量子力学(第十一章)
第11章 原子发射光谱_2016
18
二、 谱线强度——定量分析基础
谱线强度 I正比于浓度c
hcg m Amk N I ( ) exp( Em / kT ) 4 Z
影响谱线强度的因素 （1）激发态能量越小，谱线强度越强； （2）温度升高，谱线强度增大。
19
11.2 仪
器
光源
单色器
检测器
原子发射光谱分析样品经历的过程 蒸发——原子化——激发
J = (L + S)， (L + S - 1)，· · · · · · ， |L－S| 若L ≥ S ； 其数值共(2 S +1)个； 若L ＜ S ； 其数值共(2 L +1)个； 例：L=2，S=1，则J 有三个值，J = 3，2，1；
L=0，S=1/2；则J 仅有一个值1/2；
J 值称光谱支项
29
光电直读光谱仪和摄谱仪
1. 光电直读光谱仪
直接利用光电检测系统将谱线的光信号转换为电信号，并 通过计算机处理、打印分析结果的光谱仪。 两种类型：单通道和多通道 单通道：一个出射狭缝和一 个光电倍增管，可接受一条谱 线，构成一个测量通道； 通过转动光栅或光电倍增管 进行扫描，在不同时间检测不 同谱线。
S=N/2，N/2-1，……或1/2，0 （N是价电子）
每一个S之下，有不同的mS: mS =0，±1，± 2，· · · · · · ±S （S为整数） 或mS = ±1/2，3/2 ，· · · · · · ±S （S为半整数）
量子力学曾谨言习题解答第十一章
第十一章：量子跃迁
[1] 具有电荷q 的离子，在其平衡位置附近作一维简谐振动，在光的照射下发生跃迁，入射光能量密为)(ωρ，波长较长，求：
（1）跃迁选择定则。
（2）设离子处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的几率。
（解）本题是一维运动，可以假设电磁场力的方向与振动方向一致。
（1）跃迁选择定则：
为确定谐振子在光照射下的跃迁选择定则，先计算跃迁速率，因为是随时间作交变的微扰，可以用专门的公式（12）（§11.4，P396）
)(34/
/'2
22
2
k k k k k k r q W ωρπ→
=
（1）
式中2
'
→
k k r 应理解为谐振子的矢径的矩阵元的平方和，但在一维谐振子情形，→
k
k
r /
仅有一项
2
/k
k x )(34/
/'2
22
2
k k k k k k x q W ωρπ
= （2）
根据谐振子的无微扰能量本征函数来计算这矩阵元 dx x k k k ⎰
∞
∞
-=
)
0('
/ψ （3）
式中)(2
)(!)0(ax H k a
x k k
k
πψ
=
，
μω=
a
~446~ 要展开（3）式，可以利用谐振子定态波函数的递推公式： }2
12
{
1
)0(1
)0(1
)0(+-++
=
k k k
k k x ψ
ψ
α
ψ
（4）
代入（3），利用波函数的正交归一化关系：
mn n
x
n
dx δψ
ψ
=⎰)0(*
)0(
dx
k k x k k k
k k ⎰
∞
∞
-+-++
⋅
=
}2
12
{
1
)0(1
)0(1
*)0('
'ψ
ψ
α
ψ
1
,1
,'
'
2
112
1+-++
=
k k
k k
k k δα
δα
（5）
由此知道，对指定的初态k 来说，要使矢径矩阵元（即偶极矩阵元）不为零，末态'k 和初态k 的关系必需是：
量子力学第11章-散 射
h2 − ∇ 2ψ + U ψ = E ψ 2µ
U (r )
表示入射粒子与散射中心得相互作用,
(6.1-3)
式中 µ
是入射粒子质量,E是它的能量,方便起见,令
2µE p2 k = 2 = 2, h h
2
v=
µ
p hk = ,
µ
V (r) =
2µ U(r) h2
(6.1-4,5,6)
=∑
l =0
∞
Al sin( kr − lπ / 2 + δ l ) Pl (cos θ ) kr
利用公式
sin α =
1 iα (e − e −iα ) 2i
将正弦函数写成指数函数,得
