概率论16
概率论全部
24.設正態總體X～N（μ,σ2）,σ2未知, ,S2是樣本平均值和樣本方差,給定顯著性水準α,檢驗假設Ho：σ2= ,H1：σ2≠ 應使用的檢驗用統計量是（A： ）。
11、設X～b（3，0.5），則P(X≥1)的值是（D:0.875）。
12、已知(X ,Y )的分佈律為
0
1
1
0
1/6
2
1/12
1/6
3
1/2
1/12
則X的邊緣分佈律為（C:
X
0
1
P
13、設連續型隨機變數X的分佈函數為F(x)= 則A的值為（C:0.5）。
14、設X的分佈律為
則E(X)=(C:0.8)
53．设X1，X2，…Xn是总体X的一个样本，g（X1，X2，…Xn）是X1，X2，…Xn的函数，若g是连续函数，且g中不含任何未知参数，则称g（X1，X2，…Xn）是一个统计量。
54．设A与 互为对立事件，则 。
55．若二维随机变量（X，Y）在平面区域D中的密度函数为 其中A为D的面积，则称（X，Y）在区域D上服从均匀分布。
19．设随机测得某化工产品得率的5个样本观察值为82，79，80，78，81，则样本平均值 80。
20．设总体X~N（μ，σ2），x1，x2，…，xn是来自总体X的样本，则σ2已知时，μ的1-a置信区间为 。
21．假设检验可能犯的两类错误是弃真错误和纳伪错误。
22．设总体X～N（μ，σ2），对假设 做假设检验时，所使用的统计量是 它所服从的分布是 。
X
0
1
P
0.2
0.8
15、已知X～b（n, 0.2）則E(X) =(D:0.2n)
概率论与数理统计(完整版)
例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条 件下, 第2次取到奇数的概率.
.
32
(二) 乘法公式:
由条件概 ,立率 即P 定 可 (A 义 0 得 )则 , 有 P(AP B()A)|A P)(.B
P(A 1)P(A2)P(An).(有限可 )
性3质 . 若 AB,则有
P(BA)P(B)P(A);
P (B )P (A ).
一般地有: P(B-A)=P(B)-P(AB).
.
26
性4质 .对任一 A, 事 P(A)件 1.
性5质 .对任一 A , P 事 (A)件 1P(A).
性6质 .对任意A 两 ,B有 事件 P(AB)P(A)P(B)P(A)B.
.
5
(二) 随机事件
定义 样本空间S的子集称为随机事件, 简称事件. 在一 次试验中, 当且仅当这一子集中的一个样本点出现时, 称 这一事件发生.
基本事件: 由一个样本点组成的单点集. 如:{H},{T}.
复合事件: 由两个或两个以上的基本事件复合而成的事件 为复合事件. 如:E3中{出现正面次数为奇数}.
§2. 样本空间与随机事件
(一) 样本空间:
定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样 本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表示.
样本空间的分类:
1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,E2等. 2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}.
.
16
例1. 袋中装有4只白球和2只红球. 从袋中摸球两次,每次任取一球.有两种式: (a)放回抽样; (b)不放回抽样.
1.6 概率论——连续型随机变量的概率分布
41 48
例2：设随机变量 X的概率密度 f ( x)为
f
(
x)
4 x
3
0 x1
0 else
(1)求常数 a，使 P( X a) P( X a)
(2)求常数 b，使 P( X b) 0.05 解：(1) 由于 P( X a) 0, 因此有
P(X a) P(X a) 1
从而由题设得 P( X a) 0.5,且有 0 a 1
解： 由p.d. f .的性质，
f ( x)dx
e2xdx 1
2
0
P( X 2)
f ( x)dx
2e2 xdx e4
2
2
P(X
a2
2
X
a2)
P(X
a2, P(XX a2 a2)2)P(X P(X
a2 2) a2)
2e 2 xdx
a2 2
2e2 xdx
e4
a2
e (
y )2
2 d(
y )1 2
泊松积分： e x2 dx ，
概率论
概率论
正态分布 N (, 2 ) 的图形特点
决定了图形的中心位置， 决定了图形中峰
的陡峭程度.
概率论
正态分布最早是由Gauss在测量误差时得到的，也称为 Gauss分布。后续内容将表明，正态分布在概率统计中有特殊 的重要地位。
概率论
§1.6 c.r.v.的概率密度
c.r.v.及其概率密度的定义 概率密度的性质 三种重要的c.r.v. 小结
概率论
c.r.v.X所有可能取值充满一个区间, 对 这种类型的随机变量, 不能象d.r.v.那样, 以 指定它取每个值概率的方式, 去给出其概 率分布, 而是通过给出 “概率密度函数” (probability density function, p.d.f.) 的方式.
