2011-2012学年北京市昌平区高三(上)期末数学试卷(文科)(解析版)
昌平区2012-2013学年第一学期期末考试高三数学文科答案
昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测数 学 试卷 参考答案（文科）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）（9） （10）6；9（11） 3 （12）22(5)16x y -+=（13） -5; 1(,3)2- （14三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)（15）(本小题满分13分)解：（Ⅰ）因为()2cos )cos 1f x x x x =-⋅+2cos2x x -π2sin(2)6x =-.………………………………5分所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==．…………………7分 （II ）由 5[,],2[,],2[,],422636x x x πππππππ挝-?…………..9分 当52,,()1662x x f x πππ-==即时取得最小值，…………….11分 当2,,()2623x x f x πππ-==即时取得最大值.……………….13分 （16）(本小题满分14分) 解：（I ）连接OF .G ABC DEFO由ABCD 是正方形可知,点O 为BD 中点. 又F 为BE 的中点，所以OF ∥DE ………………….2分 又,,OF ACF DEACF 平面平面趟所以DE ∥平面ACF ………….4分(II) 证明：由EC ABCD BD ABCD 底面，底面，^? 所以,EC BD ^由ABCD 是正方形可知, ,AC BD ^又=,,AC EC C AC ECACE 平面，翘 所以,BD ACE 平面^………………………………..8分又AE ACE 平面，Ì所以BD AE ^…………………………………………..9分(III) 在线段EO 上存在点G ，使CG BDE 平面^. 理由如下： 如图，取EO 中点G ，连接CG . 在四棱锥E ABCD -中，,2AB CO AB CE ===， 所以CG EO ^.…………………………………………………………………..11分 由（II ）可知，,BD ACE 平面^而,BD BDE 平面Ì 所以，,ACE BDE ACE BDE EO 平面平面且平面平面，^? 因为,CG EO CG ACE 平面，^?所以CG BDE 平面^…………………………………………………………. 13分 故在线段EO 上存在点G ，使CG BDE 平面^.由G 为EO 中点，得1.2EG EO =…………………………………………… 14分（17）(本小题满分13分)解：（I ）乙组同学的平均成绩为87909093904+++=，甲组同学的平均成绩为90，所以8086919490,9.4X X ++++==…………………………………2分 甲组同学数学成绩的方差为222228690)(8990)(9190)(9490)17=42s -+-+-+-=甲（…………… 6分(II)设甲组成绩为86,87,91,94的同学分别为1234,,,,a a a a 乙组成绩为87,90,90,93的同学分别为1234,,,,b b b b 则所有的事件构成的基本事件空间为：11121314212223243132{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b33344142434(,),(,),(,),(,),(,),(,)}.a b a b a b a b a ba b 共16个基本事件. 设事件A =“这两名同学的数学成绩之和大于180”，则事件A 包含的基本事件的空间为{32333441424344(,),(,)(,),(,),(,),(,),(,)}.a b a b a b a b a b a b a b 共7个基本事件，7()16P A =………………………………………………………………………….13分（18）(本小题满分13分) 解：（I ）当1a =时，311()32f x x x =-+，2'()1f x x =- .............1分令12'()01, 1.f x x x ==-=，得..................................2分列表：∴当[0,2]x ∈时，()f x 最大值为()26f =. ………………………7分 （Ⅱ）22'()()(),f x x a x a x a =-=-+令12'()0,,.f x x a x a ==-=得① 若0,)()0,()a a f x f x '<<∴在（0，-上，单调递减.)()0,()a f x f x '∞>∴在（-，+上，单调递增.所以，()f x 在x a =-时取得最小值()332121()3232a f a a a a a -=-++=+， 因为()2221210,0,()03232a a f a a a <+>-=+<所以.0,0,+()0.a x f x <∈∞>所以当时对任意（）,不成立……………………………..9分② 若20,()0,()0+a f x x f x '==≥∞所以在（，）上是增函数，所以当=0()(0)0.a f x f >=时，有………………………………………………………..10分 ③若0,)()0,()a a f x f x '><在（0，上，所以单调递减.)()0,()a f x f x '∞>在（，+上，所以单调递增.所以，()f x 在x a =取得最小值()332121()3232a f a a a a a =-+=--， 令()222121()0,0,0,03232f a a a a a a =-->>-<<<由得,0,()0.2a x f x <<>>所以当0对任意都成立 综上，a 的取值范围是[0)2，.………………………………13分（19）(本小题满分13分)解: (Ⅰ)由题意知222112a b a ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，所以b =故所求椭圆方程为22142x y +=………………………………….5分 (Ⅱ) 设直线l的的方程为2y x m =+,则0m ≠.设1122(,),(,),B x y C x y代入椭圆方程并化简得2220x m +-=, …………6分 由22224(2)2(4)0m m m ∆=--=->,可得204m << . ( *)由( *)，得1,2x =,故12BC x =-==..9分又点A 到BC 的距离为d =, …………………10分故12ABC S BC d ∆=⋅=22(4)2m m +-=≤=当且仅当224m m =-,即m =时取等号满足(*)式. 所以ABC ∆面积的最大值为2. ……………………13分（20）(本小题满分13分)解: (I)① 因为数列1240,30,k k ==320,k =410k =， 所以123440,70,90,100b b b b ====，所以(1)60,(2)90,(3)100,(4)100g g g g =-=-=-=-. ………8分 ②123100401302203104200a a a a ++++=⨯+⨯+⨯+⨯=L ……….10分 (II) 一方面，1(1)()100m g m g m b ++-=-，根据j b 的含义知1100m b +≤，故0)()1(≤-+m g m g ，即 )1()(+≥m g m g ， 当且仅当1100m b +=时取等号. 因为123100,,,,a a a a 中最大的项为50，所以当50m ≥时必有100m b =，所以(1)(2)(49)(50)(51)g g g g g >>>===即当149m ≤<时，有()(1)g m g m >+； 当49m ≥时，有()(1)g m g m =+. 14分。
2011年高考新课标卷文科数学试题(解析版)
2011年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷)文科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其他题为必考题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{0,1,2,3,4}M =，{1,3,5}N =，P MN =，则P 的子集共有A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个 【答案】B 【解析】P M N =={1,3}，故P 的子集有224=个．2．复数5i12i=- A ．2i - B ．12i - C ．2i -+ D ．12i -+ 【答案】C 【解析】5i 5i(12i)2i 12i (12i)(12i)+==-+--+． 3．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是A ．3y x =B ．||1y x =+C ．21y x =-+ D ．||2x y -=【答案】B【解析】3y x =为奇函数，21y x =-+在(0,)+∞上为减函数，||2x y -=在(0,)+∞上为减函数，故选B ．4．椭圆221168x y +=的离心率为A ．13 B ．12C D ．2【答案】D【解析】由221168x y +=可知216a =，28b =，∴2228c a b =-=，∴22212c e a ==，∴22e =． 5．执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是A ．120B ．720C ．1440D ．5040 【答案】B【解析】由程序框图可得，输出的123456720p =⨯⨯⨯⨯⨯=，选B6．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A ．13 B ．12 C ．23 D ．34【答案】A【解析】记三个兴趣小组分别为1、2、3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9个．记事件A 为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”，其中事件A 有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3个．因此31()93P A ==． 7．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=A ．45-B ．35-C ．35D ．45【答案】B【解析】由题知tan 2θ=，222222cos sin 1tan 3cos2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++，选B ．8．在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为俯视图正视图DCB A【答案】D【解析】通过正视图及俯视图可看出该几何体为半个圆锥和一个三棱锥组合在一起，故侧视图为D ．9．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于,A B 两点，||AB =12，P 为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为_____．A ．18B ．24C ．36D ．48 【答案】C【解析】设抛物线方程为22y px =，则焦点坐标为(,0)2p ，将2px =代入22y px =可得22y p =，||AB =12，即2p =12，∴p =6．点P 在准线上，到AB 的距离为p =6，所以ABP ∆面积为1612362⨯⨯=． 10．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为_____． A ．1(,0)4- B ．1(0,)4 C ．11(,)42 D ．13(,)24【答案】C【解析】因为114411()432044f e e =+⨯-=-<，112211()431022f e e =+⨯-=->，所以()43xf x e x =+-的零点所在的区间为11(,)42．11．设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则 A ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线4x π=对称 B ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线2x π=对称 C ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线4x π=对称 D ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线2x π=对称【答案】D【解析】因为()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++=2sin(2)2x π+=2cos 2x ， 所以2cos 2y x =，在(0,)2π单调递减，对称轴为2x k π=，即2k x π=(k ∈Z )．12．已知函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时2()f x x =，那么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有_____．A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个 【答案】A【解析】画出两个函数图象可看出交点有10个．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量+a b 与向量k -a b 垂直，则k = ．【答案】1【解析】∵+a b 与k -a b 垂直，∴(+a b )·(k -a b ) =0，化简得(1)(1)0k -⋅+=a b ，根据a 、b 向量不共线，且均为单位向量得10⋅+≠a b ，得10k -=，即1k =． 14．若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值是_________．【答案】－6【解析】画出区域图知，当直线2z x y =+过239x y x y +=⎧⎨-=⎩的交点(4，-5)时，min 6z =-．15．ABC ∆中，120,7,5B AC AB =︒==，则ABC ∆的面积为_________．153【解析】根据sin sin AB ACC B=得5353sin sin 7AB C B AC === 25311cos 1()1414C =-=， 所以sin sin[()]sin cos sin cos A B C B C C B π=-+=+3111533321421414=⨯-⨯=． 因此ABC S ∆=1133153sin 7522144AB AC A ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= 16．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为______________． 【答案】13【解析】设球心为1O ，半径为1r ，圆锥底面圆圆心为2O ，半径为2r ，则有22123416r r ππ⨯=，即212r r =，所以1122r O O ==， 设两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高分别为1h 、2h ，则1111211232r r h r h r -==+．三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 中，113a =，公比13q =．(Ⅰ)n S 为{}n a 的前n 项和，证明：12nn a S -=；(Ⅱ)设31323log log log n n b a a a =+++，求数列{}n b 的通项公式．【解析】（Ⅰ）因为.31)31(311n n n a =⨯=- ,2311311)311(31nn n S -=--= 所以,21nn a S --（Ⅱ）n n a a a b 32313log log log +++=)21(n +++-=2)1(+-=n n 所以}{n b 的通项公式为.2)1(+-=n n b n18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ．(Ⅰ)证明：PA BD ⊥；(Ⅱ)若1PD AD ==，求棱锥D PBC -的高．【解析】（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=︒=， 由余弦定理得3BD AD =从而222BD AD AB +=，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面P AD. 故 P A ⊥BD（Ⅱ）如图，作DE ⊥PB ，垂足为E ．已知PD ⊥底面ABCD ，则PD ⊥BC ．由（Ⅰ）知BD ⊥AD ，又BC //AD ，所以BC ⊥BD ． 故BC ⊥平面PBD ，BC ⊥DE ． 则DE ⊥平面PBC ．由题设知，PD =1，则BD =3，PB =2，根据BE ·PB =PD ·BD ，得DE =23， 即棱锥D —PBC 的高为.2319．（本小题满分12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到时下面试验结果：A 配方的频数分布表B 配方的频数分布表(Ⅰ)分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；(Ⅱ)已知用B 配方生产的一种产品利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为2,942,941024,102t y t t -<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩，估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润．【解析】(Ⅰ)由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质品的频率为2280.3100+=，所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为32100.42100+=，所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42．(Ⅱ)由条件知，用B 配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值94t ≥，由试验结果知，质量指标值94t ≥的频率为0．96．所以用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0．96． 用B 配方生产的产品平均一件的利润为1[4(2)542424] 2.68100⨯⨯-+⨯+⨯=(元)．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上． (Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅱ)若圆C 与直线0x y a -+=交于,A B 两点，且OA OB ⊥，求a 的值． 【解析】（Ⅰ）曲线162+-=x x y 与y 轴的交点为(0，1)，与x 轴的交点为（).0,223(),0,223-+故可设C 的圆心为（3，t ），则有,)22()1(32222t t +=-+解得t =1.