高中数学必修五导学案19：2.3等差数列的前n项和(一)

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苏教版数学高二-必修5导学案等差数列的前n项和(1) 教师版

课题：2.2.3 等差数列的前n 项和（1）总第____课时班级_______________姓名_______________【学习目标】 1．掌握等差数列前n 项和的公式以及推导该公式的数学思想方法，并能运用公式解决简单的问题.2．探索活动中培养学生观察、分析的能力，培养学生由特殊到一般的归纳能力.【重点难点】教学重点：等差数列前n 项和公式的推导、理解及应用.教学难点：灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题.【学习过程】一、自主学习与交流反馈：问题: 一堆钢管共7层，第一层钢管数为4，第七层钢管数为10，且下一层比上一层多一根，问一共有多少根钢管？等差数列{}n a 的前n 项和公式2)(1n n a a n S += d n n na S n 2)1(1-+= 性质：在等差数列{}n a 中,m m m m m S S S S S 232,,--，…成等差数列，公差为2m d ．二、知识建构与应用例1 在等差数列{}n a 中，(1)已知,101,3501==a a 求50S ；(2)已知,21,31==d a 求10S .例2 在等差数列{}n a 中,已知,215,23,21-===n n S a d 求1a 及n .例3 在等差数列{}n a 中，已知第1项到第10项的和为310,第11项到第20项的和为910, 求第21项到第30项的和.三、【巩固练习】1．在等差数列{}n a 中(1)已知,43,7101-==a a 求10S ;(2)已知,2,1001-==d a 求50S .2．在等差数列{}n a 中（1）已知,15,2,11===n d a 求n n S a 和；（2）已知,7,231-1===n a d a ，求n S n 和;（3）已知,21,5,81===n a n a 求n S d 和;（4）已知,90,12,2===n n S n a 求d a 和13．在等差数列⋅⋅⋅,32,21,31,61中, (1)求前20项的和;(2)已知前n 项的和为2155,求n 的值.4．在等差数列{}n a 中，已知，，392100168==S S 试求24S .四、【回顾反思】五、作业批改情况记录及分析。

