题意,∵M,M′关于AC对称,∴∠M′=∠AMC,∵∠AMC=180°−12(∠CAB+∠ACB)=180°−12(180°−∠ABC)=90°+12∠ABC,∴∠M′与∠ABC不一定互补,∴点M′不一定在△ABC的外接圆上,故D不符合题意,故选D.小提示:本题考查三角形的外接圆,四点共圆,圆周角定理,全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题.填空题11、如图,已知A为半径为3的⊙O上的一个定点,B为⊙O上的一个动点(点B与A不重合),连接AB,以AB为边作正三角形ABC.当点B运动时,点C也随之变化,则O、C两点之间的距离的最大值是______.答案:6分析:连接OB,OC,OA,在优弧AB上取点N,使得AN=AO.证明△BAO≌△CAN(SAS),推出OB=CN=3,推出OC≤ON+CN=6,可得结论.解:如图,连接OB,OC,OA,在优弧AB上取点N,使得AN=AO.∵OA=ON,OA=AN,∴AO=ON=AN,∴△OAN是等边三角形,∴∠OAN=60°,∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°,∵∠BAC=∠OAN=60°,∴∠BAO=∠CAN,∴△BAO≌△CAN(SAS),∴OB=CN=3,∵OC≤ON+CN=6,∴OC的最大值为6,所以答案是:6.小提示:本题考查了等边三角形的性质,圆的相关性质,垂径定理,利用两地之间线段最短是本题的解题关键.12、一圆形玻璃镜面损坏了一部分,为得到同样大小的镜面,工人师傅用直角尺作如图所示的测量,测得AB=12cm,BC=5cm,则圆形镜面的半径为__________.cm答案:132分析:连接AC,根据∠ABC=90°得出AC是圆形镜面的直径,再根据勾股定理求出AC即可.解:连接AC,∵∠ABC=90°,且∠ABC是圆周角,∴AC是圆形镜面的直径,由勾股定理得:AC=√AB2+BC2=√122+52=13(cm),cm,所以圆形镜面的半径为132cm.所以答案是:132小提示:本题考查了圆周角定理,圆心角、弧、弦之间的关系和勾股定理等知识点,能根据圆周角定理得出AC 是圆形镜面的直径是解此题的关键.13、如图所示的网格中,每个小正方形的边长均为1,点A ,B ,D 均在小正方形的顶点上,且点B ,C 在AD⌢上,∠BAC =22.5°,则BC⌢的长为__________.答案:5π4 分析:先找到AD̂的圆心O ,得到∠BOC =45°,利用弧长公式即可求解. 解:连接AD ,作线段AB 、AD 的垂直平分线,交点即为AD̂的圆心O , 从图中可得:AD̂的半径为OB =5, 连接OC ,∵∠BAC =22.5°,∴∠BOC =2×22.5°=45°,BC ̂的长为45×π×5180=5π4. .所以答案是:5π4.小提示:本题考查了弧长公式,找到AD̂的圆心是解题的关键. 14、如图,正六边形ABCDEF 的边长为4,以A 为圆心,AC 的长为半径画弧,得EC⌢,连接AC 、AE ,用图中阴影部分作一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面半径为______.答案:2√33分析:由正六边形ABCDEF的边长为4,可得AB=BC=4,∠ABC=∠BAF=120°,进而求出∠BAC=30°,∠CAE=60°,过B作BH⊥AC于H,由等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质得到AH=CH=12AC,BH=2.在Rt△ABH中,由勾股定理求得AH=2√3,得到AC=4√3.根据扇形的面积公式可得到阴影部分的面积,即是圆锥的侧面积,最后根据圆锥的侧面积公式求解底面半径即可.解:∵正六边形ABCDEF的边长为4,∴AB=BC=4,∠ABC=∠BAF=(6−2)×180°6=120°,∵∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°,∴∠BAC=12(180°−∠ABC)=30°,如图,过B作BH⊥AC于H,∴AH=CH=12AC,BH=12AB=12×4=2,在Rt△ABH中,AH=√AB2−BH2=√42−22=2√3,∴AC=2AH=4√3,同理可求∠EAF=30°,∴∠CAE=∠BAF−∠BAC−∠EAF=120°−30°−30°=60°,∴S扇形CAE =60π⋅(4√3)2360=8π,∴S圆锥侧=S扇形CAE=8π,∵S 圆锥侧=πrl =πr ⋅AC =4√3πr ,∴4√3πr =8π,∴r =2√33, 所以答案是:2√33.小提示:本题考查的是正六边形的性质、扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理、圆锥的侧面积,掌握扇形面积公式和圆锥侧面积公式是解题的关键.15、刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家,他在《九章算术》中提出了“割圆术”,利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积,如图,若用圆的内接正十二边形的面积S 1来近似估计⊙O 的面积S ,设⊙O 的半径为1,则S −S 1=__________.答案:π−3分析:如图,过点A 作AC ⊥OB ,垂足为C ,先求出圆的面积,再求出△ABC 面积,继而求得正十二边形的面积即可求得答案.如图,过点A 作AC ⊥OB ,垂足为C ,∵⊙O 的半径为1,∴⊙O 的面积S =π,OA=OB=1,∴圆的内接正十二边形的中心角为∠AOB=360°12=30°,∴AC=12OB=12,∴S △AOB =12OB•AC=14, ∴圆的内接正十二边形的面积S 1=12S △AOB =3,∴则S −S 1=π−3,故答案为π−3.小提示:本题考查了正多边形与圆,正确的求出正十二边形的面积是解题的关键.解答题16、如图,CD 与EF 是⊙O 的直径,连接CE 、CF ,延长CE 到A ,连接AD 并延长,交CF 的延长线于点B ,过点F 作⊙O 的切线交AB 于点G ,点D 是AB 的中点.(1)求证:EF ∥AB ;(2)若AC =3,CD =2.5,求FG 的长.答案:(1)见解析;(2)65分析:(1)连接DE ,根据CD 和EF 都是⊙O 的直径得到∠DEA =∠ECF =90°,根据直角三角形的性质得到CD =AD =BD ,利用等腰三角形三线合一的性质推出∠ADE =∠CDE ,进而得到∠ADE =∠OED ,即可得到EF ∥AB ;(2)根据直角三角形斜边上的中线求得AB=2CD=5,勾股定理求得BC=4,由(1)可得EF=12AB,根据切线的性质可得FG⊥AB,根据sinB=FGBF =ACAB,代入数值,即可得到FC.(1)证明:连接DE,∵CD和EF都是⊙O的直径,∴∠DEA=∠ECF=90°,∵D是AB的中点,∴CD=AD=BD,∴∠ADE=∠CDE,∵OD=OE,∴∠OED=∠CDE,∴∠ADE=∠OED,∴EF∥AB;(2)连接DF,∵CD是⊙O的直径,∴∠DFC=90°,∴∠DFC=∠FCE=∠CED=90°,∴四边形CEDF是矩形,∴FC=DE,DE∥BC,∴AEEC =ADDB=1,∴AE=CE,∴DE是△ABC的中位线,∴DE=12BC,∵AB=2CD=5,AC=3,∴BC=√AB2−AC2=√52−32=4,∴FC=2.∴BF=BC−FC=4−2=2∵FG是⊙O的切线,∴GF⊥EF∵EF∥AB∴FG⊥AB∴∠BGF=∠BCA=90°∴sinB=FGBF =ACAB∴FG2=35∴FG=65小提示:此题考查了圆周角定理,矩形的判定定理及性质定理,勾股定理,三角形中位线的性质,熟记圆周角定理是解题的关键.17、如图,D是△ABC的BC边上一点,连结AD,作△ABD的外接圆O,将△ADC沿直线AD折叠,点C的对应点E 落在⊙O 上.(1)若∠ABC =30°,如图1.①求∠ACB 的度数.②若AD =DE ,求∠EAB 的度数.(2)若AD⌢=BE ⌢,AC =4,CD =2,如图2.求BC 的长. 答案:(1)①30°,②60°;(2)BC =6分析:(1)①根据折叠的性质可得∠ACD =∠AED ,根据等弧所对的圆周角即可求解;②根据等边对等角可得∠DAE =∠DEA ,根据(1)的结论可得∠ACB =∠ABC ,进而根据折叠的性质求得∠CAE =60°,进而根据∠CAB −∠CAE 即可求得∠BAE ,(2)根据AD⌢+DE ⌢=BE ⌢+DE ⌢,可得AE ⌢=DB ⌢,AE =BE ,根据折叠的性质可得DB =AE =4,进而即可求解.(1)①∵AD⌢=AD ⌢,∠ABC =30°, ∴∠AED =∠ABD =30°,∵将△ADC 沿直线AD 折叠,点C 的对应点E 落在⊙O 上,∴∠ACB =∠AED =30° ;②∵ AD =DE ,∴∠DAE =∠DEA ,∵∠DEA =∠DBA ,∴∠DAE =30°,∵将△ADC 沿直线AD 折叠,点C 的对应点E 落在⊙O 上,∴∠DAE =∠DAC =30°,△ABC 中,∠ABC =∠ACB =30°,则∠CAB =180°−∠ABC −∠ACB =120°,∵∠CAE =∠CAD +∠EAD =60°,∴∠EAB =∠CAB −∠CAE =120°−60°=60°,∴∠EAB =60°,(2)∵ AD⌢=BE ⌢ ∴AD⌢+DE ⌢=BE ⌢+DE ⌢ ∴AE⌢=DB ⌢ ∴AE =BE∵折叠∴AC =AE∴DB =AE =4∵CD =2∴BC =CD +DB =4+2=6小提示:本题考查了折叠的性质,同弧或等弧所对的圆周角相等,弧与弦的关系,三角形内角和定理的应用,综合运用以上知识是解题的关键.18、如图,C ,D 是以AB 为直径的半圆上的两点,∠CAB =∠DBA ,连结BC ,CD .(1)求证:CD ∥AB .(2)若AB =4,∠ACD =30°,求阴影部分的面积.答案:(1)答案见解析(2)23π 分析:(1)根据同弧所对的圆周角相等得到∠ACD =∠DBA ,根据 ∠CAB =∠DBA 得到∠CAB =∠ACD ,进而得到结论;(2)连结OC ,OD ,证明所求的阴影部分面积与扇形COD 的面积相等,继而得到结论.(1)证明:∵AD ⌒=AD ⌒,∴∠ACD =∠DBA ,又∵∠CAB =∠DBA ,∴∠CAB =∠ACD ,∴CD ∥AB ;(2)解:如图,连结OC ,OD .∵∠ACD =30°,∴∠ACD =∠CAB =30°,∴∠AOD =∠COB =60°,∴∠COD =180°-∠AOD -∠COB =60°.∵CD ∥AB ,∴S △DOC =S △DBC ,∴S 阴影=S 弓形COD +S △DOC =S 弓形COD +S △DBC=S 扇形COD ,∵AB =4,∴OA =2,∴S 扇形COD=nπr 2360=60×π×22360=23π.∴S阴影=2π.3小提示:本题主要考查扇形的面积,同弧所对的圆周角相等,平行线的判定,掌握定理以及公式是解题的关键.。
部编数学九年级上册第二十四章圆(B卷-学霸加练卷,难度★★★★★)(解析版)含答案
班级姓名学号分数第二十四章圆(学霸加练卷)(时间:60分钟,满分:100分)一.选择题(本题共14小题,每小题3分,共42分。
)1.(2022•北碚区自主招生)如图,AB是Oe的切线,A为切点,OB交Oe的半径长为e于点C,若O1,AB=,则线段BC的长是( )A.1B C.2D【分析】连接OA,如图,先根据切线的性质得到90OB=,然后计Ð=°,则利用勾股定理可计算出2BAO算OB OC-即可.【解答】解:连接OA,如图,Q是OABe的切线,A为切点,\^,OA AB\Ð=°,90BAOOB===,在Rt OABD中,2\=-=-=.211BC OB OC故选:A.【点评】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.2.(2022•渝北区自主招生)如图,矩形ABCD中,4BC=,2CD=,以AD为直径的半圆O与BC相切于点E,连接BD,则阴影部分的面积为( )A .pB .2p -C .2p +D .4p +【分析】连接OE 交BD 于F 点,如图,根据切线的性质得到90OEC Ð=°,再证明四边形ABEO 和四边形OECD 为矩形,则2OD OA BE ===,90DOE Ð=°,接着证明ODF EBF D @D 得到ODF EBF S S D D =,所以阴影部分的面积DOE S =扇形,从而根据扇形的公式计算即可.【解答】解:连接OE 交BD 于F 点,如图,Q 以AD 为直径的半圆O 与BC 相切于点E ,OE BC \^,90OEC \Ð=°,Q 四边形ABCD 为矩形,90OAB ABE C ODC \Ð=Ð=Ð=Ð=°,\四边形ABEO 和四边形OECD 为矩形,2OD OA BE \===,90DOE Ð=°,在ODF D 和EBF D 中,OFD EFB DOF BEF OD EB Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î,()ODF EBF AAS \D @D ,ODF EBF S S D D \=,\阴影部分的面积2902360DOE S p p ´´===扇形.故选:A .【点评】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了矩形的性质和扇形面积的计算.3.(2022•南陵县自主招生)如图,AB 和BC 是O e 的两条弦(即ABC 是圆的一条折弦),BC AB >,M 是·ABC 的中点,则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC的中点,若AB =,BD =CD 的长为( )ABC.D.【分析】在CD 上截取CE AB =,连接CM ,EM ,BM ,AM ,证明ABM CEM D @D ,得出BM EM =,进而得出BD DE =即可解答.【解答】解:如图,在CD 上截取CE AB =,连接CM ,EM ,BM ,AM ,M Q 是·ABC 的中点,AM CM \=,又A C Ð=Ð,在ABM D 和CEM D 中,CE AB A C AM CM =ìïÐ=Ðíï=î,()ABM CEM SAS \D @D ,BM EM \=,MD BC ^Q ,BD DE \=,Q AB =,BD =CD CE DE AB BD \=+=+==.故选:D.【点评】本题考查了圆周角定理以及圆心角,弦,弧之间的关系定理,熟记定理并灵活运用是解题的关键,在同圆或等圆中,①圆心角相等,②所对的弧相等,③所对的弦相等,三项“知一推二”,一项相等,其余二项皆相等.这源于圆的旋转不变性.4.(2022•南岸区自主招生)如图,在O e 中,80BOC Ð=°,则A Ð等于( )A .50°B .20°C .30°D .40°【分析】根据圆周角定理即可解决问题;【解答】解:12A BOC Ð=ÐQ ,80BOC Ð=°40A \Ð=°.故选:D .【点评】此题目考查了圆周角定理,属于中考基础题.5.(2021•武昌区校级自主招生)如图,在Rt ABC D 中,90C Ð=°,6BC cm =,8AC cm =,D 是边BC 上一点,且:1:2BD CD =,点O 在AD 上,O e 与AB 、BC 相切于E 、F ,则O e 的面积为( 2)cm .A .169pB .43pC .pD .2p【分析】连接OE ,OF ,OB ,根据切线的性质可得90OEB OFB Ð=Ð=°,在Rt ABC D 中,利用勾股定理求出AB 的长,再根据已知可得求出2BD cm =,然后根据ABD D 的面积AOB =D 的面积BOD +D 的面积,可求出43OE OF ==,再利用圆的面积公式,进行计算即可解答.【解答】解:连接OE ,OF ,OB ,O Q e 与AB 、BC 相切于E 、F ,90OEB OFB \Ð=Ð=°,90C Ð=°Q ,6BC cm =,8AC cm =,10()AB cm \===,:1:2BD CD =Q ,12()3BD BC cm \==,ABD D Q 的面积AOB =D 的面积BOD +D 的面积\111222BD AC AB OE BD OF ×=×+×,BD AC AB OE BD OF \×=×+×,28102OE OF \´=+,43OE OF \==,O \e 的面积24()3p =´216()9cm p =,故选:A .【点评】本题考查了切线的性质,勾股定理,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.6.(2021•巴南区自主招生)如图,PA 与O e 相切于点A ,PO 交O e 于点B ,点C 在O e 上,连接AC ,BC .若45P Ð=°,则ACB Ð的度数为( )A .15°B .22.5°C .30°D .37.5°【分析】连接OA ,根据切线的性质得90OAP Ð=°,则45AOP Ð=°,然后根据圆周角定理得到ACB Ð的度数.【解答】解:如图,连接OA ,Q 直线PA 与O e 相切于点A ,OA PA \^,90OAP \Ð=°,45P Ð=°Q ,45AOB \Ð=°,122.52ACB AOB Ð=Ð=°Q .故选:B .【点评】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定理.解决本题的关键是掌握圆周角定理.7.(2021•西湖区校级自主招生)如图,AC 、BD 是O e 的两条相交弦,60ACB CDB Ð=Ð=°,AC =O e 的直径是( )A .2B .4CD .【分析】连接OB ,作OE BC ^于E ,由圆周角定理和已知得出60A ACB Ð=Ð=°,证出ACB D 为等边三角形,得BC AC ==,30OBE Ð=°,由垂径定理得12BE BC ==,由直角三角形的性质得1OE =,22OB OE ==,即可得出结论.【解答】解:连接OB ,作OE BC ^于E ,如图所示:60A CDB Ð=Ð=°Q ,60ACB Ð=°,60A ACB \Ð=Ð=°,ACB \D 为等边三角形,BC AC \==,30OBE Ð=°,OE BC ^Q ,12BE BC \==,1OE \==,22OB OE ==,O \e 的直径24OB ==;故选:B .【点评】本题考查了圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识;熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键.8.(2021•郎溪县校级自主招生)如图ABC D 为圆O 的内接三角形,D 为BC 中点,E 为OA 中点,40ABC Ð=°,80BCA Ð=°,则OED Ð的大小为( )A .15°B .18°C .20°D .22°【分析】如图,连接OC ,取OC 中点F ,连接EF 、DF ,根据圆周角定理得到280AOC ABC Ð=Ð=°,OE OF =,求得1(18080)502OEF OFE Ð=Ð=°-°=°,连接OB ,推出OFD D 为等边三角形,得到OD OF OE ==,于是得到结论.【解答】解:如图,连接OC ,取OC 中点F ,连接EF 、DF ,280AOC ABC \Ð=Ð=°,OE OF =,1(18080)502OEF OFE \Ð=Ð=°-°=°,连接OB ,D Q 为BC 中点,BD CD \=,OD BC ^,12DOC BOC \Ð=Ð,12BAC BOC Ð=ÐQ ,DOC BAC \Ð=Ð,180408060DOC BAC \Ð=Ð=°-°-°=°,F Q 为OC 中点,OF FD \=,OFD \D 为等边三角形,OD OF OE \==,\点O 是EFD D 外接圆的圆心,\1302FED FOD Ð=Ð=°,503020OED \Ð=°-°=°.故选:C .【点评】本题考查了三角形外接圆与外心,圆周角定理,等边三角形的判定和性质,正确的作出辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键.9.(2021•武进区校级自主招生)如图,正方形ABCD 的边1AB =,¶BD 和¶AC 都是以1为半径的圆弧,则无阴影两部分的面积之差是( )A .12p-B .14p-C .13p-D .16p-【分析】图中1、2、3、4图形的面积和为正方形的面积,1、2和两个3的面积和是两个扇形的面积,因此两个扇形的面积的和-正方形的面积=无阴影两部分的面积之差,即9012113602p p ´´-=-.【解答】解:如图:正方形的面积1234S S S S =+++;①两个扇形的面积3122S S S =++;②②-①,得:3490122113602S S S S p p ´´-=-=-=-正方形扇形.故选:A .【点评】本题主要考查了扇形的面积计算公式及不规则图形的面积计算方法.找出正方形内四个图形面积之间的联系是解题的关键.10.(2021•武进区校级自主招生)若一直角三角形的斜边长为c ,内切圆半径是r ,则内切圆的面积与三角形面积之比是( )A .2rc r p +B .rc r p +C .2rc r p +D .22rc r p +【分析】连接内心和直角三角形的各个顶点,设直角三角形的两条直角边是a ,b .则直角三角形的面积是2a b c r ++;又直角三角形内切圆的半径2a b c r +-=,则2a b r c +=+,所以直角三角形的面积是()r r c +;因为内切圆的面积是2r p ,则它们的比是rc r p +.【解答】解:设直角三角形的两条直角边是a ,b ,则有:2a b c S r ++=,又2a b c r +-=Q ,2a b r c \+=+,将2a b r c +=+代入2a b c S r ++=得:22()2r c S r r r c +==+.又Q 内切圆的面积是2r p ,\它们的比是rc r p +.故选:B .【点评】此题要熟悉直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半,能够把直角三角形的面积分割成三部分,用内切圆的半径进行表示,是解题的关键.11.(2020•连城县校级自主招生)如图,ABC D 中,AB 是O e 的直径,AC 交O e 于点E ,BC 交O e 于点D ,点D 是BC 中点,O e 的切线DF 交AC 于点F ,则下列结论中①A ABE Ð=Ð;②BD DE =;③AB AC =;④F 是EC 中点,正确的个数是( )A .1B .2C .3D .4【分析】连接OD 、AD ,首先由AB 是O e 的直径,得出AD BC ^,推出AB AC =,由等腰三角形的性质及等角对等弧可得¶¶BDDE =,从而可得BD DE =,根据三角形中位线的性质可得//OD AC ,从而得90DFE Ð=°,得//DF BE ,根据D 是BC 的中点,得出DF 是BEC D 的中位线,得到点F 是EC 的中点,最后由假设推出①不正确.【解答】解:连接OD ,AD 、DE .AB Q 是O e 的直径,90ADB \Ð=°(直径所对的圆周角是直角),AD BC \^,Q 点D 是BC 中点,BAD CAD \Ð=Ð,AB AC =,故③正确;\¶¶BDDE =,BD DE \=,故②正确;DF Q 是O e 的切线,OD DF \^,AO BO =Q ,BD DC =,//OD AC \,DF AF \^,//DF BE \,\点F 是EC 的中点,故④正确;只有当ABE D 是等腰直角三角形时,45BAC ABE Ð=Ð=°,故①错误,正确的有②③④共3个,故选:C .【点评】此题考查的知识点是切线的性质、等腰三角形的判定与性质及圆周角定理,解答此题的关键是运用等腰三角形性质及圆周角定理及切线性质作答.12.(2020•青田县校级自主招生)如图,正方形ABCD 的边长为2,点P 在AD 上,以P 为圆心的扇形与边BC 相切于点T ,与两边交于点E ,F ,则弧EF 长度的最小值是( )A .2pB .3pC .23pD .43p【分析】利用正方形的性质可得弧EF 长度最小时的状态.【解答】解:当点P 与A 或D 点重合时,圆心角为90°,可知此时弧EF 最长,根据正方形和扇形的对称性可得,当点P 在AD 中点时,此时弧EF 的长度最短,1cos 2PD DPF PF Ð==Q ,60DPF APE \Ð=Ð=°,60EPF \Ð=°,\弧EF 的长度为60221803p p ´´=,故选:C .【点评】此题考查的是切线的性质、正方形的性质及弧长的计算,确定点P 为AD 中点时,弧EF 的长度最短是解决此题的关键.13.(2020•金东区校级自主招生)如图,AB 是直径,点C ,D 在半圆AB 上,若40BAC Ð=°,则(ADC Ð= )A .110°B .120°C .130°D .140°【分析】连接BC ,根据圆周角定理得出90ACB Ð=°,求出9050B BAC Ð=°-Ð=°,根据圆内接四边形的性质得出180ADC B Ð+Ð=°,再求出答案即可.【解答】解:连接BC ,AB Q 是直径,90ACB \Ð=°,40BAC Ð=°Q ,9050B BAC \Ð=°-Ð=°,Q 四边形ABCD 是圆的内接四边形,180ADC B \Ð+Ð=°,18050130ADC Ð=°-°=°,故选:C .【点评】本题考查了圆内接四边形的性质,圆周角定理等知识点,能熟记圆内接四边形的对角互补是解此题的关键.14.(2020•和平区校级自主招生)如图,AB 为O e 的直径,C 为¶AB 的中点,D 为劣弧CB 上一个动点(点D 不与B ,C 重合),过D 作O e 的切线交AB 延长线于点P ,连接CD 并延长交AB 延长线于点Q ,给出下列结论:①若//CB DP ,则22.5DAB Ð=°;②若PB BD =,则30DPA Ð=°;③DP 可能成为BDQ Ð的平分线;④若O e 的半径为1,则CD CQ AB ×=;⑤045PDQ °<а….其中正确结论的个数为( )A .5B .4C .3D .2【分析】C 为¶AB 的中点,可得AC BC =,由AB 为O e 的直径,可得ABC D 是等腰直角三角形,所以45CBA CAB Ð=Ð=°,①若//CB DP ,得45DPO Ð=°,再结合切线性质,得ODP D 是等腰直角三角形,所以45DOP Ð=°,即可求出圆周角度数;②若PB BD =,可证ODB D 是等边三角形,即可求出30DPA Ð=°;③由①即可得DP 可能成为BDQ Ð的平分线;④证明ACD CQA D D ∽,得2CD CQ AC AB ×==;⑤PDQ Ð不可能等于QDB Ð,而45QDB Ð=°,所以⑤错误.【解答】解:C 为¶AB 的中点,AC BC \=,AB Q 为O e 的直径,ABC \D 是等腰直角三角形,45CBA CAB \Ð=Ð=°,①//CB DP Q ,45DPO CBA \Ð=Ð=°,DP Q 是O e 切线,90ODP \Ð=°,ODP \D 是等腰直角三角形,45DOP \Ð=°,122.52DAB DOP \Ð=Ð=°,故①正确;②若PB BD =,PDB DPB \Ð=Ð,90PDB ODB DPB DOP Ð+Ð=Ð+Ð=°Q ,ODB DOP \Ð=Ð,DB OB \=,OD OB =Q ,ODB \D 是等边三角形,60DOP \Ð=°,30DPA \Ð=°,故②正确;③由①即可得DP 可能成为BDQ Ð的平分线,故③正确;④C Q 为¶AB 的中点,CDA CAB \Ð=Ð,ACD ACQ Ð=ÐQ ,ACD CQA \D D∽,\AC CQCD CA=,222 CD CQ AC\×===,2AB=Q,CD CQ AB\×=,故④正确;⑤45QDB CABÐ=Ð=°Q,045PDQ\°<Ð<°,所以⑤错误.故选:B.【点评】本题考查了切线的性质,圆周角定理及推论,三角形相似的性质及判定,等边三角形的性质及判定,解题关键是抓住几个等腰直角三角形.二.填空题(共6小题,满分18分,每小题3分)15.(2022•徐汇区校级自主招生)如图,一个较大的圆内有15个半径为1的小圆,所有的交点都为切点,图中阴影为大圆内但在所有小圆外部分,则阴影部分的面积为 .【分析】如图,OH为BC边的高,利用两圆相切的性质得到8AB AC BC===,则可判断ABCD为等边三角形,则4CH=,利用含30度角的直角三角形三边的关系得到OC=O e 的半径1OE OC CE =+=+,然后用大圆的面积减去15个小圆的面积得到阴影部分的面积.【解答】解:如图,OH 为BC 边的高,Q 所有小圆相切,8AB AC BC \===,ABC \D 为等边三角形,30OCB \Ð=°OH BC ^Q ,4CH \=,OH \==2OC OH \==,C Q e 与O e 相切,O \e 的半径1OE OC CE =+=+,\阴影部分的面积221)151p p =´-´´=..【点评】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了等边三角形的判定与性质.16.(2022•宁波自主招生)如图,在O e 中、三条劣弧AB 、BC 、CD 的长都相等,弦AC 与BD 相交于点E ,弦BA 与CD 的延长线相交于点F ,且40F Ð=°,则AED Ð的度数为 70° .