则圆C 的半径为.3)1(322=-+t 所以圆C 的方程为.9)1()3(22=-+-y x（Ⅱ）设A (11,y x )，B (22,y x )，其坐标满足方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-.9)1()3(,022y x a y x 消去y ，得到方程.012)82(222=+-+-+a a x a x由已知可得，判别式.0416562>--=∆a a因此，,441656)28(22,1a a a x --±-=从而2120,422121+-=-=+a a x x a x x①由于OA ⊥OB ，可得,02121=+y y x x 又,,2211a x y a x y +=+=所以.0)(222121=+++a x x a x x②由①，②得1-=a ，满足,0>∆故.1-=a21．（本小题满分12分）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．(Ⅰ)求a ，b 的值；(Ⅱ)证明：当0x >，且1x ≠时，ln ()1xf x x >-． 【解析】（Ⅰ）221(ln )'()(1)x x b x f x x x α+-=-+由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2f f =⎧⎪⎨=-⎪⎩即1,1,22b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩解得1a =，1b =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知ln 1f ()1x x x x=++，所以 )1ln 2(111ln )(22xx x x x x x f -+-=-=考虑函数()2ln h x x =+xx 12-(0)x >，则22222)1()1(22)(xx x x x x x h --=---=' 所以当1≠x 时，,0)1(,0)(=<'h x h 而故 当)1,0(∈x 时，;0)(11,0)(2>->x h x x h 可得当),1(+∞∈x 时，;0)(11,0)(2>-<x h xx h 可得从而当.1ln )(,01ln )(,1,0->>--≠>x xx f x x x f x x 即且请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为ABC ∆的边AB ，AC 上的点，且不与ABC ∆的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根．EB(Ⅰ)证明：,,,C B D E 四点共圆；(Ⅱ)若90A ∠=︒，且4,6,m n ==求,,,C B D E 所在圆的半径．【解析】(Ⅰ)连结DE ，根据题意在ADE ∆和ACB ∆中，AD AB mn AE AC ⨯==⨯，即AD AEAC AB=． 又DAE CAB ∠=∠，从而ADE ∆∽ACB ∆． 因此ADE ACB ∠=∠． 所以C ，B ，D ，E 四点共圆．(Ⅱ)4m =，6n =时，方程2140x x mn -+=的两根为12x =，212x =． 故2AD =，12AB =．取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连结DH ． 因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH ．由于90A ∠=︒，故//GH AB ，//HF AC ，从而5HF AG ==，()112252DF =-=． 故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ． (Ⅰ)求2C 的方程；ADB C GEM(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求||AB .【解析】(Ⅰ)设(),P x y ，则由条件知,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭，由于M 点在1C 上，所以2cos 222sin 2xy αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，即4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩． 从而2C 的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)．(Ⅱ)曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=． 射线3πθ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3πρ=， 射线3πθ=与2C 的交点B 的极径为28sin3πρ=，所以12AB ρρ=-=24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()||3f x x a x =-+，其中0a >． (Ⅰ)当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集．(Ⅱ)若不等式()0f x ≤的解集为｛x |1}x ≤-，求a 的值． 【解析】(Ⅰ)当1a =时，()32f x x ≥+可化为12x -≥由此可得3x ≥或1x ≤-，故不等式()32f x x ≥+的解集为{3x x ≥或}1x ≤-． (Ⅱ)由()0f x ≤得30x a x -+≤，此不等式化为不等式组 30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩或30x a a x x ≤⎧⎨-+≤⎩即4x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或2x aa x ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩．由于0a >，所以不等式组的解集为2a x x ⎧⎫≤-⎨⎬⎭⎩．由题设可得12a-=-，故2a =．。
北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学文试题-Word版含答案
DCBA 北京市昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测数 学 试 卷（文科） （满分150分，考试时间 120分钟）2013.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）复数21ii-的虚部是A. 1-B. 1C. i -D. i（2） “2a =”是“直线214ay ax y x =-+=-与垂直”的 A. 充分不必要条件 B 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件 （3）在数列{}n a 中 ，111,,)2n n a a a y x +==点（在直线上，则4a 的值为 A ．7B ．8C ．9D ．16（4）如图，在,2.=ABC BD DC AB ,AC ,AD ∆==中若则a =bA.2133+a b B. 2133-a b C. 1233+a b D. 1233-a b （5）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积为A. 4 B ．8 C. 12 D. 24 （6）函数22()log (1)f x x x =+-的零点个数为A. 0B. 1C. 2D. 3（7）设不等式组22,4,2x y x y -+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩0≤ 表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点，则此点到直线+2=0y 的距离大于2的概率是A.413 B. 513 C. 825D.925（8）设定义域为R 的函数)(x f 满足以下条件；①对任意0)()(,=-+∈x f x f R x ； ②对任意当],,1[,21a x x ∈有时,12x x >21()()f x f x >.则以下不等式一定成立．．．．的是 ①()(0)f a f >②)()21(a f af >+③)3()131(->+-f aaf ④)()131(a f aa f ->+-A. ①③B. ②④C. ①④D. ②③第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）在ABC △中，若3b =,1c =，1cos 3A =，则a =（10）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，其中2856-3,15,=_______;_______.a a a S ===则（11）已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为 ．（12）以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心，并与其 渐近线相切的圆的标准方程是 _______.(13) 已知函数1()(0),()213(0),xx f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪->⎩ 则((1))f f -=________;若2(23)(5)f a f a ->，则实数a 的取值范围是_______________.（14）过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点M 作直线,MA MB 交椭圆于,A B 两点，设,MA MB 的斜率分别为12,k k ，若点,A B 关于原点对称，且121,3k k ⋅=-则此椭圆的离心率为___________.三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) （15）（本小题满分13分）已知函数()(232cos )cos 1f x x x x =-⋅+.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；OFEDCBA（Ⅱ）求()f x 在区间[,]42ππ上的最值.(16) （本小题满分14分）在四棱锥EABCD 中，底面ABCD 是正方形，,AC BD O 与交于ECABCD F 底面，为BE 的中点.（Ⅰ）求证：DE ∥平面ACF ； （Ⅱ）求证：BD AE ；（Ⅲ）若2,ABCE 在线段EO 上是否存在点G ，使CGBDE 平面？若存在，求出EGEO的值，若不存在，请说明理由．(17) （本小题满分13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学在某次数学测验中的成绩，甲组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示. 甲组 乙组 6 X 8 7 4 1 9 0 0 3 （Ⅰ）如果甲组同学与乙组同学的平均成绩一样，求X 及甲组同学数学成绩的方差；（Ⅱ）如果X=7，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名，求这两名同学的数学成绩之和大于180的概率.（注：方差2222121=[()()...()],n s x x x x x x n-+-++-其中12,,...,.n x x x x 为的平均数）（18）（本小题满分13分）已知函数3211()()32f x x a x a a =-+∈R . （Ⅰ）若1,a =求函数()[0,2]f x 在上的最大值；（Ⅱ）若对任意(0,+)x ∈∞，有()0f x >恒成立，求a 的取值范围.19. （本小题满分13分）已知椭圆:M 22221(0)x y a b a b+=>>，其短轴的一个端点到右焦点的距离为2，且点A 在椭圆M 上. 直线l 的斜率为2,且与椭圆M 交于B 、C 两点． （Ⅰ）求椭圆M 的方程； （Ⅱ）求ABC ∆面积的最大值.20. （本小题满分14分）已知每项均是正整数的数列123100,,,,a a a a ，其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i =，设j j k k k b +++= 21(1,2,3)j =，12()100m g m b b b m =+++-(1,2,3).m =（Ⅰ）设数列1240,30,k k ==34510020,10,...0k k k k =====， ①求(1),(2),(3),(4)g g g g ；②求123100a a a a ++++的值；（Ⅱ）若123100,,,,a a a a 中最大的项为50， 比较(),(1)g m g m +的大小.昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测数 学 试卷 参考答案（文科）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）（9） （10）6；9（11） 3 （12）22(5)16x y -+=（13） -5; 1(,3)2- （14三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)（15）(本小题满分13分)解：（Ⅰ）因为()2cos )cos 1f x x x x =-⋅+2cos 2x x =-π2sin(2)6x =-.………………………………5分所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==．…………………7分 （II ）由 5[,],2[,],2[,],422636x x x πππππππ…………..9分 当52,,()1662x x f x πππ-==即时取得最小值，…………….11分 当2,,()2623x x f x πππ-==即时取得最大值.……………….13分GABC DEFO（16）(本小题满分14分) 解：（I ）连接OF .由ABCD 是正方形可知,点O 为BD 中点. 又F 为BE 的中点，所以OF ∥DE ………………….2分 又,,OFACF DE ACF 平面平面所以DE ∥平面ACF ………….4分 (II) 证明：由ECABCD BD ABCD 底面，底面，所以,EC BD由ABCD 是正方形可知, ,ACBD又=,,ACEC C AC EC ACE 平面，所以,BD ACE 平面………………………………..8分又AEACE 平面，所以BD AE …………………………………………..9分(III) 在线段EO 上存在点G ，使CG BDE 平面. 理由如下：如图，取EO 中点G ，连接CG . 在四棱锥E ABCD 中，22,2ABCE COAB CE ，所以CGEO .…………………………………………………………………..11分由（II ）可知，,BD ACE 平面而,BDBDE 平面所以，,ACE BDE ACE BDE EO 平面平面且平面平面，因为,CG EO CGACE 平面，所以CGBDE 平面…………………………………………………………. 13分故在线段EO 上存在点G ，使CGBDE 平面.由G 为EO 中点，得1.2EGEO …………………………………………… 14分 （17）(本小题满分13分)解：（I ）乙组同学的平均成绩为87909093904+++=，甲组同学的平均成绩为90，所以8086919490,9.4X X ++++==…………………………………2分甲组同学数学成绩的方差为222228690)(8990)(9190)(9490)17=42s -+-+-+-=甲（…………… 6分(II)设甲组成绩为86,87,91,94的同学分别为1234,,,,a a a a 乙组成绩为87,90,90,93的同学分别为1234,,,,b b b b 则所有的事件构成的基本事件空间为：11121314212223243132{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b333441424344(,),(,),(,),(,),(,),(,)}.a b a b a b a b a b a b 共16个基本事件.设事件A =“这两名同学的数学成绩之和大于180”，则事件A 包含的基本事件的空间为{32333441424344(,),(,)(,),(,),(,),(,),(,)}.a b a b a b a b a b a b a b 共7个基本事件，7()16P A =………………………………………………………………………….13分 （18）(本小题满分13分) 解：（I ）当1a =时，311()32f x x x =-+，2'()1f x x =- .............1分令12'()01, 1.f x x x ==-=，得..................................2分列表：∴当[0,2]x ∈时，()f x 最大值为()26f =. ………………………7分（Ⅱ）22'()()(),f x x a x a x a =-=-+令12'()0,,.f x x a x a ==-=得① 若0,)()0,()a a f x f x '<<∴在（0，-上，单调递减.)()0,()a f x f x '∞>∴在（-，+上，单调递增.所以，()f x 在x a =-时取得最小值()332121()3232a f a a a a a -=-++=+， 因为()2221210,0,()03232a a f a a a <+>-=+<所以.0,0,+()0.a x f x <∈∞>所以当时对任意（）,不成立…………………..9分② 若20,()0,()0+a f x x f x '==≥∞所以在（，）上是增函数， 所以当=0()(0)0.a f x f >=时，有……………………………………..10分 ③若0,)()0,()a a f x f x '><在（0，上，所以单调递减.)()0,()a f x f x '∞>在（，+上，所以单调递增.所以，()f x 在x a =取得最小值()332121()3232a f a a a a a =-+=--， 令()222121()0,0,0,032322f a a a a a a =-->>-<<<由得,0,()0.a x f x <<>>所以当0对任意都成立 综上，a的取值范围是[0.………………………………13分 （19）(本小题满分13分)解: (Ⅰ)由题意知222112a b a ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，所以b =故所求椭圆方程为22142x y +=………………………………….5分 (Ⅱ) 设直线l的的方程为2y x m =+,则0m ≠.设1122(,),(,),B x y C x y代入椭圆方程并化简得2220x m ++-=, …………6分 由22224(2)2(4)0m m m ∆=--=->,可得204m << . (*)由(*)，得1,2x =故12BC x =-==…..9分又点A 到BC 的距离为d =, …………………10分故12ABC S BC d ∆=⋅= 22(4)2m m +-=≤=,当且仅当224m m =-,即m =时取等号满足(*)式. 所以ABC ∆面积的最大值为2. ……………………13分（20）(本小题满分13分)解: (I)① 因为数列1240,30,k k ==320,k =410k =， 所以123440,70,90,100b b b b ====，所以(1)60,(2)90,(3)100,(4)100g g g g =-=-=-=- . ………8分 ②123100401302203104200a a a a ++++=⨯+⨯+⨯+⨯=……….10分(II) 一方面，1(1)()100m g m g m b ++-=-，根据j b 的含义知1100m b +≤，故0)()1(≤-+m g m g ，即 )1()(+≥m g m g ， 当且仅当1100m b +=时取等号. 因为123100,,,,a a a a 中最大的项为50，所以当50m ≥时必有100m b =，所以(1)(2)(49)(50)(51)g g g g g >>>===即当149m ≤<时，有()(1)g m g m >+； 当49m ≥时，有()(1)g m g m =+. 14分。