高中数学必修5自主学习导学案：2.3等差数列的前n项和

2.3 等差数列的前n 项和（学生版）1．新课引入高斯的故事：200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：（1）计算：123...99100+++++（2）计算：123...(1)n n ++++-+据说，当其他同学正忙于把这100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速的算出了正确答案：(1100)(299)(5051)101505050++++++=⨯= ，即100(1100)1239910050502⨯++++++==高斯的算法实际上解决了求等差数列123,,.....n ，，，前100项和的问题，受此启发，用下面的方法计算123,,.....n ，，，的前n 项和：(1)123(1)2n n n n ⨯+++++-+=此方法可以推广到一般方法吗？2．数列的前n 项和的概念（1）一般地，我们把a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 叫做数列{}n a 的前n 项和，记作n S ，即...n n n n S a a a =+++．（2）数列的项a n 与前n 项和S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.3．等差数列的前n 项和的推导设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，即...n n n n S a a a =+++111()...[(1)]n S a a d a n d =+++++- ()...[(1)]n n n n S a a d a n d =+-++--两式相加得：11112()()...()()n n n n n S a a a a a a n a a =++++++=+，即1()2n n n a a S +=．又由1(1)n a a n d =+-，所以1(1)2n n n S na d -=+．上述推导等差数列前n 项和的方法称为“倒序相加法” ．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=或1(1)2n n n S na d -=+公式解读：（1）由5个元素构成：1,,,,n n a d n a s . 可知三求二．（2）共同点：须知1a 和n ；不同点：前者需知道n a ，后者需要知道d ．（3）若a 1、d 是确定的，那么211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-，设1,22d dA B a ==-，上式可写成2n S An Bn =+，若0A ≠（即d≠0）时，n S 是关于n 的二次式且缺常数项．(1)等差数列{a n }中，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也构成等差数列，且公差是(2)若{a n }与{b n }均为等差数列，且前n 项和分别为n S 与n T ，则n n a b =(3)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，且首项为(4)若等差数列的项数为2n (n ∈N *)，则※ 典型例题考点1．等差数列的前n 项和公式：1()n n n a a S +=或1(1)n n n S na d -=+考点2．已知n S 求na ：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.【例3】已知下面各数列{}n a 的前n 项和为n S 的公式，求{}n a 的通项公式．【例4】在等差数列{a n }中，若a 1＝25，且S 9＝S 17，求S n 的最大值．分析：解答本题可先根据条件求出公差d.然后利用Sn 或an 求Sn 的最大值．或利用等差数列的前n 项和Sn 是关于n 的二次函数，利用抛物线的图象性质求解．练习1．在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 有最大值，并求它的最大值．※ 当堂检测考点4．等差数列前n项和性质及应用【例5】一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求其前110项之和．分析：解答本题可利用前n项和公式求出a1和d，即可求出S110，或利用等差数列前n项和的性质求解．点评：(1)利用已知求出a1，d，然后再求所求，是基本解法，有时运算量大些．(2)我们也可以利用等差数列前n项和的性质，或利用等差数列通项公式的性质，这两种解法可简化运算，为最优解法．(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法．变式1 ．(1)一个等差数列共2 011项，求它的奇数项和与偶数项和之比；(2)一个等差数列前20项和为75，其中的奇数项和与偶数项和之比为1∶2，求公差d.考点6．含有绝对值的等差数列的求和问题【例7】已知数列{}n a 的前n 项和是232n S n n =-，求数列{}n a 的前n 项和n T ．14．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2－12n.(1)求证：{a n}是等差数列；(2)求数列{|a n|}的前n项和T n.2.3 等差数列的前n 项和（教师版）1．新课引入高斯的故事：200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：（1）计算：123...99100+++++（2）计算：123...(1)n n ++++-+据说，当其他同学正忙于把这100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速的算出了正确答案：(1100)(299)(5051)101505050++++++=⨯= ，即100(1100)1239910050502⨯++++++==高斯的算法实际上解决了求等差数列123,,.....n ，，，前100项和的问题，受此启发，用下面的方法计算123,,.....n ，，，的前n 项和：(1)123(1)2n n n n ⨯+++++-+=此方法可以推广到一般方法吗？2．数列的前n 项和的概念（1）一般地，我们把a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 叫做数列{}n a 的前n 项和，记作n S ，即...n n n n S a a a =+++．（2）数列的项a n 与前n 项和S n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.3．等差数列的前n 项和的推导设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，即...n n n n S a a a =+++111()...[(1)]n S a a d a n d =+++++- ()...[(1)]n n n n S a a d a n d =+-++--两式相加得：11112()()...()()n n n n n S a a a a a a n a a =++++++=+，即1()2n n n a a S +=．又由1(1)n a a n d =+-，所以1(1)2n n n S na d -=+．上述推导等差数列前n 项和的方法称为“倒序相加法” ．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=或1(1)2n n n S na d -=+公式解读：（1）由5个元素构成：1,,,,n n a d n a s . 可知三求二．（2）共同点：须知1a 和n ；不同点：前者需知道n a ，后者需要知道d ．（3）若a 1、d 是确定的，那么211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-，设1,22d dA B a ==-，上式可写成2n S An Bn =+，若0A ≠（即d≠0）时，n S 是关于n 的二次式且缺常数项．(1)等差数列{a n }中，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也构成等差数列，且公差是(2)若{a n }与{b n }均为等差数列，且前n 项和分别为n S 与n T ，则n n a b =(3)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，且首项为(4)若等差数列的项数为2n (n ∈N *)，则※ 典型例题考点1．等差数列的前n 项和公式 1()n n n a a S +=或1(1)n n n S na d -=+练习1．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *，若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为________．考点2．已知n S 求n a【例2】已知下面各数列{}n a 的前n 项和为n S 的公式，求{}n a 的通项公式．当n ＝1时不符合上式．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，(n ＝1)，n ，(n ≥2).)考点3．等差数列的前n 项和的最值【例3】在等差数列{a n }中，若a 1＝25，且S 9＝S 17，求S n 的最大值．分析：解答本题可先根据条件求出公差d.然后利用Sn 或an 求Sn 的最大值．或利用等差数列的前n 项和Sn 是关于n 的二次函数，利用抛物线的图象性质求解．考点4．等差数列前n项和性质及应用变式探究考点5．前n项和比的问题考点6．含有绝对值的等差数列的求和问题【例7】已知数列{}n a 的前n 项和是232n S n n =-，求数列{}n a 的前n 项和n T ．解：∵a 1=S 1=32×1－12=31,当n ≥2时，a n =S n －S n －1=33－2n ,又由a n ＞0，得n ＜16．5,即｛a n ｝前16项为正，以后皆负． ∴当n ≤16时，n T =｜a 1｜+｜a 2｜+…+｜a n ｜=a 1+a 2+…+a n =33n －n 2．当n ＞16时，n T =a 1+a 2+…+a 16－a 17－a 18－…－a n =S 16－(S n －S 16)＝2S 16－S n ＝512－32n ＋n 2．∴2232(16)51232(16)n n n n T n n n ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩ ※ 当堂检测1．已知某等差数列共20项，其所有项和为75，偶数项和为25，则公差为( )A ．5B ．－5C ．－2.5D ．2.5解析：S 奇＝S 20－S 偶＝75－25＝50， ∴S 偶－S 奇＝10d ＝25－50＝－25，∴d ＝－2.5. 答案：C2．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．5解析：∵S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2＝a 1＋kd ＋a 1＋(k ＋1)d ＝2a 1＋(2k ＋1)d ＝2×1＋(2k ＋1)×2＝4k ＋4＝24，∴k ＝5. 答案：D3．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99.以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18解析：∵(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋(a 6－a 5)＝3d ，∴99－105＝3d .∴d ＝－2.方法二：从函数角度，如配方、数形结合、利用单调性等，求其最值．。

必修5等差数列前n项和1_导学案(公开课)

§2.2.2等差数列的前n项和导学案（第一课时）知识与技能：掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.情感态度与价值观：通过公式的推导过程，展现数学中的对称美.重点：等差数列前n项和公式及其应用.难点：等差数列前n项和公式的推导思路的获得.问题一：泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。

陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。

传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，奢靡之程度可见一斑。

你知道这个图案一共花了多少宝石吗？23S？=1001+=+++n问题二：?101321S n =+⋯+++=（还可以用高斯的方法吗？）问题三：?321S n =+⋯+++=n问题四：已知等差数列}{n a 中，首项为1a ,公差为d ,第n 项为n a ，计算前n 项和n S ？ n n a a a a S ++++= 321新知：等差数列前n 项和公式：公式一：公式二：问题四：比较以上两个公式的结构特征，类比于问题二，你能给出它们的几何解释吗？公式1 公式21. 应用公式(知三求一)例1.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an ｝的Sn ：（1）10,95,51===n a a n（2）50,2,1001=-==n d a解：（1）（2）（课后练习）已知等差数列}{n a 中，（1）751=a ，1057=a , 求7S ；（2）101-=a ，4=d ， 54=n S ，求n ；解：（1）（2）例2. 已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=.{}n a 的前n 项和为n S .求n S2.变用公式例3.在等差数列{}n a 中，若,74=a 求7S .归纳：______7=S ______9=S ______13=S结论：__________)(=为奇数n S n1、在等差数列{}n a 中，若,255=S 求_____3=a .2、等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝2n ＋13n ＋1，则a 4b 4＝________.思考：______4=S ______6=S ______10=S归纳：__________)(=为偶数n S n1.课后作业：☆【必做】教材P41 A 组T1、T2 【选作】B 组 T4☆到网上查找有关数学家高斯的故事，你能从这些故事中得到什么启示呢？☆到网上查找等差数列前n 项和公式的应用，“发现”生活中的数学。

人教版A版高二数学必修五2.3.1等差数列的前n项和导学案

2.3.1 等差数列的前n项和导学案【学习目标】1．理解等差数列前n项和公式的推导方法．2．掌握等差数列前n项和公式.3．能利用等差数列前n项和公式解决实际问题．【自主预习】1．数列的前n项和(1)定义：对于数列{a n}，一般地，称a1＋a2＋a3＋…＋a n为数列{a n}的．(2)表示：常用符号表示，即S n＝a1＋a2＋a3＋…＋a n. 2．等差数列的前n项和公式【互动探究】1. (1)设S n是等差数列{a n}(n∈N*)的前n项和，且a1＝1，a4＝7，则S5＝________；(2)已知{a n}是等差数列，S n为其前n项和，n∈N*.若a3＝16，S20＝20，则S10的值为________．2.在等差数列{a n}中，(1)已知a2＋a5＋a12＋a15＝36，求S16；(2)已知a6＝20，求S11；(3)已知前4项之和是40，最后4项之和为80，所有项之和是210，求项数n．3.某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1 150 元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？【课堂练习】1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 4＝18－a 5，则S 8等于( ) A ．72 B ．54 C ．36 D ．18 答案：A2．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．12 答案：B3．等差数列{a n }中，a 3＝－5，a 6＝1，设S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 8＝________．答案：－164．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 6＝S 3＝12，则{a n }的通项公式为a n ＝________________________．答案：2n5．已知等差数列{a n }中，(1)a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 及a n ；(2)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d ．。

人教版高中数学必修五导学案：2.3等差数列的前n项和(1)

二、新学◆ 学研究研究：等差数列的前 n 和公式：1.算 1+2+⋯+100=?2.怎样求 1+2+⋯+n=?新知：数列 { a n } 的前n的和：一般地，称数列 { a n } 的前n的和，用 S n表示，即 S n反省：①怎样求首 a1，第n a n的等差数列 { a n} 的前n的和?②怎样求首 a1，公差d的等差数列 { a n} 的前n的和?：依据以下各中的条件，求相的等差数列⑴ a14， a818， n8；{ a n } 的前n 和S n.⑵a1 14.5， d 0.7， n 15 .小：1. 用S n n( a1an)，必具三个条件：2.2. 用S n na1n (n 1)d，必已知三个条件：2.◆ 典型例例 1(1)已知等差数列 {an} 中 , a1 =4, S8 =172,求 a8和 d ;(2)等差数列 -10，-6， -2，2，⋯前多少的和是54？例 2 已知一个等差数列{ a n}前 10 的和是 310，前 20 的和是 1220. 由些条件能确立个等差数列的前 n 和的公式？式：等差数列 { a n } 中，已知 a1030 ， a2050 ， S n242 ，求n.小：等差数列前 n 和公式就是一个对于a n、a1、n或许a1、n、d的方程，已知几个量，通解方程，得出其他的未知量 .◆ 学研究：假如一个数列a n的前n和 S n pn2qn r ，此中p、q、r常数，且p0 ，那么个数列必定是等差数列？假如是，它的首与公差分是多少？例 1 已知数列{ a n}的前n S n n21 n ，求个数列的通公式.个数列是2等差数列？假如是，它的首与公差分是什么？式：已知数列 { a n } 的前n S n 1 n22n 3 ，求个数列的通公式43小：若数列 { a n} 的前数列 { a n } 是等差数列.◆ 手n 的和S n An2Bn（A0 ，A、B是与n 没关的常数），1（１）已知a13， a50101 ，求 S50；（２）已知 a1 3 ，d 1，求 S10．2（3）已知 a712 ，求 S13 .练 2一个凸多边形内角成等差数列，此中最小的内角为120°，公差为 5°，那么这个多边形的边数 n 为（）.A. 12 D.16或 9练 3 在等差数列a n中，已知a6a9a12a1534，求前20项之和．练4求会合M m | m 7n, n N * 且 m 100 的元素个数，并求这些元素的和练 5 已知等差数列{a n}前四项和为21,最后四项的和为67,全部项的和为286,求项数n.练 6 已知数列Sn的前n项和为Tn且n21S n n n ，求T n 三、学习小结1.等差数列前 n 项和公式的两种形式；2.两个公式合用条件，并能灵巧运用；3.等差数列中的“知三求二”问题，即：已知等差数列之 a1, a n , q, n, S n五个量中随意的三个，列方程组能够求出其他的两个 .◆当堂检测3.在等差数列 { a n } 中， a1 2 ， d1，则 S8.4.在等差数列 { a n } 中， a125 ， a533 ，则 S6.25.已知数列 { a n} 的前 n 项和 S n=n +2n+5,则 a6+a7+a8=______.6. 数列｛a n｝是等差数列，公差为3，a n＝11，前n和S n＝14，求n和a3 .。

