数学黄金答题模板

导数的简单运算一、基本导数公式①x x cos 'sin =）（；x x sin )'(cos -= ②）＞（01)'(ln x x x =，），且＞，＞（）（100ln 1'log ≠=a a x ax x α ③xxe e ='）（，），且＞（）（10ln '≠=a a a a a xx二、导数的四则运算法则①）（）（）（）（）（）（）（x f x f x f x f x f x f v u v u n n ''']'['''2121+⋯⋯++=+⋯⋯++⇒+=± ②为常数）（）（）（c cv cv v c cv u v vu uv '''''''=+=⇒+=③）（）（0'''2≠-=v v uv vu v u解三角函数的步骤步骤一、化简1.处理像x 2cos 或）（6sin 2π-x 这样的部分 (倍半，降升幂） 2.处理）（），（x x --ππsin 2sin这种形式的东西 （诱导公式）3.特殊角意识4.和差公式步骤二、答题空间位置关系的证明方法（1）线面平行：α∥αα∥a a b b a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂，α∥ββ∥αa a ⇒⎭⎬⎫⊂，α∥αββαa a a ⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊥⊥.（2）线线平行：b a b a a ∥βαβα∥⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂ ，b a b a ∥αα⇒⎭⎬⎫⊥⊥，b a b a ∥γβγαβ∥α⇒⎪⎭⎪⎬⎫== ，b c c a b a ∥∥∥⇒⎭⎬⎫.（3）面面平行：β∥αβ∥β，∥αα，⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⊂⊂b a O b a b a ，β∥αβα⇒⎭⎬⎫⊥⊥a a ， γ∥αβ∥γβ∥α⇒⎭⎬⎫.（4）线线垂直：b a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα.（5）线面垂直：ααα，⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊥=⊂⊂l b l a l O b a b a , ，βα，βαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊂=⊥a l a a l ，βαβ∥α⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a ，αα∥⊥⇒⎭⎬⎫⊥b a b a .（6）面面垂直：βααβ⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊂a a ，βααβ∥⊥⇒⎭⎬⎫⊥a a .圆锥曲线的求解方法一、轨迹方程的求解第一步：建系设点，依据题意建立适当的坐标系，设出动点坐标，例如M （x,y ）第二步：明确点M 的变化因素，利用距离、斜率、中点等题目中的要求列出等量关系，注意联系所学过的曲线定义。

第三步，列出与M 坐标（x,y ）相关的等量关系后，得到关于x,y 的方程，化简方程为最简形势。

第四部，检验特殊点是否均满足所求轨迹方程二、求参数的范围问题第一步，联立方程，联立直线方程和圆锥曲线方程，消y 后得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理或弦长公式写出结论备用。

第二步，找不等关系：从题设条件中提取不等关系式；第三步，列出所要求的参数相关的不等式，解不等式。

第四步，根据不等式的解集，并结合圆锥曲线中几何量的范围得到所求参数的取值范围。

第五步，回顾检查，注意目标变量的范围所受题中其他因素的制约。

概率与统计的答题步骤一、求古典概型问题的步骤（1）判断本次试验的结果是否可能是等可能的，设出所求的时间A;（2）分别计算总的基本事件的个数n 和所求的时间A 所包含的基本事件的个数m ； （3）利用古典概型的概率公式nmA P ）（，求出事件A 的概率。

二、求排列组合问题常用的解题方法（1）元素相邻的排列问题——“捆绑法”； （2）元素相间的排列问题——“插空法”；（3）元素有顺序限制的排列问题——“除序法”，即先把这几个有顺序限制的元素及其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数鼠疫这几个元素的全排列数。

（4）带有“含”“不含”“至多”“至少”的组合（排列问题）——间接法，即先不考虑限制条件求出组合（排列）数，再排除不符合要求的组合（排列）数。

正文模板1 三角函数的性质问题例1 已知函数f (x )＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12，g (x )＝1＋12sin 2x . (1)设x ＝x 0是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，求g (x 0)的值； (2)求函数h (x )＝f (x )＋g (x )的单调递增区间．审题破题 (1)由x ＝x 0是y ＝f (x )的对称轴可得g (x 0)取到f (x )的最值；(2)将h (x )化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式．解 (1)f (x )＝12⎣⎡⎦⎤1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 因为x ＝x 0是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴， 所以2x 0＋π6＝k π (k ∈Z )，即2x 0＝k π－π6(k ∈Z )．