北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学文 试题
DCBA 昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测数 学 试 卷（文科）（满分150分，考试时间 120分钟）2013.1考生须知： 1． 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
2． 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。
3．答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。
请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
4． 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。
保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。
不得在答题卡上做任何标记。
5．考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）复数21i i-的虚部是A. 1-B. 1C. i -D. i（2） “2a =”是“直线214a y ax y x =-+=-与垂直”的A. 充分不必要条件 B 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件 （3）在数列{}n a 中 ，111,,)2n n a a a y x +==点（在直线上，则4a 的值为 A ．7B ．8C ．9D ．16（4）如图，在,2.=ABC BD D C AB ,AC ,AD ∆== 中若则a =bA.2133+a b B. 2133-a b C.1233+a b D.1233-a b（5）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积为A. 4 B ．8 C. 12 D. 24 （6）函数22()log (1)f x x x =+-的零点个数为A. 0B. 1C. 2D. 3（7）设不等式组22,4,2x y x y -+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩0≤ 表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点，则此点到直线+2=0y 的距离大于2的概率是A.413B.513C.825D.925（8）设定义域为R 的函数)(x f 满足以下条件；①对任意0)()(,=-+∈x f x f R x ； ②对任意当],,1[,21a x x ∈有时,12x x >21()()f x f x >.则以下不等式一定成立．．．．的是 ①()(0)f a f > ②)()21(a f a f >+③)3()131(->+-f aa f④)()131(a f aa f ->+-A. ①③B. ②④C. ①④D. ②③第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9）在A B C △中，若3b =,1c =，1cos 3A =，则a =（10）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，其中2856-3,15,=_______;_______.a a a S ===则（11）已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为 ． （12）以双曲线221916xy-=的右焦点为圆心，并与其渐近线相切的圆的标准方程是 _______.(13) 已知函数1()(0),()213(0),xx f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪->⎩则((1))f f -=________;若2(23)(5)f a f a ->，则实数a 的取值范围是_______________.（14）过椭圆22221(0)x y a b ab+=>>上一点M 作直线,M A M B 交椭圆于,A B 两点，设,M A M B 的斜率分别为12,k k ，若点,A B 关于原点对称，且121,3k k ⋅=-则此椭圆的离心率为___________.OFEDCBA三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) （15）（本小题满分13分）已知函数()(23sin 2cos )cos 1f x x x x =-⋅+.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]42ππ上的最值.(16) （本小题满分14分）在四棱锥E A B C D -中，底面A B C D 是正方形，,AC BD O 与交于EC ABCD F 底面，^为B E 的中点.（Ⅰ）求证：D E ∥平面A C F ； （Ⅱ）求证：BD AE ^； （Ⅲ）若2,AB C E =在线段E O 上是否存在点G ，使CG BDE 平面^？若存在，求出E G E O的值，若不存在，请说明理由．(17) （本小题满分13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学在某次数学测验中的成绩，甲组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示. 甲组 乙组 6 X8 74 1 9 0 0 3（Ⅰ）如果甲组同学与乙组同学的平均成绩一样，求X 及甲组同学数学成绩的方差；（Ⅱ）如果X=7，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名，求这两名同学的数学成绩之和大于180的概率.（注：方差2222121=[()()...()],n s x x x x x x n-+-++-其中12,,...,.n x x x x 为的平均数）（18）（本小题满分13分）已知函数3211()()32f x x a x a a =-+∈R .（Ⅰ）若1,a =求函数()[0,2]f x 在上的最大值；（Ⅱ）若对任意(0,+)x ∈∞，有()0f x >恒成立，求a 的取值范围.19. （本小题满分13分） 已知椭圆:M 22221(0)x y a b ab+=>>，其短轴的一个端点到右焦点的距离为2，且点A (2,1)在椭圆M 上. 直线l 的斜率为22,且与椭圆M 交于B 、C 两点．（Ⅰ）求椭圆M 的方程； （Ⅱ）求ABC ∆面积的最大值.20. （本小题满分14分）已知每项均是正整数的数列123100,,,,a a a a ，其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i = ，设j j k k k b +++= 21(1,2,3)j = ，12()100m g m b b b m =+++- (1,2,3).m =（Ⅰ）设数列1240,30,k k ==34510020,10,...0k k k k =====， ①求(1),(2),(3),(4)g g g g ；②求123100a a a a ++++L 的值；（Ⅱ）若123100,,,,a a a a 中最大的项为50， 比较(),(1)g m g m +的大小.G ABCDEFO昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测数 学 试卷 参考答案（文科）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)题 号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答案BABCACDB二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） （9） 22 （10）6；9（11） 3 （12）22(5)16x y -+=（13） -5; 1(,3)2- （14）63三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)（15）(本小题满分13分)解：（Ⅰ）因为()(23sin 2cos )cos 1f x x x x =-⋅+3sin 2cos 2x x=-π2sin(2)6x =-.………………………………5分所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==．…………………7分（II ）由 5[,],2[,],2[,],422636x x x πππππππ挝- …………..9分 当52,,()1662x x f x πππ-==即时取得最小值，…………….11分当2,,()2623x x f x πππ-==即时取得最大值.……………….13分（16）(本小题满分14分) 解：（I ）连接O F .由A B C D 是正方形可知,点O 为BD 中点. 又F 为B E 的中点，所以O F ∥D E ………………….2分 又,,OF ACF DEACF 平面平面趟所以D E ∥平面A C F ………….4分(II) 证明：由EC ABCD BD ABCD 底面，底面，^ 所以,EC BD ^由A B C D 是正方形可知, ,AC BD ^又=,,AC EC C AC ECACE 平面，翘 所以,BD ACE 平面^………………………………..8分又AE ACE 平面，Ì所以BD AE ^…………………………………………..9分(III) 在线段E O 上存在点G ，使CG BDE 平面^. 理由如下： 如图，取E O 中点G ，连接C G . 在四棱锥E A B C D -中，22,2AB C E C O AB C E ===，所以C G E O ^.…………………………………………………………………..11分 由（II ）可知，,BD ACE 平面^而,BD BDE 平面Ì 所以，,ACE BDE ACE BDE EO 平面平面且平面平面，^? 因为,CG EO CG ACE 平面，^所以CG BDE 平面^…………………………………………………………. 13分 故在线段E O 上存在点G ，使CG BDE 平面^.由G 为E O 中点，得1.2E G E O=…………………………………………… 14分（17）(本小题满分13分)解：（I ）乙组同学的平均成绩为87909093904+++=，甲组同学的平均成绩为90，所以8086919490,9.4X X ++++==…………………………………2分甲组同学数学成绩的方差为222228690)(8990)(9190)(9490)17=42s -+-+-+-=甲（…………… 6分(II)设甲组成绩为86,87,91,94的同学分别为1234,,,,a a a a 乙组成绩为87,90,90,93的同学分别为1234,,,,b b b b 则所有的事件构成的基本事件空间为：11121314212223243132{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b33344142434(,),(,),(,),(,),(,),(,)}.a b a b a b a b a b a b 共16个基本事件. 设事件A =“这两名同学的数学成绩之和大于180”，则事件A 包含的基本事件的空间为{32333441424344(,),(,)(,),(,),(,),(,),(,)}.a b a b a b a b a b a b a b 共7个基本事件，7()16P A =………………………………………………………………………….13分（18）(本小题满分13分) 解：（I ）当1a =时，311()32f x x x =-+，2'()1f x x =- .............1分令12'()01, 1.f x x x ==-=，得..................................2分列表：x0 (0,1)1(1,2)2()f x '1-- 0 + 3 ()f x12↘16- ↗76∴当[0,2]x ∈时，()f x 最大值为()726f =. ………………………7分（Ⅱ）22'()()(),f x x a x a x a =-=-+令12'()0,,.f x x a x a ==-=得① 若0,)()0,()a a f x f x '<<∴在（0，-上，单调递减.)()0,()a f x f x '∞>∴在（-，+上，单调递增.所以，()f x 在x a =-时取得最小值()332121()3232a f a a a a a -=-++=+，因为()2221210,0,()03232a a f a a a <+>-=+<所以.0,0,+()0.a x f x <∈∞>所以当时对任意（）,不成立…………………..9分② 若20,()0,()0+a f x x f x '==≥∞所以在（，）上是增函数， 所以当=0()(0)0.a f x f >=时，有……………………………………..10分 ③若0,)()0,()a a f x f x '><在（0，上，所以单调递减.)()0,()a f x f x '∞>在（，+上，所以单调递增.所以，()f x 在x a =取得最小值()332121()3232a f a a a a a =-+=--，令()2221213()0,0,0,0.32322f a a a a a a =-->>-<<<由得3,0,()0.2a x f x <<>>所以当0时对任意都成立综上，a 的取值范围是3[0)2，.………………………………13分（19）(本小题满分13分)解: (Ⅰ)由题意知222112a ba ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，所以2b =.故所求椭圆方程为22142xy+=………………………………….5分(Ⅱ) 设直线l 的的方程为22y x m=+,则0m ≠.设1122(,),(,),B x y C x y代入椭圆方程并化简得22220x mx m ++-=, …………6分 由22224(2)2(4)0m m m ∆=--=->,可得204m << . (*) 由(*)，得21,222(4)2m m x -±-=,故22212231()2(4)3(4)22BC x x m m =+-=⨯-=-…..9分又点A 到BC 的距离为26m d =, …………………10分故22113(4)226ABC m S BC d m ∆=⋅=-⨯222211(4)(4)2222m m m m +-=⨯-≤⨯=,当且仅当224m m =-,即2m =±时取等号满足(*)式.所以ABC ∆面积的最大值为2. ……………………13分（20）(本小题满分13分)解: (I)① 因为数列1240,30,k k ==320,k =410k =， 所以123440,70,90,100b b b b ====，所以(1)60,(2)90,(3)100,(4)100g g g g =-=-=-=- . ………8分 ②123100401302203104200a a a a ++++=⨯+⨯+⨯+⨯=L ……….10分 (II) 一方面，1(1)()100m g m g m b ++-=-，根据j b 的含义知1100m b +≤，故0)()1(≤-+m g m g ，即 )1()(+≥m g m g ，当且仅当1100m b +=时取等号.因为123100,,,,a a a a 中最大的项为50，所以当50m ≥时必有100m b =， 所以(1)(2)(49)(50)(51)g g g g g >>>===即当149m ≤<时，有()(1)g m g m >+； 当49m ≥时，有()(1)g m g m =+. 14分。
2011昌平区高三期末考试(数学文)有答案
昌平区2010 - 2011学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（文科）2011.1考生注意事项：1、本试卷共6页，分第I卷选择题和第n卷非选择题两部分，满分150分，考试时间120 分钟。
2、答题前，考生务必将学校、姓名、考试编号填写清楚。
答题卡上第一部分（选择题）必须用2B铅笔作答，第二部分（非选择题）必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。
3、修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液。
请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损。
不得在答题卡上作任何标记。
4、请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分。
第I卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分•在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）1.已知集合M =:{x | -5 < x < 3}, N = { x | -2 < x < 4 }则M ■ N等于A. {x|-5<x<3}B. {x | -2<x<3}C.{x | -2<x < 4}D.{x I -5 ：： x ：： 4}23二杠2.sin 等6A._3B.1C. 1D.22223.已知向量a=(6, 2 ), 向量b = ( x ,3 ), 且a//b ,则x等于A.9B. 6C.5D.34.2等于1 iA.iB. 1+i C将指数函数5. 1 -i D 2-2if x的图象向右平移一个单位，得到如图的A. 巧 C. 2x D.13丿3xA. ,3x y 1 =0B.C. x - J 3y 1=0D.-0的圆心，则此直线|的方程是x - ?3 y 1 = 03x - y . 3 = 07.下图中的三个直角三角形是一 个体积为 40cnf 的几何体的三视 图，贝U h 等于A.2B. 4C. 6D. 8二和:.、：■如下：述 a b c da a a a db a bc ac a c c ddb ac da b c da abbab b b b bc b b c bda b b d那么d 述（a ㊉c ）=8.在集合｛ a,b,c,d ｝上定义两种运算A. aB. bC.cD. d6.已知倾斜角为600的直线|过圆C: x 2 2x y 2 （单位：cm ）正（主）视图侧（左）视图第U 卷(非选择题共110分)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.)9.函数f (x) =lg(x —1)的定义域是 ___________________|x 兰210. 已知点P(x,y)的坐标满足条件* y X x ，点O 为坐标原点，那么z = 2x + y 的最大值x + y <8等于 ____________ . 11.已知a 、b 、c 分别是:ABC 的三个内角 A B 、C 所对的边，若a=2, b= .. 6 , A+C=2B,则A= ____________ 12. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出M , N 的值分别为 ______________ .2 2—+ — =1有相同的焦点，则其焦点坐标为___________________________________________________________________ ,双曲线的方程是49 2414. 某资料室在计算机使用中，如下表所示，编码以一定规则排列，且从左至右以及从上到下 都是无限的.1 1 1 1 1 11 2 3 4 56 1 3 5 79 111 4 7 10 13 161 5913 17 2116 11 16 21 26此表中，1 ,3，7, 13, 21,…的通项公式为 ___________ ；编码51共出现 ____________ 次.三、解答题(本大题共6小题，共80分•解答应写出文字说明，证明过程或演算 步开始i =1,M =1,N =113. 已知双曲线的渐近线方程为 N = N +M------ [ --------- y =±2x ，且与椭圆 M 匚N+M I~结束骤.)15. (本小题满分13分)设函数f (x) = sinxcosx 亠cos x .(1)求f (x)的最小正周期；(2)当X [0,2】时，求函数f (x)的最大值和最小值.16. (本小题满分13分)某校要从艺术节活动中所产生的4名书法比赛一等奖的同学和2名绘画比赛一等奖的同学中选出2名志愿者，参加广州亚运会的服务工作。