人教A版数学必修五导学案 2.3等差数列前n项和(1)

2.3 等差数列前n 项和(1)【学习目标】1.探索等差数列的前n 项和公式的推导方法；2.能应用等差数列的前n 项和公式解决等差数列的问题. 【重点难点】1．重点:等差数列的前n 项和公式的推导过程和思想.2．难点:在具体的问题情境中，如何灵活运用这些公式解决相应的实际问题【学习过程】一、自主学习：任务1: 等差数列的通项公式和其变形公式 . 任务2: 等差数列重要推广公式二、合作探究归纳展示探究1：等差数列的前n 项和公式问题：1. 计算1+2+…+100=?2. 如何求1+2+…+n =? 新知：数列{}n a 的前n 项的和：一般地，称为数列{}n a 的前n 项的和，用n S 表示，即n S = 反思：① 如何求首项为1a ，第n 项为n a 的等差数列{}n a 的前n 项的和? ② 如何求首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项的和? 试试：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列{}n a 的前n 项和n S . ⑴184188a a n =-=-=，，； ⑵114.50.715a d n ===，，. 小结：1. 用1()2n n n a a S +=，必须具备三个条件： . 2. 用1(1)2n n n dS na -=+，必须已知三个条件：三、讨论交流点拨提升例1 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》. 某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元. 为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元. 那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？小结：解实际问题的注意：①从问题中提取有用的信息，构建等差数列模型；② 写这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差选择前n 项和公式进行求解.例2 已知一个等差数列{}n a 前10项的和是310，前20项的和是1220. 由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？变式：等差数列{}n a 中，已知1030a =，2050a =，242n S =，求n .小结：等差数列前n 项和公式就是一个关于11n a a n a n d 、、或者、、的方程，已知几个量，通过解方程，得出其余的未知量.．四、学能展示课堂闯关知识拓展1. 若数列{}n a 的前n 项的和2n S An Bn =+（A 0≠，A 、B 是与n 无关的常数），则数列{}n a 是等差数列.2. 已知数列{},n a 是公差为d 的等差数列，S n 是其前n 项和，设232,,,k k k k kk N S S S S S +∈--也成等差数列，公差为1. 在等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（）. A. 12 B. 24 C. 36 D. 482. 在50和350之间，所有末位数字是1的整数之和是（..）. A ．5880..B ．5684..C ．4877..D ．45663.已知等差数列的前4项和为21，末4项和为67，前n 项和为286，则项数n 为（） A. 24 B. 26 C. 27 D. 284. 在等差数列{}n a 中，12a =，1d =-，则8S = .5. 在等差数列{}n a 中，125a =，533a =，则6S = 五、学后反思1. 等差数列前n 项和公式的两种形式；2. 两个公式适用条件，并能灵活运用；3. 等差数列中的“知三求二”问题，即：已知等差数列之1,,,,n n a a q n S 五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个.【课后作业】1. 数列｛n a ｝是等差数列，公差为3，n a ＝11，前n 和n S ＝14，求n 和3a .2. 在小于100的正整数中共有多少个数被3除余2? 这些数的和是多少？。

人教新课标版数学高二必修5导学案 2.3 等差数列的前n项和(一)学生版

2.3 等差数列的前n 项和（一）【学习目标】1.掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路.2.经历公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思.3.熟练掌握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 的关系，能够由其中三个求另外两个．【学习过程】一、自主学习教材整理等差数列的前n 项和阅读教材P 42～P 44例2，完成下列问题．1．数列的前n 项和的概念一般地，称为数列{a n }的前n 项和，用S n 表示，即S n ＝2．等差数列的前n 项和公式问题1 高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和．但如果是求1＋2＋3＋…＋n ，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？问题2等差数列{a n }中，若已知a 2＝7，能求出前3项和S 3吗？问题3我们对等差数列的通项公式变形：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )，分析出通项公式与一次函数的关系．你能类比这个思路分析一下S n ＝na 1＋n (n －1)2d 吗？问题4如果{a n }是等差数列，那么a 1＋a 2＋…＋a 10，a 11＋a 12＋…＋a 20，a 21＋a 22＋…＋a 30是等差数列吗？探究点1 等差数列前n 项和公式的应用命题角度1 方程思想例1 已知一个等差数列{a n }的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？命题角度2 实际应用例2 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？探究点2 等差数列前n 项和的性质的应用例3 (1)等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{a n }的前3m 项的和S 3m ；(2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b 5的值．三、当堂检测1．在等差数列{a n }中，若S 10＝120，则a 1＋a 10的值是( )A ．12B ．24C ．36D ．482．记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 等于( )A ．2B ．3C ．6D ．73．在一个等差数列中，已知a 10＝10，则S 19＝________.4．已知等差数列{a n }中：(1)a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 及a n ； (2)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1022，求d .四、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?五、学后反思1、我的疑问：2、我的收获：。