【分析】连接BC,根据弧相等,得到BAC BDC BCA DBCÐ=Ð=,根据外Ð=Ð=Ð=Ð,设出ACD ABD x角的性质得出40Ð=+°,进而利用三角形的内角和求出x即可解答.BAC x【解答】解:连接BC,Q弧AB、BC、CD的长相等,\Ð=Ð=Ð=Ð,BAC BDC BCA DBC设ACD ABD xÐ=Ð=,Q,Ð=°F40\Ð=+°,40BAC x\Ð=Ð=Ð=+°,BDC BCA DBC x40在ABC+°++++°+°=°,D中,404040180x x x x解得15x=°,\Ð=Ð=°,DBC BCA55\Ð=Ð=°.70AED BEC故答案为:70°.【点评】本题考查了圆周角定理,解题的关键是熟记定理并灵活运用,圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.17.(2022•南陵县自主招生)如图,AB是半圆O的直径,四边形CDMN和DEFG都是正方形,其中C,D,E在AB上,F、N在半圆上.若则正方形CDMN的面积与正方形DEFG的面积之和是16,则AB的长为 8 .【分析】连接ON,OF,设正方形CDMN的边长为a,正方形DEFG边长为b,OD c=,根据正方形的性质CN CD a ==,DE EF b ==,设OA ON OF OB r ====,根据勾股定理得出222()a a c r ++=①,222()b b c r +-=②,①-②得出2222()()0a a c b b c ++---=,把等式的左边分解因式后得出2()()0a b a b c +-+=,求出b a c =+,再代入①,即可求出答案.【解答】解:连接ON ,OF ,设正方形CDMN 的边长为a ,正方形DEFG 边长为b ,OD c =,则CN CD a ==,DE EF b ==,Q 四边形CDMN 和DEFG 都是正方形,90NCD \Ð=°,90FED Ð=°,设OA ON OF OB r ====,由勾股定理得:222NC CO ON +=,222OE EF OF +=,222()a a c r \++=①,222()b b c r +-=②,①-②,得2222()()0a a c b b c ++---=,2222()[()())]0a b a c b c -++--=,()()()()0a b a b a c b c a c b c +-+++-+-+=,()()()(2)0a b a b a b a b c +-++-+=,()(2)0a b a b a b c +-+-+=,2()()0a b a b c +-+=,0a b +¹Q ,0a b c \-+=,即b a c =+,把b a c =+代入①,得222a b r +=,Q 正方形CDMN 的面积与正方形DEFG 的面积之和是16,2216a b \+=,216r \=,解得4r =(负值舍去),28AB r \==.故答案为:8.【点评】本题考查了正方形的性质,勾股定理等知识点,能求出b a c =+是解此题的关键.18.(2022•海曙区自主招生)如图,点A 、B 、C 均在坐标轴上,1AO BO CO ===,过A 、O 、C 作D e ,E 是D e 上任意一点,连结CE ,BE ,则22CE BE +的最大值是 6 .【分析】连接AC ,OD ,DE ,设(,)E x y ,利用90°的圆周角所对的弦是直径可得,AC 是D e 的直径,再利用平面直角坐标系中的两点间距离公式求出22222()2CE BE x y +=++,222OE x y =+,可得当OE 为D e 的直径时,OE 最大,22CE BE +的值最大,然后进行计算即可解答.【解答】解:连接AC ,OD ,DE ,设(,)E x y ,90AOC Ð=°Q ,AC \是D e 的直径,1AO BO CO ===Q ,(0,1)A \,(1,0)C ,(1,0)B -,AC \=,222(1)CE x y =-+,222(1)BE x y =++,22222222(1)(1)2()2CE BE x y x y x y \+=-++++=++,222OE x y =+Q ,\当OE 为D e 的直径时,OE 最大,22CE BE +的值最大,2222OE AC \===,22CE BE \+的最大值2226=´+=,故答案为:6.【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心,勾股定理,圆周角定理,坐标与图形的性质,点与圆的位置关系,根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.19.(2022•九龙坡区自主招生)如图,正方形ABCD 的边长为4,O 为对角线的交点,点E ,F 分别为BC ,AD 的中点,以C 为圆心,4为半径作圆弧BD ,再分别以E ,F 为圆心,2为半径作圆弧BO ,OD ,则图中阴影部分的面积为 48p - .(结果保留)p【分析】连接BD ,根据在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧,所对的弦分别相等,利用面积割补法可得阴影部分的面积等于弓形面积,即等于扇形CBD 减去直角三角形CBD 的面积之差.【解答】解:连接BD ,EF ,如图,Q 正方形ABCD 的边长为4,O 为对角线的交点,由题意可得:EF ,BD 经过点O ,且EF AD ^,EF CB ^.Q 点E ,F 分别为BC ,AD 的中点,2FD FO EO EB \====,\¶¶OBOD =,OB OD =.\弓形OB =弓形OD .\阴影部分的面积等于弓形BD 的面积.2904144483602CBDCBD S S S p p D ´\=-=-´´=-阴影扇形.故答案为:48p -.【点评】本题主要考查了正方形的性质,扇形面积的计算.通过添加适当的辅助线将不规则的阴影部分的面积转化成规则图形的面积的差是解题的关键.20.(2021•太仓市自主招生)如图,有一块矩形木板ABCD ,13AB dm =,8BC dm =,工人师傅在该木板上锯下一块宽为xdm 的矩形木板MBCN ,并将其拼接在剩下的矩形木板AMND 的正下方,其中M ¢、B ¢、C ¢、N ¢分别与M 、B 、C 、N 对应.现在这个新的组合木板上画圆,要使这个圆最大,则x 的取值范围是 23x …… ,且最大圆的面积是 2dm .【分析】如图,设O e 与AB 相切于点H ,交CD 与E ,连接OH ,延长HO 交CD 于F ,设O e 的半径为r .在Rt OEF D 中,当点E 与N ¢重合时,O e 的面积最大,此时4EF =,利用勾股定理求出半径,再构建不等式求出x 的取值范围即可;【解答】解:如图,设O e 与AB 相切于点H ,交CD 与E ,连接OH ,延长HO 交CD 于F ,设O e 的半径为r .在Rt OEF D 中,当点E 与N ¢重合时,O e 的面积最大,此时4EF =,,则有:222(8)4r r =-+,5r \=.O \e 的最大面积为25p ,由题意:351310x x +ìí-î……,23x \……,故答案为23x ……,25p .【点评】本题考查垂径定理、矩形的性质、勾股定理等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.三.解答题(共4小题,满分40分,每小题10分)21.(2021•太仓市自主招生)如图,AB 为O e 直径,点D 为AB 下方O e 上一点,点C 为弧ABD 中点,连接CD ,CA .(1)若ABD a Ð=,求BDC Ð(用a 表示);(2)过点C 作CE AB ^于H ,交AD 于E ,CAD b Ð=,求ACE Ð(用b 表示);(3)在(2)的条件下,若5OH =,24AD =,求线段DE 的长.【分析】(1)连接AD ,设BDC g Ð=,CAD b Ð=,则CAB BDC g Ð=Ð=,证明DAB b g Ð=-,90b g =°-,2ABD g Ð=,得出2ABD BDC Ð=Ð,即可得出结果;(2)连接BC ,由直角三角形内角和证明ACE ABC Ð=Ð,由点C 为弧ABD 中点,得出ADC CAD ABC b Ð=Ð=Ð=,即可得出结果;(3)连接OC ,证明COB ABD Ð=Ð,得出OCH ABD D D ∽,则12OH OC BD AB ==,求出210BD OH ==,由勾股定理得出26AB ==,则13AO =,18AH AO OH =+=,证明AHE ADB D D ∽,得出AH AE AD AB =,求出392AE =,即可得出结果.【解答】解:(1)连接AD ,如图1所示:设BDC g Ð=,CAD b Ð=,则CAB BDC g Ð=Ð=,Q 点C 为弧ABD 中点,\¶¶AC CD=,ADC CAD b \Ð=Ð=,DAB b g \Ð=-,AB Q 为O e 直径,90ADB \Ð=°,90g b \+=°,90b g \=°-,9090()90902ABD DAB b g g g g \Ð=°-Ð=°--=°-°++=,2ABD BDC \Ð=Ð,1122BDC ABD a \Ð=Ð=;(2)连接BC ,如图2所示:AB Q 为O e 直径,90ACB \Ð=°,即90BAC ABC Ð+Ð=°,CE AB ^Q ,90ACE BAC \Ð+Ð=°,ACE ABC \Ð=Ð,Q 点C 为弧ABD 中点,\¶¶AC CD=,ADC CAD ABC b \Ð=Ð=Ð=,ACE b \Ð=;(3)连接OC ,如图3所示:2COB CAB \Ð=Ð,2ABD BDC Ð=ÐQ ,BDC CAB Ð=Ð,COB ABD \Ð=Ð,90OHC ADB Ð=Ð=°Q ,OCH ABD \D D ∽,\12OH OC BD AB ==,210BD OH \==,26AB \===,13AO \=,13518AH AO OH \=+=+=,EAH BAD Ð=ÐQ ,90AHE ADB Ð=Ð=°,AHE ADB \D D ∽,\AH AE AD AB =,即182426AE =,392AE \=,3992422DE AD AE \=-=-=.【点评】本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、三角形内角和定理、勾股定理等知识;正确作出辅助线是解题的关键.22.(2021•成都自主招生)如图,O e 是Rt ABC D 的外接圆,AB 为直径,30ABC Ð=°,CD OC ^于C ,ED AB ^于F ,(1)判断DCE D 的形状;(2)设O e 的半径为1,且OF =DCE OCB D @D .【分析】(1)DCE D 为等腰三角形,理由为:根据同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍,由圆周角ABC Ð的度数,求出圆心角AOC Ð的度数为60°,再由OA OC =,得到三角形OAC 为等边三角形,可得出三内角为60°,再由OC 与CD 垂直,根据垂直的定义得到OCD Ð为直角,利用平角的定义求出DCE Ð为30°,又EF 垂直于AB ,得到AFE Ð为直角,由A Ð为60°,得出E Ð为30°,可得出DCE E Ð=Ð,根据等角对等边可得出DC DE =,即三角形DCE 为等腰三角形;(2)由半径为1及OF 的长,根据AO OF +求出AF 的长,在直角三角形AEF 中,根据30°角所对的直角边等于斜边的一半,由AF 的长得出AE 的长,再由AE AC -求出CE 的长,在直角三角形ABC 中,由AB 为直径,B Ð为30°,根据锐角三角函数定义求出BC 的长,发现BC CE =,再由三角形BOC 与三角形DCE 都为底角为30°的等腰三角形,得到两对底角相等,利用ASA 可得出两三角形全等.【解答】解:(1)DCE D 为等腰三角形,理由为:30ABC Ð=°Q ,圆周角ABC Ð与圆心角AOC Ð都对¶AC ,260AOC ABC \Ð=Ð=°,又OA OC =Q ,OAC \D 为等边三角形,60OAC OCA \Ð=Ð=°,OC CD ^Q ,90OCD \Ð=°,180906030DCE \Ð=°-°-°=°,又EF AF ^Q ,90AFE \Ð=°,180906030E \Ð=°-°-°=°,DCE E \Ð=Ð,DC DE \=,则DCE D 为等腰三角形;(2)1OA OB ==Q,OF =1AF AO OF \=+=+=,1OA AC OC ===,在Rt AEF D 中,30E Ð=°,21AE AF \==,11CE AE AC \=-=+-=又AB Q 为圆O 的直径,90ACB \Ð=°,在Rt ABC D 中,30B Ð=°,cos30BC AB\°=,即cos30BC AB =°=CB CE \==在OBC D 和DCE D 中,Q 3030B DCE BC CE OCB E Ð=Ð=°ìï=íïÐ=Ð=°î,()OBC DCE ASA \D @D .【点评】此题考查了切线的判定与性质,全等三角形的判定与性质,圆周角定理,锐角三角函数定义,含30°直角三角形的性质,三角形的内角和定理,勾股定理,以及等边三角形的判定与性质,利用了转化及数形结合的思想,是一道综合性较强的题.23.(2021•武进区校级自主招生)如图,O e 的内接四边形ABCD 中,AC ,BD 是它的对角线,AC 的中点I 是ABD D 的内心.求证:(1)OI 是IBD D 的外接圆的切线;(2)2AB AD BD +=.【分析】(1)根据三角形内心的性质和同弧上圆周角的性质,以及等角对等边即可证得C 是IBD D 的外心,然后证得OI CI ^,即可证得OI 是IBD D 的外接圆的切线;(2)根据(1)可以得到AI CD =,2AB BF =,即可证得.【解答】解:(1)CID IAD IDA Ð=Ð+ÐQ ,CDI CDB BDI BAC IDA IAD IDA Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð+ÐCID CDI \Ð=Ð,CI CD \=.同理,CI CB =.故点C 是IBD D 的外心.连接OA ,OC ,I Q 是AC 的中点,且OA OC =,OI AC \^,即OI CI ^.OI \是IBD D 外接圆的切线.(2)由(1)可得:AC Q 的中点I 是ABD D 的内心,BAC CAD\Ð=ÐBDC DAC BAC \Ð=Ð=Ð,又ACD DCF Ð=ÐQ ,ADC DFC \D D ∽,\AC AD CD DF=,2AC CI=Q 2AC CD\=2AD DF\=同理可得:2AB BF=222AB AD BF DF BD \+=+=.【点评】本题考查了圆的切线的证明,以及三角形的内心的计算,证得C 是IBD D 的外心是关键.24.(2017•镇海区校级自主招生)如图,已知ABCD 是某圆的内接四边形,AB BD =,BM AC ^于M ,求证:AM DC CM =+.【分析】首先在MA 上截取ME MC =,连接BE ,由BM AC ^,根据垂直平分线的性质,即可得到BE BC =,得到BEC BCE Ð=Ð;再由AB BD =,得到ADB BAD Ð=Ð,而ADB BCE Ð=Ð,则BEC BAD Ð=Ð,根据圆内接四边形的性质得180BCD BAD Ð+Ð=°,易得BEA BCD Ð=Ð,从而可证出ABE DBC D @D ,得到AE CD =,即有AM DC CM =+.【解答】证明:在MA 上截取ME MC =,连接BE ,BM AC ^Q ,BE BC \=,BEC BCE \Ð=Ð,AB BD =Q ,\¶¶AB BD =,ADB BAD \Ð=Ð,而ADB BCE Ð=Ð,BCE BAD \Ð=Ð,又180BCD BAD Ð+Ð=°Q ,180BEA BCE Ð+Ð=°,BEA BCD \Ð=Ð,BAE BDC Ð=ÐQ ,ABE DBC \D @D ,AE CD \=,AM AE EM DC CM \=+=+.【点评】此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质等知识.此题综合性较强,难度适中,解题的关键是准确作出辅助线,掌握圆的内接四边形对角互补与在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用.。
2023-2024学年第一学期人教版九年级数学上册第24章复习测试卷附答案
2023-2024学年第一学期九年级数学上册第24章【圆】复习测试卷一、选择题:1.一圆形玻璃被打碎后,其中四块碎片如图所示,若选择其中一块碎片带到商店,配制与原来大小一样的圆形玻璃,不能选择的是()A.①B.②C.③D.④2.如图,⊙O 的半径长为10cm,弦AB=16cm,则圆心O 到弦AB 的距离为()A.4cm B.5cm C.6cmD.7cm 3.如图所示,已知四边形ABDC 是圆内接四边形,∠1=112°,则∠CDE=()A.56°B.68°C.66°D.58°4.如图,AB 与⊙O 相切于点A,BO 与⊙O 相交于点C,点D 是优弧AC 上一点,∠CDA=27°,则∠B 的大小是()A.27°B.34°C.36°D.54°5.如图,O 是锐角三角形ABC 的外接圆,OD AB OE BC OF AC ⊥⊥⊥,,,垂足分别为D,E,F,连接DE,EF,FD.若 6.5DE DF ABC += ,的周长为21,则EF 的长为()A.8B.4C.3.5D.36.如图,⊙O 是四边形ABCD 的内切圆,切点依次是E、F、G、H,下列结论一定正确的有()个①AF=BG ②CG=CH ③AB+CD=AD+BC ④BG<CG.A.1B.2C.3D.47.一个长为4cm,宽为3cm 的长方形木板在桌面上做无滑动的翻滚(顺时针方向),木板左上角一点A 位置的变化为A→A 1→A 2,其中第二次翻滚被面上一小木块挡住,使木板与桌面成30°的角,则点A 滚到A 2位置时共走过的路径长为()A.7π2cm B.23π6cm C.4π3cm D.5π2cm 8.如图,O 是ABC 的外接圆,弦BD 交AC 于点E,AE DE =,BC CE =,过点O 作OF AC ⊥于点F,延长FO 交BE 于点G,若3DE =,2EG =,则AB 的长为()A.43B.7C.8D.459.如图,AB 是O 的直径,弦CD 与AB 垂直,垂足为点E,连接OC 并延长交O 于点F ,30CDB ∠=︒,3CD =,则图中阴影部分的面积为()A.π332-B.2π33C.4π33-D.2π23-二、填空题:10.已知正六边形的边心距为32,则这个正六边形的周长为.11.点P 到O 上一点A 的距离PA 的最大值是18cm ,PA 的最小值为8cm ,则O的半径为.12.如图,公园内有一个半径为20米的圆形草坪,A ,B 是圆上的点,O 为圆心,120AOB ∠=︒,从A 到B 只有路AB ,一部分市民为走“捷径”,踩坏了花草,走出了一条小路AB .通过计算可知,这些市民其实仅仅少走了步(假设1步为0.5米,结果保留整数).(参考数据:1.732π≈,取3.142)13.如图,在O 中,直径AB 与弦CD 交于点 2E AC BD=,.连接AD ,过点B 的切线与AD 的延长线交于点F .若68AFB ∠=︒,则DEB ∠=°.14.如图,Rt ABC 中,60C ∠=︒,斜边4BC =,以边AB 为直径在ABC 另一侧作半圆,点P 为半圆上一点,将半圆沿AP 所在直线翻折,翻折后的AP 与BC 边相切于点D ,与AB 边相交于点E ,则BE 的长为.15.如图,半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b,然后把半圆沿直线b 进行无滑动滚动,使半圆的直径与直线b 重合为止,则圆心O 运动路径的长度等于.三、解答题:16.如图,在⊙O 中,弦AB、CD 的延长线交于点P,且DA=DP.求证:BC=BP.17.如图,边长为1的正方形ABCD 的边AB 是⊙O 的直径,CF 是⊙O 的切线,E 为切点,F 点在AD 上,BE 是⊙O 的弦,求△CDF 的面积.18.已知O 的直径为10,四边形ABDC 内接于O ,AD 平分CAB ∠.(1)如图1,若BC 为O 的直径,求BD 的长;(2)如图2,若120BDC ∠=︒,求BD 的长.19.如图,已知AC 是⊙O 的直径,B 为⊙O 上一点,D 为 BC的中点,过D 作EF∥BC 交AB 的延长线于点E,交AC 的延长线于点F.(Ⅰ)求证:EF 为⊙O 的切线;(Ⅱ)若AB=2,∠BDC=2∠A,求 BC 的长.20.如图,等边三角形ABC 内接于O ,D 是 BC上一动点,连接AD ,BD ,CD ,延长DC 到点E ,使CE BD =,连接AE .(1)求证:ADE 是等边三角形;(2)填空:①若1BD =,2CD =,则AD 的长为;②当BAD ∠的度数为时,四边形OBDC 为菱形.参考答案:1.C 2.C 3.A 4.C 5.B 6.B 7.B 8.B 9.B 10.611.5cm 或13cm12.1513.6614.3-15.5π16.证明:∵DA=DP,∴∠P=∠A.又∵∠C=∠A,∴∠P=∠C.∴BC=BP.17.解:设AF=x,∵四边形ABCD 是正方形,∴∠DAB=90°,∴DA⊥AB,∴AD 是圆的切线,∵CF 是⊙O 的切线,E 为切点,∴EF=AF=x,∴FD=1﹣x,∴CF=CE+EF=CB+EF=1+x.∴在Rt△CDF 中由勾股定理得到:CF 2=CD 2+DF 2,即(1+x)2=1+(1﹣x)2,解得x=14,∴DF=1﹣x=34,∴S △CDF =12×1×34=38.18.(1)解:∵AD 平分CAB ∠,∴CAD BAD ∠=∠,∴ CD BD =,∴CD BD =,∵BC 为O 的直径,O 的直径为10,∴1090BC BDC ∠==︒,,∴BDC 为等腰直角三角形,∴2BD BC ==;(2)解:如图所示,连接OB OD ,,∵四边形ABDC 内接于O ,120BDC ∠=︒,∴18060BAC BDC ∠=︒-∠=︒,∵AD 平分CAB ∠,∴1302CAD BAD BAC ∠=∠=∠=︒,∴260BOD BAD ∠=∠=︒,又∵OB OD =,∴BOD 是等边三角形,∴11052BD OB ==⨯=.19.解:(1)连接OD,OB,∵D 为BC 的中点,∴∠BOD=∠COD,∵OB=OC,∴OD⊥BC,∴∠OGC=90°,∵EF∥BC,∴∠ODF=∠OGC=90°,即OD⊥EF,∵OD 是⊙O 的半径,∴EF 是⊙O 的切线;(2)∵四边形ABDC 是⊙O 的内接四边形,∴∠A+∠BDC=180°,又∵∠BDC=2∠A,∴∠A=60°,∵OA=OB,∴△OAB 等边三角形,∵OB=AB=2,又∵∠BOC=2∠A=120°,∴EC=12024=1803ππ⨯⨯20.(1)证明:∵△ABC 是等边三角形,∴AB=AC=BC,∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,∵∠CBD 与∠CAD 是 CD 所对的圆周角,∴∠CBD=∠CAD,同理可得:∠ABC=∠ADC=60°,∵∠ACE=∠CAD+∠ADC,∴∠ACE=∠ABC+∠CBD=∠ABD,在△ABD 和△ACE 中,AB ACABD ACE BD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABD≌△ACE,∴AD=AE,∴△ADE 是等边三角形(2)8;30°①∵BD=CE=1,DE=CD+CE,CD=2,∴DE=3,∵△ADE 是等边三角形,∴AD=DE=3.故答案为:3;②如图,连接OB、OC,∵∠BAC 和∠BOC 分别是 BC 所对的圆周角和圆心角,∴∠BOC=2∠BAC=120°,∵OB=OC,∴∠OCB=30°,∵四边形OBDC 为菱形,∵∠BAD和∠BCD都是 BD所对的圆周角,∴∠BAD=∠BCD=30°,的度数为30°时,四边形OBDC为菱形.∴当BAD故答案为:30°。
人教版九年级数学上册《第二十四章圆 》测试卷-附参考答案
人教版九年级数学上册《第二十四章圆》测试卷-附参考答案一、单选题1.已知AB是⊙O的直径,的度数为60°,⊙O的半径为2cm,则弦AC的长为()A.2cm B.cm C.1cm D.cm2.已知圆O的半径为5,同一平面内有一点P,且OP=4,则点P与圆O的关系是()A.点P在圆内B.点P在圆外C.点P在圆上D.无法确定3.如图,是的直径,若,则圆周角的度数是()A.B.C.D.4.如图,已知半圆O与四边形的边相切,切点分别为D,E,C,设半圆的半径为2,则四边形的周长为()A.7 B.9 C.12 D.145.如图,是的内接三角形,作,并与相交于点D,连接BD,则的大小为()A.B.C.D.6.如图,点A,B,C在上,四边形是平行四边形.若对角线,则的长为()A.B.C.D.7.如图,正方形ABCD内接于⊙O,点P在劣弧AB上,连接DP,交AC于点Q.若QP=QO,则的值为()A.B.C.D.8.如图,半径为的扇形中,是上一点,垂足分别为,若,则图中阴影部分面积为( )A.B.C.D.二、填空题9.如图,是的弦,C是的中点,交于点D.若,则的半径为 .10.如图,是的直径,交于点,且,则的度数= .11.AB为半圆O的直径,现将一块等腰直角三角板如图放置,锐角顶点P在半圆上,斜边过点B,一条直角边交该半圆于点Q.若AB=2,则线段BQ的长为.12.如图,为的外接圆,其中点在上,且,已知和则.13.如图,以正方形的顶点为圆心,以对角线为半径画弧,交的延长线于点,连结,若,则图中阴影部分的面积为.(结果用表示)三、解答题14.如图,CD是⊙O的直径,弦AB⊥CD于E,是的中点,连接BC,AO,BD.求的大小.15.如图,是的外接圆,且,点M是的中点,作交的延长线于点N,连接交于点D.(1)求证:是的切线;(2)若,求的半径.16.如图,等腰内接于,AC的垂直平分线交边BC于点E,交于F,垂足为D,连接AF并延长交BC的延长线于点P.(1)求证:;(2)若,求的度数.17.如图,在中,是边上一点,以为圆心,为半径的圆与相交于点,连接,且.(1)求证:是的切线;(2)若,求的长.18.如图,⊙O的半径OC垂直于弦AB于点D,点P在OC的延长线上,AC平分∠PAB.(1)判断AP与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若⊙O的半径为4,弦AB平分OC,求与弦AB、AC围成的阴影部分的面积.参考答案:1.A2.A3.B4.D5.A6.C7.D8.B9.510.24°11.12.13.14.解:又是中点在和中≌∴BD=OA是直径,OA是半径90°且30°. 15.(1)证明:∵∴∵点M是的中点∴∴∴∴是的直径∴∵∴∴是的切线;(2)解:如图所示,连接,设交于D∵∴设的半径为r,则∵∴在中,由勾股定理的∴∴∴的半径为.16.(1)证明:如图,连接BF.∵AC的垂直平分线交边BC于点E,交于F,且圆是轴对称图形,∴O,E,F三点共线,∴∴∴,∵,∴(2)解:如图,连接CF,设,则∵∴∵∴∴∴.∵∴,即易证(SAS),∴∵,∴,∴,∴,解得∴∴的度数为108°.17.(1)证明:连接OD.∵AC=CD∴∠A=∠ADC.∵OB=OD∴∠B=∠BDO.∵∠ACB=90°∴∠A+∠B=90°.∴∠ADC+∠BDO=90°.∴∠ODC=180°﹣(∠ADC+∠BDO)=90°.又∵OD是⊙O的半径∴CD是⊙O的切线.(2)解:∵AC=CD,∠A=60°∴△ACD是等边三角形.∴∠ACD=60°.∴∠DCO=∠ACB﹣∠ACD=30°.在Rt△OCD中,OD=CDtan∠DCO tan30°=2.∵∠B=90°﹣∠A=30°,OB=OD∴∠ODB=∠B=30°.∴∠BOD=180°﹣(∠B+∠BDO)=120°.∴的长18.(1)解:AP与⊙O的位置关系是相切,理由如下:连接平分垂直于弦,且是半径是的切线;(2)解:连接OB,如图所示:∵弦AB垂直平分OC∴∴∴∵OA=OC∴△OAC是等边三角形∴∴△OBD≌△CAD(ASA)∴。
2021年九年级上学期期末考试数学人教版试题(必刷卷二十四+答案)