2011年高考新课标卷文科数学试题(解析版)
2011年普通高等学校招生全国统一考试(新课标全国卷）文科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其他题为必考题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{0,1,2,3,4}M =，{1,3,5}N =，P MN =，则P 的子集共有A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个 【答案】B 【解析】P M N =={1,3}，故P 的子集有224=个．2．复数5i12i=- A ．2i - B ．12i - C ．2i -+ D ．12i -+ 【答案】C 【解析】5i 5i(12i)2i 12i (12i)(12i)+==-+--+． 3．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是A ．3y x = B ．||1y x =+ C ．21y x =-+ D ．||2x y -=【答案】B【解析】3y x =为奇函数，21y x =-+在(0,)+∞上为减函数，||2x y -=在(0,)+∞上为减函数，故选B ．4．椭圆221168x y +=的离心率为A ．13 B ．12C D ．2【答案】D【解析】由221168x y +=可知216a =，28b =，∴2228c a b =-=，∴22212c e a ==,∴22e =． 5．执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是A ．120B ．720C ．1440D ．5040 【答案】B【解析】由程序框图可得，输出的123456720p =⨯⨯⨯⨯⨯=，选B6．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A ．13 B ．12 C ．23 D ．34【答案】A【解析】记三个兴趣小组分别为1、2、3，甲参加1组记为“甲1”，则基本事件为“甲1,乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1;甲2，乙2；甲2,乙3；甲3,乙1；甲3,乙2；甲3，乙3”，共9个．记事件A 为“甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组”,其中事件A 有“甲1，乙1;甲2，乙2；甲3，乙3”,共3个．因此31()93P A ==． 7．已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=A ．45-B ．35-C ．35D ．45【答案】B【解析】由题知tan 2θ=，222222cos sin 1tan 3cos2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++,选B ．8．在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为俯视图正视图DCB A【答案】D【解析】通过正视图及俯视图可看出该几何体为半个圆锥和一个三棱锥组合在一起，故侧视图为D ．9．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于,A B 两点,||AB =12,P为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为_____．A ．18B ．24C ．36D ．48 【答案】C【解析】设抛物线方程为22y px =，则焦点坐标为(,0)2p ,将2px =代入22y px =可得22y p =，||AB =12，即2p =12,∴p =6．点P 在准线上，到AB 的距离为p =6,所以ABP∆面积为1612362⨯⨯=． 10．在下列区间中,函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为_____． A ．1(,0)4- B ．1(0,)4 C ．11(,)42 D ．13(,)24【答案】C【解析】因为114411()432044f e e =+⨯-=-<，112211()431022f e e =+⨯-=->，所以()43xf x e x =+-的零点所在的区间为11(,)42．11．设函数()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++，则 A ．()y f x =在(0,)2π单调递增，其图象关于直线4x π=对称B ．()y f x =在(0,)2π单调递增,其图象关于直线2x π=对称C ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线4x π=对称 D ．()y f x =在(0,)2π单调递减，其图象关于直线2x π=对称【答案】D【解析】因为()sin(2)cos(2)44f x x x ππ=+++=2sin(2)2x π+=2cos 2x ， 所以2cos 2y x =，在(0,)2π单调递减，对称轴为2x k π=，即2k x π=(k ∈Z )．12．已知函数()y f x =的周期为2,当[1,1]x ∈-时2()f x x =，那么函数()y f x =的图象与函数|lg |y x =的图象的交点共有_____．A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个 【答案】A【解析】画出两个函数图象可看出交点有10个．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量+a b 与向量k -a b 垂直,则k = ．【答案】1【解析】∵+a b 与k -a b 垂直，∴（+a b ）·（k -a b ) =0，化简得(1)(1)0k -⋅+=a b ，根据a 、b 向量不共线，且均为单位向量得10⋅+≠a b ，得10k -=，即1k =． 14．若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值是_________．【答案】－6【解析】画出区域图知,当直线2z x y =+过239x y x y +=⎧⎨-=⎩的交点(4,-5）时，min 6z =-．15．ABC ∆中,120,7,5B AC AB =︒==，则ABC ∆的面积为_________．153【解析】根据sin sin AB ACC B=得5353sin sin 7AB C B AC === 25311cos 1()1414C =-=, 所以sin sin[()]sin cos sin cos A B C B C C B π=-+=+3111533321421414=⨯-⨯=． 因此ABC S ∆=1133153sin 7522144AB AC A ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯= 16．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的316，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为______________． 【答案】13【解析】设球心为1O ，半径为1r ，圆锥底面圆圆心为2O ，半径为2r ，则有22123416r r ππ⨯=，即212r r =,所以1122r O O ==， 设两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高分别为1h 、2h ，则1111211232r r h r h r -==+．三、解答题:解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分）已知等比数列{}n a 中，113a =，公比13q =． （Ⅰ）n S 为{}n a 的前n 项和，证明：12nn a S -=；(Ⅱ）设31323log log log n n b a a a =+++，求数列{}n b 的通项公式．【解析】（Ⅰ）因为.31)31(311n n n a =⨯=- ,2311311)311(31nn n S -=--= 所以,21nn a S --（Ⅱ）n n a a a b 32313log log log +++=)21(n +++-=2)1(+-=n n 所以}{n b 的通项公式为.2)1(+-=n n b n18．（本小题满分12分)如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒,2AB AD =,PD ⊥底面ABCD ．(Ⅰ）证明:PA BD ⊥；(Ⅱ）若1PD AD ==，求棱锥D PBC -的高．【解析】（Ⅰ)因为60,2DAB AB AD ∠=︒=， 由余弦定理得3BD AD =从而222BD AD AB +=，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ,可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面P AD 。
昌平区高三期末考试(数学文)有答案
昌平区高三第一学期期末数学试卷（文科）姓名：_________班级：________ 得分：________第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1. 已知集合M = {x | -5 < x < 3}, N = { x | -2 < x < 4 } 则M N ⋂等于A. {x|-5<x<3}B. {x | -2<x<3}C. {x | -2<x < 4}D. }45|{<<-x x 2. 623sinπ等于 A. 23-B. 21- C. 21 D. 23 3. 已知向量 a = (6, 2 ) ,向量 b = (x ,3 ), 且b a // , 则x 等于 A.9 B. 6 C.5 D.34.i+12等于 A. i B. 1+i C. i -1 D i 22-5. 将指数函数()x f 的图象向右平移一个单位，得到如图的()x g 的图象，则()=x fA. x ⎪⎭⎫ ⎝⎛21B. x⎪⎭⎫ ⎝⎛31 C. x2 D. x 36. 已知倾斜角为600的直线 l 过圆C: 0222=++y x x 的圆心，则此直线l 的方程是A.013=++y xB. 013=+-y xC.013=++y x D. 033=+-y x7.下图中的三个直角三角形是一个体积为40cm 3的几何体的三视图，则h 等于h（单位：cm ）5 6 正(主)视图俯视图侧（左）视图开始结束1,1,1i M N ===6≥i1i i =+ M N M =+ N N M =+输出,M N是否a b b a b b b b b b c b a b b d⊕a b c d a b c da a a d abc a a c cd b a c d⊗a b c d a b c dA.2B. 4C. 6D. 88.在集合｛a,b,c,d ｝上定义两种运算⊕和⊗如下：那么d ⊗(a ⊕c)=A. aB. bC.cD. d第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）9. 函数)1lg()(-=x x f 的定义域是______________10. 已知点P(x,y)的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥82y x x y x ，点O 为坐标原点，那么y x z +=2的最大值等于___________.B 、C 所对的边，若a=2, b=6, A+C=2B,则11. 已知a 、b 、c 分别是ABC ∆的三个内角A 、A=_____________12. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出,M N 的值分别 为 ．13. 已知双曲线的渐近线方程为x y 2±=，且与椭圆1244922=+y x 有相同的焦点，则其焦点坐标为 _________, 双曲线的方程是____________.14.某资料室在计算机使用中，如下表所示，编码以一定规则排列，且从左至右以及从上到下都是无限的.1 1 1 1 1 1 … 1234 56 …1 3 579 11 …1 4 7 10 13 16 … 1 59 13 17 21 …16 11 16 21 26 …… … … … … … …此表中， 1，3，7，13，21，…的通项公式为 ;编码51共出现 次.三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)15.（本小题满分13分）设函数x x x x f 2cos cos sin )(+=． （1）求()f x 的最小正周期； （2）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的最大值和最小值．16.（本小题满分13分）某校要从艺术节活动中所产生的4名书法比赛一等奖的同学和2名绘画比赛一等奖的同学中选出2名志愿者，参加广州亚运会的服务工作。
2011-2012学年北京市昌平区高三(上)期末数学试卷(文科)(附答案解析)
2011-2012学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1. 设全集U={1, 3, 5, 7}，集合A={3, 5}，B={1, 3, 7}，则A∪(∁U B)等于（）A.{5}B.{3, 5}C.{1, 5, 7}D.{1, 3, 5, 7}2. 21−i等于（）A.2−2iB.1−iC.iD.1+i3. “x>y”是“2x>2y”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学中至少有一名男同学的概率是（）A.9 10B.45C.25D.125. 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A.12B.8C.6D.46. 某程序框图如图所示，则输出的S=()A.120B.57C.56D.267. 某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品．则获得利润最大时生产产品的档次是（）A.第7档次B.第8档次C.第9档次D.第10档次8. 一圆形纸片的圆心为O，点Q是圆内异于O点的一个定点，点A是圆周上一动点，把纸片折叠使得点A与点Q 重合，然后抹平纸片，折痕CD与OA交于点P，当点A运动时，点P的轨迹为（）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）函数y＝sin x cos x的最小正周期是________．已知向量a→=(2, l)，a→⋅b→=10，|a→+b→|=5√2，则|b→|=________．某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96, 106]，样本数据分组为[96, 98),[98, 100),[100, 102),[102, 104),[104, 106]．已知样本中产品净重小于100克的个数是48，则a=________；样本中净重在[98, 104)的产品的个数是________．已知双曲线x2m−y2=1的右焦点恰好是抛物线y2=8x的焦点，则m=________．已知D是由不等式组{x−y≥0x+√3y≥0所确定的平面区域，则圆x2+y2=4在区域D内的弧长为________；该弧上的点到直线3x+y+2=0的距离的最大值等于________．设函数f(x)的定义域为R，若存在与x无关的正常数M，使|f(x)|≤M|x|对一切实数x均成立，则称f(x)为有界泛函．在函数①f(x)=−5x，②f(x)=sin2x，③f(x)=(12)x，④f(x)=x cos x中，属于有界泛函的有________（填上所有正确的序号）．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）在△ABC中，12cos2A=cos2A−cos A．（1）求角A的大小；（2）若a=3，sin B=2sin C，求S△ABC．已知数列{a n}是等差数列，a3=10，a6=22，数列{b n}的前n项和是S n，且S n+13b n=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：数列{b n}是等比数列．如图在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，垂足为点A，PA=AB=2，点M，N分别是PD，PB的中点．（1）求证：PB // 平面ACM；（2）求证：MN⊥平面PAC；（3）求四面体A−MBC的体积．已知函数f(x)=ln x+1x+ax，x∈(0,+∞)（a为实常数）．（1）当a=0时，求函数f(x)的最小值；（2）若函数f(x)在[2, +∞)上是单调函数，求a的取值范围．已知椭圆C的中心在原点，左焦点为(−√3，0)，离心率为√32．设直线l与椭圆C有且只有一个公共点P，记点P在第一象限时直线l与x轴、y轴的交点分别为A、B，且向量OM→=OA→+OB→．求：（1）椭圆C的方程；（2）|OM→|的最小值及此时直线l的方程．M是具有以下性质的函数f(x)的全体：对于任意s，t>0，都有f(s)>0，f(t)>0，且f(s)+f(t)<f(s+ t)．（1）试判断函数f1(x)=log2(x+1)，f2(x)=2x−1是否属于M？（2）证明：对于任意的x>0，x+m>0(m∈R且m≠0)都有m[f(x+m)−f(x)]>0；（3）证明：对于任意给定的正数s>1，存在正数t，当0<x≤t时，f(x)<s．参考答案与试题解析2011-2012学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1.【答案】B【考点】交、并、补集的混合运算【解析】先求出集合B的补集，再根据两个集合的并集的意义求解即可．【解答】解：C U B={5}，A∪(C U B)={3, 5}，故选B2.