1.1.1 空间向量及其加减运算(学生版)
空间向量及线性运算
如图，如果表示向量的有向线段所在的直线OA与直线平行或重
合，那么称向量平行于直线.
如果直线OA平行于平面α或在平面α内,那么称向量平行于平面α．平
行于同一个平面的向量，叫做共面向量.
我们知道，任意两个空间向量总
是共面的，但三个空间向量既可能是
共面的，也可能是不共面的．那么，
线所表示的向量．
B'
D
A
C
B
知识点二 空间向量的加减运算及运算律
探究 对任意两个空间向量与，如果=λ (λ∈R)，与有什么位置关
系?反过来，与有什么位置关系时，=λ?
对任意两个空间向, (≠0)， ∥ 的充要条件是存在实数，
使 = .
知识点二 空间向量的加减运算及运算律
(4) +
解析：(1) ′ − = ’-=’ + =’;
(2)′ + +’’=’+’’=’;
(3) − + ’’=+’’=+=0
(4) + =+=
'
A'
D
A
C'
C
F
E
B
―→
―→
2．已知非零向量 e1，e2 不共线，如果 AB ＝e1＋e2， AC ＝
量的线性运算推广到空间，定义空间向量的加法、减法以及数乘运算：
1 + = + =
与平面向量一样，空间向量的线性运算满足
2 − = − =
以下运算律(其中λ，μ∈R):
3 当 > 0时， = =
当 < 0时， = =
【高中数学】第1章 1.1.1 空间向量及其运算【新教材】人教B版(2019)高中数学选择性必修第
1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其运算学习目标核心素养1．了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共面向量等概念．(重点)2．会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，掌握数乘向量运算的意义及运算律．(重点、易混点)3．掌握两个向量数量积的概念、性质及运算律．(重点、易错点) 1．通过空间向量有关概念的学习，培养数学抽象素养．2．借助于空间向量的线性运算，提升数学运算素养．3．借助于空间向量的数量积，提升数学运算及逻辑推理的数学素养．国庆节期间，某游客从上海世博园(O)游览结束后乘车到外滩(A)观赏黄浦江，然后抵达东方明珠(B)游玩，如图1，游客的实际位移是什么？可以用什么数学概念来表示这个过程？如果游客还要登上东方明珠顶端(D)俯瞰上海美丽的夜景，如图2，那实际发生的位移是什么？又如何表示呢？图1图21．空间向量(1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量． (2)模(或长度)：向量的大小． (3)表示方法：①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A 终点为B 的向量，记为AB →，模为|AB →|．②字母表示法：可以用字母a ，b ，c ，…表示，模为|a |，|b |，|c |，…． 2．几类特殊的向量(1)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0． (2)单位向量：模等于1的向量称为单位向量．(3)相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量． (4)相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量．(5)平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行．(6)共面向量：一般地，空间中的多个向量，如果表示它们的有向线段通过平移后，都能在同一平面内，则称这些向量共面．思考：空间中任意两个向量共面吗？空间中任意三个向量呢？[提示] 空间中任意两个向量都是共面的，但空间中任意三个向量不一定共面．3．空间向量的线性运算类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算．图1 图2(1)如图1，OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ，CA →＝OA →－OC →＝a －b ． (2)如图2，DA →＋DC →＋DD 1→＝DB 1→．即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量．(3)给定一个实数λ与任意一个空间向量a，则实数λ与空间向量a相乘的运算称为数乘向量，记作λa．其中：①当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向：(ⅰ)当λ＞0时，与a的方向相同；(ⅱ)当λ＜0时，与a的方向相反．②当λ＝0或a＝0时，λa＝0．(4)空间向量的线性运算满足如下运算律：对于实数λ与μ，向量a与b，有①λa＋μa＝(λ＋μ)a；②λ(a＋b)＝λa＋λb．4．空间向量的数量积(1)空间向量的夹角如果〈a，b〉＝π2，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b．(2)空间向量数量积的定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积(或内积)，记作a·b．(3)数量积的几何意义①向量的投影如图所示，过向量a的始点和终点分别向b所在的直线作垂线，即可得到向量a在向量b上的投影a′.②数量积的几何意义：a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b 的长度的乘积，特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a′的数量．规定零向量与任意向量的数量积为0.(4)空间向量数量积的性质：①a⊥b⇔a·b＝0；②a·a＝|a|2＝a2；③|a·b|≤|a||b|；④(λa)·b＝λ(a·b)；⑤a·b＝b·a(交换律)；⑥(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小．()(2)两个相反向量的和为零向量．()(3)只有零向量的模等于0．()(4)空间中任意两个单位向量必相等．()[答案](1)√(2)√(3)√(4)×[提示]大小相等，而且方向相同的向量才是相等向量；大小相等，方向相反的两个向量称为相反向量；任意两个单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故不一定相等．2．下列命题中正确的是()A．(a·b)2＝a2·b2B．|a·b|≤|a||b|C．(a·b)·c＝a·(b·c)D．若a⊥(b－c)，则a·b＝a·c＝0B[对于A项，左边＝|a|2|b|2cos2〈a，b〉，右边＝|a|2|b|2，∴左边≤右边，故A 错误．对于C 项，数量积不满足结合律，∴C 错误．在D 中，a·(b －c )＝0，∴a·b －a·c ＝0，∴a·b ＝a·c ，但a·b 与a·c 不一定等于零，故D 错误．对于B 项，∵a·b ＝|a||b |cos 〈a ，b 〉，－1≤cos 〈a ，b 〉≤1， ∴|a·b |≤|a||b |，故B 正确．] 3．(教材P 11练习A ②改编)化简：(1)12(a ＋2b －3c )＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －12b ＋23c ＝________；(2)(AB →－CD →)－(AC →－BD →)＝________．(1)236a －32b ＋116c (2)0 [(1)原式＝12a ＋b －32c ＋103a －52b ＋103c ＝236a －32b ＋116c ．(2)原式＝AB →－AC →－CD →＋BD →＝CB →＋BD →－CD → ＝CD →－CD → ＝0．]4．如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，则(1)〈AB →，A 1C 1→〉＝________； (2)〈AB →，C 1A 1→〉＝________； (3)〈AB →，A 1D 1→〉＝________．(1)45° (2)135° (3)90°[(1)因为A 1C 1→＝AC →，所以〈AB →，A 1C 1→〉＝〈AB →，AC →〉． 又∠CAB ＝45°，所以〈AB →，A 1C 1→〉＝45°．(2)〈AB →，C 1A 1→〉＝180°－〈AB →，A 1C 1→〉＝135°． (3)〈AB →，A 1D 1→〉＝90°．]空间向量的概念及简单应用【例1】 (1)下列说法中正确的是 ( )A ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．空间向量的减法满足结合律D ．在四边形ABCD 中，一定有AB →＋AD →＝AC →B [|a |＝|b |，说明a 与b 模长相等，但方向不确定．对于a 的相反向量b ＝－a ，故|a |＝|b |，从而B 正确．只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有AB →＋AD →＝AC →，只有平行四边形才能成立．故A 、C 、D 均不正确．](2)如图所示，以长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中：①试写出与AB →是相等向量的所有向量； ②试写出AA 1→的相反向量；③若AB ＝AD ＝2，AA 1＝1，求向量AC 1→的模．[解] ①与向量AB →是相等向量的(除它自身之外)有A 1B 1→，DC →及D 1C 1→，共3个． ②向量AA 1→的相反向量为A 1A →，B 1B →，C 1C →，D 1D →． ③|AC 1→|＝|AB →|2＋|AD →|2＋|AA 1→|2＝22＋22＋12＝9＝3．1．两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．2．熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键．[跟进训练] 1．给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的始点和终点分别相同； ②在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→；③若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ．其中不正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3B [两个空间向量相等，它们的始点、终点不一定相同，故①不正确；在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→成立，故②正确；③显然正确．故选B ．]2．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列四对向量：①AB →与C 1D 1→；②AC 1→与BD 1→；③AD 1→与C 1B →；④A 1D →与B 1C →．