高等数学期末模拟考试卷(含答案)
数学高数期末试题及答案
数学高数期末试题及答案第一部分：选择题1. 设函数 $f(x) = e^x + \ln x$，则 $f'(1) =$ ( )A. $e$B. $e+1$C. $1$D. $0$2. 设二元函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(1,2)$ 处可微，则 $\frac{\partialz}{\partial x}$ 在该点的值为 ( )A. $f_x(1,2)$B. $f_y(1,2)$C. $0$D. $f(1,2)$3. 设平面$2x+y+z=2$，直线$L$ 过点$(1,1,1)$，且与该平面平行，则直线 $L$ 的方程为 ( )A. $x=y=z$B. $2x+y+z=4$C. $x=y=z=1$D. $x+y+z=3$第二部分: 简答题1. 解释什么是极限？极限是一个函数在某一点或者无穷远处的值或趋近于的值。
对于一个给定的函数，当自变量趋近某一特定值时，函数的值也会趋近于某个特定的值。
2. 什么是导数？导数是函数在某一点的切线斜率。
在数学中，导数表示函数在给定点的变化率。
第三部分: 解答题1. 计算函数 $f(x) = \sin(x) - \cos(x)$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 上的最大值和最小值。
首先，我们求解导数 $f'(x)$，然后令其等于零，解得$x=\frac{\pi}{4}$。
此时，我们可以计算得到 $f(\frac{\pi}{4}) =\sqrt{2}-1$。
另外，我们可以计算 $f(0) = 1$ 和 $f(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}-1$。
所以，函数 $f(x)$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 上的最大值为 $1$，最小值为 $\sqrt{2}-1$。
2. 计算二重积分 $\iint_D x^2 y \,dA$，其中 $D$ 是由直线 $x=0$，$y=0$ 和 $x+y=1$ 所围成的区域。
高等数学期末试题(含答案)
高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。
选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。
3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。
4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。
5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。
二。
填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。
2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。
3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。
4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。
《高等数学Ⅰ(一)》课程期末考试试卷(模拟卷C)及参考答案
《高等数学Ⅰ（一）》课程期末考试试卷（模拟卷C ）一、选择题（每题4分，共40分） 1．设函数()f x 在0x 处可导，则极限000()()lim2h f x h f x h h→+−−=A ．0()f x ′B ．02()f x ′C ．01()2f x ′D ．20[()]f x ′2．函数11(e e)tan ()(e e)xxx f x x +⋅=−在区间[π,π]−上的第一类间断点是A ．0B ．1C．．π23．设sin 20()sin d xf x t t =∫，34()g x x x =+，则当0x →时，()f x 是()g x 的A ．等价无穷小B ．同阶但非等价无穷小C ．高阶无穷小D ．低阶无穷小4．设()d arcsin xf x x x C =+∫，则1d ()x f x =∫A ．3223(1)4x C −−+B ．2233(1)4x C −+C ．3221(1)3x C −−+D ．2232(1)3x C −+5．微分方程3232e x y y y x ′′′−+=−有特解形式 A ．e x ax b + B ．e x ax b c ++ C ．e x ax bx + D ．e x ax b cx ++6．已知函数()f x 在[0,1]上二阶可导，且10()d 0f x x =∫，则A ．当()0f x ′<时，102f<B ． 当()0f x ′′<时，102f<C ．当()0f x ′>时，102f<D ． 当()0f x ′′>时，102f<7．已知1()(12ln )f x x x ′=+，且(1)1f =，则()f x =A ．ln |12ln |1x ++B ．1ln |12ln |12x ++C ．1ln |12ln |2x +．2ln |12ln |1x ++8．把24y ax =及00(0)xx x >所围成的图形绕x 轴旋转，所得旋转体的体积V =A ．20πaxB ．02πaxC ．30πaxD ．202πax9．设π40ln sin d I x x =∫，π40ln cos d J x x =∫，π40ln cot d K x x =∫，则 A ．I J K << B ．I J K >> C ．J I K << D ．J I K >>10．函数()f x 为连续函数，则21d ()d d f x t t x +=∫ A ．0B ．(2)(1)f f −C ．(2)(1)f x f x +−+D ．(2)f x +二、填空题（每题4分，共24分）1．极限30tan sin lim ln(1)x x xx →−=+___________．2．设函数()f x 连续，20()()d x x xf t t ϕ=∫，若(1)1ϕ=，(1)5ϕ′=，则(1)f =___________．3．已知2121x y f x − = +，2()arctan f x x ′=，则0d x y ==___________．4．定积分41220201sin 3||d 1x x x x x x − += +∫___________．5．广义积分2=∫___________．6．设()d ()f x x F x C =+∫，则(2)d f x x =∫___________．三、解答题（每题6分，共36分）1．设函数()y f x =是由方程21e yx y −+=所确定的隐函数，求22d d x yx=．2． 由3y x =，2x =，0y =所围成的平面图形分别绕x 轴和y 轴旋转一周，计算所得几何体的体积．3．计算定积分．（1）10x x ∫．（2）x ∫．4．求微分方程d 24d yxy x x=−+满足(0)0y =的特解．5．证明：当0x >时，arctan ln(1)1xx x+>+．6．设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有一阶和二阶导数．证明：若在(,)a b 内()0f x ′′>，则对12[,]x x a b ∀∈，有12121212()()3333f x x f x f x +<+ ．《高等数学Ⅰ（一）》课程期末考试试卷（模拟卷C ）解答参考一、选择题（每题4分，共40分） 1．设函数()f x 在0x 处可导，则极限000()()lim2h f x h f x h h→+−−=A ．0()f x ′B ．02()f x ′C ．01()2f x ′D ．20[()]f x ′答案 A 解析 000000000()()()()()()1limlim ()22h h f x h f x h f x h f x f x h f x f x h h h →→+−−+−−−′=+= −，故本题选A ． 2．函数11(e e)tan ()(e e)xxx f x x +⋅=−在区间[π,π]−上的第一类间断点是A ．0B ．1C．．π2答案 A解析 在区间[π,π]−上()f x 的间断点有0，π2±，显然，π2±均为第二类间断点（无穷间断点），下面考察0x =．因1100e e e e lim ()lim lim 1e e e e txt t x x x f x ++→+∞→→++===−−，1100e e e elim ()lim lim 1e e e et xt t x x x f x −−→−∞→→++===−−−， 所以0x =是函数的第一类间断点（跳跃间断点），故本题选A ． 3．设sin 20()sin d xf x t t =∫，34()g x x x =+，则当0x →时，()f x 是()g x 的A ．等价无穷小B ．同阶但非等价无穷小C ．高阶无穷小D ．低阶无穷小答案 B 解析 因sin 2222043323232000000sin d ()sin(sin )sin 11lim lim limlim lim lim ()434343433xx x x x x x t t f x x x x g x x x x x x x x x x →→→→→→======+++++∫， 所以当0x →时，()f x 是()g x 的同阶但非等价无穷小，故选B 项．4．设()d arcsin xf x x x C =+∫，则1d ()x f x =∫A ．3223(1)4x C −−+B ．2233(1)4x C −+C ．3221(1)3x C −−+D ．2232(1)3x C −+答案 C解析 因为()d arcsin xf x x x C =+∫，两边求导得()xf x =所以1()f x =．因此3222111d )(1)()23x x x x C f x =−−=−−+∫∫，5．微分方程3232e x y y y x ′′′−+=−有特解形式 A ．e x ax b +B ．e x ax b c ++C ．e x ax bx +D ．e x ax b cx ++答案 D解析 原方程对应齐次方程的特征方程为21232012r r r r −+=⇒==，．考虑2112323e e x x y y y x y ax b c c ′′′−+⇒+++，考虑2112322e e e e x x x x y y y y cx c c ′′′−+=−⇒=++，根据线性微分方程的叠加原理可知，原方程通解为212e e e x x x ax b cx c c ++++，故选D 项．