概率论与数理统计_16_指数分布
x0 确是一密度函数． x0
指数分布的累积分布函数（CDF）
若随机变量 X 服从参数 指数分布， 则 X 的分布函数为
0 F x x 1 e
x0 x0
对应模型的特点：无记忆性。 可证明，(课本P46)
P{X s t | X s} P{X t} X是某一元件的寿命。
1 e ( α β ) z , z 0 , z0, 0 ,
Z min X ,Y 的概率密度为
α β e ( α β ) z , z 0 , z fmin z Fmin z0, 0 ,
(ii) 并联的情况 由于当且仅当系统 L1 , L都损坏时 , 系统 L 才停止 2 工作, 所以此时 L 的寿命为
1 e αx , x 0 , FX x 故 x0, 0 , 类似地 , 可求得 Y 的分布函数为 1 e βy , y 0 , FY y y0, 0 ,
x0
x
x
于是 Z min X ,Y 的分布函数为
Fmin z = 1-[1-FX(z)][1-FY(z)]
z
O
z
y
当 z>0 时,
f Z z αe
z 0
α z y
βe βy dy
f Z z αe
z 0
α z y
βe βy dy dy
αβe
αz
z
0
e
β α y
αβ (e αz e βz ). βα
解： X 的密度函数为
x 1 10 e f x 10 0
考研数学必背之概率论16句口诀
考研数学之概率论16句口诀,以供大家参考：
第一章随机事件
互斥对立加减功，条件独立乘除清;
全概逆概百分比，二项分布是核心;
必然事件随便用，选择先试不可能。
第二、三章一维、二维随机变量
1)离散问模型，分布列表清，边缘用加乘，条件概率定联合，独立试矩阵
2)连续必分段，草图仔细看，积分是关键，密度微分算
3)离散先列表，连续后求导;分布要分段，积分画图算
第五、六章数理统计、参数估计
正态方和卡方出，卡方相除变F，
分位维数惹人嫌，导出置信U方甜。
第七章假设检验
检验均值用U-T，分位对称别大意;
方差检验有卡方，左窄右宽不稀奇;
不论卡方或U-T，维数减一要牢记;
代入比较临界值，拒绝必在否定域!
熟记这些口诀能避免在做题当中犯细小的错误，并且有助于在复习过程中对知识点的记忆和巩固。
概率论整理答案
第1章 随机变量及其概率1，写出下列试验的样本空间：(1)连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录投掷的次数。
(2)连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次，记录投掷的次数。
(3)连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。
(4)抛一枚硬币，若出现H 则再抛一次；若出现T ，则再抛一颗骰子，观察出现的各种结果。
解：（1）}7,6,5,4,3,2{=S ；（2）},4,3,2{ =S ；（3）},,,,{ TTTH TTH TH H S =；（4）}6,5,4,3,2,1,,{T T T T T T HT HH S =。
2，设B A ,是两个事件，已知,125.0)(,5.0)(,25.0)(===AB P B P A P ，求)])([(),(),(),(______AB B A P AB P B A P B A P ⋃⋃。
解：625.0)()()()(=-+=⋃AB P B P A P B A P ，375.0)()(])[()(=-=-=AB P B P B A S P B A P ，875.0)(1)(___--=AB P AB P ，5.0)(625.0)])([()()])([()])([(___=-=⋃-⋃=-⋃=⋃AB P AB B A P B A P AB S B A P AB B A P 5，袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率。
（1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。
（2）4只中至少有2只红球。
（3）4只中没有白球。
解: （1）所求概率为338412131425=C C C C ； （2） 所求概率为165674952014124418342824==++C C C C C C ； （3）所求概率为16574953541247==C C 。
6，一公司向M 个销售点分发)(M n n <张提货单，设每张提货单分发给每一销售点是等可能的，每一销售点得到的提货单不限，求其中某一特定的销售点得到)(n k k ≤张提货单的概率。
概率论课件第十六次课
XY 0.005
Cov X , Y XY D( X ) D(Y ) 0.01
D X Y D X D Y 2Cov X , Y
1 4 0.02
4.98
则 P{ X Y 6} P{ X Y 0 6}
2 2
( 2)
2
2 分布的概率密度: 分布的密度函数为
n x 1 1 n2 x 2 e 2，x 0 f ( x ) 2 ( n 2) ， 0 ，x 0
其中( x ) e t
0
t x 1
dt，( x 0)称为伽马函数.
( 3)有关 分布的一些结论 :
一、复习： 1、契比雪夫不等式可以用来干什么？ 设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分 别为1和4，而相关系数为0.005，则根据切比雪夫 不等式求： P{ X Y 6}
解： E X E Y 2, D X 1, D Y 4,
E X Y E X E Y 0
第六章 样本及其分布
第一节 随机样本和统计量
一、总体、个体
1、总体： 研究的对象的某个(或某些)数量指标的 全体,称为总体(母体)， 它是一个随机变量(或多维随机变量).记为X . X的分布函数和数字特征称为总体的分布函数 和数字特征. 2、个体: 组成总体的每一个元素称为个体. 即总体的每个数量指标,可看作随机变量 X 的某个取值.用 X i 表示.
须考虑抽样方法.
最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样” 它要求抽取的样本满足下面两点: 1) 代表性： X1, X2, …, Xn中每一个与所考察的总体 有相同的分布. 2) 独立性： X1, X2, …, Xn是相互独立的随机变量.