高中数学2.3《等差数列前n项和》导学案新人教A版必修5

《等差数列的前n 项和(2)》导教案【学习目标】1.进一步娴熟掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；2.认识等差数列的一些性质，并会用它们解决一些有关问题；3.会利用等差数列通项公式与前n 项和的公式研究S n的最大（小）值.【要点难点】重难点：在详细的问题情境中，怎样灵巧运用等差数列的前n项和公式解决相应的实质问题；【知识链接】（预习教材P45~ P46，找出迷惑之处）复习 1：等差数列 { a n } 中，a4＝－ 15，公差d＝ 3，求 S5 .复习 2：等差数列 { a n } 中，已知 a3 1 ， a511 ，求 a n和 S8 .【学习过程】※ 学习研究问题：假如一个数列 a n的前n项和为 S n pn2 qn r ，此中p、q、r为常数，且 p 0 ，那么这个数列必定是等差数列吗？假如是，它的首项与公差分别是多少？※ 典型例题21. 这个数列是等差数列吗？假如例 1 已知数列 { a n } 的前n项为 S n n n ，求这个数列的通项公式2是，它的首项与公差分别是什么？变式：已知数列{ a n } 的前n项为 S n 1 n22n 3 ，求这个数列的通项公式 .43S1(n 1)小结：数列通项 a n和前n项和 S n关系为 a n =S n 1，由此可由 S n求 a n .S n(n 2)例 2 已知等差数列， 2 ， 4， ....的前 n 项和为Sn，求使得 S n最大的序号n的值 .5 4377式：等差数列{ a n } 中，a4＝－ 15，公差d＝ 3，求数列 { a n } 的前n和 S n的最小 .小：等差数列前和的最大（小）的求法.（1）利用 a n : 当 a n >0，d<0，前n和有最大，可由 a n≥ 0，且 a n 1≤ 0，求得n的；当 a n <0，d>0，前 n和有最小，可由a n≤0，且a n 1≥0，求得 n的（ 2）利用 S n：由 S n d 2dn的. n (a1)n ，利用二次函数配方法求得最大（小）※ 手221. 已知 S n 3n22n ，求数列的通 a n .2.有两个等差数列2，6， 10 ，⋯， 190 及 2，8， 1 4，⋯ 200，由两个等差数列的公共按从小到大的序成一个新数列，求个新数列的各之和.【学反省】※ 学小1.数列通 a n和前n和 S n关系；2.等差数列前和最大（小）的两种求法 . ※ 知拓展等差数列奇数与偶数的性以下：1°若数偶数 2n， S － S ＝ nd ；S奇＝a n(n2)；偶奇S偶an 12°若数奇数2n＋ 1， S奇－ S偶＝ a n 1； S偶 na n 1； S奇＝(n1)a n 1S偶＝n.；S奇n1【基达】※ 自我价你达成本教案的状况（） .A. 很好B.好C.一般D.差※ 当堂（量： 5 分分： 10 分）分：1. 以下数列是等差数列的是（） .A. a n n 2B.S n 2n1C. S n2n 2 1D.S n2n 2n2. 等差数列 { a n } 中，已知 S 15 90 ，那么 a 8 （） .A. 3D. 123. 等差数列 { a n } 的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，则它的前 3m 项和为（） .A. 70B. 130C. 140D. 1704. 在小于 100 的正整数中共有个数被 7 除余 2，这些数的和为 .5. 在等差数列中，公差d ＝ 1， S 100 145，则 a 1a 3 a 5 ... a 99.2【拓展提高】1. 在项数为 2n +1 的等差数列中，全部奇数项和为165，全部偶数项和为 15 0 ，求 n 的值 .2. 等差数列 { a n } ， a 1 0 ， S 9 S 12 ，该数列前多少项的和最小？。

高一数学必修5系列教案：2.3等差数列前n项和

an 1 a3
(1) (2) an 2
an a1
∴（ 1）+（2）可得： 2 Sn n(a1 an )
∴S n
n ( a1 a n ) 2
公式变形：将 an a1 (n 1)d 代入可得： S n
na 1
n (n 1) d 2
【设计意图】学生在前面的探究基础上水到渠成顺理成章很快就可以推导出一
把“全等三角形 ”倒置，与原图构成平行四边形。平行四
边形中的每行宝石的个数均为 21 个，共 21 行。有什么启发？
1 + 2+3+
…… +20 +21
21 + 20 + 19 +
…… + 2 +1
S21=1+2+3+…+21=（21+1）× 21÷2=231
这个方法也很好，那么项数为偶数这个方法还行吗？探索与发现 2：第 5 层到 12 层一共有多少颗圆宝石？学生探究的同时通过动画演示帮助学生思考刚才的方法是否同样可行？请同学们自主探究一下（老师演示动画帮助学生）
础。
至此同学们已经掌握了倒序相加法，相信大家可以推导更一般的等差数列前
n
项和公式了。
问题 3：对于一般的等差数列 {a n} 首项为 a1，公差为 d，如何推导它的前 n 项和
sn 公式呢？
即求 sn =a1+a2+a3+…… +an=
Sn a1 a2 Sn a n an 1
a1 an a 2
an a1
市中小学建成不同标准的校园网 .
据测算 ,2001 年该市用于 “校校通 ”工程的

