山东省泰安市宁阳一中2017-2018学年高二上学期期中数学试卷 Word版含解析

2017-2018学年山东省泰安市宁阳一中高二（上）期中数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在下列每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．函数f（x）=ln（3﹣x）（x+1）的定义域为（）
A．[﹣1，3] B．（﹣1，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）2．在△ABC中，若a=7，b=3，c=8，则其面积等于（）
A．12 B．C．28 D．
3．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）
A．﹣＞0 B．sinx﹣siny＞0 C．（）x﹣（）y＜0 D．lnx+lny＞0
4．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1•a9=16，则a2•a5•a8的值（）
A．16 B．32 C．48 D．64
5．在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．若x，y满足，则x﹣y的最小值为（）
A．0 B．﹣1 C．﹣3 D．2
7．设锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=2asinA，则A=（）
A．B．C．D．不确定
8．若不等式x2﹣ax+b＜0的解集为（1，2），则不等式＜的解集为（）
A．（，+∞）B．（﹣∞，0）∪（，+∞）C．（，+∞）D．（﹣∞，0）∪（，
+∞）
9．若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（）
A．4 B．9 C．10 D．12
10．如图，四边形ABCD的四个顶点在半径为2的圆O上，若∠BAD=，CD=2，则BC=
（）
A．2 B．4 C．D．
二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.）
11．已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=．
12．不等式＜x﹣1的解集是．
13．某研究所计划利用宇宙飞船进行新产品搭载试验，计划搭载若干件新产品A，B，该研究所要根据产品的研制成本、产品重量、搭载试验费用和预计收益来决定具体安排，通过调
则如何安排这两种产品进行搭载，才能使总预计收益达到最大，求最大预计收益是多少．14．已知正数x，y满足x2+2xy﹣3=0，则2x+y的最小值是．
15．如图，某人在高出海面600米的山上P处，测得海面上的航标在A正东，俯角为30°，航标B在南偏东60°，俯角为45°，则这两个航标间的距离为米．
三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足：a2+c2=b2+ac
（I）求∠B 的大小；
（II）求cosA+cosC 的最大值．
17．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年
的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0
≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．
18．已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．
19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=．
（Ⅰ）证明：a、c、b成等差数列；
（Ⅱ）求cosC的最小值．
20．已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n
+1
（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；
（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．
21．设f（x）=ax2+（a﹣2）x﹣2（a∈R）．
（I）解关于x的不等式f（x）≥0；
（II）若a＞0，当﹣1≤x≤1时，f（x）≤0时恒成立，求a的取值范围．
（III）若当﹣1＜a＜1时，f（x）＞0时恒成立，求x的取值范围．
2016-2017学年山东省泰安市宁阳一中高二（上）期中数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在下列每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．函数f（x）=ln（3﹣x）（x+1）的定义域为（）
A．[﹣1，3] B．（﹣1，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】根据对数函数的性质求出f（x）的定义域即可．