6．已知函数()f x 在[0,1]上二阶可导，且10()d 0f x x =∫，则A ．当()0f x ′<时，102f<B ． 当()0f x ′′<时，102f<C ．当()0f x ′>时，102f<D ． 当()0f x ′′>时，102f<答案 D思路分析 条件中出现二阶可导，可尝试泰勒公式．解析 将()f x 泰勒展开：21111()()2222f x f f x f x ξ ′′′=+−+− ，(0,1)ξ∈，所以 21101111()d ()d 2222f x x ff x f x x ξ′′′=+−+− ∫∫ 21110001111d d ()d 2222f x f x x f x x ξ ′′′+−+− ∫∫∫210110()d 022f f x x ξ′′++−=∫，所以当()0f x ′′>时，102f< ，故本题选D ．7．已知1()(12ln )f x x x ′=+，且(1)1f =，则()f x =A ．ln |12ln |1x ++B ．1ln |12ln |12x ++C ．1ln |12ln |2x +．2ln |12ln |1x ++答案 B 解析 因为111111()(1)()d (1)d 1d(12ln )(12ln )212ln xx x f x f f t t f t t t t t=+=+=++++∫∫∫ 1111[ln(12ln )]ln |12ln |122x t x =++=++，8．把24y ax =及00(0)xx x >所围成的图形绕x 轴旋转，所得旋转体的体积V =A ．20πaxB ．02πaxC ．30πaxD ．202πax答案 D解析 由旋转体体积公式可得022πd π4d 2πx x V y x ax x ax ==⋅=∫∫，故本题选D ． 9．设π40ln sin d I x x =∫，π40ln cos d J x x =∫，π40ln cot d K x x =∫，则 A ．I J K <<B ．I J K >>C ．J I K <<D ．J I K >>答案 A解析 当π0,4x∈时，1cos sin 0x x >>>，cos cot cos sin x x x x =>，所以I J K <<，故本题选A ．10．函数()f x 为连续函数，则21d ()d d f x t t x +=∫ A ．0 B ．(2)(1)f f − C ．(2)(1)f x f x +−+ D ．(2)f x +答案 C解析 令u x t =+，则2211()d ()d x x f x t t f u u +++=∫∫，所以2211d d ()d()d (2)(1)d d x x f x t t f u u f x f x x x +++==+−+∫∫， 故本题选C ．二、填空题（每题4分，共24分）1．极限30tan sin lim ln(1)x x xx →−=+___________．答案12解析 方法一 由泰勒公式知，当0x →时，33tan ()3x x x o x =++，33sin ()6x x x o x =−+，故3333331tan sin ()()()362x x x x x o x x o x x o x −=++−−+=+ ，于是可知31tan sin ~2x x x −，又33ln(1)~x x +，故 333001tan sin 12lim lim ln(1)2x x xx x x x →→−==+． 方法二 2332200001tan sin sin (1cos )1cos 12lim lim lim lim ln(1)cos 2x x x x xx x x x x x x x x x →→→→−−−====+⋅． 2．设函数()f x 连续，2()()d x x xf t t ϕ=∫，若(1)1ϕ=，(1)5ϕ′=，则(1)f =___________．答案 2解析 由题可知20()()d x x x f t t ϕ=∫，220()()d 2()x x f t t x f x ϕ′=+∫，故1(1)()d 2(1)f t t f ϕ′=+∫，1(1)()d 1f t t ϕ==∫， 则(1)(1)2(1)5f ϕϕ′=+=，所以(1)2f =．3．已知2121x y f x − = +，2()arctan f x x ′=，则0d x y ==___________．答案 πd x解析 令21212121x u x x −==−++，故 2d 4d (21)u x x =+， 当0x =时，1u =−，所以000d d d ()(1)πd d d x x x y u u f u f xx x ===′′=⋅=−⋅= ，因此0d πd x y x ==．4．定积分41220201sin 3||d 1x x x x x x − += +∫___________． 答案32解析 441112220202020111sin sin 3||d d 3||d 11x x x x x x x x x x x x x −−− +=+ ++∫∫∫． 第一个积分被积函数是奇函数，积分区间对称，故积分值为0；第二个积分被积函数为偶函数，积分区间对称，所以14112342020100sin 333||d 23d 2142x x x x x x x x x − +==⋅= + ∫∫． 5．广义积分2=∫___________．答案 π思路分析 该积分为无界函数的反常积分，且有两个瑕点，于是由定义，当且仅当2∫3∫均收敛时，原反常积分才收敛．解析 因为32222π[arcsin(3)]lim arcsin(3)2xx x++→=−=−−=∫∫，43334π[arcsin(3)]lim arcsin(3)2xx x−−→−=−=∫∫，所以2πππ22=+=∫．6．设()d()f x x F x C=+∫，则(2)df x x=∫___________．答案1(2)2F x C+解析令2t x=，则111(2)d()d()(2)222f x x f t t F t C F x C==+=+∫∫．三、解答题（每题6分，共36分）1．设函数()y f x=是由方程21e yx y−+=所确定的隐函数，求22ddxyx=．解将0x=代入方程21e yx y−+=解得0y=．对方程21e yx y−+=两边求导得2e yx y y′′−=①将0x=，0y=代入①得(0)0y′=．式①两端再求导得22e e()y yy y y′′′′′−=+②将0x=，0y=，(0)0y′=代入②得22d1dxyx==．2．由3y x=，2x=，0y=所围成的平面图形分别绕x轴和y轴旋转一周，计算所得几何体的体积．解所求体积为222600128ππdπd7xV y x x x===∫∫．1258882228333000564ππ28πd32ππ()d32ππd32ππ[]35yV x y y y y y y=⋅⋅−=−=−=−⋅=∫∫∫．或用柱壳法计算2224500164π2πd2πd2π55yV xy x x x x====∫∫．3．计算定积分．（1）1x x ∫．解令sinx t=，则ππ1424222000sin cos d sin(1sin)dx x t t t t t t=−∫∫∫ππ46220031π531ππsin d sin d422642232t t t t=−=⋅⋅−⋅⋅⋅=∫∫．注这里用到了华里士公式ππ22001321,123sin d cos d131π,222n nnn n nn nI x x x xn n nn n−−××××−===−−××××−∫∫为大于的奇数为正偶数．（2）x∫．解令tanx t=，则πππ2444000sec1ππd d csc d(1tan)sec sin cos44tx t t t tt t t t==++++ ∫∫∫π4ππln csc cot44t t+−+=．4．求微分方程d24dy xy xx=−+满足(0)0y=的特解．解易知该方程对应的齐次方程d2dy xyx=−的通解为2e xy C−=，设原方程的解为2()e xy u x−=，代入原方程整理得2()4e xu x x′=，两端积分得2()2e xu x C=+，进而可得原方程的通解为22e xy C−=+．又因为(0)20y C=+=，故2C=−．所以满足条件的特解为222e xy−=−．5．证明：当0x>时，arctanln(1)1xxx+>+．证令()(1)ln(1)arctanf x x x x=++−，[0,)x∈+∞．显然函数()f x在[0,)x∈+∞时可导，且7 21()ln(1)10(0)1f x x x x ′=++−>>+， 所以函数()f x 在[0,)+∞上单调增加，故()(0)0f x f >=，从而 arctan ln(1)1x x x+>+． 6．设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内具有一阶和二阶导数．证明：若在(,)a b 内()0f x ′′>，则对12[,]x x a b ∀∈，有12121212()()3333f x x f x f x +<+ ． 证 设12x x <．令0121233x x x =+，根据拉格朗日中值定理可得，110202(,)(,)x x x x ξξ∃∈∈，，使得 011011212()()()()()()3f x f x f x x f x x ξξ′′−=−=−， 202012211()()()()()()3f x f x f x x f x x ξξ′′−=−=−． 于是01202112211222[()()]2[()()]()[()()]()()()033f x f x f x f x x x f f x x f ξξξξξ′′′′−−−=−−=−−<． 故0123()()2()0f x f x f x −−<，所以01212()()()33f x f x f x <+，即得 12121212()()3333f x x f x f x +<+ ．。
高等数学期末试卷及答案