2021届九年级上学期期末考试数学试题(必刷卷二十四)一.选择题(共10小题,满分30分)1.下列图形中,是中心对称图形,但不是轴对称图形的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.将二次函数y=﹣2x 2+6x﹣4配成顶点式为( ) A. 2312()22yx B. 2312()22y x C. 2312()22y x D. 2312()22y x 3.根据你对下列诗词的理解,请你从概率统计的角度判断:所给诗词描述的事件属于随机事件的是( )A. 锄禾日当午,汗滴禾下土B. 白日依山尽,黄河入海流C. 离离原上草,一岁一枯荣D. 春眠不觉晓,处处闻啼鸟4.如图,AB 是﹣O 的直径,点C﹣D 在﹣O 上.若﹣ABD=55°,则﹣BCD 的度数为( )A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°5.已知关于x 的一元二次方程mx 2+2x-1=0有两个不相等的实数根,则m 的取值范围是( ﹣A. m<-1B. m>1C. m<1且m≠0D. m>-1且m≠06.已知⊙O 的直径CD=10cm﹣AB 是⊙O 的弦,AB=8cm ,且AB ⊥CD ,垂足为M ,则AC 的长为( )cm 或 或7.在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球,它们除颜色外都相同,随机从中摸出一个球,记下颜色后放回袋子中,充分摇匀后,再随机摸出一个球.两次都摸到黄球的概率是( )A. 49B. 13C. 29D. 198.已知函数y=﹣﹣x﹣m﹣﹣x﹣n﹣+3,并且a﹣b 是方程(x﹣m﹣﹣x﹣n﹣=3的两个根,则实数m﹣n﹣a﹣b 的大小关系可能是( )A. m﹣a﹣b﹣nB. m﹣a﹣n﹣bC. a﹣m﹣b﹣nD. a﹣m﹣n﹣b9.宾馆有50间房供游客居住,当毎间房每天定价为180元时,宾馆会住满;当毎间房每天的定价每增加10元时,就会空闲一间房.如果有游客居住,宾馆需对居住的毎间房每天支出 20 元的费用﹣当房价定为多少元时﹣宾馆当天的利润为10890元?设房价定为x 元.则有( ﹣ A. ﹣180+x﹣20﹣﹣50﹣10x ﹣=10890 B. ﹣x﹣20﹣﹣50﹣18010x ﹣=10890 C. x﹣50﹣ 18010x ﹣﹣50×20=10890 D. ﹣x+180﹣﹣50﹣10x ﹣﹣50×20=10890 10.已知二次函数y=ax 2+bx+c﹣a≠0)的图象如图,在下列代数式中(1﹣a+b+c﹣0﹣﹣2﹣﹣4a﹣b﹣﹣2a﹣3﹣abc﹣0﹣﹣4﹣5a﹣b+2c﹣0﹣ 其中正确的个数为( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二.填空题(共6小题,满分18分,每小题3分)11.在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(a﹣3),点B 的坐标是(4﹣b ),若点A 与点B 关于原点O 对称,则ab=_____﹣12.一元二次方程x 2﹣4x+2=0的两根为x 1,x 2,则x 12﹣4x 1+2x 1x 2的值为_____.13.已知圆锥的底面半径为5cm ,侧面积为65πcm 2,圆锥的母线是_____cm ﹣14.林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率,下图是这种幼树在移植过程中幼树成活率的统计图:估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为______(结果精确到0.01).15.如图,是一个长为30m,宽为20m的矩形花园,现要在花园中修建等宽的小道,剩余的地方种植花草.如图所示,要使种植花草的面积为532m2,那么小道进出口的宽度应为米.16.如图,正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG,EF与AD相交于点H,延长DA交GF于点K.若正方形ABCD AK= .三.解答题(共7小题,满分52分)17.解方程:(x+1﹣﹣x+2﹣=2x+4﹣18.如图所示,在长为32m、宽20m的矩形耕地上,修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,横向与纵向互相垂直),把耕地分成大小不等的六块作试验田,要使试验田面积为570m2﹣问道路应多宽?19.将一块含30°角的直角三角板OAB和一块等腰直角三角板ODC按如图的方式放置在平面直角坐标系中.已知C﹣B两点分别在x轴和y轴上,∠ABO=∠D=90°﹣OB=OC﹣AB=3﹣﹣1)求边OC的长.﹣2)将直角三角板OAB绕点顺时针方向旋转,使OA落在x轴上的OA′位置,求图中阴影部分的面积.20.某商场,为了吸引顾客,在“白色情人节”当天举办了商品有奖酬宾活动,凡购物满200元者,有两种奖励方案供选择:一是直接获得20元的礼金券,二是得到一次摇奖的机会.已知在摇奖机内装有2个红球和2个白球,除颜色外其它都相同,摇奖者必须从摇奖机内一次连续摇出两个球,根据球的颜色(如表)决定送礼金券的多少.(1)请你用列表法(或画树状图法)求一次连续摇出一红一白两球的概率.(2)如果一名顾客当天在本店购物满200元,若只考虑获得最多的礼品券,请你帮助分析选择哪种方案较为实惠.21.如图,AB是⊙O的直径,AP是⊙O的切线,点A为切点,BP与⊙O交于点C,点D是AP的中点,连结CD﹣﹣1)求证:CD是⊙O的切线;﹣2)若AB=2﹣∠P=30°,求阴影部分的面积.22.某市城区新建了一“中央商场”,该商场的第4层共分隔成了27间商铺对外招租.据预测:当每间的年租金定为8万元时,可全部租出;每间的年租金每增加0.5万元,少租出商铺1间.该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元,未租出的商铺改作其他服务(休闲)用途,每间每年需费用5 000元.﹣1)当每间商铺的年租金定为10万元时,能租出_______间;﹣2)当该商场第4层每间商铺的年租金定为多少万元时,该层的年收益(收益=租金-各种费用)为199万元?﹣3)当每间商铺的年租金定为_______万元时, 该“中央商场”的第4层年收益最大,最大收益为_____﹣23.已知二次函数2y x bx c的图象过点A﹣3﹣0﹣﹣C﹣﹣1﹣0﹣﹣﹣1)求二次函数的解析式;﹣2)如图,二次函数的图象与y轴交于点B,二次函数图象的对称轴与直线AB交于点P,求P点的坐标;﹣3)在第一象限内的抛物线上有一点Q,当QAB的面积最大时,求点Q的坐标﹣2021届九年级上学期期末考试数学试题(必刷卷二十四)一.选择题(共10小题,满分30分)1.下列图形中,是中心对称图形,但不是轴对称图形的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.【详解】解:第1个图形是轴对称图形,但不是中心对称图形,故此选项错误;第2个图形是轴对称图形,不是中心对称图形,故此选项错误;第3个图形既是中心对称图形也是轴对称图形,故此选项错误;第4个图形不是轴对称图形,是中心对称图形,故此选项正确;故选:A .【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.2.将二次函数y=﹣2x 2+6x ﹣4配成顶点式为( ) A. 2312()22yx B. 2312()22y x C. 2312()22y x D. 2312()22y x 【答案】B【解析】【分析】先提取-2,再利用完全平方公式进行配方即可得解.【详解】解:y=﹣2x 2+6x ﹣4=﹣2(x 2﹣3x+94)+92﹣4=﹣2(x﹣32)2+12.故选:B.【点睛】本题考查了二次函数由一般式化为顶点式的方法,先把二次项系数化为1,再利用完全平方公式进行配方即可,熟记完全平方公式是解题的关键,难度不大.3.根据你对下列诗词的理解,请你从概率统计的角度判断:所给诗词描述的事件属于随机事件的是()A. 锄禾日当午,汗滴禾下土B. 白日依山尽,黄河入海流C. 离离原上草,一岁一枯荣D. 春眠不觉晓,处处闻啼鸟【答案】D【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可.【详解】选项A,锄禾日当午,汗滴禾下土是必然事件;选项B,白日依山尽,黄河入海流是必然事件;选项C,离离原上草,一岁一枯荣是必然事件;选项D,春眠不觉晓,处处闻啼鸟是随机事件.故选D.【点睛】本题考查了随机事件,解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下,一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件,不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件.4.如图,AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上.若∠ABD=55°,则∠BCD的度数为()A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°【答案】C【解析】解:∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°.∵∠ABD=55°,∴∠A=90°﹣55°=35°,∴∠BCD=∠A=35°.故选C.点睛:本题考查的是圆周角定理,熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键.5.已知关于x 的一元二次方程mx 2+2x-1=0有两个不相等的实数根,则m 的取值范围是( )A. m<-1B. m>1C. m<1且m≠0D. m>-1且m≠0【答案】D【解析】试题分析:根据题目2个条件,一个是二次方程,限定0m ,另一个为两个不等的实数根,则要求>0,即224m >0,故选:D .考点:一元二次方程.6.已知⊙O 的直径CD=10cm ,AB 是⊙O 的弦,AB=8cm ,且AB ⊥CD ,垂足为M ,则AC 的长为()A. B. cm C. 或 D. 或【答案】C【解析】连接AC ,AO ,∵O 的直径CD=10cm ,AB ⊥CD ,AB=8cm ,∴AM=12AB=12×8=4cm,OD=OC=5cm,当C 点位置如图1所示时,∵OA=5cm ,AM=4cm ,CD ⊥AB ,∴222254AM =3cm ,∴CM=OC+OM=5+3=8cm ,∴22224845CM cm ;当C 点位置如图2所示时,同理可得OM=3cm , ∵OC=5cm ,∴MC=5−3=2cm ,在Rt △AMC 中22224225CM cm.故选C.7.在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球,它们除颜色外都相同,随机从中摸出一个球,记下颜色后放回袋子中,充分摇匀后,再随机摸出一个球.两次都摸到黄球的概率是( ) A. 49 B. 13 C. 29 D. 19【答案】A【解析】【分析】首先根据题意画出树状图,由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黄球的情况,然后利用概率公式求解即可求得答案.注意此题属于放回实验. 【详解】画树状图如下:由树状图可知,共有9种等可能结果,其中两次都摸到黄球的有4种结果,∴两次都摸到黄球的概率为49, 故选A .【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识.注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件;解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.8.已知函数y=﹣(x ﹣m )(x ﹣n )+3,并且a ,b 是方程(x ﹣m )(x ﹣n )=3的两个根,则实数m ,n ,a ,b 的大小关系可能是( )A. m <a <b <nB. m <a <n <bC. a <m <b <nD. a <m <n <b【答案】D【解析】【分析】令抛物线解析式中y =0,得到方程的解为a ,b ,即为抛物线与x 轴交点的横坐标为a ,b ,再由抛物线开口向下得到a <x <b 时y 大于0,得到x =m 与n 时函数值大于0,即可确定出m ,n ,a ,b 的大小关系.【详解】函数y =﹣(x ﹣m )(x ﹣n )+3,令y =0,根据题意得到方程(x ﹣m )(x ﹣n )=3的两个根为a ,b ,∵当x =m 或n 时,y =3>0,∴实数m ,n ,a ,b 的大小关系为a <m <n <b .故选D.【点睛】此题考查了抛物线与x 轴的交点,熟练掌握抛物线的性质是解本题的关键.9.宾馆有50间房供游客居住,当毎间房每天定价为180元时,宾馆会住满;当毎间房每天的定价每增加10元时,就会空闲一间房.如果有游客居住,宾馆需对居住的毎间房每天支出 20 元的费用.当房价定为多少元时,宾馆当天的利润为10890元?设房价定为x 元.则有( )A. (180+x ﹣20)(50﹣10x )=10890 B. (x ﹣20)(50﹣18010x )=10890 C. x (50﹣ 18010x )﹣50×20=10890 D. (x+180)(50﹣10x )﹣50×20=10890 【答案】B【解析】【分析】设房价定为x 元,根据利润=房价的净利润×入住的房间数可得.【详解】设房价定为x 元,根据题意,得(x ﹣20)(50﹣18010x )=10890. 故选:B .【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用,解题的关键是掌握宾馆每天的总利润=每间每天利润已租出房间数量=(每间每天定价-每间每天支出)×已租出房间数量.10.已知二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象如图,在下列代数式中(1)a+b+c >0;(2)﹣4a <b <﹣2a(3)abc >0;(4)5a ﹣b+2c <0; 其中正确的个数为( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】A【解析】【分析】由抛物线开口向上得到a 大于0,再由对称轴在y 轴右侧得到a 与b 异号,即b 小于0,由抛物线与y 轴交于正半轴,得到c 大于0,可得出abc 的符合,对于(3)作出判断;由x=1时对应的函数值小于0,将x=1代入二次函数解析式得到a+b+c 小于0,(1)错误;根据对称轴在1和2之间,利用对称轴公式列出不等式,由a 大于0,得到-2a 小于0,在不等式两边同时乘以-2a ,不等号方向改变,可得出不等式,对(2)作出判断;由x=-1时对应的函数值大于0,将x=-1代入二次函数解析式得到a-b+c 大于0,又4a 大于0,c 大于0,可得出a-b+c+4a+c 大于0,合并后得到(4)正确,综上,即可得到正确的个数.【详解】由图形可知:抛物线开口向上,与y 轴交点在正半轴,∴a >0,b <0,c >0,即abc <0,故(3)错误;又x =1时,对应的函数值小于0,故将x =1代入得:a +b +c <0,故(1)错误;∵对称轴在1和2之间, ∴122ba ,又a >0, ∴在不等式左右两边都乘以−2a 得:−2a >b >−4a ,故(2)正确;又x =−1时,对应的函数值大于0,故将x =1代入得:a −b +c >0,又a >0,即4a >0,c >0,∴5a −b +2c =(a −b +c )+4a +c >0,故(4)错误,综上,正确的有1个,为选项(2).故选:A.【点睛】考查二次函数图象与系数的关系,掌握二次函数系数对图象的影响是解题的关键.二.填空题(共6小题,满分18分,每小题3分)11.在平面直角坐标系中,点A的坐标为(a,3),点B的坐标是(4,b),若点A与点B关于原点O对称,则ab=_____.【答案】12【解析】【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a,b的值,进而得出答案.【详解】∵点A的坐标为(a,3),点B的坐标是(4,b),点A与点B关于原点O对称,∴a=﹣4,b=﹣3,则ab=12,故答案为:12.【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标,熟知关于原点对称的两点的横、纵坐标互为相反数是解题的关键.12.一元二次方程x2﹣4x+2=0的两根为x1,x2,则x12﹣4x1+2x1x2的值为_____.【答案】2【解析】【分析】根据根与系数的关系及一元二次方程的解可得出x12-4x1=-2、x1x2=2,将其代入x12-4x1+2x1x2中即可求出结论.【详解】∵一元二次方程x2-4x+2=0的两根为x1、x2,∴x12-4x1=-2,x1x2=2,∴x12-4x1+2x1x2=-2+2×2=2.故答案为:2.【点睛】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解,牢记两根之和等于-ba、两根之积等于ca是解题的关键.13.已知圆锥的底面半径为5cm,侧面积为65πcm2,圆锥的母线是_____cm.【答案】13【解析】试题解析:圆锥的侧面积=π×底面半径×母线长,把相应数值代入即可求解.设母线长为R,则:65ππ5R,解得:13.R cm故答案为:13.14.林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率,下图是这种幼树在移植过程中幼树成活率的统计图:估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为______(结果精确到0.01).【答案】0.88【解析】分析:首先结合现实生活,对于不同批次的幼树移植成活率往往误差会比较大,为了减少误差,我们经常采用多批次计算求平均数的方法,然后再根据算术平均数的求法计算出这种幼树移植过程中统计的10次的成活率的平均数即可.详解:1(0.8650.9040.8880.8680.8750.8920.8820.8788.8790.881)0.88.x故答案为:100.88.点睛:本题主要考查的是利用频率估计概率,正确理解大量反复试验下频率稳定值即是概率是解题的关键.15.如图,是一个长为30m,宽为20m的矩形花园,现要在花园中修建等宽的小道,剩余的地方种植花草.如图所示,要使种植花草的面积为532m2,那么小道进出口的宽度应为米.【答案】1.【解析】试题分析:设小道进出口的宽度为x米,依题意得(30-2x)(20-x)=532,整理,得x2-35x+34=0.解得,x1=1,x2=34.∵34>30(不合题意,舍去),∴x=1.答:小道进出口的宽度应为1米.考点:一元二次方程的应用.16.如图,正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG,EF与AD相交于点H,延长DA交GF于点K.若正方形ABCD AK= .【答案】3.【解析】试题分析:连接BH,由正方形的性质得出∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°,由旋转的性质得:AB=EB,∠CBE=30°,得出∠ABE=60°,由HL证明Rt△ABH≌Rt△EBH,得出∠ABH=∠EBH=∠ABE=30°,AH=EH,由三角函数求出AH,得出EH、FH,再求出KH=2FH,即可求出AK.考点:旋转的性质.三.解答题(共7小题,满分52分)17.解方程:(x+1)(x+2)=2x+4.【答案】x=﹣2或1【解析】【分析】先变形得到(x+1)(x+2)-2(x+2)=0,然后利用因式分解法解方程.【详解】原方程可变为:(x+1)(x+2)=2(x+2).即(x+2)(x ﹣1)=0,解得:x=﹣2或1.【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法:先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也就把原方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想). 18.如图所示,在长为32m 、宽20m 的矩形耕地上,修筑同样宽的三条道路(两条纵向,一条横向,横向与纵向互相垂直),把耕地分成大小不等的六块作试验田,要使试验田面积为570m 2,问道路应多宽?【答案】道路为1m 宽.【解析】试题分析:本题中,试验地的面积=矩形耕地的面积﹣三条道路的面积+道路重叠部分的两个小正方形的面积.如果设道路宽x ,可根据此关系列出方程求出x 的值,然后将不合题意的舍去即可.试题解析:设道路为x 米宽,由题意得:(322)(20)570x x ,整理得:236350x x ,解得:1x ,35x ,经检验是原方程的解,但是x=35>20,因此不合题意舍去.答:道路为1m 宽.考点:一元二次方程的应用.19.将一块含30°角的直角三角板OAB 和一块等腰直角三角板ODC 按如图的方式放置在平面直角坐标系中.已知C 、B 两点分别在x 轴和y 轴上,∠ABO=∠D=90°,OB=OC ,AB=3.(1)求边OC 的长.(2)将直角三角板OAB 绕点顺时针方向旋转,使OA 落在x 轴上的OA′位置,求图中阴影部分的面积.【答案】﹣274 【解析】【分析】(1)先利用含30度的直角三角形三边的关系求出OB ,然后利用OC=OB 得到OC 的长;(2)先计算出OC 的长,然后根据扇形面积公式,利用S 阴影部分=S 扇形AOA′-S △OCD 进行即可.【详解】(1)在Rt △OAB 中,∵∠AOB=30°,∴∴(2)在Rt △OAB 中,∵∠AOB=30°,∴AB=2AB=6,∵△ODC 为等腰直角三角形,∴OD=CD=2OC=2,∴S 阴影部分=S 扇形AOA′﹣S △OCD =2606360﹣12=6π﹣274. 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转:图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标.常见的是旋转特殊角度如:30°,45°,60°,90°,180°.也考查了等腰直角三角形的性质.20.某商场,为了吸引顾客,在“白色情人节”当天举办了商品有奖酬宾活动,凡购物满200元者,有两种奖励方案供选择:一是直接获得20元的礼金券,二是得到一次摇奖的机会.已知在摇奖机内装有2个红球和2个白球,除颜色外其它都相同,摇奖者必须从摇奖机内一次连续摇出两个球,根据球的颜色(如表)决定送礼金券的多少.(1)请你用列表法(或画树状图法)求一次连续摇出一红一白两球的概率.(2)如果一名顾客当天在本店购物满200元,若只考虑获得最多的礼品券,请你帮助分析选择哪种方案较为实惠.【答案】(1)见解析(2)选择摇奖【解析】试题分析:(1)画树状图列出所有等可能结果,再让所求的情况数除以总情况数即为所求的概率;(2)算出相应的平均收益,比较大小即可.试题解析:(1)树状图为:∴一共有6种情况,摇出一红一白的情况共有4种,∴摇出一红一白的概率=42 63;(2)∵两红的概率P=16,两白的概率P=16,一红一白的概率P=23,∴摇奖的平均收益是:16×18+23×24+16×18=22,∵22>20,∴选择摇奖.【点睛】主要考查的是概率的计算,画树状图法适合两步或两步以上完成的事件;解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.21.如图,AB是⊙O的直径,AP是⊙O的切线,点A为切点,BP与⊙O交于点C,点D是AP的中点,连结CD.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)若AB=2,∠P=30°,求阴影部分的面积.【答案】(1)证明见解析;(23.【解析】【分析】(1)连结OC,AC,由圆周角定理和切线的性质得出∠ABP=90°,∠ACP=90°,由直角三角形斜边上的中线性质得出DC=12AP=DA,由等腰三角形的性质得出∠DAC=∠DCA,∠OAC=∠OCA,证出∠OCD=90°,即可得出结论;(2)由含30°角的直角三角形的性质得出BP=2AB=4,由勾股定理求出AP,再由直角三角形斜边上的中线性质得出CD的长即可.【详解】(1)连结OC,AC,如图所示:∵AB是⊙O的直径,AP是切线,∴∠BAP=90°,∠ACP=90°,∵点D是AP的中点,∴DC═AP=DA,∴∠DAC=∠DCA,又∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∴∠OCD=∠OCA+∠DCA=∠OAC+∠DAC=90°,即OC ⊥CD ,∴CD 是⊙O 的切线;(2)∵在Rt △ABP 中,∠P=30°,∴∠B=60°,∴∠AOC=120°,∴OA=1,BP=2AB=4,,∴=.【点睛】本题综合考查了圆周角定理、切线的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、含30°角的直角三角形的性质;熟练掌握切线的判定与性质是解决问题的关键.22.某市城区新建了一“中央商场”,该商场的第4层共分隔成了27间商铺对外招租.据预测:当每间的年租金定为8万元时,可全部租出;每间的年租金每增加0.5万元,少租出商铺1间.该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元,未租出的商铺改作其他服务(休闲)用途,每间每年需费用5 000元. (1)当每间商铺的年租金定为10万元时,能租出_______间;(2)当该商场第4层每间商铺的年租金定为多少万元时,该层的年收益(收益=租金-各种费用)为199万元?(3)当每间商铺的年租金定为_______万元时, 该“中央商场”的第4层年收益最大,最大收益为_____.【答案】(1)23;(2)9万元或13万元;(3)11,207【解析】试题分析:(1)根据每增加0.5万元,少租出1间,通过计算即可得;(2)设每间商铺的年租金增加x 万元,根据收益=租金-各种费用,列出方程即可得;(3)设每间商铺的年租金增加x 万元,年收益为w 万元,根据收益=租金-各种费用,列出函数关系式,根据函数的性质即可得.试题解析:(1)(1) 27-1080.5=23(间),故答案为:23; (2)设每间商铺的年租金增加x 万元,则2782710.51990.50.50.5x x x x ,2650x x , ∴15x x 或,∴8+1=9或8+5=13,∴ 每间商铺的年租金定为9万元或13万元;(3)设每间商铺的年租金增加x 万元,年收益为w 万元,则有 w=2782710.50.50.50.5x x x x =-2(x-3)2+207, ∵-2<0,∴当x=3时,w 有最大值为207,即定价为3+8=11万元时,有最大收益为207万元, 故答案为:11,207.23.已知二次函数2y x bx c 的图象过点A (3,0)、C (-1,0). (1)求二次函数的解析式;(2)如图,二次函数的图象与y 轴交于点B ,二次函数图象的对称轴与直线AB 交于点P ,求P 点的坐标;(3)在第一象限内的抛物线上有一点Q ,当QAB 的面积最大时,求点Q 的坐标.【答案】(1)抛物线的解析式为y=-x 2+2x+3;(2) P (1,2).(3) Q (32,154). 【解析】试题分析:(1)将A 、C 的坐标代入函数解析式,解方程组求出b 、c 的值,即可得到函数的解析式;(2)先令x =0求出B 点坐标,然后利用待定系数法求出直线AB 的解析式,再在直线AB 解析式中令x =1即可得出点P 坐标;(3)设Q (m ,223m m ++),△QAB 的面积为S ,连接QA ,QB ,OQ ,则S =S S S OBQ OAQ OAB +,用含m 的代数式表示S ,然后利用二次函数的最值即可求出点Q 的坐标.试题解析:(1)把点A (3,0)、C (-1,0)代入2y x bx c =++中,得10,930b c b c +=++= 解得2,3b c ==∴抛物线的解析式为223y x x =++.(2)在223y x x =++中,当x =0时y =3, ∴B (0,3),设直线AB 的解析式为y kx b =+, ∴3,30b k b =+=, ∴1,3k b ==,∴直线AB 的解析式为3y x =+, 当x =1时,y =2,∴P (1,2).(3)设Q (m ,223m m ++),△QAB 的面积为S , 连接QA ,QB ,OQ ,则S =SS S OBQ OAQ OAB + =211123?222OB m OA m m OAOB +++ 又∵3OA OB ==, ∴S =2132332m m m ++ 23327228m =+ =2332m m ∴当32m =时S 最大, 此时223m m ++=154, ∴Q (32,154).。
【单元练】人教版初中九年级数学上册第二十四章《圆》经典练习题(含答案解析)