【答案】D【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】把所求复数的分子、分母同时乘以分母的共轭复数，再利用复数的乘法法则进行运算．【解答】解：复数21−i =2(1+i)(1−i)(1+i)=2(1+i)2=1+i，故选D．3.【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】由y=2x是增函数，知“x>y”⇔“2x>2y”．【解答】解：∵y=2x是增函数，∴ “x>y”⇔“2x>2y”，∴ “x>y”是“2x>2y”的充要条件．故选C．4.【答案】A【考点】排列、组合及简单计数问题古典概型及其概率计算公式【解析】根据题意，设选到的2名同学中至少有一名男同学为事件A，分析可得其对立事件A¯为选到的2名同学全部为女同学，由组合数公式，计算从5人中取出2人与取出的2人全部为女同学的情况数目，则可得P(A¯)，进而由对立事件的概率性质P(A)=1−P(A¯)，即可得答案．【解答】解：根据题意，设选到的2名同学中至少有一名男同学为事件A，其对立事件A¯为选到的2名同学全部为女同学，有3名男同学，2名女同学，共5名同学，从中取出2人，有C52=10种情况，全部为女同学的情况有C22=1种情况，则P(A¯)=110，则P(A)=1−110=910；故选A．5.【答案】D【考点】由三视图求体积【解析】由空间几何体的三视图知该几何体是底面腰长为2的等直角三角形，高为2的直三棱柱ABC−DEF，由此能求出其体积．【解答】解：由空间几何体的三视图知该几何体是如图所示的直三棱柱ABC−DEF，且AB=AD=BC=2，AB⊥BC，∴该几何体的体积V=12S△ABC×BE=12×2×2×2=4．故选D．6.【答案】D【考点】循环结构的应用【解析】本题是一个循环结构，由过程可以看出程序共执行三次，执行一次，运算方式为乘二加k，从而得出结果．【解答】解：由题，S的初值为1，每次进行循环体则执行乘二加k的运算，执行三次后所得的结果是1×2+2=4，2×4+3=11，2×11+4=26．则输出的S=26．故选D7.【答案】C【考点】函数最值的应用【解析】档次提高时，带来每件利润的提高，产量下降，第k档次时，每件利润为[8+2(k−1)]，产量为[60−3(k−1)]，根据：利润=每件利润×产量，列函数式，利用配方法求函数的最值，即可得到结论．【解答】解：由题意，第k档次时，每天可获利润为：y=[8+2(k−1)][60−3(k−1)]=−6k2+108k+378(1≤x≤10)配方可得y=−6(k−9)2+864，∴k=9时，获得利润最大故选C．8.【答案】A【考点】轨迹方程椭圆的定义【解析】由题意可得，CD是线段AQ的中垂线，PQ+PO=PA+PO=半径R (R>OQ )，由椭圆的定义可得，点P的轨迹为椭圆．【解答】解：如图所示：由题意可得，CD是线段AQ的中垂线，∴PA=PQ，∴PQ+PO=PA+PO=半径R，即点P到两个定点O、Q的距离之和等于定长R (R>OQ )，由椭圆的定义可得，点P的轨迹为椭圆，故选A．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）【答案】π【考点】二倍角的三角函数三角函数的周期性及其求法【解析】把函数y＝sin x cos x化为一个角的一个三角函数的形式，然后求出它的最小正周期．【解答】函数y＝sin x cos x=12sin2x，它的最小正周期是：2π2=π．【答案】5【考点】平面向量数量积【解析】设b→=(x, y)，则有2x+y=10，且√(2+x)2+(1+y)2=5√2，解方程求得x、y的值，即可求得|b|的值．【解答】解：∵已知向量a→=(2, l)，a→⋅b→=10，|a→+b→|=5√2，设b→=(x, y)，则有2x+y=10，且√(2+x)2+(1+y)2=5√2，(2+x)2解得x=3，y=4，故b→=(3, 4)，∴|b|=5，故答案为5．【答案】0.125,120【考点】用样本的频率分布估计总体分布【解析】先由样本的频率分布直方图求出a，再根据样本中产品净重小于100克的个数是48，而这个区间的频率是2×(0.05+0.1)=0.3，得到样本的容量，根据样本中净重在[98, 104)的产品的频率是2×(0.10+0.15+0.125)=0.75，能求出样本中净重在[98, 104)的产品的个数．【解答】解：由样本的频率分布直方图知：a=12[1−2×(0.05+0.075+0.1+0.15)]=0.125．∵样本中产品净重小于100克的产品的频率是2×(0.05+0.1)=0.3，样本中产品净重小于100克的个数是48，∴样本的容量是n=480.3=160，∵样本中净重在[98, 104)的产品的频率是2×(0.10+0.15+0.125)=0.75，∴样本中净重在[98, 104)的产品的个数是160×0.75=120．故答案为：120．【答案】3【考点】圆锥曲线的共同特征【解析】先求出双曲线x 2m −y2=1的右焦点F2(√m+1, 0)，抛物线y2=8x的焦点F(2, 0)，现由双曲线x2m−y2=1的右焦点恰好是抛物线y2=8x的焦点，求m．【解答】解：双曲线x 2m−y2=1的右焦点F2(√m+1, 0)，抛物线y2=8x的焦点F(2, 0)，∵双曲线x2m−y2=1的右焦点恰好是抛物线y2=8x的焦点，∴√m+1=2，解得m=3．故答案为：3．【答案】5π6,2+√105【考点】简单线性规划二元一次不等式（组）与平面区域点到直线的距离公式圆的标准方程【解析】结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用圆的方程画出图形，最后利用弧长公式计算即可．先设出与已知直线平行的直线方程，利用直线与圆相切求出直线方程，再求两直线间的距离问题即可（把问题转化为求两直线间的距离求解）．【解答】解：满足约束条的可行域D，及圆x2+y2=4在区域D内的弧，如下图示：∵直线x−y=0与直线x+√3y=0的倾斜角分别为45∘以及150∘；∴圆在平面区域内的弧长为：π6×2+π4×2=5π6．设与直线3x+y+2=0平行的直线方程为：3x+y+c=0当直线3x+y+c=0与圆相切时，切点到已知直线的距离最远；因为：d=√32+12=2⇒c=−2√10，（c=2√10舍）即切线方程为：3x+y−2√10=0此时两平行线间的距离为：√10)|√32+12=2+√105．即该弧上的点到直线3x+y+2=0的距离的最大值等于2+√105．故答案为：5π6，2+√105．【答案】①②④【考点】函数恒成立问题【解析】根据函数的单调性分别求出各个函数的最值，如①②④三个函数有最大值故存在这样的M对一切实数x均成立，③这个函数没有最值，不满足条件．【解答】解：①|f(x)|=|−5x|=5|x|，存在这样的M=5，对一切实数x均成立，故①是有界泛函；②|f(x)|=|sin2x|≤1，不妨取M=2，则|f(x)|≤2对定义域内的一切实数x都成立，故②是有界泛函；③|f(x)|=|(12)x||≤M|x|，不存在这样的M，对一切实数x均成立，故③不是有界泛函；④|f(x)|=|x cos x|≤M|x|，即|cos x|≤M，当M≥1时，f(x)=x cos x是有界泛函．故答案为：①②④三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）【答案】解：（1）由已知得：12(2cos2A−1)=cos2A−cos A，…∴cos A=12．…∵0<A<π，∴A=π3．…（2）由bsin B =csin C可得：sin Bsin C=bc=2…∴b=2c…∵cos A=b2+c2−a22bc =4c2+c2−94c2=12…∴c=√3，b=2√3…∴S=12bc sin A=12×2√3×√3×√32=3√32．…【考点】解三角形正弦定理余弦定理【解析】（1）利用条件，结合二倍角公式，即可求得角A的大小；（2）利用正弦定理，求得b=2c，再利用余弦定理，即可求得三角形的边，从而可求三角形的面积．【解答】解：（1）由已知得：12(2cos2A−1)=cos2A−cos A，…∴cos A=12．…∵0<A<π，∴A=π3．…（2）由bsin B =csin C可得：sin Bsin C=bc=2…∴b=2c…∵cos A=b2+c2−a22bc =4c2+c2−94c2=12…∴c=√3，b=2√3…∴S=12bc sin A=12×2√3×√3×√32=3√32．…【答案】（1）解：由已知，∵数列{a n}是等差数列，a3=10，a6=22，∴{a1+2d=10a1+5d=22.，解得a1=2，d=4．∴a n=2+(n−1)×4=4n−2．…（2）证明：由于S n=1−13b n，①令n=1，得b1=1−13b1，解得b1=34，当n≥2时，S n−1=1−13b n−1②①-②得b n=13b n−1−13b n，∴b n=14b n−1又b1=34≠0，∴b nb n−1=14．∴数列{b n}是以34为首项，14为公比的等比数列．…【考点】数列递推式等差数列的通项公式等比关系的确定【解析】（1）利用等差数列的通项公式，结合a3=10，a6=22，建立方程组，求得首项与公差，从而可得数列{a n}的通项公式；（2）S n=1−13b n，当n≥2时，S n−1=1−13b n−1，两式相减，即可证得数列{b n}是以34为首项，14为公比的等比数列．【解答】（1）解：由已知，∵数列{a n}是等差数列，a3=10，a6=22，∴{a1+2d=10a1+5d=22.，解得a1=2，d=4．∴a n=2+(n−1)×4=4n−2．…（2）证明：由于S n=1−13b n，①令n=1，得b1=1−13b1，解得b1=34，当n≥2时，S n−1=1−13b n−1②①-②得b n=13b n−1−13b n，∴b n=14b n−1又b1=34≠0，∴b nb n−1=14．∴数列{b n}是以34为首项，14为公比的等比数列．…【答案】证明：（1）连接AC，BD，AM，MC，MO，MN，且AC∩BD=O∵点O，M分别是PD，BD的中点∴MO // PB，∵PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM∴PB // 平面ACM．…（2）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD∴PA⊥BD∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD又∵PA∩AC=A∴BD⊥平面PAC…在△PBD中，点M，N分别是PD，PB的中点，∴MN // BD ∴MN⊥平面PAC．…（3）∵V A−MBC=V M−ABC=13⋅S△ABC⋅ℎ，ℎ=12PA…∴V A−MBC=13⋅12⋅AB⋅AD⋅12⋅PA=23．…【考点】直线与平面垂直的判定柱体、锥体、台体的体积计算直线与平面平行的判定【解析】（1）证明PB // 平面ACM，利用线面平行的判定定理，只需证明线线平行，利用三角形的中位线可得MO // PB；（2）证明MN⊥平面PAC，由于MN // BD，只要证明BD⊥平面PAC，利用线面垂直的判定定理，即可证得；（3）利用等体积，即V A−MBC=V M−ABC=13⋅S△ABC⋅ℎ，从而可得结论．【解答】证明：（1）连接AC，BD，AM，MC，MO，MN，且AC∩BD=O∵点O，M分别是PD，BD的中点∴MO // PB，∵PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM ∴PB // 平面ACM．…（2）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD∴PA⊥BD∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD又∵PA∩AC=A∴BD⊥平面PAC…在△PBD中，点M，N分别是PD，PB的中点，∴MN // BD∴MN⊥平面PAC．…（3）∵V A−MBC=V M−ABC=13⋅S△ABC⋅ℎ，ℎ=12PA…∴V A−MBC=13⋅12⋅AB⋅AD⋅12⋅PA=23．…【答案】解：（1）a=0时，f′(x)=x−1x2…..当0<x<1时f′(x)<0，当x>1时f′(x)>0，…..∴f(x)min=f(1)=1…．（2）f′(x)=1x−1x2+a=ax2+x−1x2当a≥0时，ax2+x−1在[2, +∞)上恒大于零，即f′(x)>0，符合要求；…当a<0时，令g(x)=ax2+x−1，g (x)在[2, +∞)上只能恒小于零故△=1+4a≤0或{1+4a>0g(2)≤0−12a≤2，解得：a≤−14∴a的取值范围是(−∞,−14]∪[0,+∞)…【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用【解析】（1）利用导数，确定函数的单调性，从而确定函数f(x)的最小值；（2）先求导函数，再分别考虑导数大于0与小于0，分类讨论即可．当a ≥0时，ax 2+x −1在[2, +∞)上恒大于零，即f ′(x)>0，符合要求；当a <0时，令g(x)=ax 2+x −1，g (x)在[2, +∞)上只能恒小于零 【解答】解：（1）a =0时，f′(x)=x−1x 2…..当0<x <1时f ′(x)<0， 当x >1时f ′(x)>0，….. ∴ f(x)min =f(1)=1…． （2）f′(x)=1x −1x 2+a =ax 2+x−1x 2当a ≥0时，ax 2+x −1在[2, +∞)上恒大于零，即f ′(x)>0，符合要求；…当a <0时，令g(x)=ax 2+x −1，g (x)在[2, +∞)上只能恒小于零故△=1+4a ≤0或{1+4a >0g(2)≤0−12a ≤2，解得：a ≤−14∴ a 的取值范围是(−∞,−14]∪[0,+∞)… 【答案】解：（1）由题意，∵ 左焦点为(−√3，0)，离心率为√32， ∴ c =√3，e =c a =√32， ∴ a =2，于是b 2=1，由于焦点在x 轴上，故椭圆C 的方程为x 24+y 2=1…（2）设直线l 的方程为：y =kx +m(k <0)，A(−mk ，0)，B(0,m) {y =kx +m x 24+y 2=1消去y 得：(14+k 2)x 2+2kmx +m 2−1=0…∵ 直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，∴ △=4k 2m 2−(1+4k 2)(m 2−1)=0 即m 2=4k 2+1①… ∵ OM →=OA →+OB →∴ |OM →|=√m 2k 2+m 2②…将①式代入②得：|OM →|=√1k 2+4k 2+5≥√2√1k 2⋅4k 2+5=3 当且仅当k =−√22时，等号成立，故|OM →|min=3，此时直线方程为：√2x +2y −2√3=0．… 【考点】直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程【解析】（1）根据椭圆的左焦点为(−√3，0)，离心率为√32，建立方程，求得几何量，即可确定椭圆的方程； （2）设直线l 的方程，代入椭圆方程，利用直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，确定m ，k 之间的关系，利用OM →=OA →+OB →，可得|OM →|=√m 2k 2+m 2，再借助于基本不等式，即可求得最小值及直线的方程．【解答】解：（1）由题意，∵ 左焦点为(−√3，0)，离心率为√32， ∴ c =√3，e =c a=√32， ∴ a =2，于是b 2=1，由于焦点在x 轴上，故椭圆C 的方程为x 24+y 2=1…（2）设直线l 的方程为：y =kx +m(k <0)，A(−mk ，0)，B(0,m) {y =kx +m x 24+y 2=1消去y 得：(14+k 2)x 2+2kmx +m 2−1=0…∵ 直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，∴ △=4k 2m 2−(1+4k 2)(m 2−1)=0 即m 2=4k 2+1①… ∵ OM →=OA →+OB →∴ |OM →|=√m 2k 2+m 2②…将①式代入②得：|OM →|=√1k+4k 2+5≥√2√1k ⋅4k 2+5=3当且仅当k =−√22时，等号成立，故|OM →|min=3，此时直线方程为：√2x +2y −2√3=0．…【答案】 解：（1）由题意可知，f 1(s)>0，f 1(t)>0，f 2(s)>0，f 2(t)>0， 若log 2(s +1)+log 2(t +1)<log 2(s +t +1)成立 则(s +1)(t +1)<s +t +1即st <0与已知任意s ，t >0即st >0相矛盾，故f 1(x)∉M ； … 若2s +2t −2<2s+t −1成立 则2s +2t −2s+t −1<0 即(2s −1)(1−2t )<0 ∵ s ，t >0∴ 2s >1，1−2t <0即(2s −1)(1−2t )<0成立 … 故f 2(x)∈M ．综上，f 1(x)∉M ，f 2(x)∈M ．…（2）证明：当m >0时，f(x +m)>f(x)+f(m)>f(x) ∴ f(x +m)−f(x)>0，当m <0时，f(x)=f(x +m −m)>f(x +m)+f(−m)>f(x +m) ∴ f(x +m)−f(x)<0故m[f(x+m)−f(x)]>0．…（3）据（2）f(x)在(0．+∞)上为增函数，且必有f(2x)>2f(x)(∗)①若f(1)<s，令t=1，则0<x≤t时f(x)<s；②若f(1)>s，则存在k∈N∗，使f(1)<2k=1t，由(∗)式可得f(12k )<12f(12k−1)<...<12kf(1)<1<s，即当0<x≤t时，f(x)<s综①、②命题得证．…【考点】分析法的思考过程、特点及应用函数恒成立问题【解析】（1）依题意，若log2(s+1)+log2(t+1)<log2(s+t+1)成立则(s+1)(t+1)<s+t+1即st<0导出矛盾；若2s+2t−2<2s+t−1成立⇔(2s−1)(1−2t)<0成立，进一步分析f2(x)∈M（2）证明：当m>0时，可证得f(x+m)−f(x)>0，当m<0时，可证f(x+m)−f(x)<0，从而结论成立；（3）据（2）f(x)在(0．+∞)上为增函数，且必有f(2x)>2f(x)(∗)①若f(1)<s，令t=1，则0<x≤t 时f(x)<s；②若f(1)>s，则存在k∈N∗，使f(1)<2k=1t，从而可得可得f(12k )<12f(12k−1)<...<12kf(1)<1<s，于是结论可证．【解答】解：（1）由题意可知，f1(s)>0，f1(t)>0，f2(s)>0，f2(t)>0，若log2(s+1)+log2(t+1)<log2(s+t+1)成立则(s+1)(t+1)<s+t+1即st<0与已知任意s，t>0即st>0相矛盾，故f1(x)∉M；…若2s+2t−2<2s+t−1成立则2s+2t−2s+t−1<0即(2s−1)(1−2t)<0∵s，t>0∴2s>1，1−2t<0即(2s−1)(1−2t)<0成立…故f2(x)∈M．综上，f1(x)∉M，f2(x)∈M．…（2）证明：当m>0时，f(x+m)>f(x)+f(m)>f(x)∴f(x+m)−f(x)>0，当m<0时，f(x)=f(x+m−m)>f(x+m)+f(−m)>f(x+m)∴f(x+m)−f(x)<0故m[f(x+m)−f(x)]>0．…（3）据（2）f(x)在(0．+∞)上为增函数，且必有f(2x)>2f(x)(∗)①若f(1)<s，令t=1，则0<x≤t时f(x)<s；②若f(1)>s，则存在k∈N∗，使f(1)<2k=1t，由(∗)式可得f(12k )<12f(12k−1)<...<12kf(1)<1<s，即当0<x≤t时，f(x)<s综①、②命题得证．…。
2012昌平区高三数学上册期末文科试卷B版(带答案)
2012昌平区高三数学上册期末文科试卷B版（带答案）昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（文科）（满分150分，考试时间120分钟）2013.1考生须知：1．本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