所以g (x 0)＝1＋12sin 2x 0＝1＋12sin ⎝⎛⎭⎫k π－π6，k ∈Z . 当k 为偶数时，g (x 0)＝1＋12sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝1－14＝34. 当k 为奇数时，g (x 0)＝1＋12sin π6＝1＋14＝54.(2)h (x )＝f (x )＋g (x )＝12[1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6]＋1＋12sin 2x＝12⎝⎛⎭⎫32cos 2x ＋12sin 2x ＋32＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32. 当2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2 (k ∈Z )，即k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )时，函数h (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋32是增函数． 故函数h (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12 (k ∈Z )．第一步：三角函数式的化简，一般化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h 的形式，即化为“一角、 一次、一函数”的形式；第二步：由y ＝sin x 、y ＝cos x 的性质，将ωx ＋φ看做一个整体，解不等式，求角的范围或函数值的范围；第三步：得到函数的单调性或者角、函数值的范围，规范写出结果； 第四步：反思回顾，检查公式使用是否有误，结果估算是否有误．跟踪训练1 已知函数f (x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＋1. (1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )的最大值及最小值；(3)写出函数f (x )的单调递增区间．解 f (x )＝2cos x ⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x －3sin 2x ＋sin x ·cos x ＋1＝2sin x cos x ＋3(cos 2x －sin 2x )＋1 ＝sin 2x ＋3cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1. (1)函数f (x )的最小正周期为2π2＝π. (2)∵－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1， ∴－1≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1≤3. ∴当2x ＋π3＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝π12＋k π，k ∈Z 时，f (x )取得最大值3；当2x ＋π3＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝－5π12＋k π，k ∈Z 时，f (x )取得最小值－1.(3)由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z .∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π (k ∈Z )． 模板2 三角函数与向量、三角形例2 在锐角△ABC 中，已知内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3(tan A －tan B )＝1＋tan A ·tan B ，又已知向量m ＝(sin A ，cos A )，n ＝(cos B ，sin B )，求|3m －2n |的取值范围．审题破题 由已知A ，B 关系式化简，利用向量的数量积求出|3m －2n |并化简为一个角的三角函数形式．解 因为3(tan A －tan B )＝1＋tan A ·tan B ， 所以tan A －tan B1＋tan A ·tan B ＝33，即tan(A －B )＝33，又△ABC 为锐角三角形，则0<A <π2，0<B <π2，所以－π2<A －B <π2，所以A －B ＝π6.又|3m －2n |2＝9m 2＋4n 2－12m·n ＝13－12sin(A ＋B )＝13－12sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6. 又0<C ＝π－(A ＋B )<π2，0<A ＝π6＋B <π2，所以π6<B <π3，所以π2<2B ＋π6<5π6.所以sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6∈⎝⎛⎭⎫12，1，所以|3m －2n |2∈(1,7)． 故|3m －2n |的取值范围是(1，7)．第一步：进行三角变换，求出某个角的值或者范围；第二步：脱去向量的外衣，利用向量的运算将所求的式子转化为一个角的三角函数 问题；第三步：得到函数的单调性或者角、函数值的范围，规范写出结果； 第四步：反思回顾，检查公式使用是否有误，结果估算是否有误．跟踪训练2 已知a ＝(2cos x ＋23sin x,1)，b ＝(y ，cos x )，且a ∥b .