一、选择题1.如图,,AB AC 分别是O 的直径和弦,OD AC ⊥于点,D 连接,BD BC .若10,8AB AC ==,则BD 的长是( )A .25B .4C .213D .245C 解析:C【分析】 先根据圆周角定理得∠ACB=90°,则利用勾股定理计算出BC=6,再根据垂径定理得到CD=AD=12AC=4,然后利用勾股定理计算BD 的长. 【详解】解:∵AB 为直径,∴∠ACB=90°,∴22221086BC AB AC =-=-=,∵OD ⊥AC , ∴CD=AD=12AC=4, 在Rt △CBD 中,222246213BD BC CD =+=+=.故选:C .【点睛】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径.也考查了垂径定理.2.如图,四个水平放置正方形的边长都为4,顶点A 、B 、C 是圆上的点,则此圆的面积为( )A .72πB .85πC .100πD .104πB解析:B【分析】连接BC,作AB,BC的垂直平分线,交点为点O,连接OB,OC,根据垂直平分线可得AE=BE=2,DE=4×4=16,DC=4+2=6,设OD=x,则OE=16-x,再根据OB=OC即可列出方程求得x=7,最后再根据圆的面积公式计算即可.【详解】解:如图,连接BC,作AB,BC的垂直平分线,交点为点O,连接OB,OC,则OB=OC,AE=BE=2,DE=4×4=16,DC=4+2=6,设OD=x,则OE=16-x,∵OB=OC,∴OB2=OC2,∴22+(16-x) 2=62+x2,解得x=7,∴r2=OB2=22+92=85,∴圆的面积S=πr2=85π,故选:B.【点睛】本题考查了作三角形的外心,垂径定理的应用,圆的面积公式,熟练掌握垂径定理是解决本题的关键.3.如图,分别以AB,AC为直径的两个半圆,其中AC是半圆O的一条弦,E是弧AEC中点,D是半圆ADC中点.若DE=2,AB=12,且AC˃6,则AC长为()A.2B.2C.2D.2D解析:D【分析】连接OE,交AC于点F,由勾股定理结合垂径定理求出AF的长,即可得到结论.【详解】解:连接OE ,交AC 于点F ,∵E 为AEC 的中点,∴OE AC ⊥,F 为AC 的中点,∵12AB =∴6OE AO ==设EF x =,则6OF x =-∵F 为AC 的中点,D 为半圆ADC 的中点,∴DF AC ⊥,DF AF =∵2DE =,∴2DF x AF =+=在Rt △AOF 中,222OA OF AF =+即2226(6)(2)x x =-++, ∴122x =+,222x =-∴2(2)822AC x =+=+或822-∵6AC >∴822AC =+故选:D【点睛】本题考查了垂径定理,熟练掌握垂径定理,运用勾股定理求出AF 是解题的关键. 4.为落实好扶贫工作,某村驻村干部帮助村民修建了一个粮仓,该粮仓的屋顶是一个圆锥,为了合理购买、不浪费原材料,需要进行计算1个屋顶的侧面积大小,该圆锥母线长为5m ,底面圆周长为8m π,则1个屋顶的侧面积等于( )2m .(结果保留π)A .40πB .20πC .16πD .80πB解析:B【分析】 先根据底面周长可求得底面圆的半径,再根据圆锥的侧面积公式计算即可求解.【详解】解:∵2πr=8π,∴r=4,又∵母线l=5,∴圆锥的侧面积=πrl =π×4×5=20π.故选:B .【点睛】本题考查了圆锥的侧面积计算方法,牢记有关圆锥和扇形之间的对应关系是解决本题的关键.5.如图,在三角形ABC 中,AB=22,∠B=30°,∠C=45°,以A 为圆心,以AC 长为半径作弧与AB 相交于点E ,与BC 相交于点F ,则弧EF 的长为( )A .6πB .2πC .23πD .πA解析:A【分析】过A 作AD ⊥BC ,连接AF ,求出∠FAE ,再利用弧长计算公式计算EF 的长即可.【详解】解:过A 作AD 垂直BC ,连接AF ,如图,∵2,30,45AB B C =∠=︒∠=︒,可得2∴AC=2,∵AC=AF∴∠AFC=∠C=45°,∴∠FAE=∠AFC-∠B=45°-30°=15°∴EF 的长为:152180π⨯=6π 故选:A【点睛】此题主要考查了弧长的计算,关键是掌握弧长计算公式.6.已知⊙O ,如图,(1)作⊙O 的直径AB ;(2)以点A 为圆心,AO 长为半径画弧,交⊙O 于C ,D 两点;(3)连接CD 交AB 于点E ,连接AC ,BC .根据以上作图过程及所作图形,有下面三个推断:①CE DE =;②3BE AE =;③2BC CE =.其中正确的推断的个数是( )A .0个B .1个C .2个D .3个D解析:D【分析】 ①根据作图过程可得AC AD =,根据垂径定理可判断;②连接OC ,根据作图过程可证得△AOC 为等边三角形,由等边三角形的性质即可判断; ③根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半即可判断.【详解】解:①∵以点A 为圆心,AO 长为半径画弧,交⊙O 于C ,D 两点,∴AC AD =,根据垂径定理可知,AB ⊥CE ,CE=DE ,∴①正确;②连接OC ,∵AC=OA=OC ,∴△AOC 为直角三角形,∵AB ⊥CE ,∴AE=OE ,∴BE=BO+OE=3AE ,∴②正确;③∵AB 为直径,∴∠ACB=90°,∵∠CAB=60°,∴∠ABC=30°,∴BC=2CE ,∴③正确,故选:D .【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质,理解基本作图知识,熟练掌握各基本性质和综合运用是解答的关键.7.如图,在⊙O 中,AB 是直径,弦AC=5,∠BAC=∠D .则AB 的长为( )A .5B .10C .52D .102解析:C【分析】 根据圆周角定理得出∠D=∠B ,得出△ABC 是等腰直角三角形,进而解答即可.【详解】∵AC=AC ,∴∠D=∠B ,∵∠BAC=∠D ,∴∠B=∠BAC ,∴△ABC 是等腰三角形,∵AB 是直径,∴△ABC 是等腰直角三角形,∵AC=5,∴AB=52故选:C .【点睛】本题考查了圆周角定理,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理的应用,关键是根据圆周角定理得出∠D=∠B .8.如图,AB 为O 的弦,半径OC 交AB 于点D ,AD DB =,5OC =,3OD =,则AB 的长为( )A.8 B.6 C.4 D.2A解析:A【分析】连接OB,根据⊙O的半径为5,CD=2得出OD的长,再由垂径定理的推论得出OC⊥AB,由勾股定理求出BD的长,进而可得出结论.【详解】解:连接OB,如图所示:∵⊙O的半径为5,OD=3,∵AD=DB,∴OC⊥AB,∴∠ODB=90°,∴2222=-=-=,BD OB OD.534∴AB=2BD=8.故选:A.【点睛】本题考查的是垂径定理以及勾股定理,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.9.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AB为⊙O的直径,点C为BD的中点.若∠=︒,则B的度数是()A50A.50︒B.55︒C.60︒D.65︒D解析:D【分析】连接AC,根据圆心角、弧、弦的关系求出∠BAC,根据圆周角定理求出∠ACB=90°,根据三角形内角和定理计算即可.【详解】解:连接AC ,∵点C 为BD 的中点,∴∠BAC=12∠BAD=25°, ∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ACB=90°,∴∠B=90°-∠BAC=65°,故选:D .【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理的应用,掌握圆心角、弧、弦的关系定理和圆周角定理是解题的关键.10.如图,在平行四边形ABCO 中,45C ∠=︒,点A ,B 在O 上,点D 在ADB 上,DA DB =,则AOD ∠的度数为( )A .112.5°B .120°C .135°D .150°C解析:C【分析】 延长DO 交AB 于点H ,连接OB ,证明△△AOD BOD ≅,OD 是AOB ∠的角平分线,求得290345∠=︒-∠=︒,进行求解即可;【详解】延长DO 交AB 于点H ,连接OB ,∵四边形ABCD 是平行四边形,45C ∠=︒,∴345∠=︒,∵DA DB =,OA OB =,∴△△AOD BOD ≅,∴OD 是AOB ∠的角平分线,又∵AO BO =,∴DH AB ⊥,∴290345∠=︒-∠=︒,又∵221∠=∠,∴18045135AOD ∠=︒-︒=︒.故选:C .【点睛】本题主要考查了与圆有关的计算,结合全等三角形的性质和角平分线的性质计算即可.二、填空题11.已知正方形MNKO 和正六边形ABCDEF 边长均为1,把正方形放在正六边形外边,使OK 边与AB 边重合,如图所示,按下列步骤操作:将正方形在正六边形外绕点B 顺时针旋转,使KN 边与BC 边重合,完成第一次旋转;再绕点C 顺时针旋转,使NM 边与CD 边重合,完成第二次旋转;…在这样连续的旋转过程中,第一次点M 在图中直角坐标系中的坐标是_______,第6次点M 的坐标是_______.【分析】先将正方形旋转六次的图形画出确定六次旋转之后点的位置然后通过添加辅助线构造出直角三角形进而利用含角的直角三角形的性质求得再根据勾股定理求得再根据正六边形的性质线段的和差即可求得即可得解【详解 解析:13,12⎛+ ⎝⎭332⎛ ⎝⎭【分析】先将正方形旋转六次的图形画出,确定六次旋转之后点M 的位置,然后通过添加辅助线构造出直角三角形,进而利用30含角的直角三角形的性质求得12FH =、12CJ =,再根据勾股定理求得632JM =,再根据正六边形的性质、线段的和差即可求得32JF =,即可得解.【详解】解:经历六次旋转后点M 落在点6M 处,过M 作MH x ⊥于点H ,过6M 作6M J x ⊥于点J ,连接6IM ,如图:∵在Rt AFH 中,1AF =,60AFH ∠=︒,30FAH ∠=︒∴1122FH AF == ∵已知点M 的纵坐标是312+,即312MH =+ ∴点M 的坐标是:13,12⎛ ⎝⎭; ∵在6Rt CJM 中,61CM =,660JCM ∠=︒,630CM J ∠=︒∴61122CJ CM ==,226632JM CM CJ =-= ∵点I 是正六边形的中心∴1IC IF ==∴32JF IF IC CJ =+-=∴点6M 的坐标是:33,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 故答案是:13,122⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭;33,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了正多边形、旋转变换、含30角的直角三角形、勾股定理、线段的和差以及坐标系中的图形与坐标,体现了数形结合的数学思想.12.如图,在平面直角坐标系xOy 中,点,,A B C 的坐标分别是(0,),(22,0),()4,0,M是ABC ∆的外接圆,则圆心M 的坐标为__________________,M 的半径为_______________________. 【分析】M 点为BC 和AB 的垂直平分线的交点利用点ABC 坐标易得BC 的垂直平分线为直线x=3AB 的垂直平分线为直线y=x 从而得到M 点的坐标然后计算MB 得到⊙M 的半径【详解】解:∵点ABC 的坐标分别是(解析:()3,310【分析】M 点为BC 和AB 的垂直平分线的交点,利用点A 、B 、C 坐标易得BC 的垂直平分线为直线x=3,AB 的垂直平分线为直线y=x ,从而得到M 点的坐标,然后计算MB 得到⊙M 的半径.【详解】解:∵点A ,B ,C 的坐标分别是(0,2),(2,0),(4,0),∴BC 的垂直平分线为直线x=3,∵OA=OB ,∴△OAB 为等腰直角三角形,∴AB 的垂直平分线为第一、三象限的角平分线,即直线y=x ,∵直线x=3与直线y=x 的交点为M 点,∴M 点的坐标为(3,3),∵22(32)310MB =-+=∴⊙M 10.故答案为(3,3),10.【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心:三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心.也考查了坐标与图形的性质.13.如图,等腰直角△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=4.平面内的直线l经过点A,作CE⊥l 于点E,连接BE.则当直线l绕着点A转动时,线段BE长度的最大值是________.【分析】以AC为直径作圆O连接BO并延长交圆O于点可得BO+O>B从而可得BO+OE>B即BE为最大值再由勾股定理求出BO 的长即可解决问题【详解】解:由题意知CE⊥l于点E∴以AC为直径作圆O∵CE解析:225+【分析】以AC为直径作圆O,连接BO,并延长交圆O于点E',可得BO+O E'>B E',从而可得BO+OE>B E',即BE为最大值,再由勾股定理求出BO的长即可解决问题.【详解】解:由题意知,CE⊥l于点E,∴以AC为直径作圆O,∵CE⊥AE,∴点E在圆O上运动,连接BO,并延长交圆O于点E',如图,∴BO+O E'>B E',∵OE=O E',∴BO+OE>B E',∴BE的长为最大值,∵AO=OC=OE,且AB=AC=4,∴122OE AC==又∵∠BAC=90°∴22222BO AO AB=+=+=4220∴25BO=∴BE=252+=+BO OE+故答案为:225【点睛】此题主要考查了求线段的最大值,构造出△ACE的外接贺是解答本题的关键.14.如图,点A,B,C在O上,顺次连接A,B,C,O.若四边形ABCO为平行∠=________︒.四边形,则AOC120【分析】连接OB先证明四边形ABCD是菱形然后再说明△AOB△OBC为等边三角形最后根据等边三角形的性质即可解答【详解】解:如图:连接OB∵点在上∴OA=OC=OB∵四边形为平行四边形∴四边形解析:120【分析】连接OB,先证明四边形ABCD是菱形,然后再说明△AOB、△OBC为等边三角形,最后根据等边三角形的性质即可解答.【详解】解:如图:连接OB∵点A,B,C在O上∴OA=OC=OB∵四边形ABCO为平行四边形∴四边形ABCO是菱形∴OA=OC=OB=AB=BC∴△AOB、△OBC为等边三角形∴∠AOB=∠BOC=60°∴∠AOC=120°.故答案为120.【点睛】本题主要考查了圆的性质和等边三角形的性质,根据题意证得△AOB 、△OBC 为等边三角形是解答本题的关键.15.如图,在平面直角坐标系中,点()3,4A ,()3,0B ,以A 为圆心,2为半径作A ,点P 为A 上一动点,M 为OP 的中点,连接BM ,设BM 的最大值为m ,最小值为n ,则m n -的值为_________.2【分析】方法一:在轴上取一点连接可求由可得由点在上运动可知共线时可以取得最大值或最小值最大值最小值由最大值与最小值求出即可;方法二:连接取中点连接利用三角形三边关系有可得作差计算即可【详解】解:方解析:2【分析】方法一:在x 轴上取一点()6,0E ,连接PE ,可求3OB BE ==,22345AE +=,由OM PM =,OB BE =,可得12BM PE =,由点P 在A 上运动,可知P 、A 、B 共线时,可以取得最大值或最小值,最大值'527EP ==+=,最小值''523EP =-=,由最大值与最小值求出72m =,32n =即可;方法二:连接PA 、OA ,取OA 中点N ,连接MN 、BN ,利用三角形三边关系有BN MN BM BN MN -≤≤+,可得m BN MN =+,n BN MN =-,作差计算22m n MN PA -===即可.【详解】解:方法一:在x 轴上取一点()6,0E ,连接PE ,∵()3,0B ,()3,4A ,∴3OB BE ==,22345AE =+=,∵OM PM =,OB BE =,∴12BM PE =, ∵点P 在A 上运动, ∴P 、A 、B 共线时,可以取得最大值或最小值,最大值'527EP ==+=,最小值''523EP =-=,∴72m =,32n =, ∴2m n -=, 故答案为2.方法二:连接PA 、OA ,取OA 中点N ,连接MN 、BN ,BN MN BM BN MN -≤≤+,m BN MN =+,n BN MN =-,22m n MN PA -===.故答案为:2.【点睛】本题考查三角形的中位线,勾股定理,三角形三边关系,线段和差,掌握三角形的中位线,勾股定理,三角形三边关系,线段和差,引辅助线构造准确图形是解题关键. 16.如图,已知点C 是半圆О上一点,将弧BC 沿弦BC 折叠后恰好经过点,O 若半圆O 的半径是2,则图中阴影部分的面积是________________________.【分析】过点O 作OD ⊥BC 于E 交半圆O 于D 点连接CD如图根据垂径定理由OD ⊥BC 得BE =CE 再根据折叠的性质得到ED =EO 则OE =OB 则可根据含30度的直角三角形三边的关系得∠OBC =30°即∠AB 解析:23π 【分析】过点O 作OD ⊥BC 于E ,交半圆O 于D 点,连接CD ,如图,根据垂径定理由OD ⊥BC 得BE =CE ,再根据折叠的性质得到ED =EO ,则OE =12OB ,则可根据含30度的直角三角形三边的关系得∠OBC =30°,即∠ABC =30°则∠AOC=60°,由于OC =OB ,则弓形OC 的面积=弓形OB 的面积,然后根据扇形的面积公式及S 阴影部分=S 扇形OAC 即可得到阴影部分的面积.【详解】如图:过点O 作OD ⊥BC 于E ,交半圆O 于D 点,连接CD ,∵OD ⊥BC ,∴BE =CE ,∵半圆O 沿BC 所在的直线折叠,圆弧BC 恰好过圆心O ,∴ED =EO ,∴OE =12OB , ∴∠OBC =30°,即∠ABC =30°,∴∠AOC=60°;∵OC =OB ,∴弓形OC 的面积=弓形OB 的面积,∴S 阴影部分=S 扇形OAC =260223603ππ⋅= . 【点睛】本题考查了折叠的性质:折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.也考查了垂定定理、圆周角定理和扇形的面积公式.17.如图,在圆O 的内接五边形ABCDE 中,40CAD ∠=︒,则B E ∠+∠=_______°.220【分析】连接CE根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC=180°再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED=∠CAD然后求解即可【详解】解析:220【分析】连接CE,根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠AEC=180°,再根据同弧所对的圆周角相等可得∠CED=∠CAD,然后求解即可.【详解】连接CE,∵五边形ABCDE是⊙O的内接五边形,∴四边形ABCE是⊙O的内接四边形,∴∠B+∠AEC=180°,∵∠CED=∠CAD=40°,∴∠B+∠AED=180°+40°=220°【点睛】本题考查圆内接四边形的性质,同弧所对的圆周角相等的性质,熟记性质并作辅助线构造出圆内接四边形是解题关键.BC=,若点P是矩形ABCD上一动点,要使得18.在矩形ABCD中,43AB=6∠=︒,则AP的长为__________.或4或8【分析】取CD中点P1连接60APBAP1BP1由勾股定理可求AP1=BP1=4即可证△AP1B是等边三角形可得∠AP1B =60°过点A点P1点B作圆与ADBC各有一个交点即这样的P点一共3个再运用勾解析:434或8.【分析】取CD中点P1,连接AP1,BP1,由勾股定理可求AP1=BP1=3△AP1B是等边三角形,可得∠AP1B=60°,过点A,点P1,点B作圆与AD,BC各有一个交点,即这样的P 点一共3个.再运用勾股定理求解即可.【详解】解:如图,取CD 中点P 1,连接AP 1,BP 1,如图1,∵四边形ABCD 是矩形∴AB =CD =43,AD =BC =6,∠D =∠C =90°∵点P 1是CD 中点∴CP =DP 1=23∴AP 1=221AD DP +=43, BP 1=221BC CP +=43 ∴AP 1=P 1B =AB∴△APB 是等边三角形∴∠AP 1B =60°,过点A ,点P 1,点B 作圆与AD ,BC 的相交,∴这样的P 点一共有3个当点P 2在AD 上时,如图2,∵四边形ABCD 是矩形,∴3,43,90AB A CD AD =∠===︒∵260,AP B ∠=︒∴221,2P A P B = 即222,P B P A =在2Rt P AB ∆中,22222,P B P A AB -=∴222222(43),P A P A -=∴24AP =;当点P 3在BC 上时,如图3,∵四边形ABCD 是矩形,∴∠B=90°∵∠360,AP B =︒∴∠3390906030,P AB AP B =︒-∠=︒-︒=︒ ∴331,2BP AP = 在3Rt ABP ∆中,22233,AP BP AB -=222331()(43),2AP AP -= 23348,4AP = ∴8,AP =综上所述,AP 的长为:43或4或8.故答案为:43或4或8.【点睛】本题考查了矩形的性质,勾股定理,等边三角形的判定和性质,灵活运用这些性质进行推理是本题的关键.19.如图,半径为10的扇形AOB 中,∠AOB=90°,C 为AB 上一点,CD ⊥OA ,CE ⊥OB ,垂足分别为D 、E .若∠CDE=36°,则图中阴影部分的面积为____.10π【分析】连接OC 易得△ODE ≌△ECO 所以扇形OBC 的面积就是图中阴影部分的面积因此求得扇形OBC 的面积即可【详解】解:如下图连接OC ∵∠AOB=90°CD ⊥OACE ⊥OB ∴四边形ODCE 为矩解析:10π【分析】连接OC ,易得△ODE ≌△ECO ,所以扇形OBC 的面积就是图中阴影部分的面积,因此求得扇形OBC 的面积即可.【详解】解:如下图连接OC ,∵∠AOB=90°、CD ⊥OA 、CE ⊥OB∴四边形ODCE 为矩形∴OD=CE ,OE 为公共边∴△ODE ≌△ECO∴△ODE 的面积=△ECO 的面积∴图中阴影部分的面积=2236361010360360O BC SOB πππ-==⨯=. 故答案为:10π.【点睛】本题考查扇形面积的计算和矩形的性质.其关键是用矩形性质对阴影部分进行等积变换,发现△ODE 的面积=△ECO 的面积.20.湖州南浔镇河流密如蛛网,民间有“千步一桥”之说.如图,某圆弧形桥拱的跨度AB =12米,拱高CD =4米,则该拱桥的半径为____米. 65【分析】根据垂径定理的推论此圆的圆心在CD 所在的直线上设圆心是O 连接OA 根据垂径定理和勾股定理求解【详解】根据垂径定理的推论知此圆的圆心在CD 所在的直线上设圆心是O 连接OA 拱桥的跨度AB=12m解析:6.5【分析】根据垂径定理的推论,此圆的圆心在CD 所在的直线上,设圆心是O .连接OA .根据垂径定理和勾股定理求解.【详解】根据垂径定理的推论,知此圆的圆心在CD 所在的直线上,设圆心是O ,连接OA . 拱桥的跨度AB =12m ,拱高CD =4m ,根据垂径定理,得AD=6 m ,利用勾股定理可得:()22264AO AO =--,解得:AO =6.5m .即圆弧半径为6.5米,故答案为:6.5.【点睛】本题综合运用了勾股定理以及垂径定理.注意由半径、半弦、弦心距构造的直角三角形进行有关的计算. 三、解答题21.如图,AB 是⊙O 的直径,点C 在⊙O 上,BD 平分ABC ∠交⊙O 于点D ,过点D 作DE BC ⊥,垂足为E .(1)求证:DE 与⊙O 相切;(2)若10AB =,6AD =,求DE 的长.解析:(1)见解析;(2)245 【分析】(1)连接OD ,由BD 为角平分线得到OBD CBD ∠=∠,再由OB=OD ,利用等边对等角得到ODB OBD ∠=∠,从而得出ODB CBD ∠=∠,利用内错角相等两直线平行得到OD 与BE 平行,由DE 垂直于BE 得到OD 垂直于DE ,即可得证;(2)过D 作DH AB ⊥于H ,根据HL 得出△≌△Rt ADH Rt CDE ,得出AH CE =,再根据勾股定理得出22221068BD AB AD -=-=,再利用等积法即可得出DE 的长.【详解】(1)证明:连接OD .∵OD OB =,∴ODB OBD ∠=∠.∵BD 平分ABC ∠,∴OBD CBD ∠=∠.∴ODB CBD ∠=∠,∴//OD BE .∴180BED ODE ∠+∠=︒.∵BE DE ⊥,∴90BED ∠=︒.∴90ODE ∠=︒.∴OD DE ⊥.∴DE 与O 相切;(2)过D 作DH AB ⊥于H .∵BD 平分ABC ∠,DE BE ⊥,∴DH DE =.∵AD CD =,∴AD CD =.∴()Rt ADH Rt CDE HL △≌△,∴AH CE =.∵AB 是O 的直径,∴90ADB ∠=︒. ∵10AB =,6AD =, ∴22221068BD AB AD =-=-=. ∵1122AB DH AD BD ⋅=⋅,∴245DH =. ∴245DE =. 【点睛】 此题考查了切线的判定,角平分线的性质、圆周角定理、平行线的判定与性质等知识,熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键,属于中考常考题型.22.如图,AB 是圆的直径,且AD//OC ,求证:CD BC =.解析:证明见解析.【分析】主要是根据弧相等只需要证明弧所对的圆周角相等或者弧所对的圆心角相等即可证明.连接AC 或者OD 都可以证明.【详解】解:连接ACAD//OC∴∠DAC=∠OCAOA=OC∴∠BAC=∠ACO∴∠DAC=∠BAC∴CD BC =.【点睛】主要是考察学生对圆周角定理的内容的掌握.同时角相等和弧相等之间的转化. 23.如图,已知直线PT 与⊙O 相交于点T ,直线PO 与⊙O 相交于A 、B 两点,已知PTA B ∠=∠.(1)求证:PT 是⊙O 的切线;(2)若3PT BT ==解析:(1)证明见解析;(2)364π- 【分析】 (1)先根据圆周角定理得:∠ATB=90°,则∠B+∠OAT=90°,根据同圆的半径相等和等腰三角形的性质得:∠OAT=∠2,从而得∠PTA+∠2=90°,即∠OTP=90°,所以直线PT 与⊙O 相切;(2)利用TP=TB 得到∠P=∠B ,而∠OAT=2∠P ,所以∠OAT=2∠B ,则利用∠ATB=90°可计算出∠B=30°,∠POT=60°,利用含30度的直角三角形三边的关系得到AT=12AB ,△AOT 为等边三角形,然后根据扇形的面积公式和图中阴影部分的面积=S 扇形OAT -S △AOT 进行计算.【详解】(1)证明:连接OT ,∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ATB=90°,∴∠B+∠OAT=90°,∵OA=OT ,∴∠OAT=∠2,∵∠PTA=∠B ,∴∠PTA+∠2=90°,即∠OTP=90°,∴直线PT 与⊙O 相切;(2)∵3PT BT ==∴∠P=∠B=∠PTA ,∵∠TAB=∠P+∠PTA ,∴∠TAB=2∠B ,∵∠TAB+∠B=90°,∴∠TAB=60°,∠B=30°,在Rt △ABT 中,设AT=a ,则AB=2AT=2a ,∴a 232=(2a)2,解得:a=1,∴AT=1,∵OA=OT ,∠TAO=60°,∴△AOT 为等边三角形, 13312AOT S ∴=⨯=. ∴阴影部分的面积2Δ 60133360464AOT AOTS S ππ⨯=-=-=-扇形. 【点睛】本题考查了切线的判定、勾股定理,此类题常与方程结合,列方程求圆的半径和线段的长,也考查了扇形的面积公式.24.如图,已知AB 是O 的直径,四边形AODE 是平行四边形,请用无刻度直尺按下列要求作图.(1)如图1,当点D 在圆上时,作BAC ∠的平分线;(2)如图2,当点D 不在圆上时,作BAC ∠的平分线.解析:(1)见解析;(2)见解析.【分析】(1)由四边形AODE 是平行四边形,结合圆的 半径相等,可知四边形AODE 是菱形,利用菱形的性质即可做出BAC ∠的平分线;(2)延长OD 交于圆一点,连接该点与点A ,由此即可作出C BA ∠的平分线.【详解】解:(1)如图①:AD 即为所求.∵四边形AODE 是平行四边形点D 在圆上∴四边形AODE 是菱形∴AD 平分BAC ∠;(2)如图②:延长OD 交于圆一点P ,连接AP ,同理可证AP 即为所求.【点睛】此题考查尺规作图,关键是掌握圆的相关知识及角平分线的判定方法.25.如图1是某人荡秋千的情形,简化成图2所示,起始状态下秋千顶端O 与座板A 的距离为2m (此时OA 垂直于地面),现一人荡秋千时,座板到达点B (OA 不弯曲).(1)当BOA 30∠=时,求AB 弧的长度(保留π);(2)当从点C 荡至点B ,且BC 与地面平行,3m BC =时,若点A 离地面0.4m ,求点B 到地面的距离(保号根号).解析:(1)3m π;(2)127()52m -. 【分析】(1)利用弧长公式计算,得到答案;(2)根据等腰三角形的性质求出BD ,根据勾股定理求出OD ,结合图形计算即可.【详解】解:(1)AB 弧线的长度=302()1803m ππ⨯=; (2)如图,∵OB=OC ,OD ⊥BC ,∴1322BD BC ==, 在Rt △OBD 中,OD 2+BD 2=OB 2, ∴2222372()2OD OB BD =-=-=, ∴点B 到地面的距离=712720.4252-+=-, 答:点B 到地面的距离为127(5m -. 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用、弧长的计算、勾股定理,掌握弧长公式是解题的关键.26.如图,已知AB 是⊙O 的直径,点C 、D 在⊙O 上,点E 在⊙O 外,∠CAE=∠ADC .(1)求证:AE 是⊙O 的切线;(2)若⊙O 的半径为2,∠B=60°,求图中阴影部分的面积.(结果保留根号和π) 解析:(1)见解析;(2)433π- 【分析】(1)根据AB 是直径得到∠ACB=90°,根据已知条件得到∠BAE =90°,即可得到结果; (2)作OM ⊥AC ,垂足为M ,求得AM=3,根据扇形的面积计算公式计算即可;【详解】(1)证明:∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90°,∴∠B+∠BAC=90°,∵∠B=∠ADC=∠CAE ,∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=∠BAC+∠B=90°,∴ BA ⊥AE ,∴AE 是⊙O 的切线.(2)解:作OM ⊥AC ,垂足为M .∵∠B=60°,∴∠AOC=2∠B=120°,∴∠AOM=∠COM=60°, ∴OM=12AO=1, ∴3 ∴AC=2AM=23∴S 阴=S 扇形AOC -S △AOC =120414-231336023ππ. 【点睛】本题主要考查了切线的证明和扇形的面积计算,准确分析计算是解题的关键. 27.如图,ABC 内接于O ,60BAC ∠=︒,点D 是BC 的中点.BC ,AB 边上的高AE ,CF 相交于点H .试证明:(1)FAH CAO ∠=∠;(2)四边形AHDO 是菱形.解析:(1)见详解;(2)见详解【分析】(1)连接AD ,根据题意易得,BAD CAD OD BC ∠=∠⊥,则有∠DAE=∠ODA ,∠DAO=∠ODA ,然后根据角的等量关系可求解;(2)过点O 作OM ⊥AC 于M ,由题意易得AC=2AM ,AC=2AF ,进而可证△AFH ≌△AMO ,然后可得四边形AHDO 是平行四边形,最后问题可证.【详解】证明:(1)连接AD ,如图所示:∵点D 是BC 的中点,∴,BAD CAD OD BC ∠=∠⊥,∵AE ⊥BC ,∴AE ∥OD ,∴∠DAE=∠ODA ,∵OA=OD ,∴∠DAO=∠ODA ,∴∠BAD-∠DAE=∠CAD-∠DAO ,∴∠FAH=∠CAO ;(2)过点O 作OM ⊥AC 于M ,∴AC=2AM ,∵CF ⊥AB ,∠BAC=60°,∴AC=2AF ,∴AF=AM ,∵∠AFH=∠AMO=90°,∠FAH=∠OAM ,∴△AFH ≌△AMO (ASA ),∴AH=AO ,∵OA=OD ,∴AH //CD ,∴四边形AHDO 是平行四边形,∵OA=OD ,∴四边形AHDO 是菱形.【点睛】本题主要考查圆周角定理、垂径定理及菱形的判定,熟练掌握圆周角定理、垂径定理及菱形的判定是解题的关键.28.已知PA 、PB 分别与O 相切于点A ,B 两点,76APB ∠=︒ ,C 为O 上一点. (1)如图,求ACB ∠的大小; (2)如图,AE 为O 的直径,AE 与BC 相交于点D ,若AB AD =,求EAC ∠的大小.解析:(1)52︒;(2)19︒【分析】(1)连接OA 、OB ,根据切线的性质得到90OAP OBP ∠=∠=︒,可以求出AOB ∠的度数,再根据圆周角定理得到ACB ∠的度数;(2)连接CE ,根据(1)的结论,先求出BCE ∠的度数,再由圆周角定理得到BAE BCE ∠=∠,再等腰三角形ABD 中求出底角ADB ∠的度数,再由外角和定理就可以求出EAC ∠的度数.【详解】解:(1)如图,连接OA 、OB ,∵PA 、PB 是O 的切线,∴90OAP OBP ∠=∠=︒,∴360909076104AOB ∠=︒-︒-︒-︒=︒,根据圆周角定理,1522ACB AOB ∠=∠=︒;(2)如图,连接CE , ∵AE 是O 的直径, ∴90ACE ∠=︒, ∵52ACB ∠=︒, ∴905238BCE ∠=︒-︒=︒, ∴38BAE BCE ∠=∠=︒, ∵AB AD =, ∴71ABD ADB ∠=∠=︒, ∴19EAC ADB ACB ∠=∠-∠=︒.【点睛】本题考查圆周角定理和切线的性质,解题的关键是掌握这些性质定理进行求解.。