2．答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。
3．答题卡上第I卷(选择题)必须用2B铅笔作答，第II卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔。
请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
4．修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。
保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。
不得在答题卡上做任何标记。
5．考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。
第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）复数的虚部是A.B.C.D.（2）“”是“直线垂直”的A.充分不必要条件B必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件（3）在数列中，则的值为A．7B．8C．9D．16（4）如图，在A.B.C.D.（5）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积为A.B．C.D.（6）函数的零点个数为A.B.C.D.（7）设不等式组表示的平面区域为．在区域内随机取一个点，则此点到直线的距离大于2的概率是A.B.C.D.（8）设定义域为的函数满足以下条件；①对任意；②对任意.则以下不等式一定成立的是①②③④A.①③B.②④C.①④D.②③第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）在中，若,，，则=（10）已知是等差数列的前项和，其中（11）已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为．（12）以双曲线的右焦点为圆心，并与其渐近线相切的圆的标准方程是_______.(13)已知函数则________;若，则实数的取值范围是_______________.（14）过椭圆上一点作直线交椭圆于两点，设的斜率分别为，若点关于原点对称，且则此椭圆的离心率为___________.三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)（15）（本小题满分13分）已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最值.(16)（本小题满分14分）在四棱锥中，底面是正方形，为的中点.（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）若在线段上是否存在点，使？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．(17)（本小题满分13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学在某次数学测验中的成绩，甲组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示.甲组乙组6X87（Ⅰ）如果甲组同学与乙组同学的平均成绩一样，求X及甲组同学数学成绩的方差；（Ⅱ）如果X=7，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名，求这两名同学的数学成绩之和大于180的概率.（注：方差其中）（18）（本小题满分13分）已知函数.（Ⅰ）若求函数上的最大值；（Ⅱ）若对任意，有恒成立，求的取值范围.已知椭圆，其短轴的一个端点到右焦点的距离为，且点在椭圆上.直线的斜率为,且与椭圆交于、两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求面积的最大值.20.（本小题满分14分）已知每项均是正整数的数列，其中等于的项有个，设，（Ⅰ）设数列，①求；②求的值；昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷参考答案（文科）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案BABCACDB二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）（9）（10）6；9（11）3（12）（13）-5;（14）三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)（15）(本小题满分13分)解：（Ⅰ）因为.………………………………5分所以的最小正周期．…………………7分（II）由…………..9分当，…………….11分当.……………….13分（16）(本小题满分14分)解：（I）连接.由是正方形可知,点为中点.又为的中点，所以∥………………….2分又所以∥平面………….4分(II)证明：由所以由是正方形可知,又所以………………………………..8分又所以…………………………………………..9分(III)在线段上存在点，使.理由如下：如图，取中点，连接.在四棱锥中，，所以.…………………………………………………………………..11分由（II）可知，而所以，因为所以………………………………………………………….13分故在线段上存在点，使.由为中点，得……………………………………………14分（17）(本小题满分13分)解：（I）乙组同学的平均成绩为，甲组同学的平均成绩为90，所以…………………………………2分甲组同学数学成绩的方差为……………6分(II)设甲组成绩为86,87,91,94的同学分别为乙组成绩为87,90,90,93的同学分别为则所有的事件构成的基本事件空间为：共16个基本事件.设事件“这两名同学的数学成绩之和大于180”，则事件包含的基本事件的空间为{共7个基本事件，………………………………………………………………………….13分（18）(本小题满分13分)解：（I）当时，，.............1分令..................................2分列表：∴当时，最大值为.………………………7分（Ⅱ）令①若单调递减.单调递增.所以，在时取得最小值，因为.…………………..9分②若，所以当……………………………………..10分③若单调递减.单调递增.所以，在取得最小值，令综上，的取值范围是.………………………………13分（19）(本小题满分13分)解:(Ⅰ)由题意知，所以.故所求椭圆方程为………………………………….5分(Ⅱ)设直线的的方程为,则.设代入椭圆方程并化简得,…………6分由,可得.()由()，得,故…..9分又点到的距离为,…………………10分故,当且仅当,即时取等号满足()式.所以面积的最大值为.……………………13分（20）(本小题满分13分)解:(I)①因为数列，所以，所以.………8分②……….10分(II)一方面，，根据的含义知，故，即，当且仅当时取等号.因为中最大的项为50，所以当时必有，所以即当时，有；当时，有.14分。
#北京市昌平区2012届高三上学期期末考试试题(数学文)word版
昌平区2011－2012学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（文科）2012 .1考生注意事项：1.本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟．2.答题前，考生务必将学校、班级、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B铅笔．3.修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．4.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1．设全集}7,5,3,1{=U，集合}7,3,1{},5,3{==BA，则()UA Bð等于A．{5} B．{3，5} C．{1，5，7} D．Φ2．21i-等于A．22i-B．1i-C．i D．1i+3．“x y>”是“22x y>”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学中至少有一名男同学的概率是A．910B．45C．25D．125.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A．2 B．4C．6. D．86. 某程序框图如图所示，则输出的S=主视俯视A．120 B．57C．56 D．267.某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元.每提高一个档次，每件利润增加2元. 用同样工时，可以生产最低档产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品.则获得利润最大时生产产品的档次是A.第7档次B.第8档次C.第9档次D.第10档次8. 一圆形纸片的圆心为点O,点Q是圆内异于O点的一定点，点A是圆周上一点.把纸片折叠使点A与Q重合，然后展平纸片，折痕与OA交于P点.当点A运动时点P的轨迹是A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线第Ⅱ卷（非选择题共110分）填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．9.已知函数xxy cossin=，则函数的最小正周期是.10.已知向量(2,1)=a，10⋅=a b，7+=a b，则=b.11.某工厂对一批产品进行了抽样检测，右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106] .已知样本中产品净重小于100克的个数是48，则a =___________ ；样本中净重在[98，104）的产品的个数是__________ .12. 已知双曲线122=-ymx的右焦点恰好是抛物线xy82=的焦点，则m=.a13. 已知D是由不等式组0,0,x y x -≥⎧⎪⎨+≥⎪⎩所确定的平面区域，则圆224x y +=在区域D 内的弧长为_____________；该弧上的点到直线320x y ++=的距离的最大值等于__________ .14.设函数)(x f 的定义域为R ，若存在与x 无关的正常数M ，使|||)(|x M x f ≤对一切实数x 均成立，则称)(x f 为有界泛函.在函数①x x f 5)(-=，②x x f 2s in )(=，③xx f )21()(=，④x x x f cos )(=中，属于有界泛函的有__________(填上所有正确的序号) .三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 15.（本小题满分13分）在ABC ∆中，AA A cos cos 2cos 212-=．（I ）求角A 的大小；（II ）若3a =，sin 2sin B C =，求ABCS ∆．16．（本小题满分13分） 已知数列}{n a 是等差数列,22, 1063==a a ，数列}{n b 的前n 项和是nS ，且131=+n n b S .（I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）求证：数列}{n b 是等比数列；17.（本小题满分14分）如图在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，ABCD PA 底面⊥，垂足为点A ，2==AB PA ,点M ，N 分别是PD ，PB 的中点． （I ）求证:ACM PB 平面// ； （II ）求证:⊥MN 平面PAC ； （III ）求四面体A MBC -的体积.18.(本小题满分13分)已知函数ax x x x f ++=1ln )(（a 为实数）.（I ）当0=a 时， 求)(x f 的最小值；（II ）若)(x f 在),2[+∞上是单调函数，求a 的取值范围.19.(本小题满分14分)已知椭圆C 的中心在原点，左焦点为(，离心率为23．设直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点P ，记点P 在第一象限时直线l 与x 轴、y 轴的交点分别为B A 、，且向量OM +=.求：（I ）椭圆C 的方程；（II ）||的最小值及此时直线l 的方程.20. (本小题满分13分)M 是具有以下性质的函数()f x 的全体：对于任意s ，0t >，都有()0f s >，()0f t >，且()()()f s f t f s t +<+. （I ）试判断函数12()log (1)f x x =+，2()21x f x =-是否属于M ？（II ）证明：对于任意的0x >，0(x m m +>∈R 且0)m ≠都有[()()]0m f x m f x +->； （III ）证明：对于任意给定的正数1s >，存在正数t ，当0x t <≤时，()f x s <.昌平区2011－2012学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学(文科)试卷参考答案及评分标准 2012.1二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．) 9．π 10. 26 11. 0.125；120 12. 313． 65π;5102+14. ① ② ④三、解答题(本大题共6小题，共80分)15.（本小题满分13分）解：（I ）由已知得：AA A cos cos )1cos 2(2122-=-，……2分.21cos =∴A ……4分 π<<A 0 ，.3π=∴A …………6分（II ）由C c B b sin sin = 可得：2sin sin ==c bC B ………7分 ∴ c b 2= …………8分214942cos 222222=-+=-+=c c c bc a c b A ………10分 解得：32b , 3==c ………11分2332333221sin 21=⨯⨯⨯==A bc S . ……13分16（本小题满分13分）解：（1）由已知⎩⎨⎧=+=+.225,10211d a d a 解得 .4,21==d a .244)1(2-=⨯-+=∴n n a n ………………6分（2）因为nn b S 311-=， ① 令n =1，得.31111b b -= 解得431=b ，当2≥n 时，11311---=n n b S ② －②得n n n b b b 31311-=- ， 141-=∴n n b b 又0431≠=b , .411=∴-n n b b∴数列}{n b 是以43为首项，41为公比的等比数列.……………………13分17.（本小题满分14分）证明：（I ）连接O BD AC MN MO MC AM BD AC = 且,,,,,,的中点分别是点BD PD M O ,, ACM PB PB MO 平面⊄∴,//∴ACM PB 平面//. …… 4分(II) ABCD PA 平面⊥ ，ABCD BD 平面⊂BD PA ⊥∴是正方形底面ABCD BD AC ⊥∴又A AC PA =⋂ PAC BD 平面⊥∴ ……7分在中PBD ∆，点M ，N 分别是PD ，PB 的中点．∴BD MN //PAC MN 平面⊥∴. …… 9分（III ）由hS V V ABC ABC M MBC A ⋅⋅==∆--31……11分PA h 21=……12分32212131=⋅⋅⋅⋅⋅=∴-PA AD AB V MBC A . ……14分18.(本小题满分13分)解：(Ⅰ) 由题意可知：0>x ……1分当0=a 时21)(x x x f -=' …….2分当10<<x 时，0)(<'x f 当1>x 时，0)(>'x f ……..4分故1)1()(min ==f x f . …….5分(Ⅱ) 由222111)(x x ax a x x x f -+=+-='① 由题意可知0=a 时，21)(x x x f -=',在),2[+∞时，0)(>'x f 符合要求 …….7分② 当0<a 时，令1)(2-+=x ax x g 故此时)(x f 在),2[+∞上只能是单调递减0)2(≤'f 即04124≤-+a 解得41-≤a …….9分 当0>a 时，)(x f 在),2[+∞上只能是单调递增 0)2(≥'f 即,04124≥-+a 得41-≥a 故0>a …….11分综上),0[]41,(+∞⋃--∞∈a …….13分19. （本小题满分14分） 解：(Ⅰ)由题意可知3=c ，23==a c e ，所以2=a ，于是12=b ，因为焦点在x 轴上，故C 椭圆的方程为2214x y += ………………………………5分（Ⅱ）设直线l 的方程为：m kx y +=)0(<k ，),0(),0,(m B k mA -⎪⎩⎪⎨⎧=++=,14,22y x m kx y 消去y 得：012)41(222=-+++m kmx x k …………………7分直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，0)1)(41(42222=-+-=∆m k m k 即1422+=k m ① …………………… 9分 ∵OM +=222||m k m +=∴② ……………………11分将①式代入②得：1||3OM =≥=当且仅当22-=k 时，等号成立，故min ||3OM =，此时直线方程为：03222=-+y x . …………………14分20（本小题满分13分）(Ⅰ)由题意可知，0)(,0)(,0)(,0)(2211>>>>t f s f t f s f 若)1(log )1(log )1(log 222++<+++t s t s 成立 则1)1)(1(++<++t s t s 即0<st与已知任意s ，0t >即0>st 相矛盾，故M x f ∉)(1； ……2分 若12222-<-++ts ts成立 则01222<--++ts t s即0)21)(12(<--t s s ，0t > 021,12<->∴t s 即0)21)(12(<--ts 成立 …..4分故M x f ∈)(2.综上，M x f ∉)(1，M x f ∈)(2. ……5分(II) 当0>m 时，)()()()(x f m f x f m x f >+>+ 0)()(>-+∴x f m x f 当0<m 时，)()()()()(m x f m f m x f m m x f x f +>-++>-+=0)()(<-+∴x f m x f故0)]()([ >-+x f m x f m . ……9分(III) 据（II ））上为增函数在（∞+.0)(x f ，且必有)(2)2(x f x f >（*） ①若s f <)1(，令1=t ，则t x ≤<0时 s x f <)(；②若,)1(s f >则存在*N ∈k ，使t f k 12)1(=<由（*）式可得s f f f kk k <<<<<-1)1(21)21(21)21(1即当s x f t x <≤<)(0时，综①、②命题得证。
北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学文
DCBA 昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测数 学 试 卷（文科） （满分150分，考试时间 120分钟）2013.1考生须知： 1． 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。
2． 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。