(1)将y 表示成x 的函数f (x )，并求f (x )的最小正周期；(2)记f (x )的最大值为M ，a 、b 、c 分别为△ABC 的三个内角A 、B 、C 对应的边长，若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝M ，且a ＝2，求bc 的最大值．解 (1)由a ∥b 得2cos 2x ＋23sin x cos x －y ＝0， 即y ＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1， 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1， 又T ＝2πω＝2π2＝π.所以函数f (x )的最小正周期为π.(2)由(1)易得M ＝3，于是由f ⎝⎛⎭⎫A 2＝M ＝3，得2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＋1＝3⇒sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π6＝1， 因为A 为三角形的内角，故A ＝π3.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得4＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc ，解得bc ≤4. 于是当且仅当b ＝c ＝2时，bc 取得最大值4. 模板3 空间平行或垂直关系的证明例3 如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，E 、F 分别为PC、BD的中点，侧面P AD⊥底面ABCD，且P A＝PD＝22AD.(1)求证：EF∥平面P AD；(2)求证：平面P AB⊥平面PCD.审题破题(1)根据中位线找线线平行关系，再利用线面平行的判定定理．(2)先利用线面垂直的判定定理，再利用性质定理．证明(1)连接AC，则F是AC的中点，又∵E为PC的中点，∴在△CP A中，EF∥P A，又∵P A⊂平面P AD，EF⊄平面P AD，∴EF∥平面P AD.(2)∵平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，又∵CD⊥AD，∴CD⊥平面P AD，∴CD⊥P A.又P A＝PD＝22AD，∴△P AD是等腰直角三角形，且∠APD＝90°，即P A⊥PD.又∵CD∩PD＝D，∴P A⊥平面PCD，又∵P A⊂平面P AB，∴平面P AB⊥平面PCD.第一步：将题目条件和图形结合起来；第二步：根据条件寻找图形中的平行、垂直关系；第三步：和要证结论相结合，寻找已知的垂直、平行关系和要证关系的联系； 第四步：严格按照定理条件书写解题步骤.跟踪训练3 (2013·山东)如图，四棱锥P －ABCD 中，AB ⊥AC ，AB ⊥P A ，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F ，G ，M ，N 分别为PB ，AB ，BC ，PD ，PC 的中点．(1)求证：CE ∥平面P AD ； (2)求证：平面EFG ⊥平面EMN .证明 (1)方法一 取P A 的中点H ，连接EH ，DH . 又E 为PB 的中点，所以EH 綊12AB .又CD 綊12AB ，所以EH 綊CD .所以四边形DCEH 是平行四边形，所以CE ∥DH . 又DH ⊂平面P AD ，CE ⊄平面P AD . 所以CE ∥平面P AD . 方法二 连接CF .因为F 为AB 的中点，所以AF ＝12AB .又CD ＝12AB ，所以AF ＝CD .又AF ∥CD ，所以四边形AFCD 为平行四边形． 因此CF ∥AD ，又CF ⊄平面P AD ， 所以CF ∥平面P AD .因为E ，F 分别为PB ，AB 的中点，所以EF ∥P A . 又EF ⊄平面P AD ，所以EF ∥平面P AD . 因为CF ∩EF ＝F ，故平面CEF ∥平面P AD . 又CE ⊂平面CEF ，所以CE ∥平面P AD .(2)因为E 、F 分别为PB 、AB 的中点，所以EF ∥P A . 又因为AB ⊥P A ，所以EF ⊥AB ，同理可证AB ⊥FG .又因为EF ∩FG ＝F ，EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG . 所以AB ⊥平面EFG .又因为M ，N 分别为PD ，PC 的中点，所以MN ∥CD ， 又AB ∥CD ，所以MN ∥AB ，所以MN ⊥平面EFG . 又因为MN ⊂平面EMN ，所以平面EFG ⊥平面EMN . 模板4 数列通项公式的求解问题例4 设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1，a 2＋5，a 3成等差数列． (1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．审题破题 (1)可令n ＝1，n ＝2得关系式联立求a 1；(2)由已知可得n ≥2时，2S n －1＝a n －2n ＋1，两式相减．解 (1)当n ＝1时，2a 1＝a 2－4＋1＝a 2－3， ① 当n ＝2时，2(a 1＋a 2)＝a 3－8＋1＝a 3－7，② 又a 1，a 2＋5，a 3成等差数列，所以a 1＋a 3＝2(a 2＋5)，③由①②③解得a 1＝1. (2)∵2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，∴当n ≥2时，有2S n －1＝a n －2n ＋1， 两式相减得a n ＋1－3a n ＝2n ，则a n ＋12n －32·a n 2n －1＝1，即a n ＋12n ＋2＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫a n 2n －1＋2.