高考数学专题训练函数的定义域与值域

合集下载

专题3-函数的定义域与值域

专题03 函数的定义域和值域一、选择题（本大题共12小题，每小题5分。

）1．下列函数中，其定义域和值域与函数的定义域和值域相同的是（）A ．B ．C ．D ．2．函数的定义域为（） A ．B ．C ．D ．3．下列函数中是偶函数且值域为的函数是（） A ．B ．C ．D ．4．若函数y ＝f (x )的定义域是[0，2]，则函数g (x )＝的定义域是 ( )A ．[0，1]B ．[0，1)C ．[0，1)∪(1，4]D ．(0，1) 5．函数的值域为（）A ．B ．C ．D ．6．已知函数的值域是，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．7．若函数的定义域为，则实数的取值范围是（） A ． B ．C ．或D ．或 8．已知，记表示不超过的最大整数，如，则的值域为（）A ．B ．C ．D ．9．已知函数（，为自然对数的底数），若与的值域相同，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．或10．函数的定义域为，对给定的正数，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的级“理想区间”．下列结论错误的是（） A ．函数（）存在1级“理想区间” B ．函数（）不存在2级“理想区间” C ．函数（）存在3级“理想区间”D ．函数，不存在4级“理想区间”函数的定义域分别为且，若对任意的，都有，则11．设称为在上的一个“延拓函数”．已知为自然对数的底数），若为在上的一个“延拓函数”，则下列可作为的解析式的个数为（）①；②；③；④；⑤；⑥．（）A ．B ．C ．D ． 12．已知函数，其中表示不超过的最大整数．设，定义函数：，，，，则下列说法正确的有（）个 ①的定义域为； ②设，，则；③；④若集合，则中至少含有个元素．A ．个B ．个C ．个D ．个二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）13．函数的定义域为___________． 14．已知函数的定义域和值域都是，则__________． 15．定义区间的长度为，已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最小值为__________．16．对于函数，若存在一个区间，使得，则称为的一个稳定区间，相应的函数的“局部稳定函数”，给出下列四个函数：①；②；③；④，所有“局部稳定函数”的序号是__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分10分）已知函数．（）求函数的定义域．（）若为偶函数，求实数的值．18．已知函数．（1）求函数的定义域；（2）若实数，且，求的取值范围．19．（本小题满分12分）已知函数．（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；（2）当且时，求函数的值域．20．（本小题满分12分）已知函数．（1）当时，求函数在上的值域；（2）是否存在实数，是函数的定义域为，值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）设函数的定义域为，值域为，如果存在函数，使得函数的值域仍是，那么称是函数的一个等值域变换．（1）判断下列函数是不是函数的一个等值域变换？说明你的理由；①；②．（2）设的定义域为，已知是的一个等值域变换，且函数的定义域为，求实数的值．22．（本小题满分12分）已知幂函数满足．（1）求函数的解析式；（2）若函数，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（3）若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．答案与解析1.【答案】C2.【答案】C【解析】要使函数有意义需满足，则函数的定义域为，故选C．3.【答案】D【解析】由题意得，A 选项，的值域为，故错误；B 选项，为奇函数，不为偶函数，故错误；C 选项，为奇函数，不为偶函数，故错误；D选项既为偶函数而且值域为，故选D．4.【答案】D【解析】∵f(x)的定义域为[0，2]，∴要使f(2x)有意义，必有0≤2x≤2，∴0≤x≤1，∴要使g(x)有意义，应有∴0<x<1，故选D．5.【答案】D【解析】由得，当时，函数为增函数，所以当时，由移项得两边平方整理得得从而且．由，得，由综上，所求函数的值域为．选D 6.【答案】C【解析】∴当时，由解得∴要使函数在的值域是则，故选C．7.【答案】B【解析】分析：先根据真数大于零得>0恒成立，再根据二次型系数是否为零讨论，最后结合二次函数图像得实数的取值范围．详解：因为函数的定义域为，所以>0恒成立，因为成立，所以若，则由得，因此，故选B．【名师点睛】研究形如恒成立问题，注意先讨论的情况，再研究时，开口方向，判别式正负，对称轴与定义区间位置关系，列不等式解得结果．8.【答案】B【解析】分析：易得，所以，为整数时，易得，不为整数，设其中，，代入即可得解．详解：由，可知．可得：．若为整数，则若不为整数，设其中，的值域为．故选B．【名师点睛】本题考查了函数的中心对称性，得到，从而可将函数的两个量转换为一个量的讨论，为整数时易得解，不为整数时，设为整数加小数部分的结构代入即可．9.【答案】A10.【答案】D【解析】A中，当x⩾0时，f(x)=x2在[0，1]上是单调增函数，且f(x)在[0，1]上的值域是[0，1]，∴存在1级“理想区间”，原命题正确；B中，当x∈R时，f(x)=e x在[a，b]上是单调增函数，且f(x)在[a，b]上的值域是[e a，e b]，∴不存在2级“理想区间”，原命题正确；C 中，因为在(0，1)上为增函数．假设存在[a，b]⊂(0，1)，使得f(x)∈[3a，3b]则有，所以命题正确；D中，不妨设a>1，则函数在定义域内为单调增函数，若存在“4级理想区间”[m，n]，则由m，n是方程tanx=4x，x ∈的两个根，由于该方程不存在两个不等的根，故不存在“4级理想区间”[m，n]，∴D结论错误，故本题选D．【名师点睛】新定义型创新题是数学考题的一大亮点，通过定义新的概念，或约定新的运算，或给出新的性质等创设一种全新的问题情境，主要考查考生独立提取信息、加工信息的能力，要求考生在阅读理解的基础上，紧扣条件，抓住关键的信息，实现信息的转化，达到灵活解题的目的．求解此类问题通常分三大步骤进行：（1）对新定义进行信息提取，确定化归方向；（2）对新定义所提取的信息进行加工，探究解决方法；（3）对新定义中提取的知识进行转换，有效地输出．其中对新定义信息的提取和化归转化是求解的关键，也是求解的难点．11.【答案】A【解析】因为的定义域为[，值域为[1，由延拓函数定义可知，（1）延拓函数的定义域包含的定义域，①③的定义域都不包含0，所以不符合；（2）延拓函数的值域也包含的值域，故⑤⑥不符合，②④符合，所以选A．【名师点睛】本题属于新定义函数题型，难点不大，要领会新定义的意义．其中“对任意的，都有”，条件是解题的关键，首先注意到左边函数的变量是任意的，任意即为所以，故有“”在必须与之对于，故当时，两函数的解析式应该是相同的．常考的还有这样一种关系“，都有”，不同于本题，这种关系只是值域的一种包含关系而已．12.【答案】C【解析】①，当时，，所以；当时，成立，所以；当时，成立，所以；因此定义域为；②；；，因此；③因为，即，因此④由上可知为中元素，又，所以中至少含有个元素．综上共有3个正确说法，选C．【名师点睛】本题难点为分段、绝对值、取整三个要分类讨论的函数有机结合在一起．解题的关键就是按分类标准正确取值，按对应数值寻找周期变化规律．13.【答案】【解析】，定义域为14.【答案】【名师点睛】（1）本题主要考查指数函数的单调性和值域的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平．（2）对于指数函数，一般要分a＞1和0＜a＜1讨论．15.【答案】2【解析】函数的定义域为，值域为，，2和-2至少有一个属于区间，故区间的长度最小时为[-2，0]或[0，2]，即区间的长度最小值为2，故填2．16.【答案】①②【解析】“局部稳定函数”的定义可以转换为：函数与至少有两个不同的交点，在交点所构成的区间内具有连续性，在交点所确定的区间之内单调递增或单调递减，很明显①②满足题意，函数与相切，函数与没有交点，综上可得所有“局部稳定函数”的序号是①②．【名师点睛】学习能力型问题必将成为以后高考考核的重点，它题目新颖，考察全面，摆脱了以往只考察学生记忆、计算等方面知识．而这类题型是考察学生的阅读理解力、知识迁移能力和归纳概括能力等，是考察学生素质能力的典型题目，应引起广大师生的关注，学习有两个过程：一个是“从薄到厚”，一个是“从厚到薄”．前者是知识不段丰富、积累的过程，是“量”的积累；“从厚到薄”则是质的飞跃．在这里正是应用到了“从厚到薄”．而这类问题涉及知识面广、开放度高、灵活性强，能够很好地考核考生利用所学知识分析问题和解决问题的能力，需要平时结合所学的知识多联想和多类比，注意知识的活学活用，才能够处理好这类问题．17.【答案】（1）或；（2）．【解析】试题分析：（1）由即，讨论和-1的大小求解即可；（2）若是偶函数，则其定义域关于原点对称，由（）知，，再检验即可．试题解析：（）因为即，当时，不等式的解为或，所以函数的定义域为或．当时，不等式的解为，所以函数的定义域为．当时，不等式的解为或，所以函数的定义域为或．（）如果是偶函数，则其定义域关于原点对称，由（）知，，检验：当时，定义域为或关于原点对称，，，因此当时，是偶函数．18.【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）要使有意义，则即，要使有意义，则即求交集即可求函数的定义域；（2）实数，且，所以即可得出的取值范围．试题解析：（1）要使有意义，则即，要使有意义，则即，所以的定义域．（2）由（1）可得：即所以，故的取值范围是．19.【答案】（1）；（2）．【名师点睛】对勾函数的性质：它是奇函数，在上递减，在上递增，因此时，在时，取得最小值．20.【答案】（1）；（2）【解析】（1）∵函数，a=1，∴，∵在[0，1）上单调减，在（1，3]上单调增，∴最小值为，而，∴函数的值域为；（2）当时，由于f（x）在[-1，1]上是减函数，可得，不存在；当时，由，不存在；当时，由，不存在；当时，由，所以（舍去）综上所述．21.【答案】（1）①不是等值域变换，②是等值域变换；（2）．【解析】试题分析：（1）运用对数函数的值域和基本不等式，结合新定义即可判断①；运用二次函数的值域和指数函数的值域，结合新定义即可判断②；（2）利用f（x）的定义域，求得值域，根据x的表达式，和t值域建立不等式，利用存在t1，t2∈R使两个等号分别成立，求得m和n．试题解析：（1）①，x>0，值域为R ，，t>0，由g(t)⩾2可得y=f[g(t)]的值域为[1，+∞)．则x=g(t)不是函数y=f(x)的一个等值域变换；②，即的值域为，当时，，即的值域仍为，所以是的一个等值域变换，故①不是等值域变换，②是等值域变换；（2）定义域为，因为是的一个等值域变换，且函数的定义域为，的值域为，，恒有，解得．22.【答案】（1）；（2）存在使得的最小值为0；（3）．【解析】试题分析：（1）由为幂函数可得，解得或，经验证．（2）令，则，设，则将问题转化为函数在上的最小值是否为0的问题．根据对称轴与区间的关系求解，可得满足题意．（3）由题意得，且在定义域内为单调递减函数，若存在实数a，b满足题意，则可得，由②-①消去n 得，从而，将③代入②得，再令，由得，所以将问题转化为求在上的取值范围，根据二次函数的知识可得．试题解析：（1）∵是幂函数，∴，解得或，当时，，不满足，当时，，满足，∴∴．（3）由题意得，∴在定义域内为单调递减函数；若存在实数，使函数在上的值域为，则，由②-①，得，∴，将③代入②得，，令，∵，∴，又，故在区间上单调递减，∴．∴存在实数，使函数在上的值域为且实数的取值范围为．【名师点睛】本题以幂函数作为载体，考查了二次函数求值的问题和换元法的运用．对于求二次函数在给定区间上的最值问题，要根据抛物线的开口方向和对称轴与区间的关系求解，解题中要用到分类讨论的方法，分类时要做到不重不漏．同时解答本题时还要注意函数的单调性在求值中的应用．。

高中数学求函数定义域和值域专题训练含答案

高中数学求函数定义域和值域专题训练含答案姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、填空题（共1题）1、已知函数的定义域为，值域是，则的值域是，的定义域是．二、计算题（共8题）1、试求下列函数的定义域与值域:(1)f(x)=(x-1)2+1,x∈{-1,0,1,2,3};2、试求下列函数的定义域与值域:f(x)=(x-1)2+1;3、试求下列函数的定义域与值域:f(x)=;4、试求下列函数的定义域与值域:f(x)=x-.5、求下列函数的定义域：6、求下列函数的定义域：7、已知函数其定义域为[0，2][8，10].（1）当t=2时，求函数的值域；（2）当t=2时，求函数的反函数；（3）当在定义域内有反函数时，求t的取值范围.8、已知函数（1）求的定义域；（2）求的值域；（3）设为锐角，且，求的值。

三、解答题（共11题）1、（1）求函数的定义域；（2）若函数的定义域为，求函数的定义域；（3）求函数的值域.2、（1）求函数的定义域;（2）求函数的值域;（3）已知函数的值域为，求的值.3、（1）求函数的定义域。

（2）求函数的值域。

4、若，函数（其中）（1）求函数的定义域；（2）求函数的值域5、已知函数f(x)＝lg(x－1).(1)求函数f(x)的定义域和值域；(2)证明f(x)在定义域上是增函数.6、求函数y＝的定义域与值域；7、设函数(1) 求f(x)的定义域(2) 求函数f(x)的值域8、（1）设全集，集合，若，求；（2）求函数的定义域和值域.9、已知函数,(1)若函数定义域为,求的值;(2)若函数值域为,求的值;(3)若在单调递增,求的取值范围;10、求下列函数的定义域和值域：11、求下列函数的定义域和值域；============参考答案============一、填空题1、二、计算题1、 (1)函数的定义域为{-1,0,1,2,3},则f(-1)=[(-1)-1]2+1=5,同理可得f(0)=2,f(1)=1,f(2)=2,f(3)=5,所以函数的值域为{1,2,5}.2、函数的定义域为R,因为(x-1)2+1≥1,所以函数的值域为{y|y≥1}..;3、函数的定义域是{x|x≠1},y==5+,所以函数的值域为{y| y≠5}.4、)要使函数式有意义,需x+1≥0,即x≥-1,故函数的定义域是{x|x≥-1}.设t=,则x=t2-1(t≥0),于是f(t)=t2-1-t=(t-)2-.又因为t≥0,故f(t)≥-.所以函数的值域是{y|y≥-}.5、6、7、解：（1）当t=2时，在[0，2]上为单调减函数，此时的取值范围是[－3，1]在[8，10]上为单调递增函数，此时的取值范围是[33，61]的值域是[－3，1][33，61].（2）当时，得当得.互换x, y，得所求反函数为.（3）由于所以当的定义域内有反函数时，结合图像知有以下情况：（Ⅰ）；（Ⅱ）当其中由则（Ⅱ中）综上所述，所求t的取值范围是。

高考数学复习常考知识点专项练习17 函数的定义域与值域

高考数学复习常考知识点专项练习17 函数的定义域与值域一、选择题1．已知函数f (x )的定义域为[－2,1]，函数g (x )＝f (x －1)2x ＋1，则g (x )的定义域为( A )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，2 B ．(－1，＋∞)C.⎝⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0,2) D.⎝⎛⎭⎪⎫－12，2 解析：由题意得⎩⎨⎧－2≤x －1≤1，2x ＋1>0，解得－12<x ≤2，故选A.2．在下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( B )A ．y ＝xB ．y ＝1xC ．y ＝1xD ．y ＝x 2＋1解析：y ＝x 的值域为[0，＋∞)，y ＝1x 的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y ＝x 2＋1的值域为[1，＋∞)．故选B.3．若函数f (x )＝5x ＋4的值域是[9，＋∞)，则函数f (x )的定义域为( C ) A ．R B ．[9，＋∞) C ．[1，＋∞)D ．(－∞，1)解析：∵函数f (x )的值域为[9，＋∞)，∴5x ＋4≥9， ∴x ≥1.即函数f (x )的定义域为[1，＋∞)．4．已知函数y ＝x 2的值域是[1,4]，则其定义域不可能是( B )A ．[1,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，2 C ．[－2，－1] D ．[－2，－1]∪{1}解析：B 中当x ＝0时，函数值为0，但0∉[1,4]，故选B.5．(多选题)下列各组中的两个函数不是同一个函数的是( ABC ) A ．y 1＝(x ＋3)(x －5)x ＋3，y 2＝x －5B ．f 1(x )＝(2x －5)2，f 2(x )＝2x －5C ．f 1(x )＝(x ＋1)(x －1)，f 2(x )＝x ＋1·x －1D ．f 1(x )＝(x －1)0，f 2(x )＝(x －1)2|x －1|解析：A.定义域不同，不是同一个函数；B.定义域、对应关系都不同，不是同一个函数；C.定义域不同，不是同一个函数；D.因为f 1(x )＝1(x ≠1)，f 2(x )＝1(x ≠1)，所以f 1(x )与f 2(x )是同一个函数．6．已知等腰三角形ABC 的周长为10，且底边长y 关于腰长x 的函数关系式为y ＝10－2x ，则此函数的定义域为( D )A ．RB ．{x |x >0}C ．{x |0<x <5} D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪52<x <5解析：△ABC 的底边长显然大于0，即y ＝10－2x >0， ∴x <5.又两边之和大于第三边，∴2x >10－2x ，x >52.故此函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪52<x <5.7．已知函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的值域为[0，＋∞)，则m 的取值范围是( D )A ．[0,4]B ．(0,4]C ．(0,4)D ．[4，＋∞)解析：当m ＝0时，f (x )＝1，不合题意；当m ≠0时，设g (x )＝mx 2＋mx ＋1，只需⎩⎨⎧m >0，Δ＝m 2－4m ≥0，解得m ≥4，故选D.8．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy (x ，y ∈R )，且f (1)＝2，则f (－3)等于( C )A ．2B ．3C ．6D ．9解析：方法一：定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy (x ，y ∈R )，令x ＝y ＝0，得f (0)＝f (0)＋f (0)＋0，解得f (0)＝0；令x ＝1，y ＝－1，得f (0)＝f (1)＋f (－1)－2，解得f (－1)＝0；令x ＝y ＝－1，得f (－2)＝f (－1)＋f (－1)＋2，解得f (－2)＝2；令x ＝－2，y ＝－1，得f (－3)＝f (－2)＋f (－1)＋4，解得f (－3)＝6. 方法二：因为f (1)＝2，所以f (2)＝f (1＋1)＝f (1)＋f (1)＋2×1×1＝6，所以f (3)＝f (1＋2)＝f (1)＋f (2)＋2×1×2＝12.令x ＝y ＝0，得f (0)＝f (0)＋f (0)＋0，即f (0)＝0，所以f (0)＝f [3＋(－3)]＝f (3)＋f (－3)＋2×3×(－3)＝0，即f (－3)＝6.二、填空题9．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的定义域是[－3,0]∪[1,3]，值域是[1,5]．解析：观察题图可知，函数f (x )的定义域为[－3,0]∪[1,3]，值域为[1,5]． 10．若函数y ＝f (x )的定义域是[－2,2]，则函数y ＝f (x ＋1)＋f (x －1)的定义域为[－1,1]．解析：∵函数y ＝f (x )的定义域为[－2,2]，∴⎩⎨⎧－2≤x ＋1≤2，－2≤x －1≤2，解得－1≤x ≤1，故所求定义域为[－1,1]．三、解答题11．记函数f (x )＝3－x ＋x －1的定义域为集合M ，函数g (x )＝x 2－2x ＋3的值域为集合N ，求：(1)M ，N ； (2)M ∩N ，M ∪N . 解：(1)因为函数f (x )＝3－x ＋x －1的定义域为集合M ，则有⎩⎨⎧3－x ≥0，x －1≥0，故1≤x ≤3，集合M ＝[1,3]，因为函数g (x )＝x 2－2x ＋3的值域为集合N ，则g (x )＝x 2－2x ＋3≥2，集合N ＝[2，＋∞)，所以M ＝[1,3]，N ＝[2，＋∞)．(2)M ∩N ＝[1,3]∩[2，＋∞)＝[2,3]， M ∪N ＝[1,3]∪[2，＋∞)＝[1，＋∞)．12．如图所示，从边长为2a 的正方形铁片的四个角各截去一个边长为x 的正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，要求长方体的高x 与底面正方形边长的比值不超过正常数t ，试把铁盒的容积V 表示为关于x 的函数，并求出其定义域．解：依题意，知长方体盒子的高为x ，则底面正方形的边长为(2a －2x )．所以V ＝(2a －2x )2·x ＝4x (a －x )2. 因为⎩⎪⎨⎪⎧0<x <a ，x2a －2x≤t ，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<x <a ，x ≤2at1＋2t.因为a －2at 1＋2t ＝a 1＋2t >0，所以0<x ≤2at1＋2t.所以铁盒的容积V ＝4x (a －x )2，定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪0<x ≤2at 1＋2t .13．(多选题)下列函数中，(0，＋∞)为该函数值域的子集的是( ABC ) A ．y ＝x B ．y ＝100x ＋2C ．y ＝16xD ．y ＝x 2＋x ＋1解析：A 中y ＝x 的值域为[0，＋∞)，B 中函数的值域为(0，＋∞)；C中y ＝16x 的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；D 中y ＝x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 14．(多选题)给出定义：若m －12<x ≤m ＋12(其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x }，即{x }＝m .在此基础上给出下列关于函数f (x )＝|x －{x }|的四个结论，其中正确的是( AC )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝12B ．f (3.4)＝－0.4C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14D ．y ＝f (x )的定义域为R ，值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12解析：由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12－⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12－(－1)＝12，A 正确；f (3.4)＝|3.4－{3.4}|＝|3.4－3|＝0.4，B 错误；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－14－⎩⎨⎧⎭⎬⎫－14＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－14－0＝14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪14－⎩⎨⎧⎭⎬⎫14＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪14－0＝14，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，C 正确；y ＝f (x )的定义域为R ，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，D 错误．15．已知函数y ＝mx 2＋8x ＋nx 2＋1的定义域为(－∞，＋∞)，值域为[1,9]，则m 的值为5，n 的值为5.解析：由y ＝mx 2＋8x ＋nx 2＋1，得(y －m )x 2－8x ＋(y －n )＝0.∵x ∈R ，若y －m ≠0，则Δ＝(－8)2－4(y －m )(y －n )≥0，即y 2－(m ＋n )y ＋(mn －16)≤0.由1≤y ≤9知，关于y 的一元二次方程y 2－(m ＋n )y ＋(mn －16)＝0的两根为1和9，故有⎩⎨⎧m ＋n ＝1＋9，mn －16＝1×9，解得⎩⎨⎧m ＝5，n ＝5.若y －m ＝0，则m ＝n ＝5，符合题意． ∴m ＝n ＝5.16．已知函数f (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6. (1)若f (x )的定义域为[－2,1]，求实数a 的值； (2)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围．解：(1)当1－a 2＝0时，a ＝±1.当a ＝1时，f (x )＝6，定义域为R ，不符合题意；当a ＝－1时，f (x )＝6x ＋6，定义域为[－1，＋∞)，不符合题意．所以1－a 2≠0，由函数f (x )的定义域为[－2,1]知，y ＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6的大致图象如图所示，因此⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2<0，－2＋1＝－3(1－a )1－a 2，－2×1＝61－a 2，解得a ＝2，故实数a 的值为2.(2)由(1)知当a ＝1时，f (x )＝6，定义域为R ，符合题意；当1－a 2≠0时，由f (x )的定义域为R ，可得y ＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6≥0恒成立，即函数y ＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6为二次函数，其图象开口向上，且与x 轴最多有一个交点，所以只需满足11 / 11 ⎩⎨⎧ 1－a 2>0，Δ＝9(1－a )2－4(1－a 2)×6≤0，解得－511≤a <1.故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－511，1.。