其中互为相反向量的有n 对，则n 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [对于①AB →与C 1D 1→，③AD 1→与C 1B →长度相等，方向相反，互为相反向量；对于②AC 1→与BD 1→长度相等，方向不相反；对于④A 1D →与B 1C →长度相等，方向相同．故互为相反向量的有2对．]空间向量的线性运算【例2】 (1)如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，N 是A 1B 的中点，若CA→＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则CN →＝( )A ．12(a ＋b －c ) B ．12(a ＋b ＋c )C ．a ＋b ＋12c D ．a ＋12(b ＋c )(2)如图，已知长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．①AA ′→－CB →； ②AA ′→＋AB →＋B ′C ′→．(1)B [若AB 中点为D ，CN →＝CD →＋DN →＝12(a ＋b ＋c )，故选B ．](2)[解] ①AA ′→－CB →＝AA ′→－DA →＝AA ′→＋AD →＝AD ′→． ②AA ′→＋AB →＋B ′C ′→＝(AA ′→＋AB →)＋B ′C ′→＝AB ′→＋B ′C ′→＝AC ′→． 向量AD ′→、AC ′→如图所示：1．首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →．2．首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0．如图，OB →＋BC →＋CD →＋DE →＋EF →＋FG →＋GH →＋HO →＝0．[跟进训练]3．如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N →；(3)MP →＋NC 1→． [解] (1)∵P 是C 1D 1的中点，∴AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b ．(2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N →＝A 1A →＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC →＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c ． (3)∵M 是AA 1的中点， ∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A →＋AP →＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c ．又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→＝12AD →＋AA 1→＝12c ＋a ，∴MP →＋NC 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12c＝32a ＋12b ＋32c ．数量积的运算及应用[探究问题]1．空间两个向量夹角定义的要点是什么？[提示] (1)任意两个空间向量都是共面的，故空间向量夹角的定义与平面向量夹角的定义一样．(2)作空间两个向量夹角时要把两个向量的起点放在一起． (3)两个空间向量的夹角是唯一的，且〈a ，b 〉＝〈b ，a 〉．2．联想空间向量数量积的定义，如何求两个向量a ，b 的夹角？如何求|a ＋b |?[提示] 借助cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |，求向量a ，b 的夹角．借助|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2求模．【例3】 如图所示，已知正四面体OABC 的棱长为1，点E ，F 分别是OA ，OC 的中点．求下列向量的数量积：(1)OA →·OB →； (2)EF →·CB →；(3)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)．[思路探究] 根据数量积的定义进行计算，求出每组向量中每个向量的模以及两向量的夹角，注意充分结合正四面体的特征． [解] (1)正四面体的棱长为1，则|OA →|＝|OB →|＝1．△OAB 为等边三角形，∠AOB ＝60°，于是：OA →·OB →＝|OA →||OB →|cos 〈OA →，OB →〉 ＝|OA →||OB →|cos ∠AOB ＝1×1×cos 60°＝12．(2)由于E ，F 分别是OA ，OC 的中点，所以EF 12AC ， 于是EF →·CB →＝|EF →||CB →|cos 〈EF →，CB →〉＝12|CA →|·|CB →|cos 〈AC →，CB →〉＝12×1×1×cos 〈AC →，CB →〉＝12×1×1×cos 120°＝－14．(3)(OA →＋OB →)·(CA →＋CB →)＝(OA →＋OB →)·(OA →－OC →＋OB →－OC →)＝(OA →＋OB →)·(OA →＋OB →－2OC →)＝OA →2＋OA →·OB →－2OA →·OC →＋OB →·OA →＋OB →2－2OB →·OC →＝1＋12－2×12＋12＋1－2×12＝1．1．(变条件，变结论)若H 为BC 的中点，其他条件不变，求EH 的长．[解] 由题意知OH →＝12(OB →＋OC →)，OE →＝12OA →，∴EH →＝OH →－OE →＝ 12(OB →＋OC →－OA →)， ∴|EH →|2＝14(OB 2→＋OC →2＋OA →2＋2OB →·OC →－2OB →·OA →－2OC →·OA →)，又|OB →|＝|OC →|＝|OA →|＝1．且〈OB →，OC →〉＝60°，〈OB →，OA →〉＝60°，〈OC →，OA →〉＝60°．∴OB →·OC →＝12，OB →·OA →＝12，OC →·OA →＝12．∴|EH →|2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋1＋2×12－2×12－2×12＝12， 即|EH →|＝22，所以EH 的长为22．2．(变结论)求异面直线OH 与BE 所成角的余弦值．[解] 在△AOB 及△BOC 中，易知BE ＝OH ＝32，又BE →＝12OA →－OB →，OH →＝12(OB →＋OC →)，∴BE →·OH →＝14OA →·OB →＋14OA →·OC →－12OB →2－12OB →·OC →＝14×12＋14×12－12－12×12＝－12．∴cos 〈BE →，OH →〉＝BE →·OH →|BE →||OH →|＝－23， 又异面直线所成角的范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，故异面直线OH 与BE 所成角的余弦值为23．1．在几何体中求空间向量的数量积的步骤(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积；(3)根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模；(4)代入公式a ·b ＝|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉求解．2．非零向量a 与b 共线的条件是a ·b ＝±|a |·|b |．提醒：在求两个向量夹角时，要注意向量的方向．如本例中〈EF →，CB →〉＝〈AC →，CB →〉＝120°，易错写成60°，为避免出错，应结合图形进行计算．一、知识必备1．空间向量的基本概念，特别注意单位向量和零向量．单位向量的长度为1，方向任意．零向量的方向是任意的，与任意向量平行，零向量与任意向量的数量积为0．2．向量的线性运算包括向量的加法、减法与数乘运算．加减法运算遵循平行四边形法则和三角形法则，向量的数量积运算要注意两个向量的夹角．二、方法必备1．数形结合法：求两向量夹角时，一定要结合图形确定角的位置．2．转化法：在求异面直线所成的角时要转化为两个向量的夹角，结合异面直线所成角的范围确定．1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列各对向量夹角为45°的是( )A ．AB →与A 1C 1→ B ．AB →与CA →C ．AB →与A 1D 1→ D ．AB →与B 1A 1→A [A 、B 、C 、D 四个选项中两个向量的夹角依次是45°，135°，90°，180°，故选A ．]2．在棱长为2的正四面体ABCD 中，若E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE →·AF→等于( ) A ．0 B ．12 C ．－1 D ．1D [AE →·AF →＝12(AB →＋AC →)·12AD →＝14(AB →·AD →＋AC →·AD →)＝14×(2＋2)＝1．]3．化简：2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝________．0 [2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝2(AB →＋BC →＋CD →＋DA →)＋CD →＋DA →＋AC →＝0＋CA →＋AC →＝0＋0＝0．]4．已知|a |＝13，|b |＝19，|a ＋b |＝24，则|a －b |＝________．22 [∵|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝132＋2a·b ＋192＝242，∴2a·b ＝46，|a －b |2＝a 2－2a·b ＋b 2＝530－46＝484．∴|a －b |＝22．]高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。
1.1.1 空间向量及其线性运算(第1课时)空间向量及其线性运算
思考题1 下列命题是真命题的是( )
A．表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量 不在同一个平面内
B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反
C．若向量A→B，C→D满足|A→B|>|C→D|，且A→B与C→D同向，则A→B>C→D
√D．若两个非零向量A→B与C→D满足A→B＋C→D＝0，则A→B∥C→D
第10页
思考3 向量运算的结果与向量起点的选择有关系吗？ 提示 没有关系．
第11页
【知识拓展】 空间向量与平面向量的一致性 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完 全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为 相反向量的充要条件是两个向量的模相等，方向相反．
可以记作A→B，其模记为|a|或|A→B|.