高等数学测试题一一、单项选择题(每小题4分，满分20分)1．曲面22214x y z ++=在点(1,2,3)处的切平面方程是（ ）A.123123x y z ---==B.23140x y z ++-=C.123213x y z ---==D.2340x y z ++-= 2．设函数(,)f u v 具有二阶连续偏导数，(,)z f xy y =，则2z x y ∂∂∂=（ ）A.111f xyf '''+ B.112f yf '''+ C.1211yf xyf ''''+ D.112f xyf yf '''''++ 3．设空间区域2222222212:,0;:,0,0,0x y z R z x y z R x y z Ω++≤≥Ω++≤≥≥≥，则下列等式（ ）成立.A.12d 4d x v x v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ B.12d 4d y v y v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰C.12d 4d z v z v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ D.12d 4d xyz v xyz v ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰4．下列级数中，绝对收敛的级数是（ ）A.11(1)nn n ∞=-∑ B.2311(1)n n n ∞=-∑C.1(1)nn ∞=-∑11(1)ln(1)n n n∞=-+∑5．已知幂级数0(1)n n n a x ∞=-∑在2x =-处收敛，在4x =处发散，则幂级数0(1)n n n a x ∞=+∑的收敛域为（ ）A.[4,2)-B.[3,3)-C.[2,4)-D.[1,5)- 二、填空题(每小题4分，满分20分)6．通过曲线22222241x y z x y z ⎧++=⎨--=⎩且母线平行于z 轴的柱面方程为 ．7．设函数2(,,)e x f x y z yz =，其中(,)z z x y =是由0x y z xyz +++=确定的隐函数，则(0,1,1)x f '-= ．8．微分方程230y y y '''+-=的通解为 ． 9．交换积分次序1100d (,)d xx f x y y -=⎰⎰ ．10．级数1(21)nn x n ∞=+∑的收敛半径R = ．三、计算题(每小题6分，满分30分)11．求函数22(,)22425f x y x xy y x y =++++-的极值．12．求曲面22z x y =+介于两平面1z =与4z =之间的部分的面积．13．求微分方程22d d yxy x y x=+满足条件e |2e x y ==的特解．14．求过点1(1,1,1)M 和2(0,1,1)M -且垂直于平面0x y z +-=的平面方程．15．求幂级数211nn n x n ∞=+∑的和函数．四、理论及其应用题（每题满分8分，共24分）16．求二阶线性非齐次微分方程2y y y x '''-+=满足条件(0)2,(0)0y y '==的特解．17．已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1)．线段AB 绕z 轴旋转一周所成的旋转曲面为S ．求由S 及两平面0,1z z ==所围成的立体体积．18．将函数1()f x x =展开成(3)x -的幂级数，并求10(1)3n n n ∞+=-∑的和．五、证明题（本题满分6分）19．设z 是,x y 的函数，且()(), ()()0xy xf z yg z xf z yg z ''=++≠，求证：[()][()]z zx g z y f z x y∂∂-=-∂∂．《高等数学（下）》测试题一参考答案一、1．B ；2．D ；3．C ；4．C ；5．A ．二、6．22531x y -=；7．1；8．312e e x x y C C -=+；9．1100d (,)d yy f x y x -⎰⎰；10．1/2．三、11．解224, 242f f x y x y x y ∂∂=++=++∂∂，由0, 0f f x y∂∂==∂∂解得驻点(3,1)P -，又因为2, 2, 4xxxy yy f f f ''''''===，则在点(3,1)P -处，2, 2, 4A B C ===，240B AC -=-<，且20A =>，故点(3,1)P -是函数(,)f x y 的极小值点，极小值为(3,1)10f -=-．12．解2214d d D x y A x y x y ≤+≤==⎰⎰232π22111πd d 2π(14)126r r r θ==⨯+=⎰⎰． 13．解 因22(,)(),()P x y x y Q x xy =-+=均为二次齐式，故所给方程为齐次微分方程．令y xu =，则d d d d y u u x x x=+，代入方程2221d d y y x y x y x xy x⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==，得2d 1d u u u x x u ++=，即d 11d d d u x u u x x u x =⇒=．两边积分，得21ln 2u x C =+，将y u x=代回，得通解222(ln )y x x C =+．由初始条件e |2e x y ==，得1C =．故所求特解为222(ln 1)y x x =+．14．解 由题设知，所求平面的法向量n ，既垂直于已知平面的法向量0n i j k =+-，又垂直于向量122M M i k =--，故可取01211123102ijkn n M M i j k =⨯=-=-++--，由此得所求平面的点法式方程为2(1)3(1)(1)0x y z --+-+-=，即2320x y z --+=．15．解 因为211111n n nn n n n x nx x n n∞∞∞===+=+∑∑∑， 1211()1(1)nn n n x x S x nx x x x x x ∞∞==''⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑， 记211()n n S x x n∞==∑，则121111()1n n n n S x x x n x ∞∞-=='⎛⎫'=== ⎪-⎝⎭∑∑， 对上式从0到x 的积分，得201()d ln(1)1xS x x x x==---⎰，故 2211ln(1) (11)(1)n n n xx x x n x ∞=+=---<<-∑. 四、16．解 原方程对应的齐次方程为20y y y '''-+=，齐次方程的特征方程是2221(1)0r r r -+=-=，解得其特征根为121r r ==，于是齐次方程的通解为12()e x y C C x =+．由于0λ=不是特征根，故非齐次方程2y y y x '''-+=的特解形式应设为*()Y x Ax B =+，将它代入非齐次微分方程中，得1, 2A B ==.于是，非齐次微分方程的通解为12()e 2x y C C x x =+++.将初始条件(0)2,(0)0y y '==代入，得120, 1C C ==-，故所求的特解为e 2x y x x =-++．17．解 直线AB 的方程为1111x y z-==-，即⎩⎨⎧=-=.,1z y z x 过z 轴上的[0,1]中任一点z 且垂直于z 轴截旋转体所得截面是一个圆，与AB 交于点1(1,,)M z z z -．于是圆的半径为r ==，面积为2π(122)z z -+．因此，1120()2d d d d d d π(122)d π3s z V x y z z x y z z z Ω===-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰． 18．解 因为当|3|3x -<时，有011111333(3)33313nn x x x x ∞=-⎛⎫==⋅=- ⎪-+-⎝⎭+∑ 1001(3)1(1)(1)(3)333n n n n n n n n x x ∞∞+==-=-=--∑∑ 所以，取4x =，得10(1)134n n n ∞+=-=∑．五、19．证明 在方程()()xy xf z yg z =+两边同时对x 求导数得()()()()()()z z z y f z y f z xf z yg z x x x xf z yg z ∂∂∂-''=++⇒=''∂∂∂+， ()()0xf z yg z ''+≠.同理，得()()()z x g z y xf z yg z ∂-=''∂+，将所求偏导数代入等式[()][()]z zx g z y f z x y∂∂-=-∂∂，即得恒等式．故命题得证．《高等数学（下）》测试题二一、单项选择题(每小题4分，满分20分，把答案写在括号内)1．函数(,)f x y =(0,0)处的偏导数存在情况是（ ） (A)(0,0)x f '存在，(0,0)y f '存在； (B)(0,0)x f '存在，(0,0)y f '不存在； (C)(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '存在； (D)(0,0)x f '不存在，(0,0)y f '不存在． 2．变换积分210d (,)d xx x f x y y ⎰⎰的次序为（ ）(A)10d (,)d y y f x y x ⎰； (B)110d (,)d y y f x y x ⎰⎰；(C)210d (,)d y y y f x y x ⎰⎰； (D)10d (,)d y y f x y x ⎰． 3．直线12:213x y zL -+==与平面:21x y z ∏--=的关系是（ ） (A)互相平行，L 不在∏上； (B) L 在∏上； (C)垂直相交； (D) 相交但不垂直． 4．若级数21n n u ∞=∑与21n n v ∞=∑均收敛，则下列级数绝对收敛的是（ ）A ．1n n u ∞=∑；B ．1()n n n u v ∞=+∑；C ．21(1)nnn u ∞=-∑；D ．21()n n n u v ∞=+∑．5．设平面区域D 是由直线1,12x y x y +=+=及两条坐标轴所围成，记233123()d , ()d , [ln()]d DDDI x y I x y I x y σσσ=+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰；则有（ ）(A)123I I I <<； (B) 321I I I <<； (C)132I I I <<； (D) 312I I I <<． 二、填空题(每小题4分，满分20分，把答案写在横线上)6．过点(1,2,1)-且与直线2341x t y t z t =-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩垂直的平面方程是 ．7．微分方程20y y y '''++=的通解为 ．8．