高三数学高考知识点函数的定义域复习题

高三数学高考知识点函数的定义域复习题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合，，则为（） A. B. C. D.2．若函数的定义域为，则实数的取值范围是（） A. B. C. 或 D. 或 3．函数的定义域是（）A. B. C. D.4．已知集合{}|A x y ==， {}| B x x a =≥，若A B A ⋂=，则实数a 的取值范围是( )A. (],3-∞-B. (),3-∞-C. (],0-∞D. [)3,+∞ 5．函数的定义域为（）A. B. C. D. 6．函数的定义域为（）A.B.C.D.7．函数()()lg 1f x x =+的定义域为（）A. ()(]1,00,1-⋃B. (]1,1-C. (]4,1--D. ()(]4,00,1-⋃ 8．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝的定义域是 ( )A. [0,1]B. [0,1)C. [0,1)∪(1,4]D. (0,1)9．若函数的定义域为，则实数的取值范围是（） A. B. C. D.10．已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )A. (－1,1)B.C. (－1,0)D.二、填空题11．函数的定义域为________． 12．函数的定义域为_____________． 13．函数的定义域为__________．14．已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________．三、解答题15合B .（1）若4B ∈，求实数a 的取值范围；（2）求满足B A ⊆的实数a 的取值范围. 16．已知函数是奇函数．(1)求a 的值和函数f(x)的定义域； (2)解不等式f(－m 2＋2m －1)＋f(m 2＋3)＜0.17．已知二次函数 ,且满足 . (1)求函数的解析式;(2)若函数的定义域为 ,求的值域. 18．已知函数()()()22log 1log 1f x x x =--+. （1）求函数()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性；（3）方程()1f x x =+是否有实根？如果有实根0x ，的区间(),a b ，使()0,x a b ∈；如果没有，请说明理由（注：区间(),a b 的长度b a -）19．已知是定义在上的增函数，且满足， . （1）求的值，（2）求不等式的解集.20．(1)已知函数f(x)的定义域是[1，5]，求函数f(x 2＋1)的定义域. (2)已知函数f(2x 2－1)的定义域是[1，5]，求f(x)的定义域.参考答案1．C【解析】分析：通过解二次不等式求得集合A ，利用根式函数的定义域求得集合B ，然后再根据交集运算求．详解：由题意得， ∴ ．故选C ．点睛：本题考查交集运算、二次不等式的解法和根式函数的定义域，主要考查学生的转化能力和计算求解能力． 2．B【解析】分析：先根据真数大于零得 >0恒成立，再根据二次型系数是否为零讨论，最后结合二次函数图像得实数的取值范围.详解：因为函数的定义域为，所以 >0恒成立，因为成立，所以若，则由得，因此，选B.点睛：研究形如恒成立问题，注意先讨论的情况，再研究时，开口方向，判别式正负，对称轴与定义区间位置关系，列不等式解得结果. 3．D【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负以及分母不为零列方程组，解方程组得定义域. 详解：因为，所以所以定义域为，选D.点睛：求具体函数定义域，主要从以下方面列条件：偶次根式下被开方数非负，分母不为零，对数真数大于零，实际意义等. 4．A【解析】由已知得[]3,3A =-，由A B A ⋂=，则A B ⊆，又[),B a =+∞，所以3a ≤-.故选A. 5．A【解析】分析：根据函数的解析式，列出函数满足的条件，即可求解函数的定义域. 详解：由函数，可得函数满足，解得 ,即函数的定义域为，故选A.点睛：本题主要考查了函数的定义域，其中根据函数的解析式列出函数有意义满足的条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 6．D【解析】要使函数有意义，需满足，解得，即函数的定义域为，故选D. 7．A【解析】由题意，函数()f x =满足2340{10 11x x x x --+≥+>+≠ ，解得11x -<≤且0x ≠，所以函数()f x 的定义域为()(]1,00,1-⋃，故选A. 8．D【解析】∵f (x )的定义域为[0,2]，∴要使f (2x )有意义，必有0≤2x ≤2，∴0≤x ≤1，∴要使g (x )有意义，应有∴0<x <1，故选D ．9．B【解析】分析：由题意知＞在上恒成立，因二次项的系数是参数，所以分和两种情况，再利用二次函数的性质即开口方向和判别式的符号，列出式子求解，最后求并集即可．详解：∵函数的定义域为， ∴ ＞在上恒成立，①当时，有＞在上恒成立，故符合条件； ②当时，由＞＝＜，解得＜＜，综上，实数的取值范围是．故选B.点睛：本题的考点是对数函数的定义域，考查了含有参数的不等式恒成立问题，由于含有参数需要进行分类讨论，易漏二次项系数为零这种情况，当二次项系数不为零时利用二次函数的性质列出等价条件求解． 10．B【解析】解析：对于()211210f x x <<＋，－＋，即函数()21f x ＋11．[2，+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域. 详解：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为 . 点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题. 12．【解析】由题意，根据对数函数的概念及其定义域可得，，即，由指数函数与的图象可知，如图所示，当时，恒成立，所以正确答案为， .13．【解析】分析：由题得，解不等式组即得函数的定义域.详解：由题得，解之得故答案为： . 点睛：（1）本题主要考查函数定义域的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)求函数的定义域时，考虑问题要全面，不要遗漏,本题不要遗漏了 14．[－1,2]【解析】分析：要求函数的定义域，需求函数中的范围。

高三数学函数的定义域与值域试题答案及解析

高三数学函数的定义域与值域试题答案及解析1.已知函数f(x)＝(a≠1)．(1)若a>0，则f(x)的定义域是________；(2)若f(x)在区间(0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．【答案】(1)(－∞，](2)(－∞，0)∪(1,3]【解析】(1)当a>0且a≠1时，由3－ax≥0得x≤，即此时函数f(x)的定义域是(－∞，]．(2)当a－1>0，即a>1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，则需3－a×1≥0，此时1<a≤3.当a－1<0，即a<1时，要使f(x)在(0,1]上为减函数，则需－a>0，此时a<0.综上a的取值范围(－∞，0)∪(1,3]．2.已知函数f(x)＝ (a是常数且a>0)．对于下列命题：①函数f(x)的最小值是－1；②函数f(x)在R上是单调函数；③若f(x)>0在[，＋∞)上恒成立，则a的取值范围是a>1；④对任意x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有f()<.其中正确命题的所有序号是________．【答案】①③④【解析】作出函数f(x)的图象如图所示，显然f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)的最小值为f(0)＝－1，故命题①正确；显然，函数f(x)在R上不是单调函数，②错误；因为f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故函数f(x)在[，＋∞)上的最小值为f()＝2a×－1＝a－1，所以若f(x)>0在[，＋∞)上恒成立，则a－1>0，即a>1，故③正确；由图象可知，在(－∞，0)上，对任意x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有f()<成立，故④正确．3.函数的定义域是________．【答案】【解析】得.【考点】函数的定义域.4. (2014·荆州模拟)函数y=ln(2-x-x2)+的定义域是()A．(-1,2)B．(-∞,-2)∪(1,+∞)C．(-2,1)D．[-2,1)【答案】C【解析】使函数有意义,则有解得-2<x<1,即定义域为(-2,1).5.某幼儿园准备建一个转盘，转盘的外围是一个周长为k米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连经预算，转盘上的每个座位与支点相连的钢管的费用为3k元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为k元．假设座位等距分布，且至少有两个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记转盘的总造价为y元．(1)试写出y关于x的函数关系式，并写出定义域；(2)当k＝50米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？【答案】（1）y＝＋，定义域（2）32个【解析】(1)设转盘上总共有n个座位，则x＝即n＝，y＝＋，定义域.(2)y＝f(x)＝k2，y′＝k2，令y′＝0得x＝.当x∈时，f′(x)＜0，即f(x)在x∈上单调递减，当x∈时，f′(x)＞0，即f(x)在x∈上单调递增，y的最小值在x＝时取到，此时座位个数为＝32个．6.设a∈，则使函数y=x a的定义域是R，且为奇函数的所有a的值是（）A．1，3B．﹣1，1C．﹣1，3D．﹣1，1，3【答案】A【解析】当a=﹣1时，y=x﹣1的定义域是x|x≠0，且为奇函数；当a=1时，函数y=x的定义域是R且为奇函数；当a=时，函数y=的定义域是x|x≥0且为非奇非偶函数．当a=3时，函数y=x的定义域是R且为奇函数．故选A．7.设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝则f(x)的值域是（）A．∪(1，＋∞)B．[0，＋∞)C．D．∪(2，＋∞)【答案】D【解析】令x<g(x)，即x2－x－2>0，解得x<－1或x>2.令x≥g(x)，即x2－x－2≤0，解得－1≤x≤2.故函数f(x)＝当x＜－1或x＞2时，函数f(x)＞f(－1)＝2；当－1≤x≤2时，函数≤f(x)≤f(－1)，即≤f(x)≤0.故函数f(x)的值域是∪(2，＋∞)．选D.8.已知则的值为【解析】由题意有，解得，∴原式＝．【考点】函数的定义域．9.已知函数f(x)＝x3(a>0且a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的奇偶性；(3)求a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立．【答案】（1）{x|x∈R，且x≠0}（2）偶函数（3）a>1.【解析】(1)由于a x－1≠0，则a x≠1，所以x≠0，所以函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}．(2)对于定义域内任意的x，有f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－x3＝x3＝f(x)所以f(x)是偶函数．(3)①当a>1时，对x>0，所以a x>1，即a x－1>0，所以＋>0.又x>0时，x3>0，所以x3>0，即当x>0时，f(x)>0.由(2)知，f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)，则当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)>0成立．综上可知，当a>1时，f(x)>0在定义域上恒成立．②当0<a<1时，f(x)＝，当x>0时，0<a x<1，此时f(x)<0，不满足题意；当x<0时，－x>0，有f(－x)＝f(x)<0，也不满足题意．综上可知，所求a的取值范围是a>110.求下列函数的值域：(1) y＝x－；(2) y＝x2－2x－3，x∈(－1，4]；(3) y＝，x∈[3，5]；(4) y＝ (x>1)．【答案】（1）（2）[－4，5]．（3）（4）[2－2，＋∞)．【解析】(1) (换元法)设＝t，t≥0，则y＝ (t2＋2)－t＝2－，当t＝时，y有最小值－，故所求函数的值域为.(2) (配方法)配方，得y＝(x－1)2－4，因为x∈(－1，4]，结合图象知，所求函数的值域为[－4，5]．(3) (解法1)由y＝＝2－，结合图象知，函数在[3，5]上是增函数，所以ymax ＝，ymin＝，故所求函数的值域是.(解法2)由y＝，得x＝.因为x∈[3，5]，所以3≤≤5，解得≤y≤，即所求函数的值域是.(4) (基本不等式法)令t＝x－1，则x＝t＋1(t>0)，所以y＝＝t＋－2(t>0)．因为t＋≥2＝2，当且仅当t＝，即x＝＋1时，等号成立，故所求函数的值域为[2－2，＋∞)．11.已知函数.（Ⅰ）当a=3时，求函数在上的最大值和最小值；（Ⅱ）求函数的定义域，并求函数的值域。