第6页
知识点二 几类特殊的空间向量
特殊向量
定义
零向量
模为_0__的向量
单位向量
模为_1__的向量
相反向量 与向量a长度相__等__而方向_相__反_的向量
相等向量
方向_相__同_且模_相__等__的向量
表示法
0 |a|＝1或
|A→B|＝1
－a a＝b或
A→B＝C→D
第4页
课前自学
第5页
知识点一 空间向量的有关概念 (1)定义：在空间，我们把具有_大__小__和_方__向__的量叫做空间向量． (2)空间向量的长度：空间向量的_大__小__叫做空间向量的长度或模．
①几何表示法：空间向量用_有__向__线__段____表示. (3)表示法②字母表示法：若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也
提示 起点、终点未必相同．
1.1.1空间向量及其加减运算同步练习
1.1.1空间向量及其加减运算同步练习一、单项选择题1 .空间四边形OABC中,W L +AB-CB=< )A. OCB. OAC. A§D. AC【答案】A【解析】根据向量的加法、减法法那么,得方+而-丽=砺_函=历+觉=反.应选A.2 .己知D, E, F分别是aABC的边AB, BC, CA的中点,那么()A. AD + BE + CF=OB. BD-CF + DF = Oc. AD+CE-CF =6D.BD-BE-FC =6【答案】A【解析】•.•而=瓦,,病+分后=而+诟=方后=左,得而+砺+万;二.,或A5+ 卢+ C尸=4尸+.尸="应选A.3 .空间四边形ABC.中,假设E, F, G, H分别为AB, BC, CD, ZM边上的中点,那么以下各式中成立的是 ()A. EB+BF + EH+GH=6B. EB + FC + EH+GE =6c. ~EF+FG+EH+GH =6D.EF-FB+CG+GH =6【答案】B【解析】如图由题意得用+左=赤+而=育,而+历= 377,易证四边形"GH为平行四边形,故而+丽？=6应选B.4 .在直三棱柱中,假设31 = 1 丽=否,cq=c,那么奉=〔〕A・Q+I-G B. q—否+C C. -a + » + c D. -a+S-c【答案】D【解析】A^B = A}A + A]B l = —eg +GM — G4 = -CC1 +CB - CA = -c+b —ci,应选D.5 .以下命题中是真命题的是〔〕A.分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线,那么这两个向量不是共面向量B.假设|矶=同,那么无5的长度相等而方向相同或相反C.假设向量瓯函,满足|四且AB与前同向,那么血〉而D.假设两个非零向量血与丽满足荏+①=0,那么福〃前【答案】D【解析】由于空间任两向量平移之后可共面,所以空间任意两向量均共而,选项A错误；由于|4 = |可仅表示不与B的模相等,与方向无关,选项5错误：由于空间向量不研究大小关系,只能对向量的长度进行比拟,因此也就没有1月＞6这种写法,选项C错误：•;通+①=6,・・・福=—函,,而与丽共线,故而〃访,选项.正确.应选D.6 .在平行六面体ABCD--ABCD中,各条棱所在的向量中,模与向量痔的模相等的向量有〔〕A. 7个B. 3个C. 5个D. 6个【答案】A【解析】画出平行六面体结构如以下图所示所以与H9的模相等的向量有肮不,无反而,CD,DC,W,ZTb共7个.应选A7 .空间任意四个点A、B、C、D,那么丽+在一曲等于〔〕A. ~DBB. ADC. DAD. AC【答案】c【解析】如图zU + CB-COnCZ + OCnO/C应选C.8 .在三棱柱ABC-A5G中,假设A月=£,4j=反4<=3,那么G^=〔〕A・a + h - c B・a — b + c C・—a+b — c D・.一 b - c【答案】D【解析】如下图：根据向量线性运算的加法法那么有./=£4 + 4乂 + 4月=—〃—〔：+4,整理顺序得：C月=4一〃—2应选D9,P是正六边形A8COEE外一点,.为正六边形A8COEE的中央,那么尸A + P8 + PC + PO + P石+尸产等于〔〕【答案】c【解析】l^ + l^ + PC + l^b + PE + PF = 6Pd + (OA + OB + OC + OD + OE + OF) = 6PO.应选c10 .如图,直三棱柱ABC -AMG 中,假设cX = £, cB = I ；,co =c ＞那么还等于〔〕【答案】C【解析】丽=而一丽=〔屈一夕〕一直,・・・菊=西=2,二质=B —应选c.11 .如下图,在正方体A8C .-44Gq 中,以下各式中运算结果为向量4G 的是〔〕(^)(AB + BC) + CC [：②(明+4Z)]) + /)G ： (AB + 881) +AG ；④(AAj+A£) + AG ・【答案】D【解析】对于①,原式=A C+CC ； = AC ；,符合题意,对于②,原式=AZ X+AG =A C ］,符合题意对于③,原式= A8I+8C = AC ；,符合题意.对于④,原式= A3|+4C ； = AC ；,符合题意.综上所述.A. POB. 3P6 D.d A ・ a + h-cD ・ b-a + cA.①③B. @@C.③④ D . CD@③④C. 6PO B.a应选D.12 .在空间假设把平行于同一平而且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点,那么这些向量的终点构成的图形是〔〕A. 一个球B. 一个圆C.半圆D. 一个点【答案】B【解析】平行于同一平面的所有非零向量是共面向量,把它们的起点放在同一点,那么终点在同一平面内,又这些向量的长度相等,那么终点到起点的距离为定值.故在空间把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点,那么这些向量的终点构成的图形是一个圆.应选3.二、填空题13 .直三棱柱ABC —A筋G中,假设CA = d,CB=6,CC[=^ ,那么朋|=.【答案】a—b +c【解析】直三棱柱ABC —A心G中,假设c4 = qc月= 6,CC； = 1BA^ =BA + AA i =CA-CB + CCi =a-b+c故填〃一〃十,14 .在正方体ABC.—中,点M是HA1的中点,丽=Z,AD = b » A\=c,用Z,/；,2表示函,那么函=.___ _ 1【答案】CM =-a-b+-c2【解析】-CM =CB + BA + AM =-BC-AB + Mf •又・.・M是A4 的中点,/. AA/= ；A4；, 乙CM ——BC — AB 4—, •； AB = ci,AD—b > AAy = c, : .CM ——a — b H—c ,故填2 2CM = _a _ b + _ c .215 .在正方体以3C力-月6GP中,给出以下向量表达式：①〔4.；-m〕-A月：②西+竭〕-DC：③〔A D-A Q〕-DD；：④区〞+4小十.〞.其中能够化简为向量8a的是_________ .【答案】①②【解析】①中,〔A.；一=②中,〔B〔j+BB；〕 - D£； = BC； - DC = BD；；③中,〔Ab-AB〕-DD； = BD-D*BD：：④中,〔而'+而+函=而+函=瓦帝国.故填①②16 .给出以下结论：①空间任意两个共起点的向量是共而的：②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量：③空间向量的加法满足结合律：〔〃+5〕+5="+0+^〕：④首尾相接的假设干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.请将正确的说法题号填在横线上：.【答案】①©©【解析】①中,两个向量共起点,与两向量终点共有3个点,那么3点共面,可知两向量共而,①正确：②中,两个相等向量需大小相等,方向相同,②错误；③中,空间向量加法满足结合律,③正确：④中,由向量加法的三角形法那么可知④正确.故填①③④17 .如图,在长方体A8CO — A4G2中,长、宽、高分别为48 = 3, AD = 2, M = 1»以该长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中：〔1〕单位向量共有个；〔2〕模为"的向量共有个；〔3〕与4区相等的向量共有个;〔4〕eq.的相反向量共有个.Dx GA B【答案】(1)8： (2) 8： (3) 3： (4) 4.【解析】(1)由于长方体的高为1,所以长方体的4条高所对应的向量分别为4乂,BB；, B岛 cc r cQ,西,印,共8个向量,都是单位向量,而其他向量的模均不为1,故单位向量共有8个.(2)由于长方体的左、右两侧的对角线长均为、回,故模为6的向量有, A A 4.以,BC；CB,共8个.(3)与向量AR相等的所有向量(除它自身)有AR D C D G,共3个.(4)向量eq.的相反向量为A A4A C Q,〃力,共4个.故填(1) 8； (2) 8； (3) 3； (4) 4.18 .对于空间中的非零向量而,BC,AC,有以下各式：®AB + BC = AC^ ®AB-AC = BCi③网+|明=1码：④网码=|罔.其中一定不成立的是________ (填序号).【答案】②【解析】根据空间向量的加减法运算,对于①而+沅二/恒成立：对于③当而,或方向相同时,有口回+|比卜|才4；对于④当人后,衣方向相同且|而上时,^-I|/I5|-|AC|=|BC|,对于②由向量减法可知而-/=屈,所以②一定不成立.故填②三、解做题19 .如图,己知一点.到平行四边形A8C.的三个顶点A,B, C的向量分别为小号不,求功.DO【解析】由于而= OC + C.,CD = BA = OA-OB所以而= 4 + 4—5.20 .如下图,棱长为1的正三棱柱A8C-A/1G.〔1〕在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中,列举出与向量AB相等的向量: 〔2〕在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中,列举出向量4?的相反向量：〔3〕假设E是3所的中点,列举出与向量A百平行的向量.【解析】〔1〕由正三棱柱的结构特征知,与向量A月相等的向量只有AR：〔2〕向量就的相反向量为C4G4.〔3〕诲是与AE平行的向量.21 .如下图,在三棱柱ABC-45G中,M是8片的中点,化简以下各式：〔1〕万+砒；〔2〕 4月+ 4G+GC；⑶戒-的-屈；〔4〕A4〕+ AB-AM .【解析】(1) AB + B\= A\.(2)4+照+束=隔+照+汞=4d⑶ Mf-BM-CB = AM+MB + BC = AC-(4) ^A4j +AB-AM = BM + AB +MA = AB +BM +AM = O .22.如图,在空间四边形S48c中,AC,BS为其对角线,.为3c的重心.(1)证实：OA + OB + OC = 0^(2)证实：SO = L(SX + SB +元).S【解析】〔1〕由于.为△A5C的重心,所以〕=_.〔砺+ *〕①,OB=--〔BA + BC〕②,OC=-1〔CA + CB〕③.©+②+③可得9+砺+配=」印+硝」〔丽+硝」〔而+阚=0,即砺+元=0.〔2〕由于例=玄 +而®,SO = SB + BO ®^SO = SC + CO⑥,由〔1〕知〕+砺 + 反=0,所以④+⑤+⑥可得3而=〔玄+而〕+ 〔况+旃〕+ 〔豆+初〕=中+况+豆,即SO = ；〔SZ + S8 +豆〕.。
1.1空间向量及其加减、数乘运算课件(人教版)
空间向量基本定理
如果三个向量 a 、b 、c 不共面,那么对于空间任一向量 p ,存
在一的有序实数组x, y, z使 p xa yb zc .