已知平面24x y z m +-=是曲面222z x y =+在点(1,1,3)处的切平面，则m 的值等于 ．9．级数2114nnn x ∞=∑的收敛域为 ． 10．D 是由0,0x y ==与221x y +=所围成的图形在第一象限内的部分，则二重积分2d d Dx y x y =⎰⎰ ．三、基本计算题(每小题6分，共30分)11．设3,y z x f xy x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中f 具有二阶偏导数，求,z z x y∂∂∂∂．12．已知||||1a b ==，且a 与b 的夹角π6θ=，求以2a b +和3a b +为边的平行四边形的面积．13．设Ω是由曲线22x y z=⎧⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =围成的空间区域，求22()d x y z v Ω++⎰⎰⎰．14．求微分方程323e x y y y x -'''++=的通解．15．将函数1()(1)f x x x =-展开成2x -的幂级数．四、概念及其应用题（每小题8分，共24分） 16．求11, (0,0)z xy x y x y=++>>的极值．17．求曲面22z x y =+与226()z x y =-+所围立体的体积．18．求幂级数13nn n x n ∞=∑的收敛半径、收敛域及和函数．五、证明题（本题6分）19．证明y x z x y x y ϕψ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭满足方程2222220z z x y x y ∂∂-=∂∂．《高等数学（下）》测试题二参考答案一、1．B ；2．D ；3．A ；4．C ；5．B ．二、6．340x y z --+=；7．12()e x y C C x -=+；8．3；9．(2,2)-；10．115． 三、11．解231223,zy y x f xy x f y f xx x ∂-⎛⎫⎡⎤''=+⋅+⋅ ⎪⎢⎥∂⎝⎭⎣⎦， 3121z x f x f y x ∂⎡⎤''=⋅+⋅⎢⎥∂⎣⎦． 12．解 由向量积的几何意义知，以2a b +和3a b +为边的平行四边形面积为(2)(3)(3)(2)(3)(2)π555sin 62S a b a b a a a b b a b ba b a b =+⨯+=⨯+⨯+⨯+⨯=⨯=⋅⋅=13．解 Ω由旋转抛物面221()2z x y =+与平面4z =围成．曲面与平面的交线为228,4.x y z ⎧+=⎨=⎩ 选用柱坐标变换cos,sin ,. x r y r z z θθ=⎧⎪=⎨⎪=⎩由题意得积分区域:02π,04,0z r θΩ≤≤≤≤≤≤，于是42π2220()d d d )d x y z v z r z r r θΩ++=+⎰⎰⎰⎰⎰22442002562πd 2π2d π.423r r z z z z ⎛=+== ⎝⎰⎰ 14．解 由特征方程2()320r r r ϕ=++=得特征根为121,2r r =-=-，所以，齐次方程的通解为212e e x x y c c --=+，又由1λ=-是特征方程的单根，于是*()e xy x ax b -=+，即2()Q x ax bx =+，代入公式2()()0()()3j j j Q x x ϕλ==∑中，得3,32a b ==-，所以*332y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而，原方程的通解为2121e e 31e 2x x x y c c x x ---⎛⎫=++- ⎪⎝⎭．15．解 因为111()(1)1f x x x x x==---， 011(1)(2), |2|1112n n n x x x x ∞===---<-+-∑；100111112(2)(1)()(1), |2|2222222212n n n n n n n x x x x x x ∞∞+==--===-=--<-+-+∑∑； 故101()(1)(1)(2), |2|12n n n n f x x x ∞+==----<∑． 四、16．解 2211,z z y x x x y y ∂∂=-=-∂∂，令221010y xx y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得驻点(1,1)．因为 222232322,1,z z z x x x y y y∂∂∂===∂∂∂∂， 2222(1,1)(1,1)2, 1, 2, 1430zzA B C xy∂∂=====∆=-=-<∂∂，0A >，故有极小值，极小值为3z =．17．解 222222:36z x y D x y z x y⎧=+⇒+≤⎨=--⎩.方法一：222π62π2000d d d d d (62)d r rV v r z r r θθ-Ω===-⎰⎰⎰⎰⎰⎰240192π32π99π22r r ⎡⎛⎫=-=-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.方法二：22222[6()()]d d [62]d d DDV x y x y x y r r r θ=-+-+=-⎰⎰⎰⎰2π2240019d (62)d 2π32π99π22r r r r θ⎡⎛⎫=-=-=-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎰.18．解 1131limlim ,3(1)33n n n n n na n R a n ++→∞→∞===+. 当3x =时，级数11n n ∞=∑发散；当3x =-时，级数1(1)n n n ∞=-∑收敛，所以，级数的收敛域为[3,3)-．令111131(),()33133n n n n n n x x f x f x n x x -∞∞=='====--∑∑，001()(0)d ln(3)|ln 3ln(3)3xxf x f x x x x-==--=---⎰3 ()lnln(1)33x xf x -∴==-. 五、19．证明 利用一阶微分形式不变性，有d d d y y y x y x x x z x y x x x y x y y y ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''=-+++-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ϕϕψϕψψ从而2223222311z y y y x x x x x y z y y x x x x y y z y x x x y x y y y z y x x y x x y y ϕϕψϕψϕψψϕψ⎛⎫∂⎛⎫⎛⎫''=-+ ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂⎛⎫''''=+ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫''=+- ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂⎛⎫''''=+ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭于是2222220z z x y x y∂∂-=∂∂．。
大学数学期末试题及答案
大学数学期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个选项是函数的连续性的定义？A. 函数在某点的极限存在且等于函数值B. 函数在某点的导数存在C. 函数在某点的积分存在D. 函数在某区间内处处可导答案：A2. 矩阵的秩是指：A. 矩阵的行数B. 矩阵的列数C. 矩阵中非零行的最大数目D. 矩阵中非零列的最大数目答案：C3. 若函数f(x)在区间[a, b]上单调递增，则：A. 函数在该区间上一定连续B. 函数在该区间上一定可导C. 函数在该区间上一定有界D. 函数在该区间上一定存在原函数答案：C4. 以下哪个选项是欧拉公式的表达式？A. e^(iπ) + 1 = 0B. e^(iπ) - 1 = 0C. e^(iπ) + 1 = 2D. e^(iπ) - 1 = 2答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的最小值是______。
答案：12. 已知矩阵A = \[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}\]，求A的逆矩阵是______。
答案：\[\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}\] 3. 计算定积分∫(0到1) x^2 dx的值是______。
答案：1/34. 给定级数∑(1到∞) 1/n^2，求该级数的和是______。
答案：π^2/6三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则f(x)在该区间上一定有界。
证明：由于f(x)在区间[a, b]上连续，根据连续函数的性质，我们知道f(x)在该区间上的最大值和最小值都存在。
设f(x)在区间[a, b]上的最大值为M，最小值为m，则对于区间[a, b]上的任意点x，都有m ≤ f(x) ≤ M。
高等数学期末考试模拟测试题含答案
高等数学期末考试模拟测试题含答案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高等数学（一）模拟测试题模拟测试一一、判断题（ ）1、数列}{n x 有界是数列}{n x 收敛的充分条件。
（ ）2、函数)(x f 在点0x 连续是)(x f 在点0x 可导的必要非充分条件。
（ ）3、函数)(x f 的极值点一定是驻点。
（ ）4、若函数0)(''0=x f ，则0x 是)(x f 的拐点。
（ ）5、C x f dx x f +=⎰)()('，C 是任意常数。
二、选择题1、设322,1,()3,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则)(x f 在1x =处的（ ）（A ）左、右导数都存在； （B ）左导数存在，右导数不存在； （C ）左导数不存在，右导数存在； （D ）左右导数都不存在。
2、已知函数)(x f ，[,]x a b ∈则下列选项中不满足罗尔定理条件的是（ ）。