专题14：函数的定义域与值域求法针对性基础巩固提高练习(解析版)-2022年高考数学一轮复习

试卷第1页，总11页专题14：函数的定义域与值域求法针对性基础巩固提高练习（解析版）1．求下列函数的定义域：（1）1ln(5)3y x x =+--；（2）y =；（3）()01y x =-；（4）y =；（5）y =；（6）y =（7）y =(0a >). 【答案】（1）[2,3)(3,5)⋃；（2）2(,6]3-；（3）[2,1)(1,5]-；（4）[1,2]；（5）[3,1)(1,)-⋃+∞；（6）[2,3)(3,5]⋃；（7）[,0)a -.【分析】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可.【详解】（1）1ln(5)3y x x x =-+--，203050x x x -≥⎧⎪∴-≠⎨⎪->⎩解得：23x ≤<或35x << 所以函数1ln(5)3y x x =+--的定义域为[2,3)(3,5)⋃；故答案为：[2,3)(3,5)⋃.（2）63y x -=，3206032x x x +≠⎧⎪∴-⎨≥⎪+⎩ 解得：263x -<≤，所以函数y =2(,6]3-；试卷第2页，总11页故答案为：2(,6]3-.（3）()051y x =-- 502010x x x -≥⎧⎪∴+≥⎨⎪-≠⎩ 解得：21x 或15x <≤所以函数()01y x =-的定义域为[2,1)(1,5]-；故答案为：[2,1)(1,5]-. （4）y x =-2320x x ∴-+-≥解得：12x ≤≤，所以函数y =的定义域为[1,2]；故答案为：[1,2].（5）x y x +=-3010x x +≥⎧∴⎨-≠⎩解得：31x-≤<或1x > 所以函数1y x =-的定义域为[3,1)(1,)-⋃+∞；故答案为：[3,1)(1,)-⋃+∞. （6）2yx =24050x x ⎧-≥⎪∴-≥⎨≠ 解得：23x ≤<或35x<≤所以函数y =[2,3)(3,5]⋃；故答案为： [2,3)(3,5]⋃.（7）2a y x =0a >). 2200a x x x ⎧-≥⎪∴⎨-≠⎪⎩解得：0a x -≤<试卷第3页，总11页所以函数22a x y x x-=-(0a >)的定义域为[,0)a -；故答案为：[,0)a -.【点睛】求函数的定义域一般要考虑以下方面：⒈分式的分母不能为零；⒉非负数开偶次方根才有意义；⒊对数的真数要大于零，底数要大于零且不等于1；⒋0x 中0x ≠；⒌正切函数tan x 中2x k ππ≠+ 等；2．做出()223,13,1x x x f x x ⎧+-≤=⎨>⎩的图象并求出其值域【答案】图象见解析，[]4,-+∞.【分析】根据函数解析式画出函数图象，结合函数图象求出函数值域；【详解】解：因为()223,13,1x x x f x x ⎧+-≤=⎨>⎩，函数图象如下所示：试卷第4页，总11页由函数图象可知函数的值域为[)4,-+∞3．求下列函数的值域（1）函数(){},,,=+1∈-112f x x x ；（2）函数()223f x x x =-+，x ∈R ；（3）函数()1f x x =，11,2x ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭ . 【答案】（1）{}0,2,3；（2）[)2,+∞；（3）(]2,1--.【分析】(1)由离散自变量结合函数得到对应离散的函数值即为值域；(2)根据一元二次函数()223f x x x =-+开口向上且对称轴1x =，即可求x ∈R 上的值域；(3)根据()1f x x =在11,2x ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭上的单调递减即可求其值域【详解】(1)由(){},,,=+1∈-112f x x x 知：值域为{0,2,3} (2)()2223(1)2x x x f x =-+-+=知：对称轴为1x =且开口向上 ∴min ()(1)2==f x f ，其在x ∈R 上的值域为[2,)+∞(3) ()1f x x =在11,2x ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭上单调递减，故其值域为(2,1]-- 【点睛】本题考查了求离散自变量值的一次函数值域、一元二次函数的值域、反比例函数的值域，注意各函数的性质—对称性、单调性及区间求对应的值域4．已知函数f (x )的定义域是[-1，4]，求函数f (2x +1)的定义域. 【答案】3 -12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.【分析】由题意只需满足-1≤2x +1≤4，解不等式即可得到所求函数定义域.【详解】已知f (x )的定义域是[-1，4]，即-1≤x ≤4.故对于f (2x +1)应有-1≤2x +1≤4，∴-2≤2x≤3，∴-1≤x≤3 2 .∴函数f(2x+1)的定义域是3 -12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.【点睛】本题考查抽象函数定义域的求法，属于基础题. 5．求下列函数的值域：（1）y＝x＋1，x∈{1，2，3，4，5}；（2）y＝x2－2x＋3，x∈[0，3)；（3）213xyx+=-；（4）y x=【答案】（1）{2，3，4，5，6}；（2）[2，6)；（3）(－∞，2)∪(2，＋∞)；（4）1 [,) 2+∞【分析】(1)将定义域各元素代入求对应值，得到函数值域；(2)将二次函数配方，应用二次函数的性质求值域；(3)分离常数法将函数化为分式形式，由分式分母不为0，确定值域；(4)应用换元，将函数转化为二次函数形式，结合其定义域内的最值，求得值域【详解】（1）(代入法) x∈{1，2，3，4，5}，代入求值，可得函数的值域为{2，3，4，5，6}．（2）(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0，3)，可得函数的值域为[2，6)．（3）(分离常数法)212(3)772333x xyx x x+-+===+---，显然73x-≠0∴y≠2，故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．（4）(换元法)设1)2u x=≥，则212ux+=(u≥0)∴221(1)22u uy u++=+=(u≥0)由u≥0知(u＋1)2≥1∴y≥12，即函数y x=1[,)2+∞【点睛】本题考查了函数值域的求法，应用代入法、配方法、分离常数法、换元法求值域试卷第5页，总11页试卷第6页，总11页6．设函数()|21||1|f x x x =-++的最小值为m ，求m 的值．【答案】32m = 【分析】对函数()f x 进行分类讨论去掉绝对值，求解即可．【详解】解：当1x ≤-时，()33f x x =-≥；当112x -<<时，3()2(,3)2f x x =-∈；当12x ≥时，3()32f x x =≥．所以()f x 取得最小值32m =．【点睛】本题主要考查绝对值的性质和求分段函数的最值，同时考查分类讨论思想，属于基础题．7．求函数y ＝2x －1x -的值域．【答案】[158，＋∞)．【分析】利用换元法设t ＝1x -，将函数化为y ＝2(t 2＋1)－t ，再利用二次函数的图像与性质即可求求解.【详解】设t ＝1x -，则t ≥0且x ＝t 2＋1，所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝2(t －14)2＋158，由t ≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[158，＋∞)．【点睛】本题考查了换元法求函数的值域，考查了二次函数的图像与性质，属于基础题. 8．已知31()2x f x x +=+，求定义域与值域.试卷第7页，总11页【答案】定义域是{|2}x x ≠-，值域为{|3}y y ≠.【分析】利用分式函数分母不等于0可求出定义域，对分式函数分离常数，根据反比例函数的值域可求出所求函数的值域.【详解】要使函数有意义，则20x +≠，解得2x ≠-. 所以原函数的定义域是{|2}x x ≠-. 3(2)55()322x f x x x +--==+++，20x +≠∴502x -≠+，即5332x -+≠+，所以值域为{|3}y y ≠.【点睛】本题考查求分式函数的定义域和值域，考查分离常数法求值域，属于基础题. 9．已知函数()|21|f x x =-.（1）用分段函数的形式表示该函数;（2）在所给的坐标系中画出该函数的图像,并根据图像直接写出该函数的定义域、值域(不要求写作图及解答过程)【答案】（1）121()2()112()2x x f x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩（2）图见解析，定义域R ，值域[0,)+∞【分析】（1）因为()|21|f x x =-,分别讨论12x ≥和12x <,即可求得答案; （2）由（1）得:121()2()112()2x x f x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩,画出函数图像,即可求得答案. 【详解】（1）()|21|f x x =-试卷第8页，总11页当12x ≥,()21f x x =-; 当12x <,()12f x x =- ∴121()2()112()2x x f x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩（2）由（1）得:121()2()112()2x x f x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩画出函数的图像,如图:根据函数图像可知:()f x 定义域R ,值域[0,)+∞.【点睛】本题主要考查了求解带绝对值的函数,解题关键是掌握函数的基础知识和函数图像的画法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.10．已知集合2{|0}3x A x x -=<-,函数的1()[(1)][(1)]f x x a x a =-+--定义域为集合B ,且A B ⊆,求实数a 的取值范围.【答案】(,1][4,)-∞⋃+∞【解析】【分析】解不等式化简集合A 的表示，求出函数()f x 的定义域,结合已知,利用数轴,可以求出实数a 的取值范围.【详解】{}2{|0}233x A x x x x -=<=<<-,试卷第9页，总11页[(1)][(1)]01x a x a x a -+-->⇒>+或1x a <-,所以{}11B x x a x a =>+<-或. 因为A B ⊆,所以有：31a ≤-或12a +≤,解得4a ≥或1a ≤,综上所述：实数a 的取值范围是(,1][4,)-∞⋃+∞.【点睛】本题考查了根据集合关系求参数问题,考查了解分式不等式,考查了求函数的定义域,利用数轴是解题的关键.11．求下列函数的值域．（1）求函数y x =（2）求函数223434x x y x x -+=++的值域．（3）求函数1)y =，[0,1]x ∈的值域．【答案】（1）1[,)2-+∞；（2）1[,7]7；（3）2,8].【解析】试题分析：本题主要考查函数的值域等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一题，先将y x =0≥确定y 的取值范围；第二题，利用判别式法求函数的值域，先将223434x x y x x -+=++去分母，整理成关于x 的方程，讨论2x 前的系数1y -是否为0，当10y -=时，直接验证方程是否有实根，当10y -≠时，利用0∆≥，保证方程有实根，从而解出yu =，则212u =，所以222u y u +=⨯，再利用x 的范围，求22u +和2u 的范围，最后利用不等式的性质计算y 的取值范围.试题解析：(1)y x =21111[211]11)112222x =++-=-≥-=-. 当12x =-时，y 取最小值12-，试卷第10页，总11页所以函数值域是1[,)2-+∞．（2）由函数解析式得2(1)3(1)440y x y x y -+++-=. ①当1y ≠时，①式是关于x 的方程有实根．所以229(1)16(1)0y y ∆=+--≥，解得117y ≤≤. 又当1y =时，存在0x =使解析式成立，所以函数值域为1[,7]7．（3u =，因为[0,1]x ∈，所以2224u ≤=+≤，2u ≤≤，222u +≤≤，所以222,8]2u y u +=⨯∈．所以该函数值域为2,8]．考点：函数的值域.12．已知函数222()1x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值【答案】2,2a b =±=【分析】根据判别式法求解函数值域即可求解【详解】由题意222()1x ax b y f x x ++==+定义域为R ，则()220y x ax y b --+-=在R 上有解，当2y =符合题意，当()()22,420y a y y b ≠∆=---≥，即()()2204a y yb ---≤的解集为[1，3]，故1和3为关于y 的二次方程试卷第11页，总11页 ()()2204a y y b ---=的两个根所以()()221434a b a b ⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得2,2a b =±=。

高考数学专题5 函数的定义域与值域(原卷版)

专题5函数的定义域与值域专题知识梳理1．函数的定义域(1)函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合．(2)求定义域的步骤：①写出使函数式有意义的不等式(组)；②解不等式组；③写出函数定义域(注意用区间或集合的形式写出)．(3)常见基本初等函数的定义域：①分式函数中分母不等于零；②偶次根式函数中被开方式大于或等于0；③一次函数、二次函数的定义域为R ．④y ＝a x ，y ＝sinx ，y ＝cosx ，定义域均为R ．⑤y ＝tanx 的定义域为{x|x≠kπ＋π2，k ∈Z }．⑥函数log a y x =的定义域为{x|x>0}．2．函数的值域(1)在函数y ＝f(x)中，与自变量x 的值对应的y 的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域．(2)基本初等函数的值域：①y ＝kx ＋b(k≠0)的值域是R ．②y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的值域：当a>0时，值域为24[,)4ac b a -+∞；当a<0时，值域为24(,]4ac b a --∞．③y ＝k x(k≠0)的值域为{y|y≠0}．④y ＝a x (a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)．⑤y ＝log a x(a>0且a≠1)的值域是R ．⑥y ＝sinx ，y ＝cosx 的值域是[－1，1]．⑦y ＝tanx 的值域是R ．3．最大(小)值一般地，设函数f(x)的定义域为I ，如果存在实数M 满足：(1)对于任意的x ∈I ，都有f(x)≤M(f(x)≥M)；(2)存在x 0∈I ，使得f(x 0)＝M ．那么称M 是函数y ＝f(x)的最大(小)．考点探究考向1函数的定义域【例1】求下列函数的定义域：（1）f (x )＝x －104－2x ；（2）()312log (1)xf x x -=-；（3）已知函数f(2x)的定义域是[－1，1]，求f(x)的定义域．题组训练1.（2019·江苏卷）函数的定义域是______．2．已知函数[lg(1)]y f x =+的定义域为[0,9]，则()y f x =的定义域为________.3.已知函数f （x ）的定义域是1(,8]2，则(2)x f 的定义域是．【例2】(1)若函数f(x)R，则a的取值范围为________；(2)若函数y＝ax＋1ax2＋2ax＋3的定义域为R，则实数a的取值范围是________．题组训练1.若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是______．2.函数的定义域为R，则实数m的取值范围是______．考向2函数的值域【例】求下列函数的值域．(1)y＝x＋4x；(2)y＝2x－1＋5－2x；(3)y＝2x－1x＋1，x∈[3，5]；(4)y＝x2－4x＋5x－1(x>1)．题组训练1.函数的值域是______．2.函数的值域为__________．3.函数的值域是______．4.函数的值域为________．考向3函数的定义域、值域和最值的综合题【例】已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a>1)．(1)若f(x)的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；(2)若f(x)在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x1，x2∈[1，a＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤4，求实数a的取值范围．题组训练1.已知函数y＝x2－2x＋a的定义域为R，值域为[0，＋∞)，则实数a的取值集合为________．2.已知函数f(x)＝a x＋b(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[－1，0]，则a＋b＝________．3.若函数y＝f(x)＝12x2－2x＋4的定义域、值域都是闭区间[2，2b]，则b的值为_______．4.（拔高题）已知函数f(x)＝4|x|＋2－1的定义域是[a，b](a，b∈Z)，值域是[0，1]，则满足条件的整数数对(a，b)共有________个．。

高一数学函数的定义域与值域试题答案及解析

高一数学函数的定义域与值域试题答案及解析1.函数的值域为（）A．[0,3]B．[-1,0]C．[-1,3]D．[0,2]【答案】C.【解析】先将函数方程化为，，再由二次函数的图像知，当时，函数取得最小值且为-1；当时，函数取得最大值且为3.所以函数的值域为[-1,3]. 故应选C.【考点】二次函数的值域.2.函数的定义域为 .【答案】.【解析】∵，∴，∴函数的定义域为.【考点】函数的定义域.3.已知函数的值域是，则实数的取值范围是________________．【答案】【解析】由题意得：函数的值域包含，当时，满足题意；当时，要满足值域包含，需使得即或，综合得：实数的取值范围是.【考点】函数值域4.已知函数．（1）判断函数的奇偶性并证明；（2）当时，求函数的值域．【答案】（1）奇函数，（2）.【解析】（1）判断函数奇偶性，从两个方面入手，一要判断定义域，若定义域不关于原点对称，则函数就为非奇非偶函数，二在函数定义域关于原点对称前提下，判断与的关系，如只相等，则为偶函数，如只相反，则为奇函数，如既相等又相反，则既为奇函数又为偶函数，如既不相等又不相反，则为非奇非偶函数，本题定义域为R，研究与的关系时需将负指数化为对应正指数的倒数，（2）研究函数的值域，一要看函数解析式的结构，本题是可化为型，二是结合定义域利用函数单调性求值域.试题解析：（1）∵，， 4分∴是奇函数． 5分（2）令，则． 7分∵，∴，∴，∴，所以的值域是． 10分【考点】函数奇偶性，函数值域.5.函数的定义域为 .【答案】【解析】由，所以函数的定义域为.【考点】函数的定义域.6.下列结论：①函数和是同一函数；②函数的定义域为，则函数的定义域为；③函数的递增区间为；④若函数的最大值为3，那么的最小值就是.其中正确的个数为 ( )A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】因为函数的定义域为R，的定义域为.所以①不成立. 由函数的定义域为，所以.所以函数要满足.所以函数的定义域为.故②不成立.因为函数的定义域为或所以递增区间为不正确，所以③不成立.因为函数y=与函数y=的图像关于y轴对称，所以④不正确.故选A.【考点】1.函数的概念.2.函数的定义域.3.函数的对称性.7.已知函数，则满足不等式的实数的取值范围为．【答案】【解析】，即。

高中数学必修一专题三函数的定义域和值域(含详解)

专题三函数的定义域和值域一．选择题（共12小题）1．函数的定义域是（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1）∪（1，+∞） C．[﹣1，+∞）D．[﹣1，1）∪（1，+∞）2．已知函数f（x）=的定义域为（1，2），则函数f（x2）的定义域是（）A．（1，2） B．（1，4） C．R D．（﹣，﹣1）∪（1，）3．已知函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（）A．a＞B．﹣12＜a≤0 C．﹣12＜a＜0 D．a≤4．集合A={x|0≤x≤4}，B={y|0≤y≤2}，下列不能表示从A到B的函数的是（）A．B．f：x→y=2﹣x C．D．5．下列图形中，不能表示以x为自变量的函数图象的是（）A．B．C．D．6．下列函数与函数y=x相等的是（）A．B．C．D．7．如图所示，可表示函数图象的是（）A．①B．②③④C．①③④D．②8．下列四组函数，表示同一函数的是（）A．，g（x）=xB．C．D．f（x）=|x+1|，g（x）=9．已知函数f（x）=，x∈{1，2，3}．则函数f（x）的值域是（）A．B．（﹣∞，0]C．[1，+∞）D．R10．若函数y=的值域为[0，+∞），则a的取值范围是（）A．（3，+∞）B．[3，+∞）C．（﹣∞，0]∪[3，+∞）D．（﹣∞，0）∪[3，+∞）11．二次函数f（x）=x2﹣4x+1（x∈[3，5]）的值域为（）A．[﹣2，6]B．[﹣3，+∞）C．[﹣3，6]D．[﹣3，﹣2]12．若函数的定义域、值域都是[2，2b]，则（）A．b=2 B．b∈[1，2]C．b∈（1，2）D．b=1或b=2二．填空题（共4小题）13．函数f（x）=的定义域为，值域为．14．函数的定义域是．15．函数y=的定义域为R，则k的取值范围．16．函数的值域为．三．解答题（共6小题）17．求下列函数的定义域：（1）；（2）．18．已知函数f（x）=（1）求f（1）+f（2）+f（3）+f（）+f（）的值；（2）求f（x）的值域．19．已知函数y=的定义域为R，求实数m的取值范围．20．当x＞0时，求函数的值域．21．已知函数，（1）求函数的定义域；（2）求的值．22．求函数f（x）=x2+|x﹣2|，x∈[0，4]的值域．专题三（2）函数的概念参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．函数的定义域是（）A．（﹣1，+∞）B．（﹣1，1）∪（1，+∞） C．[﹣1，+∞）D．[﹣1，1）∪（1，+∞）【分析】由根式内部的代数式大于等于0，且分式的分母不为0联立不等式组求解．【解答】解：由，解得x≥﹣1且x≠1．∴函数的定义域是[﹣1，1）∪（1，+∞）．故选：D．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．2．已知函数f（x）=的定义域为（1，2），则函数f（x2）的定义域是（）A．（1，2） B．（1，4） C．R D．（﹣，﹣1）∪（1，）【分析】由已知函数的定义域可得1＜x2＜2，求解不等式组得答案．【解答】解：∵数f（x）=的定义域为（1，2），∴由1＜x2＜2，得﹣＜x＜﹣1或1＜x＜．即函数f（x2）的定义域是（﹣，﹣1）∪（1，）．故选：D．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，关键是掌握该类问题的求解方法，是基础题．3．已知函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（）A．a＞B．﹣12＜a≤0 C．﹣12＜a＜0 D．a≤【分析】由函数f（x）=的定义域是R，表示函数的分母恒不为零，即方程ax2+ax﹣3=0无解，根据一元二次方程根的个数与判断式△的关系，我们易得数a的取值范围．【解答】解：由a=0或可得﹣12＜a≤0，故选：B．【点评】求函数的定义域时要注意：（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）对于（4）题要注意：①对在同一对应法则f 下的量“x”“x+a”“x﹣a”所要满足的范围是一样的；②函数g（x）中的自变量是x，所以求g（x）的定义域应求g（x）中的x的范围．4．集合A={x|0≤x≤4}，B={y|0≤y≤2}，下列不能表示从A到B的函数的是（）A．B．f：x→y=2﹣x C．D．【分析】根据函数的定义分别进行判断即可．【解答】解：C的对应法则是f：x→y=x，可得f（4）=∉B，不满足映射的定义，故C的对应法则不能构成映射．故C的对应f中不能构成A到B的映射．故选：C．【点评】本题给出集合A、B，要求我们找出从A到B的映射的个数，着重考查了映射的定义及其判断的知识，属于基础题．5．下列图形中，不能表示以x为自变量的函数图象的是（）A．B．C．D．【分析】利用函数定义，根据x取值的任意性，以及y的唯一性分别进行判断．【解答】解：B中，当x＞0时，y有两个值和x对应，不满足函数y的唯一性，A，C，D满足函数的定义，故选：B．【点评】本题主要考查函数的定义的应用，根据函数的定义和性质是解决本题的关键．6．下列函数与函数y=x相等的是（）A．B．C．D．【分析】已知函数的定义域是R，分别判断四个函数的定义域和对应关系是否和已知函数一致即可．【解答】解：A．函数的定义域为{x|x≥0}，两个函数的定义域不同．B．函数的定义域为R，y=|x|，对应关系不一致．C．函数的定义域为R，两个函数的定义域和对应关系相同，是同一函数．D．函数的定义域为{x|x≠0}，两个函数的定义域不同．故选：C．【点评】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准是判断函数的定义域和对应关系是否一致，否则不是同一函数．7．如图所示，可表示函数图象的是（）A．①B．②③④C．①③④D．②【分析】利用函数的定义分别对四个图象进行判断．【解答】解：由函数的定义可知，对定义域内的任何一个变化x，在有唯一的一个变量y与x对应．则由定义可知①③④，满足函数定义．但②不满足，因为②图象中，当x＞0时，一个x对应着两个y，所以不满足函数取值的唯一性．所以不能表示为函数图象的是②．故选：C．【点评】本题主要考查了函数的定义以及函数的应用．要求了解，对于一对一，多对一是函数关系，一对多不是函数关系．8．下列四组函数，表示同一函数的是（）A．，g（x）=xB．C．D．f（x）=|x+1|，g（x）=【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数．【解答】解：对于A，f（x）==|x|，与g（x）=x的对应关系不同，∴不是同一函数；对于B，f（x）=（x≥2或x≤﹣2），与g（x）==（x≥2）的定义域不同，∴不是同一函数；对于C，f（x）=x（x∈R），与g（x）==x（x≠0）的定义域不同，∴不是同一对于D，f（x）=|x+1|=，与g（x）=的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选：D．【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题目．9．已知函数f（x）=，x∈{1，2，3}．则函数f（x）的值域是（）A．B．（﹣∞，0]C．[1，+∞）D．R【分析】直接由已知函数解析式求得函数值得答案．【解答】解：f（x）=，x∈{1，2，3}，当x=1时，f（1）=1；当x=2时，f（2）=；当x=3时，f（3）=．∴函数f（x）的值域是．故选：A．【点评】本题考查函数值域的求法，是基础的计算题．10．若函数y=的值域为[0，+∞），则a的取值范围是（）A．（3，+∞）B．[3，+∞）C．（﹣∞，0]∪[3，+∞）D．（﹣∞，0）∪[3，+∞）【分析】由题意：函数y是一个复合函数，值域为[0，+∞），则函数f（x）=ax2+2ax+3的值域要包括0．即最小值要小于等于0．【解答】解：由题意：函数y=是一个复合函数，要使值域为[0，+∞），则函数f（x）=ax2+2ax+3的值域要包括0，即最小值要小于等于0．则有：⇒解得：a≥3所以a的取值范围是[3，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了复合函数的值域的求法，通过值域来求参数的问题．属于基11．二次函数f（x）=x2﹣4x+1（x∈[3，5]）的值域为（）A．[﹣2，6]B．[﹣3，+∞）C．[﹣3，6]D．[﹣3，﹣2]【分析】利用二次函数的单调性即可求解值域．【解答】解：函数f（x）=x2﹣4x+1，其对称轴x=2，开口向上，∵x∈[3，5]，∴函数f（x）在[3，5]单调递增，当x=3时，f（x）取得最小值为﹣2．当x=5时，f（x）取得最小值为6∴二次函数f（x）=x2﹣4x+1（x∈[3，5]）的值域为[﹣2，6]．故选：A．【点评】本题考查二次函数的单调性求解最值问题，属于函数函数性质应用题，较容易．12．若函数的定义域、值域都是[2，2b]，则（）A．b=2 B．b∈[1，2]C．b∈（1，2）D．b=1或b=2【分析】根据二次函数的性质建立关系解得b的值．【解答】解：函数其对称轴x=2，∴函数f（x）在定义域[2，2b]是递增函数，且2b＞2，即b＞1．那么：f（2b）=2b即2b=﹣4b+4解得：b=2故选：A．【点评】本题考查了定义域、值域的关系，利用二次函数的性质，属于基础题．二．填空题（共4小题）13．函数f（x）=的定义域为[﹣3，1] ，值域为[0，2] ．【分析】根据函数的定义域和值域的定义进行求解即可．【解答】解：要使函数有意义，则3﹣2x﹣x2≥0，即x2+2x﹣3≤0，解得﹣3≤x≤1，故函数的定义域为[﹣3，1]，设t=3﹣2x﹣x2，则t=3﹣2x﹣x2=﹣（x+1）2+4，则0≤t≤4，即0≤≤2，即函数的值域为[0，2]，故答案为：[﹣3，1]，[0，2]【点评】本题主要考查函数定义域和值域的求解，利用换元法结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．14．函数的定义域是[﹣3，1] ．【分析】根据使函数的解析式有意义的原则，结合偶次根式的被开方数必须不小于0，我们可以构造关于自变量x的不等式组，解不等式组，可得答案．【解答】解：要使函数的解析式有意义自变量x须满足解得﹣3≤x≤1即函数的定义域是[﹣3，1]故答案为：[﹣3，1]【点评】本题考查的知识点是函数的定义域及其求法，其中列出满足条件的不等式组，是解答本题的关键．15．函数y=的定义域为R，则k的取值范围[0，2] ．【分析】把函数y=的定义域为R转化为kx2﹣4kx+6≥0对任意x∈R恒成立．然后对k分类求解得答案．【解答】解：要使函数y=的定义域为R，则kx2﹣4kx+6≥0对任意x∈R恒成立．当k=0时，不等式化为6≥0恒成立；当k≠0时，则，解得0＜k≤2．综上，k的取值范围是[0，2]．故答案为：[0，2]．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查数学转化思想方法，是中档题．16．函数的值域为．【分析】令（t≥0），得x=﹣t2+1，把原函数转化为关于t的一元二次函数求解．【解答】解：令（t≥0），得x=﹣t2+1，∴原函数化为y=．∴数的值域为：．故答案为：．【点评】本题考查函数值域的求法，训练了利用换元法求函数的值域，是中档题．三．解答题（共6小题）17．求下列函数的定义域：（1）；（2）．【分析】（1）由二次根式的意义可知：（2）由二次根式和分式的意义可知：，分别解不等式组可得答案．【解答】解：（1）由二次根式的意义可知：，∴定义域为[﹣8，3]．（2）由二次根式和分式的意义可知：∴定义域为{﹣1}．故答案为：（1）定义域为[﹣8，3]，（2）定义域为{﹣1}．【点评】本题为函数定义域的求解，使式子有意义，化为不等式组是解决问题的关键，属基础题．18．已知函数f（x）=（1）求f（1）+f（2）+f（3）+f（）+f（）的值；（2）求f（x）的值域．【分析】（1）直接根据函数解析式求函数值即可．（2）根据x2的范围可得1+x2的范围，再求其倒数的范围，即为所求．【解答】解：（1）原式=++=．（2）∵1+x2≥1，∴≤1，即f（x）的值域为（0，1]．【点评】本题考查了函数的值与函数的值域的求法，可怜虫推理能力与计算能力，属于中档题．19．已知函数y=的定义域为R，求实数m的取值范围．【分析】根据题意，一元二次不等式x2+6mx+m+8≥0恒成立；△≤0，求解集即可．【解答】解：函数y=的定义域为R，∴x2+6mx+m+8≥0恒成立；∴△=36m2﹣4（m+8）≤0，整理得9m2﹣m﹣8≤0，解得﹣≤m≤1，∴实数m的取值范围是﹣≤m≤1．【点评】本题考查了一元二次不等式恒成立的应用问题，是基础题．20．当x＞0时，求函数的值域．【分析】利用分离常数法，结合基本不等式即可求解值域；【解答】解：∵x＞0，x+1＞0∴函数===2（当且仅当x=时取等号）故得原式函数的值域为[，+∞）．【点评】本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．21．已知函数，（1）求函数的定义域；（2）求的值．【分析】（1）根据分式及偶次根式成立的条件可得，，解不等式可求函数的定义域（2）直接把x=﹣3，x=代入到函数解析式中可求【解答】解：（1）由题意可得，解不等式可得，{x|x≥﹣3且x≠﹣2}故函数的定义域，{x|x≥﹣3且x≠﹣2}（2）f（﹣3）=﹣1，f（）=【点评】本题主要考查了函数的定义域的求解，函数值的求解，属于基础试题22．求函数f（x）=x2+|x﹣2|，x∈[0，4]的值域．【分析】去掉绝对值，得到两段函数，并对每段函数配方即可求出该段的函数f （x）的范围，对两段上求得的f（x）求并集即可求得f（x）的值域．【解答】解：f（x）=；∴当x∈[0，2]时，当x∈（2，4]时，f（x）∈（4，18]综上，即函数f（x）的值域为．【点评】考查求函绝对值函数的值域的求法，以及配方法求二次函数的值域．。