高中数学必修五导学案等差数列前n项和性质

必修五等差数列前 n 项和的性质【学习目标】１、能从函数的角度理解等差数列的前n 项和公式；２、掌握等差数列前n 项和公式的部分性质；３、能解决与等差数列前n 项和相关的应用问题【要点和难点】要点：从函数的角度理解等差数列的前 n 项和公式．难点：等差数列的前 n 项和公式的娴熟应用．【使用说明及学法指导】1.先预习课本 P42—P45内容，而后开始做导教案。

2. 将预习中不可以解决的问题标出来，以便课上沟通议论。

预习案一．问题导学S n an2 +bn+c,必定表示等差数列的前 n项和吗？假如是，系数需知足什么条件？二．知识梳理1．数列a n的前n项和S n与其通项公式a n的关系是：．2．公差不为零的等差数列a n的前 n 项和 S n是定义在上的函数．a10a10时， S 有最小值．（ 1）当时， S 有最大值；（2）当d0n d0n3．若等差数列a n的前 n 项和是 S n，则 S n , S2n S n , S3 n S2n成数列．三 . 预习自测1．设数列a n的前 n 项和为 S n．若 S n n2，则 a n；若 S n n2 1 ，则 a n．2．在等差数列a n中．（ 1）若首项为8 ，公差为 3，则当n时，获得Sn 最小；若首项为 8，公差为3，则当n时，获得S n最大．（ 2）若S n n224n，则当 n时，获得 S n最小；若 S n n225n ，则当 n时，获得 S．n 最小3．已知等差数列a n的前 n 项和为 S n，且 S1010 ， S2020 ，则 S30．4．已知数列a n的通项公式 a n1，且前n 项和为 S n，则 S2012．n n1四 . 我的疑：研究案一．合作研究研究 1. （ S n 的最）：例 1、已知等差数列5, 4 2 ,3 4，⋯的前 n 和 S n ，求使 S n 获得最大的数n ．7 7式：在等差数列a n 中， a 1 0 ， S 9 S 12 ，求使 S n 获得最小的数 n ．研究 2. （ S n 的部分性）：例 2、一个等差数列的前10 之和 100，前 100 之和 10，求前 110 之和．二、堂小：训练案一、堂与1．在等差数列a n 中， a 4 18 ， a 10 6 ，求使 S n 获得最大的数 n ．2．（拓展）已知两个等差数列a n 和b n的前 n 和分是 A n , B n ，且A n2n 45 ， a3．B nn 3b 3。

高中数学 2.3等差数列的前n项和1导学案新人教A版必修5

2.3等差数列的前n 项和第1课时等差数列的前n 项和公式预习案【学习目标】1．掌握等差数列的前n 项和公式及推导公式的思想方法和过程，能够熟练应用等差数列的前n 项和公式解决相关问题，提高应用求解能力.2．通过对等差数列的前n 项和公式的推导与应用，使学生掌握倒序相加法、方程思想、划归思想等数学思想和方法.3．激情参与，惜时高效，感受数学思维的严谨性. 【重点】：等差数列的前n 项和公式的推导和应用. 【难点】：应用等差数列的前n 项和公式解决具体问题. 【学法指导】1. 阅读探究课本上的基础知识，初步掌握正弦定理及其简单应用;2. 完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测；3. 将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处.Ⅰ.相关知识1.如何求等差数列的通项公式？2. 等差数列具有哪些性质？ Ⅱ.教材助读1. 在等差数列{}n a 中，n m m m a a a a a a a ,...,,,,...,,,21321++的和与首尾两项和有什么关系？2. 如何推导等差数列的前n 项和公式？3. 等差数列{}n a 的前n 项和公式:__________________=n S ,代入等差数列的通项公式d n a a n )1(1-+=，等差数列的前n 项和公式还可以写成__________________=n S 【预习自测】1. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3,132==a a ，则4S 等于（） A.12 B. 10 C. 8 D. 62. 等差数列{}n a 中，,14,1531=+=a a a 前n 项和100=n S ，则n 等于（） A.9 B. 10 C.8 D. 63.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若357=S ，则4a 等于（）A.8B. 7C.6D. 5 4.在等差数列{}n a 中，若4128S S =则da 1= 5. 等差数列的前n 项和n n S n +=22，那么它的通项公式是 6. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且11=a ，74=a ，则=5S 7. 在等差数列{}n a 中，已知2011=a ，则=21S【我的疑惑】探究案Ⅰ.质疑探究——质疑解惑、合作探究探究点等差数列的前n 项和公式问题1：怎么求等差数列{}n a 的前n 项和n S ？写出公式的推导过程。