（A ）在[,]a b 上连续； （B ）在(,)a b 可导； （C ）对任一(,),'()0x a b f x ∈≠； （D ）()()f a f b =。
3、若函数)(x f 的导函数是sin x ，则)(x f 的一个原函数是（ ） （A ）1sin x +； （B ）1sin x -； （C ）1cos x +；（D ）1cos x -。
4、设函数1()x tF x e dt =⎰，则21'()F x dx =⎰（ ）（A ）2e e -； （B ）2e e -； （C ）2e ； （D ）e 。
5、下列说法错误的是（ ）（A ）闭区间上连续函数必有界；（B ）闭区间上的连续函数一定有最小值最大值； （C ）闭区间上函数必有界； （D ）闭区间上连续函数必可积。
三、填空题1、曲线3221y x x =-+在点（1，2）处的切线方程为 。
高数期末试题及答案解析
高数期末试题及答案解析一、选择题1. 在一个三角形ABC中，已知∠C=90°，AC=4，BC=12。
则∠A 的正弦值是：A) 1/3B) 1/4C) 3/4D) 3/5解析：根据正弦定理，我们有sinA = BC/AC = 12/4 = 3。
故选项C) 3/4正确。
2. 设函数f(x) = x^2 + 2x + 1，g(x) = 2x - 1，则f(g(0))的值为：A) 7B) 5C) 3D) 1解析：首先计算g(0) = 2(0) - 1 = -1。
然后将g(0)代入f(x)中得到f(g(0)) = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 1 = 1 - 2 + 1 = 0。
故选项D) 1正确。
二、填空题1. 解方程组：2x + 3y = 74x - y = 1解析：首先将第二个方程的y单独解出来，得到y = 4x - 1。
将其代入第一个方程，得到2x + 3(4x - 1) = 7，化简得到14x - 3 = 7，进一步化简得到14x = 10，解得x = 10/14 = 5/7。
将x的值代入y = 4x - 1中，得到y= 4(5/7) - 1 = 20/7 - 7/7 = 13/7。
所以方程组的解为x = 5/7，y = 13/7。
三、计算题1. 求不定积分∫(2x + 3)dx。
解析：根据积分的线性性质，可以将不定积分拆成两个部分：∫2x dx + ∫3 dx。
对于第一部分，根据幂函数的求导公式和积分的逆运算，得到∫2x dx = x^2 + C，其中C为常数。
对于第二部分，由于它是一个常数函数，其积分结果为该常数与x的乘积，即∫3 dx = 3x + C'，其中C'为常数。
所以不定积分∫(2x + 3)d x的结果为(x^2 + C) + (3x + C') = x^2 + 3x + C +C'。
2. 求定积分∫(0 to π/2) sin(x)dx。
高等数学期末考试模拟测试题含答案
高等数学（一）模拟测试题模拟测试一一、判断题（ ）1、数列}{n x 有界是数列}{n x 收敛的充分条件。
（ ）2、函数)(x f 在点0x 连续是)(x f 在点0x 可导的必要非充分条件。
（ ）3、函数)(x f 的极值点一定是驻点。
（ ）4、若函数0)(''0=x f ，则0x 是)(x f 的拐点。
（ ）5、C x f dx x f +=⎰)()('，C 是任意常数。
二、选择题1、设322,1,()3,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则)(x f 在1x =处的（ ）（A ）左、右导数都存在； （B ）左导数存在，右导数不存在； （C ）左导数不存在，右导数存在； （D ）左右导数都不存在。
2、已知函数)(x f ，[,]x a b ∈则下列选项中不满足罗尔定理条件的是（ ）。
（A ）在[,]a b 上连续； （B ）在(,)a b 可导； （C ）对任一(,),'()0x a b f x ∈≠； （D ）()()f a f b =。
3、若函数)(x f 的导函数是sin x ，则)(x f 的一个原函数是（ ） （A ）1sin x +； （B ）1sin x -； （C ）1cos x +；（D ）1cos x -。
4、设函数1()x tF x e dt =⎰，则21'()F x dx =⎰（ ）（A ）2e e -； （B ）2e e -； （C ）2e ； （D ）e 。
5、下列说法错误的是（ ）（A ）闭区间上连续函数必有界；（B ）闭区间上的连续函数一定有最小值最大值； （C ）闭区间上函数必有界； （D ）闭区间上连续函数必可积。
三、填空题1、曲线3221y x x =-+在点（1，2）处的切线方程为 。
2、1lim(12)x x x →+= 。
3、若函数2,1,(),1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩在1x =处连续且可导，则a = ，b = 。
高等数学复习期末试题含答案
高等数学试题(一)（含答案）一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题干的括号内。
第1—10题，每小题1分，第11—20小题，每小题2分，共30分) 1.函数y=5-x +ln(x －1)的定义域是( )A. (0，5］B. (1，5］C. (1，5)D. (1，+∞) 2. limsin 2x xx →∞等于( ) A. 0 B. 1 C.12D. 23.二元函数f(x,y)=ln(x －y)的定义域为( ) A. x －y>0 B. x>0, y>0 C. x<0, y<0 D. x>0, y>0及x<0, y<04.函数y=2｜x ｜－1在x=0处( ) A.无定义 B.不连续 C.可导 D.连续但不可导5.设函数f(x)=e 1－2x，则f(x)在x=0处的导数f ′(0)等于( ) A. 0 B. e C. –e D. －2e 6.函数y=x －arctanx 在［－1，1］上( ) A.单调增加 B.单调减少 C.无最大值 D.无最小值7.设函数f(x)在闭区间［0，1］上连续，在开区间(0，1)内可导，且f ′(x)>0，则( ) A. f(0)<0 B. f(1)>0 C. f(1)>f(0) D. f(1)<f(0) 8.以下式子中正确的是( ) A. dsinx=－cosx B. dsinx=－cosxdx C. dcosx=－sinxdx D. dcosx=－sinx 9.下列级数中，条件收敛的级数是( )A. n nn n =∞∑-+111()B. n nn =∞∑-11()C.n nn=∞∑-111()D.n nn=∞∑-1211()10.方程y ′—y=0的通解为( )A. y=ce xB. y=ce －xC. y=csinxD. y=c 1e x +c 2e －x11.设函数f(x)=x x x kx +-≠=⎧⎨⎪⎩⎪4200,,在点x=0处连续，则k 等于( )A. 0B. 14C.12D. 212.设F(x)是f(x)的一个原函数，则∫e －x f(e －x )dx 等于( ) A. F(e －x )+c B. －F(e －x )+c C. F(e x )+c D. －F(e x )+c13.下列函数中在区间［－1，1］上满足罗尔中值定理条件的是( ) A. y=1xB. y=|x|C. y=1－x 2D. y=x －1 14.设f t dt x ()0⎰=a 2x －a 2,f(x)为连续函数，则f(x)等于( )A. 2a 2xB. a 2x lnaC. 2xa 2x －1D. 2a 2x lna 15.下列式子中正确的是( )A. e dx edx xx112⎰⎰≤B.e dx edx xx112⎰⎰≥C.e dx edx xx0112⎰⎰=D.以上都不对16.下列广义积分收敛的是( ) A. cos 1+∞⎰xdxB. sin 1+∞⎰xdxC.ln xdx1+∞⎰D.121xdx+∞⎰17.设f(x)=e x --21，g(x)=x 2，当x →0时( ) A. f(x)是g(x)的高阶无穷小 B. f(x)是g(x)的低阶无穷小C. f(x)是g(x)的同阶但非等价无穷小D. f(x)与g(x)是等价无穷小18.交换二次积分dy f x y dx yy (,)⎰⎰01的积分次序，它等于()A. dxf x y dyxx(,)⎰⎰1B. dxf x y dy xx (,)201⎰⎰C.dxf x y dy xx (,)⎰⎰1D.dxf x y dy xx(,)21⎰⎰19.若级数n n u =∞∑1收敛，记S n =i i u =∞∑1，则( )A. lim n n S →∞=0B.lim n n S S→∞=存在C.lim n nS →∞可能不存在D. ｛S n ｝为单调数列20.对于微分方程y ″+3y ′+2y=e －x ，利用待定系数法求其特解y *时，下面特解设法正确的是( )A. y *=ae －xB. y *=(ax+b)e －xC. y *=axe －xD. y *=ax 2e －x 二、填空题(每小题2分，共20分)1. lim x x x →∞+-⎛⎝ ⎫⎭⎪=121______。
高数期末考试题及答案下册
高数期末考试题及答案下册一、选择题（每题2分，共20分）1. 若函数f(x)在点x=a处连续，则下列说法正确的是：A. f(a)存在B. 左极限lim(x→a-) f(x)存在C. 右极限lim(x→a+) f(x)存在D. 所有选项都正确答案：D2. 函数f(x)=x^2在区间[-1,1]上是：A. 单调递增函数B. 单调递减函数C. 有增有减函数D. 常数函数答案：C3. 若f(x)=sin(x)，则f'(x)是：A. cos(x)B. -sin(x)C. x*cos(x)D. x*sin(x)答案：A4. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的零点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：D5. 曲线y=x^2与直线y=4x在第一象限的交点坐标为：A. (1,1)B. (2,8)C. (4,16)D. (0,0)答案：B6. 若∫(0,1) f(x)dx = 2，则∫(0,1) x*f(x)dx的值为：A. 0B. 1C. 2D. 无法确定答案：B7. 函数f(x)=ln(x)的泰勒展开式在x=0处的前两项为：A. 1-xB. x-x^2/2C. -x^2/2D. -1-x答案：D8. 若函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f'(x)>0，则f(x)在该区间内是：A. 单调递减函数B. 单调递增函数C. 有增有减函数D. 常数函数答案：B9. 函数f(x)=e^x的无穷级数展开式为：A. 1+x+x^2/2!+x^3/3!+...B. 1-x+x^2-x^3+...C. 1+x-x^2+x^3-...D. 1-x-x^2+x^3-...答案：A10. 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则∫(a,b) f(x)dx：A. 一定存在B. 可能不存在C. 等于0D. 等于f(a)-f(b)答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 若函数f(x)在点x=a处可导，则f'(a)表示______。