概率论课后习题答案
习题1解答1. 写出下列随机试验的样本空间Ω：（1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）； （2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数；（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记为“正品”，不合格的记为“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果； （4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标.解：（1）以n 表示该班的学生人数，总成绩的可能取值为0，1，2，…，100n ，所以该试验的样本空间为{|0,1,2,,100}ii n nΩ==.（2）设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品，样本空间为{10|0,1,2,}k k Ω=+=，或写成{10,11,12,}.Ω=（3）采用0表示检查到一个次品，以1表示检查到一个正品，例如0110表示第一次与第四次检查到次品，而第二次与第三次检查到的是正品，样本空间可表示为{00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=.（3）取直角坐标系，则有22{(,)|1}x y x y Ω=+<，若取极坐标系，则有{(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<.2．设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件. (1)A 发生而B 与C 不发生； (2)A 、B 、C 中恰好发生一个； (3)A 、B 、C 中至少有一个发生； (4)A 、B 、C 中恰好有两个发生； (5)A 、B 、C 中至少有两个发生； (6)A 、B 、C 中有不多于一个事件发生.解：(1)ABC 或A B C --或()A B C -；(2)ABC ABC ABC ；(3)AB C 或ABCABCABCABCABCABCABC ；(4)ABC ABCABC .(5)AB AC BC 或ABC ABC ABCABC ；(6)ABCABCABCABC .3．设样本空间{|02}x x Ω=≤≤，事件{|0.51}A x x =≤≤，{|0.8 1.6}B x x =<≤，具体写出下列事件：(1)AB ；（2）A B -；（3）A B -；（4）A B .解：（1）{|0.81}AB x x =<≤； （2）{|0.50.8}A B x x -=≤≤；（3）{|00.50.82}A B x x x -=≤<<≤或； （4）{|00.5 1.62}AB x x x =≤<<≤或.4. 一个样本空间有三个样本点， 其对应的概率分别为22,,41p p p -， 求p 的值. 解：由于样本空间所有的样本点构成一个必然事件，所以2241 1.p p p ++-=解之得1233p p =-=-，又因为一个事件的概率总是大于0，所以3p =- 5. 已知()P A =0.3，()P B =0.5，()P A B =0.8，求(1)()P AB ；(2)()P A B -；(3)()P AB .解：(1)由()()()()P AB P A P B P AB =+-得()()()()030.50.80P AB P A P B P A B =+-=+-=.(2) ()()()0.300.3P A B P A P AB -=-=-=. (3) ()1()1()10.80.2.P AB P AB P AB =-=-=-=6. 设()P AB =()P AB ，且()P A p =，求()P B . 解：由()P AB =()1()1()1()()()P AB P AB P AB P A P B P AB =-=-=--+得()()1P A P B +=，从而()1.P B p =-7. 设3个事件A 、B 、C ，()0.4P A =，()0.5P B =，()0.6P C =，()0.2P AC =，()P BC =0.4且AB =Φ，求()P A B C .解：()()()()()()()()0.40.50.600.20.400.9.P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+=++---+=8. 将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率. 解：依题意可知，基本事件总数为34个.以,1,2,3i A i =表示事件“杯子中球的最大个数为i ”，则1A 表示每个杯子最多放一个球，共有34A 种方法，故34136().416A P A ==2A 表示3个球中任取2个放入4个杯子中的任一个中，其余一个放入其余3个杯子中，放法总数为211343C C C 种，故211343239().416C C C P A == 3A 表示3个球放入同一个杯子中，共有14C 种放法，故14331().416C P A ==9. 在整数0至9中任取4个，能排成一个四位偶数的概率是多少?解：从0至9 中任取4个数进行排列共有10×9×8×7种排法.其中有(4×9×8×7－4×8×7＋9×8×7)种能成4位偶数. 故所求概率为4987487987411098790P ⨯⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯==⨯⨯⨯. 10. 一部五卷的文集，按任意次序放到书架上去，试求下列事件的概率：(1)第一卷出现在旁边；(2)第一卷及第五卷出现在旁边；(3)第一卷或第五卷出现在旁边；(4)第一卷及第五卷都不出现在旁边；(5)第三卷正好在正中.解：(1)第一卷出现在旁边，可能出现在左边或右边，剩下四卷可在剩下四个位置上任意排，所以5/2!5/!42=⨯=p .(2)可能有第一卷出现在左边而第五卷出现右边，或者第一卷出现在右边而第五卷出现在左边，剩下三卷可在中间三人上位置上任意排，所以 10/1!5/!32=⨯=p .(3)p P ={第一卷出现在旁边}+P{第五卷出现旁边}-P{第一卷及第五卷出现在旁边}2217551010=+-=. (4)这里事件是(3)中事件的对立事件，所以 10/310/71=-=P .(5)第三卷居中，其余四卷在剩下四个位置上可任意排，所以5/1!5/!41=⨯=P . 11. 把2，3，4，5诸数各写在一X 小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率.解：末位数可能是2或4.