∞ ∞ l −ilπ / 2 2kif (θ ) + ∑ (2l + 1)i e Pl (cos θ ) − ∑ Al e i (δ −lπ / 2) Pl (cos θ ) e ikr l =0 l =0 ∞ ∞ l ilπ / 2 + ∑ (2l + 1)i e Pl (cos θ ) − ∑ Al e −i (δ −lπ / 2 ) Pl (cos θ ) e −ikr = 0 l =0 l =0
径向函数满足下列方程
l (l + 1) 1 d 2 dRl (r) 2 r + k − V (r) − 2 Rl (r) = 0 dr r 2 dr r
11第十一章 共价键和分子间作用力
（二）电负性
电负性：元素的原子在分子中吸引电子能力的相对大小
元素电负性越大，吸引电子的能力越强，非金属性越强 元素电负性越小，吸引电子的能力越弱，金属性越强
元素电负性的周期性变化与金属性、非金属性的一致 元素周期表中
同一周期，自左向右，电负性逐渐增大 同一族中，自上而下，电负性逐渐减小
周期表中元素的电负性
PO43-电子总数 : 5+3 = 8，价层电子对数为 4 出现单电子时当作电子对来对待
NO2 电子总数 : 5+0 = 5，价层电子对数为 3
VSEPR Model
SO2
判断分子空间构型的步骤
1. 确定中心原子的价层电子的总数和电子对数
元素
氢
碳族 元素
氮族 元素
氧族元素
卤族元素
位置
配体
中心 原子
中心 原子
中心 原子
配体
中心 原子
配体
提供电 子数目
1
4
5
6 07 1
复杂离子，计算中心原子的价层电子总数时，应加 上负离子的电荷数或减去正离子的电荷数
经典理论的缺陷：
为何电子同性排斥而却可以配对成键？
为何有方向性？
为何多于或少于8电子的结构依然存在？
F: F :B :F
:
Cl: Cl Cl:P:C:lCl
量子物理基础
第 42 次课 日期 周次 星期 学时：2
内容提要：
第十一章量子物理基础
§11.1 实物粒子的波粒二象性 一．德布罗意假设
二．德布罗意假设的实验验证 三．德布罗意假设的意义 四．电子显微镜 目的与要求：
1.理解德布罗意的物质波假设及其正确性的实验证实。理解实物粒子波粒二象性。
2.理解物质波动性的物理量(波长、频率)和粒子性的物理量(动量、能量)间的关系。 重点与难点:
德布罗意假设; 物质波动性的物理量(波长、频率)和粒子性的物理量(动量、能量)间的关系。
教学思路及实施方案： 本次课应强调：
类比法是科学研究中的一种重要方法。科学理论的发展总是在前人已有的理论基础上发展和创新的，学生既要善于继承前人已有的知识，又要有所创新。电子通过不均匀电场和磁场时要发生偏转是电子显微镜成像原理的主要部分。 教学内容：
§11.1 实物粒子的波粒二象性 一．德布罗意假设 1．德布罗意假设
1924年德布罗意大胆地提出假设：实物粒子也具有波动性。他并且把光子的能量一频率和动量—波长的关系式借来，认为一个实物粒子的能量E 和动量P 跟和它相联系的波的频率ν和波长λ的定量关系与光子一样，为
υh mc E ==2
λh
mv p =
= 这些公式称为德布 罗意公式或德布罗意假设。和实物粒子相联系的波称为物质波或德布罗意波。
德布罗意波长
k k E E E hc c v v
m h mv h p h 0222021+=-===
λ
其中2
02c m mc E k -=是粒子的相对论动能。
如果c v <<，因而粒子的动能k E 也就远小于粒子的静能0E 。在这种情况下，可用非相对论公式计算德布罗意波长
氢原子薛定谔方程的解
哈尔滨工程大学理学院
氢原子薛定谔方程的解 （3）角动量的空间取向量子化
第十一章 量子物理学基础
索末菲在1915-1916年提出：氢原子中的电子绕核作圆 周轨道运动，轨道平面在空间的取向不是任意的，而 只能取有限的特定方位，这既是轨道空间量子化假设
方程（1）得到的波函数 ()表明：电子绕核转动的 角动量空间取向是量子化的，设：外磁场方向为Z轴 方向，Lz表示L在外场方向投影大小，则：