2023-2024学年九年级数学上册《第二十四章 圆》单元测试卷有答案(人教版)
2023-2024学年九年级数学上册《第二十四章圆》单元测试卷有答案(人教版)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________知识点归纳1、圆在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆。
固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径,以点O为圆心的圆,记作⊙O,读作“圆O”。
连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆。
小于半圆的弧叫做劣弧。
大于半圆的弧叫做优弧。
能够重合的两个圆叫做等圆。
在同圆或等圆中,能重合的弧叫等弧。
2、垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。
推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;弦的垂直平分线过圆心,且平分弦对的两条弧.3、弧、弦、圆心角之间的关系定义:顶点在圆心的角叫做圆心角。
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。
在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等;在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧相等。
注:在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弦,两条弧、两个弦的弦心距中,有一组量相等,那么其余各组量也分别相等4、圆周角定义:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角。
圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等。
推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径。
圆内接四边形的性质:圆内接四边形的对角互补。
5、点和圆的位置关系设⊙O 的半径为r ,点P 到圆心的距离为OP=d ,则有:点P 在圆外⇔d >r ;点P 在圆上⇔d=r ;点P 在圆内⇔d <r 。
性质:不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
人教版数学九年级上册第二十四章《圆》知识点及练习题(附答案)
⼈教版数学九年级上册第⼆⼗四章《圆》知识点及练习题(附答案)《圆》章节知识点复习和练习附参考答案⼀、圆的概念集合形式的概念: 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合; 2、圆的外部:可以看作是到定点的距离⼤于定长的点的集合; 3、圆的内部:可以看作是到定点的距离⼩于定长的点的集合轨迹形式的概念:1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆⼼,定长为半径的圆;(补充)2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线); 3、⾓的平分线:到⾓两边距离相等的点的轨迹是这个⾓的平分线;4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平⾏于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;5、到两条平⾏线距离相等的点的轨迹是:平⾏于这两条平⾏线且到两条直线距离都相等的⼀条直线。
⼆、点与圆的位置关系1、点在圆内 ? d r < ? 点C 在圆内;2、点在圆上 ? d r = ? 点B 在圆上;3、点在圆外 ? d r > ? 点A 在圆外;三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 ? d r > ? ⽆交点;2、直线与圆相切 ? d r = ? 有⼀个交点;3、直线与圆相交 ? d r < ? 有两个交点;四、圆与圆的位置关系外离(图1)? ⽆交点 ? d R r >+;外切(图2)? 有⼀个交点 ? d R r =+;相交(图3)? 有两个交点 ? R r d R r -<<+;内切(图4)? 有⼀个交点 ? d R r =-;内含(图5)? ⽆交点 ? d R r <-;A五、垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的垂直平分线经过圆⼼,并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的⼀条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另⼀条弧以上共4个定理,简称2推3定理:此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即:①AB 是直径②AB CD ⊥③CE DE = ④弧BC =弧BD ⑤弧AC =弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。
难点解析-人教版九年级数学上册第二十四章圆专题攻克试题(含答案解析版)
人教版九年级数学上册第二十四章圆专题攻克考试时间:90分钟;命题人:数学教研组考生注意:1、本卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。
第I卷(选择题 30分)一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)1、如图,AB、AC为O的切线,B、C为切点,点D为弧BC上一点,过点D作O的切线分别交AB=,则AEF的周长等于().AB、AC于E、F,若6A.6B.12C.9D.182、已知⊙O的半径为4,点O到直线m的距离为d,若直线m与⊙O公共点的个数为2个,则d可取()A.5 B.4.5 C.4 D.03、如图,⊙O中,弦AB⊥CD,垂足为E,F为CBD的中点,连接AF、BF、AC,AF交CD于M,过F作FH⊥AC,垂足为G,以下结论:①CF DF=;②HC=BF:③MF=FC:④DF AH BF AF+=+,其中成立的个数是()A .1个B .2个C .3个D .4个4、如图,在四边形ABCD 中,60,90,2,3,A B D BC CD ∠=∠=∠===则AB =( )A .4B .5C .D 5、如图,PA 、PB 分别切O 于点A 、B ,点C 为优弧AB 上一点,若ACB APB ∠=∠,则ACB ∠的度数为( )A .67.5︒B .62︒C .60︒D .58︒6、一个商标图案如图中阴影部分,在长方形ABCD 中,8cm AB =,4cm BC =,以点A 为圆心,AD 为半径作圆与BA 的延长线相交于点F ,则商标图案的面积是( )A .()2216cm π+B .()228cm π+C .()2416cm π+D .()248cm π+ 7、在⊙O 中按如下步骤作图:(1)作⊙O 的直径AD ;(2)以点D 为圆心,DO 长为半径画弧,交⊙O 于B ,C 两点;(3)连接DB ,DC ,AB ,AC ,BC .根据以上作图过程及所作图形,下列四个结论中错误的是( )A .∠ABD =90°B .∠BAD =∠CBDC .AD ⊥BC D .AC =2CD8、如图,在ABC ∆中,90BAC ∠=︒,AB =AC =5,点D 在AC 上,且2AD =,点E 是AB 上的动点,连结DE ,点F ,G 分别是BC ,DE 的中点,连接AG ,FG ,当AG =FG 时,线段DE 长为( )A B C D .49、若某圆锥的侧面展开图是一个半圆,已知圆锥的底面半径为r ,那么圆锥的高为( )A .12rB .rCD .2r10、如图,⊙O 的半径为5cm ,直线l 到点O 的距离OM =3cm ,点A 在l 上,AM =3.8cm ,则点A 与⊙O 的位置关系是( )A .在⊙O 内B .在⊙O 上C .在⊙O 外D .以上都有可能第Ⅱ卷(非选择题 70分)二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)1、如图,直线y =﹣34x +6与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点,点P 是以C (﹣1,0)为圆心,1为半径的圆上一点,连接PA ,PB ,则△PAB 面积的最大值为_____.2、如图,圆锥的母线长OA=6,底面圆的半径为32,一只小虫在圆线底面的点A 处绕圆锥侧面一周又回到点A 处,则小虫所走的最短路程为___________(结果保留根号)3、如图,矩形ABCD 的对角线AC ,BD 交于点O ,分别以点A ,C 为圆心,AO 长为半径画弧,分别交AB ,CD 于点E ,F .若BD =4,∠CAB =36°,则图中阴影部分的面积为___________.(结果保留π).4、如图,在Rt AOB 中,90AOB ︒∠=,3OA =,2OB =,将Rt AOB 绕O 顺时针旋转90︒后得Rt FOE ,将线段EF 绕点E 逆时针旋转90︒后得线段ED ,分别以O ,E 为圆心,OA 、ED 长为半径画弧AF 和弧DF ,连接AD ,则图中阴影部分面积是________.5、如图,已知O 的半径为2,ABC ∆内接于O ,135ACB ∠=,则AB =__________.三、解答题(5小题,每小题10分,共计50分)1、如图,点A ,B ,C ,D 在⊙O 上,AB =CD .求证:(1)AC =BD ;(2)△ABE ∽△DCE .2、如图,在ABC 中,∠ABC =45°,AB AC =,以AB 为直径的⊙O 与边BC 交于点D .(1)判断直线AC 与⊙O 的位置关系,并说明理由;(2)若4AB =,求图中阴影部分的面积.3、(1)课本再现:在O 中,AOB ∠是AB 所对的圆心角,C ∠是AB 所对的圆周角,我们在数学课上探索两者之间的关系时,要根据圆心O 与C ∠的位置关系进行分类.图1是其中一种情况,请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形,并从三种位置关系中任选一种情况证明12∠=∠C AOB ;(2)知识应用:如图4,若O 的半径为2,,PA PB 分别与O 相切于点A ,B ,60C ∠=°,求PA 的长.4、如图,AB 为O 的直径,射线AD 交O 于点F ,点C 为劣弧BF 的中点,过点C 作CE AD ⊥,垂足为E ,连接AC .(1)求证:CE 是O 的切线;(2)若30,4BAC AB ∠=︒=,求阴影部分的面积.5、如图,AD BC =,比较AB 与CD 的长度,并证明你的结论.-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】由切线长定理可得,,AB AC DE BE FC FD ===,然后根据线段之间的转化即可求得AEF 的周长.【详解】∵AB 、AC 为O 的切线,所以AB AC =,又∵EF 为O 的切线,∴,DE BE FC FD ==,∴AEF 的周长6612AE AF EF AE DE AF DF AB AC =++=+++=+=+=.故选:B .【考点】此题考查了圆中切线长定理的运用,解题的关键是熟练掌握切线长定理.2、D【解析】【分析】根据直线和圆的位置关系判断方法,可得结论.【详解】∵直线m 与⊙O 公共点的个数为2个∴直线与圆相交∴d<半径=4故选D .【考点】本题考查了直线与圆的位置关系,掌握直线和圆的位置关系判断方法:设⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d.①直线l和⊙O相交⇔d<r②直线l和⊙O相切⇔d=r,③直线l和⊙O相离⇔d >r.3、C【解析】【分析】根据弧,弦,圆心角之间的关系,圆周角定理以及三角形内角和定理一一判断即可.【详解】解:∵F为CBD的中点,∴CF DF=,故①正确,∴∠FCM=∠FAC,∵∠FCG=∠ACM+∠FCM,∠AME=∠FMC=∠ACM+∠FAC,∴∠AME=∠FMC=∠FCG>∠FCM,∴FC>FM,故③错误,∵AB⊥CD,FH⊥AC,∴∠AEM=∠CGF=90°,∴∠CFH+∠FCG=90°,∠BAF+∠AME=90°,∴∠CFH=∠BAF,∴CF BF=,∴HC=BF,故②正确,∵∠AGF=90°,∴∠CAF+∠AFH=90°,∴AH CF+=180°,∴CH AF+=180°,∴AH CF AH DF CH AF AF BF+=+=+=+,故④正确,故选:C.【点评】本题考查圆心角,弧,弦之间的关系,三角形内角和定理等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考选择题中的压轴题.4、D【解析】【分析】延长AD,BC交于点E,则∠E=30°,先在Rt△CDE中,求得CE的长,然后在Rt△ABE中,根据∠E 的正切函数求得AB的长【详解】如图,延长AD,BC交于点E,则∠E=30°,在Rt△CDE中,CE=2CD=6(30°锐角所对直角边等于斜边的一半),∴BE=BC+CE=8,在Rt△ABE故选D.【考点】本题考查了解直角三角形,特殊角的三角函数值,解此题的关键在于构造一个直角三角形,然后利用锐角三角函数进行解答.5、C【解析】【分析】要求∠ACB的度数,只需根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角,即连接OA,OB;再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解.【详解】解:连接OA,OB,∵PA、PB分别切⊙O于点A、B,∴OA⊥AP,OB⊥BP,∴∠PAO=∠PBO=90°,∴∠AOB+∠APB=180°,∵∠AOB=2∠ACB,∠ACB=∠APB,∴3∠ACB=180°,∴∠ACB=60°,故选:C.【考点】此题考查了切线的性质,圆周角定理,以及四边形的内角和,熟练掌握切线的性质是解本题的关键.6、D【解析】【分析】根据题意作辅助线DE 、EF 使BCEF 为一矩形,从图中可以看出阴影部分的面积=三角形的面积-(正方形的面积-扇形的面积),依据面积公式进行计算即可得出答案.【详解】解:作辅助线DE 、EF 使BCEF 为一矩形.则S △CEF =(8+4)×4÷2=24cm 2,S 正方形ADEF =4×4=16cm 2,S 扇形ADF =9016063π⨯=4πcm 2, ∴阴影部分的面积=24-(16-4π)=()248cm π+.故选:D .【考点】本题主要考查扇形的面积计算,解题的关键是作出辅助线并从图中看出阴影部分的面积是由哪几部分组成的.7、D【解析】【分析】根据作图过程可知:AD 是⊙O 的直径,BD =CD ,根据垂径定理即可判断A 、B 、C 正确,再根据DC =OD ,可得AD =2CD ,进而可判断D 选项.【详解】解:根据作图过程可知:AD是⊙O的直径,∴∠ABD=90°,∴A选项正确;∵BD=CD,∴BD=CD,∴∠BAD=∠CBD,∴B选项正确;根据垂径定理,得AD⊥BC,∴C选项正确;∵DC=OD,∴AD=2CD,∴D选项错误.故选:D.【考点】本题考查作图-复杂作图、含30度角的直角三角形、垂径定理、圆周角定理,解决本题的关键是熟练掌握相关知识点.8、A【解析】【分析】连接DF,EF,过点F作FN⊥AC,FM⊥AB,结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得点A,D,F,E四点共圆,∠DFE=90°,然后根据勾股定理及正方形的判定和性质求得AE的长度,从而求解.【详解】解:连接DF ,EF ,过点F 作FN ⊥AC ,FM ⊥AB∵在ABC ∆中,90BAC ∠=︒,点G 是DE 的中点,∴AG =DG =EG又∵AG =FG∴点A ,D ,F ,E 四点共圆,且DE 是圆的直径∴∠DFE =90°∵在Rt △ABC 中,AB =AC =5,点F 是BC 的中点,∴CF =BF =12BC =FN =FM =52 又∵FN ⊥AC ,FM ⊥AB ,90BAC ∠=︒∴四边形NAMF 是正方形∴AN =AM =FN =52又∵90NFD DFM ∠+∠=︒,90DFM MFE ∠+∠=︒∴NFD MFE ∠=∠∴△NFD ≌△MFE∴ME =DN =AN -AD =12∴AE =AM +ME =3∴在Rt △DAE 中,DE =故选:A .【考点】本题考查直径所对的圆周角是90°,四点共圆及正方形的判定和性质和用勾股定理解直角三角形,掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键.9、C【解析】【分析】设圆锥母线长为R,由题意易得圆锥的母线长为22rR rππ==,然后根据勾股定理可求解.【详解】解:设圆锥母线长为R,由题意得:∵圆锥的侧面展开图是一个半圆,已知圆锥的底面半径为r,∴根据圆锥侧面展开图的弧长和圆锥底面圆的周长相等可得:1802180Rrππ=,∴22rR rππ==,;故选C.【考点】本题主要考查圆锥侧面展开图及弧长计算公式,熟练掌握圆锥的特征及弧长计算公式是解题的关键.10、A【解析】【详解】如图,连接OA,则在直角△OMA中,根据勾股定理得到<.5∴点A与⊙O的位置关系是:点A在⊙O内.故选A.二、填空题1、32【解析】【分析】如图,作CH⊥AB于H交⊙O于E、F,求出A、B的坐标,根据勾股定理求出AB,再由S△ABC=12 AB•CH=1OB•AC求出点C到AB的距离CH,即可求出圆C上点到AB的最大距离,根据面积公式求出2即可.【详解】如图,作CH⊥AB于H交⊙O于E、F,∵直线y=﹣34x+6与x轴、y轴分别交于A、B两点,∴当y=0时,可得0=﹣34x+6,解得:x=8,∴A(8,0),当x=0时,得y=6,∴B(0,6),∴OA=8,OB=6,∴AB=10,∵C(﹣1,0),∴AC=8+1=9,∴S△ABC=12AB•CH=12OB•AC,∴1069CH⨯=⨯,∴CH=5.4,∴FH=CH+CF=5.4+1=6.4,即⊙C上到AB的最大距离为6.4,∴△PAB面积的最大值=12×10×6.4=32,故答案为32.【考点】本题考查了三角形的面积,勾股定理、三角形等面积法求高、求圆心到直线的距离等知识,解此题的关键是求出圆上的点到直线AB的最大距离.2、【解析】【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长可得圆锥侧面展开图的圆心角,求出侧面展开图中两点间的距离即为最短距离.【详解】∵底面圆的半径为32,∴圆锥的底面周长为2π×32=3π,设圆锥的侧面展开图的圆心角为n.∴63 180nππ⨯=,解得n=90°,如图,AA′的长就是小虫所走的最短路程,∵∠O=90°,OA′=OA=6,.故答案为:【考点】本题考查了圆锥的计算,考查圆锥侧面展开图中两点间距离的求法;把立体几何转化为平面几何来求是解决本题的突破点.3、4 5π【解析】【分析】利用矩形的性质求得OA=OC=OB=OD=2,再利用扇形的面积公式求解即可.【详解】解:∵矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,且BD=4,∴AC=BD=4,OA=OC=OB=OD=2,∴22362423605AOES Sππ⨯⨯===阴影扇形,故答案为:45π.【考点】本题考查了矩形的性质,扇形的面积等知识,正确的识别图形是解题的关键.4、8π-【解析】【分析】作DH ⊥AE 于H ,根据勾股定理求出AB ,根据阴影部分面积=△ADE 的面积+△EOF 的面积+扇形AOF 的面积-扇形DEF 的面积计算即可得到答案.【详解】解:作DH ⊥AE 于H ,∵∠AOB =90°,OA =3,OB =2,∴AB =由旋转得△EOF ≌△BOA ,∴∠OAB =∠EFO ,∵∠FEO +∠EFO =∠FEO +∠HED =90°,∴∠EFO =∠HED ,∴∠HED =∠OAB ,∵∠DHE =∠AOB =90°,DE AB ==∴△DHE ≌△BOA (AAS ),∴DH =OB =1,325AE AO OE =+=+=,∴阴影部分面积=△ADE 的面积+△EOF 的面积+扇形AOF 的面积-扇形DEF 的面积21190390135232822360360πππ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯+-=-, 故答案为:8π-.本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的判定和性质,掌握扇形的面积公式和旋转的性质是解题的关键.5、【解析】【详解】分析:根据圆内接四边形对边互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍,可以求得∠AOB的度数,然后根据勾股定理即可求得AB的长.详解:连接AD、AE、OA、OB,∵⊙O的半径为2,△ABC内接于⊙O,∠ACB=135°,∴∠ADB=45°,∴∠AOB=90°,∵OA=OB=2,故答案为点睛:本题考查三角形的外接圆和外心,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答.三、解答题1、 (1)见解析(2)见解析【分析】(1)两个等弧同时加上一段弧后两弧仍然相等;再通过同弧所对的弦相等证明即可;(2)根据同弧所对的圆周角相等,对顶角相等即可证明相似.(1)∵AB =CD∴AB AD +=CD AD +∴BAD ADC =∴BD =AC(2)∵∠B =∠C;∠AEB =∠DEC∴△ABE ∽△DCE【考点】本题考查等弧所对弦相等、所对圆周角相等,掌握这些是本题关键.2、 (1)证明见解析(2)6π-【解析】【分析】(1)利用等腰三角形的性质与三角形的内角和定理证明,AB AC ⊥ 从而可得结论;(2)如图,记BC 与O 的交点为M ,连接OM ,先证明290,AOM ABC 90,BOM 再利用阴影部分的面积等于三角形ABC 的面积减去三角形BOM 的面积,减去扇形AOM 的面积即可.(1)证明: ∠ABC =45°,AB AC =,45,ACB ABC90,BAC ∴∠=︒ 即,BA AC A 在O 上,AC ∴为O 的切线.(2)如图,记BC 与O 的交点为M ,连接OM ,45ABC ∠=︒ ,290,AOM ABC 90,BOM4AB =,2OA ∴=, 1144822ABC S AB AC ,12222BOM S , 2902360AOM S 扇形, 826S 阴影.【考点】本题考查的是等腰三角形的性质,切线的判定,扇形面积的计算,掌握“切线的判定方法与割补法求解不规则图形面积的方法”是解本题的关键.3、(1)见解析;(2)【解析】【分析】(1)①如图2,当点O在∠ACB的内部,作直径,根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质可得结论;②如图3,当O在∠ACB的外部时,作直径CD,同理可理结论;(2)如图4,先根据(1)中的结论可得∠AOB=120°,由切线的性质可得∠OAP=∠OBP=90°,可得∠OPA=30°,从而得PA的长.【详解】解:(1)①如图2,连接CO,并延长CO交⊙O于点D,∵OA=OC=OB,∴∠A=∠ACO,∠B=∠BCO,∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO,∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO,∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠ACO+2∠BCO=2∠ACB,∴∠ACB=1∠AOB;2如图3,连接CO,并延长CO交⊙O于点D,∵OA=OC=OB,∴∠A=∠ACO,∠B=∠BCO,∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO,∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO,∴∠AOB=∠AOD-∠BOD=2∠ACO-2∠BCO=2∠ACB,∴∠ACB=12∠AOB;(2)如图4,连接OA,OB,OP,∵∠C=60°,∴∠AOB=2∠C=120°,∵PA,PB分别与⊙O相切于点A,B,∴∠OAP=∠OBP=90°,∠APO=∠BPO=12∠APB=12(180°-120°)=30°,∵OA=2,∴OP=2OA=4,∴PA=【考点】本题考查了切线长定理,圆周角定理等知识,掌握证明圆周角定理的方法是解本题的关键.4、(1)证明见解析;(2)23π.【解析】【分析】(1)连接BF,证明BF//CE,连接OC,证明OC⊥CE即可得到结论;(2)连接OF,求出扇形FOC的面积即可得到阴影部分的面积.【详解】(1)连接BF,AB是O的直径,90AFB∴∠=︒,即BF AD⊥,CE AD⊥,//BF CE∴连接OC,∵点C 为劣弧BF 的中点,OC BF ∴⊥,∵//BF CE ,OC CE ∴⊥∵OC 是O 的半径,∴CE 是O 的切线;(2)连接OFOA OC =,30BAC ∠=︒,60BOC ∴∠=︒∵点C 为劣弧BF 的中点,FC BC ∴=,60FOC BOC ∴∠=∠=︒,4AB =,2FO OC OB ∴===,∴S 扇形FOC =260223603ππ⋅⨯=, 即阴影部分的面积为:23π. 【考点】本题主要考查了切线的判定以及扇形面积的求法,熟练掌握切线的判定定理以及扇形面积的求法是解答此题的关键.5、DC =AB ,见解析.【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦的关系,由AD=BC解得AD=BC,继而得到DC=AB.【详解】解:DC=AB,证明如下:∵AD=BC,∴AD=BC,∴AD+AC=BC+AC,即DC=AB.【考点】本题考查圆心角、弧、弦的关系,在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.。
2023-2024学年人教版九年级数学上册第二十四章圆单元检测题(含答案)