当末位数是2(或4)时，前两位数字从剩下三个数字中选排，所以 23342/1/2P A A =⨯=.12. 一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客.电梯在每一层都停，乘客从第二层起离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的，求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率.解：每位乘客可在除底层外的9层中任意一层离开电梯，现有7位乘客，所以样本点总数为79.事件A “没有两位及两位以上乘客在同一层离开”相当于“从9层中任取7层，各有一位乘客离开电梯”.所以包含79A 个样本点，于是7799)(A A P =.13. 某人午觉醒来,发觉表停了, 他打开收音机,想听电台报时, 设电台每正点是报时一次,求他(她)等待时间短于10分钟的概率.解:以分钟为单位, 记上一次报时时刻为下一次报时时刻为60, 于是这个人打开收音机的时间必在),60,0(记 “等待时间短于10分钟”为事件,A 则有(0,60),Ω=)60,50(=A ,⊂Ω于是)(A P 6010=.61= 14. 甲乙两人相约812-点在预定地点会面。
16-17《概率论》试卷A
河北科技大学理工学院2016--2017学年第一学期《概率论》期末考试试卷（A ）学院 班级 姓名 学号一. 填空题（每小题3分，共30分）1. 设A 与B 相互独立,()0.5,()0.9P A P A B ==U ,则()P B = .2. 三人独立地破译一密码，他们能单独破译出的概率分别为13,14,15，则此密码被破译出的概率为 ．3. 设随机变量X 的分布律为()3{},1,2,4kP X k c k ===L ，则c = .4. 设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则{()}P X E X == ．5. 设随机变量~(1,6)K U ,则关于x 的方程240x x K ++=有实根的概率是 .6. 已知随机变量X 与Y 独立同分布，且1{0}{1}2P X P X ====，设Z X Y =+，则{0}P Z == .7. 设()1,()2E X D X =-=,则2(32)E X -= .8. 设随机变量X 与Y 的方差分别为1和4，相关系数为0.25，则=+)(Y X D . 9. 设随机变量X 的方差为1，则由切比雪夫不等式可知{|()|2}P X E X -≥≤ . 10. 设n μ是n 次独立重复试验中事件A 出现的次数，p 是A 在每次试验中出现的概率，则对任意的0ε>，有lim n n P p n με→∞⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭.二. 单项选择题（每小题3分，共18分）1. 设随机事件A 与B 互不相容，则 【 】 (A)()0P AB =(B)()()()P AB P A P B =⋅ (C)()1()P A P B =- (D)()1P A B =U2. 设某连续型随机变量X 的分布函数是(1),0()0,0x k x e x F x x -⎧-+≥=⎨<⎩则常数k 的值是 【 】(A)1k = (B) 0k = (C) 1k =- (D) k 为任意常数 3. 设2~(,4)X N μ,2~(,5)Y N μ,记1{4}p P X μ=≤-,2{5}p P X μ=>+，则 【 】(A) 对任何实数μ ,都有12p p = (B) 对任何实数μ ,都有12p p < (C) 对任何实数μ ,都有12p p > (D) 只对个别的μ ,才有12p p =4. 设随机变量X 的密度函数为()f x ，则23Y X =-的密度函数()Y f y 为 【 】(A) 13()22y f +-(B) 13()22y f -- (C) 13()22y f + (D) 13()22y f - 5. 若随机变量X 与Y 满足)()()(Y E X E XY E =，则 【 】(A)X 与Y 相互独立 (B) ()()()D X Y D X D Y -=+ (C)1XY ρ= (D) ()()()D X Y D X D Y -=-6. 设随机变量Y X ,分别服从(0,1)N 和(1,1)N ,且X 与Y 相互独立，则 【 】(A)1{0}2P X Y +≤= (B)1{1}2P X Y +≤=(C)1{0}2P X Y -≤= (D)1{1}2P X Y -≤=三．计算题（共52分）1.（10分）现有一批零件是由甲、乙两人共同加工而成的，其中甲加工了60%，乙加工了40%，甲加工的零件的次品率为10%，乙加工的零件的次品率为15%， (1) 从这批零件中任取一只，求取到次品的概率； (2) 若已知取到的是次品，求它是甲生产的概率.101111424X P -011122Y P 2. （10分）设连续型随机变量X 的概率密度函数为23(1),118()0,x x f x ⎧--<<⎪=⎨⎪⎩其他求（1）X 的分布函数F (x );（2）概率{02}P X <≤；(3)()E X .3. (10分)设X 与Y 为相互独立的离散随机变量，概率分布律分别为求 (1)(,)X Y 的联合分布律；(2){}P X Y =.分）设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数4,01,01(,)0,xy x y f x y <<<<⎧=⎨⎩其他求 (1)X 的边缘概率密度函数()X f x ；(2){}P X Y ≤； (3)()E XY .5. (10分) 某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户中占20%．现随意抽查100个索赔户，设X 表示这100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数． (1) 写出X 的概率分布律；(2) 利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户的概率的近似值． 注：(1.5)0.933Φ=。
16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用
16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用概率分布是统计学中一个重要的概念，用于描述随机变量在各个取值上的概率分布情况。
常见的概率分布有16种，它们分别是均匀分布、伯努利分布、二项分布、几何分布、泊松分布、正态分布、指数分布、负二项分布、超几何分布、Gumbel分布、Weibull分布、伽马分布、Beta分布、对数正态分布、卡方分布和三角分布。