【解答】解：由题意得：（3﹣x）（x+1）＞0，
即（x﹣3）（x+1）＜0，
解得：﹣1＜x＜3，
故函数的定义域是（﹣1，3），
故选：B．
2．在△ABC中，若a=7，b=3，c=8，则其面积等于（）
A．12 B．C．28 D．
【考点】解三角形；正弦定理的应用；余弦定理．
【分析】已知三条边长利用余弦定理求得cosC=，再利用同角三角函数的基本关系求得
sinC=，代入△ABC的面积公式进行运算．
【解答】解：在△ABC中，若三边长分别为a=7，b=3，c=8，
由余弦定理可得64=49+9﹣2×7×3 cosC，
∴cosC=，
∴sinC=，
==，
∴S
△ABC
故选D．
3．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）
A．﹣＞0 B．sinx﹣siny＞0 C．（）x﹣（）y＜0 D．lnx+lny＞0
【考点】不等关系与不等式．
【分析】x，y∈R，且x＞y＞0，可得：，sinx与siny的大小关系不确定，＜，lnx+lny与0的大小关系不确定，即可判断出结论．
【解答】解：∵x，y∈R，且x＞y＞0，则，sinx与siny的大小关系不确定，
＜，即﹣＜0，lnx+lny与0的大小关系不确定．
故选：C．
4．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1•a9=16，则a2•a5•a8的值（）
A．16 B．32 C．48 D．64
【考点】等比数列的性质．
【分析】由等比数列的性质可得a1•a9=，结合a n＞0可求a5，然后由a2•a5•a8=可求
【解答】解：由等比数列的性质可得a1•a9==16，
∵a n＞0
∴a5=4
∴a2•a5•a8==64
故选D
5．在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】余弦定理的应用．
【分析】直接利用余弦定理求解即可．
【解答】解：在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，
AB2=BC2+AC2﹣2AC•BCcosC，
可得：13=9+AC2+3AC，
解得AC=1或AC=﹣4（舍去）．
故选：A．
6．若x，y满足，则x﹣y的最小值为（）
A．0 B．﹣1 C．﹣3 D．2
【考点】简单线性规划．
【分析】画出平面区域，利用目标函数的几何意义求最小值．
【解答】解：x，y满足的区域如图：设z=x﹣y，
则y=x﹣z，
当此直线经过（0，3）时z最小，所以z 的最小值为0﹣3=﹣3；
故选C．
7．设锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=2asinA，则A=（）
A．B．C．D．不确定
【考点】正弦定理．
【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得sinA 的值进而求得A．
【解答】解：∵bcosC+ccosB=2asinA，
∴sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA=2sin2A，
∵sinA≠0，
∴sinA=，
∴由于A为锐角，可得A=．
故选：A．
8．若不等式x2﹣ax+b＜0的解集为（1，2），则不等式＜的解集为（）
A．（，+∞）B．（﹣∞，0）∪（，+∞）C．（，+∞）D．（﹣∞，0）∪（，
+∞）
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】由已知不等式的解集可求a，b的值，然后解不等式＜即可．
【解答】解：因为不等式x2﹣ax+b＜0的解集为（1，2），
所以1+2=a，1×2=b，即a=3，b=2，
所以不等式＜为，
整理得，
解得x＜0或者x＞，
所以不等式的解集为：（﹣∞，0）∪（，+∞）．
故选B．
9．若变量x，y满足，则x2+y2的最大值是（）
A．4 B．9 C．10 D．12
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，然后结合x2+y2的几何意义，即可行域内的动点与原点距离的平方求得x2+y2的最大值．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
∵A（0，﹣3），C（0，2），
∴|OA|＞|OC|，
联立，解得B（3，﹣1）．
∵，
∴x2+y2的最大值是10．
故选：C．
10．如图，四边形ABCD的四个顶点在半径为2的圆O上，若∠BAD=，CD=2，则BC=
（）
A．2 B．4 C．D．
【考点】圆周角定理．
【分析】利用正弦定理求出BD，再利用余弦定理求出BC．
【解答】解：由题意，，∴BD=2，
∵∠BAD=，∴∠BCD=，
∵CD=2，
∴12=BC2+4﹣2BC，
∴BC2+2BC﹣8=0，
∴BC=2．
故选：A．
二、填空题：（本大题共5个小题，每小题5分，共25分.）
11．已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=98．
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a100．