高一数学《函数的定义域值域》练习题(精选文档)

高一数学《函数的定义域值域》练习题函数值域、定义域、解析式专题一、函数值域的求法 1、直接法：例1：求函数2610y x x =++的值域。

例2：求函数1y x =+的值域。

2、配方法：例１：求函数242y x x =-++([1,1]x ∈-）的值域。

例２：求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-= 的值域。

例３：求函数2256y x x =-++的值域。

3、分离常数法:例1：求函数125x y x -=+的值域。

例2:求函数122+--=x x xx y 的值域.例３：求函数132x y x -=-得值域.４、换元法：例1:求函数212y x x =+-的值域。

例2：求函数1x x y -+=的值域。

5、函数的单调性法：确定函数在定义域(或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。

例１：求函数12y x x=--的值域.例2:求函数()x x x f -++=11的值域. 例3：求函数1x 1x y --+=的值域。

６、数型结合法：函数图像是掌握函数的重要手段,利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法.当函数解析式具有某种明显的几何意义(如两点间距离,直线的斜率、截距等）或当一个函数的图象易于作出时，借助几何图形的直观性可求出其值域。

...文档交流仅供参考... 例1:求函数|3||5|y x x =++-的值域。

7、非负数法根据函数解析式的结构特征，结合非负数的性质,可求出相关函数的值域。

例1、（1）求函数216x y -=的值域。

（2）求函数1322+-=x x y 的值域.二、函数定义域例1:已知函数()f x 的定义域为[]15-，,求(35)f x -的定义域.例2:若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ϕ=-++的定义域．例3：求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ;②23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)( 例4：求下列函数的定义域：④ 14)(2--=x x f⑤②2143)(2-+--=x x x x f⑥373132+++-=x x y ④xx x x f -+=0)1()(三、解析式的求法 1、配凑法例1：已知：23)1(2+-=+x x x f ，求f(x);例２：已知221)1(x x xx f +=+ )0(>x ,求 ()f x 的解析式。

高一数学《函数的定义域值域》练习题(含答案)

函数值域、定义域、解析式专题一、函数值域的求法 1、直接法：例1：求函数y = 例2：求函数1y =的值域。

2、配方法：例1：求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-例2：求函数y =例3：求函数y125xx -+的值域。

例2：求函数122+--=x x xx y 的值域．例3：求函数132x y x -=-得值域.4、换元法：例1：求函数2y x =例2：求函数1x x y -+=的值域。

5、函数的单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域。

例1：求函数y x =例2：求函数()x x x f -++=11的值域。

例3：求函数1x 1x y --+=的值域。

63||5|x x ++-的值域。

结合非负数的性质，可求出相关函数的值域。

例1、(1)求函数216x y -=的值域。

(2)求函数1322+-=x x y 的值域。

二、函数定义域例1：已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域．例2：若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ϕ=-++的定义域．例3：求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ； ② 23)(+=x x f ； ③ xx x f -++=211)( 例4：求下列函数的定义域：④ 14)(2--=x x f⑤ ②2143)(2-+--=x x x x f⑥ 373132+++-=x x y ④f (的解析式．例2：已知：11)11(2-=+x x f ，求)(x f 。

例3 ：已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f ．3、待定系数法例1.已知：f(x) 是二次函数，且f(2)=-3, f(-2)=-7, f(0)=-3，求f(x)。

例2：设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f ．4、赋值（式）法例1：已知函数)(x f 对于一切实数y x ,都有x y x y f y x f )12()()(++=-+成立，且0)1(=f 。

2020高考数学(文数)考点测试刷题本05 函数的定义域和值域(含答案解析)

2020高考数学(文数)考点测试刷题本05函数的定义域和值域一、选择题1.函数f(x)=＋ln (x ＋1)的定义域为( )12－xA ．(2，＋∞)B ．(－1，2)∪(2，＋∞)C ．(－1，2)D ．(－1，2]2.函数y=＋的定义域为( )x (3－x )x －1A ．[0，3] B ．[1，3] C ．[1，＋∞) D ．[3，＋∞)3.若函数的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( ).A.0<m<4B.0≤m ≤4C.m ≥4D.0<m ≤44.若函数y=x 2-3x-4的定义域为[0,m]，值域为[-425,-4]，则m 的取值范围是( )A.（0，4]B.[-425,-4] C.[1.5,3] D.[1.5,+∞)5.．已知函数f(x)=Error!那么函数f(x)的值域为( )A ．(－∞，－1)∪[0，＋∞)B ．(－∞，－1]∪(0，＋∞)C ．[－1，0) D．R 6.若函数y=f(x)的值域是[1，3]，则函数F(x)=1－f(x ＋3)的值域是( )A ．[－8，－3]B ．[－5，－1]C ．[－2，0]D ．[1，3]7.函数y=的值域是( )16－4x A ．[0，＋∞) B ．[0，4] C ．[0，4) D ．(0，4)8.函数f(x)=x 2-2mx+3在区间[0,2]上的值域为[-2,3]，则m 的值为( )A.或B.或C.D.二、填空题9.若函数f(x ＋1)的定义域是[－1，1]，则函数f(log x)的定义域为________．1210.函数y=的定义域是________．3－2x －x211.已知函数f(x)=Error!则f[f(－3)]=______，f(x)的最小值是______．12.函数y=x （2a-x ）在0≤x ≤2时有最大值a 2，则a 的范围是三、解答题13.已知函数f(x)=x 2＋(2a －1)x －3．(1)当a=2，x ∈[－2，3]时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在[1，3]上的最大值为1，求实数a 的值．14.已知函数f(x)=ax ＋(1－x)(a>0)，且f(x)在[0，1]上的最小值为g(a)，求g(a)的最大值1a．15.已知f(x)=2＋log 3x ，x ∈[1，9]，试求函数y=[f(x)]2＋f(x 2)的值域．16.已知常数a≠0，f(x)=aln x＋2x.(1)当a=－4时，求f(x)的极值；(2)当f(x)的最小值不小于－a时，求实数a的取值范围．答案解析1.答案为：C ；解析：函数的定义域应满足Error!∴－1<x<2．故选C ．2.答案为：B ；解析：由题意得Error!解得1≤x≤3．故选B ．3.答案为：B ；4.答案为：C ；5.答案为：B ；解析：函数y=x －2(x≤1)的值域为(－∞，－1]，函数y=ln x(x>1)的值域为(0，＋∞)，故函数f(x)的值域为(－∞，－1]∪(0，＋∞)．故选B ．6.答案为：C ；解析：∵1≤f(x)≤3，∴－3≤－f(x ＋3)≤－1，∴－2≤1－f(x ＋3)≤0，即F(x)的值域为[－2，0]．故选C ．7.答案为：C ；解析：由已知得0≤16－4x <16，0≤ <=4，即函数y=的值域是[0，4)．故选C 16－4x 1616－4x ．8.答案为：D ；一、填空题9.答案为：0.25，1；解析：∵f(x ＋1)的定义域是[－1，1]，∴f(x)的定义域是[0，2]，则f(log x)的定义域为0≤log x≤2，∴≤x≤1．12121410.答案为：[－3，1]；解析：若函数有意义，则需3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，解得－3≤x≤1．11.答案为：0，2－3；2解析：由题知，f(－3)=1，f(1)=0，即f[f(－3)]=0．又f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，22所以f(x)min =min{f(0)，f()}=2－3．2212.答案为：0≤a ≤2.二、解答题13.解：(1)当a=2时，f(x)=x 2＋3x －3=x ＋2－，32214又x ∈[－2，3]，所以f(x)min =f －=－，32214f(x)max =f(3)=15，所以所求函数的值域为－，15．214(2)对称轴为x=－．2a －12①当－≤1，即a≥－时，f(x)max =f(3)=6a ＋3，2a －1212所以6a ＋3=1，即a=－，满足题意；13②当－≥3，即a≤－时，f(x)max =f(1)=2a －3，2a －1252所以2a －3=1，即a=2，不满足题意；③当1<－<3，即－<a<－时，2a －125212此时，f(x)max 在端点处取得，令f(1)=1＋2a －1－3=1，得a=2(舍去)，令f(3)=9＋3(2a －1)－3=1，得a=－(舍去)．13综上，可知a=－．1314.解：f(x)=x ＋，(a －1a )1a当a>1时，a －>0，此时f(x)在[0，1]上为增函数，∴g(a)=f(0)=；1a 1a当0<a<1时，a －<0，此时f(x)在[0，1]上为减函数，∴g(a)=f(1)=a ；1a当a=1时，f(x)=1，此时g(a)=1．∴g(a)=Error!∴g(a)在(0，1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，又a=1时，有a==1，1a∴当a=1时，g(a)取得最大值1．15.解：∵f(x)=2＋log 3x 的定义域为[1，9]，要使[f(x)]2＋f(x 2)有意义，必有1≤x≤9且1≤x 2≤9，∴1≤x≤3，∴y=[f(x)]2＋f(x 2)的定义域为[1，3]．又y=(2＋log 3x)2＋2＋log 3x 2=(log 3x ＋3)2－3．∵x ∈[1，3]，∴log 3x ∈[0，1]，∴y max =(1＋3)2－3=13，y min =(0＋3)2－3=6．∴函数y=[f(x)]2＋f(x 2)的值域为[6，13]．16.解：(1)由已知得f(x)的定义域为x∈(0，＋∞)，f ′(x)=＋2=.当a=－4时，f ′(x)=.a x a ＋2x x 2x －4x∴当0＜x ＜2时，f ′(x)＜0，即f(x)单调递减；当x ＞2时，f ′(x)＞0，即f(x)单调递增．∴f(x)只有极小值，且在x=2时，f(x)取得极小值f(2)=4－4ln 2，无极大值．(2)∵f′(x)=，∴当a ＞0，x ∈(0，＋∞)时，f ′(x)＞0，a ＋2x x即f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，没有最小值；当a ＜0时，由f′(x)＞0得，x ＞－，a 2∴f(x)在上单调递增；(－a 2，＋∞)由f′(x)＜0得，0＜x ＜－，∴f(x)在上单调递减．a 2(0，－a 2)∴当a ＜0时，f(x)的最小值为f =aln ＋2×.(－a 2)(－a 2)(－a 2)根据题意得f =aln ＋2×≥－a ，即a[ln(－a)－ln 2]≥0.(－a 2)(－a 2)(－a 2)∵a ＜0，∴ln(－a)－ln 2≤0，解得－2≤a＜0，∴实数a 的取值范围是[－2，0)．。

高考数学函数的定义域和值域复习试题（含答案）

高考数学函数的定义域和值域复习试题(含答案)考试是检测学生学习效果的重要手段和方法，考前需要做好各方面的知识储备。

下面是店铺为大家整理的高考数学函数的定义域和值域复习试题，希望对大家有所帮助!高考数学函数的定义域和值域复习试题及答案解析一、选择题1.(2013•陕西高考)设全集为R，函数f(x)=1-x的定义域为M，则为( )A.(-∞，1)B.(1，+∞)C.(-∞，1]D.[1，+∞)B [要使f(x)=1-x有意义，须使1-x≥0，即x≤1.∴M=(-∞，1]，∴ =(1，+∞).]2.函数y=13x-2+lg(2x-1)的定义域是( )A.23，+∞B.12，+∞C.23，+∞D.12，23C [由3x-2>0，2x-1>0得x>23.]3.下列图形中可以表示以M={x|0≤x≤1}为定义域，以N={y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是( )C [由题意知，自变量的取值范围是[0，1]，函数值的取值范围也是[0，1]，故可排除A、B;再结合函数的定义，可知对于集合M中的任意x，N中都有唯一的元素与之对应，故排除D.]4.(2014•长沙模拟)下列函数中，值域是(0，+∞)的是( )A.y=x2-2x+1B.y=x+2x+1(x∈(0，+∞))C.y=1x2+2x+1(x∈N)D.y=1|x+1|D [选项A中y可等于零;选项B中y显然大于1;选项C中x∈N，值域不是(0，+∞);选项D中|x+1|>0，故y>0.]5.已知等腰△ABC周长为10，则底边长y关于腰长x的函数关系为y=10-2x，则函数的定义域为( )A.RB.{x|x>0}C.{x|0<x<5}D.x|52<x<5D [由题意知x>0，10-2x>0，2x>10-2x即52<x<5.]6.函数y=2x-1的定义域是(-∞，1)∪[2，5)，则其值域是( )A.(-∞，0)∪12，2B.(-∞，2]C.-∞，12∪[2，+∞)D.(0，+∞)A [∵x∈(-∞，1)∪[2，5)，故x-1∈(-∞，0)∪[1，4)，∴2x-1∈(-∞，0)∪12，2.]7.若函数f(x)=1log3(2x+c)的定义域为12，1∪(1，+∞)，则实数c的值等于( )A.1B.-1C.-2D.-12B [由2x+c>0且log3(2x+c)≠0，得x>-c2且x≠1-c2.又f(x)的定义域为12，1∪(1，+∞)，∴1-c2=1.∴c=-1.]8.(2014•天津河西模拟)已知函数f(x)的定义域为R，若存在常数m>0，对任意x∈R，有|f(x)|≤m|x|，则称f(x)为F函数.给出下列函数：①f(x)=x2;②f(x)=sin x+cos x;③f(x)=xx2+x+1;④f(x)是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1，x2均有|f(x1)-f(x2)|≤2|x1-x2|.其中是F函数的序号为( )A.②④B.①③C.③④D.①②C [据F函数的定义可知，由于|f(x)|≤m|x|⇒|f(x)||x|≤m，即只需函数|f(x)||x|存在最大值，函数即为F函数.易知①②不符合条件;对于③，|f(x)||x|=1x2+x+1=1x+122+34≤43，为F函数;对于④，据题意令x1=x，x2=0，由于函数为奇函数，故有f(0)=0，则有|f(x)-f(0)|≤2|x-0|⇔|f(x)|≤2|x|，故为F函数.综上可知③④符合条件.]二、填空题9.(2014•安阳4月模拟)函数y=x+1+(x-1)0lg(2-x)的定义域是________.解析由x+1≥0，x-1≠0，2-x>0，2-x≠1得x≥-1，x≠1，x<2，则-1≤x<2，x≠1，所以定义域是{x|-1≤x<1，或1<x<2}.答案{x|-1≤x<1，或1<x<2}10.函数y=x-x(x≥0)的最大值为________.解析y=x-x=-(x)2+x=-x-122+14，即ymax=14.答案14三、解答题11.(2014•宝鸡模拟)已知函数g(x)=x+1, h(x)=1x+3，x∈(-3，a]，其中a为常数且a>0，令函数f(x)=g(x)•h(x).(1)求函数f(x)的表达式，并求其定义域;(2)当a=14时，求函数f(x)的值域.解析(1)f(x)=x+1x+3，x∈[0，a](a>0).(2)函数f(x)的定义域为0，14，令x+1=t，则x=(t-1)2，t∈1，32，f(x)=F(t)=tt2-2t+4=1t+4t-2，当t=4t时，t=±2∉1，32，又t∈1，32时，t+4t单调递减，F(t)单调递增，F(t)∈13，613.即函数f(x)的值域为13，613.12.(2014•黄冈模拟)已知函数f(x)=13x，x∈[-1，1]，函数g(x)=f2(x)-2af(x)+3的最小值为h(a).(1)求h(a)的解析式;(2)是否存在实数m，n同时满足下列两个条件：①m>n>3;②当h(a)的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]?若存在，求出m，n的值;若不存在，请说明理由.解析(1)由f(x)=13x，x∈[-1，1]，知f(x)∈13，3，令t=f(x)∈13，3，记g(x)=y=t2-2at+3，则其对称轴为t=a，故有：①当a≤13时，g(x)的最小值h(a)=g13=289-2a3.②当a≥3时，g(x)的最小值h(a)=g(3)=12-6a.③当13综上所述，h(a)=289-2a3，a≤13，3-a2，13(2)当a≥3时，h(a)=-6a+12.故m>n>3时，h(a)在[n，m]上为减函数，所以h(a)在[n，m]上的值域为[h(m)，h(n)].由题意，则有h(m)=n2，h(n)=m2⇒-6m+12=n2，-6n+12=m2，两式相减得6n-6m=n2-m2，又m≠n，所以m+n=6，这与m>n>3矛盾.故不存在满足题中条件的m，n的值.。