又a 120＋2＝3，知⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n －1＋2是首项为3，公比为32的等比数列， ∴a n 2n －1＋2＝3⎝⎛⎭⎫32n －1，即a n ＝3n －2n，n ＝1时也适合此式， ∴a n ＝3n －2n .第一步：令n ＝1，n ＝2得出a 1，a 2，a 3的两个方程，和已知a 1，a 2，a 3的关系 联立求a 1；第二步：令n ≥2得关系式后利用作差得a n ＋1，a n 的关系；第三步：构造等比数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n ＋1＋2，并求出通项； 第四步：求出数列{a n }的通项．跟踪训练4 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n ＋(－1)n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的前三项a 1，a 2，a 3；(2)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋23(－1)n 为等比数列，并求出{a n }的通项公式．(1)解 在S n ＝2a n ＋(－1)n ，n ≥1中分别令n ＝1,2,3，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2a 1－1a 1＋a 2＝2a 2＋1a 1＋a 2＋a 3＝2a 3－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＝0，a 3＝2.(2)证明 由S n ＝2a n ＋(－1)n ，n ≥1得： S n －1＝2a n －1＋(－1)n －1，n ≥2.两式相减得a n ＝2a n －1－2(－1)n ，n ≥2.a n ＝2a n －1－43(－1)n －23(－1)n＝2a n －1＋43(－1)n －1－23(－1)n ，∴a n ＋23(－1)n ＝2⎣⎡⎦⎤a n －1＋23(－1)n －1(n ≥2)． 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋23(－1)n 是以a 1－23＝13为首项，公比为2的等比数列．所以a n ＋23(－1)n ＝13×2n －1，∴a n ＝13×2n －1－23×(－1)n .模板5 数列求和问题例5 (2012·江西)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn (其中k ∈N ＋)，且S n 的最大值为8.(1)确定常数k ，并求a n ；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9－2a n 2n 的前n 项和T n .审题破题 (1)由S n 的最大值，可据二次函数性质求k ，因而确定a n ；(2)利用错位相减法求和．解 (1)当n ＝k ∈N ＋时，S n ＝－12n 2＋kn 取最大值，即8＝S k ＝－12k 2＋k 2＝12k 2，故k 2＝16，因此k ＝4，从而a n ＝S n －S n －1＝92－n (n ≥2)．又a 1＝S 1＝72，所以a n ＝92－n .(2)因为b n ＝9－2a n 2n ＝n2n －1，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n2n －1，所以T n＝2T n－T n＝2＋1＋12＋…＋12n－2－n2n－1＝4－12n－2－n2n－1＝4－n＋22n－1.第一步：利用条件求数列{b n}的通项公式；第二步：写出T n＝b1＋b2＋…＋b n的表达式；第三步：分析表达式的结构特征、确定求和方法.(例如：公式法、裂项法，本题用错位相减法)；第四步：明确规范表述结论；第五步：反思回顾.查看关键点，易错点及解题规范.如本题中在求a n时，易忽视对n＝1，n≥2时的讨论.跟踪训练5已知点⎝⎛⎭⎫1，13是函数f(x)＝ax (a>0，且a≠1)的图象上的一点．等比数列{a n}的前n项和为f(n)－c.数列{b n} (b n>0)的首项为c，且前n项和S n满足S n－S n－1＝S n＋S n－1 (n≥2)．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n＋1的前n项和为T n，问满足T n>1 0012 012的最小正整数n是多少？解(1)∵f(1)＝a＝13，∴f(x)＝⎝⎛⎭⎫13x.由题意知，a1＝f(1)－c＝13－c，a2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－29，a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－227.又数列{a n}是等比数列，∴a1＝a22a3＝481－227＝－23＝13－c，∴c＝1.又公比q＝a2a1＝13，∴a n＝－23·⎝⎛⎭⎫13n－1＝－2·⎝⎛⎭⎫13n (n∈N*)．∵S n－S n－1＝(S n－S n－1)(S n＋S n－1)＝S n＋S n－1(n≥2)．又b n>0，S n>0，∴S n－S n－1＝1.∴数列{S n}构成一个首项为1、公差为1的等差数列，S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，即S n ＝n 2.当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1， 当n ＝1时，b 1＝1也适合此通项公式． ∴b n ＝2n －1 (n ∈N *)．