【解答】解：∵等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，
∴，
解得a1=﹣1，d=1，
∴a100=a1+99d=﹣1+99=98．
故答案为：98．
12．不等式＜x﹣1的解集是（﹣1，1）∪（3，+∞）．
【考点】其他不等式的解法．
【分析】首先移项通分，化简为整式不等式解之．
【解答】解：不等式变形为，所以0，
等价于（x+1）（x﹣3）（x﹣1）＞0，所以不等式的解集为（﹣1，1）∪（3，+∞）；
故答案为：（﹣1，1）∪（3，+∞）
13．某研究所计划利用宇宙飞船进行新产品搭载试验，计划搭载若干件新产品A，B，该研究所要根据产品的研制成本、产品重量、搭载试验费用和预计收益来决定具体安排，通过调
则如何安排这两种产品进行搭载，才能使总预计收益达到最大，求最大预计收益是多少．
【考点】简单线性规划的应用．
【分析】我们可以设搭载的产品中A有x件，产品B有y件，我们不难得到关于x，y的不等式组，即约束条件和目标函数，然后根据线行规划的方法不难得到结论．
【解答】解：设搭载A产品x件，B产品y件，则预计收益z=80x+60y，由题意知，
．
作出可行域如图所示．
作出直线l：80x+60y=0并平移，由图形知，当直线经过点M时，z取到最大值．
由解得，即M（9，4）．
所以z max=80×9+60×4=960（万元），所以搭载9件A产品，4件B产品，才能使总预计收益达到最大，最大预计收益为960万元．
14．已知正数x，y满足x2+2xy﹣3=0，则2x+y的最小值是3．
【考点】基本不等式．
【分析】用x表示y，得到2x+y关于x的函数，利用基本不等式得出最小值．
【解答】解：∵x2+2xy﹣3=0，∴y=，
∴2x+y=2x+==≥2=3．
当且仅当即x=1时取等号．
故答案为：3．
15．如图，某人在高出海面600米的山上P处，测得海面上的航标在A正东，俯角为30°，航标B在南偏东60°，俯角为45°，则这两个航标间的距离为600米．
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】求出BC，AC的值，由余弦定理再求AB，即可得结论．
【解答】解：航标A在正东，俯角为30°，由题意得∠APC=60°，∠PAC=30°．
航标B在南偏东60°，俯角为45°，则有∠ACB=30°，∠CPB=45°．
故有BC=PC=600，AC===600．
所以，由余弦定理知AB2=BC2+AC2﹣2BC•AC•COS∠ACB=360000+360000×3﹣2×
=360000．
可求得AB=600．
故答案为：600．
三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足：a2+c2=b2+ac
（I）求∠B 的大小；
（II）求cosA+cosC 的最大值．
【考点】余弦定理；三角函数的化简求值．
【分析】（I）由已知利用余弦定理可求cosB的值，结合范围0＜∠B＜π，即可得解．
（II）利用三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用化简可得：
=，利用范围，根据正弦函数的性质可求其最大值．【解答】（本题满分为12分）
解：（I）∵，
∴，
∴，…
又0＜∠B＜π，
所以，．…
（II）∵A+B+C=π，
∴，
∴==
=，…
∵，
∵，
∴，…
因此，当，即A=时，sin（A+）最大值为1．
所以，cosA+cosC 的最大值为1．…
17．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年
的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=（0
≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．
【考点】函数模型的选择与应用；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（I）由建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）
满足关系：C（x）=，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．我
们可得C（0）=8，得k=40，进而得到．建造费用为C1（x）=6x，则根据隔热
层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x），我们不难得到f（x）的表达式．
（II）由（1）中所求的f（x）的表达式，我们利用导数法，求出函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为．
再由C（0）=8，得k=40，
因此．
而建造费用为C1（x）=6x，
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
（Ⅱ），令f'（x）=0，即．
解得x=5，（舍去）．
当0＜x＜5时，f′（x）＜0，当5＜x＜10时，f′（x）＞0，故x=5是f（x）的最小值点，对