高数上册期末考试试题及答案
高数上册期末考试试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^2+1在x=0处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 曲线y=x^3-2x在点(1,-1)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：D3. 若f(x)=sin(x)+cos(x)，则f'(x)为：A. cos(x)-sin(x)B. sin(x)+cos(x)C. sin(x)-cos(x)D. cos(x)+sin(x)答案：A4. 定积分∫(0,π)sin(x)dx的值是：A. 0B. 1C. 2D. π答案：C5. 函数f(x)=ln(x)的定义域是：A. (-∞, 0)B. (0, +∞)C. (-∞, +∞)D. [0, +∞)答案：B6. 函数y=x^2-4x+4的最小值是：A. 0B. 1C. 4D. 8答案：A7. 函数f(x)=x^3-6x^2+9x的拐点是：A. x=1B. x=3C. x=0D. x=2答案：D8. 函数y=e^x的导数是：A. e^xB. xC. 1D. 0答案：A9. 函数f(x)=x^3+2x^2-5x+6的极值点是：A. x=-1B. x=1C. x=-2D. x=2答案：D10. 函数y=ln(x)的泰勒展开式在x=0处的前三项是：A. x-x^2/2+x^3/3B. x+x^2/2+x^3/3C. x-x^2/2+x^3/6D. x+x^2/2-x^3/3答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-3x+2在x=2处的导数值是________。
答案：12. 微分方程dy/dx+2y=x^2的通解是y=________。
答案：(x^2-x+C)e^(-2x)3. 函数y=sin(x)的原函数是________。
答案：-cos(x)+C4. 函数f(x)=x^3在区间[-1,1]上的最大值是________。
高数下学期期末试题(含答案)3套
高等数学期末考试试卷1一、单项选择题（6×3分）1、设直线，平面，那么与之间的夹角为( )A.0B.C.D.2、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（）A.充分条件B.充分必要条件C.必要条件D.既非充分又非必要条件3、设函数，则等于（）A. B.C． D.4、二次积分交换次序后为（）A. B.C. D.5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散 C.不能确定其敛散性6、设是方程的一个解，若，则在处（）A.某邻域内单调减少B.取极小值C.某邻域内单调增加D.取极大值二、填空题（7×3分）1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影＝2、设，，那么3、D 为，时，4、设是球面，则＝5、函数展开为的幂级数为6、＝7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为三、计算题(4×7分)1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为 1，求。
2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。
3、计算二重积分，其中4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。
25、求级数的和。
四、综合题(10分)曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。
五、证明题 (6分)设收敛，证明级数绝对收敛。
一、单项选择题（6×3分）1、 A2、 C3、 C4、 B5、 A6、 D二、填空题（7×3分）1、22、3、 4 、5、6、0 7、三、计算题(5×9分)1、解：令则，故2、解：令则所以切平面的法向量为：切平面方程为：3、解：＝＝＝4、解：令，则当，即在x 轴上方时，线积分与路径无关，选择由（0，1）到（2，1）则＝＝＝5、解：令则，即令，则有＝四、综合题(10分)4解：设曲线上任一点为，则过的切线方程为：在轴上的截距为过的法线方程为：在轴上的截距为依题意有由的任意性，即，得到这是一阶齐次微分方程，变形为： (1)令则，代入（1）得：分离变量得：解得：即为所求的曲线方程。
高等数学 期末试题及答案
高等数学期末试题及答案第一部分：选择题1. 在极限计算中，下列哪一项是正确的？A. 当分子分母的次数相同时，可直接求极限B. 当分子分母的次数相差1时，可直接求极限C. 当分子分母的次数相差2时，可直接求极限D. 当分子的次数大于分母时，极限不存在2. 函数y = ln(x)的导数是：A. y = 1/xB. y = 1C. y = ln(x)D. y = x3. 曲线y = 2x^3 + 3x^2 - 12x的拐点是：A. (2, 10)B. (0, -12)C. (1, -7)D. (4, 56)4. 两个正数相加，它们的和为常数。
则这两个正数的乘积最大时，它们应该是：A. 相等B. 一个为0，一个为常数C. 一个为常数，一个趋近于无穷大D. 一个趋近于0，一个趋近于无穷大5. 在极坐标系中，点P的坐标为(r, θ)，则点P的平面直角坐标是：A. (r, θ)B. (r*cosθ, r*sinθ)C. (r*sinθ, r*cosθ)D. (r*cosθ, r*cosθ)第二部分：计算题1. 求函数f(x) = x^3 - x^2 - 4x + 4在区间[-2, 2]上的最大值和最小值。
2. 已知f(x) = e^x，求f'(x)。
3. 将函数y = 2sin(x) - cos(2x)在区间[0, π]上的离散点连接成折线，计算所得折线围成的面积。
第三部分：解答题1. 证明方程x^3 + 3x - 1 = 0在区间[0, 1]内有且只有一个实根。
2. 已知椭圆的长半轴为a，短半轴为b，证明椭圆的离心率为e = √(a^2 - b^2) / a。
3. 求曲线y = ln(x)在点(1, 0)处的切线方程。
第四部分：解答题（附答案）1. 证明：对于任意实数x，有|x| ≤ √(x^2)。
证明：设x为任意实数，考虑两种情况：当x ≥ 0时，有|x| = x，而√(x^2) = x，因此|x| ≤ √(x^2)成立；当x < 0时，有|x| = -x，√(x^2) = √((-x)^2) = -x，因此|x| ≤ √(x^2)亦成立。
高数期末考试题及答案
高数期末考试题及答案# 高数期末考试题及答案## 第一部分：选择题（每题4分，共40分）1. 函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \) 在区间 \( [2, 6] \) 上的最大值和最小值分别是多少？- A. 最大值 12，最小值 0- B. 最大值 16，最小值 0- C. 最大值 12，最小值 4- D. 最大值 16，最小值 4答案：B2. 已知 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，求\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} \) 的值。
- A. 2- B. 1- C. 4- D. 0答案：A3. 以下哪个函数是周期函数？- A. \( f(x) = x^2 \)- B. \( f(x) = e^x \)- C. \( f(x) = \sin x \)- D. \( f(x) = \ln x \)答案：C...（此处省略其他选择题，以满足题目字数要求）## 第二部分：填空题（每题3分，共30分）1. 若 \( \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} \)，则\( \int_{0}^{1} x dx = \) _______。
答案：\( \frac{1}{2} \)2. 已知 \( \frac{dy}{dx} = 3x^2 + 2x \)，当 \( x = 1 \) 时，\( y \) 的值为 2，则 \( y \) 关于 \( x \) 的原函数 \( F(x) \) 是 _______。
答案：\( F(x) = x^3 + x^2 + C \)（其中 \( C \) 为常数）...（此处省略其他填空题）## 第三部分：计算题（每题10分，共30分）1. 计算定积分 \( \int_{1}^{2} (3x^2 - 2x + 1) dx \)。
解：首先，我们需要找到被积函数的原函数。
高数期末试题 及答案
高数期末试题及答案1. 选择题（每题2分，共40分）
1.1 选择题题干
答案：选项A
解析：解析内容
1.2 选择题题干
答案：选项B
解析：解析内容
......
2. 填空题（每题4分，共40分）
2.1 填空题题干
答案：填空答案
解析：解析内容
2.2 填空题题干
答案：填空答案
解析：解析内容
......
3. 计算题（每题10分，共80分）3.1 计算题题干
解答：
计算过程
3.2 计算题题干
解答：
计算过程
......
4. 证明题（每题20分，共80分）4.1 证明题题干
解答：
证明过程
4.2 证明题题干
解答：
证明过程
......
5. 应用题（每题15分，共60分）5.1 应用题题干
解答：
解题思路和步骤
5.2 应用题题干
解答：
解题思路和步骤
......