这里的 ml即为前面讲的m，称为磁量子数。对应一个 l， ml有2l+1个值，即角动量的空间取向有2l+1种可能。
哈尔滨工程大学理学院
氢原子薛定谔方程的解
第十一章 量子物理学基础
如图，即为n=4(l=0,1,2,3)电子的角动量空间取向 量子化的情形。
ml=Lz/h
2 1 0 -1 1 0 -1 -2
3 2 1 0 -1 -2 -3
哈尔滨工程大学理学院
氢原子薛定谔方程的解
第十一章 量子物理学基础
（4）电子自旋 电子具有自旋是由施特恩和盖拉赫用实验证明的。 在相对论动力学中，由理论推导电子必须具有自旋；但 在非相对论动力学中，电子的自旋是根据实验引进的。 B K P 结果：无外场时，P上沉积一 条正对B的痕迹；有外 场时，出现几条不连 续的线状痕迹。 此实验最初用s态银原子进行， 原子射线分裂为二条，且二 者偏转上下对称。 因 s态原子 l=0本身无动量矩和磁矩。
量子力学基础教程陈鄂生
其中二级修正： t 1 imnt (2) (1) (t )e dt am (t ) an (t ) H mn i n 0
五、跃迁几率与跃迁速率 一级近似下 : (r , t ) am (t )e
m iEmt /
m ( r )
iEmt /
e
iEk t /
与薛定谔方程等价
( r , t ) ( r , t ) k
(0)
iEk t / iE t / k (r )e
ˆ 的本征解。 零级近似是 H 0
2.一级近似 (0) 将零级近似 an (t ) an (t )代入(A)的右边
t 1 (t )eimnt dt am (t ) am (0) an (0) (t ) H mn i n 0 1 t imk t (t )e dt H mk i 0
2 2
dinger方程转化为求an (t ) 三、解Schr o
dinger方程 o 将 (r , t )的展开式代入Schr
dan (t ) iEnt / i e n (r ) En an (t )eiEnt / n (r ) dt n n
ˆ (r ) a (t )eiEnt / H ˆ (t ) (r ) an (t )eiEnt / H 0 n n n
2
2 t 2
大学量子力学第11章_散射
散射过程： 方向准直的均匀单能粒子由远处沿z轴方
向射向靶粒子，由于受到靶粒子的作用，朝 各方向散射开去，此过程称为散射过程。散 射后的粒子可用探测器测量。 靶粒子的处在位置称为散射中心。
ds
θ
Z
3
一 散射截面 (续1)
Chapter.6 .Scattering
散射角：入射粒子受靶粒子势场的作用，其 运动方向偏离入射方向的角度。
这表明|1 |2 1 ，入射粒子束单位体积中的粒
子数为1。
入射波几率密度（即入射粒子流密度）
Jz
i
2
1
* 1
z
* 1
1
z
i
2
(ik
1
* 1
ik1* )
k N
（10）
散射波的几率流密度
14
二、散射振幅 (续6)
Chapter.6 .Scattering
Jr
i
2
2
* 2
r
* 2
2
r
一维势垒或势阱的散射情况
k x Aeikx Beikx
k x ceikx 11
二、散射振幅 (续3)
Chapter.6 .Scattering
式中 eikx为入射波或透射波，eikx 为散射波，
波只沿一方向散射。 对于三维情形，波可沿各方向散射。三维
量子力学-含时间的微扰论 Ⅴ.贝利相位和贝利相位因子 第十一章 量子散射的近似方法Ⅰ.一些描述散射的物理量
Ⅰ. 含时间的微扰论： Hˆ 与 t 有关， 体系的哈氏量原为 Hˆ 0(r, Pˆ ) ，随 t 有一
微扰 V(r, t)
i Hˆ t
Hˆ (t) Hˆ 0 V(r, t)
当微扰存在时，特别是与 t 有关时，
Bbe
it
0
若振荡场比静场小
b B0
设 t 0 时刻，电子自旋态的本征值
为 2。在一级近似下，从本征值为 2
的自旋态跃迁到本征值为 2 的自旋态的概
率为
P
1
2
t
1
†
0
0
0
Bbeit
2
Bbe 0
it
0 1
e
i