第二十四章圆单元检测题一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列说法中,正确的是( )A.过圆心的线段叫直径B.长度相等的两条弧是等弧C.与半径垂直的直线是圆的切线D.圆既是中心对称图形,又是轴对称图形2.已知☉O的半径为6,圆心O到直线l的距离为7,则直线l与☉O的位置关系是( )A.相离B.相交C.相切D.无法确定3.(2023自贡)如图所示,△ABC内接于☉O,CD是☉O的直径,连接BD,∠DCA=41°,则∠ABC的度数是( )第3题图A.41°B.45°C.49°D.59°4.圆锥的底面圆的半径r=3,高h=4,则圆锥的侧面积是( )A.10πB.15πC.30πD.45π5.如图所示,☉O的直径为10,弦AB的长为6,P为弦AB上的动点,则线段OP的取值范围是( )第5题图A.3<OP<5B.3≤OP≤5C.4<OP<5D.4≤OP≤56.如图所示,四边形ABCD内接于☉O,F是CD上一点,且DF=BC,连接CF并延长交AD的延长线于点E,连接AC.若∠ABC=105°,∠BAC=25°,则∠E的度数为( )A.45°B.50°C.55°D.60°7.如图所示,☉O是△ABC的外接圆,∠BAC=60°,若☉O的半径OC为2,则弦BC的长为( )第7题图A.4B.23C.338.若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2,则其内切圆半径的长为( )2 B.22-22 D.2-29.(2022娄底改编)如图所示,等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边三角形ABC 的内心成中心对称,则圆中的黑色部分的面积与△ABC 的面积之比是( )第9题图3π18 B.3183π9 D.3910.(2022广大附中一模)如图所示,点A,B 的坐标分别为A(2,0), B(0,2),点C 为坐标平面内一点,BC=1,点M 为线段AC 的中点,连接OM,则OM 的最大值为( )2+1 B.2+12C.22+1D.22-12二、填空题:本大题共5小题,每小题3分,共15分.11.用反证法证明命题:“已知△ABC,AB=AC,求证:∠B<90°.”第一步应先假设 .12.如图所示,C为AB的中点,CN⊥OB于点N,CD⊥OA于点M,CD=4 cm,则CN= cm.13.已知圆心角为120°的扇形的面积为12π cm2,则扇形的弧长是 cm.14.如图所示,☉O的半径为1,PA,PB是☉O的两条切线,切点分别为A,B.连接OA,OB,AB,PO,若∠APB=60°,则△PAB的周长为 .第14题图15.小明很喜欢钻研问题,一次数学老师拿来一个残缺的圆形瓦片(如图所示),让小明求瓦片所在圆的半径,小明连接瓦片弧线两端AB,量得AB的中点C到AB的距离CD=1.6 cm,AB=6.4 cm,则求得圆形瓦片所在圆的半径为 cm.第15题图三、解答题(一):本大题3小题,第16题10分,第17,18题各7分,共24分.16.(1)(2022湘潭节选)如图所示,在☉O中,直径AB与弦CD相交于点E,连接AC,BD,AD.若AD=3,∠C=30°,求☉O的半径.(2)如图所示,扇形OAB的圆心角为120°,半径OA为6 cm.若把扇形纸片OAB卷成一个圆锥形无底纸帽,求这个纸帽的高OH.17.如图所示,四边形ABCD内接于☉O,AB=AD,∠C=110°,若点E在AD 上,求∠E的度数.18.(2022珠海一模改编)如图所示,已知AB是☉O的直径,直线CD是☉O的切线,过点A作AD⊥CD,垂足为D,直线CD与AB的延长线交于点E.当AB=2BE,且CE=3时,求AD的长.四、解答题(二):本大题3小题,每小题9分,共27分.19.(原创)综合与实践素材:一张三角形纸板.操作:如图(1)所示,将一块三角形纸板ABC,准备裁剪成一个面积最大的圆形,已知∠C=90°,BC=3,AC=4.如图(2)所示,作△ABC的内切圆☉O,切点分别为D,E,G,连接OG,OD,OE.解决问题:请求出裁剪出的最大圆形面积.20.(2022眉山改编)如图所示,AB为☉O的直径,点C是☉O上一点,CD 与☉O相切于点C,过点B作BD⊥DC,连接AC,BC.(1)求证:BC平分∠ABD;(2)若BC=23,AB=4,求阴影部分的面积.21.(2022新疆节选)如图所示,☉O是△ABC的外接圆,AB是☉O的直径,点D在☉O上,AC=CD,连接AD,延长DB交过点C的切线于点E.求证:(1)∠ABC=∠CAD;(2)BE⊥CE.五、解答题(三):本大题2小题,每小题12分,共24分.22.(2022金华)综合探究如图(1)所示,正五边形ABCDE内接于☉O,阅读以下作图过程,并回答下列问题:作法如图(2)所示.1.作直径AF.2.以F为圆心,FO为半径作圆弧,与☉O交于点M,N.3.连接AM,MN,NA.(1)求∠ABC的度数;(2)△AMN是正三角形吗?请说明理由;(3)从点A开始,以DN长为半径,在☉O上依次截取点,再依次连接这些分点,得到正n边形,求n的值.23.(2022宁波)综合运用如图(1)所示,☉O为锐角三角形ABC的外接圆,点D在BC上,AD交BC 于点E,点F在AE上,满足∠AFB-∠BFD=∠ACB,FG∥AC交BC于点G,BE=FG,连接BD,DG.设∠ACB=α.(1)用含α的代数式表示∠BFD;(2)求证:△BDE≌△FDG;(3)如图(2)所示,若AD为☉O的直径,当AB的长为2时,求AC的长.答案:一、选择题1.D2.A3.C4.B5.D6.B7.B8.B9.A 10.B二、填空题11.∠B≥90° 12.2 13.4π 14.33 15.4三、解答题(一)16.(1)解:∵∠C=∠B,∠C=30°,∴∠B=30°.∵AB是☉O的直径,AD=3,∴∠ADB=90°.∴AB=6.∴☉O的半径为3.(2)如图所示,设圆锥底面圆的半径为r,所以2πr=4π,解得r=2,在Rt△OHC中,HC=2,OC=6,所以OH=OC2-H C2=42(cm).17.解:如图所示,连接BD,∵∠C+∠BAD=180°,∠C=110°,∴∠BAD=180°-110°=70°.∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB.×(180°-70°)=55°.∴∠ABD=12∵四边形ABDE是☉O的内接四边形,∴∠E+∠ABD=180°.∴∠E=180°-55°=125°.18.解:如图所示,连接OC,∵直线CD为☉O的切线,∴∠OCE=90°.∵AB=2BO,AB=2BE,∴BO=BE=CO.设BO=BE=CO=x,∴OE=2x.在Rt△OCE中,根据勾股定理,得OC2+CE2=OE2,即x2+(3)2=(2x)2.∴x=1.∴AE=3,∠E=30°.∴AD=32.四、解答题(二)19.解:∵∠C=90°,BC=3,AC=4,OG=OE=OD,∴AB=32+42=5.∴S △ABC =12AC×BC=12AC×OG+12BC×OE+12AB×OD=12OG×C △ABC ,即12AC×BC=12OG×C △ABC .∴12×3×4=12×OG×(3+4+5),解得OG=1,∴裁剪出的最大圆形面积为π×12=π.20.(1)证明:连接OC,如图所示,∵CD 与☉O 相切于点C,OC 为半径,∴OC ⊥CD.∵BD ⊥CD,∴OC ∥BD.∴∠OCB=∠DBC.∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC.∴∠DBC=∠OBC.∴BC 平分∠ABD.(2)解:如图所示,作CE ⊥AO 于点E,∵AB是直径,AB=4,∴∠ACB=90°,OA=OC=2.在Rt△ABC中,AC=AB2-B C2=42-(23)2=2,∴AO=CO=AC=2.∴△AOC是等边三角形.∴∠AOC=60°.∵CE⊥OA,∴OE=12OA=1.∴CE=3.∴阴影部分的面积S=60×π×22360-12×2×3=2π3-3.21.证明:(1)∵AC=CD,∴∠CAD=∠ADC.∵∠ABC=∠ADC,∴∠ABC=∠CAD.(2)如图所示,连接OC,∵CE与☉O相切于点C,∴∠OCE=90°.∵四边形ADBC是圆内接四边形,∴∠CAD+∠DBC=180°.∵∠DBC+∠CBE=180°,∴∠CAD=∠CBE.∵∠ABC=∠CAD,∴∠CBE=∠ABC.∵OB=OC,∴∠OCB=∠ABC.∴∠OCB=∠CBE.∴OC∥BE.∴∠E=180°-∠OCE=90°.∴BE⊥CE.五、解答题(三)22.解:(1)∵五边形ABCDE是正五边形,∴∠ABC=(5-2)×180°=108°,5即∠ABC=108°.(2)△AMN是正三角形.理由如下:如图所示,连接ON,NF,由题意,得FN=ON=OF,∴△FON是等边三角形.∴∠NFA=60°.∴NMA=60°.同理,得∠ANM=60°,∴∠MAN=60°.∴△MAN是正三角形.(3)∵∠AMN=60°,∴∠AON=120°.×2=144°,∵∠AOD=360°5∴∠NOD=∠AOD-∠AON=144°-120°=24°.∵360°÷24°=15,∴n的值是15.23.(1)解:∵∠AFB-∠BFD=∠ACB=α,①又∵∠AFB+∠BFD=180°,②②-①,得2∠BFD=180°-α,.∴∠BFD=90°-α2,(2)证明:由(1),得∠BFD=90°-α2∵∠ADB=∠ACB=α,.∴∠FBD=180°-∠ADB-∠BFD=90°-α2∴∠BFD=∠FBD.∴DB=DF.∵FG∥AC,∴∠CAD=∠DFG.∵∠CAD=∠DBE,∴∠DFG=∠DBE.在△BDE 和△FDG 中,{DB =DF ,∠DBE =∠DFG ,BE =FG ,∴△BDE ≌△FDG(SAS).(3)解:∵△BDE ≌△FDG,∴∠FDG=∠BDE=α,DE=DG.∴∠BDG=∠BDF+∠EDG=2α.∵DE=DG,∴∠DGE=12(180°-∠FDG)=90°-α2.∴∠DBG=180°-∠BDG-∠DGE=90°-3α2.∵AD 是☉O 的直径,∴∠ABD=90°.∴∠ABC=∠ABD-∠DBG=3α2.∴AC 与AB 所对的圆心角度数之比为3∶2.∴AC 与AB 的长度之比为3∶2.∵AB =2,∴AC =3.。
人教版九年级上册数学第二十四章同步测试试卷及答案
第二十四章综合素质评价一、选择题(每题3分,共30分)1.如图,点A ,B ,C 均在⊙O 上,∠BOC =100°,则∠BAC 的度数为( )A .70°B .60°C .50°D .40°(第1题) (第2题) (第3题) (第4题)2.【教材P 89习题T 3拓展】如图,在⊙O 中,AB ︵=AC ︵,∠BAC =50°,则∠AEC 的度数为( )A .65°B .75°C .50°D .55°3.【教材P 83练习T 1变式】如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于点E ,若AB =8,AE =1,则弦CD 的长是( ) A.7 B .27 C .6 D .84.如图,四边形ABCD 内接于圆O ,∠BOD =108°,则∠BCD 的度数是( )A .127°B .108°C .126°D .125°5.【教材P 108习题T 1变式】如图,⊙O 是正六边形ABCDEF 的外接圆,P 是弧EF 上一点,则∠BPD 的度数是( )A .30°B .60°C .55°D .75°(第5题) (第6题) (第7题) (第9题) 6.如图,P A 、PB 切⊙O 于点A 、B ,直线FG 切⊙O 于点E ,交P A 于点F ,交PB 于点G ,若P A =8 c m ,则△PFG 的周长是( )A .8 cmB .12 cmC .16 cmD .20 cm7.如图,△ABC 内接于圆O ,∠ACB =90°,过点C 的切线交AB 的延长线于点P ,∠P =28°,则∠CAB =( )A .62°B .31°C .28°D .56°8.若要用一个底面直径为10,高为12的实心圆柱体,制作一个底面半径和高分别与圆柱底面半径和高相同的圆锥,则该圆锥的侧面积为()A.60π B.65π C.78π D.120π9.如图,已知一块圆心角为270°的扇形铁皮,用它做一个圆锥形的烟囱帽(接缝忽略不计),圆锥底面圆的直径为60 cm,则这块扇形铁皮的半径是()A.40 cm B.50 cm C.60 cm D.80 cm10.如图,△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=5,BC=13,CA=12,则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是()A.4 B.6.25 C.7.5 D.9(第10题)(第12题)(第14题)(第15题)二、填空题(每题3分,共24分)11.【教材P106例题改编】已知圆的半径是22,则该圆的内接正方形的面积是________.12.如图,点A,B,C,D都在⊙O上,∠ABC=90°,AD=3,CD=2,则⊙O的直径的长是________.13.【教材P101习题T1拓展】在矩形ABCD中,AB=8,BC=35,点P在边AB上,且BP =3AP,如果圆P是以点P为圆心,PD的长为半径的圆,那么点B在⊙P________,点C 在⊙P________.(填“内”或“外”)14.【教材P124复习题T10改编】在底面直径为52 cm的圆柱形油槽内装入一些油后,截面如图所示,如果油的最大深度为16 cm,那么油面宽度AB是________cm.15.如图,AB是⊙O的直径,点C在AB的延长线上,CD与⊙O相切于点D,若∠C=20°,则∠CDA=________.16.如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC=120°,AB=AC,BD为⊙O的直径,AD=6,则BC =________.(第16题)(第17题)(第18题)17.如图,在半径为2,圆心角为90°的扇形内,以BC为直径作半圆,交弦AB于点D,连接CD,则图中阴影部分的面积为________(结果用含π的式子表示).18.如图,四边形OABC是菱形,点B,C在以点O为圆心的弧EF上,且∠1=∠2.若扇形OEF的面积为3π,则菱形OABC的边长为________.三、解答题(19~21题每题8分,22~24题每题10分,25题12分,共66分)19.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°.(1)先作∠ACB的平分线交AB边于点P,再以点P为圆心,P A长为半径作⊙P(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法);(2)请你判断(1)中BC与⊙P的位置关系,并证明你的结论.20.如图,AB是⊙O的切线,A为切点,AC是⊙O的弦,过O作OH⊥AC于H.若OH=2,AB=12,BO=13.求:(1)⊙O的半径;(2)AC的长.21.如图,△ABC 是⊙O 的内接三角形,AB 为⊙O 的直径,AB =6,AD 平分∠BAC ,交BC于点E ,交⊙O 于点D ,连接BD .(1)求证:∠BAD =∠CBD ;(2)若∠AEB =125°,求BD ︵的长(结果保留π).22.如图,正方形ABCD 内接于⊙O ,M 为AD ︵的中点,连接BM ,CM .(1)求证:BM =CM ;(2)求∠BOM 的度数.23.某灯具厂生产一批台灯灯罩,如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图.已知半径OA =24 cm ,OC =12 cm ,∠AOB =135°.(计算结果保留π)(1)若要在灯罩的上下边缘镶上花边(花边的宽度忽略不计),至少需要多长的花边?(2)求灯罩的侧面积(接缝处忽略不计).24.如图,AB 为⊙O 的直径,且AB =43,点C 是AB ︵上的一动点(不与A ,B 重合),过点B作⊙O 的切线交AC 的延长线于点D ,点E 是BD 的中点,连接EC .(1)求证:EC 是⊙O 的切线;(2)当∠D =30°时,求阴影部分的面积.25.如图,在平面直角坐标系中,⊙M 经过原点O (0,0),点A (6,0)与点B (0,-2),点D在劣弧OA 上,连接BD 交x 轴于点C ,且∠COD =∠CBO .(1)求⊙M 的半径;(2)求证:BD 平分∠ABO ;(3)在线段BD 的延长线上找一点E ,使得直线AE 恰为⊙M 的切线,求此时点E 的坐标.答案一、1.C 2.A 3.B 4.C 5.B 6.C7.B8.B9.A10.A点思路:由AB=5,BC=13,CA=12,易知△ABC为直角三角形,且∠A=90°.由AB,AC与⊙O分别相切于点F,E,得OF⊥AB,OE⊥AC.易知四边形OF AE为正方形.设OE =r,则AE=AF=r.由切线长定理得BD=BF=5-r,CD=CE=12-r.所以5-r+12-r =13,解得r=2.所以阴影部分(即四边形AEOF)的面积是2×2=4.二、11.1612.1313.内;外14.4815.125°16.617.π-1点技巧:利用割补法,将阴影部分的面积转化为△CDB与弓形AB的面积之和. 18.3三、19.解:(1)如图所示.(2)BC与⊙P相切.证明如下:如图,过P点作PD⊥BC,垂足为D.∵CP为∠ACB的平分线,且P A⊥AC,PD⊥CB,∴PD=P A.∵P A为⊙P的半径,∴PD为⊙P的半径.∴BC与⊙P相切.20.解:(1)连接OA.∵AB是⊙O的切线,A为切点,∴OA⊥AB.在Rt△AOB中,AO=O B2-AB2=132-122=5, ∴⊙O的半径为5.(2)∵OH⊥AC,∴在Rt△AOH中,AH=A O2-OH2=52-22=21.∴AC=2AH=221.21.(1)证明:∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.又∵∠CBD =∠CAD ,∴∠BAD =∠CBD .(2)解:连接OD .∵∠AEB =125°,∴∠AEC =55°.∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ACE =90°.∴∠CAE =35°.∴∠DAB =35°.则BD ︵所对圆心角∠DOB =70°.∴BD ︵的长为70π×3180=76π.22.(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形, ∴AB =CD ,∴AB ︵=CD ︵.∵M 为A D ︵的中点,∴AM ︵=DM ︵,∴BM ︵=CM ︵,∴BM =CM ;(2)解:连接OA 、OB 、OM ,如图.∵四边形ABCD 是正方形,∴∠AOB =90°.∵M 为AD ︵的中点,∴∠AOM =45°,∴∠BOM =∠AOB +∠AOM =135°.23.解:(1)优弧AB 的长为(360-135)π×24180=30π(cm), 优弧CD 的长为(360-135)π×12180=15π(cm), 至少需要花边的长度为30π+15π=45π(cm);(2)灯罩的侧面积=S 阴影=(360-135)π×242360-(360-135)π×122360= 360π-90π=270π(cm 2).24.(1)证明:连接OC ,BC ,OE .∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB =90°.∴∠BCD =90°,∵在Rt △BCD 中,点E 是BD 的中点,∴CE =BE .又∵OB =OC ,OE =OE ,∴△OBE ≌△OCE .∴∠OBE =∠OCE .∵BD 是⊙O 的切线,∴∠OBE =∠OCE =90°.∴EC 是⊙O 的切线.(2)解:∵∠D =30°,∠OBD =90°,∴∠A =60°.∴∠BOC =120°.∴∠BOE =60°.∴∠OEB =30°.∵AB =43,∴OB =2 3.∴OE =4 3.∴BE =6.∴S 阴影=2×12×6×23-120×π×(23)2360=123-4π. 25.(1)解:∵∠AOB =90°,∴AB 是⊙M 的直径.∵A (6,0),B (0,-2),∴OA =6,OB = 2.∴AB =6+2=2 2.∴⊙M 的半径为 2.(2)证明:∵∠COD =∠CBO ,∠COD =∠ABD ,∴∠ABD =∠CBO .∴BD 平分∠ABO .(3)解:∵AB 为⊙M 的直径,∴过点A 作直线l ⊥AB ,直线l 与BD 的延长线的交点即是所求的点E ,此时直线AE 必为⊙M 的切线(如图).易求得OC =63,∠ECA =∠EAC =60°,∴△ECA 为边长等于263的正三角形.设点E 的坐标为(x ,y ),易得x =63+263×12=263, y =263×32=2, ∴点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫263,2.。
人教版九年级上册数学第二十四章测试试卷及答案
第二十四章学情评估一、选择题(每小题3分,共30分)1.如图,点A,B,C在⊙O上,∠ACB=35°,则∠AOB的度数是() A.75° B. 70° C. 65° D. 35°(第1题)(第3题)2.若直线l与半径为10的⊙O相交,则圆心O与直线l的距离d的取值范围为()A.0≤d<10 B.d>10 C.d=10 D.d≤10 3.如图,AB为⊙O的直径,∠ABC=35°,则∠CAB的度数为() A.35°B.45°C.55°D.65°4.用一个半径为30,圆心角为120°的扇形围成一个圆锥,则这个圆锥的底面半径是()A.10 B.20 C.10π D.20π5.已知半径为5的⊙O是△ABC的外接圆.若∠ABC=25°,则劣弧AC的长为()A.25π36 B.125π36 C.25π18 D.5π366.如图,BM与⊙O相切于点B,若∠MBA=140°,则∠ACB的度数为() A.40°B.50°C.60°D.70°(第6题)(第7题)7.如图,AC是⊙O的直径,弦BD⊥AO于E,连接BC,过点O作OF⊥BC于F,BD=8,AE=2,则OF的长度是()A.3 B. 6 C.2.5 D. 58.下列圆的内接正多边形中,一条边所对的圆心角最大的图形是() A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形9.如图,△ABC中,∠A=30°,点O是边AB上一点,以点O为圆心,以OB 为半径作圆,⊙O恰好与AC相切于点D,连接BD.若BD平分∠ABC,AD =2 3,则线段CD的长是()A.2 B. 3 C.32 D.32 3(第9题)(第10题)(第11题)10.如图,在平面直角坐标系xOy中,A(4,0),B(0,3),C(4,3),I是△ABC 的内心,将△ABC绕原点逆时针旋转90°后,I的对应点I′的坐标为() A.(-2,3) B.(-3,2) C.(3,-2) D.(2,-3) 二、填空题(每小题4分,共28分)11.如图,AB是⊙O的切线,点B为切点,若∠A=30°,则∠AOB=________.12.已知圆锥的底面圆半径为3 cm,高为4 cm,则圆锥的侧面积是________cm2. 13.如图,点A,B,C在⊙O上,∠A=40°,∠C=20°,则∠B=________°.(第13题)(第14题)(第15题)14.如图,AB是⊙O的直径,点C在AB的延长线上,CD与⊙O相切于点D,若∠C=20°,则∠CDA=________.15.如图,已知⊙O的半径为2,△ABC内接于⊙O,∠ACB=135°,则AB=________.16.如图,点M,N分别是正五边形ABCDE的两边AB,BC上的点,且AM=BN,点O是正五边形的中心,则∠MON的度数是________度.(第16题)(第17题)17.如图,AB是⊙O的弦,AB=8,点C是⊙O上的一个动点,且∠ACB=45°.若点M,N分别是AB,BC的中点,则MN长的最大值是________.三、解答题(一)(每小题6分,共18分)18.如图,P A,PB分别与⊙O相切于A,B两点,点C在⊙O上,已知∠C=65°,求∠P的度数.19.如图,AB是⊙O的一条弦,OD⊥AB,垂足为点C,交⊙O于点D,点E 在⊙O上.若∠AOD=52°,求∠DEB的度数.20.如图,在⊙O中,弦AB=AC,AD是⊙O的直径.求证:BD=CD.四、解答题(二)(每小题8分,共24分)21.如图,AB是半圆O的直径,C是半圆O上的一点,CF切半圆O于点C,BD⊥CF于点D,BD与半圆O交于点E.(1)求证:BC平分∠ABD;(2)若DC=8,BE=4,求AB的长.22.如图,△ABC 是⊙O 的内接三角形,AB 为⊙O 的直径,AB =6,AD 平分∠BAC ,交BC 于点E ,交⊙O 于点D ,连接BD . (1)求证:∠BAD =∠CBD ;(2)若∠AEB =125°,求BD ︵的长(结果保留π).23.如图,在平面直角坐标系xOy 中,以点O 为圆心的圆分别交x 轴的正半轴于点M ,交y 轴的正半轴于点N ,劣弧MN 的长为65π,直线y =-43x +4与x轴、y 轴分别交于点A ,B . (1)求证:直线AB 与⊙O 相切;(2)求图中所示的阴影部分的面积(结果用π表示).五、解答题(三)(每小题10分,共20分)24.如图,⊙O 为Rt △ABC 的外接圆,∠ACB =90°,BC =4 3,AC =4,点D是⊙O 上的动点,且点C ,D 分别位于AB 的两侧. (1)求⊙O 的半径;(2)当CD =4 2时,求∠ACD 的度数;(3)设AD 的中点为M ,在点D 的运动过程中,线段CM 是否存在最大值?若存在,直接写出CM 的最大值;若不存在,请说明理由.25.如图,AB 是半圆O 的直径,点D 是半圆O 上一点,点C 是AD ︵的中点,连接BC ,CE ⊥AB 于点E ,过点D 的切线交EC 的延长线于点G ,连接AD ,分别交CE,CB于点P,Q,连接AC,CD.(1)求证:GP=GD;(2)求证:P是线段AQ的中点;(3)若CD=2,BC=4,求⊙O的半径和CE的长.答案一、1. B 2. A 3. C 4. A 5. C 6. A 7. D 8. A 9. B10. A 点拨:过点I 作IF ⊥AC 于点F ,IE ⊥OA 于点E .∵A (4,0),B (0,3),C (4,3),∴BC =4,AC =3,则AB =5.∵I 是△ABC 的内心,∴I 到△ABC 各边距离相等,等于其内切圆的半径,易知IF =1,则AE =1,故I 到BC 的距离也为1,故IE =3-1=2,OE =4-1=3,则I (3,2).∵△ABC 绕原点逆时针旋转90°,∴I 的对应点I ′的坐标为(-2,3),故选A. 二、11. 60° 12. 15π 13. 60 14. 125° 15. 2 2 16. 72 17. 4 2三、18. 解:连接OA ,OB .∵P A ,PB 均是⊙O 的切线,∴P A ⊥OA ,PB ⊥OB , ∴∠P AO =∠PBO =90°.∵∠P +∠P AO +∠AOB +∠PBO =360°, ∴∠P =180°-∠AOB .∵∠C =65°,∴∠AOB =2∠C =130°, ∴∠P =180°-130°=50°. 19. 解:∵OD ⊥AB ,∴AD ︵=BD ︵.∵∠AOD =52°,∴∠DEB =12×52°=26°.20. 证明:∵AB =AC ,∴AB ︵=AC ︵,∴∠ADB =∠ADC .∵AD 是⊙O 的直径,∴∠B =∠C =90°, ∴∠BAD =∠DAC ,∴BD ︵=CD ︵,∴BD =CD . 四、21. (1)证明:连接OC ,如图.∵CD 为切线,∴OC ⊥CD .∵BD ⊥DF ,∴OC ∥BD ,∴∠1=∠3. ∵OB =OC ,∴∠1=∠2,∴∠2=∠3, ∴BC 平分∠ABD .(2)解:连接AE 交OC 于G ,如图. ∵AB 为直径,∴∠AEB =90°. ∵OC ∥BD ,∴OC ⊥AE ,∴AG =EG . 易得四边形CDEG 为矩形, ∴GE =CD =8,∴AE =2EG =16. 在Rt △ABE 中,AB =162+42=417, 即AB 的长为417.22. (1)证明:∵AD 平分∠BAC ,∴∠BAD =∠CAD .又∵∠CBD =∠CAD ,∴∠BAD =∠CBD . (2)解:连接OD .∵∠AEB =125°,∴∠AEC =55°. ∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ACE =90°. ∴∠CAE =35°.∴∠DAB =35°. ∴∠DOB =70°.∴BD ︵的长为70π×3180=76π. 23. (1)证明:如图,作OC ⊥AB 于点C .设⊙O 的半径为r .因为劣弧MN 的长为65π,所以90πr 180=65π, 所以r =125.对于直线y =-43x +4, 当x =0时,y =4,则OB =4. 当y =0时,x =3,则OA =3.在Rt△AOB中,AB=32+42=5.因为S△AOB =12OC·AB=12OA·OB,所以5OC=12,OC=125,所以OC=r,所以直线AB与⊙O相切.(2)解:因为S△AOB=12×3×4=6,S扇形OMN=90×π×⎝ ⎛⎭⎪⎫1252360=3625π,所以S阴影=S△AOB-S扇形OMN=6-3625π.五、24. 解:(1)∵AB是直径,∴∠ACB=90°.∵AC=4,BC=4 3,∴AB=AC2+BC2=42+(4 3)2=8,∴⊙O的半径为4.(2)如图,连接OC,OD.∵CD=4 2,OC=OD=4,∴CD2=OC2+OD2, ∴∠COD=90°,∴∠OCD=45°.∵AC=OC=OA,∴△AOC是等边三角形,∴∠ACO=60°,∴∠ACD=∠ACO-∠DCO=60°-45°=15°.(3)存在,CM的最大值为2 3+2.25. (1)证明:如图,连接OD,则OD⊥GD,∠OAD=∠ODA.又由题意易知∠ODA+∠GDP=90°,∠EP A+∠EAP=90°,∠EP A=∠GPD,∴∠GPD=∠GDP,∴GP=GD.(2)证明:∵AB为直径,∴∠ACB=90°.∵CE⊥AB,∴∠CEB=90°,11∴∠ACE +∠ECB =∠ABC +∠ECB =90°, ∴∠ACE =∠ABC .∵点C 是AD ︵的中点,∴AC ︵=CD ︵.∴∠ABC =∠CAD , ∴∠ACE =∠CAD ,∴PC =P A .∵∠ACB =90°,∴∠CQA +∠CAP =∠ACE +∠PCQ =90°, ∴∠PCQ =∠CQA ,∴PC =PQ ,∴P A =PQ ,即P 是线段AQ 的中点.(3)解:∵AC ︵=CD ︵,∴CD =AC .∵CD =2,∴AC =2.∵∠ACB =90°,∴AB =22+42=2 5.故⊙O 的半径为 5.∵S △ABC =12×CE ×AB =12×AC ×BC ,∴2 5CE =2×4,∴CE =4 55.。