以下将逐一介绍这些概率分布的概率密度函数、意义及其应用。
1. 均匀分布（Uniform Distribution）：概率密度函数为f(x)=1/(b-a)，意义是在一个区间内所有的取值具有相同的概率，应用有随机数生成、模拟实验等。
2. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）：概率密度函数为P(x)=p^x*(1-p)^(1-x)，意义是在两种可能结果中，成功或失败的概率分布，应用有二分类问题的建模。
3. 二项分布（Binomial Distribution）：概率密度函数为P(x)=C(n,x)*p^x*(1-p)^(n-x)，意义是在n次独立重复试验中，成功次数为x的概率分布，应用有二分类问题中的n次重复试验。
4. 几何分布（Geometric Distribution）：概率密度函数为P(x)=p*(1-p)^(x-1)，意义是独立重复试验中，第x次成功所需的试验次数的概率分布，应用有描述一连串同样试验中第一次获得成功之前所需的试验次数。
5. 泊松分布（Poisson Distribution）：概率密度函数为P(x)=(e^(-λ)*λ^x)/x!，意义是在给定时间或空间内事件发生的次数的概率分布，应用有描述单位时间或单位空间内的事件计数问题。
6. 正态分布（Normal Distribution）：概率密度函数为P(x) = (1 / sqrt(2πσ^2)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))，意义是描述连续变量的概率分布，应用广泛，例如测量误差、人口身高等。
概率论基础(第二版)课后答案_李贤平_高等教育出版社(1-5章全)
第一章 事件与概率1、若A ，B ，C 是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1)A ABC =；(2)A C B A =U U ；(3)C AB ⊂；(4)BC A ⊂.2、试把n A A A U L U U 21表示成n 个两两互不相容事件的和．3、若A ，B ，C ，D 是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）A ，B 都发生而C ，D 都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中至多发生一个。
4、证明下列等式：（1）1321232−=++++n n n n n n n nC C C C L ； （2）0)1(321321=−+−+−−n n n n n n nC C C C L ； （3）∑−=−++=r a k r a b a k b r k a C C C0.5、袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。
6、一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边；（2）第一卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；（5）第三卷正好在正中。
7、把戏，2，3，4，5诸数各写在一小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率。
8、在一个装有n 只白球，n 只黑球，n 只红球的袋中，任取m 只球，求其中白、黑、红球分别有)(,,321321m m m m m m m =++只的概率。
9、甲袋中有3只白球，7办红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球。
现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。
10、由盛有号码L ,2,1，N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球，依次记下其号码，试求这些号码按严格上升次序排列的概率。
11、任意从数列L ,2,1，N 中不放回地取出n 个数并按大小排列成：n m x x x x <<<<<L L 21，试求M x m =的概率，这里N M ≤≤1。
概率论答案
习题二答案1．随机变量的分布函数、分布律、密度函数有何联系与区别？ 答：随机变量的分布刻画了随机变量的取值规律，不管是连续型、离散型或既不是连续型，也不是离散型随机变量都可用分布函数来描述其取值的规律；而分布律只用来描述离散型随机变量的取值规律；密度函数只能来描述连续型随机变量的取值规律。
它们的联系在于当知道了X 的分布律，可通过求概率P {X ≤x }（x 取任意的值）求得X 的分布函数F (x );仅之亦然。
当知道了连续型随机变量的密度函数f (x ),可通过积分F (x )=∫dt x−∞ (−∞≤x ≥+∞) ,求得分布函数F (x ), 可通过对F (x )求导，即dy dx F (x )=f (x )（对一切f (x )的连续点处）求得密度函数f (x )。
2. 同时掷两枚骰子,求两枚骰子的点数之和X 的概率分布,并计算P{X ≤3}和P{X>13}.解：由题意X 的正概率点为2，3，…12 P {X =k }=6−|k−7|36 , k=2,3, (12)P {X ≤3}=P {X =2}=P {X =3}=136+236=112P {X >12}=P {∅}=03. 某产品共17件,其中有次品3件,现从中任取5件,求抽得次品数X 的概率分布,并计算P{1≤X<2} 解：P {X =k }=C 3k C 145−k C 175 , P {1≤X <2}=C 31C 144C 1754. 一汽车沿一街道行驶,需要通过三个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立,且红绿两种信号显示的时间相等,以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数,求X 的概率分布解：X 的可能取值为0,1,2,3 A i (i=1,2,3)表示事件“汽车在第i 个路口首次遇到红灯”；A 1,A 2,A 3 相互独立，且P (A i )=P (A i ̅)=12，i=1,2,3对于m =0,1,2,3 ，有P {X =0}=P {A i }=12 P {X =1}=P {A 1̅̅̅A 2}=12P {X =2}=P {A 1̅̅̅ A 2̅̅̅A 3}=123 P {X =3}=P {A 1̅̅̅ A 2̅̅̅ A 3̅̅̅}=1235．设随机变量X 的概率密度为：f (x )={13 x ∈[0,1]29x ∈[3,6]0 其他 若k 使得P {X ≥k }=23, 求k 的取值范围。
概率论课后习题解答