∴点 P 与 A、B 、C 共面.
⑵必要性 ∵点 P 在平面 ABC 内, 不共线的三点 A、B 、C ∴存在有序实数对 (m, n) 使 AP mAB nAC
∴OP OA m(OBOA) n(OC OA)∴OP (1 m n)OA mOB nOC
∵OP xOA yOB zOC . 又∵点 O 在平面 ABC 外,∴ OA、OB 、OC 不共面, ∴ x 1 m n, y m, z n , ∴ x y z 1
O
O
a a
b +c
A
CA
C
bBc
bBc
空间向量加法结合律
(a O b) c a (b c)O
a
a
b +c
A b
B
C c
A b
C Bc
D1 A1
C1 B1
a
D
C
A
B
平行六面体：平行四边形ABCD按向量a 平移到
A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体.记做ABCD-A1B1C1D1
已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，用 AB, AD, AA1 表示
称为向量的数乘运算.
同样可以定义空间向量的数乘运算,其运 算律是否也与平面向量完全相同呢?
与平面向量一样，实数 与空间向量 a 的乘积 a 仍然
是一个向量，称为向量的数乘运算.
新版高中数学《1.1.1空间向量及其线性运算》教学设计
空间向量及其线性运算教学设计(人教A版普通高中教科书数学选修第一册第一章)一、教学目标1.复习空间向量的相关概念2.能够熟练应用空间向量的线性运算及运算律3.理解并掌握共线、共面定理的推论，会用共线、共面定理及其推论解决问题二、教学重难点重点：空间向量的线性运算及运算律难点：共线、共面定理的推论三、教学过程1.复习回顾知识点一：空间向量的概念1.定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量.2.长度或模：向量的大小.3.表示方法：(1)几何表示法：空间向量用有向线段表示.(2)字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：AB，其模记为a或AB.|知识点二：空间向量的线性运算知识点三：共线定理与共面定理2.空间向量概念的应用【设计意图】通过简单的习题，加深学生对于空间向量概念的理解，纠正易错点.3.空间向量的加减运算【设计意图】选自课本中本节习题，旨在让学生体会表示未知向量时，可将未知向量放入三角形中，通过向量加减的三角形法将其表示出来.4.空间向量的数乘运算【设计意图】与例2对比，此题在加减运算的基础上加入数乘运算，是一道线性运算的综合题型，通过此题可以使学生加深对空间向量线性运算的认识，提高计算能力.5.空间向量共线、共面定理【设计意图】通过将共线、共面定理的推论以思考题的形式给出，使学生在证明的过程中加深对共线、共面定理的理解与记忆，同时引出推论.【设计意图】将推论引出后通过两个较为简单的练习题，让学生初步感受共线、共面定理推论的应用.【设计意图】用共线定理及其推论两种解法解此题目，让学生再次感受共线定理及推论在证明三点共线时的应用.,,.ABCD .AC O OA,OB,OC,ODOE OF OG OHE,F,G,H ====k,OA OB OC ODE,F,G,H 例5.如图，已知平行四边形过平面外一点作射线在四条射线上分别取点使求证：四点共面1111,,,,,,.OE OF OG OH====k OA OB OC ODOA OE OB OF OC OG OD OHOA OD OB OC OE OB OC OD ∴====∴-=-∴=-+∴k k k kABCD E F G H 四边形为平行四边形四点共面【设计意图】此题是第一课时例题，用共面定理的推论给出此题目的第二种解法，让学生再次感受共面定理及推论在证明四点共面问题时的应用，以达到开拓学生的思路的目的.6.归纳小结(1).用好已有的定理及推论：如共线向量定理、共面向量定理及推论等， 并能运用它们证明空间向量的共线和共面的问题.(2).在解决空间向量问题时，结合图形，将未知向量放入三角形中，再运用向量加减的三角形法则解决问题。
数学人教A版选择性必修第一册1.1.1空间向量及其线性运算共20张ppt
ab
c
一.空间向量的概念
相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量， 同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.
空间向量是自由的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过 平移使它们的起点重合.因为两条相交直线确定一个平面，所以起点重合的两个不 共线向量可以确定一个平面，也就是说，任意两个空问向量都可以平移到同一个 平面内，成为同一平面内的两个向量。
一.空间向量的概念
空间中具有大小和方向的量叫做空间向量， 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.
表示：用字母a，b，c，…表示，或用有向线段表示， 有向线段的长度表示向量的模，a的起点是A，终点是B， 则a也可记作AB，其模记为|a|或|AB|.
A
a B A
C
O
B
一.空间向量的概念
特殊向量
A 零向量：规定长度为0的向量叫零向量，
A1A2 A2 A3 A3 A4 An1 An A1 An
A1
An 1
An A2
A3
A4
首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终 点的向量．
二.空间向量的线性运算
在空间中，任意两个向量都可以平 移到同一个平面内，所以空间向量的 加法和减法运算与平面向量相同.
（2）空间向量的减法运算： AB OB OA
注：起点相同，差向量为减向量终点指向被减向量的终点
二.空间向量的线性运算
数乘运算
实数与向量a的积是一个向量，这种 运算叫向量的数乘 . 记作 a，它的长度和方向规定 如下： (1) a a ; (2)当 0时， a的方向与a的方向相同；
当 0时， a的方向与a的方向相反； 当 0时， a 0.
向量的加、减、数乘运算统称向量的线性运算.
空间向量及其运算详细教案
空间向量及其运算3。
1。
1 空间向量及其加减运算教学目标：（1）通过本章的学习,使学生理解空间向量的有关概念。
(2）掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解。
能力目标：（1)培养学生的类比思想、转化思想,数形结合思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力。
（2）培养学生空间想象能力,能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义。
（3）培养学生空间向量的应用意识教学重点:（1）空间向量的有关概念（2）空间向量的加减运算及其运算律、几何意义.（3）空间向量的加减运算在空间几何体中的应用教学难点：（1）空间想象能力的培养,思想方法的理解和应用。
(2）空间向量的加减运算及其几何的应用和理解.考点:空间向量的加减运算及其几何意义,空间想象能力，向量的应用思想.易错点：空间向量的加减运算及其几何意义在空间几何体中的应用教学用具:多媒体教学方法：研讨、探究、启发引导。
教学指导思想:体现新课改精神，体现新教材的教学理念，体现学生探究、主动学习的思维习惯。
教学过程：（老师):同学们好！首先请教同学们一个问题：物理学中，力、速度和位移是什么量？怎样确定？（学生）:矢量，由大小和方向确定(学生讨论研究）（课件）引入：（我们看这样一个问题）有一块质地均匀的正三角形面的钢板,重500千克，顶点处用与对边成60度角，大小200千克的三个力去拉三角形钢板，问钢板在这些力的作用下将如何运动?这三个力至少多大时，才能提起这块钢板？（老师）:我们研究的问题是三个力的问题，力在数学中可以看成是什么?(学生）向量（老师）:这三个向量和以前我们学过的向量有什么不同？(学生）这是三个向量不共面（老师）：不共面的向量问题能直接用平面向量来解决么?（学生):不能，得用空间向量（老师)：是的，解决这类问题需要空间向量的知识这节课我们就来学习空间向量板书：空间向量及其运算（老师):实际上空间向量我们随处可见，同学们能不能举出一些例子？（学生)举例（老师）：然后再演示(课件）几种常见的空间向量身影。
空间向量及其加减运算
D.在 四 边 形ABCD中, 一 定 有AB AD DB; E.有 向 线 段 就 是 向 量,向 量 就 是 有 向 线 段.
例题分析
例3.已知空间四边形ABCD中,向 量AB a, AC b,
AD c, 若M为BC中 点,G为BCD的重心,
试 用a，b，c表示下列向量 (1)AG;(2)DM.
方法2: AB CD 2( NF FM ) 2NM
D
AD CB 2( NE EM ) 2NM
AB CB AD CD A
4 NM
E M
C
N F
B
有关向量的证明常用方法：
(1)正确分析被证向量式与题目中的特殊点、 特殊线段之间的关系.
(2)根据向量相等的概念,向量运算时可以根 据需要进行平移向量;
方法1: AB AD 2 AM
D
CB CD 2 CM
Hale Waihona Puke AB CB AD CDA
2( AM CM )
4 NM
M C
N
B
例题分析
例4.设 有 空 间 四 边 形ABCD , 对 角 线AC和BD 的 中 点 分 别 为N和M .
求 证 ：AB CB AD CD 4NM .