第一学期期末考试试题( 卷)九年级数学附答案
1O DCB AP第一学期期末考试试题( 卷)九年级数学1.抛物线3)5(32+--=x y ,下列说法正确的是( )A.开口向下,顶点坐标(5,3)B.开口向上,顶点坐标(5,3)C.开口向下,顶点坐标(-5,3)D.开口向上,顶点坐标(-5,3) 2.抛物线22x y -=经过平移得到3)1(22-+-=x y ,平移方法是( )A .向左平移1个单位,再向下平移3个单位B .向左平移1个单位,再向上平移3个单位C .向右平移1个单位,再向下平移3个单位D .向右平移1个单位,再向上平移3个单位3.若△ABC ∽△DEF ,△ABC 与△DEF 的相似比为2︰3,且△ABC 的周长为18,则△DEF 的周长为( )A .12B .27C .54D .81 4. 在Rt△ABC 中,各边的长度都扩大两倍,那么锐角A 的各三角函数( ) A .都扩大两倍 B.都缩小两倍 C .不变D .都扩大四倍5. 计算:︒∙︒+︒30cos 60tan 45cos 2等于( )A .1 B.2 C. 3 D . 26.由6个大小相同的正方体搭成的几何体如右图所示,则关于它的视图说法正确的是( )A .三个视图的面积一样大B .正视图的面积最大C .左视图的面积最大D .俯视图的面积最大 7.小刚走路时发现自己的影子越走越长,这是因为( )A .从路灯下走开,离路灯越来越远B .走到路灯下,离路灯越来越近C .人与路灯的距离与影子长短无关D .路灯的灯光越来越亮8. 如下左图,AB ∥CD ,AC 、BD 交于O ,BO=6,DO=3,AC=12,则AO 长为( )A .4B .6C .8D .109.如上右图所示,图中共有相似三角形( ) A .2对 B .3对 C .4对 D .5对 10. 如下图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( )11. 如下左图,在△ABC 中,∠C=90°,AC=8cm ,AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ,连结BD ,若cos ∠BDC=53,则BC 的长是( ) A 、4cm B 、6cm C 、8cm D 、10cm12. 如上右图为二次函数y=ax 2+bx +c 的图象,在下列说法中:①ac <0; ②方程ax 2+bx +c=0的根是x 1= -1, x 2= 3 ③a +b +c >0 ④当x >1时,y 随x 的增大而增大。
新人教版初三九年级上册数学第二十四章圆知识点及练习题(附答案)试卷
新人教版初三九年级上册数学第二十四章圆知识点及练习题(附答案)试卷并且可以用于解决一些圆的问题。
在圆O中,圆心角∠XXX和∠AEB相等,则弦AB和DE相等,弦BC和BD相等,弦AC和AD相等,且弦心距相等。
七、切线与切点1、切线定义:过圆上一点的直线称为圆的切线;2、切点定义:圆上与切线相切的点称为切点;3、定理:切线垂直于半径,切点在切线上,且切点到圆心的距离等于半径长。
在圆O中,点A在圆上,线段AB是圆O上的一条切线,点B是切点,且AB垂直于半径OA,AB上的点与圆心O的距离等于半径OA的长度。
参考答案:一、圆的概念集合形式的概念:圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
圆的外部是到定点的距离大于定长的点的集合,圆的内部是到定点的距离小于定长的点的集合。
轨迹形式的概念:圆是到定点的距离等于定长的点的轨迹,以定点为圆心,定长为半径的圆。
垂直平分线是到线段两端距离相等的点的轨迹,角的平分线是到角两边距离相等的点的轨迹,到直线的距离相等的点的轨迹是平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线,到两条平行线距离相等的点的轨迹是平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
二、点与圆的位置关系点在圆内的距离小于半径,点在圆上的距离等于半径,点在圆外的距离大于半径。
三、直线与圆的位置关系直线与圆相离的距离大于半径,直线与圆相切的距离等于半径,直线与圆相交的距离小于半径。
四、圆与圆的位置关系圆与圆外离的距离大于两圆半径之和,圆与圆外切的距离等于两圆半径之和,圆与圆相交的距离在两圆半径之差和之和之间,圆与圆内切的距离等于两圆半径之差,圆与圆内含的距离小于两圆半径之差。
五、垂径定理垂径定理是指垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1包括平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧,弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧,平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。
六、圆心角定理圆心角定理是指同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。
九年级数学上册《第二十四章 圆》单元测试卷带答案(人教版)精选全文
可编辑修改精选全文完整版九年级数学上册《第二十四章圆》单元测试卷带答案(人教版)学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一、单选题1.如L是⊙O的切线,要判定AB⊥L,还需要添加的条件是()A.AB经过圆心O B.AB是直径C.AB是直径,B是切点D.AB是直线,B是切点2.如图,在⊙O中,直径CD垂直于弦AB,若∠C=25∘,则∠BOD的度数是()A.25∘B.30∘C.40∘D.50∘3.如图,⊙O的半径OD垂直于弦AB于点C,连接AO并延长交⊙O于点E,连接EC.若AB=8,CD=2,则EC的长为()A.2√15B.8C.2√10D.2√134.如图在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,⊙O是△ABC的内切圆,连接AO,BO.则图中阴影部分的面积之和()A.10−32πB.14−52πC.12 D.145.如图,点A,B,C在⊙O上,若∠BOC=72∘,则∠BAC的度数是( )A.72∘B.36∘C.18∘D.54∘6.如图,在半径为5的⊙O中AB,CD是互相垂直的两条弦,垂足为P,且AB=CD=8,则OP的长为( )A.3B.4C.3√2D.4√27.如图,已知OB为⊙C的半径,且OB=10cm,弦CD⊥OB于M,若OM:MB=4:1,则CD长为( )A.3cm B.6cm C.12cm D.24cm8.如图,在平面直角坐标系中,⊙M与y轴相切于原点O,平行于x轴的直线交⊙M于P,Q两点,点P在点Q的右方,若点P的坐标是(−1,2),则点Q的坐标是( )A.(−4,2)B.(−4.5,2)C.(−5,2)D.(−5.5,2)二、填空题9.如图,一扇形纸扇完全打开后,外侧两竹条AB和AC的夹角为120∘,AB长为25cm,贴纸部分的宽BD为15cm,若纸扇两面贴纸,则贴纸的面积为.(结果保留π)10.在半径为3cm的圆中,120∘的圆心角所对的弧长等于.11.如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,A为切点,连接BC交⊙O于点D,若∠C=50∘,则∠AOD=.12.如图所示,点P为弦AB上一点,连接OP,过P作PC⊥OP,PC交⊙O于点C,若AP= 4,PB=2则PC的长为.13.如图,CD是⊙O的直径,弦AB⊥CD于点E,若AB=6,CE:ED=1:9则⊙O的半径是.三、解答题14.已知:点I是△ABC的内心,AI的延长线交外接圆于D.则DB与DI相等吗?为什么?15.如图,∠DAE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角,且∠DAE=∠DAC.求证:DB=DC.16.如图,AD是⊙O的弦,AB经过圆心O交⊙O于点C,∠A=∠B=30°,连接BD.求证:BD是⊙O的切线.17.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AD的延长线与BC的延长线相交于点E,DC=DE.(1)求证:∠A=∠AEB;(2)如果DC⊥OE,求证:△ABE是等边三角形.18.如图,已知直线l与⊙O相离,OA⊥l于点A,交⊙O于点P,OA=5,AB与⊙O相切于点B,BP的延长线交直线l于点C.(1)求证:AB=AC.(2)若PC=2 √5,求⊙O的半径.参考答案1.C2.A3.C4.B5. B6. C7. C8. A9. 350πcm210. 2πcm11. 80°12. 2√213. 514.解:ID=BD.理由:如图所示:连接BI.由三角形的外角的性质可知:∠1+∠2=∠BIA.∵点I是△ABC的内心∴∠1=∠4,∠2=∠3.又∵∠4=∠5∴∠1+∠2=∠3+∠4=∠3+∠5,即∠BIA=∠IBD.∴ID=BD.15.证明:∵∠DAE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角,∴∠DAE=∠DCB,又∠DAE=∠DAC,∴∠DCB=∠DAC,又∠DAC=∠DBC,∴∠DCB=∠DBC,∴DB=DC16.解:如图,连接OD∵OD=OA∴∠ODA=∠DAB=30°∴∠DOB=∠ODA+∠DAB=60°∴∠ODB=180°﹣∠DOB﹣∠B=180°﹣60°﹣30°=90°即OD⊥BD∴直线BD与⊙O相切.17.(1)证明:∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形∴∠A=∠DCE∵DC=DE∴∠DCE=∠DEC∴∠A=∠AEB(2)证明:∵DC⊥OE∴DF=CF∴OE是CD的垂直平分线∴ED=EC,又DE=DC∴△DEC为等边三角形∴∠AEB=60°,又∠A=∠AEB∴△ABE是等边三角形.18.(1)证明:连接OB∵OB=OP∴∠OPB=∠OBP∵∠OPB=∠APC∴∠OBP=∠APC∵AB与⊙O相切于点B∴OB⊥AB∴∠ABO=90°∴∠ABP+∠OBP=90°∵OA⊥AC∴∠OAC=90°∴∠ACB+∠APC=90°∴∠ABP=∠ACB∴AB=AC(2)证明:设⊙O的半径为r在Rt△AOB中,AB2=OA2﹣OB2=52﹣r2 在Rt△ACP中,AC2=PC2﹣PA2AC2=(2 √5)2﹣(5﹣r)2∵AB=AC∴52﹣r2=(2 √5)2﹣(5﹣r)2 解得:r=3则⊙O的半径为3。
人教版九年级上册数学第二十四章测试卷附答案
人教版九年级上册数学第二十四章测试题一、单选题1.下列说法正确的是( )A .同圆或等圆中弧相等,则它们所对的圆心角也相等B .90°的圆心角所对的弦是直径C .平分弦的直径垂直于这条弦D .三点确定一个圆2.已知⊙O 的直径为4cm ,点P 与圆心O 之间的距离为4cm ,那么点P 与⊙O 的位置关系为( )A .在圆上B .在圆内C .在圆外D .不能确定 3.四边形ABCD 内接于⊙O ,则∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的值可以是( )A .2∶3∶4∶5B .2∶4∶3∶5C .2∶5∶3∶4D .2∶3∶5∶44.如图,已知⊙O 的半径是4,点A,B,C 在⊙O 上,若四边形OABC 为菱形,则图中阴影部分面积为( )A .83π-B .163π-C .163π-D .83π-5.如图,王大伯家屋后有一块长12m 、宽8m 的长方形空地,他在以较长边BC 为直径的半圆内种菜,他家养的一只羊平时拴在A 处的一棵树上,为了不让羊吃到菜,拴羊的绳长最长不超过( )A .3mB .4mC .5mD .6m6.如图,AB 、CD 是O 的两条弦,且AB CD =.OM AB ⊥,ON CD ⊥,垂足分别为点M 、N ,BA 、DC 的延长线交于点P ,连接OP .下列结论正确的个数是( ) ①AB CD =;②OM ON =;③PA PC =;④BPO DPO ∠=∠A.1个B.2个C.3个D.4个7.如图,⊙O过点B、C,圆心O在等腰直角△ABC的内部,∠BAC=90°,OA=1,BC=6,则⊙O的半径为()A B.C D.8.在截面为半圆形的水槽内装有一些水,如图水面宽AB为6分米,如果再注入一些水后,水面上升1分米,此时水面宽度变为8分米.则该水槽截面半径为()A.3分米B.4分米C.5分米D.10分米9.如图,已知圆周角∠BAC=40°,那么圆心角∠BOC的度数是()A.40B.60C.80D.10010.已知如图,在⊙O中,OA⊥OB,∠A=35°,则弧CD的度数为()A.20°B.25°C.30°D.35°二、填空题11.如图,小明做实验时发现,当三角板中30°角的顶点A在⊙O上移动,三角板的两边与⊙O相交于点P、Q时,PQ的长度不变.若⊙O的半径为9,则PQ长为________.12.如图,△ABC内接于⊙O,∠ACB=90°,∠ACB的角平分线交⊙O于D.若AC=6,BD=5BC的长为_____.13.如图,边长相等的正五边形和正六边形拼接在一起,则∠ABC的度数为________.14.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,若以点A为圆心,以4为半径作⊙A,则点A,点B,点C,点D四点中在⊙A外的是________.15.如图,⊙O是△ABC的外接圆,∠OCB=30°,则∠A的度数等于____.三、解答题16.已知:如图,A,B,C,D是⊙O上的点,且AB=CD,求证:∠AOC=∠BOD.17.如图,点A,B,C,D在⊙O上,连结AB,CD,BD,若AB=CD.求证:∠ABD=∠CDB.18.已知在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O分别交AC于D,BC于E,连接ED.(1)求证:ED=EC;(2)若CD=3,AB的长.19.如图,已知AB是⊙O的弦,OB=2,∠B=30°,C是弦AB上任意一点(不与点A、B 重合),连接CO并延长CO交⊙O于点D,连接AD.(1)弦长AB等于________(结果保留根号);(2)当∠D=20°时,求∠BOD的度数.20.已知等边三角形ABC.(1)用尺规作图找出△ABC外心O.(2)记外心O到三角形三边的距离和为d,到三角形三个顶点的距离和为D,求dD的值21.如图,四边形ABCD内接于⊙O,AC平分∠BAD,延长DC交AB的延长线于点E.(1)若∠ADC=86°,求∠CBE的度数;(2)若AC=EC,求证:AD=BE22.已知:如图,AB为半圆O的直径,C、D是半圆O上的两点,若直径AB的长为4,且BC=2,∠DAC=15°.(1)求∠DAB的度数;(2)求图中阴影部分的面积(结果保留π)23.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,在上取点G,连结CG,DG,AC.求证:∠DGC=2∠BAC.24.如图,△ABC中,⊙O经过A、B两点,且交AC于点D,连接BD,∠DBC=∠BAC.(1)证明BC与⊙O相切;(2)若⊙O的半径为6,∠BAC=30°,求图中阴影部分的面积.25.已知AB是⊙O的直径,弦CD与AB相交,∠BAC=40°.(1)如图1,若D为弧AB的中点,求∠ABC和∠ABD的度数;(2)如图2,过点D作⊙O的切线,与AB的延长线交于点P,若DP∥AC,求∠OCD的度数.参考答案1.A【分析】利用等弧和弦的概念,垂径定理以及弧,弦与圆心角之间的关系进行判断.【详解】A选项:弧的度数与所对圆心角的度数相等,所以同圆或等圆中弧相等,则它们所对的圆心角也相等,故本选项正确;B选项:90°的圆周角所对的弦是直径,故本选项错误;C选项:应强调这条弦不是直径,故本选项错误;D选项:不在同一直线上的三点确定一个圆,故本选项错误.故选A.【点睛】考查了圆周角定理,垂径定理以及确定圆的条件.熟练掌握相关概念是解题的关键.2.C【分析】直接根据点与圆的位置关系进行解答即可.【详解】∵⊙O的半径为2cm,点P与圆心O的距离为4cm,4cm>2cm,∴点P在圆外.故选C.【点睛】考查的是点与圆的位置关系,熟知设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,当d<r时,点P在圆内是解答此题的关键.3.D【分析】利用圆内接四边形的对角互补判断即可.【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O,∴∠A+∠C=180°=∠B+∠D,故选D .【点睛】考查了圆内接四边形的性质,关键是根据内接四边形的对角互补的性质解答.4.B【分析】连接OB 和AC 交于点D ,根据菱形及直角三角形的性质先求出AC 的长及∠AOC 的度数,然后求出菱形ABCO 及扇形AOC 的面积,则由S 扇形AOC -S 菱形ABCO 可得答案.【详解】连接OB 和AC 交于点D ,如图所示:∵圆的半径为4,∴OB=OA=OC=4,又四边形OABC 是菱形,∴OB ⊥AC ,OD=12OB=2, 在Rt △COD 中利用勾股定理可知:CD=224223,243AC CD -===,∵sin ∠COD=CD OC = ∴∠COD=60°,∠AOC=2∠COD=120°,∴S 菱形ABCO =11422OB AC ⨯=⨯⨯∴S 扇形=21204163603ππ⨯⨯=,则图中阴影部分面积为S 扇形AOC -S 菱形ABCO =163π-故选B.【点睛】 考查扇形面积的计算及菱形的性质,解题关键是熟练掌握菱形的面积=12a•b (a 、b 是两条对角线的长度);扇形的面积=2360n r π.5.B【详解】连接OA,交O于E点,在Rt△OAB中,OB=6m,BA=8m,所以;又因为OE=OB=6m,所以AE=OA−OE=4m.因此拴羊的绳长最长不超过4m.故选B.6.D【分析】如图连接OB、OD,只要证明Rt△OMB≌Rt△OND,Rt△OPM≌Rt△OPN即可解决问题.【详解】解:如图连接OB、OD;∵AB=CD,∴AB CD=,故①正确∵OM⊥AB,ON⊥CD,∴AM=MB,CN=ND,∴BM=DN,∵OB=OD,∴Rt△OMB≌Rt△OND,∴OM=ON,故②正确,∵OP=OP,∴Rt△OPM≌Rt△OPN,∴PM=PN,∠OPB=∠OPD,故④正确,∵AM=CN,∴PA=PC ,故③正确,故选:D .【点睛】本题考查垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题,属于中考常考题型.7.C【详解】试题分析:过A 作AD ⊥BC ,由题意可知AD 必过点O ,连接OB ,∵△BAC 是等腰直角三角形,AD ⊥BC ,∴BD=CD=AD=3,∴OD=AD ﹣OA=2,Rt △OBD 中,根据勾股定理,得:C .考点:1.垂径定理;2.勾股定理;3.等腰直角三角形.8.C【分析】如图,油面AB 上升1分米得到油面CD,依题意得AB=6,CD=8,过O 点作AB 的垂线,垂足为E,交CD 于F 点,连接OA,OC,由垂径定理,得132AE AB ==,142CF CD ==,设OE=x,则OF=x-1,在Rt OAE ∆中和Rt OCF ∆中,根据勾股定理求得OA 、OC 的长度,然后由OA OC =,列方程求x 即可求半径OA,得出直径MN.【详解】:如图,依题意得AB=6,CD=8,过O 点作AB 的垂线,垂足为E,交CD 于F 点,连接OA,OC, 由垂径定理,得132AE AB ==,142CF CD ==,设OE=x,则OF=x-1, 在Rt OAE ∆中, 222OA AE OE =+,在Rt OCF ∆中, 222OC CF OF =+,OA OC =,()2222341x x ∴+=+-, 解得x=4,∴半径OA =5分米,故选C.【点睛】本题考查了垂径定理的运用.关键是利用垂径定理得出两个直角三角形,根据勾股定理表示半径的平方,根据半径相等列方程求解.9.C【分析】根据圆周角定理∠BOC=2∠BAC 即可解决问题.【详解】解:∵∠BOC=2∠BAC ,∠BAC=40°,∴∠BOC=80°,故选C .【点睛】本题考查圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考基础题.10.A【解析】【分析】连接OC ,根据三角形内角和定理可得∠AOB=90°和∠OBC 的度数,又得∠DOC 的度数,根据弧的度数等于所对圆心角的度数,可得结论.【详解】解:连接OC,∵OA⊥OB,∴∠AOB=90°,∵∠A=35°,∴∠OBC=90°﹣35°=55°,∴OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=55°,∴∠COB=70°,∴∠COD=90°﹣70°=20°,∴弧CD的度数为20°,故选:A.【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系,等腰三角形性质,三角形内角和定理,正确作出辅助线是解题的关键.11.3π.【详解】试题分析:连结OP、OQ,根据在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半,得出∠POQ=2∠A=60°,再根据弧长公式列式计算即可.解:如图,连结OP、OQ,则∠POQ=2∠A=60°.∵⊙O的半径为9,∴的长==3π.故答案为3π.考点:弧长的计算.12.8【分析】连接AD,根据CD是∠ACB的平分线可知∠ACD=∠BCD=45°,故可得出AD=BD,再由AB是⊙O的直径可知△ABD是等腰直角三角形,利用勾股定理求出AB的长,在Rt△ABC 中,利用勾股定理可得出BC的长.【详解】连接AD,∵∠ACB=90°,∴AB是⊙O的直径.∵∠ACB的角平分线交⊙O于D,∴∠ACD=∠BCD=45°,∴∵AB是⊙O的直径,∴△ABD是等腰直角三角形,∴.∵AC=6,∴.故答案为:8.【点睛】本题考查的是圆周角定理,熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键.13.24°【分析】根据正五边形的内角和和正六边形的内角和公式求得正五边形的每个内角为108°和正六边形的每个内角为120°,然后根据周角的定义和等腰三角形性质可得结论.【详解】解:由题意得:正六边形的每个内角都等于120°,正五边形的每个内角都等于108°∴∠BAC=360°-120°-108°=132°∵AB=AC∴∠ACB=∠ABC=(180132)242-︒=︒故答案是:24︒.【点睛】考查了正多边形的内角与外角、等腰三角形的性质,熟练掌握正五边形的内角和正六边形的内角求法是解题的关键.14.C【分析】要确定点与圆的位置关系,主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系;本题可由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d,当d>r时,点在圆外;当d=r时,点在圆上;当d<r时,点在圆内.【详解】∵CA>4,∴点C在⊙A外.∵AD═4,∴点D在⊙A上外;AB=3<4,∴点B在⊙A内.故答案为C.【点睛】本题考查了对点与圆的位置关系的判断.关键要记住若半径为r,点到圆心的距离为d,则有:当d>r时,点在圆外;当d=r时,点在圆上,当d<r时,点在圆内.15.60 º【分析】根据等腰三角形的性质由OB=OC得∠OBC=∠OCB=30°,再根据三角形内角和定理计算出∠BOC=120°,然后根据圆周角定理求解.【详解】∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=30°,∴∠BOC=180°−30°−30°=120°∠BOC=60°.∴∠A=12【点睛】本题考查了圆周角定理,解题的关键是掌握圆周角定理的用法.16.由AB=CD可得弧AB=弧CD,则可得弧AC=弧BD,从而证得结论.【详解】试题分析:∵AB=CD∴弧AB=弧CD∴弧AC=弧BD∴∠AOC=∠BOD.考点:圆周角定理点评:圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半.17.详见解析.【分析】欲证明∠ABD=∠CDB,只要证明AD BC=即可.【详解】证明:∵AB=CD,∴AB CD=,∴AB AC CD AC-=-,∴,AD BC=,∴∠ABD=∠CDB.【点睛】考查圆周角定理,圆心角、弧、弦之间的关系等知识,解题的关键是学会用转化的思想思考问题.18.(1)证明见解析(2)8【分析】()1根据180,180.EDC EDA B EDA ∠+∠=︒∠+∠=︒得到,B EDC ∠=∠因为,AB AC =根据等边对等角得到,B C ∠=∠根据等量代换得到,EDC C ∠=∠根据等角对等边即可证明. ()2连接,AE 根据等腰三角形三线合一的性质得到2BC EC ==证,ABC EDC ∽根据相似三角形的性质即可求出AB 的长.【详解】(1)证明: 180,180.EDC EDA B EDA ∠+∠=︒∠+∠=︒∴,B EDC ∠=∠又∵,AB AC =∴,B C ∠=∠∴,EDC C ∠=∠∴ .ED EC =(2)连接,AE∵AB 是直径,∴,AE BC ⊥又∵,AB AC =∴2BC EC ==∵,.B EDC C C ∠=∠∠=∠∴,ABC EDC ∽∴::,AB EC BC CD =又∵3,EC BC CD ===∴8.AB =【点睛】考查了圆周角定理,等腰三角形的判定和性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质等,正确的作出辅助线是解题的关键.19.(1)(2)100°【详解】试题分析:(1)如图,过O作OE⊥AB于E,根据垂径定理知道E是AB的中点,然后在Rt△OEB中利用已知条件即可求解;(2)首先根据三角形的外角和内角的故选得到可以得到∠BOD=∠B+∠A+∠D,接着利用圆周角和圆心角的关系和已知条件即可求出∠BOD的度数.试题解析:(1)如图,过O作OE⊥AB于E,∴E是AB的中点,在Rt△OEB中,OB=2,∠B=30°,∴OE=1,∴∴(2)解法一:∵∠BOD=∠B+∠BCO,∠BCO=∠A+∠D.∴∠BOD=∠B+∠A+∠D.…又∵∠BOD=2∠A,∠B=30°,∠D=20°,∴2∠A=∠B+∠A+∠D=∠A+50°,∠A=50°,…∴∠BOD=2∠A=100°.…解法二:如图,连接OA.∵OA=OB,OA=OD,∴∠BAO=∠B,∠DAO=∠D,∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D.…又∵∠B=30°,∠D=20°,∴∠DAB=50°,…∴∠BOD=2∠DAB=100°考点:1.垂径定理;2.圆周角定理.20.(1)详见解析;(2)12.【分析】(1)作AB,AB的垂直平分线交于点O,则点O即为所求;(2)求出AO.OD,即可得到结论.【详解】(1)用直尺和圆规分别作线段AB、BC的垂直平分线CF、AE,两条垂直平分线相较于点O,点O即为△ABC的外心;(2)设△ABC的外接圆的半径为R,∵三角形ABC是等边三角形,∴∠OCB= 30 °,则OE=12 R,∴外心O到三角形三边的距离和d=32 R,外心O到三角形三个顶点的距离和D=3R,∴dD=31232RR.【点睛】考查了三角形的外接圆与外心,三角形的内接圆与内心,等边三角形的性质,熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键.21.(1)∠CBE=86°;(2)证明见解析.【详解】试题分析:(1)根据圆内接四边形的性质计算即可;(2)证明△ADC≌△EBC即可.试题解析:(1)∵四边形ABCD内接于⊙O,∴∠ADC+ ∠ABC= 180°.又∵∠ADC= 86°,∴∠ABC= 94°,∴∠CBE=180° - 94°=86°.(2)∵ AC=EC,∴∠E=∠CAE ,∵ AC平分∠BAD,∴∠DAC=∠CAB ,∴∠DAC= ∠E.∵四边形ABCD内接于⊙O,∴∠ADC+ ∠ABC= 180°,又∵∠CBE+∠ABC = 180°, ,∴∠ADC= ∠CBE,∴△ADC ≌△EBC ,∴ AD=BE .22.(1)45°;(2)π-2.【分析】(1)根据含30°角的直角三角形性质求出∠CAB,即可得出答案;(2)连接OD,求出∠DOA,分别求出扇形AOD和△AOD面积,即可得出答案.【详解】(1)解:∵AB 是直径∴∠ACB=90°,又∵BC=2,AB=4,∴ BC= 12 AB,∴∠BAC=30°,∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=15°+30°=45°;(2)解:连接OD,∵直径AB=4,∴半径OD=OA=2,∵OA=OD,∠DAB=45°,∴∠ADO=∠DAB=45°,∴∠AOD=90°,∴阴影部分的面积S=S扇形AOD-S△AOD=290213622022ππ⨯⨯-⨯⨯=-.【点睛】考查了含30°角的直角三角形性质,扇形的面积计算,圆周角定理等知识点,能求出∠CAB=30°和∠AOD=90°是解此题的关键.23.证明见解析.【解析】【分析】由AB是⊙O的直径,CD⊥AB,根据垂径定理的即可求得弧BC=弧BD=12弧CD,从而求得2∠BAC=2∠BAD=∠DAC,由圆周角定理易证得:∠DGC=2∠BAC;【详解】证明:连结AD,∵弦CD⊥直径AB,∴2∠BAC=2∠BAD=∠DAC(垂径定理),又∵∠DGC=∠DAC(圆周角定理),∴∠BAC=∠DGC,∴∠DGC =2∠BAC .【点睛】此题考查垂径定理、圆周角定理.此题难度不大,注意掌握辅助线的作法与数形结合思想的应用.24.(1)证明见解析;(2)6π-【分析】(1)连接BO 并延长交⊙O 于点E ,连接DE .由圆周角定理得出∠BDE=90°,再求出∠EBD+∠DBC=90°,根据切线的判定定理即可得出BC 是⊙O 的切线;(2)分别求出等边三角形DOB 的面积和扇形DOB 的面积,即可求出答案.【详解】(1)证明:连接BO 并延长交⊙O 于点E ,连接DE,∵BE 是直径,∴∠EDB =90°,∴∠E +∠EBD =90°∵=,∴∠E =∠A又∵∠DBC =∠BAC ,∴∠DBC =∠E∴∠DBC +∠EBD =90°,∴∠EBC =90°,∴BC ⊥EB.又∵OB 是半径(B 在⊙O 上),∴BC 与⊙O 相切.(2)∵=,∴∠BOD =2∠A =60°S 阴影= S 扇形OBD -S △OBD =π36×60360-6π-【点睛】本题考查了切线的判定,圆周角定理,扇形面积,等边三角形的性质和判定的应用,关键是求出∠EBD+∠DBC=90°和分别求出扇形DOB 和三角形DOB 的面积.25.(1)45°;(2)26°.【分析】(1)根据圆周角和圆心角的关系和图形可以求得∠ABC和∠ABD的大小;(2)根据题意和平行线的性质、切线的性质可以求得∠OCD的大小.【详解】(1)∵AB是⊙O的直径,∠BAC=38°,∴∠ACB=90°,∴∠ABC=∠ACB﹣∠BAC=90°﹣38°=52°,∵D为弧AB的中点,∠AOB=180°,∴∠AOD=90°,∴∠ABD=45°;(2)连接OD,∵DP切⊙O于点D,∴OD⊥DP,即∠ODP=90°,∵DP∥AC,∠BAC=38°,∴∠P=∠BAC=38°,∵∠AOD是△ODP的一个外角,∴∠AOD=∠P+∠ODP=128°,∴∠ACD=64°,∵OC=OA,∠BAC=38°,∴∠OCA=∠BAC=38°,∴∠OCD=∠ACD﹣∠OCA=64°﹣38°=26°.【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答.。