考点01 定义域——2021年高考数学专题复习真题练习

考点1：定义域【题组一已知解析式求定义域】1．函数()11f x x =+-的定义域为 . 2．函数f(x)的定义域为 .3．函数01()()2f x x =-+的定义域为 .4．已知0()(2)f x x =-的定义域是 .5．函数f （x ）=15x +-的定义域为 . 6．函数()1f x x =-的定义域为__________.7．函数0y =的定义域是．8．函数21log 1y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的定义域为 .9．函数y =________10．函数0(2)()1x f x x +=-的定义域___________11．函数y =的定义域是________12.若()f x =，则()f x 的定义域为____________.【题组二抽象函数求定义域】1．已知函数f （x ）的定义域为（﹣1，1），则函数()()22x g x f f x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭的定义域为 .2．已知()21f x -定义域为[]0,3，则()21f x -的定义域为 .3.已知函数()y f x =的定义域为[]8,1-，则函数()()212f x g x x +=+的定义域是 .4.若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数()g x =的定义域是__________．【题组三---根据定义域求参数】1．函数2()lg(43)f x x x a =++的定义域为R ，则实数a 的取值范围是 .2．若函数y =R ，则a 的取值范围为 .3.函数24()43x f x mx mx -=++的定义域是R ，则m 的取值范围是 .4已知函数()f x =的定义域是R ，则实数a 的取值范围是 .5.若函数R ，则a 的取值范围为_______.6.若函数()f x =R ，则实数a 取值范围是___________.7．若函数()f x =R ，则实数a 的取值范围是__________.8.函数21x y kx kx =++的定义域为R ，则实数k 的取值范围为________．9.已知函数()f x =R ，则实数m 的取值范围是__________.10已知函数2()lg 1f x x ax 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是____________．12.已知22()ln[(1)(1)1]g x m x m x =---+的定义域为R ，求实数m 的取值范围 .．13.函数()f x =若()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围. 如何学好数学1.圆锥曲线中最后题往往联立起来很复杂导致k 算不出，这时你可以取特殊值法强行算出k 过程就是先联立，后算代尔塔，用下伟达定理，列出题目要求解的表达式，就ok了2.选择题中如果有算锥体体积和表面积的话，直接看选项面积找到差2倍的小的就是答案，体积找到差3倍的小的就是答案，屡试不爽！3.三角函数第二题，如求a(cosB+cosC)/(b+c)coA之类的先边化角然后把第一题算的比如角A等于60度直接假设B和C都等于60°带入求解。

高考数学中的函数定义域及值域的详细解释

高考数学中的函数定义域及值域的详细解释在高中数学的学习过程中，函数的定义域和值域是非常重要的一个知识点。

掌握函数的定义域和值域，对于学生未来的学习和职业发展都有着极为重要的作用。

接下来，我们就来详细解释函数的定义域和值域的概念及其在高考数学中的应用。

一、函数的定义域是什么？在数学中，函数可以看作是一种联系两个集合的规律。

其中，一个集合是自变量的取值集合，另一个集合是函数值的取值集合。

函数的定义域指的就是自变量的取值集合。

以一个简单的例子为说明：设有一个函数f(x) = √(10 - x)，其中x 的取值范围是整个实数集合，那么函数 f(x) 的定义域就是整个实数集合。

但是实际上，在某些情况下，函数的自变量可能不是整个实数集合。

例如，函数 f(x) = 1/x，x 的取值范围为整个实数集合，但由于在 x = 0 处没有定义，因此函数的定义域就是整个实数集合减去 0。

通过以上例子，可以看出函数的定义域并不是简单的取值范围，而是根据函数的性质来确定的。

每个函数都有其自己对应的定义域。

二、函数的值域是什么？函数的值域指的是函数在定义域上所有可能的函数值所组成的集合。

也以前面的例子f(x)= √ (10-x)，为例。

将这个函数的定义域限定在 [0,10] 上，那么函数的值域就是在这个区间内所有满足条件的函数值组成的集合。

在求解函数的值域的问题上，可以借助一些特殊的技巧。

比如，在许多函数的求值问题上，我们可以使用函数的性质、图像、导数等方式来简单地确定函数的值域。

三、函数的定义域和值域在高考数学中的应用函数的定义域和值域是高中数学的重点知识点，而在高考中经常考到的题型则是在此基础上进行加深。

经过高中的语文、英语、数学学习，学生应该已经掌握了认真分析问题的方法。

在高考数学的题目中，有许多都需要从某个小细节来全面分析题目，从而解决问题。

而在面对一些函数及其图像的问题时，掌握函数的定义域和值域概念，不仅能在图像问题及函数在某个区间的取值问题上提供大量便利，还可以为高考数学的综合应用题提供更好的思路。

