2013蓟县二模天津市蓟县2013届高三第二次模拟考试数学文试题试题答案

2013摸文参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案
A
B
C
D
D
A
C
B
二、填空题
9. {-1,2,3}
32 10. 12 11. 3 12. 6 13. 14. .22OB OA OC +-= 三、解答题
15. （Ⅰ）解：由已知得 2
2cos cos 10B B +-=， 即 (2cos 1)(cos 1)0B B -+=．
解得 1
cos 2
B =
，或cos 1B =-． 因为 0πB <<，故舍去cos 1B =-． 所以 π
3
B =
． ………………6分 （Ⅱ）解：由余弦定理得 2
2
2
2cos b a c ac B =+-．
将π3
B =
，b =代入上式，整理得2
()37a c ac +-=． 因为 5a c +=， 所以 6ac =．
所以 △ABC 的面积1sin 2S ac B =
=． …………13分
G
A
B
C
D
E
F
O
16. （Ⅰ）解：∵甲班学生的平均分是85，
∴
92968080857978
857
x +++++++=.
∴5x =.
∵乙班学生成绩的中位数是83，
∴3y =. …………… 3分 （Ⅱ）解：甲班7位学生成绩的方差为
2
s ()()()22222221675007117⎡⎤=
-+-+-++++⎢
⎥⎣⎦40=. …… 5分 （Ⅲ）解：甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为,A B ， 乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为,,C D E .
从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：()()(),,,,,,A B A C A D ()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,A E B C B D B E C D C E D E . 其中甲班至少有一名学生共有7种情况：()()(),,,,,,A B A C A D ()()()(),,,,,,,A E B C B D B E
. 记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班至少有一名学生”为事
件M ，则()7
10
P M =
. 答：从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲校至少有一名学生的概率为
710
. ……………13分
17. 解：（1）连接OF .
由ABCD 是正方形可知,点O 为BD 中点. 又F 为BE 的中点， 所以OF ∥DE
又,,OF ACF DE ACF ⊂⊄平面平面 所以DE ∥平面ACF ………….4分
(2) 证明：由EC ABCD BD ABCD ⊥⊂底面，底面， 所以,EC BD ⊥
由ABCD 是正方形可知, ,AC BD ⊥
又=,,AC EC C AC EC ACE ⋂⊂平面， 所以,BD ACE ⊥平面
又AE ACE ⊂平面，
所以BD AE ⊥…………………………………………………9分
(3) 在线段EO 上存在点G ，使CG BDE ⊥平面.
理由如下：如图，取EO 中点G ，连接CG
在四棱锥E ABCD -中，,AB CO AB CE =
=
=， 所以CG EO ⊥ 由（2）可知，BD ACE ⊥平面，而,BD BDE ⊂平面
所以,ACE BDE ACE BDE EO ⊥⋂=平面平面且平面平面，
因为,CG EO CG ACE ⊥⊂平面，
所以CG BDE ⊥平面 故在线段EO 上存在点G ，使CG BDE ⊥平面.
由G 为EO 中点，得
1
.2
EG EO = …………… 13分
18. 解：解：（I ）2'()321(31)(1)f x x x x x =+-=-+
令0)('>x f ，解得13
1
-<>
x x 或 令0)('<x f ，解得3
1
1<<-x
所以)(x f 的单调递增区间为),31
(),1,(+∞--∞，
)(x f 的单调递减区间为)3
1
,1(- ……6分
（II ）因为函数)(x f 的图象与直线ax y =只有一个公共点， 所以方程3
2
0x x ax b ax +++-=只有一个解 ，
即023
=++b x x 只有一个解 令b x x x g ++=2
3)(，则其图象和x 轴只有一个交点， 2
'()32g x x x =+
，令2'()320g x x x =+=，
所以3
2
,021-==x x ， 可列表：
所以，)(x g 在01=x 处取得极小值b ，在322-
=x 取得极大值b +27
4， 要使b x x x g ++=23)(的其图象和x 轴只有一个交点，
只要⎪⎩⎪⎨⎧>+>02740b b 或⎪⎩⎪⎨⎧<+<027
40
b b ，
解得 0>b 或27
4
-
<b ……13分 19. 解析：（Ⅰ）设(,)C x y ，00(,)P x y ，由题意得002x x y y =⎧⎨=⎩，即0012
x x
y x =⎧⎪
⎨=⎪⎩，
又2
2
0014x y +=，代入得221()142
x y +=，即224x y +=． 即动点C 的轨迹E 的方程为224x y +=． ----------6分 （Ⅲ）设(,)C m n ，点R 的坐标为(2,)t ，
∵,,A C R 三点共线，∴//AC AR ，
而(2,)AC m n =+ ，(4,)AR t =
，则4(2)n t m =+，
∴42
n
t m =
+， ∴点R 的坐标为4(2,
)2n m +，点D 的坐标为2(2,)2
n
m +， ∴直线CD 的斜率为222(2)22244
n
n m n n mn m k m m m -
+-+=
==---， 而224m n +=，∴2
2
4m n -=-，
∴2
mn m
k n n
=
=--， ∴直线CD 的方程为()m
y n x m n
-=-
-，化简得40mx ny +-=， ∴圆心O 到直线CD
的距离2d r =
=
==， 所以直线CD 与圆O 相切． -----------------14分
20. 解：方法一、（1）依题意，数列{}n b 的通项公式为12n n b -=， 1分
由11223311(1)21n n n n n a b a b a b a b a b n --+++++=-⋅+ ， 可得111223311(2)21n n n a b a b a b a b n ---++++=-⋅+ ()2n ≥， 两式相减可得12n n n a b n -⋅=⋅，即n a n =.
当111n a ==时，，从而对一切n N *
∈，都有n a n =.所以数列{}n a 的通项公式是n a n =. 5分
（2）法1：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则1(1)n a a n d =+-.
由（1）得，11
122,(1)n n n n n n a b n b a n d
--⋅⋅=⋅=+-即()2n ≥
11
1122()n n n n b a d nd d
n
--⋅=-++＝
要使1n n
b
b +是一个与n 无关的常数，当且仅当10a d =≠
即：当等差数列{}n a 的满足10a d =≠时，数列{}n b 是等比数列，其通项公式是
1
2n n b d
-=；
当等差数列{}n a 的满足1a d ≠时，数列{}n b 不是等比数列． 9分 法2：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则1(1)n a a n d =+-.
由（1）得，1
1
122,(1)n n n n n n a b n b a n d
--⋅⋅=⋅=+-即()2n ≥
若数列{}n b 是等比数列，则2111212[()]
n n b dn a n a d b dn a n
+++-=+ 要使上述比值是一个与n 无关的常数，须且只需10a d =≠.
即：当等差数列{}n a 的满足10a d =≠时，数列{}n b 是等比数列，其通项公式是
1
2n n b d
-=；8分
当等差数列{}n a 的满足1a d ≠时，数列{}n b 不是等比数列． 9分
（3）证法1：由（1）知12n n n a b n -=⋅.
2311111111112232422n
n i i i
a b n -==+++++⨯⨯⨯⨯⨯∑ 23111111111122222222n n i i i a b -=<+++++⨯⨯⨯⨯⨯∑ ()3n ≥ 2
1
1()1112114812
n --=++⨯
-
13分 1
1
1
3
1442≤++=
14分。