(1) AG 1 (a b c)
A
3
(2) DM DA AM
1 (a b) c 2
B
D
1 (a b 2c)
MG
2
C
例题分析
例4.设 有 空 间 四 边 形ABCD , 对 角 线AC和BD 的 中 点 分 别 为N和M .
求 证 ：AB CB AD CD 4NM .
2023-2024高中数学人教A版赢在微点选择性必修二1.1.1第1课时空间向量及其线性运算 有答案
1.1.1 空间向量及其线性运算 第1课时 空间向量及其线性运算学习目标 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念.2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程.3.掌握空间向量的线性运算． 一、空间向量的有关概念 知识梳理1．在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模． 空间向量用字母a ，b ，c ，…表示，也用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模，若向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可以记作AB →，其模记为|a |或|AB →|. 2．几类特殊的空间向量名称 定义及表示零向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量 模为1的向量叫做单位向量相反向量与向量a 长度相等而方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记为－a 共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a ，都有0∥a相等向量 方向相同且模相等的向量叫做相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量注意点：(1)平面向量是一种特殊的空间向量．(2)两个向量相等的充要条件为长度相等，方向相同． (3)向量不能比较大小．(4)向量共线不具备传递性(非零向量除外)．例1 下列关于空间向量的说法中正确的是( ) A ．单位向量都相等B ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等而方向相同或相反C ．若向量AB →，CD →满足|AB →|>|CD →|，则AB →>CD →D ．相等向量其方向必相同 答案 D解析 A 中，单位向量长度相等，方向不确定； B 中，|a |＝|b |只能说明a ，b 的长度相等而方向不确定； C 中，向量不能比较大小．反思感悟 空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他相关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以拓展为空间向量的相关概念． 跟踪训练1 (多选)下列说法错误的是( ) A ．任意两个空间向量的模能比较大小B ．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C ．空间向量就是空间中的一条有向线段D ．不相等的两个空间向量的模必不相等 答案 BCD解析 对于选项A ，向量的模即向量的长度，是一个数量，所以任意两个向量的模可以比较大小；对于选项B ，其终点构成一个球面； 对于选项C ，零向量不能用有向线段表示；对于选项D ，两个向量不相等，它们的模可以相等． 二、空间向量的加减运算问题 空间中的任意两个向量是否共面？为什么？提示 共面，任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内，因此空间中向量的加减运算与平面中一致． 知识梳理加法运算三角形法则语言叙述首尾顺次相接，首指向尾为和图形叙述平行四边形法则语言叙述共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和图形叙述减法运算 三角形 法则 语言叙述共起点，连终点，方向指向被减向量图形叙述加法运算交换律 a ＋b ＝b ＋a 结合律(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )注意点：(1)求向量和时，可以首尾相接，也可共起点；求向量差时，可以共起点． (2)三角形法则、平行四边形法则在空间向量中也适用．例2 (1)(多选)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式运算结果为BD 1—→的是( )A.A 1D 1——→－A 1A —→－AB →B.BC →＋BB 1—→－D 1C 1——→C.AD →－AB →－DD 1—→D.B 1D 1——→－A 1A —→＋DD 1—→(2)对于空间中的非零向量AB →，BC →，AC →，其中一定不成立的是( ) A.AB →＋BC →＝AC → B.AB →－AC →＝BC → C ．|AB →|＋|BC →|＝|AC →| D ．|AB →|－|AC →|＝|BC →| 反思感悟 空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加法、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．跟踪训练2 如图，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，E ，F ，G 分别是BC ，CD ，DB 的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果． (1)AB →＋BC →－DC →；(2)AB →－DG →－CE →.三、空间向量的数乘运算 知识梳理定义与平面向量一样，实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义λ>0λa 与向量a 的方向相同 λa 的长度是a 的长度的|λ|倍λ<0 λa 与向量a 的方向相反 λ＝0 λa ＝0，其方向是任意的 运算律结合律λ(μa )＝(λμ)a 分配律(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ， λ(a ＋b )＝λa ＋λb注意点：(1)当λ＝0或a ＝0时，λa ＝0．(2)λ的正负影响着向量λa 的方向，λ的绝对值的大小影响着λa 的长度． (3)向量λa 与向量a 一定是共线向量．例3 如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1—→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量： (1)AP →；(2)A 1N —→；(3)MP →. 解 (1)∵P 是C 1D 1的中点，∴AP →＝AA 1—→＋A 1D 1——→＋D 1P —→＝a ＋AD →＋12D 1C 1——→＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋12b ＋c .(2)∵N 是BC 的中点，∴A 1N —→＝A 1A —→＋AB →＋BN →＝－a ＋b ＋12BC →＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(3)∵M 是AA 1的中点，∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A —→＋AP →＝－12a ＋⎝⎛⎭⎫a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c . 延伸探究1．例3的条件不变，试用a ，b ，c 表示向量PN →.2．若把例3中“P 是C 1D 1的中点”改为“P 在线段C 1D 1上，且C 1P PD 1＝12”，其他条件不变，跟踪训练3 已知四边形ABCD 为正方形，P 是四边形ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形的中心O ，Q 是CD 的中点，求下列各题中x ，y 的值． (1)OQ →＝PQ →＋xPC →＋yP A →；(2)P A →＝xPO →＋yPQ →＋PD →.1．(多选)下列命题中，真命题是( )A ．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小B ．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C ．只有零向量的模等于0D ．共线的单位向量都相等2．化简PM →－PN →＋MN →所得的结果是( ) A ．PM → B ．NP → C ．0D ．MN →3．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形 B ．空间四边形 C ．等腰梯形D ．矩形4．在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，E 为PD 的中点，若P A →＝a ，PB →＝b ，PC →＝c ，则BE →＝________.课时对点练1．下列说法中正确的是( )A ．空间中共线的向量必在同一条直线上B ．AB →＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合 C ．数乘运算中，λ既决定大小，又决定方向 D ．在四边形ABCD 中，一定有AB →＋AD →＝AC →2．向量a ，b 互为相反向量，已知|b |＝3，则下列结论正确的是( ) A ．a ＝bB ．a ＋b 为实数0C ．a 与b 方向相同D ．|a |＝33.如图，在四棱柱的上底面ABCD 中，AB →＝DC →，则下列向量相等的是( )A ．AD →与CB → B ．OA →与OC → C ．AC →与DB →D ．DO →与OB →4.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1—→＝c ，则A 1B —→等于( )A ．a ＋b －cB ．a －b ＋cC ．b －a －cD ．b －a ＋c5.如图，在空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M ，N 分别为OA ，BC 的中点，则MN →等于( )A ．12a －12b ＋12cB ．－12a ＋12b ＋12cC ．12a ＋12b －23cD ．12a ＋12b －12c6．(多选)已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，则下列四式中正确的有( ) A ．AB →－CB →＝AC → B ．AC ′——→＝AB →＋B ′C ′———→＋CC ′——→ C ．AA ′——→＝CC ′——→ D ．AB →＋BB ′——→＋BC →＋C ′C ——→＝AC ′——→7．设A ，B ，C ，D 为空间任意四点，则AC →－BC →＋BD →＝________.8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M 是AA 1的中点，已知AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c ，用a ，b ，c 表示CM →，则CM →＝________. 9.如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1. (1)化简AB →＋CC 1—→＋B 1D 1——→；(2)若AA 1—→＋x ＋BC →＋C 1D ——→＋D 1A 1——→＝0，则x 可以是图中有向线段所示向量中的哪一个？(至少写出两个)10．如图，设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，若AE →＝12OD →＋xOB →＋yOA →，求x ，y 的值．11．已知空间中任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →等于( ) A ．DB → B ．AB → C ．AC → D ．BA →12.如图，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AC 与BD 的交点为O ，点M 在BC ′上，且BM ＝2MC ′，则OM →等于( )A ．－12AB →＋76AD →＋23AA ′——→ B ．－12AB →＋56AD →＋13AA ′——→C ．12AB →＋16AD →＋23AA ′——→ D ．12AB →－16AD →＋13AA ′——→13．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．用AB →，AD →，AA 1—→表示OC 1—→，则OC 1—→＝________________.14．如图，在四面体ABCD 中，E ，G 分别是CD ，BE 的中点，若记AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，则AG →＝________.15．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，若AC ′——→＝xAB →＋y 2BC →＋z 3CC ′——→，则x ＋y ＋z ＝________.16．如图，在空间四边形SABC 中，AC ，BS 为其对角线，O 为△ABC 的重心． (1)求证：OA →＋OB →＋OC →＝0； (2)化简：SA →＋12AB →－32CO →－SC →.。