一、习题详解：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数;解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω；(2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和;解：}{12,11,4,3,22 =Ω；(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{,2,1,03=Ω； (4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：()}{;51,4≤≤=Ωj i j i(5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离;解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度.解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ；1.2 设A ，B ，C 为三事件, 用A;B;C 的运算关系表示下列各事件：(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃；(3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃；(5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃；(6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃； (7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC ；(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ；注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
概率论知识点
（10）加法公式
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)
（11）减法公式
P(A-B)=P(A)-P(AB)
当B A时，P(A-B)=P(A)-P(B)
当A=Ω时，P( )=1- P(B)
（12）条件概率
定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称 为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为 。
泊松分布
设随机变量 的分布律为
， ， ，
则称随机变量 服从参数为 的泊松分布，记为 或者P( )。
泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。
超几何分布
随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。
几何分布
，其中p≥0，q=1-p。
随机变量X服从参数为p的几何分布，记为G(p)。
若事件、相互独立，则可得到与、与、与也都相互独立。
必然事件和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。
Ø与任何事件都互斥。
②多个事件的独立性
设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，
P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)
并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
Z=X+Y
根据定义计算：
对于连续型，fZ(z)＝
两个独立的正态分布的和仍为正态分布（ ）。
n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。
，
Z=max,min(X1,X2,…Xn)
若 相互独立，其分布函数分别为 ，则Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布函数为：
概率论2016_经济应用数学三()
2066- 经济应用数学三（概率论）单项选择题1．设A，B 为随机事件，则（）。
A.AB.BC.ABD.φ答案：A2．设A，B为两随机事件，且B?A，则下列式子正确的是（）。
A.P(A∪B)=P(B)B.P(AB)=P(B)C.P(B|A)=P(B)D.P(B-A)=P(B)-P(A)答案：B3．从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记：A=“取到2只白球”则=（）。
A.取到2只红球B.取到1只红球C.没有取到白球D.至少取到1只红球答案：D4．设对于随机事件A、B、C,有P(A)=P(B)=P(C)=1/4,且P(AB)=P(BC)=0，则三个事件A、B、C, 至少发生一个的概率为（）。
A.3/8B.5/8C.3/4D.5/4答案：B5．设事件A与B同时发生时，事件C一定发生，则（）。
A.P(A B)=P(C)B.P(A)+P(B)-P(C)≤1C.P(A)+P(B)-P(C)≥1D.P(A)+P(B)≤P(C)答案：B6．进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（）。
A.p2(1-p)3B.4p(1-p)3C.5p2(1-p)3D.4p2(1-p)3答案：D7．设A, B是任意两个概率不为零的互不相容事件, 则必有（）。
A.P(AB)=P(A)P(B)B.P(A-B)=P(A)C.与互不相容D.与相容答案：B8．设某人向一个目标射击, 每次击中目标的概率为0.8 , 现独立射击3次, 则3次中恰好有2次击中目标的概率是（）。
答案：A9．对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（）。
A.样本空间B.必然事件C.不可能事件D.随机事件答案：D10．事件A，B相互独立，且P(A)=0.7，P(B)=0.6，P(A-B)=（）。
答案：A11．事件A，B相互独立，且P(A)=0.7，P(B)=0.2，P(A-B)=（）。
答案：C12．设A,B为两个随机事件，且P(B)>0,P(A│B)=1则有（）。
16年秋概率论与数理统计(C)期末试卷A
中国农业大学2016 ~2017学年秋季学期概率论与数理统计（C ）课程考试试题（A ）一、 填空题 （每空3分，满分21分）1. 已知()0.7=P AB ，则1()()()P A P B P AB --+=___0.7____。