(2)T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)×(2n ＋1)＝12×⎝⎛⎭⎫1－13＋12×⎝⎛⎭⎫13－15＋12×⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 由T n ＝n 2n ＋1>1 0012 012，得n >1 00110，∴满足T n >1 0012 012的最小正整数n 的值为101.模板6 概率与统计问题例6 某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y (单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X (单位：毫米)有关．据统计，当X ＝70时，Y ＝460；X 每增加10，Y 增加5.已知近20年X 的值为：140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200, 140,110,160,220,140,160. (1)完成下列频率分布表： 近20降雨量 70 110 140 160 200 220 频率120420220(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率． 审题破题 (1)直接根据已知数据计算频率填表；(2)将频率视为概率，将所求事件写成几个互斥事件的和，然后根据概率加法公式计算．解 (1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，160毫米的有7个，200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为降雨量 70 110 140 160 200 220 频率120320420720320220(2)由题意知，当X ＝70时，Y ＝460； X 每增加10，Y 增加5， 故Y ＝460＋5×X －7010＝X2＋425.P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”) ＝P(Y<490或Y>530)＝P(X<130或X>210)＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)＝120＋320＋220＝310.故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为310.第一步：理解题目中的数据和变量的意义，完成频率分布表； 第二步：利用互斥事件的概率公式求概率、作答.跟踪训练6 (2013·陕西)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：组别 A B C D E 人数5010015015050(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B 组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表．组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 抽取人数6(2)在(1)中，若A ，B 两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评 委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．解 (1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：组别 A B C D E 人数 50 100 150 150 50 抽取人数36993(2)记从A 组抽到的3个评委为a 1，a 2，a 3，其中a 1，a 2支持1号歌手；从B 组抽到的6个评委为b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6，其中b 1，b 2支持1号歌手．从{a 1，a 2，a 3}和{b 1，b 2，b 3，b 4，b 5，b 6}中各抽取1人的所有结果为：由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a 1b 1，a 1b 2，a 2b 1，a 2b 2共4种，故所求概率P ＝418＝29.模板7 圆锥曲线的定点问题例7 已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为2－1，离心率为e ＝22.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点(1,0)作直线l 交E 于P 、Q 两点，试问：在x 轴上是否存在一个定点M ，使MP →·MQ→为定值？若存在，求出这个定点M 的坐标；若不存在，请说明理由．审题破题 (1)利用待定系数法求E 的方程；(2)探求定点可以先根据特殊情况找出点，再对一般情况进行证明．解 (1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由已知得解得所以b 2＝a 2－c 2＝1.所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设存在符合条件的点M (m,0)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则MP →＝(x 1－m ，y 1)，MQ →＝(x 2－m ，y 2)，MP →·MQ →＝(x 1－m )(x 2－m )＋y 1y 2＝x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＋y 1y 2.