专题2.3 函数的定义域与值域重难点题型精讲-高中数学一轮复习【新高考地区专用】

专题2.3 函数的定义域与值域-重难点题型精讲1．函数的三要素 (1)定义域在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域． (2)值域与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域． (3)对应关系f ：A →B .【题型1 求具体函数的定义域】【例1】（2021•浙江模拟）函数y =√−x 2+x +6+1x−1的定义域为（） A ．[﹣2，3]B ．[﹣2，1）∪（1，3]C ．（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）D ．（﹣2，1）∪（1，3）【解题思路】根据二次根式的性质以及分母不为0，求出函数的定义域即可．【解答过程】解：由题意得：{−x 2+x +6≥0x −1≠0，解得：﹣2≤x ＜1且1＜x ≤3，故选：B ．【变式1-1】（2021•天河区校级模拟）函数f （x ）=√32x−1−1的定义域是（） A ．[1，+∞）B ．[12，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）D ．（﹣∞，﹣2）【解题思路】根据二次根式的性质求出函数的定义域即可．【解答过程】解：由题意得：32x ﹣1﹣1≥0，故32x ﹣1≥1＝30，故2x ﹣1≥0，解得：x ≥12，故函数f （x ）的定义域是[12，+∞），故选：B ．【变式1-2】（2020•新乡三模）函数f （x ）=√−x 2+3x+4lnx的定义域是（）A ．（0，1）∪（1，4]B ．（0，4]C ．（0，1）D ．（0，1）∪[4，+∞）【解题思路】根据函数的解析式，列出使函数有意义的不等式组，求出解集即可．【解答过程】解：函数f （x ）=√−x 2+3x+4lnx中，令{−x 2+3x +4≥0x ＞0lnx ≠0，得{x 2−3x −4≤0x ＞0x ≠1，解得{−1≤x ≤4x ＞0x ≠1，即0＜x ≤4且x ≠1；所以函数f （x ）的定义域是（0，1）∪（1，4]．故选：A ．【变式1-3】（2020•荔湾区校级模拟）函数f （x ）＝lg 3−x x+1cosx的定义域为（）A ．（0，3）B ．{x |x ＜3且x ≠π2} C ．（0，π2）∪（π2，3)D ．{x |x ＜0或x ＞3}【解题思路】由对数式的真数大于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．【解答过程】解：由{3−x x ＞0cosx ≠0，得{0＜x ＜3x ≠π2+kπ，k ∈Z ，∴0＜x ＜3且x ≠π2． ∴函数f （x ）＝lg 3−x x+1cosx的定义域为（0，π2）∪（π2，3)．故选：C ．【题型2 求抽象函数的定义域】【例2】（2021春•开封期末）已知函数f （2x ﹣1）的定义域为（﹣1，2），则函数f （2﹣3x ）的定义域为．【解题思路】由题意先求出2x ﹣1的范围，可得2﹣3x 的范围，从而得出x 的范围，即为函数f （2﹣3x ）的定义域．【解答过程】解：函数f （2x ﹣1）的定义域为（﹣1，2），故﹣3＜2x ﹣1＜3， ∴对于函数f （2﹣3x ），﹣3＜2﹣3x ＜3，求得−13＜x ＜53，故对于函数f （2﹣3x ），它的定义域为（−13，53），故答案为：（−13，53），【变式2-1】（2020秋•蚌埠期末）已知函数f （x ）的定义域是[0，2]，则函数g （x ）＝f （x +12）+f （x −12）的定义域是（） A ．[12，1]B ．[12，2]C ．[12，32]D ．[1，32]【解题思路】由函数f （x ）的定义域是[0，2]可得：要使函数g （x ）＝f （x +12）+f （x −12）的解析式有意义，则{x +12∈[0，2]x −12∈[0，2]，解不等式可得答案．【解答过程】解：∵函数f （x ）的定义域是[0，2]，要使函数g （x ）＝f （x +12）+f （x −12）的解析式有意义，则{x +12∈[0，2]x −12∈[0，2]，解得：x ∈[12，32]，故函数g （x ）＝f （x +12）+f （x −12）的定义域是[12，32]，故选：C ．【变式2-2】（2021•襄城区校级模拟）已知函数y ＝f （x 2+2x−1x 2+x−1）的定义域是[1，+∞），则函数y ＝f （x ）的定义域是．【解题思路】利用换元法，设t =x 2+2x−1x 2+x−1，x ∈[1，+∞），求出t 的值域即可．【解答过程】解：设t =x 2+2x−1x 2+x−1，x ∈[1，+∞），则t ＝1+xx 2+x−1=1+1x−1x+1，再设g （x ）＝x −1x +1，x ∈[1，+∞），则g （x ）是定义域上的单调增函数，且g （x ）min ＝g （1）＝1，所以1g(x)∈（0，1]，所以t ∈（1，2]；所以函数y ＝f （x 2+2x−1x 2+x−1）的定义域是[1，+∞）时，函数y ＝f （x ）的定义域是（1，2]．故答案为：（1，2]．【变式2-3】（2021•荆州区校级四模）定义域是一个函数的三要素之一，已知函数Jzzx （x ）定义域为[211，985]，则函数shuangyiliu （x ）＝Jzzx （2018x ）+Jzzx （2021x ）的定义域为（） A ．[2112018，9852021] B ．[2112021，9852018] C ．[2112018，9852018] D ．[2112021，9852021] 【解题思路】由2018x ∈[211，985]且2021x ∈[211，985]可求得定义域．【解答过程】解：根据题意得{211≤2018x ≤985211≤2021x ≤985，解得：x ∈[2112018，9852021]．故选：A ．【题型3 已知函数定义域求参数】【例3】（2020春•兴庆区校级期末）若函数y =√的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（）A ．（0，12]B ．（0，12）C ．[0，12]D ．[0，12）【解题思路】根据题意即可得出，不等式ax 2﹣4ax +2＞0的解集为R ，然后可讨论a 是否为0：a ＝0时，显然满足题意；a ≠0时，可得出{a ＞0△=16a 2−8a ＜0，然后解出a 的范围即可．【解答过程】解：根据题意，ax 2﹣4ax +2＞0的解集为R ， ①a ＝0时，2＞0恒成立，满足题意； ②a ≠0时，{a ＞0△=16a 2−8a ＜0，解得0＜a ＜12，综上得，实数a 的取值范围是[0，12)．故选：D ．【变式3-1】（2020秋•解放区校级月考）已知函数f （x ）＝5√a+1−x的定义域为M ，集合N ＝{x |x ≥9}，若M ∩N ＝∅，则实数a 的取值范围是（） A ．（4，8]B ．（﹣∞，8]C ．（﹣∞，4]D ．[8，+∞）【解题思路】根据条件可得出M ⊆{x |x ＜9}，可求出f （x ）的定义域为M ＝{x |x ＜a +1}，从而得出a +1≤9，然后解出a 的范围即可．【解答过程】解：∵N ＝{x |x ≥9}，M ∩N ＝∅， ∴M ⊆{x |x ＜9}，∵M ＝{x |x ＜a +1}，∴a +1≤9，解得a ≤8， ∴实数a 的取值范围是（﹣∞，8]．故选：B ．【变式3-2】（2020秋•宝山区校级期末）若函数f （x ）＝lg [（a 2﹣1）x 2+（a +1）x +1]的定义域为R ，则实数a 的取值范围是．【解题思路】根据对数函数的定义域为R ，转化为不等式恒成立进行求解即可．【解答过程】解：∵f （x ）的定义域为R ， ∴（a 2﹣1）x 2+（a +1）x +1＞0恒成立，当a 2﹣1＝0，即a ＝1或a ＝﹣1，当a ＝1时，不等式等价为2x +1＞0，此时x ＞−12，不恒成立，不满足条件．当a ＝﹣1时，不等式等价为1＞0，恒成立，满足条件．当a ≠±1时，要使不等式恒成立，则{a 2−1＞0△=(a +1)2−4(a 2−1)＜0，即{a ＞1或a ＜−1(a +1)(−3a +5)＜0，得{a ＞1或a ＜−1a ＞53或a ＜−1，即a ＞53或a ＜﹣1，综上a ＞53或a ≤﹣1，故答案为：a ＞53或a ≤﹣1．【变式3-3】（2020秋•太原期中）若函数f （x ）=√|2x +1|−|x +1|−a 的定义域为R ，则实数a 的取值范围为．【解题思路】由题意，|2x +1|﹣|x +1|≥a 恒成立，利用分段函数求得f （x ）＝|2x +1|﹣|x +1|的最小值，可得a 的范围．【解答过程】解：∵函数f （x ）=√|2x +1|−|x +1|−a 的定义域为R ，∴|2x +1|﹣|x +1|≥a 恒成立．令f （x ）＝|2x +1|﹣|x +1|={x ，x ≥−12−3x −2，−1≤x ＜−12−x ，x ＜−1，则f （x ）取得最小值大于或等于a ．根据f （x ）的单调性，当x =−12时，f （x ）取得最小值为−12， ∴a ≤−12，故答案为：（﹣∞，−12]．【题型4 利用函数单调性求函数的值域】【例4】（2020秋•上高县校级期末）下列各函数中，值域为（0，+∞）的是（） A ．y =log 2(x 2+2x −3) B ．y =√1−2x C ．y ＝2﹣2x +1D ．y =31x+1【解题思路】根据函数的性质分别求出函数的值域进行判断即可．【解答过程】解：x 2+2x ﹣3＝（x +1）2﹣4≥﹣4，∴y =log 2(x 2+2x −3)的值域是R ，不满足条件． ∵0≤1﹣2x ＜1，则函数的值域为[0，1），不满足条件． y ＝2﹣2x +1＞0，即函数的值域为（0，+∞），满足条件．y =31x+1∈（0，1）∪（1，+∞），不满足条件．故选：C ．【变式4-1】（2021•3月份模拟）函数f （x ）=√2−x +√x 2−6x +10的值域为．【解题思路】先求出函数的定义域和单调性，从而得到函数的值域．【解答过程】解：∵函数f （x ）=√2−x +√x 2−6x +10，∴{2−x ≥0x 2−6x +10≥0，求得x ≤2，故函数的定义域为（﹣∞，2]．且y =√2−x 和y =√x 2−6x +10在定义域内都是减函数，故f （x ）在其定义域内是减函数，故当x ＝2时，函数f （x ）取得最小值为√2，当x 趋于﹣∞时，函数f （x ）趋于无穷大，故f （x ）的值域为[√2，+∞），故答案为：[√2，+∞）．【变式4-2】（2021•松山区校级模拟）已知函数f （x ）＝log 3（x ﹣2）的定义域为A ，则函数g （x ）＝（12）2﹣x（x ∈A ）的值域为（）A ．（﹣∞，0）B ．（﹣∞，1）C ．[1，+∞）D ．（1，+∞）【解题思路】根据对数函数的性质先求出f （x ）的定义域，结合指数函数的单调性，求g （x ）的值域即可．【解答过程】解：要使函数有意义，则x ﹣2＞0得x ＞2，即函数f （x ）的定义域为（2，+∞），即A ＝（2，+∞），g （x ）＝（12）2﹣x =14•2x ，为增函数，则g （x ）＞g （2）=14•22＝1，即g （x ）的值域为（1，+∞），故选：D ．【变式4-3】（2021•全国模拟）已知函数f （x ）对任意x ∈R ，都有f(x)=−12f(x +2)，当x ∈[0，2]时，f （x ）＝﹣x 2+2x ，则函数f （x ）在[﹣2，6]上的值域为（） A ．[0，1]B ．[−12，0]C ．[﹣2，0]D ．[﹣2，4]【解题思路】x ∈[0，2]时，f （x ）＝﹣x 2+2x ，则利用f(x)=−12f(x +2)，将区间[﹣2，0]，[2，4]，[4，6]的自变量x 利用加减转化到区间[0，2]上，从而进行值域的求解．【解答过程】解：当x ∈[0，2]时，f （x ）＝x （2﹣x ）＝1﹣（x ﹣1）2∈[0，1]，则当x ∈[﹣2，0]时，即x +2∈[0，2]，所以f(x)=−12f(x +2)∈[−12，0]；当x ∈[2，4]时，即x ﹣2∈[0，2]，由f(x)=−12f(x +2)，得f （x +2）＝﹣2f （x ），从而f （x ）＝﹣2f （x ﹣2）∈[﹣2，0]；当x ∈[4，6]时，即x ﹣2∈[2，4]，则f （x ）＝﹣2f （x ﹣2）∈[0，4]．综上得函数f （x ）在[﹣2，6]上的值域为[﹣2，4]．故选：D ．【题型5 利用换元法求函数的值域】【例5】（2020•重庆模拟）已知函数f （x ）＝2x ，则函数f （f （x ））的值域是（） A ．（0，+∞）B ．（1，+∞）C ．[1，+∞）D ．R【解题思路】利用指数函数的性质容易求出值域．【解答过程】解：由指数函数的性质可知，函数f （x ）＝2x 的值域为（0，+∞），令t ＝2x ，则t ＞0，∴f （f （x ））＝f （t ）＝2t ＞20＝1，即所求函数的值域为（1，+∞）．故选：B ．【变式5-1】（2020秋•瑶海区校级期中）函数y ＝2x +√1−3x 的值域是（） A ．（﹣∞，23]B ．[2524，+∞） C ．[−∞，2524] D ．[23，+∞）【解题思路】设t =√1−3x ，则x =1−t 23且t ≥0，然后代入后结合二次函数的性质可求．【解答过程】解：设t =√1−3x ，则x =1−t 23且t ≥0，y ＝2x +√1−3x =2−2t 23+t =−23t 2+t +23开口向下，对称轴t =34，结合二次函数的性质可知，当t =34时函数取得最大值2524．故函数的值域（﹣∞，2524]．故选：C ．【变式5-2】（2020秋•道里区校级月考）函数f （x ）=1x 2−2x+2的值域为（）A ．（0，1]B ．（0，12]C ．（0，1）D ．（0，12）【解题思路】只需求解t ＝x 2﹣2x +2的范围，结合反比例函数的性质可得值域；【解答过程】解：设t ＝x 2﹣2x +2＝（x ﹣1）2+1，可得t ∈[1，+∞），则y =1t ∈（0，1]．即函数f （x ）=1x 2−2x+2的值域为（0，1]．故选：A ．【变式5-3】（2021春•水富市校级月考）函数f （x ）＝x 2﹣1的定义域为[0，4]，则函数y ＝f （x 2）+[f （x ）]2的值域为（） A ．[−12，992]B ．[−12，24]C ．[−12，4]D ．[−12，4−2√2]【解题思路】先根据f （x ）的定义域求出y ＝f （x 2）+[f （x ）]2的定义域，再换元利用二次函数的性质即可求出．【解答过程】解：∵f （x ）＝x 2﹣1的定义域为[0，4]，∴y ＝f （x 2）+[f （x ）]2中，{0≤x 2≤40≤x ≤4，解得0≤x ≤2，即y ＝f （x 2）+[f （x ）]2的定义域为[0，2]，令t ＝x 2，则t ∈[0，4]，则y =f(x 2)+[f(x)]2=x 4−1+(x 2−1)2=2x 4−2x 2=2t 2−2t =2(t −12)2−12， ∴当t =12时，y min =−12；当t ＝4时，y max ＝24， ∴y ＝f （x 2）+[f （x ）]2的值域为[−12，24]．故选：B ．【题型6 利用分离常数法求函数的值域】【例6】（2021•海淀区校级模拟）若函数f(x)=x−1x+1的定义域是[0，+∞），则f （x ）的值域是．【解题思路】由已知利用分离常数，然后结合反比例函数的性质可求．【解答过程】解：当x ≥0时，∈[﹣1,1)． f (x )=x−1x+1=x+1−2x+1=1−2x+1∈[﹣1,1)．故答案为：[﹣1,1)．【变式6-1】（2020秋•泉山区校级期中）函数y =2+x4−3x 的值域是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，−12）∪（12，+∞）C．（﹣∞，−13）∪（13，+∞）D．（﹣∞，−13）∪（−13，+∞）【解题思路】分离常数即可得出y=−13+103(4−3x)，从而得出y≠−13，进而得出该函数的值域．【解答过程】解：y=2+x4−3x=−13(4−3x)+1034−3x=−13+103(4−3x)，∴y≠−1 3，∴该函数的值域为(−∞，−13)∪(−13，+∞)．故选：D．【变式6-2】（2020•武汉模拟）函数y=2lnx−1lnx+1的值域为（）A．{y|0＜y＜2}B．{y|y＞0且y≠2}C．{y|y≠2}D．{y|y＞2}【解题思路】由已知利用分离法，结合反比例函数的性质即可求解．【解答过程】解：因为y=2lnx−1lnx+1=2(lnx+1)−3lnx+1=2−31+lnx≠2．故选：C．【变式6-3】（2020秋•成都期末）设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，例如：[﹣3.2]＝﹣4，[4.3]＝4，已知函数f（x）=2×3x1+3x−32，则函数y＝[f（x）]的值域是（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣2，﹣1，0}C．{﹣1，0}D．{﹣2，﹣1，0，1}【解题思路】由已知结合指数函数的性质先求出f（x）的值域，然后结合已知定义即可求解．【解答过程】解：∵f（x）=2×3x1+3x−32=4⋅3x−3−3⋅3x2(1+3x)=3x−32(3x+1)=12−23x+1，∵3x+1＞1，∴0＜21+3x＜2，∴−32＜12−21+3x＜12，故y＝[f（x）]的值域是{﹣2，﹣1，0}．故选：B．【题型7 已知函数的值域求参数】【例7】（2020•柯城区校级模拟）已知函数f(x)=√x 2+tx 2−1的值域为[0，+∞），则实数t 的取值范围是．【解题思路】设y ＝x 2+t x 2−1，先分类求y ＝x 2+t x 2−1的值域A ，再根据[0，+∞）为A 的子集来求t 的取值范围．【解答过程】解：令y ＝x 2+tx 2−1， ①当t ＜0时，y ＝x 2+t x2−1，设m ＝x 2＞0，则y ＝m +tm −1在（0，+∞）上单调递增， ∴y 的值域为R ，∵[0，+∞）⊆R ，∴t ＜0符合题意； ②当t ＝0时，y ＝x 2+tx2−1＝x 2﹣1≥﹣1， ∵[0，+∞）⊆[﹣1，+∞），∴t ＝0符合题意； ③当t ＞0时，y ＝x 2+t x 2−1≥2√x 2⋅t x2−1＝2√t −1，当且仅当|x |=√t 4时，等号成立， ∵[0，+∞）⊆[2√t −1，+∞）， ∴2√t −1≤0，解得0＜t ≤14，综上所述，实数t 的取值范围是（﹣∞，14]．故答案为：（﹣∞，14]．【变式7-1】（2020•青秀区校级模拟）已知函数f （x ）＝lg （3x +43x +m ）的值域是全体实数R ，则实数m 的取值范围是（） A ．（﹣4，+∞）B ．[﹣4，+∞）C ．（﹣∞，﹣4）D ．（﹣∞，﹣4]【解题思路】由题意可知3x +43x +m 能取遍所有正实数，结合基本不等式可求．【解答过程】解：由题意可知3x +43x +m 能取遍所有正实数，因为3x +43x +m ≥m +4，则m +4≤0，即m ≤﹣4．故选：D ．【变式7-2】（2020•一模拟）已知函数f （x ）＝lnx −12ax 2+（a ﹣1）x +a （a ＞0）的值域与函数f （f （x ））的值域相同，则a 的取值范围为（） A ．（0，1]B ．（1，+∞）C ．(0，43]D ．[43，+∞）【解题思路】求出f （x ）的单调区间和值域，从而得出f （x ）的最大值与单调区间端点的关系，从而得出a 的范围【解答过程】解：函数f （x ）＝lnx −12ax 2+（a ﹣1）x +a （a ＞0），其定义域满足：x ＞0．则f ′（x ）=1x −ax +（a ﹣1）（a ＞0）令f ′（x ）＝0，可得x =−1a（舍去），x ＝1．当x ∈（0，1）时，f ′（x ）＞0，f （x ）在区间（0，1）递增；当x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＜0，f （x ）在区间（1，+∞）递减； ∴当x ＝1时，f （x ）取得最大值为32a −1；f （x ））的值域为（﹣∞，32a −1]，∴函数f （f （x ））的值域为（﹣∞，32a −1]，则32a −1≥1；解得：a ≥43．则a 的取值范围为[43，+∞）；故选：D ．【变式7-3】（2020•南岗区校级四模）已知函数f(x)={(1−a)x +a ，x ＞0ln(x +2)，−2＜x ≤0的值域为R ，则实数a 的取值范围是（） A ．a ＜ln 2B ．a ≤ln 2C ．a ＞0D ．ln 2＜a ＜1【解题思路】由已知求出﹣2＜x ≤0时函数的值域，把函数f （x ）的值域为R 转化为当x ＞0时，f （x ）＝（1﹣a ）x +a 的值域包含（ln 2，+∞），由此列关于a 的不等式组求解．【解答过程】解：当﹣2＜x ≤0时，0＜x +2≤2，f （x ）＝ln （x +2）∈（﹣∞，ln 2]；要使函数f(x)={(1−a)x +a ，x ＞0ln(x +2)，−2＜x ≤0的值域为R ，则当x ＞0时，f （x ）＝（1﹣a ）x +a 的值域包含（ln 2，+∞）．则需{1−a ＞0a ≤ln2，即a ≤ln 2．∴实数a 的取值范围是a ≤ln 2．故选：B ．【题型8 函数的定义域与值域综合】【例8】[多选题]（2021•锡山区校级三模）一般地，若函数f （x ）的定义域为[a ，b ]，值域为[ka ，kb ]，则称为的“k 倍跟随区间”；若函数的定义域为[a ，b ]，值域也为[a ，b ]，则称[a ，b ]为f （x ）的“跟随区间”．下列结论正确的是（）A ．若[1，b ]为f （x ）＝x 2﹣2x +2的跟随区间，则b ＝2B ．函数f （x ）＝1+1x 存在跟随区间C ．若函数f （x ）＝m −√x +1存在跟随区间，则m ∈（−14，0]D ．二次函数f （x ）=−12x 2+x 存在“3倍跟随区间”【解题思路】（1）易由已知可得函数在区间上单调递增，进而可以求解b 的值，（2）假设存在跟随区间，则根据跟随区间的条件求解a ，b 的值，若有解则存在，反之不存在，（3）先设跟随区间为[a ，b ]，则根据跟随区间满足的条件建立方程组，找出a ，b 的关系，然后统一变量表示出m ，列出关于m 的关系式，利用方程思想求解m 的取值范围，（4）若存在3倍跟随区间，则设定义域为[a ，b ]，值域为[3a ，3b ]，由此建立方程组，再等价转化为一个方程有两个不相等的实数根，进而可以求解．【解答过程】解：选项A ：由已知可得函数f （x ）在区间[1，b ]上单调递增，则有f （b ）＝b 2﹣2b +2＝b ，解得b ＝2或1（舍），所以b ＝2，A 正确；选项B ：若存在跟随区间[a ，b ]（a ＜b ），又因为函数在单调区间上递减，则有{f(a)=bf(b)=a ，解得a ＝b ＝1，显然不成立，B 错误；选项C ：由已知函数可得：函数在定义域上单调递减，若存在跟随区间[a ，b ]（﹣1≤a ＜b ），则有{f(a)=b f(b)=a ，即{b =m −√a +1a =m −√b +1，两式做差得：a ﹣b =√a +1−√b +1，即（a ﹣b ）（√a +1+√b +1）＝a +1﹣（b +1）＝a ﹣b ，又﹣1≤a ＜b ，所以√a +1+√b +1=1，易得0≤√a +1＜√b +1≤1，所以m ＝a +√b +1=a +1−√a +1，设√a +1=t ∈（0，12），则m ＝t 2﹣t ，即t 2﹣t ﹣m ＝0在区间（0，12）上有两个不相等的实数根，只需：{△=1+4m ＞0−m ≥0，解得−14＜m ≤0，C 正确；选项D ：若函数存在3倍跟随区间，设定义域为[a ，b ]，值域为[3a ，3b ]，当a ＜b ≤1时，易得函数在定义域上单调递增，则a ，b 是方程−12x 2+x =3x 的两个不相等的实数根，解得x ＝0或﹣4，故存在定义域为[﹣4，0]使得值域为[﹣12，0]，D 正确，故选：ACD ．【变式8-1】（2021春•越秀区校级期中）一般地，若f （x ）的定义域为[a ，b ]，值域为[λa ，λb ]，则称[a ，b ]为f （x ）的“λ倍跟随区间”；特别地，若f （x ）的定义域为[a ，b ]，值域也为[a ，b ]，则称[a ，b ]为f （x ）的“跟随区间”．（1）若[1，b ]为f （x ）＝x 2﹣2x +2的跟随区间，则b ＝．（2）若函数f （x ）＝m −√x +1存在跟随区间，则m 的取值范围是．【解题思路】（1）结合f （x ）＝x 2﹣2x +2图象和跟随区间定义可解此问题；（2）根据跟随区间定义与函数f （x ）＝m −√x +1是在[﹣1，+∞）上是减函数可解此问题．【解答过程】解：（1）∵[1，b ]为f （x ）＝x 2﹣2x +2的跟随区间，∴函数值域为[1，b ]．∵二次函数f （x ）＝x 2﹣2x +2的对称轴方程为：x ＝1，∴函数f （x ）在[1，b ]上单调递增．∴{f(b)=b 2−2b +2=bb ＞1f(1)=12−2×1+2=1，解得：b ＝2，故b 的值为2；（2）设跟随区间为：[a ，b ]．∵函数f （x ）＝m −√x +1的定义域为：[﹣1，+∞），∴﹣1≤a ＜b ． ∵函数f （x ）＝m −√x +1是定义域上的减函数且定义域、值域都是[a ，b ]， ∴{f(b)=m −√b +1=af(a)=m −√a +1=b，∴√b +1−√a +1=b −a ，∴√b +1−√a +1=b −a =＝（b +1）﹣（a +1）＝（√b +1−√a +1）（√b +1+√a +1），又∵√b +1＞√a +1， ∴√b +1+√a +1=1，∴√b +1=1−√a +1，代入m −√b +1=a 得：m ＝a +1−√a +1，同理：m ＝b +1−√b +1，∴可令m ＝t 2﹣t （0≤t ≤1），∴方程m ＝t 2﹣t 在0≤t ≤1范围内有两个不等实根，∴函数y ＝m 与函数y ＝t 2﹣t （0≤t ≤1）有两个交点，又∵函数y ＝t 2﹣t （0≤t ≤1）的值域[−14，0]， ∴由二者图象可知：m ∈（−14，0]．故答案为：（−14，0]，【变式8-2】（2021春•宝山区校级期末）设函数y ＝f （x ）的定义域为D ，对于非空集合Y ⊆R ，称集合{x |f （x ）∈Y ，x ∈D }为集合Y 的原像集，记作f ﹣1（Y ），设f （x ）＝2sin （ωx +2π3），x ∈[0，π]，其中ω为实常数，且ω＞0，若函数y ＝f （x ）在集合f ﹣1（[0，2]）的值域恰为闭区间[0，2]，则ω的取值范围是．【解题思路】由所给的信息可得函数f （x ）的值域，由函数f （x ）的定义域，求出ωx +23π的范围，进而求出ω的范围．【解答过程】解：因为x ∈[0，π]，所以ωx +23π∈[23π，ωπ+23π]，令t ＝ωx +23π∈[23π，ωπ+23π]，所以y ＝2sin t ，t ∈[23π，ωπ+23π]，因为f ﹣1（[0，2]）的值域恰为闭区间[0，2]，所以f ﹣1（[0，2]）＝{x |f （x ）∈[0，2]，x ∈R }，所以2sin t ∈[0，2]，因为t ＝ωπ+23π≥2π+π2，所以可得ω≥116，故答案为：[116，+∞）．【变式8-3】（2021•青羊区校级模拟）函数f （x ）的定义域为D ，若满足：（1）f （x ）在D 内是单调函数；（2）存在[m 2，n 2]⊆D ，使得f （x ）在[m 2，n 2]上的值域为[m ，n ]，那么就称函数f （x ）为“梦想函数”．若函数f(x)=log a (a x +t)(a ＞0，a ≠1)是“梦想函数”，则t 的取值范围是．【解题思路】根据复合函数单调性的关系先判断函数f （x ）是单调递增函数，然后根据值域关系建立方程，然后转化为方程根的个数问题即可．【解答过程】解：（1）设u （x ）＝a x +t ，则y ＝log a u ，当a ＞1时，u （x ）＝a x +t 为增函数，y ＝log a u 也是增函数，则y ＝log a （a x +t ）为增函数，当0＜a ＜1时，u （x ）＝a x +t 为减函数，y ＝log a u 也是减函数，则y ＝log a （a x +t ）为增函数，综上可得：y ＝log a （a x +t ）为增函数，即f （x ）在D 内是单调函数．（2）∵f （x ）是单调递增函数，∴若f （x ）＝log a （a x +t ）为“梦想函数”，则有{f(m2)=log a (a m2+t)=m f(n2)=log a (a n 2+t)=n，即方程a x 2+t ＝a x 有两个不同的正数解，即可得（a x2）2﹣ax2−t＝0有两个不同的正数解，则有{△=1+4t＞0x1+x2=1＞0x1x2=−t＞0，即{t＞−14t＜0，可得−14＜t＜0，即t的取值范围为（−14，0），故答案为：（−14，0）．。