2. 设~(1,0.5),1,2,3=i X B i ，且相互独立，则31{13}=≤<=∑i i P X __3/4_____。
3. 设随机变量X 服从正态分布2(,2)N μ，已知3{ 1.5}2{ 1.5}≥=<P X P X ，且(0.25)0.6Φ=，则=μ __ 1_____。
4. 已知随机变量X 的概率密度为,01()0,+<<⎧=⎨⎩ax b x f x else ，且5{0.5}8>=P X ，则=a ___1____，=b ___ 0.5 ___。
5. 设总体X 服从参数为2=λ的泊松分布，12,,...n X X X 为总体的一个样本，则当n →∞时，211n i i Y X n ==∑依概率收敛于___6____。
6. 已知~(2,6),1,2,3=i X N i ，且相互独立，则2()=E X ___6____。
二、选择题 （每题3分，满分15分）1.若()0=P AB ，则下列正确的是（A ） （A ）()()()=+P A B P A P B （B ）()0=P A 或()0=P B （C ）A 、B 互不相容（D ）A 、B 互为对立事件考生诚信承诺1． 本人清楚学校关于考试管理、考场规则、考试作弊处理的规定，并严格遵照执行。
2． 本人承诺在考试过程中没有作弊行为，所做试卷的内容真实可信。
专业：________班级：________学号：________姓名：________2．设随机变量X 服从标准正态分布，对给定的α(0<α<1)，数z α满足{}>=P X z αα，若{}<=P X x α，则x 等于（ C ）（A ）2z α（B ）21z α-（C ）12z α-（D ）12z α-3. (){}=≤F a P X a ，则{}==P X a （ D ）（A ）()(0)F a F a -+（B ） 0 （C ）(0)()F a F a +-（D ）()(0)F a F a --4．若二维随机变量(X,Y)的概率密度为1,12,12(,)0,x y f x y else <<<<⎧=⎨⎩，则 X Y ≤的概率为（ B ） （A ）14（B ）12（C ）23（D ）135．设总体X 服从正态分布2(,)N μσ，其中2σ已知，若在样本容量不变情况下增大置信度，则总体均值μ的置信区间的长度会（A ）（A ）随之增大（B ）增减不变（C ）随之减小（D ）增减不定三、（10分）根据以往的临床记录，得到某种疾病的诊断数据。
概率论 习题解答 全
其分布律为
P{X
k}
Ck 100
0.8k
0.2100k
，k
0,1, 2,,100
所求的概率为 P{X 70}
由德莫弗――拉普拉斯定理可求它的近似值
P{X 70} P{ X 100 0.8 70 100 0.8 } 100 0.8 0.2 100 0.8 0.2
P{ X 80 10} P{ X 80 5}
Xi
1，第i个部件在整个运行期间工作 0，第i个部件在整个运行期间损坏 （ i
0,1, 2,,100 ），
由题设知 Xi （ i 0,1, 2,,100 ）相互独立，且 P{Xi 1} 0.9 ， P{Xi 0} 0.1，
设 X
100
X i ，则 X
i 1
b(100, 0.9) 。由德莫弗――拉普拉斯定理知，
))2
1.713
(1.29)2
0.0489
300
以 X 表示总收入，即 X X i ，由独立同分布中心极限定理，得 i 1
300
300
Xi 3001.29 Xi 387
i 1
i1
N (387,14.67)
300 0.0489
14.67
则收入超过 400 元的概率为
300
300
P{ Xi 400} 1 P{ Xi 400}
X 100 0.9
近
100 0.9 0.1
似地服从正态分布 N (0,1) ，从而
P{X 85} 1 P{X 85}
1 P{ X 100 0.9 85 100 0.9 } 100 0.9 0.1 100 0.9 0.1
1 ( 5) (5) (1.67) 0.9525 33
r.v概率论
r.v概率论概率论是数学中的一个重要分支，主要研究随机现象发生的规律性。
在日常生活中，我们经常会遇到各种随机事件，如掷硬币、抛骰子、购买彩票等等。
通过概率论的研究，我们可以更好地理解和预测这些事件的发生概率，从而做出合理的决策。
概率论的核心概念之一是事件的概率。
概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，通常用一个介于0和1之间的数来表示。
当事件发生的可能性越大，其概率值就越接近1；反之，概率值越接近0。
例如，抛硬币时正面朝上的概率为0.5，抛骰子时点数为6的概率为1/6。
在概率论中，我们还会遇到一些重要的概念，如样本空间、随机变量、事件的独立性等。
样本空间是指所有可能结果的集合，随机变量是描述随机现象结果的变量，事件的独立性表示一个事件的发生不受其他事件的影响。
概率论在现代科学和工程领域有着广泛的应用。
在统计学中，概率论是建立统计模型和进行推断的基础。
在金融领域，概率论被用来进行风险管理和投资决策。
在计算机科学中，概率论被应用于算法设计和机器学习。
可以说，概率论贯穿于各个学科的研究和实践中，发挥着重要的作用。
除了在学术和专业领域中的应用，概率论也对我们日常生活中的决策产生着影响。
通过概率论的思维方式，我们可以更好地评估风险、制定计划和做出选择。
例如，在购买彩票时，我们可以通过计算中奖的概率来决定是否值得购买；在制定投资策略时，我们可以通过分析市场波动的概率来降低风险。
总的来说，概率论是一门既有理论基础又有实践应用的学科，它帮助我们理解和解释随机现象的规律，指导我们进行科学决策。
通过学习和掌握概率论的知识，我们可以更好地应对生活中的各种不确定性，提高决策的准确性和效率。
希望大家能够重视概率论的学习，将其理论与实践相结合，发挥其在各个领域的重要作用。
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❖ 二、相关系数
❖ 定义:设(X,Y)是二维随机向量,若方差DX>0,DY>0,则称
XY
COV (X ,.Y ) 为X与Y的相关系数 DX DY
❖ 显然, ρXY与协方差COV(X,.Y)同号,ρXY反映了X与Y的线性相
关程度(关系)
❖ 当ρXY >0时 ,X与Y正相关 . 当ρXY <0时,X与Y负相关.
❖ 记作COV(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)] ❖ 当X,Y是离散型随机向量.
COV (X ,Y )
(xi EX )(y j EY)Pij
ij
❖ 当X,Y是连续型随机向量
COV ( X ,Y )
(x EX )( y EY ) f (x, y)dxdy
❖ 协方差的性质
❖
定当理ρX1Y:=0时
,X与Y不相关.