①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由得x 2＋2k 2(x －1)2－2＝0，即(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， 则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1，y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－k 22k 2＋1，所以MP →·MQ →＝2k 2－22k 2＋1－m ·4k 22k 2＋1＋m 2－k 22k 2＋1＝(2m 2－4m ＋1)k 2＋(m 2－2)2k 2＋1.因为对于任意的k 值，MP →·MQ →为定值，所以2m 2－4m ＋1＝2(m 2－2)，得m ＝54.所以M ⎝⎛⎭⎫54，0，此时，MP →·MQ →＝－716. ②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，则x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝1，y 1y 2＝－12，由m ＝54，得MP →·MQ →＝－716.综上，符合条件的点M 存在，且坐标为⎝⎛⎭⎫54，0.第一步：引进参数.从目标对应的关系式出发，引进相关参数.一般地，引进的参数是 直线的夹角、直线的斜率或直线的截距等；第二步：列出关系式.根据题设条件，表达出对应的动态直线或曲线方程； 第三步：探求直线过定点.若是动态的直线方程，将动态的直线方程转化成y －y 0＝ k (x －x 0)的形式，则k ∈R 时直线恒过定点(x 0，y 0)；若是动态的曲线方程，将动态的 曲线方程转化成f (x ，y )＋λg (x ，y )＝0的形式，则λ∈R 时曲线恒过的定点即是f (x ， y )＝0与g (x ，y )＝0的交点； 第四步：下结论；第五步：回顾反思.在解决圆锥曲线问题中的定点、定值问题时，引进参数的目的是 以这个参数为中介，通过证明目标关系式与参数无关，达到解决问题的目的.跟踪训练7 已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过点M (4,0)．(1)若点F 到直线l 的距离为3，求直线l 的斜率；(2)设A ，B 为抛物线上的两点，且直线AB 不与x 轴垂直，若线段AB 的垂直平分线恰过点M ，求证：线段AB 中点的横坐标为定值．(1)解 由已知得直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，由题意知抛物线的焦点坐标为(1,0)，因为点F 到直线l 的距离为3，所以|3k |1＋k 2＝3，解得k ＝±22，所以直线l 的斜率为±22.(2)证明 设线段AB 中点的坐标为N (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为直线AB 不与x 轴垂直，所以AB 斜率存在，所以直线MN 的斜率为y 0x 0－4，直线AB 的斜率为4－x 0y 0，直线AB 的方程为y －y 0＝4－x 0y 0(x －x 0)，联立方程得消去x ，得⎝⎛⎭⎫1－x 04y 2－y 0y ＋y 20＋x 0(x 0－4)＝0， 所以y 1＋y 2＝4y 04－x 0，因为N 为线段AB 的中点，所以y 1＋y 22＝y 0，即2y 04－x 0＝y 0，所以x 0＝2.即线段AB 中点的横坐标为定值2.模板8 圆锥曲线中的范围、最值问题例8 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >1，b >0)的焦距为2c ，直线l 过点(a,0)和(0，b )，且点(1,0)到直线l 的距离与点(－1,0)到直线l 的距离之和s ≥45c ，求双曲线的离心率e 的取值范围．审题破题 用a ，b 表示s 可得关于a ，b ，c 的不等式，进而转化成关于e 的不等式，求e 的范围．解 设直线l 的方程为x a ＋yb＝1，即bx ＋ay －ab ＝0.由点到直线的距离公式，且a >1，得到点(1,0)到直线l 的距离d 1＝b (a －1)a 2＋b 2，同理可得点(－1,0)到直线l 的距离为d 2＝b (a ＋1)a 2＋b 2，于是s ＝d 1＋d 2＝2aba 2＋b 2＝2ab c. 由s ≥45c ，得2ab c ≥45c ，即5ac 2－a 2≥2c 2，可得5e 2－1≥2e 2，即4e 4－25e 2＋25≤0， 解得54≤e 2≤5.由于e >1，故所求e 的取值范围是⎣⎡⎦⎤52，5.第一步：提取.从题设条件中提取不等关系式；第二步：解不等式.求解含有目标参数的不等式，得到不等式的解集；第三步：下结论.根据不等式的解集，并结合圆锥曲线中几何量的范围，得到所求参 数的取值范围；第四步：回顾反思.根据题设条件给出的不等关系求参数的取值范围，要考虑圆锥曲 线自身的一些几何意义，如离心率的范围，圆锥曲线的定义中的a ，b ，c 的大小关 系等.跟踪训练8 椭圆C 的中心为坐标原点O ，焦点在y 轴上，短轴长为2，离心率为22，直线l 与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A ，B ，且AP →＝3PB →. (1)求椭圆C 的方程； (2)求m 的取值范围．解 (1)设椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，设c >0，c 2＝a 2－b 2，由题意，知2b ＝2，c a ＝22，所以a ＝1，b ＝c ＝22.