高中数学《空间向量及其加减法运算》导学案 (2)
第三章 空间向量与立体几何 3.1.1空间向量及其加减法运算 一、学习目标 1.理解空间向量的有关概念； 2.掌握空间向量的加减运算法则及运算律； 【重点、难点】重点：空间向量的有关概念及其加减运算的运算法则；难点：空间向量的加减运算在空间几何体中的应用；二、学习过程【复习回顾】知识点1:平面向量的概念问题1.（1）向量的概念是什么？（2）向量如何表示？（3）什么是向量的长度？（4）有哪些特殊的向量？问题2.平面向量的加减法运算法则是什么？【探究新知】1. 空间向量（1）定义：在空间，把具有 和 的量叫做空间向量；（2）长度：向量的 叫做向量的长度或 ；（3）表示法：⎧⎨⎩几何表示法：用 表示；字母表示法： . 2. 几类特殊向量(1)零向量： 的向量叫做零向量，记为0.(2)单位向量： 的向量称为单位向量．(3)相等向量：方向 且模 的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．(4)相反向量：与向量a 长度 而方向 的向量，称为a 的相反向量，记为2．空间向量的加减法与运算律空间向量的加减法类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ； CA →＝OA →－OC →＝a －b . 加法运算律(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ； (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ) 【典型例题】例1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．① 向量AB 与AC 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在一条直线上；② 单位向量都相等；③ 任一向量与它的相反向量不相等；④ 四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是AB =DC ；⑤ 模为0是一个向量方向不确定的充要条件；⑥ 共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.例2．如图所示，已知平行六面体1111ABCD A B C D -，M 为11AC 与11B D 的交点，化简下列向量表达式．（1）1AA +11B A ；（2）2111B A + 2111D A ； （3）1AA +2111B A +11D A ； （4）AB +BC +1CC +11A C +A A 1;例3. 在平行六面体中，求证：''2'AC AB AD AC ++=【变式拓展】1. 下列说法中正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a 、b 的长度相同，方向相同或相反B ．若向量a 是向量b 的相反向量，则|a |＝|b |C ．空间向量的减法满足结合律D.在四边形ABCD 中，一定有AB +AD =AC2. 已知长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′,化简下列向量表达式:(1)';AA CB - (2)'''''AB B C C D ++3. 在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，画出表示下列向量的有向线段.（1） AB ＋AD →＋1AA ;；（2）11AB CC DD +-;.三、总结反思1．在掌握向量加减法的同时，应首先掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差，如共线、共起点、共终点等．2．通过掌握相反向量，理解两个向量的减法可以转化为加法．3．注意向量的三角形法则和平行四边形法则的要点．对于向量加法运用平行四边形法则要求两向量有共同起点，运用三角形法则要求向量首尾顺次相连．对于向量减法要求两向量有共同的起点．4．a b -表示的是由减数b 的终点指向被减数a 的终点的一条有向线段．四、随堂检测 1．判断下列各命题的真假：①向量AB 的长度与向量BA →的长度与向量BA →的长度相等；②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB 与向量CD →是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．52．在三棱柱ABCA′B′C′中，AC →与A′C′→是________向量；AB →与B′A′→是________向量．3. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,化简向量表达式AB →+ CD + BC DA +的结果为________．4. 已知ABCD 是空间四边形,M 和N 分别是对角线AC 和BD 的中点.求证: MN = 1()2AB CD +。
教学设计1：3.1.1 空间向量及其加减运算
3．1.1空间向量及其加减运算教学目标：㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减及运算律；㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；⒉会用图形说明空间向量加法、减法及它们的运算律；⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．教学重点：空间向量的加减运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．教学方法：讨论式．教学过程：一.复习引入在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？那么，空间中的向量应该如何表示呢？其定义及运算与平面向量又有什么关系呢？二.思考分析李老师下班回家，先从学校大门口骑自行车向北行驶1 000 m，再向东行驶1 500 m，最后乘电梯上升15 m到5楼的住处．在这个过程中，李老师从学校大门口回到住处所发生的总位移就是三个位移的合成(如图所示)．问题1：以上三个位移是同一个平面内的向量吗？提示：不是．问题2：如何刻画李老师行驶的位移？提示：借助于空间向量的运算．三.抽象概括空间向量表示法几何表示法空间向量用有向线段表示.字母表示法用一个字母表示，如图，此向量的起点是A，终点是B，可记作a，也可记作AB，其模记为|a|或|AB―→|.几类特殊向量①零向量：规定长度为0的向量叫做零向量，记为0.②单位向量：模为1的向量称为单位向量.③相反向量：与向量a长度相等而方向相反的向量称为a的相反向量，记为－a.④相等向量：方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间向量的加减法类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：OB＝OA＋AB＝a＋b；CA＝OA－OC＝a－b.加法运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).1．向量是既有大小又有方向的量，其中长度可以比较大小，而方向无法比较大小．一般来说，向量不能比较大小．2．零向量的方向是任意的，同平面向量中的规定一样，0与任何空间向量平行．3．单位向量的模都相等且为1，而模相等的向量未必是相等向量．4．空间向量是可以平移的，空间中的任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示，所以空间任意两个向量是共面的．四.例题分析及练习[例1]下列说法中正确的是()A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|C．空间向量的减法满足结合律D．在四边形ABCD中，一定有AB＋AD＝AC[思路点拨]根据向量的概念及运算律两方面辨析．[精解详析]|a|＝|b|，说明a与b模相等，但方向不确定．对于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，从而B正确．只定义加法具有结合律，减法不具有结合律，一般的四边形不具有AB ＋AD＝AC，只有在平行四边形中才能成立．故A、C、D均不正确．[答案]B[感悟体会](1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键． 训练题组11．给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p ；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为( ) A ．4B ．3C ．2D ．1解析：零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错；当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个向量相等，不一定起点相同、终点也相同，故②错；根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量a 与b 的方向不一定相同，故③错；命题④显然正确；对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错． 答案：D2．给出下列四个命题：(1)方向相反的两个向量是相反向量； (2)若a ，b 满足|a |>|b |且a ，b 同向，则a >b ； (3)不相等的两个空间向量的模必不相等； (4)对于任何向量a ，b ，必有|a ＋b |≤|a |＋|b |. 其中正确命题的序号为( )A ．(1)(2)(3)B ．(4)C ．(3)(4)D ．(1)(4)解析：对于(1)，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故(1)错；对于(2)，向量是不能比较大小的，故不正确；对于(3)，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故(3)错；只有(4)正确． 答案：B3.如图，在长、宽、高分别为AB ＝4，AD ＝2，AA 1＝1的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，(1)单位向量共有多少个？ (2)写出模为5的所有向量． (3)试写出AA 1―→的相反向量．解：(1)因为长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量1AA ，1A A ，1BB ，1B B ，1DD ，1D D ，1CC ，1C C 共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)因为长方体的左右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有1AD ，1D A ，1C B ，1BC ，1B C ，1CB ，1A D ，1DA .(3)向量1AA 的相反向量为1AA ，1B B ，1C C ，1D D ，共4个. [例2] 化简(AB －CD )－(AC －BD )．[思路点拨] 根据向量加减运算的法则进行，注意向量的起点、终点． [精解详析] 法一：∵AB －CD ＝AB ＋DC ， ∴(AB －CD )－(AC －BD )＝AB ＋DC －AC ＋BD ＝AB ＋BD ＋DC ＋CA ＝AD ＋DA ＝0.法二：(AB －CD )－(AC －BD )＝AB －CD －AC ＋BD ＝(AB －CD )＋(DC －DB )＝CB ＋BC ＝0. [感悟体会](1)掌握好向量加减法的三角形法则是解决这类问题的关键，灵活应用相反向量及两向量和、差，可使这类题迅速获解，另外需注意零向量的书写要规范．