专题06 函数的定义域、值域--《2023年高考数学命题热点聚焦与扩展》【原卷版】

【热点聚焦】函数的定义域作为函数的要素之一，是研究函数的基础，函数的定义域问题也是高考的热点.函数的值域（最值）也是高考中的一个重要考点，并且值域（最值）问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分.【重点知识回眸】1.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．提醒：两个函数的值域和对应关系相同，但两个函数不一定相同，例如，函数f(x)＝|x|，x ∈[0,2]与函数f(x)＝|x|，x∈[－2,0]．2．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．3.常见函数定义域的求法类型x满足的条件n f x(n∈N*)f(x)≥02()(n∈N*)f(x)有意义21()n f x1与[f(x)]0f(x)≠0f x()log a f(x)(a＞0且a≠1)f(x)＞0a f(x)(a＞0且a≠1)f(x)有意义tan[f (x )]f (x )≠π2＋k π，k ∈Z四则运算组成的函数各个函数定义域的交集实际问题使实际问题有意义4.①若()y f x =的定义域为(),a b ，则不等式()a g x b <<的解集即为函数()()y f g x =的定义域；②若()()y f g x =的定义域为(),a b ，则函数()g x 在(),a b 上的的值域即为函数()y f x =的定义域．5.常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归.（1）一次函数（y kx b =+）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域.（2）二次函数（2y ax bx c =++），给定区间.二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解.（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内）.（3）反比例函数：1y x=（1）图像关于原点中心对称（2）当,0x y →+∞→ ，当,0x y →-∞→. （4）对勾函数：()0ay x a x=+> ① 解析式特点：x 的系数为1；0a >注：因为此类函数的值域与a 相关，求a 的值时要先保证x 的系数为1，再去确定a 的值例：42y x x =+，并不能直接确定4a =，而是先要变形为22y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求得2a =② 极值点：,x a x a ==③ 极值点坐标：(,2,,2a a a a --④ 定义域：()(),00,-∞+∞⑤ 自然定义域下的值域：(),22,a a ⎡-∞-+∞⎣（5）函数：()0ay x a x=-> 注意与对勾函数进行对比① 解析式特点：x 的系数为1；0a > ② 函数的零点：x a =③ 值域：R（5）指数函数（xy a =）：其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（6）对数函数（log a y x =）其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（7）三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-. 6.函数值域问题处理策略（1）换元法：① ()()(),log ,sin f x a y ay f x y f x ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦：此类问题在求值域时可先确定()f x 的范围，再求出函数的范围.② ()()(),log ,sin x a y f a y f x y f x ===：此类函数可利用换元将解析式转为()y f t =的形式，然后求值域即可.③形如y ax b cx d =++（2）均值不等式法：特别注意“一正、二定、三相等”.（3）判别式法：若原函数的定义域不是实数集时，应结合函数的定义域，将扩大的部分剔除.（4）分离常数法:一般地， ① ax by cx d+=+：换元→分离常数→反比例函数模型② 2ax bx c y dx e ++=+：换元→分离常数→ay x x=±模型③ 2dx ey ax bx c+=++：同时除以分子：21y ax bx c dx e=+++→②的模型 ④ 22ax bx cy dx ex f++=++：分离常数→③的模型（5）单调性性质法：利用函数的单调性（6）导数法：利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值, 然后求出值域（7）数形结合法【典型考题解析】热点一已知函数解析式求定义域【典例1】（广东·高考真题（文））函数f (x )＝11x-＋lg(1＋x )的定义域是（） A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞) 【典例2】（山东·高考真题（文））函数21()4ln(1)f x x x =-+( )A ．[－2，0)∪(0，2]B ．(－1，0)∪(0，2]C ．[－2，2]D ．(－1，2]【典例3】（2019·江苏·高考真题）函数276y x x =+-_____. 【典例4】（2022·北京·高考真题）函数1()1f x x x=-_________．【总结提升】已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)简单函数的定义域：若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．热点二求抽象函数的定义域【典例5】（全国·高考真题（理））已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为（） A ．(1,1)-B ．1(1,)2--C ．(1,0)-D ．1(,1)2【典例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()31f x +的定义域为[]1,7，求函数()f x 的定义域．【典例7】（2022·全国·高三专题练习）已知函数(1)y f x +＝的定义域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，则函数2(log )y f x ＝的定义域为（）A ．(0,)+∞B ．(0,1)C ．222⎤⎢⎥⎣⎦D ．2⎡⎤⎣⎦，【总结提升】(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． (2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．热点三求函数的值域（最值）【典例8】（江西·高考真题（理））若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是（）A ．1[,3]2B ．10[2,]3 C ．510[,]23D ．10[3,]3【典例9】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =的定义域是R ，值域为[]1,2，则下列四个函数①()21y f x =-；①()21y f x =-；①()12f x y -=；①()2log 11y f x =++，其中值域也为[]1,2的函数个数是（） A ．4B ．3C ．2D ．1【典例10】（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(2)sin(1)1xf x x x x x =--+-在[1,1)-(1,3]⋃上的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（）A ．1B ．2C ．3D ．4【典例11】（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（文））高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如：[]1.32-=-，[]3.43=，已知()11313xf x =-+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为______．【典例12】（2023·全国·高三专题练习）函数()21f x x x =+-________；函数24y x x =-________．【典例13】（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（文））已知函数()211122f x x x =++． (1)求()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程； (2)求()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．热点四求参数的值或取值范围【典例14】（2023·全国·高三专题练习）设a R ∈，函数()2229,1163,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩，若()f x 的最小值为()1f ，则实数a 的取值范围为（） A ．[]1,2B ．[]1,3C ．[]0,2D ．[]2,3【典例15】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()221f x ax x =++R ，则实数a 的取值范围是__．【典例16】（2016·北京·高考真题（理））设函数33,(){2,x x x a f x x x a -≤=->. ①若0a =，则()f x 的最大值为____________________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是_________________.【精选精练】1．（2023·全国·高三专题练习）若集合-1|2M x y x ==⎧⎨⎩，{}2|N y y x -==，则（）A ．M N ⋂=∅B ．M N ⊆C ．N M ⊆D ．M ＝N2．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是（） A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y x3．（2022·全国·高三专题练习）若函数()21f x ax ax =-+R ，则a 的范围是（） A ．()0,4 B ．[)0,4 C ．(]0,4D ．[]0,44．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为[]0,1，值域为[]1,2，那么函数()2f x +的定义域和值域分别是（）A ．[]0,1，[]1,2B ．[]2,3，[]3,4C ．[]2,1--，[]1,2D ．[]1,2-，[]3,45．（2022·江西·高三阶段练习（文））函数()s 2π2inx f x x =+在[0,1]上的值域为（） A ．[1,2] B ．[1,3] C ．[2,3] D ．[2,4]6．（2022·全国·高三专题练习）已知(12)3,1()ln ,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，那么a 的取值范围是( ) A ．(﹣∞，﹣1]B ．(﹣1，12)C ．[﹣1，12)D ．(0，1)7．（2023·全国·高三专题练习）函数f （x 2sin 12x π- ）A ．54,433k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ) B ．154,433k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )C ．54,466k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z ) D ．154,466k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )8．（2023·山西大同·高三阶段练习）函数6()e 1||1x mx f x x =+++的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（） A ．3B ．4C ．6D ．与m 值有关9．（2022·江苏南京·高三开学考试）已知函数()()()()5sin sin ,99f x x x g x f f x ππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()g x 的最大值为（）A 2B 3C ．32D ．210．（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）函数()12cos f x x x x =+-的最小值为（） A ．1ππ B ．22ππC ．-1D ．0二、多选题11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数122()log (2)log (4)f x x x =--+，则下列结论中正确的是（）A ．函数()f x 的定义域是[4,2]-B ．函数(1)=-y f x 是偶函数C ．函数()f x 在区间[1,2)-上是减函数D ．函数()f x 的图象关于直线1x =-对称三、双空题12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()ln ,1e 2,1xx b x f x x +>⎧=⎨-≤⎩,若(e)3(0)f f =-，则b =_____，函数()f x 的值域为____．13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()121xf x a =+-为奇函数，则实数a ＝__，函数f （x ）在[1，3]上的值域为__．四、填空题14．（2022·全国·高三专题练习）函数()02112y x x x =++-的定义域是________．15．（2022·上海闵行·二模）已知函数()()41log 42xf x m x =+-的定义域为R ，且对任意实数a ，都满足()()f a f a ≥-，则实数m =___________；16.（2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测）已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，且当0x <时，()1af x x x=++．若函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3，则实数a 的值为________．17．（2022·北京·清华附中模拟预测）已知函数()()2ln ,1,1x a x f x x a x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，下列说法正确的是___________.①当0a ≥时，()f x 的值域为[0,)+∞； ②a ∀∈R ，()f x 有最小值；③R a ∃∈，()f x 在(0,)+∞上单调递增： ④若方程1f x有唯一解，则a 的取值范围是(,2)-∞-.18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）()221mx m x m =--+-的值域是[0，+∞），则实数m 的取值范围是__．。

高中数学求函数的值域基础知识与专项练习题(含答案解析)

高中数学求函数的值域基础知识与专项练习题（含答案解析）作为函数三要素之一，函数的值域也是高考中的一个重要考点，并且值域问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分。

所以掌握一些求值域的基本方法，当需要求函数的取值范围时便可抓住解析式的特点，寻找对应的方法从容解决。

一、基础知识： 1、求值域的步骤：（1）确定函数的定义域（2）分析解析式的特点，并寻找相对应的方法（此为关键步骤）（3）计算出函数的值域2、求值域的常用工具：尽管在有些时候，求值域就像神仙施法念口诀一样，一种解析式特点对应一个求值域的方法，只要掌握每种方法并将所求函数归好类即可操作，但也要掌握一些常用的思路与工具。

（1）函数的单调性：决定函数图像的形状，同时对函数的值域起到决定性作用。

若()f x 为单调函数，则在边界处取得最值（临界值）。

（2）函数的图像（数形结合）：如果能作出函数的图像，那么值域便一目了然（3）换元法：()f x 的解析式中可将关于x 的表达式视为一个整体，通过换元可将函数解析式化归为可求值域的形式。

（4）最值法：如果函数()f x 在[],a b 连续，且可求出()f x 的最大最小值,M m ，则()f x 的值域为[],m M注：一定在()f x 连续的前提下，才可用最值来解得值域3、常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归。

（1）一次函数（y kx b =+）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域（2）二次函数（2y ax bx c =++）：二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解。

（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内）例：()[]223,1,4f x x x x =−−∈−解：()()214f x x =−−∴对称轴为：1x = ()[]4,5f x ∴∈−（3）反比例函数：1y x=（1）图像关于原点中心对称（2）当,0x y →+∞→ 当,0x y →−∞→（4）对勾函数：()0ay x a x=+> ① 解析式特点：x 的系数为1；0a > 注：因为此类函数的值域与a 相关，求a 的值时要先保证x的系数为1，再去确定a 的值例：42y x x =+，并不能直接确定4a =，而是先要变形为22y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求得2a = ② 极值点：,x a x a ==− ③ 极值点坐标：()(),2,,2a a a a −−④ 定义域：()(),00,−∞+∞⑤ 自然定义域下的值域：(),22,a a ⎤⎡−∞−+∞⎦⎣（5）函数：()0ay x a x=−> 注意与对勾函数进行对比 ① 解析式特点：x 的系数为1；0a > ② 函数的零点：x a =± ③ 值域：R（5）指数函数（xy a =）：其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（6）对数函数（log a y x =）其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（7）分式函数：分式函数的形式较多，所以在本节最后会对分式函数值域的求法进行详细说明（见附）二、典型例题：将介绍求值域的几种方法，并通过例题进行体现1、换元法：将函数解析式中关于x 的部分表达式视为一个整体，并用新元t 代替，将解析式化归为熟悉的函数，进而解出值域（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围（2）换元的作用有两个：① 通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可“消灭”根式，达到简化解析式的目的② 化归：可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理（3）换元的过程本质上是对研究对象进行重新选择的过程，在有些函数解析式中明显每一项都是与x 的某个表达式有关，那么自然将这个表达式视为研究对象。