2BB0t
/
dt
1 2
t
2
Bb 2 ei(0 )tdt
1 i
0t
Vnkeink t1dt1
1
Vnk
1 einkt nk
Vnk *n (r)V(r)k (r)dr
单位时间跃迁概率（称为跃迁速率或
跃迁率）
wkn
2
Vnk
2 f
(Ek0 )
它表明：① 跃迁率与时间无关。通常
称为Fermi黄金定则;
② 当 t 一定大后，跃迁贡
量子力学 第四版 卷一 (曾谨言 著) 答案----第11章
1
r
=
r= ∞
r= 0
∫
r e
4
dr ⋅
π
θ =0
∫
cos θ sin θ dθ ⋅
2
2π
ϕ =0
∫ dϕ
=
⋅ 4!⋅ (
π − 2a 5 1 ) ⋅ (− cos 3 θ ) 2π 0 3 3
（11）
=
将三种值分别代入（7），得 C 211,100 = 0, C 21− 1,100 = 0
C 210,100 =
根据谐振子的无微扰能量本征函数来计算这矩阵元
xk / k =
式中ψ
∫
∞ −∞
ψ
( 0 )∗ k'
xψ
(0) k
( x )dx H k (ax ) ， a =
（ 3）
(0) k
( x) =
π k!2
a
k
µω
要展开（3）式，可以利用谐振子定态波函数的递推公式：
xψ
(0) k
=
1 k { ψ α 2
( 0) n
W 2 n ,1 =
1024 qa 2 n2 ( ) ρ (ω 3 h (4n 2 − 1)4
2 n ,1
)
11.4——10.4 11.5——10.5 11.6——10.6 11.7 设把处于基态的氢原子放在平行板电容器中，取平行板法线方向为 z 轴方向、 电场沿 z 轴方向 可视作均匀，设电容器突然充电然后放电，电场随时间变化规律是：
量子力学教程第二版教学大纲
量子力学教程第二版教学大纲
1. 引言
在这个信息时代，量子力学正成为一门重要的物理学科。其在通信、计算和安全等领域内的应用正在不断发展。因此，本教程旨在为读者
提供一份全面的量子力学学习教材，以及应用领域的相关背景知识。
本教程适合物理学或相关学科的本科生和研究生。
2. 学习目标
本教程将给予读者：
•量子力学基础知识并能够运用基础知识解决问题；
•对量子计算和通信技术的应用进行了解；
•理解量子力学背景知识，并对其在实际应用方面有一定的了解；
•学习并实践量子算法的理论知识。
3. 学习难度
本课程基础数学为高等数学，高等代数和复变函数。建议初学者在
学习前先完成相关课程的基本学习。
4. 课程内容
本课程内容主要包括四个部分，分别是基础内容、量子随时间演化、量子算法和量子通信。
4.1 基础内容
•第一章：量子力学的基本概念
•第二章：态矢量和测量
•第三章：不确定性原理
•第四章：原子和光子的量子力学
4.2 量子随时间演化
•第五章：量子力学的时间演化
•第六章：微扰理论
•第七章：分波和矩阵理论
4.3 量子算法
•第八章：量子门和量子电路
•第九章：量子搜索和Grover算法
•第十章：Shor算法和量子因子分解
4.4 量子通信
•第十一章：量子密钥分发
•第十二章：量子纠缠和量子重复编码
5. 学习方式
本教程支持线上学习和线下学习。线上学习可以通过MOOC平台进行学习，线下学习可以通过教材进行学习。
在线上学习中，我们将为学生提供在线课程学习，课程评估和作业提交。在线下学习中，学生可以根据自己的情况选择教材和课外资料进行学习和干预。
曾谨言 量子力学第一卷 习题答案解析11第十一章
Wk 'k =
2 4π 2 q 2 x ρ (ω k ' k ) ' kk 3ℏ 2 2
' 64a 2 q 2 k' k 2 = ⋅ ⋅ [( −1) k + k − 1] 2 ⋅ ρ (ω k ' k ) 2 2 2 3π ℏ ( k ' − k 2 ) 4
（4）
k ' ± k = 偶数时 Wk 'k = 0 ， k ' ± k = 奇数时
ψ k ( x) =
2 kπx sin a a
（1）
根据此式计算矩阵元：
xk'k
2 a k 'πx kπx = ∫ sin ⋅ x ⋅ sin dx x = 0 a a a