(2)利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果． 训练题组24．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，1DD －AB ＋BC 化简后的结果是( ) A ．1BD B ．1D B C ．1B D D ．1DB解析：由正方体的性质可得1DD －AB ＋BC ＝1DD －DC ＋BC ＝1CD ＋BC ＝1BD . 答案：A5．已知空间四边形ABCD 中，AB ＝a ，CB ＝b ，AD ＝c ，则CD 等于( ) A ．a ＋b －cB ．－a －b ＋cC ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c解析：因为CD ＝CB ＋BA ＋AD ＝CB －AB ＋AD ＝b －a ＋c ，所以CD ＝－a ＋b ＋c . 答案：C6.如图所示，已知长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′.化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果．(1) 'AA －CB ； (2) 'AA ＋AB ＋''B C .解：(1) 'AA －CB ＝'AA －DA ＝'AA ＋AD ＝'AA ＋''A D ＝'AD . (2) 'AA ＋AB ＋''B C ＝('AA ＋AB )＋''B C ＝'AB ＋B ′C ′＝'AC . 向量'AD 、'AC 如图所示．五.课堂小结与归纳(1)空间中的单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中对应的概念完全一样．(2)在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则．如图，1OA ＋12A A ＋23A A ＋34A A ＋45A A ＋56A A ＝6OA .即首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．求若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和． 六.当堂训练1．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，与向量AD 相等的向量共有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：与AD 相等的向量有11A D ，BC ，11B C ，共3个． 答案：C2．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，模与向量A B ''的模相等的向量有( ) A ．7个B ．3个C ．5个D ．6个解析：|D C ''|＝|DC |＝|C D ''|＝|CD |＝|BA |＝|AB |＝|B A ''|＝|A B ''|. 答案：A3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为1BD 的是 ( )①(11A D －1A A )－AB ②(BC ＋1BB )－11D C ③(AD －AB )－1DD ④(11B D －1A A )＋1DDA ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ 解析：①(11A D －1A A )－AB ＝1AD －AB ＝1BD； ②(BC ＋1BB )－11DC ＝1BC －MN ＝1BD ； ③(AD －AB )－1DD ＝BD －1DD ≠1BD ；④(11B D －1A A )＋1DD ＝1BD ＋1DD . 答案：A4．已知平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，且OA ＝a ，OB ＝b ，则BC ＝( ) A ．－a －b B ．a ＋b C.12a －bD ．2(a －b )解析：如图，∵OA ＝a ，OB ＝b ，∴BO ＝－b ，OC ＝－a ，∴BC ＝BO ＋OC ＝－b －a .答案：A5．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若CA ＝a ，CB ＝b ，1CC ＝c ，则1A B ＝________.解析：1A B ＝1B B －11B A ＝1B B －BA ＝1B B －(CA －CB ) ＝－c －(a －b )＝－c －a ＋b . 答案：－c －a ＋b6．化简AB －AC ＋BC －BD －DA ＝________.解析：AB －AC ＋BC －BD －DA ＝AB ＋BC ＋CA ＋AD ＋DB ＝AC ＋CA ＋AD ＋DB ＝AB .答案：AB7.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 是BB 1的中点.化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： (1) CB ＋1BA ； (2) AC ＋CB ＋121AA ；(3) 1AA －AC －CB . 解：(1) CB ＋1BA ＝1CA .(2)因为M 是BB 1的中点，所以BM ＝121BB .又1AA ＝1BB ，所以AC ＋CB ＋121AA ＝AB ＋BM ＝AM .(3) 1AA －AC －CB ＝1CA －CB ＝1BA . 向量1CA ，AM ，1BA 如图所示．8．已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′.求证：AC ＋AB '＋AD '＝2AC '.证明：∵平行六面体的六个面均为平行四边形， ∴AC ＝AB ＋AD ，AB '＝AB ＋AA '，AD '＝AD ＋AA '，∴AC ＋AB '＋AD '＝(AB ＋AD )＋(AB ＋AA ')＋(AD ＋AA ') ＝2(AB ＋AD ＋AA ')． 又∵AA '＝CC '，AD ＝BC ，∴AB ＋AD ＋1AA ＝AB ＋BC ＋CC '＝AC ＋CC '＝AC '， ∴AC ＋AB '＋AD '＝2AC '.。
1.1 1.1.1空间向量及其线性运算
②由于这个长方体的左、右两侧的对角线长均为 5，所以 模为 5的向量为―AD→1，―D1→A，―A1→D，―DA→1 ，―BC→1 ，―C1→B ，―B1→C ， ―→ CB1 .
ห้องสมุดไป่ตู้
[方法技巧] 空间向量有关概念问题的解题策略
B．(―AA→1 ＋A―1→D1)＋D―1→C1
C．(―A→B ＋―BB→1 )＋B―1→C1
D．(―AA→1 ＋A―1→B1)＋B―1→C1
解析：对 A，(―A→B ＋―B→C )＋―CC→1 ＝―A→C ＋―CC→1 ＝―AC→1 ；对 B，
(―AA→1 ＋A―1→D1)＋D―1→C1＝―AD→1 ＋D―1→C1＝―AC→1 ；对 C，(―A→B ＋―BB→1 )
第一章 空间向量与立体几何 1．1 空间向量及其运算
知识点一 空间向量的有关概念 (一)教材梳理填空 1．空间向量 (1)定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度：空间向量的大小叫做空间向量的长度或 模 ．
2．空间向量的表示
(1)字母表示法：用字母 a，b，c，…，表示．
(2)几何表示法：用有向线段表示，其长度表示空间向量的
量，记为－a
共线向 量或平 行向量
若表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相 __平__行__或 重合 ，那么这些向量叫做共线向量或平 行向量
规定：零向量与任意向量 平行 ．即对任意向量 a，
都有 0∥a
相等向量
方向相同 且模 相等 的向量
[微思考] 在空间中，所有单位向量平移到同一起点后，终 点轨迹是什么图形？
∴y＝z＝－12. (2)∵O 为 AC 的中点，Q 为 CD 的中点， ∴―PA→＋―P→C ＝2―PO→，―P→C ＋―PD→＝2―PQ→， ∴―PA→＝2―PO→－―P→C ，―P→C ＝2―PQ→－―PD→， ∴―PA→＝2―PO→－2―PQ→＋―PD→， ∴x＝2，y＝－2.
空间向量及其加减运算
设AB a, AD b, AA c, 用a,b, c表示BD
D
A
C B
BD b c a
cD
Ab
a
C B
例2、空间四边形ABCD中，
求证：AD BC AC BD
证明： AD BC AC BD B
= (AD AC) (BC BD)
= CD DC
C
=0
AD BC AC BD
加法交换律
运
a + b = b + a；
算
加法结合律
律
(a + b) + c = a + (b + c)
A a+b+c
= AB +BC +CD
= AC +CD
= AD
结论1： 首尾顺次相接的若干向量之和
a
D
BC
b
c
=__由_起__始__向__量__的_起__点__指__向__末_尾__向__量__的__终_点__的__向__量_ ．
桓台二中 ** ** **
问题:
如图:三个相互垂直的力 F1 , F2 , F3 作用于
同一个物体上,请标出其合力.
F2
F3 F1
|F1|=10N |F2|=15N |F3|=15N
一、空间向量的概念
概念
平面向量
空间向量
定义
表示 方法
既有大大小小又有方方向向的量 既有大小又有方向的量
几何表示：
几何表示：
a a 字母表示： AB
字母表示： AB
相等
模：
向量 方向：
相等 相同
模： 方向：
相等 相同
相反
空间向量及其加减运算说课稿
空间向量及其加减运算（说课稿）各位专家评委大家好！我是来自福海县第一高级中学的任燕，今天我说课的课题是《空间向量及其加减运算》，它选自人民教育出版社A版高中数学选修2-1“第三章空间向量与立体几何”的第一节内容。
我将从说教材、说学生、说教法、说学法、说教学过程、说板书设计，六个方面陈述我对本节课的设计方案。
恳请各位专家评委批评指正。
一、说教材：1、地位和作用：向量可以表示物体的位置，其本身也是一种几何图形（既有方向又有长度的线段），因而它成为几何学基本的研究对象；又因向量可以进行加减、数乘、数量积等运算，从而它又成为代数学的研究对象，因此可以说向量是最重要的数学模型，是链接代数与几何的桥梁。
用空间向量处理某些立体几何问题，可以为学生提供新的视角。
在空间特别是空间直角坐标系中引入空间向量，可以为解决三维图形的形状、大小及位置关系的几何问题增加一种理想的代数工具，从而降低许多立体几何的解题难度，而且由于近几年高考命题倾向于新教材的改革，因此善于运用空间向量来解决立体几何的问题成为高考命题的热点之一,也是应考复习中不可忽视的一个重要问题。
本节是在学习了简单的立体几何与平面向量及其运算的基础上进行教学的。
通过本节课的学习，既可以对向量的知识进一步巩固和深化，又可以为后面解决立体几何问题打下基础，所以学好这节内容是尤为重要的。
2、教学的重点和难点：根据教学大纲的要求我确定教学重难点如下：教学重点：（1）空间向量的有关概念；（2）空间向量的加减运算及其运算律、几何意义；（3）空间向量的加减运算在空间几何体中的应用教学难点：（1）空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用。
（2）空间向量的加减运算及其几何的应用和理解。
二、说学生1、学情分析由于学生已经有了一定的平面向量知识和立体几何的空间观念作为基础，在教学中可运用类比和归纳的方法让学生体验数学结构上的层次感和完整性。
虽然空间向量是在平面向量的基础上的进行的推广，涉及的内容与平面中的类似，学生比较容易接受，但是在实际教学中应注意增加了维数所带给学生不利的影响。
时空间向量及其加减运算课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
1．1 空间向量及其运算
1．1.1 空间向量及其线性运算
第1课时 空间向量及其加减运算
[课程目标] 1.理解空间向量的概念. 2.掌握空间向量的加减运算．
(1)定义：在空间，具有__大__小____和__方__向____的量叫做空间向量．
(2)长度或模：空间向量的__大__小____．
给出下列命题： ①零向量没有确定的方向；
②在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，A→C ＝A1C1；
③两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ④空间中任意两个单位向量的模必相等．
其中正确命题的序号是______①__②__④______．
例2 如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，下列各式运算 结果为 BD1 的是( A )
如图，在三棱柱A1B1C1ABC中，下列等式正确的个数是( B )