1 XY 1
❖ 证明: 构造:
E[t(X EX) (Y EY)]2
E[t2 (X EX)2 2t(X EX)(Y EY) (Y EY)2 ]
t 2 DX 2tCOV ( X .,.Y ) DY 0
故 0
[2COV ( X ,.Y )]2 4DX .DY 0
X与Y独立 协方差为O 不相关
❖ (5) D(X±Y)=DX+DY±2COV(X,Y)
❖ (6) COV(ax,bY)=abCOV(X,Y)
❖ (7) COV(ax+b,cY+d)=ac COV(X,Y)
❖ (8) COV(X1+X2,Y)=COV(X1,Y)+COV(X2,Y) ❖ (9) [COV(X,Y)]2≤DX.DY
只说明两个随机变量之间没有线性关系,而“独立”说明两个 随机变量之间既无线性关系,也无非线性关系.所以 “独立”必 导致 “ 不相关”,而 “不相关”不一定导致 “ 独立”
❖ 定理4 随机变量X,Y不相关与下列命题之一等价
❖ (1) COV(X,Y)=0 (2)E(XY)=EX·EY (3)D(X±Y)=DX+DY
❖ 请看下例:
❖ 例如:X~N(O,1) Y=X2 EX=0 DX=1
❖ EY=E(X2)=1 (P147) .例题 E(XY)=E(X·X2)=E(X3)=0
❖ 可见 COV(X,Y)=E(XY)-EX·EY =0-0×1=0
❖ 从而ρxy=0,但是X与Y确有函数关系:Y=X2,不能说X与Y独立. ❖ 注:两个随机变量间独立与不相关是两个不同的概念. “不相关”
(X ,Y )
~
N
(u1
,
u
2
,
2 1
,
2 2
,
)
求X,Y的相关系数ρxy.
❖ 解:
(X ,Y )
~
N
(u1
,
u
2
,
2 1
,
2 2
,
COV (X, aX b) aX D(aX b)
E{(X EX )[aX b E(aX b)} DX a2DX
aE(X EX)2 aDX DX a2DX DX a DX
aDX a DX
1 1
❖ 必要性:若ρxy=±.1考察下面方差
a0 a0
D
X DX
Y DY
D X D Y 2 cov X , Y
DX DY 2EXY 2EX EY
DX DY 2[EXY EXEY EXEY EXEY]
DX DY 2E[( X EX )(Y EY )]
❖ 其中E[(X-EX)(Y-EY)]反映了X,Y不独立的事实
❖ 定义:设(X,Y)为二维随机向量,若方差DX,DY都存在, 则称E[(X-EX)(Y-EY)]为X与Y的协方差或相关矩.
DX
DY
DX DY
DX DX
DY DY
2
cov(X, Y) DX DY
2[1 XY ]
当XY 1时
D X Y 0 DX DY
❖ 而方差为零的变量必几乎处处为常数
❖ 即 P X
Y
C
1
DX DY
或
PY
DY X C
DY DY 为正, DX
❖ 引入：由上一节可知,当(X,Y)是二维随机向量,当X与Y相 互独立时,D(X±Y)=DY+DY
❖ 一般的情况呢?
D(X Y) E(X Y)2 [E(X Y)]2
E(X2 2XY Y2) (EX EY)2 EX2 2EXY EY2 (EX)2 2EXEY (EY)2
不相关 协方差为0 积的期望等于期望之积 代数和的方差等于方差之和.
❖ X与Y独立与COV(X,Y)与相关系数ρxy的关系:
X, Y独立 COV (X, Y) 0 XY 0 E(XY) EX EY D(X Y) DX DY
❖ 例1.设二维随机向量(X,Y)服从二维正态分布
同理 XY 1 有
P X Y C 1 或 DX DY
PY
DY X C
DY 1
DX
❖ X与Y具有线性相关关系,斜率
DY DX
为负
❖ 定理3 若X与Y是相互独立的随机变量,则ρxy=0 或者说:当 ρxy=0,则X与Y无线性关系.但不排除有非线性关系.
❖ 证明:由于X与Y独立,可知COV(X,Y)=0 ρxy=0但从ρxy=0.X与 Y不一定独立
COV 2 ( X ,.Y ) DX .DY
COV 2 ( X .,Y ) 1 DX DY
2 XY
1
1 XY 1
❖ 定理2: 特别地, ρxy=±1的充要条件P{Y=ax+b}=1:X与Y具有 线性相关的概率为1
❖ 证明:充分性:若Y= ax+b,则
XY
COV (X,.Y) DX DY
第十六次课 §4.3 随机向量的数字特征
第四章 习题小结
❖ 复习:随机变量的方差
DX E(X EX )2 ❖ 当X为离散型
DX
(x
i
Ex )2Pi j
❖ 当X为连续型
DX (X EX )2 f (x, y)dxdy
❖ 常用公式
DX EX2 (EX)2
协方差与相关系数
❖ 一、协方差
❖ (1) COV(X,C)=0 (2) COV(X,Y)=COV(Y,X)
❖ (3) COV(X,Y)=EXY-EX.EY ❖ 证明:COV(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]
❖
=E[XY-XEY-YEX+EX.EY]
❖
=EXY-EX.EY-EYEX+EX.EY =EXY-EX.EY
❖ (4) 当X与Y独立 COV(X,Y)=0