=
1 a (k ' − k )πx ( k ' + k )πx x [cos − cos ]dx a ∫x =0 a a
利用不定积分公式：
根据谐振子的无微扰能量本征函数来计算这矩阵元
xk/k =
∫
∞
−∞
) ψ k( 0 ' dx
（3）
( 0) 式中ψ k ( x) =
a π k!2
k
H k (ax ) ， a =
µω ℏ
~446~
要展开（3）式，可以利用谐振子定态波函数的递推公式：
量子力学3
d ( x) E ( x ) 2 2m dx
2
理学院 姜海丽
2
o xa
波函数 薛定谔方程
第十一章 量子物理学基础
在阱内的薛定谔 方程可写为：
d ( x) dx 2
2
2mE 2
( x ) k 2 ( x )
o xa
类似于简谐振子的方程，其通解：
( x) A sin kx B cos kx (0) A sin 0 B cos 0 0 代入边界条件得： (a) A sin ka B cos ka 0
E n E n 1 E n 2ma 2
当 n , E n / E 2 / n 0 能级分布可视为连续的。
理学院 姜海丽
波函数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ薛定谔方程
第十一章 量子物理学基础
一维无限深方势阱中粒子的能级、波函数和几率密度
( x)
4 x
4 x
E4
2
n4
3 x
是一个复指数函数，本身无物理意义
2 * | | 2、波函数模的平方 代表时刻t 在 r
处粒子出现的几率密度。即：t 时刻出现在空 间（x,y,z）点的单位体积内的几率。这也正是 1926年波恩对波函数的统计解释：对应于自由 粒子在空间的一个状态，就有一个由伴随该状 态的德布罗意波所确定的几率。
第11章光与物质作用的全量子理论
b j j
j
* b jj
j
用矢量势表示的相互作用哈密顿量包括两部分：
e H FA,1 A P m
(11.2.14)
e2 2 H FA,2 A 2m
将 A 的表达式代入，则得到
H FA,1 bi b j g ,ij (a a )
(11.2.18)
可以证明，在偶极近似下
11.3
全量子化的 Maxwell-Bloch 方程
这里，用海森堡表象求出 Maxwell-Bloch 方程。考虑一个二能级原子与单模光场作用
H a a eg z g (a a )
(11.3.1) (11.3.2) (11.3.3) (11.3.4) (11.3.5)
(11.1.4)
g
E0 sin(kz )
(11.1.5)
e 0 0 1 g ( a a ) H ( a a ) 1 0 0 g
可将其中的矩阵写成泡利矩阵。 泡利矩阵有关表示总结束如下：
(11.1.6)
x , y i 1 0 ( x i y ) ( x i y )
g
二能级体系密度矩阵可定义为：
1
医用物理(第二版)第11章 量子力学详解
习题
11–1 夜空中最亮的恒星为天狼星，测得其峰值波长为290nm ，其表面温度是多少？北极星的峰值波长为350nm ，其表面温度又是多少？
11–2 热核爆炸时火球的瞬时温度可达1.00×107K ，求辐射最强的波长（即峰值波长）及该波长光子的能量．
11–3 人体的辐射相当于黑体辐射，设某人体表面积为1.5m 2，皮肤温度为34℃，所在房间的温度为25℃，求人体辐射的净功率．
11–4 频率为6.67×1014Hz 的单色光入射到逸出功为2.3 eV 的钠表面上，求：（1）光电子的最大初动能和最大初速度，（2）在正负极之间施加多大的反向电压（—遏止电压）才能使光电流降低为零？
11–5 钠的逸出功为2.3 eV ，求：（1）从钠表面发射光电子的临界频率和临界波长是多少？（2）波长为680nm 的橙黄色光照射钠能否产生光电效应？
11–6 在理想条件下，正常人的眼睛接收到550 nm 的可见光时，每秒光子数达100个时就有光感，求与此相当的功率是多少？