①B→A ＋A1C1＋A1A＝B1C；
②A→C －AA1＋C1B1＝BA1；
③C1C＋C→A －C1B＝A→B ；
④B→A －B→C －CC1＝C1A．
A．1
B．2
C．3
D．4
例3 如图，在六棱柱 ABCDEF-A1B1C1D1E1F1 中， 化简 A1F1－E→F ＋D→F ＋E1D1＋CC1， 并在图中标出化简结果的向量．
(3)表示方法：
①字母表示法：用字母a，b，c，…表示； ②几何表示法：空间向量用 __有__向__线__段____表示．若向量a的起点
是A，终点是B，则向量a也可记作__A_→B___，其模记为__|_a_| __或 __|_A→_B__| __．
[研读]和平面向量一样，空间向量只有大小和方向，而无特定的 位置，空间向量可以作任意平移；空间向量可以用有向线段表
空间向量与立体几何课时作业本1-1高二-2020级北京用
8．已知 O 是空间任一点， A, B, C, D 四点满足任三点均不共线，但四点共面，且
OA
2
x
BO
3
y
CO
4z
DO
，则
2x
3y
4z
________.
9．在四面体
O
ABC
中，
OA
a
， OB
b
，
OC
c
，
D
为
BC
的中点，
E
为
AD
的
中点，则
OE
=_________.（用
a
，
b
，
c
表示）
A.60°
B.120°
C.30°
D.90°
3.设平面上有四个互异的点 A,B,C,D,已知( DB DC -2 DA )·( AB AC )=0,则△ABC 是
（）
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等边三角形
4.(多选题)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,有下列说法,其中正确的有（ ）
的距离为
.
6.如图,在正四面体 ABCD 中,棱长为 a,M,N 分别是棱 AB,CD 上的点,且 MB=2AM,CN= 1 ND, 2
则 MN 为
.
12
三、解答题
7．如图,在直三棱柱 ABC-A'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB=90°,D,E 分别为 AB,BB'的中点. （1）求证:CE⊥A'D; （2）求异面直线 CE 与 AC'所成角的余弦值.
D．
OA
OB
OC
OD
(整理版)谈空间向量的加减运算
谈空间向量的加、减运算空间向量的加、减运算是空间向量运算中的最为根底的内容，它也是今后学习空间向量的起点；因此，必需认真、慎重地对待，下面对空间向量的加、减运算谈以下两点，望对你的学习能有所帮助。
一、加、减运算的法那么1、平行四边形法那么这是我们很熟悉的一个法那么，在平面向量中、在物理中，我们都曾学习过。
对空间向量我们必需注意空间的平行线与平行面的平行线之间的区别。
必需认真的观察图形，方可求解问题。
例1、如图，在平行六面体EFGH ABCD -中，用 AE AB AD ,,表示向量AG 分析：由于EFGH ABCD -是平行六面体，因此， 四边形AEGC 是平行四边形，所以AE AC AG +=。
又四边形ABCD 也是平行四边形，得AB AD AC +=于是，AE AB AD AG ++=；2、三角形法那么可以说它是简化的平行四边形法那么。
进行加法运算时，一定要注意，首尾相接；进行减法运算时，一定要抓住起点与终点；对于三角形法那么，可以从位移的角度来加以理解。
例2、如图，在平行六面体EFGH ABCD -中，用AE AB AD ,,表示向量BH分析：在三角形ABH 中，对于向量BH ，由于起点为B ，终点为H ，所以AB AH BH -=又在三角形AHD 中，向量AH 的起点为A ，终点为H ，因此DH AD AH += 由于AE DH //且AE DH =，得AE DH =故AB AE AD BH -+=二、加、减法的几何意义1、不平行时的作图两个向量不平行时，用图象作出两个向量的和或差；直接用平行四边形法那么或用三角形法那么即可。
例3、如图向量→a 与向量→b 不平行，标出它们的和向量法一：平移CD，将起点C与点AAB,为邻边，作平行重合，分别以AD四边形ABED，那么对角线AE即为所求的和向量。
A,，那么向量AD即为所求的和向量。
法二：平移CD，将起点C与点B重合，连结D2、平行时的作图例4、AB与CD平行标出它们的和、差向量解：〔1〕方向相同时，平移CD，将起点C移至与点B重合，此时，AD即为所求的和向量〔也可以平移AB〕。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1.1.1 空间向量及其加减运算
一、单选题
1．空间四边形 OABC 中，OA AB CB +-=（ ）
A ．OC
B ．OA
C ．AB
D ．AC
2．已知 D ，E ，F 分别是△ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则（ ）
A ．0AD BE CF ++=
B ．0BD CF DF -+=
C ．0A
D C
E C
F +-=
D ．0BD B
E FC --=
3．空间四边形ABCD 中，若E ，F ，G ，H 分别为AB ，BC ，CD ，DA 边上的中点，则下列各式中成立的
是（ ）
A ．0E
B BF EH GH +++= B ．0EB F
C EH GE +++= C ．0EF FG EH GH +++=
D ．0EF FB CG GH -++=
4．在直三棱柱
中，若，
，，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．下列命题中是真命题的是（ ）
A ．分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B ．若a b =，则,a b 的长度相等而方向相同或相反
C ．若向量,AB C
D ，满足AB CD >，且AB 与CD 同向，则AB CD > D ．若两个非零向量AB 与CD 满足0AB CD +=，则//AB CD
6．在平行六面体ABCD- -A′B′C′D′中，各条棱所在的向量中，模与向量A B ''的模相等的向量有（ ）
A ．7个
B ．3个
C ．5个
D ．6个
7．空间任意四个点A 、B 、C 、D ，则BA CB CD +-等于（ ）
A ．DB
B ．AD
C ．DA
D ．AC
8．在三棱柱111ABC A B C -中，若1,,AB a AC b AA c
===，则1C B =（ ） A ．a b c +-
B ．a b c --+
C ．a b c -+-
D ．a b c --
9．已知P 是正六边形ABCDEF 外一点，O 为正六边形ABCDEF 的中心，则
PA PB PC PD PE PF +++++等于（ ）
A ．PO
B ．3PO
C ．6PO
D ．0
10．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，若CA a =，CB b =，1CC c =，则1A B 等于（ ）
A ．a b c +-
B ．a b c -+
C ．b a c --
D ．b a c -+
11．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，下列各式中运算结果为向量1AC 的是（ ）
①1()AB BC CC ++；②11111()AA A D DC ++；③111()AB BB BC ++；④11111()AA A B BC ++． A ．①③
B ．②④
C ．③④
D ．①②③④
12．在空间若把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（ ）
A ．一个球
B ．一个圆
C ．半圆
D ．一个点
二、填空题
13．直三棱柱111ABC A B C -中，若1,,CA a CB b CC c ===，则1BA =
__________． 14．在正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是1AA 的中点，已知AB a =，AD b =，1AA c
=，用a ，b ，c 表示CM ，则CM =______.
15．在正方体
中，给出以下向量表达式：
①111()A D A A AB --；②111()BC BB DC +-； ③1()AD AB DD --；④1111()B D A A DD ++. 其中能够化简为向量1BD 的是________． 16．给出以下结论：
①空间任意两个共起点的向量是共面的；
②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量； ③空间向量的加法满足结合律：()()
a b c a b c ++=++；
④首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量. 请将正确的说法题号填在横线上：__________.
17．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，长、宽、高分别为3AB =，2AD =，11AA =，以该长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中：
（1）单位向量共有______________个；
（2______________个； （3）与11
A B 相等的向量共有______________个；
（4）1CC 的相反向量共有______________个．
18．对于空间中的非零向量AB ，BC ，AC ，有下列各式：
①AB BC AC +=； ②AB AC BC -=； ③AB BC AC +=； ④AB AC BC -=.
其中一定不成立的是________（填序号）．
三、解答题
19．如图，已知一点O 到平行四边形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 的向量分别为123
,,r r r ，求OD ．
20．如图所示，棱长为1的正三棱柱ABC-A 1B 1C 1.
（1）在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，列举出与向量AB 相等的向量；
（2）在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，列举出向量AC 的相反向量； （3）若E 是BB 1的中点，列举出与向量AE 平行的向量.
21．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，M 是1BB 的中点，化简下列各式：
（1）1
AB BA +；
（2）111AB BC C C ++； （3）AM BM CB --；
（4）
11
2
AA AB AM +-．
22．如图，在空间四边形SABC 中，,AC BS 为其对角线，O 为ABC 的重心．
（1）证明：0OA OB OC ++=； （2）证明：1
()3
SO SA SB SC =
++．。