专题2.4 函数的定义域与值域重难点题型精练-高中数学一轮复习【新高考地区专用】

专题2.4 函数的定义域与值域-重难点题型精练【新高考地区专用】考试时间：90分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时90分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本节内容的具体情况！一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（5分）（2020•湖南模拟）函数f （x ）＝（12）x 2−6x+5的值域为（）A ．（0，16]B ．[16，+∞）C ．（0，116]D ．[116，+∞）2．（5分）（2020•泰安模拟）已知函数f(x)=√2x −4x，则函数f(x−1)x+1的定义域为（）A ．（﹣∞，1）B ．（﹣∞，﹣1）C ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）3．（5分）（2020秋•赤峰期末）函数y =2x +4√1−x 的值域为（） A ．（﹣∞，﹣4]B ．（﹣∞，4]C ．[0，+∞）D ．[2，+∞）4．（5分）（2020秋•尧都区校级期中）若函数f （x ）的定义域为[﹣1，2]，则函数g(x)=f(x−2)√x−1的定义域是（） A ．[1，4]B ．（1，4]C ．[1，2]D ．（1，2]5．（5分）（2020秋•张家口月考）函数y =2x+1+32x +1的值域为（）A ．（0，2）B ．[2，+∞）C ．（2，3）D ．[1，2]6．（5分）（2020•湖北模拟）已知f （x ）＝1+2x ﹣|1﹣2x |，则f （x ）的值域是（） A ．（﹣∞，2]B ．（0，2]C ．（0，3]D ．[1，2]7．（5分）（2021•一模拟）若函数f （x ）＝ln （e 2x ﹣ae x +1）对x ∈R 恒有意义，则实数a 的取值范围是（） A ．（﹣∞，+∞）B ．（2，+∞）C ．（﹣2，2）D ．（﹣∞，2）8．（5分）（2020秋•玄武区校级期中）定义在R 上的函数f （x ）满足f （x +2）＝2f （x ），且当x ∈（2，4]时，f （x ）={−x 2+4x ，2＜x ≤3x 2+2x ，3＜x ≤4，g （x ）＝ax +1，对任意x 1∈（﹣2，0]，存在x 2∈[﹣2，1]，使得g （x 2）＝f （x 1），则正实数a 的取值范围为（） A ．[18，+∞）B ．（0，8]C ．（0，18]D ．[8，+∞）二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2021春•渝中区校级月考）已知函数f （x ）＝32x ﹣2•3x +2，定义域为M ，值域为[1，2]，则下列说法中一定正确的是（） A ．M ＝[0，log 32] B ．M ⊆（﹣∞，log 32]C ．log 32∈MD ．0∈M10．（5分）（2020秋•温州期末）已知函数f （x ）＝|log 2x |的值域是[0，2]，则其定义域可能是（） A ．[18，4]B ．[14，4]C ．[14，2]D ．[12，2]11．（5分）（2021春•南山区校级期中）下列求函数值域正确的是（） A ．函数y =5x−14x+2，x ∈[﹣3，﹣1]的值域是{y|y ≠54} B ．函数y =x x 2−3x+1的值域是{y|y ≤−1，y ≥−15}C ．函数y =sinx+1x−2，x ∈[π2，2)∪(2，π]的值域是{y|y ≤4π−4，y ≥1π−2}D ．函数y =x +√1−x 2的值域是{y|−1≤y ≤√2}12．（5分）（2020秋•澄海区校级期中）定义min {a ，b }={a ，a ≤bb ，a ＞b ，若函数f （x ）＝min {x 2﹣3x +3，﹣|x ﹣3|+3}，且f （x ）在区间[m ，n ]上的值域为[34，74]，则区间[m ，n ]长度可以是（） A ．74B ．72C ．114D ．1三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2020•驻马店模拟）函数f （x ）=√x （√x −4）+x ﹣1的值域为．14．（5分）（2021•天河区三模）已知函数f （x ）=13x 3﹣x 的值域为[−23，23]，则f （x ）的定义域可以是 .（写出一个符合条件的即可）15．（5分）（2020秋•郑州期中）若函数f （x ）=√ax +ax+1的定义域为R ，则实数a 的取值范围是．16．（5分）（2021春•南山区校级期中）规定：若函数f （x ）在定义域[m ，n ]（1＜m ＜n ）上的值域是[m 3，n3]，则称该函数为“微微笑”函数．已知函数f（x）＝a x（a＞0且a≠1）为“微微笑”函数，则a的取值范围是．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2020秋•仁寿县校级期中）求下列函数的定义域．①y＝2√x−2；②y＝log x（﹣x2+2x+8）．18．（12分）（2020秋•下城区校级期中）求下列两个函数的值域．（1）y=2x2−x+1 x2−x+1；（2）y＝x+√2x+1．19．（12分）（2020秋•洛龙区校级月考）已知函数f（x）=√x+1+1√2−x的定义域是A，函数g（x）＝x2+2x在[m，1]上的值域是[﹣1，3]，且实数m的取值范围所组成的集合是B．（1）分别求出定义域A与集合B；（2）设集合C＝{x|x＜2a﹣6或x＞a}．若B∩C＝∅，求实数a的取值范围．20．（12分）（2020•辽宁模拟）已知函数f（x）＝ln（|x﹣1|﹣|x+2|﹣m）．（1）当m＝2时，求函数y＝f（x）的定义域；（2）已知函数f（x）的定义域为R，求实数m的取值范围．21．（12分）（2020秋•温州期中）如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”．已知函数f(x)=√ax2+bx+a+1的定义域为{x|ax2+bx+a+1≥0，且x≥0}．（Ⅰ）若a＝﹣2，b＝3，求f（x）的定义域；（Ⅱ）当a＝1时，若f（x）为“同域函数”，求实数b的值；（Ⅲ）若存在实数a＜0且a≠﹣1，使得f（x）为“同域函数”，求实数b的取值范围．22．（12分）（2020秋•成都期中）已知函数f（x）＝ln（e2x﹣2e x+a）﹣x，e为自然对数的底数（e＝2.71828…）．（1）当a＝﹣3时，求f（x）的定义域；（2）若a＞1，讨论x∈[0，ln3]时，f（x）的值域．专题2.4 函数的定义域与值域-重难点题型精练参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（5分）（2020•湖南模拟）函数f （x ）＝（12）x 2−6x+5的值域为（）A ．（0，16]B ．[16，+∞）C ．（0，116]D ．[116，+∞）【解题思路】利用换元法，结合二次函数的性质求出t 的范围，结合指数函数的单调性进行求解即可．【解答过程】解：x 2﹣6x +5＝（x ﹣3）2﹣4≥﹣4，设t ＝x 2﹣6x +5，则t ≥﹣4，则y ＝（12）t ，为减函数，则0＜y ≤（12）﹣4＝16，故函数的值域为（0，16]，故选：A ．2．（5分）（2020•泰安模拟）已知函数f(x)=x√2x −4x，则函数f(x−1)x+1的定义域为（）A ．（﹣∞，1）B ．（﹣∞，﹣1）C ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）【解题思路】由已知函数可求f （x ）的定义域，然后结合复合函数的定义域的求解即可．【解答过程】解：令2x ＞4x ，即2x ＜1，解得x ＜0．若f(x−1)x+1有意义，则{x −1＜0，x +1≠0，即x ∈（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）．故选：D ．3．（5分）（2020秋•赤峰期末）函数y =2x +4√1−x 的值域为（） A ．（﹣∞，﹣4]B ．（﹣∞，4]C ．[0，+∞）D ．[2，+∞）【解题思路】利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数最值性质进行求解即可．【解答过程】解：设t =√1−x ，则t ≥0，则x ＝1﹣t 2，则函数等价为y ＝2（1﹣t 2）+4t ＝﹣2t 2+4t +2，对称轴为t =−42×(−2)=1，则当t ＝1时，函数取得最大值y ＝﹣2+4+2＝4，即y ≤4，即函数的值域为（﹣∞，4]，故选：B ．4．（5分）（2020秋•尧都区校级期中）若函数f （x ）的定义域为[﹣1，2]，则函数g(x)=f(x−2)√x−1的定义域是（） A ．[1，4]B ．（1，4]C ．[1，2]D ．（1，2]【解题思路】根据函数f （x ）的定义域，列出使函数g(x)=√x−1有意义的不等式组，求出解集即可．【解答过程】解：由函数f （x ）的定义域为[﹣1，2]，令{−1≤x −2≤2x −1＞0，解得1＜x ≤4，所以函数g(x)=√x−1的定义域是（1，4]．故选：B ．5．（5分）（2020秋•张家口月考）函数y =2x+1+32x +1的值域为（）A ．（0，2）B ．[2，+∞）C ．（2，3）D ．[1，2]【解题思路】由常数分离法可得y =2+12x+1，由指数函数的性质即可求得值域．【解答过程】解：y =2x+1+32x +1=2+12x +1，0＜12x +1＜1，∴2＜y ＜3．即函数的值域为（2，3）．故选：C ．6．（5分）（2020•湖北模拟）已知f （x ）＝1+2x ﹣|1﹣2x |，则f （x ）的值域是（） A ．（﹣∞，2]B ．（0，2]C ．（0，3]D ．[1，2]【解题思路】可讨论x ≤0和x ＞0，从而可去掉原函数中的绝对值，然后即可得出f （x ）的取值范围，即得出f （x ）的值域．【解答过程】解：①当x ≤0时，0＜2x ≤1， ∴f （x ）＝1+2x ﹣1+2x ＝2•2x ， ∵0＜2x ≤1， ∴0＜2•2x ≤2， ∴0＜f （x ）≤2； ②当x ＞0时，2x ＞1，∴f （x ）＝1+2x +1﹣2x ＝2， ∴f （x ）的值域为（0，2]．故选：B ．7．（5分）（2021•一模拟）若函数f （x ）＝ln （e 2x ﹣ae x +1）对x ∈R 恒有意义，则实数a 的取值范围是（） A ．（﹣∞，+∞）B ．（2，+∞）C ．（﹣2，2）D ．（﹣∞，2）【解题思路】根据对数函数以及指数函数的性质求出a 的取值范围即可．【解答过程】解：由题意得：e 2x ﹣ae x +1＞0恒成立，即a ＜e 2x +1e x =e x +1ex 恒成立，∵e x +1e x ≥2，当且仅当e x ＝1即x ＝0时“＝”成立，故a ＜2，故选：D ．8．（5分）（2020秋•玄武区校级期中）定义在R 上的函数f （x ）满足f （x +2）＝2f （x ），且当x ∈（2，4]时，f （x ）={−x 2+4x ，2＜x ≤3x 2+2x ，3＜x ≤4，g （x ）＝ax +1，对任意x 1∈（﹣2，0]，存在x 2∈[﹣2，1]，使得g （x 2）＝f （x 1），则正实数a 的取值范围为（） A ．[18，+∞）B ．（0，8]C ．（0，18]D ．[8，+∞）【解题思路】求出f （x ）在[2，4]上的值域，利用f （x ）的性质得出f （x ）在[﹣2，0]上的值域，再求出g （x ）在[﹣2，1]上的值域，根据题意得出两值域的包含关系，从而解出a 的范围．【解答过程】解：当x ∈[2，4]时，f （x ）={−x 2+4x ，2＜x ≤3x 2+2x ，3＜x ≤4，可得f （x ）在[2，3]上单调递减，在（3，4]上单调递增， ∴f （x ）在[2，3]上的值域为[3，4]，在（3，4]上的值域为（113，92]，∴f （x ）在[2，4]上的值域为[3，92]，∵f （x +2）＝2f （x ），∴f （x ）=12f （x +2）=14f （x +4）， ∴f （x ）在[﹣2，0]上的值域为[34，98]，当a ＞0时，g （x ）为增函数，g （x ）＝ax +1在[﹣2，1]上的值域为[﹣2a +1，a +1]，∴{34≥1−2a 98≤1+a ，解得a ≥18；故a 的范围是a ≥18，故选：A ．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2021春•渝中区校级月考）已知函数f （x ）＝32x ﹣2•3x +2，定义域为M ，值域为[1，2]，则下列说法中一定正确的是（） A ．M ＝[0，log 32] B ．M ⊆（﹣∞，log 32]C ．log 32∈MD ．0∈M【解题思路】令t ＝3x （t ＞0），原函数化为g （t ）＝t 2﹣2•t +2＝（t ﹣1）2+1，由其值域为[1，2]，可得t 的范围，结合图象分析四个选项得答案．【解答过程】解：令t ＝3x （t ＞0），原函数化为f （x ）＝g （t ）＝t 2﹣2•t +2＝（t ﹣1）2+1，由g （t ）＝1，得t ＝1，即3x ＝1，得x ＝0；由g （t ）＝2，得t ＝0（舍）或2，即x ＝log 32．根据t ＝3x 与g （t ）的图象特征，知0∈M ，log 32∈M ，M ⊆（﹣∞，log 32]，故选故选：BCD ．10．（5分）（2020秋•温州期末）已知函数f （x ）＝|log 2x |的值域是[0，2]，则其定义域可能是（） A ．[18，4]B ．[14，4]C ．[14，2]D ．[12，2]【解题思路】根据值域先求出f （x ）＝2对应x 的值，结合对数函数的性质进行判断即可．【解答过程】解：由f （x ）＝2，得log 2x ＝±2，即x ＝4或14，即x ＝4，14至少取一个，且定义域内必须包含x ＝1，则A 不可以，B 可以，C 可以，D 不可以，故选：BC ．11．（5分）（2021春•南山区校级期中）下列求函数值域正确的是（） A ．函数y =5x−14x+2，x ∈[﹣3，﹣1]的值域是{y|y ≠54} B ．函数y =x x 2−3x+1的值域是{y|y≤−1，y ≥−15}C ．函数y =sinx+1x−2，x ∈[π2，2)∪(2，π]的值域是{y|y ≤4π−4，y ≥1π−2}D ．函数y =x +√1−x 2的值域是{y|−1≤y ≤√2}【解题思路】利用分离参数法求解选项A ，利用判别式法求解选项B ，利用单调性法求解选项C ，利用换元法求解选项D ．【解答过程】解：对于A ，函数y =5x−14x+2=54−74(2x+1)，因为x ∈[﹣3，﹣1]，所以﹣5≤2x +1≤﹣1，故720≤−74(2x+1)≤74，所以85≤y ≤3，则函数的值域为[85，3]，故选项A 错误；对于B ，当x ＝0时，y ＝0；当y ≠0时，则有yx 2﹣（3y +1）x +y ＝0，所以△＝（3y +1）2﹣4y 2≥0，解得y ≤﹣1或y ≥−15；综上所述，函数的值域为{y|y ≤−1或y ≥−15}，故选项B 正确；对于C ，因为y′=(x−2)cosx−sinx−1(x−2)2＜0在[π2，2)∪（2，π]上恒成立，故函数y =sinx+1x−2在[π2，2)和（2，π]上单调递减，且x ＝2是函数的渐近线，故函数y =sinx+1x−2的值域为是{y|y ≤4π−4或y ≥1π−2}，故选项C 正确；对于D ，函数y =x +√1−x 2，设x ＝cos α，α∈[0，π]，所以y ＝cos α+sin α=√2sin(α+π4)，因为α∈[0，π]，所以α+π4∈[π4，5π4]，故sin(α+π4)∈[−√22，1]，所以函数的值域为{y|−1≤y ≤√2}，故选项D 正确．故选：BCD ．12．（5分）（2020秋•澄海区校级期中）定义min {a ，b }={a ，a ≤bb ，a ＞b ，若函数f （x ）＝min {x 2﹣3x +3，﹣|x ﹣3|+3}，且f （x ）在区间[m ，n ]上的值域为[34，74]，则区间[m ，n ]长度可以是（） A ．74B ．72C ．114D ．1【解题思路】根据定义作出函数f （x ）的解析式和图象，根据函数值域，求出对应点的坐标，利用数形结合进行判断即可．【解答过程】解：根据定义作出函数f （x ）的图象如图：（蓝色曲线），其中A （1，1），B （3，3），即f （x ）={3−|x −3|，x ≤1或x ≥3x 2−3x +3，1＜x ＜3，当f （x ）=34时，当x ≥3或x ≤1时，由3﹣|x ﹣3|=34，得|x ﹣3|=94，即x C =34或x G =214，当f （x ）=74时，当1＜x ＜3时，由x 2﹣3x +3=74，得x E =52，由图象知若f （x ）在区间[m ，n ]上的值域为[34，74]，则区间[m ，n ]长度的最大值为x E ﹣x C =52−34=74，故选：AD ．三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2020•驻马店模拟）函数f （x ）=√x （√x −4）+x ﹣1的值域为 [﹣3，+∞）．【解题思路】把√x 当整体，然后利用配方法求值域即可．【解答过程】解：函数的定义域为[0，+∞）．f（x）=√x（√x−4）+x﹣1=2x−4√x−1=2(√x−1)2−3≥−3，所以函数的值域为[﹣3，+∞）．故答案为：[﹣3，+∞）．14．（5分）（2021•天河区三模）已知函数f（x）=13x3﹣x的值域为[−23，23]，则f（x）的定义域可以是[﹣1，1].（写出一个符合条件的即可）【解题思路】利用导数判断函数f（x）的单调性，求出函数f（x）的极值，再根据f（x）的值域写出满足条件的f（x）的一个定义域．【解答过程】解：由函数f（x）=13x3﹣x，得f′（x）＝x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），令f′（x）＝0，解得x＝±1，所以x＜﹣1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；计算f（﹣1）=23，f（1）=−23，画出函数f（x）的图象，如图所示：因为f（x）的值域为[−23，23]，所以f（x）的定义域可以是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．15．（5分）（2020秋•郑州期中）若函数f（x）=x√ax+ax+1的定义域为R，则实数a的取值范围是0≤a＜4．【解题思路】把函数f（x）=√ax+ax+1的定义域为R，转化为ax2+ax+1＞0对任意实数x恒成立．然后分a＝0和a≠0分类求解得答案．【解答过程】解：∵函数f（x）=x√ax+ax+1的定义域为R，∴ax2+ax+1＞0对任意实数x恒成立．若a＝0，不等式成立；若a≠0，则{a＞0a2−4a＜0，解得0＜a＜4．综上：0≤a＜4．故答案为：0≤a＜4．16．（5分）（2021春•南山区校级期中）规定：若函数f（x）在定义域[m，n]（1＜m＜n）上的值域是[m3，n3]，则称该函数为“微微笑”函数．已知函数f（x）＝a x（a＞0且a≠1）为“微微笑”函数，则a的取值范围是(1，e 3 e)．【解题思路】利用已知的新定义，将问题转化为方程a x＝x3有两个不相等的实数根，然后两边取自然对数，转化为lna=3lnxx(x＞1)有两个不相等的实数根，构造函数，由函数的额单调性求解函数的值域，即可求出a的取值范围．【解答过程】解：由题意可得，函数f（x）＝a x在定义域[m，n]上的值域为[m3，n3]，故方程a x＝x3（x＞1）有两个不相等的实数根，即lna x＝lnx3（x＞1）有两个不相等的实数根，所以lna=3lnxx(x＞1)有两个不相等的实数根，令g(x)=3lnxx(x＞1)，则g′(x)=3−3lnxx2，所以当x＞e时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，当1＜x＜e时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，所以当x＝e时，函数g（x）取得最大值g（e）=3 e，又当x→+∞时，g（x）＞0，g（1）＝0，所以0＜g(x)≤3 e，又因为lna=3lnxx(x＞1)有两个不相等的实数根，所以0＜lna＜3e，解得1＜a＜e3e，则a的取值范围是(1，e 3 e)．故答案为：(1，e 3 e)．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2020秋•仁寿县校级期中）求下列函数的定义域．①y ＝2√x−2；②y ＝log x （﹣x 2+2x +8）．【解题思路】①根据二次根式的性质求出函数的定义域即可；②根据对数函数的性质求出函数的定义域即可．【解答过程】解：①由题意得：x ﹣2≥0，解得：x ≥2，故函数的定义域是[2，+∞），②由题意得：{x ＞0且x ≠1−x 2+2x +8＞0，解得：0＜x ＜1或1＜x ＜4，故函数的定义域是（0，1）∪（1，4）．18．（12分）（2020秋•下城区校级期中）求下列两个函数的值域．（1）y =2x 2−x+1x 2−x+1；（2）y ＝x +√2x +1．【解题思路】（1）设t ＝x ﹣1，代入后利用分离法，结合基本不等式可求；（2）利用换元法，结合二次函数的性质可求．【解答过程】解：（1）设t ＝x ﹣1，则y =2x 2−x+1x 2−x+1=2(x 2−x+1)x 2−x+1+x−1x 2−x+1=2+x−1x 2−x+1，＝2+t(t+1)2−(t+1)+1=2+tt 2+t+1=2+1t+1t +1，当t ＞0时，t +1t +1≥3，2＜y ≤73，当t ＝0时，y ＝2，当t ＜0时，t +1t +1≤−1，1≤y ＜2，综上，函数的值域[1，73]；（2）令t =√2x +1，则x =t 2−12且t ≥0，所以y ＝x +√2x +1=t 2−12+t =12(t +1)2−1在[0，+∞）上单调递增，故当t ＝0时函数取得最小值−12，故函数的值域[−12，+∞）．19．（12分）（2020秋•洛龙区校级月考）已知函数f （x ）=√x +1+1√2−x 的定义域是A ，函数g （x ）＝x 2+2x 在[m ，1]上的值域是[﹣1，3]，且实数m 的取值范围所组成的集合是B ．（1）分别求出定义域A 与集合B ；（2）设集合C ＝{x |x ＜2a ﹣6或x ＞a }．若B ∩C ＝∅，求实数a 的取值范围．【解题思路】（1）求解f （x ）中x 的范围可得集合A ，根据二次函数的性质求解值域可得集合B ．（2）根据B ∩C ＝∅得到{2a −6≤−3a ≥−1，即可求解a 的范围．【解答过程】解：（1）由题意得{x +1≥02−x ＞0，∴﹣1≤x ＜2，∴A ＝[﹣1，2）， ∵g （x ）＝x 2+2x ＝（x +1）2﹣1，∴当x ＝﹣1时，g （x ）的最小值为﹣1，∵函数g （x ）在[m ，1]的值域为[﹣1，3]，∴﹣3≤m ≤﹣1，∴B ＝[﹣3，﹣1]，（2）∵B ∩C ＝∅，∴{2a −6≤−3a ≥−1，∴﹣1≤a ≤32， ∴a 的取值范围为[﹣1，32]． 20．（12分）（2020•辽宁模拟）已知函数f （x ）＝ln （|x ﹣1|﹣|x +2|﹣m ）．（1）当m ＝2时，求函数y ＝f （x ）的定义域；（2）已知函数f （x ）的定义域为R ，求实数m 的取值范围．【解题思路】（1）根据真数大于零，分类讨论去绝对值，解含绝对值的不等式即可；（2）函数f （x ）的定义域为R ，转化为m ＜|x +2|﹣|x ﹣1|在x ∈（﹣∞，+∞）上恒成立；只要m ＜[|x +2|﹣|x ﹣1|]min 即可．【解答过程】解：（1）当m ＝2时，解|x ﹣1|﹣|x +2|＞2，当x ＜﹣2时，得1﹣x ﹣（﹣x ﹣2）＞2，即3＞2恒成立；∴x ＜﹣2；当﹣2≤x ＜1时，得1﹣x ﹣（x +2）＞2，即x ＜−32；∴﹣2≤x ＜−32；当x ≥1时，得x ﹣1﹣（x +2）＞2，即﹣3＞2不成立；综上可得，x ＜−32；∴定义域为{x |x ＜−32}．（2）由已知|x ﹣1|﹣|x +2|﹣m ＞0，即m ＜|x +2|﹣|x ﹣1|在x ∈（﹣∞，+∞）上恒成立；又因为|x +2|﹣|x ﹣1|＝﹣（|x ﹣1|﹣|x +2|）≥﹣|（x ﹣1）﹣（x +2）|＝﹣3；∴m ＜﹣3．21．（12分）（2020秋•温州期中）如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”．已知函数f(x)=√ax 2+bx +a +1的定义域为{x |ax 2+bx +a +1≥0，且x ≥0}．（Ⅰ）若a ＝﹣2，b ＝3，求f （x ）的定义域；（Ⅱ）当a ＝1时，若f （x ）为“同域函数”，求实数b 的值；（Ⅲ）若存在实数a ＜0且a ≠﹣1，使得f （x ）为“同域函数”，求实数b 的取值范围．【解题思路】（Ⅰ）直接利用函数的关系式求出函数的定义域；（Ⅱ）直接利用定义性函数的应用和分类讨论思想的应用求出b 的值；（Ⅲ）利用同域函数的应用和分类讨论思想的应用求出参数b 的取值范围．【解答过程】解：（Ⅰ）当a ＝﹣2，b ＝3时，由题意知：，解得：12≤x ≤1．∴f （x ）的定义域为[12，1]；（Ⅱ）当a ＝1时，f(x)=√x 2+bx +2(x ≥0)，（1）当−b 2≤0，即b ≥0时，f （x ）的定义域为[0，+∞），值域为[√2，+∞)，∴b ≥0时，f （x ）不是“同域函数”．（2）当−b 2＞0，即b ＜0时，当且仅当Δ＝b 2﹣8＝0时，f （x ）为“同域函数”．∴b =−2√2．综上所述，b 的值为−2√2．（Ⅲ）设f （x ）的定义域为A ，值域为B ．（1）当a ＜﹣1时，a +1＜0，此时，0∉A ，0∈B ，从而A ≠B ，∴f （x ）不是“同域函数”．（2）当﹣1＜a ＜0，即a +1＞0，设x 0=−b−√b 2−4a(a+1)2a ，则f （x ）的定义域A ＝[0，x 0]．①当−b 2a ≤0，即b ≤0时，f （x ）的值域B =[0，√a +1]．若f （x ）为“同域函数”，则x 0=√a +1，从而，b =−(√a +1)3，又∵﹣1＜a ＜0，∴b 的取值范围为（﹣1，0）．②当−b 2a ＞0，即b ＞0时，f （x ）的值域B =[0，√4a(a+1)−b 24a]．若f （x ）为“同域函数”，则x 0=√4a(a+1)−b 24a ，从而，b =√b 2−4a(a +1)(√−a −1)（*）此时，由√−a −1＜0，b ＞0可知（*）不成立．综上所述，b 的取值范围为（﹣1，0）．22．（12分）（2020秋•成都期中）已知函数f （x ）＝ln （e 2x ﹣2e x +a ）﹣x ，e 为自然对数的底数（e ＝2.71828…）．（1）当a ＝﹣3时，求f （x ）的定义域；（2）若a ＞1，讨论x ∈[0，ln 3]时，f （x ）的值域．【解题思路】（1）要使f （x ）＝ln （e 2x ﹣2e x ﹣3）﹣x 有意义，必须且只需e 2x ﹣2e x ﹣3＞0，解出即可得出．（2）f(x)=ln(e 2x −2e x +a)−lne x =ln(e x −2+a e x )，设e x =t ，e x −2+a e x =t +a t −2=g(t)，由x ∈[0，ln 3]，可得t ∈[1，3]．证明函数g(t)=t +a t −2(a ＞0)在(0，√a]内为减函数，在[√a ，+∞)内为增函数．对a 分类讨论即可得出．【解答过程】解：（1）要使f （x ）＝ln （e 2x ﹣2e x ﹣3）﹣x 有意义，必须且只需e 2x ﹣2e x ﹣3＞0即（e x +1）（e x ﹣3）＞0，∵e x +1＞0，∴e x ﹣3＞0，∴e x ＞3，x ＞ln 3，∴f （x ）的定义域为（ln 3，+∞）．（2）f(x)=ln(e 2x −2e x +a)−lne x =ln(e x −2+a e x )，设e x =t ，e x −2+a e x =t +a t −2=g(t)，∵x ∈[0，ln 3]，∴t ∈[1，3]．下面证明函数g(t)=t +a t −2(a ＞0)在(0，√a]内为减函数，在[√a ，+∞)内为增函数．设t 2＞t 1≥√a ，g(t 2)−g(t 1)=a t 2+t 2−a t 1−t 1=a(t 1−t 2)t 2t 1+t 2−t 1=(t 2−t 1)(t 1t 2−a)t 2t 1，∵t2＞t1≥√a，∴t2﹣t1＞0，t2t1﹣a＞0，∴g（t2）﹣g（t1）＞0，∴g（t）在[√a，+∞)内为增函数；同理可证，g（t）在(0，√a]内为减函数．当√a≥3，即a≥9时（等号必须取），g（t）在[1，3]上为减函数，g(t)min=g(3)=a3+1，g(t)max=g(1)=a−1，∴g（t）的值域为[a3+1，a−1]．∴a≥9时，f（x）的值域为[ln(a3+1)，ln(a−1)]．当1＜a＜9时（不能等于9），1＜√a＜3，g（t）在[1，√a]上为减函数，在[√a，3]上为增函数，∴g(t)min=g(√a)=2√a−2＞0，g（t）max为g（1）与g（3）中的较大者，g(1)=a−1，g(3)=a 3 +1，g(1)−g(3)=2(a−3)3，当1＜a＜3时，g(t)max=g(3)=a3+1，∴g（t）的值域为[2√a−2，a3+1]，f（x）的值域为[ln(2√a−2)，ln(a3+1)]．当3≤a＜9时（可以在上面取等于3），g（t）max＝g（1）＝a﹣1，∴g（t）的值域为[2√a−2，a−1]，f （x）的值域为[ln(2√a−2)，ln(a−1)]．综上所述，当1＜a≤3时（可以取等于3），f（x）的值域为[ln(2√a−2)，ln(a3+1)]；当3≤a＜9时（可以在上面取等于3），f（x）的值域为[ln(2√a−2)，ln(a−1)]当a≥9时，f（x）的值域为[ln(a3+1)，ln(a−1)]。