3． 答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。
请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
4． 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。
保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。
不得在答题卡上做任何标记。
5． 考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）复数21ii-的虚部是A. 1-B. 1C. i -D. i（2） “2a =”是“直线214ay ax y x =-+=-与垂直”的 A. 充分不必要条件 B 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件 （3）在数列{}n a 中 ，111,,)2n n a a a y x +==点（在直线上，则4a 的值为 A ．7B ．8C ．9D ．16（4）如图，在,2.=ABC BD DC AB ,AC ,AD ∆==中若则a =b A.2133+a b B. 2133-a b C. 1233+a b D. 1233-a b （5）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积为A. 4 B ．8 C. 12 D. 24 （6）函数22()log (1)f x x x =+-的零点个数为A. 0B. 1C. 2D. 3（7）设不等式组22,4,2x y x y -+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩0≤ 表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点，则此点到直线+2=0y 的距离大于2的概率是A.413 B. 513C. 825D.925（8）设定义域为R 的函数)(x f 满足以下条件；①对任意0)()(,=-+∈x f x f R x ； ②对任意当],,1[,21a x x ∈有时,12x x >21()()f x f x >.则以下不等式一定成立．．．．的是 ①()(0)f a f >②)()21(a f af >+③)3()131(->+-f aaf ④)()131(a f aaf ->+- A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）在ABC △中，若3b =,1c =，1cos 3A =，则a =（10）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，其中2856-3,15,=_______;_______.a a a S ===则（11）已知某算法的流程图如图所示，则程序运行结束时输出的结果为 ．（12）以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心，并与其 渐近线相切的圆的标准方程是 _______.(13) 已知函数1()(0),()213(0),xx f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪->⎩ 则((1))f f -=________;若2(23)(5)f a f a ->，则实数a 的取值范围是_______________.（14）过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点M 作直线,MA MB 交椭圆于,A B 两点，设,MA MB 的斜率分别为12,k k ，若点,A B 关于原点对称，且121,3k k ⋅=-则此椭圆的离心率为___________.OFEDCBA三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) （15）（本小题满分13分）已知函数()(23sin 2cos )cos 1f x x x x =-⋅+.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[,]42ππ上的最值.(16) （本小题满分14分）在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是正方形，,AC BD O 与交于EC ABCD F 底面，^为BE 的中点.（Ⅰ）求证：DE ∥平面ACF ； （Ⅱ）求证：BD AE ^； （Ⅲ）若2,AB CE =在线段EO 上是否存在点G ，使CG BDE 平面^？若存在，求出EGEO的值，若不存在，请说明理由．(17) （本小题满分13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学在某次数学测验中的成绩，甲组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示. 甲组 乙组 6 X 8 7 4 1 9 0 0 3（Ⅰ）如果甲组同学与乙组同学的平均成绩一样，求X 及甲组同学数学成绩的方差；（Ⅱ）如果X=7，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名，求这两名同学的数学成绩之和大于180的概率.（注：方差2222121=[()()...()],n s x x x x x x n-+-++-其中12,,...,.n x x x x 为的平均数）（18）（本小题满分13分）已知函数3211()()32f x x a x a a =-+∈R . （Ⅰ）若1,a =求函数()[0,2]f x 在上的最大值；（Ⅱ）若对任意(0,+)x ∈∞，有()0f x >恒成立，求a 的取值范围.19. （本小题满分13分）已知椭圆:M 22221(0)x y a b a b+=>>，其短轴的一个端点到右焦点的距离为2，且点A (2,1)在椭圆M 上. 直线l 的斜率为22,且与椭圆M 交于B 、C 两点． （Ⅰ）求椭圆M 的方程； （Ⅱ）求ABC ∆面积的最大值.20. （本小题满分14分）已知每项均是正整数的数列123100,,,,a a a a ，其中等于i 的项有i k 个(1,2,3)i =，设j j k k k b +++= 21(1,2,3)j =，12()100m g m b b b m =+++-(1,2,3).m =（Ⅰ）设数列1240,30,k k ==34510020,10,...0k k k k =====， ①求(1),(2),(3),(4)g g g g ；②求123100a a a a ++++L 的值； （Ⅱ）若123100,,,,a a a a 中最大的项为50， 比较(),(1)g m g m +的大小.GBC EF昌平区2012－2013学年第一学期高三年级期末质量抽测数 学 试卷 参考答案（文科）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)题 号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答案BABCACDB二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．） （9） 22 （10）6；9（11） 3 （12）22(5)16x y -+=（13） -5; 1(,3)2- （14）63三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)（15）(本小题满分13分)解：（Ⅰ）因为()(23sin 2cos )cos 1f x x x x =-⋅+3sin 2cos2x x =-π2sin(2)6x =-.………………………………5分所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==．…………………7分 （II ）由 5[,],2[,],2[,],422636x x x πππππππ挝-?…………..9分 当52,,()1662x x f x πππ-==即时取得最小值，…………….11分 当2,,()2623x x f x πππ-==即时取得最大值.……………….13分 （16）(本小题满分14分) 解：（I ）连接OF .由ABCD 是正方形可知,点O 为BD 中点. 又F 为BE 的中点，所以OF ∥DE ………………….2分又,,OF ACF DE ACF 平面平面趟所以DE ∥平面ACF ………….4分(II) 证明：由EC ABCD BD ABCD 底面，底面，^? 所以,EC BD ^由ABCD 是正方形可知, ,AC BD ^又=,,AC EC C AC ECACE 平面，翘 所以,BD ACE 平面^………………………………..8分又AE ACE 平面，Ì所以BD AE ^…………………………………………..9分(III) 在线段EO 上存在点G ，使CG BDE 平面^. 理由如下： 如图，取EO 中点G ，连接CG . 在四棱锥E ABCD -中，22,2AB CE CO AB CE ===， 所以CG EO ^.…………………………………………………………………..11分 由（II ）可知，,BD ACE 平面^而,BD BDE 平面Ì 所以，,ACE BDE ACE BDE EO 平面平面且平面平面，^? 因为,CG EO CG ACE 平面，^?所以CG BDE 平面^…………………………………………………………. 13分 故在线段EO 上存在点G ，使CG BDE 平面^.由G 为EO 中点，得1.2EG EO =…………………………………………… 14分 （17）(本小题满分13分)解：（I ）乙组同学的平均成绩为87909093904+++=，甲组同学的平均成绩为90，所以8086919490,9.4X X ++++==…………………………………2分 甲组同学数学成绩的方差为222228690)(8990)(9190)(9490)17=42s -+-+-+-=甲（…………… 6分(II)设甲组成绩为86,87,91,94的同学分别为1234,,,,a a a a 乙组成绩为87,90,90,93的同学分别为1234,,,,b b b b 则所有的事件构成的基本事件空间为：11121314212223243132{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b33344142434(,),(,),(,),(,),(,),(,)}.a b a b a b a b a b a b 共16个基本事件.设事件A =“这两名同学的数学成绩之和大于180”，则事件A 包含的基本事件的空间为{32333441424344(,),(,)(,),(,),(,),(,),(,)}.a b a b a b a b a b a b a b 共7个基本事件，7()16P A =………………………………………………………………………….13分 （18）(本小题满分13分) 解：（I ）当1a =时，311()32f x x x =-+，2'()1f x x =- .............1分令12'()01, 1.f x x x ==-=，得..................................2分列表：x 0 (0,1)1(1,2)2()f x '1-- 0 + 3()f x12↘16-↗76∴当[0,2]x ∈时，()f x 最大值为()726f =. ………………………7分 （Ⅱ）22'()()(),f x x a x a x a =-=-+令12'()0,,.f x x a x a ==-=得① 若0,)()0,()a a f x f x '<<∴在（0，-上，单调递减.)()0,()a f x f x '∞>∴在（-，+上，单调递增.所以，()f x 在x a =-时取得最小值()332121()3232a f a a a a a -=-++=+， 因为()2221210,0,()03232a a f a a a <+>-=+<所以.0,0,+()0.a x f x <∈∞>所以当时对任意（）,不成立…………………..9分② 若20,()0,()0+a f x x f x '==≥∞所以在（，）上是增函数，所以当=0()(0)0.a f x f >=时，有……………………………………..10分 ③若0,)()0,()a a f x f x '><在（0，上，所以单调递减.)()0,()a f x f x '∞>在（，+上，所以单调递增.所以，()f x 在x a =取得最小值()332121()3232a f a a a a a =-+=--，令()2221213()0,0,0,0.32322f a a a a a a =-->>-<<<由得3,0,()0.2a x f x <<>>所以当0时对任意都成立 综上，a 的取值范围是3[0)2，.………………………………13分 （19）(本小题满分13分)解: (Ⅰ)由题意知222112a b a ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，所以2b =.故所求椭圆方程为22142x y +=………………………………….5分 (Ⅱ) 设直线l 的的方程为22y x m =+,则0m ≠.设1122(,),(,),B x y C x y 代入椭圆方程并化简得22220x mx m ++-=, …………6分 由22224(2)2(4)0m m m ∆=--=->,可得204m << . (*)由(*)，得21,222(4)2m m x -±-=,故22212231()2(4)3(4)22BC x x m m =+-=⨯-=-…..9分 又点A 到BC 的距离为26m d =, …………………10分故22113(4)226ABCm S BC d m ∆=⋅=-⨯222211(4)(4)2222m m m m +-=⨯-≤⨯=,当且仅当224m m =-,即2m =±时取等号满足(*)式. 所以ABC ∆面积的最大值为2. ……………………13分（20）(本小题满分13分)解: (I)① 因为数列1240,30,k k ==320,k =410k =， 所以123440,70,90,100b b b b ====，所以(1)60,(2)90,(3)100,(4)100g g g g =-=-=-=-. ………8分 ②123100401302203104200a a a a ++++=⨯+⨯+⨯+⨯=L ……….10分 (II) 一方面，1(1)()100m g m g m b ++-=-，根据j b 的含义知1100m b +≤，故0)()1(≤-+m g m g ，即 )1()(+≥m g m g ， 当且仅当1100m b +=时取等号. 因为123100,,,,a a a a 中最大的项为50，所以当50m ≥时必有100m b =，所以(1)(2)(49)(50)(51)g g g g g >>>===即当149m ≤<时，有()(1)g m g m >+； 当49m ≥时，有()(1)g m g m =+. 14分。
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2011-2012学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1. 设全集U={1, 3, 5, 7}，集合A={3, 5}，B={1, 3, 7}，则A∪(∁U B)等于（）A.{5}B.{3, 5}C.{1, 5, 7}D.{1, 3, 5, 7}2. 21−i等于（）A.2−2iB.1−iC.iD.1+i3. “x>y”是“2x>2y”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学中至少有一名男同学的概率是（）A.9 10B.45C.25D.125. 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A.12B.8C.6D.46. 某程序框图如图所示，则输出的S=()A.120B.57C.56D.267. 某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品．则获得利润最大时生产产品的档次是（）A.第7档次B.第8档次C.第9档次D.第10档次8. 一圆形纸片的圆心为O，点Q是圆内异于O点的一个定点，点A是圆周上一动点，把纸片折叠使得点A与点Q 重合，然后抹平纸片，折痕CD与OA交于点P，当点A运动时，点P的轨迹为（）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）函数y＝sin x cos x的最小正周期是________．已知向量a→=(2, l)，a→⋅b→=10，|a→+b→|=5√2，则|b→|=________．某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96, 106]，样本数据分组为[96, 98),[98, 100),[100, 102),[102, 104),[104, 106]．已知样本中产品净重小于100克的个数是48，则a=________；样本中净重在[98, 104)的产品的个数是________．已知双曲线x2m−y2=1的右焦点恰好是抛物线y2=8x的焦点，则m=________．已知D是由不等式组{x−y≥0x+√3y≥0所确定的平面区域，则圆x2+y2=4在区域D内的弧长为________；该弧上的点到直线3x+y+2=0的距离的最大值等于________．设函数f(x)的定义域为R，若存在与x无关的正常数M，使|f(x)|≤M|x|对一切实数x均成立，则称f(x)为有界泛函．在函数①f(x)=−5x，②f(x)=sin2x，③f(x)=(12)x，④f(x)=x cos x中，属于有界泛函的有________（填上所有正确的序号）．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）在△ABC中，12cos2A=cos2A−cos A．（1）求角A的大小；（2）若a=3，sin B=2sin C，求S△ABC．已知数列{a n}是等差数列，a3=10，a6=22，数列{b n}的前n项和是S n，且S n+13b n=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：数列{b n}是等比数列．如图在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，垂足为点A，PA=AB=2，点M，N分别是PD，PB的中点．（1）求证：PB // 平面ACM；（2）求证：MN⊥平面PAC；（3）求四面体A−MBC的体积．已知函数f(x)=ln x+1x+ax，x∈(0,+∞)（a为实常数）．（1）当a=0时，求函数f(x)的最小值；（2）若函数f(x)在[2, +∞)上是单调函数，求a的取值范围．已知椭圆C的中心在原点，左焦点为(−√3，0)，离心率为√32．设直线l与椭圆C有且只有一个公共点P，记点P在第一象限时直线l与x轴、y轴的交点分别为A、B，且向量OM→=OA→+OB→．求：（1）椭圆C的方程；（2）|OM→|的最小值及此时直线l的方程．M是具有以下性质的函数f(x)的全体：对于任意s，t>0，都有f(s)>0，f(t)>0，且f(s)+f(t)<f(s+ t)．（1）试判断函数f1(x)=log2(x+1)，f2(x)=2x−1是否属于M？（2）证明：对于任意的x>0，x+m>0(m∈R且m≠0)都有m[f(x+m)−f(x)]>0；（3）证明：对于任意给定的正数s>1，存在正数t，当0<x≤t时，f(x)<s．