[精品]新人教A版必修5高中数学第二章2.3等差数列的前n项和(第1课时)导学案

第1课时等差数列的前n 项和1．理解等差数列前n 项和公式的推导过程． 2．掌握等差数列前n 项和公式及其应用．1．数列的前n 项和对于数列{a n }，一般地，我们称a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 为数列{a n }的前n 项和，用S n 表示，即S n ＝______________数列的前n 项和必须从第1项开始，逐项相加到第n 项，不能是其中几项的和．【做一做1】数列9，－2，－10,3的前3项和S 3＝__________ 2．等差数列{a n }的前n 项和设等差数列{a n }的公差是d ，则S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋__________[##]等差数列{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d①上述两个公式共涉及到a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量，通常已知其中三个，可求另外两个，即“知三求二”，而且方法就是解方程组，这也是解决等差数列问题的策略．②当已知首项a 1，末项a n ，项数n 时，常用公式S n ＝n (a 1＋a n )2；当已知首项a 1，公差d ，项数n 时，常用公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d【做一做2－1】等差数列{a n }中，a 1＝1，d ＝1，则S n 等于( )A ．nB ．n (n ＋1) ．n (n －1) Dn (n ＋1)2【做一做2－2】等差数列{a n }中，a n ＝2n －1，则其前n 项和S n＝__________答案：1．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 【做一做1】－32n (n －1)2d【做一做2－1】 D 【做一做2－2】 n 21．等差数列前n 项和公式与函数的关系剖析：等差数列的前n 项和公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d 可以写为S n＝d 2n 2＋错误!n若令d 2＝A ，a 1－d2＝B ，则上式可以写成S n ＝An 2＋Bn ，即S n 是关于项数n 的函数．当A ＝0，B ＝0时(此时a 1＝0，d ＝0)，S n ＝0是关于n 的常数函数；[_____]当A＝0，B≠0时(此时a1≠0，d＝0)，S n＝Bn是关于n的一次函数(正比例函数)；当A≠0时(此时d≠0)，S n＝An2＋Bn是关于n的二次函数．从上面的分析，我们可以看出：(1)一个数列{a n}是等差数列，则其前n项和公式S n＝f(n)是关于n的二次函数或一次函数或常数函数，且其常数项为0，即S n＝An2＋Bn(A，B为常数)．(2)如果一个数列的前n项和的表达式为S n＝An2＋Bn＋(A，B，为常数)，则当≠0时，数列{a n}不是等差数列．(3)当d≠0时，点(1，S1)，(2，S2)，(3，S3)，…，(n，S n)，…在抛物线y＝d22＋错误!的图象上．(4)由二次函数图象的性质可知，当d＞0时，{a n}是递增数列，S n有最小值；当d＜0时，{a n}是递减数列，S n有最大值．2．S n与a n的关系剖析：已知数列{a n}的通项公式a n，前n项和S n，则S n与a n有如下的关系：a n＝错误!推导如下：∵S n＝a1＋a2＋a3＋…＋a n，且当n≥2时，S n－1＝a1＋a2＋a3＋…＋a n－1∴当n≥2时，S n－S n－1＝(a1＋a2＋a3＋…＋a n)－(a1＋a2＋a3＋…＋a n－1)＝a n又当n＝1时，a1＝S1，∴a n＝错误!若S1满足S n－S n－1形式，则有a n＝S n－S n－1(n≥1，n∈N*)；若S1不满足S n－S n－1形式，则可表示成上述分段形式．这是实现a n与S n相互转化的重要方法．题型一已知S n求a n【例题1】已知下面各数列{a n}的前n项和S n的公式，求{a n}的通项公式．(1)S n＝2n2－3n；(2)S n＝3n－2分析：利用S n－S n－1＝a n(n≥2)求解．反思：已知数列{a n}的前n项和公式S n，求通项公式a n的步骤：(1)当n＝1时，a1＝S1(2)当n≥2时，根据S n写出S n－1，化简a n＝S n－S n－1(3)如果a1也满足当n≥2时，a n＝S n－S n－1的通项公式，那么数列{a n}的通项公式为a n＝S n－S n－1(如本题(1))；如果a1不满足当n≥2时，a n＝S n－S n－1的通项公式，那么数列{a n}的通项公式要分段表示为a n＝错误!(如本题(2))．题型二等差数列前n项和的有关计算【例题2】已知等差数列{a n}中，(1)a1＝32，d＝－12，S n＝－15，求n及a n；(2)a1＝1，a n＝－512，S n＝－1 022，求d分析：合理地使用前n项和公式，并注意其变形；要应用方程的思想．反思：a1，d，n称为等差数列的三个基本量，a n和S n都可以用这三个基本量表示，五个量a1，d，n，a n，S n中可知三求二，即等差数列的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题，一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)求解．这种方法是解决数列运算的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用．题型三等差数列前n 项和的最值问题【例题3】数列{a n }是等差数列，a 1＝50，d ＝－06 (1)该数列前多少项都是非负数？ (2)求此数列的前n 项和S n 的最大值．分析：(1)满足不等式组错误!的正整数解即是；(2)既可以从项的正负考虑，也可以利用等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次函数，考虑对应二次函数的最值．反思：求等差数列的前n 项和S n 的最值有两种方法： (1)由二次函数的最值特征得解．S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋错误!n＝d2错误!2－错误! ＝d2错误!2－错误!错误!2[]由二次函数的最大值、最小值知识及n ∈N *知，当n 取最接近12－a 1d的正整数时，S n 取到最大值(或最小值)，如本题(2)方法二．值得注意的是最接近12－a 1d的正整数可能有1个，也可能有2个．(2)根据项的正负定．①首项a 1＞0，公差d ＜0，满足错误!时，前n 项和S n 的最大值是S②首项a 1＜0，公差d ＞0，满足错误!时，前n 项和S n 的最小值是S题型四易错辨析【例题4】已知数列{a n}的前n项和S n＝n2＋2，求此数列的通项公式．错解：a n＝S n－S n－1＝n2＋2－(n－1)2－2＝2n－1错因分析：∵S n＝n2＋2，∴a1＝S1＝12＋2＝3，而当n＝1时，a n ＝2n－1＝2×1－1＝1≠3，则a n＝2n－1不是数列{a n}的通项公式．错解中忽视了a n＝S n－S n－1成立的条件是n≥2反思：已知数列{a n}的前n项和S n与a n的关系求a n，一般使用公式a n＝S n－S n－1(n≥2)，但必须写明它成立的条件：n∈N*，n≥2，忽视了这一点往往会导致错误．答案：【例题1】解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2×12－3×1＝－1；当n≥2时，S n－1＝2(n－1)2－3(n－1)＝2n2－7n＋5，则a n＝S n－S n－1＝(2n2－3n)－(2n2－7n＋5)＝2n2－3n－2n2＋7n－5＝4n－5此时若n＝1，则a n＝4n－5＝4×1－5＝－1＝a1，故a n＝4n－5(2)当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1；当n≥2时，S n－1＝3n－1－2，则a n＝S n－S n－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝3n－3n－1＝3·3n－1－3n－1＝2·3n－1此时若n＝1，则a n＝2·3n－1＝2·31－1＝2≠a1，故a n＝错误!错误![&&]【例题2】解：(1)∵S n＝n·32＋n(n－1)2错误!＝－15，整理，得n 2－7n －60＝0，解得n ＝12或n ＝－5(舍去)， ∴a 12＝32＋(12－1)×错误!＝－4(2)由S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (－512＋1)2＝－1 022，解得n ＝4又由a n ＝a 1＋(n －1)d ，即－512＝1＋(4－1)d ，解得d ＝－171【例题3】解：(1)由a 1＝50，d ＝－06，知a n ＝50－06(n －1)＝－06n ＋506 令错误!即错误! 解得2503＜≤2533，又∈N *，则＝84，即前84项都是非负数．(2)方法一：由(1)得a 84＞0，a 85＜0，则S n 的最大值是S 84＝50×84＋84×832×(－06)＝2 1084方法二：S n ＝50n ＋n (n －1)2·(－06)＝－03n 2＋503n ＝－03错误!2＋5032120，由二次函数的性质知，当n ＝84时，S n 取最大值S 84＝2 1084 【例题4】正解：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋2－(n －1)2－2＝2n －1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋2＝3，不适合上式，故a n ＝错误!1 (2011·山东济南二模)数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n 2－17n ，则当S n 取得最小值时，n 的值为( )A ．4或5B ．5或6 ．4 D ．52已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第项满足5＜a ＜8，则等于( )[]A ．9B ．8 ．7 D ．6 3(2011·北京丰台一模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝1，S 5＝10，则S 7＝__________4(2011·安徽“江南十校”高三联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －3，则数列{a n }的通项公式为__________．5等差数列{a n }中，a 3＝－5，a 6＝1，此数列的通项公式为__________，设S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 8等于__________．答案：1． 2B 321 4a n ＝11,1,2,2n n n --=⎧⎨⎩≥5．a n ＝2n －11 －16。