故椭圆C 的方程为y 2＋x 212＝1，即y 2＋2x 2＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，l 与椭圆C 的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由得(k 2＋2)x 2＋2kmx ＋(m 2－1)＝0，Δ＝(2km )2－4(k 2＋2)(m 2－1)＝4(k 2－2m 2＋2)>0，(*) x 1＋x 2＝－2km k 2＋2，x 1x 2＝m 2－1k 2＋2.因为AP →＝3PB →，所以－x 1＝3x 2，所以所以3(x 1＋x 2)2＋4x 1x 2＝0.所以3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2km k 2＋22＋4·m 2－1k 2＋2＝0.整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0， 即k 2(4m 2－1)＋(2m 2－2)＝0.当m 2＝14时，上式不成立；当m 2≠14时，k 2＝2－2m 24m 2－1，由(*)式，得k 2>2m 2－2， 又k ≠0，所以k 2＝2－2m 24m 2－1>0.解得－1<m <－12或12<m <1.即所求m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫12，1. 模板9 函数的单调性、极值、最值问题 例9 已知函数f (x )＝2ax －a 2＋1x 2＋1(x ∈R )．其中a ∈R .(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)当a ≠0时，求函数f (x )的单调区间与极值．审题破题 (1)直接求f ′(x )，得f ′(2)后写出切线方程；(2)求导函数f ′(x )后要对a 进行讨论，可以列表观察函数f (x )的单调性，极值．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝2x x 2＋1，f (2)＝45，又f ′(x )＝2(x 2＋1)－2x ·2x (x 2＋1)2＝2－2x 2(x 2＋1)2，f ′(2)＝－625.所以，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y －45＝－625(x －2)，即6x ＋25y －32＝0. (2)f ′(x )＝2a (x 2＋1)－2x (2ax －a 2＋1)(x 2＋1)2＝－2(x －a )(ax ＋1)(x 2＋1)2.由于a ≠0，以下分两种情况讨论．①当a ＞0，令f ′(x )＝0，得到x 1＝－1a ，x 2＝a .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，－1a ，(a ，＋∞)内为减函数， 在区间⎝⎛⎭⎫－1a ，a 内为增函数． 函数f (x )在x 1＝－1a处取得极小值f ⎝⎛⎭⎫－1a ， 且f ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－a 2. 函数f (x )在x 2＝a 处取得极大值f (a )，且f (a )＝1. ②当a ＜0时，令f ′(x )＝0，得到x 1＝a ，x 2＝－1a ，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以f (x )在区间(－∞，a )，⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞内为增函数，在区间⎝⎛⎭⎫a ，－1a 内为减函数． 函数f (x )在x 1＝a 处取得极大值f (a )，且f (a )＝1.函数f (x )在x 2＝－1a 处取得极小值f (－1a)，且f ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－a 2.第一步：确定函数的定义域．如本题函数的定义域为R .第二步：求f (x )的导数f ′(x )．第三步：求方程f ′(x )＝0的根．第四步：利用f ′(x )＝0的根和不可导点的x 的值从小到大顺次将定义域分成若干 个小开区间，并列出表格．第五步：由f ′(x )在小开区间内的正、负值判断f (x )在小开区间内的单调性．第六步：明确规范地表述结论．第七步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．如本题中f ′(x )＝0的根为x 1＝－1a ，x 2＝a .要确定x 1，x 2的大小，就必须对a 的正、负进行分类讨论．这就是 本题的关键点和易错点．跟踪训练9 已知函数f (x )＝a ln x ＋2a 2x＋x (a ≠0)． (1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x －2y ＝0垂直，求实数a 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性；(1)解 f (x )的定义域为{x |x >0}．f ′(x )＝a x －2a 2x2＋1 (x >0)． 根据题意，有f ′(1)＝－2，所以2a 2－a －3＝0，解得a ＝－1或a ＝32. (2)解 f ′(x )＝a x －2a 2x 2＋1＝x 2＋ax －2a 2x 2＝(x －a )(x ＋2a )x 2(x >0)． ①当a >0时，因为x >0，由f ′(x )>0得(x －a )(x ＋2a )>0，解得x >a ；由f ′(x )<0得(x －a )(x ＋2a )<0，解得0<x <a .所以函数f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，在(0，a )上单调递减．②当a <0时，因为x >0，由f ′(x )>0得(x －a )(x ＋2a )>0，解得x >－2a ；由f ′(x )<0得(x －a )(x ＋2a )<0，解得0<x <－2a .