参考答案与试题解析2011-2012学年北京市昌平区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1.【答案】B【考点】交、并、补集的混合运算【解析】先求出集合B的补集，再根据两个集合的并集的意义求解即可．【解答】解：C U B={5}，A∪(C U B)={3, 5}，故选B2.【答案】D【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】把所求复数的分子、分母同时乘以分母的共轭复数，再利用复数的乘法法则进行运算．【解答】解：复数21−i =2(1+i)(1−i)(1+i)=2(1+i)2=1+i，故选D．3.【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】由y=2x是增函数，知“x>y”⇔“2x>2y”．【解答】解：∵y=2x是增函数，∴ “x>y”⇔“2x>2y”，∴ “x>y”是“2x>2y”的充要条件．故选C．4.【答案】A【考点】排列、组合及简单计数问题古典概型及其概率计算公式【解析】根据题意，设选到的2名同学中至少有一名男同学为事件A，分析可得其对立事件A¯为选到的2名同学全部为女同学，由组合数公式，计算从5人中取出2人与取出的2人全部为女同学的情况数目，则可得P(A¯)，进而由对立事件的概率性质P(A)=1−P(A¯)，即可得答案．【解答】解：根据题意，设选到的2名同学中至少有一名男同学为事件A，其对立事件A¯为选到的2名同学全部为女同学，有3名男同学，2名女同学，共5名同学，从中取出2人，有C52=10种情况，全部为女同学的情况有C22=1种情况，则P(A¯)=110，则P(A)=1−110=910；故选A．5.【答案】D【考点】由三视图求体积【解析】由空间几何体的三视图知该几何体是底面腰长为2的等直角三角形，高为2的直三棱柱ABC−DEF，由此能求出其体积．【解答】解：由空间几何体的三视图知该几何体是如图所示的直三棱柱ABC−DEF，且AB=AD=BC=2，AB⊥BC，∴该几何体的体积V=12S△ABC×BE=12×2×2×2=4．故选D．6.【答案】D【考点】循环结构的应用【解析】本题是一个循环结构，由过程可以看出程序共执行三次，执行一次，运算方式为乘二加k，从而得出结果．【解答】解：由题，S的初值为1，每次进行循环体则执行乘二加k的运算，执行三次后所得的结果是1×2+2=4，2×4+3=11，2×11+4=26．则输出的S=26．故选D7.【答案】C【考点】函数最值的应用【解析】档次提高时，带来每件利润的提高，产量下降，第k档次时，每件利润为[8+2(k−1)]，产量为[60−3(k−1)]，根据：利润=每件利润×产量，列函数式，利用配方法求函数的最值，即可得到结论．【解答】解：由题意，第k档次时，每天可获利润为：y=[8+2(k−1)][60−3(k−1)]=−6k2+108k+378(1≤x≤10)配方可得y=−6(k−9)2+864，∴k=9时，获得利润最大故选C．8.【答案】A【考点】轨迹方程椭圆的定义【解析】由题意可得，CD是线段AQ的中垂线，PQ+PO=PA+PO=半径R (R>OQ )，由椭圆的定义可得，点P的轨迹为椭圆．【解答】解：如图所示：由题意可得，CD是线段AQ的中垂线，∴PA=PQ，∴PQ+PO=PA+PO=半径R，即点P到两个定点O、Q的距离之和等于定长R (R>OQ )，由椭圆的定义可得，点P的轨迹为椭圆，故选A．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）【答案】π【考点】二倍角的三角函数三角函数的周期性及其求法【解析】把函数y＝sin x cos x化为一个角的一个三角函数的形式，然后求出它的最小正周期．【解答】函数y＝sin x cos x=12sin2x，它的最小正周期是：2π2=π．【答案】5【考点】平面向量数量积【解析】设b→=(x, y)，则有2x+y=10，且√(2+x)2+(1+y)2=5√2，解方程求得x、y的值，即可求得|b|的值．【解答】解：∵已知向量a→=(2, l)，a→⋅b→=10，|a→+b→|=5√2，设b→=(x, y)，则有2x+y=10，且√(2+x)2+(1+y)2=5√2，(2+x)2解得x=3，y=4，故b→=(3, 4)，∴|b|=5，故答案为5．【答案】0.125,120【考点】用样本的频率分布估计总体分布【解析】先由样本的频率分布直方图求出a，再根据样本中产品净重小于100克的个数是48，而这个区间的频率是2×(0.05+0.1)=0.3，得到样本的容量，根据样本中净重在[98, 104)的产品的频率是2×(0.10+0.15+0.125)=0.75，能求出样本中净重在[98, 104)的产品的个数．【解答】解：由样本的频率分布直方图知：a=12[1−2×(0.05+0.075+0.1+0.15)]=0.125．∵样本中产品净重小于100克的产品的频率是2×(0.05+0.1)=0.3，样本中产品净重小于100克的个数是48，∴样本的容量是n=480.3=160，∵样本中净重在[98, 104)的产品的频率是2×(0.10+0.15+0.125)=0.75，∴样本中净重在[98, 104)的产品的个数是160×0.75=120．故答案为：120．【答案】3【考点】圆锥曲线的共同特征【解析】先求出双曲线x 2m −y2=1的右焦点F2(√m+1, 0)，抛物线y2=8x的焦点F(2, 0)，现由双曲线x2m−y2=1的右焦点恰好是抛物线y2=8x的焦点，求m．【解答】解：双曲线x 2m−y2=1的右焦点F2(√m+1, 0)，抛物线y2=8x的焦点F(2, 0)，∵双曲线x2m−y2=1的右焦点恰好是抛物线y2=8x的焦点，∴√m+1=2，解得m=3．故答案为：3．【答案】5π6,2+√105【考点】简单线性规划二元一次不等式（组）与平面区域点到直线的距离公式圆的标准方程【解析】结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用圆的方程画出图形，最后利用弧长公式计算即可．先设出与已知直线平行的直线方程，利用直线与圆相切求出直线方程，再求两直线间的距离问题即可（把问题转化为求两直线间的距离求解）．【解答】解：满足约束条的可行域D，及圆x2+y2=4在区域D内的弧，如下图示：∵直线x−y=0与直线x+√3y=0的倾斜角分别为45∘以及150∘；∴圆在平面区域内的弧长为：π6×2+π4×2=5π6．设与直线3x+y+2=0平行的直线方程为：3x+y+c=0当直线3x+y+c=0与圆相切时，切点到已知直线的距离最远；因为：d=√32+12=2⇒c=−2√10，（c=2√10舍）即切线方程为：3x+y−2√10=0此时两平行线间的距离为：√10)|√32+12=2+√105．即该弧上的点到直线3x+y+2=0的距离的最大值等于2+√105．故答案为：5π6，2+√105．【答案】①②④【考点】函数恒成立问题【解析】根据函数的单调性分别求出各个函数的最值，如①②④三个函数有最大值故存在这样的M对一切实数x均成立，③这个函数没有最值，不满足条件．【解答】解：①|f(x)|=|−5x|=5|x|，存在这样的M=5，对一切实数x均成立，故①是有界泛函；②|f(x)|=|sin2x|≤1，不妨取M=2，则|f(x)|≤2对定义域内的一切实数x都成立，故②是有界泛函；③|f(x)|=|(12)x||≤M|x|，不存在这样的M，对一切实数x均成立，故③不是有界泛函；④|f(x)|=|x cos x|≤M|x|，即|cos x|≤M，当M≥1时，f(x)=x cos x是有界泛函．故答案为：①②④三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）【答案】解：（1）由已知得：12(2cos2A−1)=cos2A−cos A，…∴cos A=12．…∵0<A<π，∴A=π3．…（2）由bsin B =csin C可得：sin Bsin C=bc=2…∴b=2c…∵cos A=b2+c2−a22bc =4c2+c2−94c2=12…∴c=√3，b=2√3…∴S=12bc sin A=12×2√3×√3×√32=3√32．…【考点】解三角形正弦定理余弦定理【解析】（1）利用条件，结合二倍角公式，即可求得角A的大小；（2）利用正弦定理，求得b=2c，再利用余弦定理，即可求得三角形的边，从而可求三角形的面积．【解答】解：（1）由已知得：12(2cos2A−1)=cos2A−cos A，…∴cos A=12．…∵0<A<π，∴A=π3．…（2）由bsin B =csin C可得：sin Bsin C=bc=2…∴b=2c…∵cos A=b2+c2−a22bc =4c2+c2−94c2=12…∴c=√3，b=2√3…∴S=12bc sin A=12×2√3×√3×√32=3√32．…【答案】（1）解：由已知，∵数列{a n}是等差数列，a3=10，a6=22，∴{a1+2d=10a1+5d=22.，解得a1=2，d=4．∴a n=2+(n−1)×4=4n−2．…（2）证明：由于S n=1−13b n，①令n=1，得b1=1−13b1，解得b1=34，当n≥2时，S n−1=1−13b n−1②①-②得b n=13b n−1−13b n，∴b n=14b n−1又b1=34≠0，∴b nb n−1=14．∴数列{b n}是以34为首项，14为公比的等比数列．…【考点】数列递推式等差数列的通项公式等比关系的确定【解析】（1）利用等差数列的通项公式，结合a3=10，a6=22，建立方程组，求得首项与公差，从而可得数列{a n}的通项公式；（2）S n=1−13b n，当n≥2时，S n−1=1−13b n−1，两式相减，即可证得数列{b n}是以34为首项，14为公比的等比数列．【解答】（1）解：由已知，∵数列{a n}是等差数列，a3=10，a6=22，∴{a1+2d=10a1+5d=22.，解得a1=2，d=4．∴a n=2+(n−1)×4=4n−2．…（2）证明：由于S n=1−13b n，①令n=1，得b1=1−13b1，解得b1=34，当n≥2时，S n−1=1−13b n−1②①-②得b n=13b n−1−13b n，∴b n=14b n−1又b1=34≠0，∴b nb n−1=14．∴数列{b n}是以34为首项，14为公比的等比数列．…【答案】证明：（1）连接AC，BD，AM，MC，MO，MN，且AC∩BD=O∵点O，M分别是PD，BD的中点∴MO // PB，∵PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM∴PB // 平面ACM．…（2）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD∴PA⊥BD∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD又∵PA∩AC=A∴BD⊥平面PAC…在△PBD中，点M，N分别是PD，PB的中点，∴MN // BD ∴MN⊥平面PAC．…（3）∵V A−MBC=V M−ABC=13⋅S△ABC⋅ℎ，ℎ=12PA…∴V A−MBC=13⋅12⋅AB⋅AD⋅12⋅PA=23．…【考点】直线与平面垂直的判定柱体、锥体、台体的体积计算直线与平面平行的判定【解析】（1）证明PB // 平面ACM，利用线面平行的判定定理，只需证明线线平行，利用三角形的中位线可得MO // PB；（2）证明MN⊥平面PAC，由于MN // BD，只要证明BD⊥平面PAC，利用线面垂直的判定定理，即可证得；（3）利用等体积，即V A−MBC=V M−ABC=13⋅S△ABC⋅ℎ，从而可得结论．【解答】证明：（1）连接AC，BD，AM，MC，MO，MN，且AC∩BD=O∵点O，M分别是PD，BD的中点∴MO // PB，∵PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM ∴PB // 平面ACM．…（2）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD∴PA⊥BD∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD又∵PA∩AC=A∴BD⊥平面PAC…在△PBD中，点M，N分别是PD，PB的中点，∴MN // BD∴MN⊥平面PAC．…（3）∵V A−MBC=V M−ABC=13⋅S△ABC⋅ℎ，ℎ=12PA…∴V A−MBC=13⋅12⋅AB⋅AD⋅12⋅PA=23．…【答案】解：（1）a=0时，f′(x)=x−1x2…..当0<x<1时f′(x)<0，当x>1时f′(x)>0，…..∴f(x)min=f(1)=1…．（2）f′(x)=1x−1x2+a=ax2+x−1x2当a≥0时，ax2+x−1在[2, +∞)上恒大于零，即f′(x)>0，符合要求；…当a<0时，令g(x)=ax2+x−1，g (x)在[2, +∞)上只能恒小于零故△=1+4a≤0或{1+4a>0g(2)≤0−12a≤2，解得：a≤−14∴a的取值范围是(−∞,−14]∪[0,+∞)…【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用【解析】（1）利用导数，确定函数的单调性，从而确定函数f(x)的最小值；（2）先求导函数，再分别考虑导数大于0与小于0，分类讨论即可．当a ≥0时，ax 2+x −1在[2, +∞)上恒大于零，即f ′(x)>0，符合要求；当a <0时，令g(x)=ax 2+x −1，g (x)在[2, +∞)上只能恒小于零 【解答】解：（1）a =0时，f′(x)=x−1x 2…..当0<x <1时f ′(x)<0， 当x >1时f ′(x)>0，….. ∴ f(x)min =f(1)=1…． （2）f′(x)=1x −1x 2+a =ax 2+x−1x 2当a ≥0时，ax 2+x −1在[2, +∞)上恒大于零，即f ′(x)>0，符合要求；…当a <0时，令g(x)=ax 2+x −1，g (x)在[2, +∞)上只能恒小于零故△=1+4a ≤0或{1+4a >0g(2)≤0−12a ≤2，解得：a ≤−14∴ a 的取值范围是(−∞,−14]∪[0,+∞)… 【答案】解：（1）由题意，∵ 左焦点为(−√3，0)，离心率为√32， ∴ c =√3，e =c a =√32， ∴ a =2，于是b 2=1，由于焦点在x 轴上，故椭圆C 的方程为x 24+y 2=1…（2）设直线l 的方程为：y =kx +m(k <0)，A(−mk ，0)，B(0,m) {y =kx +m x 24+y 2=1消去y 得：(14+k 2)x 2+2kmx +m 2−1=0…∵ 直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，∴ △=4k 2m 2−(1+4k 2)(m 2−1)=0 即m 2=4k 2+1①… ∵ OM →=OA →+OB →∴ |OM →|=√m 2k 2+m 2②…将①式代入②得：|OM →|=√1k 2+4k 2+5≥√2√1k 2⋅4k 2+5=3 当且仅当k =−√22时，等号成立，故|OM →|min=3，此时直线方程为：√2x +2y −2√3=0．… 【考点】直线与椭圆结合的最值问题 椭圆的标准方程【解析】（1）根据椭圆的左焦点为(−√3，0)，离心率为√32，建立方程，求得几何量，即可确定椭圆的方程； （2）设直线l 的方程，代入椭圆方程，利用直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，确定m ，k 之间的关系，利用OM →=OA →+OB →，可得|OM →|=√m 2k 2+m 2，再借助于基本不等式，即可求得最小值及直线的方程．【解答】解：（1）由题意，∵ 左焦点为(−√3，0)，离心率为√32， ∴ c =√3，e =c a=√32， ∴ a =2，于是b 2=1，由于焦点在x 轴上，故椭圆C 的方程为x 24+y 2=1…（2）设直线l 的方程为：y =kx +m(k <0)，A(−mk ，0)，B(0,m) {y =kx +m x 24+y 2=1消去y 得：(14+k 2)x 2+2kmx +m 2−1=0…∵ 直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，∴ △=4k 2m 2−(1+4k 2)(m 2−1)=0 即m 2=4k 2+1①… ∵ OM →=OA →+OB →∴ |OM →|=√m 2k 2+m 2②…将①式代入②得：|OM →|=√1k+4k 2+5≥√2√1k ⋅4k 2+5=3当且仅当k =−√22时，等号成立，故|OM →|min=3，此时直线方程为：√2x +2y −2√3=0．…【答案】 解：（1）由题意可知，f 1(s)>0，f 1(t)>0，f 2(s)>0，f 2(t)>0， 若log 2(s +1)+log 2(t +1)<log 2(s +t +1)成立 则(s +1)(t +1)<s +t +1即st <0与已知任意s ，t >0即st >0相矛盾，故f 1(x)∉M ； … 若2s +2t −2<2s+t −1成立 则2s +2t −2s+t −1<0 即(2s −1)(1−2t )<0 ∵ s ，t >0∴ 2s >1，1−2t <0即(2s −1)(1−2t )<0成立 … 故f 2(x)∈M ．综上，f 1(x)∉M ，f 2(x)∈M ．…（2）证明：当m >0时，f(x +m)>f(x)+f(m)>f(x) ∴ f(x +m)−f(x)>0，当m <0时，f(x)=f(x +m −m)>f(x +m)+f(−m)>f(x +m) ∴ f(x +m)−f(x)<0故m[f(x+m)−f(x)]>0．…（3）据（2）f(x)在(0．+∞)上为增函数，且必有f(2x)>2f(x)(∗)①若f(1)<s，令t=1，则0<x≤t时f(x)<s；②若f(1)>s，则存在k∈N∗，使f(1)<2k=1t，由(∗)式可得f(12k )<12f(12k−1)<...<12kf(1)<1<s，即当0<x≤t时，f(x)<s综①、②命题得证．…【考点】分析法的思考过程、特点及应用函数恒成立问题【解析】（1）依题意，若log2(s+1)+log2(t+1)<log2(s+t+1)成立则(s+1)(t+1)<s+t+1即st<0导出矛盾；若2s+2t−2<2s+t−1成立⇔(2s−1)(1−2t)<0成立，进一步分析f2(x)∈M（2）证明：当m>0时，可证得f(x+m)−f(x)>0，当m<0时，可证f(x+m)−f(x)<0，从而结论成立；（3）据（2）f(x)在(0．+∞)上为增函数，且必有f(2x)>2f(x)(∗)①若f(1)<s，令t=1，则0<x≤t 时f(x)<s；②若f(1)>s，则存在k∈N∗，使f(1)<2k=1t，从而可得可得f(12k )<12f(12k−1)<...<12kf(1)<1<s，于是结论可证．【解答】解：（1）由题意可知，f1(s)>0，f1(t)>0，f2(s)>0，f2(t)>0，若log2(s+1)+log2(t+1)<log2(s+t+1)成立则(s+1)(t+1)<s+t+1即st<0与已知任意s，t>0即st>0相矛盾，故f1(x)∉M；…若2s+2t−2<2s+t−1成立则2s+2t−2s+t−1<0即(2s−1)(1−2t)<0∵s，t>0∴2s>1，1−2t<0即(2s−1)(1−2t)<0成立…故f2(x)∈M．综上，f1(x)∉M，f2(x)∈M．…（2）证明：当m>0时，f(x+m)>f(x)+f(m)>f(x)∴f(x+m)−f(x)>0，当m<0时，f(x)=f(x+m−m)>f(x+m)+f(−m)>f(x+m)∴f(x+m)−f(x)<0故m[f(x+m)−f(x)]>0．…（3）据（2）f(x)在(0．+∞)上为增函数，且必有f(2x)>2f(x)(∗)①若f(1)<s，令t=1，则0<x≤t时f(x)<s；②若f(1)>s，则存在k∈N∗，使f(1)<2k=1t，由(∗)式可得f(12k )<12f(12k−1)<...<12kf(1)<1<s，即当0<x≤t时，f(x)<s综①、②命题得证．…。