量子力学(第十一章)

内禀磁矩与外磁场的作用为
H
r s
r B
eB
c
Sx
eBh
2c
x
hL x
(10)
L
eB
2c
(Larmor频率)
设初始时刻电子自旋态为Sz 的本征态Sz h 2
即（采用 Sz 表象）
(0)
1
0
(11)
在t时刻电子自旋态 (t) ？
解1
令
(t)
a(t )
b(t)
(12)
按初始条件 a(0) 1,b(0) 0 把式代入
ih (t) H (t) (2)
t
由于它是含时间的一次导数的方程，当体系 的初态 (0) 给定之后，原则上可以从方程求 解出以后任何时刻t的状态 (t) 。 11.1.1 Hamilton量不含时的体系
如体系的Hamilton量不显含t (H t 0)
则体系能量为守恒量。此时， (t) 的求解是
n
n
上式两边乘
* k
，并积分，利用本征函数的
正
交归一性，得
ihC&kk eiknt k H n Cnk (25)
n
其中 kn (Ek En ) h
(26)
方程(25)与(23)等价，只是表象不同而已[（25）
H E (1)
得出能量本征值 E 和相应的本征态。要特
别注意，在大多数情况下，能级有简并，仅
根据能量本征值E 并不能把相应的本征态完
全确定下来，而往往需要找出一组守恒量完
全集F（其中包括H），并要求 是它们的
共同本征态，从而把简并态完全标记清楚。
(b) 体系状态随时间演化的问题。量子力学 的另一个基本假定是：体系状态随时间的演 化，遵守含时Schrodinger方程
(5), ，t时刻自旋态为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 0
，按式(7)和式
(t)
a eiLt
aei Lt
1 2
(eiLt
ei Lt )
cosLt i sinLt
(16)
与式(14)相同
11.1.2 Hamilton量含时体系的量子跃迁的微扰论
在实际问题中，人们更感兴趣的往往不 是泛泛地讨论量子态度随时间的演化，而是想 知道在某种外界作用下体系在定态之间的跃迁 几率。
设无外界作用时候，体系的Hamilton量 （不显含时间t）为 H0 。包括H0 在内的一组
力学量完全集F的共同本征态记为 n （n标记
一组完备的量子数）。设体系初始时刻处于
(0) k
(17)
当外界作用 H (t) 加上以后，
H H0 H (t)
(18)
并非完全集F中所有的力学量都能保持为守
Schrodinger方程
ih
d dt
a b
hL
0 1
1a
0
b
(13)
得 a& iLb,b& iLa
两式相加，减，得
d dt
(a
b)
iL
(a
b),
d dt
(a
b)
iL
(a
b)
所以
a(t) b(t) [a(0) b(0)]eiLt
a(t) b(t) [a(0) b(0)]eiLt
两式相加，减，得
a(t) cosLt,b(t) i sin Lt
即
(t
)
cosLt i sinLt
(14)
解2
体系的能量本征态，即 x 的本征值和本
征态分别为
x 1, E E hL ,
1 1 2 1
(15)
x 1, E E hL ,
1 1
2
1
电子自旋初态为 (0)
第十一章 量子跃迁
本章所讲的主要内容
量子态随时间的演化(11.1) 突发微扰与绝热微扰(11.2) 周期微扰，有限时间内的常微扰(11.3) 能量－时间不确定关系(11.4) 光的吸收与辐射的半经典理论(11.5)
11.1 量子态随时间的演化
量子力学中，关于量子态的问题，可 分为两类：
(a) 体系的可能状态的问题，即力学量的本 征态和本征值的问题。量子力学的基本假定 是：力学量的观测值即与力学量相应的算符 的本征值。通过求解算符的本征方程可以求 出它们。特别重要的是Hamilton量（不显 含时间t）的本征值问题，可求解不含时 Schrodinger方程
H n En n
(6)
（n代表一组完备的量子数），把式(4)代入式
(3)，利用式(6) ，得
(t)
a eiEnt h
n
n
(7)
n
特例:如果
(0) k
(8)
即初始时刻体系处于能量本征态 k ，相应
能量为Ek , 按式 (5)， an nk 。此时
(t) k eiEkt h
(9)
恒量，因而体系不能保持在原来的的本征
态，而将变成F的各个本征态的叠加，
(t) Cnk (t)eiEnt h n (19)
n
按照波函数的几率解释，在时刻t去测量力 学量F，得到 Fn 值的几率为
Pnk (t) Cnk (t) 2
(20)
经测量之后，体系从初始状态 k 跃迁到 n
态，跃迁几率为 Pnk (t) ，而单位时间内跃迁的几
即体系将保持在原来的能量本征态。这种量子态，
称为定态。
如果体系在初始时刻并不处于某一个能量本
征态, 则以后也不处于该本征态，而是若干能量 本征态的叠加，如(7)式所示，式中
an ( n , (0)) 由初态 (0) 决定(见式（5））。
例 1 设一个定域电子处于沿x方向的均匀
磁场中B中（不考虑电子的轨道运动），电子
率，即跃迁速率为
nk
d dt
Pnk (t)
d dt
Cnk (t)
2
(21)
于是问题归结为在给定的初条件（1）下，即
Cnk (0) nk
(22)
时如何去求解Cnk (t) 。
应当指出，通常人们感兴趣的跃迁当然是
指末态不同于初态的情况。但应注意，由于能级
往往有简并，所以量子跃迁并不意味着末态能量
一定与初态能量不同。弹性散射就是一个例子。
比较容易的。方程的解形式上可以表示成
(t) U (t) (0) eiHt h (0) (3)
U (t) eiHt h 是描述量子态随时间演化的算
符。如采取能量表象，把 (0) 表示成
(0) an n
(4)
n
an ( n , (0))
(5)
n 是包括H在内的一组守恒量完全集的共同
本征态，即
在弹性散射过程中，粒子从初态（动量为 pi 的本征态）跃迁到末态（动量为 p f 的本征 态），状态改变了（动量方向），但能量并 未改变（ pf pi ）。
量子态随时间的演化，遵守
Schrodinger方程
ih
t
(t)
(H0
H
)
(t)
(23)
用式（19）代入，得
ih C&nk (t)eiEnt h n Cnk (t)eiEnt h H n (24)