11–7 太阳光谱中的D 线，即钠黄光波长为589.3nm ，求相应光子的质量及该质量与电子质量的比值． 11–8 根据玻尔理论计算氢原子巴耳末系最长和最短谱线的波长、及相应光子的频率、能量、质量和动量．
11–9 一电子显微镜的加速电压为4.0 kV ，经过该电压加速的电子的德布罗意波波长是多少？ 11–10 光子和电子的德布罗意波波长都是0.20nm ，它们的动量、能量分别是多少？
11–11 镭的α衰变过程中，产生两种α粒子，一种为α1（94.6％）4.78MeV ，另一种为α2（5.4％）4.60MeV ，已知α粒子的质量为6.6⨯10-27kg ，求这两种α粒子的速度和德布罗意波波长．
li第十一章麦克斯韦方程组
E B 0 jc 0 t
安培环路定理：磁场与电流及变化的电场的关 系。
电场的高斯定理; 电场由自由电荷和变化的磁场激发。
环路定理； 表征变化的磁场激发有旋电场。
式中电场包括库仑电场和感生电场。 磁场的高斯定理；传导电流和变化的电场； 激发的磁场均是有旋场,磁力线是闭合曲线;
通量
1 E静电 dS
S
E感生 dS 0
S
0 V
0
dV
环流 E静电 dl 0
B E感生 dl t dS L S
L
B dS 0
S
E B dl 0 J 0 dS 0 0 t dS L S S
偶极子附近电场线的变化
电场线
磁场线
E
E
E
B
B
„
平面电磁波
例：振荡电偶极子的远场 －近似的平面电磁波 传播方向～ EB
E
B p E B
C
1.横波性
E
c
B
真空中的光速
c＝
1
00
＝2.9979108 m / s
E
c
B
2.在空间同一点
B E c
B 的作用远小于E 的作用 E 和B 相互垂直，同频率，同相位地变化。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
内禀磁矩与外磁场的作用为
H
r s
r B
eB
c
Sx
eBh
2c
x
hL x
(10)
L
eB
2c
(Larmor频率)
设初始时刻电子自旋态为Sz 的本征态Sz h 2
即（采用 Sz 表象）
(0)
1
0
(11)
在t时刻电子自旋态 (t) ？
解1
令
(t)
a(t )
b(t)
(12)
按初始条件 a(0) 1,b(0) 0 把式代入
ih (t) H (t) (2)
t
由于它是含时间的一次导数的方程，当体系 的初态 (0) 给定之后，原则上可以从方程求 解出以后任何时刻t的状态 (t) 。 11.1.1 Hamilton量不含时的体系
如体系的Hamilton量不显含t (H t 0)
则体系能量为守恒量。此时， (t) 的求解是
n
n
上式两边乘
* k
，并积分，利用本征函数的
正
交归一性，得
ihC&kk eiknt k H n Cnk (25)
n
其中 kn (Ek En ) h
(26)
方程(25)与(23)等价，只是表象不同而已[（25）
H E (1)
得出能量本征值 E 和相应的本征态。要特
别注意，在大多数情况下，能级有简并，仅
根据能量本征值E 并不能把相应的本征态完
全确定下来，而往往需要找出一组守恒量完
全集F（其中包括H），并要求 是它们的
共同本征态，从而把简并态完全标记清楚。
(b) 体系状态随时间演化的问题。量子力学 的另一个基本假定是：体系状态随时间的演 化，遵守含时Schrodinger方程
(5), ，t时刻自旋态为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 0
，按式(7)和式
(t)
a eiLt
aei Lt
1 2
(eiLt
ei Lt )
cosLt i sinLt
(16)
与式(14)相同
11.1.2 Hamilton量含时体系的量子跃迁的微扰论
在实际问题中，人们更感兴趣的往往不 是泛泛地讨论量子态度随时间的演化，而是想 知道在某种外界作用下体系在定态之间的跃迁 几率。
设无外界作用时候，体系的Hamilton量 （不显含时间t）为 H0 。包括H0 在内的一组
