数学黄金答题模板

导数的简单运算

一、基本导数公式

①x x cos 'sin =）（；x x sin )'(cos -= ②）＞（01

)'(ln x x x =，）

，且＞，＞（）（100ln 1

'log ≠=

a a x a

x x α ③x

x

e e ='）（，），且＞（）（10ln '≠=a a a a a x

x

二、导数的四则运算法则

①）

（）（）（）（）（）（）（x f x f x f x f x f x f v u v u n n ''']'['''2121+⋯⋯++=+⋯⋯++⇒+=± ②为常数）（）（）（c cv cv v c cv u v vu uv '''''''=+=⇒+=

③）

（）（0'''2

≠-=v v u

v vu v u

解三角函数的步骤

步骤一、化简

1.处理像x 2

cos 或）

（6

sin 2

π

-

x 这样的部分 (倍半，降升幂） 2.处理）（），（x x --ππ

sin 2

sin

这种形式的东西 （诱导公式）

3.特殊角意识

4.和差公式

步骤二、答题

空间位置关系的证明方法

（1）线面平行：α∥αα∥a a b b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂，α∥ββ∥αa a ⇒⎭⎬

⎫⊂，α∥αββαa a a ⇒⎪⎭

⎪

⎬⎫

⊄⊥⊥.

（2）线线平行：b a b a a ∥βαβα∥⇒⎪⎭⎪

⎬⎫

=⊂ ，b a b a ∥αα⇒⎭⎬⎫⊥⊥，

b a b a ∥γβγαβ

∥α⇒⎪⎭

⎪

⎬⎫

== ，b c c a b a ∥∥∥⇒⎭

⎬⎫.

（3）面面平行：β∥αβ∥β，∥αα，⇒⎪⎭

⎪

⎬⎫

=⊂⊂b a O b a b a ，β∥α

βα⇒⎭⎬⎫⊥⊥a a ， γ∥α

β∥γβ∥α⇒⎭

⎬⎫

.

（4）线线垂直：

b a b a ⊥⇒⎭

⎬⎫

⊂⊥αα.

（5）线面垂直：ααα，⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊥=⊂⊂l b l a l O b a b a , ，βα，βαβα⊥⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

⊥⊂=⊥a l a a l ，

βαβ∥α⊥⇒⎭⎬⎫

⊥a a ，αα∥⊥⇒⎭

⎬⎫⊥b a b a .

（6）面面垂直：

βααβ⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊂a a ，βααβ∥⊥⇒⎭

⎬⎫

⊥a a .

圆锥曲线的求解方法

一、轨迹方程的求解

第一步：建系设点，依据题意建立适当的坐标系，设出动点坐标，例如M （x,y ）

第二步：明确点M 的变化因素，利用距离、斜率、中点等题目中的要求列出等量关系，注意联系所学过的曲线定义。

第三步，列出与M 坐标（x,y ）相关的等量关系后，得到关于x,y 的方程，化简方程为最简形势。

第四部，检验特殊点是否均满足所求轨迹方程

二、求参数的范围问题

第一步，联立方程，联立直线方程和圆锥曲线方程，消y 后得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理或弦长公式写出结论备用。

第二步，找不等关系：从题设条件中提取不等关系式；

第三步，列出所要求的参数相关的不等式，解不等式。

第四步，根据不等式的解集，并结合圆锥曲线中几何量的范围得到所求参数的取值范围。 第五步，回顾检查，注意目标变量的范围所受题中其他因素的制约。

概率与统计的答题步骤

一、求古典概型问题的步骤

（1）判断本次试验的结果是否可能是等可能的，设出所求的时间A;

（2）分别计算总的基本事件的个数n 和所求的时间A 所包含的基本事件的个数m ； （3）利用古典概型的概率公式n

m

A P ）（，求出事件A 的概率。

二、求排列组合问题常用的解题方法

（1）元素相邻的排列问题——“捆绑法”； （2）元素相间的排列问题——“插空法”；

（3）元素有顺序限制的排列问题——“除序法”，即先把这几个有顺序限制的元素及其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数鼠疫这几个元素的全排列数。

（4）带有“含”“不含”“至多”“至少”的组合（排列问题）——间接法，即先不考虑限制条件求出组合（排列）数，再排除不符合要求的组合（排列）数。

正文

模板1 三角函数的性质问题

例1 已知函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12，g (x )＝1＋1

2

sin 2x . (1)设x ＝x 0是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，求g (x 0)的值； (2)求函数h (x )＝f (x )＋g (x )的单调递增区间．

审题破题 (1)由x ＝x 0是y ＝f (x )的对称轴可得g (x 0)取到f (x )的最值；(2)将h (x )化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式．

解 (1)f (x )＝12⎣

⎡⎦⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 因为x ＝x 0是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴， 所以2x 0＋π

6＝k π (k ∈Z )，

即2x 0＝k π－π

6

(k ∈Z )．

所以g (x 0)＝1＋12sin 2x 0＝1＋1

2sin ⎝⎛⎭⎫k π－π6，k ∈Z . 当k 为偶数时，g (x 0)＝1＋12sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝1－14＝34. 当k 为奇数时，g (x 0)＝1＋12sin π6＝1＋14＝5

4.

(2)h (x )＝f (x )＋g (x )

＝12[1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6]＋1＋1

2sin 2x

＝12⎝⎛⎭⎫32cos 2x ＋1

2sin 2x ＋32

＝1

2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32. 当2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π

2 (k ∈Z )，

即k π－5π12≤x ≤k π＋π

12

(k ∈Z )时，

函数h (x )＝1

2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32是增函数． 故函数h (x )的单调递增区间为

⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12 (k ∈Z )．

第一步：三角函数式的化简，一般化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h 的形式，即化为“一角、 一次、一函数”的形式；

第二步：由y ＝sin x 、y ＝cos x 的性质，将ωx ＋φ看做一个整体，解不等式，求角的