(苏教版)数学必修五导学案：2.2.3等差数列的前n项和(1)

【课堂检测】 1．已知等差数列 {an } 和 {bn } 中， a1 25 ， b1 75 ， a100 b100 100，则数列 {an bn } 的前 100 项的和为 3．求下列等差数列各项的和：（1） 1 ， 5 ， 9 ，…， 401 ；（2） 3 ，．．
(a bk) (a b 0) (a b 1) (a b 2) (a b n) ）k 0nFra bibliotek（1）
(3 0.25k ) ；
k 0
（2）
(1 2n) ．
n 0
20
【课外作业】 1．在等差数列 {an } 中，（1）已知 a1 20 ， an 54 ， S n 999 ，求 d 及 n ；
（2）某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有 4 根钢管，下面的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有 9 根，怎样计算这根钢管的总数呢？
2．等差数列的前 n 项和的公式及推导：
S n a1 a2 an ①、 S n
n(a1 a n ) n(n 1) d．； ②、 S n na1 2 2
公式的推导方法：倒序相加法．①式已知首末项求和；②式用于已知首项和公差求和．
【课堂研讨】例 1 在等差数列 {an } 中，（1）已知 a1 3 ， a50 101，求 S 50 ；（2）已知 a1 3 ， d
1 ，求 S10 ． 2
例 2.等差数列 {an } 中，已知 d
1 3 15 ， an ， S n ，求 a1 及 n ． 2 2 2
变．在等差数列 {an } 中，（1）已知 a1 7 ， a10 43，求 S10 ；（3）已知 a15 10 ， d 2 ，求 S 20 ；（2）已知 a1 100 ， d 2 ，求 S 50 ；（4）已知 a5 8 ，求 an 和 S n ． a9 24 ，