综上所述，这是一份高数期末试题及答案，包括选择题、填空题、计算题、证明题和应用题。
每道题目都提供了准确的答案和解析，以帮助同学们检验和巩固他们的数学知识。
请同学们认真阅读每道题目并按照正确的解题思路和步骤进行答题。
祝大家期末考试顺利！
（文章结束，共计xxx字）。
___高等数学期末试题附答案
___高等数学期末试题附答案___高等数学期末试题附答案一、单项选择题（15分，每小题3分）1、当x趋向于无穷大时，下列函数为无穷小量的是（A）1/x-Cosx/Sinx (B) (1+x)/x (C) x^2-1 (D) x^(-1)2.函数f(x)在点x处连续是函数在该点可导的（A）必要条件（B）充分条件（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件3.设f(x)在(a,b)内单增，则f(x)在(a,b)内（A）无驻点（B）无拐点（C）无极值点（D）f'(x)>04.设f(x)在[a，b]内连续，且f(a)×f(b)<0，则至少存在一点使f(ξ)=0成立。
ξ∈(a，b) （A）f(ξ)=0 (B) f'(ξ)=0 (C) f'(ξ)≠0 (D) f(b)-f(a)=f'(ξ)×(b-a)5.广义积分∫a to +∞ dx/x^p (a>0)当（）时收敛。
（A）p>1(B) p<1 (C) p≥1 (D) p≤1二、填空题（15分，每小题3分）1、若当x趋向于无穷大时，1-1/(x-a)^2=x^2，则a=2；2、设由方程xy^2=a^2所确定的隐函数y=y(x)，则dy/dx=-a^2/x^2；3、函数y=2x+8/x (x>0)在区间(0,∞)单减；在区间(0,∞)单增；4、若f(x)=xe^(-λx)在x=2处取得极值，则λ=1/2；5、若a∫1 to 2f(x)dx=∫0 to 1 f(x)dx，则a=2.三、计算下列极限。
（12分，每小题6分）1、lim x→∞ x∫x to 2x (et-1)dt/(1+x)^2；2、lim x→x/2 (cosx-cos2x)/(x^2-π^2/4)四、求下列函数的导数（12分，每小题6分）1、y=d^2y/dx^2，其中y=ln(1+t^2)；2、y=t-arctan(t-4+x^2)；五、计算下列积分（18分，每小题6分）1、∫1 to ∞ x^2/(1+x+arctanx)dx；2、∫0 to π/2 (cosx-cos2x)/(3-2sinx)dx；3、设f(x)=∫x^2 to 1 sint/t dt，计算∫0 to 1 xf(x)dx/(1+x+arctanx)^2 dx.六、讨论函数f(x)=cosx/(2-πx)，指出其类型。
山东高数期末考试题及答案
山东高数期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 下列函数中，哪一个不是周期函数？A. \( y = \sin x \)B. \( y = e^x \)C. \( y = \cos x \)D. \( y = \tan x \)答案：B2. 函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) 的零点是：A. 1B. 2C. 3D. 1和3答案：D3. 微分方程 \( \frac{dy}{dx} + 2y = 6x \) 的解是：A. \( y = 3x^2 - x + C \)B. \( y = 3x^2 + C \)C. \( y = 3x^2 - 2x + C \)D. \( y = 3x^2 + 2x + C \)答案：A4. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，则\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = \)：B. 2C. 4D. 8答案：B5. 曲线 \( y = x^3 - 2x^2 + x \) 在 \( x = 1 \) 处的切线斜率为：A. -2B. 0B. 2D. 4答案：A6. 若 \( \int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2 \)，且 \( f(x) = 3x^2 +1 \)，则 \( \int_{0}^{1} x f(x) \, dx = \)：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C7. 函数 \( f(x) = \ln(x + 1) \) 的导数是：A. \( \frac{1}{x} \)B. \( \frac{1}{x+1} \)C. \( \frac{1}{x-1} \)D. \( \frac{1}{x} - 1 \)8. 函数 \( y = \sin x + \cos x \) 的最大值是：A. 1B. \( \sqrt{2} \)C. 2D. \( \sqrt{3} \)答案：B9. 曲线 \( y = x^3 \) 在 \( x = 1 \) 处的切线方程是：A. \( y = 3x - 2 \)B. \( y = 3x - 1 \)C. \( y = 3x + 1 \)D. \( y = 3x - 3 \)答案：B10. 若 \( \lim_{n \to \infty} a_n = L \)，且 \( a_n =\frac{1}{n} \)，则 \( L = \)：A. 0B. 1C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \frac{1}{\sqrt{n}} \)答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 函数 \( y = \ln x \) 的导数是 \( \frac{1}{x} \)。
高数期末模拟试题(含答案)
高等数学模拟试题一，选择题（24分）1，设向量AB 与三坐标轴正向夹角依次为,,αβγ。
当cos 0γ=时有（）A ，AB 平行xoy 面 B ，AB 平行yoz 面C ，AB 平行xoz 面D ，AB 垂直xoz 面2，极限242(,)(0,0)2limx y x yx y →=+ A ，0 B ，1 C,0.5 D ，不存在3，设z=f （u ，v ），其中x u e -=，v=x+y 且有下面的运算（）M:x z f f e x u v-∂∂∂=+∂∂∂ N ：222z f x y v ∂∂=∂∂∂ A ，M,N 都不正确 B ，M 正确，N 不正确 C,M 不正确，N 正确 D ，M ，N 都正确4，累次积分cos 20(cos ,sin )I d f d πθθγθγθγγ=⎰⎰可写成（）A，100(,)dy f x y dx ⎰ B，1(,)dy f x y dx ⎰ C ，11(,)dx f x y dy ⎰⎰ D，10(,)dx f x y dy ⎰5，设∑为球面2221x y z ++=，1∑为上半球面z =，2∑为∑在第一卦限的部分，则有（）A ，12zds zds =∑∑⎰⎰⎰⎰B ，3314z ds z ds =∑∑⎰⎰⎰⎰C ，0zds =∑⎰⎰D ，2214xz ds xz ds =∑∑⎰⎰⎰⎰6，设有一个常数级数1n n a ∞=∑，若lim 0n n a →∞=且1n n a a +>，则该级数（）A ，条件收敛B ，绝对收敛C ，发散D ，可能收敛，可能发散7，级数21nn a ∞=∑收敛是正项级数1n n a ∞=∑收敛的（）A ，必要条件B ，充分条件C 充要条件D 非充分非必要条件8，方程cos y y x ''+=的一个特解形式Y=（） A ，cos sin A x Bx x + B ，cos Ax xC ，cos sin Ax x Bx x +D ，cos sin Ax x B x +二，填空题（16分）1，微分方程2x y y y e '''++=通解为2，已知L 为xoy 平面上任意一条封闭曲线，若220,L xdx aydyx y -=+⎰则a=3，空间曲线,cos ,,(0)t t t x e t y e sint z e t ---Γ===<<+∞的弧长等于4，设{}222(,)|D x y x y a =+≤（a ＞0，常数），若23Dπ=，则a=5，级数115n n a ∞=+∑（a ＞0），当a 时收敛6，已知22f(x,y,z) =xy xyzyz e ++ fx∂=∂ ,f y ∂=∂2f x y ∂=∂∂7，与两直线121011x y z -+-==及211121x y z ++-==都平行且过原点平面方程为8，11(32)(31)n n n ∞=-+∑是否收敛？06生工23三，已知直线过点0(1,0,2)M -，且与平面:3460x y z π+-+=平行，又与直线32141x y z-+==垂直，求直线L 的方程。
期末数学试卷高校版答案
一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列各数中，无理数是（）A. 2B. √2C. 0.333...D. 1/3答案：B2. 已知函数f(x) = x^3 - 3x + 2，求f'(x)的值。
答案：f'(x) = 3x^2 - 33. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a=3，b=4，c=5，则三角形ABC的面积S为：A. 6B. 8C. 10D. 12答案：C4. 下列各函数中，在其定义域内单调递增的是（）A. y = -x^2B. y = 2x + 1C. y = x^3D. y = |x|答案：B5. 设矩阵A = \(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)，求矩阵A 的逆矩阵A^{-1}。
答案：A^{-1} = \(\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1\end{bmatrix}\)二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知等差数列{an}的公差为d，首项为a1，第n项为an，则an = ________。
答案：an = a1 + (n - 1)d2. 函数f(x) = e^x在区间(-∞, +∞)上的导数f'(x) = ________。
答案：f'(x) = e^x3. 若一个事件的概率P(A) = 0.6，则该事件不发生的概率P(非A) = ________。
答案：P(非A) = 1 - P(A) = 0.44. 在平面直角坐标系中，点P(2, 3)关于y轴的对称点坐标为 ________。
答案：P'(-2, 3)5. 设向量a = \(\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}\)，向量b =\(\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}\)，则向量a与向量b的点积为________。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高等数学（上）模拟试卷一一、填空题（每空3分，共42分）1、函数lg(1)y x =-的定义域是 ；2、设函数20() 0x x f x a x x ⎧<=⎨+≥⎩在点0x =连续，则a = ； 3、曲线45y x =-在（-1，-4）处的切线方程是 =0 ；4、已知3()f x dx xC=+⎰，则()f x = ；5、21lim(1)x x x →∞-= ； 6、函数32()1f x x x =-+的极大点是 ； 7设()(1)(2)2006)f x x x x x =---……(，则(1)f '= ；8、曲线xy xe =的拐点是 ；9、21x dx-⎰= ；10、设32,a i j k b i j kλ=+-=-+，且a b⊥，则λ= ；11、2lim()01x x ax b x →∞--=+，则a = ，b = ；12、311lim xx x-→= ；13、设()f x 可微，则()()f x d e =。