应的最小值为．
当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．
18．已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．
【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．
【分析】（Ⅰ）运用等比数列的通项公式，可得方程组，求得首项和公差，即可得到所求通项公式；
（Ⅱ）运用拆项法化简b n，再由数列的求和方法：裂项相消法，结合等比数列的求和公式即可得到．
【解答】解：（Ⅰ）由题设可知a1•a4=a2•a3=8，又a1+a4=9，
解得：或（舍去）
由得：公比q=2，
故；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，
又因为，
所以T n=b1+b2+…+b n==
=．
所以，（或）．
19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2（tanA+tanB）=．
（Ⅰ）证明：a、c、b成等差数列；
（Ⅱ）求cosC的最小值．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（Ⅰ）由已知及三角函数恒等变换的应用化简可得2sin（A+B）=sinA+sinB，又结合三角形内角和定理，正弦定理得2c=a+b即可得解a，b，c成等差数列；
（Ⅱ）由余弦定理及a+b=2c，可得，利用基本不等式可得
，进而可解得cosC的最小值．
【解答】（本题满分为12分）
解：（Ⅰ）∵2（tanA+tanB）=，
∴，
∴=，…
即2sin（A+B）=sinA+sinB，
又∵A+B=π﹣C，
∴2sinC=sinA+sinB，…
由正弦定理得，2c=a+b所以，a、c、b成等差数列；…
（Ⅱ）由余弦定理得，，…
∵a+b=2c，
∴，
又∵，
∴，…
即．
所以cosC的最小值为．…
20．已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n，{b n}是等差数列，且a n=b n+b n
+1
（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；
（Ⅱ）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（Ⅰ）求出数列{a n}的通项公式，再求数列{b n}的通项公式；
（Ⅱ）求出数列{c n}的通项，利用错位相减法求数列{c n}的前n项和T n．
【解答】解：（Ⅰ）∵数列{a n}的前n项和，
∴a1=11．
当n≥2时，．
=2b n+d．又∵a n=6n+5对n=1也成立所以a n=6n+5，{b n}是等差数列，设公差为d，则a n=b n+b n
+1
当n=1时，2b1=11﹣d；当n=2时，2b2=17﹣d
由，
解得d=3，
所以数列{b n}的通项公式为；
（Ⅱ）由，
于是，，
两边同乘以2，得．
两式相减，得
==﹣n•2n+2．
所以，．
21．设f（x）=ax2+（a﹣2）x﹣2（a∈R）．
（I）解关于x的不等式f（x）≥0；
（II）若a＞0，当﹣1≤x≤1时，f（x）≤0时恒成立，求a的取值范围．
（III）若当﹣1＜a＜1时，f（x）＞0时恒成立，求x的取值范围．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】（I）根据a=0和a≠0以及根的大小讨论求解．
（II）a＞0，当﹣1≤x≤1时，利用二次方程根的分布，可求a的取值范围．
（III）当﹣1＜a＜1时，设g（a）=a（x2+x）﹣2（x+1），g（a）＞0恒成立．看成关于a
的一次函数求x的取值范围．
【解答】解：（I）由不等式f（x）≥0可得，（ax﹣2）（x+1）≥0．
当a=0时，不等式可化为﹣2（x+1）≥0，解得x≤﹣1；
当a≠0时，方程（ax﹣2）（x+1）=0有两根．
若a＜﹣2，，由（ax﹣2）（x+1）≥0，解得；
若a=﹣2，不等式可化为﹣2（x+1）2≥0，解得x=﹣1；
若﹣2＜a＜0，，由（ax﹣2）（x+1）≥0，解得；
若a＞0，，由（ax﹣2）（x+1）≥0，解得；
综上所述，当a=0时，不等式的解集为{x|x≤﹣1}；当a＜﹣2时，不等式的解集为
；当a=﹣2时，不等式的解集为{﹣1}；当﹣2＜a＜0时，不等式的解集
为；当a＞0时，不等式的解集为．
（II）因a＞0，f（x）≤0故函数f（x）开口向上，根据二次函数的特征，若要﹣1≤x≤1
时，f（x）≤0时恒成立，只需即可．
因此，由，
解得0＜a≤2．
所以，a的取值范围为（0，2]．
（III）若当﹣1＜a＜1时，设g（a）=a（x2+x）﹣2（x+1）
因此，当﹣1＜a＜1时，f（x）＞0时恒成立等价于当﹣1＜a＜1时，g（a）＞0恒成立．当x=0时，g（a）=﹣2＜0，不符合题意；
当x=﹣1时，g（a）=0，不符合题意；
当x≠0，x≠﹣1时，只需成立即可
即，解得﹣2≤x≤﹣1．
所以，x的取值范围为[﹣2，﹣1）
2016年11月18日。