所以函数f (x )在(0，－2a )上单调递减，在(－2a ，＋∞)上单调递增．模板10 导数与不等式问题例10 设函数f (x )定义在(0，＋∞)上，f (1)＝0，导函数f ′(x )＝1x，g (x )＝f (x )＋f ′(x )． (1)求g (x )的单调区间和最小值；(2)讨论g (x )与g ⎝⎛⎭⎫1x 的大小关系；(3)是否存在x 0>0，使得|g (x )－g (x 0)|<1x对任意x >0成立？若存在，求出x 0的取值范围；若不存在，请说明理由．审题破题 (1)先求出f (x )，再求g (x )，然后讨论g (x )的单调区间，最值；(2)可构造函数h (x )＝g (x )－g ⎝⎛⎭⎫1x ，通过g (x )的单调性比较g (x )，g ⎝⎛⎭⎫1x 的大小；(3)对任意x >0若不存在x 0，只需取一特殊值即可；若存在x 0，一般利用最值解决．解 (1)由题设易知f (x )＝ln x ，g (x )＝ln x ＋1x ，∴g ′(x )＝x －1x 2，令g ′(x )＝0，得x ＝1， 当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，故(0,1)是g (x )的单调减区间，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0.故(1，＋∞)是g (x )的单调增区间，因此，x ＝1是g (x )的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g (1)＝1.(2)g ⎝⎛⎭⎫1x ＝－ln x ＋x ，设h (x )＝g (x )－g ⎝⎛⎭⎫1x ＝2ln x －x ＋1x， 则h ′(x )＝－(x －1)2x 2， 当x ＝1时，h (1)＝0，即g (x )＝g ⎝⎛⎭⎫1x ，当x ∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h ′(x )<0，h ′(1)＝0，因此，h (x )在(0，＋∞)内单调递减，当0<x <1时，h (x )>h (1)＝0，即g (x )>g ⎝⎛⎭⎫1x ，当x >1时，h (x )<h (1)＝0，即g (x )<g ⎝⎛⎭⎫1x .(3)满足条件的x 0不存在．证明如下：假设存在x 0>0，使|g (x )－g (x 0)|<1x对任意x >0成立，即对任意x >0， 有ln x <g (x 0)<ln x ＋2x，(*) 但对上述x 0，取x 1＝e g (x 0)时，有ln x 1＝g (x 0)，这与(*)左边不等式矛盾，因此，不存在x 0>0，使|g (x )－g (x 0)|<1x 对任意x >0成立．第一步：构造函数h (x )＝g (x )－g ⎝⎛⎭⎫1x ；第二步：根据求单调性、极值的步骤探求函数h (x )的单调性；第三步：根据h (x )的单调性比较h (x )和0的大小；第四步：下结论，反思回顾.跟踪训练10 已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ＋ln x .(1)当a ＝b 时，若函数f (x )在定义域上是单调函数，求实数a 的取值范围；(2)设函数f (x )在x ＝12，x ＝1处取得极值，且f (1)＝－1，若对任意的x ∈⎣⎡⎦⎤14，2，f (x )≤m 恒成立，求m 的取值范围．(参考数据：e ≈2.7)解 (1)∵a ＝b 时，f (x )＝ax 2＋ax ＋c ＋ln x ，∴f ′(x )＝2ax ＋a ＋1x ＝2ax 2＋ax ＋1x(x >0)． 当a ＝0时，f ′(x )＝1x>0，此时f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a >0时，∵x >0，∴2ax 2＋ax ＋1>0，∴f ′(x )>0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a <0时，设g (x )＝2ax 2＋ax ＋1，函数g (x )在⎣⎡⎭⎫－14，＋∞上单调递减，且g (0)＝1>0，故在(0，＋∞)上，函数g (x )的符号不确定，即此时f ′(x )的符号不确定，∴函数f (x )在 (0，＋ ∞)上不单调．综上可知，a 的取值范围是[0，＋∞)．(2)∵f (x )在x ＝12，x ＝1处取得极值， ∴f ′(1)＝f ′⎝⎛⎭⎫12＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＋1＝0a ＋b ＋2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－3， 即f ′(x )＝2x 2－3x ＋1x ＝(2x －1)(x －1)x， 且f (x )＝x 2－3x ＋c ＋ln x .又∵f (1)＝－1，∴1－3＋c ＝－1，得c ＝1，∴f (x )＝x 2－3x ＋1＋ln x .∵当x ∈⎣⎡⎭⎫14，12时，f ′(x )>0，∴函数f (x )在⎣⎡⎭⎫14，12上单调递增；∵当x ∈⎝⎛⎭⎫12，1时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在⎝⎛⎭⎫12，1上单调递减；∵当x ∈(1,2]时，f ′(x )>0，∴函数f (x )在(1,2]上单调递增．∴f (x )极大值＝f ⎝⎛⎭⎫12＝14－32＋1＋ln 12＝－14－ln 2， 而f (2)＝－1＋ln 2，f (2)－f ⎝⎛⎭⎫12＝－34＋ln 4 ＝ln 4－ln e ，由于4>e>e ，故f (2)>f ⎝⎛⎭⎫12， ∴f (x )max ＝－1＋ln 2，∴m ≥－1＋ln 2.34 34。