人教版2022-2023学年第一学期九年级数学期末模拟测试题(附答案)
2022-2023学年第一学期九年级数学期末模拟测试题(附答案)一、选择题(共计24分)1.已知sinα=,若α是锐角,则α的度数为()A.30°B.45°C.60°D.90°2.如图所示几何体的主视图是()A.B.C.D.3.圆形物体在阳光下的投影可能是()A.三角形B.圆形C.矩形D.梯形4.如图,l1∥l2∥l3,直线AC和DE分别交l1、l2、l3于点A、B、C和点D、B、E,AB=4,BC=8,DB=3,则DE的长为()A.4B.5C.6D.95.反比例函数y=﹣图象上的两点为(x1,y1),(x2,y2),且x1<x2<0,则y1与y2的大小关系是()A.y1>y2B.y1<y2C.y1=y2D.不能确定6.如图,图形甲与图形乙是位似图形,点O是位似中心,点A、B的对应点分别为点A′、B′,若OA'=2OA,则图形乙的面积是图形甲的面积的()A.2倍B.3倍C.4倍D.5倍7.如图,四边形ABCD为菱形,若CE为边AB的垂直平分线,则∠ADB的度数为()A.20°B.25°C.30°D.40°8.已知反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而增大,则关于x的一元二次方程的根的情况是()A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.无法确定二、填空题(共计15分)9.若关于x的方程ax2﹣2ax+1=0的一个根是﹣1,则a的值是.10.如图,在正方形网格中,△AOC的顶点均在格点上,则tan∠CAO的值为.11.在一个不透明的盒子中装有黑球和白球共200个,这些球除颜色外其余均相同,将球搅匀后任意摸出一个球,记下颜色后放回,通过大量重复摸球试验后,发现摸到白球的频率稳定在0.2,则盒子中白球有个.12.如图,点A为反比例函数的图象上一点,连接AO并延长交反比例函数的图象于另一点B,过点A、B分别作x轴、y轴的平行线,两平行线交于点C,则△ABC的面积为.13.如图,将矩形ABCD放置在平面直角坐标系的第一象限内,使顶点A,B分别在x轴、y轴上滑动,矩形的形状保持不变,若AB=2,BC=1,则顶点C到坐标原点O的最大距离为.三、解答题(计81分)14.解方程:(2x﹣9)2=5(2x﹣9).15.如图,AD是△ABC的高,cos B=,sin C=,AC=10,求AD及AB的长.16.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,点E在BC上,∠C=∠DEA.(1)求证:△DEC∽△ADE;(2)若CE=2,DE=4,求△DEC与△ADE的周长之比.17.已知反比例函数y=(k为常数).(1)若函数图象在第二、四象限,求k的取值范围;(2)若x>0时,y随x的增大而减小,求k的取值范围.18.如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AB,AD上的点,且AE=AF,点M是EF的中,点,连接CM、CF、CE.求证:CM⊥EF.19.《城镇污水处理厂污染物排放标准》中硫化物的排放标准为1.0mg/L.某污水处理厂在自查中发现,所排污水中硫化物浓度超标,因此立即整改,并开始实时监测.据监测,整改开始第60小时时,所排污水中硫化物的浓度为5mg/L;从第60小时开始,所排污水中硫化物的浓度y(mg/L)是监测时间x(小时)的反比例函数,其图象如图所示.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)按规定所排污水中硫化物的浓度不超过0.8mg/L时,才能解除实时监测,此次整改实时监测的时间至少要多少小时?20.如图,▱ABCD的对角线AC、BD交于点O,点E在边CB的延长线上,连接AE,且∠EAC=90°,AE2=EB•EC.求证:四边形ABCD是矩形.21.2021年是中国共产党建党100周年,全国各地积极开展以“弘扬红色文化,重走长征路”为主题的教育学习活动,郑州市“二七纪念堂“成为重要的活动基地.据了解,今年3月份该基地接待参观人数10万,5月份接待参观人数增加到12.1万.求这两个月参观人数的月平均增长率.22.一个阳光明媚的午后,王婷和李力两个人去公园游玩,看见公园里有一棵古老的大树,于是,他们想运用所学知识测量这棵树的高度,如图,李力站在大树AB的影子BC的末端C处,同一时刻,王婷在李力的影子CE的末端E处做上标记,随后两人找来米尺测得BC=10米,CE=2米.已知李力的身高CD=1.6米,B、C、E在一条直线上,DC⊥BE,AB⊥BE,请你运用所学知识,帮助王婷和李力求出这棵树的高度AB.23.随着信息技术的迅猛发展,移动支付已成为一种常见的支付方式.在一次购物中,陈老师和陆老师都随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付.(1)陆老师选择用“微信”支付的概率是;(2)请用画树状图或列表的方法表示所有结果,并求出两位老师恰好一人用“微信”支付,一人用“银行卡”支付的概率.24.晓琳想用所学知识测量塔CD的高度.她找到一栋与塔CD在同一水平面上的楼房,在楼房的A处测得塔CD底部D的俯角为26.6°,测得塔CD顶部C的仰角为45°,AB ⊥BD,CD⊥BD,BD=30m,求塔CD的高度.(参考数据:sin26.6°≈0.45,c0s26.6°≈0.89,tan26.6°≈0.50)25.如图,一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A、B两点,其中点A的坐标为(﹣1,4),点B的坐标为(4,n).(1)求这两个函数的表达式;(2)一次函数y=k1x+b的图象交y轴于点C,若点P在反比例函数y=的图象上,使得S△COP=9,求点P的坐标.26.如图,△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90°,△DEF 的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合,将△DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.(1)当点Q在线段CA上时,如图1,求证:△BPE∽△CEQ;(2)当点Q在线段CA的延长线上时,如图2,△BPE和△CEQ是否相似?说明理由;(3)在(2)的条件下,若BP=1,CQ=,求PQ的长.参考答案一、选择题(共计24分)1.解:∵sinα=,α是锐角,∴α的度数为:45°.故选:B.2.解:由题意知,几何体的主视图为,故选:D.3.解:∵同一物体的影子的方向和大小可能不同,不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变.∴圆形物体在阳光下的投影可能是圆形、线段和椭圆形,故选:B.4.解:∵l1∥l2∥l3,∴,∵AB=4,BC=8,DB=3,∴,∴BE=6,∴DE=DB+BE=3+6=9,故选:D.5.解:∵反比例函数y=﹣中,k=﹣6<0,∴此函数的图象在二、四象限,在每一象限内y随x的增大而增大,∵x1<x2<0,∴(x1,y1)、(x2,y2)两点均位于第二象限,∴y1<y2.故选:B.6.解:由题意可得,甲乙两图形相似,且相似比为,根据相似图形的面积比是相似比的平方可得,图形乙的面积是图形甲的面积的4倍,故选:C.7.解:如图,连接AC,∵四边形ABCD为菱形,∴AB=BC=AD,∵CE为边AB的垂直平分线,∴AC=BC,∴AB=AC=BC,∴△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°,∴∠ABD=30°,∵AB=AD,∴∠ADB=∠ABD=30°,故选:C.8.解:∵在每一个象限内y随着x增大而增大,∴k<0,∴一元二次方程的判别式Δ=b2﹣4ac=(2k−1)2−4(k2+14)=﹣4k>0,∴方程有两个不相等的实数根,故选:C.二、填空题(共计15分)9.解:∵关于x的方程ax2﹣2ax+1=0的一个根是﹣1,∴a+2a+1=0,∴3a+1=0,解得a=﹣,故答案为:﹣.10.解:∵正方形网格中,△AOC的顶点均在格点上,∴∠ACO=90°,∴,故答案为:.11.解:因为通过大量重复摸球试验后,发现摸到白球的频率稳定在0.2,所以摸到白球的概率约为0.2,所以白球有200×0.2=40,故答案为:40.12.解:设点A的坐标为(﹣a,),根据中心对称的性质知点B的坐标为(a,﹣),∴点C的坐标为(a,),∴AC=2a,BC=,则△ABC的面积为:×2a×=12.故答案为:12.13.解:如图,取AB的中点E,连接CE,OE,∵∠AOB=90°,在Rt△AOB中,OE=AB=1,∵∠ABC=90°,AE=BE=CB=1,∴在Rt△CBE中,CE==,∵OC≤CE+OE=1+,∴OC的最大值为1+,即点C到原点O距离的最大值是1+,故答案为:1+.三、解答题(共计81分)14.解:方程移项得:(2x﹣9)2﹣5(2x﹣9)=0,分解因式得:(2x﹣9)(2x﹣9﹣5)=0,所以2x﹣9=0或2x﹣14=0,解得:x1=4.5,x2=7.15.解:在Rt△ACD中,,∵,∴,∴AD=6.在Rt△ABD中,,∴∠B=60°,∴∠BAD=90°﹣∠B=30°.∴,∴,∴.16.证明:(1)∵AD∥BC,∴∠DEC=∠ADE.又∵∠C=∠DEA,∴△DEC∽△ADE.解:(2)∵△DEC∽△ADE,∴△DEC与△ADE的周长之比===.17.解:(1)∵函数图象在第二、四象限,∴k﹣5<0,解得:k<5,∴k的取值范围是k<5;(2)∵若x>0时,y随x的增大而减小,∴k﹣5>0,解得:k>5,∴k的取值范围是k>5.18.证明:∵四边形ABCD是正方形∴AB=AD=BC=CD,∠B=∠D=90°∵AE=AF,∴BE=DF.在△BCE和△DCF中,,∴△BCE≌△DCF(SAS),∴CE=CF,∵点M是EF的中点,∴CM⊥EF.19.解:(1)设y与x之间的函数关系式为,根据题意,得:k=xy=60×5=300,∴y与x之间的函数关系式为.(2)当y=0.8时,.20.证明:∵AE2=EB•EC,∴,又∵∠AEB=∠CEA,∴△AEB∽△CEA,∴∠EBA=∠EAC而∠EAC=90°,∴∠EBA=∠EAC=90°,又∵∠EBA+∠CBA=180°,∴∠CBA=90°,而四边形ABCD是平行四边形,∴四边形ABCD是矩形.21.解:设这两个月参观人数的月平均增长率为x,根据题意,得:10(1+x)2=12.1,解得:x1=0.1=10%,x2=﹣2.1(舍去),答:这两个月参观人数的月平均增长率为10%.22.解:根据题意可得,AC∥DE,∴∠DEC=∠ACB.又∵DC⊥BE,AB⊥BE,即∠DCE=∠ABC=90°,∴△ABC∽△DCE,∴.∵BC=10米,CE=2米,CD=1.6米.∴,∴AB=8米,即这棵树的高度AB为8米.23.解:(1)陆老师选择用“微信”支付的概率是,故答案为:;(2)将“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式分别记为:A、B、C,画树状图如下:共有9种等可能的结果,其中两位老师恰好一人用“微信”支付,一人用“银行卡”支付的结果有2种,∴两位老师恰好一人用“微信”支付,一人用“银行卡”支付的概率为.24.解:过A点作AE⊥CD于E点,由题意得,四边形ABDE为矩形,∵∠DAE=26.6°,BD=30m,∴,∴DE=tan26.6°⋅AE≈0.50×30=15m,∵∠CAE=45°,∴∠ACE=45°,∴AE=EC=30m,∴CD=CE+ED=30+15=45(m),∴塔CD的高度是45m.25.解:(1)把点A(﹣1,4)代入反比例函数得,,∴k2=﹣4,∴反比例函数的表达式为,将点B(4,n)代入得,,∴B(4,﹣1),将A、B的坐标代入y=k1x+b得,解得∴一次函数的表达式为y=﹣x+3.(2)在y=﹣x+3中,令x=0,则y=3,∴直线AB与y轴的交点C为(0,3),设P(x,y),由题意得,∴|x|=6,∴x=6或x=﹣6,当x=6时,,此时点P的坐标为;当x=﹣6时,,此时点P的坐标为.∴点P的坐标或.26.(1)证明:如图1中,∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∴∠B=∠C=∠DEF=45°,∵∠BEQ=∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C,∴∠BEP+45°=∠EQC+45°,∴∠BEP=∠EQC,∵∠B=∠C,∴△BPE∽△CEQ;(2)解:结论:△BPE∽△CEQ.理由:如图2中,∵∠BEQ=∠EQC+∠C,即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C,∴∠BEP+45°=∠EQC+45°,∴∠BEP=∠EQC,又∵∠B=∠C,∴△BPE∽△CEQ;(3)解:∵△BPE∽△CEQ,∴,∵BE=CE,∴,解得:BE=CE=,∴BC=,∴AB=AC=,∴AQ=CQ﹣AC=,AP=AB﹣BP=3﹣1=2,在Rt△APQ中,PQ=.。
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九年级数学第一学期期末试卷(二十四)附答案一、单项选择题:(本大题共6题,每题4分,满分24分) 1.在Rt △ABC 中,∠C =90°,那么BCAC等于……………………………………………………( ) (A)tan A ; (B)cot A ; (C)sin A ; (D)cos A .2. 下列四个轴对称图形中,只有一条对称轴的图形是…………………………………………( )(A) 抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的图象; (B)圆; (C)等边三角形; (D)矩形.3.下列判断不正确的是……………………………………………………………………………( )(A )0a a -= ; (B )a b b a +=+ ;(C )如果a k b =⋅ (0k ≠),那么//a b ; (D )如果a b =,那么a b = .4.已知D 、E 分别是△ABC 的AB 、AC 上的一点,DE ∥BC 且ABC S ∆∶DBCE S 四边形=1∶3,那么AD ∶DB 的值等于…………………………………………………………………………( ) (A)41 ; (B) 21; (C) 1; (D) 33. 5.已知小明同学身高1.5米,经太阳光照射,在地面的影长为2米,他此时测得宝塔在同一地面的影长为60米,那么塔高为………………………………………………………………………( ) (A) 90米; (B) 80米; (C) 45米; (D)40米.6. 把抛物线()216+=x y 平移后得到抛物线26x y = ,平移的方法可以是………………( )(A)沿y 轴向上平移1个单位; (B) 沿y 轴向下平移1个单位;(C) 沿x 轴向左平移1个单位; (D) 沿x 轴向右平移1个单位.二、填空题:(本大题共12题,每题4分,满分48分) 7.计算:cos60°+cot45°=____________________. 8.如果x 是b a ,的比例中项,那么2x = .9.如果地图上两地的图距是4厘米,表示实际距离为200千米,那么实际距离是500千米的两地,在地图上的图距是 厘米.10.D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 的反向延长线上的点,如果52=AB AD ,那么ACAE的值是 时,DE ∥BC .11.如图,已知点G 是△ABC 的重心,过点G 作DE // BC ,分别交边AB 、AC 于点D 、E ,那么用向量BC表示向量ED 为________________.12.如果两个相似三角形的最长边分别是35厘米和14厘米,他们的周长相差60厘米,那么大三角形的 周长是 厘米.13.如果线段MN 的长度是10厘米,点P 是线段MN 上的黄金分割点,那么较短线段的长度是 厘米. 14.如右图,在△ABC 中,点D 在AB 上,再添加一个适当的条件 ,使△ADC 相似于△ABC . (只需填写满足要求的一个条件即可)15.计算:cos60°+cot45°= .16.如果斜坡的坡比i =1∶3,坡角为α,那么cot α= . 17.二次函数322+=x y 图象的顶点坐标是 .18.如果二次函数()()21122+-++=x k x k y ,那么它的图象的开口向 __.三、解答题(本大题共7题,其中第19---22题每题10分,第23、24题每题12分,第25题14分,满分78分)19.如图:已知在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,CD 是边AB 上的中线,AC =6,cos ∠ACD =32,求AB 的长.BACD 第19题BACD 第14题(第11题)20.如图:已知两个不平行的非零向量a 、b,求作:向量(-+)36b a()211b a +.21.如图,在△ABC 中,点D 、E 分别在BC 、AC 上,BE 平分∠ABC ,DE ∥BA . 如果CE =24, AE =26, AB =45,求DE 和CD 的长.22. 如图,在一块等腰直角△ABC 铁皮上截一块矩形EFGD ,边FG 在AB 上,顶点E 、D 分别在边CA 、CB 上,底边AB 长20厘米.设EF 的长为x 厘米,矩形EFGD 的面积为y 平方厘米,试写出y 关于x 的函数关系式及定义域, 并求当EF 的长为4厘米时,所截得的矩形的面积.aaaba 第20题ABCDEFG 第22题AEDBC第21题23. 如图,D 为△ABC 内一点,E 为△ABC 外一点, 且∠1=∠2,∠3=∠4. 证明:△ABC ∽△DBE .24.在平面直角坐标系xOy 中,△AOB 的位置如图所示,已知∠AOB =90°,∠A =60°, 点A 的坐标为(3 ,1). 求:(1) 点B 的坐标;(2) 图象经过A 、O 、B 和这个函数图象的顶点坐标.ABCDE1234第23题第24题25.如图,AB =16cm ,AC =12cm ,动点P 、Q 分别以每秒2cm和1cm 的速度同时开始运动,其中点P 从点A 出发沿AC 边一直移到点C 为止,点Q 从点B 出发沿BA 边一直移动 到点A 为止.(1) 写出AP 的长1y 和AQ 的长2y 关于时间t 的函数; (2) 经过多少时间后,△APQ 与△ABC 相似? (3) 在整个过程中,是否存在使△APQ 的面积恰好为△ABC 面积一半的情况,若存在,请问此时点Q 运动了多少时间?若不存在,请说明理由.ABC QP 第25题九年级数学第一学期期末试卷(二十一)参考答案及评分说明一、单项选择题:(本大题共6题,每题4分,满分24分)1.(B) ; 2.(A) ; 3.(D); 4.(C) ; 5.(C) ; 6.(D) .二、填空题:(本大题共12题,每题4分,满分48分) 7.23; 8. ab ; 9. 10; 10. 52; 11.23BC -; 12. 100; 13.3515-;14.AB AC AC AD = 或 ∠ACD=∠B 或 ∠ADC=∠ACB ; 15.23; 16.3 ; 17.(0,3); 18.上.三、解答题(本大题共7题,其中第19---22题每题10分,第23、24题每题12分,第25题14分,满分78分)19.解: ∵在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,CD 是边AB 上的中线,∴AD=CD . ………………………………………………………………………………………3′ ∴∠A=∠ACD . …………………………………………………………………………………1′ ∵cos ∠ACD =32, ∴cos ∠A =32.……………………………………………………………1′ ∵cos ∠A=AB AC,AC =6,∴AB 6=32.………………………………………………………………………3′ ∴AB=9. …………………………………………………………………1′ 所以AB 的长是9. …………………………………………………1′20.解:(-+)36b a()211b a +=-+b a36b a -211………………………………………………………………2′ =b a221+. …………………………………………………………………2′………………………………5′∴=b a221+. ……………………………1′21.解:在△ABC 中, ∵DE ∥BA , ∴ABDEAE CE =.………………………………………………………………2′ ∵CE =24, AE =26,AB =45, ∴380=ED . …………………………………………………………2′ ∵BE 平分∠ABC ,∴∠DBE=∠EBA .…………………………………………………………1′又∵DE ∥BA ,∴∠DEB=∠EBA .…………………………………………………………1′ ∴∠DBE=∠DEB .………………………………………………………1′ ∴DE=DB .……………………………………………………………………1′∵DE ∥BA ,∴DBCDAE CE =.…………………………………………………………………………………1′ ∴13320=CD .…………………………………………………………………………………1′22.解:∵△ABC 是等腰直角三角形,……………………………………………………………………1′ba第20题Ca 2四边形EFGD 是矩形,……………………………………………………1′∴△AFE 和△DGB 都是等腰直角三角形. …………………………………1′∴AF=EF=x ,GB=DG=x ,………………………………………………………………………1′FG=AB –AF –GB =20–2x . ……………………………………………………………………1′矩形EFGD 的面积y = x (20–2x )=x x 2022+-.…………………………………2′ 由 0<20–2x <20,解得 0<x <10.∴y 关于x 的函数关系式是y =x x 2022+-,定义域是0<x <10. …………………………1′x=4时,y =48420422=⨯+⨯-.……………………………………1′即当EF 的长为4厘米时,所截得的矩形的面积为48平方厘米. …………………………1′23. 证明: ∵∠1=∠2,∠3=∠4,∴△ABD ∽△CBE . ……………………………………………………………………………3′ ∴BEBDCB AB =. …………………………………………………………………………………2′ ∴EBCBDB AB =. …………………………………………………………………………2′ 又∵∠1=∠2,∴∠1+∠DBC=∠2+∠DBC . …………………………………………………………………2′ 即∠ABC=∠DBE . ……………………………………………………………………………1′ ∴△ABC ∽△DBE . ……………………………………………………………………………2′24.解:(1)∵点A 的坐标为(3-,1),∴AO =2. ………………………………1′∵∠AOB =90°,∠A =60°, ∴tan ∠A =OAOB, ∴BO =23. …………………………1′过点A 、B 分别作x 轴的垂线,垂足分别是点C 、D ,∵21=OA AC , ∴∠AOC =30°. ………………1′ ∠BOD =60°.∴点B 的坐标为(3,3). ……2′(2)设这个二次函数的解析式为c bx ax y ++=2()0≠a , …………1′∵二次函数的图象经过A 、O 、B 三点,∴⎪⎩⎪⎨⎧=++==+-.333,0,133c b a c c b a …………………………………………………………………………2′ 解得:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===.0,33,32c b a …………………………………………………………………………………2′ 所以二次函数的解析式为x x y 33322+=. …………………1′ 这个函数图象的顶点坐标为(43-,81-) . …………………1′25. 解:(1)由题意得:t y 21=(60≤≤t ),t y -=162(160≤≤t ).……………………………………4′ (2)当60≤≤t 时,①若QP ∥BC ,则有△AQP ∽△ABC .第23题∴ACAPAB AQ =. ∵AB =16cm ,AC =12cm ,t AP 2=,t AQ -=16,∴1221616tt =-, 解得:1148=t .……………………………………………2′②∵∠A =∠A ,若∠AQP =∠C ,则有△AQP ∽△ACB . ∴AB APAC AQ =. ∴1621216tt =-, 解得:4.6=t .(不符合题意,舍去)………………………2′ 当166≤≤t 时,点P 与C 重合. ∵∠A =∠A ,只有当∠AQC =∠ACB 时,有△AQC ∽△ACB . ∴AB AC AC AQ =. ∴16121216=-t , 解得:7=t . ……………………………………………………………………………2′综上所述:在60≤≤t 中,当1148=t 时,△AQP ∽△ABC . 在166≤≤t 中,当7=t 时,△AQC ∽△ACB . ……………………………………1′(3)当60≤≤t 时,过点P 、C 分别作AB 的垂线,垂足为D 、E .∴PD=AP sin ∠A ,CE=AC sin ∠A .如果△APQ 的面积恰好为△ABC 面积一半, 那么CEAB PDAQ S S ABCAPQ ⋅⋅=∆∆,∴21=⋅⋅CE AB PD AQ ,ABCQP第25题ED得:048162=+-t t , 解得:4=t 或者12=t (舍去).…………………………………………………………2′当166≤≤t 时,点P 与C 重合. 即ABAQ S S ABC AQC=∆∆, 如果△AQC 的面积恰好为△ABC 面积一半, 那么211616=-t , 解得:8=t . ……………………………………………………………………………1′ 综上所述:在60≤≤t 中,当4=t 时,△APQ 的面积恰好为△ABC 面积一半.在166≤≤t 中,当8=t 时,△AQC 的面积恰好为△ABC 面积一半.。