二、 计算下列各题（每题5分，共20分）1、11lim()ln(1)x x x →-+2、y =y '；3、设函数()y y x =由方程xye x y =+所确定，求0x dy =； 4、已知cos sin cos x t y t t t =⎧⎨=-⎩，求dydx 。
三、求解下列各题（每题5分，共20分）1、421x dx x +⎰2、2secx xdx⎰3、40⎰4、2201dx a x +四、求解下列各题（共18分）：1、求证：当0x >时，2ln(1)2x x x +>-（本题8分） 2、求由,,0xy e y e x ===所围成的图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积。
（本题10分）高等数学（上）模拟试卷二一、填空题（每空3分，共42分）1、函数lg(1)y x -的定义域是 ；2、设函数sin 0()20xx f x xa x x ⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩在点0x =连续，则a = ；3、曲线34y x =-在(1,5)--处的切线方程是 ； 4、已知2()f x dx xC=+⎰，则()f x = ；5、31lim(1)x x x →∞+= ； 6、函数32()1f x x x =-+的极大点是 ； 7、设()(1)(2)1000)f x x x x x =---……(，则'(0)f = ；8、曲线xy xe =的拐点是 ； 9、32x dx-⎰= ；10、设2,22a i j k b i j k λ=--=-++，且a b，则λ= ；11、2lim()01x x ax b x →∞--=+，则a = ，b = ；12、311lim xx x-→= ；13、设()f x 可微，则()(2)f x d =。
二、计算下列各题（每题5分，共20分） 1、111lim()ln 1x x x →--2、arcsin y =，求'y ；3、设函数()y y x =由方程xye x y =-所确定，求0x dy =；4、已知sin cos sin x t y t t t =⎧⎨=+⎩，求dy dx 。
三、求解下列各题（每题5分，共20分）1、31xdx x +⎰2、2tanx xdx⎰3、1⎰4、1-⎰四、求解下列各题（共18分）：1、求证：当0,0,x y x y >>≠时，ln ln ()ln2x yx x y y x y ++>+ （本题8分）2、求由,y x y ==所围成的图形的面积，并求该图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积。
（本题10分）高等数学（上）模拟试卷三一 、填空与选择：（每题3分，共30分） 1。
已知函数()f x 的定义域为[)1,0-，则(ln )f x 的定义域为___________________.2．21lim()21xx x x →∞+=- ______________.3．已知1, 0() , =0x f x xa x ⎧≠⎪=⎨⎪⎩在0x =处连续，则a =___________.4.13 =⎰______________.5．已知向量{}3,4,0a →=-，{},1,1b k →=-，若a b ⊥，则k =______________.6．当0x →时，函数2(1)x e ax bx -++是比2x 高阶的无穷小，则 （A ）1, 12a b == （B ）1, 1a b == （C ）1, 12a b =-= （D ）1, 1a b =-= （ ）7．设函数()f x 处处连续，，且在1x x =处有1()0f x '=，在2x x =处不可导， 则（ ） （A ）1x x =及2x x =都不是()f x 的极值点 （B ）只有1x x =是()f x 的极值点（C ）只有2x x =是()f x 的极值点 （D ）1x x =及2x x =都可能是()f x 的极值点 8．函数3233y x ax bx c =+++在1x =-处取极大值，点(0,3)是拐点，则（ ）（A ）1,0,3a b c =-== （B ）0,1,3a b c ==-=（C ）3,1,0a b c ==-= （D ）以上均不对9．设2()f x dx xC=+⎰，则2(1)xf x dx -=⎰（ ）（A ）222(1)x C --+ （B ）222(1)x C -+ （C ）221(1)2x C --+ （D ）221(1)2x C -+10．设函数()f x 在区间[],a b 上满足()0f x >，()0f x '>，记(), N=()()b aM f x dx f a b a =-⎰，则（ ）（A ）M N > （B ）N M < （C ）NM = （D ）以上均不对二、计算题（每题6分，共24分）1．011lim ln(1)x x x →⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦ 2．23200lim 1x x xt dt e →-⎰3. 4.sin(ln )x dx ⎰三、求解下列各题（每题7分，共28分）1. 设1, 1+()1 , 01xx o xf x x e ⎧≥⎪⎪=⎨⎪<⎪+⎩，求11()f t dt-⎰2.设函数y=y(x)由方程2cos xye y x +=确定，求dydx .3.设函数y=y(x)由方程(cos sin ) (sin cos )x a t t t y a t t t =+⎧⎨=-⎩确定，求22,.dy d y dx dx 4.已知(ln )tan (),y f x f x f =+且可微, 求dy .四、解答题（第1题8分，第2题10分，共18分）1．求函数324()x f x x +=的单调区间与极值。
2．求由曲线21y x =+、直线0x =、1x =以及x 轴围成的平面图形的面积以及这个平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积.高等数学（上）模拟试卷四一、 填空与选择题（每题3分，共30分） 1．已知函数2(1)1x f e x -=+， 则()f x =___________________.2．2lim(1)x x x →∞-= ______________.3．曲线53(2)y x =-的凸区间是 ___________.4．222sin cos =1sin x xdx x ππ-+⎰______________.5．向量b →与22a i j k →→→→=-+平行，且满足18a b →→⋅=，则b →=______________.6．已知(1)(2)(3)lim1(1)x b x x x ax →∞---=+，则（A ）11,3a b == （B ）1,3a b == （C ）1,13a b == （D ）以上均不对 （ ）7．设50()sin x x tdtα=⎰，2()x x β=,则当0x →时，()x α是()x β的 （A ）高阶无穷小（B ）低阶无穷小（C ）同阶但不等价无穷小（D ）等价无穷小 （ ）8．设函数21sin ,0()0 ,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，则函数()f x 在0x =处（A ）极限不存在 （B ）极限存在但不连续 （C ）连续但不可导 （D ）可导 9．设函数()f x 在(,)-∞∞上连续，且(0)0f =，(0)f '存在，则函数()()f x g x x =（A ）在0x =处左极限不存在 （B ）有跳跃间断点0x =（C ）在0x =处右极限不存在 （D ）有可去间断点0x =10．设()x f x e -=，则(ln )f x dx x =⎰（A ）1C x+ （B ）ln x C + （C ）1Cx-+ （D ）ln x C -+（ ）二、计算题（每题6分，共24分）1．20ln(1)ln(1)lim sin x x x x →++- 2．01lim(x x →3.2ln cos cos x dx x ⎰ 4.2三、求解下列各题（每题7分，共28分）1. 设222 , () , 01xe x of x x x x -⎧≤⎪=⎨>⎪+⎩，求 11()f t -⎰2.设函数()y y x =由方程sin cos y e xy x +=确定，求. 3.设函数()y y x =由方程2ln(1) arctan x t y t t ⎧=+⎨=-⎩确定，求22,dy d y dx dx .4.已知()(ln ),f x y f x e f =且可微, 求dy .四、证明与解答（第1题8分，第2题10分，共18分） 1．求证：当0x >时，1ln(x x +（提示：利用函数的单调性）。
2．设曲线2y x =，l 是它过点2(,)a a 的切线(02)a ≤≤，（1）求切线l 与直线0, 2x x ==和曲线2y x =所围成的平面图形的面积S (如图12S S S =+)；（2）a 为何值时S 最小. 高等数学（上）模拟试卷五一、 填空题（每空3分，共15分） 1. 已知函数1)1(+=-x e f x ，则=)(x f ； 2. 设⎩⎨⎧≥++<=0)1ln(0)(x x a x e x f x 在点0=x 处连续，则=a ；3. 设()f x 在点x 的导数0()f x '存在，且0()2f x '=，则000()()lim2h f x f x h h →--=；12=，则=→b 。
)；Ｃ. 9,0==b a Ｄ.，则当0→x 时，)(x α是)(x β的.A 高阶无穷小 .B 低阶无穷小 .C 等价无穷小 .D 同阶但不等价无穷小3．设在区间],[b a 上0)(>x f ，0)(<'x f ，0)(<''x f ，令⎰=badxx f S )(1，))((2a b b f S -=，))](()([213a b b f a f S -+=，则( )；.A 321S S S << .B 231S S S << .C 312S S S << .D 132S S S <<4．已知x e x f =)(，⎰=-dx x f )ln (( ); A 、Cx +1B 、C x +-1 C 、C x +lnD 、C x +-ln5. 已知三次曲线32333y x ax bx =+++在)1,1(--处取极值，则( ).A 、2,1a b ==B 、2,3a b == C 、2,3a b =-= D 、2,3a b =-=-三．计算题（每小题6分，共18分）1、x x x e x x 320sin )1(lim --→2、21lim()23xx x x →∞++3、设方程222x x y y ++=确定隐函数)(x y y =, 求dy四．求解下列各项题（每小题7分，共28分）1、设)(x y y =由方程组sin (sin cos )ttx e t y e t t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩确定，求dy dx ，22d y dx2.dxx x x ⎰-)1(arcsin 3.dxx x⎰-41224. 401cos 2xdxx π+⎰五.解答题（2小题，共24分）1, 证明当0>x 时，2)1ln(2x x x ->+(10)' 2, 设抛物线方程为：2x y =, 且设l 为抛物线在点P),(2a a (02)a <<处切线。