力学量完全集F的共同本征态记为 n （n标记
一组完备的量子数）。设体系初始时刻处于
(0) k
(17)
当外界作用 H (t) 加上以后，
H H0 H (t)
(18)
并非完全集F中所有的力学量都能保持为守
Schrodinger方程
ih
d dt
a b
hL
0 1
1a
0
b
(13)
得 a& iLb,b& iLa
两式相加，减，得
d dt
(a
b)
iL
(a
b),
d dt
(a
b)
iL
(a
b)
所以
a(t) b(t) [a(0) b(0)]eiLt
a(t) b(t) [a(0) b(0)]eiLt
两式相加，减，得
a(t) cosLt,b(t) i sin Lt
即
(t
)
cosLt i sinLt
(14)
解2
体系的能量本征态，即 x 的本征值和本
征态分别为
x 1, E E hL ,
1 1 2 1
(15)
x 1, E E hL ,
1 1
2
1
电子自旋初态为 (0)
第十一章 量子跃迁
本章所讲的主要内容
量子态随时间的演化(11.1) 突发微扰与绝热微扰(11.2) 周期微扰，有限时间内的常微扰(11.3) 能量－时间不确定关系(11.4) 光的吸收与辐射的半经典理论(11.5)
11.1 量子态随时间的演化
量子力学中，关于量子态的问题，可 分为两类：
(a) 体系的可能状态的问题，即力学量的本 征态和本征值的问题。量子力学的基本假定 是：力学量的观测值即与力学量相应的算符 的本征值。通过求解算符的本征方程可以求 出它们。特别重要的是Hamilton量（不显 含时间t）的本征值问题，可求解不含时 Schrodinger方程
H n En n
(6)
（n代表一组完备的量子数），把式(4)代入式
(3)，利用式(6) ，得
(t)
a eiEnt h
n
n
(7)
n
特例:如果
(0) k
(8)
即初始时刻体系处于能量本征态 k ，相应
能量为Ek , 按式 (5)， an nk 。此时
(t) k eiEkt h
(9)
恒量，因而体系不能保持在原来的的本征
态，而将变成F的各个本征态的叠加，
(t) Cnk (t)eiEnt h n (19)
n
按照波函数的几率解释，在时刻t去测量力 学量F，得到 Fn 值的几率为
Pnk (t) Cnk (t) 2
(20)
经测量之后，体系从初始状态 k 跃迁到 n
态，跃迁几率为 Pnk (t) ，而单位时间内跃迁的几
即体系将保持在原来的能量本征态。这种量子态，
称为定态。
如果体系在初始时刻并不处于某一个能量本
征态, 则以后也不处于该本征态，而是若干能量 本征态的叠加，如(7)式所示，式中
an ( n , (0)) 由初态 (0) 决定(见式（5））。
例 1 设一个定域电子处于沿x方向的均匀
磁场中B中（不考虑电子的轨道运动），电子
率，即跃迁速率为
nk
d dt
Pnk (t)
d dt
Cnk (t)
2
(21)
于是问题归结为在给定的初条件（1）下，即
Cnk (0) nk
(22)
时如何去求解Cnk (t) 。
应当指出，通常人们感兴趣的跃迁当然是
指末态不同于初态的情况。但应注意，由于能级
往往有简并，所以量子跃迁并不意味着末态能量
一定与初态能量不同。弹性散射就是一个例子。
比较容易的。方程的解形式上可以表示成
(t) U (t) (0) eiHt h (0) (3)
U (t) eiHt h 是描述量子态随时间演化的算
符。如采取能量表象，把 (0) 表示成
(0) an n
(4)
n
an ( n , (0))
(5)
n 是包括H在内的一组守恒量完全集的共同
本征态，即
在弹性散射过程中，粒子从初态（动量为 pi 的本征态）跃迁到末态（动量为 p f 的本征 态），状态改变了（动量方向），但能量并 未改变（ pf pi ）。
量子态随时间的演化，遵守
Schrodinger方程
ih
t
(t)
(H0
H
)
(t)
(23)
用式（19）代入，得
ih C&nk (t)eiEnt h n Cnk (t)eiEnt h H n (24)